Modelarea și Simularea Sistemului Cardiovascular
Cuprins 1.
2.
Introducere .......................................................................................................................................... 3 1.1
Context .......................................................................................................................................... 3
1.2
Descrierea lucrării şi contribuţia adusă ......................................................................................... 4
Sistemul cardiovascular...................................................................................................................... 4 2.1
Inima ............................................................................................................................................. 6
2.1.1
Camerele inimii ..................................................................................................................... 7
2.1.2
Peretele inimii ....................................................................................................................... 7
2.1.3
Valvele inimii........................................................................................................................ 8
2.1.4
Circuitul sângelui în inimă .................................................................................................... 8
2.1.5
Conducţia cardiacă ................................................................................................................ 9
2.1.6 Ciclul cardiac ............................................................................................................................ 10 2.2
Vasele de sânge ........................................................................................................................... 11
2.2.1
Arterele ............................................................................................................................... 12
2.2.1.1
Tipuri şi caracteristici...................................................................................................... 12
2.2.1.2
Presiunea arterială .......................................................................................................... 12
2.2.2
Capilarele ............................................................................................................................ 13
2.2.3
Venele ................................................................................................................................. 13
2.2.4
Patologia vaselor de sânge .................................................................................................. 14
2.3
Sângele ........................................................................................................................................ 15
2.3.1
Plasma ................................................................................................................................. 16
2.3.2
Elemente figurate ................................................................................................................ 16
2.3.3
Parametrii hemodinamici ai sângelui.................................................................................. 17
2.4
2.3.3.1
Vâscozitatea sângelui ...................................................................................................... 17
2.3.3.2
Rezistența sângelui ......................................................................................................... 17
2.3.3.3
Inerția sângelui................................................................................................................ 19
2.3.3.4
Complianța ...................................................................................................................... 20
Sistemul circulator ...................................................................................................................... 20
2.4.1
Circulaţia pulmonară ........................................................................................................... 20
2.4.2
Circulaţia sistemică ............................................................................................................. 21
2.4.3
Circulaţia inimii .................................................................................................................. 21
1
3.
Modelare şi simulare matematică .................................................................................................... 21 3.1
Aspecte generale ......................................................................................................................... 21
3.2
Modelarea matematică aplicată în bioinginerie .......................................................................... 22
3.2.1
Modelarea cardiovasculară ................................................................................................. 23
3.2.2
Legătura dintre parametrii hemodinamici şi cei electrici .................................................... 23
3.2.2.1
Rezistenţa sângelui şi rezistenţa electrică ....................................................................... 23
3.2.2.2
Complianţa vasului şi capacitatea condensatorului......................................................... 24
3.2.2.3
Inerţia sângelui şi inductanţa........................................................................................... 24
3.2.2.4
Valve şi diode ................................................................................................................. 25
3.2.3
Modelul Windkessel .......................................................................................................... 25
3.2.3.1
Modelul Windkessel cu doua elemente (MW2).............................................................. 26
3.2.3.2
Modelul Windkessel cu trei elemente (MW3) ................................................................ 27
3.2.3.3
Modelul Windkessel cu patru elemente (MW4) ............................................................. 27
3.2.3.4
Simularea modelelor Windkessel.................................................................................... 28
3.2.4
Model Windkessel modificat - model simplu ce descrie inima ca o pompă ....................... 36
3.2.4.1
Analiza teoretică ............................................................................................................. 36
3.2.4.2
Analiza modelului cu valori reale ................................................................................... 43
3.2.5
Model pentu un sistem de monitorizare continuă a presiunii sângelui ............................... 47
3.2.5.1
Modelarea circulaţiei arteriale ........................................................................................ 47
3.2.5.2
Modelul peretelui vascular .............................................................................................. 50
3.2.5.3
Discretizarea şi analiza modelului .................................................................................. 51
3.2.5.4
Modelarea circulaţiei dinspre inimă ................................................................................ 55
3.2.5.5
Modelarea circulaţiei înspre inimă .................................................................................. 55
3.2.5.6
Modelul arterial complet ................................................................................................. 56
3.2.5.7
Descrierea dispozitivului de monitorizare a presiunii arteriale....................................... 57
4.
Concluzii ................................................................................................................................. 58
5.
Bibliografie .............................................................................................................................. 60
6.
Anexe ...................................................................................................................................... 62
2
1. Introducere 1.1 Context Procesul de diagnosticare medicală, esenţa medicinei, reprezintă procesul de colectare a informaţiei de la pacienţi şi determinarea condiţiei lor de sănătate. În general, pentru a stabili un diagnostic un medic urmăreşte următorii paşi: Înregistrarea simptomelor; Istoricul medical şi caracteristicile mediului de acasă şi de la muncă; Examinare fizică. În ultima etapă, pe lângă clasicele analize de sânge, adeseori sunt utilizate dispozitive speciale ce înregistrează semnele vitale ale pacientului, dar şi alţi parametri importanţi, cum ar fi pulsul, modul de respiraţie, diferite dimensiuni şi volume caracteristice inimii. Astfel, în ultima perioadă se dezvoltă echipamente medicale din ce în ce mai sofisticate, ce oferă informaţii complexe şi precise în timp real despre funcţionarea organismului uman în general şi a sistemului circulator în particular. Dar pentru a realiza acest lucru trebuie mai întâi înţeles modul de funcţionare al sistemului cardiovascular prin modelarea şi mai apoi simularea acestuia. În medicina modernă, specialiştii combină cunoştinţe din anatomie, electrofiziologie şi biomecanică tocmai pentru a dezvolta un model al inimii şi al sistemului circulator. Folosind date clinice obţinute din analize de sânge, imagistică medicală, electrocardiograme şi intervenţii chirurgicale activitatea cardiacă şi circulaţia sângelui prin organism pot fi simulate. Astfel se pot determina şi observa alţi parametri importanţi precum presiunea arterială cu cele două componente, presiunea arterială medie şi fracţia de ejecţie pentru a testa noi terapii şi pentru a planifica intervenţii chirugicale personalizate. Prin urmare, modelele au un rol deosebit în cercetările ştiinţifice, fiind folosite din cele mai vechi timpuri pentru cercetarea fenomenelor şi proceselor complicate. Se cunoaşte faptul că un model reuşit este mai accesibil pentru cercetări decât obiectul real. Mai mult chiar, unele obiecte şi fenomene nu pot fi cercetate în original, cum este cazul inimii şi sistemului circulator. Un avantaj al modelării matematice este faptul că se poate stabili un diagnostic cât mai exact, se pot preveni anumite boli sau descoperi în faze incipiente. Astfel, boli fatale în trecut (pneumonia, apendicita) au putut fi tratate, crescând pentru mulţi speranţa de viaţă. În dezvoltarea unui model, datorită complexităţii crescute se fac anumite presupuneri simplificatoare şi se scriu legile fizico-chimice corespunzătoare, cum ar fi ecuaţiile de bilanţ masic, volumic sau energetic. De asemenea se realizează şi analogii ale sistemelor reale cu elemente de mecanică sau, cum este cazul şi lucrării de faţă, cu elemente electrice care se comportă analog cu componentele sistemului considerat. [1]
3
1.2 Descrierea lucrării şi contribuţia adusă În lucrarea de faţă se doreşte evidenţierea importanţei modelării şi simulării inimii şi sistemului circulator, punându-se accent pe obţinerea unor parametri importanţi în determinarea condiţiei de sănătate a unui pacient şi a stabilirii unui diagnostic. În prima parte a acestei lucrări se evidenţiază structura, componentele şi modul de funcţionare al inimii şi al sistemului circulator uman. În prima parte am prezentat principalele caracterisitici ale inimii, am explicat ciclul cardiac si apoi sunt am descris vasele de sânge - tipuri şi carateristici principale. În continuare am prezentat sângele cu componentele sale şi principalii parametri hemodinamici. Şi nu în ultimul rând am explicat sistemul circulator uman ce se poate imparti in trei – circulaţia sistemică, pulmonara şi a inimii. Paramentrii descrişi sunt factori esenţiali in modelarea şi simularea sistemului cardiovascular. Partea a doua a lucrării cuprinde aspecte generale ale modelării matematice şi ale modelării aplicate în bioinginerie, cu exemplificare pe trei modele ce îmbina ecuaţii diferenţiale specifice şi elemente de electronică. Pentru acest lucru am prezintentat explicit legătura dintre elementele de hemodinamică şi cele electrice. Astfel, primul model ales este binecunoscutul model Windkessel cu cele trei variante ale sale: cu două, trei şi patru elemente. Într-o primă etapă, ecuaţiile diferenţiale ce caracterizează circuitele electrice corespunzătoare sunt simulate folosind mediul Matlab şi este afişată variaţia presiunii arteriale în timpul unui ciclu cardiac. Se realizează şi o comparaţie a celor trei modele prin analiza variaţiilor de presiune corespunzătoare. De asemenea, este afişată şi variaţia debitului de sânge prin aortă într-un ciclu cardiac. Pentru partea a doua a simulării am determinat funcţiile de transfer caracterisitice celor trei modele Windkessel şi se realizează o analiză de sistem, determinându-se ordinul funcţiilor de transfer şi principalii parametri ce caracterizează evoluţia dinamică a sistemelor, având la intrare un răspuns de tip treaptă. Această analiză se realizează în mediul de simulare Matlab/Simulink. Al doilea model studiat este dezvoltat tot pe baza unuia dintre modelele Windkessel şi este o reprezentare schematică a sistemului circulator. În cadrul acestuia, fiecare cameră a inimii este considerată o sursă de tensiune (presiune), a cărei valoare este determinată dintr-o ecuaţie diferenţială corespunzătoare. Acest model a fost dezvoltat pentru condiţii teoretice pentru a ilustra schematic cele două circulaţii – sistemică şi pulmonară. Pentru a valida modelul, l-am implementat în mediul Matlab/Simulink folosind biblioteca Sim Power şi am considerat valori standard pentru un caz teoretic. Pe baza acestora, am determinat şi afişat variaţia debitului în aortă şi variaţia presiunilor aortică şi ventriculară. Tot în Matlab am simulat şi variaţia presiunii în funcţie de volum, dată de ecuaţia diferenţială, pe un ciclu cardiac şi variaţia elastanţei. Scopul acestei lucrări este demonstrarea importanţei modelării şi simulării în vederea stabilirii unui diagnostic. 4
De la Institutul de boli cardiovasculare „Prof. Dr. C. C. Iliescu ”, Fundeni am achiziţionat date clinice din ecografii transtoracice realizate cu un dispozitiv cu ultrasunete -Vivid 7 pentru doi pacienţi adulţi de sex masculin. Din aceste ecografii am extras valorile volumului de sânge din ventriculul stâng atât în faza sistolică, cât şi diastolică. În continuare am simulat variaţia presiunii ventriculare în timpul sistolei şi am reţinut valoarea maximă, valoare iniţială cu care este apoi pompat sângele în aortă. Presiunea reţinută a fost introdusă apoi în modelul electric şi s-au afişat variaţiile debitului aortic şi ale presiunilor ventriculare şi aortice în timp. Cunoscând durata celor două faze – sistolică şi diastolică – am validat pe baza graficului valoarea presiunii sistolice ca fiind valoarea reţinută anterior şi am determinat presiunea diastolică. Cu aceste două mărimi am calculat ulterior valoarea presiunii arteriale medii pentru cei doi pacienţi. Am comparat apoi presiunile determinate cu valorile normale admise şi am constatat că primul pacient se încadrează în aceste limite, dar al doilea suferă de hipertensiune arterială. Acest lucru este întărit şi de valoarea debitului de sânge prin aortă, care creşte la pacientul bolnav, dată fiind relaţia de proporţionalitate dintre presiune şi debit. Presiunea arterială medie, pe care am calculat-o pe baza modelului general, este o mărime monitorizată constant în timpul unei intervenţii chirurgicale căci ea indică volumul de sânge ce ajunge la organele importante ale organismului, cum ar fi rinichii, creierul sau ficatul. O valoare ridicată a acestei presiuni duce la o tensiune suplimentară asupra pereţilor vaselor de sânge, creşte riscul apariţiei trombilor şi poate duce chiar la ruptura vasului de sânge. O valoare mai scăzută decât normal poate indica o diminuare a funcţiilor inimii. În concluzie, presiunea sângelui este o mărime fiziologică importantă a sistemului circulator şi cunoaşterea ei este esenţială pentru medici în stabilirea unui diagnostic, dar şi pentru monitorizarea pacienţilor în timpul anesteziei şi terapiei intensive. De asemenea, dacă după două determinări succesive ale presiunii, un pacient este diagnosticat cu hipertensiune sau hipotensiune, este vitală monitorizarea periodică sau permanentă a acestuia. Pentru o monitorizare continuă a unui pacient cu a anumită condiţie cardiacă se poate folosi un dispozitiv mobil, dar neinvaziv ce determină în mod continuu mărimea presiunii arteriale. Un astfel de dispozitiv este descris în ultima secţiune a lucrării de faţă. Pentru dezvoltarea acestuia s-au folosit atât ecuaţii diferenţiale ce descriu curgerea sângelui printr-un segment al unui vas, cât şi modele electrice dezvoltate tot pe baza modelelor clasice Windkessel. În acest caz, comportarea sângelui printr-un segment arterial este modelată cu ajutorul ecuaţiilor Navier – Stokes ce descriu mecanica fluidelor, iar circulaţia venoasă ce ajunge la inimă şi cea arterială prin care inima pompează sânge în organism prin modele electrice Windkessel. Acest aparat este compus din mai mulţi senzori ce măsoară mărimi fiziologice, precum 5
volumul de sânge şi diametrul vasului, pe care le integrează apoi în modelul matematic ce descrie complet circulaţia sângelui şi calculează valoarea presiunii arteriale. Combinarea valorilor obţinute de la acest aparat cu ceilalţi parametri importanţi ce caracterizează sistemul cardiovascular reprezintă un mare beneficiu pentru pacienţi, deoarece diagnosticul şi tratamentul corespunzător poate fi particularizat pentru fiecare, crescând eficienţa şi reducând timpul de recuperare.
2. Sistemul cardiovascular Este un sistem complex, esenţial vieţii, fiind responsabil cu transportul nutrienţilor şi eliminarea deşeurilor din organism. El este format din inimă şi sistemul circulator, structura sa cuprinzând inima, vasele de sânge şi sângele. Inima este organul care furnizează sânge şi oxigen întregului organism. Acest muşchi produce impulsuri electrice printr-un proces numit conducţie cardiacă, impulsuri care produc bătaia inimii, adică contracţia şi relaxarea acesteia. Bătaia inimii determină un ciclu cardiac în cadrul căruia se pompează sânge către celule şi ţesuturi. Vasele de sânge sunt reţele complexe de tuburi care transportă sângele prin corp. Sângele circulă de la inimă prin artere la arteriole, apoi la vasele capilare, la venule, vene şi înapoi la inimă. În cadrul microcirculaţiei, substanţe precum oxigenul, dioxidul de carbon, nutrienţii şi produşii ce trebuie eliminaţi sunt schimbate între sânge şi fluidul care înconjoară celulele. Sângele transportă nutrienţii la celule şi elimină deşeurile produse în timpul proceselor celulare, cum ar fi respiraţia celulară. Este alcătuit din celule roşii, albe, trombocite şi plasmă. 2.1 Inima Inima sau cordul este organul reprezentativ al aparatului cardiovascular, furnizând sânge şi oxigen către întreg organismul. Ea este situată în cavitatea toracică, fiind înconjurată de un sac cu fluid numit pericard. Este un organ lung de aproximativ 15 cm, cu un diametru de 11 - 12 cm, şi poate cântări până la 275 - 300 grame. Are formă de pară, cu vârful orientat spre stânga, sprijinindu-se de diafragmă. Sarcinile inimii sunt mult mai complexe decât pomparea sângelui în organism. Ea trebuie să fie capabilă să răspundă schimbărilor în necesarul de oxigen al corpului. Inima lucrează altfel în timpul somnului decât în timpul unui efort fizic. Mai mult, împreună cu sistemul circulator poate răspunde aproape instantaneu schimbărilor rapide. O imagine stilizată a inimii ce ilustrează principalele părţi componente este figura 1.1.
6
Figura 2.1 Structura inimii
2.1.1 Camerele inimii Septul împarte inima în partea dreaptă, respectiv stângă, care la rândul lor se împart în câte două camere. Cele patru camere rezultate sunt: atriul drept, ventriculul drept, atriul stâng şi ventriculul stâng. Cele două camere superioare, atriul drept şi stâng, sunt camerele de primire a sângelui. Acestea colectează sângele adus de vene. Camerele inferioare ale inimii, ventriculul stâng şi drept, au rolul unor pompe puternice. Ele împing sângele prin artere, de la inimă către corp. Drept consecinţă, datorită forţei necesare pentru a pompa sângele, ventriculele au pereţii mai groşi decât atriile. Ventriculul stâng are pereţii cei mai groşi – mai mult de un centimetru la o persoană adultă – deoarece el trebuie să pompeze sângele până la cele mai depărtate celule ale corpului. Atriul drept primeşte sânge sărac în oxigen prin venele cave inferioară şi superioară. Cea superioară aduce sânge de la cap, gât, mâini şi piept, iar cea inferioară de la regiunea inferioară a corpului - spate, abdomen, pelvis şi picioare. Atriul stâng primeşte sânge oxigenat din plămâni prin venele pulmonare. Ventriculul drept primeşte sânge de la atriul drept şi îl pompează în artera pulmonară. Aceasta se ramifică în artere mai mici care ajung în plămâni. Aici se reîncarcă cu oxigen şi se întoarce în inimă prin venele pulmonare. Ventriculul stâng primeşte sânge bogat în oxigen din atriul stâng şi îl pompează în aortă. Aceasta îl transportă şi distribuie către restul organismului. 2.1.2 Peretele inimii Peretele cardiac este alcătuit din trei straturi: epicardul, miocardul şi endocardul. Epicardul este stratul exterior al peretelui inimii şi este alcătuit din ţesut conjunctiv acoperit de epiteliu. Este cunoscut şi sub numele de pericard visceral şi reprezintă stratul protector al inimii. 7
Miocardul este stratul mijlociu, muscular al peretelui cardiac. Este compus din fibre cardiace musculare care se contractă spontan. Contracţia inimii este o funcţie autonomă a sistemului nervos periferic. Miocardul susţine contracţiile cardiace pentru a pompa sânge de la ventricule şi relaxarea inimii, moment în care atriile primesc sânge din vene. Aceste contracţii produc bătaia inimii care determină pomparea sângelui către celule şi ţesuturi. Endocardul este stratul intern al inimii şi este format din ţesut epitelial şi conjunctiv. El acoperă cavităţile inimii, valvele cardiace şi se continuă cu stratul intern al vaselor de sânge. De asemenea, fibrele Purkinje sunt localizate la nivelul endocardului, fibre care participă în mecanismul contracţiei muşchiului cardiac. [2] 2.1.3 Valvele inimii Asigură curgerea unidirecţională a sângelui, esenţială pentru functionarea inimii ca pompă. Ele se deschid uşor, ca nişte clapete, în direcţia curgerii sângelui şi se închid când acesta împinge în sens invers, straturile lor externe fiind sensibile la variaţiile presiunii sanguine. Inima prezintă două tipuri de valve: atrioventriculare şi semilunare. Valva atrioventriculara dreaptă (tricuspidă) este formată din trei fâşii de ţesut, în timp ce valva stângă (bicuspidă sau mitrală) are doar două. Cele semilunare – pulmonară în dreapta şi aortică în stânga - sunt formate din trei fâşii de ţesut în formă de semilună. (vezi tabel 2.1) Valva Tricuspidă Mitrală
Locaţie Între atriul drept şi ventriculul drept Între atriul stâng şi ventriculul stâng
Pulmonară
Între ventriculul drept şi artera pulmonară
Aortică
Între ventriculul stâng şi aortă
Rol Permite sângelui venos să treacă din atriul drept în ventriculul drept. Permite sângelui bogat în oxigen să treacă din atriul stâng în ventriculul stâng. Permite sângelui sărac în oxigen să treacă din ventriculul drept în artera pulmonară Permite sângelui bogat în oxigen să treacă din ventriculul drept în aortă
Tabel 2.1 Valvele inimii
2.1.4 Circuitul sângelui in inimă Determinarea fluxului sângelui în inimă nu este atât de simplă pe cât pare. Inima este un organ complex alcătuit din patru camere, patru valve şi o mulţime de vase de sânge pentru a pompa sânge în organism. Acesta circulă prin inimă, apoi în plămâni înainte de a se întoarce în miocard astfel: Sângele care se întoarce din organism a cedat mare parte din oxigen şi s-a încărcat cu dioxid de carbon din ţesuturi. Acesta este colectat de două vene mari, vena cavă superioară şi 8
vena cavă inferioară. Sângele intră întâi în atriul drept al inimii şi de aici trece prin valva tricuspidă în ventriculul drept. La bătaia inimii, ventriculul împinge sângele prin valva pulmonară în artera pulmonară. Această arteră este unică deoarece este singura arteră din corpul uman care transportă sânge sărac în oxigen. Prin artera pulmonară sângele ajunge în plămâni unde se va reâncărca cu oxigen şi va elimina dioxidul de carbon. Sângele, bogat acum în oxigen se întoarce la inimă prin vena pulmonară. El intră în atriul stâng şi coboară apoi în ventriculul stâng prin valva mitrală. Ventriculul stâng pompează sângele prin valva aortică in aortă, cea mai mare artera a corpului. Artere mai mici care se ramifică din aortă distribuie sângele către diferite părţi ale organismului. Cele patru valve au un rol foarte important în circulaţia sângelui prin inimă, fără acestea nu s-ar putea dezvolta forţa şi presiunea necesare pompării sângelui. Astfel, valvele din partea de sus a fiecărui ventricul se deschid pentru ca acesta să se umple cu sânge, în timp ce valvele din partea de jos se închid pentru ca sângele să părăsească ventriculul. Când acesta se umple, valvele de sus se închid şi cele de jos se deschid pentru ca ventriculul să pompeze sângele în afară. Circulaţia sângelui se poate rezuma astfel: Sânge sărac in O2
Valva tricuspidă Atriu drept
Valva pulmonară Ventricul drept
Arteră pulmonară
Organism
Valva aortică Aortă
Valva mitrală Ventricul stâng
Vena pulmonară Atriu stâng
Sânge cu O2
Plămâni
Figura 2.2 Circulația sângelui
2.1.5 Conducţia cardiacă Reprezintă ritmul în care se conduc impulsurile electrice în inimă, ritm care coincide şi cu bătăile inimii. Un rol important îl au: nodulul sinoatrial, fibrele Purkinje, nodulul atrioventricular şi fasciculul atrioventricular. Celulele muşchiului cardiac se contractă spontan, iar aceste contracţii sunt coordonate de nodulul sinoatrial, formaţiunea ce imprimă ritmul de contracţie al inimii (peacemaker). Nodulul sinoatrial este format din ţesut nodal care prezintă atât caracteristici ale ţesutului muscular cât şi ale celui nervos.Acesta este localizat în partea superioară a peretelui atriului drept şi când se contractă generează impulsuri nervoase care se transmit de-a lungul peretelui cardiac 9
determinând contracţia atriilor. Nodul atrioventricular se găseşte în partea dreaptă a septului interatrial, lângă baza atriului drept. Când impulsurile electrice ajung la nodul sunt întârziate pentru aproximativ o zecime de secundă, permiţând astfel contracţia atriilor şi golirea conţinutului acestora. Impulsurile sunt trimise apoi către fascicolul atrio-ventricular. Acesta se împarte în două ramuri, iar impulsurile sunt conduse spre centrul inimii: spre ventriculele drept şi stâng. La baza inimii fascicolele atrioventriculare se divid şi mai mult în fibrele Purkinje. Când impulsul ajunge la aceste fibre ele determină contracţia fibrelor musculare de la nivelul ventriculelor. 2.1.6 Ciclul cardiac Ciclul cardiac reprezintă o secvenţă de evenimente ce apar când inima bate. Deşi cele două jumătăţi ale inimii sunt separate, ele se contractă simultan, producând o singură bătaie. Mai exact, evenimentele care au loc de la începutul unei bătăi, până la producerea următoarei alcătuiesc un ciclu cardiac (cu o durată de 0.8 secunde). Acesta are două faze: diastola şi sistola. Diastola reprezintă etapa în care ventriculele sunt relaxate şi inima primeşte sânge şi în timpul sistolei ventriculele se contractă şi pompează sânge în artere. Ciclul cardiac este format din câte două diastole şi sistole, etape care urmăresc drumul sângelui de când intră în inimă, este pompat în plămâni, ajunge înapoi la inima şi este distribuit în organism. Este important de reţinut faptul că prima şi a doua etapă a diastolei sunt simultane. Acelaşi lucru se aplică şi în cazul sistolei. Prima diastolă: ventriculele şi atriile sunt relaxate şi valvele atrioventriculare sunt deschise, iar sânge fără oxigen provenit de la venele cave pătrunde în atriul drept. Nodulul sinoatrial se contractă determinând şi contracţia atriilor, in aceste condiţii atriul drept îşi goleşte conţinutul în ventriculul drept. Circulaţia unidirectională a sângelui este asigurată de valvele tricuspide. Prima sistolă: ventriculul drept primeşte impulsuri de la fibrele Purkinje şi se contractă. Valvele atrio-ventriculare se închid, iar cele semilunare se deschid. Sângele fără oxigen este pompat astfel în artera pulmonară, iar valvele acesteia previn reîntoarcerea sângelui în ventriculul drept. Artera pulmonară transportă sângele spre plămâni. Aici sângele se încarcă cu oxigen şi se întoarce la atriul stâng prin venele pulmonare. A doua diastolă: valvele semilunare se închid, iar cele atrio-ventriculare se deschid, sângele ajungând prin venele pulmonare în atriul stâng. Nodulul sinoatrial se contractă şi determină contractarea atriului, care îşi goleşte conţinutul în ventriculul stâng. Valva mitrală previne întoarcerea sângelui bogat în oxigen în atriul stâng. A doua sistolă: valvele atrioventriculare se închid, iar cele semilunare se deschid. Ventriculul stâng primeşte impulsuri de la fibrele Purkinje şi se contractă. Sângele oxigenat este pompat în aortă, valvele acesteia prevenind refularea sângelui în ventriculul stâng. [3]
10
Aorta se va împărţi în mai multe artere pentru a transporta oxigen în toate regiunile corpului, iar sângele descărcat de oxigen se întoarce la inimă prin venele cave. Ciclul cardiac se poate rezuma ca in tabelul 2.2: Etapă Evenimente Prima diastolă 1.Sânge fără oxigen intră în atriul drept prin venele cave. 2.Valva tricuspidă se deschide şi sângele ajunge în ventriculul drept. Prima sistolă 1.Ventriculul drept se contractă. 2.Valva tricuspidă se închide, cea pulmonară se deschide. 3.Sângele sărac în oxigen ajunge în artera pulmonară. A doua diastolă 1.Sânge cu oxigen ajunge în atriul stâng prin vena pulmonară. 2.Atriul stâng se contractă. 3.Valva mitrală se deschide, valva aortică este închisă şi sângele ajunge în ventriculul stâng. A doua sistolă 1.Ventriculul stâng se contractă. 2.Valva aortică se deschide şi sângele cu oxigen este pompat în aortă Tabel 2.2 Ciclul cardiac
2.2 Vasele de sânge Sunt reţele complicate de tuburi care transportă sângele prin întreg organismul. Se împart în trei categorii: artere, vene şi capilare. În timpul circulaţiei sângelui, arterele transportă sângele de la inimă, capilarele conectează arterele de vene, iar în final venele duc sângele înapoi la inimă. Lungimea totală a vaselor de sânge la un copil este în medie 96 500 km, iar la un adult aproximativ 161 000 km. Vasele de sânge nu doar transportă sângele, ci ajută şi la măsurarea pulsului şi tensiunii cardiace. Contracţia ritmică a unei artere coincide cu bătaia inimii şi spre deosebire de aceasta, artera se află aproape de suprafaţa pielii, putând determina destul de exact pulsul inimii. Vasele de sânge sunt de mai multe tipuri, ilustrate în tabelul următor: Vase de sange Artere Arteriole Capilare Venule Vene
Rol Dimensiuni (diametru) Transportă sânge cu oxigen în organism (cu 0.1 – 10 mm cele mici excepţia arterei pulmonare) >10 mm cele mari 1.Transportă sânge de la artere la capilare 20 – 30 micro-metri 2.Reglează debitul şi presiunea sângelui 1.Furnizează cu oxigen şi nutrienţi ţesuturile 5 – 20 micro-metri 2.Preiau substanţele ce trebuie eliminate Transportă sânge de la capilare la vene 8 – 100 micro-metri Transportă sânge fără oxigen la inimă (cu excepţia 1mm – 1,5 cm venei pulmonare ) Tabel 2.3 Clasificarea vaselor de sânge
11
2.2.1 Arterele 2.2.1.1
Tipuri şi caracteristici
Inima pompează sânge prin artera principală numită aortă. Aceasta se ramifică apoi în artere şi arteriole, astfel încât fiecare regiune din corpul uman are propriul sistem de artere care o aprovizionează cu sânge bogat în oxigen. Aorta îşi are originea în ventriculul stâng, formează un arc, apoi se extinde până la abdomen, unde se divide în două artere mai mici. Ea distribuie sângele bogat în oxigen spre toate arterele. Majoritatea ramurilor arteriale pornesc din aortă, cu excepţia arterei pulmonare principale. Peretele său este format din trei straturi: tunica adventiciala, tunica medie şi tunica internă. Straturile sunt compuse din ţesut conjunctiv şi din fibre elastice. Aceste fibre permit aortei să se destindă, dar previn supraexpansiunea acesteia datorată presiunii exercitate în pereţii aortici de către fluxul de sânge. Arterele au un înveliş puternic în exterior şi moale pe interior. Ele sunt formate de fapt din trei straturi: ţesut la exterior, fibră musculară în mijloc şi un nivel de celule epiteliale la interior. Muşchiul este elastic şi foarte puternic, în timp ce nivelul interior este foarte neted pentru a uşura circulaţia sângelui. Peretele muscular al arterelor ajută inima să pompeze sângele. Când aceasta bate, artera se extinde pe măsură ce se umple de sânge. Când inima se relaxează, artera se contractă exercitând o forţă îndeajuns de puternică pentru a împinge sângele. Arterele transportă sângele bogat în oxigen la vasele capilare unde are loc schimbul efectiv de oxigen şi dioxid de carbon cu ţesutul. [4] Când colesterolul se acumulează în sânge şi grăsimile sunt depozitate pe pereţii arterelor apare boala numită hipercolesterolemie. Valoarea crescută a colesterolului provoacă rigidizarea arterelor sanguine şi îngustarea lor la bază, fapt care poate încetini sau chiar bloca fluxul sanguin către inimă. Când nu primeşte suficient oxigen, apar durerile în piept, atacul de cord şi chiar se poate instala decesul. 2.2.1.2
Presiunea arterială
Presiunea arterială este percepută ca fiind presiunea exercitată de sânge asupra pereţilor vasculari. Este un parametru important în stabilirea unui diagnostic de către medicii cardiologi, chiar dacă este influenţată de diferiţi factori, cum ar fi starea fizică a pacientului, vârsta, sau sexul acestuia. Presiunea arterială este de două tipuri: Sistolică – măsurată în timpul contracţiei inimii; Diastolică – măsurată în timpul relaxării inimii. Pe baza acestor două valori se calculează presiunea arterială medie ce reprezintă valoarea 12
medie a presiunii sângelui în sistemul arterial pe durata ciclului cardiac. Pentru un pacient sănătos, cele trei valori trebuie să fie mai mici decât 140mmHg – presiune sistolică; 90 mmHg – diastolică şi 110 – presiunea medie. Dacă în urma a doua determinări valorile presiunii arteriale depăşesc pe cele normale, atunci pacientul suferă de hipertensiune arterială, una dintre cele mai agresive şi răspândite boli în rândul populaţiei adulte. Conform Societatatii Române de Cardiologie, riscul de atac de cord se dublează cu fiecare creştere de 20 mmHg a presiunii sistolice şi cu fiecare creştere de 10 mmHg a celei diastolice. 2.2.2 Capilarele Capilarele sunt vase subţiri şi fragile spre deosebire de artere şi vene. Mai exact, au grosimea unei celule epiteliale şi prin ele celulele de sânge pot trece într-un singur rând. Schimbul de gaze are loc prin peretele subţire al vasului de sânge: celulele roşii eliberează oxigen care trece prin peretele capilarelor în ţesuturi, iar doxidul de carbon şi substanţele ce trebuie eliminate ajung prin acelaşi perete în celulele roşii. Vasele pasează apoi sângele cu dioxid de carbon la vene pentru a se relua circuitul. Reţelele, în formă de pânză de păianjen, de vase capilare conectează arterele şi venele din organism. Aceste vase sunt implicate şi în eliberarea căldurii excesive din corp. În caz de efort, temperatura sângelui creşte şi acesta livrează căldura la capilare, de unde este eliberată în ţesuturi. Ca urmare, pielea capăta o culoare roşiatică. Capilarele nu au muşchi neted în alcătuirea pereţilor şi astfel nu pot controla presiunea în exces decât cu ajutorul unui muşchi mic – sfincterul precapilar. Astfel, dacă acest muşchi este lezat sau nu se poate contracta, sângele poate circula prin vasele capilare cu o presiune prea mare, o cantitate de fluid poate trece din vase în spaţiul interstiţial cauzând edeme sau inflamări. 2.2.3 Venele Sunt similare arterelor, dar nu sunt la fel de puternice deoarece transportă sânge la o presiune mai mică. Sunt formate tot din trei straturi: ţesut la exterior, fibra musculară la mijloc şi un ţesut interior neted de celule epiteliale. Venele cave sunt cele mai mari două vene din organism. Vena cavă superioară se formează prin unirea venelor brahiocefalice şi aduce sânge de la cap, gât, membre superioare şi torace spre atriul drept, iar vena cavă inferioară aduce sânge din regiunea inferioară a organismului tot către atriul drept. Venele primesc sânge de la capilare după ce s-a făcut schimbul de gaze. Astfel, ele transportă sânge cu dioxid de carbon la plămâni şi apoi la inimă. Este foarte important ca sângele transportat să curgă în direcţia corectă, lucru posibil cu ajutorul valvelor plasate în interiorul 13
venelor care permit curgerea sângelui într-o singură direcţie.Valvele sunt importanta în transportul sângelui către inimă dar şi împotriva gravitaţiei. Atunci când valvele nu funcţionează normal sau se distrug, sângele se poate strânge în partea inferioară a picioarelor, cauzând apariţia varicelor. Se pot forma şi cheaguri în venele de la nivelul picioarelor, care dacă se desprind şi ajung la plămâni pot cauza embolism pulmonar şi chiar moarte. 2.2.4 Patologia vaselor de sânge Bolile cardiovasculare (BCV) reprezintă o categorie ce cuprinde mai multe afecţiuni ale inimii şi ale vaselor de sânge. Acestea reprezintă principala cauză de mortalitate în lume în prezent. România ocupă locul 3 în lume, 62% din totalul deceselor fiind din cauza bolilor cardiovasculare. Se estimează că 17 milioane de oameni mor anual din cauza BCV, iar la fiecare două secunde survine un deces ca rezultat al BCV, un atac de cord la fiecare cinci secunde şi un atac cerebral la fiecare şase secunde. [5] Cei mai importanţi factori de risc asociaţi bolilor cardiovasculare sunt: vârsta, ereditatea, genul masculin, fumatul, colesterolul crescut, obezitatea, sedentarismul, stresul, boli precum hipertensiunea arterială sau diabetul zaharat. Dintre aceştia, unii factori sunt nemodificabili (precum vârsta şi ereditatea), însă majoritatea pot fi modificaţi şi ţinuţi sub control.[6] În accepţiune mai restrânsă, termenul de BCV se referă mai ales la afectarea vasculară prin ateroscleroză. Ateroscleroza este o afecţiune a pereţilor vaselor de sânge care debutează în tinereţe şi progresează cu vârsta. Această afecţiune conduce la reducerea diametrului vasului de sânge până la înfundarea acestuia. Vasul înfundat nu mai poate transporta sânge, iar ţesuturile hrănite de acesta vor suferi. Acest lanţ de fenomene poate conduce la apariţia infarctului miocardic, a accidentului vascular cerebral şi a altor sindroame ischemice ce se pot finaliza prin decesul sau invaliditatea pacientului. Tromboza - producerea trombusului, a cheagului de sânge - este parte a unui proces fiziologic esenţial pentru menţinerea sănătăţii, şi anume hemostaza, oprirea sângerării. Acest mecanism începe cu adunarea şi agregarea trombocitelor şi declanşarea unor reacţii în lanţ, cu participarea factorilor de coagulare din sânge, din care rezultă formarea şi stabilizarea cheagului de sânge(trombului). Acest lucru se produce rapid şi după oprirea hemoragiei, trombul va fi dizolvat. Uneori însă tromboza este declanşată "abuziv", în absenţa sângerării: fie din cauza unei leziuni pe peretele vascular, fie din cauza modificării fluxului sanguin (stagnare sau turbulenţă), fie din cauza unei hipercoagulabilităţi a sângelui (tendinţă crescută de coagulare a sângelui). Odată format, trombul persistă, crescând în dimensiuni, şi poate astupa complet diametrul vasului sau se poate rupe astfel încât un embol ajunge să călătorească spre altă zonă a corpului sau poate fi, eventual, dizolvat. Dacă trombul ocupă 75% din calibrul unei artere, fluxul de sânge scade îngrijorător, ducând la hipoxie (scăderea cantităţii de oxigen în ţesuturi) şi suferinţa celulară. Dacă astupă peste 90% din acesta, se produce infarctul, cu moartea ţesuturilor irigate.
14
Adesea, trombii se formează pe vene, în 90% din cazuri fiind vorba despre tromboză venoasă profundă, localizată la nivelul membrelor inferioare. Cea mai periculoasă complicaţie a trombozei venoase profunde a membrului inferior este trombembolia pulmonară. Fragmente din tromb se desprind şi ajung în partea dreaptă a inimii. De aici intră în plămân prin artera pulmonară, blocând fluxul de sânge la un anumit nivel. Embolismul cauzat de trombi mari poate determina moarte subită, de obicei în 30 de minute de la apariţia simptomelor. Trombii de dimensiuni mai mici pot determina leziuni ireversibile la nivelul inimii şi plămânilor. Tromboza arterelor coronare se manifestă, în funcţie de gravitatea ischemiei, prin angină sau infarct miocardic,caracterizată de durere toracică severă şi prelungită, care nu cedează la tratamente obişnuite, localizată pe o zonă mare din toracele stâng sau iradiată în umăr, braţ, degete, gât).[7] Alte boli circulatorii foarte periculoase sunt anevrismele, manifestate prin dilatarea excesivă a unor porţiuni ale vaselor de sânge, cu formare de trombi. Ca urmare a pierderii elasticităţii pereţilor, vasele se pot rupe, producând hemoragii mortale. Varicele sunt dilatări ale structurilor de transport ale sângelui de la periferie către centru. Dilatarea venelor face ca sângele să stagneze în zona periferică, ceea ce duce la umflarea picioarelor şi suferinţele derivate de aici: picioare grele, dureri etc.[8] Presiunea arterială creşte în mod normal o dată cu vârsta; persoanele vârstnice sunt deci frecvent afectate de hipetensiune arterială. Aceasta constituie unul dintre factorii de risc cei mai importanţi pentru accidentul vascular cerebral sau accidentul coronarian, după vârsta de 65 de ani. Accidentul vascular cerebral produce o întrerupere a irigării unei părţi din creier (tromboza sau embolie cerebrală) sau ieşirea sângelui în afară vasului (hemoragie cerebrală). În această situaţie, mişcările şi funcţiile comandate de regiunea cerebrală afectată sunt perturbate. Accidentele vasculare cerebrale lasă sechele numeroase şi produc un handicap, în plus, ele produc decesul în aproximativ unul din trei cazuri. Arterita membrelor inferioare afectează mai ales arterele gambelor. Ea se caracterizează prin prezenţa depozitelor de grăsime (plăci ateromatoase) pe pereţii interni ai arterelor, care cresc ca număr şi grosime o dată cu vârsta. Aceste depozite provoacă o jenă în circulaţia sângelui, favorizând formarea de cheaguri sanguine şi producând dureri la nivelul gambelor. Cei mai expuşi sunt bărbaţii în vârstă, mai ales dacă acumulează mai mulţi factori de risc (fumat, diabet zaharat, hipertensiune arterială, nivel ridicat al colesterolului, antecedente familiale etc.) [9] 2.3 Sângele Este fluidul care circulă în interiorul sistemului cardiovascular şi fără de care viaţa nu ar putea fi posibilă. Acesta transportă oxigen şi nutrienţi la toate celulele din organism, preia elementele ce trebuie eliminate şi joacă un rol important în sistemul de apărare al organismului.[10] Cantitatea totală de sânge la o persoană adultă este de aproximativ 7% din greutatea corpului. Astfel, cantitatea medie de sânge în organism este de 5 litri. În general, volumul 15
sângelui se menţine constant prin mecanisme compensatorii de trecere a apei din sânge în lichidul interstiţial şi invers. Astfel, dacă volumul de sânge creşte (ingestie de lichide, formare de apă metabolică), surplusul de apă trece la ţesuturi (muşchi), şi apoi se elimină prin rinichi. Dacă volumul sanguin scade, apa din spaţiile interstiţiale trece în sânge. În urma hemoragiilor, volumul plasmatic se reface mai repede decât cel al elementelor figurate. Sângele este alcătuit dintr-o parte lichidă – plasma sangvină – în care plutesc o serie de celule specifice sângelui – elementele figurate. 2.3.1 Plasma Reprezintă aproximativ 55% din volumul de sânge şi este formată în principal din apă, proteine, glucide şi lipide. De asemenea în plasmă se găsesc şi electroliţi, nutrienţi şi vitamine absorbite de la intestine sau produse de organism, hormoni, elemente de coagulare şi proteine, cum ar fi albumina şi imunoglobulina. Aceste substanţe sunt distribuite în întreg organismul în timpul circulaţiei sângelui. 2.3.2 Elemente figurate Reprezintă aproximativ 45% din volumul sangvin şi sunt eritrocitele, numite globule roşii sau hematii ( cele mai numeroase: 4.5 milioane/ mm3 la femei şi 5 milioane/mm3 la bărbaţi), leucocitele sau globulele albe (4000 – 10 000 /mm3 ) şi trombocitele sau plachete sangvine (150 000 – 450 000/mm3). Eritrocitele au rolul de a transporta oxigenul de la plămâni. Sunt celule anucleate, ce conţin un pigment numit hemoglobină, o proteină ce conţine fier, cu rol de fixare a oxigenului. Hemoglobina este pigmentul care determină culoarea roşie a sângelui. Leucocitele au rol în apărarea organismului la infecţii. Numărul normal de globule albe variază în funcţie de vârstă, fiind mai mare la copii. În infecţii, în special bacteriene, numărul de leucocite de regulă creşte, dar poate să şi scadă în infecţii cu anumiţi germeni, în special virusuri, sau la persoane cu imunodeficienţe. Trombocitele sunt fragmente de celule responsabile de coagularea sângelui. Când un organism sau ţesut este lezat, trombocitele încep să se unească pentru a forma o masă, ce are rolul de a sigila zona afectată şi a opri fluxul de sânge. Toate celulele sângelui sunt produse în măduva osoasă. În timpul copilăriei, majoritatea oaselor contribuie, dar odată cu creşterea vârstei funcţia de producţie se concentrează în interiorul oaselor toracelui, umărului şi bazinului. Măduva osoasă normală produce în fiecare zi miliarde de celule, de exemplu 200 miliarde de globule roşii, şi permite regenerarea celulelor sangvine mulţumită unei rezerve de celule – suşe. Hematopoieza este procesul de formare a elementelor celulare sanguine la nivelul 16
măduvei osoase, din celulele sistemului reticulo-endotelial (celule de tip embrionar) care prin procesul de măturare se pot transforma în oricare celulă specializată din organism. În caz de nevoie, producţia de celule a măduvei osoase creşte considerabil. Astfel, pentru globulele roşii, numărul poate fi multiplicat cu 10 în caz de pierdere prin hemoragie sau prin hemoliză (distrugere). 2.3.3 Parametrii hemodinamici ai sângelui [11] 2.3.3.1
Vâscozitatea sângelui
Vâscozitatea este proprietatea unui fluid de a se opune mişcării relative a particulelor constituente. Ea arată cât de gros sau de rarefiat este sângele, influenţând rezistenţa acestuia la curgere. Când sângele este „subţire” curge uşor prin vase şi transportul nutrienţilor şi al substanţelor ce trebuie eliminate este mai rappid. Din contră, când sângele este mai gros, transportul se face mai greu şi se observă tendinţa de depunere a colesterolului pe pereţii vaselor de sânge ceea ce determină probleme de sănătate precum sângerări interne, dureri de cap şi comă. Unul din factorii ce influenţează vâscozitatea este compoziţia sângelui. Un număr mare de celule roşii şi particule duce la îngroşarea sângelui şi astfel la o vâscozitate mai mare. De asemenea, grăsimile din sânge joacă un rol important în determinarea acesteia. Temperatura este un alt factor. Ca şi în cazul altor fluide, la temperaturi mici sângele devine mai gros şi curgerea să mai lentă. Un exemplu concludent ar fi degerăturile când îngheţarea extremităţilor poate face sângele atât de vâscos încât nu mai poate circula şi ţesuturile mor în lipsa oxigenului şi a nutrienţilor. Pentru a calcula vâscozitatea sângelui se consideră un fluid localizat între două plăci paralele. Împărţind forţa de forfecare – F - la aria de contact dintre lichid şi placă – A - rezultă tensiunea tangenţială τ =F/A între două straturi de fluid. Rata de tensiune, diferenţa de viteză între diferite straturi de fluid, poate fi calculată că raportul dintre viteza stratului superior – v , când cel inferior nu se mişca, şi distanţa dintre cele două straturi marginale – h : γ = v/h. Vâscozitatea –
este raportul dintre tensiunea tangenţiala şi rata de tensiune:
Unitatea de măsura a vâscozităţii este Pa s = Ns/m2 sau Poise cu 1 Pa s = 10 Poise. 2.3.3.2
Rezistenţa sângelui
Reprezintă rezistenţa fluidului la curgere, rezistenţă ce trebuie învinsă pentru că sângele să fie pompat în sistemul circulator. Rezistenţa caracteristică circulaţiei periferice este cunoscută sub denumirea de „Rezistenţă vasculară sistemică (RVS)” sau „Rezistenţa periferică totală”, iar 17
rezistenţa vasculaturii plămânilor drept „Rezistenţa vasculară pulmonară (RVP)”. Vasoconstrucita (scăderea diametrelor vaselor de sânge) creşte RVS, iar vasodilatarea (creşterea diametrului) scade RVS. Factorii ce influenţează rezistenţa vasculară sunt lungimea şi diametrul vaselor de sânge, organizarea reţelei vasculare şi debitul de sânge. Rezistenţa nu poate fi măsurată direct, dar ea poate fi calculată folosind mărimea debitului şi a diferenţei de presiune dintre două puncte ale vasului de sânge:
Unde
diferenţa de presiune; F = debitul de sânge. Unitatea de măsura a rezistenţei este Pa·s/m³ sau mmHg·min/l.
De observat este faptul că rezistenţa vasculară echivalentă se obţine analog cu cea electrică, atât la gruparea în serie, cât şi la cea în paralel. Pentru gruparea în serie, rezistenţa echivalentă este suma rezistenţelor. Acest lucru se poate exemplifica pentru două rezistenţe în serie. Căderea de presiune pe cele doua rezistenţe , iar debitul de fluid este acelaşi este suma presiunilor individuale, adică prin ambele. Astfel:
De aici rezultă că
La gruparea in paralel căderea de presiune pentru ambele vase de sânge se menţine constantă şi debitul total este suma celor două debite: (
)
De aici rezultă că:
Aceste rezistenţe echivalente se folosesc, de exemplu, când un vas de sânge se divide în alte două mai mici ca în figura 2.3.
18
Figura 2.3 Bifurcarea unui vas de sânge in două mai mici
În imaginea de mai sus un vas de sânge “mamă” cu rezistenţa R se divide în alte două mai mici, fiecare având R1. Rezistenţa echivalentă a celor două vase mai mici paralele este:
Rezistenţa totală în acest caz se obţine însumând Rechiv1 cu rezistenţa vasului “mamă”:
2.3.3.3
Inerţia sângelui
Cu fiecare bătaie a inimii sângele este accelerat sau decelerat prin vase şi în acest proces masa fluidului joacă un rol important. Masa este prin definiţie densitatea lichidului înmulţita cu volumul, iar volumul depinde de geometria vasului de sânge sau a inimii. În condiţii normale, densitatea sângelui este de 1.06 g/cm3. În studiul hemodinamicii masa efectivă a sângelui este numită inerţie şi face legătura între căderea de presiune şi acceleraţia de curgere. Când sângele este supus unei creşteri de presiune viteza se schimbă. Dacă presupunem că nu există frecare, relaţia dintre căderea de presiune şi rata de variaţie a debitului de sânge depinde de densitatea sângelui ρ, aria transversală A şi de lungimea l a vasului. Acest efect combinat reprezintă inerţia:
Unitatea de masură a inerţiei este Pa s2/m3. Densitatea sângelui variază puţin, chiar în condiţii patologice, inerţia este astfel influenţată în principal de geometria vasului său a inimii.
19
2.3.3.4
Complianţa
Capacitatea pereţilor unui vas de sânge de a se dilata şi contracta odată cu presiunea este o caracteristică vitală a vaselor de sânge. Abilitatea vasului de sânge de a se extinde pentru că volumul să crească odată cu presiunea transmurala (diferenţa între presiunea din interiorul şi cea din exteriorul vasului) este cuantificată prin complianţa C, definită ca variaţia volumului supra variaţia presiunii:
Complianţa este o caracteristică importantă a unui ţesut, dar care poate fi modificată prin schimbări la nivel microscopic ale structurii celulelor. Aceste modificări pot apărea de exemplu la inimă când structura se schimbă ca răspuns la o valoare mai mare decât normal a presiunii sau volumului. Complianţa se comportă ca un buffer pentru presiune astfel încât oscilaţiile de presiune din timpul unui ciclu cardiac sunt limitate. Un alt parametru important este elastanţa, inversul complianţei, definită ca:
Uzual, elastanţa este folosită când se vorbeşte despre inimă, în timp ce complianţa este caracteristică vaselor de sânge. Unitatea de măsură a complianţei este m3/Pa, iar a elastanţei Pa/m3. 2.4 Sistemul circulator Sistemul circulator uman are ca scop transportul sângelui prin întreg organismul şi este alcătuit din două bucle: pulmonară şi sistemică. 2.4.1 Circulaţia pulmonară În această etapă, sângele circulă de la inimă la plămâni şi înapoi la inimă. Astfel, sângele sărac în oxigen ajunge din ventriculul drept în artera pulmonară şi apoi în plămâni. Aici dioxidul de carbon este eliberat din sânge, iar oxigenul absorbit. Venele pulmonare transportă apoi sângele înapoi la inimă. Schimbul de gaze se produce la nivelul alveolelor pulmonare unde sângele şi aerul se găsesc în contact pe o suprafaţă mare. Dioxidul de carbon din sânge traversează pereţii capilarelor şi pereţii alveolelor, de unde va fi eliminat prin expiraţie. Oxigenul din aerul ajuns în alveole în urma inspiraţiei traversează pereţii acestora, pereţii capilarelor şi ajunge în sânge.
20
2.4.2 Circulaţia sistemică În această etapă, sângele bogat în oxigen este pompat de inimă prin aortă, ajunge în organism, unde eliberează oxigenul şi se încarcă cu dioxid de carbon, şi se întoarce înapoi la inimă prin sistemul venos. Din punct de vedere al distanţei, circuitul sistemic este mult mai lung decât cel pulmonar, sângele fiind trasnportat către fiecare regiune din organism. 2.4.3 Circulaţia inimii Inima nu este hrănita de sângele ce trece prin camerele sale, acesta având o presiune mult prea mare, ci de o reţea specializară de vase – arterele coronare – care învăluie inima ca o coroană. Aproximativ 5% din sângele pompat în corp pătrunde în arterele coronare care se ramifică din aortă deasupra punctului de ieşire din ventriculul stâng. Sunt două artere principale, ce au la rândul lor câte două ramuri importante, care hrănesc diferite regiuni ale muşchiului cardiac. Din acestea se ramifică alte artere mai mici care pătrund prin pereţii muscularisi asigură o alimentare constantă cu oxigen şi substanţe nutritive. Sângele ajunge în venele coronare care transmit direct sângele în atriul drept. Ateroscleroza coronară apare atunci când arterele sunt înfundate şi îngustate, restrângând fluxul de sânge spre inimă şi este cauzată de depozitarea grăsimilor, în special a colesterolului, pe pereţii interiori ai vaselor de sânge. Fără sângele necesar, inima este lipsită de oxigen şi de substanţele vitale de care are nevoie ca să funcţioneze în condiţii bune. Dacă inima nu are destul sânge ca să funcţioneze corect se poate declanşa angina sau atacul de cord.
3. Modelare şi simulare matematică 3.1 Aspecte generale Adesea, descrierea unui fenomen sau proces se realizează cu ajutorul noţiunilor de matematică, rezultând astfel modele corespunzătoare. Dar acest tip de modelare este un concept greu de definit. Într-o primă înţelegere este matematică aplicată în fizică, chimie, biologie sau economie. După părerea lui A. C. Fowler: „nu există reguli şi nici o înţelegere clară privitoare la calea corectă ce trebuie urmată în modelarea matematică. De aceea există doar câteva texte care abordează acest subiect într-un mod serios. Modelarea matematică se învaţă prin practică prin exerciţiu pe multe exemple”.[12] Modelarea matematică a început cu lucrările lui Galileo Galilei (1564-1642) şi s-a consolidat după apariţia calculului diferenţial elaborat de Isaac Newton (1642-1727) şi Gottfried Leibniz (1646-1716). Această cale de reprezentare a naturii în simboluri matematice, deschisă de aceşti adevăraţi oameni de ştiinţă şi consolidată de-a lungul timpului de Johann Bernoulli (166721
1748), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Jean Baptiste Say (1767-1832), Jean Baptiste Fourier (1768-1830), Carl Fredrich Gauss (1777-1855), Claude Navier (1785-1836), Antoine Cournot (1801-1877), James-Clarck Maxwell (1831-1879), Stanley Jevons (1835-1882), Vilfredo Pareto (1848-1923), Heinrich Hertz (1857-1894) s-a manifestat cu o amploare şi acurateţe deosebită atât în domeniul tehnico-ingineresc cât şi în domeniul economic şi social.[13] Pentru a înţelege mai bine conceptual de “modelare matematică” se consideră că un model matematic este o descriere aproximativă a fenomenului sau procesului realizată cu ajutorul noţiunilor, obiectelor şi simbolurilor matematice. Analiza modelului matematic cu ajutorul teoriilor şi mijloacelor matematicii permite pătrunderea în esenţă a fenomenului studiat. Modelarea matematică reprezintă un instrument, probabil cel mai puternic şi uneori singurul, de cunoaştere a lumii atât la nivelul macro, cât şi la cel micro. Totodată ea permite evidenţierea unor caracteristici noi ale fenomenului studiat, descoperirea unor obiecte şi procese precum şi controlul asupra comportării lor. Astfel, modelul matematic reprezintă un sistem de relaţii, care descriu proprietăţile esenţiale ale originalului. Procesul de modelare matematică presupune, în esenţă, parcurgerea a patru etape: 1) Se selectează mărimile (caracteristicile) fundamentale care caracterizează fenomenul avut în vedere şi se formulează legile fizico-chimice. 2) Se construieşte modelul propriu-zis. 3) Se verifică dacă, în ipotezele făcute, modelul îndeplineşte criterii practice. Mai exact rezultatele obţinute pe baza deducţiilor teoretice din model concordă, în limitele de exactitate (precizie) admise, cu cele provenite din observaţiilor directe (experimentale). 4) Pe măsură ce apar abateri între datele de ieşire ale modelului matematic şi observaţiile directe sau indirecte asupra fenomenului studiat se rafinează modelul pentru a obţine o ameliorare a erorii. [14] 3.2 Modelarea matematică aplicată în bioinginerie Modelarea biomedicală este o disiciplina importantă care s-a dezvoltat simţitor în ultima decadă datorită progreselor realizate în tehnologia computaţională şi în modelarea matematică a proceselor. Domeniul biomedicinei este extrem de vast, multidisciplinar şi dinamic, integrând principii ale fizicii, chimiei, biologiei şi matematicii. Prin construirea unor modele de referinţă mai exacte şi prin îmbunătăţirea celor existente se pot dezvolta medii de simulare avansate, esenţiale pentru cercetare şi educaţie, ducând la o mai bună înţelegere a organismului uman şi a modului de funcţionare a acestuia. Aceste modele pot fi folosite pentru a proiecta şi testa terapii noi, incluzând aici dispozitive medicale, proceduri clinice şi farmaceutice. 22
Cercetarea în domeniul bioingineriei utilizează deseori simulări computerizate pentru creşterea productivităţii, scăderea costurilor de proiectare şi pentru mărirea fiabilităţii şi siguranţei produselor obţinute. În acest context, sunt utilizate intens instrumentele de simulare disponibile şi se încurajează dezvoltarea şi îmbunătăţirea aplicaţiilor software de simulare. Ingineria biomedicală impune cercetări susţinute în modelarea proceselor fiziologice, îmbunătăţirea modelelor obţinute şi simularea unor tehnologii, pentru a facilita proiectarea unor sisteme automate performante. 3.2.1 Modelarea cardiovasculară Înţelegerea sistemului cardiovascular este o prioritate în momentul actual în condiţiile în care bolile cardiovasculare constituie una dintre principalele cauze de deces la nivel mondial. Înţelegerea fiziologiei inimii şi a circulaţiei sanguine prin modelarea proceselor biologice ce au loc în corpul uman reprezintă o provocare ce a iscat de-a lungul timpului numeroase dezbateri. În continuare vom considera un model reprezentativ pentru studiul modelării matematice a sistemului cardiovascular şi anume modelul Windkessel. Dar înainte de a prezenta acest model este necesară descrierea analogiei dintre principalii parametrii caracteristici mecanicii fluidelor şi elemente electrice. 3.2.2 Legătura dintre parametrii hemodinamici şi cei electrici [15] Se admite că sarcina electrică reprezintă volumul de sânge, în timp ce tensiunea corespunde presiunii sângelui şi curentul electric debitului de fluid. Un vas sau un grup de vase de sânge poate fi descris printr-o combinaţie de rezistenţe, condensatori şi bobine. Rezistenţa vaselor de sânge care depinde de vâscozitatea sângelui şi de diametrul vasului este modelată prin rezistenţe. Abilitatea de a acumula şi de a elibera sângele datorată deformării elastice a vasului, numită complianţa vasului, este descrisă prin condensatori, inerţia sângelui prin bobine, iar valvele inimii prin diode. 3.2.2.1
Rezistenţa sângelui şi rezistenţa electrică
Când sângele trece din vase cu diametre mai mari în vase cu diametre mici întâlneşte o anumită rezistenţă. Cum am mai descris în secţiunea 2.3.3.2, rezistenţa are următoarea formă:
Unde
P = diferenţa de presiune; F = debitul de sânge.
Similar, rezistenţa este o componentă electrică ce rezistă curentului produs în urma diferenţei de potenţial între capetele sale. Conform legii lui Ohm, rezistenţa electrică R e este egală cu diferenţa de potenţial V raportată la curentul prin rezistor, I: 23
3.2.2.2
Complianţa vasului şi capacitatea condensatorului
Elasticitatea (complianţa) vaselor de sânge este datorată şi fibrelor musculare conţinute în pereţi, ce pot modifica volumul şi presiunea sângelui în vase, conform secţiunii 2.3.3.4. Considerăm debitul de intrare în vas – Fi – şi cel de ieşire – Fo . Diferenţa F = Fi - Fo ce corespunde ratei schimbării volumului de sânge e legată de schimbarea presiunii P în interiorul vasului. Considerând că şi mai sus o relaţie liniară, avem:
Unde Cc = complianţa vasului (constantă) Condensatorul este o componentă electrică ce poate stoca energie între o pereche de conductori apropiaţi spaţial, numiţi armături. Când este aplicată o diferenţă de potenţial, se formează sarcini electrice egale, dar de polarităţi diferite pe fiecare armătură. Acest proces determină apariţia unui câmp electric între armături ceea ce determină creşterea diferenţei de potenţial în armături. Această tensiune – V- este direct proporţională cu sarcina electrică pe fiecare armătură – Q ( Q = CeV). Ştiind că valoarea curentului prin condensator este rata în care sarcina Q se formează (I = dQ/dt), curentul poate fi exprimat:
Unde Ce = capacitatea electrică a condensatorului. 3.2.2.3
Inerţia sângelui şi inductanţa
De vreme ce sângele este inert rezultă că atunci când o diferenţă de presiune este aplicată între cele două capete ale unui vas lung prin care circulă sânge, masa sângelui se opune tendinţei de mişcare datorată diferenţei de presiune. Considerând tot o relaţie liniară între rata de schimbare a debitului de sânge (dF/dt), se poate scrie:
Se observă că această relaţie reprezintă echivalentul hidraulic al legii a doua a lui Newton ce face legătura între forţă şi acceleraţie. Inerţia sângelui poate fi modelată printr-o bobină, deoarece curentul prin inductor nu se poate modifica instantaneu. Energia stocată dintr-o bobină depinde de cantitatea de curent ce o străbate. Abilitatea unei bobine de a stoca energie în funcţie de curent se traduce printr-o 24
tendinţă de menţinere constantă a curentului ce o străbate. Cu alte cuvinte, bobinele tind să se opună variaţiei curentului. Atunci când valoarea curentului printr-o bobină creşte sau descreşte, aceasta „rezistă” variaţiei producând o tensiune la bornele sale – V:
3.2.2.4
Valve şi diode
O valvă ideală permite sângelui să curgă într-o singură direcţie, iar rezistenţa acesteia la curgerea fluidului - Rc – este mică şi apare atunci când diferenţa de presiune este mai mare decât o anumită valoare critică – P* - considerate adeseori zero. Astfel, acţiunea unei valve poate fi modelată astfel: { Componenta electrică corespunzătoare unei valve este dioda. Într-un circuit electric o diodă permite curentului electric – I – să circule într-o directie şi îi blochează trecerea în sens opus. În această lucrare se va folosi un model pentru diode corespunzător funcţionarii unei valve ideale: {
3.2.3 Modelul Windkessel Un moment important în istoria modelării cardiovasculare îl reprezintă modelul sistemului arterial ”Windkessel” publicat de fiziologul german Otto Frank în 1899. Otto Frank (1865 - 1944), renumit doctor şi fiziolog, a adus numeroase contribuţii în cardiologie. A urmat medicina în Germania, dar a studiat şi matematică, chimia, fizică, anatomia şi zoologia. La postdoctorat, a investigat comportamentul contractil izometric şi izotonic al inimii. El îl precede pe Ernest Starling în acest domeniu, dar amândoi sunt recunoscuţi pentru bazele legii inimii numite “Frank-Starling” ce spune că “în anumite limite fiziologice, forţa contracţiei este direct proporţional cu lungimea iniţială a fibrei musculare”.[16] Munca sa asupra modelului Windkessel a continuat ideile lui Stephen Hales şi a dezvoltat un cadru matematic pentru această abordare. Pentru modelul Windkessel a folosit o cameră elastică pentru a simula proprietăţile mecanice ale aortei şi o pompă hidraulică cu rezistenţa internă pentru inimă, constituind un circuit hidraulic închis. Acest circuit este umplut cu apă cu excepţia unui sac de aer în camera elastică. În timp ce se pompează apă în cameră, aceasta comprimă aerul dinăuntru şi în acelaşi 25
timp împinge apa afară din cameră şi înapoi la pompă. Compresibilitatea aerului simulează elasticitatea şi extensibilitatea aortei în timp ce sângele este pompat în ea de către ventriculul stâng, efect numit complianţa. Rezistenţa întâlnită de apă când părăseşte camera elastică şi intră în pompă simulează rezistenţa întâlnită de sânge când trece prin vase de sânge cu diametre diferite, de la artere la capilare. Această rezistentă de curgere este întâlnită sub denumirea de rezistenţă periferică. Acest model se poate echivala cu un model hidraulic format dintr-o rezistentă hidraulică şi o capacitate în paralel. Mai târziu acest model a fost extins la modelul Windkessel cu trei elemente ce cuprinde două rezistenţe şi o capacitate. A doua rezistenţă reprezintă impedanţa caracterisitca a aortei şi a vaselor mari de sânge. Modelul Windkessel cu trei elemente este foarte răspândit deoarece produce estimări bune ale presiunii şi modului de curgere a sângelui, iar modelul cu patru elemente s-a dovedit mai bun la compararea între presiunea sângelui şi debitul măsurat. Ultimul model cuprinde şi un inductor pentru inerţia sângelui. 3.2.3.1
Modelul Windkessel cu doua elemente (MW2)[17]
Modelul este format dintr-o rezistentă şi un condensator dispuse în paralel. Rezistenţa reprezintă rezistenţa sângelui când trece din aortă în arteriole, cunoscută ca şi rezistenţa periferică, iar capacitatea condensatorului complianţa. Acesta este un model simplu ce nu aproximează foarte bine sistemul real.
Figura 3.1 Model Windkessel cu două elemente
P reprezintă presiunea aortică, iar F debitul de sânge în aceasta, ambele fiind funcţii ce depind de timp. Analizând circuitul şi aplicând legile lui Kirchoff se obţin următoarele ecuaţii:
Înlocuind curenţii
rezultă ecuaţia diferenţială ce descrie modelul:
26
Această ecuaţie poate fi rezolvată dacă luăm în considerare doar perioada diastolei când muşchiul inimii se relaxează, deoarece în această perioadă ventriculul stâng se dilată şi F = 0. Se găseşte astfel:
Unde
este presiunea sângelui în aortă la momentul de început
3.2.3.2
al diastolei.
Modelul Windkessel cu trei elemente (MW3)
Spre deosebire de modelul anterior, se adaugă un alt element rezistiv între pompă şi camera de aer pentru a simula rezistenţa la curgerea sângelui datorată valvei pulmonare sau aortice. Acest model este folosit de obicei pentru a studia caracteristicile generale ale sistemului arterial (vezi figura 3.2).
Figura 3.2 Model Windkessel cu trei elemente
Aplicând tot legile lui Kirchoff se obţine: (
)
În timpul diastolei, când F şi derivata sa în funcţie de timp este 0 se poate simplifica această ecuaţie, expresia presiunii aortice fiind aceeaşi ca în cazul modelului de mai sus:
3.2.3.3
Modelul Windkessel cu patru elemente (MW4)
Acest model include, pe lângă cele doua rezistenţe şi un condensator, inductanţa L ce reprezintă inerţia sângelui (vezi figura 3.3).
27
Figura 3.3 Model Windkessel cu patru elemente
Modelul oferă o buna aproximare a sistemului real şi printr-un procedeu asemănator se obţine ecuaţia diferenţială specifică: (
)
(
)
Considerând aceeaşi perioadă a diastolei, ecuaţia are următoarea soluţie:
3.2.3.4
Simularea modelelor Windkessel
Simularea celor trei modele se va realiza din două perspective. Odată prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale corespunzătoare şi analiza variaţiei presiunii în timpul unui ciclu cardiac. În această primă etapă se consideră ca mărime de intrare debitul de sânge deoarece i se cunoaşte expresia şi pe baza lui se poate determina variaţia presiunii. Valorile parametrilor modelelor Windkessel pentru organismul uman sunt evidenţiate în tabelul 3.1 [18]
WM2 WM3 WM4
R(Rp) (mmHg.s.cm-3) 1 1 0.79 0.63 1 0.79 0.63
C (cm3.mmHg-1.s2.cm-3) 1 1 1.75 5.16 1 1.22 2.53
Ra (mmHg.s.cm-3) 0.05 0.033 0.03 0.05 0.056 0.045
Lc (mmHg.s2.cm-3) 0.005 0.0051 0.0054
Tabel 3.1 Valorile parametrilor ce intervin în modelele Windkessel
În partea a doua a simulării se vor determina funcţiile de transfer ale celor trei modele Windkessel şi pe baza comportării acestora la o intrare de tip treaptă se va realiza analiza performanţelor regimurilor dinamice caracteristice. În această etapă semnalul de intrare ales este presiunea, ce determină variaţia debitului pompat de inimă. 28
Considerăm acum ambele perioade, sistola şi diastola, iar presiunea sângelui va avea următoarea formă: 110 105 100
presiune [mmHg]
95 90 85 80 75 70 65 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4 timp[s]
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 3.6 Presiunea sângelui într-un ciclu sistolă, diastolă
Se observă că în timpul sistolei presiunea creşte în ventriculul stâng, ajungând la un maxim de aproape 110 mmHg. Când presiunea în ventriculul stâng se ridică peste presiunea din aortă valva aortică se deschide, permiţând sângelui să iasă din ventriculul stâng în aortă. Atunci când sistola ventriculară se termină şi începe diastola, presiunea în ventriculul stâng scade rapid, până la aproximativ 60 mmHg. Atunci când presiunea scade în ventriculul stâng, presiunea aortică forţează valva aortică să se închidă. rezultă:
Pentru partea a doua a simulării aplicăm transformată Laplace ecuaţiei (
(
astfel:
. 4) şi
)
Pentru a determina funcţia de transfer considerăm condiţiile iniţiale nule (P(0) = 0) şi
Această funcţie de transfer de ordinul întâi este improprie şi în practică nu se poate implementa sub această formă. implementa sub aceasta forma. În realitate, derivatorul perfect nu există, iar funcţiei de transfer i se adaugă un filtru:
30
Răspunsul indicial al acestui sistem, considerând R = 1, C = 1 şi α = 0.01 are forma din figura 3.7
Figura 3.7 Răspunsul indicial pentru Windkessel cu două elemente
Se observă că suprareglajul este foarte mare, ajunge la 90 %, dar timpul tranzitoriu este foarte mic, tt = 0.06 secunde şi eroarea staţionară εst = 0. Pentru modelul Windkessel cu trei elemente se simulează ecuaţia (2.2.4. 7) cu aceleaşi valori iniţiale şi se obţine graficul din figura 3.8Ş 80 (a) (b) (c)
70
presiune [mmHg]
60 50 40 30 20 10 0 03
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55 timp[s]
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
Figura 3.8 Presiunea sângelui în aortă în timpul diastolei pentru modelul Windkessel cu trei elemente
Unde pentru (a) Rp = 1; Cc = 1 ; (b) Rp = 0.79; Cc = 1.75 şi (c) Rp = 0.63; Cc = 5.16 Se observă o scădere mai bruscă a presiunii când rezistenţa scade şi capacitatea creşte. 31
formă:
Pentru un ciclu complet – sistolă,diastolă – în cazul (a) presiunea sângelui are următoarea
150 140
presiune [mmHg]
130 120 110 100 90 80 70
0
0.1
0.2
0.3
0.4 timp[s]
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 3.9 Presiunea sângelui într-un ciclu sistolă, diastolă
Faţă de modelul Windkessel cu 2 elemente, pentru aceleaşi valori ale rezistenţei şi capacităţii, în cazul de faţă valorile maximă şi minimă ale presiunii sângelui sunt mai mari decât în cazul precedent, respectiv 140 mmHg şi 75 mmHg. Pentru partea a doua a simulării aplicăm transformată Laplace ecuaţiei (2.2.4 6) şi rezultă funcţia de transfer:
Răspunsul indicial pentru Rp = 1, Cc = 1 şi Ra = 0.05 are următoarea formă:
Figura 3.10 Răspunsul indicial în cazul modelului Windkessel cu trei elemente 32
Se observă că prin adăugarea unui nou parametru, răspunsul sistemului se îmbunătăţeşte: suprareglajul scade simţitor la 20 %, eroarea staţionară εst rămâne zero, doar timpul tranzitoriu creşte puţin la 0,25 secunde. Modelul Windkessel cu patru elemente se simulează cu aceleaşi condiţii iniţiale şi se obţine: 80 (a) (b) (c)
70
presiune [mmHg]
60
50
40
30
20
10 0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55 timp[s]
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
Figura 3.11 Presiunea sângelui în aortă în timpul diastolei pentru modelul Windkessel cu patru elemente
Unde pentru (a) Rp = 1; Cc = 1 ; (b) Rp = 0.79; Cc = 1.22 si (c) Rp = 0.63; Cc = 2.53 Se observă că presiunea continuă să scadă odată cu scăderea rezistenţei şi creşterea capacităţii, dar nu atât de brusc faţă de modelul cu trei elemente. Şi pentru sistolă şi diastolă presiunea arată ca in figura 3.11: 140
130
presiune [mmHg]
120
110
100
90
80
70
0
0.1
0.2
0.3
0.4 timp[s]
0.5
06
0.7
0.8
Figura 3.12 Presiunea sângelui într-un ciclu sistolă, diastolă 33
Se deduce din acest grafic că presiunea scade de la 138 mmHg la 80 mmHg, valori asemănătoare cu cele specifice modelului cu trei elemente. Pentru partea a doua a simulării aplicăm transformata Laplace ecuaţiei ( funcţia de transfer:
. 8) şi rezultă
Simulând această funcţie de transfer, de ordin doi de data aceasta, pentru Rp = 1, Cc = 1, Ra = 0.05 şi Lc = 0.005 se obţine:
Figura 3.13 Răspunsul indicial pentru modelul Windkessel cu patru elemente
Se observă din figura 3.13 că performanţele se îmbunătăţesc prin completarea modelului cu încă un parametru – Lc . Astfel suprareglajul scade sub 10 %, la 8,5 %, eroarea staţionară este zero, iar timpul tranzitoriu creşte puţin şi ajunge la tt = 0.7 secunde. Analizând separat cele trei modele se poate observa evoluţia acestora şi principalele caracteristici. Dar concluzii relevante pot reieşi din analiza comparativă a celor trei modele Windkessel. Întâi se vor trasa grafic variaţiile presiunilor pentru prima parte a simulării si se obţne figura 3.14.
34
150 WM4 WM3 WM2
140 130
presiune [mmHg]
120 110 100 90 80 70 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4 timp[s]
05
06
0.7
0.8
Figura3.14 Analiză comparativă a celor trei modele Windkessel
Concluzii 1. Analizând modelul cu 3 şi cu 4 elemente se observă că acestea diferă puţin, valoarea maximă a presiunii este puţin mai mică la cel cu 4 elemente; valoarea minimă coincide. 2. Timpul după care se atinge valoarea maximă a presiunii aortice este mai mic la modelele cu trei şi patru elemente (0.2 sec) faţă de timpul corespunzător de la modelul windkessel cu 2 elem (0.25 sec) şi astfel mai aproape de realitate. 3. Presiunea sistolică în cazul unui om sănătos este cuprinsă între 100 – 140 mmHg, iar cea diastolică între 84 – 90 mmHg. Comparând aceste date cu graficul anterior se observă că modelele cu trei şi patru elemente se apropie de valorile nominale, iar cel cu două elemente nu aproximează foarte bine modelul real. Dacă se simulează toate cele trei funcţii de transfer corespunzătoare celor trei modele Windkessel în mediul Matlab/Simulink folosind structura din figura 3.15: s+1 0.01 s+1. WM2
s+1 0.05 s+1.05 WM3
Scope 2
s+1 0.005 s2 +0.055 s+1.05 Step 1
WM4
Figura 3.15 Implementarea în Matlab/Simulink a celor trei funcții de transfer 35
Se obţine :
Figura 3.16 Cele trei răspunsuri indiciale corespunzătoare celor trei modele Windkessel
Concluzii: 1. Din acest grafic se poate observa îmbunătăţirea dinamicii sistemului odată cu creşterea complexităţii modelului ales şi în consecinţă a funcţiei de transfer corespunzătoare. 2. Modelele Windkessel sunt folosite de obicei pentru a descrie proprietăţile vasculare de bază şi pentru a studia relaţia dintre parametrii hemodinamici în vasele mari de sânge, cum ar fi complianţa arterială şi rezistenţa periferică, ajutând la cuanticarea efectelor medicamentelor vasodilatatoare sau vasoconstrictoare. 3.2.4 Model Windkessel modificat - model simplu ce descrie inima ca o pompă 3.2.4.1
Analiza teoretică
Modelul de faţă este o dezvoltare a modelului Windkessel cu trei elemente şi tratează sistemul circulator modular - circulaţia sistemică şi cea pulmonară, chiar şi fiecare cameră a inimii putând fi analizată individual. În acest model, fiecare cameră a inimii este tratată ca un generator de presiune ce depinde de timp şi de volum.[19] Această descriere a inimii depinde şi de elastanţa, parametru variabil în timp. Elastanţa ventriculară, Ev, este definită ca rata de variaţie în timp a presiunii ventriculare instantanee Pv şi a volumului Vv astfel: Presiunea ventriculară este descrisă ca o funcţie de timp şi de volum, conform [20]:
36
Această presiune este formată din componenţa pasivă (diastolică) şi activă (sistolică) corespunzătoare termenului din stânga, respectiv dreapta semnului „+” din ecuaţia de mai sus, unde a corespunde elastanţei ventriculare pasive, b volumului din diastolă la presiune zero, c componentei presiunii dezvoltate dependent de volum, iar d corespunde componentei presiunii dezvoltate independent de volum. f(t) este funcţia care descrie generarea forţei active în timp şi este un produs al exponenţialelor elementelor de contracţie şi relaxare, în corespondenţă cu mişcarea miocardului: ( )
(
(
(
Unde
)
)
(
)
(
)
)
este o constantă de timp ce caracterizează procesul de contracţie (creştere a presiunii); este o constantă de timp ce caracterizează procesul de relaxare (scădere a presiunii); măsoara rata totală de începere a acestor procese. tb este o constantă de timp şi are următoarea forma: (
( )
)
[
] (
{
)
}
Acest model poate fi folosit pentru a descrie cele patru camere ale inimii, pentru fiecare cameră determinându-se experimental valorile constantelor necunoscute trecute în tabelul următor: Constanta a [mmHg/ml2] b [ml] c [mmHg/ml] d [mmHg] [s] [s] [s]
Atriul stâng 0.005 5 1 15 0.06 0.1 0.08 2.88
Ventriculul stâng 0.0007 20 3.5 80 0.264 0.371 0.299 2.88
Atriul drept 0.005 5 1 15 0.06 0.1 0.08 2.88
Ventriculul drept 0.0007 10 1.5 50 0.264 0.371 0.299 2.88
Tabel 3.2 Valorile constantelor caracterisitice organismului uman
Considerând valorile corespunzătoare ventriculului stâng şi simulând variaţia presiunii în funcţie de volum (cu valori între 40 şi 70 ml) se obţine următorul grafic pentru presiune:
37
120
100
Presiune [mmHg]
80
60
40
20
0 40
45
50
55 Volum[ml]
60
65
70
Figura 3.17 Variația presiunii în ventriculul stâng în funcție de volum
Presiunea în ventricul creşte până când volumul urcă la 55 ml (etapa de contracţie) şi apoi scade progresiv până când valoarea volumului ajunge la 70ml (etapa de relaxare).Acest ciclu se va repeta periodic, conform ciclului cardiac. Elastanţa are un comportament asemănător conform graficului din figura 3.18: 3.5
3
Elastanta [mmHg/ml]
2.5
2
1.5
1
0.5
0 40
45
50
55 Volum[ml]
60
65
70
Figura 3.18 Variația elastanței în ventriculul stâng în funcție de volum
Un model simplificat al sistemului cardiovascular este prezentat în Figură 3 de pe pagina următoare, pentru care s-a realizat analogia între elementele mecanice şi cele electrice ca şi în cazul modelului Windkessel. Astfel presiunea corespunde tensiunii, debitul curentului şi volumul sarcinii electrice. Acest model ilustrează atât circulaţia sistemică cât şi pe cea pulmonară.
38
RLA 1
LA
MV
LV
AV
+ v -
Presiune
+ v -
Presiune 1
i -
Presiunea aortica
+
Debit Presiunea aortica + ventriculara
presiune ventricul stang
Circulatia sistemica
debit
ZSO
CSA
RSA
CSV
RSV
Figura 3 Model sistem cardiovascular
RRA
RA
TV
RV
PV
CPA
ZPO
Circulatia pulmonara
RPA
CPV
RPV
39
Modelul electric, privit de la stânga la dreapta, începe cu atriul stâng (LA) descris de ecuaţia (1). Această sursă de presiune face posibilă trecerea sângelui în ventriculul stâng (LV) prin valva mitrală (MV), reprezentată printr-o diodă,iar rezistenţa fluidului este RLA. Şi ventriculul stâng este descris tot de ecuaţia (1). Sângele trece apoi prin valva aortică (AV) în circuitul sistemic caracterizat de impedanţa sistemică a aortei ZSO, de complianţa arterială sistemică CSA şi de rezistenţă periferică sistemică RSA. Complianţa venoasă sistemică este CSV, iar rezistenţa sângelui prin vene de RSV. Circulaţia pulmonară este descrisă asemănător. Atriul drept (RĂ) şi ventriculul drept (RV) sunt descrise ca surse de presiune dependente de timp şi volum (ecuaţia 3.2.4.1). Sângele ajunge din atriul în ventriculul drept prin valva tricuspidă (TV) cu rezistenţa R RA. Fluidul este apoi injectat prin valva pulmonară (PV) în circulaţia pulmonară, tot un model Windkessel cu trei elemente modificat, având parametrii ZPO, CPA şi RPA şi apoi trece în vasele pulmonare descrise de CPV şi RPV. Conform [21] valorile acestor parametrii sunt ilustrate in tabelele 3.3 şi 3.4: a) Circulaţia sistemică Element RLA ZSO CSA RSA CSV RSV
0.007 0.1 1 1.5 190 0.1
Valoare [mmHg s/ml] [mmHg s/ml] [ml/mmHg] [mmHg s/ml] [ml/mmHg] [mmHg s/ml]
Tabel 3.3 Valorile parametrilor pentru circulația sistemică
b) Circulaţia pulmonară Element RRA ZPO CPA RPA CPV RPV
Valoare 0.001 [mmHg s/ml] 0.08 [mmHg s/ml] 4 [ml/mmHg] 0.08 [mmHg s/ml] 90 [ml/mmHg] 0.1 [mmHg s/ml]
Tabel 3.4 Valorile parametrilor pentru circulația pulmonară
Pentru acest model am determinat cu ajutorul unui ampermetru şi a doua voltmetre presiunea sângelui în ventriculul stâng, debitul şi presiunea acestuia în aortă. Am considerat presiunea în ventriculul ca fiind valoarea medie obţinută din modelul Windkessel cu patru elemente determinată anterior, 110 mmHg, şi presiunea în atriul stâng de 40
120 mmHg, cunoscându-se faptul că sângele are o presiune puţin mai mare în atriu decât în ventricul. a) Presiunea sângelui în ventriculul stâng:
Figura 3.19 Graficul presiunii ventriculare în timp
Din acest grafic se poate observa variaţia presiunii în ventriculul stâng în timpul mai multor cicluri cardiace. Astfel în timpul sistolei (când muşchiul se contractă) presiunea fluidului creşte până la 110 mmHg, iar apoi în timpul diastolei când ventriculul se relaxează, presiunea scade ajungând la 0. Sistolă durează apoximativ 0.3 secunde, iar diastola 0.5 secunde. b) Presiunea sângelui în aortă:
Figura 3.20 Graficul presiunii aortice în timp
41
Teoretic, la primul ciclu cardiac presiunea are valoarea iniţială zero, dar în realitate valoarea ei minimă este de aproximativ 60 mmHg. Presiunea aortică variază între valorile corespunzătoare fazelor sistolică şi diastolică datorită valvei aortice şi proprietăţilor elastice ale pereţilor aortei. Din acest grafic se observă că presiunea are o comportare analoagă cu cea corespunzătoare ventriculului stâng, creşte în timpul sistolei tot până la 110 mmHg şi scade în diastolă. c) Comparaţia dintre presiunea ventriculară şi cea aortică Afişând presiunea din ventriculul stâng şi cea din aortă pe acelaşi grafic se poate observa diferenţa de valoare dintre cele două (vezi figura 3.21).
Figura 3.21 Variația presiunii ventriculare și aortice în timp
Analizând graficul de mai sus se poate observa că ambele presiuni cresc în timpul sistolei şi scad în timpul diastolei.Presiunea aortică are o descreştere liniară, în timp ce presiunea ventriculară îşi păstrează forma de parabolă.
42
d) Debitul sângelui în aortă
Figura 3.22 Variația debitului în timp
La fel ca şi în cazul presiunii ventriculare, se consideră că iniţial debitul de fluid din aortă ajunge la 500 ml la primul ciclu cardiac, dar apoi se stabilizează la o valoare de 300 ml.La fel ca şi în cazul presiunii se disting cele două faze ale ciclului cardiac – sistolă când debitul creşte – şi diastolă când debitul scade până la 0. 3.2.4.2
Analiza modelului cu valori reale
Cu ajutorul unui sistem cu ultrasunete numit Vivid 7 s-a realizat o ecografie transtoracică şi s-au măsurat valorile volumului diastolic şi sistolic pentru doi pacienţi reali. Acest aparat a fost dezvoltat de General Electrics Healthcare şi este un dispozitiv inovator ce oferă valori precise ale diferitelor dimensiuni ale inimii. Dispozitivul oferă imagini multiple, din mai multe planuri şi astfel se determină volume în timp real şi alte date precum fracţia de ejecţie. [22] Valorile măsurate pentru primul pacient sunt: Vd1 = 120 ml si Vs1 = 50 ml Unde Vd este volumul diastolic; Vs este volumul sistolic. Apoi am determinat valoarea presiunii ventriculare cu ajutorul ecuaţiei ( .1), calculând presiunea pe faza sistolică atunci când volumul scade de la 120 la 50 ml, aceasta fiind 135 mmHg. Această valoare se încadreaza în limitele normale pentru un adult - 100 mmHg şi 140mmHg. 43
Pentru a determina presiunea şi debitul aortic am integrat această valoare în modelul sistemului circulator dezvoltat anterior pe baza unui model Windkessel şi am obţinut următoarele rezultate: a) Variaţia presiunii aortice şi ventriculare:
Figura 3.23 Variatța presiunilor aortice și ventriculare pentru un pacient sănătos
Se observă că semnalul are aceeaşi formă, dar valorile maxime şi minime diferă faţă de simularea anterioară. Astfel presiunea aortică scade de la 135 mmHg, valoare cu care este pompat sângele de către ventriculul stâng până la 74 mmHg. Se cunoaşte faptul că presiunea arterială diastolică, ce reprezintă presiunea vaselor sangvine în momentul în care inima se umple cu sângele venit din restul corpului, este măsurată de obicei pe artera radială cu ajutorul tensiometrelor. La un pacient normal ea se se încadrează între 84 mmHg şi 90 mmHg. Presiunea diastolică se poate determina pe baza graficului de mai sus luând în considerare faptul că presiunea în aortă este cu 10 – 15 mmHg mai mică decât presiunea radială.Acest lucru se întâmpla deoarece presiunea este invers proporţională cu secţiunea vasului de sânge. Astfel, considerând presiunea diastolică a aortei valoarea de la sfârşitul etapei diastolice, aceasta va fi 74 + 15 = 89 mmHg care se încadrează în limite normale. Având aceste două valori putem determina presiunea arterială medie (MAP):
Unde Pd este presiunea diastolică; Ps este presiunea sistolică. 44
Presiunea diastolică contează de două ori mă mult decât cea sistolică deoarece două treimi din ciclul cardiac reprezintă faza diastolică. Această valoare se încadrează în mod normal între 70 – 110 mmHg. Pentru pacientul considerat, MAP va fi:
valoare ce se încadreaza în limitele normale. b) Variaţia debitului aortic
Figura 3.24 Variația debitului aortic pe un caz real
Debitul de sânge în artera aortă variază între 380 ml şi 0 conform fazelor ciclului cardiac. Ce-l de-al doilea pacient are valoare volumului diastolic diferită, Vd2 = 140 ml, dar volumul sistolic este acelaşi. Aplicând acelaşi procedeu s-a determinat valoarea presiunii ventriculare ca fiind 150 mmHg. Conform datelor de specialitate, această valoare corespunde hipertensiunii arteriale. Aceasta reprezintă o tulburare a mecanismelor responsabile de reglarea tensiunii arteriale şi reprezintă un factor de risc care favorizează localizarea şi agravarea aterosclerozei, antrenând complicaţii cardiace (cardiopatia ischemică) sau accidente cerebrale. a) Variaţia presiunilor ventriculare şi aortice pentru cel de-al doilea pacient este ilustrată in figura 3.25.
45
Figura 3.25 Presiunea ventriculară și aortică la un pacient cu hipertensiune arterială
Din acest grafic se determină valorile pentru presiunea sistolică şi cea diastolică pe un ciclu cardiac, iar apoi se calculează pe baza acestora presiunea arterială medie ca şi în cazul pacientului anterior.Astfel, Pd = 150 mmHg şi Ps = 80 + 15 = 95 mmHg. Comparând aceste valori cu limitele normale se observă că ambele corespund condiţiei de hipertensiune arterială. Valoarea medie a presiunii arteriale va fi:
Valoare mai mare decât limita normală admisă de medicii cardiologi. b) Variaţia debitului aortic
Figura 3.26 Variația debitului aortic la un pacient cu hipertensiune
46
Se observă că faţă de cazul pacientului sănătos, valoarea maximă a debitului a crescut de la 380 ml la 400 ml în timpul sistolei. Acest lucru este normal, dată fiind creşterea presiunii arteriale şi relaţia de proporţionalitate dintre debit şi presiune. Creşterea presiunii determină o îngustare a aortei, o micşorare a secţiunii acesteia, fapt ce va fi arătat în secţiunea 3.2.5.3. Scăderea diametrului vasului de sânge poate indică unui medic o depunere de grăsime pe pereţii acestuia sau formarea de trombi, ajutând la stabilirea unui diagnostic cât mai exact. 3.2.5 Model pentu un sistem de monitorizare continuă a presiunii sângelui 3.2.5.1
Modelarea circulaţiei arteriale
Pentru a realiza modelarea unui segment de lungime L dintr-un vas de sânge se folosesc ecuaţiile Navier – Stokes. Acestea sunt ecuaţii cu derivate parţiale neliniare ce descriu mişcarea fluidelor şi provin de la aplicarea legii a doua a lui Newton pentru mişcare fluidă. A doua lege a lui Newton afirmă că rata de schimbare a impulsului este proporţională cu forţa impusă şi merge în direcţia forţei ( ). Ecuaţia Navier-Stokes dictează viteza fluidului la un moment dat în spaţiu şi atunci când viteza este aflată se poate determina debitul. Legea a doua a lui Newton arată ca forţa este egală cu masa ori acceleraţia (F = ma ); astfel masa şi forţă sunt cele două mari influenţe ale acceleraţiei. Cu cât forţa e mai mare, cu atât e şi acceleraţia mai mare, iar cu cât masa e mai mare, cu atât acceleraţia e mai mică. Frecarea lucrează în opoziţie cu acceleraţia. Aplicând aceasta la fluide, frecarea provine de la rezistenţă şi presiunea fluidului. Aplicând legea a doua a lui Newton în mecanica fluidelor se pot descrie mai uşor caracteristicile fluidelor, cum ar fi sângele, în termeni matematici. Forma generală a ecuaţiilor Navier – Stokes folosite pentru a modela curgerea sângelui se poate exprima astfel: (
Unde
)
este viteza fluidului; P este presiunea fluidului; F sunt forţe externe ce acţionează asupra fluidului; este densitatea fluidului; este coeficientul de vâscozitate cinetică. Pentru a putea aplica aceste ecuaţii sunt necesare câteva presupuneri: 47
Vasul arterial este rectiliniu, deformabil având o secţiune circulară; Sângele este un fluid incompresibil.
Dacă nu se iau în considerare componentele pe direcţiile x şi y ale vitezei, atunci ecuaţiile Navier – Stokes şi ecuaţia de continuitate pentru un fluid incompresibil în coordonate cilindrice (r, , z) sunt: (
)
(
)
Unde u(r,z,t) si w(r,z,t) reprezintă componentele vitezei pe direcţie axială (z) şi radială (r).[23] Considerând raza vasului de sânge R, se defineţte următoarea variabilă:
Unde
= coordonata radială.
Se presupune că presiunea este uniform distribuită în funcţie de secţiune astfel încât ea este independentă de , adică P = P(z,t). În noile coordonate ( , , z) ecuaţiile ( ( (
( (
)
.1), (
.2), (
)
)
(
)
(
În aceste ecuaţii putem presupune că :
48
.3) devin: )
)
Condiţiile de frontieră pentu ecuaţiile de mai sus pe direcţia
sunt :
Ideea de bază a acestui model hemodinamic este faptul că viteza axială poate fi exprimată într-o formă polinomială : [24] ∑ Componenta radială a vitezei este exprimată la rândul ei astfel: ∑ Pentru simplitate considerăm N = 1 şi ecuaţiile devin:
Înlocuind ecuaţiile ( lui q(z,t) si R(z,t):
.11) şi (
.12) în (
.5) şi (
.7) ecuaţiile dinamice ale
Aria secţiunii S(z,t) şi debitul de sânge F(z,t) pot fi exprimate astfel: ∫∫ Ţinând cont de aceste expresii, ecuaţiile ( de S şi F:
49
.13) şi (
.14) pot fi rescrise în funcţie
3.2.5.2
Modelul peretelui vascular
Pentru a înţelege hemodinamica circulaţiei arteriale trebuie modelat comportamentul vascoelastic al peretilot vaselor de sânge. Considerând σθ frecarea perpendiculară pe peretele vasului de sânge, σt frecarea paralelă cu acesta şi ignorând forţele externe ecuaţia de echilibru cu presiunea sângelui are următoarea expresie:
Unde e este grosimea peretelui vasului de sânge. Dacă definim R0 ca fiind raza vasului de sânge când presiunea P(z,t) = 0 şi εθ şi εt tensiunile corespunzătoare celor două direcţii, expresiile celor două sunt: √
(
)
Cel mai întâlnit model ce descrie propietatile vascolelasticeale pereţilor arteriali este modelul Kelvin – Voigt în care relaţia dintre frecare şi tensiune este:
Unde E este modulul de elasticitate ; este coeficientul de amortizare. Înlocuind în ecuaţiile ( .18) şi ( .19) R0 din expresia ariei S0 = π şi eliminând termenii de ordin superior se obţine ecuaţia ce descrie presiunea caracteristică pereţilor vaselor de sânge: √ √
(
√
50
)
3.2.5.3
Discretizarea şi analiza modelului
.16) şi La pasul următor se discretizeaza ecuaţiile cu derivate parţiale ( .15), ( ( .20) ce reprezintă ecuaţiile de bază ale modelului ales, folosind metoda diferenţelor finite. La primul pas se divide lungimea vasului de sânge – L – în N componente rezultând un pas de eşantionare . Dacă lungimea lui este îndeajuns de mică se pot aproxima derivatele în funcţie de z în felul următor:
Unde i = 1,2, ... ,N cu N>2 Expresia presiunii din ecuaţia ( se aplice doar în puncte discrete.
.20) este astfel concepută încât vâscoelasticitatea să
Folosind expresiile discretizate de mai sus, ecuaţiile (
Pentru a simula modelul descris prin arterial şi prima ecuaţie se liniarizează, devenind [25]:
şi
.15) şi (
.16) devin:
se consideră un segment
Unde
Pentru simplitatea simulării acestui sistem de ecuaţii s-a considerat ŞN = 3 şi y de forma y = [Q1 Q2 Q3 S1 S2 S3]T. Ecuaţiile (
.22) şi (
.24) pot fi puse sub forma
51
unde
[
]
Simularea s-a realizat în Matlab pentru următoarele valori:
2
;
v = 0.035 cm /s; g/cm3; L = 15 cm; S0 = 1.5 cm2; Q0 = 16.7 cm3/s. Variaţia debitelor Q1, Q2, Q3 şi secţiunilor S1, S2, S3 în timp:
Figura 3.27 Variația debitului în artere pentru cele trei noduri
Figura 3.28 Variația secțiunilor arterei pentru cele trei noduri
Se observă că cele trei debite de sânge ,corespunzătoare celor trei secţiuni ale unei artere au o comportare asemănătoare, scad de la valoarea iniţială de 16.7 cm3/s la aproximativ 4 cm3/s. 52
Conform graficului de mai sus, cele trei valori ale secţiunii arteriale se menţin aproape constante la valoarea iniţială, modificându-se nesemnificativ. Pe baza celor două măsurători se observă că debitul scade liniar, iar secţiunea se menţine aproape constantă de-a lungul unei artere. În continuare, pentru a ilustra relaţia dintre debitul sângelui şi secţiunea unei artere vom considera valoarea secţiunii S2 care are următoarea variaţie:
Figura 3.29 Variația secțiunii S2 în timp
Astfel, calculând din nou cele trei debite din sistemul de ecuaţii ( graficul acestora este următorul:
.22) şi (
Figura 3.30 Variația debitelor considerând secțiunea constantă
53
.24),
Din acest grafic se observă că având secţiune constantă şi menţinând aceeaşi valoare a gradientului presiunii , debitul sângelui prin arteră scade considerabil în timp, dar liniar. Considerând timpul variind între 0 şi 0.2 secunde, aceste observaţii sunt valabile pentru etapa diastolică a ciclului cardiac. Considerăm acum valoarea secţiunii arteriale de 0.7 cm2, valoare mai mică decât cea normală, cuprinsă între 1.5 şi 2 cm2 . Debitul va avea următoarea comportare:
Figura 3.31 Variația debitelor pentru o secțiune normală și una mai mică decât normal
Comparând cele două variaţii se observă că debitul corespunzător secţiunii anormale descreşte tot liniar, dar mai încet. Prin urmare se poate deduce faptul că atunci când secţiunea arterei scade, debitul de sânge creşte. Atunci când un volum mare de sânge trece prin artere cu secţiuni din ce în ce mai mici presiunea arterială va creşte, ajungând chiar la valori peste limitele normale. Astfel, debitul este direct proporţional cu presiunea arterială. [26]:
Acest lucru se poate deduce şi din expresia căderii de presiune din legea lui Poiseuille
Unde
este vâscozitatea sângelui.
În concluzie, atât debitul, cât şi presiunea sângelui depind de secţiunea vasului de sânge. O schimbare cât de mică poate duce la modificarea semnificativă a debitului, care la rândul lui duce la modificarea presiunii. În condiţiile în care un debit mare de sânge curge printr-o secţiune mică, se poate ajunge chiar la hipertensiune arterială. 54
3.2.5.4
Modelarea circulaţiei dinspre inimă
Pentru a descrie dinamica circulaţiei arteriale s-a modificat un model Windkessel, ca în figură. Ca mărime de intrare s-a ales debitul circulator, a cărei valoare este cunoscută.
Figura 3.32 Model Windkessel modificat pentru ilustrarea circulației arteriale[23]
Ecuaţiile dinamice corespunzătoare circulaţiei sângelui ce pleacă de la inimă sunt exprimate astfel:
(
)
Unde:
Cs este o complianţă ce modelează aorta şi arterele mari ca o cameră elastică ce reţine volumul de sânge pompat de ventriculul stâng în timpul sistolei; Cp, RS sunt elemente capacitive, respectiv rezistive ce modelează vasele de sânge prin care curge sângele în diastolă; IS este inerţia sângelui; Qc este debitul circulator. Debitul Q0 poate fi determinat înlocuind valoarea gradientului secţiunii – ecuaţia (3.2.5.23) in ecuatia (3.2.520) pentru i = 0: √ √ 3.2.5.5
(
√
)
Modelarea circulaţiei înspre inimă
Pentru a modela dinamica vaselor de sânge ce ajung la inimă, in speţă a venelor, s-a 55
folosit un un model Windkessel clasic.
Figura 3.33 Model Windkessel cu trei elemente pentru modelarea circulației înspre inimă[23]
Ecuaţia dinamică poate fi scrisă astfel: ( Unde:
)
Cd este complianţa vaselor; Rcd este rezistentă caracteristică; Rpd este rezistentă periferică; Pv este presiunea venoasă. Debitul
poate fi determinat cunoscând ecuaţia algebrică şi din ecuaţia (
√ √ 3.2.5.6
(
√
.20):
)
Modelul arterial complet
Cele trei modele – al dinamicii hemodinamice locale, al circulaţiei înspre şi dinspre inimă sunt combinate pentru a reprezenta întregul sistem arterial. Sistemul are (2N+3) variabile de stare şi două intrări: x = [Pc Qs P1 Q1 ... QN-1S1 ... SNPd]T u = [Qc Pv]T Având în vedere ecuaţiile ce descriu dinamica sângelui ce pompat de inimă în organism – ecuaţiile (2.2.6. 25) – (2.2.6. 28), celui care vine înspre inimă – ecuaţiile (2.2.6. 29) – (2.2.6. 30) şi cele care descriu un segment dintr-un vas de sânge, modelul extins poate fi reprezentat pe stare 56
sub următoarea formă: ̇
Unde: [
]
Si
[ 3.2.5.7
]
Descrierea dispozitivului de monitorizare a presiunii arteriale
O aplicaţie practică foarte importantă a modelării matematice a sistemului circulator reprezintă dezvoltarea unui sistem neinvaziv de monitorizare a presiunii arteriale în scopul stabilirii unui diagnostic. În general, monitorizarea presiunii sângelui este limitată de determinarea periodică a presiunii sistolice şi diastolice. Dar cunoaşterea comportării continue a acestui parametru reprezintă un avantaj pentru medici, furnizând informaţii utile pentru a stabili cu mai ulta precizie starea pacientului. Se cunoaşte faptul că la începutul sistolei o creştere a presiunii indică o contracţie cardiacă puternică, în timp ce rata de scădere a presiunii în timpul diastolei poate fi folosită ca o măsură a rezistenţei periferice, ambii parametri fiind importanţi în stabilirea unui diagnostic. Aceste dispozitive de monitorizare continuă contribuie la îmbunătăţirea calităţii sistemului de sănătate atât clinic cât şi ambulatoriu. În cazul de faţă s-a folosit un fotopletismograf pentru a măsura variaţia diametrului unui vas de sânge într-un anumit punct şi un al doilea fotopletismograf pentru variaţia diametrului într-un alt punct al aceluiaşi vas de sânge. Un fotopletismograf caracterizat de o impedanţă electrică determină variaţia impedanţei electrice a segmentului arterial cuprins între cele două puncte considerate anterior. Cele trei măsurători sunt integrate în modelul matematic descris în secţiunile anterioare şi este realizată o reprezentare pe stare corespunzătoare. Un filtru Kalman este folosit pentru a estima variabilele de stare ale modelului cât şi presiunea sângelui. Având în vedere că segmentul arterial este modelat destul de precis şi parametrii necesari sunt măsuraţi folosind senzori, se poate deduce că filtrul Kalman va estima destul de precis presiunea sângelui, chiar dacă s-au realizat simplificări în procesul de modelare. 57
Modelul matematic a fost dezvoltat considerând sângele un fluid Newtonian incompresibil, simetric pe direcţie axială aflat într-un vas rectiliniu cu o secţiune circulară. Această metodă de modelare este aplicată unui segment din lungimea vasului de sânge de unde se extrag cu ajutorul senzorilor informaţiile necesare. Acest model al unui segment arterial a fost apoi extins cu circulaţia către inimă şi dinspre inimă pentru a realiza o modelare completă a sistemului circulator. Un astfel de dispozitiv format din trei senzori ce măsoară variaţia diametrului unei artere de dimensiuni mai mici şi volumul de sânge din segementul aflat între cei doi senzori este ilustrat în figura următoare:
Figura 3.34 Dispozitiv de monitorizare continuă a presiunii unei artere digitale (un deget de la mână)
4. Concluzii Corpul uman este un sistem complex, fiecare organ sau subsistem răspunde la sute de varibile şi factori şi care, la rândul lui, influenţează alte organe şi subsisteme. În acest context, procesele de modelare şi simulare au un rol important în înţelegerea acestor mecanisme cu scopul de a dezvolta echipamente medicale performante. Aceste dispozitive asistă medicii cardiologi în stabilirea unui diagnostic precis, iar tendinţa actuală este de a particulariza acest diagnostic în funcţie de fiecare om, rezultând o abordare axată pe pacient. De asemenea, faptul că nu se pot colecta date clinice din anumite porţiuni ale sistemului circulator accentuează importanţa modelării şi simulării acelor segmente pentru a înţelege funcţionarea acestora. Modelarea este folosită pentru a abstractiza fenomenul studiat, pentru a-l reprezenta întrun mod conceptual, simplificat, deaorece este foarte dificil să se definească toţi parametrii ce contribuie la un proces ce trebuie observat. De exemplu, am considerat sângele un fluid incompresibil, caracterizat de o curgere laminară, iar vasele de sânge de forma unei conducte rectilinii, presiunea fiind uniform distribuită pe secţiunea vasului de sânge. Aceste presupuneri duc invariabil la mici diferenţe între valorile reale şi cele simulate, dar acurateţea modelului 58
rămâne considerabilă. Studiind cele trei modele Windkessel şi comparând rezultatele obţinute în simulări am observat că cu cât modelul este mai complex şi include mai mulţi parametri, cu atât exprimă mai bine sistemul real. Am ales să modelez şi să simulez sistemul cardiovascular cu ajutorul modelelor Windkessel deoarece acestea prezintă câteva avantaje: Sunt intuitive - analogia dintre elementele biomecanice şi cele electrice este uşor de înţeles şi se realizează imediat, dată fiind asemănarea modului de funcţionare şi caracterisitcile celor două tipuri de componente; Sunt flexibile – modelarea se poate face integrând tot sistemul circulator sau doar anumite părţi ale acestuia,cum ar fi inimă sau un anumit vas de sânge; Se pot detemina numeric şi grafic parametri importanţi în diagnosticare – presiuni, şi debite; Sunt uşor de implementat în limbajul Matlab/Simulink. Prin combinarea datelor reale, ecuaţiilor diferenţiale şi modelului electric dezvoltat pe baza celui Windkessel s-au putut determina parametri importanţi în stabilirea unui diagnostic, cum ar fi presiunea arterială sistolică, diastolică şi medie. Nu s-au determinat doar valorile numerice ale acestora, dar se poate vizualiza şi variaţia lor în timp fapt ce ajută la particularizarea diagnosticului , stabilirea şi adaptarea unui eventual tratament în funcţie de rezultate ulterioare. Nu în ultimul rând am evidenţiat faptul că se poate realiza o modelare a sistemului cardiovascular prin combinarea ecuaţiilor diferenţiale şi ale modelelor electrice, cu scopul de a proiecta dispozitive medicale mobile şi neinvazive de monitorizare continuă a pacienţilor cu risc de boli cardiace şi nu numai.
59
5. Bibliografie [1] Tache I., Ghita P. 2012 Pacient Orientated Diagnosis Techniques for Cardio-Vascular Diseases [2] http://www.sfatulmedicului.ro/Anatomia-toracelui/camerele-inimii-si-peretelecardiac_5664#Camerele_inimii, accesat ianuarie 2012 [3] http://www.sfatulmedicului.ro/Anatomia-toracelui/conductia-si-ciclul-cardiac_5665, accesat ianuarie 2012 [4] http://www.fi.edu/learn/heart/vessels/arteries.html,accesat ianuarie 2012 [5] Organizatia Mondiala a Sanatatii, Fact Sheet 317: Cardiovascular Diseases Septembrie 2011 - http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs317/en/index.html, accesat februarie 2012 [6] Levenson JW et al 2002. Reducing the global burden of cardiovascular disease: the role of risk factors. Preventative Cardiology, p.188–199. [7] Dr. Tinica Dana 2010. Tromboza - limita fragilă dintre normal şi patologic [8] Prof. dr.Apetrei Eduard 2004. Atentie la bolile vasculare [9] http://www.citynews.ro/mures/sanatate-16/bolile-vasculare-legate-de-imbatranire-27211, accesat februarie 2012 [10] http://www.pbs.org/wnet/redgold/basics/circulation.html, accesat februarie 2012 [11] Westerhof N., Noble M. 2010. Snapshots of Hemodynamics – An Aid for Clinical Research and Graduate EducationI,Springer [12] A.C. Fowler 1998. Mathematical models in applied Sciences; Cambridge Univerity Press [13] Neculai A. Despre Modelare matematica [14] Prof. Rampu C. Utilizarea modelelor matematice în biologie
[15 Klabunde R. Cardiovascular Physiology Concepts. http://www.cvphysiology.com/Hemodynamics/H003.htm, accesat iunie 2012 [16] Zimmer H.G. 2004 Otto Frank and the fascination of high-tech cardiac physiology [17] Ing. Hlavac M. Windkessel Model Analysis in Matlab [18] Westerhof N. et. al. An artificial arterial system for pumping hearts, Journal of Applied Physiology [19] Palladino J., Noordergraaf A. Functional Requirements of a Mathematical Model of the Heart [20] Mulier J.P., Palladino J., Noordergraaf A. Closed-loop systemic circulation model using the Frank mechanism [21] Westerhof N., Elzinga G., Sipkema P. Artificial arterial system for pumping hearts 60
[22] G. E. Healthcare. Vivid 7 Dimension Cardiovascular Ultrasound System [23] Yang B. Zhang Y. Cuffless Continuous Blood Pressure Monitor [24] E.Belardinelli, S. Cavalcanti – Theoretical Analysis of Pressure Pulse Propagation in Arterial Vessels [25] Kumar H., Chandel R. A Matematical Model for Blood Flow and Cross Sectional Area of an Artery [26] Deviha V. , Jayalalitha G. Fractal Model of the Blood Vessel in Cardiovascular System [27] Bazavan P. Sisteme Dinamice [28] Radulescu V. Ecuatii cu derivate partiale [29] Gockenbach M. 2010 MATLAB Tutorial. Partial Differential Equations: Analytical and Numerical Methods, 2nd edition [30] Power Sim Tutorial. http://www.mathworks.com/help/toolbox/physmod/powersys/ug/f1055736.html, accesat iunie 2012
61
6. Anexe 1. Ecuaţii diferenţiale Ecuaţiile diferenţiale sunt un subiect de analiză matematică foarte important, având aplicaţii în cadrul matematicii precum şi în alte domenii ale ştiinţelor (fizică, chimie, biologie). O ecuaţie diferenţială este o relaţie între o variabilă independenta x, funcţia căutată y = y(x) şi derivatele sale y’ , y’’,…,y, de forma F (x,y’,y’’,…,y ) = 0. Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este cel mai mare dintre ordinele derivatei care figurează în ecuaţie. -
Ecuaţiile diferenţiale sunt de două tipuri: ecuaţii diferenţiale ordinare, care conţin doar derivate ordinare; ecuaţii cu derivate parţiale, dacă derivatele care apar în ecuaţie sunt parţiale.
Soluţia unei ecuaţii diferenţiale de ordin n pe un interval (a ,b) este o funcţie y = φ (x) definită pe acest interval cu derivatele sale până la ordinal n şi pentru care substituind y = φ (x) în ecuaţia diferenţială, aceasta devine o identitate în raport cu x din (a ,b). Soluţia particulară a unei ecuaţii diferenţiale este o soluţie obţinută plecând de la soluţia generală φ (x , c) pentru o valoare oarecare determinată a constantei arbitrare c. A găsi o soluţie particulară, deci o funcţie y = y(x) care satisface o ecuaţie diferenţială şi în acelaşi timp una sau mai multe condiţii suplimentare se spune că se rezolvă o ecuaţie diferenţială cu condiţii iniţiale sau că se rezolvă o problemă Cauchy. 1.1 Ecuaţii diferenţiale ordinare O ecuaţie diferenţială ordinară poate fi formalizată astfel: (
)
Unde t este o variabilă scalar, de obicei interpretată ca timp) , F o funcţie dată, x o funcţie necunoscută şi derivatele acesteia în raport cu t şi n ordinal ecuaţiei. Acestei ecuaţii i se asociază şi n condiţii iniţiale:
O astfel de ecuaţie poate fi scrisă şi sub forma: [27] ̇ 62
1.2 Ecuatii cu derivate parţiale O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul k ≥ 1 este o expresie de tipul :
Unde
. S-a notat generic prin
o derivată parţială de ordinal j ≥ 1 , respectiv :
Unde j1 , j2, … , jN sunt numere naturale astfel încât j1 + j2+ … + jN = j [28] 2. Cod Matlab a. Ecuaţiile Navier – Stokes – simularea debitului de sânge în aortă function navier t= linspace(0,0.8,100); A0 = 0.09 - 0.04.*sin(7.5*t/2); A1 = 0.4 - power(cos(7.5*t/2),-1); Q =9*(10^-4)*(A0 - 0.05*A1.*cos(7.5*t)); plot(t,Q) xlabel('timp[s]'); ylabel('debit [mcubi/sec]');
b. Model Windkessel - simularea debitului de sânge prin aortă function windkessel R=1; C=1; I0=500; Ts=0.3; T=0.8; hold on t1=0:0.01:0.3; i=I0*power(sin(pi*t1/Ts),2); p1=plot(t1,i) t2=0.3:0.001:0.8; i1=0; p2=plot(t2,i1) hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('debit [ml/sec]'); set(p1,'Color','red','LineWidth',2); set(p2,'Color','red','LineWidth',2);
63
c. Simularea presiunii aortice în faza diastolică pentru modelul Windkessel cu două elemente td=0.3; P0=80; %mmHg t= linspace(0.3,0.8,50); R=1; C=1; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]');
d. Simularea presiunii aortice într-un ciclu sistolă, diastolă function dydt = wm2elem(t,y) C=1; R=1; Ts=0.3; dydt =500/C * power(sin((pi*t)/Ts),2) - 2/(R*C)*y; end function Untitled2 [t,y]=ode45(@wm2elem,[0 0.3],80); hold on plot(t,y); td=0.3; R=1; C=1; P0=99.9; %mmHg t= [0.3 0.8]; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]');
e. Simularea presiunii aortice in faza diastolică pentru modelul Windkessel cu trei elemente function windnou td=0.3; P0=80; %mmHg t= linspace(0.3,0.8,50); hold on R=1; C=1; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) R=0.79; C=1.75;
64
P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P,'-r') R=0.63; C=5.16; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P,'-y') hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]'); leg=legend('(a)','(b)','(c)');
f. Simularea presiunii într-un ciclu sistolă, diastolă function dydt = wm3elem(t,y) Cc=1; Ra=0.05; Rp=1 Ts=0.3; dydt =(Rp+Ra)/(Rp*Cc) *500 * power(sin((pi*t)/Ts),2)+500*Ra*(pi/Ts)*sin((2*pi*t)/Ts) - y/(Cc*Rp); end
function Untitled3 [t,y]=ode45(@wm3elem,[0 0.3],80); hold on plot(t,y); td=0.3; R=1; C=1; P0=124; %mmHg t= [0.3 0.8]; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]');
g. Simularea presiunii aortice în faza diastolică pentru modelul Windkessel cu patru elemente function windnou td=0.3; P0=80; %mmHg t= linspace(0.3,0.8,50); hold on R=1; C=1; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) R=0.79; C=1.22; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P,'-r') R=0.63;
65
C=2.53; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P,'-y') hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]'); leg=legend('(a)','(b)','(c)');
h. Simularea presiunii într-un ciclu sistolă, diastolă function dydt = wm4elem(t,y) Cc=1; Ra=0.05; Rp=1; Ts=0.3; Lc=0.005; dydt =(Rp+Ra)/(Rp*Cc) *500 * power(sin((pi*t)/Ts),2)+... (Ra*Rp*Cc+Lc)/(Rp*Cc)*500*(pi/Ts)*sin((2*pi*t)/Ts)+... Lc*500*(pi/Ts)*(sin((2*pi*t)/Ts)+ 2*pi*t/Ts*cos(2*pi*t/Ts))-y/(Rp*Cc); end
function Untitled4 [t,y]=ode45(@wm4elem,[0 0.3],80); hold on plot(t,y); td=0.3; R=1; C=1; P0=124; %mmHg t= [0.3 0.8]; P=P0 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P) hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]');
i. Analiza comparativă a celor trei modele Windkessel function wmcompus [t,y]=ode45(@wm4elem,[0 0.3],80); [t1,y1]= ode45(@wm3elem,[0 0.3],80); [t2,y2] = ode45(@wm2elem,[0 0.3],80); hold on plot(t,y,'r'); % 4 elem plot(t1,y1,'g'); % 3 elem plot(t2,y2,'b'); % 2 elem td=0.3; R=1; C=1; P01=124; %mmHg t= [0.3 0.8];
66
P1=P01 * exp(-(t-td)/R*C); p=plot(t,P1,'r') % 4 elem set(p,'LineWidth',2) P2=P01 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P2,'g') % 3 elem P03=99.9 P3=P03 * exp(-(t-td)/R*C); plot(t,P3,'b') %2 elem hold off xlabel('timp[s]'); ylabel('presiune [mmHg]'); leg =legend('WM4','WM3','WM2');
j. Simularea presiunii şi elastanţei în funcţie de volum pentru ventriculul stâng function inima_pompa t=linspace(0,0.8,100); Vv=linspace(40,70,100); a=0.0007; b=20; c=3.5; d=80; tc=0.264; tp=0.371; alfa=2.88; tr=0.299; tb=tp*(1-(tr/tc)^(alfa/(alfa-1))*(exp(-(tp/tc)^alfa)/... (1-exp(-(tp/tc)^alfa)))^(1/(alfa-1))); f1=(1-exp(-(t/tc).^alfa)); f2=exp(-((t-tb)/tc).^alfa); f3=(1-exp(-(tp/tc)^alfa))*exp(-((tp-tb)/tr)^alfa); f=f1.*f2/f3; Pv=(a*(Vv-b)).^2+(c*Vv-d).*f; Ev=2*a*(Vv-b)+c.*f figure(1) plot(Vv,Pv); xlabel('Volum[ml]'); ylabel('Presiune [mmHg]'); figure(2) plot(Vv,Ev); xlabel('Volum[ml]'); ylabel('Elastanta [mmHg/ml]');
k. Variaţia debitelor şi secţiunii de-a lungul unei artere function dy = m_arterial(t,y) difP=40; %ml gradinetul presiunii fata de timp
67
v= 0.035; % vascozitatea cinematica ro= 1.05; %densitatea S0= 1.5; L=15; N=3; dz=L/(N-1); Q0=16.7; alfa=(4*pi*v)/S0; beta=S0/(2*ro); dy=zeros(6,1); % y=[Q1 Q2 Q3 S1 S1 S3] dy(1)= - (alfa*y(1)+beta*difP+y(4)*difP/(2*ro)); dy(2)= - (alfa*y(2)+beta*difP+y(5)*difP/(2*ro)); dy(3)= - (alfa*y(3)+beta*difP+y(6)*difP/(2*ro)); dy(4)= - ((y(1)-Q0)/dz); dy(5)= - ((y(2)-y(1))/dz); dy(6)= - ((y(3)-y(2))/dz); function ode_m_arterial tspan = [0 0.2]; y_init=[16.7 16.7 16.7 1.5 1.5 1.5]'; [t, y] = ode45(@m_arterial, tspan, y_init); hold on figure(1) plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)); xlabel('timp[s]'); ylabel('debit cm^3/s'); leg=legend('Q1','Q2','Q3'); figure(2) plot(t,0.7,t,y(:,5), t,y(:,6)); xlabel('timp[s]'); ylabel('sectiune [cm^2]'); leg=legend('S1','S2','S3');
68
