UNIDAD 1: ELASTICIDAD Y MO MO DULOS DE ELASTICID ELASTICIDAD AD LOGRO DE LA UNIDAD: Al terminar la unidad, el estudiante resolverá problemas relacionados a la deformación de cuerpos identificando claramente los tipos de esfuerzos y haciendo uso adecuado de los módulos de elasticidad lineal, de corte y volumétrico.
INTRODUCCIÓN:
C
uando un bate de beisbol golpea una pelota y esta cambia momentáneamente su forma; cuando una pesa se coloca en el extremo de un resorte y este se estira
cuando se retira regresa a su forma; cuando se estira la cuerda de un arco antes de lanzar una flecha; estos son ejemplos de
Figura 1
objetos elásticos (GIANCOLI, 2009).
La elasticidad es una propiedad de cambiar la forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y éste regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Estos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material (TIPPENS, 2011). El cuerpo rígido es un modelo idealizado útil, pero en muchos casos: los estiramientos, aplastamientos y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado imponentes para despreciarse. La figura 2 muestra tres ejemplos. Nos interesa estudiar la relación entre las fuerzas y los cambios de forma en cada caso (SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN, 2009). En esta unidad se estudiará la elasticidad, las fuerzas elásticas y los módulos de deformación, así mismo la energía que almacena un sólido 1 (cristalino2 o amorfo3) cuando este se deforma por la acción de una fuerza (LEYVA NAVEROS, 2006).
1
Sólido: se llama así a los objetos que tienen forma y volumen definidos. Luego para deformarlos, se puede cambiar su forma y su volumen. 2 Sólido Cristalino, tiene sus átomos situados en forma regular y que se repiten en forma periódica en el espacio. Una de las características es su propiedad, la anisotropía (todo cuerpo homogéneo tiene diferentes propiedades en diferentes direcciones). Así tenemos las propiedades mecánicas, ópticas y eléctricas; son diferentes según las distintas direcciones (por ejemplo la dilatación té rmica). WORKING ADULT
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Figura 2
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LA MATERIA: Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma originales cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos elásticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes. Considere el resorte de longitud L en la figura 2. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Una pesa de 20 N alarga el resorte en 1 cm, una pesa de 40 N alarga el resorte 2 cm, y una pesa de 60 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada. Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante de resorte para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que cuando una fuerza F actúa sobre un resorte (figura 3) produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como:
La constante de proporcionalidad k varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante elástica. Para el ejem plo ilustrado en la figura 2, la constante elástica es:
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Sólidos amorfos, son cuerpos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones). Estos sólidos tienen superficies irregulares de ruptura (por ejemplo el vidrio, si se rompe, los trozos tienen forma irregular). WORKING ADULT
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La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo más general, es conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto, en otras palabras, a la alteración de la forma en sí misma (TIPPENS, 2011).
Figura 3
ELASTICIDAD: Se llama así a la propiedad que tiene los cuerpos de recuperar su forma y sus dimensiones originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. Las deformaciones que se producen son reversibles y el trabajo realizado por la fuerza se transforma en energía potencial de deformación. La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia previa del material (el tratamiento que se le haya dado y las condiciones de conservación).
ESFUEZO: Es la relación entre la fuerza que genera la deformación y el área de sección transversal del objeto a deformar. Podemos hablar de tres tipos de esfuerzo principalmente (figura 4); Un esfuerzo de tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de compresión las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre sí. Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. Un patrón general para formular puede ser:
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Figura 4
Las unidades del esfuerzo están dadas por Pascales (Newton/metro cuadrado) en el sistema internacional de unidades; libras por pulgada cuadrada; libras por pie cuadrado; bar; atmosfera o 4
milímetro de mercurio si lo trabajamos en otros sistemas .
DEFORMACIÓN: Es el cambio relativo de dimensiones o de la forma de un cuerpo por la acción de un esfuerzo; estas deformaciones pueden ser en longitud, área o volumen. En el caso de una deformación longitudinal la relación sería:
Donde L es la longitud final,
es la longitud inicial del objeto.
En el caso de un esfuerzo de tensión o de compresión, la deformación puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede alterar únicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo cortante se mide en función de un desplazamiento angular.
4
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El límite elástico es el esf uerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea 2
permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya área en sección transversal es de 1 in se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000 lb. Esto no significa que la varilla de aluminio se romperá en ese punto, sino únicamente que el cable no recuperará su tamaño original. En realidad, se puede incrementar la tensión hasta casi 21 000 lb antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia límite. Si no se excede el lí mite elástico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier deformación elástica. Dentro de los lí mites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce es una constante. En otras palabras, el esf uerzo es directamente proporcional a la deformación. (TIPPENS, 2011) Si llamamos a la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad , podemos escribir la ley de Hooke en su forma más general:
MÓDULO DE YOUNG: También se le puede llamar módulo de elasticidad longitudinal; se da cuando los esfuerzos y las deformaciones se dan de forma longitudinal o en una única dirección. El efecto de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre, o sea, un incremento en su longitud. Por tanto" la deformación longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud.
⁄ ⁄
Figura 5
Por lo que podemos escribir la ecuación del módulo de Young como:
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Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esf uerzo: libras por pulgada cuadrada o pascales. Esto es lógico, ya que la def ormación longitudinal es una cantidad que carece de unidades (adimensional). Los valores representativos correspondientes de algunos de los materiales más comunes se muestran en la tabla:
MODULO DE CORTE: Los esfuerzos de compresión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencionó antes, un esfuerzo cortante altera únicamente la forma del cuerpo, sin que cambie su volumen. Por ejemplo, considere las fuerzas paralelas no concurrentes que actúan sobre el cubo que se ilustra en la figura 6. La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de átomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a lo que les ocurre a las páginas de un libro bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatómicas restituyen al cubo su forma original cuando cesa dicho esfuerzo.
Figura 6
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El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial
F entre
el área A sobre la
que se aplica. La deformación cortante se define como el ángulo (en radianes), que se conoce como ángulo de corte (consulte la figura 6 b). Si se aplica la ley de Hooke, podemos ahora definir el S en la siguiente forma:
El ángulo
por lo general es tan pequeño que es aproximadamente igual a tan . Aprovechando
este hecho, podemos volver a escribir la ecuación anterior de la siguiente forma:
Debido a que el valor de S nos da información sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce como Módulo de Rigidez.
MÓDULO VOLUMÉTRICO: Hasta ahora hemos considerado los esf uerzos que causan un cambio en la forma de un ob jeto o que dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimensión. En esta sección nos ocuparemos de los cambios en el volumen. Por e jemplo, considere el cubo de la figura 13.7 en el cual las fuerzas se aplican unif ormemente sobre la superf icie. El volumen inicial del cubo se indica como V y el área de cada cara se representa por A. La f uerza resultante F que se aplica normalmente a cada una de las caras provoca un cambio en el volumen
– El signo menos indica
que el cambio representa una reducción de volumen. El esf uer zo d e volumen F I A es la fuerza normal por unidad de área, mientras que la deformación de vol umen
es el cambio de
volumen por unidad de volumen. Al aplicar la ley de Hooke, definimos el módulo de elasticidad de volumen, o mód ul o v olumét rico , de la manera siguiente:
⁄ Este tipo de deformación se aplica tanto a lí quidos como a sólidos. La tabla muestra los módulos de volumen para algunos de los líquidos más comunes. Cuando se traba ja con líquidos a veces es más conveniente representar el esf uerzo como la presión
P,
que se define como la fuerza por
unidad de área F I A. Con esta def inición podemos escribir la ecuación como:
⁄ Donde V es el volumen inicial y P es la presión.
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Figura 7: el volumen del cubo se reduce por acción de la compresión que está actuando sobre cada una de sus caras.
Al valor recíproco del módulo volumétrico se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por definición:
() La ecuación indica la compresibilidad, es el cambio fraccional en el volumen por unidad de incremento en la presión.
OTRAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS METALES: Además de la elasticidad, el esfuerzo de tensión y el esfuerzo cortante, los materiales presentan otras propiedades importantes. Un sólido consiste en un conjunto de moléculas tan cercanas unas a otras que se atraen fuertemente entre sí. Esta atracción, llamada cohesión, le imparte a un sólido una forma y un tamaño definidos. También afecta su utilidad para la industria como material de trabajo. Es preciso comprender propiedades como la dureza, la ductilidad, la maleabilidad y la conductividad antes de elegir metales para aplicaciones específicas.
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Tres de estas propiedades se ilustran en la figura 8. Dureza es un término industrial utilizado para describir la capacidad de los metales para resistir a fuerzas que tienden a penetrados. Los materiales duros resisten rayaduras, desgastes, penetración o cualquier otro daño físico. Algunos metales, como el sodio y el potasio son blandos, mientras que el hierro y el acero son dos de los materiales más duros. La dureza de los metales se prueba con máquinas que presionan una punta de diamante cónica contra los materiales que se van a probar. La penetración se mide y la dureza se lee directamente en una carátula graduada. Las otras dos propiedades especiales de los materiales son la d uct il idad y la maleabi l id ad . El signif icado de cada uno de estos términos se puede apreciar en la figura 8. La ductilidad se def ine como la capacidad de un metal de ser convertido en alambre. El tungsteno y el cobre son sumamente dúctiles. La maleabilidad es la propiedad que nos permite martillar o doblar los metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La mayoría de los metales son maleables y el oro es el más maleable de todos. La conducti v id ad se ref iere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la electricidad a través de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden. Se examinará con mayor detalle esta propiedad en capí tulos posteriores.
Figura 8
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
GIANCOLI, D. C. (2009). FÍSICA 1: PRINCIPIOS Y APLICACIONES (SEXTA EDICION ed.). MEXICO: PEARSON EDUCATION.
LEYVA NAVEROS, H. (2006). FISICA II: TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS. LIMA: MOSHERA.
SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN. (2009). FÍSICA UNIVERSITARIA (12° ed., Vol. 1). (R. F. Rivera, Ed.) MEXICO, MEXICO: PEARSON EDUCATION.
TIPPENS, P. E. (2011). FÍSICA, CONCEPTOS Y APLICACIONES. MEXICO: Mc GRAW HILL EDUCATION.
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SEMINARIO DE PROBLEMAS DE ELASTICIDAD 1.- Un alambre de acero vertical de 1.0 mm de diámetro tiene 2.00 m de longitud. ¿Qué masa debe colgarse para que deforme 1.0 mm? 2.- Un columpio cuelga de dos cuerdas nylon de la rama de un árbol. Las cuerdas tienen un diámetro de 1.0 cm y una longitud de 8.0 m. Un niño de 25 kg se sube al columpio, y las cuerdas se estiran 1.0 cm. Con esta información determine el módulo de Young de las cuerdas de nylon. 3.- Un pequeño mero de 2.5 kg de masa pende de un sedal de 1.50 m, que se alarga 1.2 cm. El diámetro del cordel es de 0.50 mm. ¿cuál es el módulo de Young del sedal? 4.- Una cuerda de bungee de 2.00 m de longitud y 8.00 mm de diámetro se alarga 250 cm cuando un estudiante universitario de 80 kg cuelga de un gancho en uno de los extremos de la cuerda. determine el módulo de Young de la cuerda. 5.- Un bíceps relajado requiere una fuerza de 25.0N para alargarse 3.00 cm; el mismo músculo sometido a máxima tensión requiere de una fuerza de 500N para el mismo alargamiento. Calcule el módulo de Young para el tejido muscular en ambas condiciones, si lo consideramos como un cilindro uniforme de 0.200 m de longitud y sección transversal de 50.0 cm 2. 6.- Un alambre circular de acero de 2.00 m de longitud no debe estirarse más de 0.25 cm, cuando se aplica una tensión de 400 N a cada extremo. ¿Qué diámetro mínimo diámetro debe tener? 7.- Dos varillas redondas, una de acero y otra de cobre, se unen por los extremos. Cada una tiene 0.750 m de longitud y 1.50 cm de diámetro. La combinación se somete a una tensión con magnitud de 4000N. Para cada varilla, determine la deformación. 2
8.- Una varilla metálica de 4.00 m de longitud y área transversal de 0.50cm se estira 0.20 cm al someterse a una tensión de 5000 N. ¿Qué módulo de Young tiene el metal? 9.- Una cuerda de nylon se alarga 1.10 m sometida al peso de una alpinista de
65.0
kg . Si la
cuerda tiene 45.0m de longitud y 7.0 mm de diámetro, ¿Qué módulo de Young tiene el material? 10.- Un poste vertical de acero sólido de 25 cm de diámetro y 2.50 m de longitud debe soportar una carga de 8000 kg. Puede despreciarse el peso del poste a ) ¿A qué esfuerzo se somete el poste? b) ¿Qué deformación sufre? c ) ¿Cómo cambia su longitud al aplicarse la carga? 11.- En un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metálico hecho con una nueva aleación se rompe cuando se aplica una fuerza de tensión de 90.8N perpendiculares a cada extremo. Si el diámetro del alambre es de 1.84 mm, ¿Cuál es el esfuerzo de rotura de la
aleación? 12.- Un alambre de latón debe resistir una fuerza de tensión de 350 N sin romperse. ¿Qué diámetro
mínimo deberá tener para no romperse? (esfuerzo de ruptura es WORKING ADULT
).
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13.- Para construir un móvil grande, un artista cuelga una esfera de aluminio con masa de 6.0 kg 3
2
de un alambre vertical de acero de 0.50 m de longitud y área transversal de 2.5 10 cm . En la base inferior de la esfera, el artista sujeta un alambre de acero similar del que cuelga un cubo de latón de 10.0 kg . Para cada alambre, calcule: a) la deformación por tensión y b) el alargamiento. 2
14.- Un alambre de acero de 4.00 m de largo tiene un área transversal de 0.050 m , y un límite
). El esfuerzo de rotura proporcional igual a 0.0016 veces su módulo de Young ( tiene un valor igual a 0.0065 veces su módulo de Young. El alambre está sujeto por arriba y cuelga verticalmente. (a) ¿Qué peso puede colgarse del alambre sin exceder el límite proporcional (elástico)? (b) ¿Cuánto se estira el alambre con esta carga? (c) ¿Qué peso máximo puede soportar?
2
15.- El limite elástico de un cable de acero es de y su área transversal es de 3.00 cm . Calcule la aceleración máxima hacia arriba que puede darse a un elevador de 1200 Kg sostenido por el cable sin que el esfuerzo exceda el tercio del límite elástico. 3
16.- Una muestra de aceite con un volumen inicial de 600 cm se somete a un aumento de presión
, y el volumen disminuye 0,45 cm . ¿Qué módulo de volumen tiene el de material? ¿qué compresibilidad tiene?
3
17.- Se somete a una muestra de cobre de forma cúbica con 10 cm de arista a una compresión uniforme, aplicando una tensión equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de
sus caras. La variación relativa de volumen que se observa es de 7.25 10
6
V
V o .
Determinar el módulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el módulo de Young del cobre es 120×10 9 Pa. 18.- ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud de 0.5 m y 2 mm de diámetro cuando se le
aplica una tensión de 450 N? El módulo de Young del acero es 200×10 9 Pa. 19.- Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cada 2 tacón tiene 0.750 cm de área. a ) ¿Qué presión ejerce cada tacón sobre el suelo? y b) Con la misma presión, ¿cuánto peso podrían soportar 2 sandalias planas cada una con un área de 200 2 cm ? 20.- Se tiene una barra cilíndrica de aluminio de 1 metro de longitud. Si se le somete a una tracción longitudinal, calcular el periodo de las oscilaciones elásticas que experimentará al cesar la
tracción. (Considere la densidad del aluminio AL 10
2.7 g
cm3 y el módulo de Young del
2
aluminio E 7 10 N m ) 21.- El anclaje de la parte superior y el bloque de 300 kg de la figura son perfectamente rígidos,
soportando al bloque tres cables verticales de la misma sección, siendo los laterales de acero y el central de hierro fundido. Determinar las fuerzas que ejercen cada uno de los cables sobre el
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10
2
bloque. (Considere módulo de Young del acero E 20 10 N m 10
y el módulo de Young
2
del hierro fundido E 8.7 10 N m )
22.- Sobre un tubo vertical de acero, de 20 m de largo y 16 cm de diámetro exterior y 1 cm de espesor, se pone un bloque de granito de 14 toneladas. Si el módulo de Young del acero es de
E 20 1010 N m2 , determinar el acortamiento experimentado por el tubo. 23.- Se cuelga una viga de 8 metros de longitud de 4 000 kg de dos cables de la misma longitud y sección, uno de aluminio situado a un metro de uno de sus extremos y otro de acero. Al ) Calcular la tensión que soporta cada uno. suspenderla, ambos cables se estiran lo mismo. (a (b) Calcular la distancia entre los cables. Sabiendo que los módulos de Young: del acero es: 200 GPA y del aluminio es 70 GPa. 8
2
24.- La presión hidrostática en las profundidades oceánicas de una sima es de 10 N m .
Determinar la densidad de un trozo de hierro en tal lugar. (Considere la densidad del hierro
Fe
7890 kg
m3 y el módulo Volumétrico del hierro B 9.6 1010 N m2 ).
25.- Se somete a un cuerpo de cobre de forma cubica y de 1 dm de arista a una fuerza de una tonelada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Averiguar el ángulo de 10
2
deslizamiento. (Considere el módulo de Corte del cobre G 4.2 10 N m ) 26.- Un péndulo de torsión está formado por una esfera de 10 cm de radio y 10 kg de masa que
cuelga de un alambre cilíndrico de 2 mm de radio y 1 m de longitud; si el periodo de oscilación es 2 segundos, calcúlese el módulo de torsión del alambre.
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