Razonamiento Matemático
207
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ
Ba s e S is is te te m a
C if ifr a s
2
b in a rio
0, 1
se aplica aplica polinómica.
principios, leyes y artificios empleados para expresar los números y para representarlos.
3
te rn rn ar ario
0, 1, 2
Ejemplos:
4
c ua ua t e rn rn a ri ri o 0 ,1 ,1, 2 , 3
5
q ui uin ar ario
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4
Base de un sistema de numeración.-Es el número de
6
se na na ri rio
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5
7
e p ta l
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6
8
o ct cta l
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7
9
n on on al al
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8
10
d e ci cim a l
0 ,1 ,1, 2 , 3, 3, 4 , 5, 5, 6 ,7 ,7, 8 , 9
Conclusiones: * Debe Debe ser ser ent enter ero o * Debe Debe ser ser pos posit itiv ivo o * Debe Debe ser ser mayor mayor o igual igual que dos ab . . . . ... c cifras
(n)
ba se
n n 2
ab c (n)
a b (3 ) a b c (7 ) 10 100 21 2 11 3 22
Números capicúas. Son aquellos números cuya lectura de izquierda a derecha o viceversa es la misma.
2 ci cifra s a ba ba 3 ci cifra s a b b a 4 c if ifr a s aa
a b cd 1 000 211 1 322 2
666
999 9
a b (n)
a b c (n)
a n b n c
a b cd (n)
3
2
a n b n c n d
10a b a bc bc 1 0 0 a 1 0 b c a bc bcd 1 00 00 0a 0a 1 00 00 b 1 0 c d ab
Las cifras son menores que la base. bc a bc
10 11 12
15 1 3 2 2 3 0 15
3 4 4 (7)
3 7 2 4 7 4 1 79
e n b as ase 10 10
2 3 (13)
2 1 0 3(13)
se aplica aplica división división sucesi sucesiva. va. Ejemplos: 32 a base 2
1 El numero 77 0 (5) llevarlo a base decimal. a) 21 5 d) 23 0
Observaciones: A mayor numeral aparente le corresponde menor base viceversa. mayor menor (5 )
m np np (x)= a b c(x)
y
1 0 2 1 2 (3 )
Resolución: 7 7 0 (5)
5 2 7 5 7 0 2 10
77 0 (5)
a b 101 a b a bc bca bc bc 1 00 00 0 a bc bc a bc bc 1 00 00 1 a bc bc
"x"veces
1a
(n)
1a (n)
Rpta.
n
x
1
e) N.A
Resolución: 3 33
7
4
47 5
n xa
21 0
d) 65 0 (7)
x cifras cifras
1a
c) 22 0
2 El número 333 de base decimal llevarlo a base 7. a) 55 5 (7) b) 65 4 (7) c) 32 5 (7)
n 1 n 1 . . . . . . n 1
* 1a
b) 21 0 e) N.A
m en en or or
El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.
Descomposición por bloques: a ba ba b 1 0 0 a b
n 1 n 1 n 1 (n)
CASO (II): de base “10” a base “n”
m= a , n= b , p= c
2
ab c (n)
1a 1 1a a a a 1 11 11a a a a a 1 11 11 1a 1a
1 2 0 (3)
234
a n b
1000 (n)
aa
11 2 4 3 11
Descomposición polinómica:
ab c (n)
descomp descomposició osición n
m a yo yo r
a bc bc (10)
2 3 (4)
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ 0,abc (n)
Cambio de base: CASO (I): de base “n” a base “10”
SISTEMAS DE NUMERACIÓN NUMERACIÓN: Es el estudio de
unidades de un orden cualquiera que forman una unidad de un orden inmediato superior.
208
Razonamiento Matemático
33 3
7 6 65 4 (7)
Rpta.
3 Cuantos números de 3 cifras hay en base 8. a) 32 5 b) 44 8 c) 44 7 d) 45 7 e) 45 8
Razonamiento Matemático Resolución: Sea ab c (8) el número de 3 cifras en base ocho. a bc (8) 10 0 21 1 32 2
a, b, c 8
77 7 7 8 8
44 8 44 8
Rpta.
4 En que sistema se realizo la operación: 50-27=22 a) 8 b) 9 c) 11 d) 13 e) 12 Resolución: Sea “x” la base, luego. 50 (x) 27 (x)
209 a) 16 d) 19
Resolución:
111 a a b c 37 3 a a 3 b 7 c 3a 3 3 9 c9 a b c 19 Rpta.
x 1 x 1 x 1 x 1 (x) a b4 a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
x
5x 0 2x 7 2x 2
x
9
Rpta.
x
4 4 4
c) 8
1 a b4 a b4 1 a b5
62 5
5 Calcular: a+b+c si. aa bc (7)
a) 6 d) 8
ba bb (5) b) 9 e) 4
c) 7
Resolución: a 7
3
a 7 2 b 7 c b 5 3 a 5 2 b 5 b 3 76 a c 1 24 b 1 5
a+ b+ c=
3
9
Rpta.
6 Calcular a+b+c si. a bc
a aa
x x a
4
625 x 4 5 4
5 6
2 b 1900 ba 1900 ab 2 b 10b a 1 0a b 20 8 b 9a
Numero capicúa abcba
7
4
a b c b a 27 2a 2b c 27
El año de nacimiento es 1947 en el año 2005 tendrá: 2 0 0 5 1 9 4 7=
58
Rpta.
Si la persona ya cumplió año. Añonacimiento Edad actual Añoactual 1
Si la persona no cumplió año. 9 En que sistema de numeración los números que se dan, están en progresión aritmética. 2 8 4 ; 21 ; 2
Como las cifras son menores que 9.
b c 2 2 8 7 2 , b8 , c7 a 2 Rpta.
a) 11 d) 14
b) 12 e) 16
c) 13
2x
2
2(x) 21(x)
10x 1 2x 2 8x 4 2x 2 11x 2x 3 x 10
Desarrollando se tiene: x
13
a b ba
11 a b ba
a) 11 d) 14
b) 12 e) 20
c) 13
Resolución: a b ba
11 a b ba
1 1b 1 1 9 a 9 b a b 9a 9 b 10 b 8 a 10 8
Resolución: Sea la base “x” 21(x) 284 (x)
11 Hallar: a b si.
1 1a
sabe que en 19ba cumplió 26 años . Cuantos años cumplirá en el año 2005. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
2 b 1 9b a 1 9 ab
b c 27
a
10 ; 10
Edad actual Año nacimiento
2 a 2 a
Observaciones:
8 Elías nació en el año 19ab y se
Resolución:
Resolución:
284 (x) ; 21(x) ;2(x) P.A
, b
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ b) 3 c) 4 e) 6
a) 2 d) 5
2 Piden: a b 8 Rpta.
Edad
210
Añonacimiento Edad actual Añoactual
7 Hallar: a b si:
Descomponiendo polinomicamente:
Razonamiento Matemático
a b c
Resolución: Por propiedad
22 x
x
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ b) 17 c) 18 e) 20
Rpta.
10 Cual es la última cifra del menor número capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27. Siendo c/u de ellas menores que 9.
a b
ab
a b
20
5 4
Rpta.
12 ¿Cual de los siguientes numerales representa el mayor número? a) 4024 (5) b) 2215 (6) c) 1340 (7) d) 1004 (8)
e) 37 1(12)
Resolución: Descomponiendo polinomicamente. a ) 402 4(5) b) 22 15 (8) c) 1 34 0(7)
514 51 5 5 18
211
Razonamiento Matemático d) 100 4(8) e) 371(12)
516 517 Rpta.
401 , 443 , 487 , 533 , ......... ,1541
b) 25 e) 30
2
Total: 9+180+186 2052 cifras (tipos de imprenta) 16 Se tiene los números a, b y c que tienen 4, 3 y 2 cifras respectivamente. Hallar el numero de cifras de la parte
c) 40
Resolución: Dando forma. 20
9 c i fr a s d e l 10 . . . .. . . . . 99 : 9 0 2 1 8 0 c ifr a s d e l1 0 0. . .. . 72 0 : 72 0 1 0 0 1 3 1 86 3
entera del cociente posible:
1 , 21 2 1 , .. .. .. .. .. ,
2
39
20
20 terminos.
Del 1ro al 12 vo 1 2 3 3 6 cifra s Del 13 vo al 20 vo 8 4 3 2 cifra s Se emplearan 48 cifras.
a) 2,3 d) solo 3
b) solo 2 e) N.A
a
b c
c) 2,3 y 4
Resolución: a tiene 4 cifras.
1 0 3 a 1 0 4 . .. .. .. .. . (1) b tiene 3 cifras.
14 Se tiene una colección de pesas: 11kg,3kg,9kg,27kg,.......... se desean pesar 317kg . ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
1 0 2 b 1 0 3. .. .. .. .. .(2) c tiene 2 cifras.
1 0 c 1 0 2. . .. .. .. .. (3) (1)+(2) 10
3
10 2 a b 10 4 10 3
Efectuando:
3 1 7 1 1 1 1 00 1 1 0(3)
1 00 0 a b 1 1 00 0 .. . .. . .. . .. . . .( ) De (1) 1 00 c 1 0 .. . .. . .. . .. ( ) Dividiendo ( ) y ( ); y aplicando la ley de monotonía se tiene:
Luego.
1000
Resolución: 3171 a base 3 por divisiones sucesivas resulta.
1 3
7
6
5
2
1 3 1 3 1 3 1 3
1 1 1 1 1
100 11
Numero de pesas: 5
Rpta.
15 Cuantos tipos de imprenta (cifras) se emplean en la numeración de un libro de 720 paginas. a) 2986 b) 1995 c) 2989 d) 1998 e) 2052
a
b c
a
a
b c
b c
11000 10
1100
Puede tener 2,3 ó 4 cifras.
212
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ
8 Al escribir los números naturales
d e l 1. . . . . .. . . . . .. 9 : 9 1
13 ¿Cuántas cifras se emplearan para escribir todos los términos de la sucesión siguiente? a) 48 d) 42
Razonamiento Matemático
Resolución:
51 8
El mayor es:
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ
1 Si 122 (b) 101(b) 72(c) . Hallar el valor de: b c a) 21 d) 18
b) 24 e) 22
c) 13
desde ab hasta el 40 b , se han utilizado 1160 cifras. Hallar: a b a) 10 d) 16
b) 17 e) 13
9 Cuantos
números
2 En que sistema de numeración el
2 31(7) y 6 46 (7)
numero 1331 se escribe 1000. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16
a) 20 9 d) 21 3
3 Hallar la base del sistema en el cual 1778 se escribe 3362. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
4 Hallar ”x” si. 530 (x) 363 (11) a) 6 d) 10
b) 7 e) 8
c) 9
a) 34 d) 29
b) 28 e) 32
hay
entre
c) 20 6
10 Si: 132 (n) 204 (8) .hallar “n” a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
11 Hallar el número equivalente. aa b (5) ba a (8) a) 33 1(5)
b) 33 4 (5)
d) 33 2 (5)
e) N.A
c) 33 0 (5)
12 Si: 2a ba (6) ba b (7) ,calcular:
5 Hallar: a n en: aa (n) a a (n 1)
b) 21 2 e) 20 2
c) 12
aa (n 2) 105 c) 36
a b a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6 Hallar la suma de las cifras de ab 1 1 ba ba b si
13 En la igualdad: aa aa (5) xy8 , hallar: x y
a) 21 d) 24
a) 8 d) 11
2
b) 22 e) 19
c) 23
7 En un libro de 960 paginas. ¿Cuántas cifras se emplean en la numeración de las páginas impares? a) 1138 d) 1378
b) 1481 e) 1432
c) 1386
b) 9 e) 12
c) 10
14 En la igualdad. hallar: x y
a aa (8)
a) 1 d) 7
c) 6
b) 2 e) 8
xy1 ,
Razonamiento Matemático
15 La cifra de las decenas de un numero de dos cifras es igual al doble de la de las unidades, Cuando se invierte el orden de sus cifras este numero disminuye en 27. ¿Cuál es el número? a) 39 b) 63 c) 93 d) 36 e) 33
16 En un sistema de base “x” se tiene que: 63 27 35. Hallar x. a) 10 d) 2
b) 9 e) 8
c) 5
17 Un número de 3 dígitos es tal que las decenas son el triple de las unidades y las centenas son el triple de las decenas, la diferencia entre el digito mayor y el menor de los otros dos es: a) 65 b) 4 c) 6 d) 2 e) 3
18 El número de enteros de 43 dígitos mayores que 4000 y que terminan en 75 es: a) 90 b) 60 c) 59 d) 91 e) 61
19 Un banco usa el sistema de numeración de base 7 para numerar las libretas de ahorros, si en este momento el número de la antepenúltima libreta es 5365 ¿Cuál es el número de la última? a) 5363 b) 5380 c) 5401 d) 5402 e) 5400
20 Se llama capicúa al número de varias cifras que se lee igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. ¿Cuantos números capicúa hay entre 100 y 1000?
213 a) 86 d) 90
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ b) 87 c) 93 e) 99
21 Calcular la suma de los siguientes
33 La suma del número ab c con el
quinario equivale a bb b (b 1) . Hallar:
resultado de invertir el orden de sus cifras es 1191. Hallar “b” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
b
a) 16 d) 17
la serie aritmética: 2 5(x), 4 0 (x) , 5 1(x) , . . .. . .. . .. . .. . , 4 12 1(x)
a) 12 9 d) 13 6
b) 13 9 e) 13 8
c) 41
a
b ; si:
a
22 2 3(n) , 3 0 (n) , 3 2(n) , . .. . .. . .. . .. , 3 1 1(n)
23 Hallar el número de términos de
a b. b) 15 e) 19
c) 18
29 La cifra de las decenas de un número de 2 dígitos excede al de las unidades en 3 y la diferencia entre los cuadrados de estas cifras es 15. ¿Cuál es el número? a) 41 b) 52 c) 63 d) 74 e) 85
sistema de base “n” se escribe en el sistema senario como 2211. Hallar n 1 .
30 Cierto número entre 10 y 100 es 8 veces la suma de sus dígitos y se le resta 45, sus dígitos se invierten. Hallar el número. a) 72 b) 49 c) 27 d) 94 e) N.A
a) 10 d) 8
31 Un
24 El mayor número de 3 cifras del
b) 5 e) 9
c) 6
JIMMY ESPINOZA RAMÍREZ
28 Si el numero aa b del sistema
números impares consecutivos: Indicar en base decimal. a) 3290 b) 9870 c) 1645 d) 1895 e) 1963
214
Razonamiento Matemático
automovilista
parte
del
34 Si el producto de ab c por cba es 39483. Hallar: a b c a) 5 d) 4
b) 7 e) 6
c) 8
35 Si: 32=17, entonces: a) 54 26 b) 68 34 c) 42 24 d) 23 71 e) 23 13 36 En un pueblo viven ba c ancianos, bca adultos y ba niños, si en total son ab c . ¿Cuántos no son ancianos? a) 25 0 b) 27 0 c) 24 d) 45 0 e) 32 0
kilómetro ab , después de 20’ observa
25 Si a 234 le falta 76 para ser 321 ¿Cuánto le falta a 45 para ser 123? a) 78 b) 68 c) 67 d) 88 e) 82
26 Si el número nn n se escribe en base “n” como 4210. ¿Cuántas cifras significativas se usan en base n? a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
27 Para escribir los números enteros y
consecutivos
desde
el
numero
ab hasta
el numero ab o se han empleado 883 cifras. Hallar: a b . a) 8 d) 9
b) 10 e) 7
c) 11
que va en el kilómetro ba , mantiene su velocidad constante y 20’ después pasa por el Km. a0 b . ¿Cuál es su velocidad? a) 13 5 b) 90 c) 45 d) 70 e) 12 5
32 Un libro tiene menos de ½ millar de paginas, tiene ab 0
paginas de
teoría, bc paginas de introducción, a 0c paginas de problemas y “c” paginas de índice. Hallar el total de
paginas sabiendo que es bcc. a) 46 6 b) 25 5 c) 14 4 d) 49 9 e) 38 8
1.
2.
3.
4
5.
6.
b
a
a
c
a
c
1 0.
1 1.
1 2.
13
1 4.
1 5.
7.
8.
a
c
16 . 1 7.
a
a
e
c
c
b
b
1 9.
2 0.
2 1.
2 2.
2 3.
2 4.
25 . c
a 26 .
9. a 1 8. b 2 7.
e
d
c
c
a
e
a
b
2 8.
2 9.
3 0.
3 1.
3 2.
3 3.
34 .
35
3 6.
d
a
a
a
b
d
e
b
d
