Mode dell os vec vect or i al es aut uto oregresi vos vos (VA R) Alfonso Novales Universidad Complutense Marzo 2003
1. Introducción Ut il izamo izamos s un modelo modelo del del t i po vect vecto or au autt or egres gresivo (VAR) ( VAR) cua cuando que quere remo mos s caract eri zar las int eracc racciones iones simult áne nea as entr e un grupo grupo de vari vari able. ble. Un VAR es es un model model o de ecua uacione ciones s si mult án áne eas formado por un siste ist ema de ecua uacion cione es de forma r educida ducida si n rest rest r i ng ngii r . Que se sean ecua uac ci on one es de forma f orma r educida ducida quier quier e dec deci r que los val val or es cont conte emporáneo mporáneos de las vari vari ablesde bles dell modelo modelo no ap apa ar ecen cen como como vari vari ables explica xpl icatt i vas vas en en ninguna de las l as ec ecua uac ci one nes s. El con onjj unt unto o de var var iables iables expl explii cat ivas de cada ecuación está constituido por un bloque de retardos de cada una de las var var i ables ables del del model model o. Que se sean ecuacione cuaciones s no r est r i ngidas si si gni fi ca que aparece en cada una de ell as el mismo mismo grupo de vari vari ables bles explic xpli cat ivas ivas. Así, en un modelo vectorial autoregresivo de primer orden, VAR(1), las variables ables e expl xplii cat cat i vas vas de cada cada ecua ecuación ción son: una const const an antt e, más un r et ardo de cada cada una de l as vari vari ables bles de dell model model o. Si Si el el model model o pret pret ende expli xpl i car car el el compo comporr t am amii ento nt o temporal de 3 variables, habría 3 variables explicativas, más constante, en cada ecuci uci ón, para un t ot al de 12 coefi cient ciente es a e es st imar. Si el model model o fue fuera ra de segundo orden, VAR(2), habría 7 coefi cient ciente es a est i mar en cada cada una de las l as 3 ecua ecuacione ciones s quec que componen mponen el el model model o VAR. Co Como mo pue puede de verse verse,, t oda odas s las vari vari ables bles son trat t rat ada das s simét imét r icame icament nte e, si endo expl explii cada das s por el pa pas sado de t oda odas s el l as. Puede Pueden n inclui r se t am ambié bién, n, com omo o var var iables iables explciati explciat i vas vas, algunas lgunas var var iables iables de natt uraleza na uraleza det det ermi nista, como una posi posi ble t ende ndenc ncii a t emporal, var var iables iables fi cticias est aciona cional es, o una vari vari able fi ct icia icia de t ipo impuls impulso o o escalón, lón, que sirve pa para ra llev llevar a cabo cabo una análi análi sis de int ervenc rvención ión en el sist ist ema ma.. Por Por últ imo, podría inc i nclui luirs rse e como expli xpl i cati va una var var i able bl e, i nclus ncluso o en valor valor cont conte emporáneo, mporáneo, que pueda pueda considerarse exógena res respe pec ct o a las vari vari ables bles qu que e int egran el mo mode delo lo VAR.
El modelo VAR es muy útil cuando existe evidencia de simultaneidad entre un grupo de variables, y que sus relaciones se transmiten a lo largo de un determinado número número de per per íodos íodos. A l no impon i mpone er ninguna re r est ri cci ón sobre la l a ver ver si ón est ructural ruct ural del del modelo, modelo, nos nos e i ncurr ncurr e en los er roresde rores de espe peci ci fi cación ación que dichas dichas r est ri ccione ciones pudier pudier an caus causar ar al al ej ej ercicio empírico mpíri co.. De he hec cho ho,, la pri nci nci pa pall mot mot ivación ivación dett rás de rás de los los mo mode delos los VAR es es la di fi cultad en identi fi car car var var i ables como como exógenas xógenas,, como como e es s pre pr eciso ciso hace hacer para i de dent ntii fi car car un model model o de ecuacione cuaciones s si mult áne áneas as.. Por Por el cont rario, en un mo mode delo lo VAR t od oda as l as vari varia ables bles se se t ratan de igua igual modo: modo: el modelo modelo t i ene nen n t an antt as ec ecua uacio cione nes s como como varia vari ables bles, y l os valo valores res ret ret ardados dados de t oda odas s las l as ecua ecuacione ciones s aparece aparecen n como como var var i ables ables expl explii cat cat i vas vas en en t oda odas s las l as ecuacione cuaciones s. Una vez vez est i mado el model model o, puede proc pr oce ede derr se a exclui exclui r algunas algunas var var i ables ables expli xpl i cat cat i vas vas, en en funció funci ón de su si si gni fi cación cación es est adíst adíst i ca, ca, pe p er o ha hay y r azone azones s para no ha hac cerl o. Por Por un la l ado do,, si si se ma manti nti ene nee el mismo mismo conj conjun untt o de vari vari ables bles explic xpli cat ivas ivas en t oda odas s las l as ecua ecuacione ciones s, entonc nt once es la l a est i maci maci ón por mínimos míni mos cuadrado cuadrados s ordinarordi nari os ecua ecuación ción por ecuación cuación es efi cient ciente e, por l o que e ell proces proceso de es est i ma mación ción de dell model model o es es ver ver da dade derr am ame ente nt e sencil ncil lo. Por Por otro, ot ro, la l a pres presenci nci a d de e bloques bloques de r et ar do dos s como variables explicativas hace que la colinealidad entre variables explicativas sea i mport ante nt e, lo l o que ha hac ce pe perder rder pre pr ecisión en en la l a es est imación imación del del model model o y re r educe duce los valores numéricos de los estadísticos tipo t de St St ude udent. nt. En un mo mode delo lo VAR est imado imado no t iene iene mu muc cho se senti do tr at ar de int erpre rpr et ar los signos ignos y las ma mag gnit ude udes s de los coefi cient ciente es indivi indi vidua duall es. Por Por el con ontt r ar i o, hay hay que utl ut l i zar est adíst díst icos icos de t ipo má más s globa lobal, qu que e t raten raten de res resum umir ir con caráct ráct er agreg regado la in fl ue uenc ncia ia de una unas s var var iables iables sob sobrr e otr ot r as. M ás adelant adelante e nos refe referi ri remos remos a est e t ipo ip o de es est adíst díst icos icos, que qu e incluye incluye est adíst díst icos icos t ipo F pa para ra el el contr ast e de signi fi cat ivida ivi dad d de un bloque bloque de retardos de una determinada variable, contrastes de causalidad, funciones de r espue pues st a al al i mpuls mpul so, y de des scompos composii ciones ciones de l a var var i anza anza del del er r or.
2. El modelo VAR(1) En el el caso aso más más simple impl e, con con só sól o do dos s vari vari ab ables les y un r et ar do do,, el model model o VAR 2(1) es,
y1t = β 10 + β 11y1t y2t = β 20 + β 21y1t
+ β 12y2t 1 + β 22y2t
+ u1t 1 + u2t
−1
−1
−
−
o, en forma matricial,
2
à ! à !à y1t y2t
=
β 10 β 20
+
!Ã ! Ã ! y1t y2t
β 11 β 12 β 21 β 22
−1
+
−1
u1t u2t
(2.1)
donde los t érminos de err or sat isfacen,
E (u1t ) = E (u2t ) = 0 , t E (u1t u1s ) = E (u2t u2s ) = E (u1tu2s ) = 0, u1t σ 21 σ12 V ar = = Σ, t u2t σ 12 σ22
∀
à ! Ã
!
∀t 6= s
∀
En el modelo VAR anterior, valores negativos de β 12 y β 21 tienden a inducir correlación negativa entre y1t e y2t si bien no la garantizan. Un shock inesperado en y2t , en la forma de un valor no nulo de la innovación u2t , además de afectar a y2t , in fl uye sobre y1t , a t ravés de de la corr elación entr e las i nnovaciones de ambas variables. En general, una sorpr esa en y2t vendrá acompañada de un valor no nulo de la innovación u1t , salvo en el caso excepcional en que σ u u = 0. Est os efectos se propagan en el t iempo debido a la presencia de los valores ret ardados como vari ables explicat ivas. En general, un modelo VAR se especi fi ca, 1
2
K
Y t = A0 +
X
As Y t
s
−
+ ut
(2.2)
s= 1
donde Y t esun vector columna nx1, K es el orden del modelo VAR, o número de ret ardos de cada vari able en cada ecuación, y ut es un vect or nx1 de innovaciones, es decir, procesos sin autocorrelación, con V ar (ut ) = Σ, const ante. El elemento (i, j )en la matriz As , 1 s K mide el efecto directo de un cambio en Y i en el instante t sobre las vari ables expli cat ivas al cabo de s períodos, Y j,t+ s . El elemento i-ésimo en ut es el componente de Y it que no puedeser previst o util izando el pasado de las vari ables que integran el vect or Y t .
≤ ≤
3. Un modelo estructural Es útil interpret ar el modelo VAR como forma reducida de un modelo est ructural,
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t y2t = α20 + α21y1t + α22y1t 3
+ α13y2t 1 + α23y2t
+ ε1t 1 + ε2t
−1
−1
−
−
(3.1)
donde y1t, y2t son variables est acionarias, y ε1t , ε2t son innovaciones, procesos rui do blanco con esperanza cero y varianzas σ 2 , σ 2 . Este es un modelo de ecuaciones simult áneas con la única peculi aridad de que sus dos variables son endógenas. Un shock inesperado en y2t , en la forma de un valor no nulo de la innovación est ructural ε2t , afecta directamente a y2t , pero también infl uye sobre y1t a t ravés dela presencia de y2t como vari able explicat iva en la primera ecuación. Además, est e efecto se propaga en el t iempo, debido a la presencia de los valores ret ardados como vari ables explicat ivas. Es natural pensar que l os t érminos de err or del modelo est ruct ural est én mutuamente incorrelacionados, puest o que la correlación contemporánea entre y1t e y2t ya est á capt urada por la presencia de sus valores contemporáneos como variables explicat ivas en ambas ecuaciones. Por t ant o, suponemos que Cov (ε1t , ε2t) = σ , = 0. De forma resumida, la representación matricial del modelo estructural puede escribirse, ε1
ε2
ε1 ε2
By t = Γ0 + Γ1 yt
−1
+ εt
con,
B=
Ã
1
−α
−α
11
1
21
!
;
Γ0
=
à ! α10 α20
;
Γ1
=
Ã
α12 α13 α22 α23
!
y si suponemos que la mat ri z B t iene inversa, lo cual requiere que α11α21 6 = 1, t enemos,
yt = B
−1
Γ0
+B
−1
Γ1yt−1
+ B 1εt = A0 + A1yt −
−1
+ ut
donde,
à ! − à ! à ! à à ! à − à ! −à ! B
ut = A1 = A0 =
u1t u2t
=
−1
1
= B εt = B
β 11 β 12 β 21 β 22 β 10 β 20
−1
=
=
1
1
1
α11α21
α21 1
−1
ε1t ε2t
1
1 1
−α
1
1
α11α21
ε1t + α11ε2t ε2t + α21ε1t
α12 + α11α22 α13 + α11α23 α22 + α21α12 α23 + α13α21
α11α21
11α21
=
α11
α10 + α11α20 α20 + α21α10
4
!
!
,(3.2) (3.3) (3.4)
con lo que habremos pasado a l a forma reducida, o modelo VAR. Como puede verse, si los t érminos de err or del modelo est ructural eran r uido blanco, también los términos de error del modelo VAR tandrán estructura ruido blanco. Sin embargo, las innovaciones del VAR est arán correlacionadas entre sí, puest o que,
V ar
à ! u1t u2t
=
1 (1
−α
α21)
11
2
Ã
σ 21 + α211σ 22 α21σ21 + α11σ22 ε
ε
ε
ε
α21σ 21 + α11σ 22 α21σ 21 + σ 22 ε
ε
ε
ε
!
de modo que, incluso si los t érminos de err or del modelo est ructural est án i n= 0 , las pert urbaciones del modelo VAR t endrán correlación correlacionados, σ no nula. Es import ante examinar l as relaciones entr e los parámet ros de ambos modelos, que son, en el caso del modelo VAR(1), las 6 relaciones entr e los parámet ros β y los parámet ros α que aparecen en (3.3), más las 3 relaciones entre los elementos de las respect ivas mat ri ces de covari anzas, ε1 ε2
2
σ u1 σ 2u2 σu1 u2
= = =
1 (1
−α
2
α21)
11
1
(1
−α
2
α21)
11
1
(1
−α
2
α21)
11
³ ³ ³
σ
2 ε1
2 11
+α σ
2 ε2
σ 22 + α221σ21 ε
ε
´ ´
α21σ21 + α11σ 22 ε
ε
´
4. Identi fi cación en un modelo VAR La est imación de un modelo VAR(1) bivari ante proporciona valores numéricos para 6 parámet ros: las dos const antes más los cuat ro coefi cientes en las vari ables retardadas, más los 3 parámet ros de la mat riz de covarianzas del vector ut . Sin embargo, el modelo est ructural const a de 11 parámet ros: las dos const ant es, los 6 coefi cientes, y los 3 parámet ros de la mat ri z de covari anzas del vect or εt, por lo que no es posible recuperar los parámet ros del modelo est ructural. En el ejercicio 1 se prueba que el modelo est ructural recursivo bivari ante de orden 1,
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t 1 + α13y2t y2t = α20 + α22y1t 1 + α23y2t 1 + ε2t
−1
−
−
−
5
+ ε1t
(4.1)
est á exact amente ident i fi cado, es decir, que sus parámet rospueden recuperarse de forma única a part ir de las est imaciones del modelo VAR asociado. Est e es un modelo interesante, en el que se consigue identi fi car t odos los parámet ros del modelo est ructural a part ir de las est imaciones de l a forma reducida (modelo VAR), introduciendo la hipótesis de que la variable y1t afecta a la variable y2t únicamente con un retardo, mientras que la dirección de in fl uencia de y2t hacia y1t se mani fi esta ya dentro del mismo período. No sólo se pueden recuperar est imaciones det odos los parámet ros queaparecen en el modelo est ruct ural. También las seri es t emporales de losresiduos del modelo est ructural pueden recuperarse a part ir de los residuos obtenidos en la est imación del modelo VAR, mediant e,
ˆε2t = uˆ2t ; ˆε1t + α11ˆε2t = uˆ1t Un modelo más rest ri ngido,
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t y2t = α20 + α23y2t 1 + ε2t
−1
+ α13y2t
−1
+ ε1t
−
implicaría que la variable y1t no afecta ni de forma contemporánea, ni ret ardada, a la variable y2t , por lo que ést a puede considerarse exógena respecto de y1t . Examinando los modelos anteri ores, es fácil ver que las dos rest ri cciones que hemos i mpuest o, α21 = α22 = 0 hacen que en el modelo VA R, β 21 = 0, restricción que puede contr ast arse sin ninguna di fi cultad utilizando el estadístico tipo t habit ual de dicho coefi ciente. Al haber int roducido una rest ri cción más, el modelo est ructural est á ahora sobreidenti fi cado, es decir , hay más de una manera de recuperar valores numéri cos para los parámetros de dicho modelo, a partir de las estimaciones numéricas del modelo VAR. Más di fi cult ades plantean el modelo,
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t y2t = α20 + α21y1t + α23y2t
+ ε1t 1 + ε2t
−1
−
que est á asimismo sobreidenti fi cado, habiendo varias maneras de recuperar las est imaciones de los parámet ros del modelo est ructural. Sin embargo, en est e caso no hay ninguna rest ri cción contrast able sencil la que nos permit a discutir est a 6
representación. En est e caso, l as rest ricciones del modelo est ructural introducen rest ricciones no li neales entre lso parámet ros del modelo VAR. Una posibl e est rategia consist e en est imar el modelo VAR sujet o a las rest ricciones no lineales generadas por las condiciones de sobreidenti fi cación. El problema deobtener lasinnovaciones est ructurales a part ir delasdel modelo VAR equivale a la posibili dad de disponer de valores numéri cos para los elementos de la matriz B , puest o que εt = Bu t . Esta matriz tiene unos en la diagonal principal, pero no es simét rica, por lo que t iene k 2 k parámet ros por det erminar. Además, debemos encontrar las k varianzas de las innovaciones est ructurales; recuérdese que sus covarianzas son nulas. Así, t enemos k 2 parámet ros del modelo est ructural, que querr íamos recuperar a part ir de los (k 2 + k ) /2 elementos de V ar(ut ). Necesit amos, por t ant o, (k 2 k) /2 rest ricciones adicionales, si queremos t ener alguna posibili dad de identi fi car el modelo. En el caso de un modelo VAR(1) con 2 variables, hemos de imponer (22 2) /2 = 1 restricció n para identi fi car el sist ema exact amente, como hemos const at ado en los ejemplos anteriores. En un modelo con 3 variables necesitaríamos imponer (32 3) /2 = 3 rest ricciones. El número de rest ri cciones necesari as para ident i fi car el modelo es independiente del orden del modelo VAR. Si imponemos condiciones de recursividad en un modelo con 3 variables, t enemos,
−
−
−
−
u1t = ε1t u2t = c21ε1t + ε2t u3t = c31ε1t + c32ε2t + ε3t quei mplica imponer 3 rest ri cciones sobre loselementosdela mat ri z B 1 , por lo que el modelo est aría, en pr incipi o, exact amente identi fi cado. La recursividad del sist ema equivale a suponer que la mat riz B es t riangular inferior o superior, lo que genera exactamente k 2 k rest ricciones, precisamente el número que precisamos para lograr la identi fi cación exacta del modelo. Hay conjuntos alt ernativos de rest ri cciones, como, −
−
u1t = ε1t + c13ε3t u2t = c21ε1t + ε2t u3t = c32ε2t + ε3t 7
que también lograría la identi fi cación exact a del modelo. La representación inversa es,
ε 1 ε tt = 1+c c 1 2
ε3t
c
21 13 32
1 −c
21
c21c32
c13c32 c13 c13c21 1 c32 1
−
−
u u tt 1 2
u3t
Otro t ipo derest ri cciones consist ir ía en imponer un det erminado valor numéri co para una respuest a. Por ejemplo, podemos pensar que la i nnovación ε2t t iene un efecto unitario sobre y1t, es decir, como, εt = Bu t =
Ã
1
−α = −1. 21
−α 1
11
!
ut
est o equivaldría a suponer que α11 Una posibilidad diferente consistiría en identi fi car el modelo est ructural imponiendo rest ri cciones sobre la mat ri z de covari anzas, ya sea imponiendo un valor numérico para la varianza de ε1t , la varianza de ε2t, o la covari anza entre ambos. Est e t ipo de rest ricciones conduce a soluciones múlt iples, por lo que el modelo est ructural está en t al caso, sobreidenti fi cado. Por últ imo, puede conseguir se la identi fi cación imponiendo rest ricciones razonables entre los valores numéri cos de los parámet ros est ruct urales. por ejemplo, puedeimponerseuna condición de simetr ía, α11 = α21, o cualquier ot ra que result e adecuada en la aplicación que se analiza. En el caso del modelo de 2 vari ables est á condición de simetría de efectos conduce asimismo a una condición de igualdad de vari anzas para las innovaciones est ructurales, lo que no ocurre en modelos con más de 2 vari ables. 4.1. Identi fi cación y r espu est as del sist em a Otra manera de ent ender los problemas de identi fi cación es la siguiente: supongamos que, sin considerar el posible modelo est ruct ural, hemos est imado un modelo VAR(1) bivari ante, (2.1) , en el que queremos calcular cómo reacciona cada variable ante una i nnovación en una de ellas, lo que luego denominaremos como funciones de respuesta al impulso. Sería poco adecuado, sin embargo, calcular las respuestas a un impulso en una de las innovaciones, u1, por ejemplo, sin que u2 experimente ni ngún impulso, pues ambas i nnovaciones est án correlacionadas entr e sí. Por t anto, hemos de transformar primero el modelo est imado en ot ro modelo en que los t érminos de err or, siendo i nnovaciones, est én incorrelacionados 8
entr e sí. Para ell o, podríamos seguir una est rat egia similar a l a discutida más arr iba, proyect ando por mínimos cuadrados una de los dos innovaciones, u1t , por ejemplo, sobre u2t ,
u1t = ρu2t + at
ˆt , defi nido por aˆt = u1t cuyo residuo a const rucción, con u2t .
− ρˆu
2t
, est aría incorrelacionado, por
Premultiplicando el modelo (2.1) por la matriz
y1t = (β 10 ρˆβ 20) + ˆρy2t + (β 11 ρˆβ 21)y1t y2t = α20 + α22y1t 1 + α23y2t 1 + u2t
−
−
−
Ã
−1
1 ρ ˆ 0 1
−
+ (β 12
!
, t endríamos,
− ρˆβ
)y2t
−1
22
+ ˆat
−
un modelo en el que la vari able y2 t iene efectos contemporáneos sobre y1. En est e modelo, t iene sentido preguntarse por las respuest as de ambas variables a una perturbación en a ˆt o en u2t , puest o que ambos est án incorrelacionados, por const rucción. En respuest a a un impulso en u2t, ambas variables reaccionarán en el mismo inst ante, y t ambién en períodos siguientes, hast a que dichas respuest as ˆt , y1 responderá decaigan a cero. En cambio, en respuest a a una pert urbación en a en el mismo período y períodos siguient es, mientras que y2 sólo responderá en períodos siguientes al de la pert urbación. Est e es el modelo est ructural exact amente identi fi cado (4.1) que antes consideramos. Una ext ensión a est e procedimiento se basa en el hecho conocido de que dada una matriz simétrica, defi nida positiva, como es la matriz de covarianzas Σ, exist e una única mat riz t ri angular inferior A, con unos en su diagonal principal, y una única matriz diagonal D, con elementos positivos a lo largo de su diagonal principal, tal que Σ admit e una descomposición, Σ
= ADA
0
Si consideramos la t ransformación l ineal del vector de error precisamente con esta matriz, εt = A 1ut , t enemos, −
0
−1
0
³ ´ −1
V ar (εt ) = E (εt εt ) = E (A ut ut A
0
) = E (A
−1
Σ
³ ´ −1
A
0
)=D
por lo que, a diferencia de los componentes del vector u, los elementos del vector ε están incorrelacionadosentre sí. Deshaciendo la t ransformación, tenemos, 9
uu tt u ut = t ... 1 2 3
ukt
1a = Aε = a t ...
0 1 a23 ... a2k
12 13
a1k
0 0 1 ... a3k
0 0 0 ... 1
... ... ... ... ...
εε tt ε t ...
1 2 3
εkt
por lo que, εkt = ukt
−a
1k
ε1t
−a
2k
ε2t
− ... − a
(4.2)
k −1,k εk−1,t
Si los coefi cient es a1k , a2k ,...,ak 1,k se obtienen mediante una estimación de mínimos cuadrados ordinarios de la ecuación (4.2), que t iene a ukt como variable dependiente, y a ε1t , ε2t, ..., εk 1,t como variables explicati vas, −
−
εkt = ukt
− aˆ
1k
ε1t
− aˆ
2k
ε2t
− ... − aˆ
(4.3)
k −1,k εk−1,t
entonces t endremos, por const rucción, E (εkt .ε1t ) = E (εkt .ε2t ) = ... = E (εkt .εk 1,t) = 0. Dicho de ot ra manera, si est imamos regresiones de cada innovación uit sobre t odas las que le preceden dentr o del vect or u y nos quedamos con el residuo de dicha regresión, llamémosle εit , t endremos un componente de uit que, por construcción, est ará incorr elacionado con u1t , u2t,...,ui 1,t. Nót ese que los espacios generados por las variables u1t, u2t ,...,ui 1,t y por las variables ε1t, ε2t ,..., εi 1,t son los mismos, es decir , que ambos conjunt os de variables conti enen la misma información. La única diferencia entr e ambos es que las variables u1t , u2t ,...,ui 1,t t iene corr elaciones no nulas, mientras que las vari ables ε1t, ε2t , ..., εi 1,t est án incorr elacionadas ent re sí. −
−
−
−
−
−
5. Condiciones de estabilidad Si resolvemos recursivamente el modelo VAR(1) t enemos,
Y t = A0 + A1 Y t 1 + ut = A0 + A1(A0 + A1Y t 2 + ut 1) + ut = = (I k + A1 )A0 + A21Y t 2 + (A1ut 1 + ut ) = −
−
−
−
−
n−1 2 1
n−1
n
= (I k + A1 + A + ... + A1 )A0 + A1 Y t
n
−
+
X i= 0
10
Ai1ut
i
−
Como puede verse, para la est abil idad del sistema es preciso que las sucesivas potencias de la matriz A1 decaigan hacia cero, pues de l o contr ari o, el fut uro lejano t endría efect os sobre el presente, en contra de l a rápida amort iguación t emporal de efect os inherent e a t odo proceso est acionari o. Est o requiere que las raíces del polinomio caract eríst ico de dicha mat ri z | I k A1λ |= 0, caigan fuera del círculo unidad, condición análoga a l a que se t iene para un proceso autoregresivo univariante. Cuando se cumplen las condiciones de est abil idad, t omando límit es, t enemos,
−
X ∞
Y t = µ +
Ai1ut
i
−
i= 0
donde µ = E (Y ) es el vect or de esperanzas mat emát icas, que viene dado por,
µ = (I k
−A )
−1
1
A0
Además,
h
V ar(Y t ) = E (Y t
i "X # X 2
∞
2
− µ)
i
= E
A1ut
∞
=
i
−
i= 0
i
³´ X ³´ i
A1 (V ar (ut i )) A1 −
i= 0
∞
0
Ai1Σ Ai1
=
i= 0
En el caso bivariante, µ1 = E (u1t), µ2 = E (u2t ), con
µ=
à ! " −à µ1 µ2
= I 2
siendo ∆ = (1
− β
)(1
11
XÃ ∞
V ar(Y t ) =
β 11 β 12 β 21 β 22
i= 0
!# Ã ! Ã −1
− β ) − β 22
β 11 β 12 β 21 β 22
β 10 β 20
=
1
∆
β 10(1 β 20(1
22) + β 12β 20 11) + β 21β 10
− β − β
!
β 21, y
12
!Ã i
2
σ u1 σ u1 u2
σ u1 u2 σ2u2
!Ã
β 11 β 12 β 21 β 22
!
i0
6. VAR y modelos univariantes Es út il asimismo pensar en t érminos de cuáles son los modelos univari antes que se deducen de una representación VAR, en l ínea con el t rabajo de Zell ner y Palm (19xx). En est e senti do, si part imos de un VAR(1), como (2.1), escri t o en función del operador de retardos,
11
0
y1t = β 10 + β 11Ly1t + β 12Ly2t + u1t y2t = β 20 + β 21Ly1t + β 22Ly2t + u2t t enemos,
y2t =
β 20 + β 21Ly1t + u2t 1 β 22L
−
con lo que,
(1
− β
L) y1t = β 10 + β 12L
11
β 20 + β 21Ly1t + u2t + u1t 1 β 22L
−
y, fi nalment e,
(1
− β
11
L) (1
− β
L) y1t = [(1
22
− β
) β 10 + β 12β 20] + [(1
22
− β
22
L) u1t + β 12u2t 1] −
que es un proceso ARM A(2,1).
7. Estimación de un modelo VAR Como ya hemos mencionado, en ausencia de rest ricciones, la est imación por mínimos cuadrados, ecuación por ecuación, de un modelo VAR produce estimadores efi cientes a pesar de que ignora la información contenida en la matriz de covarianzas de las innovaciones. Junto con el hecho de que la colinealidad entre las variables explicativas no permite ser muy estricto en la interpretación de los estadísticos t, sugiere que es preferibl e mantener t odas l as variables explicat ivas ini ciales en el modelo. El est imador es consistente siempre que los t érminos de error sean innovaciones, es decir, procesos ruido blanco, pues en t al caso, est arán incorrelacionados con las vari ables explicat ivas, por la misma razón que en un modelo univari ante. Por t anto, la ausencia de aut ocorr elación en los t érminos de err or de t odas las ecuaciones es muy import ant e. Tomando ambos hechos conjunt amente, es fácil concluir que debe inclui rse en cada ecuación como variable explicat ivas, el menor número de ret ardos que permita eli minar la autocorr elación residual en t odas las ecuaciones. Exist en contrast es del t ipo de razón de verosimilit ud sobre el número de ret ardos a incluir en el |modelo. 12
Un modelo VAR no se estima para hacer inferencia acerca de coe fi cientes de variables individuales. Precisamente la baja precisión en su est imación, desaconseja cualquier análisis de coefi cientes indi viduales. Tiene mucho sentido, por el contrario, el análi sis conjunt o de los coefi cientes asociados a un bloque de ret ardos en una determinada ecuación. Bajo hipótesis de Normali dad del vect or de innovaciones, el logari t mo de la función de verosimili t ud es,
l=
− T2k (1 + ln 2π) − T 2 ln | Σˆ |
ˆ la est imación de la mat ri z de covari anzas del vect or de innovaciones siendo Σ u, T 1 ˆ= Σ uˆt u ˆt T t= 1
X
0
una matriz simétrica, defi nida positiva, por construcción.
8. Contrastación de hipótesis 8.1. Contrastes de especi fi cación Uno de los contrates más habituales en un modelo VAR es el relativo al número de ret ardos que deben incluir se como variables explicati vas. hay que tener en cuenta que en cada ecuación entra un bloque de retardos de todas las variables del vector y. Si, por ejemplo, t rabajamos con 4 variables y est ablecemos un orden 3 para el VAR, t endremos 12 variables expli cat ivas, más el t érmi no const ant e, en cada ecuación, con un t otal de 52 coefi cientes en el sist ema de ecuaciones, más 10 parámet ros en la matr iz de varianzas-covari anzas de las innovaciones. El número de parámet ros a est imar crece muy rápidamente con el número de ret ardos. Si pasamos de 3 a 4 ret ardos, t endríamos 68 coefi cientes más los 10 parámetros de la mat riz de covari anzas. Por eso ya comentamos con anteriori dad que debe incluirse en cada ecuación el menor número de retardos que permita eliminar la autocorrelación del t érmino de err or de t odas ell as. Exist e un contr ast e formal de signi fi cación de un conjunto de retardos, que util iza un est adíst ico de razón de verosimili t udes, λ = (T
− k)(ln | Σ | − ln | Σ R
13
SR
|
donde | ΣR |, | ΣSR | denot an los det erminantes de las mat ri ces de covarianzas de los modelos rest ringido y sin rest ringir , respect ivamente. Si queremos contrast ar si un cuart o ret ardo es signi fi cat ivo, deberíamos est imar el modelo con 3 y con 4 retardos, y construir el estadístico anterior, que tiene una distribución chi-cuadrado con un número de grados de libert ad igual al número de rest ri cciones que se contrast an. Al pasar del modelo con 3 ret ardos al modelo con 4 r et ardos, hay que añadir un retardo más de cada variable en cada ecuación, por lo que el número de rest ri cciones es igual al incremento en el número de ret ardos, por el número de variables al cuadrado. Sin embargo, no puede olvi darse que la elección del número de ret ardos debe t ener muy en cuenta la eliminación de aut ocorrelación residual en los residuos. Los est adíst icos anterioresno examinan est e import ant e aspect o y, por tanto, no deben utilizarse por sí sólos. En consecuencia, una buena est rat egia es comenzar de un número reducido de retardos, y examinar las funciones de autocorrelación de los residuos, junto con estadísticos del tipo Ljung-Box o Box-Pierce para contrastar la posible exist encia de aut ocorrelación, l o que requeriría aumentar el número de retardos y con ell o, el número de parámet ros a est imar. Lamentablemente, sin embargo, es muy poco probable que pueda elimi narse la autocorrelación residual con menos de 4 retardos cuando se trabaja con datos trimestrales, o con menos de 12 ret ardos, cuando se t rabaja con dat os mensuales. Una est rategia dist int a para encontrar el orden del modelo VAR consiste en examinar los denominados criterios de Información, que son determinadas correcciones sobre el valor muest ral de la función logari t mo de Verosimilit ud. Los más conocidos son los de Akaike y Schwart z,
AIC = SBC =
−2 T l + 2 T n −2 T l + n ln(T T )
siendo n = k (d + pk) el número de parámet ros est imados en el modelo VAR. d es el número de variables exógenas, p el orden del VAR, y k el número de variables. En ocasiones, se ignora el t érmino const ant e, y los crit eri os ant eriores se aproximan por,
AIC = T ln | Σ | +2n SBC = T ln | Σ | +n ln(T ) 14
siendo N el número de parámet ros que se est ima, y Σ la matriz de covarianzas de los residuos. Est os est adíst icos se calculan para una sucesión de modelos con dist into número de ret ardos y se comparan, seleccionando aquél modelo que produce un menor valor del est adíst ico. Un est adíst ico de razón de verosimilit udes como el ant es descrit o puede ut ili zarse para contrast ar cualquier t ipo de hipótesis, y no sólo la signi fi cación de grupos de variables, siempre que el modelo rest ri ngido est é anidado dentro del modelo sin restringir. 8.2. Contrastes de causalidad Un contrast e especialment e interesant e es el conoce como de causalidad en el sentido de Gr anger: supongamos que est amos explicando el comport amiento de una variable y utilizando su propio pasado. Se dice que una variable z no causa a la variable y si al añadir el pasado de z a la ecuación anteri or no añade capacidad explicat iva. El contrast e consiste en analizar la signi fi cación est adíst ica del bloque de ret ardos de z en la ecuación mencionada, y la hipót esis nula es que la variable z no causa, en el senti do de Granger, a la vari able y . En reali dad, la propuest a ini cial deGranger hacía referencia a quel a predicción de y basada en el pasado de las dos variables y y z , sea est rictamente mejor (es decir , con menos err or) que la predicción de y basada exclusivamente en su propio pasado. Así, se dir ía que la variable z no causa a la variable y si se t iene,
E (yt / yt 1, yt −
−2
,
...; z t 1, z t 2 ,...) = E (yt / yt 1, yt −
−
−
−2
,
...)
Sin embargo, est a propiedad no suele analizarse; se contrast a exclusivamente la signi fi cación del bloque de ret ardos de z en la ecuación de y, y se supone que si dicho bloque de variables es signi fi cativo, contribuirá a mejorar la predicción de la variable y. Est a manera de proceder se basa en que, analít icamente, es evidente que la presencia del bloque de ret ardos de z en la ecuación de y hace que la esperanza de y condicional en el pasado de l as dos variables, y y z, sea distinta de la esperanza de y condicional en su propio pasado exclusivamente, si bien est a propiedad t eórica no siempre se mani fi est a en result ados práct icos, y es bien sabido que un buen ajust e no necesariamente conduce a una buena predicción. El cont rast e puede ll evarse a cabo ut ili zando el est adíst ico F habitual en el contraste de signi fi cación de un bloque de vari ables, o mediante el est adíst ico de razón de verosimi lit udes ant eri or. Con más de dos variables, exist en muchos posibles contrast es de causalidad y en algunos casos, el est adíst ico de r azón de 15
verosimili t udes puede result ar más útil que el est adíst ico F , al permitir contrastar la exclusión de algún bloque de ret ardos en varias ecuaciones simultáneamente. Asimismo, el contr ast e de causali dad o, lo que es lo mismo, el contr ast e de signifi cación de un bloque de ret ardos puede ll evarse a cabo mediant e un est adíst ico de razón de verosimili t udes, en el que el modelo rest ri ngido excluye un grupo de ret ardos de una ecuación
9. Representación M A de un modelo VAR Todo modelo VAR admit e una representación de medias móvil es (M A) ,
X ∞
Y t =
Bs ut
s
−
s= 0
a la que se llega t rassucesivas sust it uciones de Y t s en (2.2) . La representación MA puede obt enerse asimismo en función de las innovaciones est ructurales. Est a representación permit e resumir las propiedades de l as relaciones cruzadas entre las variables que componen el vector Y t , que queda representado como una combinación lineal de valores actuales y pasados del vector de innovaciones. la simult aneidad vuelve a quedar palpable en el sentido de que cualquier innovación uit afect a a todas las vari ables Y j,t+ s . Si volvemos al modelo de dos vari ables de orden 1, t enemos, −
à ! à !à y1t y2t
β 10 β 20
=
β 11 β 12 β 21 β 22
+
!Ã ! Ã ! y1t y2t
−1
u1t u2t
+
−1
que, como vimos, puede escribirse,
à ! à ! Xà y1t y2t
=
µ1 µ2
∞
+
s= 0
β 11 β 12 β 21 β 22
!Ã ! s
u1t u2t
s
−
s
−
y, en t érminos de las innovaciones del modelo est ructural,
à ! à ! à !à X à ! X−à !à ! y1t y2t
= =
µ1 µ2 µ1 µ2
+
1
1
∞
+
s= 0
∞
α11α21 s= 0
β 11 β 12 β 21 β 22
φ11(s) φ12(s) φ21(s) φ22(s)
16
ε1t ε2t
s
1
α11
α21 1
s
−
s
−
!Ã ! X ε1t ε2t
s
−
s
−
∞
=µ+
Φ(s)εt−s
s= 0
= (9.1)
donde,
Ã
φ11(s) φ12(s) φ21(s) φ22(s)
!
=
1 1
−α
11
α21
Ã
β 11 β 12 β 21 β 22
!Ã s
1
α11
α21 1
!
(9.2)
Existe un procedimiento recursivo para obtener las mat ri ces de coefi cientes de la representación de medias móvil es,que util iza la relación,
Y t = A1 Y t 1 + ... + A p Y t p + ut = (I k = (φ0 + φ1L + φ2L2 + ...)ut −
−
p
−1
− A L − A L − ... − A L ) 1
2
p
ut =
de modo que t enemos,
I k = (I k
p
− A L − A L − ... − A L )(φ 1
2
p
0
+ φ1L + φ2L2 + ...)
que conduce a, φ0 = I k φ1 = A1 φ2 = A1φ1 + A2 φs
... = A1φs
−1
+ A 2 φs
−2
+ ... + A pφs
p
−
que pueden util izarse para calcular r ecursivamente las mat ri ces de coefi cient es de la representación de medias móviles.
10. Funciones de r espuest a al im pul so La ecuación (9.1) es l a representación de medias móvil es del modelo VAR(1) bivari ante. Los coefi cientes de la sucesión de mat ri ces Φ(s) representan el impact o que, a lo largo del tiempo, t ienen sobre l as dos vari ables del modelo y1t e y2t una pert urbación en las innovaciones ε1t , ε2t. Por ejemplo, l os coefi cient es φ12(s) 1, tiene sobre y1 una refl ejan el impact o que en los dist intos períodos s, s perturbación del tipo impulso en ε2. Es decir, consideramos que ε2 está en su valor de equilibrio, cero, excepto en un período, en que t oma un valor igual a 1; como consecuencia, t ant o y1 como y2
≥
17
reaccionan, y dicha respuest a se ext iende a vari os períodos, hast a que las sucesión φ12(s) se hace cero. La sucesión de valores numéri cos {φ12(s)} se conoce como la respuesta de y1 a un impulso en ε2. El efecto, multi plicador o respuesta a largo plazo es la suma s= 0 φ12(s). Est a suma exist e si las variables son est acionarias, pues en t al caso ha de cumplir se que | s= 0 φ12(s) |< . El problema al que nos enfrentamos al t ratar de calcular las funciones de respuest a al impulso es que, si bien contamos con est imaciones numéricas de los parámet ros β ij , i , j = 1, 2, desconocemos los parámet ros α11 y α21 que aparecen en (9.2). En el modelo recursivo que antes vimos, se tiene α21 = 0. Además, se prueba en el ejercicio 1 que en est e modelo el parámet ro α11 puede recuperarse ˆ 11 = σ u u /σ 2u . En ese caso, u2t = ε2t y u1t = ε1t + α11ε2t = ε1t + α11u2t . mediant e α Las funciones de respuest a al impulso sólo puden obt enerse bajo rest ri cciones de est e t ipo. La que hemos descrit o es la más habit ual, y equivale a admitir que una de las dos vari ables afect a a la ot ra sólo con ret raso, si bien permit imos que en l a otra dirección haya respuest a contemporánea. Est aremos caract erizando las respuest as del sist ema a un impulso en cada una de las innovaciones del modelo est ructural o, lo que es lo mismo, en la innovación u2t y en u1t α11u2t . Esta última es la componente de u1t que no est á expli cada por u2t o, si se prefi ere, la componente de u1t que no est á correlacionada con u2t 1. En efecto,
P
∞
1
P
∞
2
∞
2
−
u1t
−α
u2t = ε1t + α11ε2t
11
−α
ε + α11α21ε1t = (1 + α11α21)ε1t
11 2t
que est á incorrelacionado con ε2t . De hecho, si α21 = 0, ent onces u1t α11u2t es, precisamente, igual a la perturbación estructural ε1t . Como hemos vist o, las funciones de respuest a al impulso sólo pueden obtenerse después de haber introducido rest ricciones acerca del ret raso con que unas vari ables inciden sobre otr as. Est a elección condiciona bast ant e, en general, el aspecto de las funciones de respuesta, except o si las innovaciones del modelo VAR, u1t y u2t est án incorrelacionadas, en cuyo caso, coinciden con las innovaciones del modelo estructural. Las funciones de respuest a al impulso generan una gran cantidad de números, pues se calcula el impact o que, en cada instante futuro tendría, sobre cada variable del modelo, un impulso en una det erminada innovación, y ell o puederepet ir se para las innovaciones en cada una de las ecuaciones. Por eso, suele representarse en
−
1
Si bien α11 no es el coefi ciente que est imaríamos mediante una regresión de u1t sobre u2t . C ov ( u ,u ) . Pero u1t = Si proyect amos u1t sobre u2t , el coefi ciente est imado será igual a
√
1
2
V ar ( u 1 ) V a r ( u 2 )
ε1t
+
α11 ε2t
y u2t =
ε2t
+
α21 ε1t
, por lo que Cov ( u1 , u2 ) =
18
varios gráfi cos, cada uno de los cuales incluye las respuest as a través del t iempo, de una det erminada variable a un impulso en cada una de las innovaciones; de est e modo se t iene t ant os gráfi cos como variables en el modelo, cada uno de ell os conteniendo t ant as curvas como variables. Alt ernativamente, pueden const ruirse gráfi cos, cada uno de los cuales representa la respuest a t emporal de t odas las vari ables del modelo a un impulso en una de las innovaciones. Nuevamente hay tantos gráfi cos como variables, cada uno de ellos conteniendo t antas curvas como variables. El inconveniente del segundo t ipo de representación es que las respuest asde las dist int as vari ables dependen de sus respect ivas volat il idades, por lo que la comparación de las respuest as de dos variables diferentes a un det erminado impulso no permit e decir cuál de las vari ables responde más. Recordando que l a desviación t ípica es una medida adecuada del t amaño de t oda vari able aleatoria de esperanza nula, debemos dividir las respuestas de cada variable por su desviación típica antes de representarlas en un mismo grá fi co. Tampoco un impulso de t amaño unidad t iene el mismo signi fi cado en cada variable, por lo que conviene calcular l as respuest as normalizadas a un impulso de t amaño igual a una desviación típica en cada innovación. Consideremos un VAR(1) sin const ante (es decir, l as vari ables t iene esperanza igual a cero),
y 0, 5 y tt = 0, 1 1 2
0
y3t
0 0 0, 1 0, 3 0, 2 0, 3
y u y tt + u tt 1
−1
1
2
−1
2
y3t
−1
u3t
y supongamos que antes del instant e t0 las innovaciones t oman un valor cero en t odos los períodos, las vari ables están en sus niveles de equil ibrio, y = y = 0. En dicho instante, la innovación u1t toma un valor unitario, u1t = 1, y vuelve a ser cero en l os períodos siguientes. ¿Cuál es la respuest a del sist ema? En el instante t0, ∗
0
0
y u 1 y tt = u tt = 0 1
0
1
0
2
0
2
0
y3t
0
u3t
0
0
por lo que y2t e y3t estarán en sus niveles de equilibrio, y2 = y2 = 0, y3 = y3 = 0, mientras que y1t = y1 + 1 = 1. Posteriormente, ∗
0
0
∗
∗
0
19
y y tt 1
0+ 1
2
0+ 1
y3t
0+ 1
=
=
0, 5 0, 1 0 0, 5 0, 1
y u y tt + u tt = yt ut 0, 5 y +1 0 0 + 0 = 0, 1 0, 3 y
0 0 0, 1 0, 3 0, 2 0, 3 0 0, 1 0, 2 0, 3
0
y y tt 1
0+ 2
2
0+ 2
y3t
0+ 2
=
=
0, 5 0, 1 00, 5 0, 1
1
0
1
0+ 1
2
0
2
0+ 1
3
0
3
0+ 1
∗
1
∗
2
0
y3
∗
0
y u t t y t + u t = yt ut 0, 25 0 0, 5 0 0, 3 0, 1 + 0 = 0, 06
0 0 0, 1 0, 3 0, 2 0, 3 0 0, 1 0, 2 0, 3
0
1
0+ 1
1
0+
2
2
0+ 1
2
0+
2
3
0+ 1
3
0+
2
0
0
0, 02
que van proporcionando la primera columna de las matrices que obtenemos calculando las sucesivas potencias de la matri z de coefi cient es A1. De est e modo, t endríamos las respuest as del sist ema a sorpresas en las innovaciones del modelo VAR. Si queremos calcular las respuest as a innovaciones est ruct urales, debemos ut il izar la representación,
à ! à ! y1t y2t
=
µ1 µ2
+
1 1
−α
XÃ ∞
α21 s= 0
11
β 11 β 12 β 21 β 22
!Ã s
1
α11
α21 1
!Ã ! ε1t ε2t
s
−
s
−
y examinar la sucesión defi nida en (9.2).
11. Descomposición de la varianza Si util izamos la representación MA para obtener predicciones de l as vari ables y1, y2, t enemos,
E t yt+ n = E t
à ! y1t+ n y2t+ n
X ∞
=µ+
por lo que el err or de predicción es,
20
s= n
Φ(s)εt+ n−s
à X ∞
et (n) = yt+ n
Ã
=
− E y
t t+ n
= µ+
Φ(s)εt+ n−s
+ ... + φ11(n 1 + ... + φ21(n
−
V ar
"
e1t(n) e2t(n)
# Ã PP 2
=
σ1 σ 21 ε
ε
Φ(s)εt+ n−s
s= n
−1
cuya varianza es,
µ+
− 1)ε − 1)ε
n−1 s= 0 n−1 s= 0
! X
n−1
∞
s= 0
(φ11(0)ε1t+ n (φ21(0)ε1t+ n
!−Ã X
=
Φ(s)εt+ n−s
s= 0
) + (φ12(0)ε2t+ n 1t+ 1 ) + ( φ22(0)ε2t+ n 1t+ 1
+ ... + φ12(n 1 + ... + φ22(n
−1
−
2
2
φ11(s) + σ 2 φ21(s)2 + σ22 ε
ε
PP
n−1 s= 0 n−1 s= 0
− 1)ε − 1)ε
!
2
φ12(s) φ22(s)2
que, inevit ablemente,aumentan con el horizonte de predicción. La expresión anteri or nos permit e descomponer la vari anza del err or de predicción en dos fuentes, según t enga a ε1 o a ε2 como causa. Con ello, est amos examinando el inevitable error de predicción en cada variable a un determinado horizonte, y at ri buyéndolo a la incert idumbre acerca de la evolución fut ura en cada una de las vari ables. Es, por t ant o, una manera de hacer inferencia acerca de l as relaciones int ert emporales entre la vari ables que componen el vector y. Para ello, se expresan los componentes de cada varianza en t érminos porcentuales,
à P σ 21 ε
n−1 s= 0
φ11(s)2 σ22
V ar (e1t (n))
;
ε
P
n−1 s= 0
φ12(s)2
V ar (e1t (n))
! Ã P y
σ21 ε
n−1 s= 0
φ21(s)2 σ 22
V ar (e2t (n))
;
ε
P
n−1 s= 0
φ22(s)2
V ar (e2t (n))
!
Si una variable es pr áct icamente exógena respecto a las demás, entonces explicará casi el 100% de la varianza de su error de predicción a t odos los horizontes posibl es. Est o es lo más habit ual a hori zont es cort os, mientras que a hori zontes largos, ot ras vari ables pueden ir expli cando un ciert o porcentaj e de la vari anza del err or de predicción. La descomposición de la varianza está sujeta al mismo problema de identi fi cación que vimos ant es para lasfunciones de respuest a al i mpulso, siendo necesario int roducir alguna r est ri cción como l as consideradas en la sección anterior. Nuevamente, si la corr elación entre las innovaciones del VAR es muy pequeña, la ordenación que se haga de las variables del vector y o, lo que es lo mismo, las rest ricciones de exclusión de valores contemporáneos que se i ntroduzcan serán ir relevantes. En general, sin embargo, t ales rest ri cciones condicionan muy signifi cat ivamente la descomposición de la varianza result ant e. De hecho, con las rest ri cciones de la sección anterior, ε2 explica el 100% de la varianza del err or de predicción un período hacia adelante en la variable y2. Si, en vez de dicha rest ri cción, excluyéramos y2t de la primera ecuación, entonces ε1 explicaría el 100% de la vari anza del err or de predicción un período hacia adelante en la vari able y1. 21
=
) 2t+ 1 ) 2t+ 1
!
11.1. I dent i fi cación r ecur si va: la d escomp osici ón d e Chol esky Para eli minar la correlación cont emporánea exist ente entre las innovaciones ut de dist intas ecuaciones, podemos transformar el vector ut en un vector et mediante la t ransformación defi nida por la descomposición de Cholesky de la mat ri z de covarianzas Σ, Σ = V ar(ut ). Est a descomposición nos proporciona una mat riz triangular inferior G tal que GG = Σ. Como consecuencia, G 1ΣG 1 = I, y el sist ema VAR puede escribirse, 0
X ∞
Y t =
s
−
s= 0
e
X ³ ∞
As ut
=
0−
−
´ Xe ∞
−1
(As G) G ut
s
−
s= 0
=
As et
(11.1)
s
−
s= 0
con As = As G, et s = G 1ut s , V ar (et s ) = G 1 V ar(ut s )G 1 = I. El efect o de eit sobre Y j,t+ s viene medido por el elemento ( j,i) de la matriz proporciona la respuesta A˜s . La sucesión de dichos elementos, para 1 s dinámica de la variable Y j a una innovación en l a variable Y i . est o se conoce como función de respuesta de Y j a un impulso sorpresa en Y i . Como eit es el error de predicción un período hacia adelante en Y it , la representación MA ortogonalizada nos permit e computar el err or de predicción de Y it, m-períodos hacia adelante, 1 en el instante t m + 1, a t ravés del elemento i-ésimo en le vector m s= 0 As et s . 1 Su varianza, el elemento i-ésimo en la diagonal de m s= 0 As As , puede escribirse, K m 1 j = 1 s= 0 as (i, j ) as ( j,i) , siendo as (i, j ) el elemento (i, j ) genéri co de la matri z element A˜s . Al aumentar m, a part ir de m = 1, est a descomposición de la vari anza del err or de predicción de Y it+ m entre las k variables del vector Y t se conoce como descomposición de la varianza de Y it. Proporciona una est imación de l a relevancia de cada vari able del sistema para explicar los err ores de predicción de las fl uct uaciones fut uras en Y it. −
−
−
−
−
−
0
−
≤ ≤∞
P e P ee −
−
P P e e −
e
−
0
−
12. Ejercicios • Considere el modelo est ruct ural recursivo,
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t 1 + α13y2t y2t = α20 + α22y1t 1 + α23y2t 1 + ε2t
−1
−
−
+ ε1t
−
donde y1t afecta a y2t sólo con ciert o ret raso. Note que est e modelo permit e identi fi car el t érmino de error ε2t a part ir de l as observaciones de la vari able 22
y2t . Pruebe que este modelo está exactamente identi fi cado, en el sentido de que t odos sus coefi cientes, así como las vari anzas de los dos t érminos de err or pueden recuperarse a part ir de la est imación del modelo VAR(1) en est as dos vari ables. β 10 = α10 + α11α20; β 11 = α12 + α11α22; β 12 = α13 + α11α23; β 20 = α20; β 21 = α22; β 22 = α23; σ 2u1
= σ 2 + α211σ 2 ; σ 2u = σ2 ; σ u ε1
ε2
2
ε2
1
,u2
= α11σ 2 ; ε2
sist ema quepuede resolverse para obtener los 9 parámet ros del modelo est ructural recursivo. Muest re que en est e modelo, no sólo se pueden recuperar est imaciones de t odos los parámet ros que aparecen en el modelo estructural, sino t ambién las series t emporales de los t érminos de error ε1t y ε2t .
23
13. Apéndice 13.1. Las innovaciones de un modelo estructural deben estar incorrelacionadas ent r e sí. De hecho, si dicha covari anza no fuese nula, podríamos t ransformar el modelo del siguiente modo: proyect aríamos uno de los dos errores, ε2t, por ejemplo, sobre ε1t , ε2t = ρε1t + at
ˆt, defi nido por ˆat = ε2t ρˆε1t , est aría incorrelacionado, t eniendo queel residuo a por const rucción, con ε1t . Si representamos el modelo est ruct ural en forma matricial,
−
Ã
1
−α
21
−α
11
1
!Ã ! Ã ! Ã !Ã ! Ã ! Ã ! y1t y2t
α10 α20
=
1
y premult iplicamos por la mat riz
y1t y2t
α12 α13 α22 α23
+
0 ρ ˆ 1
−1 −1
+
ε1t ε2t
, t endríamos,
−
y1t = α10 + α11y2t + α12y1t 1 + α13y2t 1 + ε1t (1 + ρˆα11)y2t = (α20 ρˆα10) + (ˆρ + α21)y1t + (α22 ρˆα12)y1t −
−
−
−
−1
+ (α23
− ρˆα
)y2t
13
un modelo VAR en el que, una vez despejáramos y2t en la segunda ecuación, ˆt) = 0. Siempre debemos estar sería indist inguibl e del modelo (3.1) con Cov(ε1t , a considerando esta últi ma representación con errores ortogonali zados, por lo que la condición de ausencia de correlación entre los errores de las distintas ecuaciones en el modelo VAR estructural debe sati sfacerse siempre. 13.2. Er r at a en Enders, p ágin a 299,
" # i X X − Ã − − − h −³ ´ih − ³ ´i − h
V ar(Y t ) = E (Y t
µ)
i
= E
A1ut
i
−
i= 0
V ar(Y t) = (I 2 con M = 1
2
∞
2
A21i (V ar(ut i )) = (I k
=
i= 0
1 A21) 1Σ = M −
β 21β 12 + β 211
∞
1
−
β 21β 12 + β 222 (β 11 + β 22)β 12 (β 11 + β 22)β 21 β 21β 12 + β 211 β 21β 12 + β 222
24
2 1
−A )
!
(β 11 + β 22)2β 12β 21.
−1
Σ
(13.1) at 1 + ˆ
−