MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE UNA RTD

MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE UNA RTD. H. Tabima, J. A. Arcos. Estudiantes de ingeniería Mecatrónica. [email protected], [email protected], [email protected]. [email protected]. Abstract – In this paper are shown the theoretical and simulated, results obtained during the practice work, where were investigated and demonstrated the characteristics and the  behaviour of a Resistive Resistive Thermo Detector Detector (RTD), subjecting subjecting this device to temperature temperature changes in a temperature devices calibration pattern and registering each of the resistance values obtained to generate an approximated linearization using different . 1. INTRODUCCIÓN. En la industria actual es imprescindible el uso de elementos de medición y calibración que permitan controlar una planta; para ello una rama de la electrónica, llamada instrumentación, se ha fijado en cómo controlar y/o transformar diferentes variables a otras y manipularlas de una forma más sencilla, para ello, se desarrollaron los transductores. Los transductores son dispositivos que convierten una variable de un determinado tipo de energía a otro tipo de energía, por lo general eléctrica (para alimentar a otros instrumentos) y cuyo comportamiento generalmente es lineal. Frecuentemente, Frecuentemente, se necesita trabajar con transductores, de los cuales se debe de conocer  su comportamiento en el rango de operación, además de exactitud, linealidad, sensibilidad y otros parámetros que son de utilidad para un proceso específico. Para este proyecto de laboratorio, se analizara un transductor de temperatura denominado RTD, al cual se le determinará su modelo matemático mediante aproximaciones. Una RTD consiste en un alambre bobinado sobre un núcleo cerámico y empacado en forma de probeta, que convierten la variable física de temperatura en variación de resistencia. 2. CONCEPTOS PREVIOS. Para realizar este proyecto de laboratorio se tuvo en cuenta los siguientes conceptos y/o definiciones: 2.1 Resistive thermo detector (RTD). Una RTD, es un transductor que convierte la variable física temperatura en variación de resistencia. Su símbolo eléctrico (ver ilustración 1), indica que posee una variación lineal con un coeficiente positivo. Ilustración 1. Símbolo eléctrico de una RTD. Autores. Estos transductores están construidos por metales conductores tales como cobre, níquel o platino, cada metal posee parámetros diferentes (resistividad, ( resistividad, margen, etc.). Su funcionamiento se basa en la agitación térmica, que se desarrolla cuando un metal es calentado y se produce una dispersión en los electrones, lo que reduce su velocidad, en

conclusión, a mayor temperatura, mayor resistencia. El comportamiento de este dispositivo es lineal para grandes márgenes de temperatura y se describe mediante la ecuación 1. RT=R01+αT-T0 (1) En donde: R(T) es la resistencia a la temperatura T, R0 es la resistencia a la temperatura T0, α es el coeficiente de variación de resistencia con la temperatura (Depende del tipo de alambre) y T0 es la temperatura de referencia. 2.2 Aproximación lineal. Cuando se obtiene una cantidad de datos experimentales, es común que el comportamiento de estos no sea lineal (el más adecuado), sino, por el contrario, tenga un comportamiento no definido. La aproximación lineal, toma un determinado rango de operación en el cual aproxima la curva de entrada respecto a la salida y que cuyo comportamiento es determinado como lineal, como se muestra en la ilustración 2. Ilustración 2. Curva R - T para algún tipo de alambre. [3]. Al poseer un comportamiento rectilíneo, su comportamiento es determinado por la ecuación 2 que describe una línea recta. RT=R01+αT-T0; T1
R = Aproximación cuadrática de la resistencia en T. R0 = Resistencia a la temperatura T0. T0 = Valor intermedio de temperatura. α1 = Cambio fraccional lineal en R por variación de T. α2 = Cambio fraccional cuadrático R por variación de T. Las constantes α1 y α2 tienen unidades (1/grados) y (1/grados)2, respectivamente. Se hallan a través de tablas o gráficas usando los valores de resistencia en tres puntos. Estos valores también dependen de la escala de temperatura que se utiliza. 2.4 Aproximación por mínimos cuadrados. Por medio de este método, se puede minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones de un número de datos experimentales (N) respecto al valor verdadero de la variable a la que se le realiza la aproximación. Una forma de aproximar los datos es mediante la ecuación 4 de una línea recta. R=aT+b (4) Y las constantes (a) y (b) son halladas mediantes las expresiones que se tienen en las ecuaciones 5 y 6. a=NTR-(T)(R)N(T)2-(T)2 (5)  b=T2R-(T)(TR)N(T)2-(T)2 (6) A pesar de los esfuerzos por mejorar la aproximación, siempre existirá un error  estándar, que se obtiene mediante la ecuación 7. Error Estándar= (Ri-Ri)2 (7) 2.5 Coeficiente de correlación. Una manera de verificar la confiabilidad del modelo que se sintetizo es hallar el coeficiente de correlación entre los valores medidos físicamente y los valores calculados  por la ecuación matemática modelada en términos de alfa. Para ello se tiene la ecuación 8, en la que se relacionan dichos valores. rxy=nxiyi-xiyinx2i-(xi)2ny2i-(yi)2 (8) 3. DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA. Ilustración 3. Diagrama de bloques del proyecto de laboratorio. Autores. Para tomar los datos y realizar la verificación del modelo matemático se utilizara una RTD, cuya referencia es: “PT-100”, con las especificaciones similares a las mencionadas anteriormente para medir la resistencia entre las terminales, se utilizó un multímetro digital, y finalmente para simular la temperatura se utiliza un equipo especializado de calibración AMETEK ETC.

Se introduce la RTD en el equipo generador de temperatura de alta precisión, respetando los tiempos mínimos para que el instrumento garantice la temperatura que se indica en el LCD del mismo. Para este caso particular siempre se respetó los 6 minutos en todas las medidas tomadas. Desde 20 hasta 70 grados centígrados, en pasos de 5 grados. No se requirió de ningún circuito adicionar o elementos especiales para realizar  el montaje. Se verifico la resistencia de los cables de la RTD con el multímetro Los datos de temperatura se registraron manualmente y se ingresaron al software EXCEL para realizar las sumatorias requeridas para los cálculos. Como para la elaboración de graficas ya que este presenta mucha facilidad para realizar los gráficos y fáciles opciones de personalización de las mismas. 4. DIAGRAMAS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS DEL CIRCUITO. Existen diferentes formas para obtener datos de una RTD, estas varían dependiendo de los cables que tenga la misma: Esta es la forma más fácil de realizar una medición, pero no es la más segura, debido a que la resistencia de la terminal en los cables es alta, por un voltaje alto en los mismos. Para realizar esta conexión, se debe poner la terminal del RTD roja al positivo de excitación y el terminal negro o blanco al negativo de la excitación, como se ilustra: Ilustración 4. Conexión de una RTD de dos cables. [8]. Para obtener mejores medidas, se puede utilizar un buen sistema de calibración, en este caso las ilustraciones 5 y 6 permiten observar uno de los más sencillos. Ilustración 5. Conexión de una RTD de tres cables a NI 9217 RTD. [8]. Ilustración 6. Conexión de una RTD de cuatro cables a NI 9217 RTD. [8]. 5. RESULTADOS OBTENIDOS EN LA PRÁCTICA. Para la práctica se realizaron tomas de datos en dos ocasiones diferentes con la intención de promediar los valores obtenidos en ambas ocasiones y trabajar con tal  promedio. Estos datos obtenidos se muestran en las tablas 1, 2 y 3. Temperatura (°C) | RTD (Ω) | | 20 – 70 | 70 – 20 | 20,0 | 108,2 | 108,6 | 25,0 | 109,8 | 110,2 | 30,0 | 111,9 | 112,1 | 35,0 | 113,6 | 113,9 | 40,0 | 115,3 | 115,8 | 45,0 | 117,2 | 117,5 | 50,0 | 119,6 | 119,4 | 55,0 | 121,3 | 121,3 | 60,0 | 123,2 | 125,0 | 65,0 | 125,1 | 123,2 | 70,0 | 127,0 | 126,9 |

Tabla 1. Datos obtenidos en la primera toma. Autores. Temperatura (°C) | RTD (Ω) | | 20 – 70 | 70 – 20 | 20,0 | 110.1 | 108.3 | 25,0 | 111.7 | 110.3 | 30,0 | 113.9 | 112.5 | 35,0 | 115.4 | 114.0 | 40,0 | 116.5 | 116.0 | 45,0 | 118.0 | 118.2 | 50,0 | 119.6 | 119.7 | 55,0 | 122.7 | 121.6 | 60,0 | 125.5 | 124.0 | 65,0 | 127.0 | 126.6 | 70,0 | 128.0 | 127.9 | Tabla 2. Datos obtenidos en la segunda toma. Autores. Temperatura (°C) | RTD (Ω) | | 20 – 70 | 70 – 20 | 20,0 | 109,15 | 108,45 | 25,0 | 110,75 | 110,25 | 30,0 | 112,90 | 112,30 | 35,0 | 114,50 | 113,95 | 40,0 | 115,90 | 115,90 | 45,0 | 117,60 | 117,85 | 50,0 | 119,60 | 119,55 | 55,0 | 122,00 | 121,45 | 60,0 | 124,35 | 124,50 | 65,0 | 126,05 | 124,90 | 70,0 | 127,50 | 127,40 | Tabla 3. Datos obtenidos del promedio de las dos tomas. Autores. La gráfica de los datos con línea de tendencia agregada automáticamente por EXCEL se muestra en la ilustración 7 y 8. Ilustración 7. Línea de tendencia de los datos experimentales de 20 – 70 °C. Autores. Ilustración 8. Línea de tendencia de los datos experimentales 70 – 20 °C. Autores. Con los datos promediados, se procede a realizar las aproximaciones. 5.1 Aproximación lineal. Como ya se ha dicho la aproximación lineal, implica el modelo matemático que se tiene en la ecuación 2, donde los valores para el caso serían: R0 = 117.6Ω, T0 = 45°C, R1 = 109.15Ω, R2 = 127.5 Ω, T1 = 20°C y T2 = 70°C y se reemplazan dichos valores para encontrar el valor de alfa. α=0,0031207/°C Entonces. RT=117.61+0,0031207T-45

=117.6+0.367T-16.5150 =101.0850+0.367T Obteniendo así la ecuación 9 que describe una aproximación lineal del modelo matemático de la RTD para un rango de temperatura 20°C
3.3419E-3 y α2 =1E-6. De esta manera al reemplazar estos valores en la ecuación 10, se genera el modelo matemático la ecuación 13, que se cumple para un rango de temperatura 0°C
En la tabla 5 se puede apreciar que existe una diferencia mínima entre los datos medidos físicamente y los calculados por la ecuación lineal en términos de los coeficientes a y b. Por lo que utilizando la ecuación 8, se obtiene un coeficiente de correlación de 0.9982068Ω. Se calcula el error estándar mediante la ecuación 7 con y la sumatoria de la diferencia entre los datos medidos y los datos obtenidos por el modelo. Error Estándar= 1,1778 Se gráfica en EXCEL la línea generada por el modelo matemático y los puntos originales para ver gráficamente que tan acertada es la aproximación lineal que calculamos. Ver gráfica no.3. En la sección de resultados Algunos fabricantes de RTDs son: JMindustrial, CENTER® Center Technology Corp., Conax® Technologies, GE Measurement & Control, MÜLLER, red lion Controls, B+B Thermo-Techmik. Los tipos de RTDs varían de acuerdo a su material y, consecuentemente, a sus  parámetros según la siguiente tabla: Material del elemento | Resistencia a 0°C | Coeficiente de temperatura (α) | Rango de uso °C | Especificación según norma | Platino (PT100) | 100 | 0.003926 | -- | REFERENCE | Platino (PT100) | 100 | 0.00385 | -200 a 750 | DIN | Platino (PT1000) | 1000 | 0.00385 | -100 a 200 | DIN | Cobre (CU-10) | 10 (25°C) | 0.00427 | -100 a 200 | DIN |  Níquel (Ni-100) | 100 | 0.00672 | -100 a 200 | DIN | Tabla no.4 Tipos, Parámetros de RTDs comerciales 6. RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES. Gráfica no.1. Aproximación lineal Los puntos rojos representan los valores originales medidos físicamente, la línea azul representa el grafico de la función hallada por el método de aproximación lineal. RT=101.0850+0.367T 20°C
7. ANÁLISIS RESULTADOS. Una vez se tomo los datos y haber realizado las aproximaciones, se observa que cada una de las anteriores no presentan una gran diferencia, por lo contrario, presenta una gran similitud, a pesar de tener diferentes constantes en sus variables. Al no variar  demasiado las aproximaciones una de la otra, se puede afirmar que la RTD PT100 tiene un comportamiento prácticamente lineal. El comportamiento casi lineal del transductor, se debe a que ningún transductor es ideal,  por lo cual esta propenso a diferentes causas de error. Un ejemplo claro de ello se observa en la medida característica de una PT100 (a 0°C da 100Ω), para esta caso, ninguno de los cortes en los cálculos dio 100 Ω. Sin embargo, hay un factor muy importante cuando se está realizando mediciones. Cuando se estaba realizando estas, se medía la temperatura con un termómetro digital con una termocupla tipo K para verificar la temperatura del sistema generador de la misma, tenía un alcance de 3.6°C al llegar a una temperatura de 40°C y cuando llegaba a temperaturas más altas de 50°C tenía un alcance de 4°C. Por lo que cuando se desea calibrar un sistema, uno tiene que ser mas preciso y exacto que el otro. 8. CONCLUSIONES. * Los 3 métodos de aproximación son bastante similares, en este caso, casi en 99 % con respecto a los datos tomados, esto nos indica que para el rango de datos de la variable independiente temperatura entre 20 y 70 grados centígrados el comportamiento de cambio de la resistencia es prácticamente lineal. * El valor de alfa que calculamos para el RTD PT100 nos dio un poco distinto, el de la hoja de datos es 0.003850 y el que calculamos es 0.003120, es posible que las condiciones donde se tomaron los datos influyan en el cálculo del alfa. * No se tuvo en cuenta la resistencia del cable del RTD en los cálculos, se trabajó directamente con el dato entregado por el multímetro digital. Es posible que los valores de las resistencias calculadas con los modelos matemáticos difieran 1.4 Ω. * Se utilizó un termómetro digital con termocuplas tipo K para verificar la temperatura del sistema generador de temperatura, para temperaturas hasta 40°C la diferencia entre las medidas fue de ±1.8°C, para temperaturas más altas desde los 50°C hasta los 70 °C la diferencia entre las medidas llego casi a 4°C. Según las especificaciones de ambos equipos es más confiable el generador ya que es mucho más elaborado y preciso. 9. BIBLIOGRÁFIA. 1. INGECOZS. Sensor de temperatura por resistencia RTD PT100. Internet: (http://www.ingecozs.com/pt100.pdf). 1. 2. CERQUERA. Armando. AJUSTES DE CURVAS Métodos Lineales y estimación  por Mínimos Cuadrados. Internet: (http://www.scribd.com/doc/5707214/MinimosCuadrados).

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