UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES.
ASIGNATURA Sistemas De Control I
CARRERA INGENIERIA EN COMPUTACION
Monografía Final Integrantes:
Bustos, Maximiliano. Gleria, Martin. Docente Clases Teóricas:
Ing. AGÜERO, Adrián C. Docente Clases Prácticas:
Ing. BAUMGARTNER, ose!
AÑO LECTIVO: 2013 Segundo Cuatrimestre
Resume men: "e #uiere $ontrolar la tem%eratura de un "&it$' 'a$iendo (ariar las R)M de un (entilador %ro%or$ionalmente %ro%or$ionalmente a la (aria$i*n de tem%eratura del ga+inete, utiliando tam+i-n %ara este n un disi%ador de $alor. $alor. /a tem%eratura de tra+a0o %retende ser de 123C, 4 su l5mite su%erior es de 623C, 4a #ue los $om%onentes ele$tr*ni$os so%ortan a%roximadamente a%roximadamente 723C 8seg9n 'o0a de datos:, ra*n %or la $ual nos tomamos un margen de ;23C %or seguridad. I nt r oducci ón El %ro+lema $onsiste en el $ontrol de tem%eratura del ga+inete de un "&it$', lo $ual se 'ar5a regulando automáti$amente la (elo$idad de giro de un cooler 4 4 $on0untamente $on la a$$i*n de un disipador . Con el o+0eto de mantener la tem%eratura $onstante o le0os de tem%eraturas $r5ti$as #ue %ueden da
u0o de aire #ue en a$$i*n $on0unta $on el disi%ador, regulan la tem%eratura del ga+inete del "&it$'.
Consi der aci ones: "e eligi* $omo sensor un /M?@, $u4a 'o0a de datos se ° en$uentra ad0unta al %resente in!orme. El sensor registra la tem%eratura del e#ui%o en !orma de un (olta0e anal*gi$o. El (alor entregado %or el sensor (ar5a linealmente o+ede$iendo ° la rela$i*n ;2m3C. /a (elo$idad máxima del motor del $ooler es @622 R)M este ° dato !ue o+tenido tras analiar el modelo de motor #ue o!re$e el li+ro D"istemas =e Control Automáti$o, uoF uoF 4 (ali-ndonos tam+i-n de tra+a0os anteriores %udimos esta+le$er un modelo sim%li$ado del mismo. Tanto la salida $omo la entrada entrada del sistema son tem%eraturas, tem%eraturas, ° Tanto %ero internamente se tra+a0an $omo (olta0es. "e simula el ingreso de la tem%eratura a$tual dentro del ° ga+inete, siendo esta de 23C.
Resume men: "e #uiere $ontrolar la tem%eratura de un "&it$' 'a$iendo (ariar las R)M de un (entilador %ro%or$ionalmente %ro%or$ionalmente a la (aria$i*n de tem%eratura del ga+inete, utiliando tam+i-n %ara este n un disi%ador de $alor. $alor. /a tem%eratura de tra+a0o %retende ser de 123C, 4 su l5mite su%erior es de 623C, 4a #ue los $om%onentes ele$tr*ni$os so%ortan a%roximadamente a%roximadamente 723C 8seg9n 'o0a de datos:, ra*n %or la $ual nos tomamos un margen de ;23C %or seguridad. I nt r oducci ón El %ro+lema $onsiste en el $ontrol de tem%eratura del ga+inete de un "&it$', lo $ual se 'ar5a regulando automáti$amente la (elo$idad de giro de un cooler 4 4 $on0untamente $on la a$$i*n de un disipador . Con el o+0eto de mantener la tem%eratura $onstante o le0os de tem%eraturas $r5ti$as #ue %ueden dau0o de aire #ue en a$$i*n $on0unta $on el disi%ador, regulan la tem%eratura del ga+inete del "&it$'.
Consi der aci ones: "e eligi* $omo sensor un /M?@, $u4a 'o0a de datos se ° en$uentra ad0unta al %resente in!orme. El sensor registra la tem%eratura del e#ui%o en !orma de un (olta0e anal*gi$o. El (alor entregado %or el sensor (ar5a linealmente o+ede$iendo ° la rela$i*n ;2m3C. /a (elo$idad máxima del motor del $ooler es @622 R)M este ° dato !ue o+tenido tras analiar el modelo de motor #ue o!re$e el li+ro D"istemas =e Control Automáti$o, uoF uoF 4 (ali-ndonos tam+i-n de tra+a0os anteriores %udimos esta+le$er un modelo sim%li$ado del mismo. Tanto la salida $omo la entrada entrada del sistema son tem%eraturas, tem%eraturas, ° Tanto %ero internamente se tra+a0an $omo (olta0es. "e simula el ingreso de la tem%eratura a$tual dentro del ° ga+inete, siendo esta de 23C.
Model oi ni ci al
Entrada: Una se
tem%eratura de re!eren$ia re!eren$ia a la $ual el dis%ositi(o en $uesti*n %uede o%erar de manera $*moda 4 sin $om%li$a$iones. En nuestro modelo re%resenta re%resenta una tem%eratura de 123C. Adaptador (1 y 2): Es una $onstante #ue %ermite trans!ormar
grados en (oltios %ara #ue el sistema internamente tra+a0e de esta !orma. =e esta manera #uedan a0ustadas las res%e$ti(as es$alas utiliando el (alor de re!eren$ia de 123C. CoolerH El dis%ositi(o elegido !ue Brushless Flat DC-Micromotors Serie 2610 012B de la mar$a AU/JABER 8'o0a de datos ad0untada:.
)resenta )resenta un (olta0e nominal de ;K, %ara el $ual mediante un modelo de motor o+tenido del li+ro de Sistemas de Control Automático, Kuo, 4 la re!eren$ia de otros tra+a0os 'emos determinado #ue o%erando a ;K el $ooler es $a%a de girar a @622R)M, $on un tiem%o de esta+le$imiento %ara llegar al ?L de ? segundos. Sensor: amos a utiliar $omo re!eren$ia el
sensor /M?@, el $ual tiene un rango de tra+a0o de 1 a ?2, %rodu$iendo $omo salida ;2m3C $ontando desde los 23C seg9n la $ongura$i*n utiliada. Este sensor medirá la tem%eratura del ga+inete del "&it$'. "i la tem%eratura es 623C %resenta $omo salida 2.6 8622m:, $on un tiem%o de esta+le$imiento %ara llegar al ?L de ? segundos, seg9n la siguiente gura de la 'o0a de datosH
Disipador: /a !un$i*n de trans!eren$ia de la disi%a$i*n de $alor es la
siguienteH 90 5800 Disip ( s ) = 2 s+1
En donde 723C es la tem%eratura máxima #ue el sistema es $a%a de disi%ar a una (elo$idad angular del $ooler máxima de @622R)M. Este +lo#ue es una sim%li$a$i*n de dos +lo#ues #ue $onsideran el >u0o máximo de $alor5as #ue el sistema es $a%a de disi%ar a una (elo$idad angular de $ooler máxima 4, en segundo lugar, la tem%eratura máxima #ue es %osi+le disi%ar %ara ese >u0o. Temperatra e!terna: Este +lo#ue %retende simular el $alor
%resente en el ga+inete del "&it$', el $ual $onstantemente 'a$e tra+a0ar el sistema de re!rigera$i*n. Ca+e a$larar #ue en nuestro modelo este as%e$to se en$uentra sim%li$ado, lo modelamos $omo una $onstante, $uando se sa+e #ue es +astante más $om%le0o #ue eso. )ero a n de $uentas es un (alor #ue se a
En +ase a lo ex%uesto 'asta a#u5, se $on!e$$ionaron las res%e$ti(as !un$iones de trans!eren$ias de $ada +lo#ue ex%li$ado, #uedando $omo se muestran a $ontinua$i*n.
Model oconl asf unci onesdet r ansf er enci a
/as !un$iones de trans!eren$ia de $ada uno de los $om%onentes sonH =isi%adorH
CoolerH
90 5800 Disip ( s ) = 2 s +1
5800 12 Cooler ( s ) = 3 s+ 1
"ensorH
0.4 40 Sens ( s ) = 3 s+ 1
Ada%tador ;H
Adap 1 ( s )=
6.4 40
Ada%tador KH
Adap 2 ( s )=
6.4 0.4
Funci óndet r ansf er enci aaLazoAbi er t o "e llega a la !un$i*n de trans!eren$ia de lao a+ierto 8/A: %or alge+ra de diagrama de +lo#ues, o+teniendo la siguiente e$ua$i*nH LA =
0.192 3
18 s
+ 21 s 2+ 8 s + 1
Ex%resada en !un$i*n de $eros, %olos 4 ganan$ia 8):H LA =
0.010667
( s + 0.5 )( s + 0.33 )2 POLOS
p1 2.@ p2 2.?? p3 2,??
No existen $eros en la !un$i*n de trans!eren$ia a lao a+ierto.
Funci ón det r ansf er enci aaLazoCer r ado /a !un$i*n de trans!eren$ia de lao $errado 8/C: mediante diagramas de +lo#ue, se o+tiene de a%li$arH C ( s ) G ( s) = LC = R ( s ) 1 + G ( s ) H ( s )
+ 25.2 s 2+ 9.6 s + 1.2 LC = 5 4 3 2 108 s + 216 s + 171 s + 68.15 s + 13.96 s + 1.192
3
21.6 s
Ex%resada en !un$i*n de $eros, %olos 4 ganan$ia 8):H
LC =
0.2 ( s + 0.3333 )
( s + 0.6252 )( s 2+ 0.5415 s + 0.1059)
Cu4o diagrama de $eros 4 %olos en el %lano s esH
/os $eros 4 %olos se resumen en la siguiente ta+laH
CEROS c1 2.? ?
POLOS p1 2.K@K 2.KP2.; 6i p3 2.K 2.;6i p2
Regla de MasonH En un intento de (eri$ar las !un$iones de trans!eren$ia o+tenidas mediante alge+ra de diagramas, se %ro$ede a a%li$ar la regla de Mason en el a!án de llegar a resultados e#ui(alentes.
A $ontinua$i*n re%resentaremos el sistema $on nodos 4 tra4e$toriasH
)ro$edemos as5 a realiar la Regla de Mason, mediante la siguiente N
∑= M Δ
!*rmulaH M = k
k
K
1
Δ
"iendo N el n9mero total de $aminos dire$tos, MQ ganan$ia de la ruta dire$ta Q 4 S ; ganan$ia de los laos indi(iduales P ganan$ia de los %rodu$tos de todas las $om+ina$iones %osi+les de dos laos #ue no se to#uenV W %or 9ltimo S $on todos los laos #ue to$an la ruta dire$ta DQF igual a $ero. Enton$es NS; el 9ni$o $amino dire$to es a+$de 4 el 9ni$o lao es +$d+. )or lo tanto los t-rminos sonH
M 1=
6.4 ∗483.33 40 ∗0.01552 3 s +1 1.2 = 2 2 s+ 1 6 s +5 s+ 1
/uego $al$ulamos la ganan$ia de los laos sim%lesH
L1=
6.4 ∗483.33 0.40 ∗0.015 3 s +1 ∗(−1 )∗0.01 −1.2 2 s+ 1 = 3 2 3 s+ 1 18 s + 21 s + 8 s + 1
El ∆1 #ueda unitario de+ido a #ue #uitamos todos los laos ad0untos a M;. )or 9ltimo el determinante grá$o ser5aH + 21 s2 + 8 s + 2.2 ∆ =1− L1= 3 18 s + 21+ 8 s + 1 18 s
3
Xuedando as5 !ormada la e$ua$i*n de MasonH 1.2 3 2 +5 s+ 1 21.6 s + 25.2 s + 9.6 s + 1.2 = = M = 3 2 5 4 3 2 ∆ 18 s + 21 s + 8 s + 2.2 108 s + 216 s + 171 s + 74.2 s + 19 s + 2.2 3 2 18 s + 21 s + 8 s + 1
M 1 ∆ 1
6s
2
Xuedando seme0ante a la misma !un$i*n de trans!eren$ia $al$ulada mediante álge+ra de +lo#ues %ara lao $errado, solo #ue diere en algunos t-rminos %or redondeo en los $ál$ulos.
Error en r-gimen %ermanente Con el %ro%*sito de analiar los di!erentes $om%ortamientos del sistema mediante las di!erentes se
1 1 + G∗ H
/uego $al$ulamos k p 8$onstante de error de %osi$i*n: mediante la !*rmulaH k p =lim G ( s )∗ H (s )= 1,2 s →0
/uego el error en r-gimen %ermanente esH ε ss=
1 1 + k p
=
1 =0,45 1 + 1,2
El $ual indi$a una di!eren$ia relati(a del 1@L entre el (alor de la se
a%roximadamente KK3.
/a !orma de tratar este ti%o de error en un sistema alimentado $on un entrada es$al*n, es agregando un %olo al origen, $on(irtiendo el sistema en uno de ti%o ;, es de$ir, agregar un integrador
k s
a la
!un$i*n de trans!eren$ia. )ara en$ontrar los (alores de ganan$ia Q $on los #ue se %uede tra+a0ar en el sistema sin #ue este se (uel(a inesta+le, a%li$amos el $riterio de Rout'Jur&it, en la siguiente se$$i*n. A modo de análisis, agregamos a las imágenes ante las entradas de ram%a 4 %ará+olaH
"i o+ser(amos la !un$i*n a lao a+ierto notamos #ue no tiene ning9n %olo al origen %or lo tanto el sistema es de TIP" # 8sin el integrador:. Teniendo en $uenta #ue %ara este ti%o de sistemasH G ( s ) H ( s ) s ∗ ¿ s→0
¿
k v = lim
¿
G ( s ) H ( s ) 2 s ∗ ¿ s →0
¿
k a= lim
/uego el error, $al$ulado $omo
R ( s ) K
¿
siendo R8s: la entrada ram%a
o %ará+ola 4 la res%e$ti(a $onstante de error se $el$e in%nito, %ara estas dos entradas.
Criterio de Rout'Jur&it /a e$ua$i*n $ara$ter5sti$a, luego de agregar el integrador esH 1+
k ∗G ( s ) H ( s )=0 s
+ 21 s3 + 8 s2 + s + 1,2 k =0 4 3 2 18 s + 21 s + 8 s + s
18 s
18 s
4
4
+ 21 s 3 + 8 s 2+ s + 1,2 k =0
Analiaremos %ara #ue (alores de Q el sistema se $om%ortará de manera esta+le mediante el $riterio de Rout'Jur&it, %ara la $ual utiliaremos la e$ua$i*n $ara$ter5sti$a denida arri+a. S
1'
'
12
K;
;
2
,;1
;,KQ
2
2
2
2
2
&
S *
S 2
S
1−3,53 k
1
S
;,KQ
#
Enton$es analiamos el resultado de β 1 (emos #ueH β 1=1−3,53 k > 0
Este resultado de+erá ser ma4or #ue $ero %ara #ue no signi#ue un $am+io de signo en la e$ua$i*n 4 no 'aga el sistema inesta+le. /uegoH 1 > 3,53 k
k <
1 =0,283 3,53
)or otro lado examinando el (alor de ;.KQ, $on$luimos #ue Q de+erá ser ma4or a $ero, %or el mismo moti(o men$ionado antes. Enton$esH 1,2 k > 0
)or 9ltimo el inter(alo de Q %ara #ue nuestro sistema sea esta+le esH 0 < k < 0,283
Enton$es, el $om%ensador #ue elegimos %ara eliminar el error, manteniendo el estado esta+le del sistema de $ontrol esH k 0.1 Ine!rador= = s s
/o #ue de0a a nuestro sistema $omo se muestra a $ontinua$i*nH
)rodu$iendo una salida donde se o+ser(a la notoria $orre$$i*n del error en r-gimen %ermanente tras 'a+er agregado el integrador res%e$ti(o.
)olos dominantes )ara sa+er $uáles son los %olos dominantes del sistema (amos a o+ser(ar nue(amente las %osi$iones de los mismosH
/os %olos $on su %arte real más $er$ana al e0e imaginario tienen unos residuos ma4ores e in>uirán más a la res%uesta del sistema, a estos %olos los denominamos polos dominantes. Esto es de+ido a #ue $uanto más $er$a del e0e "ω est- la %arte real de un %olo, mas in>uirá este en la en la res%uesta transitoria del sistema, (ol(i-ndolo más lento %or el $ontrario, mientras más se ale0an los %olos del e0e imaginario en el semi%lano i#uierdo de s, menos %eso tienen so+re la res%uesta transitoria, 4 seg9n algunos autores, si su%eran en ;2 (e$es la magnitud de la %arte real de los %olos dominantes, estos %olos %ueden $onsiderarse insigni$antes en $uanto a la res%uesta transitoria se reere. Cuando se %retende me0orar la (elo$idad de esta+le$imiento de un sistema, el análisis de los %olos dominantes %uede ser una 'erramienta mu4 9til. En nuestro $aso el %olo dominante es el #ue agrega el integrador %ara disminuir el error de r-gimen %ermanente, %rodu$iendo as5 un nue(o lugar de ra5$esH
#u$ar de ra%ces sin inte$rador
#u$ar de ra%ces con inte$rador
/ugar de Ra5$es En teor5a de $ontrol, el lugar de ra5$es 8del ingl-s root locus: es el lugar geom-tri$o de los %olos 4 $eros de una !un$i*n de trans!eren$ia a medida #ue se (ar5a la ganan$ia del sistema en un determinado inter(alo. El m-todo del lugar de ra5$es %ermite determinar la %osi$i*n de los %olos de la !un$i*n de trans!eren$ia a lao $errado %ara un determinado (alor de ganan$ia a %artir de la !un$i*n de trans!eren$ia a lao a+ierto esto $onstitu4e una 'erramienta mu4 9til %ara analiar la esta+ilidad de sistemas dinámi$os, (ali-ndonos del 'e$'o #ue un sistema es esta+le si todos sus %olos se en$uentran en el semi%lano i#uierdo del %lano s. El lugar de ra5$es %ara nuestro sistema es el siguienteH
"e %uede (er de la $a%tura anterior, #ue en el l5mite $on el e0e imaginario, llegando desde el e0e de a+s$isas negati(o, donde tenemos el l5mite te*ri$o de esta+ilidad, tenemos el $alor má!imo de $al$ulado a tra(-s del $riterio de Rout'Jur&it, %ara el $ual nuestro sistema sigue siendo esta+le.
Compensaci ón Re#uerimientosH • •
;2L del so+re%aso "o+re%asoMaxS1 Redu$ir el tiem%o de esta+le$imiento a menos de la mitad del a$tual K@s
Tras e0e$utar el $omando ste%in!o de Mat/a+ a nuestro sistema, nos arro0a el siguiente resultadoH YY ste%in!o8/C: RiseTimeH 7.K12 "ettlingTimeH @.262@ "ettlingMinH @.2@
"ettlingMaxH 6.;77 O(ers'ootH ?;.;7?; Unders'ootH 2 )eaQH 6.;77 )eaQTimeH K?.K2
)ero el tiem%o de esta+le$imiento $al$ulado %or Mat/a+ seguramente usa un $riterio mas estri$to #ue el #ue nosotros ne$esitamos. )ara o+tener el tiem%o de esta+le$imiento " s enton$es, identi$aremos a#uel tiem%o en el $ual la re%uesta al es$al*n #ueda esta+le dentro del @L de la respuesta esta!le . En este $aso, nuestro $ál$ulo +asado en la o+ser(a$i*n de la grá$a mostrada en la %ágina anterior, determina #ue el tiem%o de esta+le$imiento es de @1.?s, en (e de @s seg9n el $ál$ulo de Mat/a+. )ara el so+re%aso de+emos tra+a0ar $on la siguiente !*rmulaH So#repaso =
$ ( %a& ) − $ ( 'inal ) $ ( 'inal )
"iendo $ ( %a& )=52.5 4 So#repaso =
52.5 −39.8 ∗100 39.8
So#repaso =32.25
∗100
$ ( 'inal )=39.8
, tenemosH
)or lo tanto el so+re%aso tiene un (alor en nuestro sistema de ?K.K@L. =iere mu4 %o$o res%e$to al arro0ado %or Mat/a+ de ?;.;7L. Resumiendo, los %arámetros ini$iales a o%timiar sonH •
Tiem%o de esta+le$imiento "o+re%aso So#repaso =12,5 +
" s=54.3 s
" s()" * 27 s So#repaso * 4 +
A0ustando el (alor & del integrador agregado anteriormente %odemos redu$ir nota+lemente el so+re%asamiento del sistema. /o redu$imos a la mitad #uedando k =0.05 o+teniendo una salidaH
=esde este %unto, #uisi-ramos a'ora agregarle un compensador en adelanto de +ase #ue me0ore el tiem%o de esta+le$imiento %ara lograr el o+0eti(o %lanteado.
Nuestra !un$i*n de /ao A+ierto a$tual, luego de 'a+erle agregado un integrador 4 tras modi$arle el & , #ued* de la siguiente !ormaH
∫ ¿= 18 s + 210.06 s +8 s + s 4
LA ¿
3
2
Cu4os %olos sonH POLOS
p1 2 p2 2.?? p3 2.?? p4 2.@
A'ora +ien, esta+le$emos un !a$tor de amortiguamiento deseado de , S 2. 4 4a 'a+5amos denido un tiem%o de esta+le$imiento de s=25 "egundos. )odemos $al$ular el (alor de de la siguiente maneraH s=
4
,∗- n
- n=
4
,∗ s
Xuedando enton$esH - n=0.2285 . 0.23
Con este (alor %ro$edemos a $al$ular el %unto de dise
s 1=−( 0.7 )( 0.23)+( 0.23 ) √ 1−( 0.7 ) i 2
s 1=−0.161 + 0.164 i
Una !orma alternati(a, más sen$illa, de $al$ular el %unto de tra+a0o es des%e0ando ,∗- n de la e$ua$i*n, #uedandoH ,∗- n=
4
s
"iendo s=25 s , nos #uedaH ,∗- n=0.16 ≅ 0.2
Este 9ltimo (alor re%resenta la %arte real del %olo deseado o %unto de tra+a0o %ara las es%e$i$a$iones dadas $onstitu4e enton$es nuestro s 1 H s 1=−0.2 + 0.2 i
Em%learemos, en %rimera instan$ia, el m-todo de la +ise$tri %ara el $ál$ulo del $om%ensador.
/os ángulos #ue $ada uno de los %olos $on!orma en rela$i*n a
s 1 sonH
)or lo tanto, el ángulo del $om%ensador 8en adelanto: se $al$ula $omo sigueH / ( c )=−180 + + 134,47 ++ ( 43,63 + )∗2 + 25,81 + / ( c )= 67,54 +
Elegimos utiliar un compensador en adelanto 4a #ue este 'a$e el sistema más rá%ido %or#ue me0ora la res%uesta transitoria, un compensador en atraso me0orar5a el error en r-gimen %ermanente, 'e$'o #ue 4a 'emos $orregido en nuestro POLOS Ángulo sistema. p1
2
;?@3
p2
2.??
@,13
p3
2.??
@,13
p4
2.@
??,3
"e %ro$ede enton$es a $al$ular las
%osi$iones del %olo 4 el $ero del $om%ensadorH & cero=−0,1 & polo=−0,85
Grá$amente
/a !un$i*n de trans!eren$ia del $om%ensador ser5a enton$esH
G c 1=
s + 0.1 s + 0.85
W la !un$i*n de trans!eren$ia de lao a+ierto del sistema $om%ensado sin ganan$ia ex%resada $omo D%QF esH LAC(M) =
0.0033 ( s + 0.1 ) 2
s ( s + 0.85 )( s + 0.5 )( s + 0.3333 )
A'ora, nos (alemos del $riterio del m*dulo %ara $al$ular la ganan$ia del $om%ensadorH ¿ k ∗ LAC(M) ∨¿ 1
Ja$iendo (aler s = s1 en la e$ua$i*n anterior, o+tenemos #ueH k =1.75
El resultado de la !un$i*n ste%in!o 'a+iendo agregado el $om%ensador esH YY ste%in!o8/C: RiseTimeH ;.6277 "ettlingTimeH ?;.7121 "ettlingMinH @.K@1 "ettlingMaxH .K1@7 O(ers'ootH 2 Unders'ootH 2 )eaQH .K1@7 )eaQTimeH 2;.122
Como se %uede o+ser(ar, el sistema $on el $om%ensador $al$ulado se 'a (uelto =EMA"IA=O lento. Tarda @ minutos 8?22s a%rox.: en entrar en r-gimen. O+(iamente este no es a$e%ta+le 4 está !uera de los %arámetros #ue %retendemos. En$ontramos una alternati(a %ara $al$ular un $om%ensador en adelanto de !ase. Una !un$i*n #ue utilia algunas 'erramientas de Mat/a+ 4 otras %ro%ias #ue tiene $omo %arámetros de entrada los $oe$ientes del sistema, el so+re%aso deseado 4 el tiem%o de esta+le$imiento deseado. Esta !un$i*n utilia $riterios di!erentes %ara la u+i$a$i*n del %olo 4 del $ero del $om%ensador, %ero %ara nuestro sistema 'a !un$ionado me0or en $uanto a los re#uerimientos soli$itados. Ad0untamos el $*digo de la !un$i*n al nal del in!orme. El $om%ensador $al$ulado de esta !orma esH G c 2=1.6
s + 0.6 s + 0.75
'(ota) #a $anancia no es la *ue el presente m+todo arro"a, sino la calculada con el criterio del mdulo a"ustada posteriormente para un menor so!repaso
W la salida del sistema $on este $om%ensador resultaH
=onde se o+ser(a #ue al$ana los 123 a los KK segundos $on un so+re%asamiento de ?.73, $on un tiem%o de esta+le$imiento de unos ?2 segundos a%roximadamente.
Com%ara$i*n de Com%ensadores )ara 0usti$ar la nota+le di!eren$ia de los tiem%os de esta+le$imiento, re$urrimos al lugar geom-tri$o de ra5$es una (e más.
Esta imagen muestra el lugar de ra5$es %ara el sistema $on el $om%ensador Gc 1 4 el %unto resaltado es donde se des%laa el %olo del origen tras a%li$arle la ganan$ia $al$ulada. Este %olo es MUW dominante al estar $er$a del e0e imaginario, %or lo tanto es el $ausante de la /ENTITU= del sistema %ro(o$ando un tiem%o de esta+le$imiento mu4 largo.
Como (emos el $om%ensador Gc 2 tiene un lugar de ra5$es ligeramente di!erente de+ido a #ue el %olo 4 el $ero del mismo están u+i$ados más ale0ados del e0e imaginario, %or lo #ue %rodu$en #ue el %olo al origen est- más ale0ado del e0e %ara la ganan$ia %lanteada, $on la des(enta0a #ue de0a de tener %arte imaginaria igual a $ero, %or lo #ue el so+re%asamiento aumenta ligeramente, %ero #ueda dentro de los %arámetros esta+le$idos. El ale0ar el %olo del e0e 0ω %rodu$e #ue el sistema %ueda $um%lir $on las es%e$i$a$iones de tiem%o %lanteadas. El sistema %or lo tanto #ueda $on!ormado $omo sigueH
W analiando la salida $on una altera$i*n distinta de $ero, a%roximando a una situa$i*n real donde la tem%eratura del ga+inete
del "&it$' sea 23C, nuestro sistema res%onde $omo sigueH
=onde %odemos o+ser(ar #ue en %o$o más de K@s +a0a la tem%eratura del ga+inete %or de+a0o de los 123, $omo %retend5amos.
Repues t aenFr ecuenci a Gra$amos la !ase 4 la magnitud de nuestra !un$i*n a lao a+ierto $orres%ondiente a nuestro sistema, donde la %rimera imagen es sin $om%ensa$i*n 4 la segunda es utiliando el $om%ensador $al$uladoH
Ganan$ia de
Funcin #A sin compensar
Funcin #A compensada
=onde los %olos de la !un$i*n sin $om%ensar sonH 2, 2.@ 4 un %olo do+le en 2.??. )or otro lado los %olos 4 $eros de la !un$i*n $om%ensada sonH 2, 2.@, 2.1;6 4 un %olo do+le en 2.??, a$laramos #ue el $om%ensador en adelanto agrega un $ero en 2.;?K. El $riterio de esta+ilidad de Bode indi$a $*mo esta+le$er un m-todo ra$ional de sinton5a de sistemas de $ontrol %or retroalimenta$i*n %ara e(itar situa$iones de inesta+ilidad. El margen de ganancia se dene $omo el $am+io en la ganan$ia a lao a+ierto ne$esario %ara inesta+iliar el sistema. /os sistemas $on márgenes de ganan$ia grandes %ueden tolerar ma4ores $am+ios en los %arámetros del sistema antes de 'a$erse inesta+le a lao $errado.
/*gi$amente de+e tomar (alores %or en$ima de la unidad %ara #ue el sistema sea esta+le. El margen de ganan$ia es una medida im%ortante del sistema 4a #ueH ;. Constitu4e una medida de la %roximidad del sistema de la ona de inesta+ilidad. K. Cuanto ma4or de la unidad sea el margen de ganan$ia, más seguro será el sistema $ontrolado. Utiliando matla+ %odemos o+ser(ar $uales son los márgenes de ganan$ia de !ase 4 am%litudH Ganan$ia de Am%litud
Ganan$ia de
Funcin #A sin compensar
Ganan$ia de Am%litud
Ganan$ia de
Funcin #A compensada
Claramente o+ser(amos #ue la ganan$ia $on el $om%ensador es ma4or, logrando as5 #ue el sistema ne$esite un $ ma4or %ara #ue se inesta+ili$e.
Concl usi ones
Anexo
mle clear all clc Cooler=tf([5800/12],[3 1]); Disip=tf([90/5800],[2 1]); Sens=tf([0!/!0],[3 1]); "#ap1=$!/!0; "#ap2=$!/0!; %&n el 'o#elo Si'lin se tiene confi*ra#o co'o entra#a n Step #e %a'plit# !0 con n a#apta#or +e prooca +e sea $!- .or lo tanto "#ap1 %no ten#ra efecto en este conteto opt = stepDataptions(Step"'plit#e,$!); nte*ra#or=tf([01],[1 0]); %&ste fe el co'pensa#or calcla#o con la 'eto#olo*ia apren#i#a en clase % &l cal #eci#i'os ree'pla4ar por otro calcla#o se*n se eplica en el % infor'e % Co'pensa#or=tf([1 0132],[1 0!18]); % 6=132; Co'pensa#or=tf([1 05928],[1 0$937]); 6=090572; =nte*ra#orCoolerDisip; :=Sens"#ap2; "=:; "4p=4p("); C=fee# "4p #isp(a fncin la4o C #isp(&n for'ato ?.6> C4p
a ) ) cerra#o #el siste'a es> ) )
fi*re step(C,opt) title(Sali#a #el Siste'a S@ Co'pensa#or ) stepinfo(C) =6Co'pensa#ornte*ra#orCoolerDisip;
:=Sens"#ap2; "=:; "4p=4p("); C=fee#
un$i*n %ara $al$ular el $om%ensador % &ste .ro*ra'a Calcla el co'pensa#or #e a#elanto A #e atraso para % n siste'a en BsB la fncion tra % % .D(n'era#or, #eno'ina#or, so % n'= [1 3 !] % #en= [3 2 5 3] % lea#la*(n',#en,10,2) % &l co'pensa#or #e a#elanto es % nen' = % 203312$550103975 5798!8!070119527 % ne#eno' = % 100000000000000 2871113703$0!92 % ?ero/pole/*ain> % 203313 (sE2852) % FFFFFFFFFFFFFFFFF % (sE2871) % % Gener ci#a#o #e no escri % ts=3/(cHin) % % .ara el co'pensa#or #e a#elanto se creo el criterio #e #ii#eJA?ero sire = isn'eric(I); sire1 = isn'eric(ts) if (sire == 1)%KK(sire1 == 1) col'1=si4e(n'er,2); col'2=si4e(#eno',2); a=0; n'era#or=0; for a = 1>col'1 sA's s;
n'era#or=(n'era#orEn'er(1,a)sL(col'1F1)) col'1=col'1F1; en# n'er=inline(n'era#or); <=0; #eno'ina#or=0; for < = 1>col'2 sA's s; #eno'ina#or=(#eno'ina#orE#eno'(1,<)sL(col'2F1)); col'2=col'2F1; en# #eno'=inline(#eno'ina#or); sA's s; fntrans = n'er(s)/#eno'(s); fncion = inline(fntrans);
%%Co'pensa#or #e "#elanto cHi = s+rt((lo*(I/100))L2/(piL2 E (lo*(I/100))L2)); n = 3/(cHits); cHin=FncHi; cita = acos(cHi); = cHinF05; A = FcHintan(cita); pnto = co'ple(,A) eal = fncion(pnto); colocHo = an*le(eal); fi = piFcolocHo; n=1; if (fi M (pi/2)) fi = fi/2; n = 2; if (fi M= pi) fi = fi/3; n=3; en# en# cita2 = piFan*le(pnto); cero = Fa
else nen'=con(con([1 cero],[1 cero]),con([1 cero],c)) ne#eno'=con(con([1 polo],1),con([1 polo],[1 polo])) siste'a = 4p(tf(nen',ne#eno')) en# en# %%Co'pesa#or #e "traso p=inpt(Desea Calclar el co'pensa#or #e atraso 1) si 2) no > ,s); +iere=str2n'(p); if (+iere == 1) resp = 0; c=inpt(Di*ite el ess en porcentae> ,s); ess=str2n'(c); if (essN=0) Hile (resp == 0) #=inpt(&scoa el tipo #e entra#a (1) [escalon], (2)[ra'pa], (3)[para ,s); in=str2n'(#); if (in N= 1)KK(inN=2)KK(inN=3) resp=0; else resp=1; en# en# ess = ess/100; if (in ==1) p=(1Fess)/ess; ?0l.0=p/(fncion(0)ceroLnc/poloLn); sA's s; 4eros = sole(#eno'(s),s); 4eros = #o 1) Si 2) @o>,s); intente=str2n'(); if (intente==1) co'pensa#or2; else #isp([Oin #e pro*ra'a]) en# else ?0=F('a(4eros)E025); .0=(?0/?0l.0); #isp([&l co'pensa#or #e atraso es ]) n'atr=con(1,[1 ?0]) #enatr=con(1,[1 .0]) atraso = tf(n'atr,#enatr) en# en# if ('a(4eros == F025 )) ?0=F('a(4eros)E01); .0=(?0/?0l.0); #isp([&l co'pensa#or #e atraso es ]) n'atr=con(1,[1 ?0]) #enatr=con(1,[1 .0]) atraso = tf(n'atr,#enatr) en# en#
if (in ==2) =1/ess; sA's s; li'ite=/(sfncion(s)ceroLnc/poloLn); % %Sire para calclar li' (s)s li'ite=inline(li'ite); ?0l.0=li'ite(0); sA's s; 4eros = sole(#eno'(s),s); 4eros = #ota'ano if (4eros(p)==0) tipo=tipoE1; en# en# if (tipo == 1) if ('a(4eros N= F025 )) ?0=F('a(4eros)E025); en# if ('a(4eros == F025 )) ?0=F('a(4eros)E03); en# .0=(?0/?0l.0); #isp([&l co'pensa#or #e atraso es ]) n'atr=con(1,[1 ?0]) #enatr=con(1,[1 .0]) atraso = tf(n'atr,#enatr) en# if (tipo N= 1) #isp([&l siste'a #eta'ano if (4eros(p)==0) tipo=tipoE1; en# en# if (tipo == 2) if ('a(4eros N= F025 )) ?0=F('a(4eros)E025); en# if ('a(4eros == F025 )) ?0=F('a(4eros)E03); en# .0=(?0/?0l.0); #isp([&l co'pensa#or #e atraso es ]) n'atr=con(1,[1 ?0]) #enatr=con(1,[1 .0])
atraso = tf(n'atr,#enatr) en# if (tipo N= 2) #isp([&l siste'a #e
en# else
#isp([.ara este caso es necesario n co'pensa#or filtro #e 'esca]) #isp([Oin #e pro*ra'a ]) en# %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% en# if (+iereN=1) #isp([Oin #e .ro*ra'a]) en# else #isp([&rror en la intro#ccion #e I o ts &stos #e