Números Primos 4 Pitagoras

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

VI. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Ejemplo : 144 = 2 4 . 32 En general :

1. DEFINICIÓN

Sea :

Número primo o primo absoluto, es aquel que solamente tiene 2 divisores, la unidad y si mismo. El menor y único número par primo es el 2, lo únicos números consecutivos que son primos absolutos son el 2 y el 3. La siguiente es la sucesión de los números primos.

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Si : 25 x 15  tiene 24 divisores . Halla el valor de .

N = A . B . C

2.1. NÚMERO SIMPLE .-  .-  Un número simple es el que tiene no más de dos divisores. Son números simples la unidad y los números primos.

D(122n) – D(12n) = (2n + 1) (3n) = 63 (2n+1)n = 7 . 3 n=3

Solución :

Donde : A, B y C son números primos Se cumple lo siguiente :

N = 25 . 15 = 52 . (3 . 5) = 5 . 3 . 5 N = 3 . 5 +2

2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D(N)]

D(N) = ( +1)( +2+1)=( +1)( +3)

DE DIVISORES [SD (N)] 2.4.2 SUMA DE

4) Calcula el indicador de 980. 980. Solución : 980 = 22 . 72 . 5 (980) = 25(2-1) (7) (7.1)50(5-1)

Dato :

D(N) = ( + 1) ( + 1) ( +1)

2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . .

2. CLASIFICACIÓN

ARITMÉTICA

Restando Restando :

D(N) = 24

(980) = 2 . 1 . 7 . 6 . 1 . 4

( +1)( +3) = 24

(980) = 336

( +1)( +3) = 4 x 6

 A α 1  1   Bβ 1  1   Cθ 1  1  . .  SD(N) =        A  1     B  1     C  1   2.4.3

2.2. NÚMERO COMPUESTO.-  COMPUESTO.-   Es el que tiene mas de dos divisores, la siguiente es la sucesión de los números compuestos:

Por identificación de factores.

SID(N) =

Solución :

=3

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES [SID(N)]

N = (2 . 3) . (2 3) x

2) Halla el producto de divisores del número número : 152 x 213

SD(N) N

5) Halla el valor valor de “x” si N = 6 . 8 x tiene 16 divisores.

Solución :

N = 2 . 3 . 2 3x N = 23x+1 . 3 D(N) = (3x+2) (1+1) = (3x +2) (2)

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . . 2.3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ, COPRIMOS O PRIMOS RELATIVOS (PESI) Dos o más números son primos entre si (PESI). Cuando no tienen otro divisor común que la unidad, aunque cada uno separadamente no sea primo. Ejemplo : a. 11; 12 y 15 b. 10; 8 y 9 2.4. TEOREMA TEOREMA FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL DE LA  ARITMÉTICA Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

2.4.4

N = 152 . 213

PRODUCTO DE DIVISORES DE DE UN NÚMERO [PD(N)]

PD(N) =

Dato : D(N) = 16

N = (3 . 5) 2 . (3.7) 3

(3x+2)(2) = 16

N = 32 . 52 . 33 . 73

D(N) N 2

N = 35 . 52 . 73 

3x+2=8

(D.C) x=2

2.4.5  INDICADOR DE UN NÚMERO FUNCIÓN DE EULER [ (N)]

D(N) = (5+1) (2+1) (43+1) = 72

O

PD(N) = (15 2 . 213)

Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea : “N” un número compuesto. N = A . B . C . . . . . . (D.C)

D(N) 2

6) Cuántos divisores de 1176 tienen tienen 2 cifras. Solución :

PD(N) = (152 . 213) 36 = 1572. 21108

3) Si : 122n tiene 63 divisores más que 12 n. Halla “n”

Se calcula :

Solución : 122n = 24n . 32n

(N) = A-1 (A-1) . B-1(B-1) . C-1(C-1)

12n

90

=

22n .

3n  

D(N) = (4n+1) (2n+1)

1176 588 294 147 49 7 1

2 2 2 3 7 7

D(12n) = (2n+1)(n+1)

4º SECUNDARIA – III PERIODO - 2007

1176 = 23 x 3 x 7 2 1 2 4 8

1 3

1 7 49

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” Elaborando la tabla de divisores 1

2

4

8

3

6

12

24

7

14

28

56

21

42

84

168

49

98

196

392

Los divisores de 1176 que tiene 2 cifras son 10.

PROBLEMAS PROPUESTOS

b) 9 e) 48

c) 18

2).- ¿Cuantos divisores posee 231000? a) 124 d) 127

b) 125 e) 118

c) 128

c) 40

4).- ¿Cuántos divisores tiene el número 914760? a) 182 d) 196

b) 178 e) 192

c) 194

5).-¿Cuántos divisores compuestos tiene 3872? a) 14 d) 17

b) 16 e) 18

a) 3 d) 6

a) 47 d) 141

b) 59 e) 99

a) 14 d) 17

8).- Entre los números: 180; 756; y 900, ¿Cuál es el que tiene tantos divisores como 360? b) ninguno e) todos

a) 5 d) 3

b) 4 e) 6

c) 15

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

b) 4 e) 10

13).- Halla “n”, si M= 77x9 n divisores. a) 6 d) 9

b) 8 e) 3

c) 11

"n " factores

divisores compuestos hallar “n”

c) 180

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

17).- Diga Ud. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en bases 7? 13(7); 31(7); 61(7); 25(7)

c) 8

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

18).- Si : 12 2n tiene 63 divisores más que 12 n. Halla “n”

c) 8

a) 6 d) 2

a) 2 d) 5

c) 8

b) 3 e) 4

c) 5

19).- Halla “x” si : N = 6 x 162 x  tiene 40 divisores.

c) 3

b) 3 e) 1

c) 4

20).- ¿Cuántos ceros debe tener? N = 2000 . . . 00 Para que el resultado tenga 56 divisores? a) 4 d) 7

tiene 60 c) 7

b)16 e) 15          

12).-Halla el valor de “x” si N = 6 . 8 x tiene 16 divisores. a) 2 d) 6

c) 5

16).- Si P = 108 x108 x108 x...x108   tiene 114

10).-Si : 25 x 15  tiene 24 divisores . Halla el valor de . b) 4 e) 6

b) 4 e) 8

15).- Si P = 21 n-3 tiene 169 divisores. Hallar “n”

c) 63

11).- Determina el valor de “n”; si M= 12x15 n tiene 60 divisores.

¿Cuántos divisores tiene N? b) 48 e) 54

c) 6

7).- ¿Cuántos divisores más tiene 120 3  que 643?

a) 5 d) 3

3) .- Sea el número : N= 23x3x55

a) 12 d) 35

b) 24 e) 5

9) .- Si : N= 2nx34 tiene 35 divisores. Halla “n”.

¿Cuántos divisores tiene N? a) 4 d) 36

a) 12 d) 10

a) 900 d) 756

1) .- Sea el número : N= 32x5x7x112

14).- Si: N=15x30 n  tiene 294 divisores. Hallar “n”.

6).- ¿Cuántos divisores menos tiene el numero 360 que el número 1800?

b) 5 e) 8

c) 6

21).- Sea N=3yx5z, al dividir N entre 3 se suprimen 6 divisores, al dividir N entre 5 se suprimen 4 divisores. Halla y +z. a) 10 d) 5

91

b) 6 e) 7

c) 8

ARITMÉTICA 22).- La suma de las inversas de todos los divisores de 360 es: a) 2.2 d) 2.5

b) 2.8 e) 3.25

c) 2.1

23).- ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 11? 13(11) ; 31(11); 61(11); 29(11) a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

24).- Halla el valor de “n” si el número de divisores de : P = 3 x 21 n   sea 2/3 del número de divisores de : Q = 98 n. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

25).- Si : 12 x  tiene 63 divisores compuestos. Calcula “x”. a) 4 d) 8

b) 5 e) 7

c) 6

26).- Si : N = 13 k+2 – 13k  tiene 75 divisores compuestos. Halla “k” a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

27).- Cual es el menor número por el que se debe multiplicar a 648 para obtener 40 divisores. a) 5 d) 16

b) 7 e) 12

c) 8

28).- si : P = 72 x 72 x 72 x . . . x 72 “n” factores Halla “n” para que “P” tenga 176 divisores. a) 3 d) 5

b) 6 e) 7

c) 4

29).- Si: E = 10.10 2.103...10n  tiene 2116 divisores. Halla el valor de “2n” a) 16 d) 12

b) 19 e) 15

4º SECUNDARIA – III PERIODO - 2007

c) 18

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 30).- Determina el valor de x 2 si el número : 16x . 53x posee 130 divisores. a) 3 d) 25

b) 16 e) 49

ARITMÉTICA

c) 9

31).- Si : 300n  tiene igual cantidad de divisores que 16 x 90 n. Halla el valor de “n”. a) 2 d) 6

b) 3 e) 4

c) 5

32).- Si : N = 52p + 52p+1 + 52p+2+ 52p+3 tiene 156 divisores. Halla “P”. a) 2 d) 7

b) 4 e) 9

c) 6

33).- Halla un número primo mayor que 3 tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido entre 8, da como cociente un número primo. a) 13 d) 7

b) 11 e) 17

c) 5

34).- Halla el valor de “n” si se sabe que el número 1960n, tiene 105 divisores. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

35).- Si : P = 4  – 4-2  tiene 60 divisores. Halla el valor de “ ” a) 8 d) 3

b) 6 e) 9

c) 7

36).- Al multiplicar N por 27 su número de divisores aumenta en 90. N = 16 x 5  Halla  a) 3 d) 5

b) 4 e) 7

c) 6

CLAVES DE RESPUESTAS 1) d 2) c 6) a 7) d

3) b 8) d

4) e 9) e

5) c 10) d

11) c 12) a

13) c

14) c

15) e

16) b 17) c 21) c 22) e

18) b 23) c

19) a 24) c

20) c 25) b

26) c 27) a

28) d

29) c

30) c

31) e 32) c

33) c

34) a

35) e

36) d

92

4º SECUNDARIA – III PERIODO - 2007