Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
MODELO MONEY IN UTILITY FUNCTION (MIU) Cesar Ce sar An tun ez ez.. IΨ (Lima, Perú - 2010)
Introducción
E
n este documento intentaremos esbozar un modelo simple de demanda de dinero en la Función de Utilidad para atacar este problema, hay que mencionar que Patrinkin (1965), modelaba la existencia del dinero incluyéndolo en la
función de utilidad.
1
Pero fue Sidrauski (1967) quien menciona, que así como el consumo de bienes y servicios, mantener dinero (dinero en términos reales, es decir, expresado en cantidades de bienes y servicios que pueden ser adquiridos) también genera utilidad. Esta aproximación tiene varias críticas, por que hay que reconocer que el dinero no proporciona utilidad directa sino a través de los bienes que pueden ser comprados con este dinero. Por lo que al incluir los bienes y el dinero en la función de utilidad se incurriría en una doble contabilidad. Pero Hansen (1970) nos responde esta crítica, diciendo que además de intercambiarse por bienes, el dinero presta un servicio de transacción y de esta manera aumenta el nivel de satisfacción de los individuos, también nos dice que para incluir el dinero en la función de utilidad es necesario incluir también sus precios, así lo que debe incluirse son los saldos reales y no el dinero nominal.
Resuelto esta crítica, comenzaremos mencionando que Sidrauski comienza haciéndose una pregunta de por que los agentes valoran el dinero sea trivial, pues éste tipo de activo esta directamente en le función de utilidad, al proporcionar servicios facilitan las transacciones.
Ψ
Alumnote la facultad de Economía de la UNMSM. Por ultimo todo error err or es responsabilidad del autor cuyo correo es
[email protected] 1
Este punto fue planteado por Patrinkin, D. (1965) “Money, Interest and Price”
1
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I Supuestos del Modelo
Para el modelo consideraremos los siguientes supuestos:
• Se presenta una economía cerrada sin relación con el exterior. • El gobierno debe financiar una secuencia exógena de gasto. • El modelo Money in Utility Function se presenta en un contexto Neoclásico. • La función de utilidad tiene buen comportamiento. • Se asume que la oferta de trabajo es inelástica lt = 1 para todo t. • El stock de capital se deprecia a una tasa constante δ . • La función de utilidad de los individuos depende del consumo y de los saldos reales.
• La única fuente de financiamiento del gobierno es la emisión de dinero. Si incomparamos a las familias estas presenta una función de utilidad a maximizar
que es la siguiente: ∞
Máx :
∑ β u (c , t
t
t = 0
M t +1 Pt
)
Donde la función de utilidad presenta buen comportamiento, por eso pasaremos por alto la demostración de las propiedades de la función. Por lo que uc > 0 , ucc > 0 , um > 0 y umm > 0 .
Y esta función se enfrenta a la siguiente restricción y esta s.a: ct + it + g t = wt .lt + r t .k t − τ t it = k t +1 − (1 − δ )k t g t =
M t +1 Pt
−
M t Pt
Donde: 0 < β < 1 : Representa el factor de descuento intertemporal. ct : Representa el consumo del periodo t. it : Es el nivel de inversión en el periodo t. k t : Es el stock de capital en el periodo t. g t : Representa el nivel de gasto de gobierno en el periodo t.
τ t : Son impuestos de suma fija en el periodo t.
2
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
M t : Es la cantidad nominal de dinero que las familias tiene al inicio en el periodo t. Pt : Es el nivel de precios de la economía en el periodo t.
δ : Representa la tasa de depreciación del stock de capital. wt : Es el salario real en el periodo t. r t : es la tasa de retorno del capital en el periodo t. lt : Representa la fuerza de trabajo en el periodo t.
Además la cantidad de dinero inicial y el stock de capital esta representado k 0 , M o que están dados. Dado
que las empresas tratan de maximizar su beneficio, esta estará representada por: Máx : Π = f ( k t ) − wt .lt − r t .k t
Pero como asumimos que la oferta de trabajo es inelástica lt = 1 , reemplazando este supuesto en la ecuación anterior se tiene: Máx : Π = f ( k t ) − wt − r t .k t
Además la f (k t ) , es la función de producción que cumple con las propiedades habituales como demostraremos: a) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos. df dlt
= f l′ > 0
df dk t
= f k ′ > 0
b) La curva de los productos marginales son decrecientes. d 2 f dl 2t
= f l′′< 0
d 2 f 2
dk t
= f k ′′ < 0
c) Cuando k t tiende al infinito, entonces el PMg k (t ) tiene al vector nulo. Límk (t ) →∞ = PMgk = 0
d) Cuando Lt tiende al infinito, entonces el PMgl (t ) tiene al vector nulo. Líml (t ) → ∞ = PMgl = 0
3
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
e) Cuando k t tiende al cero, entonces el PMgk (t ) tiene al infinito. Límk (t ) →0 = PMgk = ∞
f)
Cuando Lt tiende al cero, entonces el PMgk (t ) tiene al infinito. Líml (t ) →0 = PMgl = ∞
Por lo tanto hemos demostrado que la función satisface las condiciones de INADA El Gobierno se enfrenta el gobierno se enfrenta a la siguiente restricción
presupuestaria, en la cual asumimos que la única fuente de financiamiento es la emisión de dinero, para financiar el gasto en cada periodo (recursos arrojados al mar). M t +1 Pt
−
M t Pt
= gt − τ t
En el Equilibrio General Dinámico (EGD), la secuencia de cantidades ct , k t +1 , lt y
yt , junto con los precios de la economía y los factores Pt , wt y r t . Dado que
siempre hay una igualdad entre la oferta y la demanda ct + it + gt = yt .. Platearemos nuestro Lagrangiano para las familias, reemplazando la restricción 1
y CIA, tendremos en cuenta las variables de control ct , k t +1 y M t +1 . Max : L =
⎡ t ⎛ M t +1 ⎞ ⎤ M t +1 M t ⎜ ⎟ u c c k k w r k − + − − + − − − + β , λ ( ( 1 δ ) . τ ) ⎢ ∑ t t t t t ⎥ ⎜ t P ⎟ t t t +1 P P t = 0 ⎢ ⎥⎦ t ⎠ t t ⎣ ⎝ ∞
Donde: λ t ; Es el multiplicador de Lagrange. Condici ón d e Prim er Orden (CIO)
∂ L = 0 ⇒ β t uc (ct 1 , M t +1 / Pt ) − λ t = 0 → λ t = β t uc (ct 1, M t +1 / Pt )t ∂ct 1
∂ L = −λ t + λ t +1 (1 − δ + r t +1 ) = 0 → λ t = λ t +1 (1 − δ + r t +1 ) ∂k t +1 ∂ L ∂ M t +1
=
L
1
β umt (ct , M t +1 / Pt ) Pt
−
λ t Pt
+
λ t +1 Pt +1
=0
K
K
( I )
( II )
( III )
Igualaremos la ecuación (I) con la ecuación (III) β t uct (ct , M t +1 / Pt ) = λ t +1 (1 + r t +1 − δ )
4
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
Adelantando un periodo t+1, a la ecuación (I) y reemplazando en la ecuación anterior se tiene: β t uct (ct , M t +1 / Pt ) = β t +1uct (ct +1, M t + 2 / Pt +1 )(1 + r t +1 − δ )
Simplificando la ecuación anterior se obtiene la ecuación de Euler
uct (ct , M t +1 / Pt )
= (1 + r t +1 − δ )
β uct (ct +1 , M t + 2 / Pt +1 )
K
( IV ) , la ecuación de Euler
Reemplazando la ecuación (I) en (III) β t umt (ct , M t +1 / Pt ) Pt
−
t uct (ct , M t +1 / Pt ) β . β .uct (ct +1 , M t + 2 / Pt +1 )
−
Pt
Pt +1
=0
Simplificando la ecuación anterior se obtiene la condición de no arbitraje β .uct (ct +1 , M t + 2 / Pt +1 ) umt (ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
=
Pt +1
K
Pt
(V ) , la condición de no Arbitraje
Y como la condición de factibilidad: ct + k t +1 − (1 − δ ) k t + gt = f (k t )
Por lo que el sistema de ecuaciones es: uct (ct , M t +1 / Pt )
β uct (ct +1, M t + 2 / Pt +1 )
= (1 + r t +1 − δ )
β .uct (ct +1 , M t + 2 / Pt +1 ) umt (ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
=
Pt +1 Pt
ct + k t +1 − (1 − δ ) k t + gt = f (k t )
Por lo que tenemos un sistema no lineal de ecuaciones en diferencia de primer orden y con condición estática en ct y k t . Donde la trayectoria de gt es exógena. Demanda de Dinero
Primero Para obtener la demanda de dinero despejamos el numerador de la condición de no arbitraje (V).
5
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
β .uct (ct +1 , M t + 2 / Pt +1 ) =
Pt +1 Pt
[u
mt
(ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
]
Ahora reemplazamos esta ecuación en la ecuación de Euler (IV) uct (ct , M t +1 / Pt ) Pt +1 Pt
[u
mt
(ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt ) uct (ct , M t +1 / Pt )
umt (ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
1 + π t +1 =
Pt +1 Pt
=
(1 + r t +1 − δ )
]
= (1 + r t +1 − δ )
Pt +1 Pt
K
(1 + r t +1 − δ )
(VI )
Donde: uct (ct , M t +1 / Pt ) umt (ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
= 1 + π t +1
Como se puede apreciar en el lado derecho de la ecuación (VI), es uno más la tasa de interés. Apartir de esto se obtiene la demanda de dinero que esta implícitamente y depende positivamente del nivel de consumo y negativamente de la tasa de interés nominal.
Ejemplo Si la función de utilidad de los agentes de la sociedad
⎛ M t +1 ⎞ M ⎟⎟ = ψ ln(ct ) + (1 −ψ ) ln( t +1 ) Pt ⎠ Pt ⎝
u ⎜⎜ ct ,
Utilizando la ecuación de demanda óptima de dinero (VI) uct (ct , M t +1 / Pt ) umt (ct , M t +1 / Pt ) − uct (ct , M t +1 / Pt )
ψ ct
−
=
Pt +1 Pt
(1 + r t +1 − δ )
ct = (1 + π t +1 ) c(1 − ψ ) M t +1 / Pt
ψ ⎛ 1 + π t +1 ⎞
M M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = t +1 → t +1 = f ⎛ ⎜π ⎟ Pt Pt 1 −ψ ⎝ π t +1 ⎠ ⎝ − ⎠
6
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
Estado Estacionario Si gt = g , τ t = τ Sabemos que en el estado estacionario ct = ct +1 = c , r t +1 = r t ,
Pt +1 Pt
= 1 + π = 1 + α
α : Tasa de crecimiento del dinero
Esto nos dice que la función implícita de demanda de dinero en el estado estacionario, que va depender negativamente de la tas de inflación del estado estacionario de la restricción del gobierno. π . f (π ) = g − τ
Esta ecuación nos dice que si despejamos es la tasa de inflación π . f (π ) del estado estacionario, entonces las rentas por señoreaje que obtiene el gobierno es la igualdad.
7
Modelo Money in Utility Function
Cesar Antunez .I
REFERENCIAS
Hansen, B. “A Survey of General equilibrium System”, New York, McGraw-Hill,
1970.
Patinkin, D. “Money, Interest and Prices”, New York, Haperd
& Row, 1965.
Sargent, T. J. “Dynamic Macroeconomic Theory”, Cambridge, Havard University
Press, 1987.
Sidrauski, M. “Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy”,
American Economic Review 57, 1967, pp: 534-544.
Wilfredo Toledo. “El Dinero en los Modelos Macroeconómicos”, Revista de
Economía
Institucional,
segundo
semestre,
año/vol.
8,
número
015,
Universidad Externado de Colombia, 2006, pp: 97-116.
8
