UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN FACULTAD : ING. MECÁNICA Y ELÉCTRICA
ASIGN ASI GNATURA: ATURA: DINÁMICA
TEMA: CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA
ESTUDIANTE: PINTADO CRUZ ELTON JHOEL
PEÑA MONTALVAN DANNY
CICLO DE ESTUDIO: III
DOCENTE: RODRIGUES ORDOÑES FREDDY ROLAND
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
05/02/2016 INDICE INTRODUCCION....... INTRODUCCION................. ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ....................................... ............................. ... 3
1.-TRABAJO DE UNA FUERZA...................... ................................ ..................... ..................... ..................... ..................... .......................... ................ 4 1.1.-TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE ....................................................................4 1.2.- TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE UE SE MUEVE A LO LARGO DE UNA LINEA RECTA..................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................. ...... 5 1.!.- TRABAJO DE UN PESO...................... ................................ ..................... ..................... ..................... .................................... ......................... 5 1.".- TRABAJO DE UNA FUERZA DE RESORTE..............................................................6 2.- PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA.................... ............................... ..................... ..................... .................................. ....................... 9 !.- PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS...................10 !.1.- TRABAJO DE FRICCION ORIGINADO POR DESLIZAMIENTO.................................11 ".- POTENCIA Y EFICIENCIA.................... ............................... ..................... ..................... ..................... ...................................... ............................ 13 ".1.- POTENCIA..................... ................................ ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... ...........13 13 ".2.- EFICIENCIA..................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............................... .................... 13 #.- FUERZAS CONSERVADORAS Y ENERGIA POTENCIAL ...............................................14 #.1.- FUERZAS CONSERVADORAS..................... ............................... ..................... ...................... ..................... ..................... ............... ....14 14 #.2.- ENERGIA...................... ................................ ..................... ..................... ..................... ...................................................... ........................................... 14 #.!.- ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL...............................................................15 #.".- ENERGIA POTENCIAL ELASTICA.................... ............................... ..................... ..................... ................................ ..................... 16 #.#.- FUNCION POTENCIAL.................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...........................17 ................17 $.- CONSERVACION DE LA ENERGIA .............................................................................18 $.1.- SISTEMA DE PARTICULAS..................................................................................18 %.- EJERCICIOS EJERCICIO S RESUELTOS:..................... ................................ ...................... ..................... ............................................ .................................. 19 RECOMENDACIONES ..................... ............................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................... ........ 27 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ........................ .............28 28 B&'(&)*+,,..................... ................................ ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............................................. ................................... 28
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
1.-TRABAJO DE UNA FUERZA E 4/0&0,@ 7, 7/+=, 07,(67&/+, 3)() +/,(&=, 8+,',) 07,5) ,( 78) 67/ 3/ (, ,(&0, /38, / 4)9&4&/8) ) ()*+, 5/3(,=,+(). R&(/>@ 2# S& 3/ 8&// 7, 7/+=, F , > 3/ (, ,(&0, , 7, ,+807(, /38, 7/+=, +/,(&=,+, 8+,',) 3)() 07,5) /38, ,+807(, 3/ 5/3(,0/ / (, 5&+/00&; 5/ (, 7/+=,@ 8,4'& 3/ 5/'/ 3,'/+ 67/ /( 8+,',) +/,(&=,5) )+ F /3 7, 0,8&5,5 /30,(,+ > /38 5/&&5, 5/ (, 3&*7&/8/ 4,/+,. H&''/(/+@ 21 dU = Fds cos θ
ds
Figura 1
1.1.-TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE S& 3/ 8&// 7, ,+807(, > / /((, 3/ ,(&0, 7, 7/+=, F > /38, 37+/ 7 5/3(&=,4&/8) &&8) , () (,+*) 5/ 37 8+,>/08)+&, 5/ r 1 , r 2 ) 5/ 31 , 32@ /( 8+,',) 5/ (, 7/+=, F 3/ 5/8/+4&, 4/5&,8/ &8/*+,0&;. H&''/(/+@ 21 r2
s2
∫
∫
r1
s1
u 1−2= F .dr = F . cosθ. ds
P,+, 8+,=,+ (, *+&0, 5/ F cos θ vs. s. E8)0/3@ /( +/, ',) (, *+&0, (&4&8,5, )+ 31 > 32 +/+/3/8, /( 8+,',) 8)8,(. H&''/(/+@ 21
4
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
s2
F ∗cosθ
F
F ∗cosθ
θ
r2
F ∗cosθ
s1
s1
r1
s
s2
Figura 2
1.2.- TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE UE SE MUEVE A LO LARGO DE UNA LINEA RECTA C7,5) (, 4,*&875 5/ (, 7/+=, F c /3 0)38,8/ > ,08?, 0) 7 A*7() 0)38,8/ θ 0) +/3/08) , 37 8+,>/08)+&, 5/ (, (/, +/08,@ 3/ 5/'/ 8//+ / 07/8, 67/ /( 0)4)/8/ 5/ F c / (, 5&+/00&; 5/( 5/3(,=,4&/8) 3&/4+/ /3 F c . cosθ . E( 8+,',) +/,(&=,5) )+
F c
07,5) (, ,+807(, 3/ 5/3(,=, 5/ 31 , 32 3/ 5/8/+4&, 0) (, /07,0&;.
H&''/(/+@ 21 s2
U 1 − 2= fc.cosθ
∫ ds = fc.cosθ ( s 2− s 1 ) s1
F c ∗cos θ F c
F c ∗cos θ
θ s1
F c ∗cos θ
s2
s1 Figura 3
5
s2
s
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN 1.!.- TRABAJO DE UN PESO S& 3/ 8&// 7, ,+807(, 5/ /3) W@ > /38, 3/ 5/3(,=, , () (,+*) 5/ 7, 8+,>/08)+&,@ 5/ 7, )3&0&; 31 , 32. E 7 78) &8/+4/5&)@ /( 5/3(,=,4&/8)
dr = dxi+ dyj + dzk .
C)4)
y 2
w =−wj
8//4)3: U 1 −2=∫ −dy =−w ( y 2− y 1) . H&''/(/+@ 21 y 1
U 1 −2=−w ∆ y
Z W dr
s1 r1
s2
r2 y 2
Y
y 1
X Figura 4
S/ 5/'/ 8//+ / 07/8, 67/ /( 8+,',) /3 &5//5&/8/ 5/ (, 8+,>/08)+&, > /3 &*7,( , (, 4,*&875 5/( /3) 5/ (, ,+807(, )+ /( 5/3(,=,4&/8) 9/+8&0,(. H&''/(/+@ 21 1.".- TRABAJO DE UNA FUERZA DE RESORTE C)3&5/+/ 7 +/3)+8/ /(38&0) > /38/ 3/ ,(,+*, 7, 5&38,0&, +/,(&=,5) )+ (, 7/+=, 67/ ,08?, / (, ,+807(, ,578, /3
ds ,
/8)0/3 /( 8+,',)
dU =− Fsds =−ksds .
T//+ /
07/8, 67/ /( 8+,',) /3 /*,8&9) 7/38) 67/ F s ,08?, / /( 3/8&5) )7/38) , ds. S& (, ,+807(, 3/ 5/3(,=, 5/ 31 , 32@ /( 8+,',) 5/ F3. E3. H&''/(/+@ 21 6
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN s2
s2
∫
∫
s1
s1
U 1 −2= Fsds = −ksds
1
2
1
2
U 1 − 2=−( k s 2− k s 1) 2
2
S& (, 5&+/00&; 5/ (, 7/+=, 5/ +/3)+8/ 67/ ,08?, / (, ,+807(, > /( 3/8&5) 5/( 5/3(,=,4&/8) 5/ /38, 3) &*7,(/3 /8)0/3 /( 8+,',) /3 )3&8&9)@ 5/ () 0)8+,+&) /( 8+,',) /3 /*,8&9). H&''/(/+@ 21
d F s=k ∗s
S K
Figura 5
EJERCICIO EXPLCITO: U '()67/ 5/
20 kg
5/30,=, 3)'+/ 7 (,) &0(&,5). S& /( +/3)+8/
)+&*&,(4/8/ /38, ,(,+*,5)
0.8 m
7
@ 5/8/+4&/ /( 8+,',) 8)8,( +/,(&=,5) )+
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN (,3 7/+=,3 6 ,08?, / /( '()67/@ 07,5) 7, 7/+=, )+&=)8,( P=600 N /47, 07/38, ,++&', s =5 m
S =5 m
P!"#"$% "%"#"&' F!GF!FG! ()' *)!*+)
P= 600 N 5sin15
K =20 N / M
5= cos15 15
0
Figura 6
S"#$%&'(: F$)r*+ "r&*"(-+#: / 9&38, 5/ 67/ (, 7/+=, /3 0)38,8/@ /( 8+,',) 3/ 5/8/+4&, 0) (, ;+47(, 5/ 8+,',) 5/ 7, 7/+=, 0)38,8/ 67/ 3/ 47/9/ , () (,+*) 5/ 7, (/, +/08,K. U 1−2= Fc cos15 ( S 2− S 1)
Up= 600 cos 15 ( 5 m )
Up =1159.11 J
F$)r*+ .)# r)"r-) Fs :
[
Us=−
¿
[
1 2
(
1 2
2
1
2
k s 2− k s1
20 5.8
2
2
)− 2
1 2
(
]
20 0.8
2
)
1
] 8
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN ¿ 330 J
P)": 0;4) ,08?, / 3/8&5) )7/38) ,( 5/3(,=,4&/8) 9/+8&0,(@ /( 8+,',) /3 /*,8&9). U 1 − 2=−Wy
¿−( 196.2 )( 5sin15 ) ¿− 253.90 J
Tr++3" -"-+#: U! =1159.11 −330 −253.90
575.21 J
57
2.- PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA E38,'(/0/ 67/ /( 8+,',) +/,(&=,5) 3)'+/ 7 )'/8)@ 07,5) /38/ 3/ 47/9/ /8+/ 5)3 )3&0&)/3 /3 &*7,( ,( 0,4'&) / 37 //+*, 0&8&0,. B/5)+5 S& 3/ 0)3&5/+, 7, ,+807(, 67/ /38 ()0,(&=,5, / (, 8+,>/08)+&, 5/&&5, 0) +/3/08) , 7 3&38/4, 5/ 0))+5/,5,3 &/+0&,(/3. S& (, ,+807(, 07/8, 0) 7, 4,3, m
> 3/
3)4/8/ , 7 3&38/4, 5/ 7/+=,3 /<8/+,3@ /8)0/3 (, /07,0&; 5/ 4)9&4&/8) 5/ (, ,+807(, / (, 5&+/00&; 8,*/0&,( /3. H&''/(/+@ 21 s2
∑∫ F!ds= 12 m v − 12 m v 2
2
2
1
s1
∑ F
!
d
!
2 θ
9
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN F %=
∑ F
1
∑ F
&
& Figura 7
D)5/ (, /07,0&; &,( 3/ /30+&'/ 0)4) 3&*7/: 1
2
1
2
" U 1 −2= m v 2− m v 1 2
2
E /38, /07,0&; 3/ +/+/3/8, /( +&0&&) 5/ 8+,',) > //+*, ,+, (, ,+807(,. L)3 1
8+4&)3 5/( (,5) 5/+/0)@ 07>, )+4, /3
! = m v
2
2
@ 5/&/ (, //+*, 0&8&0, &&0&,( >
&,( > ()3 8/+4&) 5/( (,5) &=67&/+5) 5/ (, )+47(, +/+/3/8, (, 374, 5/( 8+,',) +/,(&=,5) )+ 8)5,3 (,3 7/+=,3 67/ ,08?, / (, ,+807(, 07,5) 3/ 47/9/ 5/ 7 78) , )8+). L, ,/+*&, 0&8&0, /3 7 /30,(,+ > 373 7&5,5/3 3) )7(/ > ('@ (, //+*, 0&8&0, 3&/4+/ /3 )3&8&9, , 5&/+/0&, 5/( 8+,',). A 4/75) 3/ /<+/3, 0)4). H&''/(/+@ 21 # 1 + " U 1 −2 =# 2
1
•
/( 8+,',) 5/ 7 +/3)+8/ 8&// (, )+4,
Us= k s 2
2
5)5/ /3 (, +&*&5/= 5/(
+/3)+8/ > 3 /3 37 ,(,+*,4&/8) ) /0)*&4&/8). •
E( 8+,',) 5/ 7 /3) /3 /( +)5708) 5/ 37 4,*&875 )+ /( 5/3(,=,4&/8) 9/+8&0,(@ Uw =$ W > /3 )3&8&9) 07,5) /( /3) 3/ 47/9/ ,0&, ,',).
•
U, 7/+=, +/,(&=, 8+,',) 07,5) 3/ 5/3(,=, / 5&+/00&; 5/ (, 7/+=,.
10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN !.- PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS E38/ +&0&&) 7/5/ /<8/5/+3/ ,+, &0(7&+ 7 3&38/4, 5/ ,+807(,3 ,&3(,5) ,5/8+) 5/ 7 /3,0&) 0/++,5) 0)4) 3/ 47/38+, / (, 3&*7&/8/ &*7+,. H&''/(/+@ 21
F ! ! F i
S"!+),& () #*()%&(&! Figura 8
S& 3/ ,(&0, ()3 +&0&&)3 5/ 8+,',) > //+*, , /38, , /38, > 8)5,3 (,3 5/43 ,+807(,3 67/ 0)4)/ /( 3&38/4,@ /8)0/3@ 7/38) 67/ /( 8+,',) > (, //+*, 3) 0,8&5,5/3 /30,(,+/3 /38) 3/+, 0)4) 3&*7/. H&''/(/+@ 21 " # 1 + " U 1−2 =" # 2
E38) 3&*&&0, 67/ (, //+*, 0&8&0, &&0&,( 5/( 3&38/4,@ ,5/43 5/( 8+,',) +/,(&=,5) )+ 8)5,3 (,3 7/+=,3 /<8/+,3 / &8/+,3 67/ ,08?, / /( 3&38/4,@ /3 &*7,( , (, //+*, 0&8&0, &,( 5/( 3&38/4,. H&''/(/+@ 21 S& 7 3&38/4, +/+/3/8, 7) ) 9,+&)3 07/+)3 +*&5)3 / 4)9&4&/8)@ /8)0/3 8)5,3 (,3 ,+807(,3 5/ 0,5, 07/+) /</+&4/8, 7 4&34) 5/3(,=,4&/8). P)+ 0)3&*7&/8/ /( 8+,',) 5/ 8)5,3 (,3 7/+=,3 &8/+,3 8/5+ (7*,+ / ,+/3 0)()&,(/3 &*7,(/3 /+) )7/38)3 > )+ /(() 3/ ,7(,.
11
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN !.1.- TRABAJO DE FRICCION ORIGINADO POR DESLIZAMIENTO S/ /3875&,+, 7, 0(,3/ /3/0&,( 5/ +)'(/4,3 67/ +/67&/+/ 7, 07&5,5)3, ,(&0,0&; 5/ (, 3&*7&/8/ /07,0&; " # 1 + "U 1−2 ="# 2 /38)3 +)'(/4,3 +/3/8, 0,3)3 / ()3 67/ 7 07/+) 3/ 5/3(&=, )+ (, 37/+&0&/ 5/ )8+) 07,5) ,> +&00&;. H&''/(/+@ 21
v
v
P
P s
Figura 9
S& (, 7/+=, ,(&0,5, P ,/,3 ',(,0/, (, 7/+=, 5/ +&00&; +/37(8,8/ ukN ,
P F = uk ∗ N
N Figura 10
E8)0/3@ 5/'&5) ,( /67&(&'+&)@ 3/ 4,8&// 7, 9/()0&5,5 0)38,8/ 4 )+ 0)3&*7&/8/: 1 2
•
1
2
m v + Ps −ukNs = mv
2
2
EJERCICIO EXPLICITO: 7 ,78)4;9&( 5/ 2('@ 9&,, 07/38, 5/',) 5/ (, 0,++/8/+, &0(&,5, 2# , 7, +,&5/= 5/ " &/33@ 3& /( 0)5708)+ ,(&0, ()3 +/)3 > ,0/ 67/
12
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN (,3 +7/5,3 3/ '()67//@ 5/8/+4&/ 67/ 5&38,0&, 3 ,8&, (,3 ((,8,3 / (, 0,++/8/+,. E( 0)/&0&/8/ 5/ +&00&; 0&8&0, /8+/ (,3 ((,8,3 > (, 0,++/8/+, /3 5/
uk =0.5
.
40 pi*s / 2800 (
S
F'
N
0
25
S"#$%&'(: Figura 11
S/ +/37/(9/ )+ 4/5&) 5/( +&0&&) 5/ 8+,',) > //+*, >, 67/ &4(&0, 7/+=,@ 9/()0&5,5 > 5/3(,=,4&/8).
E%$+%&'( .) )$&r&" ("r+# + #+ %+rr)-)r+: " F&=0
N' −2800 () cos25 =0
N' =2537.66 ()
E(-"(%): F'=uk.N'
¿(0.5 )( 2537.66 () )
13
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN ¿ 1268.83 ()
Pr&(%&7&" .) -r++3" 8 )()r9+: # 1 + " U 1 −2 =# 2
1 2
(
2800
32.2 pi*s
2
/s
)
2
( 40 pi*s / s ) + 2800 () ( S . sin 25 )−( 1268.83 ) S =0
69565.21 + 1183.33 S −1268.83 S= 0
S =813.63 pi*s
".- POTENCIA Y EFICIENCIA ".1.- POTENCIA P)8/0&, /3 (, +,=; 0) (, 67/ 3/ //08?, 8+,',). B/5)+5 E38/ 8+4&) &5&0, /( )5/+ /(/*&+ (, 4,67&,+&, ) 4)8)+ &5&0,5) ,+, +/,(&=,+ 7 8+,',) / 0&/+8) 8&/4)@ (, )8/0&, 67/ *//+, 7, 4,67&, ) 4)8)+ 67/ +/,(&=, 7, 0&/+8, 0,8&5,5 5/ 8+,',) dU 5/8+) 5/( &8/+9,() d! /3. H&''/(/+@ 21 P=
dU d!
S& /( 8+,',) dU 3/ /<+/3, 0)4) dU = F . dr /8)0/3 3/ 8&//: P= F . v
L, )8/0&, /3 7 /30,(,+@ 5)5/ V +/+/3/8, (, 9/()0&5,5 5/ (, ,+807(, / (, 07,( ,08?, (, 7/+=, F; (,3 7&5,5/3 78&(&=,5,3 / ()3 3&38/4,3 SI > FPS 3) /( ,88 > /( 0,',(() 7/+=, . H&''/(/+@ 21
14
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN ".2.- EFICIENCIA E&0&/0&, ) /3 43 67/ 7, 4,/+, 5/ /9,(7,+ 0)4(/8,4/8/ (, (7&5/= 5/ (, )8/0&, , 8+,93 5/ 07,(67&/+ 3&38/4,. T)*7/@ 2 E( 8/+4&) /&0&/0&, 67/ 3/ 5/&/ 0)4) (, 0,,0&5,5 5/ 5&3)/+ 5/ ,(*) ,+, 0)3/*7&+ 7 )'/8&9) > /&0&/0&, 4/0&0, 5/ 7, 4,67&, 3/ 5/&/ 0)4) (, +/(,0&; 5/ (, 3,(&5, 5/ )8/0&, ?8&( +)570&5, )+ (, 4,67&, , (, /8+,5, 5/ (, )8/0&, 374&&38+,5, , (, 467&,. H&''/(/+@ 21 +=
po!*&ci' d* s'(id' po!*&ci' d* *&!r'd'
C)4) (,3 4,67&,3 3/ 0)4)/ 5/ 7, 3/+&/ 5/ &/=,3 4;9&(/3@ 3/ 5/3,++)((, 7/+=,3 5/ +&00&; /8+/ /((,3@ ,+, 9/0/+ /38,3 7/+=,3 3/ /0/3&8, //+*, /<8+, ) )8/0&, ,5&0&),@ )+ () 8,8) (, )8/0&, 5/ 3,(&5, /3 4/)+ , (, 5/ /8+,5, 5/ , 67/ (, /&0&/0&, /3 4/)+ 67/ 1. H&''/(/+@ 21 #.- FUERZAS CONSERVADORAS Y ENERGIA POTENCIAL #.1.- FUERZAS CONSERVADORAS
E38,3 3/ ,(&0, 3)() 3& (,3 7/+=,3 67/ +/,(&=, 8+,',) / /( 3&38/4, 3) 0)3/+9,8&9,3 > 373 //+*,3 )8/0&,(/3 3/ 0))0/. B/5)+5 C7,5) /( 8+,',) 5/ 7, 7/+=, 5//5/ 5/ (, )3&0&; &&0&, > &,( 5/ (, 8+,>/08)+&,@ /+) /3 &5//5&/8/ 5/ (, 8+,>/08)+&, /8)0/3 )5/4)3 5/0&+ 67/ /3 7, 7/+=, 0)3/+9,5)+,. H&''/(/+@ 21 E/4()3 5/ /(() 8//4)3: •
E( /3) 5/ 7, ,+807(,
•
(, 7/+=, 5/3,++)((,5, )+ 7 +/3)+8/
15
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN E( 8+,',) 67/ +/,(&=, 7, 7/+=, 5/ +&00&; 5//5/ 5/ (, 8+,>/08)+&,@ 07,8) 43 (,+*, 3/, (, 8+,>/08)+&, 4,>)+ 3/+ /( 8+,',)@ (,3 7/+=,3 5/ +&00&; 3) ) 0)3/+9,5)+,3@ /( 8+,',) 3/ 5&3&, 5/( 07/+) / )+4, 5/ 0,()+. H&''/(/+@ 21 #.2.- ENERGIA E3 (, 0,,0&5,5 5/ +/,(&=,+ 8+,',)@ 3& 7, ,+807(, )+&*&,(4/8/ /38, / +/)3)@ /8)0/3 /( +&0&&) 5/ 8+,',) > //+*, /38,'(/0/ 67/
" U 1−2=# 2
@ (, //+*, 0&8&0, /3 &*7,(
,( 8+,',) 67/ 5/'/ +/,(&=,+3/ / (, ,+807(, ,+, ((/9,+(, 5/ /38,5) 5/ +/)3) ,( /38,5) 5/ 9/()0&5,5@ (, //+*, 0&8&0, /3 7, 4/5&5, 5/ (, 0,,0&5,5 5/ (, ,+807(, 5/ +/,(&=,+ 8+,',). H&''/(/+@ 21 L, //+*, )8/0&,( /3 7, 4/5&5, 5/ (, 0,8&5,5 5/ 8+,',) 67/ 7, 7/+=, 0)3/+9,5)+, +/,(&=,+, 07,5) 3/ 47/9/ 5/ 7, )3&0&; 5,5, ,( (,) 5/ +//+/0&,. H&''/(/+@ 21 #.!.- ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL L, *+,9/5,5 /3 7, 7/+=, 67/ 3/ //+0/ 3)'+/ ()3 07/+)3 +;<&4)3 , (, 37/+&0&/@ 7/5/ 0)3&5/+,+3/ 0)38,8/. R&(/>@ 2# L, //+*, )8/0&,( *+,9&8,8)+&, /3 (, //+*, ,3)0&,5, 0) (, 7/+=, *+,9&8,8)+&,. E38, 5//5/+ 5/ (, ,(87+, +/(,8&9, 5/ 7 )'/8) , ,(*? 78) 5/ +//+/0&,@ (, 4,3,@ > (, 7/+=, 5/ (, *+,9/5,5. H&''/(/+@ 21 S& 7, ,+807(, 3/ /07/8+, , 7, 5&38,0&, > )+ /0&4, 5/ 7 (,) 5/ +//+/0&, ,+'&8+,+&,4/8/ 3/(/00&),5)@ 0)4) 3/ 47/38+, / (, 3&*7&/8/ &*7+,. H&''/(/+@ 21
E%)*-& /+)%#"&' -*&"+"%&'
g =+ w∗ y W
g =0 W
16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN g =−w∗ y W Figura 12
E( /3) 5/ (, ,+807(, W 67/ 3/ 47/38+, / (, &*7+,@ 8&// 7, //+*, )8/0&,( *+,9&8,0&),( )3&8&9, . g , 7/38) 67/ W 8&// (, 0,,0&5,5 5/ +/,(&=,+ 8+,',) )3&8&9) 07,5) (, ,+807(, +/*+/3, ,( (,) 5/ +//+/0&,. H&''/(/+@ 21 . g =Wy
#.".- ENERGIA POTENCIAL ELASTICA C7,5) 3/ ,(,+*, ) 0)4+&4/ 7 +/3)+8/ /(38&0) 7, 5&38,0&, 5/8/+4&,5,
s
, ,+8&+ 5/
37 )3&0&; &&0&,(@ / /( +/3)+8/ 7/5/ ,(4,0/,+3/ //+*, )8/0&,( /(38&0,@ /38, //+*, /(38&0, /3. H&''/(/+@ 21
* =
+1 2
ks
2
k
P!"#"$% % * =0
+S
k
, * =
k
−S 17
+1 2
ks
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN * =
+1 2
ks
2
Figura 13
#.#.- FUNCION POTENCIAL S& 3/ 8&// 7, ,+807(, > (, 3)4/8&4)3 8,8) , 7/+=,3 *+,9&8,0&),(/3 0)4) /(38&0,3@ (, //+*, )8/0&,( 5/ (, ,+807(, 3/ /<+/3, 0)4) 7, 70&;@ (, 07,( /3 (, 374, ,(*/'+,&0,. H&''/(/+@ 21 =g + *
W
L, 70&; )8/0&,( 5/ 7, ,+807(, 5/ /3)
373/5&5, 5/ 7 +/3)+8/ 7/5/
/<+/3,+3/ / 70&; 5/ 37 )3&0&;@ 3@ 4/5&5, 0) +/3/08) , 7 (,) 5/ +//+/0&, ()0,(&=,5) / (, ()*&875 &&0&,( 5/( +/3)+8/. H&''/(/+@ 21
P'&% *))*)%#"& s
Figura 14
=g + *
18
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN 1
=−Ws + K S
2
2
s1
, 7, )3&0&; 43 ',, &,(
U 1−2= 1 − 2
3/ 9/ 67/ /( 8+,',) 5/ W >
S& (, ,+807(, 3/ 47/9/ 5/ 7, )3&0&; &&0&,( s2
@ /8)0/3 ,( ,(&0,+ (, /07,0&;
F s
. E3. H&''/(/+@ 21
(
U 1−2= 1 − 2 = Ws 1+
1 2
2
k s1
)
1
−( Ws 2 + k s 22 ) 2
1
1
2
2
¿ W ( s 2 −s 1 )−( k s 22 − k s 21)
$.- CONSERVACION DE LA ENERGIA E 470)3 +)'(/4,3 (,3 7/+=,3 5/ +)=,4&/8) +/37(8, 5/3+/0&,'(/3@ > (,3 ?&0,3 7/+=,3 6 ,08?, 3) (,3 5/ +/3)+8/ > (, *+,9&8,8)+&,. L, 0)3/+9,0&; 5/ (, //+*, ) 0)38&87>/ 7 +&0&&) 7/9). R&(/>@ 2# S& 3/ 8&// 7, ,+807(, > /38, ,08?, / 7 3&38/4, 8,8) 5/ 7/+=,3 0)3/+9,5)+,3 0)4) ) 0)3/+9,5)+,3@ /( 8+,',) 67/ +/,(&=, (,3 7/+=,3 0)3/+9,5)+,3 7/5/ /30+&'&+3/ / 70&; 5/ (, 5&/+/0&, 5/ 373 //+*,3 )8/0&,(/3@ /( +&0&&) 5/ 8+,',) > //+*, 3/ /30+&'/ 0)4) 3&*7/. H&''/(/+@ 21 # 1 + , 1+ ( " U 1 − 2 ) &oco&s!. =# 2 + , 2
D)5/
( " - 1 −2 ) &oco&s +/+/3/8, /( 8+,',) 5/ (,3 7/+=,3 ) 0)3/+9,5)+,3 67/
,08?, / (, ,+807(,. S& 3)() (,3 7/+=,3 0)3/+9,5)+,3 +/,(&=, 8+,',) /8)0/3 8//4)3: # 1 + 1=# 2 + 2
19
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN $.1.- SISTEMA DE PARTICULAS S& 3/ 8&// 7 3&38/4, 5/ ,+807(,3 > /38, /3 3)4/8&5, 3)() , 7/+=,3 0)3/+9,5)+,3@ /8)0/3 )5/4)3 5/0&+ () 3&*7&/8/. H&''/(/+@ 21 " # 1 + " 1 =" # 2 + " 2
L, 374, 5/ (,3 //+*,3 0&8&0, > )8/0&,( &&0&,(/3 5/( 3&38/4, /3 &*7,( , (, 374, 5/ (,3 //+*,3 0&8&0, > )8/0&,( &,(/3 5/( 3&38/4,.
%.- EJERCICIOS RESUELTOS:
1; L, 4,3, 5/ ()3 '()67/3 A >
B
67/ 3/ 47/38+, / (, &*7+, /3 5/ 1 * > 1 *@
+/3/08&9,4/8/. D/8/+4&/ (, 5&38,0&, 67/
B
3/ 5/3(,=, 07,5) 3/ 37/(8, 5/35/
P*"%#"/" () +*&& )%)*-&
/( 78) 5/ +/)3) ,38, /( 78) 5)5/ 37 +,&5/= /3 5/ 2 43. {∑ # }+{∑ U − }= {∑ # } 1
{
1 2
1
2
2
}
{
∗m ∗( v ) + 1 ∗m /∗( v / ) + { W ∗∆S + W /∗ ∆S / }= 1 ∗m ∗( v ) + 1 ∗m/∗ 2
2
1
1
2
{
2 2
2
{ 0 +0 }+ { 98.1∗∆S + 981∗ ∆S / } = 1 ∗10∗( v ) + 1 ∗100∗2 2 2
2
2
2
}
C"%),+"#& s + 4∗s / =(
Figura 15
s =−4∗s / 0 v =− 4∗v /=−4 (2 ) =−8 m / s
20 R),/'&&%(
{
{ 0 +0 }+ { 98.1∗(−4∗s /)+ 981∗∆ S/ }= 1 ∗10∗(−8 ) + 1 ∗100∗2 2
2
2
2
2
}
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
2; L, ()*&875 ) ,(,+*,5, 5/( +/3)+8/ 5/ (, &38)(, 5/ 7*7/8/ /3 5/ 1 44@ 3/ 0)4+&4/ > '()67/, / (, )3&0&; 4)38+,5,. C7,5) 3/ 8&+, 5/( *,8&(()@ /( +/3)+8/ 3/ 5/30)4+&4/ 12.# 44 > (, ')(, 5/ 2 * 3/ 47/9/ , () (,+*) 5/( 0,Q; 5/ (, &38)(,. D/8/+4&/ (, +,&5/= 5/ (, ')(, 07,5) 3,(/ 5/ (, &38)(,. I*)+/ (, +&00&;.
0.02:9.81;
21
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
F sp
P*"%#"/" () +*&& )%)*-& Figura 16
{∑ # }+ {∑ U − }= {∑ # } 1
{
1
2
2
}{
{ 0 } + 1 ∗k ∗s + 1 ∗k ∗s = 1 ∗ m ∗v
0
[
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
} 2
]
1
2
+ ∗2000∗0.05 − ∗2000∗0.0375 = ∗0.02∗v 2
2
2
<; E( /(/9,5)+ 5/ # * 0)4&/=, , 37'&+ 5/35/ /( 78) 5/ +/)3) > 9&,, ,0&, ,++&', 0) 7, ,0/(/+,0&; 0)38,8/
'c = 2 m / s
2
. D/8/+4&/ (, )8/0&, 5/ 3,(&5, 5/(
4)8)+ M 07,5) 8! 3. I*)+/ (, 4,3, 5/ (,3 )(/,3 > /( 0,'(/.
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
T
T T
500:9.8 S S
Figura 17
∑ F =m∗' y
y
0 3 # −500 ( 9.81 )=500 ( 2 )
# =1968.33 N
C"%),+"#& 3 S +
− S P=(
3 v +
= v p
! = 3 s
P1=1968.33∗18
0 v f =v 0 + ' c∗!
P1=35.4 KW
v += 0 + 2 ( 3 )=6
m s
=; C,5, 7, 5/ (,3 5)3 ',5,3 /(38&0,3 5/ (, +/3)+8/+, 8&// 7, ()*&875 ) ,(,+*,5, 5/
200 mm
. S& 3/ ,(, ,0&, ,8+3 ,38, (, )3&0&; 4)38+,5, > 3/ 37/(8, 5/(
78) 5/ +/)3)@ 5/8/+4&/ (, +,&5/= 5/ (, )38, 5/ 2# * 738) 5/373 5/ 67/ (,3 ',5,3 +/*+/3, , 37 ()*&875 ) ,(,+*,5,. I*)+/ (, 4,3, 5/ (,3 ',5,3 /(38&0,3. L, +&*&5/= k 5/ 0,5, 7, 5/ (,3 ',5,3 /3 5/ # N4.
23
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
C%!)*"$% () '& )%)*-&
{ # }+ { }= {# } +{ } 1
0
+
1
∗
2 1 2
2
2
∗50∗[ √ 0.05 +0.240 − 0.2 ] = ∗0.025∗v 2
2
2
1
2
v =2.86 m / s
5; L, (,8,)+4, P, 67/ 3/ 47/38+, / (, &*7+,@ 8&// 4,3, 5/3+/0&,'(/ > /38 37/8, 5/ 4)5) 67/ (,3 07/+5,3 5/ . 4 5/ ()*&875 4,8&// 0)4+&4&5) /( +/3)+8/ .$ 4 07,5) (, (,8,)+4,
está vacía.
S& 3/ 0)()0, 7 '()67/ 5/ " * / (, (,8,)+4, >
3/ 37/(8, 5/( +/)3) 5/373 5/ ,'/+(, /47,5) .2 4 ,0&, ,',)@ 0,(07(/ (, ,(87+, 4<&4, h, 4/5&5, 5/35/ /( 37/()@ 67/ ,(0,=, /( '()67/ / /( ,&+/. s 1=0.6 + 0.3=0.9 m s 2=0.6 m 2 =0.8−0.3 =0.5 m
0.3 , > / PRINCIPO DE TRA
{∑ } { ∑ 1 2
2
} {∑ }
k = N ∗ 1 300 1m 2 1 2 2 k s 2− k s 1 −W ∆ y = ∗m∗v 2
{[
∗m∗v + − 1
2
2
]
2
6; E( /4',(,/@ 07>, 4,3, /3 5/ # *@ 3/ 3)4/8/ , (, ,00&; 5/ (,3 5)3 7/+=,3. S& )+&*&,(4/8/ /38 / +/)3)@ 5/8/+4&/ (, 5&38,0&, 67/ 3/ 5/3(&=, ,+, ,(0,=,+ 7, +,&5/= 5/ $ 43. E( 0)/&0&/8/ 5/ +&00&; 0&8&0, /8+/ /( /4',(,/ > (, 37/+&0&/ /3 uk = 0,3 1200
900 N
900 N 24
50:9.8
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN 5
3
1200 45 45 ?5 3 ?4
4
F r =0.3∗ N
N
F r =0.3∗ N = 0.3∗ N
∑ F =m ' N +1200 y
y
( )− 3
−50 ( 9.81 ) =50 ( 0 )
∗
900 sin 45
5
N = 406.89 N
{∑ # }+{∑ U − }= {∑ # } 1
0
1
2
2
−900 cos 45∗s−1200
>; E( 4)8)+
M
4
1
∗s + 122.067 ∗ s= ∗50∗6
2
(/9,8, /( /4',(,/ 5/ # *. S& /(
/4',(,/ 0)4&/=, , 4)9/+3/ 5/35/ /( 78) 5/ +/)3) > 0) 7, ,0/(/+,0&; 0)38,8/ ,(0,=, 7, +,&5/= 5/ 1 43 5/373 5/ ,(=,+3/
s=7
4@
5/8/+4&/ (, )8/0&, 67/ 5/'/ 374&&38+,+3/ ,( 4)8)+ / /( &38,8/ s 1# &/3. L, /&0&/0&, 5/( 4)8)+ /3 E ..
T
I*)+/ (, 4,3, 5/ (, )(/, > /( 0,'(/ .
T s p sc
&
25
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
50 K-
∑ F =m '
y 2
y
2
# −50 = 50 '
2
v f = v o + 2 'c ( s −s o ) 2
10
=0 + 2 ' c ( 15−0 ) 2
' =3.33 m / s
RE@PLAZANDO EN LA PRI@ERA ECUACION TENE@OS # =108.25 N
CINE@ATICA s c + ( s c − s p ) =( 2 v c = v p=2 ( 10 ) =20 m / s
po=108.25 ∗20= 2165 pi=
2165 0.90
=2405.55 kg∗m / s
pi= 4.36 2p
EJERCICOS PROPUESTOS: 1. 3& /( 4)8)+ //+0/ 7, 7/+=, 0)38,8/ 5/ #M / /( 0,'(/. D/8/+4&/ (, +,&5/= 5/( /4',(,/ 5/ 2* 07,5) +/0)++/
s =20 m
,0&, ,++&', 5/( (,)@ , ,+8&+ 5/(
78) 5/ +/)3)@ /( 0)/&0&/8/ 5/ +&00&; 0&8&0, /8+/ /( /4',(,/ > /( (,) /3 @
uk =0.3
26
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
S =20 m
0
30
Figura 18
2. S& /( /4',(,/ 5/
75 kg
,+8/ 5/( 78) 5/ +/)3) / A@ 5/8/+4&/ 37 +,&5/=
07,5) ((/*7/ ,( 78) B@ /( 0,'(/ 3/ 3)4/8/ , 7, 7/+=, 0)38,8/
F = 300 N .
&*)+/ (, +&00&; > /( 8,4,Q) 5/ (, )(/,. !. 3& /( 4)8)+ 5/ 7 ,78)4;9&( 5/
1.5 mg
*//+, 7, )8/0&, 0)38,8/ 5/
15 kw
@
5/8/+4&/ (, +,&5/= 5/( ,78)4;9&( 5/373 5/ ,'/+ +/0)++&5) 7, 5&38,0&, 5/ 200 m
/ 7, 0,++/8/+, (,, , ,+8&+ 5/( 78) 5/ +/)3)@ &*)+/ (, +&00&;.
". E( '()67/ 5/ $(' 3/ 37/(8, 5/( 78) 5/ +/)3) / A > 3/ 5/3(&=, ,0&, 5/',) 5/ (, 37/+&0&/ ,+,';(&0, (&3,. D/8/+4&/ (, 0)4+/3&; 4<&4, 5/( +/3)+8/.
A 27
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN 2 pi*s
- =1 / 2.
2 pi*s
K =5 () / pu(g
B Figura 19
600 Mg
#.- L, 467&, 5&3/( 5/ 7 8+/ 5/
&0+/4/8, 37 9/()0&5,5 5/ 4,/+,
100 s
7&)+4/ , ,+8&+ 5/( 78) 5/ +/)3) ,
, () (,+*) 5/ 7, 9, )+&=)8,(.
D/8/+4&/ (, )8/0&, +)4/5&) 5/3,++)((,5,. $.- D/8/+4&/ (, )8/0&, 5/ /8+,5, 5/ 7 4)8)+ /0/3,+&, ,+, (/9,8,+ 5 pi*s
7, +,=; 0)38,8/ 5/
%.- U 0,4&; 0,+*,5) /3, 0,++/8/+, (,, 5/35/
,
/ s @ (, /&0&/0&, 5/( 4)8)+ /3 += 0.65 . 16 ( 10 ) ()
15 pi*s / s
+&00&; ,( 4)9&4&/8) /3 5/
3500 ()
3
,38, 345 ()
> ,0/(/+, 5/ 4,/+, 7&)+4/ 3)'+/ 7, 30 pi*s / s
57+,8/ "3. S& (, +/3&38/0&, )+
@ 5/8/+4&/ (, )8/0&, 4<&4, 67/ 5/3/,
374&&38+,+(/ , (,3 +7/5,3. .- /( '()67/ A 5/
20 kg
3/ 37/(8, 5/( 78) 5/ +/)3) > 3/ 5/3(&=, ,0&, ,',) 5/(
(,) (&3). D/8/+4&/ (, 0)4+/3&;
< 5/( +/3)+8/ 07,5) /( '()67/ 3/ 5/8&//
4)4/8/,4/8/.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
A 10 m
3
K =5 KN / M
0
30
Figura 20
.- (, 8+,34&3&; &5+7(&0, 5/ 7 0,4&; 5/
50000 ()
/+4&8/ 67/ /( 4)8)+ 374&&38+/
7, )8/0&, , (,3 +7/5,3 8+,3/+,3. D/8/+4&/ (, 5&38,0&, +/67/+&5, ,+, 67/ /( 0,4&; 67/ 9&,, )+ 7, 0,++/8/+, (,, &0+/4/8/ 5/ 100 2p
40 pi*s / s ' 70 pi*s / s
3& 3/ 374&&38+,
, (,3 +7/5,3 8+,3/+,3. I*)+/ (, +/3&38/0&, ,( ,9,0/ > ,( +)5,4&/8)
1.- 7, /67/Q, 0,, 5/ 4,3,
m
3/ &4+&4/ 7, +,&5/= 5/ v =
√
1 4
gr
/ (, ,+8/
37/+&)+ 5/( 3/4&0&(&5+) (&3). D/8/+4&/ /( A*7() ,( 07,( ,( 07,( (, 0,, 3/ 3/,+, 5/( 0&(&5+).
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
RECOMENDACIONES E38/ 8+,',) /38 +/(,0&),5) 0) 7/38+, 0,++/+, +)/3&),( > /38 5&+&*&5) , (,3 /+3),3 &8/+/3,5,3 / 3,'/+ 3)'+/ 0&/48&0, 5/ 7, ,+807(,. R/0)4/5,4)3 , (,3 /+3),3 6 /38 &8/+/3,5,3 / ,+/5/+ /38/ 8/4, >, 67/ /3 47> &4)+8,8/ ,+, +/3)(9/+ +)'(/4,3 +/(,0&),5)3 , (, 0,++/+,. T,4'& /3 +/0)4/5,5) /38/ 8+,',) , (,3 /+3),3 67/ /38 /3875&,5) 8/4,3 +/(,0&),5)3 >, 67/ (/3 7/5/ 3/+ 5/ 470, &4)+8,0&, / ()3 /3875&)3 > / (, 9&5, 0)8&5&,,.
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