Metodos Numericos Aplicada a La Ingenieria Civil

UNIVERSIDAD NACIONAL “ HER HERMILIO MILIO VALDIZAN”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

Pag.

1. In Introduc troducción ción

2

2. Desarrollo del tema

4

4.1 antecedentes

5

4.2 enfati enfatizac zación ión el tema de interés

6

4.3 Recopilación de información

10

4.4 objetivos

12

4.5 marco marc o teórico

13

4.6 procedimiento proc edimiento

22

4.6.1 diagrama de flujo

22

4.6.2 programa program a

23

4.7 resultados

25

4.8 conclusiones

33

4.9 recomendaciones

36

4.10 bibliografía

38

MÉTODOS MÉTODO S NUMERICOS NU MERICOS

pág. 1



En el presente trabajo se abordará acerca de la fórmula de la secante, secante, la cual se emplea en ingeniería estructural para determinar la fuerza por unidad de área (P/A) que se genera en una columna cargada excéntricamente. La teoría de las columnas cargadas excéntricamente se basa en solucionar problemas debido a pandeo que puede sufrir una columna, considerando que una carga P nunca está perfectamente centrada, es decir que su eje de acción no coincide con el eje de la columna, generándose una excentricidad (e) debido a ese detalle. La excentricidad viene a ser, la distancia entre la línea de acción de la carga carg a P y el eje de la columna.

Para dar una buena presentación a nuestro trabajo expondremos en forma clara y sencilla los ítems respectivos, como: antecedentes, objetivos, marco teórico, diagrama de flujo, resultados, así también las debidas conclusiones y recomendaciones.

En lo concerniente a los antecedentes antecedentes,, veremos casos relacionados a este tema. Asimismo, expondremos en forma sucinta nuestros objetivos. En el marco teórico, teórico , detallaremos cómo se deduce la fórmula de la secante y en base a qué consideraciones.

En vista que, en la fórmula de secante aparecen diversos parámetros, para facilitar su aplicación y desarrollo en nuestro ejercicio asignado, se usarán los métodos numéricos con el fin darle una solución adecuada; por lo cual, elaboraremos un diagrama de flujo flujo y así desarrollar los métodos escogidos mediante un programa.


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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA Para ejecutar y visualizar los resultados, desarrollaremos el ejercicio asignado aplicando los métodos más convenientes para comparar su convergencia y lo plasmaremos

en

programas

como

Matlab

y

Excel,

con

los

cuales

visualiz visuali zaremos los dichos di chos resultados y el gráfico gráfico de la función.

Por último, después de haber realizado los ítems mencionados anteriormente, expondremos nuestras conclusiones nuestras conclusiones y y las debidas recomendaciones .


pág. 3




pág. 4



Moreno Fernández, Lorena María (2012) en su Trabajo Trabajo de Fin de Grado “CARGAS CRÍTICAS DE PANDEO DE COLUMNAS FISURADA” concluyó que qu e : El valor de la carga crítica de pandeo depende del material del que esté fabricada la columna y su s u comportamiento c omportamiento frente a cargas de compresión. Así cuanto mayor sea el módulo de elasticidad del material, mayor será la carga crítica de pandeo; y este último, directamente proporcional al módulo de rigidez a flexión EI. Universidad EI. Universidad Carlos IIIIII de Madrid Madrid Escuela Es cuela Politécnica Politécnic a Superior, Madrid, Madrid, España. Es paña. Prof. Santo Domingo Santillana, Jaime (2008) en su Art Artícul ículo o “PANDEO”. Escuela Politécnica Superior de Zamora. Una columna pandeará en el plano que presente menor rigidez a la flexión, es decir, en el plano respecto del cual el módulo de rigidez a la flexión sea mínimo: E.I

mín.

(p.12)

Este Art Artícul ículo o ha sido creado gracias a: Áre Área a de Cálculo Cálcu lo en el marco del Programa de Afiliados de la Construpedia . “CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE ACERO: ACERO: CASO CASO DE ESFUERZ ESFUERZOS OS AXIALES ALES (COLUM (COLUMNAS)”. NAS)”. Diferentes Diferentes ingenieros y asociaciones han propuesto distintas fórmulas, de origen exclusivamente empírico, para el cálculo de barras y columnas sometidas a esfuerzos de compresión. Entre las más clásicas, merecen ser mencionadas las primeras de Rankine, para columnas cortas, y de Tetmajer, ambas en desuso. Y otras como: Fórmula de Tredgold (la más antigua), Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles, Fórmula del Column Research Council (CRC), Fórmula del Structural Stability Research Council (SSRC) y Fórmula del American Institute Institute of Steel Contruction (AI (AISC). (p.5)


pág. 5



1.1.

COLUMNA. Una columna es un elemento sometido a compresión, lo suficientemente

delgado respecto de su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente rompa por flexión lateral (pandeo) ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse dividirse en dos grupos: Largas e intermedias. A veces, un tercer grupo es el de los elementos cortos a compresión. c ompresión. CLASIFICACION: 

Columnas largas



Columnas Colum nas de longitud intermedia interm edia



Columnas con carga excéntrica



Columnas cortas con cargas excéntricas

ESTABILIDAD Si el área transversal A es tal que el valor de del esfuerzo en la sección transversal es menor que el valor permisible y si la deformación cae en las especificaciones dada dadas, s, la columna c olumna se s e ha diseñado bien bien.. Sin embargo, puede puede que que al aplicar aplicar una carga a la columna ésta se pandee, pandee, es decir se s e ha diseñado diseñado mal.


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FORMULA FORMUL A DE EULER PARA PARA COLUMNAS ARTICULADAS ARTICULADAS

EXTENSIÓN DE EULER PARA CONDICIONES DE EXTREMO MÉTODOS MÉTODO S NUMERICOS NU MERICOS

pág. 7



FORMULA FORMUL A DE LA SECANTE CON CO N CARGAS CARGAS EXCENTRICA EXCENT RICAS S


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pág. 9



La historia del descubrimiento de la solución algebraica de la cubica enfrento a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540, y Ferrari, alumno y secretario de Cardano resolvió en 1545 la ecuación de cuarto grado. Posteriormente fueron muchos los matemáticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemático noruego Abel en 1893 probo que es imposible resolver por radicales la ecuación general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar técnicas numéricas. En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para MÉTODOS MÉTODO S NUMERICOS NU MERICOS

pág. 10



aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson.

Sin

embargo,

este

método

fue

desarrollado

independientemente independientemen te de este último. último.


pág. 11



4.1. OBJETIVOS

4.1.1. OBJETIVO OBJETIVO GENERAL Aplicar Apli car los métodos métodos

cerrados y abi abiertos ertos hech hechos os en clase

para calcular el valor valor de la la raíz, raíz, esfuerzo. 4.1.2. OBJETIVO ESPECÍFICO 

Realizar programas de aplicación aplicaci ón de los los métodos métodos en matlab y hojas en Excel para ver la eficiencia de cada herramienta.



Determinar el método más eficiente efi ciente para el cálculo cálculo del esfuerzo.



Comprobar Comproba r que el método de la secante es una una variación del método de Newton-Raphson.



Automatizar Automatizar el proceso de cálculo cálculo de las raíces raíces de una una ecuación mediante un software de manera iterativo, usando el método de la Secante y Newton-Raphson.


pág. 12



En el ejercicio encargado se aplicara la teoría de las columnas cargadas excéntricamente, el cual se basa en solucionar el problema debido a pandeo que puede sufrir una columna, teniendo en cuenta una carga P que nunca está perfectamente perfectamente centrada, designan desi gnando do e la excentr excentrici icidad dad de la carga, es decir, la la distancia entre la línea de acción de P y el eje de la columna, reemplazaremos la carga excéntrica dada por una fuerza centrada y un par M A de momento

 =  ∗ 

.

Es claro que sin importar lo pequeño que sea la carga P y la excentricidad e, el par MA causará alguna flexión en la columna. Cuando se incrementa la carga excéntrica, tanto la fuerza axial P como el par MA aumentan y ambos causan flexión adicional sobre la columna, Así considerado, el problema del pandeo no es determinar por cuanto tiempo una columna puede permanecer recta y estable bajo la acció a cción n de una una carga que se incrementa, incrementa, sino cuanta cuanta flex flexión ión


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puede permitirse bajo la acción de la carga variable, si no se debe exceder el esfuerzo esfuerzo admisible admisi ble y la deflex deflexión ión ym ymáx áx no debe ser excesi excesiva. va. Primero escribiremos y resolveremos la ecuación de la curva elástica.

 = − − = − − ;

;

Sustituyen Sustituyendo do el valor valor de M en la ecuación diferencial de la la elástica, escribi e scribimos mos

 =  = −    −  Sustituyen Sustituyendo do el valor valor de M en la ecuación diferen di ferencia ciall de la elástica, escribimos escri bimos

 =  = −    − 

Trasponiendo el término que tiene “y” y haciendo

hizo, escribimos:

   = −  =  sin    cos cos − 

K = P/EI

como antes se

Donde la solución general para esta ecuación de segundo grado es:

   =

Donde el último término es una solución particular de la ecuación :

−

Las constantes A y B se obtienen de las condiciones frontera mostrada en la siguiente figura:


pág. 14



Haciendo primero: tenemos:

= 0 =0 ,

 = sin    cos cos − 

en la ecuación

=   sin  =  1− cos

,

Haciendo luego x=L, y=0, escribimos: Recordando que:

sisin  = 22/2 /2coscos/2/2

y que:

1 −cos − cos = 22/2 A sin KL = e1−cosKL  = t tan 2

Y sustituyendo en la ecuación reducciones.

, obtenemos, después de

Sustituyendo A y B en la ecuación ecuación de la curva elástica:

A sin KL = e1 − cosKL cosKL

, escribimos la

 =  tan 2 sin  co  coss − 1  = t tanan  sin  cos  cos −1 − 1 á =  tan 2 sin 2 cos2 − 1     /2 á =   /2 /2 − 1    =  sec se c /2 / 2 −1 − 1 á  =  , á = sec   × 2 − 1

El valor de la máxima deflexión se obtiene para x=L/2 en la ecuacion . Tenemos:

Pero como

escribimos:

Nótese que la expresión obtenida para

ymáx

se vuelve vuelve infinita infini ta cuando:

  × 2 = 2 MÉTODOS MÉTODO S NUMERICOS NU MERICOS

pág. 15



Aunque la deflexión realmente no llega a ser infinita, sin embargo llega a ser inaceptablemente grande y no debería permitirse que P alcance el valor critico que satisfasga la ecuación

√  ×  = 

. Despejando P de esta ecuación

tenemos:

    = 

Que es el valor obtenido para una columna con carga céntrica. Despejando EI de la ecuación

P  = 

y sustituyendo en

deflexión máxima en la fórmula alterna.

√  ×  = 

, podemos expresar la

á =  ×s× secec 2    − 1

El esfuerzo máximo,

σmáx

ocurre en la sección de la columna donde el

momento flector es máximo, o sea, e

σmáx

n la sección transversal que pasa por

el punto C, y puede obtenerse sumando dos esfuerzos normales debidos, respectivamente, a la fuerza axial y al par de flexión ejercidos en dicha sección. Tenemos:

á =   á  á =  × á   = á  

Del diagrama de d e cuerpo cuerpo libre lib re la porción porci ón AC de la column columnaa , encon encontramos tramos que:


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σmáx =   Mmáx  I = Ar  σmáx = PA 1  ymáxr  eC ymáx ymáx = ee secsec √  ×  − 1 σmáx =  1 1   secec √  ×  σmáx σmáx ymáx = e×e × [secsec  √  −1] σmáx =  1  á+ Sustituyendo este valor en

y recordando que

,

escribimos:

Sustituyendo el valor de

obtenido en

Escribimos:

Una formula alterna para

puede obtenerse sustituyendo el valor de

de

en

Por lo tanto tenemos:

σmáx = PA 1 1  erC × secsec 2π  PP  La ecuacion obtenida puede usarse para cualquier condición de los extremos, siempre y cuando se use el valor apropiado de la carga crítica.

Notamos que, puesto que

σmáx

no varua linealmente con la carga P, el principio

de superposición superposici ón no puede aplicarse

para la determinacion del esfuerzp esfuerzp

debido a la aplicación simultanea de varias cargas; debe determinarse ´rimero la resultan resultante te de las cargas y luego luego usar usar las ecuaciones:


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σmáx =  1   sec√  ×  σmáx =  [1   × secsec √  ] o

Para determinar el esfuerzo correspondiente. Por la misma razón, cualquier factor de seguridad debe aplicarse a la carga y no al esfuerzo. Haciendo:

I = Ar 

en la ecuación



σmáx =  1 1   sec√  × 

y y despejando la

relacion de , escribimos: escribi mos:

PA = eC σmáx1 P L 1  r secec 2 √ EA × r Donde la longitud efectiva se usa para hacer que la formula sea aplicable a varias condiciones en los extremos. Esta se denomina “formula de la secante”;

define la fuerza por unidad de área, P/A, que causa un esfuerzo máximo especificado

σmáx

en una columna de una relacion de esbeltez efectiva

para un valor dado de la relación

eC/r

L/r

,

, donde e es la execentricidad de la carga

aplicada. Notamos que, puesto que P/A aparece en ambos miembros, es necesario resolver una ecuación trascendental por ensayo y error, para obtener el valor de P/A correspondiente a la columna dada y a las condiciones de carga dadas.


pág. 18



ec/k2 es la razón de excentricidad.

Ploteando para varios ec/k2


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ELEMENTOS CORTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN

Puntal – elemento corto sometido a compresión





Si existe existe excentr excentrici icidad, dad, el esfuerz esfuerzo o máximo está enB con compresión compresi ón y flexión

 =    =     =  1 1   

Ecuación ant anterio eriorr no no es función función de la altu altura ra



Difiere Di fiere de la ecuación de la secante en que asume asume pequeños efectos de la deflexión por flexión



Si la deflex deflexión ión por flexión flexión se limita a 1% de la excentr excentrici icidad, dad, entonces entonces la relación de esbeltez límite para un puntal es:

 = 0.282  ⁄


pág. 20



ESTABILIDAD ELÁSTICA 



Inestabilidad debi debida da a pandeo está presente en element elementos os que son -

Cargados Carga dos en compresión compresi ón (directamente o indirectamente)

-

Largos o delgados

-

No arriostrados arriostrado s

La inest inestabilidad abilidad puede ser -

Local o global

-

Elástica o plást plástica ica

-

Por flex flexión ión o torsión


pág. 21



1.

DIAGRAMA DIAGRAMA DE FLUJO: 1.1.

DIAGRAMA DE FLUJ FLUJO O PARA EL MÉT MÉTODO ODO DE NEWTON RAPHSON:

f(x),

x=

 

,ϵ

Fun= f(x) f(x) Df= f´(x)

H = -Fun/Df

x= x+H

No


ℎ ≤ ϵ =?

Si

ESCRIBIR X

pág. 22



2. PROGAM PROGAMAS: AS: 2.1.. 2.1

PROGRAMA DEL MÉT MÉTODO ODO DE NEW NEWTO TON N RA RAPHSON: PHSON:


pág. 23



2.2.. 2.2

PROGRAMA DEL MÉT MÉTODO ODO DE NEW NEWTO TON N RA RAPHSON: PHSON:


pág. 24



METODOS CERRADOS, necesariamente empieza con dos valores que encierran la raiz, los los métodos más destacados son los Métodos de Bisecci Bi sección, ón, falsa falsa posición, falsa posición posici ón modificada.

RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

∗   ..

F(xx)= F(

i

Xl

Xu

Xr

F(Xl)

-250

F(Xu) F(Xu)

F(Xr)

Ea( %)

error

1

160

170

165

-5.8181134

11.1597899

2.638801333

2

160

165

162.5

-5.8181134

2.638801333

-1.59756803

1.53846154

2.5

3

162.5

165

163.75

-1.597568

2.638801333

0.51862662

0.76335878

1.25

4

162.5

163.75

163.125

-1.597568

0.51862662

-0.5399667

0.38314176

0.625

5

163.1

163.75

163.4375

-0.5399667

0.51862662

-0.01079423

0.19120459

0.3125

6

163.4

163.75

163.59375

-0.0107942

0.51862662

0.253885125

0.09551098

0.15625

7

163.4

163.594

163.515625

-0.0107942

0.253885125

0.121537683

0.04777831

0.078125

8

163.4

163.516

163.476563

-0.0107942

0.121537683

0.055369786

0.02389486

0.0390625

9

163.4

163.477

163.457031

-0.0107942

0.055369786

0.022287294

0.01194886

0.01953125

10

163.4

163.457

163.447266

-0.0107942

0.022287294

0.005746411

0.00597479

0.00976563

11

163.4

163.447

163.442383

-0.0107942

0.005746411

-0.00252394

0.00298748

0.00488281

12

163.4

163.447

163.444824

-0.0025239

0.005746411

0.001611228

0.00149372

0.00244141

13

163.4

163.445

163.443604

-0.0025239

0.001611228

-0.00045636

0.00074687

0.0012207

14

163.4

163.445

163.444214

-0.0004564

0.001611228

0.000577435

0.00037343

0.00061035

15

163.4

163.444

163.443909

-0.0004564

0.000577435

6.05386E-05 6.05386E- 05

0.00018672

0.00030518

16

163.4

163.444

163.443756

-0.0004564

6.05386E-05

-0.00019791

9.3358E-05 9.3358E- 05

0.00015259

17

163.4

163.444

163.443832 163.443 832

-0.0001979

6.05386E-05 6.05386E-05

-6.8685E-05

4.6679E-05

7.6294E-05 7.6294E-05

18

163.4

163.444

163.443871 163.443 871

-6.869E-05

6.05386E-05 6.05386E-05

-4.0734E-06

2.3339E-05

3.8147E-05

19

163.4

163.444

163.44389 163.4438 9

-4.073E-06

6.05386E-05 6.05386 E-05

2.82326E-05 2.82326 E-05

1.167E-05

1.9073E-05

20

163.4

163.444

163.44388 163.4438 8

-4.073E-06

2.82326E-05 2.82326 E-05

1.20796E-05 1.20796 E-05

5.8349E-06

9.5367E-06

21

163.4

163.444

163.443875 163.443 875

-4.073E-06

1.20796E-05 1.20796E-05

4.00311E-06 4.00311 E-06

2.9174E-06

4.7684E-06 4.7684E-06

22

163.4

163.444

163.443873 163.443 873

-4.073E-06

4.00311E-06 4.00311E-06

-3.5143E-08

1.4587E-06

2.3842E-06

23

163.4

163.444

163.443874 163.443 874

-3.514E-08

4.00311E-06 4.00311E-06

1.98398E-06 1.98398 E-06

7.2936E-07

1.1921E-06 1.1921E-06

24

163.4

163.444

163.443874 163.443 874

-3.514E-08

1.98398E-06 1.98398 E-06

9.7442E-07

3.6468E-07

5.9605E-07

25

163.4

163.444

163.443873 163.443 873

-3.514E-08

9.7442E-07

4.69639E-07 4.69639 E-07

1.8234E-07

2.9802E-07

Los valores convergen de la raíz MÉTODOS MÉTODO S NUMERICOS NU MERICOS

pág. 25



METODO GRÁFICO DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 162

162.5

163

163.5

164

164.5

165

165.5

-0.5 -1 -1.5 -2


pág. 26



RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO LA FALSA FAL SA POSICIÓN POSICIÓN F(xx)= F(

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Xl

Xu

.  ∗    . .  

-250

     ×  −      =  −  − Xr

F(Xl)

F(Xu)

F(Xr)

Ea(%)

100 170

163.1461787

- 102.81827

11.1597899

-0.504111615 -0. 504111615

163.146179 170

163.4423995

- 0.5041116

11.1597899

-0.002495638 -0. 002495638 0.18123869

163.4424 170 163.4438657 163.4438657

- 0.0024956

11.1597899 11.1597899

-1.23553 -1. 23553EE-05 05 0.00089703 0.00089703

163.443866 163.443866 170 163.4438729 163.4438729

- 1.236E-05

11.1597899 11.1597899

-6.11677 -6. 11677EE-08 08

4.4409E-06

163.443873 163.443873 170 163.4438729 163.4438729

- 6.117E-08

11.1597899 11.1597899

-3.02805 -3. 02805EE-10 10

2.1986E-08

163.443873 163.443873 170 163.4438729 163.4438729

- 3.028E-10

11.1597899 11.1597899

-1.47793 -1. 47793EE-12 12

1.0884E-10

163.443873 163.443873 170 163.4438729 163.4438729

- 1.478E-12

11.1597899 11.1597899

0

5.3907E-13

163.443873 170

163.4438729

0

11.1597899

0

0

163.443873 170

163.4438729

0

11.1597899

0

0

163.443873 170

163.4438729

0

11.1597899

0

0

163.443873 170

163.4438729

0

11.1597899

0

0

Los valores convergen de la raíz

METODO GRAFICO 0.1 0 163.1

163.15

163.2

163.25

163.3

163.35

163.4

163.45

163.5

-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6


pág. 27



RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO LA FALSA FAL SA POSI POSICIÓ CIÓN N MO MODIFI DIFICADA CADA

.  ∗    . . 

F(xx)= F( i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xl

Xu 100

163.146179

Xr

F(Xl) F(Xl)

-250 F(Xu)

F(Xr)

Ea(%)

170 163.146179

-102.81827 11.1597899 -0.504111615

170

-0.5041116 11.1597899 -0.002495638 0.18123869

163.4424

163.4424

85 163.443954

-0.0024956

-125.92444

163.4424

163.4439542 163.443873

-0.0024956 0.00013756

-1.5217E-10

-4.969E-05

163.443873

163.4439542 163.443873

-1.522E-10 0.00013756

0

5.4968E-11

163.443873

81.72197708 163.443873

0

-130.91989

0

0

163.443873

81.72197708 163.443873

0

-130.91989

0

0

163.443873

40.86098854 163.443873

0

-191.69261

0

0

163.443873

40.86098854 163.443873

0

-191.69261

0

0

 −  =  −  × −

0.000137562 0.00095118



pág. 28



RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DEL PUNTO P UNTO FIJO FIJO

METODO METODO DEL PUNTO PUN TO FIJO: Existe problemas en este método ya que para

valores de g(x), como valor inicial de x=160, la función en alguna iteración es negativa el cual cual es inconsistent inconsistente e con la ffórmu órmula la de la cu cuadrática adrática..

   (..∗  ) ..∗    X = 2 2  . F(xx)= F(

- 250

- 250= g( g(xx)

Xl

F(Xl)

Ea(%) Ea(%)

error

100

-2.8182749

-2.81827 -2. 8182749 49

#¡NUM! #¡N UM!

3648.269861 3648.269861

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

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#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

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0

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0

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#¡NUM!

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0

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#¡NUM!

0

#¡NUM!

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#¡NUM!

0

#¡NUM!

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0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0

#¡NUM!

#¡NUM!

#¡NUM!

0


pág. 29



Al usar el "METODO DEL PUNTO FIJO " tiene que hacerse un despeje adecuado, para que q ue no surga inconvenientes inconvenientes en el proceso de iteraciones. iteraci ones. Come en este caso, el despeje es lo optimo

   (..∗  ) 50 ∗cos  0. 0 559∗ 559 ∗     = 2coscos50∗cos 0.0559   0.4 F(xx)= F(

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Xl

- 250

F(Xl)

Ea(%) Ea(%)

100

169.858044

169.9

162.75105

41.12731

162.8

163.518192 163.518192

- 4.3667886

163.5

163.435895

0.46914783

163.4

163.444729 163.444729

- 0.0503545

163.4

163.443781

0.00540522

163.4

163.443883 163.443883

- 0.0005802

163.4

163.443872 163.443872

6.2281E-05

163.4

163.443873 163.443873

-6.685E-06 -6. 685E-06

163.4

163.443873 163.443873

7.1762E-07

163.4

163.443873 163.443873

-7.703E-08 -7. 703E-08

163.4

163.443873 163.443873

8.2687E-09

163.4

163.443873 163.443873

-8.876E-10 -8. 876E-10

163.4

163.443873 163.443873

9.5276E-11

163.4

163.443873 163.443873

-1.022E-11 -1. 022E-11

163.4

163.443873 163.443873

1.0955E-12

163.4

163.443873 163.443873

-1.043E-13 -1. 043E-13

163.4

163.443873

0

163.4

163.443873

0



pág. 30



RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

+ =  − ′

F(xx)= F( F'(xx)= F'(

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

   (..∗  )

- 250

.  .  ∗.      1  .  .   ∗. ∗.  +

Xl

F(Xl)

Ea(%)

100

169.8189116

169.81891

162.760017

41.1137434

162.76002

163.5167348 163.5167348

-4.33699 -4. 3369955 55

163.51673

163.4361042

0.46277698

163.4361

163.4447012 163.4447012

-0.04933 -0. 0493346 46

163.4447

163.4437846

0.00525989

163.44378

163.4438824 163.4438824

-0.00056 -0. 0005608 08

163.44388

163.4438719 163.4438719

5.9788E-05

163.44387

163.4438731 163.4438731

- 6.374E-06

163.44387

163.4438729 163.4438729

6.7961E-07

163.44387

163.443873 163.443873

- 7.246E-08

163.44387

163.4438729 163.4438729

7.725E-09

163.44387

163.4438729 163.4438729

- 8.236E-10

163.44387

163.4438729 163.4438729

8.7798E-11

163.44387

163.4438729 163.4438729

- 9.355E-12

163.44387

163.4438729 163.4438729

9.9119E-13

163.44387

163.4438729 163.4438729

- 8.695E-14

163.44387

163.4438729

0

163.44387

163.4438729

0



pág. 31



RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE LA SECANTE Para el método de la secante se necesita de dos puntos iniciales, pero la función de estos no necesariamente necesariam ente deben de ser s er el mism m ismo o signo, ni deberí deberían an de encerrar encerrar la raíz, por eso se s e considera un método m étodo abierto. abierto.

F(xx)= F(

X i-1

Xi 100

X i +1 180 242.685

   (..∗  )

- 250

F(Xl)

F(Xu)

-102.81827

28.4003909

Ea(%)

180 242.6852 227.201 28.4003909 143.376371

-6.81508481

-6.8150848

242.685152 227.2012 152.255 143.376371 113.754579

-49.2238822

49.2238822

227.201198 152.2553 87.9361 113.754579

-18.794536

-73.1430256

73.1430256

152.255252 87.93612 99.7137

-18.794536

-121.43387

11.81144283 11.8114428

87.9361159 99.71375 178.423

-121.43387

-103.26312

44.11380976 44.1138098

99.7137483 178.4229 241.465

-103.26312

25.6633535

26.10806769 26.1080677

178.422877 241.4646 227.438 25.6633535 141.009028

-6.16703647

6.16703647

241.464624 227.4384 153.659 141.009028 114.201829

-48.0151305

48.0151305 72.320285

227.438414 153.6589 89.1705 114.201829

-16.453596

-72.320285

153.658895 89.17052 99.4634

-16.453596

-119.54132

10.3483756 10.3483756

89.1705206 99.46336 176.901

-119.54132

-103.6521

43.77449358 43.7744936

99.463363 176.9008 240.261

-103.6521

23.0282824

26.37154437 26.3715444

176.900786 240.2614 227.645 23.0282824 138.680879

-5.54200703

5.54200703

240.261438 227.6453 155.013 138.680879 114.592091

-46.8552379

46.8552379

227.645319 155.0134 90.3846 114.592091

-71.5042984

71.5042984

155.013415 90.38457 99.2464

-14.190053

-14.190053

-117.6773

99.2464 175.431

-117.6773

-103.98907

43.42719504

99.2463988 175.4313 239.076

-103.98907

20.4902279

26.62098947 26.6209895

90.3845653

8.929123459 8.92912346 43.427195

175.431285 239.0756 227.824 20.4902279 136.391595

-4.93876512

4.93876512

239.075567 227.8239 156.321 136.391595 114.929014

-45.7410169

45.7410169

-12.000616

-70.6962734

70.6962734

227.82388

156.321 91.5785 114.929014

156.321045 91.57848 99.0606

-12.000616

-115.84159

7.553074528 7.55307453

91.5784754

-115.84159

-104.27757

43.0725706 43.0725706

99.0606 174.012

Los valores valores divergen dive rgen de la raíz


pág. 32





Para el e l ejercicio ejercici o desarrollado en los métodos cerrados quien quien conv converge más rapido es el método de la falsa posición.



Para el e l caso de los métodos método s abiertos quien quien conv converge más rápido rápid o es el método de newton raphson.



El método de la bisección converge lentamente, lo que genera la propagación de error por la cantidad de operaciones e interacciones necesarias para que el método converja. converja.



Cuando se plantea problemas y de ello se sabe el número de multiplicidad, si este número es impar no es difícil de resolver y podría resolverse con diferentes métodos mientras que si el número de multiplicidad es par es necesario el uso de métodos más complejos y su análisis es más difícil.



Para las búsqu búsquedas edas incrementales incrementales es de gran importancia im portancia saber elegi elegirr el valor del incremento, pues de esta depende que el método tenga gran eficiencia o no.



Para los métodos cerrados en necesario garantizar que dentro del intervalo de entrada la función sea continua y que esta contenga una raíz.



Para los métodos abiertos abi ertos es necesario garantizar que que la función función sea continua.



El método mé todo de Newton se va volvie volviendo ndo lento lento cuando la derivada deri vada de la función función tiende a cero.



Los métodos abie a biertos rtos de un unaa función función convergen convergen de una una manera manera más rápida que los métodos cerrados.


pág. 33


FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA 

El método méto do de d e punto fijo busca hallar hallar las raíces raíces en fun funci ciones ones de la forma atreves de aproximaciones sucesivas que converjan en la solución de la ecuación.



En los métodos cerrados. En ocasiones el método de la regla falsa puede volverse lento por lo que se requiere el método de la bisección.



En el método de NEWTON RAPHSON RAPHS ON cuando se tiene tie ne un máximo o un mínimo local la tendencia del método será oscilar alrededor del máximo o mínimo local, desenfocándose la raíz y perdiendo el efecto de búsqueda de raíces del método.



El método mé todo de la secante es un un método muy simple si mple pero muy utilizado. utilizado . Gracias a su rapidez y al hecho de que no hay derivadas como en la de newton. se planteara problemas y de ello se sabrá el número de multiplicidad.


pág. 34



CUADRO COMPARATIVO DE L OS DIFERENTES METODOS METODOS CUADRO DE COMPARACIÓN DE L OS MÉTODO MÉTODOS S MÉTODOS MÉTO DOS

Método de b isección

Método de falsa posición

Métod Mé todo o de la secante

Método d e Newton Newton Raphson Método d e Newton Newton Raphso Ra phso n Modificado Modificado Método de punto fijo


VENTAJAS VENTAJ AS

Robusto, no detecta singularidades, no necesita calcular f¨

En algunos casos es más rápido que de bisección, no necesita calcular f´

Rápido, no necesita calcular f’ Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. inicial.

DESVENTAJAS DESVENTAJ AS

Lento no usa información de f¨, no detecta ceros en min. o máx. Locales, no detecta un numero par de ceros. En algunos casos es más lento que el de bisección, no usa información de f, no detecta un número de par de ceros, no detecta ceros en mínimos locales. Mínimo y máximo locales. L ocales, necesita 2 aprox. I inicial. Mínimo y máximo. Locales, necesita.

Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. Inicial.

Necesita calcular f’ y f’’

Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. Inicial.

Necesita calcular f’ y f’’

Rápido, corto.

Transforma algebraicamente la ecuación, desde encontrar una raíz real.

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Es recomendable que se use un lenguaje de programación, para que sea más automatizada a comparación de hacerlo en una hoja de Excel, con la desventaja de extender celdas si el número de iteración es grande. Para el uso de cualquier método ya sean cerrados o abiertos, es importante utilizar previamente el método gráfico, para ver el comportamiento de la función y tomar un buen criterio para el uso de un método adecuado, a la vez será imprescindible para tomar los valores iniciales, más próximos a la raíz. Claro está que el grafico no proporciona la raíz exacta, sino solo una aproximación y con el valor estimado, o cercano a la raíz hallaremos el valor cuasi-real con un cierto grado de error relativo (%). El grado de convergencia de los métodos, depende en gran parte de los valores iniciales y de las propiedades de la función. En la función estudiada, se dio valores iniciales a los métodos cerrados de 100 y 170. En el método de la bisección se dieron 27 iteraciones para que su valor convergiera, en cambio en el método de la falsa posición y la falsa posición modificada se dieron 4 iteraciones, aquí se ve la diferencia de los métodos, por su rapidez de convergencia, en donde es recomendable uno de los métodos citados. Para la aplicación de los métodos abiertos se dieron como valor de partida x=100, en donde el método del punto fijo como de Newton Rapso convergieron en 7 iteraciones, mientras que el método de la secante fue inapropiado por la continuidad de su divergencia.


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Por ende, la recomendación, si usáramos el método cerrado se recomienda usar el método de la falsa posición o bien la falsa posición modificada, si se va a emplear el método abierto se recomendaría, el punto fijo o Newton Rapso. Es evidente que dependerá mucho de los valores iniciales con que parte el proceso de iteración.


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Pagina Pagi na web: http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/10737/Capitulo4.pdf

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Pagina Pagi na web: file:///C:/Users/la%20curacao/Downloads/Deflexi_n_y_Rigidez_Completo .pdf


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Metodos Numericos Aplicada a La Ingenieria Civil

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