Monografia Matrices y Determinantes

Especialidad Literatura- lengua española H 2

PRESENTACION

En esta esta monografía monografía que se presenta a continuación, continuación, se ha tratado tratado de agrupar y sintetizar la mayor fuente comprensible y accesible de este título “matrices y determinantes” determinantes” perteneciente al campo de las matemáticas,

pero

que

también

abarcan

otras

ciencias

convir convirtié tiéndo ndose se en en funda fundamen mental tales es para para el cono conocim cimien iento, to, en las las mate matemá mátitica cass se empl emplea ea en el álge álgebr bra, a, en las las cien cienci cias as como como !iencias "ociales, Económicas y #iológicas ha de estudiarse a fondo en qué especialidad especialidad se desenvuelve desenvuelven$ n$ Esperamos sea de su compre comprensi nsión ón aun sabiendo sabiendo que siendo siendo nuestra nuestra especial especialida idad d un poco ale%ada del campo matemático se ha puesto empre&o en que sea de su y nuestra utilidad y sobre todo que amplíe nuestro panorama sobre el conocimiento en general$

1


INTRODUCCION 'as matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su mane%o$ 'as determinantes corresponden a una definició definición n que indica indica una forma forma multilinea multilineall alternada alternada de un cuerpo, cuerpo, es decir una serie de propiedades matemáticas que generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos$ El origen origen o aparición aparición de los los determinant determinantes es en la historia historia de las matemát matemáticas icas seg(n la mayoría de los historiadores se originó con el matemático alemán )ottfried *ilhelm 'eibniz +-.-/0-1 quien fue con 2e3ton, el co/inventor del cálculo diferencial e integral luego, 'eibniz empleó los determinantes en -45 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas$ 2o obstante hay quienes creen que el matemático %aponés "e6i 7o3a hizo lo mismo unos 8 a&os antes$ antes$ 'a aparici aparición ón de los determin determinant antes es

fue precur precursor sora a de las

matrices$ 9na matriz es un arreglo bidimensional de n(meros, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo$ 'as matrices se usan generalmente para describir sistem sistemas as de ecuac ecuacion iones es lineal lineales, es, sistem sistemas as de ecuaci ecuacione oness difere diferenci nciale aless o representar una aplicación lineal +dada una base1$ 'as matrices se utilizan para m(ltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales: en este (ltimo caso las matrices desempe&an el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales$ ;ueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal$

2


INTRODUCCION 'as matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su mane%o$ 'as determinantes corresponden a una definició definición n que indica indica una forma forma multilinea multilineall alternada alternada de un cuerpo, cuerpo, es decir una serie de propiedades matemáticas que generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos$ El origen origen o aparición aparición de los los determinant determinantes es en la historia historia de las matemát matemáticas icas seg(n la mayoría de los historiadores se originó con el matemático alemán )ottfried *ilhelm 'eibniz +-.-/0-1 quien fue con 2e3ton, el co/inventor del cálculo diferencial e integral luego, 'eibniz empleó los determinantes en -45 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas$ 2o obstante hay quienes creen que el matemático %aponés "e6i 7o3a hizo lo mismo unos 8 a&os antes$ antes$ 'a aparici aparición ón de los determin determinant antes es

fue precur precursor sora a de las

matrices$ 9na matriz es un arreglo bidimensional de n(meros, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo$ 'as matrices se usan generalmente para describir sistem sistemas as de ecuac ecuacion iones es lineal lineales, es, sistem sistemas as de ecuaci ecuacione oness difere diferenci nciale aless o representar una aplicación lineal +dada una base1$ 'as matrices se utilizan para m(ltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales: en este (ltimo caso las matrices desempe&an el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales$ ;ueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal$

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INDICE

;!?@2$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?2=<@A9!!?@2$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$B $/ C>="E" AE C>==!?@2E" !@2 C>===2=E"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$B B$ AE=E2=E" AE @2=E" AE @AE" AE '@" AE=E2=E"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ AE=E2=E"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$B5 B5 $ Aeterm$ Aeterm$ Ae orden arbitrario$$ arbitrario$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$B. $$$$$$$$$$B. B$ >d%unto >d%unto de una matriz matriz$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$B$$$$$$$$$$$$B5$ !álc$ del rango rango de una una matriz$$$$$ matriz$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$58 $$$$$$$58 .$ >plic$ >plic$ de los determin determinantes antes$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$55 $$$$55 D$ ;olinomio ;olinomio caracterís característico$$ tico$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$5 $$$$$$$54 4 >2EH@"$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$. $$$$$$$ . Ejercicios $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.B #?#'?@)<>I?>$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$D

3


$/ C>=
'a matriz anterior se denota también por + ai % 1, i J, $$$, m, j J, $$$, n, o simplemente por + ai % 1$ 'os términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas$ 9na matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m



n$

'as matrices se denotarán usualmente por letras may(sculas, A, B, $$$, y los elementos de las mismas por min(sculas, a, b, $$$ E%emplo donde sus filas son +, /5, .1 y +8, D, /B1 y sus

4


$ CLASES DE MATRICES

"eg(n el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en

1. Matrices cuadradas

9na matriz cuadrada es la que tiene el mismo n(mero de filas que de columnas$ "e dice que una matriz cuadrada n



n es de orden n y se

denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: "ean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 5 y B respectivamente$

2. Matriz identidad

"ea A J +ai % 1 una matriz n/cuadrada$ 'a diagonal +o diagonal principal1 de A consiste en los elementos a, aBB, $$$, ann$ 'a traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales$ 'a matriz n/cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por ?, se conoce como matriz identidad +o unidad1$ ;ara cualquier matriz A, AK I J I K A J A.

. Matrices trian!u"ares

5


9na matriz cuadrada A J +ai % 1 es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas ba%o la diagonal principal son i guales a cero$ >sí pues, las matrices$

"on matrices triangulares superiores de órdenes B, 5 y .$

#. Matrices dia!ona"es

9na matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas$ "e denota por D J diag +d , d BB, $$$, d nn 1$ ;or e%emplo

"on matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag+5,/,01 diag+.,/51 y diag+B,-,8,/1$

$. Tras%uesta de una &atriz

'a traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A=$ >sí, la traspuesta de

En otras palabras, si A J +ai % 1 es una matriz m n, entonces A= J matriz n m$ 'a trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades 

es la



6


$ + A L B1= J A= L B=$ B$ + A=1= J A$ 5$ +kA1= J kA= +si k es un escalar1$ .$ + AB1= J B= A=$

'. Matrices si&(tricas

"e dice que una matriz real es simétrica, si A= J A: y que es antisimétrica, si A= J / A$ Ejemplo:

!onsideremos las siguientes matrices

;odemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A= J A$ "iendo así, A es simétrica$

;ara B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica$ A simple vista, C no es cuadrada: en consecuencia, no es ni simétrica ni

antisimétrica$

). Matrices orto!ona"es

"e dice que una matriz real A es ortogonal, si AA= J A= A J ?$ "e observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A/  J A=$ !onsideremos una matriz 5



5 arbitraria

"i A es ortogonal, entonces

7


*. Matrices nor&a"es

9na matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA= J A= A$ @bviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal$ Ejemplo 

;uesto que AA= J A= A, la matriz es normal$

1.2. OPERACIONES CON MATRICES

1. Su&a + resta de &atrices

;ara poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo n(mero de filas y de columnas$ Es decir, si una matriz es de orden 5 M B y otra de 5 M 5, no se pueden sumar ni restar$ Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices$ E%emplo

8


;ara sumar o restar más de dos matrices se procede igual$ 2o necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas$ Ejemplo:

2.

Producto

de matrices

;ara poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo n(mero de columnas que filas la segunda$ 'a matriz resultante del producto quedará con el mismo n(mero de filas de la primera y con el mismo n(mero de columnas de la segunda$ Es decir, si tenemos una matriz B × 5 y la multiplicamos por otra de orden 5 × D, la matriz resultante será de orden B × D$ +B × 51 × +5 × D1 J +B × D1 "e puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el e%emplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación$ 5

×

D por B × 5, puesto que la primera matriz no tiene el mismo n(mero de

columnas que filas la segunda$ "upongamos que A J + ai % 1 y B J +bi % 1 son matrices tales que el n(mero de columnas de A coincide con el n(mero de filas de B: es decir, A es una matriz m

×

p y B una matriz p

×

n$ Entonces el producto AB es la matriz m

×

n cuya

entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B$ 9


Esto es,

Ejemplo 

$

B$

. Producto %or un esca"ar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k 

Ejemplo 

Entonces

#. Di,isi-n de &atrices

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'a división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador$ Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB/

"i una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar$

Ejemplo:

$5 MATRICES INERTI/LES "e dice que una matriz cuadrada A es invertible, si eMiste una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad$ Aenominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A/$ Ejemplo:

;uesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra$

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M(todo de 0auss

"ea A J +ai %1 una matriz cuadrada de orden n$ ;ara calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A/, seguiremos los siguientes pasos Paso 1$ !onstruir la matriz n

 n ! J +> I 1 esto es, A está en la mitad

×

izquierda de ! y la matriz identidad I en la derecha$ Paso 2. "e de%a tal y como está la primera fila de ! , y deba%o del primer

término de la diagonal principal, a, que llamaremos pi"ote, ponemos ceros$ 'uego se opera como se indica en el siguiente e%emplo$ Ejemplo

!onsideremos una matriz 5 × 5 arbitraria

Paso 1$

Paso 2$

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal$ >l llegar al (ltimo término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote$ "e observa que al coger como pivote el (ltimo término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular$

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9na vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz ! se convierte en una matriz diagonal$ En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de ! por un escalar$ Ejemplo 

"upongamos que queremos encontrar la inversa de

;rimero construimos la matriz ! J + A I 1,

'a mitad izquierda de ! está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible$ "i hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de ! , la operación habría terminado + A no es invertible1$ > continuación, cogemos como pivote a55, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal$

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Ga que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más$ =ransformamos la matriz diagonal en una matriz identidad: para ello hay que dividir la segunda fila entre /

'a matriz que ha quedado en la mitad derecha de ! es precisamente la matriz inversa de A

;ara comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA/, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I $ Comprobaci#n AA/ J I

Ejercicio o%eraciones con &atrices

 "ean

a$ NOué clase de matrices sonP b$ !alcular

/ A / B L C $ A L B / C $

5 A L C QB$ 14


c$ !alcular

+ A K B1 QC $ d 1 !alcular la inversa de A + A/1 y comprobar el resultado$ %e&oluci#n a$ 'as tres matrices son cuadradas y de orden tres$ A su vez, B es una matriz

triangular, ya que todas las entradas deba%o de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí$ b$

c$

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• ;uesto

que + A ⋅ B1 QC J A ⋅ B ⋅ C /, calcularemos primero la inversa de C y

luego haremos el producto$

•

Aividimos la primera fila entre /-, la segunda entre 5 y la tercera entre /5 para

que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

• ;or

• A

•

J

lo tanto, la matriz inversa de C es

continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

;or (ltimo, calculamos + A⋅B1⋅C /$

$

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Especialidad Literatura- lengua española H 2 • "acando

factor com(n Q5, el resultado puede escribirse como

d 1 • ;rimero

se construye la matriz ! J J + A A I 1 y luego se va desarrollando por

)auss$ >sí pues

•

"e simpli simplific fica a un poco poco para para que las operac operacion iones es no sean sean tan costosas costosas,,

dividiendo la tercera fila entre cuatro$ Ae este modo, se tiene

$

"e vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro, $

;uesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de ! , se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre /58.B, la segunda entre /0 y la tercera entre 54,

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>sí pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor com(n Q0 se puede escribir como

;ara comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A/, tiene que cumplir AA/ J I $ ;rocedamos a la comprobación

1. Matr.  sist. De ecuac. Linea"es

'a matriz ampliada ! de de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente

!ada fila de ! corresponde corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coef coefic icie ient ntes es de una una incó incógn gnitita, a, eMce eMcept pto o la (lti (ltima ma,, que que corre corresp spon onde de a las las constantes del sistema$

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9n sistema de ecuaciones lineales puede resolverse traba%ando con su matriz amplia ampliada, da, especí específic ficame amente nte,, reduc reducién iéndol dola a a forma forma escalo escalonad nada a median mediante te el proceso de )auss$ M(todo de 0auss

;ara resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de )auss$ Este proceso se ilustra en el siguiente e%emplo$ Ejemplo 

"ea el sistema,

su matriz ampliada asociada es

>hora resolvemos por el método de )auss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la ' , la segunda a los de la ( , la tercera a los de la z y y la cuarta a los términos independientes

Ae este modo, el sistema tiene ti ene la solución (nica ' J J B, ( J J /, z J J 5$ 'a resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de )auss u otros, es una de las m(ltiples aplicaciones que tienen éstas$ Ejercicio reso"uci-n de siste&as de ecuaciones "inea"es %or &atrices 19


Rallar el valor de ', (, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices

a$ 'a matriz ! asociada al sistema de ecuaciones es

'a tercera fila se suprime, puesto que es m(ltiplo de la segunda y resultaría una fila nula$ >sí, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas

'a solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones$ ' J /4 / ( L 8t z J 0t / 0 ó +/ 4 / ( L 8t , ( , 0t / 0, t 1$

Aependiendo de qué valores se esco%an para ( y t , salen distintos resultados$ >sí, para ( = t J 8 tendremos la solución del sistema ' J /4, ( J 8, z J /0, t J 8$

b$ 'a matriz ! asociada al sistema de ecuaciones es

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2o hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible +"?1, es decir, que no tiene solución$ Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación 8 ' L 8( L 8z L 8 t J /D obteniendo como resultado 8 J /D, que es absurdo$ ;or lo tanto, decimos que no tiene solución$

2.3 DETERMINANTES

> cada matriz n/cuadrada A J +ai % 1 se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det +>1, S > S o

9na tabla ordenada n M n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz$ 'a función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales$ Feremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas$

2.) DETERMINANTES DE ORDEN UNO  DOS

'os determinantes de orden uno y dos se definen como sigue J a

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>sí, el determinante de una matriz  ×  A J +a1 es el propio escalar a, es decir, det + A1 J SaS J a$ Ejemplo&: a$ Aado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det

+B.1 J B., det+/51 J /5, det +5 ' LD1 J 5 ' LD$ b$

2.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES

!onsideremos una matriz 5 × 5 arbitraria A J +ai % 1$ El determinante de A se define como sigue

aBaBa55 / a5BaB5a @bsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz$ =res de los productos aparecen con signo positivo +conservan su signo1 y tres con signo negativo +cambian su signo1$ ;ara calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos

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Ejemplo 

!alcular el valor del determinante

J B. L B8 L 8 / +/.1 / 8 / +/D1 J .. L . L D J -5 El determinante de la matriz 5 × 5 A J +ai % 1 puede reescribirse como det + A1 J a+aBBa55 / aB5a5B1 / aB+aBa55 / a B5a51 L a5+aBa5B / aBBa51 J

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes +con signos alternantes1 constituyen la primera fila de la matriz dada$ Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente

2ótese que cada matriz B × B se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente$ Ejemplo:

;ara demostrar que la propiedad anterior se cumple, traba%aremos con 

J 5+LD1 / B+8/81 L +8L.1 J 54 L B8 L . J -5 23


2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 'as propiedades básicas del determinante son las siguientes 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A= son iguales, es

decir, 2. "ea A una matriz cuadrada, •

"i A posee dos filas +columnas1 iguales, necesariamente

•

"i A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por deba%o de la

diagonal principal, entonces

J 8$

es igual al producto de los elementos de la

diagonal$ . "upongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental

entre filas o columnas, •

"i se han intercambiado dos filas +columnas1 de A, SBS J / SA*.

•

"i se ha sumado un m(ltiplo de una fila +columna1 a otra, entonces S BS J SA*.

•

"i se ha multiplicado una fila +columna1 de A por un escalar k , SBS J k SA*.

#. "ea A cualquier matriz n/cuadrada, son equivalentes los siguientes

principios •

A es invertible, es decir, A tiene inversa A/$

• A+ J •

8 tiene solamente la solución trivial$

El determinante de A no es nulo S A* ≠ 8$

$. El determinante es una función multiplicativa$ Es decir, el determinante del

producto de matrices A y B es el producto de los determinantes S ABS J SAS SBS$ '. "upongamos que A y B son matrices similares, entonces S AS J SBS$

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1. Deter&. De orden ar4itrario

"ea A J +ann1 una matriz de orden arbitrario n

×

n +siendo n un n(mero par1$

;ara calcular el det + A1 se procede de la siguiente manera

'os signos se van alternando seg(n la posición que ocupen las entradas del determinante$ Es decir

Ejemplo

"i observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros$ >sí pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero$

L

J /+/5D1 L 5+5D1 J 5D L 8D J .8$

25


Ejercicio c5"cu"o de deter&inantes 

!alcular los siguientes determinantes

J B+/-/B.L-LB1L D+/./B.L-1/+.LB/-/51 J /B./8L5 J /5$

26


J K+-L8LB./+/.1/+/581/81 /BK+/B/BL58/+/.81/B/+/-11 J 0./BK+/D-1 J J 0.LB J -$

2. Adjunto de una &atriz

!onsideremos una matriz n/cuadrada A J +ai % 1 sobre un cuerpo  $ El ad%unto de A, denotado por ad% A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A

Ejemplo 

'os cofactores de los nueve elementos de A son

'a traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el ad%unto de A

27


• Aplicaci#n

del adjunto para allar la matriz in"er&a para toda matriz cuadrada

A, AK+ad% A1 J +ad% A1 K A J SASI

Ae este modo, si S AS ≠ 8,

@bservemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz$ Ejemplo

!onsideremos la matriz

y el det A

>sí pues, aplicando la propiedad anterior

28


Ejercicio c5"cu"o de "a &atriz in,ersa 

!alcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices

a$

b$

a$ ;rimero hallaremos el determinante de la matriz A

El siguiente paso es hallar el ad%unto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son

 J

B J /B

D

B

B J )

B

B B

BB J 5

y el ad%unto de B, denotado por ad% B, será

b$ Empezaremos por hallar el det A,

'os cofactores de los nueve elementos de A son 29


'a traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el ad%unto de A

>plicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A/

. C5"c. de" ran!o de una &atriz

!onsideremos la matriz A J +ai%1

1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz AT que se obtiene

suprimiendo en la matriz A todas la líneas +filas o columnas1 cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas$ 30


2. !onsideremos la matriz > J +a, aB, $$$, an1

G supongamos que

entonces rango + A1 rango+ A 1 J 

. >&adimos filas de la matriz A a la matriz > hasta encontrar una matriz que

cumpla tal que posea un menor no nulo de la forma

;or consiguiente, rango + A1

rU ango+ A B1 J B$



"i esto no hubiese sido posible, entonces rango + A1 J $ "upongamos que rango + A1



rango +>B1 y que i J B y j J B$

#. >&adimos filas a la matriz >B hasta encontrar una matriz que cumpla

de forma que posea un menor de orden tres de la forma

Entonces rango + A1 ≥ rango + AB1 J

5$

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces rango + A1 J rango + AB1 J B$ "uponiendo que rango + A1 ≥ rango + A51 y que i J 5 y j J 5, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A$ E%emplos

31


a$ "ea la matriz A una matriz de orden tres$ Rallar el rango + A1$

!omo A es una matriz cuadrada de orden tres, como máMimo el rango + A1 puede valer tres$ !alcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A$ >sí pues

Ga que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero$ "i no encontramos ninguna, el rango + A1 J $

;uesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango + A1 J B$ >&adimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres

Aado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango + A1 J 5$ 2o necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada$ >sí, en el siguiente e%emplo b$ !alcular el rango de la matriz B de orden 5 × .$

32


!omo hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que B$ !alculamos a continuación los determinantes de orden superior

;robamos con un segundo determinante de orden tres

>sí pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango + B1 J 5$ 9n rango mayor que 5 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden .$
#. A%"ic. de "os deter&inantes

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de )auss$ !on los determinantes, y aplicando la regla de !ramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales$

Re!"a de Cra&er

'os pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seg(n la regla de !ramer son los siguientes

33


1. Rallar la matriz ampliada + A b$ asociada al sistema de ecuaciones, esto es

que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones: que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la (ltima columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones$ 2. !alcular el determinante de A$ $ >plicar la regla de !ramer, que consiste en a$ ir sustituyendo la primera columna del det + A1 por los términos

independientes: b$ dividir el resultado de este determinante entre el det + A1 para hallar el valor

de la primera incógnita: c$ continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas

para hallar el resto de las incógnitas$ Ejemplo:

"ea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas

Encontrar el valor de ' e ( mediante la regla de !ramer$ Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales

El segundo paso es calcular el determinante de A$ >sí pues

34


G el tercero y (ltimo paso consiste en calcular las incógnitas

Discusi-n de "os siste&as de ecuaciones "inea"es

> continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución y si tienen una (nica o infinitas soluciones$ El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efect(a aplicando el teorema de
que tenga solución$ 2. Oue el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible +"$?$1 o que no

tenga solución$ El primer caso puede dividirse en dos a$ que sea un sistema compatible y determinado +"$!$A$1, esto es, que tenga

una (nica solución: b$ que el sistema sea compatible e indeterminado +"$!$?$1, es decir, que tenga

infinitas soluciones$ "ea un sistema no homogéneo

35


En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es

G el sistema será compatible cuando
Aiscutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones

36


;uesto que rango + A1 J  ≠ rango + A b$ J B, el sistema es incompatible: no eMiste ninguna solución$

Ga que rango + A1 J rango + A b$ J B J n(mero de incógnitas, el sistema es compatible y determinado: es decir, eMiste una (nica solución $

37


;uesto que rango + A1 J rango + A b$ J  X n(mero de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado: eMisten infinitas soluciones$ Ejercicio c5"cu"o de "as inc-!nitas en un siste&a

de

ecuaciones "inea"es 

Aiscutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de

ecuaciones lineales

a$

!alculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada + A b$ El rango de la matriz A será

El rango de la matriz ampliada + A b$

Aado que rango + A1 J rango + A b$ J 5 J n(mero de incógnitas, el sistema es compatible y determinado: tiene, pues, una (nica solución$
38


>plicando la regla de !ramer

' J -QB5: ( J /D5QB5: z J /.BQB5$

$. Po"ino&io caracter6stico

!onsideremos una matriz n/cuadrada arbitraria

'a matriz + A / λKIn1, donde In es la matriz identidad n/cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A

39


"u determinante, det + A / λKIn1 , que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A$ >simismo, llamamos a det + A /

λKIn1

J 8

ecuaci#n caracter&tica de A.

E%emplo Rallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A

'a matriz característica será + A / λKIn1$ 'uego

y el polinomio característico,

>sí pues, el polinomio característico es λ B / λ L .$ a"ores %ro%ios + ,ectores %ro%ios

"ea A una matriz n/cuadrada sobre un cuerpo  $ 9n escalar

λ ∈

 n se denomina un valor propio de A si eMiste un vector

+columna1 no nulo " ∈  n para el que A" J λ". =odo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio

λ$

'os términos valor característico y vector

característico +o autovalor y autovector1 se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio$ E%emplo "ea

40


y

>sí pues, "  y " B son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ J . y λB J / de A$

41


ANE7OS

42


Ejercicios 1.-

Demostrar,

sin

desarrollar,

que

los

siguientes

determinantes valen cero:

2.-

Sabiendo

que

|A|=5,

calcula

los

otros

determinantes.

3.-

Demostrar que los siguientes determinantes son

múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

4.-

Demostrar,

sin

desarrollar,

que

el

siguiente

determinante es múltiplo de 5: 43


5.- Demu!strese las igualdades que se indican, sin

necesidad de desarrollar los determinantes:

6.- "esolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar

los determinantes.

7.- Aplicando las propiedades de los determinantes,

calcular:

8.- #asando a determinantes triangulares, calcular el

valor de:

44


9.- $alcular los determinantes de %andermonde:

10.- &allar la matri' inversa de:

11.- #ara qu! valores de x la matri' no admite matri'

inversa(

12.- $alcular el rango de las siguientes matrices:

13.- "esolver las siguientes ecuaciones matriciales: 45


1 A · X = B

2 X · A + B = C

DESARROLLO 1

D e m os t r ar, s i n d e s a rr o l l a r, q u e l o s s i g u i en t e s determinantes valen cero:

)iene dos l*neas proporcionales. 46


La ercera co!"#$a es i%"a! a !a s"#a &e !as oras &os.

+

Sabi endo

que

|A|=5,

calcula

los

otros

determinantes.

47




D em os tr ar son

múltipl os

q ue de

l os 5

y

s ig ui en te s 4

d et er mi na nt es

r es pectivamente,

sin

desarrollarlos

4

D em os tr ar,

s in

d es ar ro ll ar,

q ue

el

s ig ui en te

determinante es múltiplo de 5:

48


5

Demu!strese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

49


"esolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

50


7

Apli cand o

l as

pro piedades

de

los

determinantes, calcular:

51


 #asando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

9 52


$alcular los determinantes de %andermonde:

/

&allar la matri' inversa de:

53




#ara

m at ri '

qu !

val ores

no

admi te

de x la

matri'

inversa(

#ara x = 0 la matri' A no tiene inversa.

54


12

$alcular el rango de las siguientes matrices:

|+|=+ 0/

r'A( = 2

55


r'B( = 4

1 l i m i na m o s l a t e r c e r a c o l u m n a p o r s e r n u l a , l a c ua rt a p or

s er

p rop or ci on al

a

l a p ri mera , y

la

quinta porque combinaci2n lineal de la primera y segunda: c 5 = 3+ · c   c +

56


r'C( = 2



"esolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

)A)=1 * 0 exise !a #ari, i$ersa A -1 . A-1 'A · X( = A-1 · B ' A-1 · A( · X = A -1 · B  · X = A -1 · B X = A-1 · B

2 X · A + B = C

57


)A) = 1 * 0 'X · A + B( - B = C - B X · A + 'B - B( = C - B X · A + 0 = C - B X · A = C - B X · A · A -1 = ' C - B( · A-1 X 'A · A -1 ( = ' C - B( · A-1

X ·  = ' C - B( · A-1

X = ' C - B( · A -1

58


#?#'?@)<>I?> $ httpQQhtml$rincondelvago$comQmatrices/y/determinantes$html B$ httpQQtar3i$lamolina$edu$peQYcorihuelaQmpeconomistasQcapituloZB8B/ CatricesZB8yZB8Aeterminantes$pdf 5$ httpQQ333B$eco$uva$esQlmenesesQ)uia[de[=raba%oQEsquemas[teoricosQ tema5$pdf .$ httpQQ333$unizar$esQaragon[tresQu-$htm D$ httpQQdocencia$udea$edu$coQ)eometriaFectorialQuniBQseccionB$html -$ >'E)!, Cadrid, 44D +!ap$ B, pp$ 54/B1

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5$ =E#>< I'@

Monografia Matrices y Determinantes

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