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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !"

AULA 10: NOÇÕES DE ESTATÍSTICA SUMÁRIO

PÁGINA

1. Teoria

01

2. Resolução de exercícios

49

3. Lista de questões vistas na aula

117

4. Gabarito

150

Olá. Nesta aula veremos alguns aspectos de Estatística para cobrirmos o tópico abaixo do seu edital: Noções de probabilidade e estatística Daremos mais ênfase à área conhecida como “Estatística descritiva”. Uma boa aula para todos nós! 1. TEORIA A Estatística divide-se em dois ramos principais: a) Estatística Descritiva (ou Dedutiva): tem por objetivo descrever um conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Fazem parte deste ramo tanto as técnicas para coletar os dados (técnicas de amostragem) quanto as técnicas para o cálculo dos principais parâmetros (características) daquele grupo de dados coletados. Também fazem parte deste ramo da Estatística as técnicas para a apresentação de dados em tabelas e gráficos, bem como o cálculo de medidas utilizadas para resumir estes dados (média, moda, mediana, desvio padrão, etc.). b) Estatística Inferencial (ou Indutiva): Indutiva): tem por objetivo inferir/induzir, a partir das informações de um conjunto de dados (amostra), informações sobre um conjunto mais amplo (população). A teoria da Probabilidade faz parte deste ramo, pois nela o nosso objetivo é, a partir do conhecimento de um fenômeno (ex.: lançamento de um dado), inferir possíveis resultados para a ocorrência de um determinado evento. Também fazem parte da estatística inferencial os testes de Prof. Arthur Lima

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hipóteses, que visam obter conclusões sobre uma população a partir da análise de um subconjunto desta (amostra). Nos próximos tópicos trabalharemos conceitos de Estatística Descritiva, que nos permite conhecer noções básicas deste Estatística exigidas pelo seu edital. 1.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos conhecer alguns conceitos básicos: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo menos - População: é uma característica em comum que permite delimitar os seus integrantes. Ex.: População dos moradores de Brasília; população dos alunos da escola A; população dos animais de estimação do meu bairro; - Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos os

indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos contar um por um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola A, ou todos os animais de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso interesse não é simplesmente contá-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou característica que esses indivíduos possuem. Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de Brasília, quantos são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês. em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, observar um por - Amostra: em um dos membros de uma determinada população. Se queremos saber qual o percentual de homens na população de Brasília, podemos analisar um subconjunto daquela população, isto é, uma amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e bem escolhida, de acordo com o que veremos nesta aula), é possível que o percentual de homens da amostra seja muito parecido com o que seria obtido se analisássemos toda a população. - Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) dos

elementos de uma população que pretendemos avaliar. Prof. Arthur Lima


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trata-se do valor que a variável assume para um determinado membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO referente a João, membro da população população brasiliense, brasiliense, tem valor “Masculino”. - Observação:

Uma variável pode ser classificada em: o

o

qualitativa, quando não assume assume valores numéricos, numéricos, podendo ser dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Brasília é uma variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas categorias SIM e NÃO. quantitativa, quando quando puder puder assumir diversos valores numéricos. numéricos. Ex.: Ex.: a altura dos moradores é uma variável quantitativa: 1,80m; 1,55m; 1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses moradores. As variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em:

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contínuas: quando quando não é possível possível separar o valor de uma variável em relação ao próximo valor que ela possa assumir. Ex.: a variável Altura é contínua. Se alguém tem exatamente 1,80m, qual o valor de altura imediatamente seguinte? 1,81m? Errado, pois é possível que alguém tenha, por exemplo, 1,80000001m. Ou 1,80000000001m. É impossível saber qual o valor que vem logo após (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa variável é contínua.

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discretas: quando podemos saber o valor que vem imediatamente após (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem que só é possível medir as pessoas até a segunda casa decimal, então a variável Altura torna-se discreta. Isso porque


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sabemos que o próximo valor de altura é 1,81m, e o valor anterior é 1,79m.

Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de maneira aleatória (“ao acaso”), qualquer dos seus valores. Em estatística trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que representamos por letras maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável idade dos moradores de Brasília. Utilizamos letras minúsculas para representar valores específicos daquela variável. Exemplificando, x = 25 anos é um dos valores possíveis para a variável aleatória X. Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem ser classificadas em: - variáveis nominais: são aquelas definidas por “nomes”, não podendo ser colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a variável “sexo dos moradores de um bairro” é nominal, pois só pode assumir os valores “masculino” ou “feminino”. Veja que não há uma ordem clara entre esses dois possíveis valores (não há um valor maior e outro menor). - variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, mas não é possível (ou não faz sentido) calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos sejam dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota é “E” e a maior é “A”. Porém não podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração A – B. - variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, e é possível calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números (de 0 a 10), sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a diferença entre elas é 5 – 3 = 2. Antes de prosseguir, trabalhe esta questão: Prof. Arthur Lima


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1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatística. ( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas ordenável e discreta, respectivamente. RESOLUÇÃO: A variável “Escolaridade” pode assumir valores como: Nível Fundamental, Nível Médio, Nível Superior, Pós Graduação etc. Trata-se, portanto, de uma variável qualitativa, e não quantitativa. Isto já torna o item ERRADO. Já a variável número de filhos é, de fato, quantitativa. Trata-se realmente de uma variável discreta, uma vez que o número de filhos pode ser {0, 1, 2, 3 ...}, mas não pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou entre 1 e 2, por exemplo. Resposta: E 1.1.1 TABELAS Como já vimos, a estatística descritiva tem por objetivo descrever um conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Para isso, as tabelas e gráficos estatísticos são ferramentas muito importantes. Vamos começar tratando das tabelas. Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado são tabelas como essa abaixo, referente à observação da variável “Sexo dos moradores de Brasília”: Valor da variável

Frequências (Fi)

Masculino

23

Feminino

27

Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores que a variável pode assumir, e na coluna da direita colocamos o número de Frequências, isto é, o número de observações relativas a cada um dos valores. Note que foi analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 eram homens e 27 mulheres. Estes são os valores de frequências absolutas. Podemos ainda representar as

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frequências relativas (percentuais): sabemos que 23 em 50 são 46%, e 27 em 50 são 54%. Portanto, teríamos: Valor da variável

Frequências relativas (Fi)

Masculino

46%

Feminino

54%

Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos dá uma boa estimativa de como é distribuída a população brasiliense: cerca de 46% são homens e 54% mulheres. Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais nos aproximaremos dos percentuais que seriam obtidos na análise de toda a população. Note que a frequência relativa é dada por Fi / n, onde Fi é o número de frequências de determinado valor da variável, e n é o número total de observações. Agora, veja a tabela abaixo, referente à observações da variável Altura dos moradores de Brasília: Valor da variável

Frequências (Fi)

1,50m

15

1,51m

5

1,53m

4

1,57m

2

1,60m

10

1,63m

8

1,65m

1

1,71m

20

1,73m

10

1,75m

3

1,83m

2

Quando temos uma variável como esta, que pode assumir um grande número de valores distintos, é interessante “resumir” os dados, criando intervalos de valores para a variável (que chamaremos de classes). Veja um exemplo:

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Classe

Frequências (Fi)

1,50| – 1,60

26

1,60| – 1,70

19


6


1,70| – 1,80

33

1,80| – 1,90

2

O símbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado está incluído na classe. Por exemplo, 1,50| - 1,60 nos indica que as pessoas com altura igual a 1,50 são contadas entre as que fazem parte dessa classe, porém as pessoas com exatamente 1,60 não são contabilizadas. Assim, temos as seguintes formas de criar as classes, onde “li” é o limite inferior da classe (menor valor, ex.: 1,50) e “Li” é o limite superior (o maior valor, ex.: 1,60): - li| – Li : limite inferior incluído na classe - li – |Li : limite superior incluído na classe - li| – |Li : limite inferior e superior incluídos na classe - li – Li : limite inferior e superior excluídos da classe Veja abaixo novamente a última tabela, agora com a coluna Frequências absolutas acumuladas à direita: Classe

Frequências (Fi)

Frequências absolutas acumuladas (Fac)

1,50| – 1,60

26

26

1,60| – 1,70

19

45

1,70| – 1,80

33

78

1,80| – 1,90

2

80

A coluna da direita exprime o número de indivíduos que se encontram naquela classe ou abaixo dela. Isto é, o número acumulado de frequências do valor mais baixo da amostra (1,50m) até o limite superior daquela classe. Veja que, para obter o número 45, bastou somar 19 (da classe 1,60| - 1,70) com 26 (da classe 1,50| 1,60). Isto é, podemos dizer que 45 pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite superior da última classe). Analogamente, 78 pessoas possuem altura inferior a 1,80m. De posse das frequências absolutas acumuladas, podemos calcular as frequências relativas acumuladas, que nada mais é que o percentual de indivíduos

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cujo valor da variável (altura) é inferior a um determinado limite. Veja isso na coluna da direita da tabela abaixo: Classe

Frequências Frequências absolutas Frequências relativas (Fi) acumuladas (Fac) acumuladas (Frc)

1,50| – 1,60

26

26

32,50%

1,60| – 1,70

19

45

56,25%

1,70| – 1,80

33

78

97,50%

1,80| – 1,90

2

80

100%

Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivíduos observados possuem menos de 1,60m. Já 56,25% possuem menos de 1,70m, e 97,50% tem menos de 1,80. Por fim, todos os indivíduos (100%) tem altura inferior a 1,90m, já que o maior valor observado foi 1,83m. Note que, para calcular o valor das frequências relativas acumuladas (Frc), bastou dividir o valor das frequências absolutas acumuladas (Fac) por n, que é o total de observações (n = 80 neste exemplo). 1.1.2 GRÁFICOS Gráficos também são muito utilizados no estudo da Estatística Descritiva. O principal deles, conhecido como Histograma, é um gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Para exemplificar, vamos utilizar os dados da tabela abaixo, que já usamos anteriormente: Classe

Frequências Frequências absolutas Frequências relativas (Fi) acumuladas (Fac) acumuladas (Frc)

1,50| – 1,60

26

26

32,50%

1,60| – 1,70

19

45

56,25%

1,70| – 1,80

33

78

97,50%

1,80| – 1,90

2

80

100%

O histograma das frequências de cada classe seria assim:

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Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 na classe 1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o gráfico das frequências absolutas acumuladas, que normalmente é representado por uma linha como esta abaixo:

Este gráfico de freqüências acumuladas acima, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido como ogiva. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências. Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o limite superior de cada classe de dados.

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Veja, por exemplo, que o ponto “A” no gráfico nos indica que 78 frequências ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das freqüências relativas acumuladas:

Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais ou inferiores a 1,80m. Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das idades dos moradores de um determinado bairro:

Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à medida que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), a quantidade

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de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: temos 15 frequências tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50). Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos uma assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico em 10-20 anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo valores de até 70 anos.

Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda (negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo):

Antes de prosseguirmos, vejamos dois exercícios sobre gráficos e tabelas estatísticas.

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Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabese que: I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do segundo intervalo.

2. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% RESOLUÇÃO: Observe que as freqüências relativas somam 1, ou seja, 100%. Ou seja: 0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 x = 0,60 – y Como foi dito que o número de recolhimentos do terceiro intervalo é o dobro do número de recolhimentos do segundo, então também podemos dizer que as freqüências relativas do terceiro intervalo (y) são o dobro das freqüências relativas do segundo (x): y = 2x

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Substituindo y por 2x na primeira equação, temos: x = 0,60 – 2x 3x = 0,60 x = 0,20 Com isso, y = 2x = 2.0,20 = 0,40 Com isso, temos a seguinte tabela: Valores arrecadados (R$)

Frequências relativas

1000 |--- 2000

0,10

2000 |---3000

0,20

3000 |--- 4000

0,40

4000 |--- 5000

0,20

5000 |--- 6000

0,10

TOTAL

1,00

Assim, a porcentagem de valores arrecadados iguais ou superiores a 3000 reais é a soma das frequências relativas das três classes mais altas: 0,40 + 0,20 + 0,10 = 0,70 = 70% Resposta: A

3. ESAF – IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são: a) polígonos de freqüência acumulada. b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. c) histograma de distribuição de freqüência. d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual.

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e) o equivalente à amplitude do intervalo. RESOLUÇÃO: A ogiva, como vimos ao estudar os gráficos estatísticos, é uma figura formada no gráfico contendo, no eixo horizontal, os pontos extremos (limites superiores) dos intervalos de classes de dados, e no eixo vertical as frequências acumuladas. Reveja abaixo o exemplo que usamos na aula:

Como você pode ver, trata-se de um gráfico de freqüências acumuladas. Resposta: A 1.1.3 MEDIDAS ESTATÍSTICAS Além dos gráficos e tabelas, outro recurso importante para a estatística descritiva é o uso de medidas estatísticas. Estas medidas tem por objetivo auxiliar o entendimento de um conjunto de dados, resumindo-os e apresentando as suas características mais relevantes. Dividimos as medidas estatísticas em alguns grupos. Temos as medidas de posição (ou tendência central), medidas de dispersão (ou variabilidade), medidas de associação e medidas de assimetria. Nesta aula trabalharemos as medidas mais importantes: de posição e de dispersão.

1.1.3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição, ou de tendência central, nos fornecem pontos de referência para interpretar uma distribuição de dados. Trata-se de “posições

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características” que podem ser usadas para resumir toda a distribuição. A título de exemplo, ao invés de apresentar toda uma distribuição de idades dos eleitores de uma cidade, eu poderia fornecer-lhe apenas a idade média destes eleitores. Este valor é um resumo daquela distribuição – e como todo resumo, ele acaba por omitir algumas informações. As principais medidas de posição são: média, moda e mediana. Vejamos cada uma delas. 

Média aritmética:

É a soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo total de observações. Vamos usar a tabela abaixo para calcular a altura média: Valor da variável

Frequências (Fi)

1,50m

15

1,51m

5

1,53m

4

1,57m

2

1,60m

10

1,63m

8

1,65m

1

1,71m

20

1,73m

10

1,75m

3

1,83m

2

Veja que precisaremos somar as alturas de todos os indivíduos observados, e a seguir dividor pelo número de indivíduos. Temos 15 indivíduos com 1,50m, portanto a soma de suas alturas é 15 x 1,50 = 22,50m. Analogamente, temos 5 indivíduos com 1,51m, somando 5 x 1,51 = 7,55m. E assim por diante. Somando as alturas de todos os indivíduos, temos: Soma = 1,50x15 + 1,51x5 + 1,53x4 + 1,57x2 + 1,60x10 + 1,63x8 + 1,65x1 + 1,71 x 20 + 1,73x10 + 1,75x3 + 1,83x2 = 130,41m

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Dividindo esse valor pelo total de indivíduos (isto é, soma de frequências Fi), temos a média: Média = 130,41 / 80 = 1,63m Portanto, a fórmula para o cálculo da média de uma variável aleatória X é: n

∑ Xi Média

=

i =1

n

Caso tenhamos dados em uma tabela de frequências como a que vimos acima, a média é dada por: n

∑ ( Xi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Nessas fórmulas, Xi representa cada um dos valores que a variável X (ex.: altura) pode assumir, e Fi representa a frequência referente a cada um desses valores. Já se tivermos os dados agrupados em classes, devemos utilizar a seguinte fórmula para calcular a média: n

∑ ( PMi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Nessa fórmula, PMi é o ponto médio da classe “i”. Por exemplo, se temos a classe 1,50|---1,60, o ponto médio será o valor PM = 1,55 (que é justamente a média aritmética entre o limite inferior e superior da classe). Comece a praticar os conceitos de média aritmética resolvendo essas questões: Instruções: Para resolver à questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: Prof. Arthur Lima


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I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).

4. FCC – SEFAZ/SP – 2009) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% RESOLUÇÃO: Observe que o total de frequências é igual a 1. Ou seja: 0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 x = 0,60 - y Os pontos médios de cada faixa de valores arrecadados são dados pela média aritmética entre os limites inferior e superior de cada faixa. Assim, estes pontos médios (PMi) são, respectivamente: 1500, 2500, 3500, 4500 e 5500. Com isso, podemos calcular a média através da fórmula:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" n

∑ ( PMi Média

=

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Média

=

1500 × 0,10 + 2500 × x + 3500 × y + 4500 × 0, 20 + 5500 × 0,10 1 3350 = 150 + 2500 x + 3500 y + 900 + 550 2500 x + 3500 y 25 x + 35 y

=

=

1750

17,5

Como sabemos que x = 0,60 – y, podemos efetuar essa substituição na equação acima: 25 (0,60 – y) + 35y = 17,5 15 – 25y + 35y = 17,5 10y = 2,5 y = 0,25 Portanto, x = 0,60 – y = 0,60 – 0,25 = 0,35. O total de frequências com recolhimentos acima de 3000 reais é dado pela soma das frequências das últimas 3 classes da tabela: y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 Como o total de frequências na tabela é igual a 1, então podemos dizer que 0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos. Resposta: C Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de dados (muito cobradas!!!): - somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. Ex.: se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a média passará de 1,63m para 1,66m.

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-

-

multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas encontradas por 2, a média também será dividida por 2, tornando-se igual a 0,815m. a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero. Ex.? A diferença entre a observação 1,51m e a média 1,63m é de –0,12m. Já a diferença entre a observação 1,80m e a média 1,63m é de 0,17m. Somando todas as diferenças, obteremos o valor zero. O valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da distribuição. Ex.: se incluíssemos na amostra uma pessoa com 2,00m, ou outra com apenas 0,60m, isso alteraria a média. Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média:

5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado por ele será de: a) 5,5 b) 6,0 c) 6,5 d) 7,0 e) 7,5 RESOLUÇÃO: Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos uma constante k a todos os membros de uma amostra, a nova média será igual à anterior, somada de k. Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada um dos alunos, basta somar 0,5 na média anterior e obtemos a nova média: 6 + 0,5 = 6,5. Resposta: C.

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Mediana:

É a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor para o maior. Abaixo da mediana encontram-se 50% (metade) das observações, e a outra metade encontra-se acima da mediana. Se temos n dados em uma distribuição, a mediana será termo que se encontra na posição (n+1)/2. Vamos encontrar a mediana para o conjunto de dados abaixo: Valor da variável (altura)

Frequências (Fi)

1,50m

15

1,51m

5

1,53m

4

1,57m

2

1,60m

10

1,63m

8

1,65m

1

1,71m

20

1,73m

10

1,75m

3

1,83m

3

Observe que temos 81 dados (acrescentei um a mais na altura 1,83m). Além disso, veja que os valores da variável altura estão ordenados do menor para o maior nessa tabela. Portanto, a mediana será o valor da posição (81+1)/2 = 41, isto é, a 41ª posição, pois existem 40 valores abaixo dele e outros 40 acima. Para encontrar o 41º valor, precisamos obter as frequências acumuladas. Valor da variável

Frequências (Fi)


1,50m

15

15

1,51m

5

20

1,53m

4

24

1,57m

2

26

1,60m

10

36

1,63m

8

44

1,65m

1

45

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20


1,71m

20

65

1,73m

10

75

1,75m

3

78

1,83m

3

81

Veja que até a altura 1,60m temos 36 pessoas. Temos mais 8 pessoas na altura 1,63m (abrangendo do 37º até o 44º). Portanto, a posição 41 tem altura igual a 1,63m. Isto é, mediana = 1,63m. Se tivéssemos um número par de elementos, a conta (n+1)/2 não teria resultado exato. Nesse caso a mediana seria dada pela média dos dois valores centrais da amostra. Veja o exemplo abaixo, no qual temos listadas a idade de 10 pessoas: { 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} Veja que as idades já estão ordenadas da menor para a maior. Como temos 10 valores (número par), então (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5. Não temos um elemento central, que seria a mediana. Ao invés disso, vamos utilizar a média dos dois elementos centrais, isto é, o 5º e o 6º elementos. Eles estão marcados em vermelho: { 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} A Mediana será igual a (7 + 8)/2 = 7,5. Pratique o conceito resolvendo este exercício: 6. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 RESOLUÇÃO: Primeiramente devemos colocar as observações em ordem crescente:

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3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 Temos ao todo 23 observações, ou seja, n = 23. Como n é ímpar, então a mediana será a observação na posição (n+1)/2 = (23+1)/2 = 12ª. A décima segunda observação é igual a 17. Portanto, Mediana = 17. Resposta: B Muitas questões de concurso costumam exigir que o aluno conheça o método de cálculo de mediana através de interpolação linear dos intervalos de classe. Esse método é utilizado quando temos os dados distribuidos em intervalos de classes. Vamos aprender a usá-lo através de um exemplo. A tabela abaixo apresenta os intervalos de alturas de uma certa população, como já vimos anteriormente nesta aula. Com base nisso, vamos obter a altura mediana. Classe

Frequências (Fi)


1,50| – 1,60

26

26

1,60| – 1,70

19

45

1,70| – 1,80

33

78

1,80| – 1,90

2

80

1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a posição da mediana. Em nosso exemplo, n = 80 indivíduos, portanto a posição da mediana é 80/2 = 40. (muito cuidado, pois quando usamos esse método não calculamos (n+1)/2, como vimos anteriormente). 2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana Observe a coluna de frequências acumuladas. Veja que o elemento da posição 40 encontra-se na classe 1,60|--1,70 (pois esta classe vai do 26 ao 45). Portanto, essa é a classe da mediana. 3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da classe da mediana

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Neste passo vamos montar duas retas paralelas, como você vê abaixo, uma delas com as frequências acumuladas e a outra com os valores de alturas correspondentes: Frequências: 26 40 45 |-----------------------------|----------------| Valores: 1,60 X 1,70 |-----------------------------|----------------| Repare eu associei (coloquei um abaixo do outro): - a última frequência da classe anterior (26) com o limite de altura daquela classe (1,60), que também é o limite inferior da classe da mediana; - a frequência da mediana (40) com o valor da mediana (X), que buscamos; - a última frequência da classe da mediana (40) com o limite de altura dessa classe (1,70). Feito isso, basta montar a proporção abaixo: freq superior - freq mediana freq superior - freq inferior

=

valorsuperior - valormediana valorsuperior - valorinferior

Neste exemplo, teríamos:

45 - 40

=

1,70 - X

45 - 26 1,70 - 1,60 Feito isso, basta encontrar o valor de X, que neste caso é X = 1,67m. Esta é a mediana pelo método da interpolação linear. Exercite este método com a questão abaixo: 7. FCC – SEFAZ/SP – 2006) O histograma de frequências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

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Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita. Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: a) R$100,00 b) R$400,00 c) R$800,00 d) R$900,00 e) R$1000,00 RESOLUÇÃO: Para facilitar o nosso trabalho, vamos escrever os dados do gráfico em tabela, e já calcular o ponto médio de cada intervalo de classe: Classe (milhares de reais)

Ponto Médio

Frequências (Fi)

1 |--- 2

1,5

200

2 |--- 3

2,5

400

3 |--- 4

3,5

500

4 |--- 5

4,5

600

5 |--- 6

5,5

300

Assim, a média será:

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∑ ( PMi Média =

×

i =1 n

Fi ) =

1, 5 × 200 + 2, 5 × 400 + 3, 5 × 500 + 4, 5 × 600 + 5, 5 × 300

=

200 + 400 + 500 + 600 + 300

∑ Fi

3,7

i =1

Veja que os valores no gráfico estão em milhares de reais, portanto a média é de R$3700,00. Para obter a mediana, veja que temos n = 2000 frequências ao todo. Pelo método da interpolação linear, a mediana será o termo correspondente à posição n/2 = 1000. Esta posição encontra-se no intervalo de 3 a 4 mil reais, como você pode ver na tabela abaixo: Classe (milhares de reais)

Ponto Médio

Frequências (Fi)

Frequências acumuladas (fac)

1 |--- 2

1,5

200

200

2 |--- 3

2,5

400

600

3 |--- 4

3,5

500

1100

4 |--- 5

4,5

600

1700

5 |--- 6

5,5

300

2000

Montando a proporção, temos: Frequências: 600 1000 1100 |-----------------------------|----------------| Valores: X 3 4 |-----------------------------|----------------| Assim, temos: 4 − X 1100 − 1000 = 4 − 3 1100 − 600 X = 3,8 Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a média e a mediana é de R$100,00.

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Resposta: A Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número para um determinado conjunto de observações. Não existem duas medianas para o mesmo conjunto. Além disso, o seu valor não é afetado pela troca de algum valor extremo (máximo ou mínimo) na distribuição. Para exemplificar, veja essas duas distribuições: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 e 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 57, 88 Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda distribuição, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a média se altera (neste caso, a média da segunda distribuição certamente seria maior). 

Moda:

A moda é o valor da observação com maior número de frequências, ou repetições (isto é, é o valor que está “na moda”). Ao contrário da média e da mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades: { 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda deste conjunto é igual a 8. Já na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes: Valor da variável

Frequências (Fi)

1,50m

15

1,51m

5

1,53m

4

1,57m

2

1,60m

10

1,63m

8

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26


1,65m

1

1,71m

20

1,73m

10

1,75m

3

1,83m

3

Para fixar o que vimos até aqui, resolva a questão abaixo: 8. ESAF – SEFAZ/CE – 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: a) 3, 6 e 5. b) 3, 4 e 5. c) 10, 6 e 5. d) 5, 4 e 3. e) 3, 6 e 10. RESOLUÇÃO: Vamos obter inicialmente a mediana, colocando os dados em ordem crescente: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 Veja que temos n = 10 notas. Como n é um número par, a mediana será a média aritmética das duas notas centrais. Calculando (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5, vemos que as notas centrais são a da 5ª e 6ª posições. Na quinta posição temos uma nota 5, e na sexta posição outra nota 5. Portanto, a mediana será (5 + 5)/2 = 5. A moda é aquela nota que mais se repete. Neste caso, a nota 3 repete-se três vezes, portanto esta é a moda. A média é calculada pela soma das notas, dividido pela quantidade de notas:

X =

3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60 = = 6 10 10

Resposta: A

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Os problemas mais difíceis envolvendo moda são aqueles onde é dada uma tabela com classes de valores para a variável, como esta abaixo (que também já utilizamos nessa aula): Classe

Frequências (Fi)

1,50| – 1,60

26

1,60| – 1,70

19

1,70| – 1,80

33

1,80| – 1,90

2

Para calcular a moda, você precisará seguir os seguintes passos: 1. Descobrir qual é a classe modal (CM). A classe modal é aquela que apresenta o maior número de frequências. Neste caso, trata-se da classe 1,70| - 1,80, que apresenta 33 frequências. Já sabemos que a moda está ali dentro, isto é, será um valor entre 1,70 e 1,80. Veja que o limite inferior dessa classe é li = 1,70. Note ainda que todas as classes tem amplitude de 0,10m, isto é, a diferença entre o menor (li) e maior (Li) valor da classe é de 0,10m. 2. Identificar a classe posterior (post ) e a classe anterior (ant ). Neste caso, a classe posterior é a de 1,80| - 1,90, que possui 2 frequências; e a classe anterior é a de 1,60| - 1,80, com 19 frequências. 3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da moda indicado pelo exercício: a. Moda de King: 





 fant +

Moda = li + c × 

  fpost  

fpost

Nesta fórmula, li é o limite inferior da classe modal (li = 1,70), c é a amplitude da classe modal (c = Li – li), fpost é o número de frequências da classe posterior (fpost = 2) e fant é o número de frequências da classe anterior (fant = 19). Portanto, a moda será: 

 2    = 1, 7095m  2 + 19  

Moda = 1, 70 + 0,10 × 



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b. Moda de Czuber: 





 2 fcm − ( fant +

Moda = li + c × 

  fpost )  

fcm − fant

Nessa fórmula fcm é o número de frequências da classe modal, que neste caso é fcm = 33. Portanto, a moda em nosso exemplo será:



  = 1, 731m   2 × 33 − (19 + 2)   

Moda = 1, 70 + 0,10 × 



33 − 19

Note que os valores obtidos são diferentes, motivo pelo qual você precisará saber as duas fórmulas. fórmulas. Se a questão questão não especificar o método, sugiro tentar primeiramente o método de Czuber. E note um grande diferencial do método de Czuber: ele é o único que leva em conta, no cálculo, as frequências da Classe Modal! Exercite esta fórmula com a questão abaixo: Instruções: Considere Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

9. FCC – BACEN – 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber*, é igual a (desprezar os centavos na resposta) Dados: Z max − Zant * Moda = Li + h 2.Z max − (Zant + Zpost ) em que: Li = limite inferior da classe modal Prof. Arthur Lima


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h = intervalo de classe modal Zmax = freqüência da classe modal Zant = freqüência da classe anterior à classe modal Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal a) R$3201,00 b) R$3307,00 c) R$3404,00 d) R$3483,00 e) R$3571,00 RESOLUÇÃO: Veja que a classe que apresenta maior número de f reqüências é aquela entre 3000-4000 reais, com Zmax = 16 frequências. Essa é a classe classe modal. O seu limite inferior é Li = 3000 reais, e o seu intervalo é de h = 1000 reais. A classe anterior é a de 2000-3000 reais, que possui Zant = 8 frequências. E a classe posterior é a de 4000-5000 reais, que possui Zpost = 10 frequências. Assim, podemos aplicar a fórmula de Czuber: Z max − Zant Moda = Li + h 2.Z max − (Zant + Zpost ) Moda = 3000 + 1000

16 − 8 2.16 − (8 + 10)

Moda = 3000 + 1000

8 = 3571, 42 14

Resposta: E Finalizando o estudo da Moda, veja que o seu valor não é afetado pelos valores extremos (mínimos e máximos) da distribuição. Isto é, a moda destas duas distribuições abaixo é a mesma: { 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} e { 1, 2, 2, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} Conhecendo a média, mediana e moda de uma amostra, podemos determinar a simetria daquela distribuição de dados. Veja isso na tabela abaixo:

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Simetria

Média, Mediana e Moda

Simétrica

Média = Mediana = Moda*

Assimétrica positiva (à direita)

Média > Mediana > Moda

Assimétrica negativa (à esquerda)

Média < Mediana < Moda

* se unimodal. Você não precisa decorar essa tabela. Inicialmente, veja um exemplo de distribuição simétrica, e perceba que, de fato, a média, mediana e moda encontramse na mesma posição: Média, Mediana e Moda

Quanto às distribuições assimétricas, basta lembrar que uma curva com assimetria negativa tem esse nome porque possui uma “cauda” para o lado esquerdo, isto é, para o sentido negativo do eixo horizontal; e uma curva com assimetria positiva possui uma cauda voltada para o sentido positivo do eixo horizontal. A existência de um prolongamento para um dos lados afeta a média, “puxando-a” naquele sentido. Por exemplo, na curva com assimetria negativa, a média é “puxada” para a esquerda, tornando-se a menor das três medidas de posição. A moda corresponde ao pico da curva (maior número de freqüências), que neste caso é “puxado” para a direita, tornando a moda o maior dos três valores:

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média

mediana

moda

No caso da assimetria positiva, a cauda se estende para a direita, puxando a média para este lado. A moda é puxada para a esquerda, pois há um pico de frequências à esquerda. Veja:

moda mediana média

Sobre este assunto, veja essa questão: 10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva a) Simétrica. b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda.

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d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita. e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. RESOLUÇÃO: No gráfico de distribuição de freqüências, a moda se localiza na posição onde temos um pico de freqüências. Se a moda é o menor valor, ela está deslocada para o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto significa que temos um pico de freqüências à esquerda. Teremos também um prolongamento dos dados para a direita, o que “puxa” a média para este lado, tornando-a maior que as demais medidas de posição:

Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à direita). Resposta: B



Quartis, decis e percentis:

Assim como a mediana divide os dados em 2, os quartis dividem os dados em 4. Isto é, abaixo do primeiro quartil estão ¼, ou 25% das observações. Dele até o segundo quartil, outros 25%. E assim por diante. Note que o segundo quartil é a própria mediana, pois 50% dos dados são inferiores a ele. Para exemplificar, vamos utilizar novamente a tabela abaixo: Valor da variável

Frequências (Fi)

1,50m

15

1,51m

5

1,53m

4

1,57m

2

1,60m

10

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33


1,63m

8

1,65m

1

1,71m

20

1,73m

10

1,75m

3

1,83m

2

Veja que temos 80 observações (frequências), isto é, n = 80. O primeiro quartil (Q1) está localizado na posição (n+1)/4, que neste caso é (80+1)/4 = 20,25. Veja que não existe a posição 20,25. Precisamos, portanto, fazer a média entre o valor da posição 20 e o da posição 21. Na posição 20 temos 1,51m, e na posição 21 temos 1,53m. Portanto, Q1 = (1,51 + 1,53)/2 = 1,52m. Ou seja, 25% dos indivíduos observados possuem altura inferior a 1,52m. Já o segundo quartil (Q2) é a própria mediana, localizada na posição 2(n+1)/4, ou simplesmente (n+1)/2. Com n = 80, o Q2 está na posição 40,5. Como essa posição não existe, precisamos fazer a média entre o valor da posição 40 (que é 1,63m) e o da posição 41 (que também é 1,63m). Portanto, Q2 = (1,63 + 1,63)/2 = 1,63m. Isto é, 50% dos dados encontram-se abaixo de 1,63m. O terceiro quartil (Q3) está na posição 3(n+1)/4, que neste caso é igual a 60,75. Fazendo a média entre o valor da posição 60 (1,71) e o da posição 61 (também 1,71), temos que Q3 = 1,71m. Isto é, 75% das observações encontram-se abaixo de 1,71m. Resumindo, temos: Quartil

Posição

1

(n+1)/4

2

2(n+1)/4

3

3(n+1)/4

Analogamente aos quartis, que dividem os dados em 4 grupos, temos os decis (que dividem em 10 grupos) e os percentis (que dividem em 100 grupos). Veja que a mediana, o 2º quartil, o 5º decil e o 50º percentil são o mesmo valor. Chamamos de amplitude interquartílica a distância entre o 1º e o 3º quartis de uma distribuição, ou seja: AI = Q3 – Q1

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34


O método da interpolação linear usado para o cálculo da mediana pode ser aplicado aqui, com as devidas adaptações. Observe isso na questão abaixo: 11. ESAF – AFRFB – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão vamos usar os mesmos conceitos de interpolação linear que vimos no estudo da mediana. Através da coluna de freqüências relativas (%) acumuladas, veja que a observação que se encontra na posição 80% está na classe de 10.000 – 12.000. Assim, podemos montar a seguinte proporção:

Frequência: 77% 80% 89% |-----------------------------|----------------| Valores: 10000 X 12000 |-----------------------------|----------------| Assim, temos a proporção:

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0,89 − 0,80 12000 − X = 0,89 − 0,77 12000 − 10000 0,09 12000 − X = 0,12 2000 X = 10500 Portanto, podemos dizer que 80% das observações são iguais ou inferiores a 10500. Resposta: E Obs.: observe que nessa questão o que obtivemos foi o valor do 8º decil (D 8), ou do 80º percentil (P80) da distribuição. Desta mesma forma você consegue obter qualquer quartil, decil ou percentil solicitado por uma questão. 1.1.3.1 MEDIDAS DE VARIABILIDADE As medidas de dispersão (ou variabilidade) medem o grau de espalhamento dos dados de uma distribuição. Se você anotar as idades dos seus colegas de faculdade, provavelmente verá que a maioria deles se concentra numa faixa muito estreita (talvez entre 19 e 24 anos), com evidente predominância dos jovens, havendo um ou outro caso que destoa dessa faixa. Agora, se você tentar anotar as idades das pessoas que frequentam uma determinada praia, verá que a dispersão é muito maior, isto é, existem quantidades significativas de crianças, jovens, adultos e idosos. Para quantificar essa dispersão (ou variabilidade) existem diversas medidas, dentre as quais as principais são: a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 

Variância:

Chamamos de variância a média do quadrado das distâncias de cada observação até a média aritmética. Complicado? Vamos por partes... A distância de uma observação X i até a média aritmética subtração

X i

−

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X .

O quadrado desta distância é

( X i

−

X ) 2 .


X é

dada pela

A média do quadrado

36


dessas distâncias é dado pelo somatório de todos os valores

( X i

−

X ) 2 , dividido pelo

total de observações (n). Portanto, a fórmula da variância é: n

∑ ( X Variancia

=

σ 2

=

i −

X )2

1

n

Como você viu nesta fórmula, costumamos simbolizar a variância por σ 2 . Exemplificando, vamos calcular a variância do seguinte conjunto de dados: {1, 3, 5, 5, 8, 9}. Repare que temos n = 6 elementos, cuja média é: X =

1+ 3+ 5 + 5 +8 +9

=

6

6

Assim, a variância é: n

∑ ( X 2

σ

=

σ 2

=

i −

X )2

1

=

(1 − 6)2 + (3 − 6) 2 + (5 − 6) 2 + (5 − 6) 2 + (8 − 6) 2 + (9 − 6) 2

n 25 + 9 + 1 + 1 + 4 + 9 6

6 =

8,16

Esta é a fórmula básica da variância. Entretanto, dependendo do exercício pode ser que seja mais conveniente usar alguma das fórmulas a seguir, que são meras variações desta primeira:  Caso os dados estejam em uma tabela de frequências (fi): n

∑ [ f σ 2

i ×

(X i

−

2

X ) ]

1

=

n

∑ f

i

1



Caso os dados estejam em uma tabela de frequências, porém agrupados em intervalos de classes, devemos usar os pontos médios PM i no lugar dos valores individuais Xi: n

∑ [ f σ 2

=

i ×

( PM i

−

X ) 2 ]

1 n

∑ f

i

1

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37


Veja que em todas as fórmulas para cálculo da variância é preciso inicialmente obter o valor da média da população. Entretanto, a fórmula abaixo nos permite encontrar a variância sem precisar calcular a média: 1

 X i −  ∑ X i  ∑ n i 1  σ 2 = i 1 n

2

=

n

2

=

n

Veja que, nesta fórmula, só é preciso obter o valor do somatório das n

observações ( ∑ X i ), bem como o somatório dos quadrados das observações i =1 n

( ∑ X i 2 ), que são cálculos relativamente fáceis. i =1

Se os dados estiverem agrupados, você pode alterar esta última fórmula, utilizando a seguinte: n

∑ ( X σ 2

=

2 i

×

i =1

1

 f i ) −  ∑ ( X i × f i )  n i 1  n

2

=

n

E se estiverem em intervalos de classes, você pode utilizar os pontos médios: 1

 ( PM i × f i ) −  ∑ (PM i × f i )  ∑ n i 1  σ 2 = i 1 n

2

=

n

2

=

n

ATENÇÃO: todas as fórmulas vistas acima permitem calcular a variância de uma POPULAÇÃO. Caso o exercício apresente apenas uma amostra da população, devemos fazer uma pequena alteração nas fórmulas acima, calculando a variância AMOSTRAL, que é simbolizada por s2. Esta alteração consiste em subtrair uma unidade (1) no denominador das fórmulas. n

Exemplificando, ao invés de σ 2 =

∑ ( X

i −

X )2

, teremos:

1

n n

∑ ( X s2

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=

i

−

X ) 2

1

n −1


38


Analogamente, ao invés de σ 2 =

∑ [ f

i ×

(X i

−

X ) 2 ]

, teremos:

1 n

∑ f

i

1 n

∑ [ f s2

i ×

(X i

−

X )2 ]

1

=

n

∑ f

i −

1

1

1

2

 ( PM i × f i ) −  ∑ (PM i × f i )  ∑ n i 1  , usaremos: E ao invés de σ 2 = i 1 n

2

=

n

=

n

 ( PM i × f i ) −  ∑ (PM i × f i )  ∑ n i 1 1  s2 = i n

2

1

=

n

2

=

n −1

Resolva as questões abaixo antes de prosseguir: 12. ESAF – ATRFB – 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e fi a respectiva frequência. xi : 5 6 7 8 9 fi : 2 6 6 4 3 a) 1,429. b) 1,225. c) 1,5. d) 1,39. e) 1,4. RESOLUÇÃO: Aqui temos uma amostra, e não uma população. Portanto, a fórmula da variância é: n

∑ ( Xi Variancia (amostra ) = S 2

=

−

X )2

1

n −1

O primeiro passo é calcular a média, que é dada por:

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39


∑ ( Xi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Média =

5 × 2 + 6 × 6 + 7 × 6 + 8× 4 + 9× 3

=

2 + 6+ 6+ 4+ 3

147 21

=

7

Para o cálculo da variância, temos:

2

S

=

(5 − 7) 2 × 2 + (6 − 7) 2 × 6 + (7 − 7) 2 × 6 + (8 − 7) 2 × 4 + (9 − 7) 2 × 3 21 − 1

=

30 20

=

1,5

Resposta: C 13. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Considerando que uma série de observações constituem uma amostra aleatória simples X 1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X. Considere que:

a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão é preciso lembrar que a variância pode ser calculada com a seguinte fórmula, sem a necessidade de obtenção da média amostral:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" 1

 X i 2 −  ∑ X i  ∑ n i 1 i 1  s2 = n

=

n

2

=

n −1

Veja que foi dado que n = 23, e que: n

n

∑ X

i

2

=

∑ X

e

8676

i =

388

i =1

i =1

Portanto,

 X i −  ∑ X i  ∑ n i 1 i 1  n

2

s

2

s2

=

1

=

n

2

=

n −1 =

8676 − =

1

( 388)

2

23 23 − 1

96,84

Resposta: A 

Desvio padrão ( σ ):

Obtida a variância, fica fácil calcular o desvio-padrão de uma população ou amostra. Basta tirar a raiz quadrada da variância. Isto é: Desvio padrão = Variância

Assim, podemos dizer que σ s = s2

=

σ 2

(desvio padrão populacional) e que

(desvio padrão amostral).

Lembrando que o desvio-padrão e a variância são medidas de dispersão dos dados, é bom você saber que, quanto maiores estes valores forem, mais espalhados estão os dados (caso da praia), e quanto menor, mais próximos estão os dados (caso da faculdade). Resolva a questão a seguir: 14. CESPE – MEC – 2009) Merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

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( ) A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a 225. ( ) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. RESOLUÇÃO: ( ) A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a 225. Para obter a mediana, o primeiro passo é colocar os dados em ordem crescente. Veja isso abaixo: 150, 150, 200, 200, 200, 200, 250, 250, 250, 300. Temos 10 elementos, portanto n = 10. A seguir devemos calcular o valor de (n+1)/2, que neste caso será (10+1)/2 = 5,5. Veja que não obtivemos um valor exato, pois n é par. Assim, a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais da amostra, que são aqueles mais próximos da “posição” 5,5, ou seja, o 5º e o 6º termo: Mediana =

200 + 200 = 200 2

Item ERRADO.

( ) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. O desvio padrão amostral é dado por: n

s =

( X i ∑ i 1

−

X )2

=

n − 1

onde n é o número de elementos (n = 10), Xi representa cada elemento da amostra e X é a média da amostra. A média, neste caso, é: X =

150 + 150 + 200 + 200 + 200 + 200 + 250 + 250 + 250 + 300 10

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=

215

42


Portanto, o desvio padrão será: n

s =

( X i ∑ i 1

−

X )2

=

n − 1

s =

2 × (150 − 215)2 + 4 × (200 − 215)2 + 3 × (250 − 215)2 + 1× (300 − 215)2 10 − 1

s =

2 × ( −65)2 + 4 × (−15)2 + 3 × (35)2 + 1× (85)2 9

s =

8450 + 900 + 3675 + 7225 9

=

2250

Observe que esse número é inferior a 50, pois 50 =

2500 . Assim, o item

está ERRADO. Resposta: E E É importante você conhecer as seguintes propriedades do desvio padrão e da variância (caem bastante!): - se somarmos ou subtrairmos um mesmo valor de todos os elementos de uma amostra, o desvio padrão e a variância permanecem inalterados. Isso porque essas são medidas de dispersão. Ao somar o mesmo número em todos os elementos, eles não se tornam mais dispersos (mais espalhados), apenas deslocam-se juntos para valores mais altos. - se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos da amostra pelo mesmo valor, o desvio padrão é multiplicado/dividido por este mesmo valor. Já a variância é multiplicada/dividida pelo quadrado desse valor (pois ela é igual ao quadrado do desvio padrão). Assim, se temos uma variável X, com desvio padrão σ x , e definimos uma variável Y como sendo Y = a.X + b (ou seja, a distribuição Y é formada pelos mesmos termos da distribuição X, porém multiplicados por a e depois somados com b), podemos dizer que: - o desvio padrão de Y será: σ y

=

a × σ x (veja que o b nem aparece aqui);

- a variância de Y será σ y 2 = a 2 × σ x 2 Em alguns casos, você pode ser apresentado a duas populações diferentes (ex.: moradores da cidade A e da cidade B), sendo fornecidos o número de elementos de cada amostra (n A e nB), bem como a variância de cada amostra. Com

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isso em mãos, é possível calcular a variância que teria uma amostra composta pela união dos indivíduos de A com os indivíduos de B usando a fórmula abaixo: Variância A



= ∪B

Variância A × nA + VariânciaB × nB n A + nB

Coeficiente de variação (CV):

Trata-se da razão entre o desvio padrão e a média, sendo normalmente expresso na forma percentual:

CV =

σ

Veja essa questão sobre o CV: 15. FCC – BACEN – 2006) Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com uma variância de d 2 centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um 20 desvio padrão igual a d centímetros. Se o correspondente coeficiente de 21 variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de a) 162,0 cm b) 164,6 cm c) 164,8 cm d) 166,4 cm e) 168,2 cm RESOLUÇÃO: O coeficiente de variação é dado por

CV =

σ (desvio µ

padrão dividido pela

média). O enunciado nos disse que, para os rapazes, µ = m e σ 2 = d 2 (portanto, σ = d ). Portanto, o coeficiente de variação para os rapazes é: CV rapazes

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=

σ d = µ m


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Para as moças, foi dito que µ = m − 8 e σ =

20 21

d ,

levando ao seguinte

coeficiente de variação: 20

σ 21 d = = µ m − 8

CV moças

Como foi dito que

CVrapazes

=

CVmoças , então:

d

=

m

20 d 21 m −8

Logo, 1

=

m

20 21 m −8

m −8 = m−

20 21

1 21

20 21

m

m =8

m =8

m = 168

Portanto, a média de altura dos 120 rapazes é de 168cm, e a média de altura das 80 moças é 160cm. Calculando a média do grupo inteiro, temos:

Média

=

120 × 168 + 80 × 160 120 + 80

=

164,8cm

Resposta: C 1.2 AMOSTRAGEM Chamamos de técnicas de amostragem aquelas técnicas utilizadas para selecionar, dentre os indivíduos de uma população, aqueles que farão parte de nossa amostra, sobre a qual calcularemos os dados estatísticos de nosso interesse. Existem diversas formas de se formar uma Amostra de uma determinada população. Algumas dessas formas são chamadas de probabilísticas (casuais), pois permitem (cientificamente) que utilizemos as técnicas de inferência estatística, extrapolando os resultados para o restante da população, calculando margens de Prof. Arthur Lima


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erros etc. As demais formas são chamadas de não-probabilísticas (não casuais). Apesar de muito utilizadas, elas não permitem (com o mesmo rigor) a utilização das técnicas de inferência que estudaremos. 1.2.1 TÉCNICAS CASUAIS DE AMOSTRAGEM (PROBABILÍSTICAS): Digamos que queremos estimar o percentual de homens residentes em um determinado bairro. Vejamos técnicas probabilísticas para escolher uma amostra desta população, evitando ter que analisar cada um dos moradores daquele bairro. 1.2.1.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES Uma primeira forma de amostragem probabilística é a escolha aleatória dos indivíduos da população que farão parte da amostra (em uma lista, por exemplo). Trata-se da amostragem aleatória (ou casual) simples. Esta amostragem pode ser feita com reposição (onde um mesmo indivíduo pode ser escolhido mais de uma vez para a amostra) ou sem reposição (onde cada indivíduo só pode ser escolhido uma vez). Repare que, para fazer uma amostragem aleatória, é preciso que você tenha acesso aos dados de todos os indivíduos da população, para, a partir dessa listagem, efetuar uma seleção aleatória de indivíduos. 1.2.1.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Uma outra forma de escolher os indivíduos do bairro que farão parte da amostra é utilizando a amostragem sistemática. Tendo a lista de todos os indivíduos em mãos, e algumas características destes indivíduos, podemos criar um critério para a escolha dos selecionados. Exemplificando, imagine que decidimos visitar apenas os moradores das casas cujo número é múltiplo de 10. Veja que criamos um sistema de escolha, motivo pelo qual esse tipo de amostragem é conhecido como sistemático. 1.2.1.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (AGRUPAMENTOS) Ao invés de criar um sistema de escolha, como fizemos na amostragem sistemática, podemos decidir analisar subgrupos inteiros da população. Trata-se da amostragem por conglomerados (ou agrupamentos). Ex.: podemos selecionar,

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aleatoriamente, quarteirões inteiros daquele bairro, e verificar todos os indivíduos que ali residem. Repare que neste exemplo, os conglomerados foram definidos como sendo quarteirões inteiros do bairro. Esta é uma boa forma de escolha, pois os conglomerados são mutuamente exclusivos, isto é: cada indivíduo só fará parte de 1 conglomerado. 1.2.1.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA Em alguns casos, podemos dividir a população em estratos, que são subconjuntos da população compostos por indivíduos com algumas semelhanças entre si. A diferença entre estratos e conglomerados é que, nos estratos, os indivíduos devem ter alguma característica em comum que os torna mais semelhantes, enquanto os conglomerados são meros agrupamentos com base em um critério qualquer. Os estratos também devem ser mutuamente exclusivos, para que cada indivíduo participe de apenas 1 estrato. Feito isso, podemos selecionar uma quantidade de indivíduos dentro de cada estrato para efetuar a nossa análise. Por exemplo, podemos dividir todos os moradores em intervalos de idades (estratos): de 0 a 15 anos, de 15 a 30, de 30 a 45 etc. Feito isso, podemos analisar uma quantidade de indivíduos dentro de cada estrato. Como escolher a quantidade de indivíduos de cada estrato que será analisada? Os principais métodos de escolha são: - alocação uniforme: neste caso, escolhe-se uma quantidade igual de indivíduos dentro de cada estrato. - alocação proporcional: neste caso, escolhe-se quantidades de indivíduos dentro de cada estrato de maneira proporcional à representatividade daquele estrato na população inteira. - alocação de Neyman (ou repartição ótima): leva em conta a variância dentro de cada estrato da população. 1.2.2 TÉCNICAS NÃO-CASUAIS DE AMOSTRAGEM (NÃO PROBABILÍSTICAS):

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Um exemplo de técnica não-probabilística é aquela usada em algumas pesquisas de opinião, onde o pesquisador fica em um local com grande circulação de pessoas (ex.: estação de metrô) e vai entrevistando pessoas ao acaso (acidentalmente). Trata-se da amostragem acidental. Outro exemplo seria a escolha intencional, por parte do entrevistador, de pessoas que ele acredita serem relevantes para a sua pesquisa. Trata-se da amostragem intencional. Outra conhecida forma de amostragem não probabilística é a amostragem por cotas. Nela, o primeiro passo é dividir a população em grupos – como é feito nas amostragens estratificada ou por conglomerados – e, a seguir, extrair quantidades pré-definidas (“cotas”) de indivíduos de cada grupo para se montar a amostra. Veja que a diferença deste tipo de amostragem para os tipos probabilísticos é que as quantidades de indivíduos em cada grupo/estrato são pré-definidas, não obedecendo qualquer critério estatístico. Também temos a amostragem de voluntários. Imagine que você pretende fazer experiências de um novo remédio, e para isso precise de cobaias. Como você não pode obrigar pessoas a participarem do experimento, você precisa contar com voluntários. Assim, a amostra de indivíduos que você vai utilizar não tem fundamento estatístico. Note que escolhas ruins do tipo de amostragem podem levar a conclusões absurdas. Exemplificando, digamos que queremos estimar o percentual de homens na população de nosso bairro. Para isso, decidimos criar nossa amostra da seguinte forma: percorrer todos os salões de beleza do bairro, anotando o número de homens e o número de mulheres. Veja que provavelmente chegaremos a uma conclusão absurda (muito mais mulheres do que homens). Essa distorção no resultado se deve ao fato de que, em regra, as mulheres costumam frequentar mais os salões de beleza do que os homens. Portanto, a nossa técnica de amostragem foi falha.

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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Passemos agora a uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos vistos na aula de hoje. Tente resolvê-los antes de ler a minha resolução! E já vá preparando o seu resumo com as fórmulas mais importantes! 16. FCC – SEFAZ/SP – 2010 – Adaptada) Em um setor de um órgão público é realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento, tem-se que 60% dos funcionários: (A) ganham até 3.000 reais. (B) ganham mais de 3.000 reais. (C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive. (D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive. (E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. RESOLUÇÃO: Como os itens versam sobre percentuais, já calculei na tabela abaixo as freqüências relativas e as freqüências relativas acumuladas. Para isso, é importante verificar que o total de funcionários é n = 50. Veja: Frequências relativas acumuladas

Salário

Frequências (fi)

Frequências relativas

1000

5

10%

10%

1500

10

20%

30%

2000

10

20%

50%

2500

12

24%

74%

3000

8

16%

90%

3500

3

6%

96%

4000

2

4%

100%

Com essa tabela em mãos, vamos analisar cada alternativa de resposta: (A) ganham até 3.000 reais.

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Falso. Veja na coluna das freqüências relativas acumuladas que 90% ganham até 3.000 reais. (B) ganham mais de 3.000 reais. Falso. Se 90% ganham até 3.000 reais, então 100% - 90% = 10% ganham mais de 3.000 reais. (C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive. Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500, 2.000 e 2.500 reais, temos 20% + 20% + 24% = 64%. (D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive. Verdadeiro. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 2.000, 2.500 e 3.000 reais, temos 20% + 24% + 16% = 60%. (E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500 e 3.000 reais, temos 20% + 16% = 36%. Resposta: C 17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos opostos. RESOLUÇÃO:

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O histograma é o gráfico barras com a distribuição de freqüências. Já o polígono de freqüências é o gráfico de linha representando essa mesma distribuição de freqüências, porém utilizando apenas os limites superiores de cada classe. Assim, ambos são representações gráficas de uma distribuição de freqüências. Resposta: D 18. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue o item a seguir: ( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma característica avaliada. RESOLUÇÃO: CORRETO. Considerando a característica “idade” das pessoas, definimos a variável Idade como sendo os valores desta característica em uma determinada amostra ou população. Resposta: C 19. CESPE – TRE/ES – 2011)

A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados. Prof. Arthur Lima


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( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. RESOLUÇÃO: Apesar de a tabela do enunciado ter utilizado intervalos de classe, repare que as variáveis “número de eleitores” ou “número de municípios”, não são contínuas. Afinal, é possível ter 20 eleitores, ou 21, mas não é possível ter 20,5 eleitores. Trata-se de variáveis discretas. Isto torna o item ERRADO. Porém atenção: também é possível utilizar intervalos para representar variáveis contínuas! Resposta: E

20. CESPE – TRE/ES – 2011)

Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir.

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( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. ( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. RESOLUÇÃO: ( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. Recorde-se da nossa definição de histograma: gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Entretanto, a variável “cargo” é qualitativa. Assim, por mais que possamos ordenar os cargos do menor para o maior, não podemos mensurar a diferença entre eles para dispor na escala horizontal do gráfico. É possível, sim, fazer um gráfico de barras que represente a variável cargo, mas este gráfico NÃO é um histograma, que representa apenas variáveis quantitativas. Item ERRADO.

( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. CORRETO. A variável “cargo” é qualitativa, como já dissemos, e os seus valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado estadual/distrital até presidente da república). Assim, esta variável é “ordinal”. Se não pudéssemos ordenar, esta variável seria qualitativa nominal. Um exemplo é a variável “sexo das pessoas”. Esta variável pode assumir dois valores qualitativos (masculino e feminino), porém estes valores não podem ser colocados em uma ordem crescente. Resposta: E C

21. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de a) R$ 1 375,00

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b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00 RESOLUÇÃO: Chamando de Si o salário de cada empregado, e sabendo que a média de salários dos 100 empregados (n = 100) é 1500, podemos dizer que: n

Média =

S i ∑ i 1 =

n 100

1500 =

S i ∑ i 1 =

100

Portanto, 100

S i ∑ i 1

=

1 5 00 × 1 0 0 = 1 5 0 0 0 0

=

Ou seja, a soma dos salários dos 100 empregados é de 150000 reais. Retirar 20 empregados que ganham 2500 reais cada, significa retirar 20x2500 = 50000 reais desta soma, sobrando 150000 – 50000 = 100000 reais. Além disso, o número de funcionários passou a ser de 80. Após essa retirada, é concedido aumento de 10% para os funcionários, o que faz a soma dos salários (100mil) aumentar em 10%, chegando a 110000 reais. Deste modo, para obter a nova média dos salários, basta dividir a soma total (110mil) pelo novo número de empregados (80): Média = 110000/80 = 1375 reais Resposta: A 22. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) 2011) A média aritmética das idades de 10 alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, um com 12 anos e outro com 18 anos, saírem dessa turma, a média aritmética das idades dos 8 alunos restantes será igual a: Prof. Arthur Lima


54


A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 RESOLUÇÃO: A média das idades dos 10 alunos da turma original é dada por: Média 15 =

=

∑ Xi

∑ Xi

n

10

Podemos assim obter o valor da soma das idades dos alunos:

∑ Xi

=

15 × 10 = 150

A soma das idades dos alunos ( ∑ Xi , na fórmula acima) pode ser representado por S + 12 + 18, ou simplesmente S + 30, onde S é a soma das idades dos 8 alunos que restaram na turma. Substituindo isso na equação acima, temos: t emos:

∑ Xi

=

150

S + 30 = 150 S = 120 Portanto, a soma das idades dos alunos que restaram na turma é de 120. Como são apenas 8 alunos restantes, a nova média será: Média = 120 / 8 = 15 (letra C) Note que a média se manteve, mesmo com a saída de 2 alunos. Isso porque foram retirados 2 alunos cuja média de idades era igual à média de idade do total, isto é, 15 anos: (18+12)/2 = 15. Se tivéssemos tirados 2 alunos muito velhos ou muito novos, a média com certeza se alteraria. Resposta: C

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23. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém a) 24% das empresas b) 16% das empresas. c) 9% das empresas. d) 7% das empresas. e) 5% das empresas. RESOLUÇÃO: Podemos representar os dados da tabela acima pela seguinte tabela:

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Classe (milhões de reais)

Frequências (Fi)

15 |--- 30

31

30 |--- 45

24

45 |--- 60

16

60 |---75

9

75 |---90

5

90 |---105

7

105 |---120

8


56


Calculando os pontos médios de cada classe, temos: Classe (milhões de reais)

Ponto médio (milhões de reais)

Frequências (Fi)

15 |--- 30

22,5

31

30 |--- 45

37,5

24

45 |--- 60

52,5

16

60 |---75

67,5

9

75 |---90

82,5

5

90 |---105

97,5

7

105 |---120

112,5

8

Com isso em mãos, podemos calcular o faturamento médio através da n

∑ ( PMi fórmula

Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi

. A coluna da direita da tabela abaixo nos auxilia a

i =1

implementar essa fórmula: Classe Ponto médio (milhões de (milhões de reais) reais)

Frequências (Fi)

PMi × Fi

15 |--- 30

22,5

31

697,5

30 |--- 45

37,5

24

900,0

45 |--- 60

52,5

16

840,0

60 |---75

67,5

9

607,5

75 |---90

82,5

5

412,5

90 |---105

97,5

7

682,5

105 |---120

112,5

8

900,0

Somando os valores da coluna da direita, temos:

n

∑ ( PMi

×

Fi ) = 5040 .

i =1

ainda que a soma da coluna das freqüências é

n

∑ Fi

=

100 .

i =1

Portanto, o faturamento médio é: Prof. Arthur Lima


57

Veja


∑ ( PMi Média =

×

i =1 n

∑ Fi

Fi ) =

5040 100

=

50,40

i =1

Este valor de faturamento (50,40 milhões de reais) está na 3ª classe (de 45 a 60 milhões de reais), que contém 16 empresas. Portanto, o percentual de empresas que se encontram nesta classe é igual a 16/100 = 16%. Resposta: B 24. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) A média aritmética discreta de uma população qualquer é dada pela seguinte formulação:

RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima


58


Veja que o exercício menciona POPULAÇÃO, e não AMOSTRA. Normalmente utilizamos X para representar a média amostral, e µ para representar a média populacional. Portanto, a fórmula correta para a média populacional é:

∑ X i

µ =

n

Temos isso na letra C. Resposta: C

25. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) Qual a variação (índice de aumento ou redução) do preço médio verificado na tabela de compras abaixo?

a) 25%. b) 33%. c) 50%. d) 125%. e) 133% RESOLUÇÃO: Vamos calcular o preço médio em cada ano, lembrando da fórmula para a média: Média = ∑

X i × F i ∑ F i

Veja que a coluna “Qtde.” apresenta o número de freqüências (Fi). Já a coluna a “Valor Total” apresenta o valor da multiplicação do preço unitário Xi pelo número de freqüências F i , ou seja, os produtos X i × F i da fórmula acima. Portanto, a média de cada ano será: Prof. Arthur Lima


59


Média(ano 0) = ∑

X i × F i 20 + 20 + 20 + 30 = = 1,5 F 10 20 10 20 + + + ∑ i e

Média(ano 1) =

∑ X i F i ∑ F i ×

=

40 + 60 + 40 + 40 = 2 20 + 30 + 20 + 20

Portanto, de um ano para o outro o preço médio variou: 2 − 1 = 33,3% 1,5 Resposta: B 26. FCC – Banco do Brasil – 2006) Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:

Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é (A) R$ 1 400,00 (B) R$ 1 230,00 (C) R$ 1 150,00 (D) R$ 1 100,00 (E) R$ 1 050,00 RESOLUÇÃO: Como temos uma tabela de frequência, podemos usar a fórmula: n

∑ ( Xi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Média =

Prof. Arthur Lima

400 × 4 + 550 × 8 + 1000 ×10 + 1400 ×16 +1800 × 2 4 + 8 +10 + 16 + 2


=

1050

60


Resposta: E 27. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é (A) 60. (B) 57. (C) 54. (D) 52. (E) 48. RESOLUÇÃO: Seja P a idade de Palmira e S a soma das idades dos 9 colegas restantes. Como a média destes 9 colegas seria 27 anos, então: Média dos restantes = S / 9 27 = S / 9 S = 27 x 9 = 243 anos Como a média total, incluindo a idade de Palmira, é de 30 anos, temos que: Média = (S + P) / 10 30 = (243 + P) / 10 P = 57 anos Resposta: B 28. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências.

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O número médio de caixas eletrônicos disponíveis por agência desse banco é igual a (A) 3,25. (B) 3,4. (C) 3,5. (D) 3,6. (E) 3,75. RESOLUÇÃO: A partir do gráfico temos a seguinte tabela de frequências: Xi

fi

1

10

2

15

3

49

4

33

5

37

6

6

Assim, a média é dada por:

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62


∑ ( Xi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

Média =

1× 10 + 2 × 15 + 3 × 49 + 4 × 33 + 5 × 37 + 6 × 6 10 + 15 + 49 + 33 + 37 + 6

=

3,6

Resposta: D 29. FCC – SPPREV – 2012) O professor de Biologia do Ensino Médio, após a correção das provas de sua turma, costuma organizar uma tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão. Observe os resultados da última prova:

O professor atribuiu apenas as notas 0 (zero) ou 1,25 (um inteiro e vinte e cinco centésimos), respectivamente, a cada questão errada ou certa e calculou a média das notas da prova. O resultado obtido foi (A) 6,0. (B) 4,5. (C) 4,0. (D) 5,0. (E) 5,5. RESOLUÇÃO: Podemos obter a nota média multiplicando o percentual de acertos em cada questão pela pontuação do acerto (1,25). Ou seja: Média = 40% x 1,25 + 25% x 1,25 + 75% x 1,25 + 70% x 1,25 + 60% x 1,25 + 35% x 1,25 + 45% x 1,25 + 50% x 1,25 Média = (40% + 25% + 75% + 70% + 60% + 35% + 45% + 50%) x 1,25 Média = 4 x 1,25 = 5 Resposta: D

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" Obs.: veja que quando trabalhamos com frequências relativas (%) não

precisamos dividir pela soma das frequências para obter a média. Isto porque a soma das frequências relativas é de 100%, ou seja, 1. 30. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45 com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é (A) R$ 6.000,00. (B) R$ 6.250,00. (C) R$ 6.500,00. (D) R$ 6.750,00. (E) R$ 7.000,00. RESOLUÇÃO: Seja S a soma dos salários dos funcionários de nível superior, e M a soma dos salários dos funcionários de nível médio. Portanto, as respectivas médias salariais são: Média nível superior = S / 45 Média nível médio = M / 80 Média total = (S + M) / 125 A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00: Média nível superior – Média nível médio = 1750 S / 45 - M / 80 = 1750 S / 45 = 1750 + M / 80 S = 78750 + 45M / 80 A média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$ 2.880,00: Média total = (S + M) / 125 2880 = (S + M) / 125 S + M = 360000 Prof. Arthur Lima


64


S = 360000 – M Como S = 78750 + 45M / 80 e também S = 360000 – M, então: 78750 + 45M / 80 = 360000 – M 80M/80 + 45M/80 = 360000 – 78750 125M/80 = 281250 M = 281250 x 80 / 125 M = 180000 S = 360000 – 180000 = 180000 Assim, Média nível superior = 180000 / 45 = 4000 Média nível médio = 180000 / 80 = 2250 A soma destas médias é 4000 + 2250 = 6250 reais. Resposta: B Instruções: Para resolver a questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que as frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

31. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Sabendo que x = 0,35 e y = 0,25, e utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva mediana é (A) R$ 3.120,00

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65


(B) R$ 3.200,00 (C) R$ 3.400,00 (D) R$ 3.600,00 (E) R$ 3.800,00 RESOLUÇÃO: Como o número de frequências é n = 1, através do método de interpolação linear sabemos que a mediana será o termo da posição n/2 = 0,5. Olhando a coluna das frequências acumuladas (tabela abaixo), vemos que esta posição encontra-se no intervalo de classe de 3000 a 4000 reais: Classe (valores arrecadados)

Frequências (Fi)

Frequências acumuladas (fac)

1000 |--- 2000

0,10

0,10

2000 |--- 3000

0,35

0,45

3000 |--- 4000

0,25

0,70

4000 |--- 5000

0,20

0,90

5000 |--- 6000

0,10

1,00

Montando a proporção, temos: Frequência: 0,45 0,50 0,70 |-----------------------------|----------------| Valores: 3000 X 4000 |-----------------------------|----------------| Assim, temos: 4000 − X 0,70 − 0,50 = 4000 − 3000 0,70 − 0,45 X = 3200 A mediana é igual a R$3200,00. Resposta: B

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66


Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

32. FCC – BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a: a) R$3500,00 b) R$3625,00 c) R$3650,00 d) R$3800,00 e) R$4000,00 RESOLUÇÃO: Na tabela dada, temos os salários distribuídos em intervalos. Ao todo temos 40 frequências, ou seja, n = 40. Portanto, o elemento que representa a mediana é o salário que se encontra na posição n/2 = 40/2 = 20 (atenção: dividimos n por 2, e não n+1, pois vamos utilizar o método da interpolação linear). Incluindo uma coluna a mais na tabela, para calcular as freqüências acumuladas, podemos ver que a freqüência 20 encontra-se no intervalo de 3000 a 4000: Frequências simples absolutas

Frequências acumuladas absolutas

1000 |--- 2000

2

2

2000 |---3000

8

10

3000 |--- 4000

16

26

4000 |--- 5000

10

36

5000 |--- 6000

4

40

Salários

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Portanto, precisamos montar uma proporção para obter um valor entre 3000 e 4000 que seja equivalente à posição 20. Veja isso no esquema abaixo: Frequência: 10 20 26 |-----------------------------|----------------| Salário: 3000 X 4000 |-----------------------------|----------------| Assim, temos: 4000 − X 26 − 20 = 4000 − 3000 26 − 10 Resolvendo essa equação, podemos obter o valor de X: 4000 − X 6 = 1000 16 4000 − X = 1000 × 0,375 X = 4000 − 375 = 3625 Resposta: B 33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas durante 12 dias, como é mostrado a seguir. 21°C, 17°C, 20°C, 15°C, 23°C, 21°C, 12°C, 15°C, 15°C, 16°C, 23°C, 11°C A moda e a mediana dessas temperaturas foram, respectivamente, de: A) 21°C e 17,4°C B) 23°C e 17°C C) 15°C e 16,5°C D) 11°C e 17°C E) 17°C e 16°C RESOLUÇÃO: Colocando as temperaturas em ordem crescente, temos: 11, 12, 15, 15, 15, 16, 17, 20, 21, 21, 23, 23 A moda é o valor com maior número de frequências. Veja que o 15 repete-se 3 vezes, portanto esta é a moda. Prof. Arthur Lima


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Já a mediana é o termo da posição (n+1)/2, isto é, (12+1)/2 = 6,5. Como esta não é uma posição exata, devemos tirar a média entre o termo anterior (6º) e o próximo (7º), que são 16 e 17. Assim, a mediana é igual a 16,5. Resposta: C. 34. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências absolutas dos salários dos funcionários de uma empresa em número de salários mínimos (S.M.):

O salário médio desses funcionários, obtido por meio dessa tabela, calculado como se todos os valores de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida faixa, foi de 3,8 S.M. Nessas condições, o salário mediano dos funcionários da empresa, calculado, através dessa tabela pelo método da interpolação linear, está compreendido no intervalo de S.M. dado por (A) 3,75

3,80

(B) 3,80

3,85

(C) 3,85

3,90

(D) 3,90

3,95

(E) 3,95 4,00 RESOLUÇÃO: Reescrevendo a tabela já com os pontos médios, temos: PMi

fi

2

30

3

x – 30

4

x

5

60

A média é dada por:

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∑ ( PMi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

3,8 =

2 × 30 + 3 × ( x − 30) + 4 × x + 5 × 60 30 + x − 30 + x + 60 270 + 7 x 3,8 = 2 x + 60 7, 6 x + 228 = 270 + 7 x x = 70

Portanto, a tabela de frequências é: Intervalo PMi

fi

1,5 |--- 2,5

2

30

2,5 |--- 3,5

3

40

3,5 |--- 4,5

4

70

4,5 |--- 5,5

5

60

Temos ao todo 200 frequências, de modo que a mediana (pelo método da interpolação linear) estará na posição n/2 = 200/2 = 100. Escrevendo a coluna das frequências acumuladas, vemos que a 100ª frequência está na classe 3,5|---4,5 : Intervalo

PMi

fi

faci

1,5 |--- 2,5

2

30

30

2,5 |--- 3,5

3

40

70

3,5 |--- 4,5

4

70

140

4,5 |--- 5,5

5

60

200

Montando a proporção: Frequências: 70 100 140 |-----------------------------|----------------| Valores: 3,5 X 4,5 |-----------------------------|----------------| Portanto, 140 - 100 140 - 70

=

4, 5 - X 4, 5 - 3, 5

X = 3,92 Prof. Arthur Lima


70


Este valor encontra-se no intervalo 3,90 Resposta: D

3,95.

35. FCC – TRE/SP – 2012) A distribuição de frequências absolutas abaixo refere-se aos salários dos 200 funcionários de um setor público no mês de dezembro de 2011.

Observação: fi é a frequência da i-ésima classe. O valor da mediana, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a R$4.625,00. Se 76 funcionários possuem um salário superior a R$ 5.000,00, então a porcentagem dos funcionários que possuem um salário de, no máximo, R$ 4.000,00 é igual a (A) 20%. (B) 24%. (C) 30%. (D) 32%. (E) 40%. RESOLUÇÃO: O enunciado nos diz que Mediana = 4625 e que f 4 + f5 = 76 (funcionários que ganham mais de 5000 reais). O total de frequências é f 1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 200. É solicitado o percentual representado pelo número de funcionários que ganham até 4000 reais, isto é, (f1 + f2) / 200. Pelo valor da mediana, vemos que ela se encontra na 3ª classe. Como temos 200 elementos, a mediana está na posição n/2 = 200/2 = 100. Pelo método da interpolação linear, temos:

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Frequências: Valores:

f1 + f2 100 f1 + f2 + f3 |-----------------------------|----------------| 4000 4625 5000 |-----------------------------|----------------|

Montando a proporção: ( f1 + f 2 + f 3 ) − 100

=

( f1 + f 2 + f 3 ) − ( f 1 + f 2 )

5000 − 4625 5000 − 4000

Aqui é importante notar que: f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 200 f1 + f2 + f3 = 200 – (f 4 + f5) f1 + f2 + f3 = 200 – 76 f1 + f2 + f3 = 124 Portanto, 124 −100

1000

f 3 f 3

375

=

=

64

Deste modo, f1 + f2 + f3 = 124 f1 + f2 + 64 = 124 f1 + f2 = 60 Assim, o percentual representado pelos funcionários que ganham até 4000 reais é: P = (f1 + f2) / 200 = 60 / 200 = 30% Resposta: C 36. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) As idades dos 10 alunos de uma turma de Inglês são respectivamente iguais a: 12; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 15; 15; 16.

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A moda desses dez valores corresponde a: A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 RESOLUÇÃO: A moda é definida como sendo aquele valor que mais se repete, isto é, com maior número de frequências. Veja que existem 4 alunos com a idade de 15 anos, 3 com 12, 2 com 13 e apenas 1 com 16. Portanto, a moda é igual a 15 anos. Resposta: B 37. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Em um setor de um órgão público é realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que (A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor. (B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da moda em R$ 250,00. (C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da mediana. (D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média aritmética. (E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$ 7.250,00. RESOLUÇÃO: Veja, inicialmente, que a moda é o salário R$2500,00, afinal ele é o que possui o maior número de frequências (12). Ao todo temos n = 50 frequências, número par. Como (n+1)/2 = 25,5, a mediana será o valor médio entre os termos 25 e 26. Como os valores dos salários já estão em ordem crescente (da esquerda para a direita), repare que o termo 25

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possui salário R$2000,00 e o termo 26 possui salário R$2500,00. Assim, a mediana será (2000 + 2500)/2 = 2250 reais. Por fim, a média é simplesmente: n

∑ X Média =

i ×

i =1

F i =

n

1000 × 5 + 1500 × 10 + 2000 ×10 + 2500 ×12 + 3000 × 8 + 3500 × 3 + 4000 × 2 50

∑ F i

i =1

Média

=

2250

Portanto, a média é igual à mediana, e a moda é superior a esses dois. Resposta: C 38. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27. c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. RESOLUÇÃO: A mediana será a idade abaixo da qual se encontrarem metade das freqüências. O primeiro passo aqui é colocar as idades em ordem: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41 Assim, temos ao todo n = 37 frequências. A mediana será a idade localizada na posição (n+1)/2 = (37+1)/2 = 19. Note que a 19ª posição é ocupada pela idade 27. Assim, mediana = 27.

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A moda é aquela idade que possui maior número de freqüências (repetições). Neste caso, veja que a idade 27 possui 6 repetições, mais do que qualquer outra. Portanto, moda = 27. Chegamos ao gabarito, que é a letra E. Para exercitar, veja como seria a tabela de freqüências, bem como as frequências acumuladas (identifique nessa tabela a mediana e a moda):

Idade

Freqüências (fi)

Freqüências acumuladas (fac)

23

2

2

24

3

5

25

4

9

26

5

14

27

6

20

28

4

24

29

3

27

30

1

28

31

1

29

32

2

31

33

1

32

34

1

33

35

1

34

36

1

35

39

1

36

41

1

37

TOTAL

37

37

Resposta: E 39. ESAF – AFRFB – 2005 – Adaptada) Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. Prof. Arthur Lima


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a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra acima da moda. d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. RESOLUÇÃO: Em uma distribuição com assimetria negativa, a existência de um prolongamento à esquerda “puxa” a média para baixo, tornando-a a menor das medidas de posição. Da mesma forma, o deslocamento do pico da curva para a direita torna a moda o maior dos três valores. Assim, temos: Média < Mediana < Moda Temos isso na letra B. Resposta: B 40. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100 indústrias.

Sabendo que 5y − 4x = 4, o valor da soma Média (X) + Mediana (X) + Moda (X) é igual a (A) 121,2. (B) 122,5. (C) 122,8. (D) 126,2. (E) 126,5. RESOLUÇÃO: Como o total de frequências é igual a 100, então: Prof. Arthur Lima


76


100 = 2y + 2y + 2x + y + 3y + 2x 100 = 8y + 4x 25 = 2y + x x = 25 – 2y Como foi dito que 5y − 4x = 4, então: 5y − 4x = 4 5y – 4 (25 – 2y) = 4 5y – 100 + 8y = 4 y=8 Logo, x = 25 – 2 . 8 = 9. Reescrevendo a tabela de frequências, temos: X

fi

10

16

20

16

30

18

40

8

50

24

60

18

Portanto, a média é: n

∑ ( Xi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi

=

3620 100

=

36,2

i =1

A moda é o valor com mais frequências, isto é, Moda = 50 (pois tem 24 frequências). Como temos n = 100 elementos, para obter a mediana devemos buscar a posição (n + 1) / 2 = (100 + 1) / 2 = 50,5. Isto é, devemos fazer média aritmética entre o 50º e 51º elementos. Escrevendo a coluna das frequências acumuladas, temos:

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77


X

fi

faci

10

16

16

20

16

32

30

18

50

40

8

58

50

24

82

60

18

100

Portanto, o 50º termo vale 30 e o 51º vale 40, de modo que a mediana é dada por: Mediana = (30 + 40) / 2 = 35 Somando média, moda e mediana temos: 36,2 + 50 + 35 = 121,2 Resposta: A Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

41. FCC – BACEN – 2006) A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o terceiro quartil, encontrados pelo método da interpolação linear, é: a) R$2500,00 b) R$2400,00 c) R$2150,00 d) R$2000,00 e) R$1400,00 RESOLUÇÃO:

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78


Temos ao todo n = 40 frequências. Assim, o primeiro decil está na posição n/10 = 40/10 = 4. Escrevendo abaixo a tabela de freqüências acumuladas, vemos que a posição 4 está na classe de 2000-3000 reais: Frequências simples absolutas


1000 |--- 2000

2

2

2000 |---3000

8

10

3000 |--- 4000

16

26

4000 |--- 5000

10

36

5000 |--- 6000

4

40

Salários

Portanto, precisamos montar uma proporção para obter um valor entre 2000 e 3000 que seja equivalente à posição 4. Veja isso no esquema abaixo: Frequência: 2 4 10 |-----------------------------|----------------| Salário: 2000 X 3000 |-----------------------------|----------------| Assim, temos: 3000 − X 10 − 4 = 3000 − 2000 10 − 2 Resolvendo essa equação, podemos obter o valor de X: 3000 − X 6 = 1000 8 X = 2250 O terceiro quartil está na posição 3n/4 = 3x40/4 = 30. Repetindo abaixo a tabela de freqüências acumuladas, vemos que a posição 30 está na classe de 40005000 reais:

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79


Frequências simples absolutas


1000 |--- 2000

2

2

2000 |---3000

8

10

3000 |--- 4000

16

26

4000 |--- 5000

10

36

5000 |--- 6000

4

40

Salários

Portanto, precisamos montar uma proporção para obter um valor entre 4000 e 5000 que seja equivalente à posição 30. Veja isso no esquema abaixo: Frequência: 26 30 36 |-----------------------------|----------------| Salário: 4000 X 5000 |-----------------------------|----------------| Assim, temos: 5000 − X 36 − 30 = 5000 − 4000 36 − 26 Resolvendo essa equação, podemos obter o valor de X: 5000 − X 6 = 1000 10 X = 4400 Portanto, a amplitude entre o primeiro decil e o terceiro quartil é: 4400 – 2250 = 2150 reais Resposta: C 42. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por Xi; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que

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80


A variância desta amostra apresenta o valor de (A) 67,3 (B) 63,0 (C) 61,0 (D) 59,7 (E) 57,0 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão devemos lembrar da fórmula para cálculo da variância amostral que não necessita da média ( X ) da distribuição: 1

 X i −  ∑ X i  ∑ n i 1 i 1  s2 = n

2

=

n

2

=

n −1

Veja que n = 10, e, além disso: 10

∑ X

2

i

=

7803 e

i =1

10

∑ X

i =

270

i =1

Substituindo esses valores na fórmula, temos: 7803 − s

2

=

1

( 270 )

2

10 10 − 1

s2

=

7803 −

72900 10 10 − 1

=

7803 − 7290 9

1

=

57

Resposta: E 43. ESAF – MDIC – 1998) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte:

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81


As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de preços i. Sabendo-se que

∑ (fi mi 2 ) ( ∑ fi mi )2 / 25 −

≈

694

assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) 0,5 (347/3)0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3)0.5 d) 28,91 e) 8 RESOLUÇÃO: Veja que nessa questão temos uma notação matemática diferente para os intervalos de classe. Neste caso, o colchete fechado [ significa que o limite inferior está incluído no intervalo, e o parênteses ) indica que o limite superior está excluído do intervalo. Quando temos os dados em intervalos de classes, como na tabela acima, e pretendemos usar os pontos médios (PMi) para obter o desvio padrão amostral, a fórmula abaixo é bem útil: 1

 2 × − × ( ) ( ) PM F PM F ∑ i i i i  ∑ n i 1 i 1  n

s=

n

=

2

=

n −1

Veja que a expressão

 ( PM i × Fi ) −  ∑ ( PM i × Fi )  ∑ n i 1  i 1 n

2

=

1

n

2

que temos nesta fórmula

=

é exatamente aquela dada no enunciado: Prof. Arthur Lima


82


∑ (fi mi 2 ) ( ∑ fi mi )2 / 25 −

≈

694

Portanto, s=

0,5

 347  =   12 

0,5

 347 

 694  =  25 − 1  24  694

 347  s=   4×3 

0,5

=

1   4

×

 347 

0,5

0,5

   3 

0,5

s = 0,5 × 

  3 

Resposta: A 44. ESAF – MDIC - 1998) No contexto da QUESTÃO ANTERIOR deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor aproxima este valor. a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2 RESOLUÇÃO: Temos n = 25 frequências. Como os dados estão em intervalos de classes, devemos utilizar o método de interpolação linear para calcular a mediana. Nossa primeira tarefa é descobrir em que classe se encontra a observação da posição n/2 = 25/2 = 12,5. Reescrevendo a tabela do enunciado, incluindo uma coluna para as freqüências acumuladas, temos:

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83


Classe de preços

Mi

Fi

Freqüências acumuladas

[5 – 9)

7

3

3

[9 – 13)

11

5

8

[13 – 17)

15

7

15

[17 – 21)

19

6

21

[21 – 25)

23

3

24

[25 – 29)

27

1

25

Repare na classe [13 – 17). A classe anterior a ela vai até a frequência 8, enquanto essa classe vai até a frequência 15. Portanto, a freqüência 12,5 deve estar nesta classe. Descoberta a classe da mediana, basta montar a seguinte proporção entre as freqüências e os valores: Frequência: 8 12,5 15 |-----------------------------|----------------| Salário: 13 X 17 |-----------------------------|----------------| Assim, temos a proporção: 15 − 12,5 17 − X = 15 − 8 17 − 13 2,5 17 − X = 7 4 X = 15,57 Resposta: A 45. ESAF – AFRFB – 2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X:

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84


Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

RESOLUÇÃO: A média é calculada por: n

∑ ( Xi Média

=

Fi )

×

i =1 n

∑ Fi i =1

Média =

2 × 6a + 1×1a + 2 × 3a

−

6a + 1a + 3a

0,5

= −

A variância de uma população (veja que o enunciado falou em frequências populacionais) é dada por: n

∑ ( Xi Variancia =

Variancia =

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−

X )2

1

n

(−2 + 0, 5)2 × 6a + (1 + 0,5)2 × 1a + (2 + 0,5)2 × 3a 10a


=

3,45

85


Resposta: A Texto para as 2 questões seguintes: O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m 2 relativos às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m 2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste). Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção C i v i l. S I NA P I / I BG E , n o v . / 2 0 0 8 ( c o m a d a p t a ç õ e s ) . 46. CESPE – CEHAP/PB – 2009) Com base nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada alternativa dada. A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é dada pelo cálculo abaixo: 700 + 660 + 670 + 640 + 630 = 660 Média = 5 Veja que este valor é inferior ao custo nacional. Item ERRADO.

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86


B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. Para obter a mediana dos custos médios regionais, devemos primeiro colocálos em ordem: 630, 640, 660, 670, 700 Veja que temos n = 5 valores. Como n é ímpar, a mediana será simplesmente o termo da posição central, que é a posição (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3. O 3º termo é o 660. Portanto, a mediana tem o mesmo valor do custo da região Sul. Item CORRETO. C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. Do total de 670 reais, temos que 400 referem-se a materiais. Para obter o percentual representado pelos materiais, podemos usar a regra de três abaixo: 670 ---------------- 100% 400 ---------------- X X = 59,7% Veja que os materiais representam menos de 65% do total. Portanto, o item está ERRADO. D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. O custo da região Nordeste é de 630, enquanto o da Sudeste é de 700. Para saber quanto o custo da região Sudeste representa em relação a região Nordeste, temos: 630 ---------------- 100% 700 ---------------- X X = 111,1% Portanto, o custo da região Sudeste é 11,1% (isto é, 111,1% - 100%) superior ao da região Nordeste. Item ERRADO. Resposta: B

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87


47. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por metro quadrado foi A) inferior a R$ 30,00. B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00. C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00. D) superior a R$ 50,01 RESOLUÇÃO: O cálculo do desvio padrão pode ser feito como vemos abaixo, lembrando que a média é X = 670 e n = 5: n

σ =

( X i ∑ i 1

−

X )2

=

n

σ =

(700 − 670)2 + (660 − 670)2 + (670 − 670)2 + (640 − 670) 2 + (630 − 670) 2 5

σ =

(30)2 + (−10)2 + (0)2 + (−30)2 + (−40)2 5

σ =

900 + 100 + 0 + 900 + 1600 5

=

700

Esse número é inferior a 30, pois 30 = 900 . Assim, a alternativa correta é a letra A. Resposta: A Obs.: veja que nessa questão eu usei a fórmula do desvio padrão populacional ( σ ), e não do desvio padrão amostral (s), uma vez que aqui foi fornecida toda a “população” de regiões do Brasil, e não apenas uma amostra. 48. ESAF – AFRFB – 2005) Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição:

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88


Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério de decisão: se a diferença X − 25 for maior que o valor

2σ x , então a campanha de divulgação n

surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado.

a) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,1 é maior que

2σ x = 1,53 . n

b) A campanha não surtiu efeito, pois X − 25 = 0 é menor que c) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,1 é maior que

2σ x = 1,41. n

d) A campanha não surtiu efeito, pois X − 25 = 0 é menor que e) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,5 é maior que

2σ x = 1,64 . n

2σ x = 1,53 . n

2σ x = 1,41. n

RESOLUÇÃO: Veja que na tabela temos classes de idades com intervalos. Assim, precisaremos calcular o ponto médio de cada intervalo para então calcular a média através da fórmula: n

∑ ( PMi Média =

×

Fi )

i =1 n

∑ Fi i =1

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89


Reproduzo abaixo a tabela, já incluindo os pontos médios: Idade (X)

Idade (ponto médio - PMi)

Freqüência (Fi)

Porcentagem

18 |---- 25

21,5

20

40

25 |---- 30

27,5

15

30

30 |---- 35

32,5

10

20

35 |---- 40

37,5

5

10

Assim, você pode colocar essas informações na fórmula acima e calcular a média. Ao invés disso, como já foi dada a porcentagem que cada freqüência representa, podemos utilizar essa informação para calcular a média: Média = 21,5 x 0,40 + 27,5 x 0,30 + 32,5 x 0,20 + 37,5 x 0,10 Média = 27,1 Portanto, X – 25 = 27,1 – 25 = 2,1. Com isso, ficamos entre as alternativas a e c (50% de chance de acertar no chute!). Para obter

2σ x , precisamos calcular o desvio padrão. Ele é dado por: n n

∑ [ Fi σ amostra

=

S =

×

( PMi − X ) 2 ]

1 n

∑ Fi

−

1

1

Para isso, podemos incluir outras colunas à direita da nossa tabela (suprimi a coluna “Porcentagem”, que não mais será útil): Idade (X)

PMi

Fi

PMi - X

(PMi – X )2 x Fi

18 |---- 25

21,5

20

-5,6

627,2

25 |---- 30

27,5

15

0,4

2,4

30 |---- 35

32,5

10

5,4

291,6

35 |---- 40

37,5

5

10,4

540,8

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90


A soma da última coluna é: n

∑ ( PM

i −

X ) 2 × Fi = 1462

i =1 n

E sabemos que

∑ F

i −

1 = 50 − 1 = 49 . Portanto,

i =1

σ amostra Portanto,

=

S =

1462 49

=

5,46

2σ x = 1,54. Portanto, temos a letra A. n

Resposta: A 49. ESAF – AFRFB – 2005) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.

Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 Prof. Arthur Lima


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b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3,2 e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 RESOLUÇÃO: Obs.: considere que o segundo intervalo é 2|--4, e não 2|--6 como aparece na tabela. Caso contrário seria impossível resolver. Teremos que calcular o desvio padrão e a média da população acima (veja que temos a população inteira, e não apenas uma amostra). Vamos iniciar calculando os pontos médios das classes de freqüências: Indicador (X)

Indicador (ponto médio - PMi)

Freqüência (Fi)

PMi x Fi

0 |---- 2

1

10

10

2 |---- 4

3

20

60

4 |---- 6

5

240

1200

6 |---- 8

7

410

2870

8 |-----10

9

120

1080

Somando a última coluna, temos que: n

∑ PM

i ×

F i = 5220

i =1

Portanto, a média será: n

∑ ( PMi Média =

×

Fi )

i =1

=5220/800 = 6,52

n

∑ Fi i =1

Vamos agora calcular o desvio padrão, com a fórmula abaixo: n

∑ ( Xi σ = Variancia

=

−

X ) 2

1

n

Você pode fazer isso preenchendo as colunas da direita da tabela abaixo: Prof. Arthur Lima


92


Indicador (ponto médio PMi)

Freqüência (Fi)

PMi – X

(PMi – X )2

(PMi – X )2 x Fi

1

10

-5,52

30,47

304,7

3

20

-3,52

12,39

247,8

5

240

-1,52

2,31

554,5

7

410

0,48

0,23

94,46

9

120

2,48

6,15

738,04

Somando a última coluna, temos que: n

∑ ( PM

i −

X ) 2 × Fi = 1939,52

i =1 n

Como

∑ F

i =

800 , então:

i =1

σ =

1939,52 800

=

1,55

O limite inferior estabelecido foi: LI = Média – 2x σ LI = 6,52 – 2x1,55 = 3,42 O limite superior estabelecido foi: LS = Média + 2xσ LS = 6,52 + 2x1,55 = 9,62 Resposta: E 50. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Seguem algumas observações de uma variável aleatória: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 1, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9

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93


Considerando que as observações apresentadas acima constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X. Considere que:

a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão vamos usar a seguinte fórmula: 1

 X i 2 −  ∑ X i  ∑ n i 1 1  s2 = i n

=

n

2

=

n −1

Foi dado que n = 23, e que: n

n

∑ X

i

2

=

8676

∑ X

e

i =

388

i =1

i =1

Portanto,

 2 X X − ∑ i ∑ i  n i 1 i 1  n

s2

=

s2

=

1

=

n

=

n −1

2

8676 − =

1

( 388)

2

23 23 − 1

96,84

Resposta: A

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94


51. CEPERJ –SEFAZ/RJ – 2011) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância σ 2 . Seja Y variável aleatória α + β X , onde β é uma constante positiva. Se a média de Y for igual a zero e sua variância for unitária, então α e β serão, respectivamente, iguais a: a)

−

σ e σ µ

b) µ e σ 2 c)

−

µ 1 e σ σ

d) 0 e 1 e)

µ e σ σ

RESOLUÇÃO: Se Y = α + β X , então a média de Y será: α + β × µ . Como o exercício disse que essa média é igual a 0, então: α + β × µ = 0

Já a variância de Y será igual a β 2 × σ 2 . Como o exercício disse que essa variância é unitária, então: β 2 × σ 2

=

1

Da última equação podemos isolar o valor de β : β 2

β =

=

1

σ 2

1

σ

2

=

1

σ

Agora, podemos voltar na primeira equação para isolar o valor de α : α + β × µ = 0 α

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= −

β

×

µ


95

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ CAIXA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" µ 1 α = −   × µ = − σ σ 

Resposta: C. 52. FCC – ARCE – 2012) O desvio padrão e a média de uma população de tamanho N são dados, respectivamente, por 2 e 3. A soma dos quadrados dos elementos dessa população é igual a 390. Nessas condições, o valor de N é (A) 90. (B) 80. (C) 60. (D) 40. (E) 30. RESOLUÇÃO: Como a média desta população é igual a 2, então: n

∑ Xi 2=

i =1

N

n

∑ Xi

=

2 N

i =1

Como o desvio padrão é 3, então a variância é σ 2 = 9 . Foi dito ainda que a soma dos quadrados dos elementos é 390, ou seja,

n

∑ X

i

2

=

390 .Lembrando que:

i =1

1

 X i 2 −  ∑ X i  ∑ N  i 1  σ 2 = i 1 n

=

n

2

=

N

Temos: 390 − 9= 9= 9 N

1

( 2 N )

2

N N

390 − 4 N

=

N 390 − 4 N

N = 30

Resposta: E

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96


53. ESAF – AFRFB – 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos: a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% RESOLUÇÃO: O coeficiente de variação é dado pela divisão do desvio padrão pela média de cada amostra. Para a amostra A, a média é: n

X A

=

X i ∑ i 1 =

n

=

39 + 33 + 25 + 30 + 41 + 36 + 37 = 34,42 7

Para a amostra B, temos: n

X B =

X i ∑ i 1 =

n

=

50 + 52 + 47 + 49 + 54 + 40 + 43 = 47,85 7 n

∑ ( X O desvio-padrão, calculado utilizando a fórmula σ =

i −

1

n

X )2

, pode ser

obtido com auxílio da tabela abaixo: XA

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( X i

−

X )

( X i

−

X )

39

4,57

20,90

33

-1,42

2,04

25

-9,42

88,90

30

-4,42

19,61

41

6,57

43,18

36

1,57

2,47


97


Somando a coluna da direita, temos que: n

∑ ( X

i −

X )2

=

183, 71

1

Portanto, n

∑ ( X σ A

=

X )2

i −

1

183,71

=

n −1

=

6

5,53

Para B, temos: XB

( X i

−

( X i

X )

−

X )

50

2,14

4,59

52

4,14

17,16

47

-0,86

0,73

49

1,14

1,31

54

6,14

37,73

40

-7,86

61,73

Somando a coluna da direita, temos que: n

∑ ( X

i −

X )2

=

146,86

1

Portanto, n

∑ ( X σ B

=

i −

1

X )2 =

n −1

146,86 6

=

4,94

Assim, podemos calcular os coeficientes de variação: CVA = 5,53 / 34,42 = 0,1607 = 16,07% CVB = 4,94 / 47,85 = 0,1034 = 10,34% Resposta: B 54. FCC – BACEN – 2006) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar:

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a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, temse que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados. b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero. d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. RESOLUÇÃO: Vamos analisar as alternativas: a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem- se que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados. Quando multiplicamos todos os elementos de uma amostra por um número, a média é multiplicada pelo mesmo número, já a variância é multiplicada pelo quadrado desse número. Item Falso. b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. Falso. Para que a diferença entre a variância e o desvio padrão seja nula, é preciso que eles sejam iguais. Sabendo que a variância ( σ 2 ) é igual ao quadrado do desvio padrão ( σ ), vejamos os casos onde eles podem ser iguais: σ

=

σ 2

Essa igualdade é respeitada quando σ = 0 . Mas repare que ela também é respeitada quando σ = 1 , afinal 1 = 12. Item Falso. c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero.

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Numa distribuição simétrica, pode ser que a média e a moda sejam iguais, tornando a diferença igual a zero. Além disso, pode ser que a moda seja maior que a média, de modo que a diferença entre eles é menor que zero. Item Falso. d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. O coeficiente de variação é dado pela divisão entre desvio padrão e média. Sabemos que, ao multiplicar todos os valores de uma amostra por um número, a média é multiplicada por aquele número, assim como o desvio padrão. Portanto, a divisão entre eles não se altera. Item Verdadeiro. e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. O coeficiente de variação é igual à divisão do desvio padrão pela média aritmética. Item Falso. Resposta: D 55. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, temse que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores. RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima


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Vamos analisar cada alternativa: a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 Multiplicando ou dividindo todos os elementos de uma amostra por um número, o desvio padrão fica multiplicada ou dividido pelo mesmo número (e a variância pelo quadrado desse número). Item Falso. b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero A mediana, moda e média podem ser iguais em distribuições simétricas. Neste caso, a diferença entre mediana e moda é igual a zero. Item Falso. c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 Multiplicando todos os elementos de uma amostra por um número, a variância é multiplicada pelo seu quadrado. Neste caso, por 1,21. Item Falso. d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média Como

σ CV = , µ

temos que

σ 2 µ 2

=

CV 2 .

Ou seja, dividindo a variância (que é o

quadrado do desvio padrão) pelo quadrado da média, não se obtém CV, mas sim o quadrado de CV. Item Falso. e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem- se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores. Item Verdadeiro, pois ao somar/subtrair um valor fixo em todos os elementos de uma amostra, o desvio padrão não é alterado. Resposta: E

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56. ESAF – IRB – 2006) O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se a) média. b) variação ou dispersão dos dados. c) mediana. d) correlação ou dispersão. e) moda. RESOLUÇÃO: Como vimos nessa aula, analisamos a dispersão dos dados em torno de um valor médio através das medidas de dispersão dos dados (letra B). A média, mediana e moda são medidas de posição. A correlação, por sua vez, é uma medida de associação entre 2 variáveis aleatórias. Resposta: B 57. FCC – TRE/SP – 2012) Considere duas variáveis X e Y representando o peso (em kg) e a altura (em cm), respectivamente, dos 100 sócios de um clube. Em um censo realizado neste clube, foram apurados os seguintes resultados:

Xi e Yi são o peso e a altura, respectivamente, do i-ésimo sócio (i = 1, 2, 3, . . . ,100). Está correto afirmar que o coeficiente de variação de (A) X é maior que o coeficiente de variação de Y. (B) X é igual a 9%. (C) Y é igual a 10%. (D) X é igual à metade do coeficiente de variação de Y. (E) Y terá seu valor modificado caso seja alterada em seu cálculo a unidade de medida de centímetro para metro. RESOLUÇÃO: A média de X é:

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Média =

∑ Xi i =1

=

6000

=

60

=

160

100

n

A média de Y é: n

∑ Yi i =1

Média =

=

16000

n

100

A variância de X é dada por: 1

 X i −  ∑ X i  ∑ n i 1  σ 2 = i 1 n

2

n

=

2

363600 −

=

1

100 100

=

n

( 6000 )

2

=

36

Portanto, o seu desvio padrão é: σ

σ 2

=

36

=

=

6

A variância de Y é dada por:  − Y Y ∑ i ∑ i  n i 1  i 1 2 σ = n

2

1

=

n

2

2662400 −

=

1

100 100

=

n

(16000 )

2

=

1024

Portanto, o seu desvio padrão é: σ

=

σ 2

=

1024

=

32

Logo, os coeficientes de variação são:

CV = CV X CV Y

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=

=

σ

6

=

0,1

=

0,2

60 32 160


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Logo, o coeficiente de variação de X é igual à metade do coeficiente de variação de Y. Resposta: D 58. FGV – Senado Federal – 2008) A respeito dos principais tipos de amostragem, é correto afirmar que: a) a amostragem sistemática possui caráter não-probabilístico. b) na amostragem aleatória estratificada há a possibilidade de que nenhuma unidade de um ou mais estratos sejam selecionadas. c) as informações obtidas através de uma amostragem acidental permitem a obtenção de inferências científicas de características da população. d) na amostragem de conglomerados todos os conglomerados são sempre selecionados. e) a amostragem estratificada é geralmente mais eficiente do que a amostragem aleatória simples de mesmo tamanho. RESOLUÇÃO: a) a amostragem sistemática possui caráter não-probabilístico. Falso. A técnica de amostragem sistemática é científica, isto é, probabilística (ou casual). b) na amostragem aleatória estratificada há a possibilidade de que nenhuma unidade de um ou mais estratos sejam selecionadas. Falso. Na amostragem estratificada é preciso selecionar indivíduos de todos os estratos. c) as informações obtidas através de uma amostragem acidental permitem a obtenção de inferências científicas de características da população. Falso. A amostragem acidental é considerada não-probabilística, não permitindo a obtenção científica de características da população. d) na amostragem de conglomerados todos os conglomerados são sempre selecionados. Falso. Ao criar os conglomerados (ex.: quarteirões de um bairro), selecionaremos apenas alguns deles, aleatoriamente, para a nossa análise. Prof. Arthur Lima


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e) a amostragem estratificada é geralmente mais eficiente do que a amostragem aleatória simples de mesmo tamanho. Verdadeiro. A amostragem estratificada é mais elaborada, pois nos “obriga” a selecionar indivíduos de todos os estratos, tendo uma visão melhor do total da população. Ex.: na pesquisa sobre o percentual de homens no bairro, fomos obrigados a analisar indivíduos de todas as idades presentes na população. Resposta: E 59. FCC – TRT/3ª – 2009) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, (A) censo e amostragem por conglomerados. (B) amostragem aleatória e amostragem sistemática. (C) censo e amostragem casual simples. (D) amostragem estratificada e amostragem sistemática. (E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. RESOLUÇÃO: No caso do nível educacional, analisou-se todos os indivíduos da população. Portanto, efetuou-se um censo. No caso da renda, selecionou-se aleatoriamente (isto é, ao acaso) 300 indivíduos, que serviram de amostra. Trata-se, portanto, da técnica de amostragem aleatória (ou casual) simples. Resposta: C 60. CESPE – TJ/ES – 2011) No 2011) No que concerne aos planos amostrais, julgue os itens a seguir. ( ) Tanto na amostragem estratificada quanto na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos. Na amostragem por conglomerados, de cada grupo

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seleciona-se um conjunto de elementos; na amostragem estratificada, devem-se selecionar quais estratos serão amostrados e, desses, observar todos os elementos. RESOLUÇÃO: Na amostragem por conglomerados, dividimos uma população em grupos (por exemplo, dividimos os habitantes de uma cidade de acordo com os bairros que habitam), escolhemos alguns grupos para formar a amostra (3 bairros, por exemplo) e analisamos todos os indivíduos destes grupos. Na amostragem estratificada, também dividimos uma população em grupos com alguma característica em comum (ex.: crianças, jovens, adultos e idosos) e, dentro de cada um destes grupos, selecionamos uma quantidade de indivíduos para formarem a amostra (ex.: selecionamos 10% dos indivíduos de cada faixa etária). Isto é o contrário do que foi afirmado no enunciado. Item ERRADO. Resposta: E 61. CESPE – STM – 2011) 2011) Com relação aos planos amostrais, julgue o próximo item. ( ) A diferença principal entre amostragem estratificada e amostragem por conglomerados é que, no caso da estratificada, a população é dividida artificialmente em estratos, e, no caso da amostragem por conglomerados, a população já é naturalmente dividida em subpopulações. RESOLUÇÃO: Na amostragem estratificada é que a população já é naturalmente dividida em subpopulações. Por exemplo, ao analisar os indivíduos de uma cidade, um exemplo de divisão natural em estratos é: crianças, jovens, adultos, idosos. Em cada um desses estratos será analisada uma quantidade de indivíduos. Já na amostragem por conglomerados, a divisão feita é artificial. Por exemplo, podemos selecionar os indivíduos que habitam 3 bairros e, então, analisar todos os integrantes destas subpopulações. Item ERRADO. Resposta: E 62. FUNIVERSA – 2010 – CEB) CEB) Para saber das condições dos animais de uma fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma Prof. Arthur Lima


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amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais dessa fazenda.

Com base nessas informações, a quantidade de bovinos e suínos que serão usados na pesquisa é de a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 RESOLUÇÃO: Observe que ao todo temos uma população de 900 animais, dos quais devemos escolher 15. Destes 900, 300 são bovinos e 250 são suínos, totalizando 550. A regras de três simples abaixo nos permite calcular quantos bovinos e suínos teremos na amostra: 15 animais na amostra ---------------------------------- 900 animais ao todo X bovinos e suínos na amostra ---------------------------- 550 bovinos e suínos ao todo 900X = 15 x 550 X = 9,1 bovinos e suínos na amostra Resposta: E 63. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A respeito das técnicas de amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados. b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo. Prof. Arthur Lima


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c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados. d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados. e) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. RESOLUÇÃO: a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados. CORRETO. Primeiro são criados os grupos (conglomerados), e deles apenas alguns serão analisados. b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo. CORRETO. Os estratos caracterizam-se por serem constituídos de elementos que possuam características semelhantes entre si, sendo mais homogêneos do que o restante da população. c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados. CORRETO. Qualquer elemento da amostra tem a mesma probabilidade de ser selecionado, pois a amostragem é puramente aleatória. d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados. ERRADO. Veja que nem tratamos sobre este tipo de amostragem. Não se trata de uma amostragem probabilística. Trata-se de uma amostragem onde é necessário a concordância de voluntários para participarem da amostra, como ocorre nas amostragens para testes de novos remédios. e) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente.

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CORRETO. Define-se uma regra, ou sistema de seleção, e com isso os elementos são retirados periodicamente (de acordo com o critério). Resposta: D 64. CESPE – CORREIOS – 2011) Um analista deseja inspecionar um lote de 500 pacotes com encomendas internacionais. Como essa inspeção requer a abertura de cada pacote, ele decidiu fazê-la por amostragem, selecionando n pacotes desse lote. O analista dispõe de um cadastro que permite localizar precisamente cada pacote do lote por meio de um código de identificação. Com base nessas informações e nos conceitos de amostragem, julgue os itens a seguir. ( ) Considere que o lote de pacotes seja dividido em dois estratos segundo a massa de cada pacote: o primeiro, formado por 400 pacotes que possuem massas inferiores a 1 kg, e o segundo, por 100 pacotes com massas superiores a 1 kg. Nessa situação, se o analista efetuar uma amostragem estratificada de tamanho n = 50 com alocação uniforme, então essa amostra deverá contemplar 40 pacotes do primeiro estrato e 10 pacotes do segundo. ( ) A disponibilidade do cadastro permite que o analista efetue uma seleção por amostragem aleatória simples ou por amostragem sistemática com base nos códigos de identificação dos pacotes ( ) Se o analista optar pela amostragem sistemática, a seleção de uma amostra de tamanho n = 50 será efetuada de 10 em 10 pacotes, e o primeiro pacote a ser inspecionado será, necessariamente, o primeiro pacote registrado no cadastro. RESOLUÇÃO: ( ) Considere que o lote de pacotes seja dividido em dois estratos segundo a massa de cada pacote: o primeiro, formado por 400 pacotes que possuem massas inferiores a 1 kg, e o segundo, por 100 pacotes com massas superiores a 1 kg. Nessa situação, se o analista efetuar uma amostragem estratificada de tamanho n =

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50 com alocação uniforme, então essa amostra deverá contemplar 40 pacotes do primeiro estrato e 10 pacotes do segundo. ERRADO. Na amostragem estratificada uniforme, seleciona-se igual quantidade de elementos de cada estrato (neste exemplo, 25 elementos de cada estrato para formar a amostra de 50 elementos). No caso da amostragem estratificada proporcional as quantidades de elementos selecionadas de cada estrato seriam proporcionais à sua representatividade na população, e aí sim seriam escolhidos 40 pacotes do primeiro estrato e 10 pacotes do segundo estrato. ( ) A disponibilidade do cadastro permite que o analista efetue uma seleção por amostragem aleatória simples ou por amostragem sistemática com base nos códigos de identificação dos pacotes CORRETO. Um exemplo de amostragem sistemática seria escolher apenas os pacotes cujo código de identificação termine em 5. ( ) Se o analista optar pela amostragem sistemática, a seleção de uma amostra de tamanho n = 50 será efetuada de 10 em 10 pacotes, e o primeiro pacote a ser inspecionado será, necessariamente, o primeiro pacote registrado no cadastro. ERRADO. O analista pode começar pelo segundo pacote, e a partir daí escolher o 12º, 22º, 32º e assim por diante. Resposta: E C E 65. CESPE – FUB – 2011) Com relação às técnicas de amostragem de populações finitas, julgue os seguintes itens. ( ) As amostragens aleatórias simples, sistemática, estratificada e por cotas representam planos de amostragem probabilísticos RESOLUÇÃO: ERRADO. A amostragem por cotas não faz parte do rol de técnicas probabilísticas de amostragem que estudamos nesta aula. Trata-se do caso onde o analista define grupos populacionais (a exemplo da amostragem estratificada) porém escolhe quantidades pré-definidas (“cotas”) de elementos dentro de cada grupo. Resposta: E

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66. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) A amostragem estratificada proporcional, a amostragem por cotas e a amostragem por conglomerados são, respectivamente, amostragem: a) Não Casual, Casual e Casual. b) Não Casual, Não Casual e Casual. c) Casual, Não Casual e Não Casual. d) Casual, Não Casual e Casual. e) Casual, Casual e Casual. RESOLUÇÃO: Sabemos que as amostragens estratificada proporcional e por conglomerados são probabilísticas, isto é, casuais. Já a amostragem por cotas não é probabilística, sendo não casual. Assim, temos: casual, não casual, casual. Resposta: D 67. CESPE – MS – 2010) Para estimar o salário médio mensal, os 5.000 empregados de uma empresa foram divididos em quatro estratos: homens com menos de 40 anos de idade, homens com mais de 40 anos de idade, mulheres com menos de 40 anos de idade e mulheres com mais de 40 anos de idade, conforme a tabela a seguir.

Uma amostra estratificada proporcional de 200 empregados apresenta os seguintes salários médios observados nos estratos, em R$:

De acordo com os dados acima, julgue os próximos itens.

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( ) A amostra consiste de 48 homens com menos de 40 anos, 72 homens com mais de 40 anos, 24 mulheres com menos de 40 anos, e 56 mulheres com mais de 40 anos. RESOLUÇÃO: Veja que os homens com menos de 40 anos são 1200 de 5000 empregados. Assim, na amostra de 200 elementos, eles serão: 5000 empregados ao todo -------------------- 200 elementos no total da amostra 1200 homens com menos de 40 -------------- X homens com menos de 40 na amostra 5000X = 1200 x 200 X = 48 homens com menos de 40 Os homens com mais de 40 anos são 1800 na população. Assim, na amostra serão: 5000 empregados ao todo -------------------- 200 elementos no total da amostra 1800 homens com mais de 40 -------------- X homens com mais de 40 na amostra 5000X = 1800 x 200 X = 72 homens com mais de 40 Analogamente, para as mulheres temos: 5000 empregados ao todo -------------------- 200 elementos no total da amostra 1400 mulheres com menos de 40 -------------- X mulheres com menos de 40 na amostra

5000X = 1400 x 200 X = 56 mulheres com menos de 40 5000 empregados ao todo -------------------- 200 elementos no total da amostra 600 mulheres com mais de 40 -------------- X mulheres com mais de 40 na amostra 5000X = 600 x 200 Prof. Arthur Lima


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X = 24 mulheres com mais de 40 O item está ERRADO porque os números das mulheres com menos e mais de 40 anos encontram-se trocados. Resposta: E 68. FCC – TRT/9ª – 2010) Com relação à teoria geral de amostragem, considere: I. A realização de amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista completa, descrevendo cada unidade amostral. II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. III. Em uma amostra por conglomerados, a população é dividida em sub-populações distintas. IV. Na amostragem em dois estágios, a população é dividida em dois grupos: um será o grupo controle e o outro será o experimental. É ERRADO o que consta APENAS em a) II e III. b) I, II e III. c) I e II. d) Nenhuma das afirmativas. e) I e III. RESOLUÇÃO: I. A realização de amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista completa, descrevendo cada unidade amostral. CORRETO. É preciso ter acesso a todos os elementos da população para se efetuar a amostragem aleatória simples.

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II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. CORRETO. Cada elemento só pode ser associável a 1 dos estratos. Deste modo, os estratos devem excluir-se mutuamente. III. Em uma amostra por conglomerados, a população é dividida em sub-populações distintas. CORRETO. A população é dividida em grupos, ou sub-populações, chamadas de conglomerados. Resposta: D 69. FCC – MPU – 2007 – Adaptada) Com relação à teoria geral de amostragem, é correto afirmar que: a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada sem reposição. b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando comparada com o método de amostragem aleatória simples. c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente exclusivos. d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das estimativas. e) a amostragem aleatória simples, ao contrário da amostragem por cotas, é uma técnica probabilística. RESOLUÇÃO: a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada sem reposição. ERRADO. É possível fazer a amostragem aleatória simples com ou sem reposição. b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando comparada com o método de amostragem aleatória simples.

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ERRADO. A amostragem por conglomerados é mais econômica, pois nela nos concentramos em apenas alguns grupos (conglomerados), evitando gastos com deslocamentos excessivos para efetuar uma pesquisa. c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente exclusivos. ERRADO. Cada elemento da população deve ser compatível com apenas um estrato, de modo que os estratos devem ser mutuamente exclusivos. d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das estimativas. ERRADO. O aumento do tamanho da amostra reduz o erro das estimativas. e) a amostragem aleatória simples, ao contrário da amostragem por cotas, é uma técnica probabilística. CORRETO. Vimos que a amostragem aleatória simples é uma técnica probabilística, enquanto a amostragem por cotas é não probabilística. Resposta: E 70. FCC – Banco do Brasil – 2006) O histograma de freqüências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro de 2005:

Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num

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115


certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é (A) 6,25% (B) 12,50% (C) 18,75% (D) 31,25% (E) 32,00% RESOLUÇÃO: A partir do gráfico fornecido podemos formar a seguinte tabela: Classe de salários

Ponto médio (PMi)

Frequências (fi)

0 – 0,5

0,25

0

0,5 – 1,0

0,75

10

1,0 – 1,5

1,25

20

1,5 – 2,0

1,75

40

2,0 – 2,5

2,25

50

2,5 – 3,0

2,75

30

3,0 – 3,5

3,25

10

Portanto, a média é: X =

∑ PM ∑ f

i ×

f i

=

i

0, 25 × 0 + 0, 75 ×1 0 + 1, 2 5× 20 + 1, 75 × 40 + 2, 25 × 50 + 2, 75 × 30 + 3, 25× 1 0

=

160

2,0625

Portanto, a média salarial encontra-se no intervalo 2,0 – 2,5. Observando o gráfico, vemos que 50 dos 160 empregados encontram-se nessa faixa salarial. Escolhendo um empregado ao acaso, a chance de ele se encontrar neste mesmo intervalo é de 50 em 160, ou seja, 50/160 = 0,3125 = 31,25%. Resposta: D ******************************************** Fim de aula e fim de curso! Agradeço bastante a sua confiança em mim depositada. Espero que os conceitos vistos ao longo destas 10 aulas sejam decisivos para a sua aprovação neste concurso da CAIXA.

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Saudações, Prof. Arthur Lima 3. LISTA DE QUESTÕES VISTAS NA AULA 1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatística. ( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas ordenável e discreta, respectivamente. Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabese que: I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do segundo intervalo.

2. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40%

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3. ESAF – IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são: a) polígonos de freqüência acumulada. b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. c) histograma de distribuição de freqüência. d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual. e) o equivalente à amplitude do intervalo. Instruções: Para resolver à questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).

4. FCC – SEFAZ/SP – 2009) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% Prof. Arthur Lima


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5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado por ele será de: a) 5,5 b) 6,0 c) 6,5 d) 7,0 e) 7,5 6. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 7. FCC – SEFAZ/SP – 2006) O histograma de frequências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita.

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Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: a) R$100,00 b) R$400,00 c) R$800,00 d) R$900,00 e) R$1000,00 8. ESAF – SEFAZ/CE – 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: a) 3, 6 e 5. b) 3, 4 e 5. c) 10, 6 e 5. d) 5, 4 e 3. e) 3, 6 e 10. Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

9. FCC – BACEN – 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber*, é igual a (desprezar os centavos na resposta) Dados:

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Z max − Zant * Moda = Li + h 2.Z max − (Zant + Zpost ) em que: Li = limite inferior da classe modal h = intervalo de classe modal Zmax = freqüência da classe modal Zant = freqüência da classe anterior à classe modal Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal a) R$3201,00 b) R$3307,00 c) R$3404,00 d) R$3483,00 e) R$3571,00 10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva a) Simétrica. b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita. e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. 11. ESAF – AFRFB – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. Prof. Arthur Lima


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a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 12. ESAF – ATRFB – 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e fi a respectiva frequência. xi : 5 6 7 8 9 fi : 2 6 6 4 3 a) 1,429. b) 1,225. c) 1,5. d) 1,39. e) 1,4. 13. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Considerando que uma série de observações constituem uma amostra aleatória simples X 1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X. Considere que:

a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73

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14. CESPE – MEC – 2009) Merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. ( ) A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a 225. ( ) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. 15. FCC – BACEN – 2006) Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com uma variância de d 2 centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um 20 d centímetros. Se o correspondente coeficiente de 21 variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de a) 162,0 cm b) 164,6 cm c) 164,8 cm d) 166,4 cm e) 168,2 cm desvio padrão igual a

16. FCC – SEFAZ/SP – 2010 – Adaptada) Em um setor de um órgão público é realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento, tem-se que 60% dos funcionários: (A) ganham até 3.000 reais. (B) ganham mais de 3.000 reais. (C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive. Prof. Arthur Lima


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(D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive. (E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. 17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos opostos. 18. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue o item a seguir: ( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma característica avaliada. 19. CESPE – TRE/ES – 2011)

A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados. Prof. Arthur Lima


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( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua.

20. CESPE – TRE/ES – 2011)

Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir. ( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. ( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal.

21. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de a) R$ 1 375,00 Prof. Arthur Lima


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b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00 22. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) A média aritmética das idades de 10 alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, um com 12 anos e outro com 18 anos, saírem dessa turma, a média aritmética das idades dos 8 alunos restantes será igual a: A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 23. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém a) 24% das empresas b) 16% das empresas.

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c) 9% das empresas. d) 7% das empresas. e) 5% das empresas. 24. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) A média aritmética discreta de uma população qualquer é dada pela seguinte formulação:

25. ESAF – SEFAZ/CE - 2006) Qual a variação (índice de aumento ou redução) do preço médio verificado na tabela de compras abaixo?

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a) 25%. b) 33%. c) 50%. d) 125%. e) 133% 26. FCC – Banco do Brasil – 2006) Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:

Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é (A) R$ 1 400,00 (B) R$ 1 230,00 (C) R$ 1 150,00 (D) R$ 1 100,00 (E) R$ 1 050,00 27. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é (A) 60. (B) 57. (C) 54. Prof. Arthur Lima


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(D) 52. (E) 48. 28. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências.

O número médio de caixas eletrônicos disponíveis por agência desse banco é igual a (A) 3,25. (B) 3,4. (C) 3,5. (D) 3,6. (E) 3,75. 29. FCC – SPPREV – 2012) O professor de Biologia do Ensino Médio, após a correção das provas de sua turma, costuma organizar uma tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão. Observe os resultados da última prova:

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O professor atribuiu apenas as notas 0 (zero) ou 1,25 (um inteiro e vinte e cinco centésimos), respectivamente, a cada questão errada ou certa e calculou a média das notas da prova. O resultado obtido foi (A) 6,0. (B) 4,5. (C) 4,0. (D) 5,0. (E) 5,5. 30. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45 com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é (A) R$ 6.000,00. (B) R$ 6.250,00. (C) R$ 6.500,00. (D) R$ 6.750,00. (E) R$ 7.000,00. Instruções: Para resolver a questão seguinte (FCC – SEFAZ/SP – 2009), considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que as frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

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31. FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) Sabendo que x = 0,35 e y = 0,25, e utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva mediana é (A) R$ 3.120,00 (B) R$ 3.200,00 (C) R$ 3.400,00 (D) R$ 3.600,00 (E) R$ 3.800,00 Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

32. FCC – BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a: a) R$3500,00 b) R$3625,00 c) R$3650,00 d) R$3800,00 e) R$4000,00 33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas durante 12 dias, como é mostrado a seguir. 21°C, 17°C, 20°C, 15°C, 23°C, 21°C, 12°C, 15°C, 15°C, 16°C, 23°C, 11°C A moda e a mediana dessas temperaturas foram, respectivamente, de: A) 21°C e 17,4°C B) 23°C e 17°C C) 15°C e 16,5°C Prof. Arthur Lima


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D) 11°C e 17°C E) 17°C e 16°C 34. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências absolutas dos salários dos funcionários de uma empresa em número de salários mínimos (S.M.):

O salário médio desses funcionários, obtido por meio dessa tabela, calculado como se todos os valores de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida faixa, foi de 3,8 S.M. Nessas condições, o salário mediano dos funcionários da empresa, calculado, através dessa tabela pelo método da interpolação linear, está compreendido no intervalo de S.M. dado por (A) 3,75

3,80

(B) 3,80

3,85

(C) 3,85

3,90

(D) 3,90

3,95

(E) 3,95

4,00

35. FCC – TRE/SP – 2012) A distribuição de frequências absolutas abaixo refere-se aos salários dos 200 funcionários de um setor público no mês de dezembro de 2011.

Observação: fi é a frequência da i-ésima classe. Prof. Arthur Lima


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O valor da mediana, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a R$4.625,00. Se 76 funcionários possuem um salário superior a R$ 5.000,00, então a porcentagem dos funcionários que possuem um salário de, no máximo, R$ 4.000,00 é igual a (A) 20%. (B) 24%. (C) 30%. (D) 32%. (E) 40%. 36. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) As idades dos 10 alunos de uma turma de Inglês são respectivamente iguais a: 12; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 15; 15; 16. A moda desses dez valores corresponde a: A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 37. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Em um setor de um órgão público é realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que (A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor. (B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da moda em R$ 250,00. (C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da mediana. (D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média aritmética.

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(E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$ 7.250,00. 38. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27. c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 39. ESAF – AFRFB – 2005 – Adaptada) Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra acima da moda. d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. 40. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100 indústrias.

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Sabendo que 5y − 4x = 4, o valor da soma Média (X) + Mediana (X) + Moda (X) é igual a (A) 121,2. (B) 122,5. (C) 122,8. (D) 126,2. (E) 126,5. Instruções: Considere a distribuição de freqüências a seguir para resolver a próxima questão.

41. FCC – BACEN – 2006) A amplitude do intervalo entre o primeiro decil e o terceiro quartil, encontrados pelo método da interpolação linear, é: a) R$2500,00 b) R$2400,00 c) R$2150,00 d) R$2000,00 e) R$1400,00

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42. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por X i; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que

A variância desta amostra apresenta o valor de (A) 67,3 (B) 63,0 (C) 61,0 (D) 59,7 (E) 57,0 43. ESAF – MDIC – 1998) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte:

As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de preços i. Sabendo-se que

∑ (fi mi 2 ) ( ∑ fi mi )2 / 25 −

≈

694

assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) 0,5 (347/3)0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3)0.5 d) 28,91

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e) 8 44. ESAF – MDIC - 1998) No contexto da QUESTÃO ANTERIOR deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor aproxima este valor. a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2 45. ESAF – AFRFB – 2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X:

Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

Texto para as 2 questões seguintes: O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m 2 relativos às despesas com materiais de Prof. Arthur Lima


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construção e R$ 270,00/m 2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste). Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção C i v i l. S I NA P I / I BG E , n o v . / 2 0 0 8 ( c o m a d a p t a ç õ e s ) . 46. CESPE – CEHAP/PB – 2009) Com base nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. 47. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por metro quadrado foi A) inferior a R$ 30,00. B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00. C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00. D) superior a R$ 50,01 48. ESAF – AFRFB – 2005) Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição:

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Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério de decisão: se a diferença X − 25 for maior que o valor

2σ x , então a campanha de divulgação n

surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado.

a) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,1 é maior que

2σ x = 1,53 . n

b) A campanha não surtiu efeito, pois X − 25 = 0 é menor que c) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,1 é maior que

2σ x = 1,41. n

d) A campanha não surtiu efeito, pois X − 25 = 0 é menor que e) A campanha surtiu efeito, pois X − 25 = 2,5 é maior que

2σ x = 1,64 . n

2σ x = 1,53 . n

2σ x = 1,41. n

49. ESAF – AFRFB – 2005) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.

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Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3,2 e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 50. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Seguem algumas observações de uma variável aleatória: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 1, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9 Considerando que as observações apresentadas acima constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X. Considere que:

a) 96,85 b) 92,64 Prof. Arthur Lima


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c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 51. CEPERJ –SEFAZ/RJ – 2011) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância σ 2 . Seja Y variável aleatória α + β X , onde β é uma constante positiva. Se a média de Y for igual a zero e sua variância for unitária, então α e β serão, respectivamente, iguais a: a)

−

σ e σ µ

b) µ e σ 2 c)

−

µ 1 e σ σ

d) 0 e 1 e)

µ e σ σ

52. FCC – ARCE – 2012) O desvio padrão e a média de uma população de tamanho N são dados, respectivamente, por 2 e 3. A soma dos quadrados dos elementos dessa população é igual a 390. Nessas condições, o valor de N é (A) 90. (B) 80. (C) 60. (D) 40. (E) 30. 53. ESAF – AFRFB – 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos: Prof. Arthur Lima


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a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% 54. FCC – BACEN – 2006) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar: a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, temse que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados. b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero. d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. 55. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média

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e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, temse que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores.

56. ESAF – IRB – 2006) O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se a) média. b) variação ou dispersão dos dados. c) mediana. d) correlação ou dispersão. e) moda. 57. FCC – TRE/SP – 2012) Considere duas variáveis X e Y representando o peso (em kg) e a altura (em cm), respectivamente, dos 100 sócios de um clube. Em um censo realizado neste clube, foram apurados os seguintes resultados:

Xi e Yi são o peso e a altura, respectivamente, do i-ésimo sócio (i = 1, 2, 3, . . . ,100). Está correto afirmar que o coeficiente de variação de (A) X é maior que o coeficiente de variação de Y. (B) X é igual a 9%. (C) Y é igual a 10%. (D) X é igual à metade do coeficiente de variação de Y. (E) Y terá seu valor modificado caso seja alterada em seu cálculo a unidade de medida de centímetro para metro. 58. FGV – Senado Federal – 2008) A respeito dos principais tipos de amostragem, é correto afirmar que: a) a amostragem sistemática possui caráter não-probabilístico. Prof. Arthur Lima


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b) na amostragem aleatória estratificada há a possibilidade de que nenhuma unidade de um ou mais estratos sejam selecionadas. c) as informações obtidas através de uma amostragem acidental permitem a obtenção de inferências científicas de características da população. d) na amostragem de conglomerados todos os conglomerados são sempre selecionados. e) a amostragem estratificada é geralmente mais eficiente do que a amostragem aleatória simples de mesmo tamanho. 59. FCC – TRT/3ª – 2009) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, (A) censo e amostragem por conglomerados. (B) amostragem aleatória e amostragem sistemática. (C) censo e amostragem casual simples. (D) amostragem estratificada e amostragem sistemática. (E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 60. CESPE – TJ/ES – 2011) No que concerne aos planos amostrais, julgue os itens a seguir. ( ) Tanto na amostragem estratificada quanto na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos. Na amostragem por conglomerados, de cada grupo seleciona-se um conjunto de elementos; na amostragem estratificada, devem-se selecionar quais estratos serão amostrados e, desses, observar todos os elementos. 61. CESPE – STM – 2011) Com relação aos planos amostrais, julgue o próximo item. ( ) A diferença principal entre amostragem estratificada e amostragem por conglomerados é que, no caso da estratificada, a população é dividida Prof. Arthur Lima


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artificialmente em estratos, e, no caso da amostragem por conglomerados, a população já é naturalmente dividida em subpopulações. 62. FUNIVERSA – 2010 – CEB) Para saber das condições dos animais de uma fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais dessa fazenda.

Com base nessas informações, a quantidade de bovinos e suínos que serão usados na pesquisa é de a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 63. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A respeito das técnicas de amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados. b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo. c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem selecionados. d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados. e) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. Prof. Arthur Lima


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64. CESPE – CORREIOS – 2011) Um 2011) Um analista deseja inspecionar um lote de 500 pacotes com encomendas internacionais. Como essa inspeção requer a abertura de cada pacote, ele decidiu fazê-la por amostragem, selecionando n pacotes desse lote. O analista dispõe de um cadastro que permite localizar precisamente cada pacote do lote por meio de um código de identificação. Com base nessas informações e nos conceitos de amostragem, julgue os itens a seguir. ( ) Considere que o lote de pacotes seja dividido em dois estratos segundo a massa de cada pacote: o primeiro, formado por 400 pacotes que possuem massas inferiores a 1 kg, e o segundo, por 100 pacotes com massas superiores a 1 kg. Nessa situação, se o analista efetuar uma amostragem estratificada de tamanho n = 50 com alocação uniforme, então essa amostra deverá contemplar 40 pacotes do primeiro estrato e 10 pacotes do segundo. ( ) A disponibilidade do cadastro permite que o analista efetue uma seleção por amostragem aleatória simples ou por amostragem sistemática com base nos códigos de identificação dos pacotes ( ) Se o analista optar pela amostragem sistemática, a seleção de uma amostra de tamanho n = 50 será efetuada de 10 em 10 pacotes, e o primeiro pacote a ser inspecionado será, necessariamente, o primeiro pacote registrado no cadastro. 65. CESPE – FUB – 2011) Com 2011) Com relação às técnicas de amostragem de populações finitas, julgue os seguintes itens. ( ) As amostragens aleatórias simples, sistemática, estratificada e por cotas representam planos de amostragem probabilísticos 66. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) 2010) A amostragem estratificada proporcional, a amostragem por cotas e a amostragem por conglomerados são, respectivamente, amostragem: a) Não Casual, Casual e Casual. Prof. Arthur Lima


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b) Não Casual, Não Casual e Casual. c) Casual, Não Casual e Não Casual. d) Casual, Não Casual e Casual. e) Casual, Casual e Casual. 67. CESPE – MS – 2010) 2010) Para estimar o salário médio mensal, os 5.000 empregados de uma empresa foram divididos em quatro estratos: homens com menos de 40 anos de idade, homens com mais de 40 anos de idade, mulheres com menos de 40 anos de idade e mulheres com mais de 40 anos de idade, conforme a tabela a seguir.

Uma amostra estratificada proporcional de 200 empregados apresenta os seguintes salários médios observados nos estratos, em R$:

De acordo com os dados acima, julgue os próximos itens. ( ) A amostra consiste de 48 homens com menos de 40 anos, 72 homens com mais de 40 anos, 24 mulheres com menos de 40 anos, e 56 mulheres com mais de 40 anos. 68. FCC – TRT/9ª – 2010) Com 2010) Com relação à teoria geral de amostragem, considere: I. A realização de amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista completa, descrevendo cada unidade amostral.

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II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. III. Em uma amostra por conglomerados, a população é dividida em sub-populações distintas. IV. Na amostragem em dois estágios, a população é dividida em dois grupos: um será o grupo controle e o outro será o experimental. É ERRADO o que consta APENAS em a) II e III. b) I, II e III. c) I e II. d) Nenhuma das afirmativas. e) I e III. 69. FCC – MPU – 2007 – Adaptada) Com Adaptada) Com relação à teoria geral de amostragem, é correto afirmar que: a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada sem reposição. b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando comparada com o método de amostragem aleatória simples. c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente exclusivos. d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das estimativas. e) a amostragem aleatória simples, ao contrário da amostragem por cotas, é uma técnica probabilística. 70. FCC – Banco do Brasil – 2006) O 2006) O histograma de freqüências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro de 2005:

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Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é (A) 6,25% (B) 12,50% (C) 18,75% (D) 31,25% (E) 32,00%

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