Ejemplo 1. Una Una MIA. MIA. de n = 9 regis registr tros os de una institu institució ción n banca bancari ria a es seleccionada seleccionada para estimar la cantidad promedio promedio de la deuda sobre N = 484 cuentas abiertas. Los valores de la muestra para estos registros se muestran en la tabla. Estime ! la cantidad promedio de la deuda! " estable#ca un l$mite para el error de estimación. 9
9
9
∑ y = 368,00 ∑ y i
i =1
i =1
=
∑ ( y − y) ∑ y =
i =1
n −1
B = 2 V ˆ ( y )
=2
i =1
n
i =1
9
=
368,00 9
N
= 2
35,67 484 − 9 = 3,94 9 484
4 N 2
= N y = 750(10,31) = 7732,5
=2
2 V (τ ˆ)
horas
2,25 750 − 50 = 307.4 horas 50 750
1000(36,00) 999(0,25) + 36,00
= 125,98
>ea "i = + si no planea ir una universidad. >ea "i = , si planea ir a una universidad. >ea 5i = + si no tenido traba)o a tiempo parcial. >ea 5i = , si lo (a tenido
•
τ ˆ
=
Ejemp Ejemplo lo 5. Una MIA de n = ,++ estudiantes del 1ltimo a/o de estud estudios ios de un colegi colegio o :ue :ue se selec leccio cionad nada a para para es estim timar ar;; <, la :racc :racción ión de N = -++ -++ es estud tudia iante ntess del a/o &ue &ue asist asistir ir%n %n a una una universidad! " < la :racción &ue (an tenido traba)os de tiempo parcial durante su estancia en el colegio. >ean yi " xi
Ejemplo 2.
= 10,31 horas por semana
2
= 0,25
El investigador investigador necesita pesar n = , pollos para estimar el peso total de los ,+++ pollos! con un l$mite para el error de estimación de ,+++ gramos.
•
y
1000 2 4(1000) 2
( N − 1) D + σ
•
Una empresa industrial est% interesada en el tiempo por semana &ue los cient$'cos cient$'cos emplean para ciertas tareas tareas triviales. Las (o)as de control del tiempo de una muestra irrestricta aleatoria de n = *+ empleado empleadoss muestran muestran &ue la cantidad cantidad promedio promedio de tiempo tiempo empleado en estas tareas es de ,+.-, (oras! con una varian#a muestral de s = .*. La compa/$a emplea N = 0*+ cient$'cos. Estim Estime e el n1mer n1mero o tota totall de (ora (orass (ombr (ombre e &ue &ue se pierd pierden en por semana en las tareas insigni'cantes " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
=
N σ 2
= $ 40,89
9 − ∑ yi / 9 i =1 = 1 15 332,50 − (368) 2 = 35.67 8 8 9
s 2 N − n
∑
yi
B 2
D =
n=
2
2 i
2
i
s
= 15 332,50 y =
9
9
2
2 i
encont encontró ró &ue &ue 3 = -!++ -!++ gramos. gramos. etermine etermine el tama/o tama/o de la muestra re&uerido.
•
n
p1
=
∑ y
n
i
i =1
n
=
15 100
ˆ ( p ) B = 2 V 1
=2
ˆ ( p ) B = 2 V 2
=2
i
= 0,15
p2
p1q1 N − n
n − 1
N
= 2
p2 q2 N − n
n − 1
∑ x
N
= 2
=
i =1
n
=
65 100
= 0,65
(0,15)(0,85) 300 − 100 = 0,059 99 300 (0,65)(0,35) 300 − 100 = 0,078 99 300
Estimam Estimamos os &ue ,*? de los estudiante estudiantess planean planean asistir asistir a una universidad! as$ mismo se tiene &ue este porcenta)e puede variar en @ o *!9?.
(750) 2
2or lo tanto! la estimación del tiempo total perdido es de 00-!* (oras " con'amos &ue el error de estimación es menor de -+0.4 (oras
Estimamos &ue *? de los estudiantes (an tenido un traba)o a tiempo parcial. 2ero este porcenta)e puede aumentar o disminuir en 0!8?
Ejemplo 3.
Ejemplo 6.
La cantidad promedio de dinero para las cuentas por cobrar debe ser estimada. Aun&ue no se cuenta con datos anteriores para estimar la varian#a poblacional 3! se sabe &ue la ma"or$a de las cuentas cuentas caen dentro de una amplitud amplitud de variación variación de ,++. E5ist E5isten en N = ,+++ ,+++ cuent cuentas as abier abierta tas. s. Encuen Encuentr tre e el tama/ tama/o o de muestra necesario para estimar con un l$mite para el error de estimación de 6 = -.
Los dirigentes del conse)o estudiantil desean reali#ar una encuesta para determinar la proporción de estudiantes &ue est%n a :avor de una propuesta ambiental. >e conoce &ue N = +++ estudiantes! determine el tama/o de muestra necesario para estimar 2 con un l$mite para el error de estimación de magnitud 6 = +!+*. no se tiene in:ormación previa disponible para estimar 2.
σ
≈
n=
R
4
=
100 4
D =
= 25
N σ 2
( N − 1) D + σ 2
σ
=
2
≈ (25) = 625 2
1000(625) 999(2,25) + 625
= 217,56
D =
B2
32 = 4 4
= 2,25
Ejemplo 4. Un investigador est% interesado en estimar la ganancia en peso total en 4 semanas semanas de N = ,+++ pollos alimentados alimentados con un nuevo tipo de alimento. 7bviamente! pesar cada ave ser$a mu" tedioso. 2or lo tant tanto! o! dete deterrmine mine el n1me n1merro de poll pollos os &ue &ue ser%n er%n seleccionados en este estudio para estimar τ con un l$mite para el error de estimación igual a ,+++ gramos. Estudios similares se (an reali reali#a #ado do en el pasa pasado! do! usan usando do es esos os datos datos!! el invest investig igado adorr
n
=
B 2
4
=
(0,05) 2 4
= 0,000625
NPQ
( N − 1) D + PQ
=
2000 (0,5)(0,5) 1999 (0,000625 ) + (0,5)(0,5)
= 333,56
Esto es --4 estudiantes deben ser entrevistados para estimar la propo proporc rción ión de es estu tudia diant ntes es &ue es est% t% a :avo :avorr de la propu propues esta ta ambiental! para &ue se pueda cumplir con 6 = +!+*
Ejemplo 7. Un investigador desea estimar el n1mero promedio de de:ectos por tablero &ue contienen componentes electrónicos! :abricados para la instalación en computadoras. Los tableros contienen un n1mero di:erente de componentes! " el investigador considera &ue el n1mero de de:ectos debe estar positivamente correlacionado
con el n1mero de componentes en un tablero. 2or lo tanto! se utili#ar% un muestreo ppt! siendo la probabilidad de seleccionar cual&uier tablero para la muestra! proporcional al n1mero de componentes en el tablero. Una muestra de n = 4 tableros ser% seleccionada de N = ,+ tableros de la producción de un d$a. El n1mero de componentes en los ,+ tableros respectivamente. <,+! ,! ! 8! ,! 4! 9! ,+! 8! -,
son
televisión en los (ogares del municipio. Este comprende dos pueblos! pueblo A " pueblo 6! " un %rea rural. El pueblo A circunda una :%brica! " la ma"or$a de los (ogares son de traba)adores :abriles con ni/os en edad escolar. El pueblo 6 es un suburbio e5clusivo de una ciudad vecina " consta de (abitantes de ma"or edad con pocos ni/os en casa. E5isten ,** (ogares en el pueblo A! en el pueblo 6 " 9- en el %rea rural. Analice los mritos de usar muestreo aleatorio estrati'cado.
Muestre como seleccionar n = 4 tableros con probabilidades proporcionales al tama/o. El n1mero de de:ectos encontrados en los tableros ! -! * " 0 :ueron! respectivamente! ,! -! ! " ,. estime el n1mero promedio de de:ectos por tablero! " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
>olución;
a" ,*+ componentes en la población
2ara la muestra aleatoria estrati'cada! tenemos; N, = ,**! N = " N- = 9- con N = -,+.
El tablero , tiene los ,+ primeros componentes! el tablero n1mero tiene los componentes del ,, al " as$ sucesivamente.
Ejemplo 2.
Tablero
Número de componentes
Interalo ac!m!lado
, 4 * 0 8 9 ,+
,+ , 8 , 4 9 ,+ 8 -,
, B ,+ ,, B - B 44 4* B * *- B 8 9 B 9 9- B ,+, ,+ B ,,, ,, B ,,9 ,+ B ,*+
ˆ ppt µ
=
yi ∑ Nn i =1 π i
"i ,+C,*+ ,C,*+ C,*+ 8C,*+ ,C,*+ 4C,*+ 9C,*+ ,+C,*+ 8C,*+ -,C,*+
La empresa publicitaria puede desear producir estimaciones! por separado! del n1mero promedio de (oras &ue se ve televisión en cada pueblo.
eleccionan las muestras irrestrictas aleatorias " se reali#an las entrevistas. Los resultados se muestran en la tabla ad)unta. Estime el tiempo promedio &ue se ve televisión! en (ogares por semana! para
n
i
N = ,+! n = 4. ", =,! " = -! "- = ! "4
=, π 1
=
ˆ ppt µ
12 , 150
=
π 2
22 , 150
π 3
=
16 , 150
π 4
=
9 150
150 150 150 150 1 + 3 + 2 + 1 = 1,71 10(4) 12 22 16 9 1
ˆ ( µ ˆ ppt ) = V
ˆ ( µ ˆ ppt ) = V
=
1 2 N n(n − 1)
2
∑i=1 yπ ii − τ ˆ ppt n
2 2 2 2 150 3(150) − 17,10 + 2(150) − 17,10 + 150 −17,10 = 0,0295 − 17,10 + 2 (10) ( 4)(3) 12 22 16 9
1
ˆ ppt ) 2 V ˆ ( µ
= 0,34
y ST
=
1 N
∑ N y I
2 V ˆ ( y st )
y ST
=
ˆ ( y ) = V st
1 310
=2
i
1 N 2
1 V ˆ ( y st ) = 2 N
∑
i
i
i2
i
i
N i − ni si2 N i ni
[ (155)( 33,900) + ( 62)( 25,125) + ( 93)( 19,000) ] = 27,7
1 (310)
2
(155) 2 (0,871)(35,358) (62) 2 (0,871)(232,411) (932 )(0,871)(87,636) + + = 1,97 20 8 12
ˆ( y ) y st ± 2 V st
#$E%T&E' ()E(T'&I' E%T&(TI*I+(,'
27,675 ± 2 1,97 ; 27,7 ± 2,8
Una empresa publicitaria est% interesada en determinar &u tanto debe en:ati#ar la publicidad televisiva en un determinado municipio! " decide reali#ar una encuesta por muestreo para estimar el n1mero promedio de (oras por semana &ue se ve la
2 i
N i2
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDD
Ejemplo 1.
∑ N N N − n sn
Estimamos &ue el n1mero promedio de (oras por semana &ue se ve tv en los (ogares del municipio es de 0!0 (oras. F con'amos &ue el error de estimación debe ser menor de !8 (oras! con una con'an#a de 9*?.
N − n s 22 62 − 8 232,411 ± 2 2 2 = 25,125 ± = 25,125 ± 10,1 62 8 N 2 n2
D =
B 2 2
4 N
= N y st = 310( 27,7) = 8587 horas
∑ N
2 2 i σ i
2
4 N
/ wi
= 6 991275
i =1
3
∑ N
i
2
σ i
= 27 125
i =1
40 000 = 40 000 N 2
∑ N
2 2 i σ i
Ejemplo 3.
3
( 400) 2
N 2 D = N 2
Esta estimación tiene un l$mite grande para el error de estimación debido a &ue la varian#a de muestra del estrato II es grande.
τ ˆ
=
n=
N 2 D +
/ wi
∑ N
i
= 2
σ i
6 991 275 = 104,2 ≈ 105 40 000 + 27125
Entonces n, = n = n- = -*
Ejemplo 6.
V ˆ ( N y st ) = N V ˆ ( yst ) = (310) (1,97 ) = 189 278,560 2
2 V ˆ ( N y st )
2
=2
189 278,560
= 870
Ejemplo 4. Una encuesta anterior sugiere &ue las desviaciones est%ndar de los estratos para e)emplo <, son apro5imadamente 3, = *! 3 = ,*! " 3- = ,+. deseamos estimar la media poblacional. >eleccione el tama/o de muestra para obtener un l$mite en el error de estimación igual a (oras! si las :racciones asignadas son H , = H = H - = ,C-. en otras palabras! se debe tomar un n1mero igual de observaciones de cada estrato.
La empresa publicitaria del e)emplo <, encontró &ue cuesta m%s obtener una observación del %rea rural &ue una del pueblo A o del 6. El incremento es debido a los costos de traslado de un (ogar rural a otro. El costo por observación en cada pueblo se (a estimado en 9
∑ N k σ k
k =1
ck
solución. Un l$mite para el error de estimación de (oras signi'ca &ue
=2
2 V ( y st )
=
3
∑ N
o sea V ( y st ) = 1 y D = 1
iσ i
ci
155(5) 9
+
62(15) 9
= 155(5)
+
93(10) 16
= 800,83
9 + 62(15) 9 + 93(10) 16
= 8835
i =1
>abemos &ue N, = ,**! N = ! N- = 93
∑ N
2 2 i σ i
/ wi
(155) 2 (25) (62) 2 (225) (93) 2 (100) + + 1/ 3 1/ 3 1/ 3
=
i =1
3
(
= 6 991275
n=
∑
3
N k σ k / ck )(
k =1
∑ N
i
2
σ i
= (155)(25) + (62)(225) + (93)(100) = 27125
i =1
N 2 D = (310) 2 (1) = 96100
∑ N
2 2 i σ i
n=
N 2 D +
/ wi
∑ N
i
= 2
σ i
6 991 275 96100 + 27125
= 56,7 ≈ 57
>e debe toma n = *0 observaciones con; n, = n = n- = *0<,C- = ,9
Ejemplo 5. As$ como en el e)emplo <4 con las mismas desviaciones est%ndar. eseamos estimar el total τ con un l$mite de 4++ (oras para el error de estimación. >eleccione el tama/o de muestra apropiado! si se va a tomar el mismo n1mero de observaciones en cada estrato. solución. El l$mite para el error de estimación debe ser 4++ (oras " por ello!
iσ i
i =1
N D + 2
3
∑ N i =1
3
∑ N
2 iσ i
ci )
=
(800,83)(8835) = 57,42 ≈ 58 (310) 2 (1) + 27125
N σ / c 1 1 1 = n 155(5) / 3 = 0,32n ≈ 18 n1 = n 3 800,83 ∑ N k σ k / ck i =1 N 2σ 2 / c2 62(15) / 3 n2 = n 3 = n 800,83 = 0,39n ≈ 23 ∑ N k σ k / ck i =1
N σ / c 3 3 3 = n 93(10) / 4 = 0,29n ≈ 17 n3 = n 3 800,83 ∑ N k σ k / ck i=1 El e5perimentador debe seleccionar ,8 (ogares del pueblo A! del pueblo 6 " ,0 del %rea rural. As$ puede estimar el n1mero promedio de (oras empleadas en ver la televisión! al m$nimo costo! con un l$mite de (oras para el error de estimación.
Ejemplo 7.
La empresa publicitaria decide (acer las entrevistas por tel:ono para reducir costos. El costo de obtener una observación es el mismo en los tres estratos. Las desviaciones est%ndar son 3 ,*! 3 ,*! 3-,+. La empresa desea estimar la media poblacional con un l$mite para el error de estimación igual a (oras. Encuentre el tama/o necesario de la muestra n " los tama/os ni de cada estrato. solución. Usando las ecuaciones <*!,, " <*!, "a los costos son iguales en todos los estratos. 2ara encontrar las :racciones de asignación usamos <*!,,. Entonces.
2
∑ N 2
∑ N
= (50)(2,5) 2 + (40)(2,0)2 = 472,50
2 iσ i
1
n1
=n
∑
= n 125 = 0,61n
N iσ i 2
∑ i =1
3
205
N iσ i
D =
= (155)(5) + (62)(15) + (93)(10) = 2635
N iσ i
i =1
n2 n1
= (50)(2,5) + (40)(2,0) = 205
iσ i
i =1
=n
= n (155)(5) = n(0,30) ⇒ w1 = 0,30
N iσ i
=n
2
∑ N
iσ i
80 205
B 2
4
1 4
= = 0,25
= 0,39n
1
2635
2
(62)(15) n2 = n 2635
∑ N ) n= N D + ∑ N (
= n(0,35) ⇒ w2 = 0,35
iσ i
1
2
2
n3
=n
(93)(10) 2635
D =
=1
4
n=
o sea V ( yst ) = 1
iσ i
N D + 2
)2
∑ N
2 iσ i
=
( 2635) 2 96100 + 27125
n2 = nw2
∑ N
2 iσ i
= 27125
i =1
= 56,34 ≈ 57
n2 = nw2
= 57(0,35) = 20
n3 = nw3
= 57(0,35) = 20
2 iσ i
n=
Una investigadora &uiso estimar el peso promedio de 9+ animales e5perimentales <*+ mac(os " 4+ (embras &ue (a sido alimentadas con cierta dieta. Gueron separados por se5o; por lo &ue el uso de muestreo aleatorio estrati'cado con dos estratos pareció apropiado. 2ara apro5imar la variabilidad dentro de cada estrato! la investigadora seleccionó el m%s pe&ue/o " el m%s grande en cada estrato " :ueron pesados. Ella encontró &ue la amplitud de variación :ue de ,+ gramos para los mac(os " de 8 para las (embras. JKu tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio poblacional con un l$mite de , gramo para el error de estimación >uponga &ue el costo de muestreo :ue el mismo para ambos estratos. solución. Usando <*!,, " <*!, "! adem%s;
4
= 2,5
σ 2
= (17)(0,39) = 7
= (155)(100) + (62)(100) + (93)(100) = 31000
1
8
≈ =2 4
31000 310(1) + (1 / 310)(31000)
n1
155 N = n 1 = n( ) = 38 N 310
n2
N 62 = n 2 = n = 15 N 310
n3
N 93 = n 3 = n( ) = 23 N 310
Ejemplo -.
10
≈ 17
La empresa publicitaria considera &ue las varian#as &ue se usaron en los e)emplos anteriores son erróneas " &ue las varian#as de los estratos son iguales. El valor com1n de 3 i :ue apro5imado por ,+ en un estudio preliminar. >e van a e:ectuar entrevistas por tel:ono! por lo &ue los costos ser%n iguales en todos los estratos. La empresa desea estimar el n1mero promedio de (oras por semana &ue se ve televisión en los (ogares del municipio! con 6 = (oras. Encuentre el tama/o de muestra " los tama/os ni de estratos necesarios para lograr esta e5actitud.
∑ N
n1 = nw1 = 57(0,30) = 17
≈
(90) 2 (0,25) + 472,50
Ejemplo .
3
σ 1
(205) 2
n1 = nw1 = (17)(0,61) = 10
N 2 D = (310) 2 (1) = 96100
∑ N
=
1
3
B2
(
=2
2 iσ i
= n(0,35) ⇒ w3 = 0,35
Usando <*!, para encontrar n. un l$mite de (oras para el error de estimación signi'ca &ue 2 V ( y st )
2
≈ 76
E)emplo ,+. En el e)emplo de ver televisión e)emplo ! supóngase &ue los costos son; c ,=c=9 " c-=,! " las 3,*! 3,*! 3-,+. ado &ue la empresa tiene 1nicamente *++ para gastar en V ( y st ) muestreo! dise/e el tama/o de muestra &ue minimice. >olución. En el e)emplo *! se encontró H,=+!-! H=+!-9 " H-=+!9. "a &ue el costo total debe ser igual a *++! tenemos &ue;
c1n1
+ c2 n2 + c3 n3 = 500
9n1 + 9n2
+ 16n3 = 500
ni
= nwi = 500
∑ N
9n(0,32) + 9n(0,39) + 16n(0.29) = 500
(0,8)(0,2) 9
(0,25)(0,75) 9
+ 62
+ 93
(0,5)(0,5) 16
= 20,667 + 8,949 + 11,625 = 41,241
2or lo &ue n = 4* para asegurar &ue los costos permane#can in:eriores a *++. •
= 155
P i Qi / ci
i
n1
=n
20,667 41,241
n3
=n
11,625 = n(0,28) 41,241
= n(0,50)
n2
=n
8,949 = n(0,22) 41, 241
La asignación correspondiente est% dada por; n, = nH, = <4*<+!- = ,4 n = nH = <4*<+!-9 = ,8 n- = nH- = <4*<+!9 = ,-
e donde Hi = +!*+ H = +! H- = +!8. Usando la ecuación <*!,8 para encontrar n! se tiene;
Ejemplo 11. La empresa &uiere estimar la proporción de (ogares en el municipio del e)emplo <,! donde se ve el programa . El municipio es dividido en tres estratos con N, = ,**! N = " N = 9- (ogares! respectivamente. Una muestra aleatoria estrati'cada de n = 4+ es seleccionada con asignación proporcional! con n , = +! n = 8! " n- = ,. las entrevistas son tomadas en los 4+ (ogares los resultados se presentan en la tabla ad)unta. Estime la proporción de (ogares donde se ve el programa ! " ')e un l$mite para el error de estimación.
2 i
3
∑ N w p q i
1
(155) 2 (0,8)(0,2)
=
i
0,5
i
+
(62) 2 (0,25)(0,75) 0,22
+
(93) 2 (0,5)(0,5) 0,28
= 18 686,46
3
∑ N p q = (155)(0,8)(0,2) + (62)(0,25)(0,75) + (93)(0,5)(0,5) = 59,675 i
i
i
1
2 V ( p st )
V ( p st ) =
= 0,1
(0,1) 2 4
= 0,0025 = D
N 2 D = (310) 2 (0,0025) = 240,25
∑ N p q / w
>olución.
2 i
El valor estimado de la proporción de (ogares donde se ve el programa est% dado por pst. p st =
1 310
N D + 2
i
i
∑ N p q i
i
=
18 686,46 240,25 + 59,675
≈ 63
i
[ (155)(0,80) + (62)(0,25) + (93)(0.50)] = 0,60
= nw1 = (63)(0,50) ≈ 31 n2 = nw2 = (63)(0,22) ≈ 14 n3 = nw3 = (63)(0,28) ≈ 18 n1
N − n1 p1q1 155 − 20 (0,8)(0,2) V ˆ ( p1 ) = 1 = 0,007 = N 1 n1 − 1 155 19 62 − 8 (0,25)(0,75) ˆ ( p ) = V = 0,024 2 7 62 ˆ ( p ) = 1 V st N 2
n=
i
3
∑ N V ˆ ( p ) = (3101 ) 2 i
i
2
[(155)
2
E)emplo ,-. V ˆ ( p3 ) = 0,020
(0,007 ) + (62) 2 (0,024) + (93) 2 (0,02) ] = 0,0045
1
Oe:erente al e)emplo , se van e:ectuar entrevistas por tel:ono! por lo &ue los costos de muestreo son los mismos en cada estrato. La :racción 2i se apro5imar% por p i ! i = ,! ! -. eseamos estimar 2 con un l$mite de +!, para el error de estimación. ise/e el tama/o de muestra apropiado para lograr este l$mite al costo m$nimo. 3
ˆ( p ) ; p st ± 2 V st
0,60 ± 2 0,0045 ; 0,60 ± 0,14
∑ N
i
pi qi
= 155
(0,8)(0,2) + 62 (0,25)(0,75) + 93 (0,5)(0,5)
1
= 62,000 + 26,846 + 46,500 = 135,346
E)emplo ,. Los datos del e)emplo :ueron tomados de un muestreo reali#ado el a/o anterior. La empresa publicitaria &uiere a(ora e:ectuar un nuevo estudio para estimar la proporción de (ogares donde ven el programa . aun&ue las :racciones 2i &ue aparecen en las ecuaciones <*!,8 " <*!,9 son desconocidas! pueden ser apro5imadas por las estimaciones del estudio anterior! esto es! p, = +!8+! p = +!* " p- = +.*+. El costo por obtener una observación es de 9 para los pueblos A " 6 " , para el %rea rural. La empresa &uiere estimar la proporción poblacional 2! con un l$mite para el error de estimación de 6 = +!,. Encuentre el tama/o de muestra n " los tama/os de muestras para los estratos &ue dar%n el l$mite deseado a un costo m$nimo. solución. 2rimero usamos la ecuación <*!,9 para encontrar las :racciones de asignación Hi. Usando pi para apro5imar 2i.
n1
=n
(62,000)
n3
=n
46,500
135,346
135,346
= n(0,46)
n2
=n
26,846 135,346
= n(0,20)
= n(0,34)
Entonces H, = +!4! H = +!+ " H- = +!-4 3
∑ N p q = (155)(0,8)(0,2) + (62)(0,25)(0,75) + (93)(0,5)(0,5) = 59,675 2 i
i
i
1
N 2 D = (310) 2 (0,0025) = 240,25
n=
(135,346) 2 ≈ 62 240,25 + 59,675
n1
=n
N 1
= 20
24
= 4;
120 30 n3 = n = 20 = 5; N 120
= nw1 = (62)(0,46) ≈ 29 n2 = nw2 = (62)(0,20) ≈ 12 n3 = nw3 = (62)(0,34) ≈ 21 n1
Ejemplo 14. En la encuesta de televisión del e)emplo , las entrevistas :ueron por tel:ono por lo &ue los costos de muestreo no var$an. Los tama/os de los estratos son N , = ,**! N = ! N- = 9-. Los resultados de la encuesta del a/o anterior se muestran en la tabla! parecen divergir de los de este a/o. La empresa considera &ue la proporción de (ogares donde se ve el programa est% cercana a +!4 en cada uno de los - estratos! " desea estimar la proporción poblacional 2 con un l$mite de +!, para el error de estimación. ise/e el tama/o de muestra " la asignación &ue provee este l$mite al m$nimo costo.
N N 3
n2
=n
n4
=n
N 2 N N 4 N
= 20 = 20
36 120 30 120
155 N = n = n(0,5) 1 = n N 310 N 62 = n(0,2) n2 = n 2 = n N 310 N 93 = n(0,3) n3 = n 3 = n N 310
=
1 N
V ˆ ( y st ) =
3
∑ N P Q = 155(0,4)(0,6) + 62(0,4)(0,6) + 93(0,4)(0,6) = 74,4 i
y ST
4
∑
N I yi
ˆ ( y ) = 1 V st N 2
= 99,3
1
∑
N i − ni si2 N i ni
N i2
N i − ni 5 = N i 6
n1
i
=5
El nuevo producto es introducido en 4 almacenes elegidos al a#ar de la cadena I! almacenes de la cadena II " * almacenes de cada una de las cadenas III " IQ. espus de un mes! las ventas presentan los resultados indicados en la tabla siguiente. Estime las ventas promedio para el mes! " ')e un l$mite para el error de estimación.
>olución. Las :racciones de asignación se determinan mediante la ecuación <*!,9 con 2,!P!2L " c,! P! c L reempla#ados por ,.
=6
1 5 78,67 + (36) 2 55,60 + (30) 2 39,50 + (30)2 112,50 = 2,93 (24) 2 (120) 2 6 4 6 5 5
2 V ˆ ( y st )
=2
2,93 = 3,4
i
1
Ejemplo 16.
ND = (310)(0,0025) = 0,775 3
∑ N P Q n= ND + ∑ N P Q i
i
i
1
3
i
i
=
74,4 0,775 + (1 / 310)(74,4)
≈ 74
i
1
= n(0,5) = nw1 = 74(0,5) = 37 n2 = n(0,2) = nw2 = 74(0,2) = 15 n3 = n(0,3) = nw3 = 74(0,3) = 22 n1
Ejemplo 15. Un distribuidor de combustible al ma"oreo en una gran ciudad desea saber si la demanda es lo su'cientemente grande como para )usti'car la inclusión de un nuevo producto a sus e5istencias. 2ara tomar la decisión! planea a/adir este producto a una muestra de los almacenes a los &ue abastece para estimar el promedio de las ventas mensuales. El 1nicamente suministra a 4 grandes cadenas en la ciudad. As$ &ue! decide usar muestreo aleatorio estrati'cado con cada cadena como un estrato. a" 4 almacenes en el estrato I! - en estrato II! -+ en el estrato - " -+ en el estrato IQ. El distribuidor tiene su'ciente tiempo " dinero para obtener datos sobre las ventas mensuales en n = + almacenes. ado &ue no tiene in:ormación previa respecto a las varian#as de los estratos " por&ue el costo del muestreo es el mismo en cada estrato! decide aplicar la asignación proporcional! la cual da
Un servicio :orestal est% reali#ando un estudio de la gente &ue utili#a las instalaciones de campamentos operados por el estado. El estado tiene dos %reas para acampar! una locali#ada en una monta/a " otra locali#ada a lo largo de la costa. El servicio :orestal desea estimar el n1mero medio de personas por sitio dentro de los campamentos! " la proporción de sitios personas de :uera del estado durante un particular 'n de semana! cuando se espera &ue todos los sitios estn ocupados. El n1mero promedio de personas se va estimar con un l$mite de 6=,! la proporción de personas de :uera del estado con un l$mite de +!,. Las dos %reas para acampar :orman dos estratos! la localidad de la monta/a como el estrato I " la localidad de la costa como estrato II. >e sabe &ue N , = ,+ sitios para acampar " N = 8+. el servicio :orestal conoce &ue los sitios contienen de , a 9 personas. Encuentre el tama/o de muestra " la asignación necesaria para lograr estos dos l$mites. w1
=
N 1
=
N
120 200
2
∑ N
2 2 i σ i
1
2
∑ N
i
1
2
σ i
/ wi
=
= 0,6;
w2
=
N 2 N
=
(120) 2 (4) (80) 2 (4) + 0,6 0,4
= (120)(4) + (80)(4) = 800
80 200
= 0,4
= 160 000
σ i
≈
9 −1 4
=2
N D = (200) 2
2
correspondiente para (ace dos a/os < x! de cada una de las + casas de la muestra. El investigador desea estimar O! el cambio relativo en el valor calculado para las ,+++ casas! usando la in:ormación contenida en la muestra.
B 2 2 = (200) (1 / 4) = 10 000 4
A(ora consideramos la estimación de la proporción de ocupantes de :uera del estado. Ronsideramos 2, = 2 = +!*.
∑
N i2 P i Qi / wi
N 2 D = (200) 2
(120) 2 (0,5)(0,5)
=
0,6
(0,1) 2
+
(80) 2 (0,5)(0,5) 0,4
= 10 000
= 100
4
2
∑ N P Q = 120(0,5)(0,5) + 80(0,5)(0,5) = 50 i
i
i
1
2
∑ N P Q / w n= N D + ∑ N P Q 2 i i
i
i
1
2
2
i
i
=
10 000 100 + 50
= 67
i
1
= nw1 = (67)(0,6) = 40 n2 = nw2 = (67)(0,4) = 27 n1
Estimar O! el cambio relativo en el aval1o de bienes ra$ces en el periodo de dos a/os dado. Estable#ca 6.
Ejemplo 1-.
>olución. La estimación de O! est% dado por;
una gran empresa sabe &ue 4+? de las cuentas &ue reciben son al ma"oreo " +? son al menudeo. >in embargo! identi'car las cuentas individuales sin consultar un arc(ivo es complicado. Un auditor desea muestrear n = ,++ de sus cuentas para estimar la cantidad promedio de las cuentas por cobrar de la empresa. Una MIA presenta 0+? de cuentas al ma"oreo " un -+? al menudeo. Los datos son separados en cuentas al ma"oreo " al menudeo despus del muestreo! son los siguientes resultados
20
∑ y r = ∑ x
i
1 20
= 164,4 = 1.07 154,5
i
1
20
∑
( yi
1
20
20
20
1
1
1
− rxi ) 2 = ∑ yi2 + r 2 ∑ xi2 − 2r ∑ xi yi
20
∑ ( y − rx ) i
2
i
= 1369,42 + (1,07)2 (1210,55) − 2(1,07)(1288,95) = 1,3157
1
Estime ! la cantidad promedio de las cuentas &ue recibe la empresa! " ')e un l$mite para el error de estimación. yST
= ( 0,4) (520) + ( 0,6) (280) = 376
2 2 ( 210) V ˆ ( y st ) = ( 0,4 ) 70
+ ( 0,6) 2
(90) 2 30
= 198
2 V ˆ ( y st )
=2
198 = 28
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDD
E%TI#(+I/N ,E &(0/N &E&E%I/N ,I*E&EN+I( Ejemplo 1. En una encuesta para e5aminar las tendencias en bienes ra$ces! un investigador est% interesado en el cambio relativo en el valor calculado de las casas en una comunidad en particular durante un periodo de dos a/os. Una MIA de n=+ casas es seleccionada de N=,+++ casas de la comunidad. e los registros 'scales! el investigador obtiene el valor calculado para este a/o
2 V ˆ ( r )
1000 − 20 1 1,3157 = 2 = 0,02 2 20(1000) (7,725) 19
Ejemplo 2. En un estudio para estimar el contenido total de a#1car de una carga de naran)as! una muestra aleatoria de n = ,+ naran)as :ue pesada " e5tra$do el )ugo. El peso total de todas las naran)as! obtenido pesando primero el camión cargado " luego descargado! :ue de ,8++ libras. Estime τ"! " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
100
∑ x
= 15 620
2 i
1
>olución. El estimador de " = r5 µ x
=
τ x
N
12 500 1000
=
= 12,5
100
∑ y ( = ∑ x i
ˆ y µ
1 100
µ x )
1750 (12,5) = 18,23 1200
=
i
1
10
i
= r τ x
τ ˆ y
100
∑ y ( = ∑ x 1 10
τ x )
=
0,246 4,35
∑
(1800) = 101,79 libras
( yi
1
i
100
∑ ( y − rx )
1
100
100
100
1
1
1
− rxi ) 2 = ∑ yi2 + r 2 ∑ xi2 − 2r ∑ yi xi
i
2
i
= 31650 + (1,4583) 2 (15 620) − (2,9166)(22 059,35) = 441,68
1
10
∑ y r = ∑ x
i
=
1 10
0,246 = 0,0566 4,35
100
ˆ x y ) 2 V ˆ ( µ
i
1
10
∑
10
10
10
1
1
1
1
1
2
i
n −1
1000 − 100 441,68
100(1000) 99
= 0,42
= (0,021) + ... + (0,025) = 0,006224
2or lo tanto! estimamos &ue la cantidad promedio de dinero pagado a los empleados por gastos mdicos es ,8!-. estamos mu" con'ados en &ue el error para estimar " es menor &ue +!4
2 i
=(0,4) 2 + ... + (0,44) 2 = 1,9035
Ejemplo 4.
∑ y
2
2
1
10
∑ x 1
10
∑ y x i
i
= (0,021)(0,4) + ... + (0,025)(0,44) = 0,10839
1
=
nN
i
2 i
10
x
=2 =2
− rxi ) 2 = ∑ yi2 + r 2 ∑ xi2 − 2r ∑ xi yi
( yi
∑ ( y − rx )
N − n
4,35 = 0,435 10
10
∑ ( y − rx ) i
2
i
= 0,006224 + (0,0566) 2 (1,9035) − 2(0,0566)(0,10839) = 0,000052285
una compa/$a industrial desea estimar la ra#ón de cambio del a/o pasado con este a/o en cuanto al n1mero de (oras (ombre &ue se pierden debido a en:ermedad. >e e:ectuó un estudio preliminar con nS=,+ registros de empleados! " los resultados se presentan en tabla ad)unta. Los registros de la compa/$a muestran &ue el n1mero total de (oras (ombre &ue se perdieron a causa de en:ermedad el a/o anterior :ue de τ5 = , -++. Use los datos para determinar el tama/o de muestra re&uerido para estimar O! con un l$mite para el error de estimación de 6 = +!+,. suponga &ue la compa/$a tiene ,+++ empleados.
1
2 V ˆ (τ ˆ y )
=2
0,000052285 1 1 = 6,3 2 9 10 (0,435)
(1800) 2
E)emplo -. una R$a. esea estimar la cantidad promedio de dinero " pagado a los empleados por gastos mdicos durante los primeros tres meses del a/o en curso. Los reportes del promedio por trimestres est%n disponibles en los in:ormes 'scales del a/o anterior. Una muestra aleatoria de ,++ registros de empleados se seleccionó de una población de ,+++ empleados. Los resultados de la muestra se resumen a continuación. Use los datos para estimar " " estable#ca un l$mite para el error de estimación. N = ,+++! n = ,++ 100
∑ 1
yi
= 1750
100
∑
xi
1
= 1200
100
∑ 1
yi xi
= 22 059,35
100
∑ y
2 i
%ol!cin. 2rimero calculamos una estimación de 3 usando los datos del estudio preliminar
= 31650
10
1
n'
∑ ( y − rx ) i
ˆ σ
2
=
i =1
n'−1
i
2
∑ y r = ∑ x
i
1 10
i
1
=
187 178
= 1,05
n'
10
∑ ( y − rx ) = ∑ y 2
i
i =1
2 i
i
1
10
1
= 4463 + (1,05) ˆ σ
=
2
31,265 9
10
+ r 2 ∑ xi2 − 2r ∑ yi xi
n=
1
2
(4066) − 2(1,05)(4245) = 31,265
= 3,474
El tama/o de muestra re&uerido a(ora puede ser encontrado usando <! µ x
=
n=
τ x
N
16 300
=
N σ ˆ
1000 2
ND + σ ˆ
=
2
= 16,3
D =
B 2 µ x2
4
1000 (3,474) 1000 (0,006642 ) + 3,474
=
(0,01) 2 (16,3) 2 4
= 0,006642
≈ 344
ebemos seleccionar n = -44 registros de empleados para estimar O! el cambio relativo en (oras (ombre perdidas por en:ermedad! con 6 = +!+,
ND + σ
2
=
1000(4,219 ≈ 17 1000(0,25) + 4,21
Ejemplo 6 un auditor desea comparar el valor verdadero en del inventario de un (ospital! τ"! con el inventario registrado τ5. el inventario registrado puede ser obtenido de los registros almacenados en la computadora del (ospital. El inventario real τ"! podr$a determinarse e5aminando " contando todos los art$culos del (ospital! pero este proceso ser$a mu" costoso " emplear$a muc(o tiempo. 2or lo tanto el auditor planea estimar τ" con base en una muestra de n art$culos di:erentes seleccionados del (ospital aleatoriamente. Los registros de la computadora listan N=,++ art$culos di:erentes " el n1mero de cada art$culo en particular. Ron estos datos puede obtenerse un valor total para cada art$culo! 5! multiplicando el n1mero total de cada art$culo registrado por el valor unitario de cada art$culo. El valor total de inventario obtenido! seg1n los registros de computadora! est% dado por; 2100
τ x
Ejemplo 5.
N σ 2
= sma de los valores para los N = 2100 = ∑ xi 1
Una investigadora desea estimar el n1mero promedio de %rboles " por (ect%rea en una plantación de N = ,+++ (ect%reas. Ella planea seleccionar n parcelas de , (ect%rea " contar el n1mero de %rboles y en cada parcela. Tambin tiene :otogra:$as areas de la plantación! con las cuales puede estimar el n1mero de %rboles 5 en cada parcela para la plantación completa. En consecuencia! conoce 5. 2or lo tanto parece apropiado usar un estimador de ra#ón para ". etermine el tama/o de muestra necesario para estimar " con 6 = ,. No se tiene in:ormación anterior.
En este caso τ5 :ue 9*+ +++. etermine el tama/o de muestra necesario para estimar τ" con un l$mite de 6 = *++
%ol!cin. ebido a &ue no (a" in:ormación previa disponible debe reali#arse un estudio preliminar para estimar 3. para este caso usamos datos del inventario de un solo d$a nS= ,*.
%ol!cin. Romo no se tiene in:ormación anterior seleccionamos n S= ,+ como muestra preliminar;
10
ˆ σ
2
=
∑
i =1
( yi
− rxi )
1 10
2
i =1
221 208
= 1,06
1
10
( yi
=
i
n'−1
n'
∑
∑ y r = ∑ x
i
n'
15
10
10
− rxi ) = ∑ y + r ∑ x − 2r ∑ yi xi 2
2 i
2
1
2 i
1
= 5469 + (1,06)
1
2
(4872) − 2(1,06)(5144) = 37,8992
∑ y r = ∑ x
i
1 15
=
237,5 242
i
1
n'
ˆ σ
2
=
37,8992 9
= 4,21
D =
B2
4
1
= = 0,25 4
≈ 0,98
15
∑ ( y − rx ) = ∑ y 2
i
i =1
2 i
i
1
15
15
+ r 2 ∑ xi2 − 2r ∑ yi xi 1
= 4522.19 + (0,98)
1
2
( 4706.54) − 2(0,98)(4560,27) = 104,2218
ˆ σ
2
=
104,2218 14
D =
= 7,4444
B 2
=
4 N 2
(500) 2 4(2100) 2
En el e)emplo 0! encuentre una estimación de ra#ón combinada para ".
= 0,01417
samos y st para estimar µ y ; x st para estimar µ x y
n=
N σ
2
ND + σ
2
=
2100(7,444) = 420,2326 2100 (0,01417 ) + 7,444
ˆ yR" µ
=
y st x st
( µ x )
Ejemplo 7. En el e)emplo 4! trate las ,+ observaciones sobre (oras (ombre perdidas debido a en:ermedad como una MIA de la compa/$a A. as$ nA = ,+! Me sabe N6 = ,*++ empleados " τ56 = , 8++. encuentre el estimador de ra#ón separado de " " su varian#a estimada.
2
N ! N ! − n ! 1 n ! ˆ ˆ V ( µ yR" ) = [ ( yi − y !i ) − r " ( xi − x ! )] 2 + N N !n ! na − 1 I =1
∑
2 N B N B − n B 1 n [ ( yi − y B i ) − r " ( xi − x B )] 2 + ∑ N N B n B n B − 1 I =1 !
y ST
= ( 0,4)18,7 + ( 0,6) 4,6 = 10,24
xST
= ( 0,4)17,8 + ( 0,6) 7,8 = 11,80
µ x
=
ˆ yR" µ
16 300 + 12 800 2500
=
10,24 (11,64) = 10,13 11,80
n !
∑ [( y − y I =1
i
! i
n !
∑ [( y − y i
I =1
= 11,64
B i
) − r " ( xi − x ! )]
2
= 51,56
) − r " ( xi − x B )]
2
= 144,21
V ˆ ( µ ˆ yR" ) = 0,66 Ejemplo . >olución. Las :órmulas se dan a continuación. n !
( y − r x ) ∑
2
N N − n ! I =1 ˆ yRS ) = ! ! V ˆ ( µ N N ! n ! ˆ yR" µ
=
y st x st
i
! i
n ! − 1
2
n !
2
( y − r x ) ∑
N N − n I =1 + B B B N N B n B
i
B
2
i
n B − 1
se (i#o un e5amen de conocimientos a 48 estudiantes! antes de su ingreso a cierta universidad. e estos estudiantes! una MIA de n = ,+ :ue seleccionada " se observaron sus progresos. espus las cali'caciones 'nales en c%lculo :ueron anotadas! como se indica en la tabla ad)unta. >e sabe &ue 5 = * para los 48 estudiantes &ue presentaron el e5amen. Estime " para esta población! " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
( µ x )
2
1 n ! N N − n ! ˆ ( µ ˆ yR" ) = ! ! V [ ( yi − y !i ) − r " ( xi − x ! )] 2 + N N !n ! na − 1 I =1
∑
2 N B N B − n B 1 n + [ ( yi − y B i ) − r " ( xi − x B )] 2 ∑ N N B n B n B − 1 I =1 !
ˆ yRS µ
1000 18,7 1500 4,6 = (16,3) + (8,53) = 9,87 2500 17,8 2500 7,8
n !
∑ ( y − r x ) i
! i
I =1
2
= 31,26
n B
∑ ( y − r x ) i
B
i
2
= 87,45
i =1
2 31,265 1500 2 1490 87,45 990 1000 + = 0,40 2500 (1000)(10) 2500 (1500)(10) 9 9
ˆ ( µ ˆ yRS ) = V
= punta)e en e5%menes de conocimiento E)emplo 8.
F= Rali'cación 'nal en calculo y = 76; x
= 46
∑ y x − n y x i
b=
i
∑ x
2 i
10
∑
− n x
( yi − y ) 2
1
=
2
23 634 − 10(46) 2
= 0,766
10
=∑ yi2 − n y 2 = 2056 1
10
10
∑ ( x − x ) = ∑ x 2
2 i
i
1
ˆ y# µ
36 854 − 10(46)(76)
− n x 2 = 2474
1
= y + b( µ x − x ) = 76 + (0,766)(52 − 46) = 80
N − n 1 ˆ y# ) = V ˆ ( µ Nn n − 2
∑ ( y − y ) i
2
− b 2 (∑ ( xi − x ) 2
486 − 10 1 ˆ ( µ ˆ y# ) = V [ 2056 − (0,766)2 (2474)] = 7,397 486(10) 8
ˆ y# ) 2 V ˆ ( µ
=2
7,397
= 5,4
Nótese &ue el estimador de regresión de " sobreestima el valor M
Ejemplo 1. Los auditores :recuentemente est%n interesados en comparar el valor intervenido de los art$culos con el valor asentado el libro. eneralmente! los valores en el libro son conocidos para cada art$culo en la población! " los valores intervenidos son obtenidos con una muestra de esos art$culos. Los valores en libro entonces pueden utili#arse para obtener una buena estimación del valor intervenido total o promedio para la población. Una población contiene N = ,8+ art$culos intervenidos con un valor establecido en el libro de ,- -+. denote por x el valor en el libro " por y el valor intervenido. Una MIA de n = ,+ art$culos producen los resultados &ue se muestran en la tabla ad)unta. Estime el valor intervenido medio de " mediante el mtodo de di:erencia " estime la varian#a del estimador
y
=
x
=
721 = 72,1 10 717 = 71,7 10
ˆ yD µ
= µ x − d = 74,0 + (72,1 − 71,7) = 74,4
180 − 10 58,00 − (10)(0,4) ˆ yD ) = V ˆ ( µ 9 180(10)
2
= 0,59
Ejemplo 11. En el e)emplo ,+! estime " usando un estimador de regresión " un estimador de ra#ón. En cada caso calcule una estimación de la varian#a.
∑ y x − n y x i
b=
i
∑ x
2 i
ˆ y# µ
ˆ y µ
− n x
2
=
105 881 − 10(71,7)(72,1) 106 003 − 10(71,7) 2
= 0,99
= y + b( µ x − x ) = 72,1 + 0,99(74,0 − 71,7) = 74,38
=
∑ y ∑ x
i
( µ x ) =
721 717
ˆ ( µ ˆ y# ) = 2,24 V
(74) = 74,41
i
ˆ ( µ ˆ y ) = 0,66 V DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDD MUE>TOE7 >I>TEMVTIR7
Ejemplo 1. Un investigador desea determinar la calidad del )arabe contenido en la savia de los %rboles en una 'nca. El n1mero total de %rboles
N es desconocido por lo tanto es imposible reali#ar una muestra irrestricta aleatoria de %rboles. Romo un procedimiento alternativo! el investigador decide usar una muestra sistem%tica de , B en B 0. Los datos se listan en la tabla ad)unta. Los datos son el porcenta)e del contenido de a#1car
de la pol$tica ambiental propuesta. Estable#ca un l$mite para el error de estimación.
962
p sy
= y sy =
2 V ˆ ( p sy )
∑ y i =1
n
=2
>olución. Una estimación de est% dada por; 212
µ ˆ
∑ y
= y sy =
s 2
=
∑ y
= 17 066 = 80,5 212
n 2 i
− n( y ) 2
1
ˆ ( y sy ) = V
n −1
= 1486800
− 212(80,5) 2 211
= 535,48
s 2 N − n 535,483 1484 − 212
2 V ˆ ( y sy )
n
N
=2
=
212
1484
= 2,16
(0,678)(0,322) 5775 − 962 ≈ 0,028 961 5775
%ol!cin. Una suposición ra#onable es &ue la población es aleatoria por lo tanto +. luego podemos usar la ecuación <0!,-
2,165 = 2,9
Ejemplo 2. Un investigador tiene un (uerto e5perimental con N = ,-++ man#anos de una nueva variedad en estudio. El investigador desea estimar la producción total
%ol!cin. Una suposición ra#onable es &ue la producción es aleatoria si la población :uese periódica! el investigador podr$a seleccionar varios puntos de inicio aleatorios en la selección de los %rboles &ue ser% incluidos en la muestra. Una estimación de
est% dada por;
= N ysy = 1300(3,52) = 4576 =2
0,48 1300 − 130 = 150 130 1300
B2
4
= 4 =1
n=
4
N σ 2
( N − 1) D + σ
2
=
2500(100) = 96,19 ≈ 97 2499(1) + 100
Ejemplo 5. Una empresa publicitaria est% iniciando una campa/a de promoción para un nuevo producto. La empresa &uiere muestrear clientes potenciales en una pe&ue/a ciudad para determinar la aceptación del producto. 2ara eliminar algo de los costos! el investigador decide seleccionar una muestra sistem%tica de entre N = *+++ nombres listados en un registro de la ciudad " recolectar los datos mediante entrevistas por tel:ono. ise/e el tama/o d muestra re&uerido para estimar 2! la proporción de personas &ue consideran WaceptableX el producto! con un l$mite de 6 = +!+-.
%ol!cin. Aun&ue no se tienen datos disponibles sobre el nuevo producto! podemos encontrar un tama/o de muestra apro5imado. Ron 2 = +!* D =
2 V ˆ ( N y st )
962
La administración de una empresa de servicio p1blico est% interesada en la cantidad promedio de tiempo &ue tienen de estar vencidas las cuentas atrasadas. Una muestra sistem%tica ser% e5tra$da de una lista en orden al:abtico con N = *++ cuentas de clientes &ue est%n vencidas. En una encuesta similar reali#ada el a/o anterior! la varian#a muestral :ue de ,++ d$as. etermine el tama/o de muestra re&uerido para estimar ! la cantidad promedio de tiempo &ue tienen de estar vencidas las cuentas de la empresa! con un l$mite para el error de estimación de 6 = d$as.
D =
τ ˆ
= 652 = 0,678
Ejemplo 4. i
1
212
i
B2
4
=
(0,03) 2 4
= 0,000225
(1300) 2
Ejemplo 3. Una muestra sistem%tica de ,DenD es obtenida de una lista de votantes registrados para estimar la proporción de votantes &ue est%n a :avor de una pol$tica ambiental propuesta. i:erentes puntos de inicio aleatorio se utili#an para asegurar &ue los resultados de la muestra no son a:ectados por variación periódica en la población. Los resultados se dan en la tabla ad)unta. Estime 2! la proporción de los *00* votantes registrados &ue est%n a :avor
n=
NPQ
( N − 1) D + PQ
=
5000(0,5)(0,5) 4999(0,000225 ) + (0,5)(0,5)
≈ 910
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDD
#$E%T&E' '& +'N)'#E&(,' E)emplo ,. un sociólogo &uiere estimar el ingreso promedio por persona en cierta ciudad pe&ue/a. No e5iste una lista disponible de adultos residentes. Jcómo se debe dise/ar la encuesta por muestreo
415 − 25 15 227 502 247 = 653 785 2 24 (415)(25)(6,04)
V ˆ ( y ) =
2 V ˆ ( y )
=2
653 785 = 1617
%ol!cin. El muestreo por conglomerado parece ser la elección lógica para el dise/o de la encuesta por&ue no se encuentra disponible una lista de elementos. La ciudad est% dividida en blo&ues rectangulares.
Ejemplo 2. >e reali#an entrevistas en cada uno de los * blo&ues establecidos con anterioridad. Los datos se presentan en la tabla ad)unta. Use los datos para estimar el ingreso promedio por persona en la ciudad " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
Ejemplo 3. Utilice los datos de la tabla anterior para estimar el ingreso total de todos los residentes de la ciudad! " ponga un l$mite para el error de estimación. E5isten *++ residentes en la ciudad.
%ol!cin. La media muestral calcula es de 88+,. entonces la estimación de tao es. $ y = 2500 (8801) = $ 22 002 500
2 V ˆ ( $ y )
=2
ˆ ( y) $ 2V
=2
( 2500) 2 (653 785)
= 4 042 848
Ejemplo 4. Usando los datos del e)emplo ! estimar el ingreso total de todos los residentes de la ciudad si M no es conocido. Estable#ca un l$mite para el error de estimación! sabiendo &ue N = 4,* conglomerados. N yt =
n
∑
415 (1329 000) = $22 061 400 25 2
( yi − yt ) 2
1
2 V ˆ ( N yt )
1 2 = ∑ yi2 − 1 ∑ yi = 82 039 000 000 − 25 (1329 000) = 11389 360 000 n
=2
415 − 25 11389 360 000 = 3 505 920 24 415 x25
(415) 2
Ejemplo 5. El gerente de circulación d un periódico desea estimar el n1mero promedio de e)emplares comprados por :amilia en determinada comunidad. Los costos de transporte de un (ogar a otro son sustanciales. Es por eso &ue se listan los 4 +++ (ogares de la comunidad en 4++ conglomerados geogr%'cos de ,+ (ogares cada uno! " se selecciona una muestra irrestricta aleatoria de 4 conglomerados. >e reali#an las entrevistas con los resultados &ue se muestran en la tabla ad)unta. Estime el n1mero promedio de periódicos por (ogar en la comunidad " estable#ca un l$mite para el error de estimación.
n
∑ y y = ∑m
i
= 1329 000 = 8801
i =1 n
151
i
i =1
n
∑ ( y − ym ) = ∑ y 2
i
i
1
2 i
− 2 y ∑ yi mi + y 2 ∑ mi2 4
n
∑ ( y − ym ) i
i
2
= 82 039 000 000 − 2(8801)(8 403 000) + (8801) 2 (1047) = 15 227 502 247
1
∑ y y = ∑m
i
i =1 4
= 19 + 20 + 16 + 20 = 1,875 40
i
i =1
n
m
=
∑m
i
1
n
= 151 = 6,04 25
n
∑ 1
2 ( yi − ymi )
n
n
n
i =1
i =1
i =1
= ∑ yi2 − 2 y ∑ yi mi + y 2 ∑ mi2
n
n
∑ ( y − ym ) = ∑ y 2
i
i
2 i
− nm 2 y 2 = (19)2 + (20)2 + (16)2 + (20)2 − 4(10) 2 (1,875) 2 = 10,75
i =1
1
D =
B 2
= (1000 0002 )
4 N 2
2
4(415)
n
( y − ym ) N − n ∑ i
V ˆ ( y ) =
2
Nn $
2 V ˆ ( y )
=2
i
1
n −1
2
=
( 400 − 4)(10,75) 400(4)(10) 2 (3)
= 0,0089
n=
N σ t 2 ND +
2 σ t
=
415(474 556 667) 415(1 000 000) 2 / 4(415) 2 + 474 556 667
≈ 183
Entonces se debe tomar una muestra de ,8- conglomerados para tener un l$mite de , +++ +++ en el error de estimación.
0,0089 = 0,19
Ejemplo . Ejemplo 6. Los datos del e)emplo representan una muestra preliminar de ingresos en la ciudad. JKu tan grande debe ser la muestra para estimar el ingreso promedio por persona con 6 = *++ >olución. 2ara utili#ar la ecuación <8!,-! debemos estimar 3Yc
Adem%s de la pregunta sobre su ingreso! se interroga a los residentes! de la encuesta del e)emplo ! acerca de si son due/os o al&uilan la casa donde viven. Los resultados se muestran en la tabla ad)unta. Utilice los resultados para estimar la proporción de residentes &ue viven en casa de al&uiler. Estable#ca un l$mite para el error de estimación.
n
s
2 c
=
D =
n=
∑ ( y − ym ) i
2
i
= 15 227 502 247 = 634 479 260
1
n −1 B 2 m
2
4
= (500)
N σ c2 ND +
24
2 σ c
=
2
(6,04) 2 4
= (62 500)(6,04) 2
415(634 479 260) 415(6,04) 2 (62 500) + 634 479 260
≈ 167
Ejemplo 7. Usando nuevamente los datos del e)emplo ! como una muestra preliminar de ingresos en la ciudad! se/ale J&u tan grande se necesita una muestra para estimar el ingreso total de todos los residentes! ! con 6 = , +++ +++ a" *++ residentes en la ciudad
>olución. Usamos la ecuación <8!,4 " estimamos 3Zc mediante sc2
= 634 479 260
D =
B 2 4 N 2
ND =
n=
=
(1000 000) 2 4(415) 2
(1 000 000) 2 4(415)
N σ c2 ND +
2 σ c
=
= 602 409 000
415(634 479 260) 602 409 000 + 634 479 260
≈ 213
Luego se deben muestrear ,- conglomerados de los 4,* para estimar el ingreso total con un l$mite de 6 = , +++ +++ para el error de estimación.
Ejemplo -. >uponiendo &ue los datos del e)emplo provienen de un estudio preliminar de ingresos en la ciudad " &ue no se conoce M. JKu tan grande debe ser la muestra para estimar el ingreso total de todos los residentes! ! con 6 = , +++ +++
%ol!cin. El me)or estimador de la proporción poblacional de arrendatarios es p. n
∑a p = ∑m
i
i =1 n
n
st 2
=
∑ ( y − y ) i
i=
n −1
t
2
= 11389 360 000 = 474 556 667 24
i
i =1
=
72 = 0,48 151
n
∑ (a − pm ) = ∑ a 2
i
i
i =1
2 i
− 2 p∑ ai mi + p 2 ∑ mi2
m1 = 6,04
m2 = 4,90
Estimación del promedio poblacional del total por conglomerado
n
∑ (a − pm ) i
2
i
= 262 − 2(0,477)(511) + (0,477)2 (1047) = 12,729
i =1
415 − 25 (12,729) = 0,00055 2 415(25)(6,04) 24
y st =
1 ( N 1 yt 1 + N 2 yt 2 ) N
V ˆ ( p ) =
Mientras &ue el estimador del promedio del tama/o de conglomerado es
2 V ˆ ( p)
1 ( N 1m1 + N 2 m2 ) N
=2
0,00055 = 0,05
Un estimador de la media poblacional por elemento es entonces
Ejemplo 1. Los datos del e)emplo son obsoletos. >e va a reali#ar un nuevo estudio en la misma ciudad con el propósito de estimar 2 de residentes &ue al&uilan casa en &ue viven. JKu tama/o de muestra se necesita >i 6 = +!+4. >olución. El me)or estimador de 3Zc es sZc el cual es calculado usando los datos de la tabla.
sc2
=
D =
n=
i
n −1
ND +
2 σ c
=
= 12,729 = 0,53
N 1m1 + N 2 m2
2
(6,04) 2 4
= 0,0146
( 415)(0,530) (415)(0,0146 ) + 0,530
1 N 1 ( N 1 − n1 ) n1 [ ( yi − yt 1 ) − y * (mi $ 2 n1 (n1 − 1) I =1
∑
B = 0,04
24
= (0,04)
N σ c2
N 1 yt 1 + N 2 yt 2
La varian#a puede ser estimada;
2
i
i =1
B 2 m 2 4
=
ˆ ( y * ) = V
n
∑ (a − pm )
y *
+
N 2 ( N 2 − n2 ) n2 (n2 − 1)
n2
∑ [ ( y − y i
i =1
t 2
− m1 )] 2 +
) − y * ( mi − m2 )]
2
onde M es el n1mero total de elementos en la población " puede ser estimado si no es conocido por;
≈ 34
N 1m1 + N 2 m2 2ara los datos de la tabla! se tiene
e modo &ue se deben muestrear -4 conglomerados para estimar 2! con 6 = +.+4.
Ejemplo 11. Ronsideremos los datos del e)emplo como la muestra del estrato ,! con N, = 4,* " n, = *. se toma una ciudad vecina m%s pe&ue/a como el estrato ! con N = ,8 " n = ,+ blo&ues. Estime el ingreso promedio por persona en las dos ciudades combinadas! " estable#ca un l$mite para el error de estimación! dados los datos adicionales &ue se muestran en la tabla ad)unta.
y* =
415(53160) + 168(54700 ) 415(6.04) + 168(4.90)
= 9385
2ara el estrato ,
1 n [ ( yi − yt 1 ) − y * ( mi − m1 )] 2 = 675 930 246 ∑ n1 − 1 i =1 1
2ara el estrato
1 n [ ( yi − yt 2 ) − y * (mi − m2 )] 2 = 74 934 600 ∑ n2 − 1 i =1 2
N 1m1 + N 2 m2
= 3329.8
V ˆ ( y*) = 412 563.8
ˆ ( y*) B = 2 V
=2
412 563.8 = 1285
Entonces el ingreso promedio por persona para las dos ciudades combinadas es; 9-8*@,8*. Qemos &ue el l$mite para el error de estimación es menor &ue el del estrato ,! como se encontró en el e)emplo .
yt 1
= 53 160
yt 2
= 54 7000 = 54 700 10
