Modelo Matemático Del Control de Profundidad de Un Submarino

Modelo matemático del control de profundidad de un submarino. La figura 4 muestra el esquema de la situación en análisis, donde la profundidad del submarino es medida por un sensor y comparada con la profundidad deseada.

 Figura- 4

El modelado se realiza mediante un diagrama de bloques sencillo, que se muestra a continuación (figura-!"

 Figura- 5

Las ecuaciones que describen al sistema son" τ 

dV  ( t ) dt 

+V  ( ( t )=

 K ∗dθ ( t ) dt 

+ K  θ ( t )  Ec .1 a

#onde $ (t! es la taza de profundidad del submarino, la cual al ser integrada resulta en la profundidad del mismo"

∫ V  ( ( t ) dt Ec .2

C ( t ) =

#onde %(t! es igual al angulo del plano de &opa Las constantes implicadas son la siguiente" '  )*s +  *(fts! (gradoss! +a  )*(fts!(grados! La función de transferencia de /ste problema se deberá obtener as0" 1. &lanteando las ecuaciones diferenciales del sistema. 2. &lanteando el respecti3o diagrama de estado. . #eterminando las matrices de estado y utilizando M15L12 para generar la función de transferencia de $(s!%(s!. &lanteando las ecuaciones diferenciales del sistema. &ara el desarrollo de las ecuaciones daremos la solución a la Ec.) ya que 6ay una gran cantidad de sistemas continuos tienen su relación entrada-salida descripta por una ecuac ión diferencial. La ecuación diferencial debe ser lineal y con coeficientes constantes siendo la e7presión general de este tipo de ecuaciones τ 

dV  ( t ) dt 

+ V  ( t )=

 K ∗dθ ( t ) dt 

+ K  θ ( t ) a

#onde los coeficientes son constantes reales. omenzamos nuestro análisis de sistemas de primer orden con u n caso especial, es decir, donde la función deri3ada es una función lineal e7pl0cita de la entrada y la salida. #onde aremos particiones de la Ec.) para sacar un modelo equi3alente asiendo un cambio de 3ariable donde está la llamaremos ##(t! &ara la entrada" τ 

dD dt 

+ D =θ Ec .3

&ara la salida"

K 

dD dt 

+ K   D =V Ec .4 a

Estas dos ecuaciones son equi3alente a la Ec.) 1plicando la transformada en el dominio del tiempo a la Ec.8 y Ec.4 o &ara la Ec.8 dD dt 

=

1  θ τ 

−

1

τ 

D Ec .5

1 1 sD ( s ) =  θ ( s )− D ( s )  Ec .5−1 τ  τ 

&ara la Ec.4  K 

dD dt 

+ K   D =V Ec .4 a

V  ( s ) = KsD ( s ) + KaD ( s ) Ec .6

•

&L195E19#: EL ;E<&E5=$: #=1>;1M1 #E E<51#:

o

#iagramas de estado para las ecuaciones Ec.-) y Ec.?

-

#iagrama de Estado Ec.-)

-

#iagrama de Estado Ec.?

-

@niendo los diagramas de estado de las ecuaciones Ec.-) y Ec.? tenemos que"

1plicando la transformada en el dominio del tiempo a la Ec. para obtener el diagrama de estado total

( )= s− V  ( s ) Ec .7

C  s

-

•

1

#iagrama total

#eterminando las matrices de estado y utilizando M15L12 para generar la función de transferencia de $(s!%(s!.

&ara determinar la matriz eliminamos los integradores y nuestro diagrama de estado queda de la siguiente manera"

@na 3ez simplificado el diagrama de estado podemos obtener los pará metros para poder formar nuestra matriz y obtener la función de transferencia $(s!%(s!.

-

5enemos que.

 X 1=C ( s )

´ 1=V  ( s )=  X 

 X 2= D ( s )

-

dt 

dX 2 dt 

5enemos que al aplicar superposición obtenemos los siguientes resultados mediante el diagrama de estado.

´ 1  X 1=0  X 

|

´ 1  X 2= Ka  X 

|

´ 1 θ=  X 

|

-

´ 2=  X 

dX 1

 K  τ 

´ 2  X 1=0  X 

|

´ 2  X 2=  X 

|

−1

´ 2 θ=  X 

|

τ  1

τ 

on los datos obtenidos formamos la matriz donde queda de la siguiente forma.

[ ][  ´  X  = ´  X 

0

Ka

0

−1

1

2

τ 

][ ] [ ]  K 

 X 1

 X 2

+

τ 

1

θ Ec .8

τ 

-1signamos los 3alores para cada una de las 3ariables de la matriz.

'  )* +  * +a  )*

[ ][  ´ 1  X  ´2  X 

=

0

10

0

−1 10

][ ] [  X 1

 X 2

+

 20 10 1 10

]

θ

&ara determinar la matriz se implementó un código para ser eAecutado en Matlab y asi facilitar la resolución de la matriz una 3ez resuelta tambi/n obtendremos la función de transferencia.

En el siguiente apartado se mostrara el código de la matriz y aplicando de una 3ez la tf para crear la función de transferencia de tiempo continuo. BModelo Matematico #el ontrol #e &rofundidad #e @n ) tf(sys!

En la figura ? podemos obser3ar los resultados al eAecutar el código ya que nos muestra dos funciones de transferencia para saber cuál por elegir tenemos que 6acer ciertas pruebas para 3er cual se adapta más al sistema. &ara esto 6acemos la ocupación de los comando &ole y Iero para obtener la ubicación de los polos y los zeros.

 Figura 6 

EAercemos las siguientes pruebas para el primer resultado de la función de transferencia como se muestra en la figura J

 Figura 7 

on estas pruebas nos mostrara las siguiente graficas donde podemos obser3ar los polos y los zeros. La grafica ) muestra la ubicación de los polos y los zeros entonces podemos decir que el resultado es satisfactorio para lo que necesitamos en nuestro problema. on rlocus calcula y dibuAa el lugar de las ra0ces cuando se trabaAa con la función de transferencia as0 como se muestra en la gráfica  y podemos obser3ar que tambi/n tiene resultados satisfactorios.

Grafica 1

Grafica 2

&ara los resultados de la segunda función de transferencia no son muy satisfactorio dic6o se da a de mostrar en la  presentación del proyecto, entonces queda a criterio del estudiante cual desea aplicar en la elaboración del eAercicio.

-

Entonces la ecuación a utilizar para la elaboración del submarino es la siguiente"

V  ( s ) θ (s)

•

=

∗ + s + 0.1 s

2 s 1.2 2

 Ec .9

#eterminar la respuesta del escalón unitario y a una rampa del sistema sin controlador

omo el problema nos especifica que es un lazo cerrado en la figura  se muestra espec0ficamente lo Knico que nosotros lo 6aremos sin la utilización del controlador, utilizando Matlab con el comando feedbacD obtenemos la resolución de la Ec. en la figura  se muestra como se obtiene la nue3a ecuación de un lazo cerrado.

 Figura 8

on el comando
 Figura 9

En la gráfica 8 podemos obser3ar la respuesta del escalón unitario donde su estabilidad es muy satisfactoria ya que la cur3a que muestra no es muy grande y obtiene rápidamente su asentamiento.

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Grafica 4

En la gráfica 4 podemos obser3ar el resultado de la rampa donde la l0nea amarilla es la seNal de entrada y la morada es la seNal de salida. $emos que el sistema se adapta adecuadamente con la 3ariabilidad del tiempo. &ara la ubicación de las ra0ces mediante la ecuación  aplicando la eAecución de lazo cerrado mediante el comando de rlocus y nos muestra la siguiente gráfica.

Grafica 5