UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E.A.P. INGENIERÍA CIVIL
MONOGRAFÍA Marcos y Pórticos Monografía presentada en cumplimiento parcial de la asignatura de Estática Alumnos: Mirian R. Mamami Pilco
Jhoel J. Rosa Colque
Karen K. Margas Quispe
Diego J. Kcana Hanccoccallo
Jonne Huanca Collanqui
Elvis Nina Chura
Docente: Ing. Roberto Yoctun Ríos
Juliaca, Noviembre de 2013
Pág.
ndice
………………………………………………………….
2
Resumen
………………………………………………………….
3
1. Introducción
………………………………………………………….
3
2. Marco teórico
………………………………………………………….
4
2.1.
………………………………………………………….
4
2.1.1. Calculo de pórticos
………………………………………………………….
9
2.2.
………………………………………………………….
10
2.2.1. calculo de marcos
………………………………………………………….
11
2.3.
………………………………………………………….
11
3. Conclusiones
………………………………………………………….
20
4. Bibliografias
………………………………………………………….
21
5. Referencias
………………………………………………………….
24
Pórticos
Marcos
Aplicaciones
2
Resumen
Los marcos y pórticos se encuentran dentro de la clasificación de estructuras reticuladas planas; son barras que confluyen en un mismo nodo empotradas entre si formando un ángulo constructivo invariable, los movimientos de los nudos (desplazamientos y giros) pueden dar lugar a la aparición de momento flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiales en las barras. En aquellas barras que se articulen en un nodo, el posible giro de este no da lugar a la aparición de momentos flectores en esas barras; esto según la bibliografía recopilada para la monografía; sabiendo esto, desarrollamos dos ejercicios aplicativos que nos ayudara a comprender los cálculos de pórticos y marcos.
Palabras clave: Calculo de Pórticos/ Calculo de Marcos/ Método de Cross.
1. Introducción Los pórticos son otras estructuras cuyo comportamiento está gobernado por la flexión. Están conformados por la unión rígida de vigas y columnas. Es una de las formas más populares en la construcción de estructuras de concreto reforzado y acero estructural para edificaciones de vivienda multifamiliar u oficinas; en nuestro medio había sido tradicional la construcción en concreto reforzado , pero después de 1991, con la “apertura económica” se hacen cada vez más populares las estructuras aporticadas construidas con perfiles estructurales importados, desde nuestros países vecinos: Venezuela, Brasil, Ecuador y de otros, tan lejanos como el Japón o Polonia. El cálculo de un pórtico sustituye un problema común en el calculista de estructuras de edificios, con el fin de obtener el armado final de las mismas. Si las cargas y luces difieren mucho podemos emplear el Método de Cross, que nos proporciona solo los momentos definitivos de apoyo. En esta monografía se desarrolla un marco conceptual sobre marcos y pórticos y sus métodos para resolver; y de esta manera queremos comprender más sobre este tema; además se desarrollan aplicaciones en ambos casos. Para el diseño de los sistemas de pórtico es necesario la determinación de las fuerzas internas: momento, cortante y fuerza axial; Esta determinación de las fuerzas internas es lo que se ha llamado tradicionalmente el análisis de una estructura.
3
2. Marco teórico 2.1.
Pórticos
Para el análisis de un pórtico es necesario hacer algunas simplificaciones a la estructura real. Un pórtico tiene no solo dimensiones longitudinales, sino transversales, como el ancho y la altura de la sección transversal y estos valores influyen en el análisis de la estructura; sin embargo la determinación definitiva de las dimensiones de los elementos es el objetivo final del denominado “diseño estructural”. La simplificación más común, es analizar una estructura de dimensiones teóricas en que los elementos no tienen secciones físicas, sino parámetros asociados a ellas como el área, el momento de inercia. Según se muestra en la figura 1, la estructura teórica para el análisis es la “punteada” que corresponde a una idealización por el eje neutro de los elementos. El estudiante debe entonces distinguir claramente la diferencia entre la longitud real de la viga, la longitud libre y la longitud teórica, que usa en los modelos matemáticos empleados para el análisis de la estructura. Al hacer esta idealización, secciones diferentes en la estructura como son el extremo de la viga y el extremo de la columna se juntan en un punto: el nudo rígido teórico. Esto produce dificultades al estudiante, para aplicar las condiciones de equilibrio de los elementos, pero que no son insuperables y que la guía del profesor y el estudio personal, le permitirán sobrepasar con éxito.
Fig. 1: Diferencia entre luz libre y luz de cálculo (teórica)
Fuente: Jaramillo O. (2004) 4
Teniendo en cuenta que los pórticos tienen elementos horizontales y verticales (en el caso de pórticos rectangulares) es necesario definir algunas convenciones adicionales a las planteadas en las vigas, para evitar equívocos. En las figuras 2 y 3 se muestran las convenciones de las fuerzas internas y una comparación entre pórticos estables e inestables.
Fig. 2: Convenciones de las fuerzas internas
Fuente: Jaramillo O. (2004)
Fig. 3: comparación entre pórticos estables e inestables
Fuente: Jaramillo O. (2004) 5
Una consideración necesaria para el uso de un pórtico en una construcción es garantizar su estabilidad bajo las cargas a que estará sometido; se debe tener una idea de la tipología de su comportamiento y de cómo mejorar esa estabilidad en el caso de que no se tenga. En la figura se muestran algunos ejemplos de inestabilidad y cómo superarla. (Jaramillo, 2004).
6
2.2.1. Pórticos isostáticos -
Pórticos biapoyados atirantados: en la figura se representa una estructura tipo pórtico en la cual los nodos de los apoyos están, a su vez, unidos entre sí mediante un tirante, elemento que, por definición, solo trabaja a tracción.
2.2.2. Pórticos hiperestáticos -
Semi-pórtico con extremo empotrado: considérese la estructura de la figura que es hiperestática de grado 1; además de realizar los cálculos apropiados para llegar a esta conclusión, puede observarse que eliminando el apoyo y, por tanto, la coacción que este impone, pasaría a se una estructura isostática.
7
-
Pórtico biempotrado: se considera la estructura de la figura que es hiperestática de grado 3.
2.2.3. Pórticos simples de geometría simple -
Bajo cargas simétricas no sufren desplazamientos horizontales. Si está sometido a una carga no simétrica puede desglosarse en la superposición de un sistema simétrico y uno altimétrico.
-
Si el número de vanos es par, el nudo situado en el eje de simetría puede considerarse empotrado, siendo suficiente estudiar la parte de pórtico a un lado del eje de simetría.
8
-
Si el número de vanos es impar, se estudia solamente la parte del pórtico situado a un lado del eje de simetría, atribuyendo a los puntos de la estructura que están en el eje de giro y desplazamientos horizontales nulos.
2.2.4. Calculo de pórtico -
Pórtico intraslacional, simétrico e hiperestático; se puede resolver descomponiendo el pórtico en elementos y compatibilizando los giros de los nudos.
9
2.3.
Marcos
Se denomina “marco” a una estructura reticulada de ba rras reticulada plana en la
que las barras están dispuestas de forma tal que constituyen un polígono cerrado normalmente de cuatro lados.
-
Marco simple
10
-
Marco atirantado
2.3.1. Cálculo de marcos El procedimiento más aconsejable para el análisis de este tipo de marcos es la descomposición de la estructura en elementos.
3.
Aplicaciones
3.2.1. Pórticos
11
-
Dado el pórtico isostático de la figura sometido a las cargas indicadas, se pide obtener los diagramas de esfuerzos axiales P(x), esfuerzo cortante V (x) y momento flector M(x), acotando sus valores e indicando sus signos en cada barra.
30 kN
12
13
3.2.2. Marcos
Se denomina “marco” a una estructura reticulada de barras reticulada plana en la
que las barras están dispuestas de forma tal que constituyen un polígono cerrado normalmente de cuatro lados. Generalmente se utilizan para soportar cargas y son estructuras totalmente restringidas.
Análisis de marcos o armazón.
Tomaremos como ejemplo una grúa que soporta una carga, primeramente se tiene que hacer el diagrama de cuerpo libre se la estructura completa para así ponerla en equilibrio, podremos ponerla en equilibrio con una sumatoria de momentos para esto agarramos el punto donde se pueda omitir más componentes y así sacar el resultado de las demás, ya que se pone en equilibrio hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una de las partes que constituye al armazón después considerar los elementos sometidos a la acción de dos fuerzas, ya que lo encontramos necesitamos poner las fuerzas que actúan en cada uno de los extremos deben tener la misma magnitud, la misma línea de acción y sentido opuestos ya que se encuentra cada uno de las fuerzas que actúan en cada uno de los puntos de el armazón con los cálculos de momentos y con la sumatoria de fuerzas podremos obtener los resultados de cada una de las fuerzas. Los marcos forman parte de la estructura, ya sea la que esta compuesta por columnas y trabes o la que está compuesta por muros y losas. Es por eso que los marcos nos ayudan a entender el funcionamiento lógico de las cargas y como estas actúan de acuerdo factores externos como son vientos, sismos, nieve, etc.
14
-
Marco simple
-
Marco atirantado
2.1.1. Cálculo de marcos El procedimiento más aconsejable para el análisis de este tipo de marcos es la descomposición de la estructura en elementos.
15
2.2.
Método de Cross
Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real. Básicamente es un método de análisis numérico de aproximaciones sucesivas que evita tener que resolver ecuaciones simultáneas en un número elevado. Es necesario realizar dos pasos: -
Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra.
Su cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar este transporte se vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nueva distribución. Este proceso termina cuando el momento distribuido, sea tan pequeño que no afecte el resultado del momento final.
TIPOS DE MARCOS ORTOGONALES DE SOPORTE LATERAL Muros y Tirantes cruzados DE SOPORTE VERTICAL Columnas y muros DE ESPACIAMIENTO HORIZONTAL Pisos, Losas, Armaduras, vigas.
FUNCIONAMIENTO DE LOS MARCOS RÍGIDOS Los marcos formados por columnas y trabes están unidos, formando uniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en la viga sin que haya desplazamientos lineales ó angulares entre sus extremos y las columnas en que se apoya. Sobre las vigas principales, que además de resistir las cargas verticales ayudan a resistir las cargas laterales, se apoyan en algunos casos las vigas secundarias encargadas de soportar el sistema de piso.
Entreejes Es la división interna de un marco estructural repetitivo definido por los claros de las columnas. Columnas centrales Mayor carga Columnas Laterales Media carga Columnas esquinadas Un cuarto de carga 16
Un marco rígido transfiere el momento de una viga a las columnas de apoyo que dan como resultado que las columnas comportan la resistencia a la flexión con la viga. Esta interacción entre los entreejes significa que la resistencia a la flexión resultante de una F, se comparte entre diversos entreejes.
USOS DE MARCOS RÍGIDOS: Son ideales para: Gimnasios, Supermercados Hangares, Bodegas o cualquier aplicación, donde el espacio interior libre es necesario.
BENEFICIOS O VENTAJAS DE UTILIZAR MARCOS RÍGIDOS DE ACERO
Interior libre o espacio universal Flexibilidad en el aprovechamiento del espacio interior.
Rápida construcción.
Diseño flexible incomparable.
Menor Costo
Variedad de columnas
Mínima pendiente de la cubierta
CARACTERISTICAS DE LOS MARCOS RÍGIDOS Los Marcos Rígidos pueden ser diseñados con una cumbrera centrada, excéntrica o de una sola pendiente. La pendiente de techo puede ser tan baja como 2%. Los Marcos Rígidos también pueden ser usados con otros sistemas estructurales, incluyendo estructura de acero tradicional y madera. Esta sólida red estructural de acero laminado en caliente, según norma ASTM. Opción de columnas rectas, semirectas (tipo supermercado), o de sección variable Luces de hasta 90 m. o más con alturas de hombro de hasta 24 m. Las luces libres pueden fluctuar entre 9 y 90 metros. El Sistema de Marcos Rígidos acepta cualquier carga de viento, sismo, nieve, puente grúa o equipos propios del proyecto.
17
Puede darse cualquier distribución en:
Columa semirecta(tipo supermercado)
Columna de sección variable
Columna recta
SISTEMA BALLOOM En el cual los montantes de los muros corres continuos desde la comentacion al techo, las viguetas intermedias del piso se arman a los lados de los montantes de los muros.
2.3.
Aplicaciones
Calcular el marco de la figura siguiente mediante descomposición en un estado simétrico y otro antimétrico sabiendo que para todas las barras EI = 103 t·m
18
Los estados simétrico y altimétrico se muestran en la figura siguiente:
Descomponiendo en barras y aplicando compatibilidad de giros:
De donde se obtiene M = 1.94 mt y M1 = 1.8 mt. Por equilibrio de nudos se obtienen los esfuerzos axiles: 19
3.
4.
Conclusiones
Los marcos rígidos de acero son una excelente opción para estructurar una edificación que requiera de espacios versátiles, universales o flexibles, espacios interiores de grandes dimensiones. Y Esto actualmente es muy útil y más cuando las necesidades son cambiantes.
Además este sistema estructural permite cubrir luces o grandes claros por lo que se puede utilizar en muchas tipologías arquitectónicas.
Otro punto importante es que los marcos rígidos de acero pueden ser utilizados para expresar arquitectónicamente formas interesantes y a la vez dar sensaciones espaciales únicas. Esto mediante la repetición de los mismos, un diseño de ellos que generen movimiento en la cubierta, etc.
Y por ultimo mencionar que este sistema estructural es muy sencillo en cuanto a su funcionamiento y por ende, que se utilice para cualquier tipo de edificación. Por lo que siempre será recomendable conocer todos los posibles sistemas de estructuración para proponer al cliente cual es la mejor solución a sus necesidades sabiendo ponderar el límite de elección entre la conveniencia de dos sistemas. BIBLIOGRAFIAS 20
1. TEORIA DE ESTRUCTURAS II1 MARCOS RIGIDOS 2. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION SISTEMAS ESTRUCTURALES En la elección del sistema estructural son importantesel tipo y magnitud del esfuerzo a que estará sometida laestructura, las características de las solicitaciones y lageometría de la estructura considerada como unconjunto. Las Estructuras se pueden construir de:- Madera- Mampostería- Concreto- Acero 2- Combinaciones de estos materiales ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 3. TEORIA DE ESTRUCTURAS II MARCOS RIGIDOS Muros de CargaLa primera forma estructural empleada consistía en un sistema depisos ( losa y trabe) apoyados sobre muros que transmitían la cargaa la cimentación y el suelo. Originalmente los elementoshorizontales de carga fueron de madera, hasta principios del siglopasado en que empezaron a utilizarse las vigas de acero paraposteriormente utilizar el concreto reforzado. Este sistema es aúnutilizado en edificios de habitación de poca altura en los que losmuros son utilizados como muros de carga y además dividen elinterior del edificio. su espesor puede alcanzar valores prácticos 3máximos de 28 cm. ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 4. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION Marcos RígidosEl empleo de este sistema se debió al desarrollo denuevos materiales y sistemas de construcción(concreto armado, acero soldado) y a nuevosmétodos de análisis y dimensionamiento. El sistemaconvencional Losa Trabe - Columna (Marco Rígido)ha sufrido variaciones, ejemplo: el desarrollo de lalosa plana que al no contener vigas o trabesredunda en una mayor economía en cimbra,acabados, peralte, alturas de entrepisos lográndosede esta manera adicionar un entrepiso por cada 10construidos. 4 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 5. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION Figura Nº 1: Losa Trabe – Columna (Marco Rígido) 5 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 6. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION Figura Nº 2: Sistemas aporticados 6 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 7. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION Marcos RígidosLos marcos forman parte de la estructura, yasea la que esta compuesta por columnas y trabeso la que esta compuesta por muros y losas. Espor eso que los marcos nos ayudan a entender elfuncionamiento lógico de las cargas y como estasactúan de acuerdo factores externos como sonvientos, sismos, nieve, etc. 8. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS-INTRODUCCION ¿Qué son los Marcos Rígidos?Un tipo de estructura son los marcos rígidos queactualmente han ido tomando fuerza debido aque facilitan la estructuración de los edificios ymás con el uso del acero posibilita cubrirgrandes luces. 8 ING. WILLIAM J. LOPEZ A.
21
9. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Marcos RígidosEl tipo de estructuración más común hoy en díapara edificios tanto de concreto como de acero esel que utiliza marcos rígidos. Los marcosformados por columnas y trabes están unidosformando uniones rígidas capaces de transmitirlos elementos mecánicos en la viga sin que hayadesplazamientos lineales ó angulares entre susextremos y las columnas en que se apoya. 9 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 10. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Marcos RígidosSobre las vigas principales, que además deresistir las cargas verticales ayudan a resistirlas cargas laterales, se apoyan en algunos casoslas vigas secundarias encargadas de soportar elsistema de piso.El empleo de este sistema se debió al desarrollode nuevos materiales y sistemas de construcción(concreto armado, acero soldado) y a nuevosmétodos de análisis y dimensionamiento. 10 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 11. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS DE SOPORTE LATERAL: Tipos de Marcos Ortogonales DE Muros y Tirantes cruzados SOPORTE VERTICAL DE Columnas y muros ESPACIAMIENTO HORIZONTAL Pisos, Losas, Armaduras, vigas. 11 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 12. TEORIA DE ESTRUCTURAS II MARCOS RIGIDOS Funcionamiento de los Marcos RígidosLos marcos formados por columnas y trabes están unidos, formandouniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en laviga sin que haya desplazamientos lineales ó angulares entre susextremos y las columnas en que se apoya. Sobre las vigasprincipales, que además de resistir las cargas verticales ayudan aresistir las cargas laterales, se apoyan en algunos casos las vigassecundarias encargadas de soportar el sistema de piso. 12 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 13. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Funcionamiento de los Marcos RígidosEntre-EjesEs la división interna de un marco estructuralrepetitivo definido por los claros de las columnas.Columnas centrales Mayor cargaColumnas Laterales Media cargaColumnas esquinadas Un cuarto de carga 13 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 14. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Funcionamiento de los Marcos RígidosUn marco rígido transfiere el momento de una vigaa las columnas de apoyo que dan como resultadoque las columnas comportan la resistencia a laflexión con la viga. Esta interacción entre los entre-ejes significa que la resistencia a la flexiónresultante de una F, se comparte entre diversosentre-ejes. 14 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 15. TEORIA DE ESTRUCTURAS II MARCOS RIGIDOS Bodegas Hangares, Supermercados Gimnasios Uso de los Marcos RígidosSon ideales para: o cualquier aplicación, donde el espaciointerior libre es necesario. 15 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 16. TEORIA DE ESTRUCTURAS II MARCOS RIGIDOS Interior Beneficios o Ventajas de usar los Marcos Rígidos Flexibilidad libre o espacio universal Rápidaen el aprovechamiento del espacio interior. Diseño construcción. Menor flexible incomparable Variedad Costo Mínimade columnas pendiente de la cubierta 16 ING. WILLIAM J. LOPEZ A.
22
17. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Análisis EstructuralEl análisis estructural implica un conocimientode las solicitaciones que obran sobre laestructura y de las dimensiones de suselementos. Estos datos son imprecisos cuando seinicia el diseño, ya que solo se conocen en formaaproximada las dimensiones que tendrán loselementos. Mediante un proceso cíclico elproyectista va ajustando los datos iniciales(dimensiones de los elementos) a medida que vaprecisando el análisis. 17 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 18. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Análisis EstructuralSolamente en la fase final de este proceso sehace un cálculo numérico relativamenterefinado. Resumiendo lo anterior, tenemos quela finalidad del análisis estructural es conocerlos elementos mecánicos a que estarán sujetoslos elementos de la estructura y elcomportamiento que este presentará debido alas solicitaciones. 18 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. Método de 19. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS lasMétodos de Análisis EstructuralMétodo de las Fuerzas-----------Fuerzas Método de Cross flexibilidadesMétodo de lasDeformaciones --------- Método de las Rigideces----------- Método del Portal Método de KaniMétodos Aproximados(Cargas Horizontales)---------- --------Horizontales) Método del Cantilever ---------- Método de Bowman---------Método del Factor ---------- 19 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 20. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Métodos de Diseño1. Método de los esfuerzos de trabajo o esfuerzosPermisibles (Método Elástico) Consiste en el procesosiguiente: Las acciones internas (carga axial, momentos,fuerzas cortantes y torsiones) inducidas en los distintoselementos de las estructuras por las solicitaciones deservicio o de trabajo que actúan sobre estas, se calculanpor medio de un análisis elástico. Se determinandespués los esfuerzos producidos en las distintassecciones por las acciones internas, por métodos tambiénbasados en hipótesis elásticas. Los esfuerzos de trabajoasí calculados deben mantenerse por debajo de ciertosvalores de esfuerzos permisibles que se consideranaceptables. 20 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 21. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIMARCOS RIGIDOS Métodos de Diseño2. Método de Resistencia Ultima (Método Plástico)Las acciones internas que las solicitaciones externasproducen sobre las estructuras, se determinan por mediode un análisis elástico, como en el caso anterior. Loselementos de la estructura se dimensionan de talmanera que su resistencia a las diversas acciones detrabajo a las que puedan estar sujetas sea igual a dichasacciones multiplicadas por un factor de carga de acuerdocon el grado de seguridad deseado 21 ING. WILLIAM J. LOPEZ A. 22. 22. TEORIA DE ESTRUCTURAS IIBIBLIOGRAFIA Arthur H., Nilson – Winter George (1994) DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO Mc Graw Hill Normas Venezolanas COVENIN – MINDUR – FUNVISIS. Arnal, Eduardo (1984). TEORIA DE ESTRUCTURAS I. Tercera Edición. Editorial Arte. Caracas. Venezuela. Hsieh, Yuan-Yu (1973) Teoría Elemental De Estructuras. Editorial Prentice Hall Internacional. Madrid, España. Luchsinger, Cecilio (1979) Estructuras Tomo I. Folletos De Estructuras Nº 4.Universidad Central De Venezuela. 22 ING. WILLIAM J. LOPEZ A.
23
5.
Referencias
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4080020/Lecciones/ Capitulo%206/DIAGRAMAS%20DE%20FUERZAS%20INTERNAS%20EN %20LOS%20PORTICOS.htm
http://www.iiarquitectos.com/2010/01/marcos-rigidos-de-acero_04.html
http://es.scribd.com/doc/88671799/Vigas-y-Marcos-Isostaticos
http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/teoria-de-estructuras-ii-marcosrigidos
24
