Modelos de transporte:
orígenes .a1
Unidades ofertadas b2
2
2
.a2
.am
destinos
1
1
b1
C11 : X11
m
Unidades demandad asstadas
n
C mn : Xmn
bn
En el anterior modelo, hay m orígenes y n destinos, cada uno representado por un nodo. Los arcos representan las rutas que unen los orígenes con los destinos. El arco (i, j) que une el origen i con el destino j transporta dos piezas de información: el costo de transporte por unidad, cij y la cantidad transportada, xij. La cantidad de la oferta en el origen i es ai y la cantidad de la demanda en el destino j es bj. El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte total al mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de la oferta y la demanda. Ejemplo: MG Auto cuenta con tres plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns, y dos importantes centros de distribución en Denver y Miami. Las capacidades trimestrales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200 automóviles, y las demandas de los dos centros de distribución durante el mismo periodo son de 2300 y 1400 automóviles. La distancia en millas entre las plantas y los centros de distribución aparece en la tabla
LOS ANGELES DETROIT NUEVA ORLEANS
DENVER 1000 1250 1275
MIAMI 2690 1350 850
La compañía transportadora cobra 8 centavos por milla por automóvil. En la siguiente se dan los costos de transporte por automóvil en las diferentes rutas, redondeados al dólar más cercano.
LOS ANGELES (1) DETROIT (2) NUEVA ORLEANS (3)
DENVER (1) $ 80 $ 100 $ 102
MIAMI (2) $
215
$
108
$
68
Determine la solución óptima para este modelo. El modelo de PL del problema es Minimizar z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32 Sujeto a No negatividad xij
≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2
x12 + x22 + x32 = 1400 (Miami) x11 + x21 + x31 = 2300 (Denver) x31 + x32 = 1200 (Nueva Orleans) x21 + x22 = 1500 (Detroit) x11 + x12 = 1000 (Los Ángeles) Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres orígenes (= 1000 + 1500 + 1200 = 3700 automóviles) es igual a la demanda total en los dos destinos (= 2300 + 1400 = 3700 automóviles). La estructura especial del problema de transporte permite una representación compacta del problema utilizando el formato tabla de transporte
Dando solución por el Solver de Excel, tenemos: Se envía 1000 automóviles de Los Ángeles a Denver (x11 = 1000), 1300 de Detroit a Denver (x21 = 1300), 200 de Detroit a Miami (x22 = 200) y 1200 de Nueva Orleáns a Miami (x32 = 1000). El costo de transporte mínimo asociado se calcula como 1000 x $80 + 1300 x $100 + 200 x $108 + 1200 x $68 = $313.200.
Balanceo del modelo de transporte: La representación de la tabla de transporte asume que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total. Si el modelo está desbalanceado, podemos agregar un origen o un destino ficticios para restaurar el balance. En el modelo de MG, suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 automóviles (en lugar de 1500). La oferta total (= 3500) es menor que la demanda total (= 3700), lo que significa que no se satisfará una parte de la demanda en Denver y Miami. Como la demanda excede la oferta, se agrega un origen (planta) ficticio con una capacidad de 200 automóviles (= 3700 - 3500) para balancear el modelo de transporte. El costo de transporte por unidad de la planta ficticia a los destinos es cero porque la planta no existe. DENVER (1)
MIAMI (2) OFERTA
LOS ANGELES 80
215
1000
DETROIT NUEVA ORLEANS FABRICA FICTICIA DEMANDA
100
108
1300
102
68
1200
-
2300
200 1400
Solución: z=
291,600 .00 1 1000.00 1300.00 0.00 0.00 2300.00
1 2 3 4
2 0.00 0.00 1200.00 200.00 1200.00
1000.00 1300.00 1200.00 200.00
El caso en que la oferta excede la demanda se puede demostrar asumiendo que la demanda en Denver es de sólo 1900 automóviles. Entonces, tenemos que agregar un centro de distribución ficticio para que “reciba” la oferta excedente. De nuevo, el costo de transporte por unidad al centro de distribución ficticio es cero, a menos que una fábrica “envíe todas sus existencias”. En este caso, se asigna un costo alto de transporte por unidad de la fábrica designada al destino ficticio. DENVER (1)
CENTRO DIST. FICTICIO
MIAMI (2)
OFERTA
LOS ANGELES 80
215
-
1000
DETROIT NUEVA ORLEANS DEMANDA Solución:
100
108
-
1500
102 1900
68 1400
-
1200
z=
1 2 3
400
273,200 .00 1 1000.00 900.00 0.00 1900.00
2 0.00 200.00 1200.00 1400.00
3 0.00 400.00 0.00 400.00
1000.00 1500.00 1200.00
Ejercicio propuesto: Tres refinerías con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a su vez a tres áreas de distribución con
demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de oleoductos. El costo de transporte es de 10 centavos por 1000 galones por milla de oleoducto. La siguiente tabla presenta la distancia en millas entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de distribución 3. (a) Construya el modelo de transporte asociado. (b) Determine el programa de envíos óptimo en la red. Distancia en millas
Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3
Área 1 120 300 200
de distribución 2 3 180 100 80 250 120
Modelos de transporte no tradicionales La aplicación del modelo de transporte no se limita al transporte de artículos. Se presenta dos aplicaciones no tradicionales en las áreas de control de producción e inventarios y el servicio de afilado de herramientas. -
Ejemplo de Control de producción e inventarios
Borláis fabrica mochilas para ciclistas. La demanda de su producto durante el periodo pico de marzo a junio de cada año es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compañía utiliza mano de obra de tiempo parcial para acomodarse a las fluctuaciones de la demanda. Se estima que Borláis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio. La demanda del mes en curso se puede satisfacer de tres maneras. 1) La producción del mes en curso al costo de $40 por mochila 2) La producción excedente de un mes anterior a un costo de retención adicional de $0.5 por mochila. 3) La producción excedente en un mes posterior (pedido en espera) a un costo de penalización adicional de $2.00 por mochila por mes. Borláis desea determinar el programa de producción óptimo durante los cuatro meses. La siguiente tabla resume los paralelismos entre los elementos del problema de producción e inventario y el modelo de transporte: Transporte 1 Origen i 2 Destino j
Producción-inventario Periodo de producción i Periodo de demanda j
Cantidad de abasto en el 3 origen i 4 Demanda en el destino j Costo de transporte por unidad del origen i al 5 destino j
Capacidad de producción en el periodo i Demanda en el periodo j Costo unitario (producción + retención + penalización) en el periodo i para el periodo j.
Pasándolo al cuadro para desarrollar el solver: El costo de “transporte” por unidad del periodo i al periodo j se calcula como Cij= Costo de producción en i, i = j Costo de producción en i + costo de retención de i a j, i
¿
Costo de producción en i + penalización de i a j, i
¿ j
j
Por ejemplo, C11 = $40.00 C24 = $40.00 + ($0.50 + $0.50) = $41.00 C41 = $40.00 + ($2.00 + $2.00 + $2.00) = $46.00
1 2 3 4
MARZO ABRIL MAYO JUNIO Demand a
1
2
3
4
Marzo
Abril
Mayo
Junio
40 42 44 46
40.5 40 42 44
41 40.5 40 42
41.5 41 40.5 40
100
200
180
300
Marzo
Abril
Mayo
Junio
50 50 0
0 130 70
0 0 180
0 0 30
Capacidad de producción 50 180 280 270
Solución óptima:
MARZO ABRIL MAYO
Capacidad de producción 50 180 280
JUNIO Demand a Z=
0
0
0
270
100
200
180
300
270
31,455.00
OFERTA 270
50
180
1
2
Periodo de oferta
280
3
4
50 50
130
1
70 27
18 00
0
3
2
30
4
Periodo de demanda
DEMANDA 300
-
100
200
180
Ejemplo de servicio de afilado de herramientas
Arkansas Pacific opera un aserradero que produce tablas de diferentes tipos de madera. Según el tipo de madera que se esté aserrando, la demanda de hojas de sierra afiladas varía de un día a otro de acuerdo con los siguientes datos de una semana (7 días): Día de la semana Demanda (hojas de sierra)
Lun Mar Mie Sab . . . Jue. Vie. . 24
12
14
20
18
14
Do m. 22
El aserradero puede satisfacer la demanda diaria de cuatro maneras: 1) 2) 3) 4)
Hojas nuevas a $12 cada una. Servicio de afilado nocturno a $6 por hoja. Servicio de afilado en un día a $5 por hoja. Servicio de afiliado en dos días a $3 por hoja.
La situación puede representarse como un modelo de transporte con ocho orígenes y siete destinos. Los destinos representan los 7 días de la semana. Los orígenes del modelo se definen asi: El origen 1 corresponde a la compra de hojas nuevas que, en el caso extremo, pueden satisfacer la demanda de los siete días (= 24 + 12 + 14 + 20 + 18 + 14 + 22 + 124) Los orígenes 2 al 8 son los días de la semana. La cantidad de cada uno de estos días, es igual a la de hojas utilizadas al final del día asociado. Por ejemplo, el origen 2 (lunes) tendrá una oferta de hojas utilizadas igual a la demanda del lunes. El “costo de transporte” por unidad para el modelo es de $12, $6, $5 o $3, según si la hoja es nueva o se afiló. Como vemos que las filas son diferentes a las columnas (8 y 7), se agrega la a columna “desecho” como un destino ficticio para balancear el modelo. 1 2 3 4 5 6 Lun Mar Mie Sab . . . Jue. Vie. . 1 2 3 4 5 6 7 8
Nueva 12 12 s 0 6 Lun. 0 0 Mar. 0 0 Mie. 0 0 Jue. 0 0 Vie. 0 0 Sab. 0 0 Dom. Deman da 24 12 Solución óptima:
1 2 3 4 5 6 7 8
8 Desec ho
12
12
12
12
12
0
5 6 0 0 0 0 0
3 5 6 0 0 0 0
3 3 5 6 0 0 0
3 3 3 5 6 0 0
3 3 3 3 5 6 0
0 0 0 0 0 0 0
14
20
18
14
22
124
7 Do m.
8 Desec ho
1 2 3 4 5 6 Lun Mar Mie Sab . . . Jue. Vie. . Nueva s Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom. Deman da
7 Do m.
24
12
0
0
0
0
0
88
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0
10 0 10 0 0 0 0
0 12 4 2 0 0 0
0 0 0 0 14 0 0
0 0 0 18 4 0 0
0 0 0 0 0 14 22
24
12
14
20
18
14
22
124
Oferta 124 24 12 14 20 18 14 22
Oferta 124 24 12 14 20 18 14 22
Z=
Period o Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom.
818
Cantidad de Nuev Noctur as no 24 0 (lun) 12 0 (mar) 0 10 (jue) 0 0 0 0
hojas afiladas x dia Desec 1-dia 2-dias ho 14 10 0 (mie) (jue) 12 0 0 (vie) 4 (vie) 0 0 18 2 (vie) 0 0 (dom) 14 4 0 0 (sab) (dom) 0 0 0 14 0 0 0 22
Modelo de transporte con transbordo: El problema de transbordo es una extensión del problema de transporte en el cual los nodos intermedios, llamados nodos de transbordo, se añaden para representar sitios como almacenes. En este tipo más general de problema de distribución se pueden hacer envíos entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo y de destino. Por ejemplo, el problema de transbordo permite embarques de productos desde los orígenes a los nodos intermedios y de ahí a sus destinos, desde un origen a otro, desde un sitio intermedio a otro, desde un sitio de destino a otro, y directamente desde los orígenes a los destinos. Como sucedió en el problema de transporte, el suministro disponible en cada origen está limitado y se especifica la demanda en cada destino. El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuántas unidades deben enviarse por cada arco de la red, de modo que todas las demandas de destino se satisfagan con el costo de transporte mínimo posible. En este modelo el balance de cada nodo, las entradas= salidas Ryan es una compañía de sistemas electrónicos con instalaciones de producción en Denver y Atlanta. Los componentes producidos en cualquiera de las instalaciones pueden enviarse a los almacenes regionales de la empresa, los cuales se localizan en Kansas City y Louisville. Desde los almacenes regionales, la empresa abastece las tiendas minoristas en Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleans. Las características clave del problema se muestran en el siguiente modelo de red:
Denver y Atlanta producen 600 y 400 como máximo. La demanda de Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleans es 200, 150, 350 y 300 unidades respectivamente ITEM X13 X14 X23 X24 X35 X36 X37 X38 X45 X46 X47
Destino Denver-Kansas Denver-Louisville Atlanta-Kansas Atlanta-Louisville Kansas-Detroit Kansas-Miami Kansas-Dallas Kansas-Nueva Orleans Louisville-Detroit Louisville-Miami Louisville-Dallas Louisville-Nueva Orleans
X48
Costo 2 3 3 1 2 6 3 4 4 4 6 5
Min 2X13 + 3X14 +3X23 + 1X24 + 2X35 + 6X36 + 3X37 + 6X38 + 4X45 + 4X46 + 6X47 +5X48 Sujeto a: X13 + X14
≤
600 (1)
X23 + X24
≤
600 (2)
En el nodo tres, entradas = salidas, X35 + X36 + X37 +X38 = X13 + X23 Despejando: -X13 – X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0
(3)
De igual forma para el nodo 4 = -X14 – X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0 (4) Se sigue con el balance de entradas = salidas, para los nodos 5 al 8 X35 + X45 = 200 (5) X36 + X46 = 150 (6) X37 + X
47
= 350 (7)
X38+ X48 = 300 (8)
Solución x solver
ITEM X13 X14 X23 X24 X35 X36 X37 X38 X45 X46 X47 X48
Destino Denver-Kansas Denver-Louisville Atlanta-Kansas Atlanta-Louisville Kansas-Detroit Kansas-Miami Kansas-Dallas Kansas-Nueva Orleans Louisville-Detroit Louisville-Miami Louisville-Dallas Louisville-Nueva
Solución 600 0 0 400 200 0 350 50 0 150 0 250
Orleans Algoritmo de transporte:
El algoritmo de transporte es un procedimiento iterativo donde se encuentra y evalúa una solución a un problema de transporte, mediante un procedimiento especial para determinar si la solución es óptima. Si lo es, el proceso se detiene. Si no es óptima, se genera una nueva solución. Esta nueva solución es al menos tan buena como la anterior y suele ser mejor. Esta nueva solución se evalúa y si no es óptima, se genera otra solución. El proceso continúa hasta que se encuentra la solución óptima. Este proceso se ilustrará con el siguiente ejemplo: La corporación Executive Furniture tiene el problema de transporte que se ilustra en la siguiente gráfica:
La compañía desea minimizar los costos de transporte al tiempo que cubre la demanda en cada destino, sin exceder la oferta en cada fuente. Para la formulación de este con programación lineal, hay tres restricciones de oferta
(una para cada fuente) y tres restricciones de demanda (una para cada destino). Las decisiones que deben tomarse son el número de unidades a enviar por cada ruta, de manera que existe una variable de decisión para cada arco (flecha) en la red. Sea: Xij número de unidades enviadas de la fuente i al destino j donde, i = 1, 2, 3, con 1 = Des Moines, 2= Evansville y 3 = Fort Lauderdale j = 1, 2, 3, con 1=Albuquerque, 2= Boston y 3 = Cleveland La formulación de PL es: Minimizar el costo total = 5X11 + 4X12 + 3X13 + 8X21 + 4X22+ 3X23 + 9X31 + 7X32 + 5X33 Sujeto a: X11 + X12 + X13
≤
100
X21 + X22 + X23
≤
300
X31 + X32 + X33
≤
300
X11 + X21 + X31 = 300 X12 + X22 + X32 = 200 X13 + X23 + X33 = 200 Xij
≥
0 para toda i y j
Las soluciones a este problema de PL se encuentran con Solver de Excel es: Almacén en Almacén Albuquerq en Boston ue Fábrica de Des Moines Fábrica de EvansVille Fábrica de Fort. Lauderdale Requerimientos de Almacen Z min =
Almacén en Cleveland
Capacidad de la Fabrica
$100 $0
$0 $200
$0 $100
$100 300
$200
$0
$100
300
$300
$200
$200
3900
Desarrollo de una solución inicial: Regla de la esquina noroeste Cuando tenemos arreglados los datos en forma tabular, debemos establecer una solución factible inicial al problema. Un procedimiento sistemático, conocido como la regla de la esquina noroeste, requiere que comencemos en la celda de la esquina superior izquierda (o esquina noroeste) de la tabla, y asignemos unidades a las rutas de embarque de acuerdo con los siguientes pasos: 1. Agotar la oferta (capacidad de la fábrica) en cada fila, antes de moverse a la siguiente fila hacia abajo. 2. Agotar los requerimientos (almacén) de cada columna antes de moverse hacia la columna siguiente a la derecha. 3. Verificar que se cumplan todas las ofertas y demandas. Ahora utilizamos la regla de la esquina noroeste para encontrar una solución inicial factible al problema de la corporación Executive Furniture : A
Almacén Almacén en en Albuquer
DE que Fábrica $ de 5 Des Moines 100 Fábrica $ de 8 EvansVill e 200 Fábrica $ de 9 Fort lauderdale Requerimien tos
de Almacen
Boston
Almacén en
Capacidad de
Cleveland la Fabrica
$4
$3 100
$4
$3
100
300 $7
$5
100
200
300
200
200
700
300
Costo = =100*5+200*8+100*4+100*7+200*5 = 4200 Esta solución es factible, ya que se satisfacen todas las restricciones de demanda y de oferta. También fue muy rápido y sencillo llegar a ella. Sin embargo, tendríamos mucha suerte si esta solución tuviera el costo de transporte óptimo para el problema; debe evaluarse para saber si es óptima.
Calculamos el índice de mejora para cada celda vacía usando el método de salto de piedra en piedra. Si este indica que es posible obtener una solución mejor, usamos la ruta del salto de piedra en piedra para cambiar esta solución a una mejorada hasta que encontremos una solución óptima.
Método del salto de piedra en piedra: Encontrar la solución de menor costo El método del salto de piedra en piedra es una técnica iterativa para movernos de una solución factible inicial a una solución factible óptima. Este proceso tiene dos partes distintas: La primera se trata de probar la solución actual para determinar si es posible mejorarla, y la segunda implica hacer cambios a la solución actual con la finalidad de obtener una solución mejorada. Este proceso continúa hasta que se alcanza la solución óptima. Para aplicar el método del salto de piedra en piedra a un problema de transporte, debe observarse primero una regla sobre el número de rutas de embarque: El número de rutas (o cuadros) ocupada(o)s siempre debe ser igual a la suma del número de renglones más el número de columnas menos uno. En el problema de Executive Furniture, esto significa que la solución inicial debe tener 3+ 3 - 1 = 5 cuadros usados. Así, Rutas (cuadros) de envío ocupada(o)s = núm. de renglones + núm. de columnas – 1 Cuando el número de rutas ocupadas es menor que esto, la solución se llama degenerada. Más adelante en el capítulo hablaremos de qué hacer si el número de cuadros usados es menor que el número de columnas más el número de filas menos 1. PRUEBA DE MEJORAS POSIBLES A LA SOLUCIÓN: Su enfoque consiste en evaluar la efectividad de costos de los bienes enviados por las rutas de transporte que no están en la solución. Cada ruta (o cuadro) de embarque no usada en la tabla de transporte se prueba haciendo la siguiente pregunta: “¿Qué pasaría si el costo de embarque total de una unidad de producto (en el ejemplo, un escritorio) se envía tentativamente por una ruta no usada?” Esta prueba de cada cuadro no usado se realiza mediante los cinco pasos siguientes: 1. Seleccionar un cuadro no usado para evaluar. 2. Comenzando en este cuadro, trazar una trayectoria cerrada por los cuadros asignados, moviéndose en sentido horizontal o vertical, y regresando al cuadro inicial.
3. Comenzando con un signo más (+) en el cuadro no usado, colocar signos menos (-) y más (+) alternados en cada cuadro de esquina de la trayectoria cerrada que se trazó. 4. Calcular el índice de mejora sumando los costos unitarios en cada cuadro con signo más y, luego, restando los costos unitarios de los cuadros con signo menos. 5. Repetir los pasos 1 a 4, hasta tener calculados todos los índices de mejora de todos los cuadros sin usar. Si todos los índices calculados son mayores que o iguales a cero, la solución encontrada es óptima. Si no lo son, es posible mejorar la solución actual y disminuir el costo total de embarque.
¿Cómo decidimos en qué cuadros colocar signos más y en cuáles signos menos? Como estamos probando la efectividad en costos de la ruta de envío Des Moines-Boston, suponemos que estamos enviando un escritorio de Des Moines a Boston. Esto es una unidad más de lo que estábamos enviando entre las dos ciudades, de manera que anotamos un signo más en el cuadro. Pero si enviamos una unidad más que antes por esa ruta, estamos enviando 101 escritorios desde la fábrica de Des Moines. La capacidad de esa fábrica es tan solo de 100 unidades; entonces, debemos enviar un escritorio menos de Des Moines a Albuquerque; este cambio se hace para evitar transgredir la restricción de capacidad de la fábrica. Para indicar que el envío Des Moines-Albuquerque se reduce, colocamos un signo menos en ese cuadro. Continuamos por la trayectoria cerrada, y observamos que ya no cumplimos el requerimiento del almacén de Albuquerque de 300 unidades. De hecho, si el envío Des Moines-Albuquerque se reduce a 99 unidades, la carga EvansvilleAlbuquerque debe aumentar 1 unidad, a 201 escritorios. Por consiguiente,
colocamos un signo más en ese cuadro para indicar el incremento. Por último, notamos que si se asignan 201 escritorios a la ruta Evansville-Albuquerque, la ruta Evansville-Boston debe reducirse 1 unidad, a 99 escritorios, para cumplir la restricción de capacidad de la fábrica de Evansville de 300 unidades. Entonces, colocamos un signo menos en el cuadro Evansville-Boston. OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN MEJORADA Cada índice negativo calculado por el método del salto de piedra en piedra representa la cantidad en que podrían reducirse los costos totales de transporte, si se envía 1 unidad o 1 producto por esa ruta. Encontramos tan solo un índice negativo en el problema de Executive Furniture, que es –$2 para la ruta fábrica de Fort Lauderdale al almacén de Albuquerque. Sin embargo, si hubiera más de un índice de mejora negativo, nuestra estrategia sería elegir la ruta (cuadro sin usar) con el índice negativo que indique la mejora más grande. El siguiente paso, entonces, consiste en enviar el número máximo permitido de unidades (o escritorios en este caso) por la nueva ruta (Fort Lauderdale a Albuquerque). ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede enviar por la ruta que ahorra dinero? Esa cantidad se encuentra observando los signos más y menos en la trayectoria cerrada y seleccionando el número más pequeño encontrado en los cuadros que contienen signos menos. Para obtener una nueva solución, se suma ese número a todos los cuadros en la trayectoria cerrada con signo más y se resta de todos los cuadros en la trayectoria con signos menos asignados. Los otros cuadros permanecen sin cambio. Segunda respuesta: A
Almacén en Albuqeurq
DE ue Fábrica de Des Moines Fábrica de EvansVill e Fábrica de Fort lauderdale Requerimien tos
de Almacen Z min=
Capacidad
Almacén en Almacén en de Boston
$ 5
Cleveland
$4
la Fabrica
$3
100
100 $ 8
100
$4
$3
200 $ 9
300 $7
100
$5 200
300
200
700
300 200 4000
Tercera respuesta: A
Almacén en Albuqeurq
DE ue Fábrica de Des Moines Fábrica de EvansVill e Fábrica de Fort lauderdale Requerimien tos
de Almacen
Capacidad
Almacén en Almacén en de Boston
$ 5
Cleveland
$4
la Fabrica
$3
100
100 $ 8
$4 200
$ 9
$3 100
$7
200
300 $5
100
300
200
700
300 200
Zmin = =100*5+200*9+200*4+100*3+100*5 = 3900 Se empieza nuevamente a calcular los indicies y el resultado es que son todos positivos (ver hoja de cálculo manual) por lo que podemos concluir que esta solución es óptima. Resumen de los pasos del algoritmo de transporte (minimización) 1. Establecer una tabla de transporte balanceada. 2. Desarrollar una solución inicial con el método de la esquina noroeste. 3. Calcular un índice de mejora para cada celda vacía con el método del salto de piedra en piedra. Si los índices de mejora son todos no negativos, hay que detenerse; se encontró la solución óptima. Si hay algún índice negativo, se debe continuar al paso 4. 4. Seleccionar la celda con el índice de mejora que indique la mayor disminución en el costo. Llenar este cuadro con la trayectoria del salto de piedra en piedra e ir al paso 3. Más de una solución óptima Al igual que en los problemas de PL, es posible que un problema de transporte tenga soluciones óptimas múltiples. Una situación de estas se indica cuando
uno o más índices de mejora calculados para cada cuadro sin usar es cero en la solución óptima, lo cual significa que es posible diseñar otras rutas de embarque con el mismo costo total de envío. La solución óptima alterna se determina enviando la mayoría de este cuadro sin usar con el método del salto de piedra en piedra. Hablando en términos prácticos, las soluciones óptimas múltiples brindan a la gerencia mayor flexibilidad en la selección y uso de los recursos. Maximización en problemas de transporte Si en un problema de transporte el objetivo es maximizar la utilidad, se requiere un cambio menor en el algoritmo de transporte. Como el índice de mejora para una celda vacía indica el cambio en el valor de la función objetivo, si se coloca una unidad en esa celda vacía, la solución óptima se logra cuando todos los índices de mejora son negativos o cero. Si algún índice es positivo, se selecciona la celda con la mejora positiva más grande para usarse con el método del salto de piedra en piedra. La nueva solución se evalúa y el proceso continúa hasta que no haya índices de mejora positivos. Rutas prohibidas o inaceptables Existen problemas de transporte donde una de las fuentes no puede enviar a uno o más destinos. Cuando esto ocurre, se dice que el problema tiene rutas prohibidas o inaceptables. En un problema de minimización, se asigna a una ruta prohibida un costo muy alto, para evitar que se use en la solución óptima. Este costo se coloca luego en la tabla de transporte y se resuelve el problema con las técnicas ya presentadas. En un problema de maximización, el costo muy alto usado en los problemas de minimización tendrá un signo negativo, que lo convierte en una muy mala utilidad. Otros métodos de transporte Mientras que el método de la esquina noroeste es muy sencillo, hay otros métodos para encontrar una solución inicial a un problema de transporte. Dos de ellos son el método del menor costo y el método de aproximación de Vogel. De manera similar, el método del salto de piedra en piedra sirve para evaluar las celdas vacías, pero existe otra técnica llamada método de distribución modificada (MODI), que puede evaluar celdas vacías. Para problemas muy grandes, el método MODI suele ser mucho más rápido que el del salto de piedra en piedra.
Taller Modelos de transporte: 1-
Los tres bancos de sangre en Franklin County están coordinados por una oficina central que facilita la entrega de sangre a cuatro hospitales en la
región. El costo por enviar un contenedor estándar de sangre de cada banco a cada hospital se indica en la tabla correspondiente. Además, se dan las cifras cada dos semanas de los contenedores en cada banco y cifras cada dos semanas de los contenedores necesarios en cada hospital. ¿Cuántos envíos deberían hacer cada dos semanas de cada banco a cada hospital, de manera que se minimicen los costos de envío totales?
2- Don Yale, presidente de la compañía Hardrock Concrete, tiene plantas en tres lugares y actualmente trabaja en tres proyectos de construcción importantes, ubicados en sitios diferentes. El costo de envío por camión cargado de concreto, las capacidades de las plantas y los requerimientos de los proyectos se muestran en la tabla siguiente. a) Formule una solución factible inicial para el problema de transporte de Hardrock con la regla de la esquina noroeste. b) Evalúe después cada ruta de envío sin usar (cada celda vacía) aplicando el método del salto de piedra en piedra y calculando todos los índices de mejora.
3- La gerencia de la corporación Executive Furniture decidió expandir la capacidad de producción en su fábrica de Des Moines y disminuir la producción en sus otras fábricas. También reconoce un cambio de mercado para sus escritorios y revisa los requerimientos en sus tres almacenes.
a) Utilice la regla de la esquina noroeste para establecer un programa de envíos factible inicial y calcular su costo. b) Utilice el método del salto de piedra en piedra para probar si es posible obtener una solución mejorada. c) Explique el significado y las implicaciones de un índice de mejora que sea igual a 0. ¿Qué decisiones podría tomar la gerencia con esta información? ¿Exactamente cómo afecta esto la solución final? 4- La compañía Hardrock Concrete tiene plantas en tres lugares y trabaja actualmente en tres proyectos de construcción importantes, cada uno ubicado en un sitio diferente. El costo de envío por camión cargado de concreto, las capacidades diarias y los requerimientos diarios se muestran en la tabla correspondiente. a) Formule una solución factible inicial para el problema de transporte de Hardrock con la regla de la esquina noroeste. Luego, evalúe cada ruta de envío no utilizada calculando todos los índices de mejora. ¿Es óptima la solución? ¿Por qué? b) ¿Hay más de una solución óptima para este problema? ¿Por qué?
5- Tri-County Utilities, Inc. abastece de gas natural a sus clientes en un área que abarca tres condados en Estados Unidos. La empresa compra el
combustible a dos empresas: Southern Gas y Northwest Gas. Los pronósticos de la demanda para la próxima temporada de invierno son el condado de Hamilton, 400 unidades; el condado de Butler, 200 unidades, y el condado de Clermont, 300 unidades. Se firmaron contratos con dos clientes para proporcionar las cantidades siguientes: Southern Gas, 500 unidades, y Northwest Gas, 400 unidades. Los costos de distribución varían por condado, dependiendo de la localización de los proveedores. Los costos de distribución por unidad (en miles de dólares) son los siguientes:
a. Elabore una representación de red para este problema. b. Elabore un modelo de programación lineal que sirva para determinar el plan que minimizará los costos totales de distribución. c. Describa el plan de distribución e indique el costo total de distribución. d. El reciente crecimiento residencial e industrial en el condado de Butler tiene el potencial para incrementar la demanda hasta 100 unidades. ¿Cuál proveedor debe contratar Tri-County para suministrar la capacidad adicional? 6- Arnoff Enterprises fabrica la unidad central de procesamiento (CPU) de una computadora personal. Las CPU se fabrican en Seattle, Columbus y Nueva York y se envían a almacenes en Pittsburgh, Mobile, Denver, Los Ángeles y Washington, D.C. para su distribución posterior. La tabla siguiente muestra la cantidad de CPU disponibles en cada planta, la cantidad requerida por cada almacén y los costos de envío (dólares por unidad):
a. Elabore una representación de red para este problema. b. Determine la cantidad que debe enviarse desde cada planta a cada almacén para minimizar el costo total de envío.
c. El almacén de Pittsburgh acaba de incrementar su pedido en 1000 unidades y Arnoff autorizó a su planta de Columbus aumentar su producción en la misma cantidad. ¿Este aumento en la producción conducirá a un incremento o a una disminución en los costos totales de envío? Calcule la nueva solución óptima. 7- Dos consultores, Avery y Baker, de Premier Consulting, pueden programarse para trabajar para los clientes hasta un máximo de 160 horas cada uno durante las cuatro semanas siguientes. Un tercer consultor, Campbell, tiene algunas asignaciones administrativas ya planeadas y está disponible para los clientes hasta un máximo de 140 horas durante las cuatro semanas siguientes. La empresa tiene cuatro clientes con proyectos en proceso. Los requerimientos por hora estimados para cada uno de los clientes durante el periodo de cuatro semanas son:
Las tarifas por hora varían para la combinación consultor-cliente y se basan en varios factores, incluido el tipo de proyecto y la experiencia del consultor. Las tarifas (dólares por hora) para cada combinación de consultor-cliente son:
a. Elabore una representación de red del problema. b. Formule el problema como un programa lineal, con una solución óptima que proporcione las horas que debe asignarse cada consultor a cada cliente para maximizar la facturación de la firma de consultoría. ¿Cuál es el programa y cuál la facturación total? c. Nueva información muestra que Avery no cuenta con la experiencia para trabajar para el cliente B. Si esta asignación de consultoría no se permite, ¿qué impacto tiene sobre la facturación total? ¿Cuál es el programa modificado?
8- Forbelt Corporation tiene un contrato de un año para proveer motores para todos los refrigeradores producidos por Ice Age Corporation, la cual fabrica los refrigeradores en cuatro lugares en todo el país: Boston, Dallas, Los Ángeles y St. Paul. Los planes exigen que se fabrique la siguiente cantidad de refrigeradores (en miles) en cada lugar:
Las tres plantas de Forbelt son capaces de fabricar los motores. Las plantas y capacidades del producto (en miles) son:
Debido a que los costos de producción y transporte varían, las utilidades que Forbelt obtiene sobre cada lote de 1000 unidades dependen de cuál planta fabricó el lote y a cuál destino se envió. La tabla siguiente muestra las estimaciones de las utilidades por unidad que hizo el departamento de contabilidad (los envíos se harán en lotes de 1000 unidades):
Con la maximización de utilidades como un criterio, la gerencia de Forbelt quiere determinar cuántos motores debe fabricar cada planta y cuántos motores deben enviarse desde cada planta a cada destino. a. Elabore una representación de red para este problema. b. Encuentre la solución óptima. 9- El sistema de distribución de Herman Company se compone de tres plantas, dos almacenes y cuatro clientes. Las capacidades de las plantas y los costos de envío por unidad (en $) desde cada planta a cada almacén son los siguientes:
La demanda de los clientes y los costos de envío por unidad (en $) desde cada almacén a cada cliente son
a. Elabore una representación de red para este problema. b. Formule un modelo de programación lineal del problema. c. Resuelva el programa lineal para determinar el plan de envío óptimo.
Modelo de redes: Las redes sirven para modelar una amplia gama de problemas. Al igual que los problemas de transporte, trasbordo y asignación, se utilizó programación lineal para resolverlos y se presentaron también otras técnicas. En los modelos de
redes se detallarán los problemas más conocidos: el problema del árbol de expansión mínima, el problema del flujo máximo y el problema de la ruta más corta. La técnica del árbol de expansión mínima determina el camino a través de la red que conecta todos los puntos, al tiempo que minimiza la distancia total. Cuando los puntos representan casas en una sección, esta técnica es útil para determinar la mejor forma de conectarlas a la energía eléctrica, al sistema de agua, etcétera, de modo que se minimice la distancia total o la longitud de los cables o las tuberías. La técnica del flujo máximo encuentra el máximo flujo de cualquier cantidad o sustancia que pasa por la red. Esta técnica puede determinar, por ejemplo, el número máximo de vehículos (autos, camiones y otros) que pueden transitar por la red de carreteras de un lugar a otro. Por último, la técnica de la ruta más corta calcula la trayectoria más corta a través de una red. Por ejemplo, la ruta más corta de una ciudad a otra por la red de carreteras.
Problema del árbol de expansión mínima: La técnica del árbol de expansión mínima implica conectar todos los puntos de una red, al tiempo que minimiza la distancia entre ellos. Se aplica, por ejemplo, en las compañías telefónicas para conectar entre sí varios teléfonos minimizando la longitud total del cable. Pasos para la técnica del árbol de expansión mínima: 1. Seleccionar cualquier nodo en la red. 2. Conectar este nodo con el nodo más cercano que minimice la distancia total. 3. Considerar todos los nodos que están conectados, encontrar y conectar el nodo más cercano que no esté conectado. Si hay un empate en el nodo más cercano, seleccionar uno de manera arbitraria. Un empate sugiere que existe más de una solución óptima. 4. Repetir el paso 3 hasta que todos los nodos estén conectados. Considere la compañía Lauderdale Construction, que desarrolla un proyecto habitacional de lujo en Panama City Beach, Florida. Melvin Lauderdale, dueño y presidente de Lauderdale Construction, tiene que determinar la forma menos costosa de suministrar agua y electricidad a cada casa. La red de viviendas se muestra en la figura
Comenzamos con la selección arbitraria del nodo 1. Como el nodo más cercano es el nodo 3, a una distancia de 2 (200 pies), conectamos el nodo 1 al nodo 3, lo cual se muestra en la figura
Consideramos los nodos 1 a 3 y buscamos el siguiente nodo más cercano. Es el nodo 4, que es el más cercano al nodo 3. La distancia es 2 (200 pies). De nuevo conectamos esos nodos:
Continuamos buscando el nodo más cercano entre los nodos no conectados 1, 3 y 4. Son el nodo 2 o el nodo 6, ambos a una distancia de 3 del nodo 3. Elegimos el nodo 2 y lo conectamos al nodo 3
Continuamos el proceso. Hay otro empate para la siguiente iteración con una distancia mínima de 3 (nodo 2–nodo 5 y nodo 3–nodo 6). Debería observar que no consideramos el arco nodo 1–nodo -2 con distancia de 3, porque esos nodos ya están conectados. Seleccionamos arbitrariamente el nodo 5 y lo conectamos al nodo 2:
El siguiente nodo más cercano es el nodo 6 y lo conectamos al nodo 3:
En este punto, quedan tan solo dos nodos sin conectar. El nodo 8 es el más cercano al nodo 6, con una distancia de 1 y lo conectamos:
Luego conectamos el nodo 7 restante al nodo 8:
La solución final se observa en la séptima y la última iteraciones (véase la figura 11.5, inciso b). Los nodos 1, 2, 4 y 6 están conectados todos al nodo 3. El nodo 2 está conectado con el nodo 5. El nodo 6 está conectado al nodo 8 y el 8 está conectado al 7. Ahora todos los nodos están conectados. La distancia total se encuentra sumando las distancias de los arcos utilizados en el árbol de expansión. En este ejemplo, la distancia es 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 2 = 16 (o 1,600 pies). Esto se resume en la tabla
NNODOS NODO NO NODO ARCO LONGIT DISTAN PAS NO CONECTAD CONECTAD SELECCION UD DE CIA O CONECTAD O MAS OS ADO ARCO TOTAL OS CERCANO 2,3,4,5,6,7, 1 1 8 3 1-3 2 2 2 1,3 2,4,5,6,7,8 4 3-4 2 4 3 1,3,4 2,5,6,7,8 2o6 2-3 3 7 4 1,2,3,4 5,6,7,8 5o6 2-5 3 10 5 1,2,3,4,5 6,7,8 5 3-6 3 13 6 1,2,3,4,5,6 7,8 8 6-8 1 14 1,2,3,4,5,6, 7 8 7 7 7-8 2 16
