Métodos abiertos: Los métodos que usan intervalos para encontrar la raíz son conocidos como métodos convergentes, convergentes, tal es el caso del método de bisección, bisección, ya que, conforme se avanza el cálculo, la aproximación aproximación a la raíz aumenta. Tanto el método del punto fijo como el de Newton-Raphson son llamados valor x o o un par de ellos que no métodos abiertos pues abiertos pues dependen solo de un valor necesariamente encierran encierran a la raíz, en ocasiones, tales métodos divergen o se alejan de la raíz, pero cuando estos convergen, en general, lo hacen más rápido que los métodos que usan intervalos. Método del Punto Fijo: También conocido como iteración de punto o sustitución sucesiva, permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para para determinar raíces raíces de una función función de la forma forma f(x), siempre f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia. Este método consiste en rearreglar la ecuación f(x)=0 ecuación f(x)=0 tal que x que x quede quede del lado izquierdo de la ecuación: x=g(x) Esto puede efectuarse con métodos algebraicos básicos, ejemplo: 2
Sea f(x)= Sea f(x)= x – 5x 5x + 3, 3, reordenando la ecuación:
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Convergencia. Para asegurar el buen resultado del método, la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε. De lo contrario, si la derivada > 1 el proceso diverge diverge de la raíz por lo que el error aumenta. aumenta.
Si y solo si |g’(x)| < 1 el proceso converge en la raíz.
Algoritmo del método de punto fijo: 1. 2. 3. 4.
Se ubica la raíz de f(x) analizando la gráfica. Se obtiene un despeje x=g(x) de la función. Obtenemos de x=g(x) su derivada g’ (x). Resolviendo la desigualdad -1 ≤ g’(x) ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales está el punto fijo llamado R. 5. Con R buscamos la raíz en g(x), es decir g(R)=R haciendo iteración de las operaciones. Ejemplo: Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación
dentro del intervalo [1,2].
Lo primero es buscar una función g(x) adecuada: 3
2
x +4x -10=0
Y claramente elegimos como función iteradora a:
Evaluando la derivada obtenemos:
Lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente. f(x): x^3+4x-10 g(x): √(10/(x+4)) Valor inicial: 2 Número de iteraciones: 6
Iteración
Xi
g(xi)
f(xi)
0
2
1.29909
6
1
1.29909
1.37477
-2.68
2
1.37477
1.36402
-1.90258
3
1.36402
1.36538
4
1.36538
1.36521
5
1.36521
1.36523
6
1.36523
1.36523
−2.00612 −1.99301 −1.99468 −1.99447
Podemos concluir que f(1.36) ≈ 0 Con un error de 0.00021. Ejemplo 2:
√
Encuentre una de las raíces reales de la ecuación f(x) =sen( )-x, utilice como x0 = .5 1. Buscamos a g(x) tal que g(x) = sen(√x) 2. Comprobarmos si nuestro X0 converge o no . g’(x) =
√ √
g’(.5) =
√ = 0.7 √
Una vez hecho podemos asegurar que nuestro proceso convergerá con la raíz de f(x). f(x): sin(x^.5)-x g(x): sin(x^-5) Valor incial: .5 Número de iteraciones: 10 Iteración
Xi
g(xi)
f(xi)
0
0.5
0.551427
0.149637
1
0.551427
0.691971
124765
2
0.691971
0.019996
0.047206
3
.,0.019996
0.396269
0.120941
4
0.396269
0.971481
0.192471
5
0.971481
0.91506
6
0.91506
0.999926
7
0.999926
0.84167
8
0.84167
0.699062
−0.137857 ,−0.09783 −0.158475 −0.04763
9
0.699062
−0.289085
0.042972
f(0,699) ≈ 0 Ejemplo 3. 2
Use la interacción de punto fijo para determinar la raíz de f(x) = -0.9x + 1.7x + 2.5 utilizando como X0= 5. 1. Buscamos a g(x) tal que
2. Comprobarmos si nuestro X0 converge o no.
= 0.54029 < 1 √ Una vez hecho podemos asegurar que nuestro proceso convergerá con la raíz de f(x).
Iteración
Xi
g(xi)
f(xi)
0
5
3.49603
1
3.49603
3.06291
2
3.06291
2.92631
3
2.92631
2.88188
4
2.88188
2.86729
5
2.86729
2.86248
6
2.86248
2.86089
−11.5 −2.55675 −0.736311 −0.232219 −0.07552 −0.024812 −0.00818
7
2.86089
2.86036
-0.0027
8
2.86036
2.86019
9
2.86019
2.86013
−0.000891 −0.000294
f(2.86019) ≈0
Método de Newton-Raphson El método consiste en empezar con un valor de x0 (cercano a la raíz) y trazar la tangente en el punto (x0 , f(x0 )). El punto donde esta tangente cruza al eje x se toma como la siguiente aproximación. Esto continúa hasta que valores de x sucesivos están suficientemente próximos o el valor de la función está suficientemente cerca de cero.
Hay por lo menos tres maneras usuales de introducir el método de Newton – Raphson: a) se puede derivar geométricamente o técnica gráfica b) el uso de la serie de Taylor, c) deriva el método de Newton a partir de la técnica de iteración de punto fijo. Trazamos la recta tangente a la curva en el punto xi , f ( xi ) ; ésta cruza al eje x
en un punto
xi 1
que será nuestra siguiente aproximación a la raíz
x r
.
Para calcular el punto x , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente i 1
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos y 0 :
Y despejamos
x
:
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: , si El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde se asegure que encontraremos la raíz, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos. Teorema de Convergencia Global del Método de Newton
Sea
verificando:
1. 2. 3.
para todo para todo
4. Entonces existe un único converge a s.
tal que
por lo que la sucesión
Ejemplo 1 x Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de f ( x) e ln x ,
comenzando con a 1% .
x0
1
y hasta que
En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con
x0
1
y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es:
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz
Error aprox.
1 1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:
Ejemplo 2 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de f ( x) arctan x x 1 , comenzando con x0 0 y hasta que a 1% . Solución En este caso, tenemos que
La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:
Comenzamos sustituyendo x0 0 para obtener:
a
En este caso tenemos un error aproximado de
0.5 0 0.5
100 % 100 %
Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz
Error aprox.
0 0.5
100%
0.5201957728
3.88%
0.5202689918
0.01%
De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:
Ejemplo 3 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números reales positivos.
Solución R 0 Sea . Queremos calcular 2 x R
x
tal que
x
R
; elevando al cuadrado
, o bien: x 2 R 0
Esto nos sugiere definir la función f ( x) x R de donde f ( x) 2 x . Al sustituir estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da: 2
xi 1 xi
xi2 R 2 xi
La cual simplificada nos da: xi 1
1 R xi 2 xi
Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón). Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos R 26 y apliquemos la fórmula obtenida, comenzando con x0 5 . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz
Error aprox.
5 5.1
1.96%
5.099019608
0.019%
5.099019514
0.0000018%
De lo cual concluímos que
26 5.099019514
.
Ventajas de los métodos abiertos: 1.-Pueden ser muy rápidos Inconvenientes: 1. No está garantizada la convergencia 2. Requiere una derivada (Newton-Raphson) 3. Requiere dos puntos inicial aunque no es necesario que encierren a la raíz Método de Newton-Raphson Ventajas 1.- Es de convergencia cuadrática cuando se eligen buenos puntos de inicio x0. 2.- Obtiene solución exacta en una sola iteración cuando F es afín (y es exacta en cada iteración en las funciones componentes de F que sean afín). Desventajas 1.- No converge globalmente para muchos problemas. 2.- En cada iteración necesita resolver un sistema de ecuaciones lineales que puede ser singular o mal condicionada.
