B er dasar sar kan S i lab labus K uri ur i kulum 20 2013 13
Kelas XI
Oleh :
Ridho Ananda, S.Pd.
SMA IBNU HAJAR BOARDING SCHOOL JAWA BARAT
1
BAB 1 SUKU BANYAK (POLINOM) 1. Definisi Suku Banyak, Nilai Suku Banyak, dan Operasi Antar Suku Banyak A. Pengertian Suku Banyak (Polinom) Suku banyak (polinom) dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0 dituliskan dalam bentuk : + −1 −1 + −2 −2 + + 1 + 0 Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu. Bilangan ak disebut koefisien dari variabel xk dan a0 merupakan bilangan real. Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu fungsi maka penulisannya berbentuk : = + −1 −1 + −2 −2 + + 1 + 0 Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu persamaan maka penulisannya berbentuk: + −1 −1 + −2 −2 + + 1 + 0 = 0 Bentuk tersebut sering disebut persamaan rasional integral derajat n dalam variabel x. B. Nilai Suku Banyak Apabila suku banyak dinyatakan dengan f(x) dan x diganti dengan bilangan tetap h maka bentuk f(h) merupakan nilai suku banyak tersebut untuk x = h. Cara ini disebut cara substitusi. Cara lain untuk menghitung nilai suku banyak adalah dengan metode horner . a B c d h * ah ah + bh ah +bh +ch + a ah+b ah +bh+c ah +bh +ch+d = f(h) C. Operasi Antar Suku Banyak Penjumlahan dan pengurangan suku banyak ( ) dan suku banyak ( ) dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenisnya. Aturan perkalian suku banyak ( ) dan suku banyak ( ) dapat ditentukan dengan cara mengalihkan suku-suku dari kedua suku banyak itu.
⋯
⋯
⋯
A. Contoh Soal
−
1. Bentuk 3 5 2 + 7 + 3 adalah suku banyak dalam variabel yang berderajat 3. Sebutkan koefisien pangkat tertinggi, koefisien pangkat terendah, dan koefisien 2 ! 2. Hitunglah nilai suku banyak = 4 10 3 + 8 untuk = 10 dengan menggunakan cara subtitusi dan metode horner! 3. Diberikan dua buah suku banyak ( ) dan ( ) yang ditentukan oleh = 3 + 2 3 + 1 dan = 3 2 2+2 1. \ tentukan a. + ( ) serta derajatnya b. ( ) serta derajatnya c. . ( ) serta derajatnya
− ∶ −
Jawaban : 1. Bentuk 3
− 5
2
− − − −
+ 7 + 3 mempunyai:
2 Koefisien pangkat tertinggi = 1 dengan pangkat tertinggi 3 Koefisien pangkat terendah = 3 yang merupakan suku tetap (konstanta) Koefisien 2 adalah -5 2. Nilai suku banyak = 4 10 3 + 8 untuk = 10. a. Metode substitusi 10 = 104 10. 103 + 10 8 = 104 104 + 10 8 = 2 b. Metode horner
− − − − − 4
3
2
−
1
0
1 -10 0 1 -8 10 * 10 0 0 10 1 0 0 1 2 3 2 3 2 3. Diketahui = + 3 + 1 dan = 2 +2 1. 3 2 3 2 a. + = + 3 +1 + 2 +2 1 3 3 2 2 = + + 2 3 +2 +1 1 3 2 =2 berderajat 3 3 b. = 3 + 2 3 +1 2 2+2 1 3 2 3 2 = + 3 +1 +2 2 +1 3 3 2 2 = + +2 3 2 +1+1 = 3 2 5 + 2 berderajat 2 3 3 c. . = + 2 3 +1 2 2+2 1 3 3 3 = 2 2+2 1 + 2 3 2 2+2 1 3 2 3 2 1 2 +2 1 6 3 2 = 2 5+2 4 + 5 2 4+2 3 3 4+6 3 6 2 2+2 1 6 3 2 = 2 5+ 5+2 4 2 4 3 4 +2 3+6 3+ 3 3 +2 1 5 = 6 3 4+8 3 9 2+5 1 berderajat 6
+
− − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + 2 − 1 + − − − − − − − − + 3 + − − − − − − − − 6 − 2 + − − − − −
B. Latihan Soal Kompetensi 1 Petunjuk: Pilih salah satu jawaban yang tepat 1. Koefisien dari 4 dari bentuk 3 5 5 3 + 2 2 adalah . . . . a. -5 d. 2 b. -2 e. 3 c. 0 5 2. Koefisien dari bentuk aljabar 3 2 2 + 3 + 5 adalah . . . . a. -36 d. -12 b. -27 e. -6 c. -18 3. Koefisien −4 dengan n = 8 dari suku 4 banyak 3 5 2 2 + 1 3 2+2 adalah. . . . a. -9 d. 7 b. -7 e. 9 c. 0 4. Nilai suku banyak 5 + 3 2 8 + 2 untuk = 2 adalah . . . . a. -4 d. 2
−
−
−
−
−
−
2
2
3
2
2
b. -2 e. 4 c. 0 5. Nilai (2, ) dari suku banyak 2 , = + 2+3 + 2+ 2+ 3 adalah . . . . a. 8 2 7 6 d. 8 2 + 7 6 b. 8 2 7 + 6 e. 8 2 7 6 2 c. 8 + 7 + 6 6. Jika = 7 97 6 199 5 + 99 4 2 + 190 maka nilai dari (99) sama dengan . . . . a. 16 d. -2 b. 10 e. -8 c. 4 7. Diketahui suku banyak : =3 4 2 2 3+ + 8. Jika (2) = 0 dan 1 = 0 maka nilai A + B = . . . . a. -73 d. 7 b. -19 e. 26
− − − −
−
− − − − − −
−
3 c. 3 8. Diberikan suku banyak =4 3 2 +8 1 dan =4 3+2 2 10 . Koefisien variabel berpangkat tertinggi dari ( ) adalah . . . . a. -10 d. 0 b. -5 e. 3 c. -3 + 9. Nilai dan dari kesamaan
− − − −
− adalah . . . . ≡ +1 1− 4 2
b. -1 dan 3 e. 3 dan 1 c. 1 dan -3 10. Nilai a, b, dan c yang memenuhi kesamaan
−+1 = − + − −1 +1
6 2
3
berturut-turut adalah. . . . a. 1, 3, dan -4 d. 3, 1, dan -4 b. 3,2, dan -5 e. 1, 2, dan -3 c. 1, -3, dan -1
−1
2
a. -1 dan -3
d. 1 dan 3
2. Pembagian Suku Banyak
−
Definisi pembagian dua suku banyak yaitu : suatu suku banyak ( ) berderajat dibagi ( ) berderajat (dengan < ) menghasilkan hasil bagi ( ) berderajat ( ) dan sisa ( ) maksimal berderajat ( 1), dapat dituliskan :
− ≡ . + () atau = + A. Pembagian Sukubanyak dengan − Pembagian sukubanyak ( ) dengan pembagi = − menghasilkan hasil bagi () dan sisa ( ) berderajat nol atau ( ) = konstanta, dituliskan sebagai berikut: ≡ − + ( ) Penentuan hasil bagi () dan sisa ( ) dari pembagian ( ) dengan ( − ) ( )
( )
( )
( )
dapat dilakukan dengan cara pembagian bersusun, met ode horner, dan koefisien tak tentu. Pada modul ini hanya akan dijabarkan cara metode horner karena cara tersebut adalah cara yang paling sederhana dan mudah untuk diaplikasikan. 3 Misalkan = + 2+ + dibagi dengan , hal ini dapat dilakukan dengan metode horner seperti pada saat kita mencari nilai dari ( ). Dengan menganggap = 0 maka = , diperoleh:
−
a h * a
B Ah ah +b
c ah + bh ah + bh + c
−
d ah + bh + ch ah + bh + ch + d
+
= ah + bh + ch + d
Sisa = ( ) =
3
2
= + + + 2 + + B. Pembagian Sukubanyak dengan − Pada pembagian ( − ) maka kita peroleh ≡ − + (). Misalkan = maka ≡− . + ≡ − . + = − . + 2
4
() dibagi dengan − maka hasil baginya = dan sisanya , dengan () adalah hasil bagi dari pembagi () dengan − . C. Pembagian Sukubanyak dengan + +
( )
Hal ini menunjukkan bahwa jika
2
Metode pembagian sintetik atau metode horner dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suatu sukubanyak dengan pembagi berbentuk apapun asalkan pangkat pembagi pangkat yang dibagi. Pembagian suku banyak dengan pembagi ( 2 + + ) dinamakan metode (bagan) Horner-Kino. Untuk memahami metode horner kino, maka akan dijabarkan oleh secara jelas oleh guru matematika kalian.
≤
A. Contoh Soal 1. Tentukan hasil bagi ( ) dan sisa ( ) pada pembagian ( ) = 3 + 2 2 +3 dengan + 2! 2. Tentukan hasil bagi dan sisa apabila =2 2+5 1 dibagi 2 3! 4 3. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak = 3 2+2 1 2 dengan 2! 4. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak = 5 1 dibagi dengan 2 2 + + 3! 5. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak = 4 5 3 +2 2 4 + 5 dibagi oleh 3 3 6 2 12 + 3!
−
3
-2
1
2 -2 0
3
2
0
-1 0 -1
3 2 5
+
= − 1 dan = 5. Hasil bagi dan sisa apabila = 2 + 5 − 1 dibagi 2 − 3 Dengan menganggap 2 − 3 = 0 maka = . 2
Jadi 2.
+ 2 − + 3 dengan + 2. ⇔ −
2
1 * 1
−
− − − − − −
−− − −−
Jawaban : 1. Hasil bagi ( ) dan sisa ( ) pada pembagian ( ) = Maka dengan menganggap + 2 = 0 = 2.
2
3
2
3 2
2 * 2
=
0
5 3 8
2
-1 12 11
+
+ 4 dan Sisa = 11. Hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak = − 3 + 2 − 1 dengan −−2 Pembaginya adalah − − 2 = + + jadi = 1, = −1 dan = −2. 1 0 -3 2 -1 * 2 2 0 − = 2 * − = 1 * 1 1 0 * + Jadi
3.
1
( ) 2
=
2 +8 2
=
4
2
2
2
4
1
2
3
1
2
0
1
4
0
-1
5
+ dan sisa pembagian = 4 − 1 Hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak = − 1 dibagi dengan −2 + +3 Pembagi sukubanyak −2 + + 3 = + + dengan = −2, = 1, dan = 3. 1 0 0 0 0 -1 * * − = * * − = + 2
Jadi Hasil Bagi = 4.
5
2
2
4
5
2
3
3
2
1
0
3
3
21
39 16
2 1
1
2 1
4 7
8 13
2
2
4
8
16
1
7
13
55
23
4
8
16
16
1 Jadi hasil bagi =
2
( ) = 55 23 −2
Sisa pembagian =
3 +1 2 +7 2 4
16
+
13 + 8
=
− − − − 1
3
2
1
2
4
7
13
8
16
16
= − 5 −− − − + + 4
5. Hasil bagi dan sisa dari pembagian sukubanyak dibagi oleh 3 3 6 2 12 + 3 3 Pembagi suku banyak 3 3 6 2 12 + 3 = + 4
− = − = − =
3
2
3
− 4 + 5
+2
2
2
1
0
1
-5
2
-4
5
-1
*
*
*
-1
3
4
*
*
4
-12
*
2
*
2
-6
*
*
1
-3
0
-17
8
+
B. Latihan Soal Kompetensi 2 Petunjuk: Pilih salah satu jawaban yang tepat
− − − − −
1. Hasil bagi pembagian =3 3+ 2 2 5 8 dengan + 2 adalah . . . . 2 a. 3 + 4 + 3 d. 4 2 3 + 4 b. 3 2 + 4 3 e. 4 2 3 4 2 c. 3 4 +3 2. Sisa dari pembagian = 4 100 3 + 97 2 + 200 197 dengan 99 adalah . . . . a. -2 d. 1 b. -1 e. 2 c. 0 3. Hasil bagi dari pembagian 4 3 2 1 oleh 3 adalah. . . . 3 a. + 3 2 + 6 + 18 3 b. +3 2 +6 18 3 2 c. +3 6 + 18 3 2 d. 3 + 6 + 18
− − − − − − −
−−
− −
−− − − − − − − − − − −− b. − + − c. − − +
3 e. 3 2 6 + 18 4 4. Jika sukubanyak 2 5 + 2 7 dibagi ( 1) bersisa 2 dan dibagi ( 2) bersisa 61 maka diperoleh . . . . a. = 9 dan = 2 b. = 2 dan = 9 c. = 2 dan = 9 d. = 2 dan = 9 e. = 9 dan = 2 5. Apabila sukubanyak = 4 2 2 5 dibagi dengan (2 + 1) maka hasil baginya adalah . . . . a. 1 3 1 2 7 + 7 2 4 8 1 3 1 2 7 2 4 8 1 2 7 3 2 4
16 7
7 8
16
6
− e. 2 − − + Polinomial: 2 + + 4 + 4 dan 2 + + 2 + dibagi dengan 2 − 3 bersisa sama. Nilai sama d.
3
+
1 2
3
1
2
+
3
4
8
3
7 4
2
7 8
2
dengan . . . . a. -6 b. 1 c.
7
2
2
6.
7
d. 7 e. 19
16 3
7. Hasil kali antara hasil bagi dan sisa dari 3 pembagian + 2 2 + 10 6 2 dengan +2 1 adalah . . . . 2 2 a. + 6 + 8 d. 6 8 2 2 b. 6 + 8 e. 6 +8 2 c. +6 8 2 8. Jika sukubanyak = 2 3 + 2 4 + habis dibagi oleh 2 + 1 maka . . . .
− − − − – − − − − − − − − −
− − − − − − − ≡ −
a. = 3 dan = 3 b. = 1 dan = 5 c. = 1 dan = 5 d. = 1 dan = 5 e. = 3 dan = 3 9. Dari hubungan di bawah ini: 3 2 4 2+ + 3 + 2 +6−3 ) nilai dan yang memenuhi adalah . . . . a. = 2 dan = 2 b. = 2 dan = 4 c. = 4 dan = 4 d. = 2 dan = 4 e. = 4 dan = 2 10. Sukubanyak 7 7 4 + 3 dibagi oleh 3 4 , sisanya adalah . . . . a. 28 2 + 67 d. 28 2 7 b. 28 2 + 67 e. 2 28 + 67 c. 28 2 67
− − − − − −
−
− −
3. Teorema Sisa
Dengan memperhatikan cara di atas dapat dituliskan kesamaan dasar berikut ini. = . + . dengan ( ) : sukubanyak yang dibagi, ( ) : pembagi, : hasil bagi, dan S : sisa.
−
−
− − − − − − ∴ Teorema 2 : Pembagi berbentuk (− ) Jika sukubanyak berderajat dibag (− ) maka = . Bukti : = −. + substitusikan = = . − . +
a. Teorema 1 : Pembagi berbentuk ( ) Jika sukubanyak ( ) berderajat dibagi ( ) maka sisa pembagiannya adalah ( ). Bukti : Pandang = . + Dengan mensubstitusikan = 0 atau = diperoleh: = . + substitusikan = = . + = 0. + = = ( ) terbukti Penentuan sisa pembagian sukubanyak dapat menggunakan cara substitusi, yaitu mencari nilai ( ) atau pembagian bersusun maupun cara sintetik (bagan Horner). b.
sisa pembagiannya adalah
7
= 0. + = ∴ = Terbukti
− − ) ( − ) maka sisa pembaginya adalah : − . + − = − − − dengan ≠ ≠ 0. Bukti : Pembagi − ( − ) berderajat 2, maka sisanya maksimum berderajat 1. Misalkan sisanya berbentuk + dan hasil baginya (). Hal ini berarti : = − − . + ( + ) Substitusikan : − = 0 ⇒ = , diperoleh : = ⇔ + = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) Substitusikan : − = 0 ⇒ = , diperoleh : = ⇔ + = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) Eliminasi-substitusi persamaan (1) dan (2), diperoleh : dan = − = − − −
c. Teorema 3 : Pembagi berbentuk 1 ( Jika sukubanyak ( ) berderajat dibagi 1
1.
2
1
1
2.
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1.
2
2.
2
2
1
2
Jadi, sisa pembagiannya:
. + − = − − − 1
1.
2
1
2.
2
2
1
1
terbukti 1
2
A. Contoh Soal
− − − − − − − −
−
1. Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak = 2 6 8 dengan + 1! 4 2 2. Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak 3 2 +5 12 dengan (3 1)! 3. Jika sukubanyak ( ) dibagi ( 1) bersisa 2 dan ( ) dibagi dengan ( + 2) bersisa -1, tentukan sisanya jika ( ) dibagi 1 ( + 2)! Jawaban : 1. Sisa dari pembagian sukubanyak = 2 6 8 dengan + 1 misalkan + 1 = 0 = 1 a. Dengan substitusi jadi 1 = 1 2 6 1 8 = 1 + 6 8 = 1 Sisa pembagian adalah S = -1 b. Dengan horner
∴
⇔ − − − − − −
2
−
1
1 -6 -1 * -1 1 -7 Sisa pembagian adalah S = -1
−1=0 ⇔ =
misalkan 3
1
0
-8 7 -1
∴
− 2
2. Sisa dari pembagian sukubanyak 3
−
4
2
+
− 12 dengan 3 − 1
+5
3
a. Dengan substitusi Jadi
1
1 4
1 2
3
3
3
= 3. − 2.
+ 5.
1 3
− 12 = −10
14 27
8
∴ Sisa pembagian adalah S = −10 Dengan Horner 3 0 -2 1 = * 1
14 27
b.
4
3
2
1 3
3
3
1
5 5
-
0
-12 40
9
5
40
3 14
9
-
1
+
27 -
284 27
=
−10
14 27
∴ Sisa pembagian adalah S = −10 Jika sukubanyak () dibagi ( − 1) bersisa 2 dan () dibagi dengan ( + 2) bersisa -1 tentukan sisanya jika ( ) dibagi − 1( + 2). Jawaban : Jelas = − 1 + 2 + + Untuk pembagi ( − 1) sisanya 2 1 = 2 Misalkan − 1 = 0 ⇔ = 1, jadi 1 = 1 − 11 + 2 1 + (. 1 + ) 1 = + ∴ + = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) Untuk pembagi ( + 2) sisanya -1 Misalkan + 2 = 0 ⇔ = −2,jadi −2 = 1 − 1−2 + 2 1 + ( . (−2) + ) −2 = −2 + ∴ −2 + = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) Eliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh = 1 dan = 1. Jadi, ()dibagi − 1( + 2) bersisa ( + 1). 27
3.
B. Latihan Soal Kompetensi 3 Petunjuk: Pilih salah satu jawaban yang tepat
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
1. Jika ( ) dibagi ( + 2) bersisa 14 dan dibagi ( 4) bersisa -4, maka ( ) 2 dibagi ( 2 8) bersisa . . . . a. 3 + 8 d. 2 + 4 b. 3 8 e. 8 + 3 c. 2 4 2. Suatu sukubanyak ( ), jika dibagi ( 2) sisanya 5 dan dibagi ( + 3) sisanya -10. Jika ( ) dibagi ( 2 + 6) sisanya adalah . . . . a. 3 + 11 d. 5 + 5 b. 3 1 e. 10 15 c. 5 5 3. Jika ( ) dibagi oleh ( 2 2 ) dan ( 2 3 ) masing-masing bersisa (2 + 1) dan (5 + 2). Maka ( ) 2 dibagi ( 5 + 6) bersisa . . . . a. 22 + 49 d. 12 19 b. 12 + 29 e. 22 39 c. 12 + 19 4. Diketahui = . . jika ( ) dibagi ( 2) dan ( + 2) sisanya 6 dan
− − − − − − − − − − − − − − − − a. + 4 + 8 b. + 4 − 8
10. Jika ( ) dibagi ( 2) dan ( + 2) sisanya 2 dan 2. Sisa pembagian ( ) oleh 2 4 adalah . . . . a. 16 2 d. 2 + 16 b. 2 16 e. 16 + 2 c. 2 + 16 5. Diketahui suku banyak ( ), apabila 2 dibagi + 4 + 3 bersisa 2 + 17 dan apabila dibagi ( 2 4) bersisa 3 5. Sisa pembagian ( ) oleh ( 2+ 6) adalah . . . . a. 3 + 17 d. 2 + 5 b. 3 17 e. 3 + 17 c. 2 5 6. Jika sukubanyak ( ) dibagi dengan ( 1), + 1 , dan ( 3) maka sisanya berturut-turut adalah 12, 4, dan 2 16. Jika ( ) dibagi dengan 1 − 3, sisanya adalah . . . . 1
2
1
2 1
2
2 1
2
2
9
+ − () c. − −() d. − − () e. + −() 7. Jika suku banyak () dibagi − 9. Sukubanyak ( ) habis dibagi + 1 ( − ) dengan ≠ maka sisa dan dibagi ( − 4) bersisa 4 + 16. Sisa pembagiannya adalah . . . . pembagian ( ) oleh − 4( + 1) − − + − () a. adalah . . . . − − − a. 4 + 4 d. + 4 b. + ( ) − − b. 4 + 4 e. + 4 + 4 − − c. + ( ) c. + 4 − − − − 10. Sisa pembagian sukubanyak () dengan d. + ( ) − − − 1( − 2) adalah . . . . − − e. + ( ) a. − 1 1 + − 2 (2) − − 8. Jika polinom () dibagi oleh (− ) b. − 11 − − 2(2) memberikan hasil bagi ( ) maka nilai c. − 1 2 + − 2 (1) d. − 12 − − 2(1) adalah . . . . e. 1 − 2 − (2 − ) (1) a. − − () − 4 − 8 d. − + 4 + 8 e. − + 4 − 8 c.
1 2
1
2
2
b.
1
2
1
2 1
2
2 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4. Teorema Faktor A. Pengertian Faktor dan Teorema Faktor Misalkan ( ) suatu suku banyak, ( ) merupakan faktor dari ( ) jika dan hanya jika = 0. Jadi dari definisi di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa faktor berarti sisa pembagian sama dengan nol. Teorema faktor erat kaitannya dengan penentuan akar-akar suatu persamaan. Manakala seseorang dapat mengetahui akar-akar dari suatu polinom maka faktor dari polinom tersebut tentunya mudah untuk diketahui, begitu pula sebaliknya. Berikut ini algoritma penentuan akar-akar rasional persaman polinom : 1. Selidiki apakah jumlah koefisien-koefisien ( ) adalah nol Bila ya, maka = 1 merupakan akar dan 1 merupakan faktornya. Bila tidak, lakukan langkah yang kedua 2. Selidiki apakah jumlah koefisien-koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien-koefisien berpangkat ganjil! Bila , maka = 1 merupakan akar dari = 0. Bila tidak, lakukan langkah (3)
−
−
−
3. Tentukan faktor-faktor dari
, lakukan dengan cara coba-coba
Teorema akar-akar Vieta Persamaan suku banyak berderajat : + −1 −1 + −2 Mempunyai akar-akar : 1 , 2 , 3 , , , maka : −1 + = o 1 + 2 + 3 + o
o
− + … + … ⋯ − . + . + . + ⋯ + − . = − . . + . . + ⋯ + − . − . = − − 1
2
1
2
1
3
3
1
2
2
3
4
0
2
1
2
2
1
3
=0
10
o
. . … . = (−1) . 1
2
0
3
B. Pembagian Istimewa Pada saat mempelajari teorema faktor, pembagian yang dipakai berbentuk umum. Dalam pasal ini akan dijelaskan pembagian sukubanyak istimewa dengan pembagian yang berbentuk sukubanyak istimewa pula. Aturan pembagian istimewa : 1. 2. 3.
− = − −1 dengan suku ke- dari hasil bagi = − −1 . =1 − − = (−1) +1 − −1 dgn suku ke- dari hasil bagi = (−1) +1 − −1 . =1 + + = (−1) +1 − −1 dgn suku ke- dari hasil bagi = (−1) +1 − −1 . =1 +
C. KPK dan FPB antar suku banyak KPK kependekan dari Kelipatan Persekutuan Kecil dan FPB kependekan dari Faktor Persekutuan Besar. Cara untuk menentukan FPB dari dua sukubanyak yaitu dengan memfaktorkan masingmasing polinom.Cara untuk menentukan KPK dari dua suku banyak yaitu dengan ketentuan sebagai berikut: 1. KPK dari dua sukubanyak =
2. Untuk sebarang sukubanyak ( ) dan ( ), maka: . = (FPB dari kedua suku banyak). (KPK dari kedua sukubanyak)
A. Contoh Soal
− − 2. − 5 −− 22 + mempunyai faktor − 4 − 5!
1. Carilah faktor-faktor dari 2 2 3 2. Carilah nilai dan agar ( ) =
3. Carilah nilai yang mungkin agar pecahan − dapat disederhanakan! 4. Tentukan hasil bagi sukubanyak untuk setiap pembagian istimewa berikut ini. a. − : ( − ) c. − : ( + ) b. − : + − ! 5. Hitunglah nilai dari 6. Tentukan FPB dan KPK dari polinom-polinom berikut ini! a. 8( − + ) dan 28( + 1) c. (2 − 3 − 2) dan ( − 4 + 4 ) b. ( − ) dan − 7. Tentukan akar-akar dari persamaan suku banyak berikut ini! a. + 3 − − 3 = 0 c. − 15 − 10 + 24 = 0 b. 2 + 5 − 4 − 3 = 0 d. 2 − 9 + 2 + 1 = 0 8. Jika akar-akar persamaan sukubanyak + 2 − 5 − 6 = 0 adalah , , dan maka hitunglah : a. + + d. + + b. + + c. 9. Diketahui , , dan adalah akar-akar dari persamaan sukubanyak + 3 − 1 = 0 . carilah nilai eksak dari ( + + )! 3
3
4
4
3
2
2
2
7 +
2
3 +2
5
5
807+289 2 + 807 289 2 807 2 +2892
3
2
4
3
4
3
6
2
4
2
2
1 2
2
3
3
1
3
1 3
2
6
2
3
3
2
2
1
1
2
2
2
3
2
2
2 3
1 2 3
3
3
3
3
3
11 Jawaban : 1. Misalkan
= 2 −3 − 2. Perhatikan faktor-faktor dari 2, yaitu ±1 dan ±2. Jadi kemungkinannya adalah yaitu ±1, ±2, ± . Pilih = 2 ⇔ − 2 = 0, maka 2
1
0
2
2
1
2 x=2 * 2 Jadi polinom 2 2 Jadi faktor dari 2
0
-3 -2 4 2 + 1 0 3 2= 2 2 +1 +0 3 2 adalah ( 2) dan (2 + 1)
− − − − − − 2. Nilai dan agar ( ) = − 5 − 22 + mempunyai faktor − 4 − 5. 2
3
2
2
Ingat, dikatakan faktor berarti sisa pembagian sama dengan nol. Dengan menggunakan horner-kino kita peroleh:
5
1 4
*
3
−− = 5 −− = 4
-22 5 16 − 20 21 − 42
2
-5 *
*
0
* + 4 − 5 20 + − 25 karena sisa pembagian sama dengan nol, maka: 21 − 42 + 20 + − 25 = 0 + 0 Sehingga 21 − 42 = 0 ⇔ = 2, dan = −15. Jadi, nilai dan masing-masing adalah 2 dan -15. Perhatikan bagian penyebut pecahan: − 3 + 2 = − 1( − 2) Hal itu berarti pecahan itu dapat disederhanakan manakala ( − 1) atau ( − 2) merupakan faktor dari sukubanyak pembilang − 7 + . Berdasarkan teorema faktor dengan menggunakan substitusi diperoleh : 1 = 0 ⇒ 1 − 7.1 + = 0 ⇒ = 6 2 = 0 ⇒ 2 − 7.2 + = 0 ⇒ = 10 Jadi pecahan tersebut dapat disederhanakan manakala bernilai 6 atau 10.
4
1
3.
20 − 25
1
2
2
2
o
2
o
4. Hasil bagi sukubanyak untuk setiap pembagian istimewa nomor 4 adalah: 3 3 a. = 2+ + 2 4 4 2 3 b. + = 3 + 2 5 3 3 c. + 5 + = 4 + 2 2 + 4
− ∶ − − ∶ − − ∶ − − − ! 5. Nilai dari Misalkan 807 = dan 289 = maka akan diperoleh : − = = − = 807+289 2 + 807 289 2 807 2 +2892
+
2+
2
2+ 2
2 +2
+ 2+ 2 2
+ 2
2+ 2
2 2 +2 2 2+ 2
6. FPB dan KPK dari polinom-polinom berikut ini! 2 a. 8( 3 + ) dan 28( 3 + 1) Pemfaktoran masing-masing polinom: 2 8 3 + = 23 . . 2 +1 3 2 2 28 + 1 = 7. 2 . + 1 ( + 1)
− −
− −
2
= 2 +
2+ 2
2
2
12
− − − − − − − − )( + ) − − − + − ( + + ) − − − − ) + − − − − − − − − − − −
Jadi, FPB = 22 . 2 +1 = 4 2 +1 3 2 KPK = 2 . 7. . + 1 ( + 1) = 56 4 + 4 6 b. ( 4 ) dan 6 4 4 2 2 2 = 2+ 2 = + 2 ( 6 6 3 3 2 = 3+ 3 = + 2 Jadi, FPB = + = 2 2 KPK = + + 2 ( 2+ + 2 3 2 c. (2 3 2) dan ( 4 +4 ) 2 2 3 2 = 2 +1 ( 2) 3 2 4 +4 = ( 2)( 2) Jadi, FPB = ( 2) KPK = (2 + 1)( 2)2
2
2
2
2
2
7. Tentukan akar-akar dari persamaan suku banyak berikut ini! 3 a. +3 2 3=0 Langkah pertama jumlah koefisien-koefisien = 1 + 3 1 3 = 0, jadi dari ( ) berdasarkan bagan horner maka diperoleh:
2
−−
3
1 * 1
=1
− −
2
3 1 4 = 1 dan hasil bagi
1
-1 4 3 =
= 1 merupakan akar
0
-3 3 0 +4 +3
+
2 Diperoleh akar Langkah kedua Karena merupakan fungsi kuadrat, maka tinggal difaktorkan. Sehingga 2 +4 +3=0 +1 +3 =0 Jadi, 1 = 1 dan 2 = 3 Langkah ketiga, kesimpulan: Jadi akar-akar dari polinom 3 + 3 2 3 = 0 adalah: 1, dan 3 = 3. 1 = 1, 2 = 3 2 b. 2 + 5 4 3=0 Langkah pertama Jumlah koefisien-koefisien = 2 + 5 4 3 = 0, jadi = 1 merupakan akar dari ( ). Berdasarkan bagan horner maka diperoleh
− −
−
− − −
2 * 2
=1
3
−−
− −
2
5 2 7 = 1 dan hasil bagi
1
-4 7 3 = 2
0
-3 3 0 +7 +3
+
2 Diperoleh akar Langkah kedua Karena ( ) merupakan fungsi kuadrat, maka tinggal difaktorkan. Sehingga 2 2+7 +3=0 +1 +3 =0 2
Jadi, = − , dan = −3. 1
1
2
2
13 Langkah ketiga, kesimpulan Jadi akar-akar dari polinom 2
+ 5 − 4 − 3 = 0 adalah : = 1, = − , dan = −3. − 15 − 10 + 24 = 0 Langkah pertama Jumlah koefisien-koefisien : 1 − 15 − 1 0 + 2 4 = 0. Jadi, = 1 merupakan akar dari = 0. Berdasarkan bagan Horner: 1 0 -15 -10 24 1 1 -14 -24 + =1 * 1 1 -14 -24 0 Hasil bagi, = + − 14 − 24 Langkah kedua Jumlah koefisien-koefisien : 1 + 1 − 14 − 24 = −36 ≠ 0, jadi = 1 bukan akar dari ( ). Jumlah koefisien-koefisien variabel berpangkat genap : 1 − 24 = −23 Jumlah koefisien-koefisien variabel berpangkat ganjil: 1 − 14 = −13 Karena −23 ≠ −13 maka = −1 bukan akar dari (). Langkah ketiga Misalnya + + + = + − 14 − 24 . Faktor = ±1 Faktor = ±24,±12, ±8, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1 Akar-akar yang mungkin adalah hasil bagi dari faktor-faktor Karena 1 dan -1 bukan merupakan akar-akar dari () (telah diuji pada langkah kedua) jadi tidak perlu diuji. Coba = −2 dengan bagan Horner, diperoleh : 1 1 -14 -24 * -2 2 24 + = −2 1 -1 -12 0 Jadi = −2 merupakan akar dari ( ) dan hasil bagi = − − 12. Karena hasil bagi merupakan persamaan kuadrat maka cukup difaktorkan: − − 12 = − 4 + 3 Jadi = 4 dan = −3. Jadi kesimpulan akar dari − 15 − 10 + 24 = 0 adalah : = 1, = −2, = 4, dan = −3 2 − 9 + 2 + 1 = 0 Misalkan + + + = 2 − 9 + 2 + 1 dengan = 2 dan = 1. Faktor dari = ±1, ±2 Faktor dari = ±1 3
2
1
1
c.
4
2
3
2
2
4
3
3
2
1
0
2
3
3
2
2
1
3
0
2
3 0
0 3
3
2
1
0
2
2
1
2
4
d.
3
1
2
2
3
2
3
3
2
2
2
1
3
0
2
3
0
3 0
Akar-akar yang mungkin adalah hasil bagi faktor-faktor dari Misalkan
=
= 1/2
1 2
0
. 3
, dengan bagan horner diperoleh :
3
2 * 2
2
-9 1 -8
1
2 -4 -2
0
1 -1 0
+
14
Jadi,
=
1 2
merupakan akar rasional dengan hasil bagi
= 2 − 8 − 2. 2
Bentuk persamaan kuadrat pada hasil bagi tidak dapat difaktorkan, sehingga untuk mencari akar yang lain dapat dilakukan dengan rumus ABC berikut ini:
= − − = 22 +− 55
− −
( 4)± 16 4.1.( 1)
1,2
2.1
4±2 5
=
2
=2± 5
− 9 + 2 + 1 = 0 mempunyai sebuah akar yaitu : = , = 2 − 5 dan = 2 + 5 . 8. Akar-akar persamaan sukubanyak + 2 − 5 − 6 = 0 adalah , , dan . Misalkan + + + = + 2 − 5 − 6 a. + + = − = − = −2 − = −5 b. + + = = − =6 c. = − = − d. + + = + + − 2 + + = (−2) − 2. −5 = 14 9. Pada persamaan − 3 − 1 = 0, karena , , dan akar-akar persamaan di atas, maka: + 3 − 1 = 0 → = 1 − 3 + 3 − 1 = 0 → = 1 − 3 + 3 − 1 = 0 → = 1 − 3 + + + = 3 − 3 + + = 3 − 3.0 = 3 Jadi nilai eksak dari + + = 3. Jadi , persamaan sukubanyak 2
3
2
1
1
2
2
3
3
3
3
1
2
1 2
1
1
3
1 3
2
2
3
1
2
2 2
3
3
3
0
1
2
2
3
5
1
2 3
1
3
( 6)
0
1 2 3 2
2
2
2
1
2
1
2
3
2
1 2
1 3
2 3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
B. Latihan Soal Kompetensi 4 Petunjuk: Pilih salah satu jawaban yang tepat
− − − −
−
1. Jika ( 1) dan ( 2) keduanya b. 1 e. + 4 merupakan faktor dari polinom = c. + 1 3 2 3 +2 4 maka nilai harus 4. Jika sukubanyak 3 + + habis dibagi 2 sama dengan . . . . oleh + + 1 maka ( + ) sama a. 0 d. 3 dengan . . . . b. 1 e. 4 a. -2 d. 1 c. 2 b. -1 e. 2 2 2. Jika 2 merupakan faktor dari c. 0 4 3 2 polinom =2 3 + + + 5. Hasil bagi dari pembagian polinom 3 + 3 : ( + ) adalah . . . . 6 maka nilai dan berturut-turut adalah. . .. a. 2 + 2 d. 2 + + 2 2 2 a. 18 dan -21 d. 5 dan -6 b. 2 e. 2 b. 16 dan -17 e. -6 dan 5 c. 2 + 2 817 817 817 −98 98 98 c. 6 dan -7 6. = . 3 817 817 +98 98 817 98 3. Jika 12 + habis dibagi oleh a. 1.329 d. 719 ( 2), maka 3 12 + juga habis b. 915 e. 617 dibagi dengan . . . . c. 805 a. 3 d. + 2
−− −
− − − −
− −
−− …
15 7. Suku kelima dari pembagian istimewa: 28 28 ( ) adalah . . . . 23 4 a. . d. 25 . 3 b. 24 . 3 e. 23 . 5 c. 25 . 4 8. Suku kesepuluh dari pembagian istimewa: 14 14 ( + ) adalah . . . . 4 10 a. d. 4 10 4 9 b. e. 3 10 c. 4 9 3 4 9. FPB dari + 2 + + 1 dan 1 adalah . . . . 2 a. 2 1 +1 2 b. + 1 ( + 1) c. + 1 ( 2 1) d. 2 + 1 + 1 ( 3 + 1) e. 2 1 + 1 ( 3 + 1) 10. FPB dari 4 2 25 dan 8 3 125 adalah . . . . a. (2 25) d. (2 + 25) b. (2 5) e. (2 + 5)2 c. (2 + 5) 11. KPK dari sukubanyak P dan Q dengan = + 3 2( 2) + 1 2 dan = 2 1 + 3 ( + 4) ditentukan oleh . . .. a. 2 ( + 4) + 3 2 + 1 2 b. 2 +1 + 3 2 ( + 4) c. 2 + 1 2 + 3 ( + 4) d. 1 2 + 3 ( + 4) e. +1 2 + 3 ( + 4) 3 2 3 12. KPK dari 2 dan + 2 adalah . . . . 2 a. ( 2) d. ( 3 2 ) 4 3 b. ( + 2) e. ( 2 2) c. ( 2 + ) 13. Banyaknya akar real dari persamaan polinom: 5 + 4 2 3 + 2 + 2=0 adalah . . . a. 5 d. 2 b. 4 e. 1 c. 3 14. Jika = 2 merupakan salah satu akar dari 2 persamaan sukubanyak 2 4 + 5 3
− ∶ − − ∶ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− −
a. , 2 , 3 b. −3, −2, − c. −2, − , 3 d. −3, −2, e. −2, , 3
20 + 12 = 0, himpunan penyelesaian dari akar yang lain adalah. . . . 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
15. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari 5 persamaan polinom 5 3+6 2 14 + 12 = 0 adalah . . . . a. 5 d. 2 b. 4 e. 1 c. 3 2 16. Persamaan polinom: 3 32 + = 0 memiliki sebuah akar = 2. akar-akar yang lain adalah . . . . a. -6 dan 2 d. 2 dan 5 b. -6 dan 3 e. 3 dan 5 c. -5 dan 6 17. , , dan merupakan akar-akar persamaan 3 12 2 + 28 + = 0. jika = + maka nilai sama dengan . . . . a. 54 d. 24 b. 48 e. 12 c. 36 18. , , dan merupakan akar-akar 3 persamaan + 2+ + = 0. Hasil 2 2 2 + + = . 2 a. +2 d. 2 + 2 b. 2 2 e. 2 2 c. 2 2 19. Sepasang akar-akar persamaan 2 3 + 2 13 = 6 saling berkebalikan. Jumlah akar-akarnya adalah . . . . a. 2 d. -1/2 b. 1 e. -1 c. 1/2 20. Jumlah akar-akar dari persamaan 3 3 + 4 2 4 = 0 adalah . . . . a. 4 d. -3/4 b. 4/3 e. -4/3 c. 0
−
−
− −
− − − −
−
… −