Geometría Unidad 3. Tr Trigonometría igonometría y Circunferencia
Nombre: René Ramírez Iñiguez
Matrícua: !"#$%#%'(
Materia: Geometría
Gru)o: MT*MG!+*#(&%"*,#*&
-ic. en Matemtica/
0go/to de %(
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia 0cti1idad #.
1. Investiga las definiciones de las seis funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
cos α = CA/H sen α = CO/H tan α = CO/CA sec α = H/CA csc α = H/CO ctg α = CA/CO 2. Con base en estas definiciones calcula el valor de las funciones trigonométricas !ara los ángulos notables "#$% &$% ' ()%* +n un c,rculo con radio = 1 su !ro'ecci-n sobre el ee vale 0 cuando el ángulo es de &$% de igual manera su !ro'ecci-n sobre el ee ' vale 0 cuando el ángulo es de #$%. e esta manera cuando el ángulo vale #$% !odemos obtener los siguientes valores 2
H =C O
2
1
2
+C A
( )+
=
1
1 2
2
CA
= +C A
1
4
2
2
2
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia 1
− =C A
1
3 4
2
4
2
=C A
3
CA=
4
=
√ 3 √ 3 = √ 4 2
Cuando el ángulo vale &$% !odemos obtener los siguientes valores 2
H =C O
2
1
2
+C A
()
2
=C O +
2
=C O +
1
3 4
1
2
2
1 4
1
− =C O
1
2
2
4
2
=C O
CO =
√
3 4
=
√ 3 √ 3 = √ 4 2
+n el caso de la tangente el cateto o!uesto es igual al cateto ad'acente. 3or lo tanto 2
H =C O
2
1
1 2
2
=2 C O 2
=C O
+C A
2
2
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia CO =
CO =
√
1 2
1
√ 2
= √ = 1
√ 2
1
√ 2
( )
√ 2 = √ 2 2 √ 2
Al desarrollar las relaciones trigonométricas se obtienen los valores de la siguiente tabla.
30º cos α
sen α
tan α
60º √3
1
2
2
1
√3
√2
2
2
2
√3
1
√3 3
sec α
2
√3
csc α
ctg α
45º
2
2
√2 2
2
√2
2
2
√3
√2
3
1
√3
√3
1
#. Investiga ' reali4a las gráficas de las funciones trigonométricas ' escribe una breve rese5a de cada una.
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia
6a gráfica de cos"* es !eri-dica tiene origen en "$1* !eriodo de 27 am!litud de 1 máimo en 1 ' m,nimo en 819 cos"* = $ en 7/2 ' #7/2.
6a gráfica de sen"* es !eri-dica tiene origen en "$$* !eriodo de 27 am!litud de 1 máimo en 1 ' m,nimo en 819 sen"* = $ en 7 ' 27.
6a gráfica de tan"* es !eri-dica tiene origen en "$$* !eriodo de 7 am!litud : máimo en ;: ' m,nimo en 8:9 tan"* = $ en 7 ' 87.
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia
6a gráfica de sec"* es !eri-dica tiene origen en "$1* !eriodo de 7 am!litud : máimo en ;: ' m,nimo en 8:.
6a gráfica de csc"* es !eri-dica tiene origen en "$ >:* !eriodo de 7 am!litud : máimo en ;: ' m,nimo en 8:.
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia 6a gráfica de ctg"* es !eri-dica tiene origen en "$>:* !eriodo de 7 am!litud : máimo en ;: ' m,nimo en 8:9 ctg"* = $ en 7/2 ' 7/2.
(. Investiga la definici-n de identidad trigonométrica ' escribe cuáles son las identidades trigonométricas ?ue eisten. +s una igualdad entre e!resiones ?ue contienen funciones trigonométricas ' es válida !ara los valores del ángulo en los ?ue están definidas las funciones.
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia
). @esuelve ?ue se cum!len las siguientes identidades
sen ( x )
1*
1
−cos ( x )
=csc ( x )
debido a ?ue
1
( )=
csc x
( )
sen x
( ) 1 = 1 −cos ( x ) sen ( x ) sen x
2
se n ( x ) 1
−cos ( x )
=1
2
debido a ?ue
−cos ( x ) =1 1 −cos ( x ) 1
2
−cos ( x )=1 −cos ( x )
1
2
( )=1 −cos ( x )
sen x
2
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia −cos ( x ) ≠ 1 −cos ( x ) lo cual es una contradicci-n. 3or lo 2
1
in embargo
( ) =csc ( x ) NO se cumple. tanto la identidad 1 −cos ( x ) sen x
2*
( )+ tan ( x )=
sec x
( )=
tan x
( ) 1− sen ( x ) cos x
debido a ?ue
sec ( x )=
1
sen ( x )
'
sen ( x )
( )
cos x
( ) cos ( x ) cos ( x ) 1− sen ( x ) 1
1
+
sen ( x )
=
cos x
cos ( x ) + sen ( x ) = cos ( x ) 1 −sen ( x )
(1 +sen ( x ) )( 1− sen ( x ))= cos ( x ) 2
2
2
− se n ( x )=cos ( x )
1
2
2
=cos ( x )+ se n ( x )
1
+sta Bltima ecuaci-n es una identidad conocida ' ?ue es verdadera. 3or lo tanto
la identidad
2
( )+ tan ( x )=
sec x
( ) 1− sen ( x ) SÍ se cumple. cos x
( )− tan ( x ) = sen ( x ) csc ( x ) 2
se n x
#*
se n ( x ) −tan ( x )=sen ( x ) csc ( x ) 2
2
debido a ?ue
csc ( x )=
1
sen ( x )
Geometría Unidad 3. Trigonometría y Circunferencia 2