Academia Sabatina de Jóvenes Talento Talento Nicaragua 2018 Álgebra Datos Generales Nivel: 6 Instructor: Axel Omar Canales García Fecha: 14/04/2018 Módulo: Funciones Encuentro No.: 3
Contenido
Conceptos básicos del Álgebra (continuación) 1. Expresiones fraccionarias Una expresión fraccionaria es un cociente de dos expresiones algebraicas. Como caso especial, una cociente p/q de dos polinomios dos polinomios p y q. expresión racional es un cociente p/q Una expresión racional se simplifica o se reduce a su mínima expresión, si el numerador y el denominador no tienen como factores comunes polinomiales de grado positivo y no hay factores comunes enteros mayores que 1. Para simplificar una expresión racional, el numerador y el denominador se factoriza en factores primos y luego, suponiendo que los factores del denominador son diferentes de cero, los factores comunes se cancelan, como se aprecia en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Efectúe la operación que se indica y simplifique:
6 9 ⋅ 2 2 2 = 3 3 ⋅ 2 11 = 2 3 1 3 1 1 3 1 1 Para sumar o restar dos expresiones racionales, racionales, por lo general encontraremos encontraremos un denominador común y común y usamos las siguientes propiedades de los cocientes:
+ =
y
− =
Si los denominadores de las expresiones no son iguales―como en la mayoría de los casos―, se puede obtener un denominador común al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por una expresión apropiada. Por lo general se emplea el mínimo común múltiplo (mcm) de los dos cocientes. Para determinar el mcm, factorizamos cada denominador en primos y luego formamos el producto de los diferentes factores primos, usando el máximo exponente que aparezca con cada factor primo.
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1
Elaborado por: Axel por: Axel Canales G.
Ejemplo 2. Efectúe las operaciones y simplifique.
6 5 2 3 2 3 2 Solución. Los denominadores ya están en forma factorizada. El mcm es 3 2. Para obtener tres cocientes que tienen el denominador 3 2, multiplicamos por x el numerador y el denominador del primer cociente, los del segundo cociente por x y los del tercero por 3 2, lo cual nos da. 6 5 2 = 6 5 23 2 = 5 4 3 2 3 2 3 2 3 2 2
Fracciones complejas Una fracción compleja es un cociente en el que el numerador o el denominador es una expresión fraccionaria. Ciertos problemas en cálculo requieren la simplificación de fracciones complejas del tipo dado en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Simplifique la fracción compleja
2 2 3 3 Solución. Cambiamos el numerador de la expresión dada en un solo cociente y luego usamos una pro piedad para simplificar los cocientes.
23 2 3 2 2 3 3 3 = 3 1 2 2 = 3 3 ⋅ = 323 2 = 3 3 Otro método es multiplicar el numerador y el denominador de la expresión dada por ―esto es, el mcm del numerador y el denominador―, y luego simplificar el resultado.
3 3
2. Ecuaciones Una ecuación (o igualdad) es un enunciado que expresa que dos cantidades o expresiones son iguales.
Algunas definiciones
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Ecuación en x: Enunciado de igualdad que contiene una variable, x. Solución o raíz de una ecuación en x: Número b que da un enunciado verdadero al sustituirlo por x. 2
Elaborado por: Axel Canales G.
Un número b satisface una ecuación en x.: b es una solución de la ecuación. Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones. Resolver una ecuación en x: Encontrar todas las soluciones de la ecuación.
Ecuaciones lineales
= 0 , donde a y b son números reales y ≠ 0, restamos b de
Para resolver una ecuación lineal ambos lados y dividimos entre a como sigue:
= , =
= 0,
Muy frecuentemente será preciso transponer términos en los miembros para así reducir el tamaño y complejidad de la ecuación. Si una ecuación contiene expresiones racionales, a menudo eliminamos los denominadores multiplicando ambos lados por el mcm de estas expresiones. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que es igual a cero, para algún valor de x, entonces la ecuación resultando puede no ser equivalente a la ecuación original, como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4. Resolver la ecuación
= 1 − −
3 2 2 = 1 2 6 2 2 3 = 26 3 = 4 2 = 4 ∴ = 2 Comprobación:
32 = 22 Como la división entre 0 no está permitida, x=2 no es una solución. Por consiguiente, la ecuación dada no tiene soluciones.
Ecuación cuadrática
= 0,
Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que se puede escribir en la forma donde . Para que se puedan resolver muchos tipos de ecuaciones, usaremos el siguiente teorema:
≠0
Teorema del factor cero
Si y son expresiones algebraicas, entonces
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= 0 ⟺ = 0∨ = 0 3
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Ejemplo 5. Resolver la ecuación
16 = 8 Debemos transponer los términos e igualarlos a cero para aplicar el teorema del factor cero:
6 16 = 0 8 2 = 0 = 8 ∨ = 2 Si una ecuación cuadrática tiene la forma = para algún número > 0 , entonces = 0 o lo que es equivalente, ( √)( √) = 0 Al igualar a cero cada factor se obtienen dos soluciones √ y √ . Entonces: Si = entonces = ±√ Fórmula cuadrática Si
≠ 0, las raíces de = 0 están dadas por: = ± √2 4
Demostración. Utilizando el método de completación de cuadrado aplicado a la ecuación de se obtiene la fórmula:
= 0
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4
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= 0 4 ± √ = 2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación ―considerando siempre que estas sean reales, (escrita en la forma canónica) se pueden obtener usando la fórmula:
Otras ecuaciones―que no son ecuaciones cuadráticas―, se pueden resolver aplicando métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas. Recuerde que, para estas ecuaciones, se debe verificar si las soluciones obtenidas son o no soluciones de la ecuación dada.
Ejemplo 6. Resolver:
3 = 2 2 2 2 = 3 2 2 = 3 0 = 2 3 0 = 2 3 1 = 32 ∨ = 1 Ecuaciones con radicales o exponentes fraccionarios Si una ecuación contiene radicales o exponentes fraccionarios, ambos lados suelen elevarse a una potencia positiva conveniente. Las soluciones de la nueva ecuación siempre contienen las soluciones de la ecuación dada. Por ejemplo, las soluciones de
2 3 = √ 6 Son también soluciones de
2 3 = (√ 6) En algunos casos, la nueva ecuación tiene más soluciones que la ecuación dada. Para ilustrarlo, si se proporciona la ecuación y elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos . Note que la ecuación dada tiene una sólo una solución, 3, pero la nueva ecuación tiene dos soluciones 3 y -3. Por ello es esencial comprobar todas las soluciones obtenidas después de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia par. Estas comprobaciones no son necesarias si ambos lados se elevan a una potencia impar.
=3
=3
= 9 = 9
/ = donde es un número real, elevamos ambos lados de la ecuación / ) para despejar x.
En general, para la ecuación a la potencia (recíproco de
/
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3. Desigualdades en
ℝ
Definición: Una desigualdad es una expresión de la forma son números reales.
< , > , ≥ , ≤ en la que y
Si a, b y c son números reales, entonces, las desigualdades cumplen las siguientes propiedades:
Las desigualdades entre números reales se pueden representar en intervalos. Un intervalo es un subcon junto no vacío de números reales, que se representa gráficamente mediante un segmento de la recta real. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.
<
[,]
≤
, entonces, se llama interDefinición (intervalo abierto): Si y son números reales tales que valo abierto al conjunto de todos los números reales que son, simultáneamente, mayores que y menores que Se simboliza .
.
, En la notación ,, los paréntesis indican que los valores extremos no se incluyen en el intervalo. Gráficamente, un intervalo , se representa así:
, entonces, se llama interDefinición (intervalo cerrado): Si y son números reales tales que valo cerrado al conjunto de todos los números reales que son, simultáneamente, mayores o iguales que y menores o iguales que Se simboliza .
.
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[,][,]
En la notación , los corchetes indican que los valores extremos se incluyen en el intervalo. Gráficamente, un intervalo se representa asi:
Además, si y son números reales, los siguientes intervalos son semiabiertos:
En la siguiente table, se muestran otros intervalos con su respectiva notación de conjuntos y su representación gráfica:
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4. Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen una o más variables. Resolver una inecuación significa determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Una inecuación, por lo general, tiene infinitas soluciones que forman un intervalo, al que se le denomina conjunto solución.
Inecuaciones cuadráticas
< 0, ≠ 0,
Definición: Las inecuaciones cuadráticas son expresiones de la forma , y , en todos los casos
> 0 ≤ 0 ≥ 0
Para resolver una inecuación cuadrática se aplican las propiedades de las desigualdades de tal forma q ue uno de los miembros de la inecuación sea cero y el otro sea la expresión cuadrática. Luego, se factoriza, si es posible, la expresión cuadrática y se resuelven las inecuaciones lineales correspondientes para determinar el conjunto solución. Si la expresión cuadrática no se puede factorizar fácilmente, entonces, se realizan los siguientes pasos: ▪ ▪ ▪
Primero, se expresa la inecuación como una ecuación cuadrática. Luego, se aplica la fórmula cuadrática para hallar la solución de la ecuación. Finalmente, se ubican las soluciones de la ecuación en la recta numérica y se toman los valores de cada intervalo para verificar si son solución de la ecuación. Si los valores que se toman de cada miembro son solución de la inecuación, entonces, el intervalo hace parte del conjunto solución.
Ejemplo 7. Resolver la inecuación:
5 33 3 2 ≥ 23 204
≤ 4249 De forma que el conjunto solución de la inecuación es
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∈ ∞,
Elaborado por: Axel Canales G.
Ejemplo 8. Resolver la inecuación
6 4 < 0
5. Conjunto de ejercicios 1. Simplifique las siguientes expresiones ▪
▪
▪
▪
− + − − − + − + + − ++ − − ⋅ −− ⋅ + + ++ −+ + − − ⋅
2. Resolver las ecuaciones: a.
5 3 = 2
b. c.
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d.
= − + − −
e.
75 35 10 = 0
f.
9
4 = + +
3 = 17 4 2 = 0 7 = 8 Elaborado por: Axel Canales G.
g.
√ 5 19 = 1
h.
3/ 4/ 4 = 0
3. Resolver los siguientes problemas a. En cierto Instituto, estudian 500 postulantes en el ciclo intensivo. De éstos, 329 dominan Álgebra; 186, Física; 295, Geometría; 83, Algebra y Física; 217, Algebra y Geometría; y 63, Física; y Geometría. Hallar el número de alumnos que dominan 3 cursos. b. Jorge y Rosario segaron una huerta en cierto tiempo, si cada uno hubiera segado la mitad, Jorge habría trabajado cinco días menos, mientras Rosario hubiera trabajado siete días más. ¿En cuánto tiempo segaron la huerta Jorge y Rosario? 4. Resolver las siguientes inecuaciones: ▪
▪
▪ ▪ ▪
+ < 7 + − ≥ 4 1125 <≤ 018 3 5 7 ≤ 0
6. Referencias Aguilar, Arturo M., Bravo, Fabian V., et.al (2009). Matemática Simplificada , (1a. ed.) Colegio Nacional de Matemáticas (CONAMAT); México: Pearson. Swokowsi E., Cole J. (2017), Precálculo: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, (1ª ed.) México: Cengage Learning. LEXUS (2008): Álgebra Manual de Preparación Pre-Universitaria (1ª ed) Lima, Perú: Lexus Editores.
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