Unidad II: Límite de funciones y Continuidad
Técnicas para determinar límites
lím x = a
x →a
Técnicas para determinar límites.
2.2. 2.2.11 2.2. 2.2.22 2.2.2. 2.2.2.11 2.2. 2.2.33 2.2. 2.2.44 2.2. 2.2.55 2.2. 2.2.66
Límit ímitees valu valuaable bles. Indete determ rmin inaacion cionees. Álgebr Álgebraa de infi infini nitos tos.. Lími Límite tess por por fact factor oriz izac ació ión. n. Lími Límite tess po porr raci racion onal aliz izac ació ión. n. Lími Límite tess de de fun funci cion ones es po porr par parte tes. s. Lími Límite tess de fun funci cion ones es con con val valor or abs absol olut uto. o.
2.2. 2.2.1 1
Límit ímites es valu valua ables bles..
1)
Si f es una funció funciónn con consta stante nte,, entonc entonces es x) = c para existe un número real c tal que f ( x toda x. La gráfica de f es la recta horizontal y = c que se muestra en la figura .
Ejemplos
lím x = 4
lím x = 2
x →4
x → 2
lím x = −1
x →−1
Teorema Si m, b y a son números reales arbitrarios, entonces
lím [ mx + b] = ma + b
x →a
Teorema
Sea n un entero positivo, entonces a) b)
lím x
n
= an
x → a
[
lím f ( x)
x → a
n
] = lím f ( x) x →a
n
[ f ( x )] exista. Siempre y cuando el xlím →a Es evidente que f ( x x) tiende a c, o que f ( x x) se puede x) toma el valor acercar arbitrariamente a c, puesto que f ( x c para toda c. Por lo tanto, lím c = c x →a
Ejemplos lím 7 = 7
Sea f ( x )
x →3
lím 2 = 2
lím 0 = 0
x →a
Con frecuencia se dice que el límite de una constante es la constante misma. x)= x para toda x, 2) Si f es la función lineal dada por f ( x La gráfica de f es la recta y = x, como se ilustra en la figura.
f ( x ) = (2 x 3 + 3) 4 , calcular xlím →− 1
Solución
lím f ( x ) = lím ( 2 x 3 + 3) 4 x →−1 x →−1
3 4 = lím ( 2( −1) + 3) = 1
lím 5 = 5
x → 2 x →5
Ejemplo
x →−1
Teorema Si f es un polinomio y a es un número real, entonces lím f ( x ) = f ( a ) x → a
Corolario Si q es una función
racional y a está en el dominio de q,
entonces lím q( x ) = q(a )
x →a
Ejemplos
3 x − 4 x →1 5 − x
Calcular lím Solución
El nu nume mera rado dorr y el deno denomi mina nado dorr del del coci cocien ente te son son funciones lineales cuyos límites existen, además el límite del denominador no es cero, en consecuencia lím ( 3 x − 4) 3(1) − 4 − 1 3 x − 4 = x →1 = = lím 5 −1 4 lím ( 5 − x ) x →1 5 − x x →1
x) = x, es claro que f ( x x) tiende a a cuando x Como f ( x tiende a a, es decir Profra. Martha Patricia Jiménez Villanueva
Teorema
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Unidad II: Límite de funciones y Continuidad
Técnicas para determinar límites
Si a>0 y n es un entero positivo, o si a≤ 0 y n es un entero positivo impar, entonces
lím f ( x )
x →a
Ahora se estudiarán técnicas analíticas para evaluar límites. 2.2.3
1)
Límites por factorización.
= Lim
2 x
3
x →3
− 6 x 2 + x − 3 x−3
lím f ( x) = lím
x →9
1)
f ( x )
≤1 x > 1 x
2) Sea f una función definida parte por parte de la siguiente manera
Límites por racionalización.
Ejemplos:
a)
3 x − 1 = 3 − x
a ) lím f ( x ) = lím 3 x − 1 = 2 x →1− x →1− b) lím f ( x ) = lím 3 − x = 2 x →1+ x →1+ c ) lím f ( x ) = 2 x →1
→
2.2.4
9 + 3 = 6.
Límites de funciones por partes.
→
→
=
2.2.5
2 x 2
2)
x + 3
x →9
x → 3
− 5 x + 2 lím 2 ´ x 2 5 x − 7 x − 6 ( x − 2)(2 x − 1) = lím x 2 ( x − 2)(5 x + 3) 2 x − 1 3 = lím = 13 x 2 5 x + 3
x
x → 9
para calcular el límite de f ( x) cuando x tiende a 9, podemos suponer que x ≠ 9. Por lo tanto, x – 9 ≠ 0 y es posible dividir el numerador y el denominador entre x--9; es decir, podemos cancelar la expresión x-9.
(2 x 2
+ 1)( x − 3) x − 3 x → 3 2 = Lim 2 x + 1 = 19 = Lim
x − 9
lím
−3 x − 9 x + 3 = lím x → 9 x − 3 x + 3 ( x − 9) ( x + 3) = lím x − 9 x → 9
x → 9
n n lím x = a
Hasta ahora hemos estimado límites numérica y gráficamente. Cada uno de estos valores produce un valor aproximado del límite.
=
lím f ( x) =
x → 9
x − 9 x −3
1 − x ( ) = f x 2 x −1
Para x < 1 Para x > 1
Observe que la gráfica no está definida en x=1.
Nótese que el número 9 no está en el dominio de la función, ya que al sustituir x por 9 se llega a la expresión
0 que no tiene sentido. Para evaluar el límite 0 cambiamos la forma de f ( x) racionalizando el denominador de la siguiente manera:
lím f ( x)
=
lím f ( x)
=
x →1−
x →1+
lím (1 − x)
x →1−
=0
2 lím ( x − 1)
x →1−
=0
Como los límites por la izquierda y por la derecha son f ( x) = 0 iguales, xlím →1 ¿Qué pasa con el límite de la función cuando x tiende a 1, si f (1) = 4?.
Profra. Martha Patricia Jiménez Villanueva
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Unidad II: Límite de funciones y Continuidad
2.2.6
Técnicas para determinar límites
Límites de funciones con valor absoluto.
Ejemplo
1)
Determinar el límite si existe. | x | lím x → a x
Solución
Observe que la función no está definida en x = 0. x Si x > 0, entonces | x | = x y f ( x) = = 1 . Por tanto, x lím+ f ( x) = lím+ 1 = 1. x → 0
x → 0
Si x < 1, entonces | x | = -x y f(x) = f ( x) = lím − 1 = −1. tanto, xlím x → − → − 0
− x x
= −1 . Por
0
Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se concluye que el límite de la función no existe.
Profra. Martha Patricia Jiménez Villanueva
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Unidad II: Límite de funciones y Continuidad
Ejercicios Técnicas para determinar límites
Técnicas para determinar límites 2 11) lim 16 − x x → 4
12) lim I.-
x →− 3
Trace la gráfica de la función f definida por partes y determine los límites si es que existen.
a) lím f ( x) b) lím f ( x) c) lím f ( x) x →1
1)
−
x →1
+
| x − 1 | x 2 Para x ≠ 1 f ( x) = x − 1 0 Para x = 1 x 2 + 1
2)
f ( x) = 1 x + 1
3) f ( x)
4) f ( x) II.-
x →1
Para x < 1 Para x = 1 Para x > 1
x 2 − x + 12
13) lím x →3
x → 2
3 x 2 − 13 x − 10 2 x →5 2 x − 7 x − 15
15) lím
2 − t − 2
16) lim
t
t → 0
| x − 1 | = 1
Para x < 1 Para x ≥ 1
3 x − 1 = 3 - x
Para x ≤ 1 Para x > 1
17) lím h →0 18)
5 x − 3
x − 1 x + 3 − 2
lim ( 5 x − 2 x + 3 ) x → 4
2
2 x
lím
4
x →16
+
x
x
+
3/ 2
−4 lím x → 2 x − 2
lím
x →16
h
h →0
2 x ( x − 1) x − 1
21) lim x →1−
22) lím 1
x − 2 3
20) lim
( h − 5 ) − 25
5
x 2
x →2 x
9)
+
x → 12
2
8) lím
h
lím 6 x 2 − 7 x + 2
x →1
7)
( x + h)3 − x3 2 x 2
19) lim
6)
2 x3 − 6 x 2 + x − 3 x−3 6 − x − 2 3 − x − 1
14) lim
Utilice simplificaciones algebraicas como ayuda para evaluar el límite, si es que existe.
5)
x + 3
x → 2
x 2 − x 2 x 2 + 5 x − 7
− 18
x − 16 x
23) lím ( t + 1) t →− 2
−4
h3 − 8 10) lím 2 h →2 h − 4 Profra. Martha Patricia Jiménez Villanueva
24) lím h →0
9
( t − 1) 2
( x + h)2 − x 2 h
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Unidad II: Límite de funciones y Continuidad
x
2 −1 x
a)
25) lím x →1 x − 1 26) lim
27)
c)
lím f ( x) = 2
b) lím − f ( x) = 2 x →3
lím f ( x) = 4
d) f (3) = 3
x → −2 x →3
+
f) f ( −2) = 1
x 4 − 16 x − 2
x → 2
Técnicas para determinar límites
3 x 2 + ax + a + 3 ¿Hay un número a tal que lím x 2 x 2 + x − 2 →−
1 − 2 lim x 1 x − 1 x 2 − 1
exista? Si es así, determina los valores de a y del límite.
→
1
( 3 + h) − 3 1 −
28) lim
h
h →0
x 2 + 8 − 3
29) lim
x + 1
x →− 1
3
30) lim
3h + 1 + 1
h →0
31) lim v→2
−
v3 − 8 v 4 − 16
32) lim
x →− 2+
x 2 x + 5 x + 1 x 2 + x h 2 + 4h + 5 − 5
33) lim
h
h → 0+
1 1
34) lim − x 0 x x →
−
35) Si lim
f ( x ) − 5 x − 2 f ( x )
x → 4
36) Si lim 37) Si lim x → 2
38) Si lim x → 2
→
= 1 hallar xlim2 f ( x)
x 2 f ( x ) − 5
x →− 2
f ( x) = 1 hallar lim x 4
x − 2 f ( x ) − 5 x − 2
→−
f ( x) = 3 hallar lim x 2 →
f ( x) = 4 hallar lim x 2 →
39) Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.
Profra. Martha Patricia Jiménez Villanueva
61
