BAB I PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Berkembangnya
ilmu
pengetahuan
diiringi
dengan
teknologi
yang
semakin
membooming membooming menuntut mahasiswa teknik harus mengetahui mengetahui asal muasal rumus-rumus utama yang digunakan di aplikasi komputer. Sebagai contoh adalah ketika kita berhadapan dengan permasalahan yang ada di dalam penelitian di laboratorium. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses kerjanya, menentukan koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang rumit. Untuk itu, peneliti mengembangkan metode-metode baru a gar perhitungannya menjadi lebih sederhana dan teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu polinom interpolasi Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik, kedua polinom ini akan menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat ketunggalan yang telah dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan polinom tersebut. Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titiktitik yang yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi, nilai-nilai
berjarak sama, misalnya pada
tabel nilai fungsi atau pada pengukuran yang dlakukan dalam selang waktu yang teratur.
[1]
II.2 Tujuan
Tujuan dari pembuatan laporan ini adalah untuk:
Memahami bentuk Polinom Newton-Gregory Mundur.
Memahami langkah – langkah langkah penyelesaian Newton-Gregory Mundur.
Mempermudah mahasiswa dalam memahami intisari dari Polinom Newton-Gregory Mundur
Menyelesaikan tugas Mata Kuliah Analisa Numerik dan Pemrograman Komputer.
[2]
BAB II ISI
II.1 Penjelasan Umum
Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinomial Newton untuk titik-titik yang berjarak berjarak sama. Pada aplikasi nilai-nilai nilai-nilai x berjarak sama, misal pada tabel nilai fungsi , atau pengukuran pada selang waktu yang teratur. Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih menjadi lebih mudah dibentuk. Disini kita menanamkan tabel tersebut sebagai tabel selisih. Ada dua macam
tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (foward difference) dan tabel selisih
mundur (backward difference).
Karena itu, ada dua macam polinom polinom Newton-Gregory, yaitu yaitu polinom Newto nGregory maju, dan polin po linom om Newton-Gregory Newto n-Gregory mundur. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium. Dalam proses kerjanya, menentukan koefisienkoefisien polinom interpolasi merupakan pekerjaan yang rumit. Untuk itu, peneliti mengembangkan metode-metode baru agar perhitungannya menjadi lebih sederhana dan teratur. Salah satu metode pengkonstruksian polinom interpolasi, yaitu polinom interpolasi Lagrange dan polinom interpolasi bagi beda Newton. Secara analitik, kedua polinom ini akan menghasilkan polinom yang sama karena dijamin oleh sifat ketunggalan yang telah dikemukakan. Perbedaanya hanya terletak pada cara penulisan polinom tersebut.
[3]
Kelebihan Polinom Newton adalah sebagai berikut :
1. Polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom derajat yang lebih rendah, rendah, maka ini memudahkan memudahkan perhitungan perhitungan polino derajat yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering digunakan pada kasus dengan derajat polinom tidak diketahui. 2. Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu bilamana penambahan suku-suku yang lebih tinggi tidak lagi secara berarti memperbaiki nilai interpolasi (bahkan memperburuk). 3. Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi dengan nilai
yang berlainan.
Bila jumlah titik data meningkat meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak tidak dapat digunakan. Hal Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara antara p(n-1) x dan pn(x) pada polinom Lagrange. Pada polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi. Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu satu suku tunggal dengan polinom derajat yang lebih rendah, rendah, maka ini ini memudahkan perhitungan polinom derajat yang lebih tinggi tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering digunakan khususnya pada kasus yang derajat derajat polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu. dahulu. Selain itu dapat digunakan untuk menentukan apakah jika derajatnya ditambahkanakan menambah atau justru mengurangi ketepatan nilai interpolasi.
[4]
II.2 Polinom Newton - Gregory Mundur
Polinom Newton-Gregory Mundur ( Newton-Gregory backward) didasarkan
pada table selisih mundur. Titik-titik yang berjarak sama yaitu x0 , x1 , x2 ,...., xn yang dalam hal ini
dan nilai x yang diin d iinterpolasikan terpolasikan adalah:
[5]
Sebagai contoh tabel selisih mundur diperlihatkan oleh tabel sebagai berikut:
Polinom Newton-Gregory Mundur didasarkan pada tabel selisih mundur. Penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Mundur sama dengan penurunan rumus Polinom Newton-Gregory Maju,
[6]
Secara umum Newton gregory maju dan mundur itu sama, bedanya hanya pada rumus s saja, pada gregory maju kita menggunakan tanda (-) sedangkan gregory maju kita menggunakan (+) karena dipengaruhi oleh bentuk tabelnya.
Rumus newton gregory maju :
Rumus newton gregory mundur:
[7]
BAB III CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
III.1 Contoh Soal
Buatlah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1 / (x+1) pada selang (0,000, 0,625) dan h = 0,125. Hitung dengan newton gregory maju dan newton gregory mundur, Jelaskan apakah ada perbedaan?
III.2 Penyelesaian
Dengan Newton Gregory maju :
[8]
Dengan newton gregory mundur :
x
f(x)
0,000
1,000
0,125
0,889
-0,111
0,250
0,800
-0,089
0,022
0,375
0,727
-0,073
0,016
- 0,006
0,500
0,667 0,667
-0,060
0,013
-0,003
0,625
0,615
- 0,052
0,008
-0,005
•
X0 = 0,625
•
X1 = 0,500
•
X2 = 0,375
•
X3 = 0,250 dst
Δf
Δ2f
[9]
Δ3f
Karena 0,300 terletak di sekitar pertengahan selang (0,500 ; 0,125) dan h = 0,125, Maka nilai s adalah X = x0 + sh
Nilai s = S = (x-x0) / h = (0,300-0,500) / 0,125 = -1,6
Dimasukkan ke rumus newton gregory mundur :
0,769 Dan hasil NGB dan NGF adalah sama.
[10]
BAB IV KESIMPULAN IV.1 Kesimpulan
1. Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titiktitik yang berjarak sama 2. Polinom interpolasi sangat bermanfaat dalam menghitung nilai fungsi untuk semua x, atau nilai fungsi pada x yang tidak terdapat pada hasil percobaan pengamatan misalnya dari hasil pengamatan di lapangan atau laboratorium 3. Fungsi interpolasi polinom diantaranya ada 2 yaitu: 1. Menghampiri fungsi rumit jadi lebih sederhana 2. Menggambar kurva
[11]
DAFTAR PUSTAKA
Bambang Triadmojo. Triadmojo. 2002. Metode Numerik . Beta Offset: Yogyakarta Yogyakarta Rinaldi Munir. 2003. Metode Numerik . Informatika: Bandung. S.S. Sastry. 1984. Introductory Methods of Numerical Analysis . Makhija at India Offset Press: New Delhi. Sahid. 2005. Komputasi Numerik dengan Matlab. Andi: Yogyakarta Wahyudin. 1990. Metode Numerik . Universitas Terbuka: Jakarta http://erwin2h.wordpress.com/2011/05/13/tugas-polinom-newton-gregory-denganmatlab/ 10111941.blog.unikom.ac.id/landasan-teori.547 risqi.blog.com/2010/12/18/rumus-polinom-newton-gregory-mundur/
[12]
