Universidad de San Carlos de Guatemala Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Mecánica Industrial Investigación Investigación de Operaciones 2 Ing. Marco Vinicio Monzón Arriola
Trabajo Presentación Modelo MMk
Grupo #7 Carnet:
Nombre:
2008-15523 2008-15253 2007-15167 2008-19247 2012-12728 2012-12589 2012-1 2589
Ronald Perez David Alejandro Ochoa Reyes Diego José Emilio López Obregón José Rodrigo Mérida Girón Keneth Ubeda Tamy Vivas
Guatemala, 28 de abril de 2014
Teoría de Colas Concepto de teoría de colas Es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
Sistemas de colas Son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.
Funcionamiento de un sistema de colas Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio, esperan si éste no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.
Características de los sistemas de colas Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas: 1. Patrón de llegada de los clientes 2. Patrón de servicio de los servidores 3. Disciplina de cola 4. Capacidad del sistema 5. Número de canales de servicio 6. Número de etapas de servicio Algunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes
Modelo MMk Cuando se tiene más de un servidor, el modelo a utilizar es el m/m/k, donde k denota el número de servidores. Antes de empezar con los cálculos es necesario revisar si el modelo es consistente, es decir si ρ, la
relación entre las llegadas y la atención, es menor a la unidad:
De cumplirse esta condición pueden llevarse a cabo los cálculos, de lo contrario, el sistema no puede resolverse a menos que se agreguen servidores. Ejemplo 1
Un supermercado trata de decidir cuantas cajas deben estar funcionando. Suponga que cada hora llega un promedio de 16 clientes y el tiempo promedio de servicio a un cliente es de 5 minutos. Los tiempos entre llegadas son exponenciales y los tiempos de servicio de Poisson. a. Como mínimo ¿cuántas cajas debería tener el supermercado?
Empezando con un servidor: el sistema no es consistente, Agregando un servidor: ahora es consistente. R/ Debería tener como mínimo 2 cajas. b. Calcule las medidas de eficiencia para el número mínimo de cajas que debería tener el
supermercado. Utilizando las fórmulas para modelo m/m/k: Utilización 66,67% P(0), probabilidad que el sistema esté vacío 0,2000 Lq, longitud esperada de la cola 1,0667 L, número esperado en el sistema 2,4000 Wq, tiempo esperado en la cola 0,0667 W, tiempo total esperado en el sistema 0,1500 Pw, Probabilidad que un cliente espere 0,5333
c. Si el funcionamiento de una caja cuesta Q.20/hora y se carga un costo de Q.0.25 por cada
minuto que el cliente pasa en la zona de cajas, ¿cuál es el costo total del sistema? Para esto se hace uso de la fórmula de costo total, la cual es la misma para cualquier sistema.
Convirtiendo los costos a Q/hora:
R. El costo total del sistema (supermercado) es de Q.76.00
Ejemplo 2
En algún sitio hay un banco con 2 cajeros. Un promedio de 80 clientes por hora que llegan al banco, y esperan en una sola cola que se desocupe algún cajero. El tiempo promedio que se requiere para atender a un cliente es de 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Determine: 1) Numero esperado de clientes en el banco 2) Tiempo esperado que un cliente pasa en el banco 3) Fracción de tiempo que los cajeros pasan desocupados. Solución:
1. K=2; λ=80 clientes/hora; μ=1/(1.2/60) = 50 clientes/hora; De la fórmula:
Po = 0.111
De la fórmula:
Lq = 2.844 Clientes De la fórmula:
Ls = 4.444 Clientes Conclusión:
El número esperado de clientes en el banco es de 5 personas. 2. De los datos del inciso 1. De la fórmula:
Wq = 2.844/80 = 0.035 horas * 60 minutos/1hora = 2.133 minutos De la fórmula:
Ws = 0.035 + 1/50 = 0.0555 = 3.33 minutos Conclusión:
El tiempo esperado que un cliente pasa en el banco es de 3.33 minutos 3. Conclusión: Debido a que Po = 0.111 entonces la fracción es del 11.1% de las horas
Ejemplo 3
Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no debe tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas copiadoras se deben instalar? Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera. ¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en ésto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 por ciento del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0,6 estudiantes por minuto. Además se supone que los períodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, ó 1 por minuto. Se comenzará con dos copiadoras, ya que una no sería suficiente. A = 1 por minuto S = 0,6 por minuto N=2
Ésto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante promedio. Se tratarán tres copiadoras.
