1. Introducción El movimiento armónico simple (M.A.S) sirve para entender lo que en nuestro alrededor son los movimientos repetitivos, ya sea el de un reloj, un péndulo o un resorte. En este modelo ideal que plantea la física ay ausencia de ro!amiento, por lo tanto no ay pérdida de ener"ía, en realidad si ay ro!amiento, pero al ser mínimo, por eso este se desprecia. En este e#perimento, utili!ando un modelo de masa $ resorte, lo que se %usca es mostrar y discutir con datos y "r&ficas el movimiento oscilatorio cuando una masa sostenida por un resorte es despla!ada despla!ada de su posición de equili%rio. 'n cuerpo que presenta un movimiento oscilatorio se caracteri!a por una posición de equili%rio esta%le cuando se le aleja de esa posición y se li%era, entra en acción una fuer!a o un momento de torsión para volverlo al equili%rio. equili%rio. Sin em%ar"o, para cuando lle"a a dico punto, a adquirido cierta ener"ía cinética que lo ace se"uir asta detenerse del otro lado, de donde ser& impulsado otra ve! acia el equili%rio. e todos los movimientos oscilatorios, el m&s importante es el Movimiento armónico simple (MAS), se presenta cuando la posición de un o%jeto en función del tiempo descri%e una "r&fica en forma sinusoidal. *a descripción de su trayectoria es una oscilación que se presenta de un lado a otro de su posición de equili%rio en una dirección determinada y en intervalos i"uales de tiempo. El Movimiento armónico simple tam%ién se puede definir como +*a oscilación con una fuer!a de restitución que o%edece la ley de oo-e. E#isten diversas aplicaciones de este movimiento, pero nos emos centrado en estudiar solo una/ el sistema masa0resorte. *a e#periencia se reali!ó el día 12 de a%ril del 1234 en las instalaciones del la%oratorio la%oratorio de 5ísica 6eneral de la facultad de 7iencias de la 'niversidad 8acional de 9n"eniería.
2. Fundamento teórico
El movimiento armónico simple de una masa +m es esta%lecido cuando so%re dica masa act:a una fuer!a. 5 ; 0<.#
(3.3)
En nuestro caso 5 es la fuer!a recuperadora del resorte, # es la deformación del resorte a partir de la posición de equili%rio y - es la constante de fuer!a del resorte. El si"no menos indica que 5 act:a en sentido contrario a la deformación. *a ecuación (3.3) en términos de la aceleración da lu"ar a/ 2
d ❑x k + x =0 2 d t m
(3.1)
7uya solución "eneral es/ # ; A cos(=t > ϕ)
(3.?)
donde/
=; (3.@)
√
k m
denominada frecuencia an"ular
= ; 1f
(3.4)
com%inando las ecuaciones (3.3), (3.@) y (3.4) se o%tiene/ f =
1 2 π
√
− F mx
(3.B)
Ceniendo en cuenta que 5D# s constante, deducimos que la frecuencia depende de la masa +m. ara dos masas suspendidas del mismo resorte se o%tiene/ f 31 ; m1 f 11 m3
(3.F)
En el tra%ajo de la%oratorio se ace una corrección a esta ecuación incrementando al valor de cada masa, un tercio de la masa del resorte.
3. Objetivos
Medir el período de oscilación de un sistema masa0resorte y compararlo con su valor esperado.
9dentificar el MAS como un movimiento periódico, oscilatorio y vi%ratorio.
Gisuali!ar un cuerpo que descri%e un MAS.
efinir e identificar las principales ma"nitudes físicas que intervienen en un MAS.
7alcular e#perimentalmente la constante < de un resorte por medio de dos métodos (Movimiento Armónico Simple y *ey de oo-e).
H%servar que mediante los dos métodos descritos anteriormente podemos lle"ar a un mismo resultado casi apro#imado al valor convencionalmente verdadero de la constante <.
escri%ir los posi%les errores de esta medición y sus posi%les causas.
4. Metodología a. Equipo/ Iesorte
Soporte universal
7ronómetro
Ie"la de ?2 cm
@ masas (342", 122", 142 " y 422 " apro#.)
oja de datos
%. rocedimiento/ 3) Antes de empe!ar la e#periencia, se de%en pesar las @ masas y el resorte. Apuntar cada una de las masas. 1) 7olocar el resorte en un %ra!o del soporte universal, de manera que quede suspendido. 7olocar la masa de menor peso en el e#tremo li%re del resorte e indicar la posición de equili%rio. ?) Medir la deformación del resorte al suspender de él y una por una las ? masas restantes, y com%inaciones entre ellas (por ejemplo, com%inaciones entre 1 o ? masas). Anotar los datos o%tenidos en la ta%la 8J3. @) Suspender del resorte com%inaciones de masas (como en el paso ?) y, a partir de la posición de equili%rio, dar un li"ero despla!amiento acia a%ajo y suelte la masa para que oscile. Medir el tiempo de 32 oscilaciones. Iepetir este proceso ? veces y anotar el tiempo promedio en la ta%la 8J1. Cam%ién calcular el periodo y la frecuencia. 4) Iepetir el paso @ para diferentes pesos. En total, se de%e reali!ar este proceso con @ masas diferentes.
5. Resultados •
ara la cali%ración del resorte/ !"#! $%1
Masa &'g(
2.?3?
2.B?2
2.K@K
3.1@1
3.444
3.LF@
2.@
Δ
@.K
K.F
[email protected]
3L.L
1?.B
)&cm( 7&lculo de la constante del resorte (se":n los datos e#perimentales) K =∑ F ÷ ∑ Δ X
onde/ 5/ 5uer!a el&stica, que en módulo es i"ual al peso, por lo tanto se calcula como m". (" es la aceleración de la "ravedad, K.L3 mDs1) < ; 2.LKK 8Dcm 7&lculo de la constante del resorte (se":n el ajuste de recta) Se coloca los datos de la ta%la 8J3 en una "r&fica y aciendo un ajuste o%tenemos la si"uiente "r&fica/
Gráfica N°1: X vs F 20.000 18.000
f(x) = 0.66x + 2.88
16.000 14.000 12.000
Fuerza (F)
10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0.000
0
5
10
15
20
25
Elongación (X)
*a pendiente de la recta
N vs 5 nos indica la constante < del resorte, por lo tanto/
< ; 2.B4FB 8Dcm
•
Ielación de la masa (M) con el periodo (C)/ !"#! $%2
Masa &'g(
iem*o 1&s( iem*o 2&s(
iem*o 3&s(
iem*o *romedio
$+mero de oscilaciones
m1 , -.3m2 , -./0/ m3 , 1.242 m4 , 1.555
B.11 F.B4 L.BB K.BB
B.12 B.1K F.4F F.F3 L.B2 L.BB K.B4 K.F4 Masa del resorte/ L2 "
B.1?F F.B@? L.B@2 K.BLF
32 32 32 32
7alculando el periodo y la frecuencia mediante las fórmulas/ eriodo (C) ;
Ciempo promedio (s) 8:mero de oscilaciones
Masa &'g( m1 , -.3m2 , -./0/ m3 , 1.242 m4 , 1.555
iem*o *romedio B.1?F F.B@? L.B@2 K.BLF
$umero de oscilaciones 32 32 32 32
5recuencia (f) ;
3 C
(!)
eriodo
Frecuencia
2.B1?F 2.FB@? 2.LB@ 2.KBLF
3.B2? 3.?2L 3.34F 3.2?1
ia"rama de flujo 3. 7olocar el resorte en un %ra!o del soporte universal, de manera que quede suspendido. 7olocar la masa de menor peso en el e#tremo li%re del resorte e indicar la posición de equili%rio. 1. Medir la deformación del resorte al suspender de él y una por una las ? masas restantes, y com%inaciones entre ellas (por ejemplo, com%inaciones entre 1 o ? masas). Anotar los datos o%tenidos en la ta%la 8J3. ?. Suspender del resorte una masa de peso considera%le y, a partir de la posición de equili%rio, dar un li"ero despla!amiento acia a%ajo. @. Suelte la masa para que oscile. Medir el tiempo de 32 oscilaciones. Iepetir este proceso ? veces y anotar el tiempo promedio en la ta%la 8J1. Cam%ién calcular el periodo y la frecuencia.
3
1
?
•
eterminar la frecuencia promedio con cada una de las masas y comparar/
@
f 31 ; 3.423K f 11
f 11 ; 3.1FL f ?1
f ?1 ; 3.14BK f @1
m1 ; 3.44?K m3
m? ; 3.1BLB m1
m@ ; 3.1412 m?
f 31 ; 3.K3K4 f ?1
f 31 ; 1.@31F f @1
f 11 ; 3.B2B@ f @1
m? ; 3.KF3@ m3
m@ ; 1.@BL1 m3
m@ ; 3.4LL? m1
7alculando el porcentaje de diferencia entre las ra!ones/
|1.5019 −1.5539|
x 100 =3.462
1.5019
|1.278 −1.2686 | 1.278
x 100 = 0.735
|1.2569 −1.2520| 1.2569
x 100 =0.389
|1.9195 −1.9714 | 1.9195
x 100 = 2.70
|2.4127 −2.4682| 2.4127
x 100 = 2.30
|1.6064 −1.5883| 1.6064
•
x 100 = 1.126
Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte, vuelva a comparar las ra!ones del paso 1, esto es ( m r / masa del resorte) /
f 31 ; 3.423K f 11 m1 > 3D?(mr ) ; 3.4?3@ m3 > 3D?(mr ) f 31 ; 3.K3K4 f ?1 m? > 3D?(mr ) ; 3.K?3K m3 > 3D?(mr )
f 11 ; 3.1FL f ?1 m? > 3D?(mr ) ; 3.1B34 m1 > 3D?(mr ) f 31 ; 1.@31F f @1 m@ > 3D?(mr ) ; 1.@2LB m3 > 3D?(mr )
f ?1 ; 3.14BK f @1 m@ > 3D?(mr ) ; 3.1@BF m? > 3D?(mr ) f 11 ; 3.B2B@ f @1 m@ > 3D?(mr ) ; 3.4F1F m1 > 3D?(mr )
7alculando el porcentaje de diferencia entre las ra!ones/
|1.5019−1.5314|
x 100 = 1.9641
1.5019
|1.278−1.2686| 1.278
x 100 =1.291
|1.2569 −1.2467| 1.2569
x 100 = 0.811
|1.9195 −1.9319| 1.9195
x 100 =0.646
|2.4127 −2.4086| 2.4127
x 100 =0.169
|1.6064 −1.5727| 1.6064
•
x 100 =2.097
7alcular la frecuencia para cada masa utili!ando la ecuación (3.B) y comparar el resultado con las frecuencias o%tenidas en e#perimentalmente.
f =
1 2 π
√
− F mx
;
√
K 2 π m 1
Siendo < ; 2.B4FB 8Dcm ; B4.FB 8Dm Hperando/ f = f = f = f =
1 2 π 1 2 π 1 2 π 1 2 π
√ √ √ √
65.76 0.630 x 100 65.76 0.979 x 100 65.76 1.242 x 100 65.76 1.555 x 100
=1.604
!
=1.287
!
=1.142
!
=1.021
!
Frecuencia Masa &'g( e*erimental -.3-.//0/ 1.242 1.555 •
3.B2? 3.?2L 3.34F 3.2?1
Frecuencia allada *or ormula 3.B2@ 3.1LF 3.3@1 3.213
6ierencia 2.2BO 3.B2O 3.1KO 3.2BO
P7ómo reconocería si el movimiento de una amsa que oscila, cumple un movimiento armónicoQ Se reconoce cuando/ El cuerpo en movimiento de%e oscilar respecto a un punto fijo denominado posición de equili%rio, con amplitud constante y periodo constante. R la ener"ía total se conserva. Su ecuación de la posición tiene la forma/
•
Pué tan pró#imo es el movimiento estudiado armónico simpleQ
aquí, a un movimiento
Es muy pró#imo, ya que el porcentaje de error de la frecuencia e#perimental y la frecuencia teórica son muy pequeTos a la escala del 32 01. •
acer una "r&fica del periodo al cuadrado versus la masa. 'tili!ar los resultados de la ta%la 8J1.
$2 vs % 1.8 1.6 1.4
f(x) = 1.6"x 0
1.2 1
%asa (%)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.!
0.4
0.5
0.6
0."
0.8
&eri'' a cuara' ($2)
. 6iscusión de resultados
0.#
1
Iespecto a la primera e#periencia, la de la cali%ración del resorte, se notó que la constante del resorte < es mayor o%tenida e#perimentalmente que la que se o%tuvo colocando los datos de fuer!a y deformación en una "r&fica y aciendo un ajuste de recta. E#perimentalmente se o%tuvo < ; 2.LKK 8Dcm Se":n el ajuste de recta se o%tuvo < ; 2.B4FB 8Dcm El resultado m&s e#acto y confia%le es el del ajuste recta, porque es un resultado promedio, m&s acorde con el real, pues el que o%tuvimos e#perimentalmente puede no ser tan e#acto ya que no emos tomado en cuenta la fuer!a de "ravedad y tam%ién cierta inesta%ilidad del soporte. En cam%io, estas varia%les no son tomadas en cuenta al acer el ajuste de recta, por esta ra!ón tra%ajamos en os c&lculos con el se"undo valor, 2.B4FB 8Dcm.
7on respecto a la se"unda e#periencia, en donde se toma el tiempo de 32 oscilaciones, se o%servó que la relación frecuencia con masa, dada en la ecuación (3.F), tiene mayor porcentaje de error cuando se compara solo con la masa de la pesa que cuando se aTade la masa de la pesa con la masa del resorte. Esto es porque no se de%e despreciar la masa del resorte, pues tam%ién influye en el c&lculo del periodo y, por lo tanto tam%ién en el de la frecuencia. En la mayoría de pro%lemas so%re M.A.S se desprecia la masa del resorte, pues esto simplifica las operaciones, pero en la e#periencia o%servamos que los resultados son m&s precisos cuando consideramos a la masa del resorte. Esto demuestra que, en los pro%lemas del curso, a veces se desprecian al"unos valores, por eso se denominan +valores teóricos, pero en la aplicación notamos que no todo resulta como en la teoría. *a realidad siempre es m&s complicada, y por eso de%emos acer al"unas consideraciones al reali!ar las e#periencias en el la%oratorio.
*as condiciones en el la%oratorio tam%ién influyen en los resultados, pues a veces los equipos utili!ados presentan fallas (%alan!a, soporte, resorte,etc) lo cual nos impide calcular con e#actitud las varia%les. Estos errores se pueden reducir repitiendo una mayor cantidad de veces la toma del tiempo (en ve! de ? veces, se de%erían de acer 32 veces la toma del tiempo, por ejemplo) o tam%ién pro%ar con una mayor variedad de masas para la cali%ración del resorte ( en ve! de solo B masas, podríamos pro%ar con 32 o 31 pesos diferentes).
0. 7onclusiones
*os datos de la constante < del resorte se":n el ajuste de recta son m&s fia%les, pues en éste no se considera factores que lo alteren (la fuer!a de "ravedad, la fuer!a de%ido a la masa del resorte).
*a masa del resorte no es desprecia%le, influye en el c&lculo del periodo y la frecuencia.
*a diferencia entre las ra!ones de las frecuencias con las ra!ones entre las masas son menores cuando consideramos la masa del resorte, de%ido a que si consideramos ésta, nos %rinda un valor m&s cercano al teórico.
*as condiciones del la%oratorio influyen en los c&lculos.
El movimiento del sistema que estudiamos en ésta e#periencia se apro#ima muco a un M.A.S, sin em%ar"o no se puede afirmar con total certe!a, pues con el tiempo su amplitud va disminuyendo, lo cual le impide ser M.A.S. ero si dejamos de lado ese detalle, los primeros minutos si se le puede considerar como un M.A.S.
8o u%o porcentajes de errores tan e#a"erados, lo cual indica que la e#periencia si reali!ó de una manera %astante correcta.
8.
Reerencias "ibliogr9icas
Medina, ., (1231), Física 2 , *ima, er:, 5ondo Editorial de la '7
aucarcuco, 7., (122K), Prácticas de laboratorio de Física , *ima, er:, 5ondo Editorial de la '89
ttp/DDUUU.sc.eu.esDs%Ue%DfisicaDoscilacionesDmasDmas.tm
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#aboratorio de Física II FI 2-4 "
Movimiento Armónico Simple rofesores responsa%les de la pr&ctica/
*ic. 9saac Altuna *ic. Ieynaldo Ieyes
9nte"rantes/
Ayala Melénde!, e"ord Afitsaur Aylas Espino!a, 6iancarlo el Iosario *ecaros, Naulo Navier
*ima, 2@D24D1234
