SOLUCIONARIO MATEMÁTICA SIMULACRO MT-54
1. Alternativa correcta: A Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Comprensión Defensa Como las transformaciones de unidades están en razón directa, es decir si una aumenta la otra también y viceversa, entonces se establece la siguiente regla de tres para el problema
Metros 1 0,5
Decámetros 0,1 x
Multiplicando cruzado queda: 1 · x = 0,5 · 0,1 x = 0,05 decámetros
2. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Números y proporcionalidad Potencias y raíces Comprensión
1 1 = 9 + 9 32 81 + 1 = 9 82 = 9
32 +
3. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad
Números y proporcionalidad Razones proporciones. Porcentaje e interés Aplicación
1
Defensa Si salen 7, entonces quedan 28, por lo tanto, el porcentaje de alumnos que sigue en la sala es:
4 28 ·100 = ·100 5 35 = 80% 4. Alternativa correcta: C Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Aplicación Defensa Si se llama: A: adultos N: niños Se tiene: (1) A + N = 70 (2) A : N = 2 : 5 Utilizando la variable auxiliar k para expresar la relación entre adultos y niños en (2) como: A = 2k y N = 5k. Ahora reemplazando en (1) queda: 2k + 5k = 70 7k = 70 k = 10 Como los niños se expresaron como 5k, entonces hay 50 niños 5. Alternativa correcta: D Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Conjuntos numéricos Habilidad Comprensión Defensa Al observar la sucesión de números nos damos cuenta de que desde el segundo en adelante los números se obtienen como el doble del anterior menos una unidad. Es decir, si se toma el número anterior como x, entonces el siguiente es 2x - 1. Por lo tanto. el quinto elemento es: 2 · 33 - 1 = 65 6. Alternativa correcta: D Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Conjuntos numéricos Habilidad Análisis Defensa De I.- VERDADERA, ya que Mario en F pesa 40 kg y Roberto en la tierra pesa 40 kg. De II.- FALSA, ya que en F Mario pesa 40 kg y Roberto pesa 38 kg, por ende, juntos pesan 78 kg que es lo mismo que pesa Juan en la tierra. De III.- VERDADERA, ya que en la tierra el peso de Juan menos el de Mario es 36 kg, lo cual es menor que los 38 kg que pesa Roberto en F.
2
7. Alternativa correcta: A
Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Aplicación Defensa Organizando la información tenemos:
Obreros 20 30
Meses 3 x
Como la cantidad de trabajadores y el tiempo empleado se comportan en forma inversa, es decir, a mayor cantidad de trabajadores menos tiempo se demoran, entonces: 30 · x = 20 · 3 x = 2 meses 8. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Relaciones y funciones. Función lineal. Habilidad Análisis Defensa De I.- VERDADERA, ya que según la gráfica en Marzo se pagan $35.000 y en Abril $35.000. De II.- VERDADERA, ya que en febrero se pagan $20.000 y en mayo $40.000, por lo tanto, suman $60.000; en enero se pagan $25.000 y en abril $35.000, por lo tanto, suman también $60.000. De III.- FALSA, ya que en el periodo se pagan $25.000 + $20.000 + $35.000 + $35.000 + $40.000, lo que da un total de $155.000. 9. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Álgebra Habilidad Comprensión Defensa Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho, entonces si llamamos L al largo, se tiene:
L·(x + 1) = x 2 + 3x + 2 L=
x 2 + 3x + 2 (x + 1)
L=
(x + 2)(x + 1) (x + 1)
L= x+2 10. Alternativa correcta: D
3
Números y proporcionalidad Potencias y raíces Conocimiento
Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
6a 3 6 3 = ·a 2a 2 2
( 2)
= 3a5
11. Alternativa correcta: D Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Conocimiento Defensa El cuadrado de 5x 2 queda:
( 5x 2 )2 = ( 5)2 ·(x 2 )2 = 25x
4
12. Alternativa correcta: E Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Álgebra y funciones Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Conocimiento
2·3x + 7 = 8 6x = 8 7 6x = 1 1 x= 6
13. Alternativa correcta: E Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
5x + 5 5x
x
=
Números y proporcionalidad Potencias y raíces Conocimiento
5x 5 x + = 1+ 5 5x 5x
x x
= 1 + 5 2x
14. Alternativa correcta: C Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Números y proporcionalidad Razones y proporciones. Porcentaje e interés Análisis
4
De I.- VERDADERA, ya que al multiplicar cruzado
x 4 = se tiene x y = 12 3 y
De II.- FALSA, ya que cualquier producto de dos números que de 12 como resultado es una posible solución, es decir una ecuación con dos variables tiene infinitas soluciones. De III.- Verdadera, ya que el producto da 12, es decir es positivo y para que suceda esto ambos números deben tener igual signo. 15. Alternativa correcta: B Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
20
5 5
=
20 5
=
Números y proporcionalidad Potencias y raíces Conocimiento
20
5
5
5
1
= 4 1 =2 1 =1 16. Alternativa correcta: B Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Álgebra y funciones Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Análisis
De I.- VERDADERA,
2q + 3 = 7 /·( 1)
2q 3 = 7 2q + 3 = 7 / : 2 2q 3 7 + = De II.- VERDADERA, 2 2 2 3 q + = 3,5 2 2q + 3 = 7 / 6 De III.- FALSA, 2q + 3 6 = 7 6 2q 3 = 1
5
17. Alternativa correcta: C Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Álgebra y funciones Relaciones y funciones. Función lineal Aplicación
Se tiene un costo fijo de $250 y un costo variable de $
50 por cada metro recorrido. 200
La función del costo está compuesta de la siguiente manera: Costo total = Costo variable + Costo fijo Reemplazando se tiene:
50 ·x + 250 200 1 y = ·x + 250 /·4 4 4 y = x + 1.000 y=
18. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Álgebra Habilidad Análisis Defensa Como a es múltiplo de b, entonces se puede utilizar una variable auxiliar c tal que: b·c = a Reemplazando en los valores dados, se tiene:
ab = bc·b = b2 c a 3 b3c3 = = b2 c 3 b b a 2 = b2 c 2 2
Ahora se ve claramente que el MCD es b c , lo que es igual a a b 19. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Comprensión Defensa Se debe tener en cuenta que si se habla de 10 años más, entonces se le debe sumar 10 tanto a x como a y. Por lo tanto, el enunciado se representa como:
x + 10 3 = y + 10 4
6
20. Alternativa correcta: C Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Números y proporcionalidad Potencias y raíces Comprensión
x·a 3 = a5 a5 a3 x = a5 x=
3
x = a2 21. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función de variable real Habilidad Análisis Defensa De I.- FALSA, ya que no tenemos propiedad para el logaritmo de una suma. En el caso de resolver, deberíamos buscar el valor de a y de b y reemplazar: Si log a = 2, entonces a = 100 Si log b = 3, entonces b = 1000 Por lo tanto, log (a + b) = log (100 + 1000) = log 1100, que es distinto de log c. De II.- VERDADERA, ya que: logb 103 =
log103 3 = =1 3 log b
De III.- VERDADERA, ya que:
log
ab = log a + log b log c c = 2+3 5 =0
22. Alternativa correcta: A Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Inecuaciones Habilidad Comprensión Defensa 8 - 2x -2 - 2x -2-8 - 2x - 10 / · (-1)
7
2x x
10 5
23. Alternativa correcta: D Álgebra y funciones Función de variable real Conocimiento
Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
4 82 x 4 8 2
1
2x 1
163x = 16
3 2x 1
2 ·(2 ) 22 ·26 x
3
=0
3x 4
= (24 )3x
= 212 x
26 x 1 = 212 x
4
4
16
16
6x 1 = 12x 16 1 + 16 = 12x 6x 15 = 6x 15 =x 6 24. Alternativa correcta: D Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función de variable real Habilidad Análisis Defensa De I.- VERDADERA, ya que f (x) = x 6 f (0) = 0 6 = 6 . De II.- FALSA, ya que f (x) = x 6 f (1) = 1 6 = 5 . De III.- VERDADERA, ya que el mayor exponente de la variable es 1. 25. Alternativa correcta: C Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Aplicación Defensa Utilizando regla de tres: Artículos a m
Precio p x
8
multiplicando cruzado (ya que la razón artículos con precio es directa), queda:
x=
m·p a 26. Alternativa correcta: E Álgebra y funciones Álgebra Análisis
Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
x
Factorizando la expresión por 5 , ésta queda:
(
)
5x +1 5x = 5x 5 1 = 5x ·4 Al observar el resultado, nos podemos dar cuenta de que para cualquier valor natural de x (1, 2, 3, …), el resultado va a ser siempre un múltiplo de 10, ya que se ve claramente que el valor encontrado es múltiplo de 5 y de 2, por lo tanto, es múltiplo de 10. Las tres afirmaciones son VERDADERAS. 27. Alternativa correcta: E Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Aplicación Defensa Pares Pegamento (cm3) 8 280 14 x multiplicando cruzado (ya que la razón pares de zapatos con pegamento es directa), queda:
x=
14·280 = 14·35 = 490 8 28. Alternativa correcta: D
Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Análisis Defensa En primer lugar, se debe tener en cuenta que la pregunta apunta a un análisis de discriminante,
= b2
4ac . Como en este caso b 2 4ac = 1, es decir, el discriminante es mayor que cero (
0), entonces se sabe que las raices de la ecuación son dos números reales distintos, por lo tanto, las afirmaciones correctas son I y II.
9
>
29. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Análisis Defensa Al observar las alternativas, nos damos cuenta de que la única que presenta un coeficiente de posición -4 es la alternativa C. Pero resolviendo el ejercicio formalmente: Reemplazando lo valores de intersección con el eje X en la ecuación de segundo grado:
(x (x
)(
)
x1 x
x2 = 0
)(
)
( 4) x 1 = 0
x 2 + 3x 4 = 0 Como el coeficiente C de la ecuación, es decir -4, coincide con la intersección de la parábola con el eje Y, entonces no se le debe hacer ningún ajuste a la ecuación para encontrar la función. Es decir, en este caso la ecuación encontrada corresponde a la función buscada, entonces:
f (x ) = x 2 + 3 x 4
30. Alternativa correcta: D Números y proporcionalidad Potencias y Raíces Análisis
Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa De I.- FALSA
32 +
8 = 16·2 + 25·2
50 -
4·2 = 4 2 + 5 2
2 2 = 7 2 = 98
De II.- VERDADERA
1+ 2
2
2
=
2
2 1+ 2
Racionalizando por
=
2
2 2 +1
2
2 1 , queda:
(
) = (2
2 1
2 1
(
Resolviendo el cuadrado de binomio: 2
2
2
) =4 2
2
)
2
4 2+2=6 4 2
De III.- VERDADERA 4
x5 y6 z 7 =
4
( x y z )( xy z ) = 4
4 4
2 3
4
x 4 y 4 z 4 · 4 xy 2 z 3 = xyz 4 xy 2 z 3
10
31. Alternativa correcta: E Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Relaciones y funciones. Función lineal Habilidad Análisis Defensa La función graficada corresponde a la función del tipo y = -x. Siempre se puede determinar la función lineal si se conocen dos puntos de ésta, en este caso, los puntos son (0 , 0) y (-3 , 3). Al evaluar los puntos en la fórmula y
y 0=
y1 =
y2 x2
y1 ·x x1
(
)
x1 , queda:
3 0 (x 0) 3 0
y= x y+x=0
32. Alternativa correcta: D Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función de variable real Habilidad Análisis Defensa Según el enunciado, la función que representa el crecimiento de la población, siendo x la cantidad de minutos desde el inicio del estudio, es:
f (x) = 5.000·2
x 3 3
De I.- VERDADERA, ya que con x = 3, se tiene: f (3) = 5.000·2 3 = 5.000·2 = 10.000 6
De II.- FALSA, ya que con x = 6, se tiene: f (6) = 5.000·2 3 = 5.000·4 = 20.000 De III.- VERDADERA 33. Alternativa correcta: E Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Comprensión Defensa Con los puntos en los cuales una parábola corta al eje X, es decir x1 y x2 , solamente se puede encontrar la ecuación de segundo grado, pero para encontrar la función, se deben conocer otros datos, por ejemplo el vértice o el coeficiente de posición, datos que en este ejercicio no aparecen, por lo tanto no se puede determinar. 34. Alternativa correcta: A
11
Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Aplicación Defensa Si me dan el valor de una de las raíces, entonces para encontrar el valor de k, basta reemplazar el valor de x dado en la ecuación, entonces:
1 k· 3
2
+ 5·
1 3
1= 0
1 1 k· + 5· 1 = 0 /·9 9 3 k + 15 9 = 0 k= 6 35. Alternativa correcta: C Unidad temática Geometría Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis Defensa En el triángulo se tiene que:
+ + = 180o . Reemplazando los valores dados en el enunciado. =5
=6 entonces + 6 + 5 = 180o 12 = 180o = 15o ,
= 6 = 90o ,
= 5 = 75o
36. Alternativa correcta: B Unidad temática Geometría Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis Defensa Por relación entre un ángulo exterior y los dos interiores no adyacentes, se tiene que:
2 = 40o + = 40o Por lo tanto el triángulo BCM queda: C
40° M
80° 60°
B 12
uuur
o
Entonces BCA = 80 y se divide en dos ángulos de 40°, por lo tanto el segmento CM es bisectriz del ángulo en C 37. Alternativa correcta: E Unidad temática Geometría Sub-unidad Geometría de proporción Habilidad Análisis Defensa De I.- VERDADERA, gráficamente la afirmación queda:
De II.- VERDADERA, corresponde a uno de los teoremas de semejanza De III.- VERDADERA, corresponde a un teorema entre dos triángulos semejantes 38. Alternativa correcta: E Unidad temática Geometría Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Habilidad Análisis Defensa Teniendo en cuenta de que el volumen de un paralelepípedo es: V = Largo x Ancho x Altura. Entonces: Primera piscina: Volumen = 3m x 2m x 1m = 6m3 Segunda piscina: Volumen = 2m x 2m x 1,5m = 6m3 Por lo tanto: I.- FALSA, en ambas se utiliza la misma cantidad de agua. II.- VERDADERA II.- VERDADERA 39. Alternativa correcta: B Unidad temática Geometría Sub-unidad Geometría de proporción Habilidad Aplicación Defensa Al completar los triángulos, queda:
F
C 60° b cm A
50°
50° a cm 70°
c cm
70° B
D 13
60° a cm
E
Los triángulos son semejantes en razón 1 : 1, es decir son congruentes, por lo tanto el lado opuesto al ángulo de 70° en ambos triángulos mide lo mismo, por lo tanto EF = b cm. 40. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Geometría Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Conocimiento
Y P
y -x O P
x
X
-y
Ángulo POP = 180° 41. Alternativa correcta: D Unidad temática Geometría Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Habilidad Aplicación Defensa La traslación descrita en el enunciado corresponde a un vector de traslado T(3 , 2). Por lo tanto los puntos trasladados quedan ubicados en: A (-3 , 3) B (0 , 6) C (1 , 3) 42. Alternativa correcta: D Unidad temática Geometría Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación Defensa Si E es punto medio del lado del cuadrado, entonces la altura del triángulo inscrito es igual a la medida del lado del cuadrado, es decir, 3 cm, por lo tanto el área del triángulo es:
A=
base · altura 3cm · 3cm = = 4,5cm2 2 2
14
43. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Geometría Geometría de proporción Aplicación
Si DE / / BC , entonces los triángulos ADE y ABC son semejantes , como AD = DB , entonces
AB mide el doble de AD , por lo tanto los triángulos ADE y ABC son semejantes en razón de 1 : 2, sabiendo que la razón entre sus áreas corresponde al cuadrado de la razón de semejanza, entonces sus áreas están en razón de 12 : 22
1: 4
44. Alternativa correcta: B Unidad temática Geometría Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Habilidad Aplicación Defensa Se observa que para ir del punto A hasta el B se debe hacer un movimiento horizontal de 9 unidades hacia la izquierda y luego uno vertical de 2 unidades hacia abajo. Por lo tanto, el vector de traslación utilizado es T(-9 , -2). 45. Alternativa correcta: E Unidad temática Geometría Sub-unidad Geometría de proporción Habilidad Análisis Defensa Como DE // AB , entonces los triángulos CDE y CAB son semejantes en razón 2 : 5. Completando el triángulo con datos, éste queda: 2k
2k 5k
2k 5k 7k
I.- VERDADERA, ya que:
CD DA
II.- VERDADERA, ya que:
III.- VERDADERA, ya que:
CE EB
=
2 5
=
2k 2 = 5k 5
DE AB
=
5CD = 2DA
2k 2 = 7k 7
15
46. Alternativa correcta: D Unidad temática Geometría Sub-unidad Círculo y Circunferencia Habilidad Aplicación Defensa Completando la figura, se tiene:
C
80° D
60°
O
B 120°
A Como es un ángulo interior de la circunferencia, entonces es igual a la semisuma de los dos arcos que determina, es decir:
=
120o + 80o = 100o 2
47. Alternativa correcta: C Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa 3 Como sen = 2 rectángulo:
Geometría Trigonometría Aplicación , entonces para obtener dicho valor se debe trabajar con el siguiente triángulo
2
3
1 Por lo tanto:
tg
=
3 = 3 1
16
48. Alternativa correcta: A Unidad temática Geometría Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación Defensa Dibujando el rectángulo, éste queda:
n n+m Área del rectángulo = ancho x largo = n (m + n) 49. Alternativa correcta: D Unidad temática Geometría Sub-unidad Círculo y Circunferencia Habilidad Aplicación Defensa Si el arco AB mide 260°, entonces el arco BA mide 100°. Como el ángulo x es un ángulo inscrito que subtiende el arco BA, entonces mide la mitad de dicho arco, es decir, 50° 50. Alternativa correcta: E Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Geometría Geometría de proporción Aplicación
Si AD : DB = 1: 2 AD : AB = 1: 3 . Como las áreas de los triángulos formados al dividir interiormente un triángulo están en la misma razón que los segmentos de la base dividida, entonces:
Área ACD 1 = Área ABC 3 1 20 cm2 = Área ABC 3 3·20 cm2 = Área ABC Área ABC = 60 cm2 51. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad
Geometría Cuadriláteros Análisis
17
Defensa Supongamos que se tiene el siguiente rectángulo
x y
Cuya Área es xy I.- VERDADERA, ya que si aumentamos al doble el lado mayor, éste será 2y, con lo que la nueva área medirá 2xy, es decir, el doble del área original. II.- VERDADERA, ya que si aumentamos al doble el lado menor, éste será 2x, con lo que la nueva área medirá 2xy, es decir, el doble del área original. III.- FASLSA, ya que si aumentamos ambos lados al doble, éstos medirán 2x y 2y respectivamente, con lo que la nueva área será 2x · 2y = 4xy, es decir, cuatro veces el área original. 52. Alternativa correcta: E
Unidad temática Geometría Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Habilidad Análisis Defensa I.- FALSA, lo que está representado es una traslación. II.- VERDADERA. III.- VERDADERA. 53. Alternativa correcta: C Unidad temática Geometría Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Habilidad Análisis Defensa I.- VERDADERA II.- VERDADERA III.- FALSA, ya que la traslación del rectángulo genera un poliedro y no un sólido de revolución. 54. Alternativa correcta: E Unidad temática Geometría Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación Defensa Si tenemos el siguiente rectángulo
donde:
x y
2 (x + y) = 36 (1) y = 2x (2) reemplazando (2) en (1), se tiene: 2 (x + 2x) = 36
18
3x = 18 x = 6 e y = 12 Por lo tanto, el área del rectángulo es: Área = 6 cm x 12 cm = 72 cm2 55. Alternativa correcta: C Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Análisis Defensa En primer lugar, se debe definir como probabilidad de que un suceso fracase el caso en que no ocurra, entonces: I.- VERDADERA, ya que la probabilidad de fracaso en este caso es que salga sello, lo cual tiene la misma probabilidad de cara, es decir 0,5 II.- VERDADERA, ya que la probabilidad de fracaso sería que salga un impar y como el dado tiene la misma cantidad de números pares que de impares, entonces las probabilidades de ambos sucesos son iguales. III.- FALSA, ya que una pregunta de la PSU tiene una alternativa correcta y cuatro incorrectas, por lo tanto, la probabilidad de éxito es 0,2 y la de fracaso es 0,8 56. Alternativa correcta: C Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicación Defensa Si apuesta a los dos caballos, entonces gana si cualquiera de los dos llega primero, es decir, la probabilidad de ganar corresponde a la suma de ambas probabilidades:
5 3 , entonces su probabilidad de ganar es 8 8 2 1 Si el segundo pierde con probabilidad de , entonces su probabilidad de ganar es 3 3 3 1 9 + 8 17 = Por lo tanto la probabilidad de ganar es + = 24 24 8 3
Si el primero pierde con probabilidad de
57. Alternativa correcta: D
Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicación Defensa Si las bolitas que tiene el niño son solamente rojas o azules, entonces: Azules = Total - Rojas Azules = (n + 2) - (n - 3) = n + 2 - n + 3 = 5 Por lo tanto:
19
Probabilidad de Azul =
5 Azules = n+2 Total
58. Alternativa correcta: B Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicación Defensa Sea A: Extraer una bolita blanca y luego una negra sin reposición. Por lo tanto: P (A) = P (blanca) · P (negra)
P( A) =
2 3 6 3 · = = 5 4 20 10
59. Alternativa correcta: B Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicación Defensa Para determinar la cantidad de ancianos, sólo se debe multiplicar la probabilidad de anciano por el total de la población, por lo tanto: Cantidad de ancianos =
2 · 250.000 = 100.000 5
60. Alternativa correcta: D Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Aplicación Defensa Como el promedio inicial fue calculado entre nueve notas, entonces éstas sumaban: Suma de las 9 notas = 9 · 5,0 = 45,0 Al eliminar las notas 1,3 y 1,7 la nueva suma será: Suma de las 7 notas restantes = 45,0 - 1,3 - 1,7 = 42,0 Si esta nueva suma se divide en 7, entonces se obtendrá el nuevo promedio con las notas restantes: Nuevo promedio =
4 2,0 = 6,0 7
20
61. Alternativa correcta: E Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Análisis Defensa I.- FALSA, ya que la moda es 650 puntos, cuya frecuencia es 10. II.- VERDADERA III.- VERDADERA. Se puede observar en la gráfica que la mayor parte del curso obtuvo 650 o más puntos, por lo tanto, la media tiene que encontrarse en ese tramo. 62. Alternativa correcta: B Unidad temática Estadística y probabilidad Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Aplicación Defensa Como la muestra tiene 25 datos, entonces la mediana corresponde al dato número 13, es decir, 18 años, ya que ahí se encuentran los datos desde el número 11 hasta el número 17. 63. Alternativa correcta: C Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa Se sabe que:
Estadística y probabilidad Estadística descriptiva Aplicación
Media aritmética =
suma de los datos número de datos
reemplazando se tiene:
10 + 8 + 10 + 12 + 5 + k 6 60 = 45 + k 60 45 = k 15 = k 10 =
64. Alternativa correcta: C Unidad temática Números y proporcionalidad Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentaje e interés Habilidad Evaluación Defensa De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que no se sabe de que manera se repartió el total. De (2) por sí sola, no es suficiente, ya que no se conoce el total a repartir. (1) y (2 ) a la vez, si se puede, ya que se conoce el total que se repartirá y la manera cómo se debe repartir entre los tres. 21
65. Alternativa correcta: C Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Evaluación Defensa De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que si intersecta el eje Y en los negativos, la concavidad será hacia abajo y si lo intersecta en los positivos, será hacia arriba. De (2) por sí sola, no es suficiente, ya que no se sabe si corta o no el eje X. (1) y (2 ) a la vez, sí se puede, ya que ambos cortes en el eje X es al lado de los positivos e intersecta el eje Y en los positivos. Por lo tanto, la concavidad es positiva, es decir, hacia arriba. 66. Alternativa correcta: A Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Álgebra y funciones Álgebra Evaluación
x2 De (1) por sí sola, si es suficiente ya que: x
(
)(
)
x+ y x y y2 = = x+ y y x y
De (2) por sí sola, no es suficiente. 67. Alternativa correcta: B Unidad temática Álgebra y funciones Sub-unidad Inecuaciones Habilidad Evaluación Defensa De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que no se sabe cuál es el mayor. De dos por sí sola, si es suficiente, ya que: b–a <0 / · (-1) a-b >0 lo que significa que la diferencia buscada es positiva. 68. Alternativa correcta: D Unidad temática Geometría Sub-unidad Geometría de proporción Habilidad Evaluación Defensa De (1) por sí sola, sí es suficiente. Completando el triángulo por relaciones métricas se tiene:
C 45 30 12 6 3 45 60 A 6 22 B D 6 3
Por lo tanto, se conoce la base y la altura. Entonces se puede calcular el área. De (2) por sí sola, siíes suficiente, ya que se puede completar el triángulo utilizando las mismas relaciones métricas que en (1) 69. Alternativa correcta: D Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Geometría Geometría de proporción Evaluación
De (1) por sí sola, si se puede ya que si = , entonces AD / / BC por lo que la figura es un paralelogramo donde los ángulos opuestos son congruentes y los consecutivos suplementarios por lo tanto x mide 130°. De (2) por sí sola, si es suficiente, ya que si AB
CD y a la vez AB / /CD , entonces por teoremas
de congruencia se sabe que AD / / BC y que AD paralelogramo.
BC , por lo tanto la figura es un
70. Alternativa correcta: A Unidad temática Sub-unidad Habilidad Defensa
Geometría Ángulos y triángulos. Polígonos Evaluación
De (1) por sí sola, sí es suficiente ,utilizando el teorema de Pitágoras para determinar BD y luego teorema de Euclides para determinar AD , entonces se conoce la base y la altura del triángulo con lo que se puede calcular el área. De (2) por sí sola, no se puede, ya que un único dato no es suficiente para resolver el problema.
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