Miner Javier - Matematica Financiera

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Matemática Financiera J Jaa v i e r M i n e r REDUCE TU TIEMPO DE ESTUDIO

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525 PROBLEMAS RESUELTOS ÚTIL PARA PROFESIONALES PROFESIONALES DE LA BANCA Y OTRAS INDUSTRIAS INDUSTRIA S PARA ESTUDIANTES DE GRADO Y POSTGRADO Utilízalo para las siguientes asignaturas: M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A

D I RE CC I Ó N F I N AN C I E R A

INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS

Matemática Financiera

Matemática Financiera

Javier Miner Aranzábal Profesor Profesor titular del Departamento de Finanzas y Contabilidad ESTE Universid Universidad ad de Deusto, San Sebastián Sebastián

MADRID  BUENOS AIRES  CARACAS  GUATEMALA  MÉXICO NUEVA NUEVA YORK  PANAMÁ  SAN JUAN  BOGOTÁ  SANTIAGO  SÃO PAULO AUCKLAND  HAMBURGO  LONDRES  MILÁN  MONTREAL  NUEVA NUEVA DELHI DELHI  PARÍS SAN FRANCISCO  SIDNEY  SINGAPUR  SAN LUIS  TOKIO  TORONTO

MATEMÁTICA FINANCIERA

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2005, respecto a la primera edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-9829-8 Depósito legal: Editora: Ana Navarro Asist. editorial: Amelia Nieva Compuesto en Vuelapluma, S. L. Impreso en IMPRESO EN ESPAÑA ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN SPAIN

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1

... ..... ..... ..... ..... .... ..... .....

IX

ALGUNAS CONSIDERACIONES INICIALES . . . . . .

1

Un poco oco de de teo teorí ríaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 3

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES . . . . .

5

Un poco oco de de teo teorí ríaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El inter nterés és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor alorac ació ión n de de cap capit ital ales es por por int inter erés és simp simple le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La in inflaci ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Venci encimi mien ento to medio edio y ven venci cim mien iento comú común n . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Tasa asa de de reca recarrgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prob Proble lema mass res resue uelt ltos os y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 8 9 11 12

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTOS . Un poco poco de teo teorí ríaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor alorac ació ión n de de cap capit ital ales es por por int inter erés és comp compue uest sto o . .. .. .. .. .. .. .. . Valor actual y valor final para períodos de capitalización no ent enter eros os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor alor actu actual al y val valor or fina finall cua cuand ndo o var varía ía el tipo tipo de inte interé réss . . . . . . . . Capi Capita tali liza zaci ción ón frac fracci cion onad adaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasa anual equivalente Prob Proble lema mass res resue uelt ltos os y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 4

1

RENTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un poco poco de teo teorí ríaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intr Introd oduc ucci ción ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clas Clasif ific icac ació ión n de de las las rent rentas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

35 35 35 38 39 40 47

77 77 77 78

VI

MATEMÁTICA FINANCIERA

CAPÍTULO 5

RENTAS CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un poco poco de teo teorí ríaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULOS 6

CAPÍTULO 7

CAPÍTULO 8

81 81

Valor alor actu actual al y fin final al de rent rentas as cons consta tant ntes es,, ente entera ras, s, temp tempor oral ales es . . . . .

81

Valor alor actu actual al de ren renta tass con const stan anttes, es, ent enteras eras,, ind indefin efinid idas as . . . . . . . . . . Valor alor actu actual al de rent rentas as cons consta tant ntes es,, peri periód ódic icas as,, inde indeffinid inidas as . . . . . . . . Valor alor actu actual al y final inal de rent rentas as cons consta tant ntes es,, peri periód ódic icas as,, temp tempor oral ales es . .

86 88 90

Rent Rentas as frac fracci cion onad adas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Prob Proble lema mass res resue uelt ltos os y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

RENTAS EN EN PROGRESI ESIÓN GEOM EOMÉTRICA . . . . . . .

121

Un poc poco o de teor teoría ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 121

Valor actual de rentas en progresión progresión geométrica, enteras, inde indeffinid inidas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 121

Valor alor act actua uall de de rent rentas as en en PG peri periód ódic icas as,, inde indefi fini nida dass . . . . . . . . . . . .

127 127

Valor alor actu actual al y fin final al de rent rentas as en PG peri periód ódic icas as,, temp tempor oral ales es . . . . . .

130 130

Prob Proble lema mass resu resuel elto toss y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 133

RENTAS EN EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA . . . . . . .

145


145 145

Valor actual de rentas en progresión progresión geométrica, enteras, inde indeffinid inidas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145

Valor alor act actua uall y fin final al de de rent rentas as en en PA PA ente entera ras, s, temp tempor oral ales es . . . . . . . . .

148 148

Valor alor act actua uall de de rent rentas as en en PG peri periód ódic icas as,, inde indefi fini nida dass . . . . . . . . . . . .

151 151

Valor alor actu actual al y fin final al de rent rentas as en PA per perió iódi dica cas, s, temp tempor oral ales es . . . . . .

152 152

Prob Proble lema mass resu resuel elto toss y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 155

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS . . . . . . . . . . . .

16 5


165 165

Reem Reembo bols lso o únic único o o amo amort rtiz izac ació ión n a pla plazo zo fij fijo o . . .. . .. . .. . .. . .. .

165 165

Tanto anto efe efect ctiv ivo o de los los prés présta tamo moss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166 166

Amortización «In fine» o reembolso único con pago periódico de inte intere rese sess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 168

Cuot Cuotaa de amor amorti tiza zaci ción ón con const stan ante te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170 170

Sist Sistem emaa fran francés cés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171 171

Sist Sistem emaa amer americ ican ano o . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

177 177

Amor Amorti tiza zaci ción ón volun olunta tari riaa de de pré prést stam amos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 182

Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

CONTENIDO V I I

CAPÍTULO 9

VALORACIÓN DE BONOS Y ACCIONES . . . . . . . . Un poc poco o de teor teoría ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos ipos de bono bonoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cómo Cómo se valor aloran an los los bon bonos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acci Accion ones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cómo Cómo se valor aloran an las las acci accion ones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prob Proble lema mass resu resuel elto toss y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 10 10

CRITERIOS DE DE VA VALORACIÓN DE DE IN INVERSIONES . . Un poc poco o de teor teoría ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perí Períod odo o de de recu recupe pera raci ción ón,, Payb Paybac ack k . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Valor alor Actu Actual al Net Neto o (VAN (VAN)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasa asa Inte Intern rnaa de Renta Rentabi bili lida dad d (TIR (TIR)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El efec efecto to fin fin de de año año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nota Notass fina finale less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prob Proble lema mass resu resuel elto toss y pro propu pues esto toss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APÉNDICE I

APÉNDICE II II

225 225 225 225 225 226 226 229 229 229 229 231 231

241 241 241 242 242 242 242 243 243 244 244 245 245 246 246

TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

Tabla abla 1. 1. Val Valor or fin final al de de un cap capit ital al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla abla 2. 2. Val Valor or act actua uall de un un capi capita tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla abla 3. 3. Val Valor or fin final al de de una una rent rentaa cons consta tant nte, e, ente entera ra,, temp tempor oral al . . . . . . . . Tabla abla 4. 4. Val Valor or act actua uall de una una rent rentaa cons consta tant nte, e, ente entera ra,, temp tempor oral al . . . . . . . Tabla abla 5. 5. Cuot Cuotaa de cap capit ital aliz izac ació ión n . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Tabla abla 6. 6. Cuot Cuotaa de amor amorti tiza zaci ción ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla abla 7. 7. Valor alor act actua uall de una una rent rentaa cons consta tant nte, e, peri periód ódic ica, a, inde indefi fini nida da . . . .

258 258 273 273 288 288 303 303 318 318 333 333 348 348

FORMULARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

¿Quién le ha dicho que la Matemática Financiera puede con usted? He escrito este libro con varios objetivos en mente: Demostrarle que usted puede con la Matemática Financiera y que puede aprenderla de forma autónoma. Sorprenderle con la velocidad a la que puede aprender y pasar a la acción: aplicar lo aprendido. Divertirle en este proceso de aprendizaje, arrancarle algunas sonrisas o incluso alguna carcajada. Conseguir que la Matemática Financiera le seduzca porque le va a servir para aplicarlas en el ámbito profesional y en el de sus finanzas personales.

PARA QUIÉN HE ESCRITO EL LIBRO Para usted que está en la Universidad y estudia Matemática Financiera, Introducción a las Finanzas o Dirección Financiera. Para usted, profesional de la Banca, que necesita tener este tipo de conocimientos. Para usted, profesional de otras industrias, que quiere empezar a aprender Finanzas.

ESTRUCTURA DEL LIBRO Los 10 capítulos del libro contienen un poco de teoría, que se explica con 102 Ejemplos resueltos, y una colección de 423 Problemas adicionales, lo que supone un total de 525 «historias». ¿Por qué les llamo historias? Porque los problemas financieros reales son historias que les suceden a las empresas y a las personas. ¿Por qué utilizo historias como estrategia pedagógica? Para que usted las experimente como pro pias, para implicarle emocionalmente. Las historias provocan emociones y pretendo que la Matemática Financiera, a través de esas emociones, le seduzca. Además, las historias pueden ser divertidas, espero que alguna de las mías lo sean, y yo creo que divertirse beneficia seriamente la salud (mental). Al final de cada capítulo hay historias, llamadas Problemas, para que usted aplique lo que ha aprendido. Se trata de consultas que usted recibe en un pequeño negocio que ha montado: una consultoría financiera virtual (www.mof.mof). Muchas (www.mof.mof). Muchas de estas consultas están resueltas, algunas tienen pistas para resolverlas además de la respuesta, y otras sólo tienen su respuesta. Al final del libro encontrará unas herramientas herra mientas que pueden serle útiles: unas tablas financieras, que le pueden ahorrar tiempo, y un formulario, para que no se aprenda las fórmulas de memoria.

ALGUNAS CUESTIONES CUESTIONES DE INTERÉS A lo largo del libro, insistiremos insistiremos en la importancia de de representar los problemas financieros que se nos plantean en forma de gráfico de flujos de dinero, esto nos ayudará a resolverlos. IX

X

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Vamos a usar fórmulas. No les tenga miedo, lo que importa es que las entienda, no que se las sepa de memoria. Verá que me gusta emplear problemas «tapados». Son problemas en los que usted está resolviendo operaciones más sofisticadas de lo que cree y de las que hablaremos en capítulos posteriores. Esto me permite empezar esos capítulos con «buenas noticias».

AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS A mi familia: Olga, con quien tengo la suerte de estar casado, Alexandra y Pablo, mis hijos. hijos. Me han animado y han tenido la generosidad de perdonarme que terminara el libro en mis-sus vacaciones. A McGraw-Hill, y en especial a Silvia Figueras y Ana Navarro por volver a confiar en mí y en mi forma de escribir. A todas las personas que, por un motivo u otro, decidan utilizar utilizar este libro.

FINALMENTE Tanto McGraw-Hill como yo nos hemos esforzado para que esta obra no tenga errores. Reconozco que no es fácil lograrlo con este tipo de materias. En todo caso, le pido perdón por las erratas que no hayan sido detectadas, la culpa, si las hay, es exclusivamente mía.

UN POCO DE TEORÍA Una operación financiera es un intercambio temporal de capitales.

EJEMPLO 1.1 Usted presta 1.000€ al 10% de interés anual a un año. ¿Cuánto dinero cobrará dentro de un año? ¿C1? Año

0 1.000

1

Para calcular C1 hacemos: C1  1.000  0,1 * 1.000 C1  1.000 + 0,1*1.000 es la ecuación de equilibrio financiero. financiero. Resolviendo la ecuación tenemos que C1  1.100€. La Matemática Financiera, MF, nos sirve para calcular que, para un 10% de interés anual, 1.000€ hoy son equivalentes a 1.100€ dentro de un año, o visto de otra forma, 1.000€ hoy tienen un valor de 1.100€ dentro de un año. Si usted presta sus 1.000€ al 20% de interés anual, el valor de su dinero, o el capital equivalente, dentro de un año no será 1.100€, sino: C1 1.000  0,2 * 1.000  1.200 Los elementos de una operación financiera son: Prestación: Prestación: uno o varios capitales que constituyen el origen de la operación. Contraprestación: Contraprestación: uno o varios capitales entregados a cambio de la prestación. 1

2

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Ley financiera: financiera: modelo empleado para mover el dinero en el tiempo. Tiempo: Tiempo: duración de la operación. En el Ejemplo 1.1, usted prestaba 1.000€ al 10% de interés anual a un año, la MF nos ha permitido calcular que dentro de un año cobrará 1.100€. 1.100 Año

Prestación: Contraprestación:

0 1.000

1.000€ 1.100€

1

Tipo de Interés: 10% anual Tiempo: 1 a ño

EJEMPLO 1.2 Usted recibe hoy un préstamo bancario de 15.000€ al 12% de interés anual para comprar un coche y quiere devolver el préstamo mediante 4 pagos trimestrales iguales. La MF nos sirve para calcular que cada trimestre debe pagarle 4.035,41€ al banco.

Mes

4035,41

4035,41

4035,41

4035,41

3

6

9

12

0 15.000


15.000€ 4 pagos trimestrales de 4.035,41€

Tipo de Interés: 2% anual Tiempo: 1 a ño

EJEMPLO 1.3 Usted tiene que hacer dos pagos de 6.000€ cada uno dentro de 5 y 6 años. Para asegurarse que tendrá ese dinero, usted decide ingresar 4 capitales iguales, durante los próximos 4 años, en una cuenta que le produce un interés del 6% anual. La MF nos sirve para calcular que debe ingresar 2.514,59€ anuales durante los próximos 4 años.

Año

0

1

2

3

4

2514,59

2514,59

2514,59

2514,59


4 pagos anuales de 2.514,59€ 2 co cobros an anuales de de 6. 6.000€

6.000

6.000

5

6

Tipo de Interés: 6% anual Tiempo: 6 añ años

CAPÍTULO 1

ALGUNAS

CONSIDERACIONES INICIALES

3

Tipos de operación financiera. Operación financiera simple: la prestación y la contraprestación están formadas por un sólo capital. Ejemplo 1.1. Operación financiera compleja: la prestación, la contraprestación, o ambas, están compuestas por varios capitales. Ejemplos 1.2 y 1.3. El gráfico de flujo de fondos. Es la herramienta que utilizamos para ayudarnos a entender las operaciones financieras. Este gráfico no es más que una recta en la que representamos el tiempo y a la que incorporamos los capitales que conforman una operación financiera, las entradas y salidas de dinero, y sus respectivos vencimientos. La matemática financiera sirve para mover el dinero en el tiempo. Diferi Diferirr o calc calcula ularr el valor valor final final:: moverlo hacia la derecha del gráfico. Actual Actualiza izarr o calcul calcular ar el valor valor actual actual:: moverlo hacia la izquierda del gráfico. En las operaciones financieras debe haber equilibrio financiero entre la prestación y la contraprestación, ambas magnitudes deben ser equivalentes En el Ejemplo 1.1: 1.000€ hoy son equivalentes, para un 10% de interés anual, a 1.100€ dentro de un año. En el Ejemplo 1.2: 15.000€ hoy son equivalentes, para un 12% de interés anual, a 4 capitales de 4.035,41€ recibidos en los meses 3, 6, 9 y 12. En el Ejemplo 1.3: 2.514,59€ durante los próximos 4 años son equivalentes, para un 6% de interés anual, a 2 capitales de 6.000€ recibidos en los años 5 y 6. La ecuación de equilibrio financiero es el instrumento que nos permite calcular estas e stas equivalencias financieras. La ecuación de equilibrio financiero nos permite resolver los 4 tipos de problemas que existen: Calcular Calcular la contraprest contraprestación ación:: conocidos la prestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplos 1.1 y 1.2. Calcular Calcular la prestació prestación n: conocidos la contraprestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplo 1.3. Calcular Calcular la ley financier financieraa: conocidos la prestación, la contraprestación y el tiempo. Calcular Calcular el tiempo: tiempo: conocidas la prestación, la contraprestación y la ley financiera. Veremos dos leyes financieras de capitalización: Ley financiera de capitalización simple. Ley financiera de capitalización compuesta. Veremos tres leyes financieras de descuento: Ley financiera de descuento simple racional. Ley financiera de descuento simple comercial. Ley financiera de descuento compuesto.

UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS El tipo de interés es el precio del dinero, la rentabilidad que queremos obtener de nuestras inversiones. Cuanto más arriesgada sea una inversión, mayor será la rentabilidad que queramos obtener con la misma. Tipo de interés

Rentabilidad libre de riesgo

Prima de riesgo

Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: En tanto por uno:

0,06

En tanto por cien: En puntos básicos: En puntos porcentuales:

6% 600PB 6PP

6    6% = 100 = 0,06    (6%  6*100  600PB) (6%  6PP)

VALORACIÓN VALORACIÓN DE CAPITALES CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE La capitalización simple es una de las leyes que pueden emplearse para valorar el dinero en el tiem po. Utilizar esta ley implica que los intereses son improductivos, se calculan sólo sobre la prestación. La fórmula de interés simple es: Interés  P * r * t «P» es la prestación o el principal. «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 5

6

MATEMÁTICA

FINANCIERA

«t» es el tiempo, la duración de la operación. «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o fracción de año.

EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual?

9 = 45 12 Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r»  6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año). Interés = 1.000 000 ∗ 0, 06

El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C 0, más los intereses que genera.

Ct = C0 + C0 ∗ r ∗ t ⇒ sacamos C 0 factor factor común INTER INTERÉS

⇒ Ct = C0 1 ( + rtt)) EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? ¿C9? Mes

0 1.000

 

9

C9 = 1.000 000 1 + 0, 06

9  = 1.045 12  

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct  C0(1rt). Nos queda:

C0 =

Ct (1 + rt )

EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? 2.000 Mes

C0 =

0 ¿C0?

8

2.000 = 1.923, 08  1 + 0, 06 8   12   

CAPÍTULO 2

CAPITALIZACIÓ APITALIZACIÓN N

Y DESCUENTO DESCUENTO SIMPLES SIMPLES

7

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0  Ct (1dt) Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0  Ct (1  rt)

EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? 2.000 Mes

0 ¿C0?

 

C0 = 2000 000  1 − 0, 06

8

8  = 1.920 12  

Compare los Ejemplos 2.3 y 2.4. Observará que el valor actual de un capital que vence dentro de 8 meses depende del modelo empleado para mover el dinero en el tiempo, de la ley financiera descuento racional o descuento comercial que apliquemos. ¿Y qué se aplica en la «vida real», descuento racional o comercial? comercial? Hay operaciones en las que no puede elegir, por ejemplo, en el descuento de letras, en el que se aplica el descuento comercial. Cuando pueda elegir, debe optar por la ley financiera que sea más beneficiosa para sus accionistas. Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. d r= 1 − dt Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos:

r =

0,06

= 0, 0625 8 1 − 0, 06 12 Esto quiere decir que el interés anticipado descuento comercial que nos han cobrado, 6% anual, es equivalente a que nos hubieran cobrado un interés vencido descuento racional del 6,25% anual. Volvemos sobre el Ejemplo 2.4. 2.000 Mes

0 ¿C0?

8

8

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuando nos aplicaban un descuento comercial del 6% anual, nos daban:

 

C0 = 2.000 000 1 − 0, 06

8  = 1.920 12  

Si nos hubieran aplicado un descuento racional del 6,25% anual, hubiéramos cobrado la misma cantidad:

C0 =

2.000 8  1 + 0, 0625 625   12   

= 1.920

Ct ; C = Ct (1 − rt ) son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza(1 + rt ) 0 remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitalización simple. Ct = C0 1 ( + rt ); C0 =

LA INFLACIÓN Usted invierte hoy su dinero al 8% de interés anual y a un año. Suponga que durante ese año la inflación resulta ser del 8%. El interés real, rr, que ha obtenido es el 0%. La inflación se ha «comido» todo su interés nominal, rn, el 8% al que había invertido su dinero. La relación que hay entre el interés nominal, rn, el interés real, rr, y la inflación, i, es: (1 rn)

(1 rr) (1 i)

EJEMPLO 2.5 D. Francisco Segurola quiere invertir su dinero obteniendo una rentabilidad real del 14% a un año. La inflación esperada para el año que viene es el 8%. D. Francisco, cree que debería invertir su dinero al 22% nominal (14%8%), pero, por si sus cálculos no son correctos, nos pide que le calculemos el tipo de interés nominal al que debe invertir su dinero.

1 + rn = 1,14 * 1, 08 ⇒

⇒ rn = 114 , * 1, 08 − 1 = 0, 2312 = 23,12% EJEMPLO 2.6 D. Francisco está muy enfadado. El año pasado invirtió su dinero al 23,12% y la inflación de este año ha sido el 10%, en vez del 8% esperado, por lo que calcula que la rentabilidad real que ha obtenido es el 13,12% (23,12%10%), lejos del 14% que deseaba. D. Francisco nos pide que le calculemos con exactitud la rentabilidad real de su inversión.

Si (1+rn ) = (1 + rr )(1 + i) ⇒

⇒ rr = rr =

1 + rn −1 1+ i

1, 2312 − 1 = 0,11927 = 1111, 93% 1,1

CAPÍTULO 2



9

VENCIMIENTO VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN Un conjunto de capitales con distintos vencimientos pueden sustituirse por otro capital, suma de los anteriores, si éste se paga en la fecha del vencimiento medio (VM) de los capitales iniciales. Si sustituimos un conjunto de capitales con distintos vencimientos por otro capital, que no resulta ser igual a la suma de los anteriores, la fecha en la que paga este capital recibe el nombre de vencimiento común (VC). El VM es la media ponderada de los vencimientos de varios capitales.

EJEMPLO 2.7 Debemos a un proveedor proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar liquidar esta deuda mediante un único pago de 3.000 . ¿En qué fecha debe hacerse este pago? Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

1.000

1.000

30

60

90

¿VM? 3.000

El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . CAPITALES 1.000 1.000 1.000

DÍAS 30 60 90

NÚMEROS 30.000 60.000 90.000

3.000

180.000

VM =

meros 180.000 ∑ Números = = 60 días Capitales 3 . 000 ∑

Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos.

VM =

30 + 60 + 90 = 60 días 3

Cuando, además de ser los capitales iguales, sus vencimientos son a plazos regulares, como es nuestro caso, podemos calcular el VM dividiendo entre 2 la suma del primer vencimiento más el último. 60 + 90 VM = = 60 días 2

10

MATEMÁTICA

FINANCIERA

El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja.

EJEMPLO 2.8 Debemos a un proveedor proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago que haremos dentro de 75 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactamos un interés del 12% anual? El gráfico que representa la operación es el siguiente: 1.000 Vencimiento, días

1.000

30

1.000

60 75 ¿C75?

90

Por el Ejemplo 2.7, 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C75? Día

60 3.000

75

Ahora sólo tenemos que diferir diferir estos 3.000 3.000 , moverlos 15 días hacia hacia la derecha. Haremos los cálculos empleando años comerciales, 360 días, y años naturales, 365 días. Ct = C0 (1 + rt )

15   = 3.015 360    15   C75 = 3.000 000 1 + 0,12 = 3.014, 79 365    C75 = 3.000 000 1 + 0,12

Como a nuestros accionistas les interesa pagar lo menos posible, deberíamos utilizar años naturales en esta operación. Claro que a los accionistas de nuestra empresa proveedora les interesa cobrar lo más posible, por lo que serían partidarios de utilizar años comerciales, ¿no cree?

EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere quiere calcular el interés interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 2.900 que reci be hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. Empezamos por el gráfico de la operación.

Día

0 2.900

1.000

1.000

1.000

30

60

90

CAPÍTULO 2



11

Este gráfico representa una operación financiera compleja. Si calculamos el VM de estos tres capitales, la convertimos en una operación financiera simple. Ya Ya sabemos, por el Ejemplo 2.7, que el VM de estos capitales es el día 60, por lo que el gráfico que podemos construir es el siguiente: 3.000 Día

0 2.900

60

La ecuación de equilibrio financiero, C0(1rt)  Ct, nos permite calcular el coste de esta financiación, el tipo de interés que nos cobran por la misma. Si empleamos años comerciales:

 

2.900  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,20689 = 20,69% 360  

Si empleamos años naturales:

 

2.900  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,20977 = 20,98% 365  

TASA DE RECARGO Las tasas de recargo son una forma de expresar en % el coste de una financiación. Pero tenga cuidado, la tasa de recargo no es el tipo de interés de la financiación (permítame un consejo: no se crea lo que le digan, haga siempre sus propios cálculos para evitar sorpresas desagradables). Veamos Veamos su funcionamiento.

EJEMPLO 2.10 Usted quiere comprar un un coche 4d que tiene tiene un precio al contado contado de 15.000 . 4d le ofrece financiarfinanciarlo a un año, pagando, a partir del mes que viene, 12 cuotas mensuales iguales. 4d aplica en sus financiaciones una tasa de recargo del 8% anual. ¿Cuál es el importe de cada cuota? Precio del coche al contado: 15.000 Precio del coche financiado: 15.000  0,08 * 1(año) * 15.000  16.200

Cuota mensual =

Coche financiado 16.200 = = 1.3350 50 Número de cuotas cuotas 12

Para calcular el tipo de interés al que resulta esta financiación, debe seguir los pasos del Ejem plo 2.9. 1. Gráfic Gráficoo de la oper operaci ación ón fina financi nciera era comple compleja. ja. 2. Cálcul Cálculoo de dell VM VM de la cont contrap rapres restac tación ión (los (los 12 pag pagos os de de 1.350 1.350 ). 3. Gráfic Gráficoo de la oper operaci ación ón fina financi nciera era simple simple.. 4. Ecuaci Ecuación ón ddee equili equilibri brioo financ financier ieroo y despe despejar jar «r». «r». Si la financiación financiación fuera fuera a dos años, usted pagaría pagaría 24 cuotas mensuales mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000  0,08 * 2(años) * 15.000  17.400

12

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuota mensual =

Coche financiado 17.400 = = 7255 Número de cuotas cuotas 24

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1.

Su prima Irma quiere comprar una plaza de garaje que cuesta 15.000 . Irma quiere pagar pagar la plaza dentro de 8 meses y su propietario acepta darle esta financiación con un interés del 9% anual. ¿Cuánto deberá pagar Irma dentro de 8 meses?

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. ¿C8? Mes

0 15.000

8

Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

C8 = 15.000 1 + 0,09

8  15.900 = 12  

2.

¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16 16.200

3.

Doña Generosa, su vecina del 3º y «Gene» para los amigos, amigos, ha abierto una una cuenta de 6.000 a nom bre su sobrina Tinagera, Tinagera, «Tina», que hoy cumple 13 años. La La cuenta ofrece un interés del 6% anual y Tina le pregunta cuánto dinero habrá en la cuenta cuando alcance su mayoría de edad, dentro de 5 años.

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. ¿C5? Año

0 6.000

5

Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt ) C5 = 6.000 (1 + 0,06 ∗ 5 ) = 7.800

CAPÍTULO 2



13

4.

Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universitaria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240

5.

Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400

6.

Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere quiere pagar 15.675 15.675 . ¿En qué fecha debe debe pagar esta cantidad cantidad??

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. 15.675 Mes

0 15.000

t

Se trata de calcular la duración de la operación, el tiempo. Planteamos la ecuación de equili brio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

15.6 15.675 75 = 15.0 15.000 00 1 + 0,09 0,09

t  ⇒ t = 6 mese mesess 12  

Fíjese que la ecuación nos dice que «t» es igual a 6 doceavas partes de año, por lo tanto 6 meses. Si planteamos el tiempo en años tenemos:

15.675 = 15.000 (1 + 0,09 ∗ t ) ⇒ t = 0,5 a ños = 6 meses 7.

¿Cuándo tendría que que pagar Irma 15.506,25 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días.

8.

Su tío Pío Pío compró compró acciones acciones de yaquien yaquien.mof .mof a 10 10 y 4 meses meses más tarde tarde las vendió vendió a 12 12 cada una. una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación?

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. 12 Mes

0 10

4

Se trata de calcular la rentabilidad de la operación, el tipo de interés que produce equivalencia entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = Ct

14

MATEMÁTICA

FINANCIERA

 

10  1 + r

4  = 12 ⇒ r = 0,6 = 60 60% 12  

Recuerde que en la expresión (1rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%. 9.

Usted también compró compró acciones de yaquien.mof yaquien.mof a la vez que D. Pío (a 10 cada una), pero las ha vendido a los 5 meses de su compra a 13 cada una. Calcule Calcule la rentabilidad de su inversión. inversión. Respuesta: 0,72  72%.

10.

Su abuela Dña. Pilar Pilar compró acciones de de yaquien.mof el día día que las vendió D. Pío (a 12 12 cada una) y las ha vendido el mismo día que usted usted (a 13 cada una). ¿Qué rentabilidad ha obtenido Dña. Pilar Pilar en su inversión? Pista: Pista: entre la compra y la venta sólo ha pasado un mes. Respuesta: 0,999999  100%.

11.

Un proveedor al que su empresa debe 50.000 50.000 a pagar a 60 días, días, le ofrece un descuento descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor?

SOLUCIÓN Veamos el el gráfico. gráfico. Su empresa empresa puede puede pagar 48.500 48.500 hoy o pagar pagar 50.000 50.000 dentro dentro de 60 días. días. 50.000 Día

0 48.500

60

Este problema es básicamente igual que el 5, el de las acciones de yaquien.mof. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. La respuesta varía un poco dependiendo de que usemos años naturales o comerciales.

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

60  = 50. 50.000 000 ⇒ r = 0,18 0,185556 = 18, 18,56 56% % 360  

 

60  50.000 000 ⇒ r = 0,18 0,1881 8144 = 18, 18,81% 81% = 50. 365  

48. 48.500 500  1 + r 48.500  1 + r

Si su empresa empresa está está dispuesta dispuesta a pagar pagar 50.000 50.000 dentro de 60 días días por no pagar pagar 48.500 48.500 hoy (por (por obtener una financiación financiación de 48.500 48.500 ), su empresa se está financiando financiando al 18,81% 18,81% de interés anual. 12.

Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347  25,35%.

13.

Su vecina, Doña Doña Prudencia Segurola, Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estancia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto

CAPÍTULO 2



15

dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago.

SOLUCIÓN Planteamos el gráfico de flujos. 2.000 Mes

0 ¿C0?

6

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

C0 = C0 =

Ct (1 + rt )

2.000

 1 + 0,06 6   12   

= 1.941,75

14.

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.92 1.923, 3,08 08 .

15.

Doña Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000 cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. Calcule cuánto dinero debe colocar Doña Prudencia hoy en una cuenta que le ofrece el 6% de interés anual, para hacer frente a estos pagos.

SOLUCIÓN Planteamos el gráfico de flujos

Mes

0 ¿C0?

2.000

2.000

6

9

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

C0 =

16.

2.000 2.000 + = 3.855,62  1 + 0,06 6   1 + 0,06 9    12  12     

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.80 3.809, 9,87 87 .

16

17.

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Un cliente nos debe 600 mensuales durante los los próximos 3 meses. El cliente quiere liquidar liquidar su deuda haciéndonos un único pago dentro de 3 meses. Calcule el importe de ese pago si hemos pactado un interés anual del 12%.

SOLUCIÓN Empezamos por lo más importante, el gráfico.

Mes

0

600

600

600

1

2

3 ¿C3?

El cliente tendrá que pagar el valor final de estos tres capitales, su valor en el mes 3. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

 

C3 = 600 1 + 0,12

2  1  1 + 0,12 ,12  + 600 + 600 600 = 1.81 1.8188   12  12  

18.

Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1. 1.81 813, 3,55 .

19.

Su hermana Rosana acaba de ser madre. Rosana Rosana está pensando en pedir pedir un préstamo de 3.000 a Financiaciones Distintas para Madres, fidisma.mof. Los préstamos de fidisma.mof están destinados a mujeres que han dado a luz, su interés es el 12,5% anual y se conceden a tres meses. Rosana quiere saber cuánto dinero tendrá que pagarle a fidisma.mof dentro de 3 meses.


0 3.000

3

Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

C3 = 3.000 1 + 0,125 20.

3  = 3.093,75 12  

Rosana ha pedido finalmente el préstamo «Sin interés, por ser madre» que acaba de lanzar Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo, destinado también a mujeres que han dado a luz, es de 3.000 y hay que devolverlo devolverlo a los tres meses. El préstamo, préstamo, que, como su nombre indica, indica, tiene un interés del 0% anual, sólo tiene unos gastos gastos de concesión del 3%, de 90 , que se pagan en el momento de recibirlo. Rosana le ha pedido que le calcule el coste de este préstamo.

CAPÍTULO 2



17

SOLUCIÓN Empezamos Empezamos por por el gráfico gráfico.. Rosana Rosana tiene tiene hoy hoy una entrada entrada de de tesorería tesorería de de 2.910 2.910 (3000  90 de gastos de concesión) y, y, a cambio, tiene que pagar 3.000 3.000 dentro de 3 meses meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). 3.000 Mes

0 2.910

3

Ya hemos hecho varios problemas de este tipo. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = Ct

 

2.910 1 + r

3  = 3.00 3.0000 ⇒ r = 0,12 0,1237 3711 = 12, 12,37 37% % 12  

21.

Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran fuera n el 2%, 60 , en lugar lugar del 3% del problema problema anterior anterior.. Respuesta: 0,08163  8,16%.

22.

El fabricante de coches Se@ acaba de lanzar el Teruel, su nuevo modelo 4x4. El Teruel cuesta 40.000 y su campaña de promoción ofrece no pagarlo hasta hasta dentro de 3 meses. La misma campaña ofrece un descuento del 5% a quienes paguen el Teruel al contado. Calcule el coste de esta financiación.

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. Usted Usted debe elegir entre pagar 38.000 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 40.000 den dentro tro de de 3 meses. meses. 40.000 Mes

0 38.000

3

Este tipo de problema ya es como de la familia. Debemos calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

38. 38.000 000  1 + r 23.

3  40.000 00 ⇒ r = 0,210 ,21052 52 = 21, 21,05% 05% = 40.0 12  

Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782  34,78%

18

24.

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Descuentos On Line, dol.mof, es una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Sus condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión mínima 7 . Canasa, Canasa, una una empresa empresa que fundó fundó su famili familia, a, descuenta descuenta en en dol.mof dol.mof una una letra de de 900 que vence vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que debe recibir Canasa por esta letra.

SOLUCIÓN En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

900

120 = 360  Comisión: 1% s/900  

900 ∗ 0,12 0,12 Interés 900

36



Líquido

9



85 5

También lo podemos calcular de la siguiente forma:

 

Líqui quido = 900 900 1 − 0,12 0,12 25.

120  − 0,01 0,01∗ 900 900 = 855 360  

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior.

SOLUCIÓN Empezamos por lo importante, el gráfico. 900 Día

0 855

120

Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales.

C0 (1 + rtrt ) = Ct

 

855  1 + r

120  = 900 ⇒ r = 0,15789 = 15,79% 360  

26.

Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 .

27.

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18556  18,56%.

28.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa.

CAPÍTULO 2



19

SOLUCIÓN Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal

400

120 = 360  Comisión: 1% s/400  

400 ∗ 0,12 0,12 Interés 400

16



7 (comis (comisión ión míni mínima) ma)



Líquido

37 7


 

Líqui quido = 400 400 1 − 0,12 ,12

120  − 7 = 377 360  

29.


30.

Canasa lleva a descuento descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule Calcule el líquido que recibirá Canasa. Respuesta: 385 .

31.


32.

Canasa lleva a descuento descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 30 días. Calcule Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido Líquido 389 . Coste Coste de la financiaci financiación: ón: 0,33933 0,33933  33,93%.

33.

Canasa descuenta en dol.mof una letra letra de 100 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido Líquido 92 . Coste de de la financiació financiación: n: 1,04347 1,04347  104,35%.

34.

Dol.mof ofrece a Canasa un «tipo forfait», descuento sin comisiones, comisiones, del 15% para letras de más de 1.000 1.000 , forfait forfait mínimo mínimo 20 días. días. Canasa Canasa descuenta descuenta una una letra de de 3.000 con vencimien vencimiento to a 60 días. días. Calcule el líquido y el coste de esta financiación.

SOLUCIÓN Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 

3.000

3.000 ∗ 0,15 0,15 Interés 3.000

120 = 360

Líquido

75



2.925

Podemos calcular el líquido más rápido:

 

Líquid quidoo = 3.00 3.0000 1 − 0,15 0,15

60  = 2.925 360  

Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación.

20

MATEMÁTICA

FINANCIERA

3.000 Día

0 2.925

60

Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

2.925  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,15384 = 15,38% 360  

35.

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 30 30 días. Calcule el líquido que recibe y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido Líquido 2.962,5 2.962,5 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,15189 0,15189  15,19%.

36.

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa.


3.000

3.000 ∗ 0,15 0,15 Interés 3.000

20 = 360

Líquido

25 (20 días días mínim mínimo) o)



2.975

O bien:

 

20  = 2.975 360   Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación, recuerde que aunque le hayan cobrado 20 días de interés, días mínimos del forfait, la letra vencía a 10 días.

Líquid quidoo = 3.00 3.0000 1 − 0,15 0,15

3.000 Día

0 2.975

10


C0 (1 + rt ) = C t

 

2.975  1 + r 37.

10  = 3.000 ⇒ r = 0,30251 = 30,25% 360  

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una una letra de 3.000 que vence dentro de 7 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido Líquido 2.975 2.975 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,43217 0,43217  43,22%.

CAPÍTULO 2



21

38.

Calcule el líquido y el tipo de interés de la letra negociada en el e l problema anterior si el forfait mínimo fuera de 30 días. Respuestas: Líquido Líquido 2.962,5 2.962,5 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,65099 0,65099 65,10%.

39.

Un cliente cliente debe debe a Canasa Canasa tres capital capitales: es: uno de 1.000 1.000 con vencimie vencimiento nto a 30 días, días, otro otro de 2.000 2.000 a 60 días y un un tercero de 3.000 a 90 días. El cliente quiere liquidar liquidar la deuda haciendo un único pago de 6.000 6.000 . ¿En qué qué fecha tiene tiene que que pagarlo? pagarlo?

SOLUCIÓN El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

2.000

3.000

30

60

90 ¿VM? 6.000

El cliente quiere pagar pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000 2.000 3.000

30 60 90

30.000 120.000 270.000

6.000

VM =

420.000

∑ Números meros 420.000 = = 70 días ∑ Capitales 6.000

El cliente cliente debe pagar pagar los 6.000 6.000 dentro dentro de 70 días. días. 40.

Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días, res pectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar Canasa los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 80 días.

41.

Canasa debe a un proveedor proveedor tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivam respectivamente. ente. Calcule Calcule en qué fecha podría podría pagar los 6.000 juntos. juntos. Respuesta: dentro de 90 días. ¿Se ha acordado de que cuando los capitales son iguales no hace falta ponderar?

42.

Un cliente cliente le debe 4.000 4.000 con vencimien vencimiento to a 90 días. días. El cliente cliente le propone propone pagarle pagarle 1.000 1.000 a 30 días y retrasar retrasar el pago de de los 3.000 3.000 restantes. restantes. ¿En qué qué fecha debe pagar pagar estos estos 3.000 3.000 ?


22

MATEMÁTICA

FINANCIERA

1.000 Vencimiento, días

30

3.000 90 4.000

¿X ?

El cliente quiere pagar pagar dos capitales que suman los 4.000 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. CAPITALES 1.000 3.000

DÍAS 30 X

NÚMEROS 30.000 3.000X

4.000

VM:

30.0003.000X

30.000 30.000 + 3.000X 3.000X = 90 ⇒ X = 110 4.000

El cliente cliente debe pagar pagar los 3.000 3.000 dentro dentro de 110 110 días. 43.

Canasa debe a un proveedor 5.000 con vencimiento a 120 120 días. Este proveedor le propone liquidar liquidar la deuda deuda pagándole pagándole 3.000 3.000 dentro de de 60 días y retrasan retrasando do los 2.000 2.000 restantes. restantes. ¿Cuándo ¿Cuándo debería debería pagar Canasa estos 2.000 ? Respuesta: dentro de 210 días.

44.

Un cliente de Canasa Canasa le debe tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos vencimientos a 60, 90 y 120 días, días, respectivamente. El cliente le propone liquidar esta deuda mediante un único pago a efectuar dentro de 150 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactan un interés del 15% anual?


Día

2.000

2.000

2.000

60

90

120

150 ¿C150?

Calculamos primero el VM de de estos tres capitales de 2.000 2.000 . Los capitales capitales son iguales y sus vencimientos son a plazos regulares (60, 90 y 120 es una progresión aritmética), podemos calcular el VM dividiendo entre dos la suma de los vencimientos primero y último de estos tres capitales: 60 + 120 VM = = 90 días 2 Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C150? Día

90 6.000

150

CAPÍTULO 2



23

El cliente debe pagar el valor en 150 de los 6.000 del día 90, movemos movemos este capital 60 60 días hacia la derecha:

60  = 6.150 360   También podemos calcular esta cantidad, aunque es un proceso tedioso cuando hay muchos capitales, moviendo cada uno de los 3 capitales hasta el día 150:

 

C150 = 6.000 1 + 00,,15

 

C150 = 2.000 1 + 00,,15

90   0,15 60  + 2.000  0,15 30  = + 2.00 2.0000 1 + 0,15 2.000 1 + 0,15 6.150   360  360  360    

45.

Guguel, empresa que edita páginas amarillas, es cliente de Canasa. Guguel le debe tres capitales de 1.000, 2.000 y 3.000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Guguel Guguel le quiere hacer un único pago dentro de 100 días. Calcule el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual. Respuesta: 6. 6.060 .

46.

Vuelva Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe.

SOLUCIÓN El gráfico que representa la operación es el siguiente: 2.000 Día

2.000

60

2.000

90 100 ¿C100?

120

Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C100? Día

90 6.000

100

Valoramos en el día 100 los 6.000 del día 90, movemos este capital 10 días hacia la derecha:

 

C100 = 6.000 1 + 00,,15

10  = 6.025 360  

Vamos a calcular esta cantidad moviendo cada uno de los 3 capitales al día 100:

 

C100 = 2.000 1 + 00,,15

40  2.000  0,15 10  + + 2.00 = 6.025,14 2.0000 1 + 0,15   20  360  360    0,15  1 + 0,15 360   

¿Por qué hay esta pequeña diferencia? Porque uno de los capitales de la deuda inicial resulta anticipado, hay que moverlo hacia la izquierda.

24

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Recuerde que cuando calculamos la fecha de VM, como la media ponderada de varios capitales, los capitales que se anticipan se descuentan aplicando el descuento comercial. Los 14 céntimos de diferencia de nuestra última solución se deben a que hemos actualizado el último capital de 2.000 2.000 aplicando el descuento descuento racional. Si Si cambiamos esta forma de descontar, obtenemos los mismos mismos 6.025 como respues respuesta. ta.

 

C100 = 2.000 1 + 00,,15

40   0,15 10  + 2.000  ,15 20  = + 2.00 2.0000 1 + 0,15 2.000 1-00,15 6.025   360  360  360    

Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM. 47.

Canasa debe a un proveedor tres tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días res pectivamente. Usted quiere liquidar esta deuda mediante un único pago dentro de 140 días. El proveedor acepta la propuesta propuesta y le pide 6.180 en esa fecha. Calcule Calcule el tipo de interés anual que le cobra por esta financiación.


Día

3.000

2.000

1.000

60

90

120

140 6.180

Calculamos primero el VM de estos tres capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

3.000 2.000 1.000

60 90 120

180.000 180.000 120.000

6.000

VM =

480.000


Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 6.180 . Podemos plantear el siguiente siguiente gráfico: 6.180 Día

80 6.000

140


CAPÍTULO 2



25

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

6.000 1 + r

60  = 6.180 ⇒ r = 0,18 = 18% 18% 360  

48.

Un cliente debe a Canasa Canasa tres capitales de 10.000 10.000 cada uno que vencen a 30, 30, 60 y 90 días. días. El cliente le propone sustituir sustituir estos pagos por otro de 30.675 a 120 días. ¿Qué interés anual obtiene Canasa Canasa si acepta la propuesta? Respuesta: 0,135  13,5%

49.

Vuelva sobre el problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene Canasa si usted le pide al cliente cliente que le pague los los 30.675 30.675 a 100 días y el cliente cliente lo acepta. acepta. Respuesta: 0,2025  20,25%

50.

Un cliente debe a Canasa Canasa tres capitales de 10.000 10.000 cada uno que vencen a 30, 30, 60 y 90 días. días. El cliente quiere sustituir sustituir estos pagos por otro de 31.125 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 15%.


Día

10.000

10.000

10.000

30

60

90

¿t? 31.125

Calculamos primero el VM de estos tres capitales:

30 3 0 + 90 VM = = 60 días 2 Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: 31.125 Día

60 30.000

¿t?

El cliente paga más de 30.000 , por lo que debe estar estar pagando más tarde que el VM. Vamos Vamos a llamar X a los días que retrasa, los que van del día 90 al día «t». Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y resolvemos:

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

30.0 30.000 00  1 + 0,15 0,15

X  = 31.125 ⇒ X = 90 días 360  

Para pagar pagar 31.125 31.125 debe retrasar retrasar 90 90 días el el pago de los 30.00 30.0000 . Como Como este capital capital vencía vencía el día 60, los 31.125 31.125 se deberán deberán pagar el día 150 (90 (90 días más tarde). tarde).

26

MATEMÁTICA

51.

Un cliente debe a Canasa Canasa tres capitales de 3.000 3.000 cada uno que vencen a 40, 70 y 100 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 9.225 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 18%. Respuesta: el día 120

52.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo.

FINANCIERA

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof


Mes

0 3.000

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último:

VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades es lo lo mismo que que pagar los 3.300 3.300 juntos en el mes 6,5. RepreRepresentamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.300 Mes

0 3.000

 

3.000  1 + r

6,5

6,5  = 3.300 12  

⇒ r = 0,18 0,1846 4611 = 18,4 18,46% 6% 53.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

CAPÍTULO 2



27

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiació Financiación: n: 12 pagos mensuales mensuales de 275 , el primero de entrada. entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof


Mes

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

0 3.000 2.725

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Usted tiene que pagar la primera cuota en el mes 0, por lo que la cuota número 12 se pagará en el mes 11. 11. Por otra parte, si usted financia la vajilla, vajilla, de los 3.000 que cuesta al contado, usted ya tiene tiene que pagar pagar 275 como entrada, entrada, por lo que que la prestación prestación son los los 2.725 restantes. Por diferir diferir el pago pago de estos estos 2.725 2.725 usted deberá pagar pagar las 11 11 cuotas cuotas de 275 que vencen vencen desde desde el mes 1 al 11. Podemos representar la operación financiera de esta forma:

Mes

0 2.725

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


VM =

1 + 11 =6 2

Pagar esas 11 11 mensualidades es lo mismo que que pagar los 3.025 3.025 juntos en el mes 6. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 3.025 Mes

 

2.72 2.7255  1 + r

0 2.725

6

6  = 3.025 ⇒ r = 0,22018 = 22,02% 12  

28

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada, coste 22,02%, o se pague al mes de realizar la compra, coste 18,46%. 54.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero primero a los 3 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof

Le ayudo con el gráfico.

Mes

0 3.000

825

825

825

825

3

6

9

12

Respuesta: 0,16  16%

55.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiació Financiación: n: 4 pagos trimes trimestrale traless de 825 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof


Mes

825

825

825

825

0 3.000 2.175

3

6

9

Respuesta: 0,27586  27,59%

CAPÍTULO 2



29

Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (27,59%) o se pague a los tres meses de realizar la compra (16%). 56.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese bien en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero primero a los 6 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof


Mes

Respuesta: 0,13333

57.



0 3.000

1.650

1.650

6

12

13,33%

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación.

Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio Precio al al contad contado: o: 3.000 3.000 . Financiació Financiación: n: 2 pagos semestrales semestrales de 1.650 1.650 , el primero de entrada. entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en : www.bodasweb.mof


Mes

Respuesta: 0,44444  44,44%

1.650

1.650

0 3.000 1.350

6

30

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (44,44%) o se pague a los seis meses de realizar la compra (13,33%). 58.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d? Le ofrecemos el modelo YNOT4d. Precio Precio al contado: contado: ¡sólo ¡sólo 20.000 20.000 ! ¿Quiere financiarlo? Pague 12 cuotas mensuales, la primera al mes de llevarse su YNOT4d. Con la mejor financiación del mercado: ¡ 8% anual!* * Tasa de recargo

SOLUCIÓN En primer lugar deberemos calcular el importe de cada pago porque la oferta no lo indica. ¿Se ha fijado que el anuncio tiene un asterisco al lado del 8%, y que ese asterisco está explicado más abajo en letras más pequeñas? Los asteriscos suelen traer, normalmente, malas noticias para usted. El 8% anual no es el tipo de interés que cobra 4d por la financiación, se trata de una tasa de recargo (lo que también es una mala noticia para usted). Precio del coche al contado: 20.000 Precio del coche financiado: 20.000  0,08*1(año) * 20.000  21.600

Cuota mensual =

Coche financiado 21.600 00 = = 1.8800 Número de cuotas 12

Veamos el gráfico.

Mes

0 20.000

1.800

1.800

1

2

1.800 . . . 3

...

1.800

1.800

11

12


VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas esas 12 mensuali mensualidades dades de 1.800 1.800 cada una es es lo mismo mismo que pagar pagar los los 21.600 21.600 juntos juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 21.600 Mes

0 20.000

6,5

CAPÍTULO 2

 

20. 20.000 000  1 + r 59.



31

6,5  = 21. 21.600 600 ⇒ r = 0,14 0,147769 = 14, 14,77% 77% 12  

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. Le ayudo con el gráfico.

Mes

1.800

1.800

0 20.000 18.200

1

1.800 . . . 1.800 2

3

...

1.800

1.800

10

11

Respuesta: 0,17582  17,58%

60.

Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico.

¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d? Le ofrecemos el modelo YNOT4d. Precio Precio al contado: contado: ¡sólo ¡sólo 20.000 20.000 ! ¿Quiere financiarlo? Pague 12 cuotas mensuales, la primera al mes de llevarse su YNOT4d. Con la mejor financiación del mercado: ¡ 11% anual!* * Tasa de recargo

Respuesta: 0,20307  20,31% 20,31% (cuotas (cuotas mensual mensuales es de 1.850 1.850 ).

61.

Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. Respuesta: 0,24242  24,24%

62.

Usted trabaja en el Departamento Financiero del equipo ciclista DOCE y acaba de recibir re cibir el siguiente memorando. De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto Asunto:: Coste Coste de fina financi nciaci ación ón de las las bicic biciclet letas as BUL Hemos recibido de BUL, Bicicletas Ultra Ligeras, la siguiente oferta del modelo BUL XXI, el que queremos usar en el próximo Tour de Francia. Precio de las BUL XXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 900 cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour Necesitamos conocer el tipo de interés anual de esta financiación para p resentar mañana un informe en Presidencia.

32

MATEMÁTICA

FINANCIERA


Mes

0 7.500

1

2

3

9 00

900

900

900

900

900

900

900

900

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación.

VM =

4 + 12 =8 2

Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 8.100 Mes

0 7.500

 

7.500  1 + r 63.

8

8  = 8.100 ⇒ r = 0,12 = 12% 12% 12  

Gerencia le manda otro memorando. De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto Asunto:: Coste Coste de fina financi nciaci ación ón de las las bicic biciclet letas as BUL Gracias por la rápida respuesta al memo anterior. anterior. BUL se equivocó en la oferta que nos hizo para el modelo BUL XXI. Precio de las BUL XXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Tour. Tenemos la misma urgencia por conocer el tipo de interés anual de esta financiación. Respuesta: 0,21

64.



21%

Definitivamente hoy no es su día. Gerencia vuelve a mandarle el memorando que se muestra en la página siguiente. Respuesta: 0,30  30% Pista. Pista. La única diferencia entre el gráfico inicial de flujos de este problema y el del problema anterior es que en este este caso el flujo flujo que debe poner poner en el mes 0 es de 7.125 7.125 (7.500 (7.5005% de 7.500  7.125).

CAPÍTULO 2



33

De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto Asunto:: Coste Coste de fina financi nciaci ación ón de las las bicic biciclet letas as BUL Gracias por las rápidas respuestas a los memos. Hemos negociado un poco con BUL. Las condiciones definitivas son: Precio de las BUL XXI al al conta contado: do: 7.500 7.500 . Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Tour. Si la pagamos al contado obtendremos un descuento del 5%. ¿Nuestra urgencia? La de siempre !

65.

Vuelva al Ejemplo 2.10 de este capítulo y calcule el tipo de interés al que le resulta la financiación del coche 4d.


Mes

0 15.000

1.350

1.350

1

2

1.350 . . . 3

1.350

...

12

Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación.

VM =

1 + 12 = 6,5 2

Pagar esas 12 mensualidades mensualidades es lo mismo mismo que pagar los 16.200 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 16.200 Mes

 

15.00 5.0000  1 + r

0 15.000

6,5

6,5  = 16. 16.200 200 ⇒ r = 0,14 0,147769 = 14, 14,77% 77% 12  

UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS El tipo de interés es el precio del dinero, la rentabilidad que queremos obtener de nuestras inversiones. Cuanto más arriesgada sea una inversión, mayor será la rentabilidad que queramos obtener con la misma. Tipo de interés

Rentabilidad libre de riesgo

Prima de riesgo

Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: En tanto por uno:

0,06

En tanto por cien: En puntos básicos: En puntos porcentuales:

6% 600PB 6PP

6    6% = 100 = 0,06    (6%  6*100  600PB) (6%  6PP)

VALORACIÓN VALORACIÓN DE CAPITALES CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE La capitalización simple es una de las leyes que pueden emplearse para valorar el dinero en el tiem po. Utilizar esta ley implica que los intereses son improductivos, se calculan sólo sobre la prestación. La fórmula de interés simple es: Interés  P * r * t «P» es la prestación o el principal. «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 5

6

MATEMÁTICA

FINANCIERA

«t» es el tiempo, la duración de la operación. «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o fracción de año.

EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual?

9 = 45 12 Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r»  6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año). Interés = 1.000 000 ∗ 0, 06

El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C 0, más los intereses que genera.

Ct = C0 + C0 ∗ r ∗ t ⇒ sacamos C 0 factor factor común INTER INTERÉS

⇒ Ct = C0 1 ( + rtt)) EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? ¿C9? Mes

0 1.000

 

9

C9 = 1.000 000 1 + 0, 06

9  = 1.045 12  

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct  C0(1rt). Nos queda:

C0 =

Ct (1 + rt )

EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? 2.000 Mes

C0 =

0 ¿C0?

8

2.000 = 1.923, 08  1 + 0, 06 8   12   

CAPÍTULO 2



7

Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0  Ct (1dt) Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0  Ct (1  rt)

EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? 2.000 Mes

0 ¿C0?

 

C0 = 2000 000  1 − 0, 06

8

8  = 1.920 12  

Compare los Ejemplos 2.3 y 2.4. Observará que el valor actual de un capital que vence dentro de 8 meses depende del modelo empleado para mover el dinero en el tiempo, de la ley financiera descuento racional o descuento comercial que apliquemos. ¿Y qué se aplica en la «vida real», descuento racional o comercial? comercial? Hay operaciones en las que no puede elegir, por ejemplo, en el descuento de letras, en el que se aplica el descuento comercial. Cuando pueda elegir, debe optar por la ley financiera que sea más beneficiosa para sus accionistas. Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. d r= 1 − dt Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos:

r =

0,06

= 0, 0625 8 1 − 0, 06 12 Esto quiere decir que el interés anticipado descuento comercial que nos han cobrado, 6% anual, es equivalente a que nos hubieran cobrado un interés vencido descuento racional del 6,25% anual. Volvemos sobre el Ejemplo 2.4. 2.000 Mes

0 ¿C0?

8

8

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuando nos aplicaban un descuento comercial del 6% anual, nos daban:

 

C0 = 2.000 000 1 − 0, 06

8  = 1.920 12  

Si nos hubieran aplicado un descuento racional del 6,25% anual, hubiéramos cobrado la misma cantidad:

C0 =

2.000 8  1 + 0, 0625 625   12   

= 1.920

Ct ; C = Ct (1 − rt ) son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza(1 + rt ) 0 remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitalización simple. Ct = C0 1 ( + rt ); C0 =

LA INFLACIÓN Usted invierte hoy su dinero al 8% de interés anual y a un año. Suponga que durante ese año la inflación resulta ser del 8%. El interés real, rr, que ha obtenido es el 0%. La inflación se ha «comido» todo su interés nominal, rn, el 8% al que había invertido su dinero. La relación que hay entre el interés nominal, rn, el interés real, rr, y la inflación, i, es: (1 rn)

(1 rr) (1 i)

EJEMPLO 2.5 D. Francisco Segurola quiere invertir su dinero obteniendo una rentabilidad real del 14% a un año. La inflación esperada para el año que viene es el 8%. D. Francisco, cree que debería invertir su dinero al 22% nominal (14%8%), pero, por si sus cálculos no son correctos, nos pide que le calculemos el tipo de interés nominal al que debe invertir su dinero.

1 + rn = 1,14 * 1, 08 ⇒

⇒ rn = 114 , * 1, 08 − 1 = 0, 2312 = 23,12% EJEMPLO 2.6 D. Francisco está muy enfadado. El año pasado invirtió su dinero al 23,12% y la inflación de este año ha sido el 10%, en vez del 8% esperado, por lo que calcula que la rentabilidad real que ha obtenido es el 13,12% (23,12%10%), lejos del 14% que deseaba. D. Francisco nos pide que le calculemos con exactitud la rentabilidad real de su inversión.

Si (1+rn ) = (1 + rr )(1 + i) ⇒

⇒ rr = rr =

1 + rn −1 1+ i

1, 2312 − 1 = 0,11927 = 1111, 93% 1,1

CAPÍTULO 2



9

VENCIMIENTO VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN Un conjunto de capitales con distintos vencimientos pueden sustituirse por otro capital, suma de los anteriores, si éste se paga en la fecha del vencimiento medio (VM) de los capitales iniciales. Si sustituimos un conjunto de capitales con distintos vencimientos por otro capital, que no resulta ser igual a la suma de los anteriores, la fecha en la que paga este capital recibe el nombre de vencimiento común (VC). El VM es la media ponderada de los vencimientos de varios capitales.

EJEMPLO 2.7 Debemos a un proveedor proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar liquidar esta deuda mediante un único pago de 3.000 . ¿En qué fecha debe hacerse este pago? Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. El gráfico que representa la operación es el siguiente:

Vencimiento, días

1.000

1.000

1.000

30

60

90

¿VM? 3.000

El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . CAPITALES 1.000 1.000 1.000

DÍAS 30 60 90

NÚMEROS 30.000 60.000 90.000

3.000

180.000

VM =

meros 180.000 ∑ Números = = 60 días Capitales 3 . 000 ∑

Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos.

VM =

30 + 60 + 90 = 60 días 3

Cuando, además de ser los capitales iguales, sus vencimientos son a plazos regulares, como es nuestro caso, podemos calcular el VM dividiendo entre 2 la suma del primer vencimiento más el último. 60 + 90 VM = = 60 días 2

10

MATEMÁTICA

FINANCIERA

El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja.

EJEMPLO 2.8 Debemos a un proveedor proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago que haremos dentro de 75 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactamos un interés del 12% anual? El gráfico que representa la operación es el siguiente: 1.000 Vencimiento, días

1.000

30

1.000

60 75 ¿C75?

90

Por el Ejemplo 2.7, 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C75? Día

60 3.000

75

Ahora sólo tenemos que diferir diferir estos 3.000 3.000 , moverlos 15 días hacia hacia la derecha. Haremos los cálculos empleando años comerciales, 360 días, y años naturales, 365 días. Ct = C0 (1 + rt )

15   = 3.015 360    15   C75 = 3.000 000 1 + 0,12 = 3.014, 79 365    C75 = 3.000 000 1 + 0,12

Como a nuestros accionistas les interesa pagar lo menos posible, deberíamos utilizar años naturales en esta operación. Claro que a los accionistas de nuestra empresa proveedora les interesa cobrar lo más posible, por lo que serían partidarios de utilizar años comerciales, ¿no cree?

EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere quiere calcular el interés interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 2.900 que reci be hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. Empezamos por el gráfico de la operación.

Día

0 2.900

1.000

1.000

1.000

30

60

90

CAPÍTULO 2



11

Este gráfico representa una operación financiera compleja. Si calculamos el VM de estos tres capitales, la convertimos en una operación financiera simple. Ya Ya sabemos, por el Ejemplo 2.7, que el VM de estos capitales es el día 60, por lo que el gráfico que podemos construir es el siguiente: 3.000 Día

0 2.900

60

La ecuación de equilibrio financiero, C0(1rt)  Ct, nos permite calcular el coste de esta financiación, el tipo de interés que nos cobran por la misma. Si empleamos años comerciales:

 

2.900  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,20689 = 20,69% 360  

Si empleamos años naturales:

 

2.900  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,20977 = 20,98% 365  

TASA DE RECARGO Las tasas de recargo son una forma de expresar en % el coste de una financiación. Pero tenga cuidado, la tasa de recargo no es el tipo de interés de la financiación (permítame un consejo: no se crea lo que le digan, haga siempre sus propios cálculos para evitar sorpresas desagradables). Veamos Veamos su funcionamiento.

EJEMPLO 2.10 Usted quiere comprar un un coche 4d que tiene tiene un precio al contado contado de 15.000 . 4d le ofrece financiarfinanciarlo a un año, pagando, a partir del mes que viene, 12 cuotas mensuales iguales. 4d aplica en sus financiaciones una tasa de recargo del 8% anual. ¿Cuál es el importe de cada cuota? Precio del coche al contado: 15.000 Precio del coche financiado: 15.000  0,08 * 1(año) * 15.000  16.200

Cuota mensual =

Coche financiado 16.200 = = 1.3350 50 Número de cuotas cuotas 12

Para calcular el tipo de interés al que resulta esta financiación, debe seguir los pasos del Ejem plo 2.9. 1. Gráfic Gráficoo de la oper operaci ación ón fina financi nciera era comple compleja. ja. 2. Cálcul Cálculoo de dell VM VM de la cont contrap rapres restac tación ión (los (los 12 pag pagos os de de 1.350 1.350 ). 3. Gráfic Gráficoo de la oper operaci ación ón fina financi nciera era simple simple.. 4. Ecuaci Ecuación ón ddee equili equilibri brioo financ financier ieroo y despe despejar jar «r». «r». Si la financiación financiación fuera fuera a dos años, usted pagaría pagaría 24 cuotas mensuales mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000  0,08 * 2(años) * 15.000  17.400

12

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Cuota mensual =

Coche financiado 17.400 = = 7255 Número de cuotas cuotas 24

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1.

Su prima Irma quiere comprar una plaza de garaje que cuesta 15.000 . Irma quiere pagar pagar la plaza dentro de 8 meses y su propietario acepta darle esta financiación con un interés del 9% anual. ¿Cuánto deberá pagar Irma dentro de 8 meses?


0 15.000

8

Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

C8 = 15.000 1 + 0,09

8  15.900 = 12  

2.

¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16 16.200

3.

Doña Generosa, su vecina del 3º y «Gene» para los amigos, amigos, ha abierto una una cuenta de 6.000 a nom bre su sobrina Tinagera, Tinagera, «Tina», que hoy cumple 13 años. La La cuenta ofrece un interés del 6% anual y Tina le pregunta cuánto dinero habrá en la cuenta cuando alcance su mayoría de edad, dentro de 5 años.

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. ¿C5? Año

0 6.000

5

Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt ) C5 = 6.000 (1 + 0,06 ∗ 5 ) = 7.800

CAPÍTULO 2



13

4.

Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universitaria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240

5.

Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400

6.

Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere quiere pagar 15.675 15.675 . ¿En qué fecha debe debe pagar esta cantidad cantidad??

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. 15.675 Mes

0 15.000

t

Se trata de calcular la duración de la operación, el tiempo. Planteamos la ecuación de equili brio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

15.6 15.675 75 = 15.0 15.000 00 1 + 0,09 0,09

t  ⇒ t = 6 mese mesess 12  

Fíjese que la ecuación nos dice que «t» es igual a 6 doceavas partes de año, por lo tanto 6 meses. Si planteamos el tiempo en años tenemos:

15.675 = 15.000 (1 + 0,09 ∗ t ) ⇒ t = 0,5 a ños = 6 meses 7.

¿Cuándo tendría que que pagar Irma 15.506,25 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días.

8.

Su tío Pío Pío compró compró acciones acciones de yaquien yaquien.mof .mof a 10 10 y 4 meses meses más tarde tarde las vendió vendió a 12 12 cada una. una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación?

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. 12 Mes

0 10

4

Se trata de calcular la rentabilidad de la operación, el tipo de interés que produce equivalencia entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = Ct

14

MATEMÁTICA

FINANCIERA

 

10  1 + r

4  = 12 ⇒ r = 0,6 = 60 60% 12  

Recuerde que en la expresión (1rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%. 9.

Usted también compró compró acciones de yaquien.mof yaquien.mof a la vez que D. Pío (a 10 cada una), pero las ha vendido a los 5 meses de su compra a 13 cada una. Calcule Calcule la rentabilidad de su inversión. inversión. Respuesta: 0,72  72%.

10.

Su abuela Dña. Pilar Pilar compró acciones de de yaquien.mof el día día que las vendió D. Pío (a 12 12 cada una) y las ha vendido el mismo día que usted usted (a 13 cada una). ¿Qué rentabilidad ha obtenido Dña. Pilar Pilar en su inversión? Pista: Pista: entre la compra y la venta sólo ha pasado un mes. Respuesta: 0,999999  100%.

11.

Un proveedor al que su empresa debe 50.000 50.000 a pagar a 60 días, días, le ofrece un descuento descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor?

SOLUCIÓN Veamos el el gráfico. gráfico. Su empresa empresa puede puede pagar 48.500 48.500 hoy o pagar pagar 50.000 50.000 dentro dentro de 60 días. días. 50.000 Día

0 48.500

60

Este problema es básicamente igual que el 5, el de las acciones de yaquien.mof. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. La respuesta varía un poco dependiendo de que usemos años naturales o comerciales.

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

60  = 50. 50.000 000 ⇒ r = 0,18 0,185556 = 18, 18,56 56% % 360  

 

60  50.000 000 ⇒ r = 0,18 0,1881 8144 = 18, 18,81% 81% = 50. 365  

48. 48.500 500  1 + r 48.500  1 + r

Si su empresa empresa está está dispuesta dispuesta a pagar pagar 50.000 50.000 dentro de 60 días días por no pagar pagar 48.500 48.500 hoy (por (por obtener una financiación financiación de 48.500 48.500 ), su empresa se está financiando financiando al 18,81% 18,81% de interés anual. 12.

Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347  25,35%.

13.

Su vecina, Doña Doña Prudencia Segurola, Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estancia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto

CAPÍTULO 2



15

dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago.

SOLUCIÓN Planteamos el gráfico de flujos. 2.000 Mes

0 ¿C0?

6

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

C0 = C0 =

Ct (1 + rt )

2.000

 1 + 0,06 6   12   

= 1.941,75

14.

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.92 1.923, 3,08 08 .

15.

Doña Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000 cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. Calcule cuánto dinero debe colocar Doña Prudencia hoy en una cuenta que le ofrece el 6% de interés anual, para hacer frente a estos pagos.

SOLUCIÓN Planteamos el gráfico de flujos

Mes

0 ¿C0?

2.000

2.000

6

9

Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

C0 =

16.

2.000 2.000 + = 3.855,62  1 + 0,06 6   1 + 0,06 9    12  12     

Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.80 3.809, 9,87 87 .

16

17.

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Un cliente nos debe 600 mensuales durante los los próximos 3 meses. El cliente quiere liquidar liquidar su deuda haciéndonos un único pago dentro de 3 meses. Calcule el importe de ese pago si hemos pactado un interés anual del 12%.

SOLUCIÓN Empezamos por lo más importante, el gráfico.

Mes

0

600

600

600

1

2

3 ¿C3?

El cliente tendrá que pagar el valor final de estos tres capitales, su valor en el mes 3. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos.

 

C3 = 600 1 + 0,12

2  1  1 + 0,12 ,12  + 600 + 600 600 = 1.81 1.8188   12  12  

18.

Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1. 1.81 813, 3,55 .

19.

Su hermana Rosana acaba de ser madre. Rosana Rosana está pensando en pedir pedir un préstamo de 3.000 a Financiaciones Distintas para Madres, fidisma.mof. Los préstamos de fidisma.mof están destinados a mujeres que han dado a luz, su interés es el 12,5% anual y se conceden a tres meses. Rosana quiere saber cuánto dinero tendrá que pagarle a fidisma.mof dentro de 3 meses.


0 3.000

3

Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

Ct = C0 (1 + rt rt )

 

C3 = 3.000 1 + 0,125 20.

3  = 3.093,75 12  

Rosana ha pedido finalmente el préstamo «Sin interés, por ser madre» que acaba de lanzar Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo, destinado también a mujeres que han dado a luz, es de 3.000 y hay que devolverlo devolverlo a los tres meses. El préstamo, préstamo, que, como su nombre indica, indica, tiene un interés del 0% anual, sólo tiene unos gastos gastos de concesión del 3%, de 90 , que se pagan en el momento de recibirlo. Rosana le ha pedido que le calcule el coste de este préstamo.

CAPÍTULO 2



17

SOLUCIÓN Empezamos Empezamos por por el gráfico gráfico.. Rosana Rosana tiene tiene hoy hoy una entrada entrada de de tesorería tesorería de de 2.910 2.910 (3000  90 de gastos de concesión) y, y, a cambio, tiene que pagar 3.000 3.000 dentro de 3 meses meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). 3.000 Mes

0 2.910

3

Ya hemos hecho varios problemas de este tipo. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = Ct

 

2.910 1 + r

3  = 3.00 3.0000 ⇒ r = 0,12 0,1237 3711 = 12, 12,37 37% % 12  

21.

Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran fuera n el 2%, 60 , en lugar lugar del 3% del problema problema anterior anterior.. Respuesta: 0,08163  8,16%.

22.

El fabricante de coches Se@ acaba de lanzar el Teruel, su nuevo modelo 4x4. El Teruel cuesta 40.000 y su campaña de promoción ofrece no pagarlo hasta hasta dentro de 3 meses. La misma campaña ofrece un descuento del 5% a quienes paguen el Teruel al contado. Calcule el coste de esta financiación.

SOLUCIÓN Veamos el gráfico. Usted Usted debe elegir entre pagar 38.000 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 40.000 den dentro tro de de 3 meses. meses. 40.000 Mes

0 38.000

3

Este tipo de problema ya es como de la familia. Debemos calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos.

C0 (1 + rtrt ) = C t

 

38. 38.000 000  1 + r 23.

3  40.000 00 ⇒ r = 0,210 ,21052 52 = 21, 21,05% 05% = 40.0 12  

Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782  34,78%

18

24.

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Descuentos On Line, dol.mof, es una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Sus condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión mínima 7 . Canasa, Canasa, una una empresa empresa que fundó fundó su famili familia, a, descuenta descuenta en en dol.mof dol.mof una una letra de de 900 que vence vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que debe recibir Canasa por esta letra.

SOLUCIÓN En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal

900

120 = 360  Comisión: 1% s/900  

900 ∗ 0,12 0,12 Interés 900

36



Líquido

9



85 5


 

Líqui quido = 900 900 1 − 0,12 0,12 25.

120  − 0,01 0,01∗ 900 900 = 855 360  

Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior.

SOLUCIÓN Empezamos por lo importante, el gráfico. 900 Día

0 855

120


C0 (1 + rtrt ) = Ct

 

855  1 + r

120  = 900 ⇒ r = 0,15789 = 15,79% 360  

26.

Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 .

27.


28.

Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa.

CAPÍTULO 2



19

SOLUCIÓN Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal

400

120 = 360  Comisión: 1% s/400  

400 ∗ 0,12 0,12 Interés 400

16



7 (comis (comisión ión míni mínima) ma)



Líquido

37 7


 

Líqui quido = 400 400 1 − 0,12 ,12

120  − 7 = 377 360  

29.


30.

Canasa lleva a descuento descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule Calcule el líquido que recibirá Canasa. Respuesta: 385 .

31.


32.

Canasa lleva a descuento descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 30 días. Calcule Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido Líquido 389 . Coste Coste de la financiaci financiación: ón: 0,33933 0,33933  33,93%.

33.

Canasa descuenta en dol.mof una letra letra de 100 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido Líquido 92 . Coste de de la financiació financiación: n: 1,04347 1,04347  104,35%.

34.

Dol.mof ofrece a Canasa un «tipo forfait», descuento sin comisiones, comisiones, del 15% para letras de más de 1.000 1.000 , forfait forfait mínimo mínimo 20 días. días. Canasa Canasa descuenta descuenta una una letra de de 3.000 con vencimien vencimiento to a 60 días. días. Calcule el líquido y el coste de esta financiación.


3.000

3.000 ∗ 0,15 0,15 Interés 3.000

120 = 360

Líquido

75



2.925

Podemos calcular el líquido más rápido:

 

Líquid quidoo = 3.00 3.0000 1 − 0,15 0,15

60  = 2.925 360  

Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación.

20

MATEMÁTICA

FINANCIERA

3.000 Día

0 2.925

60


C0 (1 + rtrt ) = C t

 

2.925  1 + r

60  = 3.000 ⇒ r = 0,15384 = 15,38% 360  

35.

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 30 30 días. Calcule el líquido que recibe y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido Líquido 2.962,5 2.962,5 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,15189 0,15189  15,19%.

36.

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa.


3.000

3.000 ∗ 0,15 0,15 Interés 3.000

20 = 360

Líquido

25 (20 días días mínim mínimo) o)



2.975

O bien:

 

20  = 2.975 360   Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación, recuerde que aunque le hayan cobrado 20 días de interés, días mínimos del forfait, la letra vencía a 10 días.

Líquid quidoo = 3.00 3.0000 1 − 0,15 0,15

3.000 Día

0 2.975

10


C0 (1 + rt ) = C t

 

2.975  1 + r 37.

10  = 3.000 ⇒ r = 0,30251 = 30,25% 360  

Canasa descuenta en dol.mof, dol.mof, a tipo forfait, una una letra de 3.000 que vence dentro de 7 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido Líquido 2.975 2.975 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,43217 0,43217  43,22%.

CAPÍTULO 2



21

38.

Calcule el líquido y el tipo de interés de la letra negociada en el e l problema anterior si el forfait mínimo fuera de 30 días. Respuestas: Líquido Líquido 2.962,5 2.962,5 . Coste de la financiac financiación: ión: 0,65099 0,65099 65,10%.

39.

Un cliente cliente debe debe a Canasa Canasa tres capital capitales: es: uno de 1.000 1.000 con vencimie vencimiento nto a 30 días, días, otro otro de 2.000 2.000 a 60 días y un un tercero de 3.000 a 90 días. El cliente quiere liquidar liquidar la deuda haciendo un único pago de 6.000 6.000 . ¿En qué qué fecha tiene tiene que que pagarlo? pagarlo?


Vencimiento, días

1.000

2.000

3.000

30

60

90 ¿VM? 6.000

El cliente quiere pagar pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

1.000 2.000 3.000

30 60 90

30.000 120.000 270.000

6.000

VM =

420.000


El cliente cliente debe pagar pagar los 6.000 6.000 dentro dentro de 70 días. días. 40.

Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días, res pectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar Canasa los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 80 días.

41.

Canasa debe a un proveedor proveedor tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivam respectivamente. ente. Calcule Calcule en qué fecha podría podría pagar los 6.000 juntos. juntos. Respuesta: dentro de 90 días. ¿Se ha acordado de que cuando los capitales son iguales no hace falta ponderar?

42.

Un cliente cliente le debe 4.000 4.000 con vencimien vencimiento to a 90 días. días. El cliente cliente le propone propone pagarle pagarle 1.000 1.000 a 30 días y retrasar retrasar el pago de de los 3.000 3.000 restantes. restantes. ¿En qué qué fecha debe pagar pagar estos estos 3.000 3.000 ?


22

MATEMÁTICA

FINANCIERA

1.000 Vencimiento, días

30

3.000 90 4.000

¿X ?

El cliente quiere pagar pagar dos capitales que suman los 4.000 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. CAPITALES 1.000 3.000

DÍAS 30 X

NÚMEROS 30.000 3.000X

4.000

VM:

30.0003.000X

30.000 30.000 + 3.000X 3.000X = 90 ⇒ X = 110 4.000

El cliente cliente debe pagar pagar los 3.000 3.000 dentro dentro de 110 110 días. 43.

Canasa debe a un proveedor 5.000 con vencimiento a 120 120 días. Este proveedor le propone liquidar liquidar la deuda deuda pagándole pagándole 3.000 3.000 dentro de de 60 días y retrasan retrasando do los 2.000 2.000 restantes. restantes. ¿Cuándo ¿Cuándo debería debería pagar Canasa estos 2.000 ? Respuesta: dentro de 210 días.

44.

Un cliente de Canasa Canasa le debe tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos vencimientos a 60, 90 y 120 días, días, respectivamente. El cliente le propone liquidar esta deuda mediante un único pago a efectuar dentro de 150 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactan un interés del 15% anual?


Día

2.000

2.000

2.000

60

90

120

150 ¿C150?

Calculamos primero el VM de de estos tres capitales de 2.000 2.000 . Los capitales capitales son iguales y sus vencimientos son a plazos regulares (60, 90 y 120 es una progresión aritmética), podemos calcular el VM dividiendo entre dos la suma de los vencimientos primero y último de estos tres capitales: 60 + 120 VM = = 90 días 2 Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C150? Día

90 6.000

150

CAPÍTULO 2



23

El cliente debe pagar el valor en 150 de los 6.000 del día 90, movemos movemos este capital 60 60 días hacia la derecha:

60  = 6.150 360   También podemos calcular esta cantidad, aunque es un proceso tedioso cuando hay muchos capitales, moviendo cada uno de los 3 capitales hasta el día 150:

 

C150 = 6.000 1 + 00,,15

 

C150 = 2.000 1 + 00,,15

90   0,15 60  + 2.000  0,15 30  = + 2.00 2.0000 1 + 0,15 2.000 1 + 0,15 6.150   360  360  360    

45.

Guguel, empresa que edita páginas amarillas, es cliente de Canasa. Guguel le debe tres capitales de 1.000, 2.000 y 3.000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Guguel Guguel le quiere hacer un único pago dentro de 100 días. Calcule el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual. Respuesta: 6. 6.060 .

46.

Vuelva Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe.

SOLUCIÓN El gráfico que representa la operación es el siguiente: 2.000 Día

2.000

60

2.000

90 100 ¿C100?

120

Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C100? Día

90 6.000

100

Valoramos en el día 100 los 6.000 del día 90, movemos este capital 10 días hacia la derecha:

 

C100 = 6.000 1 + 00,,15

10  = 6.025 360  

Vamos a calcular esta cantidad moviendo cada uno de los 3 capitales al día 100:

 

C100 = 2.000 1 + 00,,15

40  2.000  0,15 10  + + 2.00 = 6.025,14 2.0000 1 + 0,15   20  360  360    0,15  1 + 0,15 360   

¿Por qué hay esta pequeña diferencia? Porque uno de los capitales de la deuda inicial resulta anticipado, hay que moverlo hacia la izquierda.

24

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Recuerde que cuando calculamos la fecha de VM, como la media ponderada de varios capitales, los capitales que se anticipan se descuentan aplicando el descuento comercial. Los 14 céntimos de diferencia de nuestra última solución se deben a que hemos actualizado el último capital de 2.000 2.000 aplicando el descuento descuento racional. Si Si cambiamos esta forma de descontar, obtenemos los mismos mismos 6.025 como respues respuesta. ta.

 

C100 = 2.000 1 + 00,,15

40   0,15 10  + 2.000  ,15 20  = + 2.00 2.0000 1 + 0,15 2.000 1-00,15 6.025   360  360  360    

Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM. 47.

Canasa debe a un proveedor tres tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días res pectivamente. Usted quiere liquidar esta deuda mediante un único pago dentro de 140 días. El proveedor acepta la propuesta propuesta y le pide 6.180 en esa fecha. Calcule Calcule el tipo de interés anual que le cobra por esta financiación.


Día

3.000

2.000

1.000

60

90

120

140 6.180

Calculamos primero el VM de estos tres capitales. CAPITALES

DÍAS

NÚMEROS

3.000 2.000 1.000

60 90 120

180.000 180.000 120.000

6.000

VM =

480.000


Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 6.180 . Podemos plantear el siguiente siguiente gráfico: 6.180 Día

80 6.000

140


Miner Javier - Matematica Financiera

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