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Notaciones en el el álculo !iferencial !iferencial ". #ntroducción $. Notaciones $.". %agrange $.$. Ne&ton $.'. (rbogast $.). %eibniz $.).". !iferencias y diferenciales $.).$. !erivada de primer orden $.).'. !erivadas de segundo orden y superior $.).). Más sobre diferenciales (plicación a la resolución de integrales indefinidas
$.*. omentarios sobre las notaciones $.+. !erivadas parciales
'. ormas de derivación '.". -pl/cita '.$. #mpl/cita
). (lgunas propiedades ).". !erivada de la función inversa ).$. !erivada de una funciones en forma paramétrica ).'. 0egla de la cadena ).). -1emplos de operaciones con diferenciales
*. 0eferencias
". #ntroducción !ada una función función continua continua y 2 f 3 x4, x4, su derivada clásica 3eisten otras definiciones para funciones deterministas, e incluso para funciones aleatorias o estocásticas4 se define, para cada punto x punto x,, como lim h → 5
f ( x + h)− f ( x ) f ( x + h )− f ( x ) = limh → 5 . ( x + h)−( x ) h
-n el dominio de valores de x de x en en el 6ue este l/mite, 6ue siempre es una indeterminación de la forma 575, eiste, 6ueda definida una nueva función 6ue se llama la derivada de f de f 3 x4. x4. Se dice entonces 6ue f34 es una función derivable o diferenciable. diferenciable. -l l/mite, y por tanto la derivada, eisten en las partes del dominio donde f 3 x4 x4 es 8suave9 3además de continua, por definición4, lo 6ue puede verse en su gráfica. -l proceso se puede iterar considerando a la derivada como nueva función sobre la 6ue calcular el l/mite anterior: esta iteración dar/a lugar a la segunda derivada, tercera, cuarta y enésima. ;na forma de clasificar las funciones continuas en espacios de funciones consiste en considerar el n
$. Notaciones $.". %agrange %a notación introducida por %agrange a finales del siglo >?### es= iv
f ' ( x ) , f ' ' ( x ) , f ' ' ' ( x ) , f ( x ) , f ( x ) , ⋯
( *)
ó
f
v
ó
y ' ( x ) , y ' ' ( x ) , y ' ' ' ( x ) , y ( x ) , y ( x ) , ⋯
( *)
ó
y
3b4
f , f , f , f , f ,⋯
3c4
y' , y' ' , y' ' ' , y , y , ⋯
3d4
y , y , y , y , y , ⋯
( $)
( ' )
( ) )
iv
( ")
( $)
(')
( ))
v
ó
f ' , f ' ' , f ' ' ' , f , f , ⋯ ( ")
iv
v
3a4
( ")
( x ) , f ( $) ( x ) , f ( ') ( x ) , f ( )) ( x ) , f ( *) ( x ) , ⋯ iv
( ")
v
( x ) , y ( $) ( x ) , y( ') ( x ) , y ( )) ( x ) , y( *) ( x ) ,⋯
$.$. Ne&ton %a notación introducida por Ne&ton 3hacia "+@"4 es= 3e4
f˙ , f¨ ,⃛ f ,⋯
ó
˙ ( x ) , f ¨ ( x ) ,⃛ f ( x ) , ⋯ f
3f4
y˙ , ¨ y ,⃛ y , ⋯
ó
y˙ ( x ) , y ¨ ( x ) , y⃛ ( x ) , ⋯
$.'. (rbogast %a notación introducida por (rbogast en "A55 se basa en el operador derivación= 3g4
$
'
D f , D f , D f , ⋯
$
'
D f ( x ) , D f ( x ) , D f ( x ) , ⋯
ó
$.). %eibniz %a notación de %eibniz 3"+A)4, la más utilizada, es= $
3h4
3i4
dy d y d y , , ,⋯ dx dx $ dx '
$
$
'
df d f d f , , , ⋯ dx dx $ dx'
'
ó
df ( x ) d f ( x ) d f ( x ) , , , ⋯ $ ' dx dx dx
ó
dy ( x ) d y ( x ) d y ( x ) , , ,⋯ $ ' dx dx dx
$
'
$
'
$
'
ó
df ( x ) , d f $ ( x ) , d f ' ( x ) , ⋯ dx dx dx
ó
dy d y d y ( x ) , $ ( x ) , ' ( x ) , ⋯ dx dx dx
'
$.).". !iferencias y diferenciales Se definen las diferencias
Δ y = y $− y "= y ( x +h )− y ( x )
y
Δ x = x $ − x "= x + h − x = h.
-stas diferencias a veces representan incrementos, si su valor es positivo, o decrementos, si son negativos. Se definen las diferencias de segundo orden como
Δ $ y =Δ(Δ y )
y
Δ $ x =Δ(Δ x ) .
!e forma análoga se definen las diferencias de orden mayor a dos. -s importante distinguir entre Δ k y y (Δ y )k , y entre Δ k x y (Δ x ) k . Se puede definir para el caso discreto 3sucesiones en un dominio discreto4 el operador diferencia, 6ue act
Δ y =( y − y , y − y , y − y , ⋯) $
"
'
$
)
'
Δ $ y =Δ(Δ y )=( y '− y $− y $+ y " , y )− y '− y '+ y $ , ⋯)=( y '− $y $+ y " , y )− $y'+ y $ , ⋯) ⋮ Por otro lado, para el caso continuo 3funciones en un dominio continuo4, a las cantidades de los numeradores By denominadoresB de las epresiones de 3h4 e 3i4 se las llama diferenciales, de orden uno si el n
$.).$. !erivada de primer orden %a primera derivada se escribe como dy =limΔ x → 5 dx
Δ y Δ x
-s decir, el cociente de dos diferenciales continuos es el l/mite del cociente de dos diferencias discretas. Para 1ustificar la posición de los eponentes en los diferenciales de orden superior, veamos primero 6ué sucede en el caso discreto, más sencillo. Sobre la derivación de una función, dice (postol= !o sólo era distinta la notación, sino también la manera de pensar de "eibni# acerca de las derivadas, pues consideraba el límite dy $ d como un cociente de cantidades %infinitesimales& dy y d ue llamaba %diferenciales&, y la derivada dy $ d era un %cociente diferencial&( )n ve# de utili#ar el paso a límite para definir las derivadas, pasaba de Gy y G a dy y d indicando simplemente ue Gy EeF G se transformaban en infinitesimales( "eibni# imaginaba los infinitesimales como un nuevo tipo de n*meros, ue sin ser cero, eran más peue+os ue cualuier n*mero real positivo( Durante mucho tiempo se creyó ue el álculo era intrínsecamente difícil y algo misterioso, porue no era posible comprender lo ue era un infinitesimal( "os trabaos de auchy y otros matemáticos en el siglo -I- condueron gradualmente a abandonar las cantidades infinitamente peue+as como una parte esencial de las .atemáticas( !o obstante, son todavía muchos, especialmente entre los ue se dedican a la .atemática aplicada, los ue consideran *til ra#onar a la manera de "eibni# a base de los infinitesimales( .uy frecuentemente de esta forma se llega rápidamente a resultados ue pueden ser demostrados de manera rigurosa por métodos adecuados( /ecientemente 0braham /obinson ha mostrado ue el sistema de los n*meros reales puede ser extendido por la incorporación de los infinitesimales de acuerdo a la idea de "eibni#( 1na discusión de esta extensión, así como del impacto en otras ramas de la .atemática se encuentra en el libro de /obinson NonHstandard (nalysis( !orth23olland 4ublising, 0msterdam, 5677( 0unue algunas de las ideas de "eibni# no pasaron a la posteridad, no ha ocurrido lo
mismo con sus notaciones( )l símbolo dy $ d tiene la ventaa manifiesta de resumir el proceso completo del cálculo de un cociente de diferencias y posterior paso a límite( .ás tarde se observará ue el uso del cociente de diferenciales permite operar más fácilmente y las fórmulas ue se obtienen se recuerdan sin dificultad(
$.).'. !erivadas de segundo orden y superior Si escribimos la epresión de la definición de la segunda derivada, lim h → 5 lim h → 5
f ( x +h +h )− f ( x +h ) f ( x + h )− f ( x ) −lim h → 5 h h , h
cuando estos l/mites eisten se pueden operar sus epresiones y obtener f ( x + h+ h)− $f ( x +h )+ f ( x )
lim h → 5
h
$
,
d como formado por un operador en el numerador y un producto por dx un diferencial en el denominador. -sto lleva a pensar en la notación lo 6ue induce a pensar en el operador
( )
d dy dx dx
k −"
d ( dy ) d $ y = = $ dxdx dx
y, por iteración,
$
Nota= (lgunas veces se ve la notación incorrecta
d d y dx dx k −"
k
=
d y dx
k
.
'
df d f d f , , , ⋯ dx d $ x d ' x
$.).). Más sobre diferenciales !e las fórmulas anteriores, y si operamos con los diferenciales con la 8ligereza9 6ue mencionaba (postol, tendr/amos 6ue ( k )
y
=
k
d y dx
k
I
k
( k )
d y = y
dx
k
( este mismo resultado se llega, en este caso por definición, en el libro de !emidovich y otros 3ver las referencias4. %as implicaciones son comunes a ambos casos. Sin embargo, históricamente 3véanse las citas del libro de 0/bniJov 6ue se dan más aba1o4 ha prevalecido el uso de la derivada en vez de las definiciones de diferenciales 6ue se dan a continuación. De primer orden
-n este libro 3!emidovich y otros4 se define la diferencial de primer orden de una función como el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, esto es ( ")
( ") dy = y dx , de donde deduce 6ue y
!espués se enumeran una serie de propiedades de la diferencial "4 $4 '4 )4 *4 +4
dc 2 5, donde c es una constante dx 2 G x, donde x es la variable independiente d 3cu4 2 c du d 3u K v4 2 du K dv d 3uv4 2 v du L u dv d 3u7v4 2 3v du B u dv47v$
=
dy . dx
@4
df 3u4 2 f 3u4du
Nota= %eibniz dio ya las epresiones * y +, además de d 3uk 4 2 k uk25du, en su obra !ova methodus pro maximis et minimis, itemue tangentibus, ua nec fractas nec irrationales uantitates moratur 31n nuevo método para máximos y mínimos, y también para tangentes, ue no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales 4.
De segundo orden y superiores
ambién se define la diferencial de segundo orden de una función como la diferencial de la diferencial de primer orden. (nálogamente se definen las diferenciales consecutivas. -ntonces, ahora por definición, $
d y = d ( dy )= y
( $)
( dx )$ ,
'
d y = y
(')
⋯
( dx )' ,
( k )
k
d y = y
( dx )k
Aplicación a la derivación
%a notación de diferenciales permite derivar 8con respecto a una función9, lo 6ue no es sino una cuestión de notación y otra forma de la regla de la cadena= y = x
+
'
' $
'
−*. + @=( x ) −*. +@
dy dy d ( x = dx d ( x ' ) dx
I
'
)
'
=( $ x −*) '
$
Aplicación a la resolución de integrales indefinidas
-iste la posibilidad de aprovechar esta notación de los diferenciales para resolver algunas integrales sencillas, dado 6ue, por e1emplo= dx =
3a4 Si y = ax +b , entonces d ( ax +b )= dy = a dx , de donde, si a ≠ 5 , 3b4 Si y = x k , entonces d ( x k )= kx k −" dx , de donde, dx =
" kx
d ( x k − "
" d ( ax +b ) a
k
)
3c4 Si y = f ( x ) , entonces d ( f ( x ))= f ' ( x ) dx , de donde, si f ' ( x )≠ 5 ,
dx =
d ( f ( x )) f ' ( x )
Método de introducción ba1o el signo de la difer encial= eniendo en cuenta las epresiones de los diferenciales de las funciones, dy, se puede hacer=
∫
$ x'
x e dx =
" '
∫
x '
$
e ' dx =
" '
∫
x '
e d ( x
'
" '
'
)= e x +c
o, más generalmente, y dado 6ue u3 x4dx 2 du,
∫ f ( u ( x )) u ' ( x ) dx=∫ f ( u ) du ( esta manera de resolver integrales, en el libro de !emidovich y otros se le llama introducción bao el signo de la diferencial . Método de sustitución o cambio de variable= (hora, teniendo en cuenta las epresiones de los diferenciales de la variable independiente, dx, se puede hacer=
∫
$ x'
x e dx =
" '
∫
$ x'
' e dx =
" '
∫
$
' e
u
du
= $
'
" '
∫
" u " x u e du = e +c = e +c ' ' '
o, más generalmente, y dado 6ue dx 2 du7u'8x9,
∫ f ( u ( x )) u ' ( x ) dx =∫ f ( u ( x )) u ' ( x ) u ' du( x ) =∫ f ( u ) du ( esta manera de resolver integrales, en el libro de !emidovich y otros se le llama de sustitución o cambio de variable.
-sencialmente, ambos métodos son el mismo, pero 6uizá el primero se utiliza menos por6ue sólo es aplicable, en la práctica, con integrales sencillas, además de por6ue es necesario conocer me1or los diferenciales.
$.*. omentarios sobre las notaciones %a preferencia de una notación u otra puede depender del área concreta de la ciencia donde se traba1e, de la tradición histórica o de motivos prácticos: también hay e1emplos en la historia de usos basados en motivos patrióticos, chovinistas o sentimentales, lo 6ue no suele ser conveniente en ciencia= algunos historiadores de la iencia opinan 6ue la tozudez con 6ue los británicos siguieron utilizando la notación de su compatriota Ne&ton, en vez de la del continental %eibniz les supuso un 8retraso9 en sus matemáticas. Por e1emplo, en el libro de Simmons mencionado en las referencias se puede leer 3páginas "*O y "+54= :odo esto Edisputa histórica por la paternidad del cálculo diferencial, entre Ne&ton y %eibnizF ya era de por sí bastante nefasto, pero el efecto desastroso ue tuvo sobre la ciencia y las matemáticas británicas fue todavía más serio( 1tili#ar los métodos geométricos de !e;ton y sus farragosas notaciones de cálculo, así como no mirar más allá de las narices en cuanto tuviese relación con el trabao creador ue se hacía en el continente, se convirtió en una cuestión de lealtad patriótica( auss y /iemann fue como un libro cerrado, y los matemáticos ingleses se sumieron en un coma de impotencia e irrelevancia ue se prolongó a lo largo de los siglos -?III y -I- casi por completo. -n el libro de 0/bniJov, de sesgo filosoviético 3hace abundante uso de . Mar como testigo e historiador de la ciencia4, se puede leer 3página $''4= "a primera reacción de los matemáticos ingleses 8@urín, /obins, 4imberton, .aclaurin y otros9 fue la defensa de la teoría de las fluxiones y la autoridad de !e;ton( )llos comentaron sus trabaos e introdueron perfeccionamientos parciales( 0demás, fueron expresadas no pocas ideas *tiles( 0sí, por eemplo, se dedicó atención a un tratamiento correcto del concepto de límite de una magnitud variable( ( A( "eibni# se aclaró ue su cálculo de diferenciales y el simbolismo tenían mayores ventaas respecto al cálculo de fluxiones y el correspondiente sistema de símbolos( )llos refleaban meor la esencia de las operaciones del análisis y este *ltimo, naturalmente, tomó la forma, en lo fundamental, predicha por "eibni#(
seguidores de !e;ton hacia "eibni#, con el resultado de ue terminaron por uedarse ampliamente re#agados con respecto a los de la )uropa continental( Pese a todo, es de %eibniz la frase= onsiderando la matemática desde el comien#o del mundo hasta la época de !e;ton, lo ue él ha hecho es, con mucho, la mitad meor . (lgunos otros comentarios sobre las distintas notaciones son los siguientes= 3"4 %as notaciones de %agrange, Ne&ton y (rbogast ponen de manifiesto 6ue la derivación es un operador entre espacios de funciones, es decir, 6ue el resultado es otra función. 3$4 %as notaciones de %agrange, Ne&ton y (rbogast son
$.+. !erivadas parciales -n funciones de varias variables, f 3 x, y, # 4, para indicar con respecto a cuál se está derivando, es decir, cuál de todas las posibles derivadas parciales se está considerando, las notaciones suelen ad6uirir la forma, donde en este e1emplo el " indica 6ue x está en la primera posición de la terna 3 x, y, # 4= Lagrange=
f ' x
ó
f ' "
Newton=
f ˙ x
ó
f ˙ "
Arbogast=
D x f
ó
Leibniz=
∂ f ∂ x
D " f
'. ormas de derivación '.". -pl/cita uando una función 3volvemos a las de una sola variable x4 viene dada en la forma y 2 f 3 x4, se dice 6ue está epresada en forma explícita. %a variable x es la variable independiente y la y depende Bes funciónB de ella, y se dice 6ue es la variable dependiente: hay una 1erar6u/a entre ellas. Se pueden invertir estos papeles de las variables invirtiendo la función= f H"3 y4 2 x. uál es la dependiente y cuál la independiente depende de la interpretación del problema 3lo 6ue representen las variables4, o, si hay libertad, de nuestras preferencias. odas las fórmulas dadas hasta ahora estaban dadas para la derivación explícita.
'.$. #mpl/cita uando una función viene dada en la forma f 3 x, y4 2 5, se dice 6ue está epresada en forma implícita. No viene dada una 1erar6u/a entre ellas, por lo 6ue la 6ue se despe1e será la dependiente y la otra la independiente. ( veces no sabemos o no es posible despe1ar una variable, lo 6ue no implica 6ue no podamos derivar una epresión con respecto a ella. -sta operación se llama derivación implícita, y, dado 6ue ahora hay dos variables, utiliza Baun6ue sea mentalmente y no se eplicite en la prácticaB el concepto de derivación parcial= dB =
∂ B ∂ B dx + dy ∂ x ∂ y
dB ∂ B ∂ B dy = + dx ∂ x ∂ y dx
ó
Nota= -n las formas epl/cita e impl/cita, una función y una variable, o dos variables, se relacionan directamente. uando se relacionan a través de una tercera variable, como sucede cuando vienen dadas en forma paramétrica, la derivación es distinta. -sta forma se ve en otra sección.
). (lgunas propiedades ?eamos a continuación cómo se epresan algunas propiedades o resultados. (un6ue no se haga a6u/, es posible escribir las reglas, propiedades, tablas de derivadas, etcétera, en cual6uiera de las notaciones.
).". !erivada de la función inversa Lagrange=
( f − ") ' =
Newton=
f ˙
Arbogast=
Df
− "
=
−"
−"
Leibniz=
df dx
" f '
"
˙ f " Df
=
ó
( f − ") ' ( x )=
ó
f ˙ ( x )=
ó
Df
− "
−"
"
dx = = df df dx
− "
ó
" f ' ( x )
" ˙ ( x ) f
( x )=
"
Df ( x )
df ( x ) dx = " = dx df ( x ) df ( x ) dx
).$. !erivada de una funciones en forma paramétrica Puede suceder 6ue dos variables Bo másB vengan dadas en forma paramétrica= y = a ( t ) x =b ( t ) -l hecho de 6ue ambas sean función de una variable independiente o parámetro com
).'. 0egla de la cadena -s muy importante saber derivar la composición de funciones, en la 6ue una primera función depende de una variable independiente y una segunda función depende de la primera, g R f 3 x4 2 g 3 f 3 x44, 6ue representa los dos pasas x I f 3 x4 I g 3 f 3 x44. %a regla 6ue rige esta derivación se llama regla de la cadena= ó
Newton=
( g ∘ f ) ' = g ' ( f ) f ' ( g ∘˙ f )= g ˙ ( f ) ˙ f
ó
( g ∘ f ) ' ( x )= g ' ( f ( x )) f ' ( x ) ˙ ( x ) ( g ∘˙ f )( x )= g ˙ ( f ( x )) f
Arbogast=
D ( g ∘ f )= Dg ( f ) Df
ó
D ( g ∘ f )( x )= Dg ( f ( x )) Df ( x )
d ( g ∘ f ) d g ( f ) df = dx dx dx
ó
d ( g ∘ f )( x ) d g ( f ( x )) df ( x ) = dx dx dx
Lagrange=
Leibniz=
!e forma más concisa, sin escribir con tanto cuidado las relaciones epl/citas, con la notación de %eibniz puede escribirse, cuando hay una función # entre x e y, es decir, cuando y 2 y3 # 3 x44= dy dy d# dy dy d# dy d# = = = , ó, utilizando ligeramente la notación, . dx d# dx dx dx d# d# dx
).). -1emplos de operaciones con diferenciales -stos son algunos de los tipos de operaciones 6ue, con la notación de %eibniz, uno se puede encontrar en los libros=
-1emplo "= $
d y
d dy = $ dx dx dx
" dy = d dx dx
$ $ " d ( dy )⋅dx − dy⋅d ( dx ) d y⋅dx − dy⋅d x = = $ ' dx dx dx
-1emplo $= dx = # I dt
dx =dt #
-1emplo '= dy d# =⋯= x ( # + ) I dt dt $
d y
dy = # dt + d# x
( ) [ ( )] ( )
d dy = $ dt dt dt
d d# = x # + dt dt
dx d# = # + dt dt
$
d# d # + x + dt dt $
$
d# d # = x # +$ + $ dt dt
$
$
d y d# d # = dt $ # +$ + $ I x dt dt
I
= dt $ # +$ d# dt + d $ #
*. 0eferencias [1] (postol, om M. álculus( -ditorial 0everté 3reimpresión de septiembre del $55+4. [2] Qoyer, arl Q. 3istoria de la matemática. (lianza -ditorial 3"OO), " edición, ' reimpresión4. [] !emidovich, Q., T. QaranenJov, ?. -fimenJo, S. ogan, T. %unts, -. Porshneva, -. Sichova, S. rolov, 0. ShostaJ y (. UanpolsJy. 4roblemas y eercicios de 0nálisis .atemático. -ditorial Paraninfo 3"OO'4. [!] 0/bniJov, . 3istoria de las .atemáticas. -ditorial Mir Mosc< 3"OO", " edición, " reimpresión4. ["] Simmons, Teorge . )cuaciones Diferenciales( on aplicaciones y notas históricas. McTra& Vill 3"OO", $ edición4.
;niversidad omplutense de Madrid W acultad de iencias -conómicas y -mpresariales W !epartamento de -stad/stica e #nvestigación Xperativa ## W !avid asado de %ucas
"* de febrero del $5"$
