TEMA: Momento Polar De Inercia OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL.
Establecer la definición de momento polar de inercia para aplicar lo investigado en la resolución de ejercicios mediante una investigación bibliográfica.
OBJETIVO ESPECÍFICO.
Analizar las componentes del momento polar de inercia para obtener sus fórmulas mediante un análisis de gráficos.
Realizar una comparación entre el momento de inercia y el momento polar de inercia para aplicarlos correctamente mediante las definiciones obtenidas.
Obtener las gráficas de las diferentes áreas q existen para aplicarlas a los cálculos y tener resultados exactos mediante investigaciones investigaciones bibliográficas.
FUNDAMENTO TEÓRICO: EL MOMENTO DE INERCIA Concepto de Inercia. La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: “un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”. Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta. Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su momento de inercia, que no es más que la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia (Moment of inertia, "MOI") es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa.
El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede reescribir para la rotación: Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como
* F = Ma (F = fuerza; M = masa; a = aceleración lineal) * T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional) El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotación. Este momento no es una cantidad única y fija, ya que si se rota el objeto en torno a un eje distinto, tendrá un momento de inercia diferente, puesto que la distribución de su masa en relación al nuevo eje es normalmente distinta. Para cambiar la velocidad de giro de un objeto con elevado momento de inercia se necesita una fuerza mayor que si el objeto tiene bajo momento de inercia.
No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que
La simetría del cuerpo permite a veces realizar sólo parte del cálculo. Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un cacho'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le f alta. Muchas veces dado el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usan do el teorema de Steiner o el de las figuras planas.
Selección de la posición de los ejes de referencia. Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el CG y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia de una forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".
Signo / polaridad de momento de inercia. Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos, ya que la masa sólo puede ser positiva. Comprobación de cálculos de MOI mediante medidas físicas. Existen instrumentos para medir el momento de inercia con una precisión del 0.01%. Los equipos modernos utilizan péndulos de torsión invertidos, ya que estos instrumentos son tan precisos como fáciles de usar. Los otros métodos descritos solo tienen un interés histórico. Entre estos métodos tenemos:
Péndulo de torsión invertido.
Péndulo trefilar para objetos grandes.
Péndulo compuesto - no recomendado.
Grado de aceleración - método teórico de los libros de texto.
MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.
Considere una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en “flexión pura” y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x, se conoce como el “eje neutro”. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las f uerzas elementales F q u e a c t ú a n s o b r e t o d a la sección está dada por la fórmula:
La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:
La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:
Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿Cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cuál es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua (eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:
Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x. [1]
Momento Polar de Inercia El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se lla ma momento polar de inercia, y se representa por J. Momento polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad pa ra resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circu lar de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deform aciones. Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par. Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión y es necesario para calcular el desplazamiento. Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracte riza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Limitaciones El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circu lar. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complej o que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el moment o de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria.
Definición Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma a rbitraria o sobre un eje. Ρ es la distancia radial al elemento dA.
J z = el momento polar de inercia alrededor del eje z dA = an elemental area dA = un área elemental ρ = the radial distance to the element dA from the axis z ρ = la distancia radial al elemento dA del eje z
= ∫ 2
= ∫( 2 + 2 ) = ∫ 2 + ∫ 2 = + Esto significa que el momento polar de Inercia de un área con respecto a un eje perpe ndicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección d el eje polar y del plano. Para una sección circular de radio r:
Unidad El SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la zona de la inercia es metro a la cuarta potencia (m 4)
La conversión de la zona Momento de Inercia Por el teorema del eje perpendicular, la siguiente ecuación relaciona Jz para los mome ntos de inercia de la zona sobre los otros dos ejes perpendiculares entre sí: [1]
J z I x x + I y y =
Aplicación El momento polar de inercia aparece en las fórmulas que describen torsional la tensión y el desplazamiento angular. El estrés de torsión: Donde T es el par, r es la distancia desde el centro y J z es el momento polar de inercia.
En un eje circular, el esfuerzo cortante es máxima en la superficie del eje (ya que es donde el par es máximo): Con más frecuencia el problema inverso se resuelve, en el que se resuelve para el radio. [2]
Diferencian entre momento polar de inercia y momento de inercia El momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. A veces se denomina inercia rotacional. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. F=m*a, si F=20N y la masa de la piedra pequeña es 10kg y de la grande 100 kg sus aceleraciones serán distintas (a=F/m con F=cte=20N) De modo similar, si se aplica un mismo par de fuerzas. M=I*alpha (donde I es el momento de inercia, alpha=aceleración angular). Con el mismo momento aplicado la aceleración angular será distinta segun el momento de inercia del cuerpo (lo mismo que antes). Respecto al momento polar: es el momento respecto de un "polo". Es decir el momento en un sistema de coordenadas polar. Se usa bastante en figuras con simetría depende mucho de la figura de la que quieras calcularlo. El momento polar no es lo mismo que el momento de inercia. Un momento de inercia puede ser respecto un punto, recta, plano. El polar es un momento de inercia particular
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RESUMEN:
CONCLUSIONES: Se ha podido conocer una definición clara de momento polar de inercia para su posterior aplicación en la resolución de ejercicios. Con la observación de los gráficos de diferentes áreas se pudo obtener la formula correcta para la aplicación del momento polar de inercia. El momento de inercia polar es igual a la suma de los momentos de inercia axiales respecto a los ejes x e y que contienen al polo. Esta propiedad es útil si es difícil evaluar los momentos axiales pero es sencillo calcular el polar. Por ejemplo, para el circulo es fácil evaluar el polar y en base a este calcular los axiales. Para el rectángulo es más fácil calcular los axiales y con ellos evaluar el polar. Al realizar la comparación se llegó a la conclusión que el momento polar de inercia es muy diferente al momento de inercia ya que en el momento de inercia es la resistencia de un cuerpo cuando se encuentra en rotación. Se ha investigado las diferentes graficas que existe para varias áreas llegando de esta manera a la conclusión que primero se aplica el cálculo de centroides y centros de gravedad para aplicar en la formula ya definida para momento polar de inercia.
BIBLIOGRAFÍA:
[1] B. Johnston, «Estatica,» de Mecanica Vectorial Para Ingenieros , Bogota, Mc Graw Hill, 2007, pp. 474 - 508.
[2] Meca, «mecatronica4b.blogspot.com,» 26 Noviembre 2011. [En línea]. Available: http://mecatronica4b.blogspot.com/2011/11/momento-polar-de-inercia-en-ejes.html. [Último acceso: 26 Junio 2014]. [3] K. Terran, «sites.google.com,» 19 Junio 2014. [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/inescedenofisica/momento-de-inercia/momento-polar-deinercia. [Último acceso: 26 Junio 2014]. [4] M. O. R. Nave, «hyperphysics.phy-astr.gsu.edu,» 05 junio 3011. [En línea]. Available: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/parax.html. [Último acceso: 26 Junio 2014].
