Modul Integral

Disusun Oleh :

2

MODUL INTEGRAL

Sekilas Info

Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866. Sumber : Calculus and Geometry Analtic.

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu



Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana



Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

Modul Integral Disusun oleh oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

2

MODUL INTEGRAL

Sekilas Info

Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866. Sumber : Calculus and Geometry Analtic.

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu



Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana



Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar


3

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji hanya milik Allah Robb sekalian alam, atas ni’mat-Nya ni’ mat-Nya sehingga modul modul integral ini dapat disusun,

sebagai bahan ajar untuk tingkat SMA/MA.

Modul ini mengacu pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Harapann ya semoga modul ini dapat dijadikan salah satu refrensi sumber berlajar yang berbobot. Namun demikian, karena dinamika inovasi pembelajaran terus berkembang, maka senantiasa kami minta masukan sebagai bahan perbaikan supaya modul ini menjadi relavan sebagai sumber belajar. Penyelesaian modul ini banyak dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, oleh sebab itu kami ucapkan terima kasih dan penghargaan kepada semuah pihak yang telah memberikan dukungan dalam penyusunan modul ini. Kami menyadari modul i ni masih banyak kekurangan dan kekeliruan, kritik dan saran mohon disampaikan ke alamat yang tercantum pada modul ini. Demikian, semoga modul ini dapat dapat bermanfaat bagi kita semua, amin.

Samarinda Maret 2013 Penyusun


4 DAFTAR ISI

Halaman Judul ........................ ............................................... ............................................. ............................................ ............................................. ........................... ....

2

Kata Pengantar ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. .............................. .......

3

Daftar Isi .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ......................................... ...................

4

BAB I : Pendahuluan

A. Deskripsi ............................................ .................................................................. ............................................ ...................................... ................

4

B. Prasyarat ......................................... ............................................................... ............................................. .......................................... ...................

4

C. Petunjuk Penggunaan Modul ............................................ ................................................................... .............................. .......

4

BAB II : PEMBELAJARAN PEMBELAJARAN

A. Kegiatan Belajar 1 A.1 Tujuan Pembelajaran 1 ................................................... .......................................................................... .......................

6

A.2 Integral Tak Tentu .......................................... ................................................................. ...................................... ...............

6

A.3 Integral Tentu ..................................... ........................................................... ............................................. .............................. ....... 22 C. Rangkuman Rangkuman 1 ............................................. ................................................................... ............................................ .............................. ........ 25 D. Tugas 1 ............................................... ..................................................................... ............................................ ...................................... ................ 25 E. Kegiatan Belajar 2 E.1 Tujuan Pembelajaran 2 ................................................ ....................................................................... ........................... .... 26 E. 2 Luas Daerah ............................................ ................................................................... ............................................. ...................... 26 E.3 Volume Benda Benda Berputar .............................................. ..................................................................... ........................... .... 34 F. Rangkuman 2 ...................................... ............................................................ ............................................ ...................................... ................ 39 G. Tugas 2 ............................................... ..................................................................... ............................................ ...................................... ................ 39 BAB III : Tes Formatif ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 42


5 BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri, menghitung integral dengan metode subtitusi dan integral parsial, menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat. B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai konsep diffrensial fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta siswa mampu menggambar grafik suatu fungsi pada bidang koordinat. C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

kemudian

tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

BAB II Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

6

PEMBELAJARAN

A. Kegiatan Belajar 1 A.1. Tujuan pembelajaran

a. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi konstan. b. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi aljabar seder hana c. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri d. Siswa dapat menentukan integral tak tentu dengan metode subtitusi e. Siswa dapat menentukan integral tak tentu dengan metode parsial f.

Siswa dapat menentukan integral tentu fungsi aljabar

g. Siswa dapat menentukan integral tentu fungsi trigonometri A.2. Integral tak tentu a. Defnisi

Integral tak tentu :

 f ( x)dx  F ( x)  C  F ' ( x)  f ( x) , dimana c adalah

konstanta b. Teorema Pengintegralan Teorema 1

Jika k merupakan suatu konstanta maka

 k dx  kx  C ;

C = konstanta

Contoh 1.1

1.

 5 dx  5 x  C

2.

2

3.

 dx  x  C

4.

 y dx  yx  C



dx  2 x  C

Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

7

Teorema 2

Jika n merupakan bilangan rasional dan n  - 1, maka dimana



x dx  n

1

x n 1

n 1

 C ,

C = Konstanta

Contoh 1.2:

1. Tentukan

 x

5

dx

Penyelesaian



1

x 51  C 5 1 1  x 6  C 6

x 5 dx 

2. Tentukan



4

3

x dx

Penyelesaian



4

3



x dx  x dx 3



4

3

1

x 4 1

3 4

1

 C

7

1

 7 x 4  C 4

4

 x .4 x 3  C 7

3. Tentukan



x 3

x

4



dx  x

1

4 3

dx

Penyelesaian



x 3

x 4



dx  x

1

4 3

dx


8

  x 



1 3

dx 1

1

x  1

 1 3

1 3

 C

2

1

 2 x 3  C 3



33 2

x 2  C

Teorema 3

Jika f ( x) adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan k adalah konstanta maka

 k . f ( x) dx  k  f ( x)

Contoh 1.3 :

1. Tentukan

 3t

3

dt

Penyelesaian

 3t

3



dt  3 t dt 3

 1 3  1   3 t  C   3  1  3

 t 4  C 4

2. Tentukan

5

2

x 3 dx

Penyelesaian 5

2

x dx  3

5

x 2

3 2

dx


9 5  1

1    3 x 2  C  2  2  1  5  5  2 2   x  C  2  5   x 2 x  C 3

Teorema 4

Jika f ( x) dan g ( x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x) dx   g ( x) dx Contoh 1.4:

1. Tentukan

  x

2

 2 x  1dx

Penyelesaian

  x

2

 2 x  1dx   x 2 dx   2 x dx   dx 1

2

3 1

2

 x 3  c1  x 2  c2  x  c3  x 3  x 2  x  C ; c1  c2  c3  C 3

2. Tentukan



x  1 x 2

dx

Penyelesaian



x  1 x 2

 x 1    x 2  x 2 dx

dx  


10



x x

2



dx 

1

 x

dx

2

3

  x 2 dx   x  2 dx 

3

1

x  32  1 

 1 2



1

x  2 1

 21

 C

1

 2 x 2  x 1  C 2 1    C x

x

 2 x  4 dx 2

2. Tentukan

Penyelesaian

 2 x  4 dx   4 x 2

2

 16 x  16dx

4

16

3 4

2

 x 3 

x 2  16 x  C

 x 3  8 x 2  16 x  C 3

Teorema 5 Teknik Integral subtitusi

Jika u( x) suatu fungsi yang dapat didifrensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka

r  u x .nu' ( x)dx 

n r  1

u xr 1  C

dimana C adalah konstanta

dan r  - 1.

Contoh 1.5 :

1. Tentukan







8

6 x 2 x 3  4 dx

Penyelesaian


11 dimisalkan : u x   x 3  4  du  3 x 2 dx

du

 3 x 2

dx

 2du  6 x 2 dx

Sehingga :







8

6 x x  4 dx  2

3

  x

3

8

 4 6 x 2 dx

  u 8 .2du  2 u 8 du  1   2 u 9  C   9  

2. Tentukan

2 9

 x

3

 4   C 9

2   x  1 x  2 x  9

2

dx

Peneyelesaian dimisalkan : du

u ( x)  x 2  2 x  9  1

du  (2 x  2)dx 

 2 x  2

dx 2

du  ( x  1)dx

sehingga 2    1   2 x  9 x x 

2



dx  u 2



1 2

1

u 2

2

du du

1  1    u 3  C  2  3  1

 u 3  C 

6 1 6

 x

2

 2 x  9  C 3


12

3. Tentukan

1

 x  x  2

3

dx

Penyelesaian 3

1   2 2  dx dx x x 2   3    x  x  2   

1





1

dimisalkan : 1

u x   x  2  2

du 

1 2



du dx

1

 x



1 2

2

1



1

 2du  x 2 dx

2

x dx

Sehingga



3

1   2 2  dx dx x x 2   3    x  x  2  

1



1

  u 3 2du  2 u 3 du  1   2  u  2  C   2   12    x  2    

4. Tentukan



10  4 x 3

2

1

 x  2 

2

 C  C

dx

 x  2 x  3

Penyelesaian



10  4 x 3

 x  2 x  3

dx 

10  4 x

  x 3

2

 5 x  6

dx 

1

  10  4 x  x  5 x  6 3 dx 2


13 dimisalkan : u x   x 2  5 x  6 du

 2 x  5 dx  2du  (4 x  10)dx

Sehingga 

1

 10  4 x x  5 x  6 3 dx   2

 2du 1

u3 

1

 2 u 3 du  3 23   2 u  C   2  2

 3 x  5 x  63  C 2

 3 3  x 2  5 x  6  C 2

Teorema 6a Teknik Integral Parsial

Jika u( x) dan v( x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka

 u dv  uv   v du

Contoh 1.6a :

1. Tentukan



x 5 x  7

dx

Penyelesaian dimisalkan : u  x

 du  dx

dv  5 x  7 





1 2

v  dv  v 

dx 

 5 x  7

1 2

dx


14 1  1  1 5 x  7 2  1  C    1 5   2  1  1 1    25 x  7  2  C  5  

2

1

 5 x  7  2  C 5

Sehingga x



5 x  7



dx  udv

 uv   v du 1 1 2  2   x 5 x  7  2  c1    5 x  7  2 dx  5  5 1 3  2 x 2  1 2 5 x  7  2  c1     5 x  7  2   c2   5 5  5  3  

    

2 x

1

5 x  7  2  c1 

5 2

4 75

3

5 x  7  2  c2

2  5 x  7   C ; c1  c 2  C  15   10 x  14  5 x  7  x   C  15   15 x  10 x  14  5 x  7   C  15   5 x  7  x 

5 2 5 2 5 2

5 x  14

75

5 x  7  C



2. Tentukan x 7 x  8 dx Penyelesaian Misalkan : u  x

 du  dx 1

dv  7 x  8 2 dx v

1

 7 x  82 dx 1  2

   7 x  8 2   C 7  3  

2 21

3

3

7 x  8 2  C Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

15 Sehingga

 x



7 x  8 dx  udv

 uv   vdu 3 3 2  2   x 7 x  8 2  c1    7 x  8 2 dx  21  21 3 5 2 x 2  1 2   2  c  7 x  8 2  c1        7 x 8  2  21 21  7  5   3 2 2    7 x  8 2  x  7 x  8  C ; c1  c2  C 21  35  3 2  35 x  14 x  16   7 x  8 2    C 21 35 

 3.

 2 x  5

2 735

7 x  83 21 x  16  C

5 x  2 dx

Penyelesaian dimisalkan : u  2 x  5 

du  2dx

1

dv  5 x  2 2 dx v

1

 5 x  2 2 dx

3 1  2    5 x  2 2  c  5  3 



 2 x  5

2 15

3

5 x  2 2  c





5 x  2 dx  udv  uv  vdu 3 3  2   2   2 x  5 5 x  2 2  c1     5 x  2 2  2 dx  15   15  3 5 2 4  1  2   2  2 x  55 x  2  c1    5 x  2 2  c2   15 15  5  5   3 2 2    5 x  2 2 2 x  5  5 x  2  C 15 25   3 2  50 x  125  10 x  4   5 x  2 2    C 15 25  



2 375

3

40 x  1215 x  2 2  C


16

Teorema 6b Teknik Integral Parsial

Jika u( x) dan v( x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka

 u dv

dapat diintegralkan dengan metode : u( x)

dv

(fungsi u( x)didiffrensialkan)

(fungsi dv diintegralkan)

....................... ....................... ....................... ....................... 0

....................... + ....................... – ....................... + ....................... – ....................... dst

Contoh 1.6b

1. Tentukan

xdx



2 x  1

dx

Penyelesaian



xdx



2 x  1

1

  x2 x  1 2 dx   udv

dimisalkan :

u  x 

dv  2 x  1

x

1 2

dx 1

2 x  1 2 dx

(didifrensialkan)

(diintegralkan)

2 x  1  c

1 1

0



xdx 2 x  1

3

2 x  1

+

2 x  1  c –

1

 x 2 x  1  2 x  1 2 x  1  C 3

 1   2 x  1 x  2 x  1  C  3  1

  x  1 2 x  1  C 3


17 2. Tentukan

  x

2

 6 3 x  5dx   udv

Penyelesaian

 x

2

 6

3 x  5 dx 2

2 x

9 4

2

135 8

0

  x

2

 6 3 x  5dx 

2 9

3

3 x  5 2  c

2835

 x

2

5

3 x  5 2  c 7

3 x  5 2  c

3

 63 x  5 2 

8 x 135

16

5

3 x  5 2 

2835

7

3 x  5 2  C

4 x 8  9 x 2  30 x  25  C  3 x  5 2  x 2  6  3 x  5  9 15 315   3  2 315 x 2  1890  252 x 2  420 x  72 x 2  240 x  200    C  3 x  5 2  9 315   2



3

2 2835

135 x

2

3

 432 x  2090 3 x  5 2  C


18 Teorema 7

Teknik Integral Fungsi Trigonometri 1. 2. 3.

 cos x dx  sin x  C  sin x dx   cos x  C  sec x dx  tan x  C 2

1

4.

 sin U ( x) dx   U ' ( x) cos U ( x)  c

5.

 cos U ( x) dx  U ' ( x) sin U ( x)  c

6.

 sin

7.



8.



1

2

U ( x ) dx 



1  cos 2U ( x ) 

dx 2 cos 2U ( x )   1 cos 2 U ( x )dx  dx 2 1 sec 2 U ( x ) dx  tan U ( x )  c U ' ( x )



 cot x. cos ec x dx   cos ec x  C 10.  tan x . sec x dx  sec x  C 11.  cos ec x dx   cot x  C 9.

2

12.



sin n x dx  

1 n

sin n 1 x. cos x 

1

n 1

n n 1

 sin

n2

x dx

 cos x dx  n cos x. sin x  n  cos x dx . 14.  2 sin A( x ) sin B ( x ) dx   cos A( x )  B ( x )   cos A( x )  B ( x )  15.  2 sin A( x ) cos B ( x ) dx   sin  A( x )  B ( x )   sin  A( x )  B ( x )  16.  2 cos A( x ) sin B ( x ) dx   sin  A( x )  B ( x )   sin  A( x )  B ( x )  17.  2 cos A( x ) cos B ( x ) dx   cos A( x )  B ( x )   cos  A( x )  B ( x )  13.

n

n 1

n2

Contoh 1.7 :

1. Tentukan

 x





 sin 6  6 dx

Penyelesaian



 x    dx   sin U ( x)dx  6 6 

sin


19

dimisalkan : 1  x      U '  dx 6  6 6 

U   maka :



sinU ( x)dx  

1

cos U ( x)  C U ' 1  x     1 cos    C  6 6  6

 x    6 cos    C  6 6  2. Tentukan

 cos

2

xdx

Penyelesaian

 cos

2

xdx 



cos 2 x  1 2

 1 1      cos 2 x dx  2 2  1

1 1

 x  . sin 2 x  C 

3. Tentukan

2 2 2 2 x  sin 2 x 4

 sin

5

 C

x cos x dx

Penyelesaian dimisalkan:

u  sin x du  cos x dx

maka :

 sin x cos x dx   u du 5

5

1

 u 6  C 6 1

 sin 6 x  C 6


20

4. Tentukan

sin x. cos x

 1  sin x

2

2

dx

Penyelesaian sin x. cos x

 1  sin x

dx 

2

2

2

2  sin x cos x1  sin x 

dx

dimisalkan : u  1  sin 2 x du  2 sin x cos x dx 1 2

du  sin x. cos x dx

maka : 2   sin cos 1 sin   x x x  

2

dx 



1 2 1 2



5. Tentukan



u

2

 1u    C  1

1



2 1  sin 2 x



 C

 sin x dx  3

Penyelesaian

 sin x dx   sin 3

2

x sin x 

 1  cos x sin x 2

Misalkan : u  cos x du   sin x dx

 du  sin x dx





 1  cos xsin x   1  u du

sin3 x dx  sin 2 x sin x 

2

2

 1    u  u 3   C  3  1

 cos3 x  cos x  C 3


21

6. Tentukan



sin x x

dx

Penyelesaian dimisalkan : 1

u  x du 

1 2

 u  x 2 

1 2

x

dx 

dx  2 x du

2du 

1 x

dx

 dx  2u.du

maka :



sin x x

dx 



sin u u

2udu

  2 sin u du  2 cos u   C  2 cos x  C


22 A. 2

Integral Tentu a. Definisi :

Integral tentu :

Teorema yang digunakan untuk menghitung integral tentu sama teorema yang pada integral tak tentu di atas. Contoh 1.8 : 5

1. Tentukan nilai

 3 dx

1

Penyelesaian 5

 3 dx  3x

5

1

1

 3(5)  3(1)  18

4

2. Tentukan nilai



3 x 3  2 x  4 x 3

1

dx

Penyelesaian 4

 1

3 x 3  2 x  4

x

3

4



2 3 dx  (3  2 x  4 x )dx 1

4

2  3 x   2  x x 1 2

2 2     3(4)     31  2  2 4 16   1 1    12     3 2 8   72  4  1  8



75 8

9

3 8


23 2

3. Tentukan nilai dari

2 2 x 4 x      4 x  8 

3

dx

1

Penyelesaian 2

2  2 x  4 x  4 x  8

3

dx

1

dimisalkan :

u  x 2  4 x  8  du  (2 x  4)dx 2

 2 x  4 x

2

2

 4 x  8 dx   u 3 du 3

1

1

2

   x  4 x  8  4 1 1

4

2

1

1

4

4

 4  8  84  1  4  84  64   

81

4 256  81 4

175 4

 43

3 4



2


3    2 sin x cos x dx  0

Penyelesaian 

2

 2  sin x

3

cos x dx

0

dimisalkan:

u  2  sin x

 du   cos x dx

 du  cos x dx  

2

2

 2  sin x cos x dx   u du 3

3

0

0 

1 42   2  sin x   4 0 1

1

4 15

4

4 4   2  1  2  0



4 Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

24 

 x cos x dx


0

Penyelesaian 

 x cos x dx 0

x

cos x dx

1

sin x

0

– cos x



 x cos x dx  x sin x  cos x



0

0

  sin   cos    0 sin 0  cos 0  1  1  2 

4

6. Tentukan nilai

 sin 5 x sin 4 x dx 0

Penyelesaian 



4

4



sin 5 x sin 4 x dx 

0

1

 2 cos5 x  4 x  cos5 x  4 xdx 0





1 2

4

 cos x  cos 9 x dx 0 

1  1  4   sin x  sin 9 x  2  9  0 1   1  9   1  1    sin   sin     sin 0  sin 0  2  4 9  4   2  9  1  2 1  2        2  2 9  2   1  8 2     2  18 



2 9


25 C. Rangkuman 1

1. Teorema pengintegralan a. fungsi konstan



b. pangkat

 k dx  kx  C , k dan C adalah konstan

x dx  n

1

x n 1

n 1

 C , n bilangan rasional dan n  1

 k . f  x dx  k  f x d. penjumlahan dua fungsi   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx e. pengurangan dua fungsi   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx 1 u x  C f. Teknik integral subtitusi  u x  u '  x  dx  c. Perkalian konstan dengan fungsi

n 1

n

n 1

g. Teknik integral parsial

 u dv  u.v   v du

 cos x dx  sin x  c i.  sin x dx   cos x  c h.

b

2. Integral tentu dari fungsi f ( x) pada interval a, b adalah

 f  x dx a

D. Tugas 1

1. Tentukan integral berikut : 2



a. x 3 dx

1

 x 1  x 

d.



b. x 4 x  1 dx

 x  4

3



e.

dx

4 x 6  3 x 5  8 x 5

g.

g.

dx

 5 x 

3

c.



x

dx







f. x sin x  1 dx 2

i.



4

  dx

sin x 1  cos x

1  1  1   x 2  x 

dx 2

dx

2. Tentukan fungsi f ( x) jika diketahui a. f '  x   5 x

2



 2 x dan f 0  2

b. f '  x   x 2 3 x

2

 6 x  dan f  2  1

3. Hitunglah integral berikut : 

2

a.

 0

x

2

1

3

9  x  3

2

dx

c.

 cos x sin x dx 5

f.

0

3



2

 cos 5 x sin x dx 0

x  1 dx

0



b.

  x  2 2



d.

 4 tan 2 x sec 2 x dx 0

f.

 cos x dx 3

0


26 E. Kegiatan Belajar 2 E. 1. Tujuan Pembelajaran

1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva 2. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya 3. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap bidang koordinat dan menghitungnya

E. 2. Menghitung Luas Daerah Teorema 1 Luas daerah diatas sumbu- x

Jika daerah R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y  f  x  , sumbu- x, garis x = a dan garis x = b dengan f  x   0 dan kontinu pada selang a  x  b , maka luas daerah R adalah : b



L( R)  f  x  dx a

Contoh 1.1 :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva f  x   4  x 2 , sumbu- x garis x = 0 dan 5

garis x = 1

4

(- 1, 3) 

Penyelesaian

3



(1, 3)

2

f  x   y  4  x

      

2

x  3  y  5,   3,5 x  2  y  0,   2,0

-4

-3

(- 2, 0)

1



0

-2

-1

-1

x  1  y  3,   1,3

-2

x  0  y  4,  0,4

-3

x  1  y  3,  1,3 x  2  y  0,  2,0

(2, 0) 

0

1

2

3

4

-4

(3, - 5) 

-5



(3, - 5)

-6

x  3  y  5,  3,5


27 1

L 

 4  x dx 2

0

 4 x 

x 3 

1



3 0

 13    4(1)    0 3   3

2 3

2 Jadi luas daerahnya adalah 3 satuan luas 3

Contoh 1.2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y  5x  4 , sumbu- x, garis x = 0 dan garis x = 2 Penyelesaian y  5 x  4 22

 x  0  y  4,  (0,4)  x  1  y  9,  (1,9)  x  2  y  14,  (2,14)

20 18 16 14

2

L

(2, 14)



12

  5 x  4 dx

10 8

0

6

2

5   x 2  4 x 2 0

4

(0, 4)



2 0

 5 2   5    2  42   0  40  2   2   10  8  18

-4

-2

-2 0

2

4

-4

(- 2, - 6)



-6 -8 -10 -12 -14

Jadi luas daerahnya adalah 18 satuan luas


28

Teorema 2 Luas daerah di bawah sumbu-x

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi oleh kurva y  f  x  , sumbu- x, garis x = a dan garis x = b dengan f  x   0 dan kontinu pada selang a  x  b , maka luas daerah S adalah : b



L( s)   f  x  dx a

Contoh 2.1

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y 

1 4

x  2 , sumbu- x, garis x = 4 dan sumbu- y.

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

-2

-3

4

 1  L    x  2 dx 4  0 



4

 x 2      2 x   8  0

 4 2      2(4)   0  8   2  6 6 Jadi luas daerahnya adalah 6 satuan luas


29 Teorema 3

Jika daerah T adalah daerah yang dbatasi oleh kurva y  f  x  , sumbu- x, garis x = a dan garis x = c dengan f  x   0 pada interval a  x  b , dan f  x   0 pada interval b  x  c maka luas daerah T adalah : b

c





a

b

L(T )  f  x  dx  f  x dx

Contoh 3.1

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu- x, garis x = -3 dan x = 4 Penyelesaian 6 5 4 3 2

B

1 0 -6

-5

-4

-3

A

-2

-1

-1 0

1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5 -6

luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah A ditambah luas daerah , maka L  L B  L A 4

0

  xdx   xdx 3

0



x 2 

4

x 2 

0

  2  3  42    32      0    0  2   2   16  9      2  2  

2 0

25 2

Jadi luasnya adalah 12

1 2

satuan luas Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

30 Contoh 3.2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  6 x , sumbu- x, garis x = - 4 dan garis x = 2 Penyelesaian 18 16 14 12 10 8 6 4 2

A

0 -8

-6

-4

-2

-2

0

2

4

-4

B

-6 -8 -10 -12

L  L ( A)  L( B ) 2

0

   x  6 x dx    x 2  6 x dx 2

4

0 2

0

  x 3  x 3  2     3 x     3 x 2   3  0  3   4   2 3     43   2      32   0    0    3 42        3     3  8  36     64  144           3  3       

44



3 124

80 3

3

 41

1 3

1 Jadi luas daerahnya adalah 41 satuan luas 3 Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

31 Contoh 3.3

Hitunglah Luas daerah yang dibatasi kurva f  x   sin x, 0  x  2 dan sumbu- x Penyelesaian

L  ( A1 )  L A2  2



   sin xdx    sin xdx 0



 cos x  cos x0  cos 2  cos    cos   cos 0  1  (1)    1  1  22 4 2





Jadi luas daerahnya adalah 4 satuan luas

Teorema 4a

Jika daerah U adalah daerah tertutup yang dbatasi dua kurva yaitu y1  f  x  dan y 2  g  x  , garis x = a dan garis x = b pada interval a  x  b , maka luas daerah U adalah : b

b

b





  f  x  g  x dx

a

a

a

L(U )  f  x  dx  g  x  dx 


32 Contoh 4.1

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva f  x   4  x 2 , garis x = 0 dan garis y = 1 Penyelesaian Tentukan batas pengintegralan dengan cara mencari titik potong kedua kurva 5 4

y  4  x 2

3 2

y  1

1

0  3  x 2

0 -4

-3

x  3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

2

-2

x   3

-3 -4 -5 -6

karena daerah dibatasi oleh garis x = 0 maka batas pengintegralan yang diambil adalah x  0 dan x  3 . 3



L  y1  y 2 0 3



 4  x   1dx 2

0 3



 3  x dx 2

0

  3 x  x  3 0 1

3

3

3  1    3 3    3    0 3  

2 3 Jadi luas daerahnya adalah 4 3 satuan luas


33 Contoh 4.2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 x – 2 dan y = x2 – 5

Penyelesaian Untuk menentukan batas batas atas dan batas bawah maka kedua kurva kita eliminasi/subtitusikan seningga mendapatkan persamaan kuadrat baru. y  2 x  2 disubtitus ikan y  x 2  5  2 x  2  x 2  5

 x 2  2 x  3  0  x  1 x  3  0 Sehingga luas daerahnya adalah -4

3

  x

2

-3

 2 x  3dx

1 3

    x  3 x 3  1 x 3

2

-2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

  33    13 2 2     3  3(3)       1  3(1)  3  3     1  3  9    9  9  9     3  27  5  

3 32 3

Teorema 4b

Luas daerah antara dua kurva yang saling berpotongan f(x)

di dua titik adalah

L 

D D 6a

g(x)

2

a

b


34 Contoh 4.3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2 x + 3 Penyelesaian x  2 x  3 2

x 2  2 x  3  0 D  4  12 D  16

L 

D D

L 

16 16

L 

64

6a 2 -4

6(1) 2

-3

-2

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4

1

2

3

4

5

6

Jadi luas daerhanya adalah 10

2 3

satuan luas

E.3. Volume Benda Putar Teorema 1

Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi kurva y  f  x  , sumbu- x, garis x = a dan garis x = b dengan a  b jika daerah R diputar mengelilingi sumbu- x sejauh 360 o maka volume benda putar tersebut adalah : b



V    f  x  dx 2

a

Contoh 1.1

Hitunglah volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva f  x   4  x 2 , sumbu- x, sumbu- y diputar sejauh 360 o mengelilingi sumbu- x

Penyelesaian


35 6

2

V   4  x 2  dx



2

5 4

0

3

2

   16  8 x  x dx 2

4

2

0

1

2

 8 x 3 x 5    16 x    3 5   0 3 5         8 2 2     0   16(2)    3 5     64 32      32    3 5   

256

0 -4

-3

-2

-1

-1 0

1

2

3

4

-2 -3 -4 -5 -6



15

Contoh 1.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 sumbu- x dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu- x sejauh 3600 Penyelesaian 18 16 4

V    x 2  dx



2

14 12

0

10

4

   x dx 4

8

0

6 4

 x       5  0 5

4 2 0

 4 5       5  

256

-6

-4

-2

-2 0

2

4

6

-4 -6



5

-8 -10 -12 -14 -16

Jadi volumenya adalah 51

1 5

-18 

satuan luas


36

Teorema 2

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi kurva x  f  y  , sumbu- y, garis x = a dan garis x = b dengan a  b jika daerah S diputar mengelilingi sumbu- y sejauh 360 o maka volume benda putar tersebut adalah : b



V    f  y  dx 2

a

Contoh 2.1:

Hitunglah volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva f  x   4  x 2 , sumbu- x, sumbu- y diputar sejauh 360 o mengelilingi sumbu- y Penyelesaian Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu- y, maka fungsi y  4  x 2 diubah menjadi fungsi dengan variabel y, sehingga fungsinya menjadi y  4  x 2  x 2  4  y

 x  4  y

5 4

Sehingga volumenya 4



V  

3



2

4  y dy

2

0 4

   4  y dy

1

0

0 4

 y 2     4 y   2   0

  4       44     0  2       16  8  8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2

2

-3 -4 -5 -6

Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu- y adalah 8  satuan volume


37 Contoh 2.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2 x2 + 1, x = 1, sumbu x, dan sumbu- y diputar 3600 mengelilingi sumbu- y adalah … Penyelesaian 10

x  1  y  2 x 2  1 y  3

9 8

y  1

y  2 x 2  1  x 

7

2 6

2

 y  1   V      2  dy 0   3  y  1      dy 2   0 3

5 4 3 2

 y    y  2  2  2      3     3   0  2   2     9  6     2  2  





3

2

1 0 -3

-2

-1

0

1

2



4

Jadi volumenya adalah

3 4



satuan volume

Teorema 3

Jika daerah T dibatasi oleh kurva f  x  dan g  x  , dengan f  x   g  x  pada interval

a, b

diputar mengelilingi

sumbu- x, sejauh 360 o maka volume benda putar tersebut adalah : b

  f  x

V T   

2

  g  x  dx 2

a


3

38 Contoh 3.1

Hitunglah volume daerah yang dibatasi oleh kurva f ( x)  x  2 , Sumbu- x, sumbu- y, garis x = 2 dan y = - 1 yang diputar sejauh 360 o mengeliling sumbu- x Penyelesaian

5 4

2

  x  2

V  

2

  12 dx

3

0 2

2

0

1

    x 2  4 x  3dx 2

 x 3      2 x 2  3 x   3  0

0 -3

-2

-1

  8        8  6   0      3 

2

0

1

2

3

4

5

-1 -2 -3



3

-4

Jadi volumenya adalah

2



3

satuan volume

-5

Contoh 3.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatsi kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu- x sejauh 360o x 2  1  x  3  x 2  x  2  0

11 10

 x  2 x  1  0

9

x  2  x  1

8 7

2

V  

  x  3   x 2

2

6



 1 dx 2

5

1

4

2

3

    x 2  6 x  9  x 4  2 x 2  1dx

2 1

1

2

 x x        3 x 2  8 x  3  5  1   32 8   1 1          12  16      3  8     5 3     5 3 5

3

 33       30   5  

117 5

-4

0 -3

-2

-1

-1 0

1

2

3

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10



-11


4

39 Rangkuman 2

1. Luas daerah tertutup yang terletak b



a. di atas sumbu- x L  f  x  dx a b



b. di bawah sumbu- x L   f  x  dx a b

c





a

b

c. di atas dan di bawah sumbu- x L  f  x  dx  f  xdx b

d. di antara dua kurva L 

  f  x  g  x dx a

e. di antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik L 

D D 6a 2

2. Volume benda putar dari daerah yang dbatasi kurva dan diputar mengellingi : b



a. sumbu- x V    f  x  dx 2

a b



b. sumbu- y V    f  y  dx 2

a b

c. sumbu- x dan dibatasi kurva f ( x) dan g ( x)

  f  x

V  

2

2   g  x dx

a b

d. sumbu- y dan dibatasi kurva f ( y) dan g ( y)

  f  y 

V  

2

2   g  y  dx

a

Tugas 2

1. Gambarlah dan hitunglah luas daerah-daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut : a. y   x, sumbu- x, gars x = 0, dan garis x = 6

  3  b. f  x   sin x pada interval  , dan sumbu- x  2 2  c. f  x   x 2 dan y  x  2 d. y  sin x dan y  cos x pada interval 0, 2  e. y  2 x 2  8 x dan y  x 2  3x  4 f. y  x 3 dan y  x 2 Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

40 2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva berikut a. y  x  x 2 , sumbu- x diputar mengelilingi sumbu- x sejauh 360 o b. y  x 2 , sumbu- x dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu- x sejauh 360 o c. y  tan x , sumbu- x dan garis x 



2

diputar mengililingi sumbu- x sejauh 360 od.

d. y  x dan y  x 2 diputar mengelilingi sumbu- y sejauh 360 o. e. y  x 2 , y  x 2  1 dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu- y sejauh 360 o.


41

BAB III. TES FORMATIF

1.

2 x3  2 x5  3



2

a. x

2

b. x

2

c. x

x 1

 x 4  2 1



dx  ....

3 x

c

 x 3  3 x  c 1

2

e. x

2

 c.  x

  5 4

2

4

c

5.

3 1

 x cos x dx  .....

c

a. x cos x  sin x  c b. x sin x  cos x  c

1

3

c. xsin x  1  c

2

x

 x 4 

x

 x 2 

e.

Jawaban : D

 2 x 4   c

d. x

3

2

4 x 2  5  c

2

2

 5  c

b. 8 x

c

d. xcos x  1  c e. x sin x  c

Jawaban : A Jawaban : B 2.

 cos 2 x dx  ...... a.

6.

1

 sin 2 x  c

2 b. sin x. cos x  c c. 2 sin 2 x  c 1 d. sin x cos x  c 2 e.  2 sin 2 x  c

 5 x a. b.

Jawaban : B e.



4

3.

 2 sin x  6 cos xdx  ..... 

8

8

x 2 dx  ....

x 2 . 3 x 2  c

15 15

c. x d.

3

x 2 . 3 x 2  c

2 3

5

x 2  c

x 2 . 3 x 2  c

3 15 8

x. 3 x 2  c

Jawaban : B



2

a. 2  6 2

d.

b. 6  2 2

e.

62 2 62 2

c. 6  2 2 Jawaban : B 4.

  a.  x 1  x

  5  c  5  c 3

x x 2  5 dx  .... 2

2

8

3

d.

7.

Jika f’ ( x ) = 8 x – 2 dan f (5) = 36 maka f ( x ) adalah ……

 2 x  159 2 b. 8 x  2 x  154 2 c. 4 x  2 x  74 2 d. 4 x  2 x  54 2 e. 4 x  2 x  59 a. 8 x

2

Jawaban : D

4


2

8.



Hasil dari x  x  6dx 2

 ....

a. – 4



b.

Jawaban : D

d.

1

1 2

e. 4

2

12.

1



Hasil x 2 x a.

2

c. 0

b.

Jawaban : A c. a

9.

Jika

13

2

x dx 

3

2

0

10

b

maka

0

2

nilai dari a a. 10 b. 15 c. 20 Jawaban : D

 2ab  b 2  .... 13.

 x

 cos c 

Jika

a

b

maka



sin 2

a

x 2c

 dx  c; c  0 



1 2

c.

2

d.

b  a  c 

e.

 c

b.

1

d.

1

2 2 x  1 2 2

c

2

c









3

b.

dx  ......

a. – c

3

 sin x cos x dx  ..... a.

10.

2

Jawaban : E

d. 25 e. 30

b

2 x 2  1  c

3 2 x  1 2 d. 2 x 2  1 2 x 2  1  c 3 1 e. 2 x 2  1 2 x 2  1  c 6

,

 2 x  3dx  4 dan a > 0, b > 0,

3

 1 dx  ...

2

1 4 1 4

sin 4 x  c cos 4 x  c 1

 cos 4 x  c 4

1 3

sin 2 x  c 1

 sin 4 x  c 3

e.

2

Jawaban : A

b  a  c 

c. b  a  c 

2

14.

 1  cos xsin x dx  ... 0

Jawaban : E

a. 0

0

11.

    sin 5 x    2 dx  .... 

b.

1

c.

a. 1 b.

1 5

d.



1 5



3 2 e.

2



2

d.



1 2

Jawaban : B e. 0

c. - 1 Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

3 2

3 15.

 x

  2  a.   1 satuan luas 8     2  b.   1 satuan luas 4     2  c.   2  satuan luas 4     2  d.   4  satuan luas 2   2 e.   1 satuan luas

cos x dx  ....

2

a. x sin x  2 x cos x  2 sin x  c 2

b. x sin x  2 x cos x  2 sin x  c 2

c. x sin x  2 x cos x  2 sin x  c 2

d. x cos x  2 x cos x  2 cos x  c 2

e. x cos x  2 x cos x  2 cos x  c 2

Jawaban : A 16.

 x

4 x  1 dx  .... 3

a. 4 x  1 2 6 x  1  c b.

1 60

4 x  1 2 6 x  1  c 19. 5

c. 4 x  1 2 d. e.

Jawaban : C

3

1

y   x 2  6 x  5

c

60

4 x  1 2  c 3

b.

4 x  16 x  1 2  c

c. Jawaban : B d. 17.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva e.

y  2 x  x 2 , sumbu- x , garis x = - 1, dan garis x = 2 adalah…. a. 2 satuan luas b. c.

7 3 8 3

20.

satuan luas

3

31 3 32 3 34 3 35 3

b. 24

satuan luas c. 25

Grafik fungsi y garis g dititik dititik

d. 16

 cos x disinggung oleh      , 0  dan garis h  2 

    , 0 .  2 

satuan luas satuan luas satuan luas

Jawaban : C Luas daerah terbatas dibawah parabola

Jawaban : C 18.

satuan luas

a. 19 Satuan luas

d. 3 satuan luas e.

sumbu- x

y   x 2  4 dan di atas garis lurus y  3 x adalah….

satuan luas

10

dan

adalah…. a. 10 Satuan luas

5

60 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

e. 20

2 1 6 1 2 5 6

satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas

Jawaban : E

Kurva fungsi cosinus

tersebut, garis g dan garis h membatasi daerah D. maka luas daerah D adalah….

1

21.

Luas

daerah

yang

dibatasi

oleh

y  6 x  x dan y  x  2 x adalah…. 2

2


4 a. 32 satuan luas b. c.

20 3 64 3

Jawaban : C

satuan luas

25.

0  x   dan sumbu- x . jika diputar

satuan luas

o

sejauh 360 mengelilingi sumbu- x maka volume benda putar yang terjadi adalah… 2 a.  satuan volume

d. 16 satuan luas e. 21 satuan luas Jawaban : C 22.

Jika

luas

b. daerah

dibatasi

kurva

y  px dan garis y  x adalah

2

c.

,

3

1

6

3

d.

2

b. 2 atau c.

23.

e.



26.

2

5 2

luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y , kurva y  sin x , y  cos x dan garis

x   adalah….. a. 2 satuan luas b. 2 satuan luas

2 satuan luas

2

2

satuan volume

dan f ' ( x)  3 x 2  6 x  2 f (2)  25 dimana f ' ( x) adalah turunan pertama dari f ( x) maka fungsi f ( x) adalah…. Jika

2

27.

2 satuan luas

3



x  1

1

x 3

a.

1

Jawaban : C b. Daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi oleh parabola y  x ,n 2

garis parabola

satuan volume

Jawaban : D

d. 2 2 satuan luas

24.



a. 3 x

2

e. 2 



 6 x 2  2 x  27 3 2 b. x  x  2 x  1 3 2 c. x  x  2 x  1 3 2 d. x  x  2 x  49 3 2 e. x  x  2 x  49

5

c. 1 

2 1

Jawaban : C

atau – 2

5

1

d.  satuan volume e. 2 satuan volume

amaka nilai p adalah…. a.

Daerah D dibatasi oleh kurva y  sin x,

c.

y  4 x dan y = 4. 2

Volume benda putar yang terjadi bila daerah D diputar terhadap sumbu-y o sejauh 360 adalah…. a. 3 satuan volume b. 4 satuan volume c. 6 satuan volume d. 8 satuan volume e. 10 satuan volume

dx  .......

1

d. 1

16

1

e. 1

8 7

1 2

8

Jawaban : C 1

28.

Jika f ( x)

 ax  b,

 f ( x)dx  1 dan 0

2

 f ( x)dx  5 maka nilai a + b adalah… 1


5 a. 3 b. 4 e. 5

d. - 3

Jawaban : C e. - 4 32.

Hasil dari

a. 3 sin 2 x  6 x cos 2 x  c b. 3 sin 2 x  6 x cos 2 x  c c. 6 x cos 2 x  3 x sin 2 x  c d.  6 x cos 2 x  3 x sin 2 x  c e.  6 x sin 2 x  3 cos 2 x  c

Jawaban : D 3 2

29.

  x



x 2  2 dx  .... .

6

d. 17

a. 24 b. 18

12 x sin xdx  .....

2

e. 17

3

1

Jawaban : C

3

3

33.

Diketahui

 (3 x

2

 2 x  1)dx  25. Nilai

a

c. 18 =…. Jawaban : C 30.

a. – 4

d. 1

 ....  sin10  3 x dx

b. – 2

e. 2

a. 2 cos(10  3 x)  c

c. – 1

b. 2 cos(10  3 x)  c c. d. e.

1 3

cos(10  3 x)  c



34.

Nilai

 2 sin(10  3 x)  c 2 sin(10  3 x)  c

0

a.  4

d. 2

b.  1

e. 4

3

Jawaban : C 31.

 sin

2

x. cos x dx  .....

b. c.

3 1

3

cos x  c 3

1

35. Hasil dari

sin 3 x  c

a. b. c.



6









7

d. 4

2

3

8

e. 2

3

3

7

d.



 sin x  3  cos x  3 dx  .... 0

c.

3x 2  1 dx  ....

3



b.

 3 x. 0

Jawaban : D

a.

3

c. 1

3 3 d. 2 sin x  c 3 e. cos x  cos x  c

31.

3

3

a. 2 sin x cos x  c

1

 sin 2 x. cos x dx  ....

  1

1 4 1 8

d. e.

36. Hasil dari

1 4 3 8

a.

 cos

5

xdx  ....

1

 cos 6 x. sin x  C 6

b.

1 6

cos 6 x. sin x  C


1 2

a

6

c.

2

1

3

d.

e.

1

 sin x  sin x  sin x  C 3

2

sin x 

3 2

sin x 

3

5

41. Nilai

5

sin x  3

sin 3 x 

1 5 1 5



2

 2 x  sin x.dx  .... 0

sin x  C 5

a.

1

2



4

sin 5 x  C

b.

1



d.

( x 2  1). cos xdx  ....

1

2

2

1

2

1



1



2



2

a. x sin x + 2x cos x + C b.

e. 1  2  1

2

4



2

4

c.

37. Hasil dari

d. 1  2  1

1

42. Nilai x. sin( x

2

 1)dx  ....

2

( x – 1 )sin x + 2x cos x + C

2

a. – cos ( x + 1 ) + C

2

c. ( x + 3 )sin x – 2x cos x + C 2

2

b. cos ( x + 1 ) + C

2

d. 2x cos x + 2x sin x + C

2

c. –½ cos ( x + 1 ) + C

2

e. 2x sin x – ( x – 1 )cos x + C 3



38. Diketahui

2

d. ½ cos ( x + 1 ) + C 2

e. – 2cos ( x + 1 ) + C

1 p (3 x  2 x  2)dx  40. Nilai 2

2

p

=….

43.

a. 2

d. – 2

b. 1

e. – 4

c. – 1

 x.sin 2xdx  .... a.

1

b.

1

c.

1



1 sin 2 x  x cos 2 x  C 4 2 1 sin 2 x  x cos 2 x  C 4 2

2

39. Hasil dari sin 3 x. cos 5 xdx  ....  a. b. c.

  

10 16 8

sin 2 x 

4

0

d.  4

d.

16

e. 0

e.

16

1 2

cos 2 x  C

1

1

4

2

 cos 2 x  x sin 2 x  C 1

1 cos 2 x  x sin 2 x  C 4 2

5 16 

2



40.

 x.sin xdx  ....

44.



d.



4

b.



3

x  cos 2 x)dx  ....

e. 3 2

a. –½ b. c.

c.

2

0

0

a.

 (sin

1

1



e. ½

2 

2



2



d. 0

d. Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

7



45. Hasil

1

2 x. cos

e.

xdx  ....

2

1

1

2

2

 sin 5 x  sin 3 x  C

a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C 49. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =

b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C

2

x dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas.

c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C

a. 54

d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C

b.

e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C

d. 32 5

20

e. 18

6

c. 10 2



46. Hasil x 9  x dx a.

2

3

 ....

50. Luas daerah yang diarsir pada gambar di

1

 (9  x 2 ) 9  x 2  C

bawah adalah …satuan luas.

3

b.

2

 (9  x2 ) 9  x 2  C 3

2

c.

2

(9  x2 ) 9  x2 

3

e.

1 3

2

(9  x 2 ) 9  x 2 

2 9 1 9

5 4

b. 3

(9  x 2 ) 9  x2  C 9  x 2  C

c. d.

5

6

y = x2 – 4 x + 3

6

3

(9  x ) 9  x  C 2

3

d.

a.

9 8 7

2

1 3 2 3

3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4

y = - x2 + 6 x - 5 11

33

2

4

5

6

-5 -6

e. 9 1

47. Nilai

 5 x(1  x)

6

dx  ....

0

a.

51. Luas daerah yang diarsir pada gambar d.  7

75

56

56

b.

e.  10

10

a.

4

56

56

c.

adalah …satuan luas.

b.

5

5

56

c. 48. Hasil dari

 cos x. cos 4 x.dx  ....

5

1

40

35

2 30

1 6

25

5 6

20

d. 13 1

15

6

a. b.

1

1

5

3

 sin 5 x  sin 3 x  C 1 10

sin 5 x 

1 6

e.

30

10

1 6

5

sin 3 x  C

0

c.

2 5

d.

1 2

sin 5 x  cos 5 x 

2 3 1 2

sin 3 x  C

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

cos 3 x  C


6

7

8 52. Luas daerah arsiran pada gambar di

c.

bawah ini adalah …satuan 9luas. 8 7 6

a. 5 7

3 4

56. Volume benda putar bila daerah yang

y = 8 – x2

2

dibatasi kurva y = – x + 4 dan y = – 2x + 4

5

0

diputar 360 mengelilingi sumbu y adalah

4

b.

2

2

3

3

2

… satuan volume.

y = 2 x

1

c. 8 -4

d.

9

-2

-1 0

1

-2

3

-3

e. 10

2

3

4

b.

13

e. 5 



2

-4

1

d. 8 

a. 8 

0

4

-5

3

c. 4 

-6 -7

2

53. Jika f(x) = ( x – 2 ) – 4 dan g(x) = –f (x) ,

57. Volume benda putar yang terjadi, jika

maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva

daerah antara kurva y = x + 1 dan y = x +

f dan g adalah … satuan luas.

3, diputar mengelilingi sumbu x adalah

a. 10 2

…satuan volum.

3

b. c.

21

1 3

22

d. 42 2

2

3

a.

e. 45 1

67

d. 133 



5

3

b.

2

5

107

e. 183 



5

3

c.

5

117



5

54. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola 2

y = x dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis

58. Volume benda putar yang terjadi jika

y = 4 adalah …satuan luas a.

4

1 6

b. 5

1

daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 ,

d. 6 1

0 garis y = 1 x dan garis x = 4 diputar 360

6

2

e. 7 1

terhadap

2

c. 6

23

3

55. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas. a.

4

b. 2

x

adalah

….satuan

volume. a.

3

sumbu

b. c.

d. 3

1

e. 4

3

4

4

24

26

1



3

3 2



3 2

d. 27 1  e. 27 2  3



3 2

59. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x


Modul Integral

Recommend Documents