Obtención de parámetros por método de Harriott
Aplica a sistemas sobreamortiguados sobreamortiguados o críticaente amortiguados. amortiguados.
, se observó que en todas las curvas se alcanzaba el 73% del cambio en la salida para O sea, Aplicando un escalón de magnitud A y graficando
que todas las curvas se cortaban en un punto que tenía coordenadas (1.3, 0.73).
Luego, se determinó que las curvas más separadas entre sí (esto es, permitían mejor apreciación) cuando
Harriott realizó un gráfico normalizado de
para
Diagrama a bloques que representa al sistema para analizar:
un valor de
Conexión simbólica a utilizar:
Procedimiento: De la gráfica del sistema, se obtiene el tiempo para el cual la respuesta es el 73% del cambio en la salida. De ahí se obtiene
2.88
Buscando en la gráfica el : Donde El valor de Buscando en la gráfica:
El valor que corresponde a 0.85, por lo tanto:
Comprobamos la función de transferencia obtenida en simulink
Gráfica obtenida:
El sistema analizado anteriormente pertenece a un lazo cerrado, por lo tanto es necesario encontrar la función de transferencia que pertenece solamente al motor de CD. En la figura a) se muestra el sistema analizado por el método de Harriott y la figura b) es la función de transferencia encontrada por el método.
a) Diagrama analizado.
b) Diagrama obtenido.
La función de transferencia de a lazo cerrado está dada por:
La función de transferencia del motor dependiendo del voltaje de entrada sobre el ángulo de salida es:
Calculo de ganancias para un control PI:
Graficamos la función de transferencia por bode:
Con el margen de fase deseado se encuentra la nueva frecuencia de transición, para lo cual, tomando en cuenta que el margen de fase se mide desde los -180° y agregando un remanente de fase θ=10°, el cual es elegido para situar el cero del compensador PI a una década de la nueva frecuencia de transición, se obtiene el valor de la fase del sistema sin compensar:
se encuentra en los -125° de la curva de fase del sistema La nueva frecuencia de transición sin compensar. Se buscan los -125° en el diagrama de bode del sistema sin compensar como se muestra en la siguiente figura, ahora a nueva frecuencia de transición es dicha frecuencia el sistema tiene una ganancia de
)| . |(
, a
Como el cero del compensador PI se encuentra a una década de la nueva frecuencia de transición, la frecuencia de dicho cero es:
⁄ ⁄ Con los parámetros encontrados en el diagrama de bode es posible determinar las constantes del compensador PI. La atenuación que causa el compensador, depende solo de la ganancia proporcional, la cual se obtiene de:
)| |( La frecuencia del cero del compensador es ⁄, mientras que , tenemos que la expresión para obtener la constante integral del compensador es:
Al graficar el sistema con el compensador PI obtuvimos la siguiente respuesta:
Donde se contempla la parte de engranes posteriores al sensor.
Demostración del cambio del sistema sin controlador y con controlador. Respuesta de sistema real:
Conclusiones: Con el método de Harriott se pueden obtener los parámetros de una planta a partir de su respuesta, el sistema calculado por el método de Harriott es muy similar al real y fue comprobado con el primer sistema donde se retroalimento a motor de CD con un potenciómetro, posteriormente se realizó una sintonización de un PI con un método de análisis por medio de diagrama de bode y demostró que el PI elevo la rapidez de llegada a la referencia dada por la computadora, además de reducir considerablemente el error en estado estacionario, al final la simulación y el sistema real arrojaron resultados similares mas no iguales, es considerable y favorable la respuesta real a la simulada, y de esta manera se pudo sacar la función de transferencia de un motor de CD y calcular un controlador PI para posicionamiento angular.
