Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 2.1
La circunferencia representada en la figura esquematiza la trayectoria descrita por un avión que está efectuando un viraje en un plano horizontal en presencia de un viento uniforme cuyo módulo V w es constante y conocido, cuya dirección está contenida en el plano horizontal horizontal de la trayectoria trayectoria y cuyo sentido es el indicado en la figura. El avión efectúa el viraje con su eje xb tangente a la trayectoria y con velocidad respecto a tierra de módulo V g conocido. Se pide: 1º) Determinar la función V V g = f V w V g , la velocidad aerodinámica del avión y
, donde V representa el módulo de
el ángulo azimutal indicado en la figura.
2º) Determinar la función β ′= f V w V g ,
, donde β ´ representa el ángulo
formado por los ejes xb y xw. 3º) Determinar la función β = f V w V g , , φ . 4º) Determinar la función α = f V w V g , , φ . 5º) Suponiendo
V w V g = ε <<1 ,
simplificar
las
expresiones
anteriores
despreciando términos de orden superior a ε .
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM) (ETSIA/UPM)
1
Resolución PROBLEMA 2.1
Y 1º) Sabemos que: VW V g = V + V W
ψ ψ
Vg
V
VW
V W = V W iˆ V g = V g (iˆ cosψ − jˆ sin ψ )
X Operando: V / V g = 1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
2º) En un punto cualquiera de la trayectoria se tiene:
V
β’ ψ
sen β '
Vg
V W
=
senψ V
⇒ sen β ' =
(V W / V g ) sen 1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
VW 3º) La situación relativa de los ejes XW, Xh y X b, respecto a un plano Horizontal, uno Vertical y el de Simetría del avión será: Plano V
Plano S
Xh ≡ X b Proyección del X W W sobre el Plano de Simetría
V
Plano H
XW β’
l’ l Yh lS
φ
β’
Zh
sin β = sin β ' =
l ' l W l ' ' l W
⇒
-α l b
sin β sin β '
=
l ' l ' '
= cos φ ⇒ sin β =
(V W / V g ) sen
cos φ
1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
l’’ β
lW
Resolución PROBLEMA 2.1
Y 1º) Sabemos que: VW V g = V + V W
ψ ψ
Vg
V
VW
V W = V W iˆ V g = V g (iˆ cosψ − jˆ sin ψ )
X Operando: V / V g = 1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
2º) En un punto cualquiera de la trayectoria se tiene:
V
β’ ψ
sen β '
Vg
V W
=
senψ V
⇒ sen β ' =
(V W / V g ) sen 1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
VW 3º) La situación relativa de los ejes XW, Xh y X b, respecto a un plano Horizontal, uno Vertical y el de Simetría del avión será: Plano V
Plano S
Xh ≡ X b Proyección del X W W sobre el Plano de Simetría
V
Plano H
XW β’
l’ l Yh lS
φ
β’
Zh
sin β = sin β ' =
l ' l W l ' ' l W
⇒
-α l b
sin β sin β '
=
l ' l ' '
= cos φ ⇒ sin β =
(V W / V g ) sen
cos φ
1 + (V W / V G ) 2 − 2(V W / V G ) cosψ
l’’ β
lW
4º) Atendiendo al esquema anterior: tan( −α ) =
l l b
=
l l ' ' l ' ' l b
5º) Suponiendo ε =
= sin φ tan β ' ⇒ tan α = − tan β ' senφ
V W V g
<< 1 se tiene: V / V g = 1 − ε cos β ' = ε sinψ β = ε sinψ cos φ α = −ε sinψ sin φ
Ejemplo de Matriz de Transformación
Ejes Horizonte Local
Ejes Cuerpo
Ab = Lbh Ah
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
jˆ h
1ª Rotació Rotación: n:
jˆ1
iˆ1
iˆ1 = (cosψ )iˆh + (sin ψ ) jˆh jˆ1 = ( − sin ψ )iˆh + (cosψ ) jˆh ˆ = k ˆ k 1 h
iˆh
cosψ sinψ 0 A1 = − sinψ cosψ 0 Ah 0 1 0
2ª Rotación: iˆ2 iˆ1
ˆ iˆ2 = (cos θ )iˆ1 − (sin θ )k 1
θ
jˆ2 = jˆ1 ˆ = (sin θ )iˆ + (cos θ )k ˆ k 2 1 1
θ
ˆ k 1
ˆ k 2 3ª Rotaci Rotación: ón: φ
jˆ 2 jˆb
φ
ˆ k b
ˆ k 2
cosψ 0 − sinψ A2 = 0 1 0 A1 sinψ 0 cosψ
iˆb = iˆ2 ˆ jˆb = (cos φ ) jˆ 2 + (sin φ ) k 2 ˆ = − (sin φ ) jˆ + (cos φ ) k ˆ k b 2 2
0 0 1 Ab = 0 cos φ sin φ A2 0 − sin φ cos φ
Así: Ab = L b 2 A2 = Lb 2 L 21 A1 = L b 2 L 21 L1h Ah ⇒ Lbh = L b 2 L 21 L1h
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Mecánica del Vuelo (06-07)
PROBLEMA 3.1
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
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M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
Mecánica del Vuelo (06-07)
2
Resolución PROBLEMA 3.1
1º) Matriz de transformación LhI Primer giro, alrededor del eje Z I un ángulo ( t + )
iˆ1 cos(t ) sin( t ) 0 iˆ I jˆ1 sin( t ) cos( t ) 0 jˆ I ˆ ˆ 0 0 1 k I k 1
Segundo giro alrededor del ele Y 1 un ángulo ( 90 + )
iˆh sin( ) 0 cos( ) iˆ1 0 1 0 jˆh jˆ1 ˆ ˆ k h cos( ) 0 sin( ) k 1
Así:
sin( ) cos( t ) sin( ) sin( t ) cos( ) sin( t ) LhI Lh1 L1 I cos( t ) 0 cos( ) cos( t ) cos( ) sin( t ) sin( )
2º) Velocidad angular total proyectada en ejes body bI b Sabemos que:
bI
bh
hl
lg
gI
sin p bh b q cos cos sin r sin cos cos
hl
0
ˆ jˆh lg k I ˆ gI k I
lI b
0 Lbh LhI 0 Lbh
0 0
( sin ) ( )(cos cos cos sin sin ) cos sin p bI b q ( cos cos sin ) ( )(sin sin cos cos sin ) cos sin cos sin (sin sin sin cos cos r p ( sin cos cos ) ( )(cos sin cos sin sin ) cos cos cos sin (cos sin sin sin cos
3º) Velocidad absoluta en ejes body
V
b
ˆ iˆh jˆ h k 0 h r ˆ V d r 0 ( ) cos ( ) sin r r (G ) r (O I ) ( R h) k r h hI dt t h h ( R h) 0 0 h
V
h
( R h) ( )( R h) cos h
Así, operando:
( R h) cos cos ( )( R h) cos sin cos h sin V b Lbh V h ( R h)(sin sin cos cos sin ) ( )( R h)(sin sin sin cos cos ) cos h sin cos ( R h)(cos sin cos sin sin ) ( )( R h)(cos sin sin sin cos ) cos h cos cos
4º) Sistema de ecuaciones dinámicas del movimiento del avión. Las ecuaciones se pueden usar directamente de la teoría (3.1 del TEMA 3):
6 EDO’S
NO LINEALES DE 2º ORDEN en ( , , ; , , h)
V
b
u v f ( , , ; , , h ) del 3er apartado w
Condiciones Iniciales
p bI b q f ( , , ; , ) del 2o apartado r
3º) Velocidad absoluta en ejes body
V
b
ˆ iˆh jˆ h k 0 h r ˆ ( R h) k h ( ) cos ( ) sin r r (G ) r (O I ) V r 0 hI dt t h h ( R h) 0 0 h ( R h) V h ( )( R h) cos h d r
Así, operando:
( R h) cos cos ( )( R h) cos sin cos h sin V b Lbh V h ( R h)(sin sin cos cos sin ) ( )( R h)(sin sin sin cos cos ) cos h sin cos ( R h)(cos sin cos sin sin ) ( )( R h)(cos sin sin sin cos ) cos h cos cos
4º) Sistema de ecuaciones dinámicas del movimiento del avión. Las ecuaciones se pueden usar directamente de la teoría (3.1 del TEMA 3):
6 EDO’S
NO LINEALES DE 2º ORDEN en ( , , ; , , h)
V
b
u v f ( , , ; , , h ) del 3er apartado w
Condiciones Iniciales
p bI b q f ( , , ; , ) del 2o apartado r
Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 4.1
Un avión describe la trayectoria acrobática esquematizada en las figuras adjuntas, que consiste en una hélice sobre un cilindro de eje horizontal y de radio R, con ángulo de paso δ y con velocidad V , siendo R ,δ ,V constantes conocidas del problema (tonel volado ideal). Suponiendo además que: a) Se conocen todas las características geométricas y másicas del avión (el peso del avión W es constante y la superficie alar es S ). b) La sustentación puede modelizarse como L = 1 2 ρ V 2 SC L , donde ρ es la densidad del aire y C L el coeficiente de sustentación, y la resistencia como D = 1 2 ρ V 2 SC D = 1 2 ρ V 2 S (C D 0 +k C L2 ) , donde C D es el coeficiente de resistencia (C D0 y k son constantes conocidas). c) El empuje del avión está siempre dirigido según el eje xw. d) La atmósfera está en calma y para el margen de altitudes del problema puede considerarse que la densidad, ρ , y la aceleración de la gravedad, g, son constantes conocidas. e) Los ejes x H , y H , z H representados en las figuras son paralelos a los ejes tierra correspondientes. f) El vuelo es simétrico. Se pide:
Mecánica del Vuelo (06-07)
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PROBLEMA 4.1
Un avión describe la trayectoria acrobática esquematizada en las figuras adjuntas, que consiste en una hélice sobre un cilindro de eje horizontal y de radio R, con ángulo de paso δ y con velocidad V , siendo R ,δ ,V constantes conocidas del problema (tonel volado ideal). Suponiendo además que: a) Se conocen todas las características geométricas y másicas del avión (el peso del avión W es constante y la superficie alar es S ). b) La sustentación puede modelizarse como L = 1 2 ρ V 2 SC L , donde ρ es la densidad del aire y C L el coeficiente de sustentación, y la resistencia como D = 1 2 ρ V 2 SC D = 1 2 ρ V 2 S (C D 0 +k C L2 ) , donde C D es el coeficiente de resistencia (C D0 y k son constantes conocidas). c) El empuje del avión está siempre dirigido según el eje xw. d) La atmósfera está en calma y para el margen de altitudes del problema puede considerarse que la densidad, ρ , y la aceleración de la gravedad, g, son constantes conocidas. e) Los ejes x H , y H , z H representados en las figuras son paralelos a los ejes tierra correspondientes. f) El vuelo es simétrico. Se pide: 1º) Plantear el sistema de ecuaciones cinemáticas y dinámicas del avión, y determinar el número de grados de libertad matemáticos del mismo. 2º) Determinar los ángulos de asiento y guiñada de velocidad en función del tiempo, γ =γ (t ) y χ = χ (t ) , y representarlos gráficamente. 3º) Determinar el empuje del avión, T , el ángulo de balance de velocidad, , y el coeficiente de sustentación, C L, en función del tiempo y, en su caso, de los grados de libertad matemáticos del sistema.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
Resolución PROBLEMA 4.1
1º) Se parte de las ecuaciones dinámicas estudiadas en el Tema 4 de teoría. Hay que particularizar para: Vuelo Simétrico : ν = 0 ; β = 0 ⇒ Q ≈ 0 Enpuje siempre según x w : ε = 0
=0 Velocidad const : V Con esto se tienen las ecuaciones dinámicas, T − D − mg sin γ = 0
cos γ cos µ ) = 0 mg cos γ sin µ + mV (γ sin µ − χ cos γ sin µ ) = 0 L − mg cos γ cos µ − mV (γ cos µ + χ y las cinemáticas (donde se ha tomado el eje x H como origen de ángulos de guiñada de la velocidad),
= V cos γ cos χ y H = V cos γ sin χ H = −V sin γ z x H
Grados de Libertad Matemáticos El análisis de los grados de libertad podemos plantearlo de varias maneras: Si se cuentan las variables que aparecen en las ecuaciones se tienen (T, D, γ , χ , µ, L, x H , y H , z H ,), o sea 9. Ahora podemos mirar la teoría y ver que, además, sabemos que L y D son f(h, V, α). ¿Qué quiere decir eso? ¿¿Siempre puedo quitar L y D de la lista de variables y poner h, V y α?? Vayamos por partes: - Decir que L = f(h, V, α) es equivalente a decir que L = 1/2ρV2SWCL. La dependencia con h viene de la densidad, la de V aparece directamente y la de α viene de la relación CL = CL0 + CLαα. - Así, si en las ecuaciones dinámicas sustituyo L por (1/2ρV2SWCL) desaparece la variable L de las ecuaciones pero, a cambio aparece la variable CL. La h no se cuenta porqué nos dicen que ρ es constante y la V tampoco porqué es conocida. - ¿Y la α? ¿¿No hemos dicho que aparecería?? Pues podemos quedarnos con la variable C L o sustituir el CL por la expresión (CL0 + CLαα), de manera que desaparece CL y aparece α. ¡En realidad da lo mismo! - ¿Qué tenemos ahora? Pues seguimos teniendo 6 ecuaciones (sólo hemos modificado la 3ª dinámica al sustituir L) y las variables son (T, D, γ , χ , µ, CL, x H , y H , z H ,). Si además hemos sustituido C L por la expresión (CL0 + CLαα) tendremos igualmente 6 ecuaciones y las variables serán (T, D, γ , χ , µ, α, x H , y H , z H ,).
- Si ahora hacemos lo mismo con D y sustituimos D=1/2 ρV2SW (CD0+ kCL2), vemos que desaparece la variable D y aparece… ¡NINGUNA! Ahora hemos quitado una variable (D) pero ya no hemos introducido ninguna adicional, ya que el C L (o el α si lo preferimos) ya estaba contado como variable de la sustitución de L. - Así, ahora tenemos 6 ecuaciones y las variables son 8 (T, γ , χ , µ, CL, x H , y H , z H ,) = 2 g.d.l. - Lo importante es ver que hemos quitado dos variables (L y D) a costa de cambiarlas por sólo una nueva (CL o bien α), así que hemos reducido una incógnita. - Siempre que podamos introducir una expresión que nos reduzca el número de incógnitas (variables frente a ecuaciones) debemos hacerlo. - En cambio, cuando al introducir una expresión también se añada una variable, el balance entre variables y ecuaciones se mantiene y no ganamos nada.
Yo, no suelo sustituir ecuaciones sino que las añado, así que para mí el problema completo sería: T − D − mg sin γ = 0
cos γ cos µ ) = 0 mg cos γ sin µ + mV (γ sin µ − χ cos γ sin µ ) = 0 L − mg cos γ cos µ − mV (γ cos µ + χ x H = V cos γ cos χ y H = V cos γ sin χ
H = −V sin γ z
10 variables (T, D, γ , χ , µ,L, x H , y H , z H , CL) – 8 ecuaciones = 2 g.d.l.
L = 1 / 2 ρ V 2 S W C L D = 1 / 2 ρ V 2 S W (C D 0
+ kC L2 )
¡Se ve que la inclusión de las dos últimas ecuaciones es VITAL ya que sólo añaden una variable y, por tanto, reducen un grado de libertad!
Si ahora añado la ecuación C L = CL0 + CLαα tendría 11 variables (entra también α) y 9 ecuaciones, así que no gano nada. ¡Así, la inclusión de esta nueva ecuación NO es VITAL y sólo merece la pena si necesitamos que aparezca la variable en el problema!
Grados de Libertad Reales del problema El resultado anterior nos dice que las ecuaciones cinemáticas y dinámicas del movimiento tienen 2 grados de libertad matemáticos. Sin embargo no se puede aceptar este resultado como los grados de libertad REALES del problema, dado que en ningún momento se han impuesto las ligaduras geométricas dadas por la trayectoria que realiza el avión. En efecto, los 2 grados de libertad se corresponderán a cualquier problema que responda a las condiciones aplicadas hasta ahora: vuelo simétrico, empuje según xW y módulo de la velocidad constante!!.
Así, para calcular el número de grados de libertad del problema (vuelo simétrico en una hélice de radio, paso y velocidad constantes) hay que imponer ligaduras adicionales que reducirán las variables dependientes. Para ver el número de ligaduras se puede operar de dos maneras: 1- Estudiar el movimiento referido y “razonar” los grados de libertad que se tienen. 2- Esperar a seguir trabajando en los distintos apartados para ver las ligaduras adicionales que aparecen. Para el problema en cuestión, el método 1 revela que el movimiento está totalmente fijado. En efecto, tenemos un movimiento sobre una línea definida (R y δ constantes conocidas) con una velocidad definida (V constante conocida), así que el piloto deberá hacer lo que DEBA para mantenerse en esa trayectoria, no podrá elegir ningún parámetro libremente = 0 grados de libertad! El método 2 hará uso del 2º apartado, en el que se ve que se pueden calcular los ángulos γ (t) y χ (t), por lo que queda claro que se tendrán 0 grados de libertad! Así, las incógnitas serán sólo función del tiempo.
En este punto, nos podríamos preguntar si no existiría incompatibilidad por tener las ecuaciones dinámicas en ejes viento y las cinemáticas en ejes tierra (en los apuntes queda claro que las ecuaciones cinemáticas se obtienen proyectando la velocidad absoluta en ejes tierra y que las dinámicas están en ejes viento). En realidad NO existe tal incompatibilidad ya que las variables (V, γ ,..) son las mismas por lo que el sistema de ecuaciones es completamente coherente.
2º) En la figura adjunta se define el ángulo polar λ , que será una función conocida del tiempo. Teniendo en cuenta que la componente del dibujo ( Vcosδ ) es la velocidad circumferencial mientras que la otra parte es la de avance, y atendiendo a que al ángulo polar será igual a la velocidad angular por el tiempo, se tiene: λ =
V cos δ R
Vcosδ y H
t
λ
z H
Además, se puede ver fácilmente que las ecuaciones cinemáticas lineales quedan:
= V sin δ y H = V cos δ sin λ H = −V cos δ cos λ z x H
Ver que en realidad se puede entender el movimiento como suma de uno circular y otro de avance, ambos con velocidad constante. Igualando con las ecuaciones cinemáticas obtenidas en el apartado 1º se tiene:
V cos δ t R sin λ V cos δ tan χ = t = cot δ sin tan δ R
sin γ = cos δ cos λ = cos δ cos
3º) Operando con la 2ª y 3ª relaciones dinámicas se tiene:
− mV χ cos γ = 0 L cos µ − mg cos γ − mV γ = 0 L sin
Dividiendo entre si las dos ecuaciones anteriores e introduciendo las funciones γ (t) y χ (t) deducidas en el apartado anterior, se obtiene:
tan µ = C L
=
cos γ V χ g cos γ + V γ 2W 2
ρ V Sg
→ µ = µ (t )
cos γ ) 2 (V χ
+ ( g cos γ + V γ ) 2 → C L = C L (t )
Introduciendo γ (t) y CL (t) en la ecuación dinámica según el eje xw, se obtiene: 1 T = ρ V 2 S (C D 0 2
+ kC L2 ) + W sin γ → T = T (t )
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Mecánica del Vuelo (07-08)
PROBLEMA 4.2
Atendiendo al sistema de 7 ecuaciones diferenciales que describen las actuaciones del avión, se pide:
a) Particularizar para el caso de vuelo simétrico en un plano horizontal, encontrar las ecuaciones generales del movimiento del centro de masas y determinar los distintos grados de libertad del problema. b) Determinar las variables que puede controlar el piloto y de que manera lo puede hacer.
1
Ejercicio Teórico: Vuelo en una atmósfera en movimiento
Este problema sirve para repasar y acabar de entender conceptos introducidos durante los primeros temas de la asignatura. La idea es encontrar las ecuaciones del movimiento de una aeronave que cumple las siguientes condiciones: -
Problema simétrico Movimiento contenido en un plano vertical Tanto como las tres velocidades de la figura pueden ser funciones del tiempo.
El esquema siguiente ilustra el conjunto de fuerzas, velocidades y de S.R. presentes en el plano vertical en el que está contenido el movimiento: V W
YE
V V g
XE
S.R. Earth
Con tal de encontrar las Ecuaciones del Movimiento, se pide: 1. Identificar las 3 velocidades y el ángulo que aparece en la figura. 2. Dibujar el sistema de ejes viento sobre la figura e indicar la dirección de las distintas fuerzas que intervienen en el problema. 3. Escribir la expresión de la velocidad aerodinámica en ejes viento y de la velocidad del viento en ejes tierra. 4. Aplicar el Teorema de la cantidad de Movimiento: F m
d V g dt
m
d V dt
m
d V W dt
para esta derivación tener en cuenta que: a. Los ejes tierra son inerciales pero los ejes viento no (es decir, que los ejes viento están rotando respecto a los tierra con un ángulo igual a (t)). b. Tanto las fuerzas como las velocidades tienen que estar expresadas en ejes viento. 5. Comprobar que las dos ecuaciones obtenidas se corresponden con las Ecuaciones Dinámicas encontradas en clase (sólo que con viento). 6. Escribir las Ecuaciones Cinemáticas del Movimiento.
Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 5.1
La figura representa un planeador unido al suelo por su centro de masas mediante un cable AB de longitud r constante y conocida. El planeador vuela simétricamente con las alas a nivel en un plano vertical en presencia de un viento de cara de velocidad V w constante y conocida. Suponiendo además que las características aerodinámicas, geométricas y másicas del planeador son conocidas (en concreto, su polar es parabólica de coeficientes constantes), que el cable no tiene peso y siempre está tenso, que las acciones aerodinámicas sobre el mismo son despreciables y que el movimiento tiene lugar a C L constante y conocido, se pide: 1º) Plantear las ecuaciones dinámicas del movimiento del centro de masas del planeador en el sistema de ejes intrínsecos de la trayectoria y determinar el número de grados de libertad matemáticos del sistema. 2º) Determinar el ángulo polar, δ eq , para que el planeador no se mueva respecto del suelo. 3º) Determinar el valor que tendría que tener C L para maximizar el ángulo de equilibrio obtenido en el apartado anterior y determinar su límite cuando: 2W
0
→
ρ V w2 S
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
Resolución PROBLEMA 5.1
1º) Ecuaciones del movimiento en Coordenadas Intrínsecas
Coordenadas
Polares ( u r , u ). ˆ
ˆ
Del triángulo de Velocidades se obtienen 2 ecuaciones:
V V w
2
V g
2
tan tan
2V wV g sin
V g V w cos
donde es el ángulo entre el cable y el xw. Proyectando las fuerzas en los ejes intrínsecos:
L cos D sin W cos
W r g
L sin D cos W cos T c
W 2 r g
donde T c es la tensión del cable. Si además añadimos la ecuación correspondiente a la Polar Parabólica, se obtiene un sistema de ecuaciones con 0 DOF.
0 y las ecuaciones anteriores se simplifican. La ecuación 2º) En el equilibrio se cumple que dinámica según la dirección tangencial proporciona: C L tan eq
2W 2
V w S
C D 0 kC L
2
3º) Derivando la última expresión respecto a C L se obtiene C Lopt , que optimiza el ángulo de equilibrio: 2
2W C D 0 C Lop t 2 2 k V w S V w S 2W
Si se desprecia el peso frente a la sustentación: C Lopt
C D0 k
;
tan eq E m
1 2 C D 0 k
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Mecánica del Vuelo (07-08)
PROBLEMA 5.2
Atendiendo a las ecuaciones adimensionales que describen el comportamiento de un planeador en vuelo simétrico y rectilíneo en un plano vertical, se pide:
a) Demostrar que para volar con un ángulo de ataque constante se debe variar la velocidad con la altura pero que, para este mismo caso, la velocidad adimensional deberá mantenerse constante.
b) Demostrar que la máxima autonomía se obtiene para la velocidad de descenso siguiente: V d min
ˆ c) Comparar (V ˆ V
d min
2 =
1
33 / 4 E m
2W ρ S
4
k C D 0
ˆ ) con (V ) e interpretar el resultado. γ d min
1
Mecánica del Vuelo (07-08)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 5.3
Un planeador describe un movimiento compuesto de tres etapas: I ) Descenso rectilíneo con d conocido (no puede considerarse pequeño) desde el punto 1 , con velocidad de mínima resistencia, hasta el punto 2 , con velocidad conocida V 2 > V 1.
constante y conocida. II ) Vuelo curvilíneo no estacionario con III ) Vuelo horizontal rectilíneo e invertido, desde V 3 hasta el punto 4 , en el que se alcance la velocidad de pérdida. 1
2
3
4
Suponiendo que las características aerodinámicas, geométricas y másicas del planeador son conocidas (en concreto, su polar es parabólica de coeficientes constantes), que el vuelo es simétrico y que se desarrolla en un plano vertical se pide: a) Determinar el tiempo invertido en ir del punto 1 al punto 2 y la altura que se pierde durante la primera etapa (se expresará el resultado en forma integral, si procede). b) Determinar el tiempo invertido en ir del punto 2 al punto 3 y la ecuación diferencial que permitiría calcular la velocidad. c) Determinar el tiempo invertido en ir del punto 3 al punto 4.
1
Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 6.1
Un avión en vuelo atmosférico pretende efectuar una serie de experimentos en condiciones de gravedad nula (0-g), es decir, en condiciones en las cuales el avión no ejerce acción alguna sobre los pasajeros ni la carga y éstos parece que “flotan”. Para ello efectúa un vuelo simétrico con las alas a nivel contenido en el plano vertical a partir de unas condiciones iniciales de velocidad V 0 y de ángulo de asiento de velocidad γ 0 (no necesariamente pequeño) datos del problema. Suponiendo además que: a) Se conocen todas las características geométricas, aerodinámicas y másicas del avión necesarias para la resolución del problema (en particular, el peso del avión W es constante, la deflexión del timón de profundidad no contribuye a la sustentación del avión y la polar es parabólica de coeficientes constantes). b) El empuje de los motores está dirigido según el eje xw y pasa por el centro de masas del avión. c) La bodega donde se realizan los experimentos de 0-g se supone que coincide con el centro de masas del avión. d) ρ y g son constantes conocidas. Se pide: 1º) Plantear el sistema de ecuaciones dinámicas que permiten estudiar el movimiento del avión en 0-g, discutiendo cuales son las condiciones a imponer para volar en 0-g y los grados de libertad matemáticos del sistema. 2º) Determinar la evolución del ángulo de asiento de velocidad γ con el tiempo y la trayectoria descrita por el avión, para valores fijados de los grados de libertad matemáticos del sistema. 3º) Determinar las evoluciones con el tiempo del ángulo de ataque y del empuje, para valores fijados de los grados de libertad matemáticos del sistema.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
Mecánica del Vuelo (06-07)
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PROBLEMA 6.2
La figura adjunta representa un avión efectuando un viraje horizontal, simétrico y estacionario, con su eje yb apuntando siempre hacia un objetivo situado en el suelo (punto O). Suponiendo además que: a) Se conocen todas las características geométricas, aerodinámicas y másicas de avión (por ejemplo, el peso W es una constante, la polar es parabólica de coeficientes constantes, etc.). b) El empuje de los motores, T , está dirigido según el eje xw. c) La atmósfera está en calma y su densidad ρ es una constante conocida en el margen de alturas considerado. d) La constante de la gravedad g es conocida. Se pide: 1º) Plantear el sistema de ecuaciones que describen el comportamiento del avión y determinar el número de grados de libertad matemáticos de dicho sistema. 2º) Determinar el radio de curvatura, R, la altura, h, el ángulo de balance de velocidad, , y la distancia avión-objetivo, d , en función de T W , C L , y en caso necesario, de los restantes grados de libertad del sistema. 3º) Determinar la distancia mínima, (d min ) min , así como los valores de T W y correspondientes.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
Resolución PROBLEMA 6.2
1º) El sistema de ecuaciones dinámicas para un viraje simétrico, horizontal y estacionario, en ejes intrínsecos, es: T D 0 −
=
L sin µ
W V 2 −
2
V /R z w
µ=φ W yw
g R
L cos µ W −
L
=
0 O
Teniendo en cuenta que no existe resbalamiento de la velocidad y que el viraje es coordinado, se puede ver que φ = µ, por lo que la condición del enunciado querrá decir que el balance de la velocidad es constante! Si se le añade a las ecuaciones anteriores la de la polar, se obtiene un sistema en el que se puede ver que se tienen dos grados de libertad matemáticos. 4 ecuaciones (T, D, L, µ, V, R): 6 variables
2 g.d.l.
Se tomarán, como sugiere el enunciado, los grados de libertad T/W y C L.
2º) De la primera ecuación dinámica se obtiene la expresión para la velocidad:
De la tercera ecuación dinámica se tiene:
Usando la ligadura geométrica, tanµ = h/R , se encuentra:
Con la segunda y tercera ecuación dinámica se obtiene el radio de curvatura:
Y la distancia del avión al objetivo es:
3º) Se pide que encontremos la distancia mínima de las mínimas, que corresponderá a la que se minimice para los dos grados de libertad del problema. Ahora interesa ver las actuaciones en función del C L y el balance, así que expresamos la distancia en función de estas variables:
Así, teniendo en cuenta que el valor de C L está acotado superiormente, y que el µ que maximiza la función es π /4, se tiene:
Con esto tenemos:
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Mecánica del Vuelo (08-09)
PROBLEMA 6.3
Atendiendo a las ecuaciones desarrolladas para el estudio de las actuaciones de un turborreactor en vuelo simétrico y casi-estacionario en un plano vertical: a) Demostrar que, para vuelo horizontal rectilíneo uniforme, la velocidad máxima de las máximas vale: V mm = 1.543
V B 0
para
ˆ < 1.4 T 11m
para
ˆ > 1.4 T 11m
σ
mm
V mm =
V B 0 σ
ˆ + T ˆ 2 −1 T 11m 11m
11
b) Encontrar el valor de γ y de la velocidad de ascenso adimensional para vuelo en ascenso y descenso, considerando que no se puede hacer la aproximación γ<<1. c) Demostrar que si no se hace la hipótesis de vuelo casi-estacionario, se tiene una velocidad de ascenso igual a:
V a = V B
ˆ V a ,casi − estacionar ia 1+
d (V 2 / 2) d ( gh)
1
Mecánica del Vuelo (07-08)
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PROBLEMA 6.4
Un avión dotado de turborreactor está efectuando un vuelo simétrico contenido en un plano vertical. Dicho vuelo está descompuesto en los tramos siguientes ( figura 1): Tramo AB: Vuelo horizontal, rectilíneo, estacionario. Tramo BC: Vuelo en maniobra, con velocidad V y radio de curvatura R 1 constante. Tramo CD: Vuelo en maniobra, con velocidad V y radio de curvatura R 2 constante. Tramo DE: Vuelo horizontal, rectilíneo, estacionario. CL B
C
A
CLmax
R1
R2 E
CLmin D
Figura 1
Figura 2
Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis: a) Son conocidas las características geométricas, aerodinámicas y másicas del avión. En concreto, el CL del avión completo es una función lineal del ángulo de ataque entre CLmax y CLmin y es independiente de la deflexión del timón profundidad ( figura 2). Además se supondrá polar parabólica de coeficientes constantes. b) El empuje de los motores, T, estará siempre orientado según xw. c) La velocidad de vuelo, V, es constante y conocida. d) Son despreciables las transiciones entre los distintos tramos. e) Se consideran constantes conocidas durante el vuelo el peso del avión, W , la densidad, , y el valor de la aceleración de la gravedad, g.
Se pide: 1º) Determinar el radio de curvatura mínimo que puede conseguir el avión durante el tramo BC. Para esta condición determinar la evolución temporal del ángulo de ataque, , y del empuje, T. 2º) Determinar el radio de curvatura mínimo que puede conseguir el avión durante el tramo CD. Para esta nueva condición determinar la evolución temporal del ángulo de ataque, , y del empuje, T.
1
Resolución PROBLEMA 6.4
1º) Si no fijamos en una posición arbitraria del tramo BC se tiene: 1
− ρ V SC L + WCosγ = 2
2
T + WSinγ − D
W g
V γ & =
W V 2 g R1
=0
Para fijar el signo se ha usado la dirección de xw y z w crecientes y el valor del ángulo de asiento positivo hacia abajo. Para volar con radio mínimo se buscará el punto más crítico, ya que ese será el que impondrá un radio que pueda ser satisfecho en el resto de los puntos de la trayectoria del tramo BC. Se ve que en C la máxima fuerza centrípeta será la menor de toda la trayectoria, por lo que será el punto más crítico. Así, el radio mínimo será: γ = π / 2 → R1 min
=
2W g ρ SC L min
La evolución temporal del ángulo de ataque será:
V 2 C L = Cos (Vt / R1min ) − 2 ρ V S gR1min 2W V 2 Cos (Vt / R1min ) − C L 0 + C L α = ρ V 2 S gR1min 2W
V 2 Cos (Vt / R1min ) − − C L 0 α = C L gR1min C LA
α
C LA
=
α
2W ρ V 2 S
La evolución temporal del empuje será: 1 T = ρ V 2 S C D 0 2
(
+ k (C L 0 + C L α (t )) ) − WSin(Vt / R1 min ) α
2º) Este apartado se puede hacer de la misma forma que el anterior. Ahora se puede ver que el punto más crítico es el D, ya que el peso tendrá sentido contrario a la fuerza centrípeta y la sustentación deberá compensar dicho efecto adverso! Resolviendo y teniendo en cuenta que ahora el ángulo δ es el complementario del ángulo de asiento se obtiene: δ = π / 2 → R2 min
=
(W / g )V 2 1 2
ρ SV 2 C LMax − W
El ángulo de ataque y el empuje se obtendrán de igual forma que antes.
3º) El propósito de este apartado es encontrar la velocidad de vuelo para la que los dos radios mínimos encontrados coinciden. Reconozco que no queda muy claro en el enunciado, sorry! Así, igualando los radios de los apartados anteriores y aislando la velocidad se obtiene: R1 min
= R2 min →
2W g ρ SC L min
=
(W / g )V 2 1 2
V 2
=
ρ SV 2 C LMax
− W
2W ρ S (C LMax −C L min )
Se puede ver que sólo existirá una velocidad “de acuerdo” si
CLMax es mayor que CLmin .
Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 7.1
En cierta playa de moda, una avioneta arrastra un cartel publicitario en vuelo rectilíneo horizontal simétrico casi-estacionario con las alas a nivel (ver figura adjunta). Suponiendo además que: a) Se conocen las características geométricas, aerodinámicas y másicas de la avioneta necesarias para la resolución del problema (por ejemplo, la superficie alar S A, los coeficientes constantes de la polar parabólica, C D0 A, k A , la función C L = C L(α ), etc.). b) El grupo motopropulsor motor alternativo-hélice tiene una línea de acción del empuje paralela a xw; su rendimiento propulsivo, η p , y su consumo específico, cP, son constantes conocidas. c) El cartel tiene un peso W C conocido y las acciones aerodinámicas sobre él se reducen a una resistencia, con un coeficiente de resistencia, C D0C , y una superficie de referencia, S C, constantes y conocidos. El peso y la resistencia se suponen aplicados en el punto A. d) El cable es inextensible y son despreciables las fuerzas aerodinámicas sobre él y su peso. e) No existen interferencias avioneta-cable-cartel. f) ρ es una constante conocida. Se pide: 1º) Determinar, para un peso genérico de la avioneta W A, la velocidad de vuelo, V , y la potencia del motor alternativo, Pm, en función del coeficiente de sustentación, C L. 2º) Determinar, para un peso genérico de la avioneta W A, el ángulo δ que forma el cable con la horizontal, en función del coeficiente de sustentación, C L. Indicar cómo obtendría el piloto el valor mínimo para este ángulo. 3º) Suponiendo ahora que siempre se vuela en condiciones de autonomía específica máxima y que el peso inicial de la avioneta es W Ai, determinar el peso de combustible consumido, W F, durante un tiempo de vuelo dado, t . Comentar la influencia del arrastre del cartel en el peso de combustible calculado.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
1
ETSEIAT (UPC)
Mecánica del Vuelo (07-08)
PROBLEMA 7.2
a) Atendiendo a las expresiones estudiadas para actuaciones integrales de aviones dotados de TR y MA, particularizar e integrar las expresiones del alcance específico adimensional y la autonomía específica adimensional para una ley de pilotaje con ángulo de ataque constante. b) Estudiar la influencia del viento en las actuaciones integrales.
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ETSEIAT (UPC)
Mecánica del Vuelo (08-09)
PROBLEMA DE ACTUACIONES INTEGRALES
Una avioneta provista de un grupo motopropulsor formado por motor alternativo y hélice efectúa el remolque de un planeador desde un aeródromo (punto 0) hasta un punto (punto I), lo suelta y vuelve al aeródromo del que había partido. V W
0
I
El vuelo se realiza a una velocidad aerodinámica V y a una altura h, ambas constantes y conocidas, en presencia de un viento horizontal VW también constante y conocido. Suponiendo que: a) Se conocen las características geométricas, aerodinámicas y másicas de la avioneta y del planeador. b) El planeador vuela a la misma altura que la avioneta. c) El cable es inextensible, se mantiene siempre tenso y su peso y resistencia aerodinámica son despreciables. d) Se desprecian los tramos de subida y bajada frente al crucero. e) Tanto el consumo específico del motor como el rendimiento de la hélice son constantes y conocidos, y el empuje siempre está dirigido según xW . Plantear un conjunto de ecuaciones (se puede dejar alguna en forma integral) que permita obtener el peso de la avioneta en el punto más alejado del aeródromo, WaI, de forma que pueda volver después de soltar el planeador, habiendo consumido en el trayecto entero todo el combustible, WF.
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Mecánica del Vuelo (08-09)
PROBLEMA 9.1
Se considera un Ala Volante como una aeronave de ala fija que sea capaz de vuelo estable y controlable sin superficies auxiliares tales como estabilizadores horizontales o verticales. Así, tanto la estabilidad como la controlabilidad recaen exclusivamente sobre la superficie sustentadora siendo, por tanto, el perfil aerodinámico del ala un elemento crucial para garantizar dichos aspectos.
Northrop Aircraft Co. pioneered the flying-wing design and developed the YB-49, which first flew in 1947.
Para el estudio de la estabilidad estática longitudinal de un ala volante ante perturbaciones en el ángulo de ataque se presentan dos perfiles sustentadores distintos: Conventional Airfoil
M c/4 < 0
X c.g.Conv c/4
X c.g.Duobl
Double Cambered Airfoil
M c/4 > 0
c
Con el propósito de diseñar un Ala Volante, sin flecha ni estrechamiento, usando uno de los dos perfiles mostrados, se pide: 1. Estudiar, para cada perfil, la posición relativa del c.g . que asegure el equilibrio dinámico del Ala Volante. 2. Analizar el comportamiento (estable o inestable) de los casos anteriores y decidir cual es la mejor configuración para el diseño del Ala Volante.
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Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 10.1
La figura adjunta representa el modelo longitudinal simplificado de un avión formado por un conjunto ala-fuselaje y una cola horizontal toda móvil. Suponiendo además que: a) Se conocen las siguientes características geométricas y aerodinámicas del alafuselaje: superficie alar, S , cuerda media aerodinámica, c, ángulo de incidencia, iwb, pendiente de la curva de sustentación, awb, parámetros de deflexión de estela, ∂ε ∂α wb y ε 0 = 0 , situación del centro aerodinámico respecto de cierta referencia O, xacwb , y coeficiente de momentos alrededor del centro aerodinámico del ala, C macwb . b) Se conocen las siguientes características geométricas y aerodinámicas de la cola horizontal: superficie de la cola, S t, pendiente de la curva de sustentación, at , eficiencia aerodinámica de la cola, η t , situación del centro aerodinámico de la cola respecto de cierta referencia O, xact , y cola plana sin torsión formada por perfiles simétricos. c) El peso del avión, W , y la posición del centro de masas, xcg , son constantes conocidas d) El empuje de los motores pasa por el centro de masas del avión y es paralelo al eje xw; la densidad atmosférica, ρ , es constante y conocida. Se pide: 1º) Determinar el coeficiente de sustentación, C L , y el coeficiente de momento aerodinámico de cabeceo, C mA , del avión completo, en función del ángulo de ataque del fuselaje, α b , y de la deflexión de la cola horizontal, δ H . 2º) Determinar la posición del punto neutro con mandos fijos, N 0 , suponiendo que la distancia centro de masas-centro aerodinámico de la cola horizontal no es constante. Comentar la influencia de la relación entre las superficies de la cola horizontal y del ala, S t S , sobre este punto. 3º) Determinar la deflexión de la cola horizontal, δ H , en vuelo simétrico, horizontal, rectilíneo estacionario con las alas a nivel, en función de la velocidad de vuelo, V , suponiendo que la contribución de la cola horizontal a la sustentación del avión completo no es despreciable.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
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Resolución PROBLEMA 10.1
1º) Se sabe que:
Agrupando términos se obtiene una expresión general del mismo estilo que la desarrollada en teoría:
Para determinar el momento se deberá tener en cuenta que la distancia entre el centro aerodinámico de la cola y el centro de masas no se puede considerar fija:
De nuevo se pueden agrupar los términos:
2º) El punto neutro con mandos fijos se obtiene anulando
C mα:
Se puede observar que el resultado es monótonamente creciente con tiene N 0 xˆ acwb , mientras que para S t >> S se tiene N 0 xˆ act . =
=
S t /S y
que para
S t << S se
3º) Para vuelo simétrico, horizontal, estacionario y con las alas a nivel se tienen las siguientes condiciones:
Así, finalmente se obtiene:
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Mecánica del Vuelo (07-08)
PROBLEMA 10.2
La estimación de la posición del punto neutro con mando fijo, N 0, es muy importante durante las primeras etapas del diseño de un avión, pues proporciona un límite en la posición de su centro de gravedad si se quiere tener un comportamiento estáticamente estable frente a perturbaciones en el ángulo de ataque. Un valor más exacto de dicha posición puede calcularse, a posteriori, a partir de datos obtenidos durante ensayos en vuelo.
Idear de que manera se podría calcular la posición del punto neutro con mandos fijos de un avión si sólo se dispone de: • •
Un sensor de ángulo de ataque del conjunto ala-fuselaje. Un potenciómetro, que permite calcular deflexiones de superficies de mando.
Suponer, si se juzga necesario, que es fácil variar la posición del centro de gravedad del avión.
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Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 11.1
Un avión tipo “canard” dispone de un sistema de mando longitudinal esquematizado en la figura adjunta. El muelle no ejerce fuerza para deflexión de palanca nula y al deflectar la palanca da una fuerza proporcional a lo que se estira o encoge, con una constante k m conocida. El “canard” es todo móvil, está formado por perfiles planos y simétricos, gira alrededor de una charnela que coincide con su centro aerodinámico (punto O 1), tiene un peso W c aplicado en el punto medio de su cuerda, y su sustentación es despreciable frente a la del conjunto ala-fuselaje. Suponiendo además que: a) Se conocen las características geométricas, aerodinámicas y másicas del avión siguientes: S, c, S c , cc , l, xcg , ls, OA
=
O1A1
=
e , awb , C macwb , iwb , a c , C hcδ t W , W c,
etc. b) Los efectos de interferencia entre el “canard” y el ala son despreciables. c) La deflexión del tab no influye sobre la sustentación ni sobre el momento de cabeceo del avión. d) Son despreciables las contribuciones del empuje del motor a la fuerza normal a la trayectoria y al momento de cabeceo del avión completo. e) Todos los ángulos que intervienen en el problema son pequeños. Para vuelo simétrico, horizontal, rectilíneo, estacionario y con las alas a nivel, se pide: 1º) Determinar las deflexiones del “canard”, δ c, y del tab, δ t , en función de la presión dinámica de vuelo compensado, qT . 2º) Determinar el índice de estabilidad estática longitudinal con mandos libres a n = 1, (C mα ) f . y el punto neutro con mandos libres, N 0′ , en función de la presión dinámica a la que se ha compensado el avión, qT . 3º) Determinar la fuerza en palanca, F s, para volar a una presión dinámica, q, si se ha compensado el avión a la presión dinámica qT .
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
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Resolución PROBLEMA 11.1
1º) Teniendo en cuenta que el c.g. se tiene:
canard no
contribuye a la sustentación y que el empuje pasa por el
Imponiendo ahora que L=W y que se tiene vuelo equilibrado:
Teniendo en cuenta la geometría del sistema de mando longitudinal:
Así que se obtiene:
Por lo cual, teniendo en cuenta que se pide vuelo compensado (F S = 0):
2º) El índice de estabilidad estática longitudinal con mandos libres será:
El ángulo de “flotación” para el canard , teniendo en cuenta que se impone mediante:
n = 1,
se calcula
Así, se obtiene:
Finalmente, particularizando para la velocidad de compensación:
Para encontrar N 0’ se busca la posición del c.g. que anula este índice.
3º) Sustituyendo la deflexión del tab encontrada en el primer apartado, en la expresión de la F S también encontrada en el primer apartado:
ETSEIAT (UPC)
Mecánica del Vuelo (07-08)
PROBLEMA 11.2
Al terminar la etapa de diseño detallado de un avión ultraligero se obtiene que la posición prevista del centro de gravedad está por detrás del punto neutro con mandos libres ( xˆ cg > N 0' ). Esto implica que el avión es inestable con mandos libres, por lo que se debe rediseñar algún elemento para que tenga un comportamiento estable. Debido al estado avanzado de definición del avión se pretende cambiar lo mínimo posible, así que se va a modificar la palanca de mando mediante la adición de una masa o un muelle. 1) Determinar como se podría usar una masa, Wp, para que el ultraligero tenga comportamiento estable con mandos libres. 2) Determinar como se podría usar un muelle de tensión constante, T m, para que el ultraligero tenga comportamiento estable con mandos libres.
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Mecánica del Vuelo (06-07)
ETSEIAT (UPC)
PROBLEMA 12.1
Un avión biplano simétrico másica y geométricamente pretende realizar un vuelo de exhibición horizontal, rectilíneo y estacionario con un hombre encima de su ala superior. El acróbata puede desplazarse lateralmente por encima del ala del biplano siguiendo una línea contenida en el plano ys− zs, de forma que su centro de masas se sitúe a una distancia y H del plano de simetría del avión. Se supone además que: las acciones exteriores introducidas por el acróbata se reducen a las generadas por su peso y por su resistencia aerodinámica; se conocen todas las características geométricas, aerodinámicas y másicas del avión sin acróbata (en concreto C Y δ a C nδ a 0 ), así como el peso del hombre, W H , la distancia vertical representada en =
=
la figura adjunta, h H , el coeficiente de resistencia del hombre, C DH (referido a una superficie de referencia, S H ) y la densidad atmosférica, ρ ; el empuje del avión pasa por su centro de masas y su componente perpendicular a la trayectoria es despreciable; y todos los ángulos que intervienen en el problema son pequeños. Se pide: 1º) Determinar las incógnitas lateral-direccionales del problema en función de y H y de la velocidad de vuelo V , para las dos situaciones siguientes: a) Alas a nivel. b) Resbalamiento nulo. 2º) Determinar, para las dos situaciones del apartado anterior, el máximo desplazamiento posible del acróbata, y H max, suponiendo conocidas las deflexiones máximas y mínimas permitidas para los alerones, δ amax y δ amin, y el timón de dirección, δ r max y δ r min.
M.A. Gómez Tierno (ETSIA/UPM)
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