MODUL PERKULIAHAN PERKULIAHAN
Matematika III
(PD biasa orde 1 pada masalah masalah perubahan laju dan pertumbuhan populasi) Model Matematika untuk menyelesaikan permasalahan nyata (perubahan laju dan pertumbuhan populasi)
Fakultas
Program Studi
Fakultas Teknik
Teknik Sipil
Tatap Muka
"#
Kode MK MK
Disusu Ole!
MK$$"%#
Handaru Tampiko, Ir, MSc
A&stra't
Kompetesi
Masalah yang utama dalam apli aplika kasi si pers persam amaa aan n dife difere rens nsia iall adalah bagaimana membuat model dari permasalahan yang ada kemudian menyelasaikan pers persam amaa aan n dife diferen rensi sial al ters terseb ebut ut.. Pada Pada modu modull ini ini akan akan dipe dipela laja jari ri bagaimana membuat model matematika dari suatu perm permas asal alah ahan an yang ang berk berkai aittan deng dengan an laju laju dan dan pert pertum umbu buha han n populasi
Agar Mahasiswa dapat : 1. Membuat Membuat Model matematika matematika . Menyelesaik Menyelesaikan an permasalaha permasalahan n nyata yang berkaitan dengan perubahan laju dan pertumbuhan populasi
I.
Perubahan laju dan pertumbuhan populasi
Dalam menyelesaikan persamaan deferensial! kita berusaha menemukan fungsi yang tidak diketahui itu dengan menggunakan metode"metode tertentu. Pada kasus yang paling
sederhana! biasanya penyelesaian itu bisa ditentukan dengan menggunakan kalkulus sederhana. Misalnya jika suatu populasi dari organisme tertentu mengalami
pertumbuhan
dengan laju y#$dy%d& (& $ waktu) yang sama dengan besarn ya populasi pada saat itu! yaitu y(&)! maka model populasi itu adalah y’= y, yang merupakan suatu 'ontoh paling sederhana dari persamaan deferensial!. Dari pelajaran kalkulus kita mengenal bahwa fungsi eksponensial y = e x (atau lebih umumnya y $ 'e&) mempunyai sifat y’= y.
Dengan demikian fungsi y(&) $ e& (atau lebih umumnya y $ 'e&) merupakan suatu selesaian atau solusi dari model populasi tersebut. Dalam fisika! jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi! maka per'epatannya! yaitu y” = d 2 y/dx 2 ! sama dengan per'epatan graitasi g (konstan). adi model dari benda yang jatuh bebas adalah y* $ g (di sini dianggap bahwa gesekan udara tidak berpengaruh). Dengan pengintegralan akan diperoleh ke'epatan y’ = dy/dx = gx+v 0 ! di mana + menyatakan ke'epatan awal. Dengan pengintegralan
sekali lagi akan diperoleh jarak yang ditempuh oleh benda yaitu y = ½gx 2 +v 0 x+y 0 , di mana y+ menyatakan jarak awal dari titik +. ,e'ara umum langkah"langkah untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial adalah : 1. Membentuk model matematis dari permasalahan . Menentukan solusi umum -. Menggunakan kondisi awal untuk menentukan solusi khusus . Menggunakan informasi selanjutnya /. Pemeriksaan hasil yang diperoleh II. Beberapa Contoh
0ntuk lebih memahami perhatikan 'ontoh"'ontoh berikut : Contoh 1 :
anyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hari ada 1+.+++. ,etelah jam banyaknya menjadi +.+++. erapa banyak bakteri pada pukul 12.++3
Jawab :
Misalkan persmaan diferensial dari masalah tersebut adalah dy/dt = ky . ,ehingga y $ y oekt . Ada hal yang diketahui yaitu yo $ 1+.+++ dan y $ +.+++ pada t $ . ,ehingga dapat dibuat model matematisnya +.+++ $ 1+.+++et() atau $ e k Dengan pengambilan logaritma menjadi ln $ k atau k $ 4 ln $ ln 1% $ ln 5 +!67 jadi y $ 1+.+++e+!67-t dan untuk t $ / diperoleh y $ 1+.+++e+!67-(/) 5 -+.+++ Contoh 2 :
,ebuah bola baja mula"mula berada pada temperatur 1++ o8. ,elanjutnya bola baja tsb. didinginkan dengan jalan men'elupkannya ke dalam air yang mempunyai temperatur -+ o8. ,etelah di'elupkan selama / menit temperatur bola baja turun menjadi 9+ o8. erapa menit waktu yang dibutuhkan agar temperatur bola turun menjadi 6+ o8 3 Petunjuk : ukum pendinginan ;ewton menyatakan bahwa
Pernyataan
( = > =a)
∝
=anda sebanding dapat diganti dengan tanda
dT dt
$ k( = > = a)
=(+) $ 1++ o8 dan =(/) $ 9+ o8. ?arena =a $ -+ o8! maka persamaan differensial menjadi : dT dt
ln
T
$ k( = > -+)
→
− -+ $ kt @ ' 1
→
dT T − -+
$ k dt
= > -+ $ e(kt @ '1) $ ' e(kt)
= $ e(kt @ '1) $ ' e(kt) @ -+ =(+) $ 1++ $ ' @ -+
→
' $ 2+
Masukkan nilai ' didapat : =(t) $ 2+ e(kt) @ -+ Menghitung nilai k : 9+ $ 2+ e(/k) @ -+ →
k $ "+!+62-
Masukkan nilai k didapat : =(t) $ 2+ e("+!+62-t) @ -+ Menghitung nilai t agar = $ 6+ o8 6+ $ 2+ e("+!+62- t) @ -+ t $ 1!/7 menit adi waktu yang dibutuhkan (t) agar = $ 6+ o8 adalah 1!/7 menit. Contoh 3 :
,ebuah tangki mula"mula berisi 1+ galon air asin! larutan itu mengandung 2/ pon garam larut. Air garam yang berisi 1! pon garam per galon memasuki tangki pada laju galon per menit dan air asin mengalir keluar pada laju yang sama. ika 'ampuran itu diprtahankan agar seragam dengan 'ara tetap mengaduknya! tentukan banyak garam dalam tangki setelah 1 jam. Penyelasaian : Andaikan banyaknya garam dalam pon yang ada dalam tangki pada akhir t menit. Dari air asin yang mengalir masuk! tangki mendapat tambahan ! pon garam per manitB dari yang mengalir keluar kehilangan %1+ pon per menit. Dari hal tersebut dapat dibuat dQ/dt $ ! > 1%6+ ! dengan syarat $ 2/ saat t $+
hal ini setara dengan dQ/dt @ 1%6+ $ ! gunakan faktor integrasi et%6+! sehingga d%dtC et%6+ $ ! e t%6+ disimpulkan bahwa : et%6+ $ ʃ ! et%6+ dt $ (6+)(!) et%6+ @ ' ,ubstitusikan $ 2/ saat t $ + menghasilkan ' $ "67! sehingga $ e "t%6+ C 1 et%6+ > 67 $ 1 " 67 e
"t%6+
,etelah satu jam ( t $ 6+)! maka $ 1 > 67e "1 5 119!6 pon Contoh 4 :
0ang sejumlah Ep /.+++.+++ diinestasikan dengan bunga 9 F tiap tahun! bertambah se'ara kontinu. erapa jumlah uang itu sesudah / tahun3 Jawab :
Ambil y(t) sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju pertambahan perubahan jumlah uang pada saat t diberikan oleh :
elaslah bahwa persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah. ,ehingga : y(t) $ y(+) e(9%1++)t ?arena y(+) $ /.+++.+++ (modal awal)! kita perolehlah : y(/) $ /.+++.+++ e(9%1++)/ $ Ep.-6.7/.9+!7 Contoh 5 :
,egelas air pada suhu /++8! ditelakkan pada freeGer (ruang pembekuan)dan air akan kehilangan panas karena perbedaan temperature antara suhu air dan freeGer. ,uhu freeGer adalah "-+8 dan dijaga konstant. ,etelah 1 jam suhu air menjadi /+8. Pertanyaan: berapa lama setelah kita letakkan air di dalam freeGer suhunya akan menjadi ++8. awab:,uhu freeGer(=H $ "-+8) dT dt dT dt dT dt
= −γ (T − T ∞ ) = −γ (T − (−5)) = −γ (T + 5)
dT (T + 5) dT
= −γ dt
∫ (T + 5) = ∫ −
γ dt
mis : u $ =@/ du $ d=
∫
du
= −γ ∫ dt
u
ln(u )
= −γ t + C
−γ t + C
=e u = e C e − t u = ke− t T = ke − t − 5 u
γ
γ
γ
pada saat t$+! =$/++8 T = ke −γ t − 5 50 = ke 0 − 5
k = 55 T = 55e −γ t − 5
?ondisi yang diketahui adalah setelah 1 jam suhu benda menjadi /+8. ?ondisi ini diketahui untuk men'ari nilai . 5 = 55e
− γ (1)
−5
= 55e − 10 = −γ ln 55 − γ = −1.705 T = 55e −1.705t − 5
10
γ
waktu yang dibutuhkan untuk T = 0;
= 55e −1.705(t ) − 5 t = 1,4 jam = 84 menit 0
Contoh 6 :
?ita panaskan air sampai suhu 1++ 8elsius! kemudian kompor dimatikan. eberapa saat setelah itu! teman kita masuk ke dapur dan mengukur temperatur air sudah menjadi 9+ 'el'ius. 1+ menit setelah itu! kita datang ke dapur dan mengukur temperatur air sudah 2/ 8el'ius. =emperatur udara dapur adalah + 8el'ius dan konstan. Pertanyaan: berapa banyak waktu yang terlewatkan antara kompor dimatikan dan ketika kawan kita mengukur temperatur air 3 Jawab :
?ondisi awal =(+)$1++ 'el'ius Temperatur udara (T∞)=20 cel dT
= −γ (T − T ∞ )
dt dT
= −γ (T − 20)
dt
−
1
∞(T − 20) 1
dT
= dt
1
−
dT = ∫ dt ∞ ∫ (T − 20)
T
= ke − t + 20 γ
masukkan kondisi awal T (0) 100
= 100
= ke 0 + 20
k = 80 T (t )
= 80ke − t + 20 γ
Untuk menentukan kita unakan kondisi! "ada saat ka#an kita menukur tempearture didapaur denan #aktu $an tidak diketa%ui, T((t)=&0 celcius T ( ∆t ) = 80e −γ ∆t + 20 80 = 80e −γ ∆t + 20 60 80
= e −γ t
(a)
'0 menit setela% ka#an kita masuk (delta t '0), temperature air adala% * celcius
T ( ∆t + 10) = 80e −γ ∆t +10 + 20 75 = 80 e −γ ( ∆t +10) + 20 55 = e −γ ∆t e −γ 10 80 masukkan ( a ) kedalam pers.diatas 55 80
=
60
e −γ 10
80 γ = 0.0087
+adi persamaan $an lenkapn$a adala% T (t )
= 80 e −0.0087 t + 20
Untuk mencari #aktu $an terle#atkan se#aktu kita mematikan kompor dan teman menukut temperatur air &0 celcius adala% unakaan persa denan nilai =000& 60
= e − 0.0087 t
80 t = 33,1 menit
Contoh 7 :
0nsur karbon radio aktif murni 681 meluluh dengan laju yang sebanding dengan banyak Gat itu pada suatu saat. ,etengah umurnya adalah //2+ tahun! artinya Gat tersebut memerlukan waktu //2+ tahun untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada awal ada 1+ gram! berapakah sisanya setelah +++ tahun3 Jawab :
,etengah umur //2+ memungkinkan kita untuk menentukan k! sebab 4 $ 1 ek(//2+) atau
> ln $ //2+k k $ "ln % //2+ 5 " +!+++1
jadi y $ 1+e"+!+++1t Pada saat t $ +++! diperoleh y $ 1+e"+!+++1(+++) 5 2!9+ gr Iatihan soal 1. ,ebuah tangki berisi + galon suatu larutan! dengan 1+ pon bahan kimia A dalam larutan itu. Pada suatu saat tertentu! mulai dituang suatu larutan yang mengandung bahan kimia yang sama! dengan konsentrasi pon per galon. Iaju penuangan adalah - galon per manit dan se'ara bersamaan mengalirkan ke luar larutan hasil (diaduk dengan baik) pada laju yang sama. =entukan banyaknya bahan kimia A dalam tangki setelah + menit.
)$ *
&
Matematika III
Jr.andaru =ampiko! M,'
Pusat +a!a A,ar da eLearig http:%%www.mer'ubuana.a'.id
. ,uatu kelompok bakteri bertumbuh dengan laju yang sebanding dengan besarnya kelompok itu. Pada awalnya terdapat 1+.+++ dan setelah 1+ hari menjadi .+++ bakteri. erapa banyak bakteri setelah / hari3 -. ,etengah umur suatu radioaktif diketahui adalah 91+ tahun. Apabila ada 1+ gram! berapa sisa Gat itu setelah -++ tahun3 . ,eseorang menyimpan uang di bank sebanyak K/++ yang memberikan bunga majemuk tiap harinya sebesar 1-F. erapa banyak uang itu pada akhir tahun3 Daftar Pustaka 1. Lrank. Ayres .E.!Kalkulus Diferensial dan Integral ! rlangga! akarta! ++. . ?reyGig! rwin. (177-). Matematika Teknik Lanjutan . disi ke"6! akarta: rlangga -. Pur'ell!dwin .! Kalkulus jilid II ! rlangga! akarta! ++-
)$ *
-
Matematika III
Jr.andaru =ampiko! M,'
Pusat +a!a A,ar da eLearig http:%%www.mer'ubuana.a'.id
