SMK NEGERI 5 MALANG Kata Pengantar \
Modul Matematika Untuk TKJ, RPL, dan ANIMASI
Hanya Untuk Kalangan Sendiri Dilarang Mengcopy atau Memperbanyak Tanpa Seijin Penyusun
Matriks
MATRIKS A. PENGERTIAN MATRIKS 1. Definisi Matriks
Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ]. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst. Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut :
Keterangan : a
= Notasi matriks
i j
= Ordo matriks
i
= Banyak baris
j
= Banyak kolom kolom
Contoh Soal 1: A33
1 2 3 5 7 6 3 8 2
Ordo matriks adalah 3 3 1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3
2. Jenis-jenis Matriks
1. Matriks Persegi Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. (m = n)
1 2 2 3
Contoh : A22 2. Matriks Baris
Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris Contoh : A 1 3 5 7 Halaman 2
Matriks
3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom
1 Contoh : A 3 5 4. Matriks Nol Yaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0
0 0 Contoh : A 0 0
B 0
5. Matriks Identitas / Satuan Yaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol).
1 0
Contoh : A 0 1
1 0 0 B 0 1 0 0 0 1
6. Matriks Diagonal Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 (nol)
1 0 0 2 0 B 0 2 0 Contoh : A 0 1 0 0 3 Matriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama.
p q a b = c d r s a p, b q, c r , d s
7. Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
4 0 Contoh : A 0 4
2 0 0 B 0 2 0 0 0 2
8. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Halaman 3
Matriks
Contoh :
1 2 4 0 1 4 0 0 6 9. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
2 0 0 D 2 1 0 4 5 4
3. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks tersebut sama. Contoh Soal 1:
1 2 Diketahui matriks A 3 4
1 3 1 2 B C 3 4 3 4
Tentukan: a. Apakah matriks A = B? b. Apakah matriks A = C? Jawab: a. Matriks A matriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yang seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 ≠ – 3. b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan seletak dengan anggota pada matriks B
Contoh Soal 2: Diketahui matriks-matriks berikut.
2 7 2 7 B x 2 y . Jika A = B, tentukan nilai x dan y . 5 4
A
Jawab: Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh: x = 5
dan
2y = 4 y = 2 Halaman 4
Matriks
Jadi, nilai x = 5 dan y = 2
4. Transpose Matriks
Adalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom Tranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose). Sehingga tranpose matriks A adalah A t
a1 a2 Jika A b1 b2
a1 , maka At a 2 b3 a3
b1
a3
b3
b2
Jika matriks A berordo m × n maka transpos A memiliki ordo n × m. Secara Umum bisa dituliskan :
Am n
, maka
A t nm
Contoh Soal:
2 7 1. A22 maka 1 4 2. B23
6 0 3 2 6 1
2 1 7 4
At 22
maka
B t 3 2
6 2 0 6 3 1
Latihan Soal 1 1.
2 8 3 4 Diketahui matriks A = 1 1 0 5 . Tentukan : 7 6 2 0 a) Ordo matriks A b) Elemen kolom ke-4 c) Elemen yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3 d) Ordo matriks At dari matriks A
2.
1 1 2 4 0 1 1 3 . Tentukanlah: Diketahui matriks B = 2 1 1 0 3 1 2 5 a) banyaknya baris dan kolom b) elemen-elemen pada setiap baris Halaman 5
Matriks
c) elemen-elemen pada setiap kolom d) letak elemen-elemen berikut: (i)
3.
-2
(iii)
4
(ii) - 3
(iv)
5
Buatlah : a. Matriks kolom b. Matriks segitiga atas c. Matriks segitiga bawah d. Matriks diagonal utama e. Matriks identitas berordo 3 3
4.
Tentukan matriks transpose dari :
4 2 c. B = 3 0
a. A = 4 1 3
5.
6 2 3 1 b. C = 1 d. D = 4 2 0 3 Tentukan nilai a dan b dari matriks berikut :
0 4 0 4 a. 5 15 a b 3 a 6 7 b. 8 8 2a
c.
3
6.
1 10
3b 3
1
12
Tentukanlah p dan x , jika At = B. 0 8 1 2 p B a. A dan 1 p x 0 6 3 p 1 6 1 B b. A dan x 2 p 2 8 2
7.
Diketahui matriks :
a log b b 3 10 a A , B 3 b 2c 16 8 a Tentukan nilai a, b dan c agar matriks A sama dengan matriks B. 8.
3a 4c 6 3b , B = , dan A = B. Nilai b + c = … Diketahui A = b a 0 2 0 Halaman 6
Matriks
9. Jika matriks
4 x 2 x y 8 6 = , maka nilai x, y, z berturut-turut adalah .... x z 2 2 5 12
10. Diketahui matriks
5 a 3 = b c 2
5 2 3 , nilai dari a 2 + 3b - c = .... 2a 2 ab
B. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Operasi Penjumlahan
Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks – matriksnya mempunyai ordo sama.
a1
a2
a3
a4
A
b1 B b3
b2
b4
b1 b2 a1 b1 a2 b2 a4 b3 b4 a3 b3 a4 b4
a1
a2
A B
a3
Contoh Soal 1:
3 5 11 3 Diketahui matriks A = , matriks B = 7 9 . Hitung A + B! 7 2 Jawab:
3 5 11 3 3 11 5 (3) 14 2 A + B = 7 9 7 (7) 2 9 0 11 7 2 2. Operasi Pengurangan
Pengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama
a1
a2
a3
a4
A
a1
A B
a3
b1 , B b3
b2
b4
b2 a1 b1 a4 b3 b4 a3 b3 a2 b1
a2 b2
a4 b4
Contoh Soal 2:
4 0 6 4 Diketahui A = ; B = 2 4 . Hitung A – B! 3 6 Jawab:
4 0 6 4 4 6 0 4 10 4 A – B = 2 4 = 3 2 6 4 = 1 3 6 2 Halaman 7
Matriks
Contoh Soal 3 : Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut
4
A
1
6 2 4
4 3 1
Jawab:
2 4 4 6 2 4 4 6 2 2 = = 3 1 1 4 31 1 (4) 2 5
A =
Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka berlaku sifat-sifat berikut: 1.
A + B = B + A (Komutatif )
2.
A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif )
3.
A – B
≠ B – A (Anti Komutatif )
Latihan Soal 2 1.
Diketahui matriks :
1 2 0 1 C = 3 3 . Hitung : 3 2
B =
a. B + C b. Bt + C 2.
Diketahui matriks-matriks berikut.
5 5 1 2 3 4 A 2 1 ; B 2 1 ; dan C 2 3 4 6 3 1 4 1 Tentukanlah:
3.
a.
A+B
c.
A + (B + C)
b.
A + Bt
d.
(A + Bt) + C
Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :
0 5 4 4
a. 4.
6 8 1 4 b. 7 4 3 2
Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :
Halaman 8
Matriks
4 0 5 4 0 3 3 1
a. 5.
Tentukan hasil pengurangan dari matriks berikut :
4 0 5 4 a. 0 3 3 1 6.
x y 4 x 4 y b. 3 x y x y 3
x y 4 x b. 3 x x y 3
4 6 8 0 Diketahui : A B 3 4 3 1
2
C
4 y
y
0
3 2
2 3 4 2
D
Hitung :
7.
a. A – B
c. (A + B) – C
b. A – (D – B)
d. (A – B) + (C – D)
Tentukan matriks A, B dari persamaan matriks berikut :
4 1 5 0 a. A 6 1 0 6 8.
Tentukan matriks P, S dari persamaan matriks berikut :
4 2 5 6 a. B 2 0 1 3 9.
5 1 2 3 b. P 0 5 2 0 2 0 1 2 b. 5 6 S 1 3
Diketahui matriks-matriks berikut.
1 3 2 1 3 2 A 1 0 4 dan B 1 0 4 5 4 3 5 4 3 Tentukanlah matriks C yang memenuhi 3C - 2A = B. 10. Diketahui
5 3 c b 14 14 + = . penjumlahan matriks : a d 2 4 2 2
Nilai a, b, c, dan d berturut-turut adalah .......
3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.
a1
K
a3
K a1 K a2 a 4 K a3 K a4 a2
Halaman 9
Matriks
Contoh Soal :
6 0 Jika diketahui K = 4 dan matriks A = . Hitung K A ! 3 7 Jawab :
6 0 46 40 24 0 K A = 4 3 7 4(3) 47 12 28
Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1.
aD + aH = a(D + H)
2.
aD + bD = (a + b)D
3.
a(bD) = (ab)D
4. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A. Matriks Am
n
Bn
p
C m
p
Ordo hasil perkalian
1. Jika matriks A1 2 = a1
b1 a2 dan matriks B2 2 = b3
b1 a 2 b3
Maka A B = a1
a1 b1 a 2 b3
a1
2. Jika matriks A2 2 =
a3
Maka
a1
A B =
a3
a2
b2
b4
b2
b4 a1 b2 a 2 b4
a2
b1 dan matriks B = 2 2 b a4 3
b1 b a4 3
b2
b4
a1 b1 a 2 b3 a1 b2 a 2 b4 a3 b1 a4 b3 a3 b2 a 4 b4
=
Halaman 10
b2
b4
Matriks
Contoh soal 1:
1 2 . Hitung A B ! 3 1
Diketahui matriks A = 2 3 , B = Jawab :
1 2 A B= 2 3 3 1 = 2(1) (3)3 2 2 (3)1 = 2 9 4 3 = 11 1 Contoh Soal 2 :
2 4 6 2 A= , B = 3 1 , hitung A B ! 3 6 Jawab:
2 4 6 2 A B = 3 1 3 6
26 43 22 41 36 63 32 61
=
12 12 4 4 = 1818 6 6 24
=
8
36 12
5. Perpangkatan Matriks Persegi
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut. A2 = A × A A3 = A × A × A An = A × A × A ... × A
Contoh soal:
2 4 JIka A = , hitung A2 ! 3 6 Jawab: Halaman 11
Matriks
2 4 2 4 A2 = 3 6 3 6
2.2 4.3 2.4 4.6 3.2 6.3 3.4 6.6
=
4 12 8 24 6 18 12 36
=
16 32 = 24 48 Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. •
P+Q=Q+P
•
(P + Q) + R = P + (Q + R)
•
P(Q+ R) = PQ + PR
•
(P + Q)R = PR + QR
•
P(Q - R) = PQ - PR
•
(P - Q)R = PQ - QR
•
a(P + Q) = aP + aQ
•
a(P - Q) = aP - aQ
•
(a + b)P = aP + bP
•
(a - b)P = aP - bP
•
(ab)P = a(bP)
•
a(PQ) = (aP)Q = P(aQ)
•
(PQ)R = P(QR)
Latihan Soal 3 1.
Tentukan hasil perkalian dari :
3 a. 2 = … 4
4 d. -5 = … 3
2 3 b. 4 = … 1 4
e.
2a 1 = … b 2
c. 3
6 3 = … 3 4 9
1
1 2a f. -6 1 3 Halaman 12
1 12 = … 2 b 3
Matriks
2.
3 1 0 4 Jika A = , dan B = 1 4 4 2 Hitung : a.
A B
b. 2(A + B) 3.
Jika M matriks berordo 2 2, tentukan M dari persamaan berikut :
5 1 1 4 a. 2 M 2 3 10 0 4 7 16 10 4 0 2 6
b. 3 M
4.
4 8 a b Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut 2 c d . 12 16
5.
Tentukan hasil perkalian dari matriks – matriks berikut : a.
4 4 3
2
d.
4 5 b. 2 3 1 0 1 1 2
4 2a
a
3
2 e. 2 4 1 4 1
2 3 3 0 3 0 4 c. 1 2 2 1 2 6.
Jika diketahui matriks
1
4 2 1 0 , B = , C = 1 0 0 1 2 3
A =
4
Tentukan :
7.
a. A B
d. At C
b. B2
e. B (C + A)
c. A B + B
f.
d. A (B C)
h. (B (C + A))t
-4 (B A)
6 12 30 Jika 2a 3b tentukan nilai a dan b. 10 6 24
Halaman 13
Matriks
8.
9.
x 2 1 3 4 x + . Maka nilai adalah … Jika = y 0 2 2 1 y Diketahui matriks-matriks berikut.
a 1 0 1 0 1 a b , dan C , B c d 1 1 b c
A
Jika A B t C 2 , tentukan nilai a, b, c, dan d.
10. Nilai
k yang memenuhi persamaan :
2 4 2 1 8 6 = adalah … 6 3 3 0 k 3
Sifat – sifat tranpose matriks
Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. 1.
(A+B)t = At + Bt
2.
(At)t
= A
3.
(cA)t
= cAt
4.
(AB)t = BtAt
dengan c adalah konstanta
Contoh Soal :
2
3
2 5 dan B = 1 3 . Tunjukkan bahwa : 4 1
Jika matriks A = a. (At)t = A b. (A + B)t
c. (A B)t = Bt At Jawab: a. At
(At)t
2
4
2
3
=
3 1
=
4 1
Jadi (At)t = A
b. A + B
2
3 2 5
1 3 4 1
=
At + Bt
Halaman 14
2 1 2 1 5 3 5 3
=
Matriks
4 8 5 2
4 5 = 8 2
=
4 5 (A + B)t = 8 2 Jadi, (A + B)t = At + Bt
2
3
2 4 2 1 3 1 5 3
2 5 1 3 4 1
c. A B =
Bt At =
25 33 22 31 42 (1)1 45 (1)1
22 13 24 1(1) = 5 2 33 54 3(1)
=
4 3 10 9 81 20 3
4 3 8 1 = 10 9 20 3
7 19 = 7 17
7 7 = 19 17
=
7 7 (A B)t = 19 17 Jadi, (A B)t = Bt At
Latihan Soal 4
3 1 4 6 4 0 Jika A = , B = dan C = 2 4 . Tentukan : 1 2 2 1 1.
(At)t
6. Bt At
2.
(Bt)t
7. At B
3.
(A + B)t
8. (A + B + C)t
4.
(A B)t
9. (A B)t + (A C)t
5.
(A C)t
10. (Bt At ) – (At B)
C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks
Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Halaman 15
Matriks
Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. a. Determinan matriks berordo dua Diagonal sekunder
a b c d
A22
det A = |A|= ad bc
maka Diagonal utama
Contoh :
2 3 Jika matriks A = cari determinan matriks A ! 4 6 Jawab: det A = |A|= ad bc = 2634 = 12 – 12 = 0
b. Determinan matriks berordo tiga menggunakan aturan Sarus
A33
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a11 det A =|A|= a21 a31
a12 a22 a32
a13
a33 a23
_
a13 a11
a12
a23 a21
a22
a33 a31
_
_
a32
+
+
+
det A=|A|= a11 a12 a33 a12 a 23 a31 a13 a 21 a32 a31 a 22 a13 a32 a 23 a11 a33 a 21 a12
Contoh Soal :
2 1 4 Tentukan determinan matriks A 4 2 1 . 5 1 3 Jawab: _
2 1 4 2 1 det A 4 2 1 4 2 5 1 3 5 1 +
Halaman 16
Matriks
= 223115 441524112341
det A
= 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21
Contoh 3:
2a 10 4 Diketahui matriks A = . a 3 Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A =
2a 10
4
3
a
((2a – 10) × a) – (–3× 4) = 2a 2 – 10a + 12
Oleh karena det A = 0 maka 2a 2 – 10a + 12 0
a 2 – 5a + 6 0 (a – 3)(a – 2) 0 a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2
a = 3
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3.
2. Adjoint Matriks
Adjoint disingkat Adj. Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :
a b d b , maka Adj A = c a c d
Jika matriks A = Contoh Soal :
Tentukan matriks adjoint dari :
4 7 1. A = , 1 2
maka
2 7 Adj A = 1 4
Halaman 17
Matriks
3 1 = ( 2 ) 10
10 3 2. B = , maka 2 1
Adj B=
2 1 3. C = , maka 7 4
Adj C =
1 3 2 10
(1) 4 = 2 (7)
4 1 7 2
3. Invers Matriks
Jika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A – 1 dan A – 1 = I, dimana I adalah matriks identitas. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers. •
Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
•
Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
a b invers dari A adalah A – 1 , yaitu c d
Misalkan matriks A =
A – 1 =
d b ad bc c a 1
dengan det A ≠ 0
Contoh Soal :
2 7 Diketahui matriks A = 1 4 Maka invers matriks A A – 1
=
d b ad bc c a
=
4 7 2 4 71 1 2
=
7 8 7 1 2
1
1
1 4
1 4 7 = 1 1 2
4 7 1 2
=
Halaman 18
A
Matriks
Sifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB) – 1 = B – 1 · A – 1 2. (BA) – 1 = A – 1 · B – 1 Persamaan Matriks
Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh
Contoh Soal: Jika
[ ] [ ], maka P = ….
Jawab:
[ ] [ ] A =B ] [ ] [ [ ][ ] ] [ [ ]
Latihan Soal 5 1.
2.
3.
Tentukan determinan matriks berordo 2x2 berikut :
4 3 a. B = 2 0
5 2 d. C = 3 4
0 1 b. P = 3 4
1 0 e. F = 0 1
4 2 c. N = 4 1
f.
4 6 R = 2 3
12a 9 , hitunglah determinan matriks R. a 2 1
Bila matriks R =
Tentukan determinan matriks berordo 3x3 berikut :
Halaman 19
Matriks
4.
1 0 1 a. A = 2 2 4 0 3 3
2 1 0 c. D = 3 2 0 4 3 1
0 0 0 b. M = 2 3 4 5 4 2
2 1 3 d. E = 4 2 5 6 3 1
Tentukan adjoint matriks dari matriks – matriks berikut :
2
6
4 1 a. A = 3 2
d. B =
0 1 b. C = 3 2
1 0 e. D = 0 1
3 1
2 4 c. N = 3 1 5.
Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut. a.
6.
2x 3 6 1 5
d.
6 x
0
6
5 x
0
Tentukan matriks invers dari setiap matriks berikut :
12
5
2 3 a. A = 3 5
d. B =
1 0 b. C = 0 1
1 2 6 4 e. N = P = 0 7 4 17
7
3
8 5 c. R = 3 2 7.
Diketahui matriks :
4 2 A 1 2
dan
2
B
1
0 1
Tentukan matriks invers dari :
8.
a. (A + B)
c. (B – A)
b. (A – B)
d. (A B)
5 x
Diketahui A=
5
9 x dan B= , jika determinan A dan 7 4 3 x x
determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah ....
Halaman 20
Matriks
9.
2 3 10 12 X = dengan X matriks persegi 9 1 1 2
Diketahui matriks
berordo 2. Matriks X adalah .... 10. Diketahui
1 2 1 2 , B= . Jika C=A-1 dan D=Bt , maka 3 5 3 4
matriks A=
C+D = ....
D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS
Ada dua persamaan yaitu : ax by P cx dy Q
Bila ditulis dalam bentuk matriks :
a b x P c d y = Q Maka :
x – 1 y = A
P Q
Contoh Soal : 1. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut. 2x – 3y = 4 3x – y = – 1 – 2x + 2y = 2 Jawab:
2 3 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah 3 1 . 2 2 2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara matriks 2 x y
=8
5 x 3 y = 21
2 1 x Jawab : y = 5 3
8 21
Halaman 21
Matriks
x 1 P = A y Q =
3 1 8 ad bc 5 2 21
=
3 1 8 23 51 5 2 21
1
1
1 3 1 = 1 3 2
8 21
3 1 =1 3 2
8 21
38 (1)21 = 58 221 24 21 40 42
=
3 = 2 Jadi, x = 3
dan
y = 2
3. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 5 x 3 y 30.500 2 x y = 7.500
Dalam bentuk matriks :
5 3 x 2 1 y =
30500 7500
Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut. Jika AX = B maka x1
A1 A
, x2
A2 A
, ..., x j
Halaman 22
A j A
.
Matriks
A j matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j
dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh soal : Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer! 3x - 4y = 5 5x + 6y = 1 Jawab: Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2| A
3 4 5
A1 A2
3.6 (4).5 18 20 38
6
5
4
1
6
3 5 5 1
Jadi, x
5.6 (4).1 30 4 34
3.1 5.5 3 25 22 A1 A
34 38
17 19
dan y
A2 A
22 38
11 19
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x
17 19
dan y
11 19
.
Latihan Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks. 1.
2 x 2 y 8 x 2 y 6
3 x 4 y 9 3. 2 x y 6
2.
3a 2b 7 2a b 5
2 x 5 y 12 0 4. 3 x 2 y 7 0
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer. 5.
x 2 y 4 0 2 x y 3 0
2 x 3 y 0 6. 3 y 4 x 12 0
Halaman 23
Matriks
6.
x 3 3 y 2 x 6
2 x y 1 7. x 3 y 8
9.
Harga 3 rim kertas HVS folio dan 2 rim kertas CD Rp. 35.000,- harga 4 rim kertas HVS folio dan 5 rim kertas CD Rp. 56.000,- jika pernyataan tersebut di tulis dalam bentuk matriks adalah ….
10. Pada
liburan semester, sekolah A dan sekolah B mengadakan
karyawisata ke Bali. Sekolah A menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah B menyewa 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah A sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Rp28.250.000,00. Jika diasumsikan biaya sewa per bus dan per mobil kedua sekolah tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil.
RANGKUMAN MATERI 1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk
persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. 2. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar
dalam matriks. 3. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak
dalam matriks. 4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks:
Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris. •
Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.
•
Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
•
Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
•
Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
•
Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
•
Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
•
Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Halaman 24
Matriks
•
Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemenelemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
5. Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan dan Pengurangan
- Syarat : ordo harus sama - Entry yang bersesuaian di operasikan. b. Perkalian dengan skalar
Masing masing entry dikalikan dengan skalar c. Perkalian Matriks degan Matriks
- Syarat : A(m x n) B(n x p) = C(m x p) - Baris ke-i kalikan dengan kolom ke-j (element seletak), kemudian jumlahkan 6. Transpose Matriks
Baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. 7. Sifat – sifat tranpose matriks :
1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (K A)t = KAt 4. (A B)t = Bt At 8. Invers Matriks. a b
Jika A = , maka invers dari matriks A adalah c d A-1 =
d ad bc c 1
b a
Dengan Determinan A, Det A = ad – bc 9. Sifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB) – 1 = B – 1 · A – 1 2. (BA) – 1 = A – 1 · B – 1 10.
Persamaan Matriks
-
Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh
-
Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh
Halaman 25
Matriks
EVALUASI BAB MATRIKS A. SOAL PILIHAN GANDA 1 1. Diketahui A = 2 3 dan B = 0 0 7 4
a. 0
1
, nilai A – 2B adalah …
2
1
3
0
0
d. 3
5
4 1
0 1 3
b. 0 5
e. 0
0 1
c. 0 5 1
2. Jika A = 3
2
2
, B = 0 4
3
5
, dan C = 1 1
2
, maka bentuk yang paling
0
sederhana dari (A + C) – (A + B) adalah 5
a. 5
4
4
4
7
5
b. 2 4
c. 4
3
1
d. 1 1 7 1
e. 1 1
0
4
2 1 3. Jika A = 4 2 2 a. 6
2
4 b. 2
6
1 1 , dan B = 3 2 , maka matrik A.B adalah 0 1 2 3
2 4 d. 3 4 3 0
6
6 3 3 e. 14 7 9 9 5 3
0
2 3 3 0
c. 4 4
2
4. Jika matriks A = 4
4
a. 16
4
b. 8
25 9
10 6
3
, maka A2 adalah 5 d. 16 21 28 37
4
e. 16
Halaman 26
25 6
Matriks
16
21
25
c. 16
1
4
5. Invers dari matriks A = adalah 3 2 a.
1 3 4 10 4 1
b.
2 4 1 10 3
c.
1 3 2 10 4
d.
1
e.
2 4 1 10 3 1
1 3 2 10 4 1
1
1 2 6. Invers dari matrik B = adalah 5 1 3 a. 11 5 11
2
b. 5 2 c. 11 5 11
a
11 2 11 1
3
d. 5
1
2
2 1 11 11 e. 5 1 11 11
1
3
11 3 11 1
b 6 5
7. Jika . 2 3 2
12 27 maka harga a dan b adalah 4 14 23
a. a = 1 dan b = 6
d. a = 3 dan b = -3
b. a = -3 dan b = 15
e. a = 2 dan b = 0
c. a = -2 dan b = 12 2 k 1 2 1 8 ,B= , dan C = . Jika AB = C, maka 0 3 4 1 2
8. Diketahui A = 1
nilai k yang memenuhi adalah a. 4
d. -1
b. 2
e. -2
c. 1 a 9. Diberikan K = 5 8
2 4 3c
6 b , dan L = 5 8 11 3
2 4 4b
2a . Jika K = L, maka c adalah 11 3
a. 16
d. 13
b. 15
e. 12
c. 14
Halaman 27
Matriks
3
10.Diketahui A = 2
1
0 , dan B = 4 1
1
, dan X matriks berordo (2 x 2) yang
2
memenuhi persamaan matriks 2A – B + x = 0, maka x sama dengan ...
6
a. 5
1 6
6 1
d. 5 6
6 1
b. 5 6
6
6
1
6
e. 5
1
c. 5 6 2
1
1
11.Diketahui A = , dan B = 0 0 1 4
a. 0
1
1
, maka nilai A – 2B = ...
2
0
3
3
d. 0
5
4 1
4 1 3
b. 0 5
e. 0
0 1
c. 0 5 1
12.Jika A = 2
3 2 ,B= 4 1
3 1 , dan C = maka A(B – C) = ... 3 1 2 0
2 2
5 14 18
d. 2
5 4 6
e. 10
1
a. 10
7
b. 10 1
c. 2
2
4
5
4
3
b. 1 5
20
16 22
13.Diketahui A = 3 a. 7
10
1
4
, B = 2 2
3
5
1
2
, dan C = 4 3
. Nilai AB – C = ...
5 8 d. 12 13
8
4 5
e. 7 8
0 8
c. 12 13 4
14.Jika A = 8
y 4 dan matriks B = 6 x y
3x
12
.... a. 3
d. 6
b. 4
e. 9
c. 5
Halaman 28
6
. Jika A = B, maka nilai x =
Matriks
2a b c dan matriks L = 4 3a 15.Diketahui matrik K = 1 6x 2c d d 6 2
2b . Jika b
matriks K = L, maka nilai x = .... a. -6
d. 2
b. -4
e. 6
c. -2
B. SOAL URAIAN
2 x 1. Jika matriks A = 7
4
6 2 z 1 , B = , C = 3 x y x 3 y 2
Jika A – B = 2C, maka akan diperoleh himpunan jawab x, y, z ...... 2. Diketahui matriks :
11 3 3 1 1 0 I = , A = , B = 6 5 2 1 0 1 Nilai 3A – B = …
2 4 1 0 2 3. Diketahui matriks M = , N = 1 3 2 3 1 Hasil perkalian M N adalah …
2 x 4. Diketahui A = 2 x
6 7 , B = x 5 , jika det.(A) = det.(B) maka nilai x 3 1
adalah …
1 3 5. Invers matriks adalah … 2 7
Halaman 29
