Modelos estocasticos

MODELOS ESTOC ÁSTICOS Ing. M. Sc. Helmer Rodr guez guez Soriano í INTRODUCCI N N Ó Ó

I

La generaci como tambi ón sint ética de valores, as í én el pron óstico son utilizados en diversas ramas: desde el planeamiento de la elaboraci ón de cierto producto, la determinaci ón de la cantidad de pasajes a éreos previstos para la pr óxima temporada, la demanda futura de cierto producto, o el volumen de agua que se espera ingresar á en un embalse el pr óximo mes. En base a la informaci ón hist órica de una variable medida cronol ógicamente se puede identificar su patr ón de comportamiento y utilizar éste para reproducir la variable en forma sint ética, es decir, producir una serie de datos de la variable estad sticamente indistinguible de sticamente í la serie hist órica que le dio origen. La serie de datos generada a futuro tiene la misma probabilidad de ocurrir y es utilizada para mejorar la toma de decisiones. A continuaci ón se presenta una introducci ón al an álisis de series de tiempo con miras a la generaci ón sint ética de valores y tambi én a la determinaci ón de pron ósticos. Si bien se describe la aplicaci ón a Hidrolog í í a, a, el m étodo es aplicable tambi én a otras variables. II

DEFINICIONES

Un PROCESO ESTOCASTICO es la observaci ón secuencial de un fen ómeno caracterizado por propiedades estad sticas que involucran aleatoriedad. Casi sticas í todos los procesos hidrol ógicos pueden ser tratados como estoc ásticos o como una combinaci ón estoc ástico - determin í í stica debido a la complejidad de los stica factores que lo producen. As í por ejemplo, el caudal de un r í o es el resultado de un proceso complejo de precipitaci ón-infiltraci ón-escurrimiento. Los valores de este proceso ordenados secuencialmente (por ejemplo caudal mensual de un r í o) o) pueden ser tratados mediante modelos estoc ásticos. Estos modelos tienen por finalidad: 1) la generaci ón sint ética de datos 2) el efectuar pron ósticos. En el presente texto se tratar á solamente el caso UNIVARIADO, con tiempo discreto: t ∈ Ζ , es decir, valores de una s óla serie observados a int érvalos definidos de tiempo (un mes, un a ño, etc.). El caso de procesos multivariados forma parte de los as í denominados modelos de “ funci funci ón de transferencia ” .

étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í í M a a a Civil - UMSS í í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez guez Soriano

1

Los modelos desarrollados aqu son aplicados al caso de series estacionarias, por í lo que primero se dar á una definici ón de ESTACIONARIEDAD. estacionario d ébil Un proceso aleatorio { X t } ser á considerado , o simplemente estacionario cuando:

} = m (1) E { X t x (2) Var { X σ } = t

2 x

(3) Cov { X , X λ k t t t + k } =

varianza Las ecuaciones (1) y (2) significan que el valor esperado y la de las variables aleatorias (VA) del proceso son independientes del tiempo . covarianza La ecuaci ón (3) significa que la entre dos VA del proceso depende solamente del rezago del tiempo (k) entre las dos VA y no del tiempo en si mismo.

La covarianza entre dos VA de un proceso aleatorio se llama autocovarianza . La FUNCION DE AUTOCOVARIANZA en la ecuaci ón (3) del proceso X λ en t es k funci ón del rezago de tiempo . Se tiene evidentemente que:

λ k = λ - k El coeficiente de correlaci ón entre dos VA de un proceso aleatorio se denomina ón coeficiente de autocorrelaci . La FUNCION DE AUTOCORRELACION O CORRELOGRAMA del proceso es el k : coeficiente de autocorrelaci ón del proceso en funci ón del rezago de tiempo 2 ρ k = λ k / σ x ρ k = ρ -k ,ρ 0 = 1

momento de 1er orden y 2do orden Si la traslaci ón en el tiempo no afecta al de las VA del proceso, se dice que el mismo es estacionario de 2do orden o simplemente estacionario . An álogamente, se puede definir estacionaridad de tercer, cuarto orden, etc.

Se tiene un proceso estrictamente estacionario cuando la distribuci } ón de { X t no depende del tiempo y cuando todas las distribuciones simult áneas de las VA del proceso dependen solamente del rezago (lapso de tiempo k ) entre ellas. Un proceso estrictamente estacionario puede ser considerado estacionario de orden infinito. étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í í M a a a Civil - UMSS í í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez guez Soriano

2

Un PROCESO NORMAL O GAUSSIANO es un proceso no necesariamente estacionario en el cual todas las VA del proceso est án distribuidas seg ú n la ley Normal y del cual todas las distribuciones simult áneas de VA del proceso son normales. Cuando un proceso aleatorio Gaussiano es estacionario d ébil, esto implica que es tambi én estrictamente estacionario puesto que la distribuci ón Normal est á completamente caracterizada por el 1er y 2do momento. PROCESO ESTACIONARIO Uno de los procesos estacionarios m ás simples es el NO CORRELACIONADO Z . Donde las correlaciones (y por consiguiente las t covarianzas) entre diferentes VA del proceso son cero:

E { Z } = 0 t 2 Var { Z } = σz t Cov { Z , Z } = 0 para k ≠ 0 t t + k 2 { Z t } ~ N ( 0, σz ) La ú ltima expresi ón significa que Z est á normalmente distribu í do, con media cero t 2 y varianza σz Su funci ón de autocovarianza ser á: 2 σz para k = 0

λ k = E [(Z - E Z )( Z - E Z )] t t t + k t + k λ k = λ k = E [( Z )( Z )] t t + k 2 0 para ≠ 0 k λ 0 = E [ Z σ z t * Z t ] = 2 λ 0 = σ z 2

Corr : (Z , Z ) = λ k /σz σz = λk / σz = ρ k t t + k y la funci ón de autocorrelaci ón: 1 para k = 0

ρ k =

0 para k ≠ 0

Este proceso recibe la denominaci ón de RUIDO BLANCO. El t érmino esta restringido a veces al caso de un proceso estrictamente estacionario de variables aleatorias estoc ásticamente independientes. Este proceso estacionario no ásico correlacionado es utilizado como el elemento b para otros procesos como se ver á luego.

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3

F.A.C.V.

F.A.C.

ρ k

λ k 2 σz -

- 1

2 -1 0 1 2 ...k -2

Funci ón de autocovarianza y funci ón de autocorrelaci ón del proceso no correlacionado { Z } ; ( t ∈Z) t

Fig. 1

Para lograr (o mejorar) la estacionariedad del proceso original, en algunos casos se aplica previamente el FILTRO LOGARITMICO a la serie, en un intento de satisfacer la condici ón (2). Esto se aplica a los fen ómenos donde la “ variabilidad ” (el componente aleatorio) se incrementa con el “ nivel (tendencia). ” Este fen ómeno se basa en el hecho que aproximadamente: Std ln X } } / E { X t ≅ Std { X t t } Entonces, si en funci ón del tiempo, Std { X es proporcional al valor medio de X t t E { X } Std ln X : á aproximadamente constante, lo que tiende a t , entonces t ser satisfacer la condici ón (2). III

Ó PROCESOS DE MEDIAS M VILES O PROCESOS MA

Sea un proceso X definido como: t (1)

X = Z + b * Z +.......+ b *Z t t 1 * Z t - 1 + b 2 t - 2 q t - q

donde{ Z t } es un proceso estacionario no correlacionado. Este proceso es MA(q) denominado PROCESO DE MEDIAS MOVILES DE ORDEN q : Utilizando el operador “ hacia atr ás ” B, la formula (1) puede ser escrita de la siguiente manera : 2

q

X + b + b * B * Z +.......+ b * B * Z t = Z t 1 * B * Z t 2 t q t 2

q

i

= (1 + b * B +.....+ b * B ) * Z Σ b B Z 1 * B + b 2 q t = i t o tambi én étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

4

(2)

con X t = b [B] Z t ;

b 1 0 =

i

b [B] Σ= b B i

B Este ltimo es un polinomio de orden q en . La expresi } ú ón (2) muestra que { X t puede ser considerado como la salida de un filtro b[B] con { Z t } como entrada. filtro de medias m óviles o filtro MA. Claramente, éste Este filtro es denominado es un filtro de convoluci ón con funci ón de transferencia b[B] . La representaci ón gr áfica se presenta a continuaci ón:

{ Z } → t

b[B]

→ { X } t

Filtro de medias m óviles o Filtro MA.

De (1) se deduce : (3 ) (4) y tambien:

E { X } = 0 t 2 2 2 2 2 Var { X } = σ x = [ 1 + b t 1 + b 2 + ......... + b q ] σz

k  > q: a) Para Cov ( X , X ) = 0 t t+ k

X puesto que en este caso las variables aleatorias Z que construyen a t t X son diferentes de las VA con las cuales est á construido t + k ( ver Fig. 2 )

tiempo t - q .................. t - 1 t t .......... t + k - 1 t + k - q + k

Z .....................Z t - q t-1

Z t

Z t + k - q .......... Z t+k-1

Z t + k

{ Z } t

{ X } t X t Fig. 2

X t + k

X Construcci a partir de Z ón del proceso t t

b) Para 0 < k < q se tiene: X X X (5 λk = Cov ( ) = E [ ( ) ( ) ] = E [ X t t + k t - E x t+ k - E x t . X t+ k ] , X t t + k

= E [ ( z + b z b ) . ( z + b z )] t 1 z t -1 + ..... + q t - q t+k 1 z t+k+1 +......+ b q t+k+q étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

5

=

2 E b z k t +

[

2 b 1b k+1 z t-1 +........+

q - k 2 2 b b b q - k q z t + k - q = z i b k + i i=0

] σ

∑

estacionario s De (3), (4) y (5) se concluye que el proceso MA (q) es de porí .

El hecho que todas las covarianzas y por consiguiente tambi én todas las autocorrelaciones son cero para rezagos mayores que q , es traducido expresando que la FAC est á cortada cuando k = q. Este hecho es importante cuando se est á en la fase de selecci ón del modelo . Para un PROCESO MA(1) (q=1) se tiene: (6)

X + b t = Z t 1 Z t-1 X E { }= 0 t 2 2 Var X = σ x 2 = ( 1+ 1b ) σ z t Cov ( x , x ) = λ k = 0 ; para k >1 t t + k 2 Cov ( x , x λ1 = λ -1 = b t t +1 ) = 1σz Cor ( x , x ) = ρ k = 0 para k >1 t t + k 2 Cor ( x ρ1 = ρ-1 = b t ,x t +1 ) = 1 / (1+b 1 )

Esto implica que :

ρ k 1 x

x ……………. x . . x x x x x k …….. -3 -2 -1 0 …………… 1 Funcion de autocorrelaci ón de un proceso MA (1)

Fig. 3

De (6) se tiene : X t -1 = Z t -1 + b 1 Z t -2 X Z t -2 = t -2 + b 1 Z t -3 Etc.

por tanto Z t -1 = X t - 1 – b 1 Z t - 2 por tanto Z = X t - 2 t - 2 – b 1 Z t - 3

Sustituyendo: (7)

2

3

X + b t = Z t 1 X t - 1 – b 1 X t - 2 + b 1 X t - 3 - etc .............

t momento presente Suponga que es el momento “ ahora ” o el “ ”. Entonces de (7) se deduce que el estado presente X t del sistema es la suma de una étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

6

ón lineal de estados pasados X combinaci t rmino Z t - 1 , X t - 2 , ............. y un é el cual no est á correlacionado con el pasado. Por esta raz ón el ú ltimo t érmino (Z t t INNOVACION en el momento t ( ) es denominado la ú nico t érmino desconocido en el momento presente).

PROCESO DE INNOVACION. { Z } El proceso es llamado el t

El estado presente est á siendo de alguna manera, “ regresionado ” al pasado. Por DESCOMPOSICION AUTOREGRESIVA del proceso MA. lo tanto ésto se llama la MA de orden mayor. Esta descomposici ón existe tambi én para procesos Se ve que para |b 1| < 1 , el pasado lejano practicamente no influye en el estado presente. Es bajo esta condici ón que este proceso es utilizado en la pr áctica. A esta condici INVERTIBILIDAD DEL PROCESO MA. ón se la llama: Generalizando, se puede probar que el proceso MA (q) es invertible seg n la ú f órmula (1), si las soluciones (ra í ces) de la ECUACION CARACTERISTICA: b [B] = 0 ó 2

3

q

1 + b B + b B + .....................+ b B = 0 1 B + b 2 3 q caen todas fuera del c í rculo unitario en el plano complejo. N ótese que B es “ hacia considerada, en este caso, como variable compleja (y no como operador atr ás ” como era originalmente el caso). Otro instrumento importante en la fase de selecci ón del modelo es la FUNCION DE AUTOCORRELACION PARCIAL . El coeficiente de correlaci ón parcial entre 2 variables, con respecto a otras variables, mide la relaci ón entre ambas dejando sin influencia a las otras. El coeficiente de autocorrelaci X X ón parcial Π k de 2 VA t y t - k de un proceso aleatorio { X t } deja sin influencia a los valores intermedios X t-1 , X , t-2 ............... X t - k +1. En el caso de un proceso estacionario, Π k no depende de t, sino del rezago k . La funci ón de Autocorrelaci ón Parcial es la gr áfica obtenida al plotear Π en funcion de k . r s El coeficiente de correlaci ón parcial entre la variable y la variable puede ser calculado como sigue: r + s Π r,s = - [ (-1) det P √ det P * det P r s ] / [ r r s s ]


7

Donde P es la matriz de correlaci ón de todas las VA consideradas y Pij es la j submatriz de P, donde se ha eliminado la fila i y la columna . El coeficiente de autocorrelaci ón parcial (de un proceso univariado) puede ser entonces calculado como sigue:


8

ρ1 1 ρ1..........ρ k - 2 ρ2 ρ1 1......ρ k - 3 (-1) (8)

k+1

det ..........

ρk ρk -1 ρk - 2 ...... ρ1

Π k =

1 ρ1 ............ρk -1 det ρ1 1 ........... ρk - 2 ............. ρk - 1 ρk - 2 ........1 Lo que que da: (9)

Π 1 = ρ 1

ρ1

1

det (10)

Π 2 = -

ρ2 - ρ12

ρ2 ρ1 = 1

2

ρ1

1 - ρ1

det

ρ1

1

ρ1

1

det ρ2 ρ1

(11)

Π 3 = - det

ρ1 1

ρ3 ρ2 ρ1 1

ρ1 ρ2

ρ1

1

ρ1

ρ2 ρ1

1


9

F órmulas (8) a (11) son v álidas para todo proceso estacionario (no s ólo para procesos MA o AR). PROCESO MA (1) se tiene: Para un

∏ 1 = ρ 1, ∏ 2 = - ρ

2 1 /(1

-

ρ

2 1 ),

Π

3

=

ρ

3 1 /(1

- 2

ρ

2 1 )

, .....

Ningun . Por ejemplo para b ρ1 = 2/5 , por lo tanto: ½ se tiene ∏k es cero 1 =

∏ 1 = 2/5,

∏ 2 = − 4/21 , ∏ 3 = 8/85,

…….

Π k

X

2/5

X

x

8/85 x k -3 -2 -1 0 1 2 3 4/21 X X

Fig. 4

FACP de un proceso MA (1) con b ½ 1 =

EL PROCESO MA(2) { X } se define como: t

X + b t = Z t 1 Z t - 1 + b 2 Z t - 2

De acuerdo a la formula (4), la varianza sera: 2 2 σ x 2 = σ z 2 (1 + b 1 + b 2 )

y de acuerdo a (4) y (5), la funci ón de autocorrelaci ón: 2 2 2 2 ρ1 = b ρ2 = b 1( 1+ b 2) / 1+b 1 +b 2 , 2 / 1+b 1 +b 2 ,

ρk = 0 para k ≥ 3

La ecuaci ón caracter ís tica ser á: 2

1 + b 1B + b 2B = 0 Con las raices: – 2

– 2

B √ (b 4b 2b , B = - b √ ( b 4b ) / 2 2b 1 = - b 1+ 1 2) / 2 2 1 - 1 2 étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

10

Las cuales son reales si:

2

b ≥ 0 1 – 4b 2 e imaginarias si:

2

b < 0 1 – 4 b 2 La condici ón de invertibilidad de la ecuaci ón MA(q) requiere que las ra í ces (soluciones) est rculo unitario. En el caso del MA(2): én localizadas fuera del c í |B 1| > 1

y

||B >1 2

Luego de algunos c álculos se encuentra que estas condiciones se cumplen si las siguientes igualdades son v álidas: b > -1 , b < +1 , -1 <1 < b 1 + b 2 1 – b 2 2 Estas desigualdades forman una regi ón triangular en el plano (b 1, b 2) (ver Fig. 5). Estas condiciones de invertibilidad en b érminos 1 y b 2 pueden ser expresadas en t de ρ1 y ρ2 :

ρ1 + ρ2 > - ½

,

ρ1 - ρ2 < ρ2 < 1+ √ ( 1- 2 ρ12 ) ½ , 4

Las mismas que forman una regi ón en el plano ( ρ1 , ρ2 ) de la Fig. 6. b 2

Raices Imaginarias Raices Reales

-2 - 1 1 1

Fig. 5

Combinaciones de ( b 1 , b 2 ) conducentes a un proceso invertible MA (2) (regi ón achurada).

Cuando b = 0 , se encuentra nuevamente las condiciones para MA (1). 2


11

La selecci ón de un proceso MA (q) como posible modelo , requiere la estimaci ón de (q + 1) par ámetros: 2

b b 1 , b 2,............, q ,σz

ρ2 1

1/2

1/4

-1

ρ

1 -1 / 2 -1/2 1/2 1 / 2 1

√

√

-1/2

-1

Fig. 6

IV

Combinaciones de ( ρ1 , ρ2 ) conducentes a un proceso invertible MA(2) (regi ón achurada).

PROCESOS AUTOREGRESIVOS O PROCESOS AR

proceso autoregresivo de orden p Se denomina al proceso estacionario { X t } definido como sigue:

(1)

X = Z - a * X *X t t 1 * X t - 1 - a 2 t - 2 - ....... - a p t - p

donde { Z } es un proceso estacionario no correlacionado. t Utilizando el operador “ hacia atr ás ” B, la expresi ón (1) puede ser escrita de la siguiente manera : 2

p

X - a - a * B * X -.......- a * B * X t = Z t 1 * B * X t 2 t p t (2)

a [B] X = Z on t t ; c

=a 1 0

i

Σa[B] a B = i

Esta ú ltima expresi ón es un polinimio de orden p en B . De esta expresi ón se puede establecer que { Z } constituye el output (salida) del filtro a [B] al introducir t étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

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{ X t } en dicho filtro. Se puede probar que este filtro es invertible; su inverso se –1 Filtro Autoregresivo o Filtro AR. expresa: { a [B] } el cual es denominado Este es un filtro de convoluci ón cuya funci ón de transferencia es { a [B] } -1 { Z } → { a[B] } t

–1

→ {X } t

Filtro autoregresivo o Filtro AR. PROCESO AR(1) (p = 1): Consideremos ahora el

X = Z - a t t 1 * X t –1

Este proceso significa que el valor actual de la variable analizada, caudal anual de un r o por ejemplo, depende del caudal observado un a í ño antes. En la pr áctica se aplica este modelo a las desviaciones de la variable respecto a su media. V

MODELOS AUTOREGRESIVOS APLICADOS A HIDROLOGIA

Las series hidrol ógicas, en particular secuencias de caudales observados, muestran un cierto grado de PERSISTENCIA . Ello significa que el valor del caudal t en el per í odo podr í a estar fuertemente influenciado por los valores de per í odos t - 1, t - 2 precedentes , etc. Este tipo de comportamiento puede ser representado por PROCESOS MARKOVIANOS. Para una serie particular, se podr a evidenciar que el valor del per odo presente í í est á influenciado por el valor del per í odo inmediatamente anterior, entonces se tiene un proceso markoviano de primer orden: AUTOREGRESIVO DE PRIMER ORDEN: AR(1).

V. 1

MODELO AUTOREGRESIVO ANUAL AR(1)

Sea { X } una serie estacionaria que puede ser modelada con un proceso AR(1) t (las condiciones necesarias para aplicar un AR(1) se define en el curso), por ejemplo caudales anuales observados, la representaci ón com ú nmente utilizada para este modelo es la siguiente: .......... (1) X - µ = a µ ) + Z t 1 (X t-1 - t Donde: X : t

proceso estacionario distribu do normalmente, con media í µ y 2 2 varianza σx : X , por ejemplo: caudales µ , σx ) t ∞ N ( anuales


13

a1 :

par ámetro autoregresivo de primer orden

Z : t

proceso estacionario no correlacionado, independiente de X , t 2 2 cero N (0 , σz ) con media y varianza σz : Z t ~

Los par ámetros de esta presentaci ón del modelo AR(1) son entonces: 2

a 1 , µ , σz V. 2

ESTIMACION DE PARAMETROS

En el caso del modelo AR(1) se puede demostrar que: a ρ1 ............... (2) 1 =

Donde ρ1 es el coeficiente de autocorrelaci ón de rezago 1. Z La varianza de á la VARIABILIDAD DEL PROCESO ORIGINAL (los t reproducir caudales). Para ello, en el caso del modelo AR(1), ésta se calcula a partir de la varianza de X a trav és de la relaci ón: t 2

2

2

............. (3) σz = σx ( 1 - a 1 ) 2

Los par ámetros µ , σx son calculados a partir de la serie hist órica. V. 3

GENERACION DEL PROCESO Z t

Para la simulaci ón del proceso original { X ón (1) se necesita t } mediante la expresi previamente generar valores de { Z t }. La variable aleatoria Z t debe cumplir con tres condiciones: primero debe tener un valor esperado cero, segundo debe estar normalmente distribu da y tercero debe í reproducir la variabilidad del proceso original (condiciones de estacionaridad inherentes al proceso Z t ). Para generar valores de { Z t } se cuenta con varios algoritmos. Uno de ellos es presentado de acuerdo a la siguiente secuencia:


14

1)

Generaci dos U : ón de n úmeros aleatorios uniformemente distribu í i

Utilizando el METODO LINEAL CONGRUENCIAL , aplicar la expresi ón: ódulo m ........ (4) u = ( a*u i i-1 + c ) m

Que significa que u i es el res í duo que queda al dividir a*u i-1 + c entre m. El valor de m es definido por el dise ño de la computadora (una potencia grande con base 2 ó 10); a, c y el valor inicial de u ú meros í ntegros entre 0 y m -1. i -1 son n El resultado formado por la serie {U / m formar á una secuencia de n ú meros i } = u i DISTRIBUIDOS RECTANGULARMENTE en el rango 0 a 1: Z U ( 0, 1 ) . t ~ Puesto que el algoritmo que los genera tiene una estructura determin í stica, estos n ú meros son PSEUDO-ALEATORIOS, pues se repiten con un per í odo 32 relativamente grande, en el orden de 2 = 4.294 ’ 967.896. a, c m Se necesita una elecci ón cuidadosa de los valores y . La secuencia {u , 1, u 2 u se repetir á eventualmente, de modo de constituir una secuencia de 3,....} n meros pseudo-aleatorios. Si la secuencia se repite despu ú és del valor u p (es decir, luego que se han generado p n ú meros), el valor p depender á de la elecci ón de a, c y m. Por consiguiente, es imprescindible elegir estos valores de modo de lograr p lo m ás grande posible. Reglas que definen esta elecci ón han sido estudiadas por Hammersley y Handscomb (1965).

Por ejemplo, supongamos a = 3, c = 5, m = 16, tomando =u 4 como valor inicial 0 (seed), con la expresi ón (3) tendremos: u 0 = 4 u 1 = 17 mod 16 = 1 u 2 = 8 mod 16 = 8 u 3 = 29 mod 16 = 13 u 4 = 44 mod 16 = 12 u 5 = 41 mod 16 = 9 u 6 = 32 mod 16 = 0 u 7 = 5 mod 16 = 5 u 8 = 20 mod 16 = 4 u 9 = 17 mod 16 = 1 u 10 = 8 mod 16 = 8 .... etc. De modo que para esa elecci ón de a, c, m, la secuencia se repite despu és del octavo valor y es la siguiente: U { } = {4/16 1/16 8/16 13/16 12/16 9/16 0 5/16} i


15

2)

Generaci dos t : ón de n úmeros aleatorios normalmente distribu í i

Aplicando el TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL se pueden obtener valores NORMALMENTE DISTRIBUIDOS a partir de los n meros U ú i previamente calculados, de la siguiente manera: t 1 = U 0 + U 1 + U 2 + ... + U 11 - 6 t = U + U + U + ... + U - 6 2 12 13 14 23 t = U + ... 3 24 t = ..... etc. 4 t Los n ú meros í generados, tendr án una distribuci ón normal con media cero y I as 2 varianza 1 : 2

t N ( 0 , 1) i ~ 3)

Generaci dos Z : ón de n úmeros aleatorios normalmente distribu í t

t Los valores µo y varianza diferente i pueden ser convertidos a valores con media 2 de cero ón: σz , al aplicar la relaci Z µ o + t σz ........... (5) t = i

Con y en el caso de AR(1): V. 4

µ o = 0 2 2 σ z = σ x ( 1 - ρ 12 )

GENERACION SINTETICA DE CAUDALES

Una vez estimados los par ámetros del modelo, se procede a aplicar la ecuaci ón (1) secuencialmente, con un valor de inicio para X t-1. Los primeros valores as í generados son descartados para evitar el sesgo resultante. VI.

MODELOS MULTIPLICATIVOS

Estos modelos son utilizados para series estacionales tales como series semanales y mensuales. Una serie estacional es por definici ón no estacionaria. Para dar una descripci ón general de estos modelos, es preciso diferenciar entre la parte estacional y la parte no estacional presente en los modelos multiplicativos.


16

La parte no estacional ha sido ya tratada al inicio, por ejemplo una serie de 30 valores de caudales anuales puede ser modelada por un AR(1). Para modelar este proceso previamente fue necesario controlar que la serie presentara estacionariedad (ya sea de por si misma o modificando la serie para lograr ésto). Para modelar una serie de caudales mensuales, tambi én es preciso modificarla previamente a trav és de diferenciaciones. Los modelos multiplicativos presentar án entonces ambas partes : una estacional y otra no estacional. Previamente es necesario definir los operadores siguientes: NO ESTACIONAL:

B:

operador hacia atr ás (Backwards)

B x = x t t-1 n B x = x operador B aplicado n veces consecutivas t t - n

∆:

operador diferencia

∆ x = (1-B) x = x - x t t t t-1 2 2 ∆ x = (1-B) x = x - 2x t t t t-1 + x t-2 d d ∆ x = (1-B) x t t

primera diferencia segunda diferencia ava d diferencia

ESTACIONAL: 12 a ∆ 12 x = (1-B ) x = x - x 1 diferenc. estac. de periodo 12 t t t t-12 2 12 2 a ∆ 12 x = (1-B ) x = x - 2x + x 2 dif. estac. de per. 12 t t t t -12 t -24 D s D ava ∆ s x = (1-B ) x = D dif. estac. de periodo s t t

Estos operadores son ú tiles para describir los modelos. VI.1

OPERADORES DE LOS MODELOS MULTIPLICATIVOS

Los siguientes s í mbolos son utilizados en la nomenclatura:

ϕ υ

"phi min ús cula" "teta min ús cula"

φ "phi may ús cula"

Υ

No estacional

ARIMA(p,d,q)

Estacional ARIMA (p,d,q,) x (P,D,Q) s

"teta may ús cula"

Operador Autoregresivo (no estacional): étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

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2

p

p

ϕ (B) x = (1 ϕ - ϕ 2 B - ϕ p B ) x Σ ϕ i x = -1 ……. - t 1 B - t = - t - i con ϕ 0 i = 0

Operador de Medias M óviles (no estacional): 2

q

q

υ (B) z υ 2 B - υ q Σ υ i z - ……. - B ) z = -1 t = (1 υ 1 B - t = - t - i con υ 0 i = 0

Operador Autoregresivo estacional: s

s

2s

P

P s

φ φ φ φ (B ) x = (1 φ - 1 B - B - ... - B ) x Σ φ x = -1 t 2 t = - i t - si con 0 P i = 0

Operador de Medias M óviles estacional:

Υ (B ) z Υ2 B - ΥQ B - … - t = (1 Υ 1 B - s

s

2s

Q

) z Σ Υi z = -1 t = - t - si con Υ0

Q s

i = 0

Estos operadores servir án mas adelante para determinar la expresi ón relativa a cualquier modelo multiplicativo. VI.2 •

DESARROLLO DE UN MODELO MULTIPLICATIVO

Apliquemos por ejemplo un modelo ESTACIONAL MA(Q) con Q = 1 a una serie estacionalmente diferenciada una vez, con periodo s = 12 (por ejemplo caudal mensual): 1

12 1

u = ∆ 12 x = (1 - B ) x - x x t t t = x t t -12 t : proceso analizado 1 12 1 u = ∆ 12 x = (1 - B ) x - x t t t = x t t -12 u t : proceso diferenciado α t : residuo MA(1) :

O sea :

u = α t - Υ1 α t - 12 t

…………....

(1)

x - x α t - Υ1 α t - 12 t t - 12 = x = x α t - Υ1 α t - 12 ………....... (2) t t - 12 +

Ecuaci ón 2 significa por ejemplo que si x es el caudal del mes de Mayo de un t cierto a ño, el mismo est á relacionado al caudal del mismo mes pero del a ño anterior, m ás un t érmino residual. El mismo tipo de relaci ón puede establecerse para los restantes meses. Por ejemplo para el mes de Abril :

α t -1 - Υ1 α t - 13 u t-1 = étodos Estoc ásticos aplicados a Hidrolog í – Carrera de Ingenier í M a a Civil - UMSS í – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) Ing. Helmer Rodr guez Soriano

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o sea : x α t -1 - Υ1 α t - 13 t -1 = x t - 13 + Ahora, el t érmino residual de Mayo α t seguramente podr í a no ser independiente del residuo de Abril α t - 1 . Por consiguiente podemos relacionar los residuos mediante un proceso autoregresivo u otro : •

En consecuencia, apliquemos seguidamente un proceso NO ESTACIONAL AR(p) con p = 1 a los residuos α t de la ecuaci ón 2 para representar su patr ón mensual :

α t = ϕ 1 α t -1 + z t ...………... (3)

z : proceso aleatorio t

Reemplazando ec. 3 en 1 :

Υ1 ϕ 1 α t - 13 - Υ1 z u = ϕ 1 α t -1 + z t t - t - 12 Υ1 z = ϕ 1 ( α t -1 - Υ1 α t - 13 ) + z t - t-12 Υ1 z = ϕ 1 u t -1 + z t - t - 12 o sea :

Υ1 z x - x = ϕ 1 ( x ) + z t t - 12 t -1 - x t -13 t - t - 12 Υ1 z x = ϕ 1 x - ϕ 1 x + z t t - 1 + x t - 12 t - 13 t - t - 12

El modelo resultante es denominado multiplicativo ARIMA (1,0,0) x (0,1,1) 12 Esto significa que se ha ajustado un modelo estacional MA(1) a la ava. primera 12 diferencia de los datos y sus residuos han sido modelados por un modelo AR(1). ARIMA (p,d,q) x (P,D,Q) 12

par ámetros estacionales

par ámetros no estacionales


periodo

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Box & Jenkins (1976) generalizaron este m étodo como la representaci ón a avas. trav és de un modelo estacional ARMA(P,Q) de las D diferencias de los datos originales acoplado a un modelo ARMA(p,q,) que es ajustado a las avas. d diferencias de los residuos del primero. La expresi ón general de estos procesos es como sigue: s D d s φ Υ (B (B ) ϕ (B) ∆ s ∆ x = ) υ (B) z t t

Aplicando esta expresi ón se puede deducir la expresi ón relativa a cualquier modelo, por ejemplo: AR(p):

ϕ (B) x = z t t

AR(2):

(1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B ) x t = z t

2

x = ϕ 1 x ϕ 2 x t t - 1 + t - 2 + z t

ARIMA(2,1,2):

ϕ (B) ∆d x = υ (B) z t t 2

1

2

(1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B ) (1 - B) x - υ 2 B ) z t = (1 υ 1 B - t x = x ϕ 1 x ϕ 1 x ϕ 2 x ϕ 2 x υ 1 z υ 2 z t t - 1 + t - 1 - t - 2 + t - 2 - t - 3 + z t - t - 1 - t - 2

REFERENCIAS

1.

Walter Vandaele. "Applied Time Series and Box - Jenkins Models". Academic Press, Inc.

2.

Prof. G. L. Vandewiele. "Time Series Analysis". Texto de curso. V.U.B. Bruselas, 1987.

3.

Vujica Yevjevich. "Stochastic Processes in Hydrology" W.R.P. Fort Collins, Colorado. 1972.


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4.

J. W. Delleur. "Les processus du type ARIMA pour la prevision et la simulation en hydrometeorologie". La Houille Blanche / No 6 - 1978.

5.

P. van der Kloet, F.C. van Geer. "Toepassing van ARIMA modellen". Dictado del "Technische Hogeschool Delft". Afdeling der Civiele Techniek. Feb. 1983.

6.

Prof. J. W. Delleur. "Hydrologie Stochastique". Texto de curso. E.P.F.L. Lausanne, 1980.

7.

Salas, Delleur, et al. "Stochastic Processes applied to Hydrology". Water Resources Publication. Fort Collins, Colorado, 1980.


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Modelos estocasticos

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