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INTRODUCCIÓN Es común que muchos de los conceptos y correlaciones que originalmente fueron desarrollados para su aplicación dentro de la ingeniería petrolera sean generalizados para su empleo con otros fluidos diferentes al aceite y gas natural. Los que ha fav favorec orecid idoo que que teng engan actu actual alm ment ente div diversa ersa área áreass de apli aplica caci cióón y una una ampl amplia ia investig investigación ación sobre sobre el tema. tema. Debido a la complejidad del proceso se han hecho correlaciones empíricas en las cuales se encuentra una aproximación a la solución del problema; estas correlaciones han contribuido al diseño de los sistemas de flujo multifásico. Las correlaciones, sin emba embarrgo go,, fuer fueron on dis diseñad eñadas as inic inicia ialm lmen entte a part partir ir de exper xperim imen enttos prác prácti tico cos, s, usualmente usualmente sin ninguna ninguna base física, física, que aunque con ayuda de las computado computadora ras, s, no lograron dar soluciones a varios problemas, sobre todo aquellos que involucran variables tales como los gastos de operación, la geometría de flujo y las propiedades de los fluidos
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INTRODUCCIÓN Es común que muchos de los conceptos y correlaciones que originalmente fueron desarrollados para su aplicación dentro de la ingeniería petrolera sean generalizados para su empleo con otros fluidos diferentes al aceite y gas natural. Los que ha fav favorec orecid idoo que que teng engan actu actual alm ment ente div diversa ersa área áreass de apli aplica caci cióón y una una ampl amplia ia investig investigación ación sobre sobre el tema. tema. Debido a la complejidad del proceso se han hecho correlaciones empíricas en las cuales se encuentra una aproximación a la solución del problema; estas correlaciones han contribuido al diseño de los sistemas de flujo multifásico. Las correlaciones, sin emba embarrgo go,, fuer fueron on dis diseñad eñadas as inic inicia ialm lmen entte a part partir ir de exper xperim imen enttos prác prácti tico cos, s, usualmente usualmente sin ninguna ninguna base física, física, que aunque con ayuda de las computado computadora ras, s, no lograron dar soluciones a varios problemas, sobre todo aquellos que involucran variables tales como los gastos de operación, la geometría de flujo y las propiedades de los fluidos
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INTRODUCCIÓN Los modelos mecanísticos son modelos realistas de una parte de un determinado sistema natural o de un comportamiento determinado. En estos modelos existen una relación de correspondencia entre las variables del modelos y las observaciones del fenó fenóme meno no natur natural al del model modeloo Los modelos mecanísticos consisten básicamente en el planteamiento de un modelo fís físico ico simplifica icado del problema, al que se aplica un análisi isis matemá emático desarrollando las ecuaciones que representen el fenómeno, introduciendo el mayor número de variables de control que permitan las simplificaciones. De esta manera, al sustentarse estos modelos en teorías previamente establecidas, es posible tener major control sobre dichas variables y además los rangos de éstas estarán limitadas por por las las simp simpli lific ficac acio ione ness plant plantead eadas as por por el mode modelo lo mism mismo. o.
3
Modelo de Taitel y Dukler (1976) El modelo de Taitel y Dukler es aplicable para flujo estacionario, en tuberías horizontales o ligeramente inclinados ( entre ±10°). El punto inicial del modelo es el equilibrio del flujo estratificado, donde se asume que el flujo estratificado ocurre. La configuración de un flujo estratificado equilibrado se muestra esquemáticamente en la figura 1.
Figura 1 4
Modelo de Taitel y Dukler (1976) La tubería es inclinada a un ángulo con respecto a la horizontal y la velocidad promedio del gas y del líquido son U G y U L , respectivamente. También se muestra el área transversal de la tubería con los parámetros geométricos . El área para el flujo y el perímetro mojado de las fases del gas y del líquido son AG y S G, y AL y S L, respectivamente. El perímetro mojado de la interfase es S i y el nivel de líquido (bajo condiciones de equilibrio) es hL. Se debe de determinar el nivel de líquido en equilibrio en la tubería, hL, dada por unas condiciones de flujo: gastos de gas y líquido, diámetro e inclinación de la tubería y las propiedades de los fluidos. Esto se obtiene aplicando la ecuación de cantidad de movimiento para cada una de las fases en un diferencial de volumen de control.
5
Modelo de Taitel y Dukler (1976) El balance de las fuerzas cada una de las fases son: Para el líquido െ
െ
ௐ
ൌ0
(1)
Para el gas െ
െ
ௐ
െ
ൌ0
(2)
6
Modelo de Taitel y Dukler (1976) Igualando las caídas de presión de las dos fases y asumiendo que las condiciones de transición del gradiente hidráulico en el líquido son despreciables, se tiene lo siguiente ௐ
െ
ௐ
1
1
െ
െ
ൌ0
(3)
Los esfuerzos cortantes son calculados de manera convencional: ௐ
ൌ
మ ఘಽ ௨ಽ
ଶ
;
ௐ
ൌ
మ ఘಸ ௨ಸ
ଶ
;
ൌ
ఘಸ ௨ಸ ି௨ మ ଶ
(4)
Los factores de fricción del líquido y gas son calculados de la siguiente manera:
ൌ
ಽ ௨ಽ ି ௩ಽ
;
ൌ
ಸ ௨ಸ ି ௩ಸ
(5)
7
Modelo de Taitel y Dukler (1976) donde DL y DG son los diámetros hidráulicos y se calculan de la siguiente manera, como sugerencia por Agrawal et al. (1973):
ൌ
ସಽ ಽ
;
ൌ
ସಸ ಸ ା
;
ൌ
;
ൌ
para
(6)
Las constantes C L , C G , n y m son acorde al régimen de flujo de cada fase. Cuando el flujo es laminar C L = C G = 16 y n = m = 1, cuando es turbulento C L = C G = 0.046 y n = m = 0.2.
Es usualmente transformar estas ecuaciones en forma adimensional. Las variables de referencia son: D para la longitud, D2 para el área, las velocidades superficiales ௦ y ௦ son las velocidades del líquido y gas respectivamente. Entonces las ecuaciones 3, 4 y 5 toman la forma: ଶ
෩
ି ଶ
ሚ ሚ
െ
෩
ି ଶ
ሚ ሚ
ሚ ሚ
ሚ ሚ
െ4 ൌ 0
(7)
8
Modelo de Taitel y Dukler (1976) Donde: 4 ଶ
ൌ
௦
4
௦
ି
2 ି
ൌ
4
െ
௦
௦
ଶ
ൌ
/
ೞ
/
ೞ
(8)
2
ଶ
௦
ି
௦
ଶ
ൌ
െ
/
ೞ
(9)
2
X es un parámetro introducido por Lockhart y Martinelli y puede ser calculado con el conocimiento de los gastos, propiedades de los fluidos y el diámetro de la tubería. Y
es cero para una tubería horizontal y representa las fuerzas relativas que actúan en el líquido en dirección del flujo debido a la gravedad y caída de presión. También puede calcularse directamente.
9
Modelo de Taitel y Dukler (1976) Todas las variables adimensionales dependen de ෨ ൌ ሚ ൌ 0.25
ሚ ൌ 0.25 ሚ ൌ
ሚ ൌ
ିଵ
ିଵ
െ
ሚ ൌ
ିଵ
െ
ିଵ
2 ෨ െ 1 െ 2 ෨ െ 1
2 ෨ െ 1
2 ෨ െ 1
1െ 2 ෨ െ 1
ሚ
െ1 2 ෨ െ 1
െ1 2 ෨ െ 1
ଶ
por lo tanto: ଶ
( 10 )
( 11 ) ( 12 ) ( 13 )
ଶ
ሚ ൌ
2 ෨ െ 1 2 ෨ െ 1
/
( 14 ) ሚ
y ൌ
ሚ
( 15 ) 10
Modelo de Taitel y Dukler (1976) Así, que para cada par X-Y corresponde un valor único de hL /D para todas las condiciones de tamaño de tubería, propiedades de los fluidos, gastos e inclinación de la tubería para el flujo estratificado existente. Los resultados de la figura 2 es la solución de la ecuación 7 que es exclusivamente para flujo turbulento de ambas fases.
11
Figura 2. Equilibrio del nivel de líquido para flujo 12
Ejemplo Se tiene la siguiente información para una tubería horizontal. Determinar HL.
ൌ
ൌ
10,000 b/d 1.965 MMpcd 70 m3/m3 21° 20 centistoke
ൌ ൌ ൌ ൌ
ó
6.91 10ି ൌ
∅௧௨í ൌ ൌ
=
ଶ
/
20 kg/cm2 16 pg 80 °C 0.922
13
Ejemplo Como se considera que la tubería es horizontal, Y es igual a cero y se deben de calcular las propiedades de los fluidos, entonces se tiene lo siguiente:
ൌ
ൌ 10,000 /
ൌ
ൌ
௦
௦
௦ ௦
86400
4
ൌ
ሺ16 4
ሻଶ
ଷ
/
1.965 10 െ ሺ10,000ሻሺ36.73ሻ 0.0592
ଶ
ൌ
െ
1.069 ൌ 10,690 / ൌ 0.6947
ൌ 201.02
ଶ
ൌ 1.0947
ൌ 1.396
ଷ
/
ଶ
14
Ejemplo ௦
௦
ൌ
ൌ
.ଽସ௧ య /௦ ଵ.ଷଽ௧ మ ଵ.ଽସ௧ య /௦ ଵ.ଷଽ௧ మ
ൌ 0.4976
ൌ 0.7842
;
/
/
;
ൌ
ൌ
భల ሻ భమ ଶ.ଵସଵషర
ൌ 3100 ሺ
భల ሻ భమ .ଽଵଵషర
ൌ 151,316.93 ሺ
ሺ.ସଽሻሺ
ሺ. ଼ସଶሻሺ
ሻ
ሻ
Sustituyendo en la ecuación 8 se obtiene que: /
/
ೞ
ೞ
ൌ
4
ൌ
ሺ4ሻሺ0.046ሻሺ12ሻ 16
ଶ
ି
2 3100
ି.ଶ
ሺ57.9ሻ 0.4976 2
ଶ
ൌ 0.1982
ଶ ଶ
15
Ejemplo /
/
ೞ
ೞ
ൌ
4
ൌ
2
ൌ
ሺ4ሻሺ0.046ሻሺ12ሻ 16
ൌ 4.644 10ିଷ
ଶ
ଶ
ି
/
ೞ
/
ೞ
ൌ
151,316.93
ሺ1.189ሻ 0.7842 ି.ଶ
ଶ
2
ଶ ଶ
0.1982 4.644 10ିଷ
ൌ 42.68
ൌ 42.68 ൌ 6.53
De la figura 2 se obtiene que el valor aproximado de hL /D de 0.7.
16
Ejemplo
17
Ejemplo El cálculo del colgamiento de líquido (H L) es: 2 ෨ െ 1 ൌ 2 .7 െ 1 ൌ 0.4 ሚ ൌ 0.25 ሚ ൌ
ಽ
మ
ିଵ
െ
ൌ 0.6271 16 ൌ
ൌ
0.4 0.4
ൌ ሚ ଶ
160.53
ଶ
201.02
ଶ
1 െ 0.4
ଶ
ൌ 0.6271
ଶ
ൌ 160.53
ଶ
ൌ 0.7985
18
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) Los modelos de bache más aceptados son modificaciones al modelo original de Hubbard y Dukler, tal es el caso del modelo propuesto por Scott y Kouba, figura 3
Figura 3. Modelo físico del flujo bache 19
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) Durante el flujo bache, el frente del tapón de líquido se mueve a una velocidad de traslación, v sF , mientras que el frente de la burbuja de gas se mueve a una velocidad, v BF . Scott y Kouba consideran flujos homogéneos en el cuerpo del tapón, por lo que la velocidad del líquido en el tapón v s es esencialmente la velocidad de la mezcla. La longitud del tapón de líquido y la de la zona de burbuja/película se denota como Ls y L f , respectivamente; mientras que la longitud del bache unitario es representada por: ௨
ൌ
௦
( 16 )
A medida que el tapón de líquido se desplaza en la dirección del flujo, el frente del mismo va incorporando líquido de la zona de película que lo precede (el líquido incorporado al tapón aumenta su velocidad de vf a vs). Al mismo tiempo, en el extremo opuesto al frente del tapón (denominada “cola del t´pón), se experimente una pérdida en la zona de cola, determina el ritmo de crecimiento o disipación del bache.
20
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) En caso de que los ritmo de ganancia y pérdida de líquido en el tapón sean iguales, entonces se considerara que el flujo está estabilizado, es decir, el tamaño del tapón y de la burbuja y por ende, el del bache unitario, permanecen constantes. La velocidad del frente de la burbuja puede obtenerse aplicando la ecuación de Nicholson:
ൌ 1.2
௦
( 17 )
En la ecuación anterior, vD (drift velocity), es la diferencia de velocidad máxima del gas en la burbuja (vBF) y del líquido en el tapón (considerando flujo homogéneo sin resbalamiento en el cuerpo del tapón, es aproximadamente igual a 1.2vm).. Diversos investigadores consideran que vD puede despreciarse para flujo horizontal, mientras que existen diferentes métodos de cálculo para flujo en tuberías inclinadas. Aplicando un balance de masa de líquido entre el frente del tapón y un punto en el cuerpo del mismo, Scott y Kouba obtuvieron la siguiente expresión para calcular la velocidad del frente del tapón: 21
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) ௦
ൌ
௦ ௦
െ
௦
െ
( 18 )
Para aplicar la ecuación anterior, se debe conocer la fracción volumétrica (colgamiento) y la velocidad del cuerpo del tapón y la zona de la película. H s es calculado con la correlación de Gregory: ௦
1
ൌ 1
௦
ଵ.ଷଽ
( 19 )
28.4
Donde vs, está dada en (ft/s) La fracción volumétrica en la película es :
ൌ
1 6
௦
( 20 )
22
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) Para el cálculo de la longitud del tapón Ls, se emplea la correlación de Scott et al (1989), desarrollada a partir de datos de operación de tuberías instaladas en el campo de la Bahía de Prudhoe, Alaska, con diámetros entre 0.3048 y 0.6069 m ௦
ൌ െ25.41 28.5
12
.ଵ
( 21 )
Donde d es el diámetro de la tubería en ft. FORMACIÓN DEL FLUJO BACHE.
Existen diferentes métodos para predecir la existencia del flujo bache. como punto de partida de distintos modelos de análisis se considera que el bacheo hidrodinámico se genera como consecuencia de inestabilidad en la interfase a partir de un patrón de flujo estratificado estable. Bajo tales condiciones de equilibrio, se analizan parámetros de flujo (como velocidad y propiedades físicas de las fases y diámetro e inclinación de la tubería), que afectan el nivel de líquido en equilibrio dentro del tubo.
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MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) En la siguiente figura se presenta un esquema de las variables y notaciones consideradas en la inestabilidad de flujo estratificado.
El grado de estabilidad del flujo estratificado depende de la interacción de al menos 2 de los siguientes 3 tipos de fuerzas, esto es bajo el criterio de Taitel y Dukler:
Una fuerza de flotación debida a la acción de la gravedad y proporcional a la diferencia de densidades de loa fluidos. Para el caso estratificado con la fase más densa fluyendo bajo la fase menos densa, esta fuerza tiene efecto estabilizador 24
MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990)
Una fuerza debida a la tensión superficial entre ambas fases- el efecto de esta fuerza es siempre estabilizador.
Un efecto Bernoulli, que genera un cambio en la presión en la interfase debido al cambio de velocidad originado por el desplazamiento de la superficie del líquido del punto a al punto a’. El efecto Bernoulli depende de la diferencia de velocidades de las fases, de manera que si el desplazamiento hacia arriba de la interfase líquido- gas provoca un incremento en la velocidad local del gas (pasa de un valor de v G a v G’ , al mismo tiempo la velocidad local del líquido sufre un decremento, (cambiando de v L a v L’ ); esto inducirá una diferencia de presión ( p-p’ ), en el punto a’ . El efecto de Bernoulli es siempre desestabilizador provocando que la distancia hL’ aumente proporcionalmente al incremento en la diferencia de velocidades entre las fases.
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MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) En contraste, Scott y Kouba definen la transición de flujo estratificado a bache no en términos de la aparición del primer tapón de líquido, sino de una análisis de estabilidad de este primer tapón. Para ello, consideran como estado inicial, una tubería que opera en flujo estratificado estabilizado. Las condiciones iniciales son perturbadas por la introducción de un bacheen el tubería. Analizando la estabilizada de este bache, definen un “punto de crecimiento neutral” en la cual el tapón de líquido no crece ni se disipa. En tales condiciones, la estabilidad de este tapón determina la transición a flujo bache. El criterio de estabilidad del tapón, está dado por: ௦
ൌ 1െ
ൌ0
( 22 )
Donde : ௗೞ
es la variación de la longitud del tapón de líquido respecto al cambio de posición en la tubería. ௗ௫
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MODELO DE SCOTT Y KOUBA (1990) velocidad del frente de la burbuja. velocidad del frente del tapón.
Scott y Kouba señalan que este método da mejores resultados que el de Taitel y Dukler, sobre todo cuando se aplica a tubería de gran diámetro.
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MODELO DE FLUJO BACHE Se presenta un modelo a dos fluido transitorio y unificado, para la simulación de flujo simultaneo de aceite y gas, a través de una tubería y pozos petroleros. El modelo está conformado por la ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para cada fase. Dichas ecuaciones se resuelven simultáneamente utilizando la técnica de diferencias finitas, permitiendo predecir las caídas de presión, temperatura y velocidad, así como la fracción de líquido en función del tiempo y la posición. Cabe mencionar que en el modelo, por medio del coeficiente JouleThomson, se toman en cuenta el calentamiento o enfriamiento de loa líquidos debido a los procesos de expansión y compresión. EL MODELO MATEMÁTICO.
Las ecuaciones de conservación, promediadas en el espacio y tiempo, unidimensionales, para un flujo adiabático de líquido y gas a través de un conducto de sección transversal constante, esta dadas por (Lahey, 1992):
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MODELO DE FLUJO BACHE Masa:
1
∙
( 23 )
ൌ0
Cantidad de movimiento:
1
∙
ൌെ
∙
௪
( 24 )
Energía:
1
∙
ൌ
Φ
( 25 )
29
