Notas Agujeros Negros Cuanticos 2014-II

´ AGUJEROS NEGROS CUANTICOS

Notas de Clase

Jos´ e Robel Rob el Arenas Salazar

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ´ OBSER OBSE RVATORIO ASTRON A STRONOMICO NACIONAL

Bogot´ a, a, 2014

´ Indice general PREFACIO

I

III

GENERALIDADES INTRODUCTORIAS

1

´ 1. INTRODUC INTRODUCCI CION

2

´ ´ TRICA 2. LA GRAVEDAD GRAVEDAD COMO UNA MANIFEST MANIFESTACI ACION ME

2.1. 2.2. .2. 2.3. 2.4. .4. 2.5.. 2.5 2.6. 2.7.

Postulado de impos posibilidad . . . . . . . . . . Ecua Ecuaci cion ones es de las l´ınea neas geod geod´ésic sicas . . . . . . Aproxima Aproximaci´ ci´ on de campo débil . . . . . . . . . Ecua Ecuaci cion ones es de cam campo de Eins Einste teiin en el vac´ ac´ıo . Soluci Soluci´ón de Schwarzschild . . . . . . . . . . . Escalar de Kretschmann . . . . . . . . . . . . Coordenadas de Kruskal . . . . . . . . . . . .

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4

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´ N SOBRE LAS VARIEDADES RIEMANNIANAS 3. CUANTIZA CUANTIZACI CIO

13

3.1. Cuantiza Cuantizaci´ ci´ on on Canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Cuantiza Cuantizaci´ ci´ on on Canónica en Campos pos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ RMICOS 4. DIN DINAMICA DE CAMPOS TE

4.1.. 4.1 4.2. 4.3. 4.4. 4.4.

II

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´ RMICOS AGUJE GUJERO ROS S NEGR NEGROS OS TE . . . .

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i

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19 20 21 22 24

28

´ MICA DE AGUJEROS NEGROS 5. TERMODIN TERMODINA

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13 16 19

Campos Campos cu´ anticos como osciladores armónicos . . . anticos Sentido f´ f´ısico de la dinám amiica de cam campos pos térm e rmico icos . Formalismo ormalismo de de la dinámi a mica de camp campos os térmi e rmico coss . . Mode Mo delo lo de osci oscila lado dore ress dobl dobles es para para aguj agujer eros os negr negros os 4.4. 4.4.11. Ma Matr triiz den densid sidad térmi e rmica ca redu reduccida ida . . . . . .

5.1. Agujeros Agujeros Negros Negros Clásicos . 5.2. Agujeros Agujeros Negros Negros Cu´ anticos 5.2.1. Efecto Hawking . . . 5.2.2. Efecto Unruh . . . .

4 5 6 7 8 8 9

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29

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29 31 33 34

´ INDICE GENERAL

ii

6. ESTADOS ESTADOS DE VAC´ IO

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.. 6.4

36

Estado Estado de Boulw Boulware are 0 B . . Agujero Negro Eterno . . . . Estado Estado de Hartle-Ha Hartle-Hawking wking 0 Estado Estado de de Unruh Unruh 0 U . . . .

| 

| 

| 

. . . . . . . . H . . .

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38 38 39 39

´ N EUCLIDIANA DE GIBBONS-HAWKING 7. APROXIMACI APROXIMACIO

41

8. MODELO DE LA PARED DE ’t Hooft

47

III III

ENTROP´ IA DE ENTANGLE ENTANGLEMENT MENT DE AGUJERO AGUJEROS S NEGROS 53

9. ENTROP ENTROP´ IA DE ENTANGLEMENT

54

9.1. Definici´ Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Entrop´ Entrop´ıa proporcional al área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ICA 10.TERMODINAMIC AM A DE ENT ENTANGL ANGLEM EMEN ENT T DE AGUJ AGUJER EROS OS NEGR NEGROS OS

10.1. Formulación on clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Formulación on cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 10.3.. Entr Entrop op´´ıa térmi e rmica ca de Enta Entang ngle leme men nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

EFECTO UNRUH

11.1. Aproximación Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Entrop´ıa ıa de Rindler S R a partir de la acción Eucl Euclid idia iana na G-H G-H a 00-lo loop op:: 11.2. Aproximación de Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Consideraciones Formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 11.3.1 .1.. Efe Efect ctos os térmi e rmico coss de de hor horiz izon onte tess de de Kil Killi ling ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 11.3.2. 3.2. Efe Efecto cto Unr Unruh en varie arieda dade dess cur curv vas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 11.3.3. 3.3. Dete Detect ctor orees de part part´´ıcula culass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 87 87 94 95 96 96

99

12.MODOS DE FRECUENCIA POSITIVA

Referencias

56 64 71

86

´ NDICE APE 12.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Extensión on a una función anal´ıtica . . 12.3. Aplicación on al background background geom´ etrico etrico 12.4. Relaciones útiles . . . . . . . . . . .

56

85

˜ ´ RMICO DE FULLING-DAVIES-UNRUH 11.BANO TE

V

54 55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Agujero Agujero Negro extendido maximalmente maximalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

100 100 101 102 103

PREFACIO Agujeros Negros Cuánticos es un curso introductorio a los efectos cuánticos asociados a los agujeros negros en el marco de la teor´ıa de campos cuánticos sobre variedades curvas, con el objetivo principal de aproximarse a una explicación de la naturaleza f´ısica de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking S BH con base en la noción de entrop´ıa de ‘entanglement’y la f´ısica del vac´ıo derivada en el formalismo de la teor´ıa de campos. La teor´ıa de campos cuánticos sobre espacios-tiempo curvos puede entenderse como una aproximaci´ on, a´ un inaccesible, a una teor´ıa de la gravedad cuántica. También puede entenderse, el caso de este curso, como una descripción semiclásica de la Relatividad General. La importancia de S BH está en su sentido termodinámico que establece un profundo, misterioso y hasta ahora, desconocido puente entre la Teor´ıa General de la Relatividad y la Mecánica Cuántica. Para alg´ unos esta entrop´ıa está relacionada con un número de estados microscópicos que podr´ıan aportar una aproximación a los fundamentos de la gravedad cuántica. Para otros, la comprensión de su naturaleza indicar´ıa que la gravedad es intr´ınsecamente clásica y que no habr´ıa necesidad de una teor´ıa cuántica de la gravedad. Hasta el d´ıa de hoy son muchas y variadas las derivaciones de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking. Entre éstas, la calculada en el contexto de la teor´ıa de cuerdas, para agujeros negros extremales y cercanamente extremales, es una de las de más impacto. Sin embargo, no describe la localización de los grados de libertad microscópicos con respecto al horizonte f´ısico de los agujeros negros. Complementariamente la entrop´ıa de ‘entanglement’de agujeros negros describe estos grados de libertad muy cercanos a los horizontes de eventos. En los u ´ ltimos años se ha investigado la entrop´ıa de los agujeros negros en dos direcciones principales, considerando que para tal efecto no es necesario conocer detalles de la gravedad cuántica. Una de ellas se fundamenta en la asunción que simetr´ıas clásicas sobre el background del agujero negro pueden controlar la densidad de estados en gravedad cuántica y en esta forma derivar la entrop´ıa de un agujero negro. La otra dirección sugiere que el origen de S BH está relacionada con las propiedades de la f´ısica del vac´ıo en la presencia de un campo gravitacional fuerte, donde un observador estático cerca al horizonte de eventos percibe el vac´ıo como un estado mezclado porque las fluctuaciones de vac´ıo observables están correlacionadas o ‘entangladas’en el horizonte. Justamente en este último sentido se desarrollará el curso. Este curso m´ınimo exige conocimientos en Mecánica Cuántica y Relatividad Especial. El desarrollo del curso requerir´ıa como fundamentación previa: Teor´ıa Cuántica de Campos y Relatividad iii

PREFACIO

iv

General con aplicaciones a los agujeros negros clásicos. Más a fondo, el ideal ser´ıa que el lector estuviese familiarizado con la Teor´ıa de Campos sobre Variedades Curvas y Teor´ıa de Campos a Temperatura Finita. Sin embargo, para este curso introductorio se estructuró la temática en términos de osciladores armónicos cuánticos para ensambles bosónicos y campos escalares, asociados a agujeros negros de Schwarzschild fundamentalmente, de tal forma que en t´ erminos efectivos éste es un curso autocontenido. Con base en el teorema del no pelo de Israel y la Dinámica de Campos Térmicos de Umezawa y Takahashi se justifica de primeros principios la necesidad fundamental de considerar las soluciones de campo de Einstein en el vac´ıo para comprender el carácter térmico de los estados de vac´ıo cerca del horizonte de eventos. En ese escenario f´ısico se configura una unidad fundamental del espacio-tiempo, conformada por el horizonte de eventos y una singularidad interior, que paradigm´ aticamente no debe existir. De la comprensión de la f´ısica de horizonte emergente all´ı, depende el significado f´ısico de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking, la naturaleza del efecto Hawking y la solución de todas las paradojas e inconsistencias recientemente encontradas en la f´ısica gravitacional cuando se trata de salvar la unitariedad de la mecánica cuántica. Los agujeros negros cuánticos podr´ıan ser las manifestaciones de la materia en el programa de investigación de unificación de campos que incipientemente desarrolló Einstein, consistentes con la f´ısica del colapso gravitacional iniciada p or Oppenheimer y Sneider, donde lo observable de una estrella congelada o un agujero negro es la vecindad del horizonte de eventos, dependiente de los observadores externos.

Parte I

GENERALIDADES INTRODUCTORIAS

1

Cap´ıtulo 1

´ INTRODUCCION La sugestiva similitud formal entre la dinámica de los agujeros negros y la termodinámica, donde la gravedad superficial k corresponde a la temperatura y el área del horizonte A a la entrop´ıa, después del descubrimiento de la radiación Hawking, se transformó en una descripción térmica de estos objetos. Además, desde la formulación de la segunda ley generalizada de la termodinámica, se considera que la entrop´ıa Bekenstein-Hawking S BH es una genuina entrop´ıa térmica. Se han hecho diferentes investigaciones para establecer la fundamentación de la entrop´ıa S BH . En otras palabras, igual que la termodinámica usual tiene una descripción microscópica bien establecida, se espera que la entrop´ıa asociada a los agujeros negros est´ e relacionada con un número de estados microscópicos. Los primeros intentos de una explicación microscópica de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking surgieron de dos criterios diferentes, uno de origen topológico-euclidiano propuesto por Gibbons y Hawking y el otro derivado de un ambiente térmico con base en el modelo de la pared de ’t Hooft. A la fecha son muchas y variadas las derivaciones de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking. Entre los más fuertes candidatos a consolidar una explicación microscópica de S BH están las teor´ıas de cuerdas, con la dificultad de la fuerte dependencia de los detalles de la teor´ıa y lo poco que dicen acerca de la segunda ley generalizada de la termodinámica. Por otra parte, Hawking ha encontrado que la aproximación de cuerdas y D-branes no describen backgrounds con horizontes y topolog´ıas no triviales, donde las D-branes deben deformar el espacio-tiempo, cambiando la estructura causal. Quiz´ a la más promisoria y apropiada formulación es la que identifica S BH con la Entrop´ıa de Entanglement, asociada con modos y correlaciones ocultos de observadores externos cuando están presentes horizontes de eventos. La investigación del origen mecánico-cu´ antico estad´ıstico de S BH desde el punto de vista de la aproximaci´ on de entanglement ha tenido cuatro formulaciones seminales: (1) La Dinámica de Campos Térmicos de Agujeros Negros, (2) S BH como Entrop´ıa de Entanglement según el modelo de Bombelli et al.(modelo BKLS), (3) El origen Dinámico de la Entrop´ıa de Agujeros Negros y (4) Las aproximaciones de Entanglement Euclidianas y Formales. De las cuales, (1) y (3) son apropiadas para describir la entrop´ıa t´ ermica de entanglement de agujeros negros, (2) no conduce a una matriz densidad t´ ermica de entanglement y (4) que en algunos casos lucen como aproximaciones de entanglement, pero realmente son aproximaciones ligeramente euclidianas no convencionales.

2

´ CAP ´ ITULO 1. INTRODUCCI ON

3

Aunque la aproximación de Gibbons-Hawking ha probado ser útil para calcular la entrop´ıa de agujeros negros en situaciones novedosas, ésta en s´ı misma no aporta una explicación del origen din´ amico de S BH . Además, esperando que más allá del nivel de árbol se manifiesten los aspectos estad´ısticos de la entrop´ıa, se adoptó la entrop´ıa de entanglement, con la publicación del modelo BKLS. Por otra parte, para investigar si esta nueva propuesta ten´ıa significado f´ısico, más allá de la descripción alentadora de una entrop´ıa proporcional al área, S. Mukohyama et. al. investigaron la estructura completa de la termodinámica de entanglement, puesto que esta entrop´ıa t´ ermica adquiere significado f´ısico únicamente en relación a la energ´ıa y temperatura del sistema. Sin embargo, ellos términaron formulando dos clases de termodinámicas de agujeros negros, por no poder definir de manera única la energ´ıa de entanglement. Cualquier intento por formular una entrop´ıa térmica de entanglement con base en el modelo BKLS, conduce a inconsistencias y ambiguedades. En parte por las dificultades de la teor´ıa de cuerdas consideradas arriba y por las inconsistencias de la entrop´ıa de entanglement, se presentan estas notas acerca de los agujeros negros cuánticos, con el fin de formar investigadores en este campo de la f´ısica teórica, con una propuesta clara que pretende precisar conceptos y establecer rigurosamente la f´ısica que soporta toda esta estructura teórica, que usualmente aparece confusa y contradictoria. Básicamente el objetivo principal de este texto consiste en formular una termodinámica de entanglement de agujeros negros de caracter térmico realmente, y que resuelva algunas de las dificultades mencionadas. La propuesta del texto tiene la justificación en un trabajo de investigación que se ha venido realizando en el Observatorio Astron´ omico Nacional de la Universidad Nacional de Colombia en colaboración con Werner Israel de la Universidad de Victoria en Canada. El texto está estructurado de la siguiente forma: para los lectores que no estén familiarizados con la Teor´ıa General de la Relatividad ni con la Teor´ıa de Campos Cuánticos, se incluyeron los capt´ıtulos dos, tres y cuatro en términos de la métrica de Schwarzschild y osciladores armónicos. Los cap´ıtulos cinco y seis contienen los conocimientos básicos de la f´ısica de agujeros negros necesarios para el desarrollo de la temática del texto. La aproximación euclidiana y el modelo de la pared de ’t Hooft introducidos en los cap´ıtulos siete y ocho son fundamentales para comprender los modelos más cercanos a la f´ısica y menos comprometidos con la especulación matemática. La parte III es el contenido principal de las notas acerca de los efectos cuánticos asociados a los agujeros negros en la imágen térmica de la entrop´ıa de entanglement. El efecto Unruh se incluyó en el capt´ıtulo once porque es un test obligado para la f´ısica de agujeros negros y el primer paso de generalizaci´ on de una f´ısica emergente con implicaciones observacionales. Por simplicidad, los cálculos presentados en este trabajo se hicieron con base en un campo escalar real. Salvo en algunas expresiones particulares, en general, se supuso que la constante gravitacional G, la velocidad de la luz c, la constante de Planck h dividida por 2 π y la constante de Boltzmann K B satisfacen G = c =  = K B = 1. Con excepción de la sección 11.3, donde se uso la notación abstracta, las ecuaciones tensoriales están escritas en términos de sus componentes.

Cap´ıtulo 2

LA GRAVEDAD COMO UNA ´ ´ MANIFESTACION METRICA 2.1.

Postulado de imposibilidad

La restricción de la teor´ıa especial de la relatividad a los sistemas de referencia inerciales y la concepción antirelativista de la acción a distancia de la teor´ıa de la gravitación universal de Newton llevaron a Einstein a formular una teor´ıa general de la relatividad. Esta generalización, en cuanto a la naturaleza de los campos gravitacionales relativistas, preliminarmente se puede construir sobre la base de un postulado de imposibilidad, fundamentado en la formulación intuitiva no formal del Principio de Equivalencia Débil: ningún experimento mecánico con part´ıculas libres al interior de un peque˜ no laboratorio en ca´ıda libre hacia una masa, puede manifestar diferencia alguna con respecto al mismo experimento en otro laboratorio equivalente, uniformemente acelerado, situado en el espacio vac´ıo alejado de toda masa. Si al interior del primer laboratorio se colocan dos masas libres, separadas ligeramente, a la misma altura con respecto al piso del laboratorio, después de cierto tiempo se notará que las masas se han estado acercando una a la otra, sin considerar la atracción gravitacional mutua entre sus masas. Observación que no registra un observador en el segundo laboratorio. Asumiendo la validéz del postulado de imposibilidad, es necesario introducir en el segundo laboratorio un efecto que evite las diferencias observables entre los dos experimentos. Para evitar tal diferencia observacional se recurre a la denominada ‘paradoja de Ehrenfest’, que intuitivamente muestra que el área del c´ırculo de un disco rotatorio corresponde a un casquete de una esfera. Es decir, que el costo de abondonar los sistemas de referencia inerciales se manifiesta como curvatura del espacio y desincronización de relojes. Con la noción de espacio curvo se pueden describir las diferencias observadas en el segundo laboratorio considerado en el postulado de imposibilidad, como un efecto de geometr´ıas no euclidianas. El laboratorio alejado de toda masa es un referencial inercial que se mueve libremente siguiendo una trayectoria geodésica sobre un espacio curvo. Para completar la equivalencia con el primer laboratorio en términos de la fuente que genera los efectos gravitacionales, se asume que la geometr´ıa no euclidiana del espacio es resultado de la presencia de una masa fuente como la del primer laboratorio. En la siguiente sección se introducirán las ecuaciones de las l´ıneas geodésicas que siguen las part´ıculas de prueba para luego mostrar que con el postulado de imposibildad se puede pensar la gravedad 4

´ ´ CAP ´ ITULO 2. LA GRAVEDAD COMO UNA MANIFESTACI ON M ETRICA

5

como una manifestación métrica.

2.2.

Ecuaciones de las l´ıneas geod´ esicas

En esta sección se calculará la ecuación de las trayectorias geod´ esicas en un espacio-tiempo curvo, pensando en una descripción relativista sobre geometr´ıas no euclidianas, para llevar hasta las u ´ltimas consecuencias el postulado de imposibilidad introducido arriba.

Figura 2.1: Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos τ 1 y τ 2 sobre una curva x µ (τ ) en un espacio-tiempo curvo, se expresa por:

  τ 2

S =

τ 1

dxµ dxν gµν dτ dτ



1 2

dτ.

(2.1)

La distancia m´ınima entre los dos puntos se obtiene de: δS = 0,

(2.2)

con



τ 2

S =

Fdτ,

(2.3)

τ 1

µ

1 2

F = (gµν ˙x xν ˙ ) ,

dxµ xβ ˙ := . dτ

(2.4)

De (2.2) se calcula: d ∂F dτ ∂ x˙ α d dτ gαβ x ¨β Escribiendo:

∂F − ∂x = 0, α

 − 1 gαβ ˙xβ F

1 ∂g µν µ ν x˙ x˙ = 0, 2F ∂x α

− 12 ∂g∂xµν α x˙ µx˙ ν + ∂∂xgαβλ x˙ β x˙ λ = gαβ ˙xβ F −1 dF . dτ

(2.5)

(2.6)

(2.7)


 

6

 

∂g αβ β λ 1 ∂g αβ ∂ gαβ x˙ x˙ = + ˙xβ x˙ λ ∂x λ 2 ∂x λ ∂x λ 1 ∂g αβ β λ 1 ∂g αβ β λ = x˙ x˙ + x˙ x˙ 2 ∂x λ 2 ∂x λ 1 ∂g αλ ∂ gαβ = + ˙xβ x˙ λ 2 ∂x β ∂x λ

(2.8)

y finalmente de (2.7) y (2.8): gαβ x ¨β + [βλ,α]x˙ β x˙ λ = g αβ ˙xβ

˙ F F

(2.9)

donde 1 [βλ,α] := 2



∂g αλ ∂ gαβ + ∂x β ∂x λ

−

∂ gβλ ∂x α



,

(2.10)

˙ ¨ ¨ F S ≡ τ , s = F , ˙ ˙ , S = 0, (2.9) se puede escribir como: F = S

considerando S

g ϕα gβα x ¨β + g ϕα [βα,λ]x˙ β x˙ λ = 0

(2.11)

β λ d2 xϕ ϕ dx dx + Γ = 0, αλ ds2 ds ds

(2.12)

donde ϕα Γϕ [βλ,α] βλ := g

(2.13)

[µν,κ] = [νµ,κ] ϕ Γϕ αλ = Γλα

2.3.

Aproximaci´ on de campo d´ ebil

Considere una métrica estática gµν = η µν + ∆µν

(2.14)

donde  es una constante pequeña y ∆µν representa una perturbación independiente del tiempo, debida a la presencia de una masa. Lejos de la masa g µν ηµν . Entonces, el elememto de l´ınea se puede escribir como:

→

ds2 =

−(dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + ∆µν dxµdxν .

(2.15)

Escribiendo (2.15) hasta t´ erminos de primer orden en  y β = vc (es decir, no se considerarán los ordenes  2 , β 2 , β y m´ as altos) se obtiene:

 ≈ ds dt

2

c2 ( 1 + ∆00 ).

−

Ahora se aplicará (2.16) a la ecuación geodésica (2.12)

(2.16)


β λ d2 xϕ ϕ dx dx + Γ = 0, βλ ds2 ds ds

7

(2.17)

observe que dxβ dxλ vβ vλ 1 = ds ds c c ( 1 + ∆00 )

−

(2.18)

y que η µν es constante en el espacio-tiempo. Entonces, para β , λ = 0 Γϕ βλ

dxβ dxλ ds ds



∝ β 2,

(2.19)

y para β = 0 o λ = 0 (no ambas nulas),





dxβ dxλ β. ds ds De (2.19) y (2.20), la expresión (2.17) hasta primer orden en  y β se puede escribir Γϕ βλ

∝

d2 xϕ ϕ 2 Γ c = 0. dt2 00

(2.20)

(2.21)

1 ∂ ∆00 Como Γ000 = 0 y Γ ϕ 00 = 2  ∂x ϕ ,

d2 x c2 = ∆00 . (2.22) dt2 2 (2.22) corresponde a la ecuación de movimiento de Newton para un campo gravitacional clásico, derivada de un potencial escalar, si se identifica el potencial escalar como

−∇

φ =

c2 ∆00 . 2

(2.23)

Entonces, dado el potencial clásico φ = GM ıcula de prueba será a lo r , el movimiento de una part´ largo de una geodésica sobre el cuadri-espacio-timepo si el término g 00 de la métrica tiene la forma

−

g00 =

−  1+

2φ c2

.

(2.24)

Con este cálculo es claro que, al menos para campos débiles, la gravedad puede describirse en términos geométricos.

2.4.

Ecuaciones de campo de Einstein en el vac´ıo

La aproximación de campo débil implicar´ıa que la interacción entre masas asociadas al primer laboratorio considerado arriba, de acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, se podr´ıa describir de una forma alternativa y equivalente para el segundo laboratorio, suponiendo que la masa atrayente de éste último según la configuración del primero, curvar´ıa al espacio-tiempo. As´ı, la aproximación de las masas de prueba dentro del segundo laboratorio se describir´ıa como una aproximación geodésica.


8

Con estas consideraciones se puede formular, de la aproximación presentada arriba, una teor´ıa integralmente geométrica: la ecuación de Laplace, de acuerdo con la manifestación métrica de los potenciales gravitacionales, se generaliza en t´ erminos de un tensor de segundo orden en las derivadas de la métrica. Considerando que la gravedad se manifiesta como la curvatura del espacio-tiempo, ese tensor de segundo orden se debe derivar del tensor de Riemann: Rβϕ = Rδ βδϕ .

(2.25)

Entonces se pueden proponer las ecuaciones Rβϕ = 0

↔ Rβϕ − 1/2Rgβϕ = 0,

(2.26)

las cuales se conocen como las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo.

2.5.

Soluci´ on de Schwarzschild

El potencial gravitacional exterior a una distribución de masa M con simetr´ıa esférica, a la distancia r medida radialmente desde el centro de la distribución de masa, es una solución de la ecuación (2.26): para c = G = 1, en coordenadas esféricas (t,r,θ,ϕ), 2

ds =

2.6.

− −   −  1

2M dt2 + 1 r

2M r

−1

dr2 + r2 d2 Ω.

(2.27)

Escalar de Kretschmann

La singularidad que presenta la solución (2.27) en r = 2M es de tipo coordenado, es decir, no corresponde a una divergencia en la variedad espacio-temporal. Para demostrar esta afirmación se introduce un objeto independiente de las coordenadas, denominado el escalar de Kretschmann. El cual se calcula en términos de las componentes del tensor de Riemann: Rαβδϕ Rαβδϕ = k.

(2.28)

(2.29)

Los elementos R αβδϕ se calculan con base en la relación siguiente: µ Rαβδϕ = g αµ Rβδϕ ,

y los elementos R αβδϕ mediante Rαβδϕ = g ρλ gν Ω gµ

(2.30)

α = g βλ g νδ gµϕ Rλνµ .

Para la solución de Schwarzschild, con coordenadas (t,r,θ,ϕ), las componentes no nulas del tensor de Riemann son: 0 0 0 1 R101 , R202 , R303 , R212 , R1313 , R2323 .

(2.31)


9

Entonces, k = 4 R0101 R0101 + R0202 R0202 + R0303 R0303 + R1212 R1212 + R1313 R1313 + R2323 R2323

{



4M 2 M 2 M 2 M 2 M 2 4M 2 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 r6 r r r r r 2 48M = . r6 =4



} (2.32)

Lo cual significa que la única singularidad esencial se presenta en r = 0.

2.7.

Coordenadas de Kruskal

En esta sección se expresará la solución de Schwarzschild en unas nuevas coordenadas (T,Z,Θ,ϕ) tal que no generen singularidades coordenadas en el horizonte de eventos y permitan aplicar claramente efectos cuánticos con base en la teor´ıa ‘Dinámica de Campos Térmicos’de Umezawa y Takahashi, suponiendo que la masa M colapsa y genera un agujero negro. Estas nuevas cooordenadas surgen de explorar la vecindad donde las coordenadas de Schwarzschild presentan una sungularidad no esencial. La forma más sencilla para hacer tal exploración se reduce a escoger part´ıculas sin masa incidiendo radialmente hacia el horizonte, en decir, (2.27) se simplifica en la expresión siguiente

− −   −  1

2M 2 d t+ 1 r

2M r

−1

d2 r = 0,

(2.33)

de la cual se encuentra la relación funcional entre r y t: t = r + 2M ln

r | 2M − 1 | +cte.

(2.34)

Puesto que se escogieron part´ıculas sin masa, las coordenadas apropiadas para expresar la métrica son las coordenadas nulas: u = t r∗ v = t + r∗ ,

−

(2.35)

r donde r∗ = t = r + 2M ln 2M 1 . Con base en las consideraciones hechas arriba se puede reescribir (2.27), para la vecindad muy próxima a r = 2M , lo cual se notará

|

ds2

− |

u v ≈|r→2M ∓ exp − 4M du exp dv + r2 d2 Ω, 4M

(2.36)

para r > 2M y r < 2M , donde

≈|r→2M 2M ln | 1 − 2M | r

r∗ es decir,

(2.37)


r∗ =

v

− u ≈ 2u ln | 1 − 2M |, 2

 − ≈  − ≈− 1

2M r

1

2M r

10

exp

r

v u 4M

−

exp

si r > 2M ,

v u 4M

−

(2.38)

si r < 2M.

De (2.36), como efecto de la exploración de la vecindad de la singularidad, se observa la presencia de unas nuevas coordenadas, que se denominan coordenadas de Kruskal: U :=

u ∓ exp − 4M

(2.39) v . 4M Con base en (2.36) es evidente que en r = 2M no existe una singularidad esencial. Entonces, regresando a (2.27), en t´ erminos de las coordenadas nulas (2.35) se obtiene V := exp

2

ds =

− −  1

2M dudv + r2 d2 Ω, r

(2.40)

la cual, usando (2.39) se transforma en

2

ds =

∓ −  1

2M u 16M 2 exp exp r 4M

v − 4M dUdV + r2 d2 Ω

para r > 2M y r < 2M. (2.41)

Para r > 0 de (2.41) se calcula ds2 =

3

− 32M r

r − 2M )dUdV + r2 d2 Ω,

exp (

(2.42)

la cual, introduciendo las coordenadas de Kruskal (T, Z ): U = T Z V = T + Z,

−

(2.43)

se reduce a ds2 = (exp

3

r 32M − 2M ) (−dT 2 + dZ 2 ) + r 2 d2 Ω, r

(2.44)

donde claramente, se hizo la transformación de coordenadas de (t,r,θ,ϕ)

→ (T,Z,θ,ϕ),

que conduce a una métrica sin problemas en r = 2M . De la propiedad

(2.45)


 −  −  −    −   

11

r r ) 1 = UV válida para r > 0, 2M 2M es directo encontrar las transformaciones entre las coordenadas consideradas: (exp

r r T (r, t) = exp 4M 2M r r Z (r, t) = exp 4M 2M

1 1

1 2

1 2

t 4M t cosh 4M

(2.46)

sinh

(2.47)

para r > 2M.

Para 0 < r < 2M , de manera similar se obtiene ds2 = (exp

3

r 32M − 2M ) (−dT 2 + dZ 2 ) + r 2 dΩ2 , r

(2.48)

con las correspondientes transformaciones

−   −   

r T (r, t) = exp 1 4M r Z (r, t) = exp 1 4M

r 2M r 2M

1 2

1 2

cosh sinh

t 4M t 4M

(2.49)

para r < 2M .

Todo este análisis muestra la existencia de una variedad con tiempo global T ,como muestra la figura del espacio-tiempo de Shwarzschild extendido maximalmente, que se subdivide en cuatro subvariedades: Z > T T > Z

| | | |

y su región isométrica (Z < T ) y su regi´ on isométrica.

| |

(2.50)


Figura 2.2: Espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente.

12

Cap´ıtulo 3

´ SOBRE LAS CUANTIZACION VARIEDADES RIEMANNIANAS Cuando se hace teor´ıa cuántica de campos sobre una variedad no expl´ıcitamente minkowskiana surge una ambig¨ uedad intr´ınseca en la construcción del espacio de Fock. En general se presenta una no unicidad en el esquema de cuantización canónica. En el espacio-tiempo de Minkowski el grupo de isometr´ıas es el grupo de Poincaré, luego es posible escoger un campo vectorial de Killing temporal tal que, algunos sistemas resultan invariantes bajo traslaciones temporales, lo que lleva a la conservación de la energ´ıa. En particular, en el esquema de la cuantización canónica de un campo escalar el vac´ıo es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré, es decir, para todos los observadores se define un estado de vac´ıo común. La anterior descripción es completamente diferente cuando la cuantización de los campos se lleva a cabo en presencia de campos externos como el campo gravitacional. Diferentes fenomenolog´ıas se presentan dependiendo si el campo externo es estacionario o no lo es. Si éste es estacionario, generalmente se esperan efectos de polarización del vac´ıo; o emisión de part´ıculas del vac´ıo cuántico si no es estacionario. Respecto a la presencia de campos gravitacionales, el grupo de isometr´ıas del espacio-tiempo ya no es el grupo de Poincaré. En general en los espacios-tiempo curvos no hay una única escogencia del tiempo coordenado lo que lleva a la existencia de diferentes estados de vac´ıo, es decir, no habrá un u ´ nico estado de vac´ıo para todos los observadores. Los efectos Hawking y Unruh son un directa consecuencia de la no unicidad de la cuantización canónica en los espacios-tiempo Riemannianos.

3.1.

Cuantizaci´ on Can´ onica

La ambig¨ uedad introducida por la presencia de un campo externo en la construcción del espacio de Fock para el esquema de la cuantización canónica de un campo, está principalmente relacionada con la ausencia de una única separación del operador de campo en las partes de frecuencia positiva y negativa. Una consecuencia general de esta mezcla de modos es la creación de part´ıculas del vac´ıo cuántico. 13

´ SOBRE LAS VARIEDADES RIEMANNIANAS CAP ´ ITULO 3. CUANTIZACI ON

14

Previamente a la consideración de campos externos, es importante definir el papel de los modos de frecuencia positiva y negativa con respecto a un campo vectorial de Killing temporal en el esquema de la cuantización canónica de un campo, en particular un campo escalar libre (por simplicidad) sobre el espacio-tiempo de Minkowski. Consid´ erese que en general un campo vectorial de Killing ξ satisface la ecuación ξ µ ;ρ ;σ =

−Rλσρµξ λ ,

(3.1)

que para el caso particular del espacio-tiempo de Minkowski se reduce a la expresión ∂ 2 ξ µ =0. ∂x ρ ∂x σ

(3.2)

Integrando las ecuaciones (3.2) se obtiene ξ µ (x) = a µ + bµν xν , con a µ y b µν constantes y b µν =

(3.3)

−bνµ .

Los campos vectoriales de Killing definidos por (3.3) determinan las isometr´ıas del espacio-tiempo de Minkowski, y el grupo local de difeomorfismos generado por estos campos vectoriales es un grupo de Lie de dimensión n(n+1) . 2 Este grupo de isometr´ıas denominado de Poincaré, junto con las isometr´ıas discretas, conforma el grupo total de isometr´ıas que, caracterizan las propiedades de simetr´ıa maximal del espacio-tiempo de Minkowski. De los 10 campos vectoriales de Killing linealmente independientes, determinados por la expresión (0) (3.3), se puede elegir un campo vectorial de Killing como de tiempo ξ µ , de tal manera que es (0) ∂ posible introducir una coordenada temporal t, tal que ξ µ etrica sea inde∂t , 0, 0, 0 y la m´ pendiente de t.

≡





El esquema de la cuantización canónica requiere un conjunto de soluciones de las ecuaciones de campo



(+) ( ) (+) φ (t, x) ; φ (t, x) = φ k k k

−



∗(t, x) ,

(3.4)

el cual sea completo y ortonormal con respecto al producto escalar definido por (φ1 , φ2 ) = donde



t denota

 −

←→

φ1 (X ) ∂ t φ∗2 (X ) d3 X ,

i

P

(3.5)

t

una hipersuperficie como de espacio para el instante t definido arriba. (+) k

( ) k

−

N´ otese que (3.5) se ha definido justo tal que ( φ , φ ) = 0. (+) k (0) ξ µ .

Para interpretar correctamente energ´ıa, vac´ıo de los campos e impulso, los modos de campo φ deben ser de frecuencia positiva con respecto al campo vectorial de Killing temporal escogido


15

Justamente los supersignos ( ) denotan soluciones con energ´ıa positiva y negativa respecto al t escogido. En otras palabras: Considérese expl´ıcitamente los modos

±

(+)

∝ e−iKX , (−) φ (t , x) ∝ eiKX , k K , X ∈ R4 , K = (K 0 ,  k) , (t , x) φ k

donde

(3.6)

KX := η µν K µ K ν , ηµν : Tensor métrico de Minkowski .

En el esquema de la cuantización canónica las componentes K 0 y  k del c-vector de onda K se interpretan como la energ´ıa y el impulso del campo, respectivamente. (0)

La elección de la coordenada temporal t con base en el campo vectorial de Killing temporal ξ µ , significa que el sistema es invariante bajo traslaciones temporales, lo que implica conservación de la energ´ıa. Con la derivada de Lie a lo largo de la dirección del campo de Killing se definen los signos de K 0 , consigui´ endose que el campo siempre tenga energ´ıa positiva (lo cual se espera si se quiere un campo realizable f´ısicamente), es decir, los modos (3.6) deben ser funciones propias del ∂ operador ∂t , ∂ (+) (+) φ (t, x) = iK 0 φ (t, x) k k ∂t  ∂ (−) (−) φ (t, x) = iK 0 φ (t, x) , k k ∂t

−

(3.7)

con K 0 = ω 0, elegido de la ecuación de Klein-Gordon, la cual implica que k 2 + m2 = 0 conduce a K 0 =  k 2 + m2 .

 ≥

En la ausencia de campos externos se tiene un procedimiento para construir un espacio de Fock completamente bien definido: Un campo escalar φ(t, x) en el espacio-tiempo de Minkowski puede ser expandido en términos de los modos expresados por (3.4) φ =

  k

(+)

( )

−



† φ (t, x) , a (t, x) + a k φ k k  k

(3.8)

donde, una vez se cuantiza φ, un estado de múltiples part´ıculas se puede construir del estado de vac´ıo 0 , definido como  a 0, k (3.9) k 0

| 

| ≡

∀

† y a , de construcción y destrucción respectivamente. As´ı, es por la aplicación de los operadores a  k k natural esperar el valor espresso

 

0 N k 0 = 0

∀ k,

donde N k es el operador número de part´ıculas para el modo  k.

(3.10)


3.2.

16

Cuantizaci´ on Can´ onica en Campos Externos

En general, la descripción presentada en la sección 3.1, cuando está presente un campo externo, conduce a la existencia de diferentes conjuntos completos ortonormales de soluciones igualmente válidos, es decir, se presentarán diferentes estados de vac´ıo inequivalentes. En particular, en este numeral se considerará la presencia del campo gravitacional en una aproximación semiclásica, es decir, ignorando los efectos cuánticos de la gravedad sobre los campos cuánticos de materia. La aproximación de tratar cuánticamente los campos de materia sobre un background espaciotemporal curvo y clásico es una buena aproximación en regiones donde el radio de curvatura sea mucho mayor que la longitud de Planck. En los espacio-tiempos curvos el grupo de Poincaré ya no es el grupo de isometr´ıas de la variedad, entonces en general, no hay una única escogencia del tiempo coordenado. Diferentes escogencias conducen a diferentes definiciones de modos de frecuencia positiva y diferentes estados de vac´ıo. Esta ambig¨ uedad en la construcción del espacio de Fock está relacionada básicamente con la ausencia de una u ´ nica separación del operador de campo en partes de frecuencia positiva y negativa. Una consecuencia general de esta mezcla de modos es la creación de part´ıculas del vac´ıo cuántico. Existen diferentes formas de crear part´ıculas del vac´ıo, sin embargo todos los procedimientos tienen en com´ un la propiedad matemática de la mezcla de frecuencias positivas y negativas. El método semiclásico ilustra dos aspectos de la cuantización canónica de campos definidos sobre variedades curvas, la aproximación al esquema de cuantización mostrada en la sección 3.1 y una imágen heur´ıstica acerca de la creación de part´ıculas. Siempre es posible construir un sistema coordenado localmente Gaussiano en una vecindad de alg´ un punto p sobre la variedad curva, válido hasta distancias del orden del radio de curvatura ρ asociado a p, el cual se puede expresar en términos del tensor de Riemann como Rabcd Rabcd

≈ ρ−4 .

(3.11)

Con base en este sistema coordenado se puede definir un conjunto completo de soluciones de la (+) (−) ecuaci´ on de onda del campo para K 0 ρ−1 , con la división para los modos φ y φ , de acuerdo k k con la ecuación de valores propios usual



∂ (±) (±) φ (X ) = iK 0 φ (X ) , k k ∂t donde, para frecuencias del orden K 0 ρ−1 tal división ya no será válida porque λ de onda de los modos se extender´ıa a regiones con conexión no nula).

∓

≤

(3.12)

≥ ρ (la longitud

Complementariamente a la descripción local anterior, de ésta puede modelarse heur´ısticamente la creaci´ on de part´ıculas. La incertidumbre en la densidad de la energ´ıa local causada por la ambig¨ uedad en definir modos de longitud de onda mayores que el radio de curvatura local puede considerarse como correspondiente a la densidad de energ´ıa local de part´ıculas creadas por el campo gravitacional. Aunque los efectos de creación de part´ıculas pueden ser despreciables localmente, para el caso del campo gravitacional de un agujero negro, puede mostrarse que su adición es significativa para tiempos del orden de 10 17 s con una distribución planckiana en el infinito.


17

En general, la construcción de la teor´ıa de campos cuánticos en espacios curvos requiere espaciostiempo globalmente hiperbólicos para asegurar que la estructura causal esté bien definida y que el espacio de soluciones de las ecuaciones clásicas de campo tengan la misma estructura básica como en el espacio-tiempo de Minkowski. La única diferencia significativa con el caso del espacio-tiempo de Minkowski es que en general no se tiene una escogencia preferencial del espacio de Hilbert de una part´ıcula .

H

En este caso se pueden escoger dos conjuntos completos ortonormales de modos de solución (+) (−) (+) (−) ui , ui , u ¯j , ¯ uj , de tal manera que se pueden expandir unos en términos de los otros,

{

} {

}

u ¯j =

 

−

(+)

+ β ji ui ) ,

(3.13)

(+)

− β ji ¯u(j−)) ,

(3.14)

(αji ui

( )

i

ui =

(α∗ji ¯ uj

j

donde β ij =

(−) −(¯u(+) i , uj ) ,

calculado con la generalización de (3.5) para cada escogencia temporal. En el esquema de la cuantización canónica se definen los estados de vac´ıo para cada escogencia arriba ai 0 = 0 , a ¯j ¯0 = 0 ,

∀i ∀ j

| |

(3.15)

donde los a i y a ¯j son los respectivos operadores de destrucción. El valor esperado del operador número de part´ıculas N i = a†i a i en el estado de vac´ıo de la otra representaci´ on ¯0 ,

| 

 ¯0 | N | ¯0  = i

|

β ji 2 ,

j

|

(3.16)

(+)

indica claramente que una mezcla de modos de frecuencia positiva u i y modos de frecuencia ne(−) gativa u i en (3.13), debido a que cualquier β ji = 0, conduce a estados de vac´ıo inequivalentes. La (+) expresi´ on (3.16) significa que el vac´ıo de los modos ¯uj contiene j β ji 2 part´ıculas en el modo ui .



|

(+)

|

( )

−

En particular, una clara y estable separación de los modos φ y φ dada por las ecuaciones (3.7) k k y (3.12), evitando la ambigüedad en la construcción del espacio de Fock (y su general consecuencia de creación de part´ıculas), se puede generalizar a algunos espacios curvos que admiten particulares grupos de simetr´ıa, como los espacio-tiempos estacionarios. Un espacio-tiempo globalmente hiperbólico ( , gab ) que admita un grupo uniparam´ etrico de isometr´ıas cuyas curvas integrales sean como de tiempo se denomina estacionario. A diferencia de los espacios-tiempo globalmente hiperbólicos en general, en los espacios-tiempo estacionarios existe una prescripción natural para definir como el espacio de soluciones de frecuencia positiva con

M

H


18

respecto al tiempo de Killing ∂ η que genera estas isometr´ıas. En otras palabras, las ecuaciones de valores propios (3.7) y (3.12) se generalizan a la forma siguiente

L∂η φ(K ±)(η, x) = ±K 0 φ(K ±)(η, x) ,

(3.17)

donde la derivada de Lie a lo largo de la dirección del campo de Killing ∂η determina los signos de las frecuencias. As´ı la globalidad del campo vectorial de Killing garantiza que el vac´ıo definido será estable y no se presentará creación de part´ıculas.

Cap´ıtulo 4

´ DINAMICA DE CAMPOS ´ TERMICOS El formalismo denominado Dinámica de Campos Térmicos tiene por objetivo principal expresar el estado de vac´ıo de los campos en función de la temperatura 0(β ) , que satisfaga

0(β )|A|0(β ) = Z −1(β )

|  n|A|ne−βE

 n

para una variable dinámica A, donde la Hamiltoniana

(4.1)

n

H asociada

satisface

|n = E n|n, n|m = δ nm.

H

(4.2)

(4.3)

En otras palabras, lo que formula la dinámica de campos térmicos es una representación en la cual el valor esperado para el vac´ıo coincida con el promedio estad´ıstico de una magnitud A, que para el ensamble gran canónico a la temperatura T está dado por

A = Z −1(β )T r[e−β

H

A] = 0(β ) A 0(β ) ,



| |



(4.4)

con

1 . kB T Donde H es la Hamiltoniana total del sistema, µ el potencial qumico y k B la constante de Boltzmann. H

4.1.

= H

− µN,

Z (β ) = T r[e−β H A] y

β =

Campos cu´ anticos como osciladores arm´ onicos

Intuitivamente la cuantización de los campos se puede describir en términos de un modelo unidimensional de N osciladores acoplados, con N tendiendo a infinito, cuya energ´ıa total escrita en coordenadas normales permite su descripción cuántica de la siguiente forma N

E =



(ni + 1/2)ωi ,

i=1

19

(4.5)

´ ´ CAP ´ ITULO 4. DIN AMICA DE CAMPOS T ERMICOS

20

con modos de frecuencia ω i y n i enteros positivos o cero. En esta descripción el estado de vac´ıo 0 est´ andar se define con base en los operadores de destrucci´ on a i como ai 0 = 0, (4.6)

|

|

considerando que la Hamiltoniana asociada se puede escribir usando el operador número N = a †i ai que, se define en términos de los operadoes de destrucción a i y creación a †i H =

∞



ωi a†i ai ,

(4.7)

i=1

donde no se ha considerado la contribución de los sumandos 1/2

 ∞

i=1

ωi , recurriendo a la técnica

denominada operación orden normal, puesto que en espacios planos la energ´ıa no se mide en términos absolutos sino en términos de diferencias entre niveles de energ´ıa.

4.2.

Sentido f´ısico de la din´ amica de campos t´ ermicos

Si dos subsistemas son identicas copias uno del otro y están entanglados cuánticamente de tal manera que conforman un estado puro para el sistema total, cada uno de ellos llega a ser macrosc´ opicamente indistinguible de un cuerpo caliente a una temperatura definida T . Cada uno de ellos llega a ser un baño de calor para el otro. Considere un sistema compuesto de un par de subsistemas id´ enticos, con Hamiltonianas H 1 y H 2 iguales en forma y con valores propios comunes E n : H 1,2 n

= E n n

| 

| 

1,2

1,2

.

(4.8)

Se construye un estado puro T del sistema total, caracterizado por un parámetro real no negativo T que entangla los subsistemas como

| 

| T  = Z −

1 2



1

e− 2 1/T E n n

n

|  ⊗ | n  1

2

.

(4.9)

Si O1 es cualquier operador que actúa u ´ nicamente sobre estados del subsistema 1, su promedio térmico es igual a su valor esperado en el estado T : T r (ρ1 O1 ) =

 n

e−1/T E n 1

|   n | O1 | n  =  T | O1 | T  . 1

(4.10)

En esta forma se reduce la mecánica estad´ıstica a la teor´ıa de campos cuánticos. La aplicación de esta concepción a sistemas divididos por horizontes de eventos ha sido muy útil para describir la naturaleza térmica de los resultados de Fulling, Gibbons, Hawking y Unruh.


4.3.

21

Formalismo de la din´ amica de campos t´ ermicos

Para obtener la expresión (4.1) en el sentido de la sección 4.2, se expande el estado de vac´ıo térmico 0(β ) en t´ erminos de una base n de un espacio de Hilbert en la forma

|



{| } |0(β ) =

 |  |   n n 0(β ) =

n

f n (β ) n ,

|

n

(4.11)

donde se recurrió a la completez del espacio de Hilbert. Sustituyendo (4.11) en el lado izquierdo de la ecuación (4.1), se obtiene

 n

f n∗ (β ) n A

|

 

n,m



f m (β ) m = Z −1 (β )

m

| 

n A n e−βE n

n

f ∗ (β )f m (β )n|A|m = Z −1 (β ) n

f n∗ (β )f m (β ) n A m = Z −1 (β )

| | 

n,m

 | |   | |   || 

n A n e−βE n

n

δ nm n A m e−βE n ,

n,m

f n∗ (β )f m (β ) = Z −1 (β )e−βE n δ nm .

(4.12)

Esta u ´ ltima relación presenta una dificultad, puesto que es imposible para los coeficientes de la expansión (4.11). Simples números complejos no satisfacen una relación que requiere objetos vectoriales. Sin embargo, la relación (4.12) se puede considerar como una condición de ortogonalidad en un espacio de Hilbert en el cual el coeficiente f m (β ) sea un vector. Es decir, el estado 0(β ) es un vector en el espacio expandido por n y f m (β ). Para llevar a cabo tal representación es conveniente introducir un sistema dinámico ficticio id´ entico al que se está considerando. De acuerdo con esta represntaci´ on, se denotarán las cantidades asociadas con el sistema ficticio con una tilde. As´ı, ˜ y el espacio de los vectores de estado el sistema ficticio se caracterizará por la Hamiltoniana H será expandido por los vectores n ˜ que satisfacen las siguientes relaciones

|

|

|  ˜ |n H ˜  = E n |n ˜ ,

n˜|m˜  = δ nm,



(4.13)

donde se establece que la energ´ıa es la misma del sistema f´ısico. El vector de estado del sistema total se construye a partir del producto directo de los vectores de estado de cada uno de los subsistemas, f´ısico y ficticio:

|n, m˜  = |n ⊗ |m˜ .

(4.14)

˜ De esta forma, los elementos de la matriz de los operadores A y A son dados respectivamente por 









m, ˜ n|A|n , m ˜  = n|A|n δ mm , m, ˜ n|A˜|n , m ˜  = m ˜ |A|m ˜ δ nn . 

(4.15)



(4.16)



Definiendo el coeficiente vectorial de la expansión (4.11) como f n (β ) = e −βE n /2 Z −1/2 (β ) n ˜ ,

|

(4.17)


22

se verifica la relación (4.12), pero sin la inconsistencia de ortogonalidad que se presentaba anteriormente. As´ı, f n∗ (β )f m (β ) = e −βE n /2 Z −1/2 (β ) n ˜ e−βE m/2 Z −1/2 (β ) m ˜

|

| 

= e −β/2(E +E ) Z −1 (β )n ˜ |m ˜ = Z −1 (β )e−βE δ nm . n

(4.18)

m

n

Entonces, usando la definición (4.17) se construye el estado de vac´ıo térmico a partir de la ecuación (4.11) como sigue

|0(β ) = Z −1/2(β )



|  ⊗ |n˜ = Z −1/2(β )

e−βE n /2 n

n

 

e−βE n /2 n, n ˜ .

| 

n

(4.19)

Finalmente se verifica la relación (4.1) teniendo en cuenta la ecuación (4.19):

   | | 

0(β )|A|0(β ) = Z −1/2(β ) = Z −1 (β )

e−βE n /2 n ˜ , n AZ −1/2 (β )

 |

n

e−β/2(E +E n

n,m

= Z −1 (β )

m)

e−βE m /2 m, ˜ m

|

m



n|A|mδ nm

(4.20)

n A n e−βE n .

n

4.4.

Modelo de osciladores dobles para agujeros negros

En esta sección se presenta un modelo sencillo, en t´ erminos de osciladores armónicos, para introducir los esquemas de cuantización Killing-Boulware y Kruskal-Hartle-Hawking, los cuales se desarrollar´ an rigurosamente en cap´ıtulos posteriores. Para un grado de libertad bosónico, apropiado para la mecánica estad´ıstica de entanglement de agujeros negros, en t´ erminos de dos osciladores acoplados, se definen: Esquema Killling-Boulware: Dos osciladores: q + (t), q − (t) Esquema Kruskal-Hartle-Hawking: Dos osciladores: Q + (t), Q − (t) Estos 4 osciladores satisfacen las siguientes ecuaciones: ¨  + ω 2 Q (t) = 0, Q

q¨  + ω2 q  (t) = 0,

 =

±1.

(4.21)

cuyas soluciones se relacionan por medio de la transformación de Bogoliubov Q (t) = cosh(χ)q  (t)

− sinh(χ)q −(t),

(4.22)

donde χ = χ(ω) está definida en términos de tanh(χ) = e−π|ω|/k ,

(4.23)

y k es la gravedad superficial. Los correspondientes modos de solución son los siguientes: Q (t) =

√ 12ω (ae−iωt + a† eiωt ),

q  (t) =

√ 12ω (be−iωt + b† eiωt ).

(4.24)


23

A partir de (4.22) y (4.24) se obtienen a = cosh(χ)b

− senh(χ)b−, a† = cosh(χ)b† − senh(χ)b†− .

(4.25)

Donde se verifica el invariante cuadrático Q2+

− Q2− = q +2 − q −2 .

(4.26)

Adem´ as, se verifica la invariancia de la Lagrangiana L establecida por el formalismo de la dinámica de campos térmicos 1 1 ˙ 2 ω2 Q2 ). L = (q ˙2 ω2 q 2 ) = (Q (4.27) 2  2 





−

−

De lo anterior se verifica la invariancia del Hamiltoniano H =

 

p ˙q 



H =

− L = 12

P  Q˙ 



−

donde p = Considerando

d dt de

 

1 ω 2

( p2 + ω2 q 2 ) =



1 L = 2



 

(ˆb† ˆb + ˆbˆb† ),

P  =

(4.28)



1 (P 2 + ω2 Q2 ) = ω 2

∂L q =  q ˙ , ∂ q ˙

(ˆ a† a ˆ + â a ˆ† ),

(4.29)



∂L Q ˙  . =  Q ˙ ∂ Q

(4.30)

las ecuaciones (4.22) y (4.30) se obtienen d d d Q (t) = cosh(χ) q  (t) sinh(χ) q − (t), dt dt dt ˙ Q = cosh(χ)q ˙ + sinh(χ)q ˙− ,

−

P  (t) = cosh(χ) p (t) + senh(χ) p− .

(4.31)

Se establecen las relaciones de conmutación dadas por [q  (t), p (t)] = iδ  ,

[Q (t), P  (t)] = iδ  .

[a , a† ] = [b , b† ] = δ  .

(4.32)

(4.33)

De (4.24) y (4.30) se obtienen a e−iωt =

√ 12ω (ωQ + iP ),

b e−iωt =

√ 12ω (ωq  + ip ).

(4.34)

Para el esquema Hartle-Hawking se define el estado base 0 a :

| 

a+ 0 a = a †− 0 a = 0,

|

donde a + y a †− son operadores de aniquilación.

|

(4.35)


24

De (4.34) y (4.35) se obtiene (ωQ + iP  ) 0 a = 0,

( =

|

±).

(4.36)

De igual manera para el esquema Killing-Boulware se define el estado base 0 b :

| 

b+ 0 b = b †− 0 b = 0,

|

|

(4.37)

donde b + y b †− también son operadores de aniquilación. De manera similar a (4.36) se obtiene (ωq  + ip ) 0 b = 0,

( =

|

±).

(4.38)

En términos de la función de onda ψ0b para el esquema Killing-Boulware es útil introducir las siguientes expresiones: 





ψ0b (q + , q − ) = q 0 b , la cual satisface

 |





∂ ωq  + ψ0b (q ) = 0, ∂q 

lo cual implica 

ψ0b (q ) =



2 ω −1/2ω(q+ 2 +q− ) e . π

(4.39)

Donde para la representación de Schrödinger p =

−i ∂q ∂  .

(4.40)

Igualmente para el otro esquema se establece





∂ ωQ  + ψ0a (Q) = 0, ∂Q 

lo cual implica de nuevo 

ψ0a (Q ) =



ω −1/2ω(Q+2 +Q−2 ) e . π

(4.41)

De las relaciones (4.28), (4.29), (4.35) y (4.37) se encuentra que ambos estados base tienen energ´ıa cero, es decir H 0 a = H 0 b = 0. (4.42)

|

4.4.1.

|

Matriz densidad t´ ermica reducida

Para el caso de un observador restringido a una de las regiones, la de la izquiera o la de la derecha en la variedad de Kruskal (figura 2.2), se hace necesario el cálculo de la matriz densidad reducida a partir de una matriz densidad total, es decir 



ρ0a (Q , Q )

≡

ω − 12 ω ψ0a (Q )ψ0a (Q ) = e π 









(Q2 +Q 2 )

P

.

(4.43)


De (4.22) y

 



25



(Q2 + Q 2 ) se obtiene







(Q2 + Q 2 ) = C 2χ



donde







(q 2 + q  2 )











− 2S 2χ(q +q − + q +q −),

C χ = coshχ, S χ = senhχ.

(4.44)

(4.45)

Para la región no accesible por el observador restringido se calcula la traza, en este caso la suma sobre q −





 



(Q2 + Q 2 )





  q− =q− =q−









2 =C 2χ (q +2 + q +2 + 2q − )

=C 2χ (q +2 + q +2 ) + 2C 2χ (q −

{

− tanh2χ · q¯ +)2 − tanh22χ · q¯ +2 }, (4.46)



≡ 21 (q + + q +).

donde q¯+ Si se define

− 2S 2χ q −2¯q+





ρred (q + , q + ) =







ρ0a (Q , Q )dq −

se muestra que ω ρred (q + , q + ) = π 











,

(4.47)

q− =q− =q−

π − 12 Cω2χ {C 22χ (q+ 2 +q+ 2 )− 12 S 2χ (q+ +q+ )2 } e . ωC 2χ

(4.48)

Esta matriz densidad es térmica como se mostrará abajo. Básicamente se demostrará que (3.48) es reexpresable como ∞     1 ρred (q + , q + ) = 2 tanh2n χψn (q + )ψn (q + ), (4.49) C χ n=0

   √

donde ψ n (q ) son funciones de onda de la forma i(n+ 12 )ωt

ψn (q, t) = ψn (q )e−

=

ω π

1 4

√

2 1 1 1 H n ( ωq )e− 2 ωq e−i(n+ 2 )ωt , n 2 n!

(4.50)

donde se puede observar que la expresión (4.49) satisface la estructura térmica de la expresión (4.19) de la dinámica de campos térmicos. Entonces, en los siguientes párrafos, básicamente, se mostrar´ a tal afirmación. Considerando los cambios de variable: x =

√ ωq , 

+

y =

√ ωq , 

tanhθ = tanh2 χ,

−

(4.51)

se llega a cosh2θ = senh2θ =

2 C 2χ

− 21 S 2χ2 ,

C 2χ 1 2 2 S 2χ

C 2χ

.

(4.52)


26

Con base en (4.51) y (4.52), la expresión (4.48) se simplifica de la siguiente forma

  ≡    √

2 2 2 1 ω e 2 (y −x ) e−(yC θ −xS θ ) . πC 2χ

ρred (x, y) =

Construyendo

∞

ρred

1

2

ρred (x, y)H n (y)e− 2 y dy,

(4.53)

(4.54)

−∞

y reemplazando (4.53) en (4.54) se obtiene ω − 12 x2 e πC 2χ

Con base en la identidad

1 π

∞

∞

2

e−(yC θ −xS θ ) H n (y)dy.

(4.55)

−∞ 2

e−(yC θ −xS θ ) H n (y)dy =

−∞

tanhn θ H n (x), coshθ

(4.56)

y la expresión (4.55) se obtiene

√ ω

1 2 tanhn θ H n (χ)e− 2 x . C χ2 coshθ

  

(4.57)

Por otra parte se observa que de (4.49) y (4.50), en general, se puede proponer ρred (x, y) =

ω 1 π C χ2

∞ tanhmθ

m=0

2m m!

1

2

H m (x)H m (y)e− 2 (x

+y2 )

.

(4.58)

Al evaluar (4.58) en (4.54), y usar la propiedad de ortogonalidad dada por



∞

2

e−y H m (y)H n (y)dy =

√ π2nn!δ

mn ,

(4.59)

−∞

se llega a

√ ω C χ2

1

2

tanhn θH n (χ)e− 2 x .

(4.60)

As´ı, claramente se ve que de (4.58) y (4.53) se obtiene la misma funcionalidad para todo n. De 2

(4.52) y coshθ =

√ C C

χ

2χ

, se muestra que (4.57) es igual a (4.60). Lo anterior establece la igualdad

de (4.48) con (4.49).

Al retomar la función de onda (4.41) y escribir Q = C χ q 

Q2+

− S χq −, − Q− = C 2χ(q +2 − q −2 ) − 2S 2χq +q −, 2

se puede establecer que 1 ψ0a (Q) = C χ

∞



n=0

tanhn χψn (q + )ψn (q − ).

(4.61)

(4.62)

(4.63)


Entonces, tomando x =

√ ωq

+

y y =

ψ0a (x, y) =

27

√ ωq , (4.41) y (4.61) conducen a



−

ω − 12 e C 2χ (x2 + y 2 ) π

{

− 2S 2χxy}.

(4.64)

As´ı, (4.63) usando (4.50), se reduce a 1 ψ0a (x, y) = C χ

  ω π

∞ tanhn χ 2n n!

n=0

1

2

H n (x)H n (y)e 2 (x

+y2 )

.

(4.65)

De la misma manera como se probó la equivalencia entre (4.53) y (4.58), se prueba la equivalencia entre (4.64) y (4.65). Para concluir la descripción en t´ erminos de la dinámica de campos t´ ermicos, se considera lo siguiente: Al usar (4.63) para ψ 0a , y operar 







ρ0a (Q , Q ) = ψ0a (Q )ψ0a (Q ), se puede derivar la expresión (4.49) para ρ red de manera más simple. La expresión (4.63) es la función de onda equivalente de las identidades de la dinámica de campos térmicos (4.19) 1 En T = Z −1/2 e− 2 T n 1 n 2, (4.66)

| 

y



|  ⊗| 

n

|0a = e−iG|0b = Z −1/2 donde

 n

G = G † = iχ(b†+ b−

a = e −i b ei .

1

e− 2 βE n n(+) , n(−) b ,

|

− b+b†−),



(4.67)

(4.68)

Entonces el estado 0 a es un baño térmico de los b-modos, es decir, que los observadores asociados a esta cuantización ven este vac´ıo como un baño térmico. Observe que la expresión (4.67) se puede probar directamente partiendo de a  = C χ b S χ b† .

|

−

Parte II

AGUJEROS NEGROS ´ TERMICOS

28

Cap´ıtulo 5

´ TERMODINAMICA DE AGUJEROS NEGROS Un cuerpo en coplapso se describe por una gran cantidad de parámetros, pero una vez conformado un agujero negro, su descripción no depende de los tipos de materia ni de la mayor´ıa de los momentos de multipolo de la distribución de masa, excepto de los momentos de monopolo y de dipolo, los cuales son la masa y el momentum angular, respectivamente. Para un observador externo de un agujero negro, éste se presenta incre´ıblemente simple, todo lo que se puede saber de él es su masa, momentum angular y carga eléctrica (puede incluirse la carga magnética). Este resultado está firmemente demostrado por el denominado teorema del no pelo, al cual se llegó por un trabajo combinado de W. Israel, B. Carter, S. W. Hawking y D. C. Robinson. El teorema del no pelo sugiere considerar a los agujeros negros como sistemas termodinámicos, puesto que éstos ser´ıan ob jetos con muchos grados de libertad internos cuya configuración externa está completamente especificada por algunos pocos parámetros. Efect´ıvamente, J. M. Bardeen, B. Carter y S. W. Hawking desarrollaron sistemáticamente leyes de la mecánica de agujeros negros, análogas a las leyes de la termodinámica, las cuales se relacionaron f´ısicamente con el descubrimiento de la radiación Hawking.

5.1.

Agujeros Negros Cl´ asicos

La gravedad tiene una magnitud que se comporta como la entrop´ıa, la cual depende de la conjetura de la censura cósmica o imposibilidad de observar una singularidad desde el exterior de un agujero negro. Suponiendo la validez de la censura cósmica débil (es decir, suponiendo los infinitos nulos pasado − y futuro + completos y el pasado de + , I −( + ), globalmente hiperbólico) y la condición de energ´ıa débil

I

I

I

I

T µν vµ v ν

≥ 0,

(5.1)

(donde f´ısicamente se puede interpretar como el requerimiento de que la densidad de energ´ıa medida por cualquier observador temporal con cuadrivelocidad v µ sea positiva.), los generadores del 29

´ CAP ´ ITULO 5. TERMODIN AMICA DE AGUJEROS NEGROS

30

horizonte de eventos no pueden ser convergentes. Esto implica que el área de la sección transversal del horizonte de eventos nunca puede decrecer con el tiempo, y en general se incrementará. Además si varios agujeros negros se fusionan, el área del agujero negro resultante es mayor o igual que la suma de las áreas de los agujeros negros originales. Este comportamiento es muy similar al de la entrop´ıa, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. La similitud del teorema del área, el cual afirma que el área A de un agujero negro nunca puede decrecer en cualquier proceso ∆A

≥ 0,

(5.2)

con la segunda ley de la termodinámica, la cual sostiene que la entrop´ıa S de un sistema cerrado nunca decrece en cualquier proceso ∆S

≥ 0 ,

(5.3)

era una interesante analog´ıa matemática antes que Bekenstein propusiera interpretar A como la entrop´ıa f´ısica. Por otra parte, J. B. Bardeen et.al., casi al tiempo que Bekenstein, desarrollaron a partir de la relatividad general unas leyes de la f´ısica de los agujeros negros análogas a las cuatro leyes de la termodinámica. Del radio r + para el horizonte de eventos de un agujero negro de Kerr-Newman r+ = GM + (M 2

− Q2 − a2)1/2 ,

donde M es la masa, Q la carga eléctrica, G la constante de gravitación universal y a = momentum angular por unidad de masa, se calcula el área A del agujero negro 2 A = 4π(a2 + r+ ),

(5.4)  L M

el

(5.5)

que conduce a dα = 2r+ dM + 2M dr + donde α es el área A racionalizada: α =

A 4π .

− 2Q d Q ,

(5.6)

Finalmente, de (5.6) se encuentra k dA   + Ω dL + Φ dQ , 2π 4 donde la gravedad superficial k está definida dM =

·

(5.7)


k :=

(M 2

31

− Q2 − a2)1/2 = constante ,

α

(5.8)

 := a : frecuencia angular rotacional, Ω α Qr+ Φ := : potencial eléctrico del agujero negro, α G = c = 1 . Es interesante notar que la gravedad superficial k expresada por (5.8) es un parámetro de equilibrio, ésta es una constante sobre el horizonte de eventos para cualquier agujero negro en equilibrio. Adem´ as, k > 0 porque Q2 + a 2 > M 2 no es una solución f´ısica y Q2 + a 2 = M 2 es un estado l´ımite que no se puede alcanzar en un número finito de procesos (el crecimiento de la carga Q y   el momentum angular L tienen un l´ımite. Q y L muy grandes, por efectos centr´ıfugos, no permitir´ıan la formación de un horizonte de eventos estable y la singularidad quedar´ıa desnuda, lo cual no es permitido por la censura cósmica.) Luego, k se comporta justamente como la temperatura, cumpliendose leyes semejantes a la ley cero y tercera de la termodinámica. Para completar la analog´ıa termodinámica, resulta muy sugestiva la completa correspondencia entre la expresión (5.7) y la primera ley de la termodinámica dE = T dS

− P dV ,

(5.9)

donde, además de las ya comentadas correspondencias entre (S , T ) y ( A, k), E se identifica to dL  + Φ dQ con P dV , claramente representando el trabajo hecho sobre el talmente con M , y Ω agujero negro por un agente externo que incrementa el momentum angular del agujero negro y la  dQ, respectivamente. carga por d L y

·

−

Asociar temperatura a un objeto que no puede radiar viola la segunda ley de la termodinámica generalizada, no obstante la relación de Bekenstein entre entrop´ıa y la información perdida tras un horizonte de eventos al formarse un agujero negro. Para resolver las inconsistencias será necesario introducir efectos cuánticos. La obtención de las leyes de la mecánica de agujeros negros es completamente diferente de la correspondiente para las leyes de la termodinámica usual, quizá las primeras surjan en una teor´ıa cuántica fundamental de la gravedad como el l´ımite clásico de las leyes de la termodinámica aplicada a un sistema conformado por un agujero negro. Por ahora, la derivación de las leyes de la mecánica de agujeros negros parecen compartir, al menos, un importante aspecto con la termodinámica usual, una cierta universalidad . La forma básica de las leyes correspondientes a los agujeros negros parecen ser independientes de los detalles precisos de la lagrangiana de la teor´ıa fundamental de la gravedad, de manera análoga a la universalidad de la forma de las leyes de la termodinámica usual.

5.2.

Agujeros Negros Cu´ anticos

Considere un campo escalar φ definido sobre el background geométrico para una estrella que colapsa en agujero negro y que muestra la figura 5.1


32

Singularidad

+ I

Agujero Negro

Horizonte de Eventos Estrella Colapsante

I

−

Figura 5.1: Diagrama de Penrose para una estrella que colapsa en agujero negro.

Si el background espacio-temporal fuera independiente del tiempo, una solución de la ecuación de onda que estuviera expresada únicamente en términos de modos de frecuencia positivos φ (+) sobre el infinito nulo pasado − , también ser´ıa de frecuencia positiva sobre el infinito nulo futuro + . Entonces, de acuerdo con el numeral 3.1, no habr´ıa mezcla de modos φ (+) y φ (−) , luego no habr´ıa creaci´ on de part´ıculas. En este caso la m´ etrica es dependiente del tiempo durante el colapso, lo cual significa que soluciones de frecuencia positiva en − sean parcialmente de frecuencia negativa en + . En otras palabras, asumiendo que la masa colapsante en el remoto pasado está lo suficiente difusa que el espacio-tiempo es aproximadamente plano, entonces el estado de vac´ıo definido para φ cuantizado se construye con base en el numeral 3.2. Los modos incidentes sobre la masa en colapso se correrán hacia el azul, pero al salir después de haber pasado por la masa se habrán corrido hacia el rojo. Debido a que la masa está en constante colapso no existe compensaci´ on en los corrimientos, entonces los modos en el futuro remoto estarán netamente corridos al rojo. As´ı, el estado de vac´ıo para + no coincidirá con el correspondiente a − y se tendrá un resultado neto como lo indica la expresión general (3.16), en este caso con distribución planckiana. Sorprende que este resultado no dependa de los detalles del colapso en el limite temporal futuro, depende únicamente de la gravedad superficial k.

I

I

I

I

I

I

Esta emisión exactamente t´ ermica de part´ıculas a una rata constante, mucho tiempo después del colapso, con temperatura T =

k , 2π

(5.10)

se conoce como radiaci´ on Hawking. Este resultado dio un sentido f´ısico a la termodinámica formal y matemática de los agujeros negros considerada en el numeral 5.1. Comparando (5.7), (5.9) y (5.10), podemos expresar


S := S BH =

33

1 A, 4

(5.11)

la cual se denominará entrop´ıa Bekenstein-Hawking. Con el descubrimiento de Hawking fue posible generalizar la segunda ley de la termodinámica, resolviendo algunas inconsistencias f´ısicas, ∆S  donde la entrop´ıa generalizada S  , se define

≥ 0 ,

S  := S + S BH ,

(5.12)

(5.13)

siendo S la entrop´ıa de la materia y radiación externas del agujero negro. As´ı pareciere que los agujeros negros realmente tienen entrop´ıa gravitacional intr´ınseca. Esta entrop´ıa intr´ınseca significa que la gravedad introduce un nivel extra de impredecibilidad más allá de la incertidumbre usualmente asociada con la teor´ıa cuántica.

5.2.1.

Efecto Hawking

Una deducción elegante de (5.10) y (5.11), sin las aproximaciones de la mezcla de frecuencias, fue introducida por J. Hartle, G. Gibbons y S. Hawking: Por simplicidad, considere la métrica de Schwarzschild eucl´ıdea, es decir, donde t = iτ . Debido a la aparente singularidad en r = 2M se define una nueva coordenada radial x = 4M (1 2M r−1 )1/2 , que transforma la m´ etrica de Schwarzschild usual en la forma

−

2

ds = x

2

    dτ 4M

2

+

Comparando la métrica (5.14) en el plano x

r2 4M 2

dx2 + r2 dΩ2 .

(5.14)

− τ con la métrica en coordenadas polares

ds2 = r 2 dθ2 + dr 2 , se encuentra que τ es una coordenada temporal con periodo 8πM . Por otra parte, recurriendo a la formulación euclidiana de la función de partición Z para un campo φ a una temperatura T = β −1 , Z = considerando que ∆t =



D[φ] e−iI [φ] ,

(5.15)

−iβ , donde β es la periodicidad temporal, podemos interpretar 8 πM como

1 k = . (5.16) 8πM 2π El significado f´ısico de este resultado es que debido a que la solución eucl´ıdea de Schwarzschild es periódica en la dirección del tiempo imaginario, entonces los campos sobre un background de k Schwarzschild se comportan como si estuvieran en un estado térmico con temperatura T = 2π . T = β −1 =


34

Aproximadamente (5.16) en grados Kelvin K se puede calcular como T ∼ 10−7

 

M  K , M

(5.17)

donde M  es la masa del sol. De acuerdo con (5.17), considerando que la energ´ıa emitida se compensa con una disminución de la masa del agujero negro, los agujeros negros primero emiten únicamente part´ıculas no masivas como fotones y electrones y luego las más pesadas cuando T sea muy grande (o M muy peque˜ na), hasta que finalmente el agujero debe evaporarse completamente. Qué pasará con la información perdida tras del horizonte una vez se evapore el agujero negro es uno de los grandes interrogantes de este proceso termodin´ amico.

5.2.2.

Efecto Unruh

Casi al mismo tiempo del descubrimiento de Hawking, el trabajo de Fulling, Davies y Unruh mostr´ o que efectos térmicos también están asociados con aceleración uniforme en el espacio plano. Existen dos caracter´ısticas importantes de estos efectos t´ ermicos o efecto Unruh: el comportamiento de detectores acelerados de part´ıculas y las propiedades de los campos restringidos a una subregi´ on del espacio-tiempo de Minkowski. El segundo aspecto parece más fundamental, puesto que no depende de la estructura del detector y de los detalles de su interacción con el campo cuántico. Un modelo sencillo del efecto Unruh, en el segundo sentido es el siguiente: Considérese la cuantización de un campo escalar φ en el espacio-tiempo de Minkowski y la cuantizaci´ on alternativa en las regiones x < t y x > t .

||

||

La relación entre los respectivos estados de vac´ıo se expresa como

|0M  = exp

 

ln(1

K

−e

2πω g

)1/2 + e−

πω g

(1)

†

(2)

bK bK

†

 |

0R ,



(5.18)

con los parámetros de los modos de solución asociados: ω = K > 0 ; (1)

†

(2)

| |

†

−∞ < K < ∞ ,

donde b K y b K son los operadores de creaci´ on correspondientes a las regiones x < t y x > t , respectivamente, y g es la aceleración propia constante de un observador desplazándose en la región x> t.

||

||

||

Cuando un observador restringido a la región x > t , mide un observable A, con operador asociado ˆ en el estado cuántico 0M , en términos de 0R de acuerdo a la ecuación (5.18), se obtiene A,

|| | 

| 

     

ˆ ρ) , 0M Aˆ 0 M = tr(A ˆ

con el operador ρˆ definido ρˆ =

K

n

e−βE n −βE m nK me

|  n | , K

(5.19)

(5.20)


35

donde nK son estados de n K cuantos en la región x > t , E n = nω, β =

| 

||

2π g .

ˆ N ˆσ : operador n´ Si A = umero de part´ıculas por modo σ, ˆ σ ˆ tr(N ρ) =

1 eβσ

E n = nσ .

− 1 ,

(5.21)

Este u ´ ltimo resultado es justamente el espectro planckiano para una radiación a la temperatura g . (5.22) 2π Entonces, de los análisis anteriores se puede decir que el efecto Unruh es la propiedad t´ ermica del vac´ıo minkowskiano debido a la restricción de éste a la región x > t del espacio-tiempo de Minkowski. T =

| |

Cap´ıtulo 6

ESTADOS DE VAC´ IO En el contexto del cap´ıtulo tres se estableció que en un espacio-tiempo curvo, en general, no se tiene una escogencia única del tiempo coordenado. Diferentes escogencias conducen a diferentes definiciones de modos de frecuencia positiva, y por lo tanto a diferentes estados base. El cálculo de los valores esperados del operador energ´ıa-momentum para estos estados es generalmente complicado y no expresable en forma cerrada. Sin embargo, en (1 + 1)-dimensiones se encuentran resultados muy útiles: Considere el espacio-tiempo, en general no estacionario, ds2 =

−e−2λ(u,v) dudv = e2λ(z,t)(dz2 − dt2) ,

(6.1)

donde se ha introducido el gauge conforme. La curvatura está dada por R =

−2

λ = 8e−2λ ∂ u ∂ v λ ,



(6.2)

donde 

≡ −4e−2λ ∂ u ∂ v ,

Γuuu = 2∂ u λ ,

Γvvv = 2∂ v λ ,

(6.3)

y los otros Γ’s son nulos. (6.4) Efectos cuánticos inducen un tensor momentum-energ´ıa no nulo debido a la curvatura. Entonces, para un campo escalar no masivo, su tensor momentum-energ´ıa cuántico T ab satisface b T a;b = 0 y

T aa =



R, 24π correspondientes a las leyes de conservación y a la anomal´ıa de traza, respectivamente.

36

(6.5)

CAP ´ ITULO 6. ESTADOS DE VAC ´ IO

37

La solución general de (6.5) para un estado cuántico arbitrario es T ab = Θab [λ] + F out (u) u,a u,b + F in (v) v,a v,b ,

(6.6)

donde el primer término está definido por Θab [λ] =



12π



λ;ab + λ,a λ,b

− gab



1 λ + ( λ)2 2

∇



(6.7)

para cualquier función λ(u, v) en (6.1), con las funciones F in y F out arbitrarias. (6.6) describe el tensor simétrico conservado más general con traza dada por (6.5). Los diferentes estados determinan completamente las tres componentes independientes de por (6.5) y las condiciones de frontera apropiadas para cada estado.

 T ab ,

Si un horizonte está presente se requieren las coordenadas de Kruskal, entonces la métrica (6.1) toma la forma ds2 =

−e2Λ(U,V ) dU dV ,

(6.8)

donde Λ = λ

− 12 ln[U  (u) V  (v)] ,

(6.9)

la cual es una función regular en el horizonte si k 0in , k 0out son no nulos. k0out y k 0in están relacionadas con las gravedades superficiales generalizadas k in y k out por [ln U  (u)] = k0out (u) kout (u, v = ) [ln V  (v)] = k0in (v) kin (u = + , v) .

≡ ≡

∞

−∞

(6.10) (6.11)

De (6.9) y (6.7) Θab [Λ] = Θ ab [λ] + H out (u) u,a u,b + H in (v) v,a v,b ,

(6.12)

donde out

H (u) = H in (v) =



48π 

48π

 

(k0 )2 out

(k0in )2

−

−

 −∞  ∞

1 R(u, v = ) 2 1 R(u = + , v) . 2

(6.13)

(6.14)

Los valores esperados T ab en los diferentes estados base del tensor momentum-energ´ıa escalar, deben tomar la forma general (6.6), con los flujos escogidos de acuerdo a las condiciones de frontera apropiadas.






6.1.

38

| 0 

Estado de Boulware

B

En cualquier espacio-tiempo estático con parámetro temporal de Killing t, un estado de Boulware 0 B está vac´ıo de modos de frecuencia positiva con respecto a t, es decir, observadores estáticos no ven part´ıculas en este estado. Adem´ as, en un espacio asintóticamente plano, 0 B es indistinguible del vac´ıo minkowskiano en el infinito.

| 

| 

Para T ab



 → 0 en el infinito, se debe escoger F = F  T ab  = Θab[λ] . in

out

B

= 0. Entonces,

B

El tensor momentum-energ´ıa de Boulware es singular en el horizonte, puesto que λ

(6.15)

→ −∞ all´ı.

El estado de Boulware ser´ıa inestable en un espacio-tiempo de agujero negro, éste realmente es el estado base de temperatura cero apropiado para el espacio interno y alrededor de una estrella estática.

6.2.

Agujero Negro Eterno

El objeto f´ısico real a considerar es el agujero negro resultante de un colapso gravitacional. No obstante, un agujero negro mucho tiempo despu´ es de su formación es casi estacionario, es decir, su estado se puede describir como una geometr´ıa estática y pequeñas excitaciones de campos propagándose sobre este background. Entonces, formalmente se puede establecer una correspondencia entre el agujero negro real y un nuevo espacio-tiempo no f´ısico , que se obtendr´ıa del primero en la región de tiempos tard´ıos por su continuación anal´ıtica. Tal continuación anal´ıtica de la solución de agujero negro estático define la solución extendida maximalmente que se conoce como un agujero negro eterno. r=0 F

+ Σ0 H R Σ

L P

H

I

− I

+

−

Figura 6.1: Diagrama de Penrose para un agujero negro eterno

Si Σ 0 en la figura 6.1 se escoge en tiempos tard´ıos, se puede también seguir hacia atrás en el tiempo todas las excitaciones de campo presentes en la vecindad de Σ 0 , tal que el problema de especificar los estados de un agujero negro pueden ser reformulados como un problema análogo para su versión


39

eterna. Esta aproximación es mucho más simple para hacer las diferentes modelaciones.

6.3.

Estado de Hartle-Hawking

| 0 

H

En el espacio-tiempo de un agujero negro eterno estacionario, el estado de Hartle-Hawking 0 H está vac´ıo de modos de frecuencia positiva con respecto a los tiempos de Kruskal U , V , es decir, observadores en ca´ıda libre no ven part´ıculas en el horizonte para este estado.

| 

A diferencia del estado de Boulware, en el estado de Hartle-Hawking el tensor momentum-energ´ıa está acotado sobre los horizontes futuro y pasado H + , H − . Puesto que esto también es cierto para Λ, esta condición de frontera se satisface por

 T ab 

H

= Θab [Λ] .

(6.16)

En el horizonte, éste ser´ıa el tensor momentum-energ´ıa medido por un observador en ca´ıda libre, usando las coordenadas lorentzianas locales para definir su noción de frecuencia positiva. De (6.12), (6.15) y (6.16),

 T ab 

H

= T ab



out

 + H B

(u) u,a u,b + H in (v) v,a v,b .

(6.17)

De (6.17) se observa una interesante relación entre los estados de Boulware y Hartle-Hawking. Los términos divergentes en el tensor momentum-energ´ıa de Boulware pueden verse como corrientes de energ´ıa negativa como de luz corridas infinitamente hacia el azul, radialmente entrantes y salientes, en los horizontes pasado y futuro, respectivamente. Estas corrientes pueden ser neutralizadas y las divergencias corregidas, por flujos de energ´ıa positiva compensantes, incidentes desde y para el infinito. As´ı el estado resultante, el estado 0 H , representa un agujero negro en equilibrio térmico con su propia radiación en un confinamiento, tal como ser´ıa obtenido confinando el agujero negro en el interior de una cavidad perfectamente reflectora. La cavidad debe ser lo suficientemente pequeña para que el equilibrio sea estable.

| 

6.4.

Estado de Unruh

| 0 

U

Si el universo contiene un agujero negro eterno, únicamente la observación puede revelar cuál de los estados 0 H o 0 B , real y f´ısicamente se manifiesta. Sobre la variedad de Schwarzschild maximalmente extendida es posible construir otro estado de vac´ıo, el cual reproducir´ıa los efectos de una masa en colapso, este es el estado de Unruh 0 U .

|  | 

| 

Formalmente, 0 U está vac´ıo de modos de frecuencia positiva con respecto al tiempo avanzado ordinario v y al tiempo retardado de Kruskal U , en el espacio-tiempo vac´ıo del agujero negro, extendido anal´ıticamente. Es decir, 0 U se define en términos de modos entrantes del infinito de ∂ frecuencia positiva con respecto a ∂t , mientras aquellos que emanan del horizonte pasado se toman de frecuencia positiva con respecto a U .

| 

| 


40

Entonces, el estado de Unruh es vac´ıo en el infinito pasado − , carece del término F in (v) en (6.6), lo cual hace que el tensor momentum-energ´ıa de Hartle-Hawking (6.17) sea regular en el horizonte pasado:

I

 T ab 

= T ab

out

 + H (u) u,a u,b . (6.18) De (6.18) se observa que en el infinito futuro I + ,  T ab  tiende a cero y únicamente sobrevive el U



B

B

segundo término, representando el flujo térmico caracter´ıstico de un agujero negro en evaporación. De (6.17) y (6.18) se encuentra

 T ab 

U

= T ab



in

 − H (v) v,a v,b , H

(6.19)

lo cual significa que existe un flujo entrante de energ´ıa negativa acompañante, a través del horizonte futuro. De acuerdo con lo considerado arriba podemos decir que el estado de Unruh es el que mejor se aproxima al vac´ıo relevante para el colapso gravitacional de un cuerpo. En este contexto es interesante hacer un modelo para un background geom´ etrico estático y mostrar que la diferencia entre los tensores momentum-energ´ıa de los estados Hartle-Hawking y Boulware tiene exactamente una forma térmica.

Cap´ıtulo 7

´ EUCLIDIANA APROXIMACION DE GIBBONS-HAWKING La Teor´ıa General de la Relatividad Clásica tiene dos limitaciones importantes, no considera la posible naturaleza cuántica del campo gravitacional y no aportar´ıa condiciones de frontera para las ecuaciones de campo en puntos singulares. Por estas razones deber´ıa desarrollarse una teor´ıa cuántica de la gravedad. No existe aún una teor´ıa completa, consistente con la Teor´ıa General de la Relatividad y que satisfaga las dos exigencias mencionadas. Sin embargo se han encontrado algunos resultados parciales en esa direcci´ on, relacionados con la conexión entre agujeros negros y termodin´ amica. En el marco de las aproximaciones a una teor´ıa cuántica de la gravedad, la afinidad con la termodin´ amica de agujeros negros se ha descrito en términos de integrales de camino: Considere la amplitud para ir de un estado con una métrica g 1 y campos de materia φ 1 sobre una superficie S 1 a un estado con una m´ etrica g2 y campos de materia φ2 sobre una superficie S 2 , como una suma sobre todas las configuraciones de campo g y φ que toman los valores sobre las superficies S 1 y S 2 :

g2, φ2, S 2|g1, φ1, S 1 =



D[g, φ]eiI [g,φ] ,

(7.1)

donde D[g, φ] es una medida sobre el espacio de todas las configuraciones de campo g y φ, I [g, φ] es la acción de los campos. En la Teor´ıa General de la Relatividad, usualmente se toma la acción: 1 I = 16π

 − (R

2Λ)( g)

−

1/2 4

d x+



Lm ( g)1/2 d4 x,

−

(7.2)

donde R es el escalar de curvatura, Λ es la constante cosmológica, g el determinante de la métrica y L m es la lagrangiana de los campos de materia. La acción para la métrica g sobre una región Y con frontera ∂ Y tiene la forma

41

´ EUCLIDIANA DE GIBBONS-HAWKING CAP ´ ITULO 7. APROXIMACI ON



1 I = 16π

1/2 4

R( g)

−

Y

d x+



42

B( h)1/2 d3 x,

−

∂Y

(7.3)

donde B es un término de superficie, que para el caso de métricas asintóticamente planas, se puede escribir 1 [κ], (7.4) 8π donde [κ] es la diferencia en la traza de la segunda forma fundamental de ∂ Y en la métrica g y la métrica para el espacio plano η . B =

Para resolver el problema de convergencia generado por el caracter real de la acción I [g, φ] y construir el ensamble canónico para el campo φ, se introduce la acción euclidiana: I E =

−iI,

(7.5)

la cual permite expresar la amplitud

φ2, t2|φ1, t1 = usando la imagen de Schrödinger, como



D[φ]eiI [φ] ,

φ2|e−iH (t2−t1) |φ1 = φ2|e−βH |φ1 =



D[φ]e−

R β 0

dτ

R

(7.6)

d3 x

L,

(7.7)

donde se ha definido t2 t1 = iβ , τ = it. As´ı, se está haciendo una integral de camino sobre todos los campos φ sobre un espacio-tiempo que es periódico en la dirección del tiempo imaginario con periodo β .

−

−

−

Si se exige que φ1 = φ 2 y se suma sobre una base completa ortonormal de configuraciones φ n , se obtiene la función de partición Z =

 n

φn |e−βH |φn  =

 

D[φ]e−

R β 0

dτ

R

d3 x

L,

(7.8)

correspondiente al resultado usual de la función de partición (de la radiación de un cuerpo negro) Z =



e−βE n =

n

del campo φ a la temperatura

D[φ]e−iI E [φ] ,

T = β −1 ,

(7.9)

(7.10)

donde E n es la energ´ıa del estado φ n . Es natural aplicar una complejificación similar al campo gravitacional, es decir, la m´ etrica: Z =



d[g]d[φ]e−I E [g,φ] .

(7.11)


43

Se espera que la contribución dominante a la integral de camino proceda de las m´ etricas y campos cercanos a los extremos de la acción g 0 , φ 0 , es decir, a la solución de los campos clásicos. Entonces, en principio, se puede expandir la acción en una serie de Taylor con respecto a los campos del background (fondo) g 0 , φ 0 , I E [g, φ] = I E [g0 , φ0 ] + I E2 [¯ g, ¯ φ] + términos de orden superior

(7.12)

¯ donde g ab = g 0ab + g¯ab , φ = φ 0 + ¯ φ, y I E2 [g, φ] es cuadrática en las perturbaciones ¯g y φ. Para calcular la derivación de la entrop´ıa Bekenstein-Hawking S BH de este formalismo, se requiere calcular la acción de la métrica de fondo g 0 a orden cero: 1 I E = 16π

 √

1 R gd x + 8π Y 4



[κ]dΣ.

(7.13)

∂Y

De la expresión (7.11), se puede calcular la contribución dominante a la función de partición

≈ e−I [g ] ≈ I E (extremal).

Z lnZ

E

0

(7.14)

El caso más simple no trivial es la solución de Schwarzschild: R = 0, E = M . Para calcular la integral no nula en (7.13) considérese ds2 =

2

dr −f (r)dt2 + f (r) + r2 (dθ2 + sen2 θdϕ2 )

(7.15)

con f (r) =

√

−    1

2M . r

∂ ln 3g K = = f 1/2 ∂n

2 1 f  + r 2 f

,

(7.16)

(7.17)

donde

     3g d3 x =

∂ ∂ = f 1/2 ∂n ∂r

4πr 2 f 1/2 dτ

τ = it,

(7.18)

3g es el determinante de la métrica para r constante. 1 8π

donde

r=cte

1 2π 3g K d x = 4πr 2 8π κ0 3





2 f + κ(r) , r

(7.19)


44

√ g00 (aceleración propia)

κ(r) =

1  f . 2 1 1 [K ]dΣ = 8π ∂Y 8π r→∞ =



 

3g(K

(7.20)

− K plano)d3x,

(7.21)

Con K plano calculado de (7.19) cuando f (r) = 1, 2 . r πr 2 2 K plano )d3 x = κ0 r K plano =

1 8π

 

3g(K

   −

− √ Considerando que κ(r) ≈ M y f − 1 ≈ − M , r

→∞

r2

f ( f



1) + κ(r)

r

r

1 8π



.

(7.22)

→∞

2

[K ]dΣ =

∂Y

β − πκ0 M = − 12 Mβ = − 16π ,

(7.23)

donde β = 8πM es el periodo de la solución euclidiana de Schwarzschild, como se ilustrará a continuación.

En un colapso con simetr´ıa esférica el espacio-tiempo no depende de los ángulos θ y ϕ, entonces,

2

ds =

− −   −  1

2M dt2 + 1 r

2M r

−1

dr2 .

(7.24)

Para eliminar la singularidad aparente en r = 2M , se define la nueva coordenada radial

− 

χ := 4M 1

2M r

1/2

,

(7.25)

lo cual permite escribir a (7.24) como 2

ds =

−

χ2 dt2 + 2 (4M )

  r2 4M 2

2

dχ2 .

(7.26)

introduciendo la transformación al tiempo imaginario, t = iτ , la métrica finalmente se reduce a χ2 ds2 = dτ 2 + (4M )2

  r2 4M 2

2

dχ2 .

(7.27)


Para

χ = cte :

χ S = 4M



β

dτ =

0

χ β = 2πχ. 4M

45

(7.28)

De acuerdo con (7.10) T =

1 = β −1 . 8πM

(7.29)

Esto significa que los campos sobre un background de Schwarzschild se comportará n como si estuvieran en un estado térmico con temperatura expresada por (7.29). . Respecto a la entrop´ıa asociada, de (7.14), (7.13) y (7.23) se obtiene 2

β ≈ − 16π .

ln Z

(7.30)

Finalmente, recurriendo a expresiones usuales de la termodinámica, se calcula S BH :

E =

Z β − ∂ ln = , ∂β 8π

S BH = ln Z + βE = 4πM 2 =

1 A. 4

(7.31)

(7.32)

La entrop´ıa gravitacional intr´ınseca dada por (7.32) no tiene paralelo en otras teor´ıas de campos cuánticos porque la gravedad admite diferentes topolog´ıas para la variedad espacio-temporal. Es muy importante señalar que en este formalismo S BH surge como una contribución de frontera a la parte geom´ etrica de la acción euclidiana, donde se excluye el término de superficie asociado al horizonte de eventos. Es decir, la aproximación euclidiana de Gibbons y Hawking concibe la entrop´ıa S BH de origen topológico, dependiendo decisivamente de la presencia de un horizonte. Un horizonte no extremal se representa por un punto regular en el sector euclidiano (Ver la figura 7.1), as´ı la presencia de un horizonte corresponde a la ausencia de una frontera interior en ese sector.


β=

8π M

τ=τ 2

τ=τ 1 r=2M

r=constante

Figura 7.1: Soluci´ on Eucl´ıdea de Schwarzschild.

46

Cap´ıtulo 8

MODELO DE LA PARED DE ’t Hooft Cuando se considera el número de niveles de energ´ıa que una part´ıcula puede ocupar en la vecindad de un agujero negro se encuentra una alarmante divergencia en el horizonte de eventos. Para eleminar estas divergencias f´ısicamente inaceptables, G. ’t Hooft introdujo el ejercicio interesante de ver qué ocurrir´ıa si asumieramos que todas las funciones de onda desaparecieran en alguna distancia fija α desde el horizonte de eventos. En consecuencia, ’t Hooft consideró la termodinámica estad´ıstica de campos cuánticos en el estado de Hartle-Hawking propagándose sobre el background del espacio-tiempo de Schwarzschild. Para eliminar las divergencias cercanas al horizonte introdujo una superficie esférica estática donde los campos satisfacen las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann. Es ilustrativo describir la naturaleza del modelo con la aproximación corpuscupar a la termodin´ amica estad´ıstica de los campos: Para mantener la energ´ıa de campo acotada, considérese la termodinámica de campos cuánticos confinados en un volumen centrado en una estrella esférica de masa M y entre dos superficies esf´ ericas reflectoras, una interior con radio R0 = r0 + ∆r y la otra exterior con radio R R0 , donde r 0 es el radio del horizonte de eventos.



Sup´ ongase que los campos cuánticos están definidos sobre el background geométrico de Schwarzschild entre las dos superficies esféricas a la temperatura local (“on-shell”) T (r) dada por la ley de Tolman k0 T (r) = 2π

−  1

2M r

−1/2

,

(8.1)

donde k 0 es la gravedad superficial. Las longitudes de onda caracter´ısticas de esta radiación son peque˜ nas comparadas con las otras magnitudes de longitud relevantes en la región de interés

47

CAP ´ ITULO 8. MODELO DE LA PARED DE ’T HOOFT

1 2π cerca al horizonte λ = = T k0 2π y a grandes distancias λ k0



48

−  2M r

1

−1/2

 r0

 R.

(8.2)

Por esta razón se espera que la descripción corpuscular sea una buena aproximación a la termodin´ amica estad´ıstica de los campos. La densidad de entrop´ıa s para part´ıculas con masa en reposo m, energ´ıa E , velocidad v y momentum p, de acuerdo con observadores localmente estacionarios, está dada por s = β (ρ + P ),

(8.3)

donde la densidad de energ´ıa ρ y la presión P se expresan como

 

∞

E

4πp 2 dp, βE e  0 N ∞ vp P = 4πp2 dp, βE 3 0 e  ρ = N

−

−

(8.4)

(8.5)

con β = T −1 ,  = +1 para bosones y  = 1 para fermiones y donde N da cuenta de las helicidades y el n´ umero de especies de las part´ıculas.

−

La entrop´ıa total y la masa gravitacional de las excitaciones térmicas se expresan por las integrales

 

R

S =

R0 R

∆M =

s(r)4πr

2

−  1

2M r

−1/2

dr,

ρ(r)4πr 2 dr.

(8.6)

(8.7)

R0

Estas dos u ´ ltimas integrales tienen dos contribuciones dominantes, para r = R y ∆r = R 0 r0 . La primera corresponde a un término de volumen, proporcional a 34 πr 3 ; lo cual representa la entrop´ıa k0 y energ´ıa de un gas cuántico homogéneo en un espacio plano a la temperatura uniforme 2π .

−

La segunda es la contribución del gas cuántico cerca a la pared interior r = R0 . De la expresión (8.1) es evidente que, para describir esta última contribución, es necesario introducir las aproximaciones ultrarelativistas (E m, p E , v 1) en las integrales (8.4) y (8.5) porque la temperatura es muy alta cerca de la pared interior para ∆ r peque˜ no. Entonces de esta aproximación







4N 3 3N T , ρ = 2 T 4 . 2 π π Sustituyendo (8.8) en (8.6) se obtiene la contribución de la pared a la entrop´ıa total s =

4N S pared = 2 4πR20 π

     − k0 2π

3

R0 +δ

R0

dr

1

, 2M 2 r

(8.8)

(8.9)


49

donde δ es una longitud arbitrariamente pequeña sujeta a la condición ∆r

 δ  R0.

La expresión (8.9) se puede escribir en t´ erminos de la longitud propia α del horizonte a la pared interior: S pared =

N 1 A, 90πα2 4

(8.10)

donde A es el área de la pared. Similarmente, de (8.8) y (8.7) se encuentra que las excitaciones térmicas cerca de la pared contribuyen con N ∆M pared = A 480πα 2 S pared diverge en el l´ımite α Bekenstein-Hawking.

 k0 2π

.

(8.11)

→ 0, pero con su apropiada escogencia es posible calcular la entrop´ıa

De la expresión (8.10) se puede fijar α tal que S pared = S BH ,

(8.12)

introduciendo un corte (cutoff) por efectos de fluctuaciones cuánticas de la gravedad.



Si se escoge α = l P lanck N /90π, de (8.12) se obtiene el resultado problemático de ’t Hooft para la energ´ıa debida a la contribución de pared (excitaciones t´ ermicas cercanas a la pared) 3 M. (8.13) 8 La anterior descripción local es derivable rigurosamente de la teor´ıa de campos cuánticos sobre variedades curvas: ∆M =

Considere un campo escalar real (por simplicidad) descrito por la acción

 −

√ −g [gµν ∂ φ ∂ φ + m2φ2], µ ν

1 I = d4 x 2 donde g es el determinante de la métrica.

(8.14)

Sobre el background dado por 2

ds =

−

dr2 f (r)dt + + r2 dΩ2 , f (r) 2

(8.15)

(8.14) se reduce a la expresión

I =

 − 1 2

3

dt d x r

2

√

Ω

−

1 (∂ t φ)2 + f (∂ r φ)2 f 1 + 2 Ωij ∂ i φ ∂ j φ + mφ2 , r



(8.16)


50

con x i (i = 1, 2) expresando coordenadas sobre la 2-esfera. Se quiere estudiar el sistema finito del campo escalar confinado entre dos fronteras reflectoras, las cuales están situadas en r = R0 y r = R, (R0 < R). El campo escalar se cuantizará con respecto al tiempo de Killing t, es decir, se considerará como estado base el estado de Boulware. Lo que se quiere mostrar es que la mecánica estad´ıstica resultante del campo escalar en el estado de Boulware es equivalente al modelo de la pared. Tratando el campo φ como un operador y expandiendolo en t´ erminos de funciones que conforman una base completa ortonormal, φ(r, xi ) =

 √

1 [anlm ϕnl (r)Y lm (xi )e−iωnl t 2ωnl

nlm

+ a†nlm ϕnl (r)Y lm (xi )eiωnlt ],

(8.17)

donde Y lm (xi ) son los armónicos esféricos reales y ϕnl (r) (n = 1, 2, ) es un conjunto de funciones reales, el cual es completo con respecto al espacio de las funciones L 2 sobre el intervalo R0 r R para cada l,

{

}

·· ·

≤ ≤

1 ∂ r (r2 f ∂ r ϕnl ) r2

−



2 l(l + 1) ω nl 2 + m ϕ + ϕnl = 0, nl r2 f ϕnl (R0 ) = ϕ nl (R) = 0,



R

ϕnl (r)ϕn l (r)

R0

(8.18)

r2 dr = δ nn , f (r)

donde ω nl son los correspondientes valores propios. Se pueden considerar las relaciones de conmutación para los operadores a nlm y a †nlm , equivalentes a las correspondientes para φ y su variable canónicamente conjugada Π, de tal forma que el estado de Boulware se define como anlm B = 0

| 

,

∀ n,m,l.

(8.19)

La energ´ıa libre F está dada por e−βF

≡ tr[e−β :H : ] =

−

nlm

1

1 , e−βωnl

donde :H : es el Hamiltoniano en orden normal y β = T −1 (a grandes distancias). Para calcular expl´ıcitamente la energ´ıa libre es válido usar la aproximación WKB: Los modos ϕ nl (r) se pueden reescribir como

(8.20)


51

ϕnl (r) = ψnl (r)e−ikr ,

(8.21)

y además suponer que ψ nl (r) var´ıa “lentamente”, es decir,



∂ r ψnl ψnl

  | | k



,

∂ r2 ψnl ψnl

  | |

k 2.

(8.22)

As´ı la ecuación de campo (8.18) para ϕ nl se puede reducir a la expresión



2 1 ωnl f f

−

l(l + 1) r2

−m

2

≡

k 2 (l, ωnl ),

(8.23)

puesto que de (8.22) se puede asumir que

 

∂ r (r2 f ) r2 f

  | |

k.

Bajo la aproximación arriba, considerando k2 (l, ω) madamente por

∞

 β 1

F

ln(1

0

(8.24)

≥ 0, se puede calcular la energ´ıa libre aproxi-

− e−βω ) dg(ω) dω, dω

(8.25)

donde g(ω) es el número de modos con frecuencia menor que ω. Expl´ıcitamente (8.25) se expresa como

  

R

F

2 ˜ F (r)4πr dr,

(8.26)

R0

˜ donde la densidad de energ´ıa libre F (r) está definida por ˜ F (r)

≡ β (1r)

∞

2

ln(1

0

− e−β(r)E ) 4πp dp, (2π)3

(8.27)

con el inverso de la temperatura local β (r) expresado por la ley de Tolman y la energ´ıa E por p2 + m2 .



Finalmente la energ´ıa total U y la entrop´ıa S se calculan con las expresiones usuales de la mecánica estad´ıstica, β(F :H :)

U = tre S =

−

β(F :H :)

−tr[e

−

∂ (βF ) : H :] = = ∂β

β(F :H :)

ln e

−

2 ∂F

] = β

∂β

  R

ρ(r)4πr 2 dr,

(8.28)

R0

R

=

s(r)4πr 2

R0

dr , f (r)



(8.29)

donde la densidad ρ(r) y la densidad de entrop´ıa s(r) estan definidas por ˜ ∂ (β (r)F (r)) ρ(r) = = ∂β (r)



∞

0

E eβ(r)E

−

4πp 2 dp , 1 (2π)3

(8.30)


s(r) = β 2 (r)

52

∂ ˜ F (r) = β (r)(ρ(r) + P (r)), ∂β (r)

con la presión P (r) definida como P (r) =

(8.31)

−F .˜

Obsérvese que estas u ´ ltimas expresiones son exactamente como las expresiones (8.3)-(8.5). Es importante notar que la descripción local de la mecánica estad´ıstica es equivalente a la correspondiente de campos cuánticos sobre una variedad curva, la cual es definida globalmente y cuyo estado base es el estado de Boulware. La contribución a la masa está dada por

∆M  = U + ∆M B ,

(8.32)

donde U está expresada por (8.28) e igual a ∆ M definida en (8.7). ∆M B es la energ´ıa del punto cero del estado de Boulware. El modelo original de ’t Hooft presenta una seria inconsistencia, predice la existencia de una gran densidad de energ´ıa térmica cerca a la pared introducida, produciendo una substancial corrección a la masa y por lo tanto, presumiblemente, un gran back-reaction gravitacional. Además, es ampliamente sostenida la opinión que la contribución a la entrop´ıa por estas excitaciones t´ ermicas es la corrección a un loop de la contribución a cero-loop del modelo de Gibbons-Hawking. La inconsistencia térmica se resuelve notando que una interpretación estricta del modelo de la pared indica que éste no representa a un agujero negro sino el exterior de un objeto como una estrella con una superficie reflectora, comprimida hasta cerca de su radio gravitacional. Entonces, el estado de vac´ıo para los campos cuánticos propagándose a su alrededor no es el estado de Hartle-Hawking sino el estado de Boulware, lo cual se introdujo en la derivación anterior a partir de la expresión (8.14). S. Mukohyama y W. Israel, con base en esta re-examinación del modelo de ’t Hooft, propusieron una soluci´ on a las inconsistencias del modelo y encontraron, a diferencia de la opinión generalizada, que el instantón de Gibbons-Hawking y el modelo de la pared son descripciones alternativas de la misma f´ısica.

Parte III

ENTROP´ IA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS

53

Cap´ıtulo 9

ENTROP´ IA DE ENTANGLEMENT La entrop´ıa de entanglement es una entrop´ıa estad´ıstica basada únicamente en la división espacial del sistema y en la existencia de estados puros constru´ıdos con estados asociados a cada región y correlacionados cuánticamente, independientemente de la teor´ıa, en principio.

9.1.

Definici´ on

Consid´ erese un sistema que pueda ser dividido en dos subsistemas, y el espacio de Hilbert asociado al sistema pueda ser construido por el producto tensorial

H

¯ 2, H = H1⊗H

donde 1 y 2 son los espacios de Hilbert correspondientes a los subsistemas y ¯ denota un producto tensorial con su apropiada completez.

H H

⊗

Cualquier elemento u

∈ H que se pueda escribir: u = v ⊗ ω ; v ∈ H1 ,

ω

∈ H2,

se le denomina elemento primario; y si no se puede escribir de esa manera, se denomina elemento entanglado. De un elemento u

∈ H, con norma uno, se construye el operador ρ: ρ v = (u, v)u , ∀v ∈ H,





donde (u, v) es el producto interior asociado, el cual es antilineal con respecto a u. De ρ se define otro operador ρR :



   ρR y =

i,j

f j (ei

⊗ f j , ρ ei ⊗ y) , ∀y ∈ H2,

 54

CAP ´ ITULO 9. ENTROP ´ IA DE ENTANGLEMENT

donde ei y f j son bases ortonormales de

{ } { }

55

H1 y H2, respectivamente.

La entrop´ıa de entanglement se define como: S ent :

H → R+ ( números reales no negativos) S ent [ρ] =

−K tr[ρ

R

ln ρR ].

Lo anterior se puede interpretar de la siguiente manera: si un estado u , no es un estado entanglado, ρR permanece puro y S ent [ρ] = 0. Si u es un estado entanglado, ρR es de carácter mezclado y S ent = 0. Entonces, la entrop´ıa de entanglement S ent es una medida de la naturaleza entanglada (o correlación EPR) del estado original. Una propiedad muy importante de la entrop´ıa de entanglement es que ésta es sim´ etrica bajo el intercambio de 1 y 2 .

∈ H

 



H H

9.2.

Entrop´ıa proporcional al ´ area

Una propiedad sugestiva de la entrop´ıa de entanglement es que es proporcional al área de la superficie que separa las dos regiones consideradas en la definición introducida arriba: CA , (9.1) a2 donde C es una constante y a es un parámetro relacionado con un corte (cutoff ) de la teor´ıa, puesto que en general la constante de proporcionalidad es infinita. S ent =

En este sentido, Bombelli et. al. propusieron un método que se denominará “Aproximación B.K.L.S.”, para calcular una entrop´ıa estad´ıstica la cual se puede interpretar como una contribución a la entrop´ıa total de un agujero negro. Posteriormente a las publicaciones de M. Srednicki y FrolovNovikov, esta aproximación de entanglement aplicada a la termodinámica de agujeros negros ha sido ampliamente desarrollada. Respecto al programa de investigación de la entrop´ıa de entanglement, cuatro formulaciones, realmente, han sido las ideas seminales: (1) “Dinámica de campos térmicos de agujeros negros”, (2) “ S BH como entrop´ıa de entanglement ” (BKLS), (3) “Origen dinámico de la entrop´ıa de agujeros negros” y (4) “Aproximación de Entanglement Formal -Euclidiana” . (1) & (3) son estr´ıctamente apropiados para describir la entrop´ıa de entanglement de agujeros negros. En algunos casos (4) parece ser una aproximación de entanglement, pero realmente este grupo corresponde a las aproximaciones euclidea o ligeramente euclideas no convencionales. Respecto a (2), en general, no describe entrop´ıas térmicas y no describe apropiadamente agujeros negros. Una propiedad muy importante de la entrop´ıa de entanglement es que ésta es sim´ etrica bajo el intercambio de 1 y 2 .

H H

Cap´ıtulo 10

´ TERMODINAMICA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS 10.1.

Formulaci´ o n cl´ asica

Considere un campo escalar Φ definido sobre la geometr´ıa que muestra la figura 10.1, con una métrica estática dada por la expresión ds2 = g ab dxa dxb + g00 dt2 . T

U

(10.1)

V F θ+ =1

θ+ =0

R Z L

θ− =1

P

θ− =0

Figura 10.1: Espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente El campo Φ satisface la ecuación de campo ( donde el operador d’Alembertiano



− m2 ) Φ = 0 ,

se expresa por

56

(10.2)

´ CAP ´ ITULO 10. TERMODIN AMICA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS



con g

−



−



= ( g)−1/2 ∂ 0 ( g)1/2 g 00 ∂ 0 + ( g)−1/2 ∂ a ( g)1/2 gab ∂ b ,

−

≡ det gµν .

−

57

(10.3)

Un conjunto de modos de solución de la ecuación (10.2) para cada sector R y L es el siguiente 1 e−iωt , 2ω

ϕΩ (t, xa ) = ϕΩ (r) Y lm (θ, ϕ) x

≡xa = (r,θ,ϕ) ,

Ω

 | |

(10.4)

≡ ωlm.

Reemplanado (10.4) en (10.2) se obtiene 1 d r 2 dr



dϕ Ω (r) r f (r) dr 2

 +

ω2 f (r)

−

l(l + 1) r2

2

−m



ϕΩ (r) = 0 ,

(10.5)

donde

−f (r) ≡ g00.

Definiendo dr ≡ f (r) ,

dr∗

d d = f (r) , dr∗ dr

(10.6)

la expresión (10.5) se puede escribir como d r−2 dr∗



  −

d r2 ϕΩ (r) + ω2 dr∗

 

l(l + 1) + m2 f (r) ϕΩ (r) = 0 . r2

(10.7)

− Existen dos soluciones especiales ϕ+ on (10.7), definidas por las condiΩ (r) y ϕΩ (r) para la ecuaci´ ciones de frontera ϕ± Ω (r) para r r0 o r∗

≈ e±iωr

, (horizonte de eventos) , ∗

(10.8)

→ → −∞

las cuales corresponden a modos entrantes y salientes sobre el horizonte en el sector R. Reemplazando (10.8) en (10.4), se obtiene para ϕ + Ω + a ϕ+ Ω (t, x ) = ϕ Ω (r) Y lm (θ, ϕ)

1 e−iωu , 2ω

= Y lm (θ, ϕ)

 | |

u

y v

donde se definió

≡ t − r∗

1 e−iωt 2ω

 | |

≡ t + r∗ .

(10.9)

(10.10)

(10.11)


58

En general, (10.10) se puede escribir como 1 a e−iωu = ϕ OUT Ω (u, x ) , 2ω

OUT a ϕ+ Ω (t, x ) = ϕ Ω (r) Y lm (θ, ϕ)

la cual tiende a (10.10) cuando r

 | |

→ r0 .

(10.12)

Similarmente para ϕ − Ω, IN a ϕ− Ω (t, x ) = ϕ Ω (r) Y lm (θ, ϕ)

1 a e−iωv = ϕ IN Ω (v, x ) . 2ω

 | |

(10.13)

− Finalmente, ϕ + erminos de los tiempos de Kruskal U y V : Ω y ϕ Ω se pueden escribir en t´ ()

a ϕΩ (U, xa ) = Θ( U ) ϕOUT Ω (u, x ), () ϕΩ (V,

−

(10.14)

a xa ) = Θ(V ) ϕIN Ω (v, x ) ,

donde Θ es la función de paso unitaria, y  =

±1. ()

La figura 10.2 ilustra claramente el desplazamiento de los modos ϕΩ sobre el espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente. U

T

V

ϕΩ(+)(V)

ϕΩ(−)(U)

Z

ϕ(−) Ω (V)

ϕ(+) (U) Ω o s s o d n t e m i e l s a

e n m o t r a d o n t s e s

Figura 10.2: Modos de Campo desplazándose sobre el espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente Consistentemente con la descripción de modos hecha arriba, considere t-modos para el sector R () y Killing-Boulware (KB)-modos para cada sector R y L, expresados como ϕΩ (x, t) y ϕΩ (x), respectivamente: ϕΩ (x, t) = ϕΩ (x) ()

1 e−iωt , 2ω

 | |

ϕΩ (x) = ϕΩ (x, t) Θ (x) ,

(10.15) (10.16)


59

donde

≡ 12 { Θ(−U ) + Θ(V )} ,

Θ (x)

(10.17)

con los productos escalares K-G



(ϕΩ , ϕΩ ) = (ω) δ ΩΩ ()



( )

ϕΩ , ϕΩ



=  (ω) δ ΩΩ δ  ,

(10.18)

(10.19)

donde, (ω) sign(ω) δ ΩΩ = δ (ω ω  ) δ kk δ ll δ mm , k 1 correspondiente a (10.8) .

≡

−

≡±

Los (K-B)-modos comparten las misma m´ etrica estática (10.1) pero con diferente signo para el tiempo coordenado. Más precisamente, (K-B)-modos son modos de frecuencia positiva con respecto al tiempo epsilon de Killing t en cada uno de los sectores L, R. x toma el mismo valor en puntos especulares en L y R. Estos dos puntos se distinguen por diferentes partes imaginarias de t + :



t+ t

t+ =

−

iπ 2κ0 iπ 2κ0

, ,

x x

∈R ∈ L.

(10.20)

x (xα ) = (x, t+ ) , κ0 : Gravedad superficial.

≡

De (10.2), para los modos ϕ Ω (x), se calcula ( g)

−

1/2

donde

−   

2

m

1/2

ϕΩ = L + ( g)

−





−1 ∂ 2 ϕΩ , g00 t



≡ ∂ a (−g)1/2 gab ∂ b − m2 √ −g . L ϕΩ (x) = −γ ω 2 ϕΩ (x) , L

(10.21) (10.22)

con γ (x) Entonces, de (10.22) se puede escribir



γ ω2

− m2√ −g



  − √ −

≡ √ −g −g00

ϕΩ (x) =

∂ a

.



g gab ∂ b ϕΩ (x) .

(10.23)

(10.24)


60

Si Φ(x) es una función arbitraria, no necesariamente un modo, se puede expresar

√ −g





g ab ϕ,a Φ,b +m2 ϕ Φ = =

−ϕ L Φ + ∂ a(·· · ) −Φ L ϕ + ∂ a(·· · ) = −Φ γ ω2 + ∂ a (· ·· ) .

(10.25)

(10.26)

Para un conjunto completo de modos dados por (10.16), se tiene la relación de completez 1 γ (x) 2 y la relación de ortogonalidad



ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) = δ 3 (x

Ω

− x) ,



d3 x γ (x) ϕ∗Ω (x) ϕΩ (x) = δ ΩΩ .

(10.27)

(10.28)

Adicionalmente a los (K-B)-modos consid´ erese los modos Kruskal-Hartle-Hawking (KH 2 )-modos () expresados como χΩ (x), los cuales son de frecuencia positiva con respecto a los tiempos de Kruskal U , V sobre la variedad completa (ver el ap´ endice, parte V ): ()

()

χΩ (x) es de frecuencia positiva con respecto al tiempo de Kruskal si ω  > 0, y χΩ (x) es de frecuencia negativa con respecto al tiempo de Kruskal si ω  < 0. Estos modos satisfacen la relación de ortogonalidad

()



()

() ( ) χΩ , χΩ



=  (ω) δ ΩΩ δ  .

(10.29)

Los modos ϕ Ω (x) y χ Ω (x) están relacionados por la transformación de Bogolubov ()

()

( )

− (x) sinh χ ,

χΩ (x) = ϕ Ω (x) cosh χ + ϕΩ

(10.30)

donde tanh χ = e −π|ω|/κ0 ,

(10.31)

y κ 0 es la gravedad superficial, la cual se obtiene de (12.13), (10.15) y (10.16). También de all´ı se calcula ()

χΩ (x) =



sinh χ cosh χ ϕΩ (x) e−iωt(ω)  . 2ω

||

(10.32)

El sentido f´ısico de la transformación (10.30) está fundamentado en la invariancia de la acción S [Φ] y la hamiltoniana H bajo esta transformación, de acuerdo a la acción S [Φ] =

 L

[Φ] d4 x =



L[Φ] dt+ =

  ∞

−∞

dt





 L() (Φ) ,

(10.33)


− oo + i π /2k

t + = −oo − i π /2k0

oo + i π /2k 0

0

61

t+ = oo + i π /2k0

R: L

Re t +

R

L: −oo − i π /2k

oo

0

− i π /2k

0

t + = oo

− i π /2k

t+ =

0

−oo

+ iπ /2k0

Figura 10.3: Regiones de integración para la acción

donde las regiones de integración para la primera y segunda integral corresponden a la segunda y primera figura del diagrama 10.3, respectivamente. La contribución del sector L a la acción S aparece con signo negativo porque t and t+ corren retrogradamente en el sector L como se muestra en la figura adjunta. La lagrangiana espec´ıfica L está dada por L =



()

()

 L (Φ);

L (Φ) =

√  −g L() (Φ) = 2 −g00 Φ2,t −





 L

()

(Φ) d3 x ,

g ab Φ,a Φ,b +m2 Φ2

La correspondiente hamiltoniana H es la siguiente H =



()

H (Φ, Π) ,

()

H

=



 H

()



(10.34)

Θ (x) .

d3 x ,

(10.35)

(10.36)

con Π(x) =

∂ = γ (x) (x) Φ,t , ∂ Φ,t

L

H(Φ) = ΠΦ,t −L(Φ) = H(+)(Φ) − H(−) (Φ) , L(Φ) = L(+)(Φ) − L(−) (Φ) , H() (Φ, Π) = 12 γ −1 Π2 + 12 √ −g gab Φ,a Φ,b +m2Φ2





(10.37)



(10.38) (10.39)

Θ (x) .

(10.40)

Los cálculos Off-shell de (10.34) se pueden desarrollar de la forma siguiente: reemplazando (10.35) en (10.34), se obtiene

 √ − −   − √ − 

1 L (Φ) = 2 ()

g

1 2

g 00 Φ2 ,t d 3 x Θ (x)



g gab Φ,a Φ,b +m2 Φ2 d 3 x Θ (x) .

(10.41)


62

Luego, considerando las expresiones (10.23), (10.27) y la identidad Π(x) =



d3 x δ 3 (x

− x )Π(x),

la primera integral en (10.41) se puede calcular por

 √ − −     g00 Φ2 ,t d 3 x =

g

1 2

d3 x d3 x γ (x) γ (x )

γ (x) Π2 d3 x =



ϕ∗Ω (x ) ϕΩ (x) Π(x) Π(x ) .

Ω

(10.42)

La segunda integral en (10.41) se calcula usando (10.26) y (10.27)

 √ −   d3 x



g g ab Φ,a Φ,b +m2 Φ2 =

d3 x d3 x γ (x) γ (x )

 1 2



ω2 ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) Φ(x) Φ(x ) .

Ω

(10.43)

Finalmente, sustituyendo (10.42) y (10.43) en (10.41) se obtiene  L (Φ) =  ()





d x d x Θ (x) Θ (x ) I (x, x ) Π (x) Π (x )

−V (x, x ) Φ(x) Φ(x)} .

(10.44)

}

(10.45)

ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) ,

(10.46)

Para (10.36), similarmente, se calcula H () (Φ), 1 H (Φ) = 2 ()



d3 x d3 x Θ (x) Θ (x ) I (x, x ) Π(x) Π(x )

{

+V (x, x ) Φ(x) Φ(x ) ,

donde, I (x, x )

V (x, x )

≡ γ (x) γ (x) I (x, x ) , ≡ 12 γ (x) γ (x )



I (x, x )

≡ 12

 Ω

ω 2 ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) .

(10.47)

Ω

Un cálculo interesante es la evaluación on-shell de (10.36): De (10.25) se puede escribir

√ −g





gab Φ,a Φ,b +m2 Φ2 =

−Φ L Φ + ∂ a(·· · ) .

(10.48)


63

Para este cálculo on-shell, Φ se puede expandir en los modos (10.16): Φ(x) =

 

() ()

ϕΩ bΩ

 −

Φ† (x) =

,Ω

LΦ =

()

∗

†

(10.49)

() ()

(10.50)

()

ϕΩ (x) bΩ .

,Ω

()

()

γ 2 ω2 ϕΩ bΩ ,

L ϕΩ (x) bΩ =

,Ω

,Ω

donde se uso (10.22), (10.15) y (10.16). Del producto entre (10.49) y (10.50), se obtiene

− Φ L Φ = −γ

 

()

ω2 ϕΩ

∗ ϕ( ) b()† b( ) Ω

Ω

Ω

,Ω, ,Ω

+ conjugada herm´ıtica) ,

(10.51)

con ()

ϕΩ

∗ ϕ( ) = 1 ϕ∗ (x) ϕ  (x) Θ (x) Θ  (x), Ω   Ω Ω 2ω

||

de acuerdo a (10.15) y (10.16). Finalmente, de (10.48) y (10.40) se calcula sobre el sector R

 R



d3 x

√ −g





g ab Φ,a Φ,b +m2 Φ2 = =

 | |  | | Ω

γ −1 Π2 d3 x =

R

1 ω 2

bΩ

1 ω 2

bΩ

Ω

(+)

 

† b(+) + b(+) b(+)† , Ω Ω Ω

(+)

† b(+) + b(+) b(+)† . Ω Ω Ω

(10.52)

(10.53)

Similarmente para el sector L. Entonces, de (10.36) H [Φ, Π] =

 | | 

Ω,

1 ω 2

()

†

()

() ()

bΩ bΩ + bΩ bΩ



† .

(10.54)

El hamiltoniano H es invariante bajo la transformación de Bogolubov (10.30). As´ı,

   | | ()

†

()

 aΩ aΩ =



()

†

()

 bΩ bΩ ,



H [Φ, Π] =

Ω,

1  ω 2

()

†

()

()

()

aΩ aΩ + aΩ aΩ



† ,

(10.55)

(10.56)


64

donde se consideró ()

()

aΩ = b Ω cosh χ

− b(Ω−) sinh χ ,

(10.57)

()

y a Ω corresponde a la expansión Φ(x) =



()

()

aΩ χΩ (x) .

(10.58)

Ω,

10.2.

Formulaci´ o n cu´ antica

Considere los esquemas de cuantización de Boulware and Hartle-Hawking, es decir, para los modos (10.16) y (10.32), respectivamente: Φ(x) =



()

()

aΩ χΩ (x) =

,Ω

()



()

bΩ ϕΩ (x) ;

(10.59)

,Ω

()

aΩ = b Ω cosh χ

iG − b(Ω−) sinh χ = e−iG b() , Ω e

(10.60)

de acuerdo a (10.57) y donde,

    ≡ 12 i

G = G†

()

† (−)

(ω)  χ bΩ bΩ

,Ω

(+)

= i

† b(−) − b(+) b(−)†

χ bΩ

Ω

Ω (ω>0)

()

( )

aΩ , aΩ

Ω

Ω



≡ 

GΩ ;

(10.61)

Ω (ω>0)

† = b() , b( )† = (ω)  δ  δ  ;  ΩΩ Ω Ω

(10.62)

con los estados de vac´ıo definidos por ()

aΩ

|0

H

= 0 ,

()

bΩ

|0

B

= 0 ,

(ω > 0) .

(10.63)

De acuerdo a (10.60), estos estados de vac´ıo están formalmente relacionados por

|0

H

= e−iG 0

| 

B

.

(10.64)

Esta u ´ ltima relación debe tratarse con alguna precaución, porque estrictamente 0 unitariamente inequivalentes.

|  y | 0  H

B

son

Una forma más expl´ıcita de expresar (10.64) se puede obtener factorizando el operador exp iG en términos de los operadores de creación y aniquilación, lo cual se hace recurriendo a la identidad generalizada de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH):

{− }

Si dos operadores A,B y su conmutador C satisfacen las relaciones de conmutación


[C, A] = 2 n2 A ,

[A, B] = C ,

[B, C ] = 2 n2 B ,

65

(10.65)

para alg´ un n´ umero n, real o complejo, entonces para cualquier parámetro χ, 1

1

1

eχ(A+B) = e n (tanh χ)A e 2n (sinh2 nχ)B e− n2 (lncosh nχ)C .

(10.66)

Ahora se puede definir

† b(−) , ≡ b(+) Ω Ω

(−)† ≡ −b(+) , Ω bΩ

AΩ

BΩ

ω > 0 .

entonces, (+)

C Ω = b Ω

† b(+) + b(−)† b(−) , Ω

Ω

Ω

y las relaciones de conmutación (10.65) se satisfacen con n = 1, lo cual significa que (10.66) es aplicable. De acuerdo a la relación (10.61), se obtiene directamente e−iG 0

| 

B

= e χ(AΩ +BΩ ) 0 B (+)† (−) 1 = e (tanh χ)bΩ bΩ 0 cosh χ

| 

| 

B



∞



1 (+) (−) = (tanhn χ) nΩ , nΩ cosh χ n=0



(+)

( )

−

donde nΩ , nΩ



B



,

(10.67)

B

es el estado de Boulware con un número igual n Ω de B-modos correlacionados

en el estado Ω (es decir, especificado por los números cuánticos Ω = ω,k,l,m con ω > 0) en los sectores L y R. La expresión (10.67) se puede escribir como

∞



−1 e−iGΩ | 0 B = Z Ω 2



1

(+)

( )

−

e− 2 β nΩ ω nΩ , nΩ

nΩ =0



,

(10.68)

B

donde se introdujo β en t´ erminos de la temperatura de Hawking T H , tal que β −1 = T H =

ko , 2π

(10.69)

se reescribió (10.31) como tanh χ = e −

π|ω| k0

1

= e − 2 βω ,

ω > 0 ,

(10.70)

y finalmente se calculó

∞

2

cosh χ =

1

−



1 = e−n β ω − βω e n=0

≡ Z Ω .

(10.71)


66

De acuerdo a (10.61), la expresión (10.64) se pudo reducir a



e−iGΩ 0

|0

= H

|0

= Z − 2 H

| 

Ω ω>0 1



B

,



1

e− 2 β E n n(+) , n(−)

n

donde, n

≡ {nΩ ,

E n =





(10.72)

,

(10.73)

B

para todo Ω con ω > 0 ;

nΩ ω ,

Z =



e−βE n =

n

Ω ω>0

}

Z Ω .

(10.74)

Ω ω>0

Un resultado importante es el siguiente: ambos estados de vac´ıo , 0 H y 0 B , tienen energ´ıa cero,

|  | 

H 0

| 

H

= H 0

| 

B

= 0 ,

(10.75)

con H dado por (10.54) y (10.56). El estado de vac´ıo 0 B ha sido escrito como un estado global, pero éste realmente no existe como estado global definido sobre L + R, porque los (KB)-modos no son de frecuencia positiva para () alg´ un parámetro temporal definido globalmente all´ı. El estado 0 B está vac´ıo de (KB)-modos ϕ Ω de frecuencia positiva con respecto al tiempo de Killing t (dirigido al futuro) en cada uno de los sectores L, R.

| 

| 

Considere el estado de vac´ıo de Boulware 0

| 

BR

definido sobre el espacio de Kruskal completo:

De la expresión (10.73), es claro que

|0

H

donde, n

| 

BL

y n

| 

BR

1

= Z − 2



1

e− 2 β E n n

n

|  | n  BL

BR

son excitaciones de los estados de Boulware 0

,

| 

BL

y 0

| 

BR

(10.76)

, respectivamente.

De (10.76) se puede pensar acerca de

|0

1

(sobre L + R) = Z − 2 BR

 n

1

e− 2 β E n n

|  | 0  BL

BR

,

(10.77)


67

y el valor esperado

BR

  0

        |   |   × 

(+) bΩ

† b(+) 0 Ω

BR

Z −

=

1 2

e−

1 2 β

2

E n

n

0

BR

1

n n

BL

(+) bΩ

† b(+) 0 Ω

0

BR

0

BL

BR

e− 2 β E n

n

BL

† b(+) n Ω 2

1

Z − 2

=

(+)

n bΩ

BL

 ×   |   ×   BR

= 0 .

(10.78)

Este u ´ ltimo resultado significa que el estado de Boulware 0 BR se puede definir sobre el espacio completo de Kruskal como 0 H despoblado de todos los modos de Boulware n BR en el sector R.

| 

| 

| 

Este estado de Boulware parroquial 0 BR está definido sobre el sector R u ńicamente, vac´ıo de los (+) modos de Killing de frecuencia positiva ϕ Ω , donde t está bien definido y es regular sobre R.

| 

(+)

bΩ

|0

ω > 0 .

(10.79)

− | 0  = 0 , ω > 0 . Bl

(10.80)

BR

= 0 ,

Similarmente para el sector L, donde ( )

bΩ

Para interpretar el significado f´ısico de los esquemas de cuantización introducidos arriba, considere los siguientes cálculos: ˆ , expresado por (10.54), con respecto al estado de Boulware 0 I. El valor esperado de H BR ˆ definido por (10.77), es decir, el valor esperado de H global con respecto al estado global de Boulware:

| 

       ×     |  |   ×     |  − ˆ 0 0 H

BR

BR

=

2

Z −

1 2

e−

1 2 β E n

n

BR

0

BL

∞

n

l,m

Z −1

ω

0

† b(+) − b(−) b(−)† Ω

Ω

Ω

 |  |  n

BL

0

BR

=

ω dω

0

{n }

BR

∞

e−βE n

0

(+)

ω dω bΩ

BL

n

(+) bΩ

† b(+) Ω

( ) ( ) bΩ bΩ

−

  | 

− † n

BL

0

BR

,

(10.81)


68

donde, de (10.54) se obtuvo

  ≡            ×        |  −  |           −   −  − −  H =

| | ω

∞

(+) bΩ

† b(+) − b(−) b(−)† ; Ω Ω Ω

Ω+

dω .

(10.82)

0

l,m

Ω+



∞

Adem´ as, se introdujo la notación: {nω } () = Ω nω (), ln Z = Ω f (ω) 0 dω N (ω) f (ω), con N (ω) dω correspondiente a los modos admisibles en el rango (ω, ω + dω).

BR

ˆ 0 0 H

−1 BR = Z

∞

e−βE n

ω

=

n n

Z −1

(+) bΩ

0

BL BR

† b(+) 0 Ω ∞

e−βE n

ω

=

Z −1

∞

e−βE n

ω

Z −1

BR

0 0

n

BR BL

( ) ( ) bΩ bΩ

−

( ) ( )

−

− † n

 

− † n

BL

BL

ω d ω nω

0

{n }

=

BR

ω dω BL n bΩ bΩ

0

{n }

ω dω

0

{n }

BL

≡

e−βE n E n =

E β .

(10.83)

{n } ω

La energ´ıa negativa obtenida en (10.83) corresponde a la energ´ıa negativa de modos de subhorizonte, propagandose en L desde P , y saliendo de L incidiendo en F . ˆ local , de (10.40) y (10.54), II. El valor esperado de H H l =

 H

y respecto al estado global 0

(+)

| 

H

| | ω

ˆ l 0 0 H

H

e−βE

n

Ω

, descrito por (10.76):

n

BR

ω

Z −1

ω

n

0

† b(+) + 1 ) | n 

(+)

ω dω (bΩ

Ω

BL

2

| n 

BR

(10.85)

(10.86)

=

∞

e−βE n

{n }

BL

∞

l,m

H

(10.84)

=

{n }

ˆ l 0 0 H



† b(+) + b(+) b+ † ; Ω Ω Ω

(+) bΩ

      |  |          |         

Z −1

H

H

1 d x = 2 3

ω dω BL n n

BL BR

0

donde Z.P.E. es la energ´ıa de punto cero. H

ˆ l 0 0 H

H

(+)

n bΩ

= + E β ,

 

† b(+) n Ω

BR

+ Z.P.E. ,

(10.87)


69

no considerada Z.P.E.

El resultado (10.87) significa que un observador estático en la región R, percibe el estado de vac´ıo 0 H como térmicamente excitado respecto al estado de vac´ıo 0 BR .

| 

| 

ˆ global (10.54) con respecto a 0 III. El valor esperado de H

| 

H

        ˆ 0 0 H

Z −1

H

∞

ω dω BR n

{n } = Z −1 e−βE {n }

∞

n

=

 |

0

ω

global (10.76):

=

e−βE n

ω

H

BL

 

  | 

(+)

† b(+) − b(−) b(−)† n Ω Ω Ω

n bΩ

dω ω ( nω + nω )

−

0

− E β +  E β = 0 .

BL

n

BR

(10.88)

La energ´ıa negativa en el sector L cancela la energ´ıa positiva en el sector R, de acuerdo a (10.88). IV. Similarmente, los cálculos para el sector izquierdo conducen a los resultados

BL H

 0 | H | 0   0 | H l | 0 

= E β E β . H =

  − 

BL

(10.89) (10.90)

Volviendo a los cálculos (off-shell), donde las ecuaciones de movimiento (10.2) ( equivalentemente δH δH , Π,t = , (10.91) δ Π δ Φ las cuales no se presume que se tengan desde el comienzo, en lugar de ello,) se derivan de variaciones de la acción. Entonces, se cuantiza el sistema con base en el esquema de la cuantización canónica, considerando el campo Φ como un operador y postulando las relaciones de conmutación Φ,t =

−

[Π(x), Φ(x )]t =t = iδ 3 (x x ) Θ(x, x ) , [Φ(x), Φ(x )]t =t = [Π(x), Π(x )]t =t = 0 ,

−

−

donde Θ(x, x )

 ≡ 

Θ (x) Θ (x ) =



1 si x, x  pertenecen al mismo sector L, R 0 si x, x  pertenecen a sectores opuestos

(10.92)


70

Si las relaciones de conmutación (10.92) se postulan válidas para un instante t, entonces ellas se preservan para todos los tiempos por evolución de las ecuaciones (10.91). Φ(x) =



Φ() (x) ,



Φ() (x) = Φ()† (x) =



()

()

bΩ ϕΩ (x) ,

(10.93)

Ω

por consiguiente, 

Φ( ) (x ) =



( )

bΩ

† ϕ( )∗ (x ) .  Ω

Ω

Π(x) =

∂ = γ (x) (x) Φ,t = γ (x) (x) ∂ Φ,t

L

−

()

()

( iω) ϕΩ (x) bΩ ,

(10.94)

,Ω

donde (x) [Π(x), Φ(x )] = =

≡

 

−iγ (x) (x)

 Θ (x) = Θ+ (x)



− Θ−(x) . ( )

()

∗



( )

()

ω ϕΩ (x) ϕΩ (x ) bΩ , bΩ

,Ω, ,Ω

( )

()



† .

 || | | −  | |  | |  | | | | | |    

−iγ (x) (x)

(10.95)

∗

ω ϕΩ (x) ϕΩ (x ) [ δ  (ω) δ ΩΩ ] ,

(10.96) (10.97)

,Ω, ,Ω

y donde se reemplazó (10.62). [Π(x), Φ(x )] =

()

()

∗

ω  ϕΩ (x) ϕΩ (x )

iγ (x) (x)

,Ω

= =

=

−iγ (x) (x) −iγ (x) (x) −i(x)

ω 

, Ω

ω 

,Ω

ϕ Ω (x) −iωt ϕ ∗ (x ) iωt e Θ (x) Ω e Θ (x ) 2ω 2ω  1 ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) Θ (x) Θ (x ) e−iω(t−t ) 2ω

 Θ (x) Θ (x )



1 γ (x) 2



ϕΩ (x) ϕ∗Ω (x ) e −iω(t−t )

Ω

 = −iΘ(x, x ) δ 3 (x − x ) e−iω(t−t ) ,

(10.98)

donde se usaron (10.2) y (10.27).

Este u ´ ltimo resultado, para t = t  , muestra que las relaciones de conmutación (10.62) son compatibles con las relaciones (10.92), puesto que adicionalmente al reemplazo de una de ellas (10.62) en (10.96), Φ(x) =

 ,Ω

()

()

bΩ ϕΩ (x) =



()

aΩ χΩ (x) ,

,Ω

es invariante ba jo las transformaciones de Bogolubov (10.30), (10.57), por consiguiente as´ıes Φ ,t y Π(x) por (10.94).


10.3.

71

Entrop´ıa t´ ermica de Entanglement

Para calcular la entrop´ıa S asociada a la matriz densidad reducida ρ (+) , dada por S =

−tr (ρ(+) ln ρ (+)),

with, ρ(+) = tr B(−) ρ H , ρH = 0 H H 0 ,

(10.99)

(10.100) (10.101)

|   |

donde se ha sumado sobre los grados de libertad correspondientes al sector L, es necesario previamente describir su naturaleza térmica, es decir, la distribución de densidad de energ´ıa y presión para los estados de Boulware y Hartle-Hawking, como también localizar precisamente la entrop´ıa. Sin este ambiente térmico el procedimiento general del cálculo de la entrop´ıa de entanglement ser´ıa puramente formal. De (10.76) se calculó (10.101) y (10.100): (+)

ρ

= Z −1

      − e−βE n n(+)

B B

n(+) ,

(10.102)

n

donde Z se expresa por (10.74), con Z Ω =

∞

e−nβω =

n=0

1

1 . e−βω

(10.103)

As´ı, ρ (+) es una matriz térmica reducida de entanglement.

De acuerdo con el apéndice A, considérese el valor esperado para la componente T 00 con respecto a los estados de Boulware y Hartle-Hawking para un campo escalar definido sobre (10.1). En general, para el campo escalar Φ, el valor esperado del tensor momentum-energ´ıa T αβ (x, x ) se expresa por

 T αβ (x, x)  = Dαβ W (x, x) ,



(10.104)

donde T αβ = Φ,α Φ,β

− 12 gαβ

para el acople minimal;

Dαβ



= ∂ (α ∂ β  )

y W (x, x ) es la función de Wightman





Φγ Φ,γ +m2 Φ2 ,

− 12 gαβ





∂ γ ∂ γ  + m2 ,

W (x, x ) = 0 Φ(x) Φ(x ) 0 .

 |

| 

(10.105)

(10.106)

(10.107)


En lo que respecta al estado de Boulware 0

| 

W B (x, x ) =

B

=

B

B

72

, la función de Wightman está dada por

 0 | Φ(x) Φ(x) | 0  () () ( )† ( )∗ 0| bΩ ϕΩ (x) bΩ ϕΩ (x ) | 0  B











B

,

(10.108)

,Ω, ,Ω

donde se uso la expansión (10.59). (10.109) As´ı, recurriendo al resultado

B

 

() ( )

0 bΩ bΩ

  

† 0

B

W B (x, x ) =

= Θ( ω) δ  δ ΩΩ , ()

()

(10.110)

∗

Θ( ω) ϕΩ (x) ϕΩ (x ) .

(10.111)

,Ω

()

puesto que ϕΩ (x) es proporcional a Θ  (x) (dada por (10.17)), W B (x, x ) = 0 si x, x está n en sectores opuestos L, R. Similarmente se obtiene para 0

| 

H

,

W H (x, x ) = =

H

 0 | Φ(x) Φ(x ) | 0 



()

()

H

∗

Θ( ω) χΩ (x) χΩ (x ) .

(10.112)

,Ω

Usando las transformaciones de Bogolubov (10.30), W H (x, x ) se puede expandir como W H (x, x ) =

 

2

Θ( ω) cosh

() () χ ϕΩ (x) ϕΩ



∗ (x ) + senh2 χ ϕ(−) (x) ϕ(−)∗ (x ) , (10.113) Ω Ω

,Ω

()

( )

− (x ) ∝ Θ (x) Θ (x ) = 0, cuando x, x − 

para x, x en el mismo sector, puesto que ϕΩ (x) ϕΩ pertenecen al mismo sector. De (10.111) and (10.113) W H (x, x ) =

− W (x, x) = (W − W )(x, x ) () ()∗ (−) (−)∗ Θ( ω) cosh2 χ − 1 ϕΩ (x) ϕΩ (x ) + senh2 χ ϕΩ (x) ϕΩ (x ) B

H

    

B

,Ω

=

2

Θ( ω) senh χ

,Ω

para x, x  en el mismo sector.

() () ϕΩ (x) ϕΩ



∗ (x ) + ϕ(−) (x) ϕ(−)∗(x ) , Ω Ω



(10.114)


(W H

− W )(x, x) = B



 

(+)

Ω

 

(+)

Θ(ω) senh2 χ ϕΩ (x) ϕΩ ( )

∗ (x ) + ϕ(−) (x) ϕ(−)∗(x ) Ω

Ω

( )

− ∗(x ) + ϕ(+)(x) ϕ(+)∗(x ) . Ω Ω

−

+ Θ( ω) senh2 χ ϕΩ (x) ϕΩ

−

(W H

− W )(x, x) = B

  2

senh χ

73



(+) (+) ϕΩ (x) ϕΩ

∗ (x ) + ϕ(−) (x) ϕ(−)∗(x ) , Ω Ω

Ω

(10.115)

(10.116)

donde se uso la identidad Θ(ω) + Θ( ω) = 1 . (W H

−

− W )(x, x) = B

 Ω

1

eβ |ω|

−1



(+)



(+)

ϕΩ (x) ϕΩ

∗(x ) + ϕ(−) (x) ϕ(−)∗ (x ) , Ω Ω

(10.117)

donde se introdujo senh2 χ =

tanh2 χ , 1 tanh2 χ

para tanh χ definida por (10.31).

−

()

( )

−

Debido a las propiedades de ϕ Ω (x) y ϕ Ω (x) es necesario restringir los cálculos al sector R o al sector L. Entonces, si se supone x, x  pertenecientes al mismo sector, por ilustración R, finalmente (10.114) se reduce a (W H

− W )(x, x) = B

 Ω

1 (+) (+)∗  | | − 1 ϕΩ (x) ϕΩ (x ) ,

eβ ω

(10.118)

porque en el sector R, Θ− = 0 y Θ+ = 1, ( )

( )

Ω

Ω

−

− ∗ (x ) ∝ Θ (x) Θ (x ) = 0 , − − (+) (+)∗  ϕ (x) ϕ (x ) ∝ Θ+ (x) Θ+ (x ) = 1 .

then ϕΩ (x) ϕΩ Para calcular T 00 (x, x ), primero se evalúa

− W )(x, x)|x =x ≡ ∂ 0 ∂ 0 W (x, x )|x =x , 1 (+) (+)∗ ∂ 0 ∂ 0 W (x, x )|x =x = ∂ 0 ∂ 0 ϕΩ (x) ϕΩ (x ) | | β ω −1 e x =x Ω 1 2 2 |ω | | = ϕΩ (x)| , | | β ω − e 1 Ω

∂ 0 ∂ 0 (W H

B



H-B







 



H-B





(10.119)



(10.120)


74

donde se consideró (10.15).

La expresión (10.120) se puede reducir a ∂ 0 ∂ 0 W H-B (x, x )|

1 x =x = 4π



∞

dω

0

 −

ω eβω

|2 ,

(2l + 1) ϕω l (r)

1

|

l

(10.121)

usando ϕΩ (x) = ϕ ω l (r) Y l m (θ, ϕ) , l

|

|2

Y l m (θ, ϕ) =

−

m= l

y

(2l + 1) , 4π

ϕωl = ϕ |ω| l, entonces

(10.122)



∞

dω () = 2



∞

(10.123)

dω ().

(10.124)

0

−∞

Es importante notar que en estos cálculos no es necesario introducir la regularización usual requerida.



∞



dω ϕΩ (x) ϕ∗ (x ) Ω

0

x =x

diverge cuando ω . Sin embargo, debido a la diferencia entre los estados de Boulware and Hartle-Hawking introducidos, las transformaciones de Bogolubov (10.30) aportan un factor de convergencia (eβ|ω| 1)−1 .

→ ∞ −

Para completar el cálculo de (10.121) es necesario conocer expl´ıcitamente la función ϕ ωl , entonces escribiendo la métrica (10.1) como ds2 =

2

dr −f (r) dt2 + f (r) + r 2 dΩ2 ,

(10.125)

y redefiniendo ϕ en los modos de solución (10.122) tal que ϕ(r) =

1

 

ψ(r) ,

(10.126)

d2 + k2 (r; ω, l) ψω l (r) = 0 , dr2

(10.127)

r2 f

la ecuación (10.2) conduce a la ecuación diferencial

 donde k

2

≡

1 f



ω2 f

−

l(l + 1) r2

2

−m −



(r2 f ) , 2r2

(10.128)


75

y el horizonte de eventos está caracterizado por r = r 0 , f (r0 ) = 0. para resolver la ecuación (10.127) se recurre a la aproximación WKB, entonces ψω l η (r)

   ≈



R 1 ω i r k(r ) dr e r0 , 2π k(r)

(10.129)

donde el nuevo ´ındice η = sign k(r) corresponde a ondas salientes y entrantes:  η = significa que se debe incluir η en el colectivo de ´ındices Ω ω l m η.

≡

±1. Lo que

Antes de continuar el cálculo de (10.119) es importante considerar la normalización del modo WKB (10.129). luego se requiere que los modos espaciales ϕ Ω (x) satisfagan



d3 x γ (x) ϕ∗Ω (x) ϕΩ (x) = δ ΩΩ + δ ΩΩ ¯  ,

(10.130)

donde Ω = ωlmη ,

¯= Ω

−ω,lmη ;

γ (x) =

√ −g (−g00 ) = f −1 r2 sen θ .

(10.131)

En estos términos ahora se tiene



ϕΩ (x) = ϕωlη (r) Y lm (θ, ϕ) , 1 ϕωlη (r) = ψωlη (r) , r 2 f



dθdϕ sen θ Y l∗ m (θ, ϕ) Y lm (θ, ϕ) = δ ll δ mm .

(10.132)

(10.133)

Entonces (10.130) se reduce a



dr f −2 ψω∗  l η (r) ψωlη (r) = δ (ω

{

− ω ) + δ (ω + ω)} δ ηη . 

(10.134)

Para verificar si el ansatz (10.129) satisface (10.134), se reemplaza la expresión (10.129) , asumiendo η  = η = 1 and ω  ω peque˜ no,

−



1 dr f −2 ψω∗  l η (r) ψωlη (r) =

2π 1 = 2π

 

r r

R − − 2 1 −i 0 dr f ω k e 

dy e−iy(ω −ω) = δ (ω

∂k (r ;ω,l) (ω ∂ω

− ω) ,

donde se definió



r

y =

r0 +

∂k(r ; ω, l)  ∂k(r; ω, l) dr , dy = dr , ∂ω ∂ω

∂k ω = 2 . ∂ω f k

−ω)

(10.135)


76

Regresando al cálculo de (10.119), se reemplazan las expresiones (10.129) y (10.132) en (10.121) para obtener 1 ∂ 0 ∂ 0 W H-B = 4π2 r2



eβω

0



lmax

∞ ω 2 dω

−1

(2l + 1)dl , f k

||

0

(10.136)

donde se aproxima, para l grandes,

 ≈  ()



() dl , also

() = 2().

±

η=

l

Adem´ as, l max (ω, r) se define de acuerdo a k2 (r; ω, lmax ) = 0 ,

(10.137)

es decir , ω2 − 2 r lmax (lmax + 1) =

2

−m − f



lmax

(2l + 1) dl = 2f −1 f k

||

0

(r2 f ) 2r 2

≡ p2 .

  fr

lmax (lmax + 1) .

(10.138)

(10.139)

Finalmente, sustituyendo (10.139) en (10.136) y multiplicando por ( g00 ), se obtiene

−

1 ∂ ∂ 0 W H-B = 2π2 0

0

− ∂ ∂ 0 W 

H-B =



∞

0



∞ p ω2 dω

−

√ f

eβω 1 f 2 E 4πp 2 dp , E e T 1 (2π)3

−

0

.

(10.141)

√ ωf . Entonces, β ω =

√ −g = T = β −1 , 00

H

p dp =

(10.140)

−

donde ha sido definida la energ´ıa propia local por modo E como E = T (r)

E T (r) ,

(10.142)

ω dω = E d E . f

Respecto al término extra en T 00 que surge de ∂ γ ∂ γ  + m2 en (10.106), se puede mostrar que es nulo bajo la misma aproximación: Para mostrar este resultado se recurre a la evaluación WKB de

−

As´ı, en ese sentido considere





∂ γ ∂ γ  + m2 W H-B (x, x ) x =x .

|

| |2 + r12 γ

g µν ϕ,µ ϕ,∗ν = f ϕ,r

AB

ϕ,A ϕ,∗B

− f 1 |ϕ,t |2 ,

(10.143)

(10.144)


77

donde γ AB es la esfera unidad.

Sustituyendo (10.15), (10.122) en (10.144) 1 2ω 2

||

|

l



gµν ϕΩ ,µ ϕΩ ,∗ν (x) =

η=

± m=−l 2

ω f ϕωl (r)|2 − | ϕωl |2 f

| l

Y lm

m= l

−

2

|

l

 |∇ |

1 + 2 ϕωl (r) 2 r

|

ˆ Y lm 2 ,

|

m= l

−

(10.145)

donde ( ˆ F )

2

∇

1 2ω 2

||

l



≡  ∂F ∂θ

± m=−l

| 

2l + 1 ϕωl (r) 2 4π

|

donde se uso

d f ln ϕωl (r) dr

l

|  |∇

Y lm (θ, ϕ) 2 =

|

m= l l

−

  ∂F ∂ϕ

2

.

m= l

−

 − 2

ω 2 l(l + 1) + f r2



,

2

ln ϕωl (r) = i

1 ω 2 l(l + 1) 1 2 2 + = f [ln(r f k )] f r2 4

k dr

(10.146)

|

 − 

2l + 1 , 4π

ˆ Y lm (θ, ϕ) 2 = (2l + 1) l(l + 1) . 4 pi

d f ln ϕωl (r) dr con,

1 + sen2 θ

gµν ϕΩ ,µ ϕΩ ,∗ν (x) =

η=



2

(10.147) 2

− m2 − (r2rf 2)

− 12 ln(r2 f k ) + cte ,



,

(10.148)

(10.149)

lo cual fue obtenido de (10.128) y (10.129).

Entonces (10.145) se reduce a l



1 2 η=±

m= l

−

(g µν ϕΩ ,µ ϕΩ ,∗ν +m2 ϕΩ ϕ∗Ω ) =

(2l + 1) α ωl (r) ϕωl (r) 2 , 4π 2ω

|

|

||

(10.150)


78

donde αωl (r) =

1 f [ln(r 2 f k)]2 4

2

− (r2rf )2



.

(10.151)

De (10.118), (10.150) y (10.118) (∂ γ ∂ γ  + m2 )W H-B (x, x ) = 1 8π



∞

dω

−∞

|ω|−1 eβ |ω| − 1



(2l + 1) ϕωl (r) 2 αωl (r) .

|

l

|

(10.152)

Comparando esta u ´ ltima expresión con (10.121), se observa que cerca del horizonte, las altas frecuencias dominan, es decir, la contribución de (10.152) es mucho menor que la correspondiente de (10.121). N´ otese también que αωl (r) esta acotada para todo r, puesto que en (10.151), f k es finita y no nula cuando r r0 , f 0 por (10.128). Para r r0 se tiene α ωl (r) 0, porque f 1, f k ω, entonces

→

→



α

≈ Por consiguiente, evaluando ρ = − T 00 

1 4

− 2 r

2

≈

≈ | | ≈

(r2 ) =0. 2r2

y P = 31 T aa H-B con base en (10.104), la contribución a la traza de (10.152) se puede despreciar. Entonces esto implica P = 31 ρ. H-B

 

Finalmente,



∞

4π p2 dp . (10.153) E e T 1 (2π)3 0 Esta es la expresión t´ ermica esperada para la densidad de energ´ıa de un campo escalar caliente. Bajo la aproximación WKB, la cual es buena cerca del horizonte, se puede expresar la entrop´ıa global como la integral de volumen de densidad local. Entonces, se puede argumentar que ésta representa una aproximada localización de la entrop´ıa, fuertemente concentrada cerca del horizonte. Este resultado significa que hay una densidad de entrop´ıa finita bien definida cerca del horizonte. l´ım

 x→x

T 00 (x, x

 ) H-B = ∂ 0 ∂ 0 W H-B = −

E

−

El sistema térmico arriba descrito y asociado a la entrop´ıa de entanglement, realmente nos permite pensar que la entrop´ıa surge f´ısicamente localizada cerca del horizonte. Entonces, ésta se puede calcular de (10.74) y (10.103) en términos de la función de partición Z : S =

∂ −β ∂β ln Z + ln Z ,

(10.154)

la cual corresponde a la expresión S = β U + ln Z ,

(10.155)

con U = Z −1

 n

E n e−βE n =

∂ − ∂β ln Z .

(10.156)


Puesto que, para cualquier función f (ω) que va a cero cuando ω

 ≡ 

∞

f (ω)

79

→ ∞, se puede escribir,

dω N (ω) f (ω) ,

(10.157)

0

Ω

entonces, ln Z =



   

ln Z Ω =

∞

f (ω) =

Ω

Ω

donde

f (ω) = ln

dω N (ω) f (ω) ,

(10.158)

0

1

−

1 e−βω

,

(10.159)

y N (ω) dω es el n´ umero de modos ϕΩ (xα ) que caen en el rango ( ω, ω +dω) para todos los admisibles k, l, m.

En otras palabras, para calcular S asociada a ρ(+) dada por (10.100), todo lo que se necesita es encontrar N (ω) finito, es decir., contar modos : ln Z =



(2l + 1)ln

l,n,η=

±



1

−

1 e−βωln



.

(10.160)

Entonces el cálculo de S finita se reduce a restringir los conjuntos discretos l = 0, 1, 2, y n = 1, 2, . Debido a que la descripción térmica sintetizada por (10.153) coincide con la correspondiente del modelo de la pared (ver el numeral 3.3), la restricción de los conjuntos l y n puede hacerse con este u ´ ltimo modelo.

{

{

···}

···}

{ } { }

El conjunto discreto η = 1; l = 0, 1, 2, ; m = l, , +l está restringido por la condición que debe satisfacer el número de onda radial k dado por (10.128):

{ ±

·· ·

− · · ·

k 2 (r; ω, l)

≥ 0,

}

(10.161)

en otras palabras, k debe ser real, de otro modo ϕ(r) decaer´ıa exponencialmente y efectivamente ser´ıa nula. Por consiguiente, para un ω dado, N (ω) es finito o puede hacerse finito por condiciones de frontera apropiadas. Considérese un confinamiento finito del sistema, con la condición de frontera de Dirichlet ψ(r) = 0 en la frontera interior r = r0 + . La solución de (10.127) bajo la aproximación WKB es ψlη (r) =

1 sen k(r; ωln , l)





rln

r0 +

k(r ; ωln , l) dr ,

(10.162)


80

donde, para un admisible modo, k (r) y ψ (r) deben anularse simultáneamente en el n-ésimo nodo r = r n :



rln

k(r ; ωln , l) dr = nπ ,

r0 + 2 k (rln , ωln , l) = 0 , k 2 (r ; ωln , l) 0 , r



≥

(10.163)

(10.164)

 < rln ,

(10.165)

lo cual significa que k(r) es grande cerca de r0 +  y decrece con el incremento de r. Entonces si l(l+1) > ω 2 , k2 (r) eventualmente debe llegar a anularse, mientras ψ(r) alcanza a hacer n osr02 cilaciones hasta r = rn . Por lo tanto, k(r) y ψ(r) deben anularse simultáneamente en el nodo correspondiente a r = r n . ω2

Puesto que f (ln r) en (10.128) es muy grande cerca de la pared interior, el número de altos modos l permitido es muy numeroso. Los altos modos l están confinados en una capa delgada muy cerca de la pared, con una contribución 1) ∼ l(l + . 2 r

(10.166)

0

Esta dominante contribución (interior de modos) a ln Z y S es proporcional a r 02 . Por otra parte, los modos exteriores (los cuales satisfacen la condición de frontera en la pared exterior r = R) dan una contribución proporcional a R 3 . Esto explica básicamente por qué los cálculos detallados abajo conducen al resultado S = S pared + S volumen ,

(10.167)

donde, S pared

∝ área del horizonte .

(10.168)

De (10.160) se puede escribir ln Z =



(2l + 1) ln

l,n



1

−

1 e−βωln



,

(10.169)

donde se consideró la condición de frontera de Dirichlet en la pared interior, o alternativamente la condici´ on de frontera de Neumann. Para escribir (10.169) como una expresión integral, y en lugar de l, n como variables independientes de integración, se cambia a l, ω como variables independientes con n = n(ω, l), y se usan (10.163) y (10.164) para expresar 1 n(ω, l) = π ∂n(ω, l) 1 = ∂ω π

 

r(ω,l)

r0 + r(ω,l) r0 +

k(r ; ω, l) dr  ;

k2 (r(ω, l); ω, l) = 0 .

∂k(r ; ω, l)  1 ∂r(ω, l) dr + k(r(ω, l); ω, l) . ∂ω π ∂ω

(10.170)

(10.171)


81

Ahora, de (10.169) y (10.171) 1 ln Z = π



∂k(r ; ω, l) dldωdr (2l + 1) ln ∂ω

(k2 (r ;ω,l) 0)

≥



1

−

1 e−βω



,

(10.172)

donde los l´ımites de integración son las superficies k 2 (r ; ω, l) = 0, r  = r 0 + , r  = R, con l ω 0 restringidos únicamente por la condición k 2 (r ; ω, l) 0.

≥

≥

≥0y

Integrando (10.172) por partes se obtiene 1 ln Z = π Por otra parte,



dr (2l + 1) dldωk(r ; ω, l)



 √

− 1 .

Lmax (ω,r  )

1

(2l + 1) dl k(r ; ω, l) =

β eβω

dL (Lmax

r f 0 1 2 32 =  L , r f 3 max

− L)

√

(10.173)

1 2

(10.174)

donde, L

≡ l(l + 1) ≤ L

max

(ω, r ) ,

para L max dado por el valor que hace k 2 = 0; es decir, de (10.128)

   

 

r 2 (r2 f ) 2 2 − Lmax (ω, r  ) = ω m + f (r ) . f (r ) 2r2 Sustituyendo (10.174) en (10.173) ln Z =

1 π

∞

R

dr

dω

0

r0 +

β eβω

1 2 √ − 1 r f 3 L

3 2 max

.

(10.175)

(10.176)

De (10.176) se pueden obtener las expresiones termodinámicas usuales en términos de la energ´ıa libre de Helmholtz F y la ener´ıa promedio U : F =

−

1 ln Z = β

 −

∞ N (ω) dω

0

−1 ,

eβω

(10.177)

donde 2 N (ω) = 3π



R

r0 +

 −

r2 dr ω2 f 2 (r)

 − −   −  −

(r2 , f ) m + 2r2 2



∞ ∂ 1 U = ln Z = dω N (ω) βω ∂β e 1 0 ∞ dω ∂ = N (ω) (ω N (ω)) βω e 1 ∂ω 0 ∞ dω = ω N  (ω) , βω e 1 0

−

−

  f (r)

eβω

3 2

.

− − β (eβω − 1)2 ω



(10.178)

 (10.179)


82

con N  (ω) definido por 2 N  (ω) = ω π

  −  R

r2 dr 3 f 2

r0 +

ω2 f

(r2 f ) + 2r 2

m2



.

(10.180)

Entonces, la entrop´ıa S resulta ser S = β (U

− F ) = β



∞ ω N  (ω) + N (ω) eβω

0

−1

dω .

(10.181)

Para convertir las expresiones arriba a una forma estad´ıstica -termodinámica, se cambian las variables de integración r y ω por r y p, donde ω2 f (r)

2

− m2 − (r2rf )2

p2 =



.

(10.182)

Entonces, p dp dr =

ω dω dr . f

(10.183)

En estos t´ erminos, (10.179) y (10.180) se convierten en



R

U =

2

4π r dr

r0 +



∞ E ( p, r) 4π p2 dp

0

eβω

−1

(2π  )3

,

(10.184)

donde ha sido expl´ıcitamente restaurado  = 1 e introducido: ω E = √ , la energ´ıa de modo con frecuencia ω, medida localmente; con ω ( p, r) dada por (10.182), f y p el momentum local efectivo. Entonces,

βω =

E , T (r)

T (r) =

β −1 . f

√

(10.185)

As´ı,



R

U =

4π r2 ρ(r) dr ,

(10.186)

r0 +

con,



∞

4π p2 dp , E h3 e T 1 0 (r 2 f ) E 2 = p2 + m2 + p2 + m2 . 2r2 ρ(r) =

E

−

≈

(10.187)

(10.188)

´ CAP ´ ITULO ITULO 10. TERMODI TERMODIN N AMICA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS

83

Finalmente, de (10.181) S = = β

 

∞ ∂ ∂ω

0

∞

2

= β

(ω N ( N (ω))

ω N (ω)

0

1 eβω

eβω (eβω

− 1 dω

− 1)2 dω .

(10.189)

Ahora, recurriendo a (10.178), (10.182) y (10.183)

  √ · 

2 2 r2 dr 2 32 eβω S = = β ( p f ) f ) p d p f 3π f 2 (eβω 1)2 1 2 p2 eβω 4π p2 dp 2 dr = β 4π r f . 3 (eβω 1)2 (2π (2π )3 f

−

−

(10.190)

Entonces,



R

S = =

4π r 2

r0 +

dr √ S (r ) , f

(10.191)

donde 1 S (r) = 3T 2



∞ p2 e

0

E T

E

(e T

−

4π p2 dp . h3 1)2

(10.192)

Desde esta parte, el análisis alisis puede hacerse como en la sección 3.3.

En particular, note que cerca del horizonte T T es grande: De (10.187)

ρ(r)

≈



∞ x3 dx

4π T 4 (2π (2π  )3

0

2

π ≈ T 4 (r) , x e −1 30 3

(10.193)

donde fue introducido



E T

∞ x3 dx

0

=

≈ P T = x ,

  ∞

∞

ex

−1

≈

1 4π T 5 2 3T (2π (2π  )3

n=1

3

x e−nx dx = dx =

0

∞



n=1

3!

1 π4 = . n4 15

De (10.192) S (r)



∞

0

x4 ex 4 π2 3 dx = T (r ) . (ex 1)2 3 30 3

−

(10.194)

´ CAP ´ ITULO ITULO 10. TERMODI TERMODIN N AMICA DE ENTANGLEMENT DE AGUJEROS NEGROS

84

Entonces,

≈ ≈ 43 T ρ ≈ ρ +T p ;

S

T dS = = dρ ,

(10.195)

lo cual es correcto para radiación y materia a altas temperaturas.

Para la entrop´ entrop´ıa se tiene una expresión on global como en (10.99). Sin embargo, resulta que bajo la aproximación on WKB, que es apropiada cerca del horizonte, esta entrop´ entrop´ıa global se puede escribir como la integral de volumen de densidad local, como en (10.191) y (10.192). Por esto es razonable argumentar que representa una aproximada localización on de entrop´ entrop´ıa, fuertemente fu ertemente concentrada cerca del horizonte. La expresión on (10.153) es consistente con las expresiones (10.187) y (10.192). Este resultado significa que que hay una bien definida y finita densidad de entrop´ entrop´ıa cerca del horizonte.

Parte IV

EFECTO UNRUH

85

Cap´ıtulo 11

˜ ´ BANO TERMICO DE FULLING-DAVIES-UNRUH Se conoce como efecto Unruh a las propiedades térmicas que manifiesta el vac´ıo minkowskiano si se le restringe a una de las cuñas L o R del espacio-tiempo de Minkowski. Tales cuñas corresponden conformemente a las respectivas regiones L y R del espacio-tiempo de Schwarzchild extendido maximalmente ( Ver la figura 10.1. ) Es importante señalar que a diferencia del Efecto Hawking, el baño t´ ermico de Fulling-DaviesUnruh no es una fuente gravitacional, es decir, no se presenta creación de part´ıculas. Lo que f´ısicamente ocurre es un desplazamiento negativo del nivel cero del estado de vac´ıo de Rindler con respecto al estado de vac´ıo de Minkowski.

11.1.

Aproximaci´ on Euclidiana

En las coordenadas de Rindler (x > t ), la métrica plana toma la forma

|| ds2 = −ξ 2 α2 dη 2 + dξ 2 + dy 2 + dz 2 ,

(11.1)

donde α es una constante y

−∞ < η < ∞ ;

0 < ξ <

∞.

De acuerdo con la aproximación euclidiana de Gibbons-Hawking, descrita en el cap´ıtulo siete, puede escribirse (11.1) como una métrica definida positiva ds2 = ξ 2 α2 dτ 2 + dξ 2 + dy 2 + dz 2 ,

(11.2)

al introducirse η = iτ . Para ξ = constante,



β

S = 2πξ = ξ α

0

86

dτ .

(11.3)

˜ T ERMICO ´ CAP ´ ITULO 11. BANO DE FULLING-DAVIES-UNRUH

87

La métrica en el plano ξ τ llega a ser como el or´ıgen de las coordenadas polares si se identifica la coordenada τ con el periodo

−

2π = β . (11.4) α Esto significa que los campos sobre el background de Rindler se comportan como si estuvieran en un estado térmico con temperatura T = β −1 =

11.1.1.

α . 2π

(11.5)

Entrop´ıa de Rindler S a partir de la acci´ on Euclidiana G-H a 0-loop: R

∗ ∗ ∗ ∗

    

3g = ξα ;

1 8π 1 8π 1 8π 1 8π

∂η =

∂ ∂ξ

     −

(11.6)

  

1 1 ∂ K dΣ = K 3g d3 x = 3g d3 x 8π 8π ∂η 1 1 2π K dΣ = α dydz dτ = α dA 8π 8π α 1 1 2π [K ] dΣ = (K K plano ) d3 x = α dA 8π 8π α 1 [K ] dΣ = A , 4 ξ →∞



(11.7)

con A infinito. 1 I E = 16π

 √



1 R gd x+ [K ] dΣ 8π ln Z I E (extremo) S R = ln Z + βE 1 ∂ ln Z = A ; E = ln Z = 0 4 ∂β 1 S R = A . 4 4

≈

(11.8)

−

(11.9)

El resultado (11.9) es válido para ξ

→ 0 (sobre el horizonte).

11.2.

Aproximaci´ on de Entanglement

La relación causal entre las regiones del background geométrico ilustrado por la figura 10.1, al igual que la estructura de horizontes, coinciden idénticamente con las correspondientes del background del sistema Minkowski-Rindler, debido a las propiedades conformes entre las dos m´ etricas. Entonces, el formalismo desarrollado en el cap´ıtulo nueve resulta lo suficientemente general para


88

τ=τ 2

τ=τ 1

ξ

=constante

Figura 11.1: Soluci´ on euclideana de Rindler

considerar el efecto Unruh en espacios planos. De (10.76) y (10.77) se puede expresar

|0

1

= Z − 2 M



1

e− 2 β E n n

n

1

(sobre L + R) = Z − 2 BR

|0

|  | n 

 n

1

L

R

e− 2 β E n n

,

|  | 0  L

R

,

(11.10)

(11.11)

para calcular los valores esperados correspondientes a los modelos I-IV del numeral 10.2., y las ecuaciones asociadas ((10.81)-(10.90)):


|0

89

L

Figura 11.2: Polarización del vac´ıo

|0

M

|0

R


M

+

  0 H LR 0

M

90

= E

 β

E

|0

M

0

|0

R



R

 0 | H G | 0 

R

=

91

− E β

0

|0

M

− E

|0

R



M

|0

L

|0

M

  0 H LL 0

M

=

92

− E β

0 − E Figura 11.5: Polarización del vac´ıo


L

 0 | H G | 0 

L

93

= E

 β

|0

L

E

|0

M

0 Figura 11.6: Polarización del vac´ıo


M

|0

 0 | H G | 0 

M

94

= 0

E

L

−

E

|0

M

|0

R

Figura 11.7: Polarización del vac´ıo La figura 11.3 se interpreta como la manifestación térmica del estado de vac´ıo global de Minkowski para un observador local restringido a la región R como un efecto del corrimiento de su estado de vac´ıo local con respecto al global de Minkowski y por la presencia del horizonte de eventos que determina el caracter térmico de la energ´ıa observada localmente. La figura 11.4 es la percepción rec´ıproca de la anterior. las figuras 11.5 y 11.6 siguientes se interpretan igual pero para la región especular. La figura 11.7 del conjunto debe analizarse cuidadosamente, porque ningún observador ver´ıa simultáneamente los dos corrimientos mostrados para cada región especular. Un observador global del espacio-tiempo de Minkowski percibe con respecto al vac´ıo global que, efectivamente el valor esperado de la energ´ıa es cero, únicamente estar´ıa presente el nivel dibujado frente a 0 M . Por otra parte, los observadores locales no tienen acceso a la región especular correspondiente.

| 

11.3.

Consideraciones Formales

Una superficie nula h para la cual un campo χ a sea normal, se denomina un horizonte de Killing. Puesto que χa χa = 0 sobre h, el vector b (χa χa ) debe ser normal a h. Entonces este vector es proporcional a χa . Por consiguiente, existe una funcion k sobre h, denominada la gravedad superficial de h, la cual satisface

∇

∇b(χaχa ) = −2 k χb

(11.12)

en todo punto sobre h. Tomando la derivada de Lie de la expresión (11.12) con respecto a χa , se observa que k debe ser constante a lo largo de cada curva integral de χ a sobre h. Lo cual permite expresar k como l´ım g ( χa χa )1/2 ,

g

→∞

−

(11.13)


95

donde g denota la magnitud de la aceleración propia asociada a la curvas integrales de χa en la region externa de h y ( χa χa )1/2 es el factor del corrimiento al rojo gravitacional.

−

El espacio-tiempo de Minkowski admite unas interesantes isometr´ıas generadas por el campo de Killing ba = g [X (∂/∂T )a + T (∂/∂X )a ] ,

(11.14)

donde g es una constante arbitraria y T ,X son coordenadas inerciales globales. La estructura causal determinada por los planos nulos que dividen el espacio-tiempo de Minkowski en cuatro regiones, de acuerdo con el campo de Killing ba , es fundamental en la derivación del efecto Unruh. Justamente, ba es normal a estos planos, es decir, este par de superficies nulas son un horizonte de Killing bifurcado. Una notable propiedad de estos horizontes es que k no var´ıa de generador a generador, de tal manera que k es globalmente constante sobre h. Por otra parte, se puede mostrar que, bajo apropiadas suposiciones relativas a los campos de materia y bajo la asunción de analiticidad, el horizonte de eventos de un agujero negro estacionario debe ser un horizonte de Killing. Los efectos Hawking y Unruh son una consecuencia directa de la no unicidad de la cuantización canónica en los espacios-tiempo Riemannianos. Formalmente, el efecto Unruh tiene una cercana relaci´ on con el efecto Hawking. Esta relación matemática cercana surge del hecho que el evento de horizonte de un agujero negro estacionario es un horizonte de Killing.

11.3.1.

Efectos t´ ermicos de horizontes de Killing

En un espacio-tiempo curvo, en general, no existe una escogencia única de las coordenadas temporales, estas diferentes escogencias conducen a diferentes estados de vac´ıo. En particular, cuando se considera la cuantización canónica de un campo escalar libre, recurriendo a todas las clases de sistemas coordenados estacionarios en el espacio plano, se encuentra que existen únicamente dos posibilidades para el estado de vac´ıo: el vac´ıo minkowskiano para todos los sistemas coordenados sin un horizonte de eventos y el vac´ıo de Fulling para los sistemas coordenados con horizonte de eventos. Es bien conocido que estos dos estados de vac´ıo no son equivalentes, as´ı la presencia de un evento de horizonte, al parecer, juega un papel clave en la definición de un estado de vac´ıo. complementariamente, sabemos que observadores cuya observación de modos de part´ıculas está limitada por un horizonte, perciben un vac´ıo térmico. Este es un resultado muy importante que permitió unificar y generalizar los resultados térmicos de Fulling, Hawking y Unruh, no significando ello que los efectos sean f´ısicamente equivalentes. En el contexto formal es posible definir una temperatura generalizada T , recurriendo a la noción de gravedad superficial k de un arbitrario horizonte de Killing h y a la propiedad de los horizontes de Killing bifurcados para los cuales k es globalmente constante sobre h T =

k , 2 π ( χa χa )1/2

−

(11.15)


96

donde k y χa son los correspondientes gravedad superficial y campo de Killing, respectivamente. Por otra parte, la entrop´ıa asociada no se determinar´ıa por el número de estados ¨ınternos”, sino por el n´ umero de estados asociados con la presencia del horizonte y que pueden influir el mundo externo. En este sentido se puede sugerir que existir´ıan leyes generales de la termodinámica de horizontes, estrictamente análogas a las respectivas leyes de los agujeros negros]. Entonces, las leyes de la termodinámica de agujeros negros ser´ıan un resultado particular de los efectos térmicos de horizontes causales. Las estructuras de horizontes equivalentes conducir´ıan a las mismas expresiones térmicas pero no necesariamente a los mismos efectos sobre el vac´ıo de los campos.

11.3.2.

Efecto Unruh en variedades curvas

Si nos limitamos a una descripción estrictamente formal, el horizonte de Killing bifurcado generado por el campo de Killing estático χ a del espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente, implicar´ıa que las propiedades térmicas del estado de Hartle-Hawking ser´ıan una derivación de algo como un efecto Unruh en el espacio-tiempo curvo. Sin embargo, los modelos de agujeros negros eternos que modelan agujeros negros producidos por colapso gravitacional, en particular el modelo de la dinámica de campos térmicos, conducen a una fuente térmica gravitacional. En tiempos infinitamente futuros un agujero negro de Schwarzschild formado por colapso gravitacional rad´ıa precisamente como un cuerpo negro. En el espacio-tiempo de Schwarzschild extendido maximalmente se puede considerar el estado de Unruh, correspondiente al comportamiento tard´ıamente de un campo cuántico en el espacio-tiempo en el cual un cuerpo esf´ erico sufre un colapso gravitacional. Pero, para apoyar la existencia de un efecto Unruh en espacios-tiempo curvos se argumenta que el tensor momentum-energ´ıa para el estado de Unruh es singular en el horizonte pasado, entre otros argumentos. El punto de vista sostenido en este texto apoya la propuesta acerca de la existencia de efectos térmicos de los horizontes, lo cual podr´ıa significar que diferentes efectos sobre el vac´ıo de los campos limitados por la presencia de horizontes presentar´ıan naturaleza térmica. Entonces, a diferencia del efecto Unruh en espacios planos, las propiedades térmicas del estado de Hartle-Hawking observadas por observadores estáticos y externos ser´ıan efectos de creación de part´ıculas debido a que la curvatura induce un tensor momentum-energ´ıa no nulo. En el contexto de la aproximación de entanglement o de efectos térmicos, de acuerdo con lo desarrollado anteriormente, es claro que las propiedades térmicas del estado Hartle-Hawking no tienen relaci´ on con un efecto tipo Unruh. En este contexto el comportamiento del tensor momentumenerg´ıa de Unruh en el horizonte pasado no es un problema, todo lo contrario, éste conduce a que el tensor momentum-energ´ıa de Hartle-Hawking sea regular all´ı.

11.3.3.

Detectores de part´ıculas

El efecto Unruh ha sido investigado con base en modelos de detectores acelerados de part´ıculas, lo cual a conducido a especulaciones y conflictos conceptuales acerca de la definición de part´ıcula. Realmente, el criterio de la teor´ıa de campos expuesto anteriormente es, en principio, respecto al criterio de las teor´ıas de detectores, una investigación diferente del efecto Unruh. Para ilustrar brevemente la técnica de los detectores acelerados de part´ıculas, modélese el detector simple de Unruh-Dewitt:


97

La interacción campo-detector se describe con base en el lagrangiano de interacción L = c m(τ ) φ[x(τ )] ,

(11.16)

donde c es una peque˜ na constante de acople, m(τ ) el operador momento de monopolo y x µ (τ ) la l´ınea de mundo del detector. Los estados base están dados por ak 0M = 0

| 

∀k ,

(EU26)

para el campo φ, y

| E 0, 0 

M

(11.17)

para el detector. (11.18) Para c suficientemente pequeña, la amplitud de transición a un estado E, ψ , puede expresarse como

|

A = ic



ψ, E

 

∞

 

m(τ ) φ[x(τ )] dτ E 0 , 0M

−∞ iH 0 τ m(τ ) = e m(0) e−iH 0 τ , H 0 E = E E .

| 

,



(11.19)

(11.20) (11.21)

| 

Entonces, A = ic E m(0) E 0

 |

|

 

∞

ei(E −E 0 )τ ψ φ(x) 0 M dτ .

−∞

 |

| 

(11.22)

La probabilidad de transición está dada por P = c 2

| E | m(0) | E 0 |2 F (∆E ) ,

(11.23)

donde, F (∆E ) =

  ∞

∞

−∞ −∞

ei(τ 1 −τ 2 )∆E G+ (x(τ 1 ); x(τ 2 )) dτ 1 dτ 2 ,

G+ (x(τ 1 ); x(τ 2 )) = 0M φ[x(τ 2 )] φ[x(τ 1 )] 0 M .

 |

| 

Para el caso de un detector acelerado con aceleración propia constante α:

(11.24) (11.25)


F (∆E ) =

∆E 1 2π ∆E α 2π e

−1

98

(11.26)

En este caso la presencia de part´ıculas se manifiesta por F (∆E ) = 0. En particular, la manifestaci´ on térmica de la última expresión es el resultado de la presencia del horizonte de eventos.



Es importante señalar que en la modelación con detectores es claro el origen de la excitación de éstos, debido a la interacción introducida seg´ un (11.16), con una energ´ıa proveniente de la fuente aceleradora del detector. Luego, el efecto Unruh se manifiesta en el carácter térmico del baño de part´ıculas, no en el origen de éstas. Aqu´ı lo que se hace manifiesto es un efecto diferente sobre el vac´ıo de los campos, con un resultado común al efecto Unruh de entanglement y al efecto de creaci´ on de part´ıculas asociado al efecto Hawking, la naturaleza térmica de esos efectos, lo cual es debido a la presencia de los horizontes de eventos en cada caso.

Parte V

´ APENDICE

99

Cap´ıtulo 12

MODOS DE FRECUENCIA POSITIVA 12.1.

Definici´ on

Sea ln+ x, definido para un número real x, como

ln+ x

≡ ln |x| + iπ2 (x) , −∞ < x < ∞ ,

(12.1)

donde (x)

≡ sign(x) .

Entonces, se denominará e±iα ln+ x

(12.2)

una función de frecuencia positiva con respecto a x (para ambos signos e±iα ln+ x =



∞

0

12.2.

±α, α real), es decir,

A± (ω) e−iωx dω .

Extensi´ o n a una funci´ on anal´ ıtica

Extiéndase (12.1) a una función anal´ıtica ln + z por la definición: ln+ z :



real sobre el eje imaginario inferior corte de rama en el semiplano superior ,

es decir, ln+ z = ln z + i(argZ +

||

π ), 2

100

− 3π2 < argz < 3π2 .

(12.3)

CAP ´ ITULO 12. MODOS DE FRECUENCIA POSITIVA

101

Entonces ln+ z es regular en el semiplano inferior. e±iα ln+ z son regulares y acotadas en el semiplano inferior. As´ı, 1 A± (ω) = 2π



∞

e±iα ln+ z eiωz dz = 0 si

ω < 0 .

(12.4)

 =

(12.5)

−∞

Finalmente se define: ln x = ln x +

||

iπ (x)  , 2

−∞ < x < ∞ ;

±1 .

Entonces, e±iα ln x son

12.3.



de frecuencia positiva respecto a x para  = +1 de frecuencia negativa respecto a x para  = 1 .

−

Aplicaci´ on al background geom´ etrico de Agujero Negro extendido maximalmente

Sean las funciones sectoriales Θ (x)

≡ 12 {Θ(− U ) + Θ( V )} ,

(12.6)

donde Θ es la función de paso unitaria y U , V los tiempos de Kruskal. Considérese la definición:

2k0 t+

≡ ln+ V − ln+ U = ln = ln

Entonces

 

V + iπ(Θ+ U

 

− Θ−) .

e±iαt son funciones de frecuencia con respecto a U , V .

V iπ + ((V ) U 2



− (U ))

(12.7)

positiva para  = +1 negativa para  = 1 ,

−

CAP ´ ITULO 12. MODOS DE FRECUENCIA POSITIVA

12.4.

102

Relaciones u ´ tiles



Θ + Θ − = 1 ,

− Θ− = 12  {(V ) − (U )} . 1 iπ Θ + t − Θ− . 2 k0 Θ

      −        1 iπ 2 k0 1 iπ  t+  Θ + t 2 k0



t =



t  =



e−iωt = e −iωt e 2

t+



e−iωt = e −iωt e 2



Sea  = (ω), entonces

1 πω k0

− 12 0 Θ . −  1  0 Θ + e− 2 0  Θ− .

Θ  + e

πω k

πω k

k

1 π |ω | k0

e−iωt(ω)  = e −iωt e 2

χ = χ(ω) por

(12.8)

1 iπ   Θ− . 2 k0

1 πω

Definiendo

− 12

Θ + e

tanh χ = e−

π |ω | k0

π |ω | k0

Θ− .

,

(12.9)

(12.10)

(12.11)

(12.10) se puede escribir como

e−iωt (

 ω) 

= e −iωt

  cosh χ senh χ

1/2

Θ +

   senh χ cosh χ

1/2

Θ− .

[(senh χ)(cosh χ)]1/2 e−iωt(ω)  = e−iωt [cosh χ Θ + senh χ Θ− ] .

(12.12)

(12.13)

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Notas Agujeros Negros Cuanticos 2014-II

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