MODUL MATEMATIKA
KELAS X SEMESTER II
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com
TRIGONOMETRI Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.
BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini (sinus,
cosinus,
anda akan mempelajari tangen),
penentuan nilai
penggunaan
perbandingan
perbandingan trigonometri perbandingan
trigonometri
di
trigonometri,
berbagai
kuadran,
pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan
cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga.
samping itu anda juga mempelajari identitas bentuk
Di
trigonometri, dan bentuk-
persamaan trigonometri.
B. Prasyarat Prasyarat
untuk
sudah mempelajari
mempelajari
bentuk
akar
modul dan
ini
adalah
pangkat,
anda
persamaan
harus dan
kesebangunan dua segitiga.
C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut. 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah
contoh-contoh soal yang yan g ada,
dan kerjakanlah k erjakanlah
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal
semua
anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah
soal
evaluasi
dengan
cermat.
Jika
anda an da menemui
kesulitan dalam mengerjakan me ngerjakan soal evaluasi, evalu asi, kembalilah kemba lilah mempelajari m empelajari materi yang terkait.
4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat
anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan tan yakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka
atau bacalah referensi lain yang berhubungan berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan membaca
referensi
lain,
anda
juga
mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda An da dapat: dapat: 1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri, 3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri trigonometr i di berbagai kuadran, 4. Mengkonversikan koordinat cartesius cartesius dan kutub, 5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga, 7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,
akan
BAB II PEMBELAJARAN A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A.1 Perbandingan Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku siku-siku 1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
A
c b B
a
C
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan c2 = a2 + b2 2. Besar sudut pada segitiga 180 0 Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga a. sin = b. cos c. tan
miring samping miring depan
f. csc
=
b c a
c b
samping a samping a
d. cotg e. sec
depan
depan miring
samping
miring depan
b c a
c b
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : Cotg Sec
1 tan 1
cos 1
Csc
s in
Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3. a. Tentukan panjang sisi c b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut B c
4
A
C
3
Jawab : c
a2
sin c os tan
b
a c b c a b
2
42
3
2
25
5
4 5 3 5 4 3
A.2 Perbandingan trigonometri trigonometri untuk sudut sudut khusus 0 0 0 0 0 (0 , 30 , 45 , 60 , 90 ) 30 0
45
2
2
3
1 45
60 1
1
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
Sin
00 0
300
Cos
1
1
Tan
0
1
Csc Sec
t.t 1
Cotg
t.t
1
2.
6
cot co t g
tan
3
600
2 3
2
3
3
2 2
3
3 3
Contoh : 180 0 Tentukan nilai dari : 1. Sin 00 + Csc 45 0 = 0 + 2 2 1 sec
450
3
3
3
3
2
3
3 3
=1
3
A.3 Nilai perbandingan trigonometri trigonometri di di berbagai kuadran 1. Dikuadran I Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif Ordinat positif A(x,y) Sin Cos Tan
y
r x r y x
r
positif
y
positif
positif
x
900
2. Dikuadran II Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif Ordinat positif Sin Cos Tan
y r
x
r y
x
A(-x,y)
positif
r
y
negatif
negatif
-x
Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut. I II III IV Sin + + Cos + + Tan + + Csc + + Sec + + Cotg + + -
Kuadran II Sin & Csc +
Kuadran III Tan & Cotg +
Kuadran I Semua +
Kuadran IV Cos & Csc +
Contoh : Diketahui Sin
=
3
,
5
dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai
Sec , Csc , Cotg
Jawab : Sin
3 5
, y = 3, r = 5, x =
52
2
3
25 9
Karena dikuadran II, nilai x = -4 Sehingga : Sec
=
5
4
, Csc
5 3
, Cotg
4
3
16 4
TUGAS I 1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut berikut : a. b. 5
pada tiap gambar
2 5
12
2
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui. a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari : a. Sin 600 cotg 60 0 + sec 45 0 cos 450 b. Tan 300 + cos 30 0 c. 2 sin 600 cos 450 4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)
60 Tinggi dani
Tinggi pohon 10 m
A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran a. Rumus di kuadran I Sin(90 ) c os Cos(90 ) sin Tan(90 ) Cotg
b. Rumus di kuadran II Sin Si n(90 ) Cos Cos (90 ) Sin Tan Ta n(90 ) Cotg
Sin (180 ) Sin atau
Cos (180 ) Cos Tan Ta n(180 ) Tan Ta n
c. Rumus di kuadran III Sin ( 270 ) Cos
Sin (180 ) Sin atau
Cos ( 270 ) Sin Tan Ta n( 270 ) Cotg d. Rumus di kuadran IV Sin ( 270 ) Cos Cos ( 270 ) Sin
Cos (180 ) Cos Tan Ta n(180 ) Tan Ta n Sin (360 ) Sin
atau
Tan Ta n( 270 ) Cotg e Rumus sudut negatif Sin ( ) Sin
Cos (360 ) Cos Tan Ta n(360 ) Tan Ta n
Cos ( ) Cos Tan Ta n( ) Tan Ta n f.Rumus sudut lebih dari 3600 36 0 ) Sin Sin ( k .360 Cos ( k .360 ) Cos Tan Ta n( k .360 ) Tan Ta n Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin 1200 = Sin (900 + 300) = Sin 300 =
1 2
3
Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 =
1
3
2
b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 450 =
1 2
2
Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450) = -Cos 450 =
1 2
2
c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300 =
1 2
d. Sin (-2250) = - Sin 2250 = - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450) =
1 2
2
TUGAS II 1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300 b. Tan (-1200) c. Sin 4500 2. Tentukan nilai dari : a. Sin 3000 + Cos 5450 b. Cos 3900 + Sec 5700 c. Cotg 7500 + Tan (-60 0) 3. Sederhanakan a. b. c.
cos(270 270
p )
Sin(360 360 p ) cos(90 p) 180 Sin(180
p)
cos120 0.Tan 225 0.Co sec 240 240 0 210 0.Sec300 300 0 Cos 210
4. Buktikan bahwa a. b.
Sin(270 p).Sin(180
p )
1
Cos(90 p).Cos(180 p) Cos(180 p).Sec(360 p) 180 Cotg (180
p ).Cotg (90 p )
1
B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p X1 = p + k.360 atau X2 = (180 – p) + k.360 2. Cos x = Cos p X1 = p + k.360 atau X2 = -p + k.360 atau 3. Tan x = Tan p X1 = p + k.180 atau
x 1 = p + k.2 x2 = ( - p) + k.2 x1 = p + k.2 x2 = -p + k.2 x1 = p + k.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200 ; 0 x 3600 x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20 k=1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160} b. 2 Cos x = 3 ; 0 x 3600 Cos x = 1
2
3
Cos x = Cos 30 X1 = 30 + k.360 , untuk un tuk k = 0 X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 K=1 HP = {30, 330}
x1 = 30 x2 = - 30 (tidak memenuhi) x2 = 330
TUGAS III 1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0 x 3600 a. Cos x = Cos 50 b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0 d. 2 cos x.sin x = sin x 2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 x 2 a. 2 sin x = - 2 b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1 C. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar : 1. Sin2x + Cos2x = 1 Sin2x = 1 – Cos2x Cos2x = 1 – Sin2x 2. 1 + tan2x = sec2x 1 = sec2x – tan2x Tan2x = sec2x – 1 3. 1 + cotg2x = cosec2x 1 = cosec2x – cotg2x Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1 Jawab : 5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4 = 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti) 2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3 Jawab : 3 cos2x + 3 sin 2x = 3 (cos 2x + sin2x) =3.1 =3 (terbukti) D. RUMUS SINUS DAN COSINUS 1. Aturan Sinus Perhatikan segitiga ABC berikut. C a
b
A
B
c
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut: a
SinA
b
SinB
c SinC
Contoh : 1. Pada segitiga ABC, b = 1, Jawab : b SinB
c SinC
c
B
30 0 , C 53,10 . Hitunglah c.
bSinC
= = =
SinB 12Sin53,1 Sin30 12 .0,8 0,5 9, 6 0,5
= 19,2
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. Hitunglah C b SinB
c
SinC
Sin C = = =
cSinB
B
46Sin68,2
b 46 x0,928
65
65 42,710
65 = 0,657 C
= 41,1
2. Aturan Cosinus Perhatikan segitiga ABC berikut ini : C
A
B
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku : a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, Hitung panjang BC Jawab : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49 a = 7 cm
A =
600.
68,2 .
E. LUAS SEGITIGA 1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui C a
b
B
A
D
c
L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui. L
L
L
a 2 . sin B. sin C 2 sin A
b 2 . sin A. sin C 2 sin B
c 2 . sin A. sin B 2 sin C
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui L s.( s a).( s b).( s c)
s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)
Contoh : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 45 0 Jawab : L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450 = 20. ½ 2 = 10 2 2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, luasnya. Jawab : C 180 65 60 55 L
L L
A
65, B
60 . Tentukan
c 2 . sin A. sin B 2 sin C 5 2. sin 65 . sin 60 2 sin 55 25 .0,425 .0,87
0,82 L 11,27
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jawab : s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6 L s.( s a).( s b).( s c) L 6.(6 3).(6 4).(6 5) L 6.3.2.1 L 36
6 cm2
TUGAS IV 1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm,
P
46 0
2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B 3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 100 0 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam. 4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O. 5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X , Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X , Jakarta : Penerbit Erlangga. MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.