MATEMATIKA
MODUL 4
TURUNAN FUNGSI
KELAS : XI IPA IPA SEMESTER : 2 (DUA)
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http:meetabied!wordpress!"om
TURUNAN FUNGSI
PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menajikan materi dalam modul ini berusaha menga!u pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaanna dalam kehidupan sehari"hari. #TAN$AR K%MPETEN#& : '. Menggunakan konsep limit (ungsi dan turunan (ungsi dalam peme!ahan masalah. K%MPETEN#& $A#AR
: '.) Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan (ungsi '.* Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu (ungsi dan meme!ahkan masalah '.+ Meran!ang model matematika dari masalah ang berkaitan dengan ekstrim (ungsi '., Menelesaikan model matematika dari masalah ang berkaitan dengan ekstrim (ungsi dan pena(siranna
T--AN PEM/E0AARAN :
KEG&ATAN /E0AAR
). Menghitung limit (ungsi ang mengarah ke konsep turunan. *. Menghitung turunan (ungsi ang sederhana dengan menggunakan de(inisi turunan +. Menentukan si(at"si(at turunan (ungsi ,. Menentukan turunan (ungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan si(at"si(at turunan 1. Menentukan turunan (ungsi komposisi dengan aturan Rantai '. Menentukan (ungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama 2. Menentukan titik ekstrim gra(ik (ungsi 3. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah (ungsi 4. Mengidenti(ikasi masalah"masalah ang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim (ungsi )5. Merumuskan model matematika dari masalah ekstrim (ungsi )). Menelesaiakan model matematika dari masalah ekstrim (ungsi )*. Mena(sirkan solusi dari masalah nilai ekstrim
:
I. Judul sub kegiatan belajar : ). *. +. ,. 1. '. 2.
Pengertian Turunan 6ungsi Rumus"rumus Turunan 6ungsi Turunan 6ungsi Trigonometri $alil Rantai Garis #inggung 6ungsi Naik dan Turun Menggambar gra(ik (ungsi
II. Uraian materi dan contoh !NG!RTIAN TURUNAN FUNGSI
$e(inisi turunan : 6ungsi ( : 7 → atau 8 ( 97 mempunai turunan ang dinotasikan ; 8 (;97 atau d 8 d(97 dan di de(inisikan : d7 d7 ; 8 (;97 8 lim (97 < h = (97 atau d 8 lim ( 97 <∆7 = (97 h→5 h d7 h→5 h Notasi kedua ini disebut notasi 0eibni>. ?ontoh ): Tentukan turunan dari (97 8 ,7 = + awab (97 8 ,7 = + (9 7 < h 8 ,97 < h = + 8 ,7 < ,h "+ f 9 x + h: − f 9 x:
#ehingga: (;97 8 lim h 5
h
→
8 lim h 5
9 , x + , h − +: − 9, x − +: h , x + ,h − + − , x + +:
→
8 lim h 5
h
→
8
lim
,h
h lim , h →5
8 h 8 ,
→
5
?ontoh *@ Tentukan turunan dari (97 8 +7* awab : (97 8 +7* (97 < h 8 + 97 < h* 8 + 97* < *7h < h* 8 +7* < '7h < +h* #ehingga : (;97 8 lim h 5 →
8 8
lim
f 9 x + h: − f 9 x: h * * * 9+ x + ' xh + +h : − + x h
h →5
lim h →5
' xh + +h h
' x + + h 8 lim h 5 8 '7< +.5 8 '7
*
→
0atihan $engan de(inisi di atas tentukan nilai turunan berikut: ). (97 8 ' = *7 *. (97 8 17* <*7 +.
f 9 x: =
) x
,.
f 9 x :
1.
(97 8 *7
*
x
=
+
RU"US#RU"US TURUNAN
). Turunan (97 8 a7n adalah (;97 8 an7n") atau
dy dx
8 an7n")
*. -ntuk u dan suatu (ungsiB! bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. 8 C D ; 8 ; C u; b. 8 !.u D ; 8 !.u; !. 8 u. D ; 8 u; < u.; d.
y
u
= → y E =
uE v
v
− uvE
v
*
e. 8 un D ; 8 n. u n").u; ?ontoh: Soal ke#$
ika (97 8 +7* < , maka nilai ( )97 ang mungkin adalah F. embahasan
(97 ( )97
8 +7* < , 8 +.*7 8 '7
Soal ke#%
Nilai turunan pertama dari: (97 8 *97* < )*7* = 37 < , adalah F embahasan
(97 ( )97
8 *7+ < )*7* = 37 < , 8 *.+7* < )*.*7 = 3 8 '7* < *,7 "3
Soal ke#&
Turunan ke" ) dari (97 8 9+7"*9,7<) adalah F embahasan
(97 (97 (97 ( )97
8 9+7"*9,7<) 8 )*7* < +7 = 37 = * 8 )*7* = 17 = * 8 *,7 = 1
Soal ke# '
ika (97 8 9*7 = )+ maka nilai ( )97 adalah F embahasan
(97 8 9*7 = )+ ( )97 8 +9*7 = )* 9* ( )97 8 '9*7 = )* ( )97 8 '9*7 = )9*7 = ) ( )97 8 '9,7* = ,7<) ( )97 8 *,7* = *,7 < ' Soal ke# (
Turunan pertama dari (97 8 917* = )* adalah F embahasan
(97 8 917* = )+ ( )97 8 *917* = ) 9)57 ( )97 8 *57 917* = ) ( )97 8 )557+ = *57 Soal ke# )
Turunan pertama dari (97 8 9+7* = '7 97 < * adalah F embahasan
(97 8 9+7* = '7 97 < * ?ara ): Misal : - 8 +7* = '7 -) 8 '7 = ' 87<* ) 8 ) #ehingga: (;97 8 -; < - ; ( )97 8 9'7 = '97<* < 9+7*<'7.) ( )97 8 '7* < )*7 = '7 = )* < +7* = '7 ( )97 8 47* = )* ?ara *: (97 8 9+7* = '7 97 < * ( )97 8 +7"+<'7* = '7+ = )*7 ( )97 8 47*<)*7 =)*7 = )* ( )97 8 47* = )* 0atihan soal. Tentukan turunan dari: ). (97 8 *7 "+ *.
(97 8
+ x
1
+.
(97 8 ,
,.
(97 8 , x + x − x (97 8 9*7 < ) 9+7 = *
1. '.
2. 3.
x + *
*
9 x + *: *
(97 8 (97 8
+
x ,
9 x
(97 8
*
+
x *
+: +
−
1 x
TURUNAN FUNGSI TRIG*N*"!TRI
$engan menggunakan de(inisi turunan kita bias menentukan turunan dari : ). (97 8 sin 7 Haitu : (97 8 sin 7 (97 < h 8 sin 97 < h (;97 8
lim h →o
8 lim h 5
f 9 x + h: − f 9 x: h sin9 x + h: − sin9 x :
h
→
8
* !os lim
) *
9* x + h : sin
8 lim * !os ) 9* x + h: lim h 5 h 5 *
→
8 !os 7
*
h
h
h →5
8 * !os
)
) ) 9 * x :. * *
*. (97 8 !os 7
→
sin
)
* h
h
Haitu : (97 8 !os 7 (97 < h 8 !os 9 7 < h (;97 8
lim
f 9 x + h: − f 9 x: h
h →o
8 lim h 5
!os9 x + h: − !os9 x :
h
→
8
−
* sin
lim
) *
9* x + h: sin
) *
h
h
h →5
8 lim 9−* sin ) 9* x + h: lim h 5 h 5 *
→
sin
→
h * : h
) ) 9 * x :. * *
8 " * sin
)
8 " sin 7 adi diperoleh rumus turunan (ungsi trigonometri : ). a. (97 8 sin 7 D (; 97 8 !os 7 b. (97 8 !os 7 D (; 97 8 " sin 7 *. a. (97 8 sin 9a7 < b D (;97 8 a !os 9a7 < b b. (97 8 !os 9a7 < b D (;97 8 " a sin 9a7 < b dan jika u suatu (ungsi maka: +. a. (97 8 sin u D (;97 8 u; !os u b. (97 8 !os u D (;97 8 " u; sin u ?ontoh : Tentuka turunan dari: a. (97 8 + sin 7 < * !os 7 b. (97 8 sin 917 = * !. (97 8 tan 7 jawab: a. (97 8 + sin 7 < * !os 7 (;97 8 + !os 7 " * sin 7 b. (97 8 sin 917 = * (; 97 8 1 !os 917 = * sin x !os x
!. (97 8 tan 7 8
missal : u 8 sin 7 D u; 8 !os 7 8 !os 7 D ; 8 " sin 7 (; 97 8 8
u E v − uv E v* !os x. !os x − sin x.9 − sin x :
!os * x *
8 8
!os x
+ sin
*
x
*
!os x
) !os * x
8 se!* 7 0atihan soal : Tentukan turunan dari (ungsi berikut : ). (97 8 sin 7 = + !os 7 *. (97 8 sin +7 +. (97 8 !os 9+7 < π
)
,. (97 8 tan (
*
x
π
+
)
+
1. (97 8 se! 7 '. (97 8 sin 7. !os 7 2. (97 8 !os*7 x
3. (97 8
sin * x
+A,I, RANTAI UNTU- "!N!NTU-AN TURUNAN
Apabila 8 (9g97 maka ; 8 (; 9g97. g;97 $ari rumus 8 (9g97 D ; 8 (; 9g97. g;97 du
ika g97 8 uD g; 97 8
dx
dan (9g97 8 (9u D 8 (9u D
dy du
8 (;9u 8 (;9g97
Maka (;97 8 (; 9g97. g;97 dapat dinatakan ke notasi 0eibni> menjadi dy dx
=
dy du . du dx
$an bentuk tersebut dapat dikembangkan jika 8 ( 9 u9 maka: dy
=
dx
dy du dv . . du dv dx
?ontoh: $engan notasi 0eibni> tentukam urunan dari : a. 8 97* = +7 ,
+
b. 8 !os1 9
π
*x
−
+
awab: a. 8 97* = +7
, +
du
missal : u 8 7* = +7 D 8u
+
D
,
8 *7 = +
dx
dy
=
+
du
8 #ehingga : dy dx
=
dy du . du dx
8
, * 9 x +
,
)
u+
, * 9 x +
−
+ − * x
Misal: 8
π
−
+
#ehingga : dy dx
=
) +
* x D
u 8 !os D 8 u1 D
+ x: +
+ x: + .9*7 = + *
π
−
)
3 8 − , ( x − + x ) x b. 8 !os1 9
)
dy du
dv
dx du dv
8 "*
8 " sin 8 " sin 9
π
−
+
*x
8 1u, 8 19!os ,
dy du dv . 8 du dv dx
19!os , . " sin 9
π
−
+
* x . "*
8 )5 9!os , sin 9 8 )5 9!os9
π
−
+
π
−
+
*x
* x , sin 9
π
−
+
*x
0atihan soal : ). $engan rumus turunan 8 ( 9 g97 adalah (; 97 8 (;9g97 . g;97 Tentukan turunan dari: a. 8 9 ,7 < 1 +
*
π
b. 8 sin 9 +7 "
+
*. $engan notasi 0eibni> tentukan turunan (ungsi berikut : a. 8 9 ' = 7 + b. 8 !os 9 ,7 " π *
!. 8 sin "+ 9*7 <
π
+
GARIS SINGGUNG A+A -URA
). Gradien garis singgung
Perhatikan gambar di samping Gradien garis A/ adalah
8(97
m AB 8 8
/9a
78a
78a
8
y *
−
y)
x *
−
x)
f 9a + h: − f 9a : 9a + h: − a f 9a + h: − f 9a :
h
g 7
Apabila garis A/diputar pada titik A maka titik / akan bergerak mendekati titik A 9hD5 maka tali busur A/menjadi garis singgung 9g pada kura 8 (97 di titik A 9aB(9adengan gradient m g
=
m g
=
lim
f 9 a + h : − f 9 a :
h →5
h
f E 9 a :
#ehingga persamaan garis singgung pada kura 8 (97 di titik A 9aB(9a atau A 97)B) adalah = ) 8 m 97 = 7) ?ontoh : $iketahui kura 8 7* = +7 < , dan titik A 9+B, a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. awab:
8 7* = +7 < , ; 8 *7 = + a. Gradien di titik A 9+B, m 8 ;78+ 8 *.+ = + 8 ' = + 8 + b. Persamaan garis singgung di titik A 9+B, = ) 8 m 97 = 7) = , 8 + 97 = + = , 8 +7 = 4 8 +7 = 1 0atihan soal ). Tentukan gradien garis singgung pada kura: a. 8 7* = '7 di titik 9")B2 b. 8 sin *7 di titik
9
π
B
)
* *
*:
*. Tentukan persamaan garis singgung pada kura a. 8 7* = *7 = + di titik 9+B) b. 8 7 "*7* di titik dengan absis ) !. 8 9*"79*7 <) di titik dengan ordinat 3 +. #uatu garis singgung pada kura 8 + < *7 = 7* sejajar dengan garis ,7 < 8 +B tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung FUNGSI NAI- +AN FUNGSI TURUN
(97)
(97*
(97* (97)
5
7)
7*
7
5
7)
7*
). 6ungsi (97 disebut (ungsi naik pada interal a I 7 I bB jika untuk setiap 7) dan 7* dalam interal a I 7 I b berlaku : 7* J 7) ⇔ (97* J (97)
9gb. )
*. 6ungsi (97 disebut (ungsi turun pada interal a I 7 I bB jika untuk setiap 7) dan 7* dalam interal a I 7 I b berlaku : 7* J 7) ⇔ (97* (97) +. ,.
9gb. *
6ungsi ( disebut (ungsi naik pada titik dengan absis aB jika (; 9a J 5 6ungsi ( disebut (ungsi turun pada titik dengan absis aB jika (; 9a 5
?ontoh Tentukan pada interal mana (ungsi (97 8 7+ < 47* < )17 < , merupakan : a. 6ungsi naik
7
b. 6ungsi turun awab: (97 8 7+ < 47* < )17 < , (;97 8 +7* < )37 < )1 a. #arat (ungsi naik (;97 J 5 +7* < )37 < )1 J 5 7* < '7 < 1 J 5 97<) 97<1 J 5 Larga batas 7 8 ") B 7 8 "1 "1
a. #arat (ungsi turun (;97 5 +7* < )37 < )1 5 7* < '7 < 1 5 97<) 97<1 5 Larga batas 7 8 ") B 7 8 "1
")
"1
adi (ungsi naik pada interal 7 1 atau 7 J ")
")
adi (ungsi naik pada interal "1 7 ")
0atiha soal ). Tentukan pada interal mana (ungsi berikut merupakan (ungsi naik atau (ungsi turun. a. (97 8 7* = '7 b. (97 8
) +
7+ < ,7* = *57 < *
!. (97 8 97* ") 97<) *. Tunjukkan bahwa (ungsi (97 8 7+ = '7* < )*7 < ' tidak pernah turun. NI,AI STASI*N!R
A
$
Perhatikan gra(ik (ungsi 8 (97 disamping Pada titik AB/B? dan $ dengan absis berturut" turut 7 8 aB 7 8 bB 7 8 ! dan 7 8 d menebabkan (;97 8 5 maka (9aB (9bB (9! dan (9d merupakan nilai = nilai stasioner.
/ ?
5
78a 78b
78! 78d
7
enis = jenis nilai stasioner ). Nilai stasioner di titik A. < < Pada : 7 a diperoleh (;97 J a 5 7 8 a diperoleh (;97 8 a a 7 J a diperoleh (;97 a 6ungsi ang mempunai si(at demikian dikatakan (ungsi (97 mempunai nilai stasioner maksimum (9a pada 7 8 a dan titik 9aB(9a disebut titik balik maksimum. *. Nilai stasioner di titik / dan $. a. Pada : 7 b diperoleh (;97 5 7 8 b diperoleh (;97 8 5 7 J b diperoleh (;97 5
"
5 b
"
6ungsi ini mempunai nilai stasioner belok turun (9b pada 7 8 b dan titik 9bB(9b disebut titik belok. b. Pada : 7 d diperoleh (; 97 J 5 7 8 d diperoleh (; 97 8 d < 5 <
7 J d diperoleh (; 97 J d d (ungsi ini mempunai nilai stasioner belok turun (9d pada 7 8 dan titik 9dB(9d disebut titik belok Pada titik / atau $ sering hana disingkat nilai stasioner belok. +. Nilai stasioner di titik E Pada : 7 e diperoleh (;97 5 7 8 e diperoleh (;97 8 5 7 J e diperoleh (;97 J 5
"
5 e
<
6ungsi ini mempunai nilai stasioner minimum (9e pada 7 8 e dan titik 9eB(9e disebut titik balik minimum. ?ontoh : Tentukan titik stasioner dan jenisna dari (ungsi (97 8 7* < *7 awab : (97 8 7* < *7 (;97 8 *7 < * 8 *97 < ) Nilai stasioner didapat dari (;97 8 5 *97 < ) 8 5 7 8 ") * (9") 8 9") < *9") 8 ") adi diperoleh titik stasioner 9")B") 7 *97<) (;97 /entuk gra(ik
78) ")" " "
") 5 5
")< < <
Titik balik minimum 0atihan ). Tentukan nilai stasioner dan jenisna pada (ungsi berikut : a. (97 8 7* = '7 b. (97 8 *7+ = 47* < )*7 !. (97 8
) , x ,
−
) * x *
d. (97 8 7, = 37* "4 e. (97 8
9 x − ): * x − ,
"!NGGA"/AR GRAFI- FUNGSI
-ntuk menggambar gra(ik (ungsi 8 (97 ada beberapa langkah sebagai berikut : ). Tentukan titik"titik potong gra(ik dengan sumbu 7 9 jika mudah ditentukan B aitu diperoleh dari 8 5.
*. Tentukan titik potong dengan sumbu B aitu diperoleh dari 7 8 5. +. tentukan titik"titik stasioner dan jenisna. ,. tentukan nilai"nilai untuk nilai 7 besar positi( dan untuk 7 ang besar negatie. ?ontoh : $iketahui persamaan 8 (97 8 +7 = 7+B tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu 7 dan sumbu . b. Nilai stasioner dan titik stasioner. !. Nilai untuk 7 besar positi( dan untuk 7 besar negatie. d. Titik /antu awab: a. i. Gra(ik memotong sumbu 7B bila 8 5. H 8 5 8 +7 = 7 + 5 8 7 9+ = 7* 5 8 7 9 + " 7 9 + < 7 Titik potong sumbu 7 adalah 95B5B 9 + B5B 9" + B5 ii. memotong sumbu B jika 7 8 5 8 +7 = 7+ 8 +.5 " 5+ 85 titik potong sumbu adalah 95B5 b. #arat stasioner adalah : (; 97 8 5 (; 97 8 + = +7* + 9) " 7 * + 9) = 7 9) < 7 7 8 )B 7 8 ") untuk 7 8 )B (9) 8 +9) = 9)+ 8 * 7 8 ")B (9") 8 +9") = 9")+ 8 "* nilai stasionerna : 8 * dan 8 "* titik stasioner : 9)B* dan 9")B"* !. 8 +7 = 7* B untuk nilai 7 besar maka bilangan + dapat diabaikan terhadap 7B sehingga 8 "7+. ika 7 besar positi( maka 8 besar negatie dan jika 7 besar negatie maka besar positi(. d. Titik /antu
B
7
"*
*
"+
+
*
"*
)3 ")3 F
*
F
) "+
"*
")
5 ") "*
#oal latihan Gambarlah gra(ik : ).
8 7* < 4
*.
8 7, = *7*
)
*
+
7
")
III.
+.
8 97* = )*
,.
7+ 93 = 7
. Tes Formati0 9 Terlampir
I. +a0tar 1ustaka
Tim penulis MGMP Matematika #MA kota #emarangB Matematika #MA O MA & A &PAB 9 #emarang : ?. abbaar #etiaB *553 Tim penusun KREAT&6 MatematikaB Matematika #MAOMA kelas & &PA semester gasalB 9 KlatenB ia PakarindoB *552 #imangunsong QilsonB Matematika dasarB 9 akarta: ErlanggaB *551
