Modulo Matem y Raz Mat Noviembre 2017

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2018 -I

1 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


TEMA 1 ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones exponenciales son aquellas que se caracterizan porque la incógnita se encuentra ubicada en el exponente. Si el conjunto solución se ha calculado por las transformaciones elementales; entonces la ecuación será elemental.

I. PRIMER CASO: Esdelaforma:

  →

donde:

Para calcular la incógnita x, se utiliza el siguiente principio:

≠0; ≠1

“A bases iguales se debe tener exponentes iguales”

Dentro de este Primer Caso, se presentan los siguientes sub casos:

I.A ECUACIÓN EXPONENCIAL EN SU FORMA SIMPLE: Es cuando las bases se expresan en su forma simple o se tiene la presencia de potencias. Ejemplo 1: Hallar el valor de x en: Solución:

3+ 243 3+ 3

Se observa que el segundo miembro es potencia en base 3.

Por principio:

215

2x = 4 →

x=2

Rpta.

I.B ECUACIÓN EXPONENCIAL CON POTENCIAS SUCESIVAS: Son ecuaciones donde las bases están expresadas en potencias, están elevadas a potencias una a otras para su solución debemos transformar las potencias hasta conseguir que las bases sean iguales. Ejemplo 2: Resolver Solución: Llevando a bases iguales:

81 3 3 3 2

LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Operando: Por principio:

348 323 2 2 →2+ 2 2 2335→333→ =

*Llevando a base iguales: Por principio:

I.C ECUACIÓN EXPONENCIAL CON RADICALES: Son ecuaciones donde aparece por lo menos un radical, aquí es necesario aplicar las leyes de exponentes con respecto a la eliminación del OPERADOR RADICAL para lograr transformar las bases a una base común. Ejemplo 3: Resolver Solución:

√27+ 243 3+ 3  →√3+ 3 3 3 +   5→3610→ 

Llevando a bases iguales:

Por exponente fraccionario: Por principio se tiene:

I.D ECUACIÓN EXPONENCIAL CON SUMA O PRODUCTOS DE BASES IGUALES: Para resolver éstos tipos de ecuaciones se debe aplicar las leyes de exponentes de tal manera que se genere una potencia común para luego ser factorizado y aplicar el principio o en otros casos llevar a bases iguales.

2+ 2+ 2+ 178 . 2 2. 2 2.2178 2 22 2 288→2 22822→

Ejemplo 4: Hallar “x” en: Solución:

*Descomponiendo el exponente suma: Factorizando:

I.E ECUACIÓN EXPONENCIAL DE BASES DIFERENTES: Es una ecuación donde las bases se reducen luego de operar a bases diferentes, de ahí que se hace necesario que los exponentes deben ser igual a cero para que la igualdad se cumpla. Ejemplo 5: Hallar x en:

2− 5−



Solución: Necesariamente por criterio los exponentes deben ser igual a cero.

360  20 ⇒ Luego:

3x = 6 y

x=2

X =2

(Observa que los valores de “x” deben coincidir necesariamente)

 

CASO ESPECIAL: Es de la forma:

donde:

≠0,≠1

F(x) depende de x. la solución de estos tipos de ecuaciones se da por comparación. Si observas que las relaciones que se dan en ambos miembros de la ecuación son equivalentes entonces por la simetría que se da la incógnita se obtiene igualando una relación con otra. Este caso presenta los siguientes sub casos:

I. ECUACIÓN EXPONENCIAL DE LA FORMA: Se tiene:

   ó  

Ejemplo 6: Hallar x en Solución:

 0,5

Si observas en el primer miembro la base es igual al exponente; buscando la misma relación en el segundo miembro.

  → 

Por comparación: x = ½

II. ECUACIÓN EXPONENCIAL DE LA FORMA:

Si se tiene:

   ó   √ 

Esta igualdad se cumple por propiedad.



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si “x” es un número positivo, tq.

√ ; á: +73−  3     9 23  0,1−. 0,01−. 0,0011

 a) 4

b) 5

c) 6

d) 3

e) 7

2. ¿Qué valor debe tomar “m” para que se verifique la igualdad:

a) 11/8 3. Si:

b) -11/15

c) 11/12

d) 12/11

e) -11/2

2 2− 2− 2− 2− 62√2 ;  √>0.5 ℎ ""

a) 1

b) 2

−−/ 7

c) 5/3

d)

e)

4. Si:

a) 3

Hallar la suma de cifras de “n”

b) 8

c) 1

d) 2

 4    √27    √ 2   1

e) 9

5. Si: a) 97

b) 35

halle: c) 43

d) 82

e) 25

6. Si: a) 7

Calcule: b) 9

c) 15

d) 12

e) 16

7. Simplifique para

a) x/2

≠0  −2.−−. −−..2−−

b) 2x

c) x

d) 4x

e) x/4

8. La expresión equivalente de:



 √√ +√+√ 

es:


5


a) 1 9.

b) x

c) 2x

d) 3x

e) 4x

 +. 1  2−  8− 0  25   √ 64 √3 √5 

Calcule el valor de M para x = 10

a) 10

b) 1000

c) 1

d) 100

e) 1/100

b) 2/3

c) 4/3

d) 5/3

e) 7/3

10. Hallar “x” si:

a) 1/3 11. Si: a)

Calcule:

b) 2

c) 4

12. Determinar el valor de

  √√

además “a” es un número par, “b” es un número

 √√

a) b/a

b) a/b

13. Si se sabe que:

 

b) 2/3

c)



d)



e) 1

calcule el valor de “x”

c) 8/27

14. Calcular “x”:

a) 1,1

e)

si se sabe que:

;

impar.

a) 4/9



d) 3

d) 27/8

e) 9/4

  √ b) 2,2

c) 3,3

d) 4,4

128 √2

e) 5,5

c) 2

e)

15. Encuentre el valor aproximado de la expresión:

a) 0

b) -2

 28 12 12√12⋯  √28


d) 28

6


16. Encuentre el valor aproximado de.

. √ ; :  666…. 6√6 1 555√5…….. a)

b)

c) d) 6

6√6  √3√6  3√6

17. Calcule:

Si:

a) 3

b)

18. Si:

c) 9

d) 27

 5  −

a) 1

b) 5

e)

c) 25

2√6

e) 18

−   5 5

hallar el valor de: d)

e)

 27 −  3218 − 3 2  ,, ∈ℤ +  12+18+36+ 2++3++

19. Si:

Hallar el valor de:

a) 25

b) 100

20. Si:

a)

c) 49

d) 64

e) 81

Simplificar:

4

b) 9

c) 16

d) 25

e) 36



PORCENTAJES

TEMA 2

DEFINICIÓN: Es el número de centésimas partes que se puede tomar una cantidad cualquiera. El “P” por ciento es igual a P/100

El P% = P/100

Ejemplo: 5% nos indica que tomemos: 5/100 30% nos indica que tomemos: 30/100 83,8% nos indica que tomemos 83,8/100 A% nos indica que tomemos a/100 NOTA: Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Ejemplo: 

30% de A + 40% de A = 70% de A



58% de M + 126% de M -10% de M = 174% de M



Mi edad más el 15% de ella, me dará : 115% de mi edad.



25% de A + 13% de A = 38% de A



C + 20% de C = 120% de C



D – 46% de D = 54% de D

Equivalencias Importantes: 50% = ½

25% = ¼

30% = 3/10

20% = 1/5

75% = ¾

40% = 2/5



¿CÓMO SE CALCULA EL P% DE UNA CANTIDAD M?.



El P% de M =

Ejemplo 1: El 118% de 300 es: 118% (300) = 118 (300)  354 100

NOTA : Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (parte) respecto de otra (todo), hacemos lo siguiente:

Ejemplo 2: ¿Qué tanto por ciento más es 50 respecto de 40? Solución: respecto de 40, 50 es 10 más entonces 40 es el todo y 10 es la parte: 10 40 

x100%  25%

DESCUENTOS ÚNICOS Si tenemos que hacer dos descuentos sucesivos del a% y del b%, estos pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores, este es el descuento único equivalente (Du) y se calcula así:

Ejemplo 1 : El lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En qué tanto por ciento aumentará su área? Solución:



Como el lado va a aumentar en 20% entonces el lado va aumentar en un 1/5 de su valor. Luego, nos conviene que el lado al inicio, sea un valor numérico que tenga 5 partes; le asignamos 5k L inicio = 5k  A = (5k)² = 25k² L final = 6k  A = (6k)² = 36k² 

11k 2 25k 2

x100%  44%

CUANDO SE TIENE MÁS DE DOS DESCUENTOS SUCESIVOS APLICAREMOS LA SIGUIENTE FÓRMULA:

 (100  D1 )(100  D2 )(100  D3 )...  100%  100n 1 

Du  

Ejemplo 2: Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 30%, equivale a un descuento único de: Aplicando la fórmula:

 (100  101 )(100  202 )(100  D303 )...   100% 3 1 100   90 x80 x70   Du    100 %  1002  Du  50,4  100% Du  49,6% Du  

OTRO MÉTODO PRÁCTICO Cantidad total: 100% Descuentos:

10%, 20% , 30%

Lo que queda:

90% x 80% x 70%

Lo que queda:

90 80 x x70%  50,4% 100 100



Luego: Descuento = 100% - 50,4% Descuento 49,6%



axb   Au  a  b  100  %

AUMENTO ÚNICO

En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a% y del b%, el aumento único equivale (Au) que reemplaza a estos dos aumentos es:

CUANDO SE TIENE DOS O MÁS AUMENTOS SUCESIVOS APLICAREMOS LA SIGUIENTE FÓRMULA:

 (100  A1)(100  A2)(100  A3)...  100 %  100 n 1 

Au  

Ejemplo: Dos aumentos sucesivos del 20% y 30%, equivalen a un aumento único de:

 (100  30)(100  20)...  100 %  100 2 1  130 x120  100% Au     100 Au  56%

Au  

El signo (+) nos indica aumento.



PROBLEMAS PROPUESTOS

18°

1. Si en la mañana cuando sale el sol la temperatura es . ¿En qué tanto por ciento aumenta la temperatura? a) 25% b) 16% c) 15% d) 20% e) 30%

2. ¿A qué aumento o descuento equivalen descuentos sucesivos del 20% y 50%, seguido de dos aumentos único sucesivos del 20%dos y 50%? a) 0% b) 28% c) 72% d) 30% e) 70% 3. Sea:

 ..√

porcentaje varía E? a) 50% b) 14%

si x aumenta en 50% y z disminuye en 64%, ¿En qué c) 33%

d) 35%

e) 53%

4. Se compra un artículo en 800 soles. ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público, para hacer un descuento del 20% y aún así ganar el 25%? a) S/.1000 b) S/.1250 c) S/.1300 d) S/.1520 e) S/.1600 5. Se tiene una mezcla alcohólica de 20 litros al 10%. Halle el volúmen de agua que contiene dicha mezcla. a) 2L. b) 15L. c) 18L. d) 19L. e) 17L. 6. Se tiene dos recipientes con 20 L. y 30 L. de alcohol al 50% y al 80% respectivamente; ambos se vierten en un recipiente más grande. Halle la pureza de la mezcla resultante. a) b) 68 c) 65 d) e) 70

32°

°

°

86°

°

7. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos. Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos? a) 78% b) 88% c) 22% d) 68% e) 12% 8. En una granja, donde solo hay pavos y conejos, el número de pavos representa el 60% del número total de animales. ¿Qué tanto por ciento de pavos deben morir para que el número de pavos restantes represente el 30% del número de conejos? a) 80% b) 205 c) 90% d) 30% e) 50%



9. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en un 60%, ¿En qué tanto por ciento varía su área? a) Aumenta 30% b) disminuye 60% c) disminuye 48% d) aumenta 48% e) disminuye 30% 10. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿qué tanto por ciento hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen aumente en 150%? a) 20% b) 30% c) 40% d) 255 e) 100% 11. En la familia Soto el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representa los niños? a) 20% b) 15% c) 30% d) 40% e) 25% 12. En un pueblo el 56% de la población bebe leche, el 36% de la población bebe soya y el 25% de los que no beben soya toman leche. Si hay 1800 personas que no toman leche ni soya. ¿Cuál es la población de dicho pueblo? a) 2750 b) 3650 c) 3750 d) 6750 e) 2780 13. ¿Qué porcentaje representa un círculo inscrito en un cuadrado? a) 66,66…% b) 33,33…% c) 78,5% d) 25%

e) 81,33%

14. El 20% de (x+y) es igual al 40% de (2x-y). ¿Qué tanto por ciento más representa (12x+15y) respecto de (12y-3x)? a) 100% b) 200% c) 300% d) 150% e) 400%

70 81 82 83 84

15. Si el área de la superficie de una masa esférica disminuye en un 75%, su volumen disminuye en . Entonces el volumen inicial de la masa esférica es: a) . B) c) d) e) .

80

16. En un pedido de 10 000 soles, un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos del 20%, 20% y 10% o tres descuentos sucesivos de 40%, 5% y 5%. Escogiendo el mejor. ¿Cuánto se puede ahorrar? a) S/.300 b) S/.435 c) S/.355 d) S/.345 e) S/.395 17. En un triángulo rectángulo uno de los catetos es 21 por 28 del otro. Si el cateto mayor aumentó su longitud su longitud en 900% y el menor en un 200%, ¿En qué porcentaje aumenta la hipotenusa? 13 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


a) 720%

b) 260%

c) 360%

d) 700%

e) 820%

18. El queso pierde al secarse la séptima parte de su peso. Un comerciante ha comprado queso fresco, lo deja secar y vende el kilo de queso a S/.35 ganado el 25% de su respectivo precio de compra. ¿Cuál es el precio de un kilo de queso fresco? a) S/.24 b) S/.25 c) S/.26 d) S/.27 e) S/.28

66,6%

19. ¿Qué tanto por ciento de un número que tiene por 18% al 3 por 5 de 30, es el 50% de otro número que tiene por a) 25% b) 20%

al 5 por 6 del 4 por 7 de 56? c) 30% d) 35% e) 40%

20. ¿Qué tanto por ciento del tres por siete del cinco por veinte del inverso de 7/2, es el dos por cuarentainueve del cuatro por cinco más del triple de la mitad de ¼? a) 40% b) 90% c) 50% d) 80% e) 50%



AREAS SOMBREADAS

TEMA 3

1. ÁREA DE UN CUADRADO

A = L2 L

A=

d2 2

2. ÁREA DE UN RECTÁNGULO h b

A = b.h

3. ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

h

a

A = b.h

b 4. ÁREA DE UN ROMBO

D

L

A=

D.d

2

d

5. ÁREA DE UN TRAPECIO

b 

a

A = 

h

B

b h 2 

B



6. ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

h

a

c

b.h

A=

b

2

7. ÁREA DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO 60º

1

1 2

l .

A=

3

4

60º

60º

1

8. ÁREA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO

Cateto 1

A=

cateto1 .cateto 2 2

Cateto 2

9. ÁREA DE UN TRIANGULO CONOCIENDO SUS LADOS

c

a

A=

p ( p  a )( p  b)( p  c)

b

10. ÁREA DE UN TRIANGULO CIRCUNSCRITO

a

A

c

A = P. r

P=

a

bc 2

b 16 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


11. ÁREA DE UN TRIANGULO INSCRITO

a



abc 4r

12. ÁREA DE UN TRIANGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN ENTRE SI NOTAS: a

Área  =2A

c A

A

ángulo  b

A



absen

A

Área 

A

2

A

13. ÁREA DE UN CIRCULO

A=

r



  14. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

A=

D

=6A

A

A A

2

4

15. ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR

radio ángulo

A=



.radio 2 .angulo 360 º

A=



.(R

2



r

2

)



PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Calcular el área sombreada: ABCD = cuadrado. radio =10 m a) 5( -8) m2 b) 10 ( -8) m2 c) 10 (5 -8) m2

d) 50(8-5 ) m2 e) 50( -6) m2

2. Calcular el área sombreada: si ABCD=cuadrado de lado "2a" m. a) 3a2 m2 b) 4a2m2 c) 2a2 m2 d) a2 2 m2 e) 2a2m2 3. Hallar el área sombreada si: ABCDEF es hexágono regular de lado 2u a) √2u2 b) 2√2u2 c) 2√3u2 d) 4√3u2 e) 8√3u2

4. En la siguiente figura, calcular el área sombreada AB=20 a) 10 b) 5 c) 20 d) 25 e) 12



5. En la figura adjunta el lado del hexágono regular mide 10 u. El área de la zona sombreada es: a) 20√3u2 2

b) 25√3u c) 50√3u2 d) 100√3u2 e) 150√3u2 6. ¿Qué porcentaje del área de ABCD es el área sombreada? (ABCD=Cuadrado) a)

50 %

b)

80%

c)

70%

d)

25%

e)

10%

7. ¿Qué porcentaje representa el área sombreada del área total? Radio del círculo mayor es 4m. ABCD= cuadrado. a) 25 % b) 50 % c) 100 % d) 75 % e) 105 % 8.- hallar el área sombreada, si A, B, C y D son cuartos de círculo. a) b) c) d) e)

+− − − − 19



9. Halla el área sombreada. ABCD es un cuadrado. a) 6(π+8) b) 8(π+2) c) 8(π+4) d) 8(π-2) e) 2(π+2)

10. El área de la región sombreada formada por la unión de los dos círculos es 12 π r 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada? a) πr2 u2 b) πr2 /2 u2 c) πr2 /3u2 d) 2 πr2 u2 e) 3πr2 u2

11. Calcular el área sombreada a) 2π-4 b) π+2 c) 2(π+3) d) 2(π-2) e) π-4

12. Calcular el área sombreada a) 10 π b) 24 π c) 25 π d) 26 π e) 28 π



13.- Calcular el área sombreada a) π b) 2 π c)

3π

d) 4 π e) 8 π 14. - Hallar: S1/S2 a) 1 b) 2 c)

3/2

d) 5/2 e) 7/2

15.- El área sombreada es al área del cuadrado ABCD como: a) 1:2 b) 1:3 c) 2:3 d) 4:5 e) 3:4 16.- Halla el perímetro de la figura sombreada. a) 4π√2 b) 4+ π√2 c) 4π d) 4√2 e) π+2 17.- Halla el perímetro de la figura sombreada si: AB=CD= 4m a) 4 π√2m b)

2π√2m 21



c)

8π√2m

d)

π√2m

e)

π/2 √2m

18.-Siendo ABCD un cuadrado de lado 8 cm, entonces el perímetro de la región sombreada es: a) 16(π+2) cm b) 4(3π+8) cm c) 8(2π+3) cm d) 8(π+4) cm e) 16(π+3) cm

19. Si la circunferencia central es tangente a la cuatro circunferencias de radio (√2+1) cm, calcular el perímetro de la región sombreada. a) 2π(√3+2) cm b) π(√3+4) cm c) 2π(√2+1) cm d) 2π(√2+2) cm e) π(√2+4) cm

21. Los círculos mostrados son tangentes entre si. El cuadrado formado uniendo los cuatro centros tiene un área de 36 . Hallar el área sombreada 

2

a) 9 (4-  ) 

2

b) 9 c) 4 d) 4-  e) N,A



22. Calcular el área de la región sombreada si ABCDEF es un hexágono regular de 6m2 de área

a) 3 b) 2.5 c) 2 d) 1.5 e) 4

23. Hallar el área de la región Sombreada a) 72(4-) b)

36(2-)

c)

81(3-)

d)

64(4-)

e)

4(16-)

24. En el cubo mostrado, calcular el área de la sección sombreada a) a2 b) a2

5

c) 2 a2 d) a2 2

e) a

2 3

25. En el cuadrado ABCD, se pide calcular el área de la región sombreada

 

a)8 m2

b)14

d)8

e)20

c)12



TEMA 4 FRACCIONES

⁄

Una fracción es la división indicada de 22 números enteros no nulos, se denota de la forma:



ó

, Así:

Donde: Ejemplo:

é   ó   →→ 

 ∈+  ≠→  ≠ú  ;  ;  √ ;  ;  "a"

b

Son fracciones:

No son fracciones:

I. FRACCIÓN DE FRACCIÓN

Es la aplicación de una fracción sobre otra fracción. Ejemplo: Los ¾ de ¼ de ¼, es decir:

34 . 14 . 14  634 Nota:

De; Del; De los; …< > multiplicación

II. PÉRDIDAS O GANANCIAS SUCESIVAS Saco o pierdo

12 2389 15

Queda

1 12  12 13879 58 45

Agrego o gano

12 2389 15

Queda

1 12  32 138119118 65 24



Ejemplos: 1. De los 40 soles que tengo, pierdo en un juego los 3/8 de lo que tengo, pierdo en un juego los 3/8 de lo que tengo. ¿Cuánto me sobró? Solución: Si pierdo

 40

Por lo tanto me queda:

 4025 .

2. Un jugador pierde en su primer juego 1/3 de su dinero, vuelve a jugar y gana los 3/5 de lo que le quedaba y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. Si al final se quedó con S/. 32. ¿Cuánto tenía al inicio? Solución:

382 7 5 332→70

Entonces tenía la inicio: N = 70 soles.

III. RELACIÓN PARTE – TODO Es la comparación de una parte respecto a un todo mediante una fracción así:

Ejemplos:

  →→ ,;,;  …. ….

1. ¿Qué parte de 15 es 10?

 1015 23  ó    

2. Mishell tenía S/. 50 y sólo gastó S/. 20 a) ¿Qué parte del total gastó?



b) Lo que no gastó que fracción representa del total?

  ó      ó ó    

c) Lo que gastó qué parte representa de lo que no gastó?

3. En una reunión hay 30 damas y 50 caballeros. ¿Qué parte de los reunidos son hombres?

 ℎ   305050  5080  58

IV. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1. FRACCIÓN PROPIA. Si el numerador es menor que el denominador.

     ""<""

   ; ;

Ejemplo:

2. FRACCIÓN IMPROPIA. Si el numerador es mayor que el denominador.

     "">""

 ;  ; 

Ejemplo: Observación: 

Fracción Impropia < > Fracción Mixta

 

17 5

→

(2) 3

 3



V. FRACCIÓN GENERATRIZ 1. DE UN DECIMAL EXACTO

0,3  2,431  0,15  2614  0,444…0, í⏟4  49 0,323232… 0, í32  3299 25342 2532 2,534534…0,534.  999  999 0,2333…0,23 .⏟  23290  2190 0,46262…0,462 4624900  458900 1,34242…1,342 134213 990  1329990 5;

2. DE UN DECIMAL PERIÓDICO PURO.

3. DE UN DECIMAL PERIÓDICO MIXTO



PROBLENAS PROPUESTOS

+ 

1. Las fracciones irreductibles: decimal a) 4

. Calcule:

0,

b) 3

+ −

 

c) 2

son equivalentes y srcinan el número

d) 1

e) 5

2. En una reunión se sabe que 2/3 eran varones. De las mujeres 2/3 eran casadas y 6 solteras. ¿Cuánto representa la tercera parte del total de hombres? a) 10 b) 24 c) 12 d) 6 e) 18 3. Calcular: a) 124

0,0260,0530,080,106⋯8    b) 1204

c) 12,04

4. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre números consecutivos? a) 1 b) 2

c) 3

d) 1024

e) 1300

son tales que sus términos son

d) 4

e) 5

5. Se tiene 2 cajas de fósforos, se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del total, los fósforos usados en la primera caja son 13 más que de la segunda, y queda en la primera caja 7/4 de los fósforos que queda en la segunda. ¿Cuántos fósforos tiene cada caja? a) 56 y 28 b) 19 y 14 c) 28 y 56 d) 14 y 19 e) 30 y 12 6. A una reunión asistieron 103 personas, de las cuales 4/15 de los hombres bailaban y la séptima parte de las mujeres usaban falda. ¿Cuántas mujeres no bailaban? a) 3 b) 16 c) 8 d) 7 e) 12 7. Una persona compra manzanas, la mitad del total a cinco por seis soles, y la otra mitad restante, a seis por siete soles. Vende los tres quintos del total a tres por cinco soles y lo demás a cuatro por siete soles. Se desea saber ¿Cuántas manzanas habrá vendido?, si ganó 930 soles. a) 1600 b) 1200 c) 1800 d) 1500 e) 2000 8. Pablito va todos los días de su casa al colegio por el único camino que hay y regresa a su casa presuroso al terminar la clase. Si Pablito recorrería los 2/3 de los 3/5 de los 7/3 de la mitad del camino de ida, estaría recorriendo 105 metros menos que si 28 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


recorriera los 21/5 de los 4/7 de los 2/9 del camino usual de regreso. ¿Cuántos metros recorrerá Pablito en transportarse de su casa al colegio y viceversa, en un día que fue 2 veces al colegio? a) 5175 m. b) 6300 m. c) 6700 m. d) 6745 m. e) 1350 m. 9. Una pieza mecánica para ser procesada para por tres etapas: en la primera se le añade acero, aumentando su peso en 1/5; en la segunda, al efectuar unos cortes y agujeros, se pierde 1/10 del peso que quedaba; y en la tercera se le añade nuevamente acero por lo que aumenta su peso en 3/10 del peso que quedaba. Si al final del proceso dicha pieza aumenta su peso en 202 gramos. Calcule su peso inicial. a) 500 gr b) 560 gr c) 380 gr d) 460 gr e) 580 gr 10. Un depósito lleno contiene 30 litros de vino, del cual se extrae 1/5 de su contenido y se llena con agua, enseguida se extrae ¼ de la mezcla y también se llena con agua. ¿Cuántos litros de agua hay en el depósito finalmente? a) 22 b) 18 c) 23,5 d) 20 e) 24 11. Un sastre vende dos camisas a 60 soles cada una. En una camisa gana ¼ de lo que costó hacerla y en la otra pierde ¼ de lo que le costó hacerla. ¿Cuánto ganó o perdió en la venta? a) Gano S/.4

b) ganó S/.6

c) perdió S/.8

d) perdió S/.6

e) ganó S/.2

12. Los ¾ de un barril más 7 litros es agua y 1/3 menos 20 litros es gaseosa. Si se saca 39 litros de la mezcla. ¿Cuál es la diferencia de volúmenes que quedan de agua y gaseosa respectivamente? a) 60 l. b) 55 l. c) 70 l. d) 59 l. e) 69 l. 13. Los 2/3 de los profesores de un Centro Educativo son mujeres, 14 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores varones son casados. ¿Cuál es el número total de profesores en éste Centro Educativo? a) 110 b) 105 c) 100 d) 95 e) 70 14. En una conferencia de 1010 personas entre arequipeños y cajamarquinos, se observó de los cajamarquinos lo siguiente: 2/7 eran economistas, 3/13 eran ingenieros y 5/11 médicos. Halle la cantidad de arequipeños. a) 9 b) 10 c) 11 d) 15 e) 8



15. Un determinado tipo de gusano se duplica cada 3 días. Luego de 15 días de haber colocado un cierto número de ellos en una caja, ésta estaba llena. Si 3 gusanos juntos ocupan 1/448 de la caja. ¿Cuántos gusanos se pusieron inicialmente en dicha caja? a) 24

b) 38

c) 84

d) 36

e) 42

16. Un atleta hace el siguiente recorrido: la primera hora 5/24 de su trayecto, la segunda hora 3/16, la tercera hora 5/16; si en la cuarta hora llega a la meta. ¿Qué parte del trayecto recorrió en la cuarta hora? a) 4/9 b) 7/24 c) 7/22 d) 5/24 e) 11/24 17. El inolvidable Luchito pasó su vida de la siguiente manera: 1/12 corriendo, 1/3 durmiendo, ¼ trabajando, 1/6 haciendo deporte, y el resto de su vida que son 3 años y 6 meses, los pasó viajando. ¿Qué edad tuvo al morir? a) 18 años. B) 28 años c) 21 años d) 24 años e) 32 años 18. De una fiesta social se sabe que 3/4 eran mujeres, 3/7 de los hombres eran casados y 1/3 de ellos tenían hijos. La mitad de las mujeres eran solteras, de las casadas se sabe que 3/5 eran rubias y 1/5 de éstas representan en cantidad 189. Calcular el doble del número de hombres con hijos. a) 1200 b) 300 c) 1890

2 

d) 2100

e) 500

19. ¿Qué fracción es los 4/7 menos de los 3/5 más de los 2/3 de los ¾ de lo que le falta a los 3/5 menos de 7/3 para ser igual a parte de 176? a) ¼ b) 1/7

c) 1/6

; respecto de los 8/11 más de la centésima d) 1/5

e) ½

20. Al venderse una propiedad sólo se ha recibido la cuota inicial que asciende a los 7/8 del precio de venta. Uno de los propietarios recibió 5450 soles por los 2/7 de su parte, siendo éste dueño de los 4/9 de la propiedad. Hallar el precio de venta de la propiedad. a) S7.50000

b) S/.49050

c) S/.72500

d) S/.38150

e) S/.54500



TEMA 5 MATRICES

Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos que podrán ser números, funciones, etc., dispuestos en “m” filas (horizontales) y “n” columnas (verticales), se llama

matriz de orden mxn.

31 84 72

Es una matriz 2 x 3, porque tiene dos filas y tres columnas. 

En la primera fila y primera columna aparece ubicado el número 3.



En la primera fila y segunda columna aparece el número 8.



En la segunda fila y tercera columna aparece el número 2

  /√    /      /               

Una matriz por ser un arreglo rectangular no posee valor numérico.



Es importante adquirir el hábito de enunciar siempre filas antes que las columnas



(filas – columnas). Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”.



Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posición son respectivamente iguales. Así: Sean las matrices

↔;   ;∀,  234 735 3 134 4 175 

Si observamos las matrices A y B de orden 3 x 2

Podemos verificar que todos los elementos que están en las mismas posiciones en ambas matrices son iguales.

De acuerdo a la disposición de sus elementos o de la naturaleza de éstos. Aquí veremos las matrices cuadradas, las rectangulares y sus tipos más usados.

Esta matriz se caracteriza por tener igual cantidad de filas y columnas, diciéndose que es una matriz de orden n x n o simplemente es una matriz de orden n. Así:

32 14 , 10350 7 √05       

son matrices de orden dos y tres respectivamente.

Diagonal Principal:

En una matriz cuadrada elementos

, la diagonal principal es el conjunto de

tal que

Diagonal secundaria



Así es:

420 354 131

Diagonal principal

Las matrices cuadradas pueden ser:

Una matriz cuadrada



es una matriz diagonal si

 0 ∀≠,

es

decir, si todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un elemento de la diagonal principal.

00 7000 30 4;4 0 01 1;0 0 0 0 00  20 20  ; 300 030 003

Es una matriz diagonal en donde sus elementos de la diagonal principal no son nulos e iguales, así: la matriz

es una matriz escalar si:

Es una matriz escalar cuyos elementos no nulos son iguales a 1. Así es una matriz identidad si:

 33



10 01 ; 100 010 001 ; 1000 0100 0010 0001 Una matriz cuadrada



es triangular superior si

 0 ∀>

Esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros.

30 41 ; 300 570 000 ; 421 00 30 20  Una matriz cuadrada

es triangular inferior si

 43 02 ; 1600116032  ; 102 021 000 

, esto es,

 0 ∀<

cuando los elementos que se encuentra por encima de la diagonal principal son ceros.

Una matriz cuadrada

es simétrica si

  ,∀,,  , 

s

elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son iguales.

14 45 ; 10303 27 75

Vemos que las matrices diagonales, escalares;

identidades son simétricas.



Una

matriz

∀,,  ,

cuadrada



es

antisimétrica

si

  ,

los elementos dispuestos simétricamente, con respecto a la

diagonal principal, son de signos opuestos.

03 03 ; 042 104 210  Así como en cualquier conjunto numérico, en el conjunto de matrices también se definen ciertas operaciones obviamente, bajo determinadas condiciones.

          . 

Sean las matrices



la suma

de las matrices A y

 232 144  ;  5 957 167 2547 : 7 11 3 19 163 9 1 166 15 19 82 54 151149 199; 8  891 2523318 518419 19292 9359437 11124 7 54 19 19 535419 1935145 66 

B de orden m x n es una matriz elemento

de orden m x n, de tal modo, que cada

Sean:

2. Sean las matrices:

Luego A + B y A – B son:



Cuando un escalar multiplica a una matriz cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar.

 ↔     . 42 31→5 5542 5531 2010 155  132 4 3 0 ↔2 2214 2233 2202 264 860        ⋯  ;   Así: Sea

1. Sea:

.

Sean las matrices:

 :: .    ⋯ (⋮) =    ;    Dados dos matrices

 

existe una tercera matriz

 

que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde

es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna “k” de la segunda matriz. NOTA: La multiplicación de la matriz A y la matriz B existe si y sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz



1 2 3 ; 342 →. 1.32.43.2 17

Sean las matrices:


 ;  32 3 4 2 1 →  14 3 2329413   4 132122 → 1314 45 31 29 ; 572 491 132     4 3 25724.53.72.245  4 3 24914.43.92.145  4 3 21324.13.32.217  5 1 95 9472915.541.799.215038  5 1 91325.11.39.226

La matriz AB será una matriz C de orden 2x1


La matriz C producto de A y B será de orden 2 x 3 de la siguiente forma:

Hallando cada uno de los elementos:



→ 4550 4538 1726

NOTA: La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa.

Sean A, B, C matrices para las cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación con m, n escalares, se tendrá: I.

m(A + B) = mA + mB

II.

(m + n)A = mA + nA

III.

M(nA) = mnA

IV.

A(BC) = (AB)C

V.

A(B + C) = AB + AC

VI.

AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0

VII.

AB = AC no implica que B = C

Dada una matriz cuadrada, se llama traza a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por tras así:

   →=  1. Sea:

4 5 2 7→  4711 9 0 09527 4 →57210 Sea:

TEOREMA

Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y I. II. III.

±  ±

Traz(A B) = Traz(A) Traz( .A) = Traz(A) Traz(AB) = Traz(BA)

Traz(B)




un escalar. 38


 .  Sea A una matriz

se llama traspuesta a la matriz denotada por

 

definida por

Es decir, dada una matriz A se determina su traspuesta denotada por

intercambiando todas las filas por columnas.

14 27 32 ↔  123 472 34 37 41 ↔  33 47 02 0 2 3 4 1 3    ±  ±

1. Sea

2. Sea

TEOREMA

I. II. III. IV.

A;   . 

es un escalar.

 − 

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que. B es la matriz inversa de A y se denota asi: inversa de B y se denota asi: Luego:

.

, entonces se dice que

; o también se dice que A es matriz

−  . −  ó  −. 39



Si

53 32 ,ℎ  − . − 53 32 

Sea

53 32  32 532;320,  3;3021 1 0 5 530, 1→531, 3; − 32 35    Resolviendo. Entonces:

Dada una matriz cuadrada:

de orden n, donde

es el adjunto del elemento

se define como la matriz adjunta de A y se denota por

  (⋮ ⋮ ⋮

⋯…

a:



,

 ⋮ )

[] [] Para la matriz:

Luego :

  +

   +  11+. |.|| 1 +. | |   |  |       40



Para la matriz:

220 113 134 

Dada una matriz cuadrada:

de orden n, donde

es el adjunto del elemento

  …… :  ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ (    )

se define como la matriz adjunta de A y se denota por

,



Nótese que los adjuntos de los elementos de la fila j es A son los elementos de la columna j en ADJ(A), o los adjuntos de los elementos de la columna i en A son los elementos de la fila i en ADJ(A), es decir:

         1++.   1+. +   .     .      220 113 134  Para la matriz:

Para la matriz:

hallar su Adjunta.



 1++. 13  1++. 8  1+. 7  1+. 8  1 . 4  1 . 8  1+. 2   113+. 847    82 44 82  Luego:

−  0

Se tiene que para que matriz singular

exista si y sólo si A es una matriz regular

≠0

; si A es una

se dice que A no posee inversa o no es inversible.

−  1 




2102752 43  3 2 52 . 52123 4   34 31 2 1 23     :    5 3 101 13 101 23  102 13  35 14 75 13  173 2

1. Dada la matriz a) 16

Calcular:

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

2. Sean las matrices

determine la suma de los

elementos de la matriz a) 50 b) 57 3. Si: a)

4. Si

c) 55

d) 45

e) 60

Encontrar la matriz

b)

c)

d)

e)

es una matriz singular. ¿Cuál es el valor de n?

a) 23

b) 23/2

c) 25

d) 27/2

e) 33

5. Calcular:

 : 321 12 43 3.4 894 2 3 12  1   250 [  ]/ 8 ;; ≠    2

a) 3/2

6. Si

a) 1

b) ½

c) -1/2

d) 1/5

e) 2/5

es una matriz simétrica. Calcular:

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

b) 3

c) -2

d) 4

e) 5

7. Sea la matriz: Determine: a) 2

23 2 2205 337 

8. Determine la traza de la matriz simétrica.

a) 12

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20



1 2 0; 03101 0; 32 21   114    

9. Dadas las matrices:

Determine a) 16 10. Dado:

b) 17

c) 18

d) 20

e) -18

Determine la suma de los

de

la

b) 11

11. Determine

a) 56

satisface la ecuación matricial:

13 42 ; 23 24 13 ; 4  42 53 .  7 0 3  0 5 51 0 2 43 50 26. 03 30 4363 150 5118 

elementos a) 10

si la matriz

matriz

c) 12

en

la

ecuación

d) 13

e) 14

d) -66

e) 76

matricial:

en la ecuación matricial.

b) -58

c) 60

12. Si: a) 2

 0 0 3 1,01 1 . 5 2 1  −, : 53 41   16 78    10 :    279 36  ||27 36    13   52 3 , :  b) -2

c) 3

13. Se da la igualdad matricial a) -1 14. Si: a) 4 15. Si: a) -40 16. Sea a) 12

b) 2

d) 4

e) -3

calcule la suma de los elementos de .

c) -3

d) 4

e) 5

Calcule la Traza de

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

b) -30

c) -20

d) 10

e) 20

.

determinar el valor de

b) 13

c) 15

d) 16

e) 17


44



a) 60

 2

b) 68

c) 72

a) 6

b) 7

e) 90

   0 2 13   21 11 211 235 320  ≡ 2 13 24

18. Sean las matrices cuadradas donde :

d) 80

que satisfacen el sistema: Luego la traza de

c) 8

d) -8

d) 9

c) 23/6

d) 25/7

.

será:

e) 10

19. Si la matriz A es simétrica, calcular su traza:

a) 33/6 35/6

b) 32/7

20. Dado el polinomio: a) 30

b) 32

Si:

c 28

d) 36

e)

calcular la Traza de

e) 40



TEMA 6 SUCESIONES 45 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


1. SUCESIÓN: Se puede aceptar como noción de sucesión a aquella relación existente entre un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores casos). Sucesión: Conjunto ordenado de elementos que obedecen una ley de formación. Ejemplo: 1 ; 4 ; 9 ; ..........n 2

Sucesión Numérica

F ; H ; J ; L ; N ; ......

Sucesión Literal

2..SUCESIÓN NUMÉRICA: Secuencia de números en la cual cada número, tiene un orden asignado, es decir a cada número le corresponde un número ordinal; con lo cual habrá un 1er término, 2do término, 3er término y así sucesivamente. En General: T1 ; T2 ; T3 . . . Tn

Términos de la sucesión

1° ; 2° ; 3° . . . n°

Número Ordinal

Ejemplo: Si “n” toma : 1 ; 2 ; 3 ; .....

Tn =

1 n

Entonces : T

n

;1;

1 2

;

1 3

; ...

N ; 1 ; 2 ; 3 ; ... Tn = n(n+1) Tn : 2 ; 6 ; 12 ; ...



A. SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES 

SUCESIÓN ARITMÉTICA (Progresión Aritmética)

Sea :

T1 ; T2 ; T3 ; ....... ; Tn +r

+r

Tiene como término general (enésimo)n a:

Tn = T1 + (n - 1) r

Donde: T1 : Primer término r : Razón aritmética (Diferencia entre 2 términos seguidos)

Ejemplo 1: Dado : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; ... Hallar su término enésimo: Solución: 3 ; 6 ; 9 : 12 ; ... +3

+3

+3

T1= 3 y r = 3 Tn = 3 + (n – 1) 3 = 3 + 3n – 3 Tn = 3n (Término enésimo) 

SUCESIÓN GEOMÉTRICA (Progresión Geométrica) Sea

T1 ; T2 ; T3 ; ......... ; Tn xq

xq

Tiene como término general a :

Tn = T1.

− 47



Ejemplo 1: Hallar el término enésimo en :

3 ; 12 ; 48 ; 192 ; ........

Resolución: 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; ..... x4

x4

x4

T1 = 3 q = 4 Tn = 3 . 4n – 1 B. SUCESIÓN POLINOMIAL

(Sucesión Aritmética de mayor orden)

T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ..... “n” término +a +b

+c

+m +n +r

+d +p +r

Diferencias sucesivas Donde: Tn = T1 +

+

+

a, m y r : Las primeras diferencias sucesivas

Ejemplo 1: Hallar el término enésimo en: Solución: 5 ; +6

11 ; 19 ; 29 ; ..... +8

+2

5 ; 11 ; 19 ; 29 ; ........

+ 10 +2

T1 = 5 ; a = 6 ; a = 2 ; r = 0 (no existe) 48 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Luego: Tn = 5 +

( n 1) 6 1



( n 1)( n  2) 2 1 2

Resolviendo quedará : Tn = n2 + 3n + 1 … Rpta C. SUCESIONES NOTABLES Números naturales. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .......

Tn = n

Números pares: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ....... Tn =2n

Números impares: 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ........

Tn =2n - 1

Números cuadrados: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; .......

Tn = n2

Números, triangulares: 1; 3; 6; 10; 15 ; .....

Tn =

+

Números. múltiplos de “k” :

k ; 2k ; 3k ; 4k ; ......

Tn = nk

Números. de Fibonacci: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ......

Tn = Tn - 1 + Tn - 2

(la suma de dos términos consecutivos da el siguiente término)

Números Primos: 2; 3; 5; 7;

11; 13; ….



D. SUCESIONES LITERALES Es el conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio, como es:  Lugar que ocupa la letra en el alfabeto  Iniciales de palabras conocida  Formación de palabras

Ejemplo:  ¿Qué letra continúa en la sucesión? A;

B;

E;

J; P; ….

Solución Reemplazando cada letra en el alfabeto tenemos: A; 1

B; E; J; 2 5 +1

+3 +2

P; 10 +5

+2

Y 17

26

+7 +9 +2 +2

SUCESIONES ALFANUMERICAS Es una sucesión alternada formada por números y letras. Ejemplo: 5;

A;

9; C; 17; F; 29; …..; ……

Solución +4 5;

A;

+8

9; C;

+12

17; F; 29; …J..; .. 45..

B

DE

GHI



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcule el trigésimo término en: a) 2629 b) 2429

3; 13; 29; 51; ….

2. Halle el número de términos en:

2 ; 5; 10 ; 17 ; 26 ; … ; 122

a) 81

b) 9

c) 2829

c) 10

d) 11

d) 2729

e) 3729

e) 21

3. Calcule los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas expresadas en metros, son números que están en P.A. cuya diferencia es 7 a) 21; 28 y 35 b) 28; 35 y 42 c) 14; 21 y 28 d) 7; 14 y 21 e) 28; 35 y 41 4. Las edades de 4 hermanos están en P.A. y suman 54. Si la edad del mayor duplica a la del menor. ¿Cuál es la edad del tercero? a) 12 b) 20 c) 15 d) 30 e) 35 5. Dadas las siguientes sucesiones: 5; 8; 11; 14, …

y

166; 162; 158; 154, ….. ¿cuál será el término común a ambas,

sabiendo que ocupan el mismo lugar? a)

72

b) 73

c) 74

d) 75

;…; 2 ;54 ; 

e) 76

6. ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión aritmética? a) 5

b) 7

c) 9

d) 6

e) 8

7. La suma del sexto y décimo término de una P.A. es 1800 y la relación del cuarto y décimo segundo término es como 2 es a 6. Hallar el primer término. a) 50 b) 100 c) 200 d) 400 e) 500

 3; 7;… ;  118

8. Hallar el valor de “n” en la siguiente sucesión: a) 36

b) 37

c) 39

d) 41

e) 38

9. Jesús va a una tienda y compra un caramelo, regalándole el vendedor un caramelo por su compra; en una segunda vez compra 3 caramelos y le regalan 2, en la tercera vez compra 6 y le regalan 3; en la cuarta vez compra 10 y le regalan4, en la quinta vez compra 15 le regalan 5, y así sucesivamente. ¡Cuántos caramelos recibirá en total cuando entre a la tienda a comprar por vigésima vez? a) 210 b) 230 c) 240 d) 250 e) 215 51 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


10. Se reparte manzanas a un grupo de niños en cantidades que forman una P.A. Al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó al último y a éste el quíntuplo de lo que le toco al primero. ¿Cuántos niños son? a) 16 b) 15 c) 12 d) 17 e) 20 11. En la siguiente P.A., calcular el valor de a) 99

b) 577

c) 216

en:

23  √; 14; 1; 24 e) 210

e) 321

12. A un obrero que entra a trabajar en una fábrica se le pide aumentar diariamente su productividad en 4 unidades. Si lo producido el último día es igual al cuádruplo del número de días que ha estado trabajando. ¿cuántas unidades producidas se tiene en el décimo segundo día? a) 44 b) 48 c) 32 d) 9 e) 13 13. Valentina se propone leer una novela, el primer día lee 3 páginas, el segundo día lee 8 páginas, el tercer día 15 páginas, el cuarto 24 páginas, y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Halle el número de páginas leídas dicho día. a) 168

b) 128

c) 204

d) 126

31 ;  3, 29  5; … ; 47 ; … ; 159

e)192

14. En la siguiente P.G., halle el valor de k : a) -7

b) 6

c) 7

d) -8

e) -9

15. Se tiene la siguiente P.A. : , donde el número de términos que hay entre 47 y 159 es l triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Calcule el primer término de 3 cifra. a) 101 b) 103 c) 105 d) 107 e) 109 16. Si la diferencia de los términos de lugares 65 y 40 de una P.A. creciente es 75 y el término de lugar 30 es 152, entonces el término de lugar 100 de la progresión es: a) 504 b) 362 c) 512 d) 502 e) 507 17. Una progresión armónica (PH) es una sucesión en la cual el inverso de cada uno de sus términos forman una P.A. Si los 4 primeros términos de la PH son:

21 ; 341 ; 561 ; 861

Calcule el vigésimo término de dicha progresión armónica.



a)



b)



c)



d)



e)



18. El primer y quinto término de una P.G. es 12 y 972 respectivamente. Si la progresión consta de 21 términos. Calcular la suma de las cifras del tercer término. a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

 .  .  512        

19. En una P.G. con razón “q” se tiene: Hallar el valor de : a) 48

b9 30

c) 24

20. Halle el término central de la P.A. a) 35 b) 40 c) 20

d) 16

; ; ;…;  d) 36

e) 42 sabiendo que: e) 42

 80 



TEMA 7

LOGARITMOS 1. DEFINICIÓN: Dado un número real “b” positivo y distinto de la unidad, base del sistema de logaritmos y un número “N” real positivo; se denomina logaritmo del número N en base b y se

log   ,→ ≠, 

, al exponente “x” real al que hay que elevar la base b para expresa como: obtener el número N.

b

→   → → 

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: SI:

     

2. PROPIEDADES GENERALES A. Logaritmo de un producto Log B ABC  Log B A  Log B B  Log B C

B. Logaritmo de un cociente LogB A / B  LogB A  LogB B

C. Logaritmo de una potencia LogB An  nLogB A

D. Logaritmo de una raíz 1 n Log B A  n Log B A

E. Logaritmo de la base Log B B  1

F. Logaritmo de la unidad Log B 1  0 54 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


G. Potencia logarítmica

B logB N

N

PROPIEDADES DERIVADAS H.

Log B AxLog A B  1

I.

Log B A  Log B n A n

J.

Log B A  Log n B n A

K.

Log B n A m 

m Log B A n

L.

Log B n B m 

m n

REGLA DE LA CADENA LL.

Log B AxLog ACxLogC DxLog D E  Log B E

M.

Log B A 

1 Log A B

FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE N.

Log B A 

LogA LogB

COLOGARITMO Ñ.

Co log B A  Log B 1 / A   Log B A

ANTILOGARITMO O.

Anti log B A  B A  N

NOTA: Anti log B ( Log B A)  A



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar “x” a) 32

b) 16

2. Si:

3log  2log  4log  32 c) 64

d) 8

e) 36

hallar el valor de E

,,∈ℝ +  log11 log11  log11 2llogogl2logog2 0  a) 1

b) 1,5

c) 3,5

d) 3

e) 2

3. Los números positivos x e y satisfacen el sistema:

a) 9/4

Hallar: c) 5/2

b) ¾

b) 128

c) 64

d) 256

e) 32

b) 1

c) 2

d) 4

e) 5

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5. Simplifique:

a) 0 6. Simplificar:

a) 1

e) 4/5

log log 1 7 l o g 2 +  2  5√5 √   2+55   

4. Resuelva:

a) 16

d) 1

7. Si:

4

Hallar el valor de a)

b) 4





256  

c) 1

d) 2

e)

2 56



8. Reduzca:

log    >>>>1 a) 2

b) 1

c) 8

d) -1

e) ½

log log log l±1og 214/    ∈ℝ 1 2log34−+ ⋯100

9. Halle los valores de “x” que verifican:

a) 2 10. Si :

b) ½ ; 1

Calcule: a) 10

c)

b) 100

c) 1

d) -2 ; 1

e) 1

d) 2

e) 0

11. Calcule el valor de “x” que verifica la ecuación:

10− lo11g√log √10log √10⋯. log 10√ 9  366log  1     + l o g  1 100;   1000;   999;   999 999;   log  log  log   log   ⋯log   1717391++= 79  ; >0171 9917 18109 a)

b)

c)

d)

e)

12. Resolver: a)

b)

c)

d)

e)

13. Si: Calcular el valor de:

a)

b) e)

d)

14.Si:

9++ 

a) -1/2

b) -2

c)

calcule:

c) ½

d) 1/3

log  

e) 2 57



15. Halle:

log1 1log2 =  a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

16. Resuelva:

log  √ 2 a) 2

b) 1/3

. : log 

se obtiene como solución y c) ½ d) ¼

e) 1

17. Resuelva la ecuación:

√ 2log  √27

 +

a) 1

b) 3

mencione el valor de “x”.

c) 5

d) 15

√3log√  √√  √3 >0; ≠1

e) 1/3

18. Si se cumple que:

a)

b)

c)

d)

; Indique su C.S. e)

log0.log  3lo1g  2log √3}60 3 1 log log  2  log  

19. Hallar el producto de las soluciones de la ecuación : a) 45

b) 72

20. Si:

soluciones de la ecuación. a) ½ b) 2

c) 54

d) 63

hallar el mayor valor de

c) 4

d) ¼

e) 39

, siendo a y b

e) 1



TEMA 8

SERIES Y SUMATORIAS Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y su suma expresa el valor de una serie. SUMATORIAS NOTABLES I. Suma de los “n” primeros números

+

:

II. Suma de los “n” primeros números pares: III. Suma de los “n” primeros números impares:

= 1234⋯ + ∑ ∑= 2 246⋯21 ∑=21 135⋯ 21  ∑=  1 2 ⋯   ++ ∑=  1 2 ⋯  +

IV. Suma de los “n” primeros cuadrado perfectos:

V. Suma de los “n” primeros cubos perfecto s:

VI. Suma de los “n” primeros productos binarios consecutivos:

=  112233445⋯  1 132 VII. suma de los “n” primeros productos ternarios consecutivos:

=  11 2123234345⋯.  1 2  124 3



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halle el valor de S a) 700

7101316..…… 20  b) 705

c) 720

d) 710

e) 610

2. El tercer término deeluna P.A.término es 12 yyelel octavo 27.quinto Halletérmino. la suma de los términos comprendidos entre cuarto vigésimo a) 930 b) 940 c) 920 d) 925 e) 950

 12    27 10183046⋯.. 20 é

3. Halle la suma de los 21 términos de una P.A. donde a) 986 b) 987 c) 988 d) 989 4. Halle el valor de: a) 8620

b) 6280

c) 2680

e) 897

d) 8020

e) 1820

5. Calcule el valor de:

a) 5620 6. Simplifique:

a) 144

3×206×199×18⋯20  é     ∑ / =  =   b) 6420

c) 4620

d) 4820

e) 4260

b) 100

c) 121

d) 196

e) 225

7. Calcular la suma de los 15 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es: a) 66736

8. Calcular: a) 22,5

 6 78  3 0,10,30,50,7⋯2,9

b) 75364

c) 78363

d) 77365

e) 76365

b) 8,41

c) 25,2

d) 29

e) 29,5

9. Una serie aritmética de 30 términos tiene de particular que sumados al u penúltimo término resulta 310, en tanto, la suma del segundo y último término resulta 316. Hallar la suma de los 30 términos de la serie. a) 4956 b) 4695 c) 5696 d) 5965 e) 4795 60 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


10. Hallar “n” en: a) 10

32 34 36 ⋯581

b) 40

c) 25

d) 30

e) 20

11. Calcular S:

1×52×63×74×85×9⋯   

a) 250

b) -240

c) -250

d) -260

e) -350

1; 2,3; 4,5,6; 7;8,9,10 ; …

12. Dados los conjuntos enteros consecutivos: donde cada conjunto contiene un elemento más que el precedente, sea la suma de los elementos del n-ésimo conjunto, luego será igual a: a) 4640 b) 4641 c) 4651 d) 4741 e) 4341 13. Hallar la suma de :

a) 7/2

 2 12  13  14  19  18  271  161 ⋯ b) 4

c) 5/2

d) 3

e) 7/3

14. Jesús ahorró su dinero de la siguiente manera: el primer día 3 monedas de 50 céntimos, el segundo día 3 soles más de lo que ahorro el primer día; el tercer día 5 soles más de lo que ahorró el segundo día; el cuarto día ahorró 7 soles más de lo que ahorró el tercer día y así sucesivamente hasta que el último día ahorró 801 monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuánto asciende sus ahorros? a) S/.2880 b) S/. 2890 c) S/. 2680 d) S/.2580 e) S/. 2990

17  72  71  72  71  72 ⋯    

15. Calcular la suma de los infinitos términos dados:

a)



b)



c)

d)

e)

16. Calcular el valor de S:

a) 16820

1 1 4147 é14710 ⋯ b) 12820

c) 19620

d) 18760

e) 18620

17. La reina y el rey salen a pasear por los bosques de sus dominios; mientras la reina da 20 pasos en forma constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final llegan a su destino. ¿Cuál es la distancia que han recorrido? 61 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


a) 750 pasos

b) 760 pasos c) 770 pasos d) 780 pasos e) 790 pasos

 = 12 13

18. Calcule:

a) 15/91

b) 13/121

c) 7/121

d) 13/120

1111121601⋯   é 25811⋯ 1; 2; 3; 4; …

e) 7/120

19. Calcule:

a) 3 627430

b) 5 363210

c) 3 674351

d) 5 100504

e) 7 627426

20. A los términos de la serie:

se le agrega respectivamente, de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie srcinal? a) 20 b) 10 c) 210 d) 200 e) 190



TEMA 9 PRODUCTOS NOTABLES 1. DEFINICIÓN Reciben el nombre de productos notables a aquellos productos que se pueden determinar directamente sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación algebraica. 1. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES: A. BINOMIO AL CUADRADO

 ±  ±2 

El desarrollo del binomio es un trinomio cuadrado perfecto. Reconocimiento de un Trinomio Cuadrado Perfecto :  Se saca raíz cuadrada a los extremos.  El doble producto de los resultados debe coincidir con el término central.

B. DIFERENCIA DE CUADRADOS

   

Observaciones:

x y 2  x   y 2   x 2  y 4

x  y





7 2

a

n

2

2

2

 

7 2 

7

2

 22  3

 bn a n  b n  a 2 n  b 2 n

a  b 8  a 4  b4 a 4  b 4 8

a 10  b 4  a 5  b2 a 5  b 2

C. IDENTIDAD DE LEGENDRE

      2 4  

    8  63 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


D. BINOMIO AL CUBO

NOTA:

33 3     33       3  3     2  2  3

E. BINOMIO POR TRINOMIO

          F. TRINOMIO AL CUADRADO

     222

G. TRINOMIO AL CUBO

     33 3 3 3 3 6      3  

H. IDENTIDAD TRINÓMICA DE ARGAND

  1 1 1 1   1  1



I. IDENTIDAD DE LAGRANGE

      

J. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

                  K. IDENTIDADES SECUNDARIAS

  1  1  1

SIENDO: a+b+c = 0 SE CUMPLE QUE:

a 2  b 2  c 2  2ab  ac  bc  a 3  b 3  c 3  3abc a 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  a 5  b 5  c 5  5abc ab  ac  bc 

a

2

 b 2 c 2

2

 2 a 4  b 4  c 4

ab  ac  bc 2  a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2




− 1 ; ≠0

1. Si: a) 2 y 3

b) 2 y ½

2. Si:

 −   −

Entonces el valor de: c) 3 y 1/3

es: e) 4 y ¼

d) 3 y 4

Simplifique la expresión:

1  1   1 √2  2 2  1312 √√131 √√8√   8√ 2 √7 √    8 2 5  √   350 1 2 5  √51   1 1 3√5 5√5 2√5  √5 4√5 √2010×20121 √9√4 √2010  √2011 √2010×20144 a)

b)

c) a+1

d) 1

e) 0

3. Reduzca la siguiente expresión:

a) 1

b) 4/7

c) 4

d)

4. Sabiendo que: a) 6

e) 7/4

y

b) 8

c) 7

d) 4

5. Si se sabe que: a) 30x

e) 3

entonces determinar el valor de M.

b) x5–

6. Si:

calcule el valor de:

c) x + 1

d) -35

e) -45

entonces calcule el valor de P.

a)

b)

c)

d)

e)

7. Calcule el valor reducido de P

a)

b)

−−++ 1 ; ≠

c) 2

d) 2010

8. Si se cumple que:

a) 1

b) -1

determine el valor de:

c) 2

d) -2

e) 1

    e) 3



   3 ; ≠0 :   

9. Dado: a) 11

b) 8

 

10. Si: a) 16 11. Si: es: a) 4

c) 9

b) 20

d) 7



calcular el valor de: d) 25 e) 7

c) 21

2  124   4 b) -4

e) 5



      

Entonces el valor de:

c) 2

d) -2

e) 9

 3, ≠0 , ≠0 ,  ≠0

12. Si: Hallar el valor de:

 +−−+−− 6 a)

7

b) 10

c) 8

d) 9

e) 11

 2 5√2 5√   −        √ − −3; >0;  >0

13. Si:

y

a) 308

Halla el valor de:

b) 468

c) 384

d) 380

14. Si:

e) 486

Hallar:

a)

b)

c)

d)

e) ab

15. Si:

Hallar el valor de: a) 320

16. Si:

b) 340

 

c) 402

   ++  

d) 486

e) 527

Calcule: a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) -4



 +  +1 −−11  1 √√√√  2   1   1   √ 2 √ 4 1  3 3

17. Reducir:

a) 1

b) -1

c) 2

d) 3

e) 4

b) 6

c) 7

Calcule el valor de: d) 8

e) 9

b) 3

c) 6

d) 1/6

e) ½

b) 2

Halle: c) 3

d) 4

e) 5

18. Si:

a) 5

19. Simplifique: a) 2

20. Si: a) 11



TEMA 10

CUATRO OPERACIONES A través del tiempo, se ha llegado a la conclusión de que ciertos tipos de problemas pueden ser resueltos de varias formas ya sean Aritmética o Algebraicamente. Pero estas soluciones, en algunos casos, llegarían a ser muy extensas; es por eso que se ve necesario el estudio de ciertos Métodos de Solución para simplificar la resolución de estos problemas que cumplen con ciertas características. Cabe destacar que estos métodos están formados sobre la base de las cuatro operaciones fundamentales.

Analizaremos los siguientes métodos de solución: 

El Método de la Falsa Suposición (Simple y Doble)



El Método de las Operaciones Inversas



El Método de las Diferencias



El Método de las Equivalencias (Regla de Conjunta)

1. FALSA SUPOSICIÓN SIMPLE Para que un problema pueda ser resuelto por el método de la Falsa Suposición debe tener las siguientes características:  Debe existir dos incógnitas.  Que

presente un valor numérico producido por la suma de las 2 incógnitas (número

de elementos)  Valor unitario de cada una de  Además

las incógnitas.

que tenga otro valor numérico total producido por el número de elementos.

los problemas se resuelven realizando una falsa suposición a cualquiera de las dos incógnitas.

Ejemplo 1: Se quiere embotellar 111L de aceite en 27 botellas; unas de 5L y otras 3L ¿Cuántas botellas más de 5LR hay que 3L? Solución: 69 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Asumimos que todas las botellas son de 5L, entonces tendríamos: 27 x 5 = 125 L; pero por dato, el total de litros a embotellar es 111L.

*Error total (E.T.) ; 135 – 111 = 24L *Error unitario (E.U.) = 5 – 3 = 2L *En una botella de 3L 2L X

 24L

x

24





2

12 botellas de 3 litros.

*Como disponemos de 27 botellas, entonces hay 15 botellas de 5R. Respuesta: 15 – 12 = 3 botellas más.

Ejemplo 2: ¿Cuántas monedas de S/. 2 debo entregar para pagar una deuda de S/. 29, si tengo 10 monedas de S/. 5 y S/. 2?

Solución: Método del Rombo S/. 5 (Valor Unitario)

_

X Total de elementos 10

_

S/. 29 ( Recaudación)

S/. 2 (Valor unitario De lo pedido)

Número de monedas de S/. 2



10x5  29 5 2



7

2. FALSA SUPOSICIÓN DOBLE Los problemas deben presentar las siguientes características: 

Debe tener 2 valores totales. 70





Debe tener 3 incógnitas, donde 2 de ellas estén relacionadas.



Cada incógnita debe tener su valor unitario.

Ejemplo 3: A cierta función asistieron 23 personas; cada adulto varón pagó S/. 30, cada mujer S/. 20 y cada niño S/. 10. El número de mujeres asistentes fue el doble que el de niños; además se recaudó S/. 450. ¿Cuántos adultos varones asistieron?

Solución: Supongamos que todas las personas pagan S/. 30. 1. Falsa suposición (F.S.) : 23xS/.30 = S/. 690 2. Error total (E.T.) : 690 – 450 = S/. 240 3. Error unitario (E.U.) o Error Grupal.



S/. 40

x S/.

2 mujeres 1 niño

3 x S/. 30 = S/. 90

20

S/. 10 x S/. 20 90 – 50 = S/. 40 ← Error en cada grupo

4. Número de grupos: E.T E.U .



240 40



6

Mujeres: 6 x 2 = 12 Niños: 6 x 1 = 6

Como asistieron 23 personas y tenemos 12 mujeres y 6 niños, entonces,

asistieron

5 adultos varones.

a. OPERACIONES INVERSAS Para que un problema pueda ser resuelto por el método de las operaciones inversas debe tener las siguientes características: 

Las operaciones deben ser una detrás de otra (consecutivas). 71





Debemos tener como dato primordial, la cantidad final.



El procedimiento para hallar la incógnita se inicia en el último dato (cantidad final) y de ahí se retrocede aplicando operaciones inversas a las dadas, hasta obtener la cantidad inicial.



En este caso, escribiremos solamente lo que queda o lo que va quedando.

Ejemplo 4: La edad de Mariela se quintuplica, al resultado se le suma 60, para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente, restarle 4 obteniendo 2 años. ¿Cuál es la edad de Mariela? Solución: Operaciones directas

X5 Edad

÷5

÷10

+60

-60

x 10

2

()

+4

2

Operaciones inversas

Entonces la Edad de Mariela = 3.

-4

√

2



4



2

x10 

5

60



60 años

DIFERENCIA TOTAL Y UNITARIA

Para poder aplicar este método, el problema debe tener las siguientes características: Deben participar 2 cantidades excluyentes, una mayor que la otra; que se comparan en 2 cantidades; srcinándose en un caso; un sobrante (o ganancia) y en otro; un faltante (o pérdida). Los problemas se resuelven hallando dos diferencias: la unitaria y la total. Ejemplo 5: Compré 7 libros y me sobró S/. 11, pero si quisiera comprar 10 libros me faltaría S/. 13. ¿Cuál es el costo da cada libro? 72 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Solución: En este problema hay 2 incógnitas: el costo de cada libro y el dinero que yo tengo.

Dinero que tengo El gráfico nos quiere

falta

Costo de 10 libros

decir que si quisiera comprar 10 – 7

= 3 libros (diferencia total), tendría que gastar lo que me sobró y lo que me falta, es decir: 11 + 13 = S/. 24

Costo de cada libro :

24 3



8

MÉTODO PRÁCTICO Si las cantidades son del mismo tipo, se debe tomar en cuenta: 1. Lo que falta y lo sobre se suman, las otras cantidades se restan y estos resultados se dividen. 2. Lo que sobra y lo que sobra se resta, las otras 2 cantidades se restan y estos 2 resultados se dividen.

Ejemplo 6: Lalo quiso dar limosna a un grupo de ancianos, si les daba S/. 5 a cada uno le faltaría S/. 30, si les daba S/. 3 a cada uno les sobraría S/. 70 ¿Con cuánto dinero contaba esa persona? Solución: Aplicando el Método Práctico: 30  70

Número de ancianos = 5  3

=50 Dinero que contaba: 50 x 5 – 30 = 220Respuesta.



3.5 MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA Este método tiene por objetivo reducir una cantidad a otra de diferente especie, por medio de equivalencias que interrelacionen la primera con la segunda, la segunda con la tercera y así sucesivamente. Se llama también regla conjunta porque reúnen en una sola operación varias relaciones dadas, la que da lugar a una relación compuesta. Se aplica, principalmente, a la determinación de la relación que existe entre dos medidas, pesas o monedas cualesquiera, por medio de la relación que éstas tienen con otras medidas, pesas o monedas intermediarias, y también a otras operaciones como la de los descuentos sucesivos.

Ejemplo 7: Hace algunos años el cambio de monedas era el siguiente: por 8 soles daban 5 cruzados, 10 cruzados por 3 pesos; 6 pesos por 4 dólares ¿Cuánto soles daban por 2 dólares?

Solución:  Se disponen los datos en columnas, teniendo en cuenta el orden “opuesto” (al otro

lado de la equivalencia) para una misma característica, unidad, Etc. Así:

8 soles

→

5 cruzados

10 cruzados

→

3 pesos

6 pesos

→

4 dólares

2 dólares

→

x soles

 Luego se multiplican los valores que hay en una u otra columna, verificando que las “unidades monetarias” se simplifiquen (cancelen)



(8 soles)(10 cruzados)(6 pesos)(2 dólares) (5 cruzados)(3 pesos)(4 dólares) (x soles) Simplificando y efectuando:

x = 16




117171⋯17…715

1. Sea: entre sí. Halle la cantidad de sumandos. a) 25 b) 21 c) 13

donde a; b y c son cifras diferentes d) 9

e) 7

12  23 34 45 ⋯      7376 7736 6377 6773

2. Hallar el valor de S en el sistema decimal a) 3519

7673

b) 3520

c) 3521

d) 3580

3. Calcular la suma de todos los números de la forma: a)

b)

c)

d)

e) 3600

del sistema octal.

e)

4. Al sumar 17 veces un número capicúa de cifras, se obtiene un resultado que equivale al producto de 3 números consecutivos. Halle la suma de cifras del número capicúa si la cifra de tercer orden es la mitad de la cifra de menor orden. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 14 5. Con 5 números, se forma una serie de 4 razones aritméticas contínuas, donde la suma del segundo y cuarto término es 26 y el producto de los extremos es dividido únicamente por 3 números mayores a 1. Halle la suma de los 3 menores términos, si dicha suma es dividida exactamente entre 5. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 45 6. La suma de dos números excede a la diferencia de los mismos en 568. Si los números están en la relación de 27 a 12. Halle el mayor de los números. a) 936 b) 819 c) 639 d)482 e) 284 7. En una división entera, la suma de los 4 términos es 432. Si se multiplica al dividendo y el divisor por 3, la nueva sum es 1225. Halle el divisor. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 22 8. La suma de las edades de tres hermanos es 35 años. Hace 5 años la edad del segundo era la mitad de los años que tenía el mayor y dentro de 3 años la edad del mayor será el doble de lo que tendrá el menor. Halle la edad del menor. a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17



9. Carlos vende caramelos. Vendiéndolos a 8 por 2 soles ganaría 45 soles, pero si los vende a 3 por 50 céntimos perdería 30 soles. ¿Cuál es el costo de los caramelos? a) S/.100 b) S/.120 c) S/.160 d) S/.180 e) S/.195 10. Una maceta llena de tierra pesa 4800 gramos, la tierra contenida pesa 3 veces más que la maceta. ¿Cuánto pesa la maceta? a) 1600 g.

b) 960g

c) 3840 g

d) 1200 g

e) 3600g

11. Darío se compromete a trabajar los domingos, ganando 60 soles, pero le hacen la observación que si llega tarde a trabajar, le descontarán 15 soles. Luego de trabajar 20 semanas, Darío ha recibido en total 1020 soles. ¿Cuántos días ha llegado tarde? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 12. Andrés posee en su granja 170 animales, entre gallinas, pavos y conejos. ¿Cuántos pavos posee, si el número de gallinas es cuatro veces el número de pavos, y en total hay 420 patas? a) 23 b) 26 c) 37 d) 40 e) 43 13. Al dividir 2 números por defecto y por exceso se obtuvo como residuo 31 y 21 respectivamente. Si la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el dividendo. a) 815 b) 915 c) 905 d) 957 e) 927 14. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500. Dar como respuesta el número de soluciones posibles. a) 1 b) 4 c) 3 d) 5 e) 2 15. Si:

3     19

d) 123

e) 132

.. 11

d) 5

e) 6

Hallar: a) 153

16. Si:

b) 163

c) 152

Calcule: a) 2

b) 3

c) 4



17. Si:

630 ; 1260 ;  315 Calcule la suma de cifras de

a) 24

b) 25

c) 27

d) 27

e) 28

18. En un examen, un alumno gana dos puntos por cada respuesta correcta, pero pierde un punto por cada respuesta equivocada. Después de haber contestado 40 preguntas obtiene 56 puntos. La diferencia del número de preguntas correctamente respondidas con el número de preguntas equivocadas es: a) 28 b) 30 c) 26 d) 22 e) 24

999999999999999⋯.999…999 1

19. Hallar la suma de los 40 números de la siguiente serie: de las cifras del resultado. a) 40 b) 38 20. Hallar el número: a) 43 b) 54

c) 47

d) 45

dar como respuesta la suma e) 50

si su complemento aritmético es c) 65 d) 76 e) 87

53


TEMA 11


GEOMETRÍA ANALÍTICA División de un segmento en una razón dada. Si

P1 x 1,y

y

1

P2 x ,2y

2

son los extremos de un segmento

punto P que divide a este segmento en la razón dada x

x 1 rx 2 1 r

;

y 1 ry 2 1 r

y

;

r

P1P2 , las

P1P

:

P P2

coordenadas

x, y

de un

son

1.

r

Corolario: Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son x 1, y1 y x 2 , y 2 son x

x1

x2 2

;

y1

y

y2 2

PENDIENTE DE UNA RECTA Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice. Así por ejemplo según esta definición, el ángulo que forman las rectas dirigidas L 1 y L 2 es el ángulo " " . Sin embargo, si la dirección de una de estas rectas, digamos L 2 se invierte, el ángulo formado por las dos rectas es el ángulo suplementario  . L1

 

 L2

* Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba. * Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. Y

L'

L

X'

'



X

Y'



Teorema: Si

P1 x 1,y

y

1

P2 x ,2y

2

son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la

pendiente de la recta es: m

y1

y2

x1

x2

;

x1

x2 Y

L2

L1

1 2 X'

C

2

1

O

X

B

A

Y'

Por geometría elemental, un [ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos. Por tanto, en el triángulo ABC, siendo 1 ángulo ACB, tendremos: 2

1

1

o sea,

1

2

1

Tomando las tangentes de ambos miembros de ( 1 ), tenemos tg  2

tg  1

Pero

m1

y

tg 1

m2

1

tg 1

tg  2 . tg 1

tg  2 , luego de ( 2 ) tg 1

m2 1

m1

m 2 m1

* Podemos deducir las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas, conocidas sus pendientes. En efecto si dos rectas son paralelas, el ángulo formado por ellas es cualquiera de los dos casos, la formula ( 5 ) se reduce a: 0

de donde,

m1

m2 1

0º

ó 180º. En

m1

m1m 2

m 2 ; es decir, las pendientes son iguales.

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales. Como

ctg90º

0

, para que la fracción sea cero debe anularse el numerador, es decir. 0 1 mm 1

Recíprocamente, si

m1m 2

1

2

por lo tanto

de donde ctg 

m1m 2

1

0



de donde,  90º y las rectas son perpendiculares. Según esto se puede decir que la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea igual a –1. CONDICIÓN GEOMETRICA Longitud

P1P2

REPRESENTACIÓN ANALITICA

de un segmento de recta dirigido,

con punto inicial P1 y punto final P 2 . P1P2 coincidiendo con el eje X: P1 x 1, 0 . P1P2

paralelo al eje X: P1

,

P1P2

coincidiendo con el eje Y:

P1P2

paralelo al eje Y: P1

x 1,y

x,y

1

,

P2 x , y

.

1

P2 0 , y

,

2

x

1

1

y

dirigido, 1

P1P 2

y

x, y

x1

PP 12 y2

y1

y

2

x x1

P1P2 , con puntos extremos dados 2

en la razón dada

r

P 1P :PP

x1

x

2

2

rx2

1

r

del punto medio del segmento

2

Pendiente “m” de la recta que pasa por los dos

puntos dados diferentes

P1 x 1,y

1

y

P2 x ,2y

x

x1

tg

1

y

y1

m2

y2 2

x1

1

x2 2

y1

m

2

Ángulo  formado por dos rectas con pendiente inicial m 1 y pendiente final m 2

r

y1 r y 2 1 r

y

cuyos extremos dados son los puntos

P2 x ,2y

2

y y1

2

del punto P que divide al

x, y

P2 x ,2y

Coordenadas

PP 12 x2

.

d

segmento rectilíneo

P1 x 1,y

0

.

2

2

Coordenadas

P1 x 1,y

0.

y

Distancia ‘D’ entre dos puntos dados P1 x 1,y P2 x ,2y

.

P2 x 2, 0

,

P2 x ,2y P1 0 , y

P1P2 ,

y2 x, x x2 m1

m 2 m1

Condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas dadas de pendientes m 1 y m 2

m1

Condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos rectas dadas de pendiente m1 y m 2

m 1m 2

,

1

m1m 2

2

1

m2

1



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son A(-5; 2), B(7;4), C(3;-6). Calcular la suma de las pendientes de los tres lados. a) 5/4 b) 5/7 c) 5/3 d) 5/8 e) 7/9 2. El ángulo de inclinación de una recta mide , la recta pasa por el punto A(1; 8),

1; 3 45°2; ,   45°

además punto B.el punto B de abscisa 15 se encuentra sobre la recta. Hallar la ordenada del a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) 36 3. La recta , pasa por los puntos: la recta pasa por los puntos . Las dos rectas son paralelas. Hallar los valores de “a”. a) 1 y 4 b) 2 y 4 c) -1 y -4 d) 5 y 8 e) 3 y 5

2;1  ;3   

4. Las rectas al cortarse forman un ángulo de es 2/3. Calcular la pendiente de la recta a)5 b) 1 c) 4 d) 2

, la pendiente de la recta



e) 1,5

5. Los puntos A(3; 2) y B se encuentran sobre una recta que tiene por pendiente ¾, además la distancia entre los puntos A y B es 5. Hallar las coordenadas del punto B. a) (5; 7)

b) (8; 7)

c) (9; 8)

d) (7; 5)

e) (6; 8)

6. En la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8; -5) y su pendiente es -4. Señalar au término independiente. a) 25 b) 26 c) 27 d) 30 e) 32

135° 210 210 10 30 34110 4313 32957038 257 4312 2570 52180 52180 5218032180

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2; 3), además el ángulo de inclinación de la recta mide a) b) c) d) 8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 3) y que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: a) b) 2 c) d)

e)

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 4) y es paralela a la recta cuya ecuación es: 2 a) b) c) d) e)



10. Hallar la ecuación simétrica de una recta, sabiendo que pasa por el punto (-4; 9) y su pendiente es -3/2.

   1    1    1    1    1 :3210   :50 2;4∈   a)

b)

c)

d)

e)

11. Las rectas:

son perpendiculares y

hallar

.

a) -6/7

b) -7/12

c) -5/8

d) -3/10

  30 310 3050 310    2; 3 ;  2 , 1  2√2  4√; 2 4 ; 9   3; 2, 1; 2  5; 4 :23120

12. Los puntos A(-3; 2) y B(1 ; 6) son los extremos del segmento la mediatriz de a) d)

. Hallar la ecuación de

.

b)

c)

e)

13. Dados los puntos

punto medio de

. La distancia de M al segmento

a) 2

b)

e) -5/11

c) 4

es:

d)

e) 6

14. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios de sus lados son: suma de las abscisas de los vértices del triángulo. a) 7 b) 10 c) 11 d) -6

15. Calcular el área del triángulo formado por la recta coordenados. a) 12 b) 15 c) 18 d) 9

. Dar como respuesta la

e) -2

y los ejes

e) 8

8  3460 7,5 8,;5  390 9 10 

16. Hallar el área de la región triangular determinadas por las rectas: a)

b)

c)

d)

e)


TEMA 12


OPERADORES MATEMÁTICOS 1. OPERACIONES MATEMATICAS: Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado OPERADOR MATEMATICO.

2. OPERADOR MATEMÁTICO: Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas a una estructura o ley de formación. Operación matemática

Operador matemático

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

x

División

÷

√ 

Radicación Valor absoluto Sumatoria o

Los símbolos que se indican son la base para crear nuevas operaciones de diferentes reglas o leyes de operar. Otros tipos de Operadores: Operador asterisco

=

Operador porcentaje

=

Operador rectángulo

=

Operador beta

=

Operador integral

=

* %

∫ 83



Existen dos formas de plantear la definición de operaciones matemáticas arbitrarias y son: MEDIANTE FORMULAS: A. Con definición explícita.- Son aquellas en las que solamente hay que reconocer los elementos, reemplazar y operar. Ejemplo :

  31   3 1 22  311

1. Si m @ n = Solución: m@ n=

2@1= 2@3=

Calcule: S = (2 @ 1) + (2 @ 3)

=8

3(3) + 1 = 14

Luego. S = 8 + 14 = 22 … Rpta. x

2. Si

= 7x + 3

= 7(5) + 3 = 38 … Rpta. B. Con definición Implícita .- Son aquellas en las que antes de reemplazar y operar, hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para poder reconocer los elementos a reemplazar. También se puede hacer cambio de variable. Ëjemplo: 1. Si

2 ∗3    ∗ ∗ 2.4 ∗3.3   √4 3  √25 Hallar

128

243

Solución:

Dando la forma de la regla de definición 128 243 =

= 5 … Rpta.

Donde: x = 4; y = 3

2. Si :

m+5

= 4x + 8 Hallar

9

Solución: 84 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Dando la forma de la definición 9

=

4+5

X-2

= x(x + 2)

= 4(4) + 8 = 24 …. Rpta.

X-1

3. Si

Solución: Si x – 2 = a

⟹

Determinar

a= a(a + 2)

Luego por artificio: X-1

Entonces: X-1



  1   1 12  

= (x – 1)(x -1 +2) =

= (

=

….Rpta.

MEDIANTE TABLAS DE DOBLE ENTRADA: Se opera así: ®

a

b

∗

R

Entonces: a b = R

6.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS: 

Elemento Neutro o elemento identidad (e).- Es un elemento único para la operación dada, que no altera al elemento que se elija. Es decir, es un valor único para toda la operación. Se debe cumplir que:

∗ 

∗

Ae=A ó e A=A Es decir, para cualquier elemento que uno elija, debe ser el mismo elemento neutro.

"

Ejemplo: Hallar el elemento neutro de la operación “ sabiendo que: a

b= a + b – 3


85


Solución: Aplicamos el principio de A

⟹

e=A

A+e–3=A



Elemento inverso (

e = 3 …. Rpta

).- Es un elemento particular para cada elemento. Se debe

∗ −  −

cumplir que:

siendo “e” un elemento neutro.

Se deduce que requiere conocerse el elemento neutro para poder hallar el elemento inverso.

Ejemplo: a



" 

Hallar el elemento inverso del 4 de operación “

b = a + b– 5

Soluciòn: Hallamos el elemento neutro, aplicamos el principio de A a + e– 5 = a

e=5

, sabiendo que:

N=A

 − ⟹  4− 4− ⟹ −   2−  3− − 

Hallamos el elemento inverso al 4, para esto aplicamos: a

=e

4

=5

Reemplazamos en la operación: 4 +

–5 = 5

Ejemplo: Si a b = a + b + 2 Hallar P = (3

… Rpta.

Siendo

elemento

inverso de “a”

Solución:

Como: a b = a + b + 2



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si se cumple = 3x +1

x

Hallar S =

a)7

2

1

+

b) 13

c)10 d)18

e)20

2. Se define: a

∗ ; ;; <> 5∗3∗45 ∗7∗6 =

Calcule: E=

a)-12

3. Si

b)10



a)7

√  

c)6

b) 21

Calcular: 2 * 3 a) 593

c) 29

d)31

√    ++ ;;>≥



*

b) 81

5. Se define: m * n

3x - 1 = 2x + 5

+

e)43

=

c) 13

d) 512

e)276



Calcular R = (9*9)*(2*5) a) 8 b) 2

E= 5

e)-6

= a + b Calcular 3 4

4. Si se sabe que:

6. Si:

d)-4

c) 11

d) 7

e) 52

Hallar el valor de:

14 87



a)20

b)23

c)22

d)24

e)25

7. Si x @ y = x – y + 2(y@ x) Hallar M = 12 @ 3 a)2

b)1

8. Si

  +

a = (a+1 x

a)

√21

,a

= 100

b)

9. Se sabe que: x x

c)-1

d)5

e)3

, hallar “x” en:

√2

√3

c)

d)

√21

√5

e)

= x(x+2)

=

Hallar:



 1 3

+

2

25  √21 √5 3 √7√8

10. Si :

Hallar a)

b)6

c)3

d)5

e)

√2

+1

11. Siendo: a ® b = a 3 + 2a Calcular: H = 3®(4®(5®…….(19®20)))

a)32

b)36

c)34

d)33

e)35

12. Sea x un número entero, si: x

= x3 +1

x

= x2+2x



Calcular el valor de: a + 5, Si : =0

a

a)4

b)3

c)2

d)7

e)1

13. Dado: m * n = 2n2 – 3m Calcular B = a)3

3∗ 3∗√3∗….∞ b)5

c)7

d)6

e)12

d)2

e)-2

x2 - 1) = x3 Hallar S(-1)

14. Si S( a)0

b)1

c)-1

15. Se tiene el operador (♠) mediante la siguiente tabla. ♠

2 4 6 8

2 6 8 12 82

Halle 468 a)4822

4 4 24 46 22 ♠

6 2 42 4 26

8 2 86 8 46

682 b)2482

c)2284

d)4282

16. Se define a ▲ b = a3 – b2 Además a ▼ b =

+ +

Hallar el valor de : (…(((1▼2)▲1)▼2)▲1…)▼2-(2▲3)

100 paréntesis a)4

b)5

c)-1

d)2

e)3



17. Según :

Decir si es verdadero o falso :  

La ecuación: x % 4 = 4 tiene solución única. (2%3) % (3 % (4 % 1)) = 4

a) VV

b)FF

c)VF

d)FV

e)N.D

18. Sabiendo que : a * b = a + b – 2 Calcular: (4 * 2-1) * (3-1 * 1) a)1

b)2

c)3

d)5

e) Cero

19. Se define en R la operación: a * b = a + b + 4/3

∙

El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b. entonces a b es igual a: a)-2

b) 60

20. Si : =

x

d)-77

e)42

 2;1 ; ú = 4x +2

X

Halle

c)-66

8

+

a) 40

4

b) 48

c) 64

d) 46

e)50

21. Si el conjunto de los números naturales se define la operación: m$n=

2;  > 332; ≤ $$$

Calcular A = a)71



b)73

c)5

d)-71

e)-73 90


TEMA 13


NUMERACIÓN Conjuntos de reglas y principios que hacen posible la correcta lectura y escritura de los números; así como las diversas propiedades que se srcinan de ellos.

abcd n   n : Base del Sistema n : Es un número entero positivo mayor que 1

1. abcd n  Se debe cumplir que : 2. abcd n   efg ( m ) 3. abc ( n )  efg ( m )



a
Por lo tanto n > a ; b y c

n
Si: a < e



La palabra decimal viene del latín

n
que significa

. Nuestro sistema de escribir

numerales para representar números se basa en agrupar de diez en diez y por eso se llama

ab : Cualquier número de 2 cifras o dígitos ( 10, 11, 12,…, 98, 99)

El menor número de dos cifras es el 10 y el mayor número de 2 cifras es el 99. abc : Cualquier número de 3 cifras o dígitos. ( 100, 101, 102, …, 998, 999)

: El menor número de 3 cifras es el 100 y el mayor número de 3 cifras es el 999 

3abc : Cualquier número de 4 cifras que empieza con la cifra 3.



: Es aquel número cuyos dígitos equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen igual por “ambos lados”, veamos algunos ejemplos:

-

abcd 

101, 111, 121, 131, …………. 202, 212, 222, 232, …….

-

abba 

1001, 1111, 1221, 1331, …….. 2002, 2112, 2222, 2332, ….

Es el valor que toma un a cifra por la forma o figura. Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el número. 8326  el número 3 tiene valor absoluto 3 y valor relativo 300. 65184 El número 5 tiene valor absoluto 5 y valor relativo 5000.

En el sistema binario, agrupamos de dos en dos. Hoy en día, las modernas computadoras electrónicas que utilizan ele sistema binario (en base dos) y, en cierto modo también el sistema octal, han venido revolucionando la ciencia. Pueden completar en pocos minutos cálculos que un hombre le tomaría años. Nota: En el sistema de numeración decimal de base diez se utilizan los dígitos de 0 a 9 para escribir los numerales correspondientes a cualquier número cardinal. En el sistema binario o de base dos, se necesitan únicamente dos dígitos, 0 y 1 para, escribir el numeral correspondiente a cualquier número cardinal.

 En todo sistema de numeración se utiliza la cifra 0.  La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es el valor de la base menos

uno. 92 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Ejemplo: 324(5)  La mayor cifra disponible es el 4, porque la base es 5.

abcd ( n ) La mayor cifra disponible puede ser cualquiera de las cifras a, b, c, ó d, tomando el valor de (n-1) 

En los sistemas de numeración mayores que el de la base diez, por convención se

utilizan:

= 10 ;

= 11 ; = 12

2

Binario

0,1

3

Ternario

0,1,2

4

Cuaternario

0,1,2,3

5

Quinario

0,1,2,3,4

6

Senario

0,1,2,3,4,5

7

Eptal

0,1,2,3,4,5,6

8

Octal

0,1,2,3,4,5,6,7

9

notario

0,1,2,3,4,5,6,7,8

10

Decimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

11

Undecimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

12

Duodecimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11



: : a)

4735 = 4000 + 700 +30 + 5 4x10³ + 7x10² + 3x10 + 5 b)

872(9 ) = 8x9² + 7x9 + 2

c)

5463(12) = 5x12³ + 4x12² + 6x12 + 3

d)

abcde( n ) =an 4 + bn³ + cn² + dn + e

Nota: Como se podrá observar en la descomposición polinómica de un número, el exponente de la base de cada término es igual al número de cifras que quedan a la derecha de la cifra considerada.

Convertir 546(a7 ) base 10

Convertir

546( 7 ) = 279

2013( 4) a base 10

2013( 4) = 135

Convertir 583 a base 12 583 = 1001000111( 2 )

Convertir 672 al sistema cuaternario. 672 =

22200( 4 )

Convertir 235 ( 7 ) a base 3



235 ( 7 ) = 124 = 11122



Convertir 0, abcde( n ) al sistema de base 10

0, abcde( n ) = 

a b c d e  2 3 4 5 n n n n n

Convertir 0,123( 4) al sistema de base 10 0,123( 4) =

0,123( 4) =

B)

( 3)

1



4 1 4



2 42 2 42





3

efectuamos la suma de fracciones;

43 3 43

=

16  8  3 64



27 64

 4,421875

: Del Sistema de base 10 al sistema de base “n”.



Convertir : 0,390625 al sistema de base 4 0,390625  0,121( 4 )



Convertir 0,2512 al sistema de base 5. 0,2512 =

0,1112(5)

- En primer lugar el número de base “n” se convierte al sistema de base diez. - En segundo lugar, el número obtenido se convierte a base “k”



Del Sistema de Base “n” al sistema de base

k

Dado el número de base “n” se le separa en grupos de “k” cifras a partir de la derecha. El

número que se forma en cada grupo se convierte en base 

k

Convertir 1101110( 2) al sistema de base 4. 1101110( 2 )  1232( 4 )



Convertir 1101011( 2) al sistema de base 8 1101011( 2)  153(8) k

Dado el número en base 

de cada cifra se obtiene “k” cifras al convertirse a base “n”.

Convertir: 232( 4) al sistema de base 2. 232( 4) = 101110( 2)



Convertir : 465(8) al sistema de base 2 123n  231  5

465(8) = 100110101( 2)



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras. a) 11 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8

2. ¿Cuántos números a) 1 b) 2 de 2 cifrasc)son 3 iguales a siete d) 4 veces la suma e) 5 de sus cifras? 3. La suma de las cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Dar como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de 2 cifras. a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1 4. Un número está compuesto de 3 cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de dichas 3 cifras. a) 90 b) 64 c) 48 d) 36 e) 80 5. Lo que le falta a a) 6 6. Si: a) 8

para llegar a 1000 es

. Hallar :

  5941011   >1 : 2 76 

7. El número a) 4

b) 7

c) 10

d) 8

e) 9

b) 6

c)5

d) 2

e) 3

es iguala 388 veces la suma de sus cifras, entonces b) 9 c) 11 d) 7 e) 6

vale:

8. ¿En qué sistema de numeración los números 24; 27 y 32 están en progresión aritmética? a) 12 b) 14 c) 16 d) 8 e) 9 9. En el sistema de numeración de base 14, encuentre el número de dos cifras que resulta duplicado cuando se escribe con las cifras en orden inverso. a)94 b) 65 c) 49 d) 52 e) 36 10. Escribir: a) 101

121 12 1 en base b) 110

c) 112

d) 11

e) 120



 , 4  2     1  321   44 32 210000  22 34  121 6 <3

11. Hallar: a) 6 12. Si:

b) 8

c) 9

d) 11

e) 10

e) 10

Hallar:

a) 4

b) 8

c) 2

d) 6

b) 9

c) 10

d) 11

b)

Calcular: c)

13. Hallar “n” si: a) 8 14. Si: a)

15. Hallar: a) 31

Si:

b) 30

16. Hallar:

e) 12

expresado en base cinco. d) e)

;

c) 29

d) 28

e) 27

si:

 5   7 14641 10000  62 2160   47 11 208   a) 16

b) 21

c) 24

d) 20

e) 19

17. Si se cumple que: a)

Convertir b) 42

39

18. Si: a) 20

b) 27

19. Si: a) 23

b) 22

al sistema undecimal. c) 41 d) 44

Hallar el valor de: c) 28

d) 29

e) 40

e) 23

Hallar:

c) 20

d) 21

e) 19

20. Si sabemos que:

   <5 :  a) 11 b) 9

c) 12

d) 10

e) 13


TEMA 14


PLANTEO DE ECUACIONES Plantear una ecuación consiste básicamente en realizar la tarea que indica el siguiente esquema Forma Verbal

Forma Simbólica

Enunciado

Traducción

Lenguaje matemático

MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere el siguiente esquema: 1º Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que queda perfectamente clara la situación que se plantea. 2º Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3º Planteo del Problema: Se elige la incógnita por una letra “x” por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado. 4º Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron.

Lenguaje Común

*Leer

*Lenguaje

matemático

(Ecuación)

*Interpretar *

¡RECUERDA! ENUNCIADO 1. La suma de tres números consecutivos es 70.

SÍMBOLOS x+(x+1)+(x+2)=70

2. La edad de Luís es dos veces la edad de Pablo

Luis: 2x años Pablo: x años

3.La edad de José es dos veces más que la edad de Juan

José: 3x años Juan : x años.



4. Yo tengo la mitad de lo que tu tienes y él tiene el

Yo: x

Tú: 2x

Él: 6x

triple de lo que tu tienes. 5. El triple de un número, aumentado en 10.

3x+10

6. El triple de un número aumentado en 10.

3(x+10)

7. El exceso de A sobre B es 50.

A – B = 50

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Compré el cuádruple de camisas que de pantalones. Si hubiera comprado 5 pantalones más y 5 camisas más tendría triple número de camisas que de pantalones. ¿Cuántos pantalones y camisas compré? a) 10

b) 25

c) 40

d) 50

e) 45

Solución:

Camisas Pantalones

Compré 4x x

Si hubiera 4x+5 X+5

Luego:4x+5 = 3(x + 5) 4x + 5 = 3x + 15 x = 10 Compré camisas: 4 (10) = 40 + Pantalones:

10 Total =

50

Rpta. d

2. Si los participantes en la reunión se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas; en cambio si se sientan de dos en dos; quedarían de pie 18 integrantes. ¿Cuántos son los participantes? a) 30

b) 60

c) 70

d) 78

e) 87

Solución: 100 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


Sea “x” el número de participantes e “y” el número de bancas. De los datos tenemos:

x = (y-4)3 …… (1) x = 2y + 18 ……. (2 ) 

 (1) = (2)

(y-4).3 = 2y +18 entonces y = 30 En (2) tenemos: x = 2(30) + 18 x = 78

Rpta. d

3. Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 ya este cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es 600. a) 450

b) 3500

c) 40000

d) 4500

e) 45

Solución: Sea el número = x Del enunciado del problema: 

Número dividido por 10  x / 10



Al cociente x /10 lo dividimos por 3



 x    10   x (Nuevo cociente) 3

30

Suma de los cocientes es 600 x



10

x 30

 600

Damos común denominador en el primer miembro: 3x  x  600 30 4 x  600 x 30

x

Rpta d

 4500 101



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El vendedor dijo: “este cuadro se lo doy a ud con marco por S/.12, sin embargo, con otro marco que cuesta la mitad que éste, se lo vendo en S/.10. ¿Cuánto cuesta sin marco? a) S/.5 b) S/.4 c) S/.7 d) S/.6 e) S/.8 2. Un pastel grande cuesta lo mismo que 3 pequeños. Si 7 pasteles grandes y 4 pequeños cuestan S/.126 más que 4 grandes y 7 pequeños, ¿Cuánto cuesta un pastel grande? a) S/.60 b) S/.63 c) S/.32 d) S/. 54 e) S/. 21 3. Pablo y Mariela se ponen a jugar casino, primero pierde Pablo S/.30, luego pierde Mariela y tiene que duplicar el dinero de Pablo. Si al final Pablo se queda con S/. 80 y Mariela con S/. 40. ¿Cuánto tenía Pablo al inicio? a) S/. 50 b) S/. 65 c) S/. 110 d) S/. 80 e) S/. 70 4. En un cuartel de 100 soldados todos se disponen a hacer “planchas”, si en un determinado momento el sargento pudo observar 298 extremidades sobre el piso. ¿Cuántos soldados hacían planchas en ese momento? a) 74 b) 54 c) 51 d) 49

e) 41

5. A un número se le suma 2 veces su mismo valor, luego al resultado se le divide entre 8, al cociente obtenido se le eleva al cuadrado, para finalmente restarle su mitad y obtener 18. ¿Cuál es el número? a) 15 b) 16 c) 13 d) 15 e) 16 6. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas longitudes de sus lados son enteras, e metros, y además se sabe que el valor numérico que resulta de sumar el doble del área con el triple del perímetro es 54. ¿cuál es la suma de las dimensiones de dicho terreno? a) 6m. b) 7 m. c) 10 m. d) 8 m. e) 13 m. 7. Tito podría ahorrar 20 soles diarios, pero cada día de la semana gasta o 6 soles en el cine o 5 soles en la cafetería. ¿Al cabo de cuántos días ha logrado ahorrar 176 soles? a) 11 b) 10 c) 14 d) 12 e) 16



8. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños, desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿cuántos niños, hay actualmente en la escuela? a) 120 b) 160 c) 180 d) 100 e) 80 9. Juan reparte 24000 en partes iguales a un grupo de personas. Si hubiera incluido 2 personas más, la cantidad de soles que recibió cada uno de ellos hubiera disminuido en 20 soles. ¿Entre cuántas personas repartió Juan los 24000 soles? a) 48 b) 24 c) 50 d) 32 e) 36 10. Del dinero que tengo gasto el doble de lo que no gasto, de lo que no gasto pierdo la mitad de lo que pierdo y de lo que no pierdo regalo la tercera parte de lo que no regalo. Si la suma de lo que gasto más lo que regalo es S/. 260, ¿Cuánto dinero tenía inicialmente? a) S/. 240 b) S/. 720 c) S/. 360 d) S/. 540 e) S/. 120 11. El número de ovejas que compré es igual al triple del número de cabras. Si hubiera comprado 9 ovejas más y una cabra menos, entonces el número de ovejas que tendría sería igual al cuádruplo del número de cabras. ¿Cuántas cabras compré en total? Dé como respuesta la suma de cifras. a) 4 b) 5 c) 3 d) 6

e)

12. Un niño ha dibujado en un papel 40 figuras geométricas entre triángulos y cuadrados. En total hay 138 vértices. ¿cuántos triángulos más que cuadrados hay? a) 7 b) 6 c) 4 d) 5 e) 8 13. Para ganar S/. 130 en la rifa de un celular se hacen 100 tickets. Si sólo se llegara a vender 70 tickets, habría una pérdida de S/. 20. Calcular el valor del celular. a) S/. 350 b) S/. 370 c) S/. 420 d) S/. 470 e) S/. 300 14. Luis tiene el triple de dinero que tiene Sandra, pero cinco veces más de lo que tiene Javier. Si Luis regala cierta cantidad de dinero a Sandra y S/. 24 a Javier, los tres tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos soles tienen entre los tres? a) 108 b) 99 c) 117 d) 126 e) 90 15. En una granja, por cada gallina hay 3 pavos, y por cada pavo hay 4 patos. Si en total hay 160 patas (extremidades) entre dichos animales, ¿Cuántos pavos hay? a) 12 b9 18 c) 21 d) 15 e) 9 103 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


16. El número 256 se descompone en cuatro sumandos, de manera que si se añade 7 al primero, si se resta 7 al segundo, si se multiplica por 7 al tercero y si se divide entre 7 al cuarto, se obtiene siempre el mismo resultado. Dé como respuesta la suma del mayor y del menor de los 4 sumandos? a) 196 b) 208 c) 200 d) 216 e) 182 17. Se contrató un ómnibus para una excursión pagando por ello una cantidad fija de dinero. Si hubieran asistido 10 personas más, cada una habría S/. 1 menos; pero si hubiera asistido 6 personas menos, cada una habría pagado S/. 1 más. ¿Cuántas personas fueron de excursión? a) 25 b) 29 c) 26 d) 33 e) 30 18. Un club tiene 70 socios, entre solteros, casados y viudos. Si la tercera parte de los solteros se casara con la quinta parte de los viudos, entonces, los solteros serían el cuádruplo de los casados. ¿Cuántos casados hay en el club? a) 28 b) 32 c) 34 d) 30 e) 26 19. Se tiene un número impar al cual se le suma los dos números pares que le siguen y los dos números impares que le preceden, obteniéndose en total 213 unidades. Halle el mayor de los números y dé como respuesta el producto de sus cifras. a) 20 b) 14 c) 24 d) 15 e) 18 20. Ana le dice a Katy: Si yo te diera S/. 6, entonces tendríamos la misma cantidad de dinero. Katy contesta: Si yo te diera S/. 12, entonces tendrías el triple de lo que me quedaría. ¿Cuánto tienen Ana y Katy juntas? a) S/. 68 b) S/. 76 c) S/. 72 d) S/. 84 e) S/. 80


TEMA 15


ECUACIONES DEFINICIÓN: Es aquella relación o comparación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor:

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I. De acuerdo al Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. II. De acuerdo a sus coeficientes: Pueden ser con coeficientes numéricos o literales. III. De acuerdo a sus incógnitas: Pueden ser ecuaciones con 1, 2, 3, etc. incógnitas. Ejm. x+y+z=9

(Ecuaciones con 3 incógnitas)

x+y=5

(Ecuaciones con 2 incógnitas)

IV. De acuerdo a sus soluciones: Pueden ser: A. Ecuación Posible ó Compatible: Son aquellas ecuaciones que tienen ó admiten solución y pueden ser: 1.- Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejm. (x–3)(x+2)=0



C. S. = { 3 ; –2 }

2.- Indeterminadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejm. 

x – 3 = x– 3 

4x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9

B. Ecuación imposible, incompatible ó absurda: Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya solución no satisface a la ecuación: Ejm.  2x + 4 = 2x + 7



2 0 x3



* Solución Extraña: Son las soluciones que se introducen o se pierden en una ecuación al realizar ciertas operaciones.

NOTA: Debe ser norma general en la resolución de este tipo de ecuaciones comprobar las soluciones obtenidas con el objeto de desechar aquellas que no verifiquen la ecuación srcinal. Ejm. Resolver: 2

x  x 21  7 

Resolviendo: x = 5 ; verificando: 2

5  5 21  7 

3=7



Absurda.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Llamadas también ecuaciones lineales tienen la siguiente forma general: ax + b = 0

; donde:

x 

b a

Discusión de la raíz: 1. Si:

a0

y

b  0 ; la

ecuación es determinada y el valor de “x” es único:

x 

b a

.

2. Si: a  0 y b = 0; la ecuación es determinada y la ecuación tiene solución única: x = 0. 3. Si: a = 0 y b  0 ; la solución es incompatible. 4. Si: a = 0 y b = 0; la ecuación es indeterminada.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que presentan la siguiente forma general: 2

ax bx c 0 

para:

a0



Resolución de una ecuación de 2º grado. 1.- Por factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero. Ejm.

x2 – x – 12 = 0

Factorizando; ( x – 4 ) ( x + 3) = 0 x=4



x = –3

C. S. = {–3 ; 4} 2.- Por fórmula general: (Baskara) b  b

x

2

4ac

2a

Donde: b2 – 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática y denotamos por:  2

  b 4ac

Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado: Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical. (discriminante) Casos que se presentan: Si:  > 0

Las raíces son reales y diferentes.

Si:  = 0

Las raíces son reales e iguales.

Si:  < 0

Las raíces son complejas y conjugadas.

Propiedades de las raíces: Sea: ax2 + bx + c = 0 ; donde x1



x2 son raíces. Luego se cumple:

1)

x1  x 2  

2)

x1 . x 2 

b a

c a



OTRAS PROPIEDADES: 1)

|x

x| 2 1





 x1 x2  21x2 x

3)

1 1 b   x1 x 2 c

2)

a

2

 1 4x2 .x

4) Si las raíces son simétricas: 

x1  x 2  0

b=0

5) Si las raíces son recíprocas: x1. x



21

a=c

6) Sean las ecuaciones: ax2 + bx + c = 0 . . . (I)

a 0

mx2 + nx + p = 0 . . . (II)

m 0

Si estas ecuaciones poseen las mismas soluciones se cumple: a b c   m n p

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x 1 . x2 ) = 0 Ejm. Reconstruir una ecuación de 2º grado de raíces: x1 = 2



x2 = 7



x2 – ( 2 + 7 ) x + ( 2 . 7 ) = 0



x2 – 9x + 14 = 0

a) 26

b) 16

c) 9

d) 25

e) 30



PROBLEMAS PROPUESTOS ECUACIONES

1 2 3 4 1 3  4  5  6  60   170

1. Resolver:

a) 3

b) 4

c) 3/2

d) 2

e) 2/3

2. Si una raíz de la ecuación: a)

7/2

es 3. Halle la otra raíz. c) ¾ d) -3/7

b) 7/5

 34   110    9  150

e) -7/3

3. Halle el mayor valor de “m” en la ecuación: si una raíz es el triple de la otra. a) 8 b) 5 c) 6 d) 3 e) 10 4. Si la ecuación en “x”:

es Mónica. Hallar “x”.

a) -14

b) -20

c) -16

d) -12

6 12 8  6362

e) -18

5. Halle un valor de “x” luego de resolver:

a) 1

b) 3

c) 2

d) 4

e) 5

 520   4450    7100

6. Forme una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean respectivamente iguales a la suma y al producto de las dos raíces de la ecuación: a) b) c) d) e)

 230 

 7100  680

7. La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ecuación:

3"43 " 217  0  ++ a) 14

8. Si m"

b) 10

es. c) 16

d) 12

n" son raíces de la siguiente ecuación:

valor de: a) 3

b) 6

c) 9

d) 4

e) 8

  6 ; ∈ℛ +

halle el

e) 7



 510   3 8 8 3    "  " " 3 910   1   1  3 220  1   120

9. Siendo la ecuación cuadrática: a) 2585

b) 2625

de raíces

c) 2635

. Calcule:

d) 2605

e) 2615

d) 8/3

e) 11/3

10. Siendo r" raíces de la ecuación: Halle el valor de: a) 7/3

b) 5/3

c) 13/3

11. Dadas las ecuaciones en “x”

Poseen el mismo conjunto solución. Halle. a +2b +3c a) -1 b) 1 c) 2 d) -2

e) 0

√23 √47 √35 √1

e) 2

12. Resolver la ecuación: a) 3

b) 4

c) 1

d) 6

13. Resuelva el sistema:

−−−−112    ,   :   8 52262 indique el valor de

a) 145

b) 110

c) 117

d) 149

e) 130

14. Determinar

a) 40

b) 58

 3 {242 1 5

c) 45

d) 52

e) 68

c) 6

d) 3

e) 1

15. Determine “x” en el sistema:

a) 2

b) 4



212 32415 +−=− −−=

16. Resolver el sistema:

a) -2

dé como respuesta:

b) 2

c) 1/3

4  149 136

−+ d) -1

e) 1

17. Dado el sistema:

Determinar a y b para que el sistema tenga infinitas

soluciones; halle “a + b”

a) 7

b) 8

43123 24

c) 10

d) 11

e) 9

18. Determine el valor de “m” para que el sistema sea inconsistente.

a) 7/22

b) 5/9

c) 15/4

d) 22/7

e) 9/5

19. Determinar “m” de manera que el sistema tenga solución no trivial, dar como respuesta la suma de los “m”

1220 10  0  237 324 a) 4

b) 3

c) -2

d) 2

e) 0

20. Determine “a + b” para que el sistema: tenga infinitas soluciones.

a) 2/3

b) 2/5

c) 1/5

d) 3/2

e) 3/5


TEMA 16


EDADES En el presente tema, trataremos sobre el Planteo de Ecuaciones, pero en particular con la presencia de relaciones de una, dos o más personas en sus diferentes tiempos, las cuales tienen bastante difusión, y por lo que podría ser lo más importante: porque en su solución emplearemos un método un método muy práctico e interesante, es que le vamos a dedicar una atención especial. Todo problema de este tipo es de fácil reconocimiento, debido a que consta de las siguientes partes: A) Personas.- A las cuales corresponden las edades con las que se trabajan, aunque es cierto también, que en lugar de edades, puede ser otro tipo de cantidades que las personas posean.

B) Tiempos.- esta es una de las características más importantes, puesto que la acción del problema se desarrolla en tiempos diferentes, ellos pueden ser: Tiempo pasado: “Hace 10 años”. “hace x años”, “tenías”, “tuve”. etc. Tiempo presente: “tienes”, “tengo”, “tenemos”, etc.

Tiempo futuro: “dentro de 15 años”, “dentro de 10 años”, “tendrás”, etc.

C) Condiciones.- Son determinadas relaciones entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un determinado tiempo, o entre tiempos diferentes. Cada condición da lugar a una ecu ación, las expresiones del tipo: “Dentro de 10 años”, la suma de las edades será 63 años”, “Hace 10 años, mi edad era el doble de la tuya”, “yo tenía la edad que tu tenías”, son ejemplos de condiciones.

Para resolver rápidamente este tipo de problemas, va Ud. A aprender ahora a utilizar el gráfico siguiente, en el cual se colocan los datos e incógnitas en el orden y lugar que se detallan:



II. TIEMPOS PASADO

PRESENTE

FUTURO

I. PERSONAS A

III. EDADES O

B

CANTIDADES

C IV. CONDICIONES PROBLEMAS RESUELTOS 1. En 1979, un padre decía a su hijo: “mi edad es el quíntuplo de tu edad, pero en el 2000 no será más que el duplo”. ¿En qué año nació el hijo y qué edad tendría el

padre en 2007? Solución: Pasado Presente Futuro

Padre Hijo *Datos:

(1979) x-21

(2000) x

y-21

y

(2007) x+7 y+7

x-21=5(y-21)………………(I) X=2y …………………………(II)

*De (II) en (I) : 2y-21=5y-21x5 → y=28 *El padre actualmente tiene 56 años, entonces dentro de 7 años tendrá 63 años.

2. La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9. Al cabo de cuántos años la edad del padre triplica la de su hijo. Solución: *Edad del Padre = 41; edad hijo = 9 Dentro de “x” años sus edades serán:

Edad Padre: 41 + x Edad Hijo: 9+x *Luego: 41 + x = 3(9+x) 113 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


*Resolviendo: x = 7 → Debe transcurrir 7 años.

3. Dentro de cuántos años las edades de 2 personas estarán en la relación de 6 a 5, si sus edades actuales son 40 y 30 años respectivamente? Solución: *De los datos:

Personas Presente Futuro A

40

6(10)=60

B

30

5(10)=50

diferencia 10 años = diferencia 1(10 ) años *Deben pasar 20 años.

4. Si al cuádruple de la edad que tendré dentro de 8 años, le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría 19 años más el triple de mi edad ¿Qué edad tengo? Solución: Hace

5

años x-5

Yo

Dentro de 8

tengo

años

x

x+8

*Según el enunciado:

4 82 5193→432210193→23 19̅

5. Yo nací en el año

y en 1980 tuve “a+b” años ¿En qué año tendré “a2+b2” años?

Solución:

*Considerar: Año de

Edad

Nacimiento + Actual

Año =

Actual

̅19 1980→1900 ̅ 1980 1080 11280………………. 6  7 


114


PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hace tres años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 21 años . ¿Dentro de cuántos años tendré el triple dela edad que tenía hace 7 años? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1 2. Si mi edad más dos veces mi edad, más tres veces mi edad y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad como años tengo es 126 ¿Qué edad tengo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4 3. Dentro de 20 años tendré 2 veces más que la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendría actualmente si hubiese nacido 3 años antes? a) 25 b) 22 c) 28 d) 29 e) 30 4. Yo tengo 40 años y mi edad es los 4/5 de la edad que tú tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tienes? A) 36 b) 40 c) 45 d) 60 e) 48 5. Tú tienes 7 veces la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que yo tengo. Si dentro de 5 años nuestras edades sumarán 120 ¿Qué edad tengo? a) 40 b) 70 c) 60 d) 50 e) 80 6. Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumarán 95 años. ¿cuántos años tenía s cuando yo cumplí 18 años? a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 4 7. Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la edad de su hijo y dentro de 5 años será solamente el doble. ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? a) 29 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 8. Tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací, si nuestras edades suman 46 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 9. Cuando transcurran desde hoy tantos años como los años que pasaron desde que nací hasta hace 30 años, tendré el quíntuplo de la edad que tenía en ese entonces. ¿Cuántos años tengo? 115 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


a) 30

b) 20

c) 18

d) 50

e) 40

10. Tú tienes 24 años, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 60 años. ¿Hace cuántos años tenía yo los 2/3 partes de los años que tendré dentro de 22 años? a) 15 b) 10 c) 16 d) 10 e) 14 11. Al profesor Villacorta le preguntan por su edad y responde: Si el año en que cumplí a años le suman el año en que cumpliré b años, y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán (a+b-27). ¿Qué edad tiene el profesor Villacorta? a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60 12. Estamos en 1943. Yo tengo dos niños que no son mellizos. El cubo de la edad de mi hijo sumado al cuadrado de la edad de mi hija, da el año en el cual nació mi esposa, lo cual ocurrió en la segunda mitad del siglo pasado. Si yo soy 8 años mayor que mi esposa. Halle la raíz cúbica de la suma de las cuatro edades. a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7 13. En 1949, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1954, la edad del padre fue el quíntuplo de la edad de su hijo. ¿Cuál era la edad del padre en 1961? a) 56 b) 57 c) 58 d) 47 e) 59 14. Mishell le dice a Carlos: “Mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tú tienes y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años”. ¿Qué edad tiene Mishell? a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18 15. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 57 años. ¿Cuántos años tengo? a) 27 b) 37 c) 47 d) 36 e) 26 16. Pablo nació en la primera mitad del siglo XIX, 19 años antes que naciera José; en el año x2 Pablo cumplió una edad igual a la raíz cuadrada de ese año. ¿En qué año José cumplió 15 años? a) 1847 b) 1850 c) 1843 d) 1840 e) 1839



17. Dentro de 2a años tendré 3 veces más de los años que tuve a años. Si los años que tuve, tengo y tendré suman 84 años, ¿Qué edad tengo? a) 42 b) 24 c) 40 d) 36 e) 12 18. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre. Si dentro de 5 años, la mitad de la edad del padre será igual a la edad que el hijo tendrá. ¿Cuál es la edad del padre? a) 35

b) 40

c) 45

d) 55

e) 60

19. Mary tuvo en 1988 tantos años como el producto de la dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras del número que expresa el año en que cumplió 15 años? a) 26 b) 22 c) 24 d) 16 e) 18 20. La edad que tendré dentro de 20 años será 2 veces más que la edad que tuve hace 10 años. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? a) 25 b) 30 c) 35 d) 20 e) 22 21. Mi edad es 5 veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de tu edad actual y cuando tú tengas el doble de mi edad, nuestras edades sumarán 210 años. ¿Qué edad tengo? a) 40 b) 50 c) 30 d) 60 e) 25 22. En el año 2000 Adolfo cumplió tantos años como la suma de las 3 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tuvo Adolfo en el año 2004? a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 37 23. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace 5 años cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) 10 24. Charo tuvo su primer hijo a los 20 años, su segundo hijo a los 25 años y 7 años después a su tercer hijo, si en 1996 la suma de las edades de los cuatro fue 83 años, ¿En qué año nació Charo? a) 1978 b) 1966 c) 1950 d) 1956 e) 1954 25. La suma de las edades de Antonio y Bety, cuando nació César, su primer hijo, era la mitad de su suma actual. Si actualmente César tiene 20 años. ¿Qué edad tenía César cuando las edades de los tres sumaban 70 años? a) 12 b) 10 c) 15 d) 18 e) 20 117 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.

TEMA 17


RAZONES Y PROPORCIONES 1. RAZONES: Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse empleando la sustracción o la división.

RAZON ARITMÉTICA (R.A).-

Es la comparación de dos cantidades mediante la

sustracción. Dicha comparación determina en cuanto excede una cantidad a la otra.

Antecedente – Consecuente = R.A

RAZON GEOMÉTRICA (R.G).- Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dicha comparación nos indica cuántas veces una cantidad contiene a la otra.

2 . PROPORCIONES: Se llama proporción a la reunión de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor.

A. PROPORCION ARITMÉTICA..- Es la igualdad de dos razones aritméticas a–b=c-d

Prop.Aritmética

Donde: a y c : Antecedentes

a y d : Términos extremos

b y d : Consecuentes

b y c : Términos medios

A.1 CLASES DE PROPORCION ARITMÉTICA 

Proporción Aritmética Continua.- Es aquella en la cual los términos medios son iguales.

a–b=b-c Donde: b : es la media diferencial de a y c

c : es la tercera diferencial de a y b.





Proporción Aritmética Discreta.- Es aquella en la cual los cuatro términos son diferentes.

a–b=c-d

Donde: d : es la cuarta diferencial de a, b y c

B. PROPORCION GEOMÉTRICA.- Es la igualdad de dos razones geométricas.

a b



c d

→

Prop.Geométrica

Donde: a y c : Antecedentes b y d : Consecuentes

a y d : Términos extremos b y c : Términos medios

B.1 CLASES DE PROPORCION GEOMÉTRICA: 

Proporción Geométrica Continua.- Es aquella en la cual los términos medios son iguales.

a b



b c

Donde: b : es la media proporcional de a y c. 

c : es la tercera proporcional de a y b.

Proporción Geométrica Discreta.- Es aquella en la cual los cuatro términos son diferentes.

a c  b d Donde:

d : es la cuarta proporcional de a, b y c.



PROPIEDADES DE PROPORCION GEOMETRICA

a b

Si

c d



es una Prop. Geométríca

Entonces:

*

ab cd  b d

*

a c  ba d c

*

ac bd  a.  c b  d

*

ac a c   bd b d

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor.

a1 b

Sean:



1

Donde :

a2 b2



a3 b3

 ..... 

an bn

K

a1, a2, a3, ....,an : antecedentes b1, b2, b3, ....,bn : consecuentes

Se cumple que:







a1



a2



a3



...  an

b1



b2



b3



...  bn

a1 .a 2 .a 3 .....a n b1 .b2 .b3 .....bn

a  b

1

1

m



K



K

n

m

m

a  a  a          ....    b  b  b

m

2

3

n

2

3

n

   k 

m



1. Sean: a) 16

    

además:

b) 18

2. Si: a) 10


113568

c) 20

d) 24

52

d) 16

donde:

     b) 12

Hallar

" "

e) 30

Calcular: c) 14



e) 20

3. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica contínua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor? a) 4:3 b) 4:1 c) 3:1 d) 5:2 e) 5:3 4. A una fiesta asistieron 900 personas. Se sabe por cada 7 mujeres hay 5 hombres. Además de cada 15 hombres, 7 son casados y de cada 7 mujeres, 3 usan minifalda. Calcular la relación entre los hombres solteros y las mujeres que no usan minifalda. a) 2/3 b) 2/5 c) 3/5 d) 5/7 e) 3/2

5. La suma de tres números es 1425; la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es 600. Hallar el tercer número. a) 500 b) 550 c) 608 d) 325 e) 375 6. Los cuadrados de ½ ; ¼ y 1/8 son proporcionales a otros tres números que suman 147/176. Uno de dichos números es: a) 7/176 b) 8/21 c) 5/44 d) 7/18 e) 8/41 7. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los marineros observa que el número de barcos que ve es al número de aviones como 3 a 2. ¿Cuántas naves son? a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20 8. En una serie de tres razones geométricas equivalentes y contínuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 6 9. Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180. Se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. Hallar el producto. 121 LIC. BETZABETH MARIELA SALINAS CORDERO.


a) 180

b) 396

       35 "

10. Si:

c) 216

se cumple que:

calcular”

a) 90

b) 80

c) 50

d) 270

e) 360

×160 ×90  d) 70

e) 60

11. Dada la siguiente serie:

    : 20        , ,   

√+ √+ √+



a) 20

b) 25

Calcular “b”

c) 32

12. En la serie:

d) 30

e) 28

Se tiene que

aritmética. Dar a) 60 b) 36

c) 80

d) 74

forman una proporción

e) 72

13. En una proporción geométrica contínua, la suma de sus términos extremos es 51 y la suma de sus cubos es 110619. Hallar la suma de los términos de la proporción. a) 102 b) 95 c) 80 d) 75 e) 180 14. En una proporción aritmética contínua, el primer antecedente es mayor en 8 unidades que el segundo consecuente. Calcular el término medio, sabiendo que el producto de sus términos diferentes es 120 siendo los términos cantidades enteras. a) 8 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12 15. Las edades de Valentina y Katy están en la relación de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en la relación de 13 a 12. Calcular la suma de las edades que tenían hace 7 años. a) 37 b) 29 c) 41 d) 39 e) 43

16. Determinar la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10, 15 y 14. a) 38 b) 36,75

c) 40

d) 34, 25

e) 34,25

17. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 25. Si el producto de dichos términos es 1296, calcular el mayor de los extremos. a)9

b)8

c)7

d)6

e)5 122



18. En una fiesta los hombres y mujeres están en la relación de 3 a 1. Después de transcurridas 6 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es de 5 a 1. Entonces el número srcinal de asistentes a la fiesta fue de: a) 160

b) 180

c) 200

d)

220

e) 240

19. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus términos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28. Indicar el mayor de los extremos. a) 36

b) 64

c) 16

d)81

e)256


Modulo Matem y Raz Mat Noviembre 2017

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