Département TIN (Techniques industrielles)
Filières Microtechnique, Électronique Électronique – Automatisation Industrielle, et Ingénierie de Gestion
Exercices Motorisation et Commande des Machines
Bernard Schneider www.iai.heig-vd.ch Copyright © Bernard Schneider, 2009-2014 Yverdon-les-Bains, le 30 décembre 2014
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L’auteur remercie par avance toutes les personnes qui lui signaleront des erreurs ou lui proposeront des améliorations.
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Motorisation et Commande des Machines
Table des matières Chapitre 1
Réducteurs et cinématique.............................................................. .......................................................................................................... ............................................5
1.1
Étude d’un déplacement ..................................................................................................................... .....................................................................................................................5
1.2
Rapport de réduction .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................5
1.3
Réducteur pour l’entraînement de papier ........................................................................................... ...........................................................................................6
1.4
Question de quadrants ........................................................................................................................ ........................................................................................................................6
1.5
Train à crémaillère............................................................ .............................................................................................................................. ..................................................................6
1.6
Calcul d’un réducteur pour bande transporteuse ..................................................................... ................................................................................ ...........7
1.7
Charge d’un moteur avec crémaillère................................................................ ................................................................................................. .................................7
1.8
Entraînement d’une vanne papillon ........................................................ .................................................................................................... ............................................7
1.9
Entraînement d’un crochet dans une machine d’emballage ............................................................... ...............................................................8
1.10
Découpe de feuilles de papier........................................... papier............................................................................................................. ..................................................................9
1.11
Entraînement du pied d’un robot d’assemblage ................................................................................. .................................................................................9
1.12
Entraînement d’une table de découpe au Laser ................................................................................ ................................................................................10
Chapitre 2
Moteur DC ................................................................................................. ................................................................................................................................ ............................... 11
2.1
Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge .................................................................................... ....................................................................................11
2.2
Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais e ssais ................................................................................... ...................................................................................11
2.3
Rendement d’un moteur DC........................................................ ............................................................................................................. .....................................................11
2.4
Entraînement d’une perceuse .................................................................. ..................................................................Erreur ! Signet non défini.
2.5
Mini centrale hydraulique avec générateur DC ............................................................ ................................................................................ ....................12
2.6
Freinage d’urgence d’un moteur DC ................................................................. ................................................................................................ ...............................12
2.7
Régime transitoire tra nsitoire de courant dans un moteur DC bloqué ...............................................................13
2.8
Régime transitoire t ransitoire de vitesse d’un moteur DC............................................................. ................................................................................. ....................13
2.9
Régimes transitoires d’un petit moteur DC – 1 ................................................................................ ................................................................................14
2.10
Régimes transitoires d’un petit moteur DC – 2 ................................................................................ ................................................................................14
Chapitre 3
Moteur synchrone ..................................................................................................................... .....................................................................................................................16
3.1
Moteur synchrone alimenté à fréquence constante...........................................................................16
3.2
Moteur synchrone en régime nominal ............................................................. .............................................................................................. .................................16
3.3
Moteur DC et moteur synchrone ................................................................................. ...................................................................................................... .....................16
3.4
Accélération d’un servomoteur « brushless » ..................................................................................17
Chapitre 4
Moteur asynchrone ................................................................................................................... ...................................................................................................................18
4.1
Pôles et glissement d’un moteur asynchrone.............................................................. .................................................................................... ......................18
4.2
Couple et vitesse d’un moteur asynchrone ....................................................................................... .......................................................................................18
4.3
Moteur asynchrone a synchrone utilisé à charge réduite ................................................................ ...................................................................................... ......................18
4.4
Moteur asynchrone en régime de freinage ....................................................................................... .......................................................................................18
4.5
Moteur asynchrone à 50 Hz et à 60 Hz ............................................................................................ ............................................................................................19
4.6
Microcentrale hydraulique ......................................................... ............................................................................................................... ......................................................19
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Motorisation et Commande des Machines 4.7
Moteur asynchrone entraînant une pompe ........................................................ ....................................................................................... ............................... 19
4.8
Entraînement d’une broche ......................................................... .............................................................................................................. ..................................................... 20
4.9
Système de bobinage .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ......... 21
Chapitre 5 5.1
Autres moteurs......................................................... ......................................................................................................................... ................................................................ 22
Calcul d’une crémaillère pour moteur pas-à-pas .................................................................... ............................................................................. ......... 22
Chapitre 6
Choix d’un entraînement ......................................................................................................... 23
6.1
Table tournante .................................................................................................. ................................................................................................................................ .............................. 23
6.2
Dimensionnement thermique d’un servomoteur.............................................................................. servomoteur.............................................................................. 23
6.3
Validation thermique pour un moteur................................................................ .............................................................................................. .............................. 24
6.4
Calcul de productivité.................................................................. ...................................................................................................................... .................................................... 24
6.5
Entraînement d’une tourelle ............................................................................................................ ............................................................................................................ 24
6.6
Entraînement pour découpe de papier ............................................................................................. ............................................................................................. 25
Chapitre 7
Considérations d’énergie et de puissance ............................................................ ................................................................................ .................... 27
7.1
Puissance d’alimentation et résistance de freinage ................................................................. .......................................................................... ......... 27
7.2
Calcul d’un entraînement linéaire l inéaire........................................................... .................................................................................................... ......................................... 27
Chapitre 8
Profils de mouvements ............................................................................................................ ............................................................................................................ 29
8.1
Déplacement optimal avec profil vitesse triangulaire .............................................................. ...................................................................... ........ 29
8.2
Déplacement optimal avec profil vitesse trapézoïdal ...................................................................... ...................................................................... 29
8.3
Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt arrêt............................................................... ....................................................................... ........ 30
8.4
Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt vitesse fixe fi xe ............................................................ 30
8.5
Déplacement avec profil en polynôme 3-4-5 ................................................................ ................................................................................... ................... 31
8.6
Déchargeur de cartons ............................................................................................................. ..................................................................................................................... ........ 31
8.7
Influence du profil de mouvement sur le choix d’un moteur .......................................................... 32
8.8
Influence du profil de mouvement sur l’échauffement d’un moteur ............................................... ............................................... 32
Chapitre 9
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Mouvements multiaxes .............................................................................. ............................................................................................................ .............................. 33
9.1
Presse à découper une bande ........................................................................................................... ........................................................................................................... 33
9.2
Presse à découper une bande – cadence plus lente .......................................................................... .......................................................................... 33
9.3
Presse à découper une bande – bande moins épaisse.............................................................. ....................................................................... ......... 33
9.4
Découpe de carton .................................................................................................................. ........................................................................................................................... ......... 34
9.5
Poinçonneuse à 2 axes ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 34
9.6
Découpeuse Laser à 2 axes ..................................................................................................... .............................................................................................................. ......... 35
9.7
Synchronisation d’un esclave sur un maître « réel » ....................................................................... ....................................................................... 35
9.8
Synchronisation d’un esclave sur un maître « virtuel » .......................................................... ................................................................... ......... 36
9.9
Couteau volant ....................................................................................... ................................................................................................................................. .......................................... 36
9.10
Mise en phase d’un axe esclave sur un maître ............................................................. ................................................................................. .................... 37
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Chapitre 1
Réducteurs et cinématique
1.1 Étude d’un déplacement Une machine doit souder des écrous (inserts) à la distance D les uns des autres, sur une bande métallique qui défile à vitesse constante V . ) t t )
e ( r e o u d u s o p v d i s s
D V
Pour chaque écrou, le dispositif de soudure accélère pour être synchrone avec la bande, maintient cette vitesse pendant la durée t soudure soudure (durée de la soudure), puis s’arrête. La valeur de l’accélération est A. Le dispositif de soudure retourne alors à son point de départ, avec un profil de vitesse triangulaire, caractérisé par la même accélération A. Valeurs numériques :
V =
0,5 m/s ; D
= 12 cm ;
t soudure =
75 ms ; A = 24 m/s
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a) Représenter l’allure de la vitesse pendant un cycle de production de la machine. b) De quelle distance se déplace le dispositif de soudure pendant chacun de ses déplacements « aller » ? c) Quelle est la durée du mouvement de retour ? d) Quelle vitesse max. V max-retour atteint-il pendant ce retour ? max-retour atteint-il e) Quel est le temps disponible pour la saisie de l’écrou suivant, entre le retour à la position initiale et le départ du nouveau cycle ?
1.2 Rapport de réduction Un moteur tourne à 1’450 tr/min et entraîne sa charge par l’intermédiaire d’une courroie crantée. Le pignon sur le moteur compte 17 dents, celui sur la charge en compte 37. Quelle sera la vitesse à vide de la charge ?
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1.3 Réducteur pour l’entraînement de papier On souhaite entraîner du papier à la vitesse de 190 m/min avec un cylindre de 20 cm de diamètre. L’épaisseur du papier est supposée négligeable. Dans ces conditions, la vitesse du moteur électrique d’entraînement doit être proche de 3'200 tr/min. Quel réducteur proposez-vous ?
1.4 Question de quadrants Un moteur électrique doit équiper un convoyeur qui, toutes les 2 secondes, doit avancer de 50 cm, puis s’arrêter. Expliquer dans quel(s) quadrant(s) il fonctionnera ? Quelles conséquences faut-il en tirer pour le choix du réducteur et de la transmission ?
1.5 Train à crémaillère Le chemin de fer à crémaillère le plus raide au monde, qui mène au sommet du Pilatus près de Lucerne, présente une dénivellation de 1'629 m (différence d’altitude entre la gare de départ et la gare du sommet). La pente moyenne est de 38%. La masse d’un train est de 13,2 tonnes. Alimenté à la tension continue de 1,55 kV, il consomme une puissance électrique (moyenne) à la montée de 225 kW. Il parcourt tout le trajet en 40 minutes.
La crémaillère, assez particulière, a un pas de 6,35 cm, et les roues dentées comptent 15 dents chacune. a) Tenant compte de l’énergie potentielle qui correspond à l’élévation du train depuis la gare de départ jusqu’à la gare du sommet, sommet, calculer le rendement de ce chemin de fer à la montée. b) En admettant que le train descende à la même vitesse, et que tous les frottements et pertes de rendement soient identiques qu’à la montée, quelle énergie électrique pourrait être récupérée ? c) Déterminer la vitesse moyenne de rotation r otation des roues dentées, en [rad/s]. d) En admettant que les frottements de ce réducteur soient nuls, et donc que son rendement soit de 100%, quel couple faut-il exercer sur chacune des deux roues dentées pour compenser exactement l’effet de la gravitation sur le train, à l’arrêt ?
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1.6 Calcul d’un réducteur pour bande transporteuse Une bande transporteuse est entraînée par un moteur, par l’intermédiaire d’un réducteur (voir figure cidessous). Les caractéristiques sont les suivantes : • • • • • • •
Diamètre du tambour entraînant la bande : ∅ = 250 mm Épaisseur de la bande : supposée négligeable Vitesse de la bande : v = 75 m/min Force de traction exercée par le tambour sur la bande : F = = 2400 N Rendement du réducteur : ηR = = 80% Vitesse nominale du moteur : N M nom = 1'455 tr/min Rendement du moteur : ηM = 87% bande bande
M
tambour
a) Quel doit être le rapport du réducteur entre le moteur et le tambour ? b) Le pignon côté moteur ayant 11 dents, combien de dents doit avoir le pignon côté tambour ? c) Quel est le couple que doit fournir le moteur ? d) Quel est la puissance électrique absorbée par le moteur ?
1.7 Charge d’un moteur avec crémaillère La tête d’impression d’une imprimante à jet d’encre est mue horizontalement par un entraînement rotatiflinéaire de type pignon – crémaillère. L’équipage mobile (tête et dispositif d’entraînement) pèse 800 g et doit être accélérée à 25 m/s2. La crémaillère à un pas de 2,0 mm et le pignon d’entraînement compte 38 dents. L’inertie du moteur est de 150 ∙ 10-6 kgm2. a) Que vaut l’inertie équivalente de cette charge, rapportée au moteur. b) Quel est le couple moteur nécessaire pour accélérer cette charge c harge (hypothèses : frottements nuls).
1.8 Entraînement d’une vanne papillon Dans une machine d’emballage de pâtes alimentaires, on utilise une vanne pour ouvrir et fermer l’écoulement du produit dans les emballages. Cette vanne effectue des mouvements de 90°, dans un sens puis dans l’autre, selon le diagramme dia gramme temps-vitesse ci-dessous. Elle est entraînée par un servomoteur, par l’intermédiaire d’un réducteur, dont le rapport ra pport de réduction doit encore être déterminé.
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Données numériques : • • • • • • • •
durée des déplacements durée des arrêts inertie de la vanne par rapport à son axe de rotation : vitesse max. du moteur : inertie du moteur : nombre de dents du pignon côté moteur : inertie du réducteur : frottements :
t dépl dépl =212 ms t arrêt arrêt = 88 ms 2 J L = 0,0214 kgm N M-max M-max = 1’100 tr/min -3 2 J M = 0,86 · 10 kgm Z M = 11 dents
supposée négligeable supposés négligeables
ωL(t) ωL-max
t dépl dépl
t arrêt arrêt t
t dépl dépl
t arrêt arrêt t cycle cycle
- ωL-max
a) Quelle est la valeur max. du rapport de réduction ? b) Quelle est la valeur optimale du rapport de réduction ? c) Quels nombres de dents proposez-vous pour le pignon du réducteur, côté charge ? d) Quelle couple électromagnétique doit délivrer le moteur pour réaliser ces accélérations ? e) Refaites tous ces choix en tenant compte d’un autre moteur, de même inertie rotorique, mais dont la vitesse serait limitée à 500 tr/min.
1.9 Entraînement d’un crochet dans une machine d’emballage Dans une machine d’emballage, un crochet fait un mouvement rotatif d’aller-retour. Il pivote de 120 degrés en 85 ms, avec une vitesse dont l’allure au cours du temps est un triangle isocèle (accélération constante). Il revient immédiatement après à la position de départ, également en 85 ms, avec un profil de vitesse similaire. Il attend alors pendant 110 ms avant de répéter l’opération, et ainsi de suite, un carton étant formé à chaque cycle. Ce crochet est entraîné par un servomoteur, par l’intermédiaire d’un réducteur. Le moteur est caractérisé par une vitesse max. de 1'600 tr/min et une inertie de 510 · 10-6 kgm2. L’inertie du crochet relativement à son axe de rotation vaut 7,8 · 10-3 kgm2. 8
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On considère que tous les frottements sont négligeables, et que le rendement du réducteur est idéal (100%). Questions : a) Quels nombres de dents proposez-vous pour les 2 pignons, qui respectent au mieux les limitations du moteur, et le sollicitent aussi peu que possible ? b) Quel couple électromagnétique le moteur doit-il fournir lors des accélérations ? c) Quelle est la cadence de production de la machine, en [cartons/heure] ?
1.10 Découpe de feuilles de papier Un servomoteur de 4,9 Nm nominal peut tourner jusqu’à 4'500 tr/min. Son inertie vaut 6,3 kg∙cm2. Il entraîne une charge rotative à l’aide d’un réducteur à courroie crantée. La charge doit constamment accélérer de 1’370 tr/min à 1’830 tr/min, puis revenir à 1'370 tr/min. Elle ne fait donc qu’accélérer et freiner, à accélération constante. c onstante. Son inertie est de 12,6 kg∙cm2. On suppose que tous les frottements sont négligeables, et que le rendement du réducteur est de 100%, donc que le couple transmis par le moteur ne sert qu’à accélérer et freiner la charge, suivant son sens. (Application réelle : Il s’agit d’une machine à découper des feuilles de papier aux formats A4, A5, et longueurs spéciales. Celles-ci, imprimées en continu mais pas encore découpées, avancent à vitesse constante. Un ciseau rotatif découpe chaque page à la bonne longueur. Sa circonférence est légèrement supérieure à la longueur d’une page. Au moment de la l a découpe, c’est-à-dire lorsque sa vitesse angulaire est la plus faible, sa vitesse tangentielle doit être égale à celle du papier. Entre deux découpes, il doit accélérer et freiner pour être prêt à couper la page suivante au bon endroit. a) Quelle limite du rapport de réduction est imposée par les considérations de vitesse ? b) Quelle est la valeur optimale du rapport de réduction ? c) Quel rapport de réduction choisir ? d) Est-ce que le moteur convient ?
1.11 Entraînement du pied d’un robot d’assemblage Dans un robot d’assemblage, un servomoteur est utilisé pour faire pivoter son pied autour de son axe, par l’intermédiaire d’un réducteur. Caractéristiques du mouvement du pied : • • • • • • •
La cadence de production de la machine est de 50'000 cycles/heure Chaque cycle commence par un déplacement point-à-point, suivi d’un temps d’attente à l’arrêt. L’allure du déplacement est à accélération constante (profil de vitesse en forme de triangle isocèle). Chaque déplacement déplace le disque de 1/16 de tour. Chaque déplacement dure 35 ms. L’inertie de la charge (disque) vaut J L = 0,0023 kgm2. Les frottements de la charge c harge sont considérés comme négligeables.
Caractéristiques du servomoteur : L’inertie du servomoteur vaut J M = 0,78 · 10-3 kgm2. Les frottements à l’intérieur du moteur sont considérés comme négligeables. Copyright © Bernard Schneider, 2009-14 • •
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Caractéristiques du réducteur : • •
Le rapport de réduction correspond exactement au a u rapport optimal. Le rendement du réducteur est de 82% (supposé constant quelle que soit la vitesse et quel que soit le couple transmis, dans les 4 quadrants).
Questions : a) Déterminer la vitesse max. que le servomoteur doit pouvoir atteindre. b) Déterminer le couple que le servomoteur doit pouvoir fournir lors des accélérations. c) Déterminer le couple que le servomoteur doit pouvoir fournir lors des décélérations.
1.12 Entraînement d’une table de découpe au Laser Un moteur à courant continu de type AXEM MC24P est utilisé pour déplacer la table d’une machine à découper les tôles au Laser, par l’intermédiaire d’une vis à billes. Il est caractérisé comme suit : • • • • •
Couple nominal : Vitesse nominale : Résistance d’induit : Constante de couple : Inertie Inertie :
7,3 Nm 3’000 tr/min 0,75 Ω
0,39 Nm/A 3,2 · 10-3 kgm2
La vis à billes est entraînée directement par le moteur. Elle est caractérisée comme suit : • • •
Pas de vis : Inertie Inertie : Frottements :
18 mm 3,8 · 10-3 kgm2 (non négligeable) supposés négligeables
Le chariot entraîné, avec la tôle en cours de découpe, pèse 350 kg. Il se déplace horizontalement, sans influence de la gravitation. On admet qu’il se déplace sans aucun frottement. Questions : a) Quelle est la vitesse de déplacement du chariot lorsque le moteur tourne à sa vitesse nominale ? b) Que vaut l’accélération du chariot lorsque le couple électromagnétique fourni par le moteur est égal à son couple nominal ? c) Quel pas devrait avoir la vis à billes pour que le rapport de réduction soit optimum ?
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Chapitre 2
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Moteur DC
2.1 Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge Un moteur DC à aimants permanents a comme caractéristiques : • • •
k E = 50 V par 1000 tr/min k T = 0,48 Nm/A Ra = 0,9 Ω
Calculer la vitesse max. qu’il peut atteindre avec un variateur pouvant fournir au maximum 150 VDC : a) lorsqu’il est à vide, en négligeant les pertes internes par frottement ; b) lorsqu’il est chargé à son couple nominal de 5 Nm.
2.2 Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais On souhaite caractériser un petit moteur DC à aimants permanents. Pour ce faire, on procède à 2 essais successifs : a) Le moteur est chargé, à l’arrêt, par un couple de 0,105 Nm. Il est alimenté par une source de 6,4 V, et on mesure son courant I a = 910 mA. On suppose qu’il n’y a aucun frottement significatif dans ces conditions. b) Le moteur à vide est alimenté par une source de 24 VDC. On mesure alors son courant I b = 80 mA, et sa vitesse qui vaut 1'940 tr/min. t r/min. Dans ces conditions, on ne peut pas négliger les frottements. Déterminer sa résistance Ra, sa constante de couple k T T et sa constante de vitesse k E . Déterminer le couple de frottement interne T frott dans le cas « b ».
2.3 Rendement d’un moteur DC Un moteur DC est caractérisé par : • • •
= = 0,115 0,115 Nm/A Nm/A = 7,0 7,0 Ω = 0,00 0,009 9 Nm (supposé constant)
Quel est son rendement lorsqu’il est alimenté à 24 VDC et chargé à 0,105 Nm ?
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2.4 Entraînement d’une perceuse Un moteur à courant continu est alimenté par une source de tension de 12,0 V. Sa résistance d’induit vaut 0,45 Ω, sa constante de couple vaut 0,0890 Nm/A et sa constante de vitesse vaut 0,0890 Vs/rad. Il entraîne un foret pour percer un trou, directement (donc sans réducteur), et à vitesse constante. On a pu déterminer que, dans ces conditions, il consommait un courant constant de 2,64 A. a) Quelle est sa vitesse de rotation, en [tr/min] ? b) En admettant que les frottements à l’intérieur du moteur sont négligeables, quel est la valeur du couple que le moteur transmet à la mèche ?
2.5 Mini centrale hydraulique avec générateur DC Pour alimenter une installation d’électrolyse à partir d’une petite chute d’eau, on utilise une turbine hydraulique, qui entraîne un moteur DC fonctionnant en générateur, à une vitesse constante de 1'750 tr/min. Le couple transmis par la turbine au moteur DC est de 95 Nm. Le moteur DC est caractérisé par une résistance d’induit de 80 mΩ, et une constante de couple de 1,18 Nm/A. À ce régime, on constate que a tension continue aux bornes du moteur est de 210 V, et que le courant délivré est de 79 A. Quel est le rendement de ce moteur, que valent les pertes ohmiques et quel est le couple de frottement interne au moteur ? La puissance électrique fournie par le moteur à l’installation d’électrolyse vaut :
2.6 Freinage d’urgence d’un moteur DC Une machine comporte un moteur DC à aimants permanents pour l’entraînement d’une table. Il est alimenté par un servo amplificateur, dont la tension de sortie U DC pendant le fonctionDC varie entre -130 V et +130 V pendant nement normal de la machine. Le moteur est du type PARVEX RS640E. Ses caractéristiques sont : T nom nom = 13 Nm ; k T = 0,47 Nm/A ; 2 k E = 49,2 [V / 1'000 tr/min] ; Ra = 0,12 Ω ; J M = 0,0083 kgm . Pour assurer l’arrêt d’urgence en cas de panne, et plutôt que d’ajouter un frein mécanique, on prévoit un dispositif permettant de court-circuiter ce moteur. Ce procédé présente l’avantage de fonctionner même si le servo amplificateur tombe en panne, ce qui améliore la sécurité de la machine. Cependant, pour ne pas risquer d’endommager le réducteur (vis à bille), le couple de freinage ne doit en aucun cas excéder 3 fois le couple nominal du moteur. Pour limiter ce couple, on limite le courant de freinage en ajoutant une résistance Rfrein dans le circuit d’urgence, comme représenté ci-dessous. U DC DC
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Questions : a) Quelle est la valeur max. à laquelle le moteur peut tourner pendant le fonctionnement normal de la machine ? b) Quelle est la valeur max. que le courant peut atteindre au moment du freinage ? c) Quelle valeur ohmique proposez-vous pour la résistance Rfrein , et pourquoi ?
2.7 Régime transitoire de courant dans un moteur DC bloqué Un moteur (Maxon A-max 26/110209) est connecté soudainement à une alimentation de 12 V. Ses caractéristiques sont les suivantes : • • • • • • • •
U alim alim = 12 V I nom nom = 629 mA Ra = 7,41 Ω La = 0,77 mH
= 12,4 s T nom nom = 0,0157 Nm -6 2 J mot mot = 1,3 · 10 kgm -6 2 Inertie de la charge : J charge charge = 3,9 · 10 kgm τ therm therm
a) Considérant que le moteur est bloqué mécaniquement, exprimer et représenter le courant en fonction du temps. b) Combien de temps peut-on maintenir ce moteur ainsi alimenté, avec son rotor bloqué, avant que sa température interne dépasse sa température limite de fonctionnement ?
2.8 Régime transitoire de vitesse d’un moteur DC On répète l’expérience de l’exercice précédent, mais cette fois en laissant le moteur tourner librement avec sa charge. a) Déterminer les constantes k T T et k E . b) Calculer les constantes de temps mécanique et électrique, et déterminer si l’inductance de ce moteur DC peut être négligée dans ce problème. c) Exprimer et représenter sa vitesse en fonction du temps, en négligeant tous t ous les frottements. d) Exprimer et représenter cette même vitesse, mais en considérant qu’il y a en plus un frottement visqueux B = 6,8 · 10-6 Nm·s/rad. (Rappel : Un frottement visqueux est caractérisé par un couple de frottement proportionnel à la vitesse entre les 2 surfaces.) ω
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2.9 Régimes transitoires d’un petit moteur DC – 1 On considère un petit moteur DC à aimants permanents (type Maxon A-max 26/110211), caractérisé comme suit : • • • • • • •
U nom nom = 15 V I nom nom = 338 mA Ra = 25,8 Ω La = 2,57 mH k T T = k E = 0,0467 Nm/A -6 2 J m = 1,25 ∙ 10 kg∙m
= 12,4 s
τ therm
Il entraîne une charge inertielle pure, caractérisée par J ext t ous les frottements. ext = 8 ∙ J m . On néglige tous Ce moteur est connecté soudainement à une alimentation de 15 V, et se met donc à tourner. a) À quelle valeur sa vitesse se stabilisera-t-elle ? b) Quelle est la valeur du courant consommé par le moteur, lorsque la vitesse est ainsi stabilisée ? c) Après combien de temps le moteur atteint-il une vitesse égale ou supérieure à 2'000 tr/min ? d) Quel est le rapport, à 5% près, entre le courant de pointe absorbé par le moteur au début du démarrage, et son courant nominal ? Longtemps après que la vitesse se soit stabilisée, et en maintenant la tension d’alimentation constante, on freine ce moteur avec un couple inconnu, mais rigoureusement constant. On constate que sa vitesse diminue, et se stabilise à nouveau. On mesure alors un courant de 450 mA. e) À quelle valeur la vitesse du moteur se stabilise-t-elle alors ? f) Quelle est la valeur du couple constant qui freine le moteur ? g) Pendant combien de temps peut-on le laisser fonctionner à ce régime sans risque ?
2.10 Régimes transitoires d’un petit moteur DC – 2 Un petit moteur DC (Maxon, type A-max 236670) entraîne une charge constituée uniquement d’une roue. On considère que les frottements sont négligeables. né gligeables. Il est non alimenté, à l’arrêt, depuis longtemps. Les caractéristiques du moteur sont les l es suivantes : • • • • •
Constante de couple du moteur : Constante de vitesse du moteur : Résistance interne du moteur : Inductance du moteur : Inertie du moteur :
0,0461 Nm/A 0,0461 Vs/rad 7,17 Ω
0,953 mH 4,4 · 10-6 kgm2
La charge est caractérisée comme suit : •
Inertie de la roue :
13,2 · 10-6 kgm2
À l’instant = 0, on connecte le moteur subitement à une alimentation de tension continue 1 = 20 V, et il se met à tourner. 14
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Questions : a) Calculer les constantes de temps électrique éle ctrique et mécanique. b) Expliquer en quelques mots pour quelle raison il est possible de négliger l’effet de l’inductance, lorsqu’on s’intéresse à l’évolution de la vitesse de ce moteur. c) Quelle est la vitesse du moteur à l’instant 1 = 50 ms ? À cet instant précis, on modifie la tension d’alimentation, qui saute à U2=-30 V. d) Combien de temps après le changement de tension (donc après 1 ) la valeur instantanée de la vitesse valait-elle exactement zéro ?
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Chapitre 3
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Moteur synchrone
3.1 Moteur synchrone alimenté à fréquence constante À quelle vitesse tourne un moteur synchrone alimenté en 50 Hz, équipé de 24 pôles ?
3.2 Moteur synchrone en régime nominal Un moteur synchrone de puissance nominale 22 kW est alimenté au réseau triphasé t riphasé européen 400 V / 50 Hz), p = 2). Il fonctionne à son régime nominal, avec un rendement de 92% et un et comporte 2 paires de pôles ( p facteur de puissance (cosϕ ) de 0,87. Déterminer sa vitesse de rotation, son couple à l’arbre, sa puissance active et son courant de phase.
3.3 Moteur DC et moteur synchrone Un moteur synchrone, alimenté par le réseau 400 V / 50 Hz / triphasé, entraîne directement un moteur DC. Ce dernier, fonctionnant en générateur, alimente une charge modélisée par une résistance de 50,0 Ω.
Données numériques : • • • • •
Puissance nominale (à l’arbre) : Vitesse nominale : Facteur de puissance (cosφ) du moteur synchrone :
Rendement du moteur synchrone : Rendement du moteur DC :
0,8 kW 750 tr/min 0,88 94% 86%
Questions : a) Déterminer le courant électrique consommé par le moteur synchrone lorsqu’il fonctionne exactement à sa puissance nominale. b) Déterminer le nombre de pôles du moteur synchrone. c) Déterminer le couple transmis par le moteur synchrone au moteur DC. d) Déterminer la puissance et le courant fournis par le moteur DC à la résistance.
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3.4 Accélération d’un servomoteur « brushless » Un servomoteur synchrone à aimants permanents « AC brushless » a une constante de couple 1,02 Nm/Arms. Son courant nominal I N = 2,9 Arms. Son inertie J M = 3,3 kg·cm2. À vide, et sans dépasser k T T = son couple nominal, combien de temps lui faut-il pour accélérer de 0 à 3'000 tr/min ?
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Chapitre 4
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Moteur asynchrone
4.1 Pôles et glissement d’un moteur asynchrone Un moteur asynchrone alimenté en 50 Hz tourne à 720 tr/min. Calculer le nombre de pôles et son glissement (en % de la vitesse synchrone).
4.2 Couple et vitesse d’un moteur asynchrone Soit un moteur asynchrone de 22 kW, dont la vitesse nominale est de 1’420 tr/min. Son rendement est de 91%, et son facteur de puissance de 0,85. On l’alimente en triphasé 400 V – 50 Hz. a) Quel est son glissement à charge nominale ? b) Quel est son courant nominal ?
4.3 Moteur asynchrone utilisé à charge réduite Le moteur de l’exercice l’exercice 4.2, alimenté 4.2, alimenté par le réseau triphasé 400 V – 50 Hz, entraîne une charge à vitesse constante en lui transmettant un couple de 55 Nm. a) À quelle vitesse tourne-t-il ? b) En admettant que son rendement est le même à charge réduite qu’à pleine charge (91%), déterminer la puissance active qu’il consomme. c) En admettant que la puissance réactive est la même à charge réduite qu’à pleine charge (puissance nominale), déterminer son courant de phase et son facteur de puissance.
4.4 Moteur asynchrone en régime de freinage Le moteur de l’exercice 4.2 l’exercice 4.2 est utilisé pour un ascenseur. Quelle sera sa vitesse à la descente ?
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4.5 Moteur asynchrone à 50 Hz et à 60 Hz La machine utilisant le moteur de l’ l’exercice 4.2 l’exercice 4.2 doit être exportée aux USA, USA, et fonctionner sous 480 V / 60 Hz. Comment fonctionnerait le moteur dans ces conditions ? Que faire ?
4.6 Microcentrale hydraulique Dans une microcentrale électrohydraulique, un moteur asynchrone est entraîné directement par la turbine pour produire de l’énergie électrique. Avec un débit d’eau constant, la vitesse de turbine est de 392 tr/min. Le moteur est connecté au réseau industriel 400 V à 50 Hz, triphasé. a) Le champ tournant est-il plus grand, égal, ou plus petit que la vitesse de la turbine ? b) Quel nombre de pôles est le plus favorable à votre avis ? c) Quel est alors le glissement du moteur ? d) Quelle est la puissance électrique fournie, sachant que l’on mesure un courant de phase I rms rms = 12,5 A, et que le moteur est caractérisé par un facteur de puissance cosφ = 0,86 ? e) Quelle est le couple mécanique fourni par la turbine au moteur, sachant que le rendement du moteur est de 94%, et que la turbine tourne exactement à 392 rpm ?
4.7 Moteur asynchrone entraînant une pompe Un château d’eau est alimenté depuis une nappe phréatique. La différence de niveau est de 67 m. Le débit doit pouvoir atteindre au minimum 55 m3 par heure. Pour fournir ce débit, la pompe doit être entraînée à une vitesse de 690 tours par minute. Elle peut tourner plus vite, mais sans dépasser dépasser 900 tours par minute. Son rendement est de 81%. La pompe est entraînée directement, donc sans réducteur, par un moteur asynchrone, lui-même alimenté directement par le réseau 400 V / 50 Hz / triphasé. Il est caractérisé comme suit : • • • •
Puissance et nombre de pôles : à déterminer Rendement – identique pour tous les modèles : 92% Facteur de puissance (cosφ) – identique pour tous les l es modèles : 0,84 Glissement à couple nominal – identique i dentique pour tous les modèles : 4,5%
Hypothèses simplificatrices : • •
Le débit de la pompe est proportionnel à sa vitesse. On admet que le glissement du moteur est égal à son glissement nominal, même si le couple qu’il fournit n’est pas exactement égal à son couple nominal.
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Questions : a) Quel nombre de paires de pôles convient le mieux, et pourquoi ? Valeurs possibles : 1, 2, 3 ou 4. b) Suite à ce choix, quel est le débit de la pompe ? c) Quel doit être la puissance nominale du moteur ? Valeurs possibles (normalisées) : 7,5 kW, 15 kW, 22 kW ou 37 kW d) Dans ces conditions de fonctionnement, quel est le courant de phase du moteur ?
4.8 Entraînement d’une broche Dans une machine-outil de type « fraiseuse », l’outil (la broche) doit être entraîné directement (sans réducteur) par un moteur électrique. Il faut que cet entraînement puisse réaliser les performances suivantes : • • •
Vitesse de coupe (vitesse tangentielle) V c : Effort de coupe (force tangentielle) F c : Diamètre de l’outil D :
50 m/min 2’400 N variable, compris entre 3 et 17 mm
La vitesse du moteur est ajustée à l’aide d’un convertisseur électronique, pour que la vitesse de coupe souhaitée V c puisse être atteinte quel que soit le diamètre D de l’outil, dans la plage donnée.
V c
Questions : a) Déterminer la vitesse de rotation, en [rad/s], et le couple d’usinage nécessaire, en [Nm], pour le diamètre d’outil le plus faible et pour le diamètre le plus élevé. b) Expliquer pour quelle raison un moteur asynchrone convient particulièrement bien à ce genre d’entraînement.
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4.9 Système de bobinage Une machine enroule du papier qui défile à la vitesse constante de 480 m/min. Le support vide du rouleau a un diamètre de 30 cm. Le rouleau plein a un diamètre de 1,1 m. Le rouleau est entraîné par un moteur et un réducteur. La vitesse du moteur est réglée en permanence pour garantir la vitesse constante du papier, tout en tirant celui-ci avec une force de 400 N. Le moteur est de type asynchrone à 2 paires de pôles. Le catalogue du fournisseur indique que les puissances nominales (à l’arbre) suivantes sont disponibles, en [kW] : 1,1 – 2,2 – 4,0 – 7,5 – 15 – 22 – 37. La vitesse nominale de tous ces moteurs est de 1'450 tr/min. Grâce au variateur de fréquence, il peut fonctionner jusqu’à 4 fois la vitesse nominale, avec une caractéristique « puissance constante » au-delà de sa vitesse nominale. Informations complémentaires : • •
Le couple nominal du moteur, calculé en fonction de sa puissance et de sa vitesse nominales, ne doit en aucun cas être dépassé. On suppose que le rendement du réducteur est de 90% et qu’il n’y a pas d’autres pertes par frottements.
Questions : a) Quel est le plus petit des moteurs proposés qui permet d’entraîner ce cylindre sans dépasser ses caractéristiques nominales ? b) Quel rapport de réduction proposez-vous ? (Il y a plusieurs possibilités. Choisissez-en une et expliquez votre choix !) c) Faut-il tenir compte du couple nécessaire pour décélérer le rouleau lorsqu’il se remplit ?
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Chapitre 5
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Autres moteurs
5.1 Calcul d’une crémaillère pour moteur pas-à-pas Un moteur pas à pas est équipé d’un pignon pour entrainer une crémaillère, dont les dents sont distantes de 5 mm les unes des autres. Le moteur compte 180 pas par tour. On désire pouvoir positionner la charge mobile linéaire de millimètre en millimètre, aussi exactement que possible. Quel nombre de dents sur le pignon côté moteur proposez-vous, et pourquoi ?
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Chapitre 6
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Choix d’un entraînement
6.1 Table tournante On doit entraîner la table d’un nouveau centre d’usinage avec un moteur électrique par l’intermédiaire d’un réducteur. La table doit pivoter d’un huitième de tour en 120 ms, puis rester à l’arrêt pendant la fin du cycle de travail de chaque pièce. Le profil de vitesse est triangulaire (accélération constante), ce qui signifie que la vitesse du moteur augmente à accélération constante α pendant la moitié du temps, puis décroît à accélération constante -α pendant l’autre moitié du temps. La machine doit produire à la cadence de 7'000 pièces à l’heure. L’inertie des masses en rotation est de 0,28 kgm2. On souhaite utiliser à cet effet un moteur DC à aimants permanents PARVEX RS640E. Ses caractéristiques 2 sont : T nom nom = 13 Nm ; T max max = 26 Nm ; k T = 0,47 Nm/A ; Ra = 0,12 Ω ; J M = 0,0083 kgm . Son servo amplificateur peut lui fournir une tension max. de 130 V. On néglige ses frottements, ceux du réducteur et l’inertie de celui-ci. a) Quel rapport de réduction choisir ? b) Quelle marge y a-t-il entre le couple efficace nécessaire et le couple nominal du moteur ?
6.2 Dimensionnement thermique d’un servomoteur D’après sa fiche technique, un moteur électrique a un couple nominal de 15 Nm. On cherche à motoriser un axe d’une machine d’imprimerie, qui doit faire un mouvement de va et vient en 200 ms, et ce 2 fois par seconde. Pendant le mouvement, le moteur fournit 24 Nm. Entre chaque mouvement, il ne fournit que 3 Nm. a) Est-ce que ce moteur convient pour cette application ? On suppose pour simplifier que le courant absorbé par le moteur est directement proportionnel au couple fourni, et on ne considère que les échauffements que ce courant provoque par effet Joule. b) Quelle modification du cycle de charge proposeriez-vous pour que le moteur soit chargé exactement à sa valeur nominale ? c) Est-ce que la situation est différente si la surcharge ne durait que 2 minutes, répétitive toutes les 5 minutes ?
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6.3 Validation thermique pour un moteur L’entraînement d’une machine de production est équipé d’un servomoteur DC à aimants permanents, de type MT52V8-87 (fabrication SEM), et effectue des déplacements d’allure trapézoïdale. Le moteur est caractérisé comme suit : • • • • •
T nom nom = 15 Nm k T T = 9,82 Nm/A 2 J M = 0,026 kgm Ra = 0,41 Ω La = 2,0 mH
L’inertie de la charge vaut J L = 0,016 kgm2 ; les frottements nuls ; l’entraînement est direct (pas de réducteur). Les déplacements sont caractérisés comme suit : • • • •
= 42,7 rad/s t dépl dépl = 280 ms t acc acc = t déc déc = 90 ms t cycle cycle = 400 ms ωmax
a) Quelle est la valeur du couple pendant l’accélération ? b) Le moteur proposé convient-il ? Justifiez J ustifiez la réponse.
6.4 Calcul de productivité Un moteur a un couple nominal de 0,6 Nm. Il est utilisé pour entraîner un dispositif de vissage, le cycle de fonctionnement est le suivant: • • • •
Le démarrage dure 0,02 secondes et nécessite un couple de 1,2 Nm. Le moteur fonctionne ensuite 0,4 secondes pour visser avec un couple de 0,3 Nm. Puis il effectue le serrage pendant 0,1 secondes avec un couple de 1 Nm. Il reste alors déclenché jusqu’au j usqu’au cycle suivant.
Combien de cycles peut-il effectuer en une heure sans surchauffer, en respectant une marge de sécurité de 10% ?
6.5 Entraînement d’une tourelle Une machine d’assemblage comporte 8 stations, disposées en cercle autour d’une tourelle verticale. Elles sont réparties régulièrement, tous les 45 degrés. Les pièces traitées sont chargées sur la tourelle à la station no 1, puis subissent diverses opérations aux stations 2 à 7, et sont finalement déchargées à la station no 8. La tourelle qui tient ces pièces pivote autour de son axe, de station en station, en 68 ms. Elle reste alors à l’arrêt pendant 132 ms pour permettre aux diverses opérations d’être effectuées. Le profil de déplacement est du type « à accélération constante », ce qui signifie que la vitesse présente une allure triangulaire au cours du temps, l’accélération et la décélération ayant même durée. 24
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L’inertie de cette tourelle est de 0,45 kgm2. On suppose que tous les frottements sont négligeables. Par contre, lorsque la tourelle est à l’arrêt, la tourelle subit un couple perturbateur provoqué par les divers usinages, qui est estimé à 22 Nm. La tourelle est entraînée par un moteur en prise directe (pas de réducteur), de fabrication ETEL, devant impérativement être choisi parmi ceux c eux qui figurent ci-dessous.
Type de moteur TMM…
0450-030
0450-050
0450-070
0450-100
0450-150
Couple nominal [Nm]
181
286
386
530
769
Inertie [kgm2]
0,16
0,26
0,37
0,53
0,80
a) Représenter l’allure de la vitesse et du couple moteur au cours du temps. b) Déterminer lequel de ces moteurs convient le mieux sur le plan thermique, en justifiant votre choix.
6.6 Entraînement pour découpe de papier On souhaite concevoir une machine pour couper en pages du papier pré imprimé livré li vré en rouleau.
Le papier est déroulé et entraîné à vitesse constante. Il est amené entre 2 cylindres de coupe qui sont entraînés à vitesse ajustable par un servomoteur (couplage direct, sans réducteur). L’allure de la vitesse de ces cylindres comporte des corrections périodiques (1 par feuille découpée) comme le montre la figure cidessous :
Le temps de cycle vaut 60 ms, et la durée des corrections est de 20 ms. La vitesse des cylindres de coupe varie entre 1'800 et 2'600 tr/min. L’inertie de ces deux cylindres ensemble, ramenée au moteur, vaut 0,3 · 10-3 kgm2. Copyright © Bernard Schneider, 2009-14
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Pour diverses raisons plus logistiques que techniques, on a choisi pour M1 un moteur de type HRS115AB, dont les spécifications sont données ci-dessous. À remarquer que la variante de bobinage ( k T T), correspondant aux diverses courbes de la figure couple-vitesse, n’est pas encore déterminée. Variante T nom k T J mot nom T mot bobinage [Nm] [Nm/A] [kgm2]
R A [Ω]
L A
[mH]
64
3,7
0,75
0,27·10 0,27· 10-3 2,7
15
88
3,7
1,02
0,27·10 0,27· 10-3 5,5
28
130
3,7
1,53
0,27·10 0,27· 10-3 11,4
60
180
3,7
2,1
0,27·10 0,27· 10-3 23,6
114
260
3,7
3,03
0,27·10 0,27· 10-3 45,6
240
a) Quelle est la valeur du couple nécessaire pour accélérer et décélérer les cylindres de coupe pendant les corrections ? b) On évalue que l’ensemble des frottements dans l’entraînement de ces rouleaux correspond à un couple constant de 0,9 Nm. Tenant compte du couple d’accélération calculé ci-dessus, évaluer le couple efficace T rms rms que le moteur doit être capable de fournir. c) Quelle est la marge de couple du moteur choisi, en [%] de son couple nominal ? d) Reporter sur le diagramme couple-vitesse du moteur la zone de fonctionnement de ce moteur. (Il suffit de reporter les points de fonctionnement pour lesquels le couple est e st positif.) e) Choisir alors une variante de bobinage qui convienne, en supposant que l’alimentation dont on dis pose est exactement celle spécifiée par le fabricant du moteur (560 V – bus DC). DC). f) Pour le moteur choisi, que doit valoir le courant pour obtenir l’accélération nécessaire lors des corrections ? g) Pour des raisons de logistique et de stock, l’entreprise souhaiterait utiliser la variante « 64 » plutôt que la variante choisie. Que deviendrait le courant d’accélération du moteur ? 26
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Chapitre 7
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Considérations Considérations d’énergie et de puissance
7.1 Puissance d’alimentation et résistance de freinage Un servomoteur et sa charge sont caractérisés c aractérisés par : • • •
N max max = 3'000 tr/min k T 1 Nm/A T = 2 J tot tot = 0,0032 kgm
Le cycle de travail de ce moteur est le suivant : • • • •
Accélération de 0 à N max max en 100 ms. Vitesse constante pendant 300 ms, avec un couple de 4 Nm. Freinage en 100 ms. Arrêt pendant 500 ms, avec un couple de maintien de 2 Nm. a) Calculer et représenter la vitesse, le couple et la puissance fournie par ce moteur pendant un cycle. b) Représenter la puissance fournie par l’alimentation (réseau triphasé t riphasé 400 V / 50 Hz). c) Représenter la puissance de freinage que doit dissiper la résistance de freinage. d) Dans quelles limites faut-il choisir la puissance nominale de la résistance de freinage ?
7.2 Calcul d’un entraînement linéaire Sur une machine de production, on doit réaliser des déplacements point-à-point linéaires d’une amplitude de 33 cm en 220 ms, une fois dans un sens, une fois dans l’autre sens. Le temps de cycle est de 0,6 s (pour un aller-retour). On utilise un réducteur de type pignon-crémaillère. La crémaillère a un pas de 2,5 mm. L’ensemble des masses en mouvement linéaire présente une masse de 35 kg. Le moteur est de type DC (courant continu). Sa vitesse max. est de 3'000 tr/min. Son inertie est de 0,72 ∙ 10-3 kgm2. Sa constante de couple c ouple est de 0,42 Nm/A. Le convertisseur qui entraîne ce moteur est alimenté à partir d’un réseau triphasé 170 Vrms / 50 Hz par l’intermédiaire d’un redresseur (donc incapable de restituer l’énergie l’é nergie de freinage au réseau triphasé). On admet que le profil de vitesse est du type à accélération constante (triangle isocèle). On néglige toutes les pertes et frottements, ainsi que l’énergie absorbée par le condensateur du bus DC. Questions : a) Calculer la vitesse max. et l’accélération max. de la charge, pour un profil à accélération constante. b) Quelle est la valeur optimum du nombre de dents du pignon ? Copyright © Bernard Schneider, 2009-14
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c) Quel doit être le nombre de dents du pignon pour que ce moteur puisse réaliser le déplacement souhaité sans dépasser sa vitesse max. ? d) Quelle est alors la valeur du couple max. que le moteur doit pouvoir délivrer ? e) Quelle est la valeur efficace (rms) de ce couple ? f) Tenant compte du fonctionnement cyclique et d’une marge de sécurité de 10%, quelle est la valeur minimum du couple nominal que doit offrir ce moteur ? g) Quelle est la valeur moyenne de la puissance dissipée dans la résistance de freinage ?
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Chapitre 8
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Profils de mouvements
8.1 Déplacement optimal avec profil vitesse triangulaire Un servomoteur DC doit déplacer une charge d’une distance X pendant pendant le temps τ , , en suivant un profil de vitesse triangulaire. L’accélération dure τ 1 , la décélération dure τ 3 . On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas ( pas de frottements). a) Déterminer les rapports τ 1 / τ et τ 3 / τ pour lesquels ces pertes sont minimales. b) Pour le rapport ainsi déterminé, exprimer la vitesse max. V max max, l’accélération max. Amax, l’accélération r.m.s. Arms, et les pertes thermiques dans le moteur, en fonction de la distance X et et du temps τ . c) Exprimer la puissance mécanique max. Pmax que doit délivrer le moteur.
8.2 Déplacement optimal avec profil vitesse trapézoïdal Un servomoteur DC doit déplacer une charge d’une distance X pendant pendant le temps τ , , en suivant un profil de vitesse trapézoïdal. L’accélération dure τ 1 , la phase à vitesse constante dure τ 2 , et la décélération dure τ 3. On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements). a) Déterminer les rapports τ 1 / τ , , τ 2 / τ ,et τ 3 / τ pour lesquels ces pertes sont sont minimales. b) Pour les rapports ainsi déterminés, exprimer la vitesse max. V max max, l’accélération max. Amax, l’accélération r.m.s. Arms, et les pertes thermiques dans le moteur E ohm et ohm, en fonction de la distance X et du temps τ . c) Exprimer la puissance mécanique max. Pmax que doit délivrer le moteur.
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8.3 Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt
arrêt
On considère le polynôme du 5ème degré suivant : () = 0 + 1 ∙ + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 + 5 ∙ 5
a) Calculer les 6 coefficients pour que le déplacement correspondant ait une amplitude de 1 [m], que la durée soit de 1 [s], et pour que la vitesse comme l’accélération soient nulles au démarrage comme à l’arrivée. b) Exprimer le polynôme qui correspondrait à un déplacement d’allure identique de X [m] [m] en τ [s]. [s]. c) Pour le polynôme ainsi déterminé, exprimer la vitesse max. V max max, l’accélération max. Amax, en fonction de la distance X et et du temps τ . d) Exprimer également l’accélération r.m.s. Arms, et les pertes thermiques dans le moteur, en fonction de la distance X et et du temps τ . e) Exprimer la puissance mécanique max. Pmax que doit délivrer le moteur. f) Comparer ces résultats avec ceux des lois de mouvement à accélération constante (exercice 8.1) (exercice 8.1) et bang-bang (exercice 8.2) (exercice 8.2)..
8.4 Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt
vitesse fixe
Un servomoteur DC doit effectuer plusieurs déplacements d’une charge, en suivant impérativement des profils en polynôme 3-4-5. On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements). L’un de ces déplacements consiste à partir d’une position arrêtée, pour parvenir à la vitesse avoir parcouru la distance X , en un temps ∆t .
V > 0 ,
après
Déterminer les coefficients de ce polynôme.
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8.5 Déplacement avec profil en polynôme 3-4-5 Un servomoteur DC doit déplacer une charge de 60° en 120 ms, en suivant un profil en polynôme 3-4-5. Il reste ensuite arrêté pendant 120 ms, avant de refaire le même déplacement pour le cycle suivant, et ainsi de suite. On suppose que tous les frottements sont négligeables, et que seul les pertes internes au moteur doivent être prises en compte. a) Exprimer la vitesse max. durée du déplacement.
, l’accélération max.
ωmax
, et l’accélération r.m.s. αrms calculée sur la
αmax
b) Déterminer la valeur r.m.s. de l’accélération calulée sur le cycle complet. c) De combien de temps pourrait-on raccourcir la durée du déplacement en optant pour un profil à accélération constant, tout en maintenant identique les pertes ohmiques dissipées dans le moteur ? d) Pour quelle raison ne peut-on pas vraiment profiter de ce gain de temps ?
8.6 Déchargeur de cartons A la sortie d'une machine d'impression de carton ondulé, un manipulateur saisit les flancs coupés (les pages de carton) pour les empiler. Équipé de ventouses, il aspire les flancs un à un lorsqu'ils sortent de la machine, les déplace de côté sur une distance D, puis les relâche pour former une pile. Le manipulateur revient alors à sa position initiale, dans le même laps de temps, pour aspirer le flanc suivant, et ainsi de suite. L'entraînement est constitué d'un servomoteur, qui entraîne le manipulateur par un pignon et une crémaillère. Valeurs numériques : • • • • • • • • • • •
cadence de production : 5'400 flancs / heure ; distance D : 40 cm ; profil de déplacement : polynomial du 5ème 5ème degré ; temps d'arrêts pour saisir les flancs : 50 ms ; temps d'arrêts pour relâcher les flancs : 50 ms ; total des masses mobiles du manipulateur : 46 kg ; pas de la crémaillère : 3,18 mm ; nombre de dents du pignon : 33 ; couple nominal du moteur : 37,5 Nm ; inertie du moteur : 0,015 kgm2 ; frottements : négligeables.
Ce moteur est-il correctement dimensionné sur le plan thermique ? Justifiez !
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8.7 Influence du profil de mouvement sur le choix d’un moteur On considère l’entraînement de l’exercice 6.6. l’exercice 6.6. Toutefois, Toutefois, au lieu d’effectuer les corrections d’avance du pa pier avec un profil de vitesse « à accélération constante », on aimerait utiliser un profil en « polynôme 3-45 ». a) Quelle est alors l’accélération max. nécessaire ? b) Montrer sur le diagramme couple-vitesse que le moteur que vous avez choisi à la question 2-B de de l’exercice 6.6 l’exercice 6.6 convient malgré tout, ou au contraire qu’il est judicieux de choisir une autre variante de bobinage.
8.8 Influence du profil de mouvement sur l’échauffement d’un moteur Sur une machine de production, on doit réaliser des déplacements point-à-point linéaires d’une amplitude de 33 cm en 440 ms. Le temps de cycle est de 800 ms. On utilise un réducteur de type pignon-crémaillère. La crémaillère a un pas de 2,5 mm. L’ensemble des masses en mouvement linéaire présente une masse de 150 kg. Le moteur est de type DC (courant continu). Sa vitesse max. est de 3'000 tr/min. Son inertie est de 0,72 ∙ 10-3 kgm2. Sa constante de couple est de 0,42 Nm/A. Le convertisseur qui entraîne ce moteur est alimenté à partir d’un réseau triphasé 170 Vrms / 50 Hz par l’intermédiaire d’un simple redresseur (donc incapable de restituer l’énergie de freinage au réseau triphasé). t riphasé). a) Calculer la vitesse max. et l’accélération max. pour un profil à accélération constante. b) Calculer la vitesse max. et e t l’accélération max. pour un profil en polynôme 3-4-5. Conseil :
Pour ce 2ème profil, il est plus facile de partir des valeurs obtenues avec le 1er profil, et d’utiliser les valeurs max. iindiqués ndiqués dans les diapositives du cours pour un déplacement normalisé, comme facteurs de proportionnalité.
c) Supposant que l’on utilise ce profil en polynôme 3-4-5, quel doit être le nombre de dents du pignon pour que ce moteur puisse réaliser le déplacement déplacement souhaité sans dépasser sa vitesse max. ? d) Quelle est alors la valeur du couple max. que le moteur doit pouvoir délivrer ? e) Quelle est la valeur efficace (rms) de ce couple pendant la durée du déplacement ? f) Tenant compte du fonctionnement cyclique et de la marge de sécurité de 10%, quelle est la valeur minimum du couple nominal que doit offrir ce moteur ?
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Chapitre 9
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Mouvements multiaxes
9.1 Presse à découper une bande Une presse est utilisée pour découper des pièces dans une bande métallique fournie en rouleau. Elle doit travailler à la cadence de 300 pièces par minute. L’ouverture de la presse vaut 180 , ce qui signifie que la durée du déplacement de la bande métallique ne doit pas dépasser la moitié du cycle. °
La course de la presse est de 12 mm. La bande est entraînée par un moteur de 6,7 Nm nominal, dont l’inertie vaut 0,73·10-3 kgm2, et la vitesse max. vaut 3'000 tr/min. Ce moteur entraîne la bande par l’intermédiaire d’un cylindre de diamètre 22 mm. Les inerties de ce cylindre et de la bande, rapportées au moteur, sont estimées à 2,3·10-3 kgm 2. L’accélération max. de la bande est de 24 m/s2, limite au-delà de laquelle l’adhérence du cylindre sur la bande ne serait plus suffisante. a) Calculer la durée max. du déplacement de la bande. b) Calculer la vitesse max. atteinte pendant le déplacement, en tenant compte de l’accélération max. donnée plus haut. c) Calculer la distance parcourue par la bande pendant ce déplacement. d) Calculer le couple fourni par le moteur pendant l’accélération, en supposant les frottements négligeables. e) Calculer le couple r.m.s. et la marge pour ce moteur. f) Quelle est l’épaisseur max. du ruban.
9.2 Presse à découper une bande – cadence plus lente On considère la presse de l’exercice précédent. Reprendre les calculs de l’exercice précédent si la cadence est diminuée à 60 pièces par minute.
9.3 Presse à découper une bande – bande moins épaisse On considère la presse des 2 exercices précédents. Elle est cependant utilisée pour découper de la bande de 2 mm d’épaisseur, et l’avance doit être impérativement de 10 mm. On suppose que les inerties restent identiques, et que les frottements fr ottements sont toujours négligeables. Déterminer quelle est la cadence max. possible. Copyright © Bernard Schneider, 2009-14
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9.4 Découpe de carton Dans une machine d’emballage, le carton est alimenté en rouleau. Il est déroulé, et passe sous une presse qui le découpe en morceaux préformés en vue de réaliser des boîtes. La cadence de production est de 130 emballages par minute. L’angle d’ouverture de la presse est de 240 . °
L’amenée du carton est réalisée comme suit : Il passe entre 2 cylindres qui l’entraînent par adhérence. L’un de ces cylindres est entraîné par un servomoteur, par l’intermédiaire d’un réducteur à courroie crantée. Le moteur est alimenté par un amplificateur à découpage, lui-même alimenté depuis le réseau triphasé par un redresseur (non réversible). Lors de la découpe, le carton est à l’arrêt. Il est déplacé entre chaque découpe, le profil de déplacement du carton étant « à accélération constante ». L’accélération du carton est fixée à = 8,5 8,5 m/s m/s2. Le moteur (type HRS142G6-260S de SEM Ltd.) a un couple nominal de 21 Nm et un couple max. de 60 Nm. Sa vitesse max. est de 2'700 tr/min. Son inertie vaut 0,0022 kgm 2. Il est équipé d’un pignon pour courroie crantée, de 13 dents. On considère que le cylindre et le carton en mouvement ont une inertie de 0,190 kgm2. Dans le cadre de cet exercice, on suppose que tous les frottements sont négligeables, et que le rendement du réducteur est idéal. a) De quelle distance le carton avance-t-il entre 2 découpes ? b) Sachant que le diamètre des cylindres est de 4,0 cm, quel rapport faut-il choisir pour le réducteur à courroie crantée ? c) Quelle est la marge de couple dont dispose le moteur ? d) Quel rapport de réduction conviendrait si l’on souhaitait utiliser un profil polynomial 3-4-5, carton sans modifier la cadence de production ni l’amplitude des déplacements alors ? e) Que deviendraient alors le couple max. nécessaires et la marge de couple ?
9.5 Poinçonneuse à 2 axes Une poinçonneuse permet la découpe de motifs divers dans une tôle. La découpe est réalisée par une presse, équipée de poinçons et de contre-outils spécifiques pour chaque motif possible (ronds, carrés, fentes, etc.). La tôle est entraînée selon 2 axes orthogonaux X et Y dans un plan horizontal, de manière à ce qu’elle soit positionnée à l’endroit correct pour chaque chaque découpe. La poinçonneuse est caractérisée comme suit : • • • •
cadence en grignotage : course de la presse : épaisseur max de la tôle : pas de grignotage souhaité :
420 coups/minute 12 mm 5 mm (+ 1mm de marge) 10 mm
La motorisation de chacun des axes X et Y est la suivante : • • • • •
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réducteur : vis à bille, au pas de 24 mm (1 seul filet) inertie de la vis et de la charge, rapportée au moteur : 6,4 · 10 -3 kgm2 couple nominal du moteur : 14,3 Nm inertie du moteur : 3,2 · 10-3 kgm2 vitesse max. du moteur : 2'000 tr/min Copyright © Bernard Schneider, 2009-2014
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Questions : a) Calculer l’angle d’ouverture de la presse et la durée max. des déplacements de la tôle. b) Représenter l’allure de la vitesse au cours du temps. c) Calculer le couple r.m.s. La marge est-elle suffisante ? d) Quel pourrait être le pas de grignotage pour un déplacement X-Y à 45 ? °
e) Quelle devrait-être l’épaisseur de la tôle pour un pas (selon axe X) de 20 mm ?
9.6 Découpeuse Laser à 2 axes La table X-Y de l’exercice précédent est utilisée pour positionner une tôle sous un faisceau de découpe au Laser. La différence essentielle est que la tôle doit bouger en permanence lors de la découpe (contrairement à la poinçonneuse, pour laquelle la découpe n’est possible qu’à l’arrêt de la tôle). On souhaite faire une découpe d’un rectangle de longueur 150 mm (selon X) et de largeur 10 mm (selon Y), les extrémités du rectangle étant arrondie (rayon 5 mm). Remarque : La longueur est mesurée entre les centres des arrondis d’extrémités. Ce genre de machine est soumis à deux contraintes importantes : • •
La vitesse de coupe dans les arrondis doit être telle que les limites d’accélération ne soient pas dépassées. On suppose que le moteur est limité à 1,5 fois son couple nominal. La tôle ne doit en aucun cas être arrêtée aux raccordements entre segments de droites et arcs de cercles, faute de quoi le Laser produirait un trou beaucoup trop grand à ces endroits. a) Représenter et calculer l’allure de la vitesse au cours du temps pour les 2 axes X et Y, en particulier dans les arrondis. b) Calculer les distances de ralentissement et d’accélération. c) Calculer la durée de l’usinage pour une découpe. Hypothèse : On néglige le temps nécessaire pour l’amorce et la fin de la découpe au Laser.
9.7 Synchronisation d’un esclave sur un maître « réel » Un axe d’une machine (esclave) doit tourner à une vitesse synchronisée sur un axe d’une autre machine (maître). La position de l’axe maître est réalisée par un capteur incrémental caractérisé comme suit : • •
Résolution : Précision :
16'000 points/tour ±5 min. arc
Le dispositif de mesure et de traitement de l’information du capteur introduit un retard constant de 5 ms. On suppose que la régulation de l’axe esclave est idéale, et n’introduit aucune erreur supplémentaire.
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Questions : a) Représenter la vitesse du maître et celle de l’esclave au cours du temps, lorsque le maître accélère de 0 à 3'000 tr/min. b) Faire de même pour variation de 1% de la vitesse de l’axe maître. c) Quelle variation de vitesse (accélération) provoque un effet comparable à l’incertitude de mesure du capteur ? d) Que se passe-t-il lorsque l’axe maître tourne très lentement (par exemple, à 1 tr/min) ?
9.8 Synchronisation d’un esclave sur un maître « virtuel » On suppose que l’on peut modifier les 2 machines de l’exercice précédent, de manière à ce que les 2 axes concernés soient entraînés par la même commande. De ce manière, les régulateurs de position des 2 axes reçoivent la même consigne de position, calculée cycliquement à 1 kHz. a) Que deviennent les écarts entre les 2 axes, dans les situations de l’exercice précédent ? b) Que se passe-t-il si la position des axes n’est pas échantillonnée simultanément (par ( par exemple, s’il y a un écart constant de 300 µs) ? c) Calculer la valeur max. de cet écart de synchronisation pour que l’erreur ne dépasse pas 0,1 degré angulaire pour une vitesse de défilement de 1'000 tr/min.
9.9 Couteau volant On considère une machine à découper des pages dans du papier introduit et imprimé en rouleau. Le papier est ainsi entraîné à la vitesse constante de 100 m/min. Le papier passe entre 2 rouleaux en acier, équipés de lames, tournant en sens opposés, pour y être découpé un peu comme le feraient des ciseaux. Ces 2 rouleaux sont entraînés par un servomoteur caractérisé comme suit : • • • •
Couple nominal : Vitesse max. : Inertie du moteur : Entraînement :
9,8 Nm 4'000 tr/min 0,75·10 0,75· 10-3 kgm2 direct (pas de réducteur)
Les 2 cylindres sont caractérisés comme suit : • • •
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Dimensions : Matirère : Angle de coupe :
longueur 520 mm, diamètre 46,9 mm acier ( ρ = 7,8 kg/dm3) 15 degrés
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Questions : a) Représenter et calculer la vitesse au cours du temps, pour un pas de coupe (longueur d’une page après découpage) de 5 pouces. b) Calculer l’inertie de la charge (attention : il y a 2 rouleaux !), en négligeant l’effet des pièces d’accouplement au moteur. c) Calculer la marge de couple du moteur. Montrer qu’elle est insuffisante. d) Quelle vitesse de coupe peut-on atteindre pour un pas de coupe correspondant à A5 (14,85 cm), en maintenant une marge de couple de 10% ? e) Calculer le gain possible en introduisant un réducteur optimal entre le moteur et les rouleaux. f) Voyez-vous d’autres manières d’augmenter la cadence de production ?
9.10 Mise en phase d’un axe esclave sur un maître Une machine comporte 2 axes. L’un tourne en permanence à la vitesse de 120 tr/min, et entraîne un pignon de 229 dents. L’autre, qui entraîne un pignon de 309 dents, est à l’arrêt au début du cycle de production, et doit pouvoir être accéléré et mis en phase avec le 1er axe, de manière à pouvoir engrainer les 2 pignons. a) Sachant que le couple d’accélération du 2ème moteur est de 5 Nm, et que la somme des inerties qu’il entraîne est de 0,01 kgm2, calculer le temps minimum pour amener le 2ème axe de l’arrêt à la vitesse synchrone (profil « à accélération constante c onstante »). b) Quel est l’angle parcouru alors par ce 2ème axe ? c) Quel est l’angle parcouru par l’axe maître pendant l’accélération de l’esclave ? d) Que deviennent ces valeurs si l’axe esclave est accéléré selon un profil polynomial d’ordre 5 ? e) Que deviennent ces valeurs si l’axe maître ne tourne qu’à 60 tr/min ? f) Comment calculer la consigne de l’axe esclave si l’on souhaite que l’angle d’accélération de l’axe esclave soit indépendant de la vitesse de l’axe maître ?
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