Modulo de Razonamiento y Reresentación Matemática Junio 3-2013 (1)

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas

Módulo de Razonamiento y Representación Matemática George Polya 1887 - 1985

Santa Marta 2013

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática CONTENIDO JUSTIFICACIÓN…………………………………………………………………………………………………………

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1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.1 Método de resolución de problemas (POLYA)……………………………………... Ejercicios y/o problemas propuestos

5 24

2. TEORÍA DE CONJUNTOS 2.1 Conceptos Básicos de la Teoría de Conjuntos. Operaciones……….………...

30

2.2 Números Reales, Propiedades y Operaciones……………………………………...

37

Ejercicios y/o problemas propuestos……………………………………………………..

46

3. RAZONES Y PROPORCIONES

3.1 Magnitudes Directamente Proporcionales…….……………………………………………

51

3.2 Porcentajes………………………………………………………………………………………...

55

3.3 Magnitudes Inversamente Proporcionales……………………………………………………...

58

3.4 Interés Simple y Compuesto…………………………………………………………………………..

65

Ejercicios y/o problemas propuestos……………………………………………………………………

71

4. CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA

4.1 Sistemas de Medidas……………………………………………………………………………. 4.2 Conceptos básicos de Geometría Euclidiana………………………………………… 4.3 Área y volumen…………………………………………………………………………………..

73 81 82

5. FUNCIONES

5.1 Función. Formas de Representación de una Función……………………………...

89

5.2 Representación de Funciones…………………………………………………………………

91

5.3Interpretación de gráficas y tablas…………………………………………………………

105

5.4 Función Lineal……………………………………………………………………………………

107

5.5 Función Cuadrática………………………………………………………………………………………..

112

5.6 Función Exponencial……………………………………………………………………………………..

116

5.7 Función Logarítmica……………………………………………………………………………………...

117

5.8 Función Cociente……………………………………………………………………………………………

119

5.9 Función por parte, por Tramos o por trozos……………………………………………………

120

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 5.10 Función Valor Absoluto……………………………………………………………………………………

123

Ejercicios y/ problemas propuestos………………………………………………………………………….

125

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática JUSTIFICACIÓN La enseñanza y el aprendizaje con base en el desarrollo de competencias en el sistema educativo colombiano, están propuestos, por el MEN, desde la educación básica hasta la superior1. En este nivel educativo, las competencias, llamadas genéricas, son la continuación de las competencias básicas desarrolladas en los niveles precedentes, tratadas a niveles de profundidad y extensión cercanos a la formación del pensamiento científico, constituyéndose en la base del dialogo e intercambio de saberes de los profesionales de los distintos países, en el marco de los desafíos planteados por la actual sociedad de la información y el conocimiento. En este sentido, la Universidad del Magdalena, ha decidido adelantar la reforma educativa necesaria para ponerse a tono con las circunstancias, en el marco de los fines, principios y valores contenidos en el PEI, Misió n y Visión institucionales, para lo cual se apresta a la revisión y redefinición del currículo y microcurrículos, centrados históricamente en el aprendizaje de contenidos, por el desarrollo de competencias que habiliten a los egresados para asumir el reto de contribuir al desarrollo humano, social, político , económico de la región y del país, además de competir y desempeñarse eficientemente en cualquier circunstancia y espacio. Esta reforma curricular conlleva a una transformación del modelo pedagógico, de la estrategia metodológica y, de manera muy especial, de la concepción y criterios y estrategias de evaluación. Las competencias genéricas, por definición, son comunes a todas las profesiones, son el sustrato de conocimientos, capacidades, habilidades y destrezas existentes en todos los profesionales, por tal razón son transversales a todas las áreas y planes de estudios. Sin embargo, las desarrolladas a partir de las matemáticas, por su función transformadora del pensamiento y de su capacidad de representar y comunicar conceptos y estructuras conceptuales complejas necesarias para su desarrollo mismo y el aprendizaje de otras áreas del conocimiento, son de ineludible presencia en la fase de formación general de todas las profesiones. En el caso de las competencias matemáticas, se encuentra que la totalidad de los programas académicos tienen, con diferentes niveles de profundidad, cursos de matemáticas específicas funcionales a cada programa y a otras áreas afines para cuya aprehensión y desarrollo se requiere solvencia en el manejo de las competencias matemáticas genéricas. Las competencias básicas matemáticas que se espera se encuentren desarrolladas, en su más elevado nivel al ingreso de nuestros jóvenes a la educación superior, son:

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Tomado de Documento 3, Estándares recompetencias básicas MEN

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática La comunicación y Representación. Razonamiento y Argumentación. Solución de problemas y Modelación. Sin embargo, sabemos de la debilidad de los procesos educativos de los niveles precedentes reflejados en los deficientes resultados en las pruebas ICFES, en la dificultad de aprobación de los exámenes de admisión de las universidades oficiales y en el bajo desempeño en los cursos de matemática y lógica matemática de los estudiantes de primer semestre en el nivel superior. Para el caso particular de la Universidad, se encuentra, según datos recientes que el 53% y 57% respectivamente reprueban matemática y lógica-matemática respectivamente en primer semestre, además es ya tradicional la dificultad que presenta la mayoría de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas de su plan de estudios.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática GUIA Nº 1 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA OBJETIVOS  Identificar el paso del modelo de Polya utilizado para resolver un problema.  Describir las estrategias para resolver problemas  Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas. COMPETENCIAS  Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.  Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.  Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas.  Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.  Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes, registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible. DESARROLLO TEMÁTICO: GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zúrich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las 6

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (Editorial Trillas). Paso 1: Entender el Problema.  ¿Entiendes todo lo que dice?  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?  ¿Distingues cuáles son los datos?  ¿Sabes a qué quieres llegar?  ¿Hay suficiente información?  ¿Hay información extraña?  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).  Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).  Usar una variable.  Buscar un Patrón  Hacer una lista.  Resolver un problema similar más simple.  Hacer una figura. 7

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática               

Hacer un diagrama Usar razonamiento directo. Usar razonamiento indirecto. Usar las propiedades de los Números. Resolver un problema equivalente. Trabajar hacia atrás. Usar casos Resolver una ecuación Buscar una fórmula. Usar un modelo. Usar análisis dimensional. Identificar sub-metas. Usar coordenadas. Usar simetría. Usar coordenadas

Paso 3: Ejecutar el Plan.  Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.  Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).  No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Mirar hacia atrás.  ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?  ¿Adviertes una solución más sencilla?  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas. Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Acepta el reto de resolver el problema. 2. Reescribe el problema en tus propias palabras. 3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 8

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después. 15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

EJEMPLOS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos, debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis: ENSAYO Y ERROR Consiste en realizar los siguientes pasos: 1. Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible. 2. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. 9

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejemplo: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nos dé 132. Solución: Comprender el problema: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismo número nos dé como resultado 132. Datos conocidos: Resultado de la suma: 132 Planteamiento de la suma Datos desconocidos: Cantidad a hallar bajo unas condiciones Desarrollar un plan: Se elige un valor entre 10 y 20 se pone a prueba las condiciones del problema, hasta encontrar el número que las cumpla. Ejecutar el plan: 102 + 10 = 100 + 10 =110 112 + 11 = 121 + 11 = 132 Comprobación: Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el número pedido. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son: 1. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar. 2. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar, sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta encontrar lo que buscamos. 3. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado. Ejemplo: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones). Solución:

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar. Cerdos Gallinas Patas 14 4 64 12 6 60 10 8 Etc. De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1,2, 3, etc. Cerdos Gallinas Patas 1 17 38 2 16 40 3 15 Etc. De forma dirigida: Cerdos 10 9 8 7

Gallinas 8 9 10 11

Patas 56 (nos hemos pasado) sobran cerdos 54 “ “ “ “ 52 “ “ “ “ 50 es la solución

DESCUBRIR UN PATRÓN: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos. Ejemplo: Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen: 1, 3, 5, 7, … 1, -2, 3, -4, … 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 3, 12, 48, 192, …

Solución: 9 y 11. Cada número es impar positivo. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los números son alternos en signos. 11

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. (Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci) 768, 3072. Cada número es el producto de 4 por el número anterior.

DE ATRÁS HACIA ADELANTE Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante. Ejemplo: El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día? Solución: Comprender el Problema Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se presentaron 500 personas. Desarrollar un Plan Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer día. Llevar a cabo el Plan Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día. Esto da 220 personas. Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DIA ASISTENCIA CUARTO 500 TERCERO 500 + 50 = 550 SEGUNDO 550 – 250= 300 PRIMERO 300 – 80 = 220 12

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Comprobar: Se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si el primer día fueron 220 personas, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el segundo; es decir 550. El cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas. TANTEO Y ERROR Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Ejemplo: Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos: 3 5 9 1 0 5 3 De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Solución: Comprender el problema: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3, 5, 9, 1, 0,5 y 3. Además, el resultado tiene que ser 257. Desarrollar un Plan El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300. Llevar a cabo el Plan A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma: 359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta; 35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105: 359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto! Comprobar: Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática ELABORACIÓN DE UNA TABLA: Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información, acomodada en filas y columnas. Ejemplo: Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas? Comprender el problema: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas. Desarrollar un Plan: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución. Llevar a cabo el Plan: En este paso se prepara la tabla mencionada: HOJAS ESTUDIADAS

DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 15 20 25 30 35 40 45 50 30

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TOTAL DE HOJAS ESTUDIADAS 10 25 45 70 100 135 175 220 270 300

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Comprobar: Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar. En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas. GRÁFICOS En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? Comprender el problema: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales se pueden formar diferentes cantidades. Datos conocidos: Cinco monedas de 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos Datos desconocidos: Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas. Cantidad de números diferentes que se pueden formar Desarrollar un plan: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre las cinco monedas, diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos, luego sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades. Ejecutar el plan:

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Comprobación: Siguiendo cada rama, podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado las cantidades que se podrían formar en el bolsillo, al final se cuentan dando como resultado 32 cantidades diferentes que se pueden formar. APLICACIÓN DE FÓRMULAS Cuando se conoce la relación entre dos o varias cantidades, la relación se puede expresar mediante una expresión matemática conocida como una fórmula. En estos casos, las cantidades se representan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación, con una igualdad. Ejemplo: Jaime, Gissella, Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad del Magdalena. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programas puede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así:

Además deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, los cuales pueden determinarse a través de los valores de las tablas:

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

FACTOR COLEGIO DE PROCEDENCIA

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Donde:

Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) e Ingeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5 respectivamente, mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación (Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología) de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos. La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000. Para Silvia, el valor de la pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000. Determina cuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula. Solución: Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? Los programas de cada uno de los estudiantes, el estrato socioeconómico, el colegio de procedencia y el valor de las pensiones de Jaime y Silvia en los grados10 y 11 y el valor del salario mínimo legal mensual vigente. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de hacer uso de una fórmula. La fórmula que debe utilizarse será:

Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en las tablas. Llevar a cabo el plan: Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así: Valor matrícula = 1,337 ,15 ,229 7633 589.5 Valor matrícula = 1,716 7633 589.5 1. 11.586,5 Para calcular el Factor del colegio de procedencia = Factor del colegio de procedencia = ,3 5343511 ,381679389

3,

.

.

.

.

,

Determina el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia. 18

,

,229

3.

7633

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Verificación: Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula. Luego Jaime debe cancelar por concepto de matrícula: $1.011.586, 5 Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así: Valor matrícula = 1,337 ,15 , 6 589.5 Valor matrícula = 1,547 589.5 911.956,5 Por lo tanto Gisella cancelará $ 911.956,5 Determina el monto que debe cancelar Carlos. ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas parecidos, relaciones, similitudes en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto. A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es como aquella otra? Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscar situaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa. Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas. Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura Solución: El área lateral corresponde al siguiente desarrollo Se parece a un trapecio (Estamos utilizando la analogía) El área del trapecio es igual:

Área = ----------------------------------altura 2 h= lado generatriz del tronco de cono: 19

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática h

Luego: Area 

H 2  ( R  r) 2

2R  2r 2  H 2   R  r 2

¿Será cierto?

SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente. Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y, en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general. La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización. Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación del problema, la experimentación. Ejemplo 16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Solución: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos con dos jugadores; claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos. Si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo)

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática ¿Serías capaz de encontrar una ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores? Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones

1 2

1

2

NO NO

SÍ NO

2 jugadores; un emparejamiento

1

2

3

4

1 2

NO NO

SÍ NO

SÍ SÍ

SÍ SÍ

3

NO

NO

NO

SÍ

4

NO

NO

NO

NO

4 jugadores; 6 emparejamientos

ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema. Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar. Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos relevantes y de esta manera, suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el de las Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico etc.), el analógico (modelos, manipulaciones etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas 21

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática etc.). Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. Ejemplo: Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos; tenemos: 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3; , tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11; , así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves? CODIFICACIÓN: Ejemplo Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Solución: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Así si los guantes los representamos por A y las cajas por B, la secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema. RESOLVER UNA ECUACIÓN: Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución de problemas, tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal o cuadrática. Veamos el siguiente ejemplo: José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el número de animales que posee, manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Al regresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 6 ; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca? Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? La cantidad de Conejos y gallinas que tiene José en la finca. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? El total de cabezas de los animales (60) y el total de las patas de los animales (188). Desarrollar un plan: 22

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Se aplicará la estrategia de resolver una ecuación, para ello debe asignarse variables así: Sea Ejecutar el plan: Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así: 6 1 4 2 188 2 La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción: 6 . 2 Luego: 2 2 12 4 2 18 . 1 4 2 188 ____________________ 2 68 Por lo tanto 34 . Sustituyendo: 34 en (1) se tiene: 34 6 . Entonces: 6 34 26. Luego hay 34 conejos y 26 gallinas. Comprobación: Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2): 6 34 + 26 = 60 USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución de problemas. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operaciones matemáticas, es importante establecer las relaciones que existen entre los datos suministrados. Veamos el siguiente ejemplo: Cristina desea remodelar la sala de su casa que tiene 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si al colocarlas se desea que no se rompa ninguna? Solución: Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? La longitud del lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? El largo de la sala 7, 8 m y el ancho de 3 m. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de propiedades matemáticas. Ejecutar el plan: 23

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Para efectuar los cálculos, se expresará el largo y el ancho en centímetros, es decir, 7, 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. Para determinar la medida del lado de la baldosa de tal manera que al colocarlas no se rompa ninguna, se requiere establecer un número exacto de veces en 780 cm y 300 cm, por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamente a la vez ambos números, es decir, divisores comunes. Como la baldosas debe ser lo más grande posible, se debe elegir el mayor de los divisores comunes que corresponde al máximo común divisor de 780 y 300. En consecuencia: 78 3 2 390 150 2 Luego el lado de la baldosas debe medir 60 cm 195 75 3 65 25 5 13 5

EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la solución de problemas 1. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pista circular recorriéndola totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida? 2. Un albañil inicia la construcción de las paredes de una casa, para ello cuenta con cierta cantidad de bolsas de cemento. El primer día utiliza de la cantidad total, el segundo día

de lo que tenía. Antes de iniciar el tercer día cuenta la cantidad de bolsas de

cemento y observa que aún le quedan 55. ¿Cuántas bolsas de cemento tenía al inicio de la construcción? 3. Álvaro, Juan, Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena. Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013, sabiendo que ésta puede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009, el cual establece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula:

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática PROGRAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera:

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NÚMEROS DE CRÉDITOS ACADÉMICOS

Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina, procede de colegio privado y la pensión de escolaridad en el grado 10 era de $300.000 y en el grado 11 de $ 350.000 y de estrato 5. Daniela pertenece al programa de derecho, de colegio privado y la pensión en el grado 10 era de $225.000 y en grado 11 de $240.000 y de estrato 4. Mientras que Juan y Laura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programas de Ingeniería Civil y Antropología ¿Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del semestre? Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental, Negocios Internacionales y Economía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta: a. El acuerdo 024 b. El acuerdo 017 Para ello considera que: a. Pertenece al estrato 3 b. Proviene de institución educativa de carácter oficial (No privado) Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. ¿Dónde la liquidación es mayor? ¿Dónde es menor? ¿Por qué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017. 4. Andrea desea azar en una parrilla tres arepas. En la parrilla caben dos arepas a la vez, pero solo se puede azar por un lado. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa, 5 segundos en colocar una arepa, o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras? 5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Tal hecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan. Se cree que se derramaron parte de los 1, 5 millones de galones de aceite. Los 1, 5 millones de galones de aceite caben en 125 carro tanques. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada carro tanques? 6. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. A Cristina regala la mitad de sus chocolates más uno, a José la mitad de los chocolates que 26

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática le quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. Si a Camilo aún le queda un chocolate, ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio? 7. Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1? Nota: Como el resultado de 100! , es un número muy grande, intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 8. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero. ¿Cuántas millas viajó cada día? 9. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar. 10. Discos: Se tienen dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16 y 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son : 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23. 7

6

8

¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20,21, qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco? 11. Un cajero contó 248 billetes. Solo tiene billetes de $20.000 y $ 5.000 y en total hay $ 2 215 000. ¿Cuántos billetes de $20.000 y de $ 5.000 hay? 12. Canelo es un asno glotón. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en el centro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Calcula la superficie de la parte del prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda. 13. Luís pesa menos que Antonio, pero más que Pablo. Pablo pesa menos que Luís, pero más que Esteban. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden? 14. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos apretones de manos se dan en total? 15. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre? 27

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo, y 36 kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro y la premiun a $ 0.32 el litro. ¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente equivalente a 1 galón = 3,7854118 litros). 17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de los extremos? 18. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas. Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en total? 19. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez, Arteaga, Martínez y Castro. La familia Sánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. La familia Sánchez vive dos pisos más arriba que la familia Martínez. Las familias viven en pisos diferentes. ¿En qué piso vive la familia Martínez? 20. Guillermo va al casino semanalmente. La primera semana triplicó su dinero, pero luego perdió $ 12.000. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba, lo duplicó, pero después perdió $ 40.000. Habiendo guardado el dinero que le quedó, la semana siguiente lo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero, con tanta suerte que no perdió nada y pudo regresar a casa con el total, que ascendía a $ 224.000. ¿Con cuánto dinero comenzó en la primera semana? 21. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba $24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales? 22. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son independientes del color, pero dependen del tamaño. Si compras entre una o tres agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios, entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática BIBLIOGRAFIA  CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” 1996 Editorial Pueblo y Educación.  RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O. “Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. 1997 . International Thomson Editores.  SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos Cognitivos”. 2 7 . Editorial Trillas. WEBGRAFÍA: http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wpdescargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf http://www.educarchile.cl/Portal.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3.htm http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=52&It emid=74&limit=1&limitstart=3

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática GUIA #2 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES OBJETIVOS:  Comprender claramente el concepto y las formas de representación de conjunto, desarrollar ejercicios y problemas utilizando las operaciones y cardinalidad.  Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en los números Reales.  Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de la aplicación de las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos. COMPETENCIAS:  Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.  Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.  Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos, geométricos, métrico, variacional, de análisis matemático, estadístico y financiero en diferentes situaciones y problemas de tipo matemático.  Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas. DESARROLLO TEMÁTICO. CONJUNTOS ¿Qué es un conjunto? Al querer agrupar diferentes objetos como: personas, animales, autos, mesas, casas, ideas, creencias, lenguajes, letras, números, etc. Debemos tener presente una o varias características en común, al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algún tipo de característica estamos formando un conjunto. Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos:

En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una o más características en común.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección. Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos: 1.- Las vocales: a, e, i, o, u. 2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, .... 3.- Los siete enanitos de Blanca nieves. 4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional. 5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas. Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia. Se escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A” Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave. Los conjuntos se pueden definir por: EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves) Ejemplo: A= {Pedro, Juan, Luis, Manuel} COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”. Ejemplo: B = {números pares} C = {números enteros positivos menores de 10} CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo . SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B. A está incluido en B y se anota A  B. Expresado de otra forma: A  B = {x / x  A  x  B} Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A  B. Si A no es subconjunto de B se escribe A  B. CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con la letra U CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6} son conjuntos disjuntos. 31

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática DIAGRAMAS DE VENN EULER: Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo. A= { a, b, c, d, e}

B = {b, c, d}

B  A

OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos., y se representa por A ∪ B A∪B x/x∈A∨x∈B Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la unión A ∪ B se representa gráficamente por el diagrama de Venn

INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B (A  B) es el conjunto de todos los elementos comunes a A y a B al mismo tiempo. A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} entonces la Intersección de A y B es A  B = {3, 4} y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B (A – B) o (A \ B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B AB=A\B

x / x ∈ A ∧ x  B}

Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferencia de A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen a l Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A. Se representa por A’ A c y es igual a U – A. Representado en un diagrama de Venn, se tiene:

DIFERENCIA SIMÉTRICA: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. AB=(AB)∪(BA)=(A ∪B)(A∩B

REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación)

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NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A. Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5. Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1. Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2. Entonces podemos analizar dos casos: A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A  B = , entonces el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Luego: Si A  B =  entonces n(A U B) = n(A) + n(B). Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; AB= A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9. B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A  B  , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) (*) Ejemplo. Sean A = {x/ -3 < x < 4, x  Z} y B = {x/ 2  x  6, x  Z} Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A  B = {2, 3} 34

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática n(A  B) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; Aplicando (*) tenemos: como A  B   n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

n(A U B) = 9.

Si A  B =  entonces n(A  B) = 0, puede entonces generalizarse: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos. Para tres conjuntos: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:  Estudian trigonometría: 40  Estudian álgebra: 55  Estudian geometría: 55  Estudian trigonometría y álgebra: 15  Estudian trigonometría y geometría: 20  Estudian álgebra y geometría: 30  Estudian las tres materias: 10  No van a la biblioteca: 5 ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo: Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nos dan los resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en una biblioteca. Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los resultados. Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias para resolver el problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula. Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza. C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias. Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema: Comenzamos por el final: 35

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No van a la biblioteca 5 y estudian las tres materias 10:

Estudian Algebra y Geometría 30, pero como ya hay 10 en la zona de intersección de algebra y geometría, entonces colocamos 20

Estudian trigonometría y Geometría 20, pero como ya hay 10 en esa zona de intersección, entonces colocamos 10

15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como ya hay 10 en esa zona, solo colocamos 5

55 estudian Geometría, pero como en ese conjunto ya hay 40, colocamos solo 15

Hacemos lo mismo hasta completar 55 de Algebra y 40 de geometría

Observamos que hay 95 estudiantes que asisten a la biblioteca a estudiar alguna asignatura y 5 estudiantes que no asisten a biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada. 36

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Analíticamente: empleamos la fórmula: n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG) n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95 95 Estudiantes que asisten a la biblioteca. 100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada. CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales R es el conjunto que obtenemos entre la unión de los conjuntos Racionales Q e Irracionales I. Como ya es de tu conocimiento, en los números racionales Q están ya incluidos los naturales N y los enteros Z, entonces basta decir que: R=QUI En la siguiente figura puedes observar gráficamente este hecho: Q Z R=

+

I

N

Las siguientes ilustraciones nos muestran algunos aspectos de estos conjuntos numéricos que conforman a los reales:

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Cada punto de la recta representa un número racional o un número irracional; los números reales pueden ser positivos o negativos, además, no tienen ni un primer ni un último elemento. Algunas características de los números reales son: El conjunto de los números naturales: N N 1, 2, 3, 4, …, 1 , 11, 12, … El conjunto de los números enteros: Z Z …, –4, –3, –2, –1, , 1, 2, 3, 4, … Q = { a/b : a, b Z} El conjunto de los números racionales: Q Propiedad: todo número racional es 2 (entero) ; entero, decimal exacto o decimal 1,625 ( decimal exacto) periódico (puro o mixto) Importante: debes recordar de cursos 1,555 … decimal periódico puro )

anteriores cómo se expresa un decimal exacto, periódico puro periódico mixto en forma de fracción. Por ejemplo:

1,58333 …

1,65 Representación gráfica de fraccionarios

El conjunto de los números irracionales I: 1,234567891 1112131415161718192 2122… está formado por todos aquellos números 2 1,4142136… reales que no son racionales. Tienen pi 3,14155927… infinitas cifras decimales pero no forman período. Ejemplo1. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 2 10 bytes son un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB), ¿Cuántos caracteres puede almacenarse en una memoria de 500 MB? Solución. 1. Comprender el problema. El problema nos informa que 1 byte representa a un caracter además que 1KB equivale a 210 B y que 1MB corresponde a 210 kB. Además nos pide hallar cuántos caracteres se pueden almacenar en una memoria de 500 MB.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 2. Configurar un plan. resolver el problema.

Utilizaremos la estrategia de Razonamiento directo para

3. Ejecutar el plan. Como 1 kB equivale a 210 B y 1MB equivale a 210 kB, entonces tenemos que 1MB es 210 veces 210 Bytes, es decir: 1MB = 210x210 Bytes = 220 Bytes = 1.048.576 Bytes Por lo tanto 500 MB equivalen aproximadamente a: 500 MB = 500x(1.048.576 Bytes) = 524.288.000 Bytes Ahora como cada byte representa a un carácter, en la memoria de 500 MB caben aproximadamente 524.288.000 caracteres. /R

Ejemplo2 ¿Qué volumen ocupa el átomo de oxígeno, si se considera como una esfera, teniendo en cuenta que su radio es aproximadamente 6 x 10 -6 mm.?

Solución. Primer paso. Entender el problema. Tenemos la siguiente información: El radio del átomo de Oxígeno: 6·10-6 mm Segundo paso. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Emplear una fórmula para resolver el problema. La fórmula que utilizaremos es la del volumen de una esfera, la cual es: . V: volumen de la esfera: r: radio de la esfera Tercer paso. Ejecutar el plan. Remplazamos los valores en la fórmula respectiva: V = 4/3. (3,14)(6 x 10 -6 mm)3 = 904,78·10 -18 mm = 9,0478·10 -16 mm Respuesta: el volumen del átomo de oxígeno es de 9,0478·10 -16 mm OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. Nota: Se pide al estudiante que repase las operaciones y propiedades con números enteros,

racionales, e Irracionales. Así como los conceptos y aplicación de Mínimo Común Múltiplo, Máximo Común divisor y Notación científica. Operaciones con fracciones. Si

son números racionales entonces: 39

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Suma de Fracciones con el mismo denominador Sustracción de Fracciones con el mismo denominador Suma de Fracciones de diferentes denominadores

.

Sustracción de Fracciones de diferentes denominadores

.

Multiplicación de Fracciones

. .

División de Fracciones Potenciación de Fracciones

. .

.

. . .

Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador. Una fracción es un número escrito en la forma a/b, de tal modo que b no sea igual a cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional. El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo. En matemáticas, una fracción o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra.

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional. A la parte superior de una fracción se le denomina Numerador y la parte inferior Denominador. Cuando el valor del numerador es menor que el denominador, se dice que tenemos una Fracción Propia, y cuando el valor del numerador es mayor que el denominador, se le llama Fracción Impropia. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 40

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Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (M.C.M), entre dos o más números reales es el número más pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común. Por ejemplo, para determinar el M.C.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus múltiplos. Múltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} Múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48, . . .} Luego, como el mínimo de ´este ´ultimo conjunto es 12, entonces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: 4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1 Donde se va dividiendo a los números hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. será la multiplicación entre los divisores usados. De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12 Máximo Común Divisor Cuando nos referimos al divisor de un número real estamos hablando de un número que divide exactamente (sin dejar resto) al número en cuestión. El máximo común divisor (M.C.D) entre dos o más números reales es el divisor más grande que tienen en común. Por ejemplo, busquemos el máximo común divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos de sus respectivos divisores. Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8. Otra manera de hallarlo es la siguiente: 16 40 2 8 20 2 M.C.D(16, 40) = 2x2x2 = 23 = 8 4 10 2 2 5 41

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Observa que . . . El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números enteros siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M será la multiplicación entre ellos, y el M.C.D. será el 1.

Ejemplo3. Yon va a Barranquilla cada 18 días, Wilson va a Barranquilla cada 15 días y María va a Barranquilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Barranquilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Barranquilla?

SOLUCIÓN 1. Entender el problema. El problema nos pregunta por el tiempo mínimo en que vuelven a encontrarse 3 viajeros en Barranquilla, sabiendo que el primero viaja cada 18 días, el segundo cada 15 días y el tercero cada 8 días.

2. Configurar un plan. La estrategia elegida es la de razonamiento directo. En la que hallaremos el mínimo común múltiplo de 18, 15 y 8. 3. Ejecutar el plan. El número de días que han de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Barranquilla tiene que ser un múltiplo de 18, de 15 y de 8, y además tiene que ser el menor múltiplo común; luego hay que calcular el m.c.m. (18,15, 8). Descomponiendo los números en sus factores 18 15 8 2 9 15 4 2 9 15 2 2 m.c.m. = 23x32x5= 360 9 15 1 3 3 5 1 3 1 5 1 5 1 1 1 Otra forma Tenemos que: 18 = 2 x 32 15 = 3 x 5 8 = 23 Por lo tanto el m.c.m. de 18, 15 y 8 es

m.c.m. (18, 15, 8) = 2 3 x 32 x 5 = 360

Luego Los tres viajeros volverán a coincidir en Barranquilla dentro de 360 días. (RESPUESTA)

42

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejemplo3. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 litros, 360 litros, y 540 litros. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. 1. Entender el problema. El problema nos informa que se tienen 3 toneles de vino así: Cantidad de litros de vino del primer tonel = 250 Cantidad de litros del segundo tonel = 360 Cantidad de litros del primer tonel = 540 Se nos pide hallar: el número de garrafas de igual capacidad necesarias para envasar todo el vino, y la capacidad máxima de ellas. 2. Configurar un plan. Elegimos la estrategia de razonamiento directo. 3. Ejecutar el Plan. Para poder envasar la cantidad total de vino en forma exacta en garrafas de igual capacidad, esta debe ser un número divisor de 250, 360 y 540; y además debe ser el máximo. Por lo tanto hallamos el máximo común divisor de estos números. M.C.D (250, 360, 540).

250 125 25

360 180 36

540 2 270 5 54

M.C.D (250, 360, 540) = 2x5 = 10

Por lo tanto la Capacidad de las garrafas = 10 litros Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número total de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. Respuesta: se necesitan 115 garrafas de 10 litros de capacidad. Representación gráfica de operaciones con racionales: Multiplicación. Martina va a una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta, para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. El resto de la torta, la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. Martina se preguntaba, al cortar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos, si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos. 43

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática ¿Podría Martina tener una respuesta a esa pregunta? Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano: Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa, que es un cuarto del total. Por lo tanto, comerán la siguiente fracción de la torta completa:

Comerán 1/12, es decir la doceava parte de la torta. De las tres cuartas partes que quedaron para los que estaban en la fiesta, Martina se comió una novena parte, es decir, la fracción de la torta completa que ella comió, fue:

En conclusión, Martina comió la misma porción de torta que sus hermanos (1/12). División. Repartiendo Doña Luisa tiene 3/4 de una pizza grande que quiere compartir, para la cena, con sus tres hijas en partes iguales. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una? Para poder responder debemos realizar una división: 4 Recordemos que para dividir tenemos que multiplicar por el inverso. En este caso el inverso de 4 es 1/4, por lo tanto: A cada una le corresponden tres porciones de las 16 partes en que se dividió la pizza. Ejemplo 4. José Luis gana mensualmente $1.200.000. Gasta 2 6 en alimentación y 5 8 de lo que le queda en otros gastos. ¿Cuánto dinero puede ahorrar mensualmente? Solución: Paso1. Comprender el problema: El problema plantea una situación en la cual nos informan acerca de los ingresos y gastos de José. La información suministrada es la siguiente: Tenemos un ingreso mensual de $1.200.000 Se tiene un gasto inicial equivalente a los 2/6 del ingreso mensual 44

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Un tercer gasto equivalente a los 5/8 de lo que queda Se nos pregunta por la cantidad de dinero que le queda para ahorrarla mensualmente Paso2. Configurar un plan. Para abordar la solución del problema se proponen las estrategias: Razonamiento directo y representación gráfica Paso3. Ejecutar el plan : los datos corresponden del ingreso y los gastos mensuales de José Luis, algunos de los cuales se dan en forma fraccionaria, para que hallemos el saldo o diferencia entre ellos y determinar así la cantidad de dinero que podría ahorrar mensualmente dicha persona, que corresponde a lo que nos pide el problema. Partimos inicialmente de un ingreso mensual de $1.200.000 que representa la unidad. Como el gasto inicial fue de 2/6 del total inicial, entonces lo que queda corresponde a los 4/6 de dicho valor: 1 - 2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6 $1.200.000

2/6 4/6 $400.000 $800.000 El saldo que le queda hasta ahora a José (S1) sería entonces de: S1 = 4/6.($1.200.000)

= (4x1.2000)/6 = $800.000 =

4/6 5/8 3/8 $800.000 $500.000 $300.000 De estos $ 800.000 que quedan gastó los 5/8, luego le quedan los 3/8 de dicho valor. Luego el saldo final S2 de José Luis es de: O también:

S2 = 3/8.($800.000)

= $300.000

Respuesta / José Luis puede ahorrar mensualmente $300.000 Nota: Según la gráfica también podemos calcular los 3/8 de los 4/6 del ingreso mensual para obtener la respuesta final así: 3/8.[4/6.($1.200.000)] = (3x4x$1.200.00)/(8x6) = 14.400.000/48 = $300.000 45

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Paso 4. Mirar hacia atrás: comprobamos la respuesta, empezando por el final: Si el último gasto G2 fue 5/8 de lo que le quedaba (S1), entonces lo que sobra, $300.000, es los 3/8 de ese saldo (5/8 + 3/8 = 8/8 = 1), luego: 3/8(S1) = $300.000; luego 1/8(S1) = $300.000/3 y 8/8(S1) = (300.000 x 8)/3 = $800.000 S1 = $8000.000 Como inicialmente se gastó los 2/6 de su sueldo (I), lo que le quedó equivale a los 4/6, que corresponde a los $800.000 4/6(I) = $800.000; entonces 1/6(I ) = $800.000/4 y 6/6 (I) = (800.000 x 6)/4 Luego I = 4.800.000/4 = $ 1.200.000 Por lo tanto la respuesta obtenida satisface todas las condiciones del problema. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En una encuesta realizada a 6 familias del barrio “El Pando Reservado”, sobre uso de servicios públicos, se obtuvo entre otros los siguientes datos: 25 familias tienen servicio de Energía y Agua, 12 tienen servicio Energía y gas, pero no de Agua, 8 familias tienen los tres servicios, 4 tiene solamente servicio de Agua, 40 familias tienen servicio de Agua y 33 familias tienen servicio de Gas. Halla: a. El número de familias que tienen solamente servicio de Energía b. El número de familias que tienen servicio de agua y gas 2. En un curso compuesto por 22 estudiantes; 12 estudian Alemán; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes estudian sólo inglés? 3. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9; 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V., 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9. Se pregunta: a. La cantidad de personas encuestadas b. La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9 4. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información :  Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil , también querían estudiar Ingeniería de Ejecución 46

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática     

Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar 10 estudiantes preferían estudiar otras carreras 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Ejecución 440 quieren estudiar Ingeniería de Ejecución 180 quieren estudiar Ingeniería Civil

a. ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Educación de Preescolar? b. ¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas? Aplicando las operaciones y propiedades con números reales y teniendo en cuenta los pasos de Polya en la resolución de problemas, resuelve los siguientes ejercicios: 5. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 2 10 bytes son un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB) y 2 10 MB son un Gigabyte (1GB), ¿Cuántos caracteres puede almacenar una memoria de 4 GB? 6. ¿Cuántos litros hay que sacar de un barril que contiene 560 para que quede en él los 6 del contenido? 7 7. En una excursión, Pepe lleva 4 bocadillos y Rafa, 2 bocadillos. Cuando van a empezar a comer llega Javier, que no tiene comida. Reparten los bocadillos entre los tres por igual. Javier, como pago de lo que comió, les da 6 €. ¿Cómo se los deben repartir? 8. Dos puntos A y B se encuentran a 81 cm de distancia. Un tercer punto C se encuentra entre A y B a 16 cm de B. Un saltamontes se desplaza desde A hasta C haciendo saltos. ¿Cuántos saltos hace si cada vez brinca 1/3 de la distancia que lo separa del punto B? 9. En una habitación hay taburetes de tres patas y sillas de cuatro patas. Cuando hay una persona sentada en cada uno de ellos, el número total de patas y piernas es 27. ¿Cuántos asientos hay? 10. Al gastar 4 5 de mi capital y después los 4 5 de lo que me quedó, tengo aún $200.000 ¿Cuál era mi capital? 11. Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m? 12. En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada pregunta fallada equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos? 47

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 13. El largo de un rectángulo equivale a 3 veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 120cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 14. Un granjero quiere cercar un potrero que tiene forma de triángulo rectángulo. Un cateto mide 50 m y el otro 64 m. Explica por qué el no puede determinar la cantidad exacta de cerca que necesita. 15. Los proteasomas son estructuras dentro de las células que destruyen proteínas. El peso molecular de un proteasoma es aproximadamente 2.52 x 10 5 veces el peso atómico del oxígeno, el cual es igual a 1.599x10. Determina el peso molecular de un proteasoma. 16. Si el peso molecular de una proteína es aproximadamente 9.398x10 3 veces el peso atómico del carbono, el cual es 1.2011x 10 encuentra las diferencias entre los pesos moleculares de un proteasoma y una proteína. 17. Tengo $500.00, gasto los 3 5 y después los 3 4 de lo que me quedó. ¿Cuánto me queda? 18. Una joven emplea en estudiar la cuarta parte del día, la sexta parte en hace ejercicios, la novena en divertirse y la restante en dormir ¿Qué fracción del día duerme? En los siguientes problemas escoger la respuesta y justificar. 19. Supongamos que dos cometas pasan cerca de la tierra cada 15 y 25 años respectivamente. Si los dos coincidieron en el año 2002, entonces podemos afirmar que el encuentro más próximo ocurrirá en el año: a. 2.017 b. 2.027 c. 2.077 d. 2.375 20. Gabriela el día de su cumpleaños le regalaron una caja de chocolatina. Cuando entra al colegio le regala 1/6 de las chocolatinas a Carmen, un 1/5 del resto a Adriana, a María le da 2/8 de lo que le quedo y por último a Diana le da 1/3 del resto. Si Gabriela aún le queda 8 chocolatinas. A la niña que le dio más chocolatinas es: a. Carmen b. Adriana c. Diana d. María e. Ninguna 21. Una alberca tiene una capacidad de 4.000 litros de agua, al terminar el día lunes solo tenía los 4/5 de la capacidad total y el martes se consumió los 3/8 de lo que tenía el día lunes. La cantidad de agua disponible para el día miércoles es: a. 1.200 litros. b. 2.000 litros c. 1.000 litros d. 500 litros 22. Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares de zapatos que produce a un precio de $60 mil cada par. El fabricante tiene costos fijos mensuales de $24 millones. Si el cuero e insumos necesarios para producir cada par le cuesta $20 mil, 48

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática el menor número de pares que debe producir y vender al mes para obtener utilidades es: a. 300 b. 600 c. 1200 d. 4000 23. Un comerciante rebaja en un 20% el precio x de cierto producto y, posteriormente, incrementa el nuevo precio en un 20%. Si r denota el monto de la rebaja y a denota el monto del aumento, entonces a. r = a b. r > a c. r < a d. r = 2a 24. Un depósito de agua cuya capacidad es de 425,43 litros se puede llenar por medio de dos llaves. La primera vierte 25,23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse si estando por la mitad se abren las dos llaves simultáneamente? A. 14,5 minutos B. 14,5 segundo C. 14,5 horas D. 14,5 días 25. En un galpón, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Después de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El dueño decidió vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tenía 600 conejos, entonces el dinero que se recibe por la venta: a. Fue mayor de $ 600.000 b. Fue menor de $ 500.000 c. Esta entre $ 500.000 y $ 600.000 d. Fue menor de $550.000 26. Un frutero compró 120 naranjas, a $600 la docena y las vende un valor de $75 la unidad, se le dañaron treinta naranjas. Podemos afirmar que: a. Gana en el negocio b. Pierde en el negocio c. Ni gana ni pierde d. Pierde $15 por naranja. 27. Un padre deja al morir 4500 euros para repartir entre sus tres hijos. El Mayor recibe 2/9 de la herencia; el segundo 1/5 de la parte del mayor y el menor lo restante. El dinero que recibió el menor fue de: a. 1000 euros b. 3000 euros c. 200 euros d. 3300 euros. 28. Pedro tiene 65 dólares, Patricio el doble de lo que tiene Pedro menos 16 dólares y Juan tanto como los dos anteriores juntos más 18 dólares. Si entre todos gastan 124 dólares, el capital común que queda es: a. 252 dólares b. 452 dólares c. 352 dólares d. 152 dólares BIBLIOGRAFÍA. Aritmética, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor Geómetra, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor Ejercicios PSU Matemática, Primera Edición —2004 Danny Perich C. 49

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Matemática Hoy 7_ Básico, Primera Edición —1991 Ana María Panesi P. Y Carmen Gloria Bascuñan B. Matemática PSU, Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática, Volúmenes 1 Y 2, Primera Edición —2006 Swokowiski Earl W. Cole Jeffery A. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición. Editorial Iberoamericana 1996 Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Culturales. Mc. Graw Hill, Madrid México. 1983. Barnett Y Raymond A. Álgebra Y Trigonometría 3 Edición. Mac Graw Hill. México 1994.

50

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática RAZÓN Y PROPORCIÓN Magnitud Es la cualidad de un objeto que se puede medir  La longitud de un cuadrado  La capacidad de un recipiente  El número de trabajadores de una obra  La cantidad de dinero que se paga por un producto Razón La razón entre dos cantidades denota

, donde

y

es la comparación de ellas mediante la división, se

a o bien a : b b se denomina antecedente y consecuente

Ejercicios 1. Si de los 32 estudiantes de un salón de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces  La razón entre el número de mujeres respecto al total de estudiantes es 12 3 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres  La razón entre el número de varones respecto al total de estudiantes es 2 5 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones  La razón entre el número de mujeres respecto al número de varones es 12 3 2 5 , es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres 2.

En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

La diferencia entre una razón y una fracción radica que en la fracción los términos son números enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razón los términos pueden ser decimales. Proporción Es una igualdad entre dos razones.

51

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática , donde a, d son los extremos y b, d los medios Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a.d=b.c

.

.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. entonces

Ejercicios 1. La suma de las edades de dos personas es 80 años y están en la razón 7 : 9. ¿Cuáles son las edades? 9 2. La razón entre dos números es y su diferencia es 1.205 ¿Cuáles son los números? 4 4 3. La razón entre dos números es y la suma de sus cuadrados 369 ¿Cuáles son los 5 números? 4. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada número 5. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200Kg y están en la razón 7 : 4. Calcula el peso de cada vehículo? 6. El perímetro de un rectángulo es128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula su área Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. 52

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 2 4 2 1 entonces x por lo que x 5 x 1 4 x 4 5 4 entonces x por lo que x 2 5 1 1

Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. 3 x

x entonces 12

3 12 36

x

36

6

Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual. x 6 36 entonces x 3 6 12 12

Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones 2 4.4 6.6 5 14 1 5 35 5.4 9 25

2 7 2 15 5 4

8 15

11

2 3

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:  A más corresponde más.  A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.  Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400 , 2 kg costarán $2 800 y ½ kg costará $700. Es decir:  A más kilógramos de tomate mayor precio. 53

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 

A menos kilógramos de tomate menor precio.

También son directamente proporcionales:  El espacio recorrido por un automóvil y el tiempo empleado.  El volumen de un cuerpo y su peso.  La longitud de los lados de un polígono y su área. Aplicaciones de la proporcionalidad directa  Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. D . La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:  A más a más.  A menos a menos. Problemas 1. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. 24 24

3 2

24

D

2

3 2 3

24

2 3

16

Es decir que en dos horas el automóvil recorre 160 Km 2.

Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, mayor valor. D 2 2 16 54

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 5 2 5

2 16

2

5

216

5

2 16 2

54

Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400 3. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? 4. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? 5. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 6. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000? 7. Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días? PORCENTAJE Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un número n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. Ejercicios Dado el número halla el porcentaje indicado: 30 1. 4 el 30%: 4 x  4 x0,3  1,2 100 18 2. 1600 el 18% : 1600 x  1600 x0,18  288 100 3. 3.5 el 40% 4. 840 el 25% 5. 90 el 64% 6. 200 el 28% 55

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Ejercicios Calcula que tanto por ciento es… 1. 20 de 80 3. 16 de 360

2. 90 de 1900 4. 38 de 96

Problemas 1.

El precio del galón de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de producción de un galón del combustible ¿Cuál es el costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia?¿Cuál es el porcentaje de incremento del galón de gasolina corriente al usuario? Item % Precio de venta Vendedor 5 Margen de continuidad 1 mayorista 3 Transportador 4 Impuesto 27 Ecopetrol 51

Valor 8911.68 8466.10 8381.44 8129.99 7804.79 5697.50 2791.77

El costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77 Valor % 8911.68 x 2791.77 100 1

8911.68 2791.77

891168 2791.77

319.21

El porcentaje de incremento de un galón de gasolina corriente en Colombia es del 319.21% 2. Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 56

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Las magnitudes son directamente proporcionales 5

1 25

5 25

1

25

5 25 1

1

5

5

El porcentaje de aumento será del 5%. 3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 53 53

53

1 7.5 53

7.5 1

1 7.5

7.5 1 3 975

Para saber el costo del vehículo se debe restar 53 000 000 – 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000

4. Si la impresora de la universidad imprime 8 hojas por minuto, a. ¿cuánto tardará en para imprimir 160 hojas tardará? b. En 1 hora cuántas hojas podría imprimir 5. Un joven práctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el siguiente gráfico de sectores. ¿Cuánto tiempo le dedica a cada deporte?

57

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 6.

Suponga que el precio normal de un artículo es $60 000, se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artículo

7.

En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, ¿Cuántas gallinas que hay?

8.

El 24% de las gallinas de una granja avícola murieron debido a una epidemia. Si el número de aves muertas fue de 28 800, ¿cuántas gallinas tenía la granja avícola?

9.

El 56% de la producción de la palma africana se utiliza para la producción de aceite. ¿Cuánto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma?

10. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto se debe pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento? 11. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada año, ¿cuánto debe pagar de arriendo cada uno de los próximos 5 años? 12. El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. Halle el precio de contado. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta ¿qué porcentaje se exporta? 13. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta, ¿Qué porcentaje de barriles se exporta? 14. El precio de un artículo más el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. 15. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 ¿cuál es el incremento porcentual? 16. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 ¿cuál es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo? 17. El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos ¿Qué porcentaje se descontó? Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. 58

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:  A más corresponde menos.  A menos corresponde más. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:  A más velocidad corresponde menos tiempo.  A menos velocidad corresponde más tiempo. Problemas Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa  Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

I

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos

menos más.

Problemas 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

18 / 7 /

18 / 7 /

I

14

14

14

18 7

59

36

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Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito. 2. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 5 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 5

3 5

I

12

15

15

3

9

5

5 obreros tardaran 9 horas en construir el muro 3. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a más radio menos vuelta I 25 3 75 25 25 3 1 75 3 75 La rueda de 75 cm dará 100 vueltas Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $56000. ¿qué cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. 60

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N° Grifos 9 15

Magnitudes Tiempo (horas) 10 12

Valor ($) 56 000

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Valor $- N° Grifos Valor $ - Tiempo

Relación A más grifos abiertos más valor A más tiempo más valor

La relación sería

56

9 15

Simplificando y despejando

Tipo de Relación Directa Directa

1 12

56

15 1

9

12

112 Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000 2. 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 8 horas diarias? Magnitudes Horas diarias 6 8

Obreros 5 4

Días 2

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros Días – Horas Diarias La relación sería

Simplificando

2 í

Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días 4 5

8 6

2 í

4 5

Despejando 61

4 3

Tipo de Relación Inversa Inversa

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 2 í

5 3 1.875 í 2 í 4 4 4 obreros trabajando 8 horas diarias construirán el muro en aproximadamente 2 días 3. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Magnitudes Obreros Días Trabajando Horas diarias Longitud del muro 8 9 6 30 10 x 8 50 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros Días – Horas Diarias Días – longitud el muro La relación sería

9 í

, simplificando

Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días A más días mas alto el muro 1 8

8 6 9 í

, despejando

4

5 4

Tipo de Relación Inversa Inversa Directa

3 5 4 3

3 5 9 í 5 4 3

3 5 9 í

Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en 9 días. 4. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 días funcionando 6 horas diarias ¿cuánta gasolina se necesita para 50 días, si se enciende la estufa durante 8 horas diarias? Organizamos las magnitudes Magnitudes Días funcionando Horas diarias 8 6 x 50 8 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Galones 10

62

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Magnitudes Gasolina - Días Gasolina – Horas Diarias La relación sería

Relación A más días más gasolina A más Horas más gasolina

1

8 í 5 í

, simplificando , despejando

1 25

4 4

6 8 4 25

1

3 4

83.33

3

Tipo de Relación Directa Directa

84

Por lo tanto para 50 días, encendiendo durante 8 horas diarias se necesitarían aproximadamente 84 Galones de gasolina. 5. Un depósito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de sección en un tiempo de 12 horas. Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección, ¿cuánto tiempo tardara en llenarse? Organizamos las magnitudes Magnitudes Sección (cm2) 4 5

Capacidad (litros) 500 750

Tiempo (Horas) 12

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Tiempo - Capacidad Tiempo - Sección

Relación A más capacidad más tiempo A más sección menos tiempo

, la relación sería 12 , simplificando , despejando

5 75 12

3

4

5 4 2 3

12 2 5

5 4 14.4

63

Tipo de Relación Directa Inversa

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección tardaría en llenarse aproximadamente 14.4 horas. 6. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 dólares. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 7. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 8. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 9. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 10. Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

64

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática GUIA Nº 3 (II parte) INTERES SIMPLE Y COMPUESTO Objetivos:  Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta.  Elaborar un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple.  Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta. Competencias:  Uso la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta.  Planteo un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple.  Valoro la importancia de la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta.  Deduzco o verifico las propiedades de las proporciones para solucionar problemas.  Aplico la proporcionalidad en el cálculo de porcentajes.  Interpreto los porcentajes como fracciones con denominador 100 y uso este hecho para resolver problemas de contextos reales.  Hago uso de los porcentajes y de la proporcionalidad para resolver problemas financieros. Desarrollo Temático: En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura, cosas que a simple vista y en un consenso común nos parecen bellas, esto debido a que la naturaleza en general es ordenada en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo, el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci está basado en una proporción. En la presente guía retomarás los conceptos básicos de las razones, las proporciones, tanto por ciento e interés simple y compuesto de forma que puedas aprender de paso a deleitarte con la belleza, gracias a la armonía implícita en la naturaleza.  INTERES SIMPLE Cuando una persona solicita a una segunda dinero prestado, la segunda exige a la primera una cantidad adicional por concepto de alquiler de dicho dinero. Lo anterior obedece a que 65

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática el dinero con el tiempo pierde su valor (se devalúa). La cantidad de dinero que se obtiene por el concepto de alquiler de la cantidad prestada se llama interés. Consideremos la siguiente situación: El señor Vélez solicita al banco popular un crédito y obtiene la siguiente respuesta: Banco popular Estimado señor Vélez: Me es grato comunicarle que su petición de crédito por valor de $2000000 le ha sido aprobada en la reunión de la junta del banco. Además, me permito indicarle que deberá efectuar el pago de este importe en el plazo de un año, así como los intereses que corresponden a la cifra de $300000. Cordialmente, J.B.P. En la operación bancaria que hemos planteado se presta una cantidad de dinero y se recibe un beneficio en un tiempo determinado. Dinero prestado + Interés = Monto (o dinero que se devuelve). El dinero prestado o cantidad invertida por el banco se llama capital y se representa por C. El beneficio recibido por el banco o alquiler pagado por el dinero prestado se lama interés y se representa por I. El tiempo que dura el préstamo se representa por T. A la cantidad que se cobra por concepto de interés, en el periodo de tiempo elegido, por cada $100 se llama rata, tasa porcentual o tanto por ciento y se representa por R. En el ejemplo que estamos considerando: Capital: C= $2000000

Interés: I= $300000

Tiempo: T= 1 año

Rata: R= 15% (ya que $300000 es el 15% de $2000000). El tipo de interés que hemos considerado se lama interés simple, ya que los interés no se acumulan al capital sino que se consideran como un fondo aparte del capital. Observemos que la cantidad prestada es el doble de la anterior, entonces el interés a pagar será el doble, conservando la tasa porcentual y el tiempo, así: Capital 2

↔ 66

Interés 3

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 4

↔

6

Por tanto: El interés es directamente proporcional al capital. Igualmente, el interés a pagar en dos años es el doble del interés que se debe pagar por en un año, por el mismo capital y a igual tasa porcentual. Tiempo 1 año ↔ 2 años ↔

Interés 3 6

Por tanto: El interés es directamente proporcional al tiempo. En general, se considera la rata anual (año de 360 días), pero en algunos casos se presta dinero a una rata mensual, semestral (6 meses) o trimestral (3 meses). Asi, 15% anual = 7.5% semestral = 3.75% mensual. Finalmente, el interés a pagar se duplica, al duplicar la tasa porcentual. Rata 15 ↔ 3 ↔

Interés 3 6

El interés es directamente proporcional a la rata. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE Los problemas de interés simple consisten en hallar el valor de uno de los elementos I, C, T y R, conociendo los otros tres. Para lograrlo tenemos la siguiente fórmula: I = C X T X R / 100 Ejemplos: 1) Un banco presta $100000 a una persona a una rata de 25% anual. ¿Qué cantidad debe devolver al banco después de 2 años? Solución: 67

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Monto = Dinero prestado + Interés. Monto = $100000 + Interés. Debemos calcular el interés que producen $100000 en 2 años al 25% anual. Remplazamos C= $100000, T= 2 años y R= 25 en I = CxTxR/ 100, Obtenemos I= $50000 Luego, monto = $100000 + $50000 = $150000 Debe devolver $150000 al banco al finalizar los dos años de duración del préstamo. 2) Un señor recibe un préstamo de $850000 al 30% anual para pagarlo al cabo de 5 meses. ¿Qué interés cobrara el banco? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $850000, T = 5/ 12 año (1 año = 12 meses) y R = 30% anual. Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $106250. En 5 meses el banco recibe un beneficio de $106250. 3) ¿Qué interés nos cobrara un banco por un préstamo de $300000 al 27% anual para devolverlo a los 50 días? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $300000, T = 50/ 360 año (1año = 360 días) y R = 27% anual. Remplazando en I = CxTxR/ 100, Obtenemos: I = $11250. Los ejemplos 1,2 y 3 nos indican que para calcular el interés, hay que tener en cuenta la unidad en que viene expresado el tiempo. 68

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  

T en años, entonces I = CxTxR / 100 T en meses, entonces I = CxTxR / 100x12 T en días, entonces I = CxTxR / 100x360

4) ¿Qué interés nos cobrara una persona por un préstamo de $175000 al 2.5% mensual durante dos años? Solución: En este caso expresamos el tiempo en meses y aplicamos la fórmula de interés. Tenemos: C= $175000, T = 24 meses y R = 2,5% mensual. Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $105000. CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA Cuando en un problema se pide calcular el capital, el tiempo o la tasa porcentual, remplazamos en la fórmula de interés los términos dados y luego despejamos la incógnita pedida. 5) ¿Qué capital tenemos que ahorrar en un banco, al 25% anual, para que produzcan $125000 en 8 meses? Solución: Tenemos: C =? I = $125000 T = 8 meses y R = 25% anual. Remplazamos en I = CxTxR / 100x12, Obtenemos: C= $750000. Tenemos que ahorrar $750000. 6) Por un préstamo de $42000 nos han cobrado $1960 al 4% mensual. ¿Durante cuantos días hicimos el préstamo? Solución: Tenemos: C = $42000 I = $1960 R = 4% mensual T =? Remplazando en I = CxTxR / 100x30, Obtenemos: T = 35 días. El dinero estuvo prestado por 35 días. 69

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 7) ¿Qué tanto por ciento anual nos han cobrado por un préstamo de $800000 si hemos pagado $64000 de intereses en 4 años? Solución: Tenemos: C = $800000

T = 4 años

I = $640000 R =?

Remplazando en I = CxTxR / 100, Obtenemos: R = 20%. Se impuso a una tasa del 20% anual. INTERES COMPUESTO Tiempo

Capital

2% mensual

1 2 3 4 5 6

1000 1020 1040,40 1061,20 1082,42 1104,06

20 20,40 20,80 21,22 21,64 22,08

Capital

al

final de periodo 1020 1040,40 1061,20 1082,42 1104,06 1126,14

cada

Interés compuesto es el caso especial donde el interés devengado en cada unidad de tiempo, se suma al capital impuesto para devengar nuevos intereses. Ejemplo: Hallar el interés compuesto de $1350 en 3 meses al 2,5% de interés mensual, capitalizando intereses cada mes. Solución: Primer mes: 1350 x 2,5 / 100 = $33,75

Nuevo capital: 1350 + 33,75 = $1383,75

Segundo mes: 1383,75 x 2,5 / 100 = $34,59 Nuevo capital: 1383,75 + 34,59 = $1418,34 Tercer mes: 1418,34 x 2,5 / 100 = $35,45 Capital final: 1418,34 + 35,45 = $1453,79 Interés producido: $33,75 + 34,59 + 35,45 = $103,79 70

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ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: 1. ¿Qué interés produce un capital de $64000 colocado durante un año y 8 meses al 36% anual? 2. Ana hace un préstamo de $40000 al 20% anual durante tres meses 21 días. ¿Cuánto pagara por concepto de interés? 3. Alberto presta a Carlos $80000 al 30% anual con la condición de que mensualmente le pague los intereses. ¿Cuánto dinero ha entregado Carlos a Alberto por concepto de interés después de 9 meses? 4. A un comerciante le fue aprobado un préstamo por $ 1200000 al 30% anual y con un plazo de 5 años. Si debe pagar los intereses por cuotas trimestrales, ¿Qué dinero recibe el banco por intereses trimestrales? 5. Una cantidad de dinero prestada al 2,5% mensual durante 15 meses produce $112500. ¿Cuánto dinero se prestó? 6. ¿Cuál es el capital que colocado al 18% anual produce $30000 durante 216 días? 7. Un estudiante gasta durante 10 meses de estudio $36000. ¿Qué capital colocado al 24% anual debe tener un padre de familia para poder cubrir exactamente los gastos de estudios en los 10 meses? 8. ¿Durante cuánto tiempo ha estado colocado un capital de $800000 en un banco, si produjo $200000 a una rata del 30% anual? 9. Al cabo de cuánto tiempo un capital de $144000 colocado al 20% anual produce un capital igual a las tres cuartas partes de su valor? 10. Un capital de $364000 se prestó durante 4 años y produjo $305760 de interés. ¿A qué tanto por ciento anual se prestó? 11. Una persona compra una casa en $800000 y la alquila recibiendo $96000 en 8 meses. ¿Qué tanto por ciento mensual le renta la casa? 12. Hallar el interés compuesto de $2100 en 12 meses al 2% mensual, capitalizando por trimestre. 13. Hallar el interés compuesto de $ 4350 en 18 meses al 2,5% mensual, capitalizando intereses por semestres. 14. Que es más ventajoso: colocar $8000 al 3% mensual de interés simple, o colocar los $8000 al 2,75% mensual de interés compuesto, capitalizando por bimestres (tiempo: 6 meses) 15. En cuanto tiempo un capital de $100000 duplica su valor si la tasa es del 20% anual.

BIBLIOGRAFIA y RAMÍREZ, M. 2 8 “ Prueba de Selección Universitaria Matemática- Preuniversitario Popular”. Universidad de Chile.

 JARA, V, PAREDE,

P.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática  ORTIZ, L. 2

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 PÉREZ, B. 2 7 . “Módulo II: Proporcionalidad y Aplicaciones ”. Tecnológica de Chile.

Universidad

CARABALLO A, CRUZ, T., HERNÁNDEZ.O. 1997 “Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones ”. International Thompson Editores.

 RODRÍGUEZ, J.,

 TORRES, J. 2 8 . “Matemáticas Básicas Aplicadas ”, Publicaciones INFOTEP, San Andrés Isla- Colombia.

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática GUIA Nº 4 CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA SISTEMAS DE MEDIDAS 1. CONCEPTOS BÁSICOS Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. Tipos de unidades de medidas De longitud (m) De masa (gr) Eléctricas (Voltio) de peso específico (N/m3)

De superficie (m2) De tiempo (hora) De densidad (kg/m³) de potencia (Vatio)

De volumen (m3) De velocidad (m/sg) De energía (Julio) de presión (Pa)

De Capacidad (lt) De temperatura (oC) De fuerza (Newton) de viscosidad (Pa·s)

Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: 

Sistema Internacional de Unidades o SI: es la forma actual del sistema métrico decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia.



Sistema Ingles de Medidas o anglosajón, es el resultado de la adopción, por parte de los países de habla inglesa, en especial las más industrializadas, entre las que destacan Gran Bretaña y los Estados Unidos.



Sistemas de Medidas de Castilla: Sistema de medida antiguo que todavía se utiliza en algunos países de América



Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.



Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1.



Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema está en desuso. 73

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Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida. El sistema métrico decimal En el pasado cada país y en algunos casos cada región seguían unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal. El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud, Superficie, volumen, Capacidad, Masa. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente: Prefijo Simbolo Factor Asociado

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo K 103

Hecto H 102

Deca D 101

deci d 10 1

centi c 10 2

mili m 10 3

micro µ 10 6

nano n 10 9

pico p 10 12

Femto f 10 15

2. UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: Unidad Símbolo Equivalencia

Kilómetro Km 1000m

Hectómetro Hm 100m

Decámetro Metro Decímetro Dm m dm 10m 0.1 m

Centímetro Cm 0.01 m

Milímetro Mm 0.001m

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Pasar 50 m a cm Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 74

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 50 · 100 = 5 000 cm Pasar 4385 mm a m Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación. 4385: 1000 = 4.385 m Ejercicios: Expresa en metros: a. 5 Km d. 53 600 dm

b. 2 cm e. 1.83 Hm

c. 25.56 Dm f. 100 000 mm

Problemas a. ¿Una persona da un paseo en bicicleta y recorre 4,2 km. Cuántos m ha recorrido? b. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden sacar de una vara de madera de 5 m y 6 dm? 3. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES Tabla de Equivalencias Unidad Símbolo Línea l Pulgada ´ 12 l Pie ft 12´ Yarda 3 ft Milla Terrestre Mll 1700 yd

Equivalencia 0.21 cm 2.54 cm 30.48 cm 91.44 cm 1600 m

Resuelva: a. b. c. d. e.

Cuántos cm mide un clavo de 2 pulgadas A Cuantas millas equivalen los 87 Km que hay entre Santa marta y barranquilla Convierta una longitud de 1500 millas a kilómetros. Convertir a cm la pantalla de un televisor de 50 pulgadas. Exprese en millas terrestre la longitud del rio Magdalena (1550 Km)

4. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA Unidades de medida que permiten medir la extensión o área de un territorio. 75

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática En el sistema internacional de unidades la principal unidad de superficie es el metro cuadrado. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior. Kilómetro Cuadrado Km2

Hectómetro Cuadrado Hm2

Decámetro Cuadrado Dm2

Metro Cuadrado m2

decímetro Cuadrado dm2

centímetro Cuadrado cm2

milímetro Cuadrado mm2

Ejercicio-1 Convertir a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie. a. 32 Dm2 b. 30000 cm2 c. 1,16 Hm2 = d. 520000 dm2 e. 0,008 km2 f. 2 000 000 mm Ejercicios-2 Convierta a la unidad indicada a. 82.5 m2 a dm2 b. 0.78 Km2 a Hm2 d. 7.77 Km2 a Dm2 e. 8000 cm2 a m2

c. 38.7 Dm2 a m2 f. 0.025 m2 a cm2

Ejercicio-3 a. ¿Cuál es el precio de un terreno de 8.7 Hm 2 a razón de $600 000 m 2? b. ¿Cuántas baldosas de 1 dm de lado se necesitan para embaldosar un piso de 30m2 de superficie? c. Se debe comprar una alfombra, el cuarto tiene 10,50 m de largo por 4,50m de ancho. ¿Cuál será el precio de la alfombra si 1 m2 cuesta $21 500? 5. UNIDADES AGRARIAS Para medir superficies en el campo, se suelen utilizar unas unidades especiales, llamadas agrarias. Con ellas se expresa lo que mide, por ejemplo, la superficie de un campo de trigo, de un terreno, o la que ocupa un bosque. Estas unidades son: Unidad Centiárea Área Hectárea

Símbolo ca a ha

Equivalencia 1 ca = 1 m2 1 a = 1 Dm2 1 ha = 1 Hm2

La superficie de un campo es habitual expresarla en hectáreas. Hectárea es el hectómetro cuadrado, es decir un campo en forma de cuadrado de 100 m de largo por 100 m de ancho. Área es el decámetro cuadrado, es decir un campo cuadrado de 10 metros de largo por 10 metros de ancho. Centiárea es el metro cuadrado. 76

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejercicio a. El vendedor de un terreno nos dice que ocupa una superficie de 55.000 m 2 ¿Cuántas hectáreas b. La alcaldía del un municipio compró un terreno de 20 ha para un parque. Calcula el precio del terreno si se vende a $500.000 el m 2. c. ¿Cuántas hectáreas tiene un solar de 20.000 m 2? d. Una finca de 30,225 ha se vende a $1200 el área ¿Cuál es el precio total? e. Se ha pagado por una finca $ 120 millones de pesos cuyas medidas son: 840 m de ancho por 95,2 Dm de largo ¿Cuánto costó cada ha del terreno? f. El Gobierno Colombiano devolverá 312.000 hectáreas a las víctimas del desplazamiento forzado, fruto del conflicto armado que se vive en el país. El programa, según indicó el Ministerio de Agricultura, beneficiará a 130.487 familias. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponderá a cada familia? 6. UNIDADES DE VOLUMEN El volumen Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m 3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1.000 veces menor que la unidad inmediata superior. Relación entre unidades de volumen y capacidad (litro)

1 m3 = 1 kl;

1 dm3=1 l;

1 l = 1000 cm3

Ejercicio a. b. c. d. e. f.

Convierta en metros cúbicos 0,014 km3 5 600 000 cm3 1,16 Hm3 137 500 000 dm3 1,004 Dm3 3 500 000 000 mm3

Convierta en centímetro cúbicos a. 3.5 m3 b. 3600 mm3 c. 0.000 125 Hm3 d. 35.64 dm3 e. 0.0750 Dm3

Convierta en milímetros cúbicos a. 3,635 cm3 b. 0.625 m3 c. 0.05525 dm3

Problemas: a. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? b. En una caja de 0,696 Dm3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben? 77

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática c. Un barco transporta 75 Dm3 de vino y se quiere envasar en cubos de 1,2 m3. ¿Cuántos cubos se necesitarán? d. Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm 3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0,4498 dm3? e. Una alberca mide 3,5 m por cada lado. ¿Cuántos litros de agua caben? f. Una piscina se llena con 40 m3 de agua ¿cuál es la capacidad, en litros, de la piscina? g. ¿Cuántos litros de gasolina de gasolina caben en un depósito de 90 dm de largo, 300 cm de ancho y 0.55 Dm de altura? h. Una pared debe tener 7,5 m × 5,6 m y un grosor de 30 cm. ¿Cuántos ladrillos de 15 cm × 10 cm × 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 15% del volumen? i. Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. El agua llega a 1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? j. La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 62 km2. En las últimas lluvias han caído 27 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge en el pantano un 43%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se han recogido en el pantano como consecuencia de las lluvias?

7. UNIDADES DE MASA La principal unidad de masa del Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg). Cada unidad métrica de masa es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior. Tonelada t

Quintal q

Kilogramo kg

Hectogramo Hg

Decagramo Dg

gramo g

Decigramo dg

Centigramo cg

Miligramo mg

Otras unidades de peso de uso común en el comercio de los productos agrícolas son:     

1 libra (1 lb) = 453.59 g 1 arroba (1 @) = 25 lb 1 onza (oz)= 28.35 g 1 US ton (ton)= 0.907 toneladas métricas 1 UK ton (ton) = 1.016 toneladas métricas

Ejercicios Pasa a Kilogramos las siguientes unidades a. 14 t b. 213 q c. 2157 g d. 15 000 mg e. 16 @ f. 17256 lb g. 658 oz h. 0.25 US ton

78

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Problemas a. En una finca se recolectó durante la cosecha de café 1207 @ y 9 lb. Si se vendió a $1600 el ¿cuánto dinero se recibió? b. Un barco inglés lleva 15 700 toneladas métricas de carbón. Si se pagan 3.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton). ¿Cuál es valor del embarque? c. ¿Cuál será la ganancia de un agricultor de la venta de 18 @ de yuca si en el mercado le pagan $800 el Kg? d. Un bote contiene 25 onzas de una droga. ¿Cuántos gramos de la droga contiene el bote? ¿Cuántas dosis se pueden obtener de él si cada dosis necesita 4.5 g de la droga? 8. UNIDADES DE TIEMPO Segundo (s) Día Año Siglo

Minuto (min) Semana Lustro Milenio

Hora (h) Mes Década

Equivalencias entre unidades de tiempo: 1 minuto = 60 segundos 1 hora= 60 minutos = 3.600 segundos 1 día = 24 horas 1 semana = 7 días 1 mes = 30 días (hay de 28 y de 31, pero para los problemas se consideran de 30 días) 1 año = 365 días = 52 semanas 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1.000 años

Transformación de unas unidades a otras: * De menores a mayores: Dividir Transforma 38.520 segundos a horas, minutos y segundos. (38.520 s h, min y s) a) Dividimos 38.520 s entre 60 y obtenemos 642 minutos y sobran 3 segundos. b) dividimos los 642 minutos entre 60 y obtenemos 10 horas y sobran 42 minutos. El resultado final es: 10 horas, 42 minutos y 3 segundos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión incompleja a otra compleja. * De mayores a menores: Multiplicar 79

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Transforma 3 horas, 25 minutos y 13 segundos a segundos (3 h 25 min 13 s s) a) Las horas las multiplicamos por 60 obteniendo los minutos y el resultado por 60 para calcular los segundos. b) Los minutos los multiplicamos por 60 para obtener los segundos. c) Finalmente sumamos todos los segundos obtenidos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión compleja a otra incompleja. Web grafía: http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema512.pdf http://www.ciencia-ahora.cl/Revista15/03MagnitudesFisicas.pdf

80

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática LA GEOMETRÍA Históricamente la Geometría es una de las más antiguas ciencias. Originariamente, formaba un conjunto de conocimientos prácticos relacionados longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en “Los Elementos. El estudio de la astronomía y la cartografía”, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. Mientras que René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, donde curvas planas, podrían ser representadas analíticamente mediante funciones y ecuaciones. La geometría fue enriquecida con la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, dando origen a la topología y la geometría diferencial. Para indagar más, revisa http://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementos La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. En esta guía estudiaremos algunas formas geométricas: Las formas geométricas planas: Recta y Polígonos: Triángulo, Cuadrilátero; y algunas formas geométricas espaciales como: Superficies de revolución: Paralelepípedo, Cilindro, Cono y Esfera

81

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática PERIMETRO, AREA Perímetro: Es la suma de los lados de una figura geométrica (Su contorno). Área: Es la medida de la superficie de una figura (La medida de su región interior). Volumen: Es la medida del espacio que ocupan los cuerpo. Perímetro y Áreas de figuras Planas Figura

Forma

Perímetro

Área

4

Cuadrado

2 2

Rectángulo

Triángulo Equilátero

2

3

3 2 2

Triángulo Isósceles

2 2

82

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Triángulo Escaleno

2 2

Triángulo Rectángulo

Teorema de Pitágoras

2

2

Paralelogramo

4

Rombo

Trapecio

2

2

83

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2

Circulo

Volumen de Figuras del Espacio Figura

Forma

Área y Volumen

6

Cubo

2

Prisma Recto

2

4 4

Esfera

3

84

2

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2 2 2

Cilindro

Cono 3

í

Pirámide

2 3

1. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? Inicialmente hallamos el perímetro del cuadrado (P c) dado por Pc = 4 L, donde L es la longitud del cuadrado, es decir L=12 cm, remplazando Pc = 4

12 cm = 48 cm

Ahora el perímetro del triangulo equilátero (P T) está dado por PT = 3 el lado del triángulo, por dato P c = PT, es decir 48 cm = 3 85

LT

LT, donde LT es

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 48 16 3 Por lo tanto, cada lado del triángulo mide 16 cm. Ahora hallamos las áreas del cuadrado y el triangulo para comparar si son iguales. Área del triangulo , donde

Área del cuadrado donde 12 Remplazando 12 144

16

Remplazando 3 16 4

11 .851

Por lo tanto sus áreas no son iguales 2. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 9 m de altura. Tenemos que el área total de la superficie es , donde

4

y

9

El área de cada baldosa es Convertimos los

, remplazando 4 9 1

1

36 1

a

1 . 1 1 Ahora dividimos el área de la superficie por el área de la baldosa 36 36 . 1 Por lo tanto se necesitan 3600 baldosas para enlosar la superficie total. 3. Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín. 8 dm 20 m

7 dm 30 m

86

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Calculamos las áreas de cada rectángulo que compone la cruz, inicialmente convertimos de decímetros a metros: 8 .8 1 7 .7 1 Hallamos el área de la intersección de la cruz, la cual debemos sustraer a la suma de los valores obtenidos anteriormente, con el fin de hallar el área total de la cruz .8 .7 .56 .7 3 21 .8 2 16 Al Área8 le restamos la intersección y luego sumamos al Área 7 ó

ó

21

16 36.44

.56

Calculamos el área total del terreno y le restamos el área de la cruz para hallar el área del jardín 3 2 6 í í

6

36.44

563.56

Entonces el área del jardín es de 563.56m2 4. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de $10 000 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?, ¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla? 1.5 m 6m 8m

Según los datos tenemos una superficie de:  2 paredes laterales de 8m 1.5m, 2 paredes frontales de 6m 1.5m y el piso con un área de 8m 6m, con estos datos hallamos el área total que se necesita pinta, obteniendo las áreas de cada pared y el piso y luego lo sumamos para hallar el área total. 87

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 2 2

8 6

1.5 1.5

24 18

8 6 48 Sumando todas las áreas, hallaríamos el área total de la piscina 24

18

48

9

Entonces, si se pinta a razón de 10.000 el m 2 tenemos que: 1 9 9 Pintar la piscina costará $900.000 Para saber cuántos litros de agua serán necesarios para llenar la piscina, calculamos su volumen 8 6 1.5 72 Como 1 litro equivale a un dm 3 convertimos los 72 m3 en dm3 72

1

72

1

72

Entonces se necesitan 72.000 litros de agua para llenar la piscina. 5. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? Inicialmente hallamos el espacio total del almacén 5 3 2 3 Ahora hallamos el volumen de cada caja 1

6

, el valor obtenido lo pasamos a m 3

4

24

1

24

1 Dividimos el volumen del almacén por el de cada caja 3 .24

.24 125

Entonces en el almacén se pueden depositar 125 cajas de las dimensiones dadas.

88

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática GUIA Nº 5 FUNCIONES Objetivos 1. Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas 2. Trazar gráficas por medio de puntos 3. Interpretar gráficas 4. Establecer la diferencia entre una relación y una función 5. Comprender el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real 6. Identificar las características y gráficas de los diversos tipos de funciones Competencias  Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.  Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas.  Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.  Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas.  Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático.  Habilidad para usar calculadoras y software matemáticos en la solución de problemas matemáticos. BASE CONCEPTUAL FUNCIÓN Generalmente la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto es necesario estudiar el comportamiento de dos o más variables. En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: Distancia – Tiempo Área del circulo – radio Volumen de una caja – la longitud de sus lados Cantidad Comprada – Precio Fuerza - Masa Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario 89

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Conceptos Básicos Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a , b) con a, b ε R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Intervalos Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.

Finitos  Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x
∞

a

b

 Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x / a ≤ x ≤ b} Gráficamente ∞

∞

a

b

 Semi-abierto o semi-cerrado (a , b] = {x

/ a < x ≤ b}

∞

[a , b) = {x

/ a ≤ x < b}

∞

a

∞

a

 Intervalos Infinitos: (a,∞ x

/ x > a}

90

∞

a

b

∞

b

∞

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática [a,∞ (-∞, a (-∞, a]

x

/ x ≥ a} x x

∞

/ x < a}

∞

∞

a

a

∞

/ x ≤ a} ∞

a

∞

Relación Regla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad.

Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente. Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota : x

y=f(x)

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente.

Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven, como graficas cartesianas y por formulas. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, más 3 unidades”, etc. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el 91

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Nº de familias

128

253

378

503

628

753

878

1003

1128

2. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso Fracción de artefactos que funcionan

1 0.88

2 3 0.78 0.69

4 0.61

5 0.54

6 0.48

7 0.43

8 0.38

9 0.33

En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Ejercicios 1. A

f

2.

f

B

A

1

1

1

1

2

4

2

4

3

9

3

9

4

16

-2

92

B

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática

f es una función ya que a cada elemento

de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} Si en una función el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectiva 3. f A B

f es una función ya que a cada elemento

de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9} f es sobreyectiva 4. A

f

B

1

1

1

1

2

4

4

2

3

9

9

3

16 f es una función ya que a cada elemento

de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} f no es sobreyectiva 5. f A B 1

1

4

2

16

-2

f no es una función porque 4hay un

elemento A que no tiene dos imágenes en B

16 f no es una función porque hay un

elemento A que no tiene imagen en B

6.

f A

B

1

1

2 3 4

f es una función ya que a cada elemento

de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1}

Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante 93

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En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos. Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la grafica, esta no representa a una función. y

y

y

x

x

x

Es función

No es función

y

Es función

y

y

x x x

Es función

No es función

Es función

Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica de una función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno y si la corta en más de un punto se llama sobreyectiva

94

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática y

y

y

x

x

x

Inyectiva

sobreyectiva

Inyectiva

y

Si una función, como la que se muestra en la gráfica, una parábola donde se considera únicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva

f(x)=x^2, x>=0

x

Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas Ejemplo: 2

Lineales

3

Cuadráticas Polínomicas

1 5

2 4

Polinomiales 2

Racionales

5 5

95

6

4

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Irracionales 2

Por trozos, (por sección o por partes )

Polínomicas

6

log 12 cos

logarítmicas Exponenciales Trigonométricas

Las trascendentes

2

3

≥5

3 2

<5 .

Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1 (x) se obtiene expresando la función x= g(y). Esquemáticamente A

B

B

A

x

f(x)

f(x)

x

f:A

B

f -1 :B

Función Directa

A

Función Inversa

Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa.

96

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejercicios Obtener la función inversa de cada función 1. y=4x + 1 Despejando Gráfica

2. y=x2+1 Despejando Gráfica

y

1 y

y=x^2+1

y=4x+1

x=(y-1)^(1/2) x=(y-1)/4 x x

4. Despejando Gráficas

3. Despejando Gráficas

1 1

y y

x=y^2+1

y=(x+3)/(x-2)

x

y=(x-1)^(1/2) x=(3+2y)/(y-1) x

Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simétrica respecto al origen

97

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejercicios En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores 1. f(x)=x2 Gráfica  Veamos si es par hallemos f(y

=

x^2

y

x)=f(x)



Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2





(-1)2=(1)2 1=1



Por lo tanto f(x)=x2 es par  Veamos si es impar hallemos f(-

x 









x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x2 (-1)2=-(1)2 1 = -1 Por lo tanto f(x)=x2 no es impar

Gráfica

2.

y

 Veamos si es par hallemos f(-

x)=f(x)



Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como (



)= ( )



-1=1

x

Por lo tanto

no es par



 Veamos si es impar hallemos f(-





 

x)=-f(x)

Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como (

 

)= - ( )

-1 = -1 Por lo tanto

es impar

98





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Raíces e Interceptos y

Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".



Raices

 

x 









  y = x^3-4x 

Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada ( y)

y

     

Intercepto

  



x

 y = x^3-6x+3 





 

Ejercicios Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen) 1. f(x) = x2-2x-3 Para hallar las raíces hacemos

Gráfica y 

f(x)=0 entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0,



entonces x1-3=0 por lo que x 1 = 3 y x2+1=0 por lo que x 2=-1 Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x 1 = 3 y x2=-1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-3

Ra ice s

  x 



     

99

In  te rcep tos



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2. f(x)=x(x3-1)

Gráfica

Para hallar las raíces hacemos

y

f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos

x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1



x 



Intercep tos



Raiz 



Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x 2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y).

Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).

(-∞,-1)

100 (-1,1)

(1, ∞

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Función Acotada Una función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todo x, f(x) ≤ b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotada inferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b . Al número b´ se le llama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente y inferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x , b´≤ f x ≤ b

(x,y) = (0,1)

y = x(x^3)

y

y

Cota Sup erior   x 







x 

Cota Inferior





Acotada Superiormente y = 2^(1-x^2)

Acotada inferiormente y = x(x^2-1)

y 

y

Cota Sup erior



 x 





x 













Cota Inferior 

Acotada

No acotada

101



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Concavidad y Convexidad Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Una función es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

y

y

Concava  

Convexa 

x  





  x 









Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Dominios y Rangos

Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto:   

Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.

102

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 1. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero Despejamos x Si remplazamos x en la función original obtendremos Quiere decir que el dominio de f(x) es:

2 2

4

1 1 2 1

Dom [ {

2.

1

]=R-

}

1

Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es:

4

1<

4 <1 1 < 4 Dom [ ∞,

4

1]=R-

3. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es:

3

≤

3≤ Dom [ [ ∞, 3]

103

]=R-

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x ”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y). Ejercicios 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2 3. Determine f(x + h) si a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h) 2 – (x + h) + 2 d. f(x) = entonces f(x + h) = Nótese que donde esta x se escribe x + h Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. b. c. d. e.

Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x) Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]

Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre:  (f + g)(x),  (g - f)(x),  (g * g)(x),  (f  g)(x),  (f  g)(x) 104

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1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable se deja indicada  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1 2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x 2  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x 2 + 2x - 1 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x - 1 GRÁFICA DE FUNCIONES Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

105

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Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x ∈ A le corresponde precisamente un número real f(x) ∈ B. Esto se puede expresar también como parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir ( x, f(x)) o (x, y). La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Grafica de una Función con Tecnología Con Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar  Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.  Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.  Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala  Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir 106

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática  Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.  Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.  Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo  Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.  Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste  Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala  Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar  Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar  Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independiente

La gráfica de una función lineal es una línea recta Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde , b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) ,

, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades La ecuación de la pendiente que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

m = y2 – y1 x2 – x1

Se pueden presentar las siguientes situaciones:  m > 0: La función es creciente. 107

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática  m < 0: La función es decreciente  m = 0: La función es constante.  Si m es indeterminada no existe función. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto ( x1,y1) es:

y – y1 = m(x2 – x1)

La ecuación de la general de la recta está dada por: Problemas 1.

La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a.

Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x 1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x 2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 45 4 5 1 4 5 1 2 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.

b.

Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación , remplazando

1 2 1 2

4 4 1 2 c.

5 25

25 1 2

4 65

Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados 108

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

y Unidades Dem andadas

             P recio 





























d.

¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades

e.

¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 1 65 2 , despejando 1 65 2 65 2 13 ó 13

f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación 1 45 65 225 2 , a $4500 se demandarían 4250 unidades g.

65

425

Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando 1 524 65 2 , despejando 1 524 65 2 109

x 

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 126 126 252

ó

1 2 2 252

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520 2. Los especialistas en acondicionamiento físico recomiendan a quienes desean quemar calorías y perder peso, que hagan ejercicios consistentemente durante largos periodos. El número de calorías que se queman al conducir una bicicleta durante una hora, es una función lineal de la velocidad al que se realiza el ejercicio. En promedio, una persona que conduce a 12 millas por hora quemará alrededor de 564 calorías en una hora, y si conduce a 18 mph quemará más o menos 846 calorías en el mismo tiempo. La información se muestra en la gráfi.ca.

(a) Determine la ecuación de la una función lineal que pueda utilizarse para calcular el número de calorías (C), que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a r millas por hora (mph). (b) Calcula el número de calorías (C) que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph (r). (c) Calcula la velocidad a la que se tiene que conducir una bicicleta para quemar 1000 calorías en una hora Solución: (a) Consideremos r la velocidad y C las calorías. Por datos sabemos que cuando se conduce a 12 mph se queman 564 C, lo que nos suministra una primera pareja 110

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática ordenada (12,564) y cuando se conduce a 18 mph, se queman 846 C, lo que nos daría una segunda pareja ordenada (18,846). Calculamos la pendiente de la recta por fórmula: Consideremos

12,

564,

18 849 remplazando 849 564 47 18 12 Indica que por cada mph que se incremente la velocidad las calorías que se queman se incrementan en 47 calorías. Remplazamos en la ecuación: 564 47 12 47 564 564 47 Con la ecuación se puede calcular el número de calorías (C), que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a r millas por hora (mph). (b) Debemos calcular el número de caloría (C) que se queman si se conduce a 20 mph, es decir 2 , remplazamos en 47 2 94 Conduciendo a una velocidad de 20 mph se pueden quemar 940 calorías (c) Debemos calcular la velocidad a la que se debe conducir para quemar 1000 calorías es decir C = 100, remplazamos en 1 47 , despejando

1 47

21 Por lo tanto, para quemar 1000 calorías en una hora, se debe conducir la bicicleta a una velocidad aproximada de 21 mph.

111

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática FUNCIÓN CUADRÁTICA La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma

y = f(x) = ax 2 + bx + c, , donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo y = x^2+2x-1

y = -x^2+2x+1 y

y

Máximo Relativo

V(-b/2a, f(-b/2a)) f(-b/2a) Valor óptimo

Eje de Simetría

x=-b/2a x

a<0

a>0

x=-b/2a Eje de Simetría

x

V(-b/2a, f(-b/2a))

f(-b/2a)

Valor óptimo

Mínimo Relativo

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es b x 2a b El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en x    y es:  2a  b f .  2a  El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en   b   b  V   , f    2 a  2a   112

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática

Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen  b  b 2  4ac 2a Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones 1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría. x

Ejercicio Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5) La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma

y = ax2+ bx + c (Ec1) Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2) Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4) Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c

-8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6)

Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c

-8 = - a – b – c

113

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-3 = 3a - 3b

Factorizando: -1 = a – b (Ec7)

Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b

-1 = a – b 5 = 5a despejando

a=1

b=2 Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo

c=5

Remplazando en (Ec1) la ecuación sería:

y = x2 + 2x + 5 Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dólares en publicidad del producto, y

y = 50x – x2

a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa? Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x -

b 2a

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando:

b 2a

x Remplazando en la función original:

5

2 1

5 2

25

y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad b. Halle los interceptos ¿qué significa? Remplazamos a, b y c en la ecuación general x

b

b2 4ac 2a

5 24 1 2 1

5

, encontramos 2 raíces

114

5

5 2

2

5

5 2

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática x1

5

5

5 5 2

y x2

2

1 2

5

Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad c. Grafique la función y 

Unidades

(25,625) 









 x 









 P ublicidad



FUNCIÓN EXPONENCIAL Si a es un número real talque a > y a ≠1, entonces la función f(x)= a x es una función exponencial.

Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones

115

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Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es número irracional fijo aproximadamente 2.71828… .

, donde ℮ es un

Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma f(x)= a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Función inversa de la exponencial y se denota

, con a>0 y distinto de 1.

El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los reales. En la figura se representa la gráfica de las funciones ln y log

116

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática y = log(x) y y = ln(x)   x 



















    

Modelación de las Funciones Exponenciales Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine a. La expresión que representa la función La función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, , por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando 14

14 3

3

.46 ln .46 .776

ln ln

Por lo tanto . Es decir que la función es de la forma

.

Grafique la función y Numero de Ejemplares (x)

1.







 x  







117   Tiempo (meses)













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b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando . . . En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando 3

3

.

3 . 3 . . 1 . . 1 4.6 5 .776 Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares. 2.

El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es: (Ec1) , donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando 165 1 1.65 , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad ln 1.65

ln

.5

1

, entonces k=0.05 . Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 1 Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando . 1 272 Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones

118

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática FUNCIÓN COCIENTE FUNCIÓN COCIENTE Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por , es otra función definida donde y g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una indeterminación.

Problema 1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por: 6 5 , donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t) , el número de computadores que ensambla. a. Grafique la función y     x 



















 

b.

¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores ensamblará al mes? Para t=1, 6 1 6 1 1 1 5 6 El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes) 6 3 18 3 5.14 3 5 35 En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores.

c.

¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores? Aquí f(t)=3 119

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 3

6

5 5 6 15 6 15 3 5 Por lo tanto en 5 días esta ensamblando 3 computadores 3 3

FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente variable “x” , esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.

Ejercicios Dadas las funciones

(x + 2)3 + 1

Si x ≤ -1, rango 1

3+x

Si x > -1, rango 2

1. j(x) =

Determine: a. j(-1) Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 +1=1+1=2 b. j(0) El valor x=0 está ubicado en

120

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática el segundo rango j(0)=3 + 0= 3

y

y=x +3

   

x 



















y=(x +2 )^ 3 +1

c. j(-2) El valor x=-2 está ubicado en el primer rango j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 +1=0+1=1

   

Determine a. f(3) El valor x=3 está ubicado en el segundo rango f(3)=3 – 2 = 1 b. f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rango f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 c. f(2) El valor x=2 está ubicado en el segundo rango f(2)=2 – 2 = 0

4 – x2 Si x < 2, rango 1 2. f(x) = x – 2 Si x ≥ 2, rango 2

Gráfica y 

y=4 -x^ 2 



y=x-2



x 















121

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Problemas 1. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la siguiente manera: 2 + 4t Si ≤ t < 2 6 + 2t Si 2 ≤ t < 4 C(t)= 14 Si 4 ≤ t < 12 50 – 3t Si 12 ≤ t < 16

N IVE L D E C O N TAMIN AC IÓ N

, donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. a. Represente gráficamente la función dada.



                 

y

C (t)=1 4 C (t)=6 +2 t

C (t)=5 0 -3 t

C (t)=2 +4 t

x 













H O RAS 



















b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo Nivel de (t) contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8 c. Compare los resultados ¿qué encuentra? Los niveles de contaminación son más alto entre las 10:00 a.m. y 6:00 p.m. entre las 6:00 a.m. y las 10:00 se va incrementando y a partir de las 6:00 p.m. disminuye.

122

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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función de valor absoluto tiene por ecuación

f(x) =y= |x| , y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica va a estar siempre por encima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo. Por definición, el valor absoluto de un número positivo es igual al mismo número para x ≥ Pero el valor absoluto de un número negativo es positivo para x < 0 Se puede escribir una función usando una función por pate o por trozos

x si x≥ La gráfica que genera una función

-x si x<0

es

y = abs(x)

y 





 x 



















Ejercicios: Resolver cada función 1. 3 Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 3 entonces 3 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. --

+ 3

Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante. 123

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-(x-3) si x < 3 (x-3 si x ≥ 3

2.

2 4 Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 2 4 entonces 2 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. --

+ 2

Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.

-(2x - 4) si x < 2 2x - 4 si x ≥ 2 3.

5 4 Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 5 4 , factorizando 4 1 es decir 4 , 4y 1 , 1 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada -intervalo. + + 4

1

Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante. 5 4 si x ≤ 1 5 4 si 1
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación e indique ¿cuál representa una función?: a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda. 2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37) 3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación (si es posible). 4. Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función? a. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. b. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. c. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas d. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. 5. Halle la inversa de cada función a. 3 5 b. 4 c. d.

3

6. Determine ¿cuál de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las anteriores? 125

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática a. b. f(x)=x3 c. f(x)=2x d. f(x)=4x2-2x 7. Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar a. b. y

y











 x











x



















y  = 3x-x^3



c.

d. 

y

y

 



 



x 

x









 



  y = 4x^5+3x^3-2x 



8. Halle las raíces e interceptos de cada función, si existen a. f(x)=2x - 4 b. f(x)=x3+x2-12x c. d. f(x)=Ln(x-1) 9. Halle el dominio y el rango de cada función a. 4 b. c. d. 10. Dadas las funciones hallar

]

]

x2 -

a. f(x) = 2 y g(x) = 2x + 4 3 b. f(x) = x – 5 y g(x)=2x3 – 1 126









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c. f(x) = x2 + 5 y g(x) = d. f(x) = y g(x) =

-2

11. Grafique cada función en el intervalo indicado a. f(x)=2x+1 en [0,3] b. f(x) = x2 + 1 en [-3,3] c. f(x)=x3 – 6x2 en [-4,4] d. f(x)= en [-4,4] e. f(x)= 2 en [-1,3] f. f(x)=ln(2x+1) en [1,4] 3 Si x < 1 g. e. j(x)= 2x2 + 1 Si x ≥ 1 12. Utilice el winplot para graficar las funciones anteriores 13. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que relaciona las temperaturas. Calcule a cuantos °C equivalen 72°F y a cuantos °F equivalen 38 °C. 14. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal. 15. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo? 16. El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000? 17. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m 3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes a. Determine la función lineal b. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua? 127

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18. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función. a. y= y=x2 – 4 b. y = 2x2 +18x c. y = -2x2 + 16 d. y = -x2 + 5x – 4 19. Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados: a. (1,0) (-2,6) y (2,6) b. (1,-1) (-3,33) (2,-8) c. (0,-4) (3,5) y (-2,0) 20. Sabemos que la función valores de “a” y “b”

tiene un máximo en el punto (3,8), halle los

21. Se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días. 22. Encontrar el área y las dimensiones del mayor campo rectangular que puede cercar con 300 metros de malla. 23. En una isla se introdujeron una cantidad de venados. Al principio la manada empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo, los recursos en la isla empezaron a escasear y la población decreció. Si el número de venados (V) a lo largo de los años (t) está dado por la fórmula: 21 1 a. b. c. d.

¿Cuántos venados se introdujeron en la isla? ¿Luego de cuántos años el número de venados fue de 208? ¿Cuántos venados hubo al cabo de 5 años? ¿Después de cuántos años la población fue la máxima?¿Cuál fue el número máximo de venados? e. Después de cuántos años se extingue la población? 24. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión

y = 3x + 8x2 - x3

a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra c. Grafique la función 128

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25. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente .

a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactos? 26. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos? 27. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P 0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015. 27. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 2 3 1 Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 28. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 5 3 1 a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 29. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 4 3 2 1 , donde t es el número de días en el trabajo. a. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes laborando? b. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble sea de 15 minutos 129

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática c.

Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.

30. Resolver

x2

1, Si x ≤

1 , Si x < 2

a. j(x)=

b. j(x) = , Si x > 0

2 , Si x ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2)

Determine j(-1), j(0) y j(2)

3 , Si x < 1

1 , Si x < 2

c. j(x)=

d. j(x) = 2x2

+ 1 , Si x ≥ 1

2

Determine j(-1), j(0) y j(2)

, Si x ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2)

31. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras está dada por la función 13 -3 t

f t

1

-5t2 1.25t2

si ≤ t ≤ 1 si 1 < t ≤ 2

16 25t 8 – 26.25t

si 2 < t ≤ 4 162.5

si 4 < t ≤ 6 si 6< t ≤ 1

Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en el 2000? 32. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función C(x )=

1 . 94x Si ≤ x ≤ 1 19.4 + 0.075(x – 10 Si 1 < x ≤ 5 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Calcule el cargo mensual si se consumen: a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora 33. Resolver y graficar cada función 130

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática a. b. c. d.

3

2 6 4 2

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