OLASILIK DAĞILIMLARI • Bu kısımda teorik olasılık dağılımları incelenecektir. Gerçek hayatta birçok olayın dağılımı bu kısımda inceleyeceğimiz çeşitli olasılık dağılımları ile benzerlik gösterir. Bu durum söz konusu olaylarla ilgili araştırmalarda kolaylıklar sağlamakta, problemlerin çözümünde teorik olasılık dağılımlarının kullanılmasını mümkün hale getirmektedir. Mesela doğal olayların dağılımı genellikle normal dağılıma uyar. Kişilerin, uzunluğu, ağırlığı, kan basıncı vs böyledir. Elektronik cihazların güvenilirliği (bir cihazın arıza yapmaksızın çalışma süresinin dağılımı) Weibull veya üstel dağılıma uyar. Bir üretim hattında üretilen kusurlu mamullerin dağılımı Poisson dağılımına uyar. Bir işin tamamlanma zamanının belirlenmesinde (Pert) Beta dağılımı kullanılmaktadır. Bu tür örnekleri çoğaltmak mümkündür.
eemdersnotlari.com
1. Bernoulli Dağılımı • Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin sadece iyi- kötü, olumluolumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki sonucu varsa kullanılan bir dağılımdır. Bir deneyin sadece iki sonucu varsa bu deneye Bernoulli deneyi adı verilir. • Bernoulli deneyinde iki sonuç vardır. Deneyin sonuçlarından biri uygun durum olup başarı olarak ifade edilir ve x=1 olarak gösterilir. Diğer hal uygun olmayan durum olup başarısızlık olarak adlandırılır ve x=0 ile gösterilir. Deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p ile gösterildiğinde Bernoulli dağılımı şöyle formüle edilir.
f ( x ) p x (1 p ) 1 x
x 0 ,1
• Bernoulli dağılımının tek bir parametresi p başarı olasılığıdır. eemdersnotlari.com
Bernoulli Dağılımının beklenen değer ve varyansı • Bernoulli dağılımının beklenen değeri (aritmetik ortalaması) f ( x) p x (1 p)1 x
x 0,1
1
E ( X ) xp x (1 p)1 x 0 p 0 (1 p)1 1 p1 (1 p) 0
E( X ) p
x 0
• Bernoulli dağılımının varyansı 1
E ( X ) x 2 p x (1 p )1 x 0 2 p 0 (1 p )1 12 p1 (1 p ) 0 E ( X 2 ) p 2
x 0
Var ( X ) E ( X 2 ) [( E ( X )]2 Var ( X ) p p 2
Var ( X ) p (1 p ) pq eemdersnotlari.com
1. Bernoulli Dağılımı Örnek: Bir sporcunun yaptığı müsabakada kazanma olasılığı 0,8 kaybetme olasılığı ise 0,2 olarak verilmiştir. Bu sporcu için • Olasılık fonksiyonunu yazınız, • Sporcunun beklenen (ortalama) kazanma olasılığı ve varyansını bulunuz. • Çözüm a) x 1 0,8 f ( x) 0,2 x0 0 diger • b)
E ( X ) X p 0,8 Var ( X ) p (1 p ) 0,8 0,2 0,16 eemdersnotlari.com
2. Binom Dağılımı •
• •
•
•
Olasılık dağılımları içersinde en yaygın kullanılan dağılımlardan biridir. Deneylerin tekrarlanabildiği durumlarda kullanılır. Bir deney n kez tekrarlandığında belli bir olay x defa meydana geliyorsa bu olayın olasılığı BİNOM dağılımı yardımı ile bulunur. Binom dağılımı aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır. 1) Her deney birbirlerinin karşılıklı olarak engelleyen iki mümkün halden sadece birinde meydana gelmektedir. Mümkün hallerden biri uygun hal (x) diğeri uygun olmayan hal (n-x) olarak ifade edilir. 2) Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı (q=1-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli) 3) Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana gelsin bu durum diğer deneydeki uygun bir halin olasılığına etki etmez. eemdersnotlari.com
2. Binom Dağılımı Binom dağılımının olasılık fonksiyonu N deneyde uygun halin x defa meydana gelme olasılığı
n x P( X x) f ( x) b( x ; n ; p ) p (1 p ) n x burada x 0,1,2,3,....n x Binom dağılımı n (deney sayısı) ve p (uygun hal olasılığı) olmak üzere iki parametreye dayanmaktadır. Örnek: a) Bir para ile yapılan 5 atışta 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur? 5 P ( x 2) 0, 5 2.0, 5 3 10.0, 25.0,125 0, 3125 2 b) En az 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur?
P( x 2) P( x 3) P( x 4) P( x 5) 1- P(x 0) P(x 1) 5 0 5 5 1 4 1 f ( x 0) f ( x 1) 1 .0,5 .0,5 .0,5 .0,5 1 0,1875 0,8125 1 0 eemdersnotlari.com
2. Binom Dağılımı Örnek: Herhangi bir öğrencinin bir dersten geçme olasılığı 0,7 dir. Rasgele seçilen 10 öğrenciden a) 4 ünün dersini geçmesi olasılığı b) En az 3 ünün dersi geçmesi olasılığı c) En fazla 8’inin dersten geçmesi olasılığı ne olur? d) X: Başarılı öğrenci sayısı olmak üzere X in olasılıklarını P(X=x)=f(x) bularak olasılık fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm 10 a ) P ( X 4) f (4) .0,7 4.0,36 4 b) P( X 3) P ( X 4) P ( X 5) P ( X 6) P ( X 7) P ( X 8) P ( X 9) P( X 10)
eemdersnotlari.com
2. Binom Dağılımı 10 10 c)P(X 8) 1 - P(X 8) 1 - P(X 9) P(X 10) 1 .0,7 9.0,31 .0,910.0,30 1 0,1875 0,8125 10 9
10 10 10 b ) 1 P ( X 0) P ( X 1) ( P ( X 2) 1 .0,7 0.0,310 .0,71.0,39 .0,7 2.0,38 1 2 0 Başarılı öğrenci say Olasılık
5,9E-06
1
0,000138
2
0,001447
0,3
3
0,009002
0,25
4
0,036757
0,2
5
0,102919
6
0,200121
7
0,266828
0,05
8
0,233474
0
9
0,121061
10
0,028248
Binom olasılık fonksiyonu
O la s ılık
d)
0
0,15 0,1
0
eemdersnotlari.com
1
2
3
4
5
6
Başarılı öğrenci sayısı
7
8
9
10
Binom Dağılımı Örnek n veya p’nin her farklı değeri farklı bir dağılım gösterdiğinden, Binom dağılımı gerçekte bir dağılımlar gurubu teşkil eder. p=0,5 olduğu zaman dağılım simetrik bir şekil alır. (n)’in değeri önemli değildir. p’nin aldığı değere göre dağılımın şekli değişir. p<0,5 ten küçük ise dağılım sağa çarpık, p>0,5 olduğunda ise çarpıklık sola doğru olmaktadır. Yukarıdaki örnekte p>0,5 olduğundan grafikten de görüldüğü gibi dağılım sola çarpık olmuştur.
eemdersnotlari.com
Binom dağılımının beklenen değeri • Binom olasılık fonksiyonu: n x n x f ( x) p q x 0,1,2,......., n x • Beklenen değer: n n(n 1)! n! E ( X ) x p x q n x x p x q n x x p p x 1 q n x x!(n x)! x( x 1)1(n x)! x
E ( X ) np
(n 1)! p x 1 q n x ( x 1)!( n x)!
• n-1=m, x-1=y dersek n=m+1, x=y+1 olur. Buradan n-x=m-y olur E ( X ) np
m y m y m y m y np p q p q y! (m y )! y
E ( X ) np olur. eemdersnotlari.com
Binom dağılımının varyansı • Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 olduğuna göre E(X2) hesaplanır. n x n x (n 1)! E ( X ) x p q np x p x 1 q n x ( x 1)!(n x)! x 2
2
(n 1)! E ( X ) np ( x 1 1) p x 1q n x ( x 1)!(n x)! 2
E ( X 2 ) np ( x 1 1)
E ( X 2 ) np [( x 1)
(n 1)(n 2)! p p x2 q n x ( x 1)( x 2)!(n x)!
(n 1)(n 2)! (n 1)! p p x2 q n x p x 1q n x ] ( x 1)( x 2)!(n x)! ( x 1)!(n x)!
(n 2)! E ( X ) np [(n 1) p p x 2 q n x 1] ( x 2)!(n x)! 2
2 2 2 E ( X 2 ) np [(n 1) p 1] n 2 p 2 - np 2 np n 2 p 2 np(1 p ) E(X ) n p npq
• Varyans:
Var ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X ) 2 ] n 2 p 2 npq n 2 p 2
Var ( X ) npq olur. eemdersnotlari.com
2. Binom Dağılımı Bir işletmede çalışan işçilerin işe geç kalma oranının %15 olduğu bildirilmiştir. Bu işletmede çalışan işçilerden 20 tanesi rastgele seçildiğinde; a) 4 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? b) En az 3 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? c) 20 işçi için işe geç kalan işçi sayısının beklenen değer ve varyansı ne olur? d) Yukarıdaki şıklardan bağımsız olarak rastgele seçilen 10 işçiden en az birinin işe geç kalma olasılığı 0,85 olduğuna göre işletmede işe geç kalma oranı ne olur tahmin ediniz.
eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
3. Hipergeometrik Dağılım Binom dağılım ekseriyette yerine koymak suretiyle yapılan örneklemelere tatbik edilmektedir. Örnek, kütleden yerine koymadan çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda yani deneylerin bağımsız olmadığı durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır. a: uygun, b: uygun olmayan a+b eleman içeren bir kütleden iadesiz olarak n elaman seçildiğinde x tanesinin uygun, n-x tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik olasılık fonksiyonu ile ifade edilebilir. Hipergeometrik olasılık fonksiyonu şöyle yazılır. Dağılımın a, b ve n a b olmak üzer üç parametx n x f ( x; n; a; b) x 1,2,3,....., n resi vardır. a b n
eemdersnotlari.com
Hipergeometrik dağılımın beklenen değeri • Hipergeometrik dağılım fonksiyonu a b x n x f ( x) a b n
x 0,1,2,..., n
a b b a(a 1)! 1 x n x E( X ) x x x( x 1)! (a x)! n x a b a b n n
a 1 b a a b 1 a E( X ) a b x 1 n x a b n 1 n n
a ( ) n E X • Beklenen değer: ab eemdersnotlari.com
a E( X ) ab n
3. Hipergeometrik Dağılım Örnek: Bir dernekte 12 si erkek 8 i bayan toplam 20 üye vardır. 5 Kişilik bir komisyon kura ile seçiliyor. a) Komisyonda 3 erkek bulunma olasılığı nedir? 12 8 3 2 6160 P ( X 3) 0, 3 9 7 15504 20 5
Bu olasılığı binom dağılımı ile bulursak 5 P ( X 3) .0,6 3.0,4 2 10 x 0,216 x 0,16 0,3456 olur . 3
b)
Komisyonda en az iki erkek bulunma olasılığı nedir?
12 8 12 8 0 5 1 4 840 56 P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1) 1 1 1 0,05778 0,9422 20 20 15504 15504 5 5
eemdersnotlari.com
4. Poisson Dağılımı p 0 , n ve n.p
sabit
olduğu zaman binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az 50 (n≥50) ve np≤5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak düşünülebilir. Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır:
e x f ( x) x!
x 0,1,2,....,n
eemdersnotlari.com
4. Poisson Dağılımı
λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson dağılımının varyansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu dağılımı kullanmak mümkündür. Poisson dağılımı mamul muayenesinde, sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon santrallerinde, az rastlanır hastalıkların olasılıklarının tahmininde kullanılır.
eemdersnotlari.com
Poisson dağılımın beklenen değeri • Poisson dağılımının beklenen değeri: e x f ( x) x!
x 0,1,2,3....
e x e x 1 E( X ) x x x! x( x 1)! e x 1 E( X ) ( x 1)!
e y ( x 1) y dersek E ( X ) y!
E ( X ) olur.
eemdersnotlari.com
Poisson dağılımının varyansı Bunun için önce E(X2) hesaplanır. e x e x 1 e x 1 x ( x 1 1) E( X ) x x! ( x 1)! ( x 1)! 2
2
x2 x 1 e e ] E ( X 2 ) [( x 1) ( x 1)( x 2)! ( x 1)!
e x 2 1] E ( X 2 ) 2 E ( X ) [ ( x 2)! 2
• Varyans
Var ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X ) 2 ] 2 2 Var ( X ) olur. eemdersnotlari.com
4. Poisson Dağılımı Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 alarak bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin; a) Hiç Kaza geçirmemesi, b) Bir kaza geçirmesi, c) En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz? Çözüm:
0,5
e x e 0,5 0,50 a ) f ( x; ) P ( X 0) e 0,5 0,607 x! 0! e 0,5 0,51 b) f(1;0,5) P ( X 1) 0,5.e 0,5 0,5.0,607 0,3035 1! c) P(X 1) 1 - P(X 0) 1 - 0,607 0,393 eemdersnotlari.com
Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir örnek çekildiğinde; a) 4 kusurlu mal çıkması b) 3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması, c) En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur? d) Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz. Çözüm:
a ) n. p
25.0,03 0,75
x 4
e x e 0,75 0,754 0,316.0,472 f(x; ) f(4 : 0,75) P( X 4) 0,006 4! 4.3.2.1 x! b) 0,75 x3 e 0,75 0,750 e 0, 75 0,751 e 0, 75 0,752 f(X 3) 1 - ( ) 0! 1! 2! 1 - (0,472 0,75.0,472 0,28.0,472) 1 - (0,472 0,3540 0,1321) 1 - 0,9601 0,04 e 0, 75 0,750 e 0, 75 0,751 0,752.e 0, 75 0,752 c) f(X 2) 0! 1! 2! 0,9601 eemdersnotlari.com
4. Poisson Dağılımı Kusurlu sayısı
Olasılık f(x)
0
0,4723666
1
0,3542749
2
0,1328531
3
0,0332133
4
0,0062275
5
0,0009341
6
0,0001168
7
1,251E-05
8
1,173E-06
9
9,774E-08
10
7,33E-09
11
4,998E-10
12
3,124E-11
13
1,802E-12
14
9,654E-14
15
4,827E-15
eemdersnotlari.com
1.5- Bir örnek dağılım (Kesikli düzgün dağılım) Eğer x tesadüfi değişkenine ait olan kümedeki her olayın olasılığı eşitse X’in olasılık dağılımı, süreksiz bir örnek (uniform-düzgün) dağılım olarak ifade edilir. x 1 , x 2 , x 3 ,......... .......... x n X rassal değişkenine ait örnek uzayı ise bir örnek (kesikli düzgün dağılım) dağılım olasılık fonksiyonu şöyle yazılır. f (x)
Örnek:
1 n
olup x 1 x 2 x 3 ...........x n
X 3,4,5,6,7,8,9,10 olarak verildiğine göre;
a) Olasılık fonksiyonunu yazarak X’in 8 den büyük olma olasılığını P(X>8); b) 6 dan küçük olma olasılığını bulunuz. Çözüm a) 1 f (x)
8
X 3 , 4 ,..., 10
P ( X 8 ) f ( 9 ) f (10 )
b)
1 1 2 1 8 8 8 4
1 1 1 3 P ( X 6) P( X 3) P ( X 4) P ( X 5) 8 8 8 8 eemdersnotlari.com
6. Geometrik Dağılım Binom dağılımının uygulandığı bazı durumlarda, verilen herhangi bir deneyde uygun halin ilk defa meydana gelmesi olasılığı sorulabilir. Eğer uygun hal x inci deneyde ilk defa meydana geliyorsa x-1 sayıdaki deneyde uygun olmayan hal meydana gelmiş demektir. Bunun olasılığı (1 p) x 1 dir. Buna göre X inci deneyde uygun halin ilk defa meydana gelme olasılığı şöyle olur. (1 p)(1 p )(1 p )........(1 p ). p p (1 p ) x1 olur. Buna göre geometrik dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.
f ( x) p (1 p ) x 1
burada x 1, 2,3.............
Dağılımın tek parametresi göstermektedir.
p
olup
uygun
hal
Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı E( X )
1 p
Var ( X )
1 p p2
eemdersnotlari.com
olasılığını
6. Geometrik Dağılım Örnek: Bir bilardo oyuncusunun sayı yapma olasılığı 0,7 tür. Oyuncunun a) Tam olarak 5 sayı yapması olasılığı b) En az 6 sayı yapması olasılığını bulunuz. Oyuncunun sayı yapabilmesi için aralıksız kazanması gerekmektedir. Çözüm: a) P( X 6) 0,3(0,70)61 0,3.0,75 0,3.0,16807 0,050421 b)
P(X 6) P(X 7) .... 1 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 1 (0,30 0,21 0,147 0,1028 0,07203) 1 0,83193 0,16807 eemdersnotlari.com
7. Negatif Binom Dağılımı x.inci deneyde uygun halin r.inci defa meydana gelme olasılığıenın belirlenmesinde negatif binom dağılımı uygulanmalıdır. Negatif binom olasılık fonksiyonu şöyle yazılır. x 1 r p (1 p ) x r f ( x) r 1
x r , r 1, r 2,..... r 1,2,3,...., x
Özel olarak r=1 olursa geometrik dağılım elde edilir. Bu dağılımda x-1 deney binom dağılımı gösterir. x. Deneyin sonucu da uygun hal (p) olup x-1 deneyin dağılımı ile çarpılmaktadır. Negatif Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı r (1 p ) r E( X ) Var ( X ) p p2 eemdersnotlari.com
7. Negatif Binom Dağılımı Örnek: Bir avcının hedefi vurma olasılığı %30 dur. a) Avcının yaptığı 5. atışın 3. isabetli atış olma olasılığı ne olur? b) 10. atışın en fazla 2. isabetli atış olma olasılığı ne olur? Çözüm: a)
b)
5 1 4 4.3.2! 3 3 2 3 2 P (r 3) 0,3 . 0,7 0,3 . 0,7 0,3 . 0,7 2 6 x 0, 027 x 0, 49 2!.2! 3 1 2 P (r 3) 0,162 x 0, 49 0, 07938
10 1 2 10 1 1 0,3 . 0,78 0,3 . 0,7 9 0,0519 0,0121 0,064 P( r 2) P (r 2) P( r 1) 2 1 1 1 eemdersnotlari.com
8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım) •
E 1 , E 2 ,...... E k olaylarının meydana gelme olasılıklarının sırasıyla p 1 , p 2 ,...... p k verilmesi halinde E 1 ' in x 1 , E 2 ' nin x 2 ........ E k ' nıı x k defa meydana gelme olasılığı Multinomial dağılım aracılığıyla bulunur. N! f ( x) p x1 1 ......... p kxk x1!.x 2 !...... X k !
Burada
p1 p 2 ..... p k 1' dir. x 1 x 2 .....x k N ' dir. eemdersnotlari.com
x k 1,2,3.........
8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım) Örnek: Bir işletmede çalışan mühendisler arasından 9 kişilik bir proje grubu oluşturulacaktır. İşletmede 10 makine, 6 elektrik, 4 endüstri mühendisi çalışmaktadır. Proje grubunda 4 makine 3 elektrik, 2 endüstri mühendisi bulunma olasılığı ne olur. Çözüm: N=9 x1=4, x2=3, x3=2 10 p1 20
6 p2 20
4 p3 20
9! 10 4 6 3 4 2 ( ) ( )( ) P( x1 4, x2 3, x3 2) 4!3!2! 20 20 20 1260 0,0000675 0,08505 eemdersnotlari.com
Örnek Problemler Bir işletmede 40 işçi çalışmaktadır. İşçilerden 10 tanesi bayandır. a) Bu işçilerden rastgele 8 tanesi seçilerek bir komisyon oluşturulduğunda 2 tanesinin bayan olma olasılığı ne olur? b) Seçilen 8 kişilik komisyonda en az 3 tane bayan eleman bulunma olasılığı ne olur?
eemdersnotlari.com
Örnek Problemler Bir işletmede bulunan bir makinenin herhangi bir günde arıza yapma olasılığı %3 tür. a) 50 günlük bir üretim süresinde makinenin ortalama arıza sayısı ve varyansı ne olur? b) 50 gün içinde makinenin 3 kere arıza yapma olasılığı ne olur? c) 50 gün içinde makinenin en az 2 kere arıza yapma olasılığı ne olur? d) yukarıdaki şıklardan bağımsız olmak üzere 50 gün içerisinde makinenin en az bir kez arıza yapma olasılığı %70 olduğuna göre makinenin bu süre içinde beklenen arıza sayısı ve herhangi bir günde arızalanma olasılığı ne olur? eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
Sürekli Olasılık Dağılımları • Bir rassal değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene “Sürekli rassal değişken” adı verilmektedir. Sürekli rassal değişkenin aldığı değerler sayılabilir olmayıp, gerçek sayılar eksenindeki bütün değerleri alabilir. • Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Çünkü gerçek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayıda sayı (nokta) mevcuttur. Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı 1/∞=0 dır. O halde sürekli tesadüfi bir değişkenin her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olduğundan, her hangi bir olasılıktan bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.
eemdersnotlari.com
Sürekli Olasılık Dağılımları
• X sürekli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) (kümülatif yoğunluk fonksiyonu) olsun. Bunun türevi olan F’(x)=f(x) ’e olasılık fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu ) diyebilmek için şu iki şartın birlikte sağlanması gerekir. • 1) f (x) 0
• 2)
f ( x)dx 1
• 1. şart X’in olasılığının sıfır veya pozitif alacağını • 2. şart ise bütün örnek uzayın olasılığının 1’e eşit olacağını ifade eder. • Buradan hareketle , a ve b aralığında bulunan X değişkenin olasılığı şöyle tarif edilir. b
P ( a X b ) F (b ) F ( a )
f ( x ) dx a
eemdersnotlari.com
Sürekli Olasılık Dağılımları Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için a) k sabiti ne olmalıdır ? kx2 0 x 4 f (x) b) P(1
1) f ( x) o
2)
f ( x ) dx 1
Şartlardan 1. si için k>0 şartı yeterlidir. 2. Şart için şu işlem yapılarak k bulunur.
4
kx 3 f (x)dx 1 0 kx dx 1 3 2
4 0
64k 1 1 3
eemdersnotlari.com
3 k 64
Sürekli Olasılık Dağılımları 3
b ) P (1 x 3 )
3
f ( x ) dx
1
1
3 2 3 x3 x dx 64 64 3
3
1
3 27 1 3 26 26 13 x 64 3 3 64 3 64 32
olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olasılık dağılım fonksiyonu 1,2
0,08 0,07
1
0,06 0,8
f(x )
0,05
F (x )
0,04
0,6
0,03 0,02
0,4
0,01
2
8
5,
4
4,
4,
6 4
2
3,
8
3,
4
2,
2
2,
6
2
1,
8
1,
4
0,
-0
eemdersnotlari.com
0,
X
,8 -0 ,4
0 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 2 ,4 2 ,8 3 ,2 3 ,6 4 4 ,4 4 ,8 5 ,2
0
0
0,2
0
X
Sürekli Olasılık Dağılımları Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için • a) k ne olmalıdır. kx kx 2 0 x 1 f ( x) • b) P(X>0,5) i bulunuz. x 0; x 1 0 Çözüm: a)
b)
1
f ( x)dx 1 (kx kx 2 )dx 1
kx 2 kx 3 2 3
0
1 0
k k 3k 2k k 1 2 3 6 6
1
2 3 6 6 x x P(0,5 x 1) = (6x 6x2 )dx 2 3 0,5
3 - 2 - 0,75 0,25 0,5 eemdersnotlari.com
k6 1 0,5
3 1 0,5
3x 2x 2
Sürekli Olasılık Dağılımları Örnek: X tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekildedir.
1- e-2x F(x) 0
x 0 x 0
a) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. b) P(X>2) olasılığını, c) P(-3
f ( x)
F ( x) dx 0
b)
x0
P( X 2) 2e du e 2u
2u
2
e4 0,018
2
24 8 1 e 1 e 1 0,00034 0,99966 c) P(-3
eemdersnotlari.com
Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım • X sürekli değişkeninin tanım aralığındaki olasılıkları eşit ise X in dağılımı uniform dağılım olarak kabul edilir. • Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir. 1 f ( x) 0
x x
• Burada ve dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. () • Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır. 0 x F ( x) P( X x) 1
x
x x
eemdersnotlari.com
Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım Örnek: X tesadüfi değişkeni -2
Çözüm: 1
1 1 a) P(X 1) dx x 4 4 2
1 2
1 2 3 4 4 4
1 b) P( X 1 ) P(2 x 0,5) P(1,5 x 2) 1 P(0,5 x 1,5) 2 1,5 1 1 1 3 1,5 1,5 0,5 1 dx 1 ( x) 0,5 1 1 4 4 4 4 4 0, 5 eemdersnotlari.com
Düzgün dağılım olasılık fonksiyonu grafikleri Olasılık Yoğunluk Fonk
Olasılıkdağılım fonksiyonu 1,2
1
0,02
0,8
X
X
eemdersnotlari.com
2 ,3
2
1 ,7
1 ,4
1 ,1
0 ,8
0 ,5
0 ,2
-0 ,1
-0 ,4
-0 ,7
0 -1
0
-1 ,3
0,2
-2 ,5
0,005
1,9 2,3
0,4
- 0,9 - 0,5 - 0,1 0,3 0,7 1,1 1,5
0,01
-1 ,6
0,6
-1 ,9
0,015
-2 ,2
F(x)
0,025
- 2,5 - 2,1 - 1,7 - 1,3
f(x )
0,03
Düzgün dağılımın beklenen değer ve varyansı • Düzgün dağılım fonksiyonu: f ( x)
1
x
• Düzgün dağılımın beklenen değeri: 2 x 1 2 2 E( X ) x dx 2( ) 2( ) ( )( ) E( X ) 2( )
E( X )
2
eemdersnotlari.com
olur.
Düzgün dağılımın varyansı • Varyans için önce E(X2) hesaplanır.
1 x3 2 2 E( X ) x dx 3( )
( )( 2 2 ) E( X ) 3( ) 2
3 3 3( ) E( X ) 2
2 2
• Düzgün dağılımın varyansı: Var ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )] 2 idi Var ( X )
2 2 3
[
2
]2
( ) 2 Var ( X ) 12 eemdersnotlari.com
3
2. Üstel (Exponential) dağılım •
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
1 ( x ) e f ( x) 0
x 0 için diger haller
Dağılımın tek parametresi µ olup, dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri). µ>0 olduğundan f(x)>0 olup olasılık fonksiyonunun 1. şartı yerine gelmiş olur. 2. Şart için dağılımın tanım aralığında integrali alınır.
0
f ( x) dx
f ( x ) dx f ( x) dx 0 f ( x) dx 0
0
0
1
x ( )
e
dx e
x ( )
Böylece fonksiyonun olasılık fonksiyonu olduğu görülür. eemdersnotlari.com
1 0
Üstel (Exponential) dağılım Üstel dağılımın olasılık dağılım fonksiyonu x 1 e F( x ) 0
x0 aksi durum
Üstel dağılımın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu grafikleri
eemdersnotlari.com
Üstel (Exponential) dağılım Örnek:Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma sürelerinin (saat cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür ve ortalama arızasız çalışma süresinin 24 saat olduğu hesaplanmıştır. Buna göre • a )Rastgele seçilen bir cihazın en az 12 saat arızasız çalışma olasılığını hesaplayınız • b) En fazla 36 saat arızasız çalışması olasılığını bulunuz ? • c) Seçilen cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı %80 olabilmesi için bu cihazların ortalama arızasız çalışma süresi ne olmalıdır? eemdersnotlari.com
Üstel (Exponential) dağılım Çözüm: a)
x
1 24 f (x) e 24
x
c)
x
1 24 P( X 12) e dx e 24 24 12 36
b)
x 0
x
x
1 24 P(0 x 36) e dx e 24 24 0
1
x ( )
e
dx
30
-e
e
1
(. .)e
0,8
12
36 0
e
12 24
1 e 1,5 1 0,2231 0,7769
e 0,5 0,6065
0,8 e
x ( )
30
0,8
30
30
x ( )
e
30
0,8 -
30
eemdersnotlari.com
ln 0,8 134 saat
Üstel dağılımın beklenen değer ve varyansı • Üstel dağılım fonksiyonu: f ( x)
1
e
x
x0
• Beklenen değer:
E( X ) x 0
1
e
udv uv vdu
x
dx
1
xe
ux
x
dx
0
dv e
du dx
x
dx
v e
kismi integrasyon islemi ile
x 1 E ( X ) x e
0
x e dx xe 0
x
E ( X ) elde edilir .
Var ( X ) olur. eemdersnotlari.com
0
e
x
0
x
Üstel (Exponential) dağılım • Problem: Bir otomobil servis istasyonuna gelen otomobillerin servis süresinin üstel olduğu ve en çok 60 dk servis görme olasılığı %40 olduğuna göre; • a) Ortalama servis süresini hesaplayınız
eemdersnotlari.com
Üstel (Exponential) dağılım • b) En az 100 dk. süreyle servis görme olasılığını bulunuz.
• c) Servis süresinin en az 20dk. ve ortalamasının 70dk olan uniform dağılıma uyması durumunda en fazla servis süresi ve herhangi bir otomobilin 85 dk. dan fazla servis görme olasılığını bulunuz.
eemdersnotlari.com
Normal Dağılım İstatistikte en yaygın kullanılan dağılım normal dağılımdır. Bazı eserlerde Gauss dağılımı, çan eğrisi, normal eğri vs. gibi isimlerle de adlandırılmaktadır. • Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir: f (x)
1 2
e
- x - 2 2 2
- x
• Bu dağılım µ (ortalama) ve 2 (Varyans) parametrelerine dayanmaktadır. Dolayısıyla normal bir dağılım N(µ, 2) sembolü ile gösterilir. • Yukarıdaki fonksiyona olasılık yoğunluk fonksiyonu diyebilmek için; • olması gerekir. f ( x) 0 ve f(x)dx 1 -
• ve pozitif olduğu için 1. şart sağlanmış olur. f(x)dx 1 şartı - da ispatlanabilir. eemdersnotlari.com
Normal Dağılım • Normal dağılım şekilde görüldüğü gibi çan şeklinde bir dağılımdır. Dağılım aritmetik ortalama ve standart sapma parametreleriyle ifade edilmektedir. Dağılımın tanım aralığı -∞ ve +∞ aralığındadır.
eemdersnotlari.com
Normal dağılımın özellikleri •
• • • • •
Dağılımın aritmetik ortalama (µ) etrafında simetriktir. Yukarıdaki şekilde de görüldüğü gibi ortalamanın solunda kalan alanla, ortalamanın sağında kalan alanlar birbirine eşittir. Aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşittir. Sürekli rassal bir değişkenin yoğunluk fonksiyonu olduğu için eğrinin altında kalan alanın tamamı 1’e eşittir. Aritmetik ortalamanın 1 sağında ve solunda kalan alan toplam alanın %68’ine eşittir. Aritmetik ortalamanın 2 sağında ve solunda kalan alan toplam alanın %95’ine eşittir Aritmetik ortalamanın 3 sağında ve solunda kalan alan toplam alanın %99,7’ine eşittir Bu durum aşağıda ki şekilde görülmektedir. eemdersnotlari.com
Normal eğri altında kalan alanların gösterimi
eemdersnotlari.com
Normal eğri altında kalan alanların gösterimi • 5-Normal Dağılım µ ve parametreleri ile tespit edilmektedir. Fakat her µ ve değeri için farklı bir normal dağılım elde edilmektedir. µ farklı değerler alındığında şekilde görüldüğü gibi dağılım x ekseni üzerinde kaymaktadır. ’nın farklı değerler alması ise dağılımın sivriliğine veya basıklığına tesir etmektedir. Bu durum aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım • Daha önce belirtildiği gibi µ ve ’ nın her farklı değeri için farklı bir normal dağılım vardır. Dolayısıyla µ ve değerlerine dayanan sonsuz sayıda normal dağılım elde etmek mümkündür. Bu sonsuz sayıdaki normal dağılımı tek bir dağılımla ifade edebilmek için normal değişkenin bir dönüşüme tabi tutulur. Bu işlemle normal değişken ortalaması sıfır, varyansı 1 olan normal dağılıma dönüşür. Bu değişkene standart normal değişken adı verilir ve Z değişkeni olarak gösterilir.
Zi
Xi
• Z nin beklenen değeri (ortalaması): E(Z)=0 • Z nin varyansı : Var(Z)=1 olur. eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım •
Standart Normal Dağılımın yoğunluk fonksiyonu normal yoğunluk fonksiyonundaki µ yerine 0 ve yerine 1 koymak suretiyle şöyle yazılır.
1 f ( z) e 2 •
z2 2
Z
Şekilde standart normal dağılım görülmektedir. Z ekseninde her hangi iki nokta (değer) arasındaki olasılık bu iki noktadan yatay eksene çıkılan dik doğrular ile eğri ve yatay ekseni arasındaki alana eşittir. Bu alan söz konusu iki değer arasındaki fonksiyonun integrali alınarak bulunur. Mesela Z1 ve Z2 değerleri arasında kalan alan şöyle bulunur. eemdersnotlari.com
Z2
Z2
f ( z )dz
Z1
Z1
1 e 2
Z2 2
dz
Standart Normal Dağılım • Ancak standart normal dağılımda aranan alanlar tablolar halinde verildiği için bu tür integral hesaplarına gerek yoktur. Standart normal eğri alanları tablosunun solundaki birinci sütunda Z değerleri yer almaktadır. Standart normal eğri altındaki alanlar (yani ortalama ile Z değerleri arasında kalan alanlar ise) diğer sütunlarda gösterilmiştir. • Dağılım ortalama etrafında simetrik olduğu için negatif değerler için ayrıca bir tabloya gerek yoktur. Yani Z nin pozitif değerleri için verilen alanlar negatif değerleri için de geçerlidir. • Örnek: Z=0 ve Z=1,65 arasındaki alan yandaki şekilde olduğu gibi gösterilir. Şekilde bu alan taranmış kısımdır. Z=0 ile Z arasında kalan alan 0,4505 tir (altta verilen tablo). eemdersnotlari.com
1, 65
0
f ( z )dz 0,4505
Standart Normal Dağılım Tablosu Z
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0
0
0,003989
0,007978
0,011966
0,015953
0,019939
0,023922
0,027903
0,031881
0,035856
0,1
0,039828
0,043795
0,047758
0,051717
0,05567
0,059618
0,063559
0,067495
0,071424
0,075345
0,2
0,07926
0,083166
0,087064
0,090954
0,094835
0,098706
0,102568
0,10642
0,110261
0,114092
0,3
0,117911
0,12172
0,125516
0,1293
0,133072
0,136831
0,140576
0,144309
0,148027
0,151732
0,4
0,155422
0,159097
0,162757
0,166402
0,170031
0,173645
0,177242
0,180822
0,184386
0,187933
0,5
0,191462
0,194974
0,198468
0,201944
0,205401
0,20884
0,21226
0,215661
0,219043
0,222405
0,6
0,225747
0,229069
0,232371
0,235653
0,238914
0,242154
0,245373
0,248571
0,251748
0,254903
0,7
0,258036
0,261148
0,264238
0,267305
0,27035
0,273373
0,276373
0,27935
0,282305
0,285236
0,8
0,288145
0,29103
0,293892
0,296731
0,299546
0,302337
0,305105
0,30785
0,31057
0,313267
0,9
0,31594
0,318589
0,321214
0,323814
0,326391
0,328944
0,331472
0,333977
0,336457
0,338913
1
0,341345
0,343752
0,346136
0,348495
0,35083
0,353141
0,355428
0,35769
0,359929
0,362143
1,1
0,364334
0,3665
0,368643
0,370762
0,372857
0,374928
0,376976
0,379
0,381
0,382977
1,2
0,38493
0,386861
0,388768
0,390651
0,392512
0,39435
0,396165
0,397958
0,399727
0,401475
1,3
0,4032
0,404902
0,406582
0,408241
0,409877
0,411492
0,413085
0,414657
0,416207
0,417736
1,4
0,419243
0,42073
0,422196
0,423641
0,425066
0,426471
0,427855
0,429219
0,430563
0,431888
1,5
0,433193
0,434478
0,435745
0,436992
0,43822
0,439429
0,44062
0,441792
0,442947
0,444083
eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım Tablosu (Devam) Z
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1,6
0,445201
0,446301
0,447384
0,448449
0,449497
0,450529
0,451543
0,45254
0,453521
0,454486
1,7
0,455435
0,456367
0,457284
0,458185
0,45907
0,459941
0,460796
0,461636
0,462462
0,463273
1,8
0,46407
0,464852
0,46562
0,466375
0,467116
0,467843
0,468557
0,469258
0,469946
0,470621
1,9
0,471283
0,471933
0,472571
0,473197
0,47381
0,474412
0,475002
0,475581
0,476148
0,476705
2
0,47725
0,477784
0,478308
0,478822
0,479325
0,479818
0,480301
0,480774
0,481237
0,481691
2,1
0,482136
0,482571
0,482997
0,483414
0,483823
0,484222
0,484614
0,484997
0,485371
0,485738
2,2
0,486097
0,486447
0,486791
0,487126
0,487455
0,487776
0,488089
0,488396
0,488696
0,488989
2,3
0,489276
0,489556
0,48983
0,490097
0,490358
0,490613
0,490863
0,491106
0,491344
0,491576
2,4
0,491802
0,492024
0,49224
0,492451
0,492656
0,492857
0,493053
0,493244
0,493431
0,493613
2,5
0,49379
0,493963
0,494132
0,494297
0,494457
0,494614
0,494766
0,494915
0,49506
0,495201
2,6
0,495339
0,495473
0,495604
0,495731
0,495855
0,495975
0,496093
0,496207
0,496319
0,496427
2,7
0,496533
0,496636
0,496736
0,496833
0,496928
0,49702
0,49711
0,497197
0,497282
0,497365
2,8
0,497445
0,497523
0,497599
0,497673
0,497744
0,497814
0,497882
0,497948
0,498012
0,498074
2,9
0,498134
0,498193
0,49825
0,498305
0,498359
0,498411
0,498462
0,498511
0,498559
0,498605
3
0,49865
0,498694
0,498736
0,498777
0,498817
0,498856
0,498893
0,49893
0,498965
0,498999
eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım Örnek: Z<1,25 olasılığını (alan) bulunuz. Sorulan olasılık aşağıdaki grafikteki taralı alandır.
1, 25
0
1, 25
0
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0,5 0,3944 0,8944
Örnek: Z>1,25 olasılığını (alan) bulunuz.
1, 25
1, 25
0
0
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0,5 0,3944 0,1056
eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım • Örnek: Bir firma cam kavanozlar için teneke kapaklar imal etmektedir. Çaplarının ortalaması 10 cm. ve standart sapması 0,01 cm. olan bu kapakların çaplarının normal dağıldığı kabul ediliyor. İmal edilen kapaklardan çapları 10,02 ile 10,028 cm. arasında olanların oranı nedir? • Çözüm: X1 10,02 10 Z1 2 0,01 X 2 10,028 10 Z2 2,8 0,01 2,28
2
2,8
f ( z )d z
2
f (z)d f ( z)d z
0
z
0,4974 0,4773 0,0201
0
Yaklaşık olarak %2 dir eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım • Problem: Bir fabrikada üretilen cıvataların çapları 2cm. ortalama ve 0,1 cm. standart sapma ile normal dağılıma uymaktadır. Bu cıvataların çapı 1,8 ile 2,15cm. dışına düşerse bozuk sayılmaktadır. Bu verilere göre üretimin bozuk oranını bulunuz. • Çözüm: 1,8 2 0,2 2 0,1 0,1 2,15 2 0,15 Z2 1,5 0,1 0,1 Z1
1,5 1,5 0 1 f ( z)dz 1 f ( z)dz f ( z)dz 1 0,4772 0,4332 0,0896 0 2 2
eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım • Problem: Bir sınavda alınan notlar 76 ortalama ve 15 standart sapma ile normal dağılım uymaktadır. Öğrencilerin %15’i AA, %10’u FF notu almıştır. • a) AA alabilmek için en az notu (en yüksek %15’ e giren en düşük notu) • b) FF kalma notu olduğuna göre dersi geçebilmek için gereken en az notu tahmin ediniz. • Çözüm: AA notu notlar küçükten büyüğe sıralandığında %85 ya da üzerinde not alanları kapsamaktadır. Dağılımın yarım alanı ele alındığında bu alan 0,35 ve ötesini kapsar. Standart normal dağılımda 0,35 alanına karşılık gelen Z değeri tablodan bulunur. eemdersnotlari.com
Standart Normal Dağılım a)
0,5 0,15 0,35 0,35 Z 1,04 AA 76 AA 76 1,04 Z 15 15 15,6 AA 76 AA 76 15,6 AA 91,6 puan
b) 0,5–0,1=0,4 alanına karşılık gelen Z değeri –1,38
FF 76 FF 76 1,28 15 15 19,2 FF 76 FF 56,8 puan Z
eemdersnotlari.com
Log Normal Dağılım X rassal değişkeni y = ln x dönüşüm ile normal hale geliyorsa X değişkeninin dağılımının lognormal olduğu söylenir. Lognormal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır.
f ( x)
1 x y 2
µy: y nin sapmasıdır.
(ln x y ) 2
e
dağılımın
2 y 2
x0
ortalaması
eemdersnotlari.com
y :
standart
Log Normal Dağılım • X ve Y değişkenlerinin ortalaması ve varyansı şöyle yazılır.
x e
y2
( y y 2 )
y ln[
x x2 1 2 x
x x (e 1) ]
y ln( 1) 2 x 2 x
Z
Y
• Standart değere dönüştürme işlemi y şeklinde yapılır. y • Y değişkeni X değişkenine X e şeklinde dönüştürülür. eemdersnotlari.com
y
Log Normal Dağılım •
a) b) c)
Örnek: 20-30 yaş arasındaki insanların kan basıncının
(tansiyon) ortalamasının 12, varyansının 2,25 olan lognormal dağılıma uyduğu bildirilmiştir. Bu yaş grubundan rasgele çekilen bir kişinin kan basıncının En fazla 13 olma olasılığını bulunuz. Kan basıncının 12,5; 14,5 arasında olma olasılığını bulunuz. Kan basıncı en az olan % 5’lik grubun en yüksek kan basıncını tahmin ediniz.
Çözüm: y ln[ ] ln x2 1
x
x2
12 ln(11,907) 2,477 y 2,25 1 144
x2 2,25 y ln( 2 1) ln 1 ln(1,0156) y 0,1245 x 144 eemdersnotlari.com
Log Normal Dağılım • a) P(X<13) için X lognormal dağıldığına göre onun logaritması olan Y= lnX değişkeni normal dağılır. Önce bu işlemin yapılıp sonra standart normal değişkene dönüşüm yapılmalıdır. • Y= ln(13)= 2,565 olur. Y nin standart değeri; Y y 2,565 2, 477 0,088 Z Z 0,71 0,1245 0,1245 y 0 , 71
P( Z 0,71)
f ( z )dz
0
0 , 71
0
f ( z)dz f ( z )dz 0,5 0,2611
P ( Z 0,71) 0,7611 • b) P(12,5
Log Normal Dağılım P(2,526 Y 2,674) Z1
2,526 2,477 2,674 2,477 Z1 0,39 Z 2 Z 2 1,37 0,1245 0,1245
1, 37
P(0,39 Z 1,37)
f ( z )dz
0 , 39
• c)
x
f (u )du 0,05
1, 37
0 , 39
0
0
f ( z )dz f ( z )dz 0,4147 0,1517 0,263
olabilmesi için
Z=-1,645 olması gerekir. Z
Y y
y
Y 2,477 1,645 Y 2,272 0,1245
Bu değer X’e dönüştürülürse;
X e y X e 2, 272 X 9,7 olarak bulunur. eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
5 Gamma Dağılımı •
Gamma dağılımının yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
x 1 e x / f ( x ) ( ) 0
x 0 x 0
• Dağılımın parametreleri ve olup ( ) gamma fonksiyonudur. Dağılım adını bu fonksiyondan almaktadır. • Farklı her ve değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela =1 ve =1, =2, =3, =4 değerleri aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir. • Gamma fonksiyonu şöyle ifade edilir.
() y 1 e y dy
x 0 için
0
• Gamma fonksiyonuna ardı ardına kısmi uygulanarak; ( ) ( 1)! elde edilir. eemdersnotlari.com
integrasyon
Gamma Dağılımı • Farklı her ve değerleri için farklı dağılım şekilleri elde edilmektedir. Mesela =1 olurken =1, =2, =3, =4 değerlerini aldığında aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir.
eemdersnotlari.com
Gamma Dağılımı • Gamma dağılımında ve nın bazı değerleri için özel dağılımlar elde edilir. • =1 için üstel dağılım,
n , 2 için • 2
Ki-kare dağılımı elde edilir. _
• Gamma dağılımının ortalaması: x 2 2 • Dağılımın varyansı : s • Bu iki değerden hareketle ve şöyle bulunur. 2
_
X s
2
2
s _
X eemdersnotlari.com
Gamma Dağılımı • Örnek: Bir işletmede günlük elektrik enerjisi tüketiminin (bin kilovat/ saat cinsinden ) 2 , 3 olan bir gamma dağılımına göre değiştiği kabul edilmektedir. İşletmenin çevirim santralinin günlük kapasitesi 10 bin kilovat/saat olduğuna göre, her hangi bir günde işletmenin elektrik ihtiyacının çevirim santrali kapasitesini aşması olasılığını bulunuz? • Çözüm: x 2 1. e x / 3 f ( x) 2 3 . (2)
( ) ( - 1)! (2 - 1)! 1 x.e x / 3 f ( x) 9 0
x0 x0 eemdersnotlari.com
Gamma Dağılımı
1 f ( x ) x e - x/3 dx 9 10
u x
du dx
dv e - x/3 dx
1 1 -x/3 f (x) x e dx 3x e 9 10 9
1 3x e 9 10 3
x 3
x 3
v -3e
x 1 3e 3 dx 10 9
x x 1 9 e x e 3 e 3 10 3 x 3
10 3
10 3
10 3
13 10 e e 1 e . 3 3 4,33.e 3,33 4,33 . 0,035794 0,154588 10 e 3
- x/3
eemdersnotlari.com
10
buradan
6. Weibull Dağılımı • Özellikle güvenilirlik analizinde kullanılan önemli bir olasılık dağılımıdır. Dağılımım olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları aşağıda verilmiştir. • Olasılık yoğunluk fonksiyonu;
1 ( x / ) x0 x e f ( x) 0 x0 • Olasılık dağılım fonksiyonu;
F ( x) 1 e
( x / )
• Fonksiyonda : şekil, : yer parametresidir. • =1 olursa Weibull dağılımı üstel dağılıma dönüşür. • büyüdükçe dağılım normal dağılıma yaklaşır. eemdersnotlari.com
• Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği incelendiğinde alfa parametresi büyük değerler aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma doğru yaklaşmaktadır.
eemdersnotlari.com
Weibull Dağılımı • Örnek: Bir cihazın güvenilirliğinin =3, =100 saat olan Weibull dağılımına uyduğu bilinmektedir. • a) Bu cihazın en fazla 70 saat kesintisiz (arızasız) çalışma olasılığını bulunuz. • b) 90 saatten fazla çalışması için güvenilirliğini (90 saatten fazla arızasız çalışma olasılığını) bulunuz. • Çözüm: Olasılık dağılım fonksiyonu ile çözüm • a) ( 70 / 100) 3
P( X 70) 1 e
1 0,7096
P ( X 70) 0,2904 • b)
P( X 90) 1 [1 e
( 90 / 100) 3
] 1 (1 0,482)
P ( X 90) 0,482 eemdersnotlari.com
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Deney sayısı sonsuza giderken dağılım simetrik ise (p değeri 0,5 civarında ise) binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Eğer n deney sayısı yeterince büyük ise, dağılım tam olarak simetrik olmasa bile dağılımın çarpıklığı çok belirgin olmayacaktır. Böyle durumlarda kesikli olan Binom değişkeni uygun bir işlemle sürekli bir değişkene dönüştürülür. Böylece n ve p parametreleri ile tanımlanmış olan Binom dağılımı yerine normal dağılım kullanılabilir. • Deney sayısı n değerinin yeterince büyük olması ifadesi oldukça muğlak bir ifadedir. Deney sayısının yeterince büyük olup olmadığını tespit için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. • Binom değişkeni kesikli olduğu halde normal değişken süreklidir. Bu durumda Binom değişkenini sürekli şekle dönüştürmek gerekir. Kesikli olan Binom değişkeni {0, n} arasındaki tam sayı değerleri alır. Bu tam sayıların arasındaki birer birimlik boşlukların değişkenin değerine yansıtılması gerekir. Bunun için değişkenin değeri (1/2) birim geriden başlayıp (1/2) birim ileriden bitirilir. Böylece kesiklilik hali sürekli hale dönüştürülmüş olur. eemdersnotlari.com
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Örnek olarak aşağıdaki tabloda bazı Binom değişkenlerinin sürekli şekilleri verilmiştir. Kesikli Binom değişkeni
Normal yaklaşım (sürekli)
P(X=5)
P(4,5
P(X≤5)
P(X<5,5)
P(X>5)
P(X>5,5)
P(3
P(3,5
P(3 ≤X<7)
P(2,5
• Örnek:Bir lisedeki öğrencilerin ÖSS sınavını kazanma olasılıkları 0,3 tür. Bu lisede sınava 100 öğrenci katıldığı bilindiğine göre; • a) Sınavı 30 öğrencinin kazanma olasılığı ne olur? • b) Bu öğrencilerin en az 27 sinin kazanma olasılığı ne olur? • c) Öğrencilerin en az 33 en fazla 37 inin kazanma olasılığı ne olur? eemdersnotlari.com
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı • Çözüm: • Dağılımın ortalaması: µ = np = 0,3*100 = 30 • Dağılımın varyansı : 2 = npq = 0,3*0,7*100 = 21 =4,58 a) P(X=30) a) Normal yaklaşımla P(29,5
29,5 30 Z1 Z1 0,11 4,58 0 ,11
P(0,11 Z 0,11)
0 ,11
0
f ( z )dz
0 ,11
f ( z )dz
0 ,11
f ( z )dz 0,0438 0,0438 0
• b) P(X≥27) için normal yaklaşımla P(X>26,5) aranır. Z
26,5 30 Z 0,76 4,58
P( Z 0,76)
0
0 , 76
0 , 76
f ( z )dz
f ( z )dz f ( z )dz 0,2764 0,5 0
P ( Z 0,76) 0,7764 olur. eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
Problem Bir elektronik mamul 22 entegre devreden oluşmaktadır. Entegre devrelerin arızalı olma olasılıkları %1 ve birbirinden bağımsızdır. Elektronik parçanın çalışır olması için bütün devrelerinin sağlam olması gerekmektedir. • a) Rastgele seçilen 60 entegre devreden en az 2 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir? • b) Seçilen devrelerden en az 1 tanesinin arızalı olma olasılığı %80 olması için kaç entegre devre seçilmelidir? • c) Bu devrelerle imal edilen elektronik mamulün sağlam olma olasılığı nedir? • d) Rasgele seçilen 10 mamulden en çok 2 sinin arızalı olma olasılığı nedir. • e) Seçilen 7. mamulün ilk arızalı parça olma olasılığı nedir? • f) Seçilen 10. mamulün 3. arızalı mamul olma olasılığı nedir? • g) Rasgele seçilen 140 mamulden en az 30 tanesinin kusurlu olma olasılığını bulunuz. eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
Problem • Bir hastaneye gelen hastaların dahiliye polikliniğine gitme olasılığı %15 dir. Bu hastaneye gelen 40 hastadan • a) Dahiliye polikliniğine giden hastaların ortalama ve varyansı ne olur? • b) Hastaneye gelen 40 hastanın 5 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? • c) Bu hastaların en az 3 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme olasılığı ne olur? • d) Hastaneye gelen 5. hastanın dahiliye polikliniğine gelen ilk hasta olma olasılığı ne olur? • e) Hastaneye gele 40. hastanın dahiliye polikliniğine gelen 4. hasta olma olasılığı ne olur? • f) Hastaneye gelen hastaların %15 i dahiliye, %20 si KBB’ye, % 10 u Çocuk ve geri kalanı diğer polikliniklere gittiğine göre, Hastaneye gelen 40 hasta içerisinden seçilen 10 hastadan 2 sinin dahiliye, 3 ünün KBB ye, 1 inin çocuk, geri kalanlarının diğer polikliniklere gitme olasılığı ne olur? eemdersnotlari.com
Örnekleme Dağılımları
1 – Ortalamaların örnekleme dağılımı 2 – Oranların örnekleme dağılımı 3 – Ortalamaların farkının örnekleme dağılımı 4 – Oranların farkının örnekleme dağılımı 5 – Varyansların örnekleme dağılımı 6 – Varyans oranlarının örnekleme dağılımları
eemdersnotlari.com
Örnekleme Teorisi • Tanımlar • Kütle: Bir olayın mantıken mümkün bütün birimlerinin oluşturduğu kümedir. Örnek ise bu kütlenin bir kısım birimlerinden meydana gelen bir alt kümedir. Kütledeki birimlerin çekilişi işlemine ise örnekleme adı verilir. İstatistik analizin temel amacı örneğe dayanarak kütle hakkında tahminde bulunmak, genelleme yapmak ve karar vermek olup, bu amacı gerçekleştirebilmek için örneğin ait olduğu kütleyi iyi bir şekilde temsil etmesi gerekir. • Bir okulda başarı durumunu ölçmek için yapılan araştırmada örneği sadece belli bir sınıftan seçmek veya sadece erkek öğrencilerden seçmek ya da çift numaralı öğrencilerden seçmek sistematik bir örnekleme hatasına sebep olur. Bu araştırma sonucunda elde edilen değerler kütlenin gerçek durumunu yansıtmayacaktır. Bu sebeple kütledeki birimlerin örneğe girme şansının eşit olmasına, örnek seçiminin rastsal olmasına ve örnek büyüklüğünün yeterli olmasına dikkat edilmesi gereklidir. eemdersnotlari.com
Örneklemeyi gerektiren sebepleri Örnekleme yapmayı gerekli kılan sebepler kısaca şöyle sıralanabilir: • Maliyetlerden (test, muayene vs.) tasarruf sağlanması, • Zaman tasarrufu sağlanması, • Doğru bilgi sağlanması, • Anakütlenin tam sayımının pratik olarak imkansız olması, • Tahribatlı muayene işlemlerinde bir zorunluluk olması
eemdersnotlari.com
Örnek Seçiminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar • 1. Anakütlenin tanımı: Örnek alınacak kütleye ait birimler açık bir şekilde tanımlanarak kütlenin çerçevesi çizilmelidir. • 2. Örneğin temsilcilik niteliği: Örnek, üzerinde durulan özellik bakımından kütleye benzer durumda bulunmalı, onu temsil etmelidir. • 3. Birimlerin eşit şansla seçimi: Kütle içinde yer alan tüm birimlerin örneğe seçilme şansları eşit kılınmalıdır. Her birim eşit şansla seçime katılmalıdır. • 4. Tarafsızlık: Kütleden örnek birimlerinin seçimi sırasında, bu işi yapan kişinin tamamen tarafsız davranması gerekir. • 5. Örnek hacmi: Örnek hacmi arttıkça örnek istatistiği kütle parametresine yaklaşır. Bunun için yeterli büyüklükte örnek seçilmelidir. eemdersnotlari.com
Anakütleden Örnek Seçme Yöntemleri • Kütleden örneklerin seçilmesi işi olasılıklı ve olasılıksız olmak üzere iki şekilde yapılır. Olasılıklı örneklemede, kütledeki tüm birimlerin örneğe girme şansları eşit kılınır. N tane birimden oluşan bir kütleden n birimden oluşan bir örnek seçilecekse, her bir birimin örneğe girme şansı eşit yani n/N olur. Olasılıklı seçimden dolayı örnek, kütleyi daha iyi yansıtır. Olasılıksız örneklemede, birimlerin seçimi için bir kural yoktur. Bundan dolayı da her birimin seçilme şansı farklı farklıdır. Seçim tamamen keyfi yapılmakta ya da yalnız gönüllü olanlar örneğe dahil edilmektedirler. Birimlerin rastgele yöntemle seçilmemelerinden dolayı örneğin kütleyi temsil yeteneği azdır eemdersnotlari.com
Olasılıklı Örnekleme 1- Basit Rastgele Örnekleme • Üzerinde durulan özellik bakımından kütledeki birimler homojen bir şekilde dağılmışlarsa, örnek basit rassal yöntemle seçilir. Bu yöntemde birimlerin örneğe girme şansları eşit olup, örnek kütleden rassal olarak bir defada seçilir. 2- Sistematik Örnekleme • Örnek seçim işlemlerinin kolay olması sebebiyle özellikle ana kütlenin büyük olduğu durumlarda kullanılan bir örnekleme yöntemidir. Kütle yapı itibarıyla basit rastgele örneklemede olduğu gibi aranan özellik açısından homojen bir yapıya sahipse sistematik örnekleme kullanılabilir. Basit rastgele örneklemeden farkı, birimlerin seçiminin tamamen rassal değil de sistematik bir şekilde yapılmasıdır. eemdersnotlari.com
Olasılıklı Örnekleme 3- Tabakalı Örnekleme • Üzerinde durulan özelliğin değerleri bakımından birimlerin homojen dağılmadığı, buna karşılık birbirlerine yakın değerlerin bir araya gelerek tabakalar oluşturduğu kütlelerde tabakalı örnekleme yöntemi uygulanabilir. 4- Kademeli Örnekleme • Kütlenin doğal olarak kademeli bir şekilde alt gruplara ayrılabildiği ve ilgilenilen özellik yönünden birimlerin homojen dağıldığı durumlarda tercih edilen bir yöntemdir.
eemdersnotlari.com
Olasılıklı Olmayan Örnekleme • Olasılıklı olmayan örnekleme, birimlerin seçiminde keyfi seçim yönteminin uygulandığı örnekleme yöntemleridir. 1- Kolayda Örnekleme: Bu örnekleme yönteminde kolayca ulaşılabilir birimleri seçmek suretiyle bir örnek oluşturulmaya çalışılır. Örneklemede birimlerinin seçimi görüşmeci tarafından doğru zamanda doğru yerde bulunan birimler, gönüllü katılımcılar arasından yapılır. 2- Yargısal Örnekleme: Örneği oluşturacak birimlerin seçimlerinin seçimi yapan kişilerin arzu, düşünce ve deneyimlerine dayanarak yapılmasına yargısal örnekleme denir. 3- Kota Örneklemesi: Bu yöntemde tabakalı örnekleme yönteminde olduğu gibi anakütle alt kütlelere ayrılır. Araştırmacı her alt kütlenin temsili için kota koyar. Bu kota belirlenen tabakanın anakütleye oranına göre belirlenir. Kota örneklemede örneğe girecek elemanlar tesadüfen değil araştırmacını kendi isteğine göre belirlenir. eemdersnotlari.com
Olasılıklı olmayan örnekleme 5- Dilim Örneklemesi: Tanımlanan anakütlenin birimleri geniş bir coğrafi alana dağılmışsa, birimlere ulaşmak hem masraflı hem de çok zaman alıcı olur. Bu teknikte çerçeveye gerek yoktur. 6- Kartopu Örneklemesi: anakütlenin elemanları tam olarak belirlenmezse ya da anakütle sınırını belirlemek mümkün değilse anakütleyi belirleyecek örneği oluşturmak zordur. Araştırmacı bu durumda örneği adım adım oluşturur. Kartopu olarak bilinen bu yöntemde araştırmacı ulaşabileceği ilk elemanı belirler. Bu elemandan elde ettiği bilgilerle diğer elemanlara ve bu şekilde zincirleme olarak anakütleyi temsil eden örneğe ulaşmaya çalışır. eemdersnotlari.com
Basit rasal örnekleme • Genellikle N harfi ile gösterilen kütle hacmi sınırlı veya sınırsız olabilir, ancak n harfi ile gösterilen örnek hacmi sınırlıdır. N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı sınırlı sayıda olmakla birlikte, sınırsız sayıda eleman içeren bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı da sınırsız olur. • N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilen bir örnekte kütledeki birimlerin örneğe girme şansları eşit ise bu tür örneklemeye “Basit Rassal Örnekleme” adı verilir. Basit rassal örneklemede kütledeki birimler iadeli ya da iadesiz şekilde çekilebilirler. • Kütleyi betimleyen ortalama, varyans gibi ölçülere kütle parametreleri adı verilir. Eğer bu ölçüler örnekten elde ediliyorsa buna da örnek istatistiği adı verilir. Örnek istatistikleri kütle parametrelerinin bir tahminidir. eemdersnotlari.com
Örnekleme dağılımları • x1,x2,x3,.....,xn rassal değişkenlerinden elde edilen her hangi bir örnek istatistiği (x, s vs) bu değişkenlerin bir fonksiyonu olduğundan kendisi de bir rassal değişkendir. Her hangi bir örnek istatistiğinin olasılık dağılımına o istatistiğin örnekleme dağılımı adı verilir. N büyüklüğünde bir kütleden n büyüklüğünde çekilmesi mümkün bütün örnekler çekilerek herhangi bir istatistik hesaplanır ve bu değerler bir dağılım şeklinde ifade edilirse bu dağılıma o istatistiğin örnekleme dağılımı adı verilir. • Sınırlı bir kütleden deneysel olarak örnekleme dağılımı teşkil edilebilir. Bunun için şöyle bir yol takip edilir. 1) Önce N büyüklüğündeki kütleden n büyüklüğünde çekilmesi mümkün bütün örnekler tesadüf, olarak çekilir. 2) Hangi örnek istatistiğinin dağılımı belirlenecekse, her örnek için o istatistiğin değerleri hesaplanır. 3) Bir sütuna hesaplanan değerler, diğer sütuna ise bu değerlerin tekrar sayıları yazılarak deneysel olarak örnekleme dağılımı elde edilir. • Ancak kütle sınırsız olduğunda böyle bir yol takip edilemez. Çünkü böyle kütlelerden sonsuz sayıda örnek çekmek mümkündür. Böyle durumlarda yeterli sayıda örnek çekilerek gerçeğe yakın bir örnekleme dağılımı elde edilebilir. eemdersnotlari.com
Ortalamaların Örnekleme Dağılımı • Kütlenin sınırlı ya da sınırsız olmasına göre ortalamaların örnekleme dağılımı farklılık gösterir. İadeli seçim durumunda kütle sınırlı bile olsa sınırsız hale gelmiş olur. Çünkü seçilen örnek hacmi istenildiği kadar büyük tutulabilir (kütle hacminden bile büyük olabilir). Eğer kütle sınırlı ve iadesiz seçim yapılıyorsa örnek hacmi kütle hacminden daha büyük olamaz. Burada önce kütlenin sınırlı olduğu, iadeli seçimin yapıldığı ve örnek hacminin (n) kütle hacminden (N) küçük olduğu durumlarda ortalamaların örnekleme dağılımı incelenecektir. • Aşağıda küçük bir kütleden çekilen iadeli örnekler için ortalamaların örnekleme dağılımının nasıl oluştuğu deneysel olarak gösterilmiştir. eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı • Elemanları { 1,2,3,4,5 } rakamlarından oluşan bir kütle örnek olarak ele alındığında parametreleri;
X i 15 3 N 5
( X i ) 2 10 2 N 5 2
2
• Bu kütleden 2 birim içeren örnekler iadeli olarak seçilirse toplam Nn = 52 = 25 örnek seçilebilir. Bu 25 örneğin dağılımına ilişkin tablo aşağıda verilmiştir. Tabloda parantez içindeki değerler örnek ortalamalarıdır. Bu ortalama değerler kullanılarak ortalamalar için frekans dağılımı elde edilmiştir. Buna ortalamaların örnekleme dağılımı adı verilmektedir. eemdersnotlari.com
•
Tablo: N=5 büyüklüğündeki çekilebilecek mümkün örnekler
1
2
3
4
5
n=2
büyüklüğünde
İkinci Seçim
Birinci Seçim
kütleden
1
2
3
4
5
1;1
1;2
1;3
1;4
1;5
(1)
(1,5)
(2)
(2,5)
(3)
2;1
2;2
2;3
2;4
2;5
(1,5)
(2)
(2,5)
(3)
(3,5)
3;1
3;2
3;3
3;4
3;5
(2)
(2,5)
(3)
(3,5)
(4)
4;1
4;2
4;3
4;4
4;5
(2,5)
(3)
(3,5)
(4)
(4,5)
5;1
5;2
5;3
5;4
5;5
(3)
(3,5)
(4)
(4,5)
(5)
eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı
• Yukarıdaki grafiklerde kütle verilerinin düzgün dağılım göstermelerine karşılık örnek ortalamalarını dağılımının simetrik dağıldığı görülmektedir. Bu durum örnek sayısının artmasına bağlı olarak dağılımın normale yaklaşacağının bir işaretidir. eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı • Yukarıdaki tablodaki ortalamalar için aşağıdaki dağılım elde edilir. Nispi frekans f X 2 Xi X X f ( X X ) i i i i i f i
fi/fi
1
1
0,04
1
-2
4
1,5
2
0,08
3
-1,5
4,5
2
3
0,12
6
-1
3
2,5
4
0,16
10
-0,5
1
3
5
0,2
15
0
0
3,5
4
0,16
14
0,5
1
4
3
0,12
12
1
3
4,5
2
0,08
9
1,5
4,5
5
1
0,04
5
2
4
Toplam
25
1
75
eemdersnotlari.com
25
• Yukarıdaki örnekte ortalamaların örnekleme dağılımının ortalaması; • X f i X i 75 3 olup kütle ortalamasına (µ) eşittir. 25 f i • Ortalamaların örnekleme dağılımının varyansı ise ( x ) 2
•
x
2
f (X X ) f i
i
i
2
25 1 25 olarak bulunur. Kütle varyansı ile
örnek ortalamalarının varyansı aynı sonucu vermemiştir. Kütle varyansından hareketle örnek ortalamalarının varyansını elde edebilmek için; • 2 2 2 • x n 2 1 işlemi yapılır. Örnekleme dağılımının varyansının karekökü, yani örnekleme dağılımının standart sapmasına ortalamanın standart sapması ya da kısaca standart hata adı verilir ve şöyle yazılır. x x 2 1 n 2 eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı • Yukarıdaki standart hata formülüne dikkat edilirse örnek hacmi (n) büyüdükçe standart hata küçülmektedir. Şu halde örnek hacminin artması kütle ile ilgili bilginin artmasına, dolayısıyla örnek ortalamasının giderek kütle ortalamasına yaklaşmasına sebep olmakta ve örnekleme hatasının azalmasına sebep olmaktadır. • Sonuç: Yukarıdaki örnekte elde edilen:
E( X ) X E[( X ) 2 ] x 2
2 n
; x
n
eemdersnotlari.com
Seçimin iadesiz yapıldığı durumlarda ortalamanın örnekleme dağılımı Kütle hacmi N sınırlı iken örnek seçimi iadesiz olarak yapılıyorsa n 0,05 ve örnek oranı oluyorsa ortalamaların örnekleme N dağılımının ortalaması (beklenen değeri) ve varyansı;
E( X ) X 2 N n
N n E[( X ) ] x ; x olur n N 1 N 1 n 2
2
• Yukarıdaki standart hata formülündeki N n ifadesi sınırlı kütle N 1 düzeltme faktörü olarak adlandırılır. Bu ifade kütlenin sınırlı olduğu, örnek seçiminin iadesiz yapıldığı ve örnekleme oranının n 0,05 olduğu durumlarda kullanılır. Diğer durumlarda N kullanılmaz. eemdersnotlari.com
• Yukarıdaki örnekte örneklemenin iadesiz olarak yapıldığı kabul edilirse, çekilebilecek örnek sayısı:
N 5! N! 10 olup, örnekleme dağılımı şöyle • n n!( N n)! 2!(5 2)!
teşkil edilir.
Xi
fi
fi X i
Xi X
fi ( X i X )2
1,5
1
1,5
-1,5
2,25
2,0
1
2,0
-1,0
1,00
2,5
2
5,0
-0,5
0,50
3,0
2
6,0
0,0
0,00
3,5
2
7,0
0,5
0,50
4,0
1
4,0
1,0
1,00
4,5
1
4,5
1,5
2,25
Toplam
10
30 eemdersnotlari.com
7,50
• Dağılımın ortalaması:
fX X f i
i
i
• Dağılımın varyansı:
x2
30 3 10
fi ( X i X i )2
f
i
7,5 0,75 10
7,5 x 0,75 şeklinde bulunur. • Standart hata: 10 • Bu sonuçlar kütle parametreleri kullanılarak şöyle elde edilir.
E( X ) X 3 2
N n 2 52 E[( X ) ] x ( ) ( ) 0,75 n N 1 2 5 1 2
2
• Buradan standart hata x 0,75 olarak yazılır. • Eğer kütle standart sapması bilinmiyorsa, onun yerine örneğin standart sapmasından hareketle örnekleme dağılımının standart hatasının tahmini değeri; x s N n N 1 n olur. eemdersnotlari.com
Merkezi Limit Teoremi • Örneklerin çekilmiş olduğu kütlenin ortalaması ve varyansı 2 olan bir olasılık dağılımına sahip olsun. Bu kütlenin dağılımı normal dağılmasa bile örnek ortalamalarının dağılımı örnek hacmi büyük olmak kaydıyla (n 30) ortalaması ve varyansı 2 2 olan normal dağılıma x
n
yaklaşır. Bu dağılım standart normal dağılıma; Z
X
x
X
formülü ile dönüştürülür.
n
• Bu formül örneklemenin sınırlı kütleden iadesiz yapılması durumunda aşağıdaki şekilde yazılır. Z
X
x
X N n n N 1 eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı – ProblemÖrnek: Belli bir çaptaki çelik bir halatın kopma kuvvetinin dağılımının ortalaması 25 ton, standart sapması 6 ton olan normal dağılıma uymaktadır. a)
Bu kütleden 80 birimlik bir örnek seçildiğinde kopma kuvveti için ortalamaların örnekleme dağılımını teşkil ediniz.
b)
Çekilen örnekte kopma kuvvetinin ortalamasının 25,6 ton ile 26,5 ton arasında olma olasılığını hesaplayınız.
c)
En yüksek %8 olasılıkla örneğin ortalama kopma kuvveti en az ne olabilir?
eemdersnotlari.com
Ortalamaların örnekleme dağılımı – ProblemÇözüm: a) 25
x
n
6 0,67 olur. 80
b) P ( 25 , 6 X 26 , 5 ) ? Z1
25 , 6 25 0 ,9 0 , 67
Z2
2 , 27
P (0,9 Z 2,27)
26 , 5 25 2 , 27 0 , 67
2 , 27
f ( z )dz
0,9
0
z
z
0
0,9
f ( z )dz
f ( z )dz 0,4884 0,3159 0,1725 0
f ( z )dz 0,08 f ( z)dz 0,42 Z 1,4
c)
Z
X
x
1,4
X 25 X 26,938 0,67 eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
Oranların örnekleme dağılımı • Uygun hal sayısının mümkün hal sayısına oranı olarak ifade edilen oranlar kütle için (p), örnek için ( ~p ) ile gösterilir. İki şıklı bir kütleden mümkün olan bütün örnekler seçilip oranlar ( ~p ) bir seriye dönüştürüldüğünde dağılımının normal olduğu görülür. Oranların örnekleme dağılımı olarak adlandırılan bu dağılımın ortalama ve standart sapması (oranların standart sapması ya da standart hata) şöyle olur.
E ( p ) p ve
~p
p(1 p) n
pq n
• Örnek hacmi büyükse (n≥30 ve n/N<0,05 ise oranların dağılımı normale yaklaşır. Eğer seçim iadesiz yapılır ve n/N >0,05 olursa standart hata formülüne düzeltme faktörü tatbik edilir. pq N n ~p olur. n N 1 eemdersnotlari.com
Oranların örnekleme dağılımı •
Oranlar standart değere şöyle çevrilir: ~ p p Z pq n
• • a) b) •
Örnek Belli bir parçayı üreten bir tezgâhın üretiminin %3 ünün kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu tezgâh tarafından üretilen 200 parça rasgele alınıp muayene edildiğinde En fazla %2 sinin kusurlu olma olasılığını bulunuz. Kusurlu oranının %4 - %6 arasında olma olasılığını bulunuz Çözüm Oranların örnekleme dağılımının ortalaması: Standart hatası: E ( ~ p ) p 0,03
p
pq 0,03 0,97 0,012 n 200 eemdersnotlari.com
Oranların örnekleme dağılımı ~ P ( p 0,02) olasılığı için standart değer; • a) ~ p p 0,02 0,03 • olup olasılığı: Z
~p
0,012
Z 0,83
0 ,83
P( Z 0,83)
f ( z )dz
0
0
0 ,83
f ( z )dz f ( z )dz 0,5 0,2967
P ( Z 0,83) 0,2033
• b) P (0,04 ~ p 0,06) olasılığı için: 0,04 0,03 Z1 Z 1 0,83 0,012 2,5
P(0,83 Z 2,5)
f ( z )dz
0,83
Z2
0,06 0,03 Z 2 2,5 0,012
2,5
0,83
0
0
f ( z)dz f ( z)dz 0,4938 0,2967
P (0,83 Z 2,5) 0,1971 eemdersnotlari.com
Farkların Örnekleme Dağılımı • Bazı durumlarda bir kütle ortalaması ya da oranı yerine iki kütlenin ortalaması ya da oranı narasındaki farkın dağılımı ile ilgilenilir. Bu farkın dağılımına bakılarak iki kütle ortalaması ya da oranı arasındaki farkın anlamlı olup olmadığına ya da güven aralığının ne olacağına karar verilebilir. Örnek olarak aynı parçayı üreten iki işçinin verimliliklerinin farklı olup olmadığı veya üretimlerinin kusurlu oranlarının farklı olup olmadığı araştırılabilir. İki aracın belli bir yolu almada tükettikleri ortalama yakıt miktarının farklı olup olmadığı farkların dağılımını bilmeyi gerektirir. Bu tür problemlerin çözümünde ortalamaların ya da oranların dağılımı ile ilgili özelliklerin bilinmesi gerekir.
• İki Ortalamanın Farkının Örnekleme Dağılımı • Eğer n1 ve n2 büyüklüğündeki iki rassal örneğin ortalamaları sırası ile X 1 ve X 2 ise X 1 X 2 nin örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşır ve bu dağılımın ortalama ve standart sapması (standart hata) şöyle ifade edilir. eemdersnotlari.com
Farkların Örnekleme Dağılımı • İki ortalamanın farkının ortalaması:
x x E ( X 1 X 2 ) 1 2 1
2
• İki ortalamanın farkının standart sapması (standart hata):
x x 1
•
2
12 n1
22 n2
x x ye iki ortalama arasındaki farkın standart hatası adı 1
2
verilir. Burada çekilen örneklerin birbirinden bağımsız ve kütlenin sınırsız olduğu kabul edilmektedir. Eğer kütle sınırlı seçim iadeli yapılıyorsa yine yukarıdaki formüller kullanılır. Kütle sınırlı seçim iadesiz yapılıyorsa standart hata formülüne düzeltme faktörü ilave edilir. eemdersnotlari.com
Farkların Örnekleme Dağılımı • Eğer kütle sınırlı, seçim iadesiz yapılıyor ve örnekleme oranı (n/N)>0,05 oluyorsa yukarıdaki standart hata formülüne sınırlı kütle düzeltme faktörü tatbik edilir. Bu durumda standart hata:
x x 1
2
12
22
N n seklinde olur. n1 n2 N 1
• Örnek ortalamalarının dönüştürülür.
Z
farkı
standart
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
12 n1
22 n2 eemdersnotlari.com
değere
şöyle
•
• • • •
Örnek: A ve B marka elektrik ampulünün ortalama ömürlerinin sırasıyla μ A 600 , μ B 580 saat olduğu bildirilmiştir. Geçmiş verilerden ampullerin ömürlerinin standart sapmalarının sırası ile σ A 150 , σ B 200 saat olduğu görülmüştür. Her iki marka ampulden 40 ar birimlik örnekler seçilip ömür testine tabi tutulduğunda; a) A nın ortalamasının B den en az 30 saat daha fazla olma olasılığını bulunuz. b) B nin ortalama ömrünün A dan fazla olma olasılığını bulunuz. Çözüm: a) İstenen P(( X A X B ) 30) olayıdır. Bunun için örnekler büyük olduğu için normal dağılımdan yararlanmak mümkündür. Örnek ortalamaları arasındaki farkı standart değere şöyle dönüştürülür. Z
( X A X B ) ( A B )
A2 nA
B2 nB
30 20 150 2 200 2 40 40
eemdersnotlari.com
10 Z 0,25 39,5
P( Z 0,25)
0 , 25
•
0 , 25
0
0
f ( z )dz f ( z )dz
f ( z )dz 0,5 0,099 0,401
b) İstenen P (( X A X B ) 0) durumudur. Bunun için yine normal dağılım kullanılarak çözüme gidilir. Z
( X A X B ) ( A B )
A2 nA
B2 nB
P ( Z 0,51)
0 , 51
0 20 150 2 200 40 40
f ( z )dz
0
20 Z 0,51 39,5
f ( z )dz
P ( Z 0,51) 0,5 0,195 0,305 olur.
eemdersnotlari.com
0
0 , 51
f ( z )dz
İki Oranın Farkının Örnekleme Dağılımı • n1 ve n2 büyüklüğündeki iki rassal örneğin oranları sırasıyla ~ p1 ve ~ p2 olmak üzere oranların farkının ( ~p1 ~p2 ) örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşır ve bu dağılımın ortalama x x ~ ~ p ve p ve standart sapması şöyle olur. (Burada olup, n n x1: 1.örnekteki uygun hal sayısı, x2: 2. örnekteki uygun hal sayısını göstermektedir.) 1
1 1
2
2 2
~p ~p E ( ~p 1 ~p2 ) p1 p2 1
2
~p ~p 1
2
p1 q1 p 2 q 2 n1 n2
• Örnek oranlarının farkı standart değere şöyle dönüştürülür.
Z
(~ p1 ~ p 2 ) ( p1 p 2 ) p1 q1 p 2 q 2 n1 n2
eemdersnotlari.com
• Örnek: Aynı parçayı yapan iki makinenin kusurlu oranlarının sırasıyla p1 = 0,03 ve p2 = 0,02 olduğu bilinmektedir. Bu makinelerden birincisinin ürettiği 200 parça, 2. makinenin ürettiği 150 parça test edildiğinde 1. makinenin kusurlu oranının 2. den %2 daha fazla olma olasılığı ne olur? P(~ p1 ~ p2 ) 0,02 • Çözüm: Problemde durumu sorulmaktadır. Bunun için (p1 – p2) nin örnekleme dağılımı dikkate alınarak Z dönüşümü yapılır.
(~ p1 ~ p2 ) ( p1 p2 ) Z p1 q1 p2 q2 n1 n2 Z
0,02 (0,03 0,02) 0,03 0,97 0,02 0,98 200 150
0,02 0,01 0,01 Z Z 0,6 0,0167 0,000276
P( Z 0,6)
0, 6
0,6
0
0
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0,5 0,2257
P ( Z 0,6) 0,2743 olur. eemdersnotlari.com
Varyansların Örnekleme Dağılımı X 1. X 2 ,...... X n degiskeni Tanım: bağımsız rasgele değişkenler ve
N
S 2
(X i 1
1
X )2
n 1
ise
n21
2
varyanslı normal dağılımlı
(n 1) S 2
2
İstatistiğinin dağılımına v = n–1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı adı verilir. v nin çeşitli değerleri için olasılık yoğunluk fonksiyonun grafikleri aşağıdaki gibidir.
eemdersnotlari.com
• Gamma dağılımında =n/2, β=2 için Ki-kare (2) dağılımı elde edilir. Ki- kare dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır. ( n2)
e 2 f ( x) n n 2 2 ( ) 2 x
2
x
x0
• Normal bir kütleden n büyüklüğünde mümkün olan bütün örnekler çekilerek her birinin varyansı hesaplanırsa varyansların örnekleme dağılımı elde edilir. v= n-1 serbestlik derecesine dayanan ve Ki-kare (2) dağılımına uyan bu dağılım şöyle yazılır.
n21
(n 1) s 2
2
• Ki kare dağılımının değerleri belli olasılık ve serbestlik derecelerine bağlı olarak oluşturulmuş tablolardan bulunur. eemdersnotlari.com
Ki-kare kritik değerleri tablosu 2
0,99
0,98
0,95
0,90
0,75
0,50
0,10
0,05
0,03
0,01
1 0,00
0,00
0,00
0,02
0,10
0,45
2,71
3,84
5,02
6,63
2 0,02
0,05
0,10
0,21
0,58
1,39
4,61
5,99
7,38
9,21
3
0,11
0,22
0,35
0,58
1,21
2,37
6,25
7,81
9,35
11,34
4 0,30
0,48
0,71
1,06
1,92
3,36
7,78
9,49
5 0,55
0,83
1,15
1,61
2,67
4,35
9,24
6 0,87
1,24
1,64
2,20
3,45
5,35 10,64 12,59 14,45 16,81
7 1,24
1,69
2,17
2,83
4,25
6,35 12,02 14,07 16,01 18,48
8 1,65
2,18
2,73
3,49
5,07
7,34 13,36 15,51 17,53 20,09
9 2,09
2,70
3,33
4,17
5,90
8,34 14,68 16,92 19,02 21,67
10 2,56
3,25
3,94
4,87
6,74
9,34 15,99 18,31 20,48 23,21
11 3,05
3,82
4,57
5,58
7,58 10,34 17,28 19,68 21,92 24,72
12 3,57
4,40
5,23
6,30
8,44
13
4,11
5,01
5,89
7,04
9,30 12,34 19,81 22,36 24,74 27,69
14 4,66
5,63
6,57
7,79 10,17 13,34 21,06 23,68 26,12 29,14
15 5,23
6,26
7,26
S.d. (v)
8,55
11,14 13,28
11,07 12,83 15,09
11,34 18,55 21,03 23,34 26,22
11,04 14,34 22,31 25,00 27,49 30,58
eemdersnotlari.com
S.d. (v)
0,99
0,98
0,95
0,90
0,75
0,50
0,10
0,05
0,03
0,01
16
5,81
6,91
7,96
9,31
11,91
15,34
23,54
26,30
28,85
32,00
17
6,41
7,56
8,67
10,09
12,79
16,34
24,77
27,59
30,19
33,41
18
7,01
8,23
9,39
10,86
13,68
17,34
25,99
28,87
31,53
34,81
19
7,63
8,91
10,12
11,65
14,56
18,34
27,20
30,14
32,85
36,19
20
8,26
9,59
10,85
12,44
15,45
19,34
28,41
31,41
34,17
37,57
21
8,90
10,28
11,59
13,24
16,34
20,34
29,62
32,67
35,48
38,93
22
9,54
10,98
12,34
14,04
17,24
21,34
30,81
33,92
36,78
40,29
23 10,20
11,69
13,09
14,85
18,14
22,34
32,01
35,17
38,08
41,64
24 10,86
12,40
13,85
15,66
19,04
23,34
33,20
36,42
39,36
42,98
25 11,52
13,12
14,61
16,47
19,94
24,34
34,38
37,65
40,65
44,31
26 12,20
13,84
15,38
17,29
20,84
25,34
35,56
38,89
41,92
45,64
27 12,88
14,57
16,15
18,11
21,75
26,34
36,74
40,11
43,19
46,96
28 13,56
15,31
16,93
18,94
22,66
27,34
37,92
41,34
44,46
48,28
29 14,26
16,05
17,71
19,77
23,57
28,34
39,09
42,56
45,72
49,59
30 14,95
16,79
18,49
20,60
24,48
29,34
40,26
43,77
46,98
50,89
40 22,16
24,43
26,51
29,05
33,66
39,34
51,81
55,76
59,34
63,69
50 29,71
32,36
34,76
37,69
42,94
49,33
63,17
67,50
71,42
76,15
60 37 48
40 48
43 19
46eemdersnotlari.com 46 52 29 59 33
74 40
79 08
83 30
88 38
TABLO: Olasılıklara Karşılık Gelen Ki-kare ( ) Değerleri Tablosu 2
Olasılıklar (1-α) Serb. Derecesi
0,01
0,025
0,05
0,1
0,2
0,9
0,95
0,975
0,99
1
0,00
0,00
0,00
0,02
0,06
2,71
3,84
5,02
6,63
2
0,02
0,05
0,10
0,21
0,45
4,61
5,99
7,38
9,21
3
0,11
0,22
0,35
0,58
1,01
6,25
7,81
9,35
11,34
4
0,30
0,48
0,71
1,06
1,65
7,78
9,49
11,14
13,28
5
0,55
0,83
1,15
1,61
2,34
9,24
11,07
12,83
15,09
6
0,87
1,24
1,64
2,20
3,07
10,64
12,59
14,45
16,81
7
1,24
1,69
2,17
2,83
3,82
12,02
14,07
16,01
18,48
8
1,65
2,18
2,73
3,49
4,59
13,36
15,51
17,53
20,09
9
2,09
2,70
3,33
4,17
5,38
14,68
16,92
19,02
21,67
10
2,56
3,25
3,94
4,87
6,18
15,99
18,31
20,48
23,21
11
3,05
3,82
4,57
5,58
6,99
17,28
19,68
21,92
24,72
12
3,57
4,40
5,23
6,30
7,81
18,55
21,03
23,34
26,22
13
4,11
5,01
5,89
7,04
8,63
19,81
22,36
24,74
27,69
eemdersnotlari.com
Olasılıklar (1-α)
Serb. Derecesi
0,01
0,025
0,05
0,1
0,2
0,9
0,95
0,975
0,99
14
4,66
5,63
6,57
7,79
9,47
21,06
23,68
26,12
29,14
15
5,23
6,26
7,26
8,55
10,31
22,31
25,00
27,49
30,58
16
5,81
6,91
7,96
9,31
11,15
23,54
26,30
28,85
32,00
17
6,41
7,56
8,67
10,09
12,00
24,77
27,59
30,19
33,41
18
7,01
8,23
9,39
10,86
12,86
25,99
28,87
31,53
34,81
19
7,63
8,91
10,12
11,65
13,72
27,20
30,14
32,85
36,19
20
8,26
9,59
10,85
12,44
14,58
28,41
31,41
34,17
37,57
21
8,90
10,28
11,59
13,24
15,44
29,62
32,67
35,48
38,93
22
9,54
10,98
12,34
14,04
16,31
30,81
33,92
36,78
40,29
23
10,20
11,69
13,09
14,85
17,19
32,01
35,17
38,08
41,64
24
10,86
12,40
13,85
15,66
18,06
33,20
36,42
39,36
42,98
25
11,52
13,12
14,61
16,47
18,94
34,38
37,65
40,65
44,31
26
12,20
13,84
15,38
17,29
19,82
35,56
38,89
41,92
45,64
27
12,88
14,57
16,15
18,11
20,70
36,74
40,11
43,19
46,96
28
13,56
15,31
16,93
18,94
21,59
37,92
41,34
44,46
48,28
29
14,26
16,05
17,71
19,77
22,48
39,09
42,56
45,72
49,59
30
14,95
16,79
18,49
20,60
23,36
40,26
43,77
46,98
50,89
eemdersnotlari.com
• Örnek: Bir mamulün üretim süresinin normal dağıldığı ve varyansının 15 dakika olduğu bilinmektedir. Bu mamulün üretim süresi rasgele seçilen 20 mamul gözlemlendiğinde örneklerin üretim süresinin varyansının en düşük % 10 olasılıkla alabileceği en büyük değer ne olur? • Çözüm: • Verilenler: 2=15 n=20, 1-=0,1 =0,9
n21
(n 1) s 2
2
19 s 2 (20 1) s 2 11,65 11,65 15 15
s 2 9,197 dk. olur.
eemdersnotlari.com
Varyans oranlarının örnekleme dağılımı (F dağılımı) • Eğer X1 ve X2 m ve n serbestlik derecelerine sahip ki- kare dağılımı gösteren birbirinden bağımsız iki rassal değişken ise X1 • F m m ve n serbestlik derecelerinde F dağılımına uyar. X2 n • İki normal kütlenin varyanslarının karşılaştırılmasında F dağılımından faydalanılır. F dağılımının olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.
mn2 ( m2) ( )! 2 m m2 y 2 f ( y) ( ) m2 n2 n m (mn) 2 ( )!( )! (1 y ) 2 2 n eemdersnotlari.com
y0
• Bazı durumlarda iki kütle varyanslarının karşılaştırılması 2 2 gerekebilir. 1 ve 2 iki farklı kütlenin bilinmeyen varyansları olmak üzere bu kütlelerden çekilen örneklerin varyansları s12 ve s 22 kütle varyanslarının tahminleri olur. Bu örnek varyanslarından hareketle kütle varyansları karşılaştırılabilir, hipotezler test edilebilir, güven aralıkları oluşturulabilir. Birbirinden bağımsız iki ki-kare dağılımlı varyansın oranı F dağılımına uygun olarak dağılır. s12 12 F 2 s2 22 Burada payın serbestlik derecesi m-1, paydanın serbestlik derecesi n-1 olup F dağılımı bu iki parametreye bağlı olarak dağılır. F dağılımı için belli olasılıkları ve m-1, n-1 serbestlik dereceleri için olasılık tablolarından faydalanılır. eemdersnotlari.com
= 0,01
Payın serbestlik derecesi Paydanın serbestlk Derecesi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4052,2
4999,5
5403,4
5403,4
5763,6
5859,0
5928,4
5981,1
6022,5
6055,8
2
98,5
99,0
3,8
99,2
99,3
99,3
99,4
99,4
99,4
99,4
3
34,1
30,8
4,0
29,5
28,2
27,9
27,7
27,5
27,3
27,2
4
21,2
18,0
4,4
16,7
15,5
15,2
15,0
14,8
14,7
14,5
5
16,3
13,3
4,9
12,1
11,0
10,7
10,5
10,3
10,2
10,1
6
13,7
10,9
5,3
9,8
8,7
8,5
8,3
8,1
8,0
7,9
7
12,2
9,5
5,7
8,5
7,5
7,2
7,0
6,8
6,7
6,6
8
11,3
8,6
6,0
7,6
6,6
6,4
6,2
6,0
5,9
5,8
9
10,6
8,0
6,2
7,0
6,1
5,8
5,6
5,5
5,4
5,3
10
10,0
7,6
6,6
6,6
5,6
5,4
5,2
5,1
4,9
4,8
11
9,6
7,2
6,6
6,2
5,3
5,1
4,9
4,7
4,6
4,5
12
9,3
6,9
7,0
6,0
5,1
4,8
4,6
4,5
4,4
4,3
13
9,1
6,7
7,0
5,7
4,9
4,6
4,4
4,3
4,2
4,1
14
8,9
6,5
7,0
5,6
4,7
4,5
4,3
4,1
4,0
3,9
15
8,7
6,4
7,6
5,4
4,6
4,3
4,1
4,0
3,9
3,8
eemdersnotlari.com
= 0,01
(Devam) Payın serbestlik derecesi
Paydan Serbest dereces
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
8,5
6,2
7,6
5,3
4,4
4,2
4,0
3,9
3,8
3,7
17
8,4
6,1
7,6
5,2
4,3
4,1
3,9
3,8
3,7
3,6
18
8,3
6,0
7,6
5,1
4,2
4,0
3,8
3,7
3,6
3,5
19
8,2
5,9
7,6
5,0
4,2
3,9
3,8
3,6
3,5
3,4
20
8,1
5,8
7,6
4,9
4,1
3,9
3,7
3,6
3,5
3,4
21
8,0
5,8
7,6
4,9
4,0
3,8
3,6
3,5
3,4
3,3
22
7,9
5,7
7,6
4,8
4,0
3,8
3,6
3,5
3,3
3,3
23
7,9
5,7
8,5
4,8
3,9
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
24
7,8
5,6
8,5
4,7
3,9
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
25
7,8
5,6
8,5
4,7
3,9
3,6
3,5
3,3
3,2
3,1
26
7,7
5,5
8,5
4,6
3,8
3,6
3,4
3,3
3,2
3,1
27
7,7
5,5
8,5
4,6
3,8
3,6
3,4
3,3
3,1
3,1
28
7,6
5,5
8,5
4,6
3,8
3,5
3,4
3,2
3,1
3,0
29
7,6
5,4
8,5
4,5
3,7
3,5
3,3
3,2
3,1
3,0
30
7,6
5,4
8,5
4,5
3,7
3,5
3,3
3,2
3,1
3,0
eemdersnotlari.com
Paydanın serbestlk Derecesi
Payın serbestlik derecesi
1
2
3
4
5
6
= 0,05 7
8
9
10
234 236,8
238,9
240,5
241,9
19,3
19,33 19,35
19,37
19,38
19,4
1
161,4 199,5
216 224,6 230,2
2
18,51 3,555
19,2 19,25
3
10,13 4,103
9,28
9,117 9,013
8,941 8,887
8,845
8,812
8,786
4
7,709 4,737
6,59 6,388 6,256
6,163 6,094
6,041
5,999
5,964
5
6,608 5,143
5,41 5,192
5,05
4,95 4,876
4,818
4,772
4,735
6
5,987 5,786
4,76 4,534 4,387
4,284 4,207
4,147
4,099
4,06
7
5,591 5,786
4,35
3,866 3,787
3,726
3,677
3,637
8
5,318 5,786
4,07 3,838 3,687
3,581
3,5
3,438
3,388
3,347
9
5,117 5,786
3,86 3,633 3,482
3,374 3,293
3,23
3,179
3,137
10
4,965 6,944
3,71 3,478 3,326
3,217 3,135
3,072
3,02
2,978
11
4,844 6,944
3,59 3,357 3,204
3,095 3,012
2,948
2,896
2,854
12
4,747 6,944
3,49 3,259 3,106
2,996 2,913
2,849
2,796
2,753
13
4,667 6,944
3,41 3,179 3,025
2,915 2,832
2,767
2,714
2,671
14
4,6 6,944
3,34
3,112 2,958
2,848 2,764
2,699
2,646
2,602
15
4,543 6,944
3,29 3,056 2,901
2,79 2,707
2,641
2,588
2,544
4,12 3,972
eemdersnotlari.com
• Dağılımın sağ ucu () için F dağılımı kritik değerlerini m-1 ve n-1 serbestlik derecelerine bağlı olarak F tablosundan doğrudan okuyabiliriz. • Dağılımın sol ucu yani (1- ) için kritik değerleri tablodan doğrudan okumak mümkün değildir. Bunun için olasılığına karşılık n-1 ve m-1 serbestlik derecelerine bağlı olarak elde edilen tablo değerinin tersi alınarak kritik değerler elde edilir. • Aşağıdaki şekilde bu durum gösterilmiştir.
eemdersnotlari.com
• Örnek: Varyansları aynı olan iki kütleden 1. sinden 9, 2. sinde 7 örnek rasgele seçildiğinde varyans oranlarının • a) en yüksek %5 olasılıkla alabileceği minimum değeri tahmin ediniz. • b) en düşük %1 olasılıkla varyans oranlarının alabileceği maksimum değeri bulunuz. • Çözüm: a) F F 4,147 olur. , m 1, n 1
• b)
0 , 05, 9 1, 7 1
F1 ,m 1,n 1 F ,m 1,n 1 F0, 01,91, 7 1 F0,99,91, 7 1 0,99 F tablosu olmadığı için 0,01 F tablosuna bakılır ve aşağıdaki işlem yapılır
F0,99,91, 7 1
1 F0, 01, 7 1,91
1 0,156 6,4
eemdersnotlari.com
Örnek • Bir kavşakta kırmızı ışık ihlali yapan araçların oranının%8 olduğu bildirilmiştir. Bu kavşakta 100 araç gözlemlendiğinde; • a) En fazla %4’ünün kırmızı ışık ihlali yapma olasılığı ne olur?
eemdersnotlari.com
Örnek devam • b) En az %6’sının kırmızı ışık ihlali yapma olasılığı ne olur?
• c) İkinci bir kavşakta kırmızı ışık ihlalinin oranının %10 olduğu bildirilmiştir. Bu kavşakta 120 araç gözlemleniyor. Birinci kavşaktaki kırmızı ışık ihlalinin 2. kavşaktan fazla olma olasılığı ne olur?
eemdersnotlari.com
İstatistik Tahmin ve Güven aralıkları • • • • • • • • • •
Nokta tahmini ve aralık tahmini Tahminlerde aranan özellikleri Güven Aralıkları Kütle ortalaması için güven aralığı Kütle oranı için güven aralığı İki kütle ortalamasının farkının güven aralığı İki kütle oranının farkının güven aralığı Varyansların güven aralığı İki kütle varyansının oranlarının güven aralığı Örnek hacminin belirlenmesi eemdersnotlari.com
İstatistik tahmin ve güven aralıkları • Tahmin: Akıl, sezgi yoluyla ya da derlenmiş olan veriler ve istatistik teknikler yardımıyla bir olayın alacağı değerler hakkında kestirim yapma işlemine tahmin adı verilir. İstatistikte örneğe dayanarak kütle parametrelerinin tahminleri yapılabilmektedir. Kütle parametresinin tahmini için tek bir değer bulunabileceği gibi bir değerler aralığı da bulunabilir. Bu sebeple tahmin nokta ve aralık tahmini şeklinde iki kısımda incelenir. Tahmin yoluna, özellikle ana kitlenin çok büyük olduğu ve parametrelerin doğrudan hesaplanmasının mümkün olmadığı durumlarda ya da zaman ve maliyet kısıtlarının varlığı hallerinde başvurulmaktadır. • Nokta tahmini: Bilinmeyen bir kütle parametresini tahmin etmek için kullanılan örnek istatistiğine tahmin edici denir. Bir tahmin edicinin bir tek değerle ifade edilmesine nokta tahmini adı verilir. Kütle ortalaması µ nün tahmincisi X , Kütle varyansının 2 tahmincisi s2 birer nokta tahminidir. eemdersnotlari.com
Tahmin edicilerde aranan istatistik özellikler • Tahmin edicilerin sahip olması gereken istatistik özelliklerini şöyle sıralamak mümkündür. • 1. Sapmasızlık: Eğer bir örnek istatistiğinin beklenen değeri tahmin edilmek istenen ana kütle parametresine eşit ise, söz konusu istatistik ana kitle parametresinin “sapmasız” (sistematik hata içermeyen) bir tahminidir.
E( X ) , E( ~ p ) p ise X ve ~ p sirasiyla ve p ' nin
sapmasız tahmincileridir. • İadeli seçim halinde örneklem varyansı, ana kitle varyansının 2 2 E s σ sapmasız bir tahminidir. Yani; dir. Aynı s2 iadesiz seçimde ise, 2 için sapmalı bir tahmin olmaktadır. Bu durumda 2 sapmasız tahmincisi; ns 2 σ 2 olur. E n 1 eemdersnotlari.com
Tahmin edicilerde aranan istatistik özellikler • 2. Tutarlılık: Örnek hacmi artarken tahmin edici tahmin edilmek istenen kütle parametresine yaklaşıyorsa bu tahmin ediciye tutarlı tahmin edici adı verilir. Örnek ortalaması, X n büyüdükçe ’ye yaklaşacaktır. n N giderken X olur. Çünkü, n = N durumunda X = olacaktır. Yani, tahmin hatası sıfıra eşit olur. • Ancak sapmasızlık ve tutarlılık gerekli olmakla beraber yeterli değildir. Çünkü sapmasız olmayan bir tahmin edicinin tutarlı olması mümkündür. • 3. Etkinlik: Tutarlı tahmin ediciler arasından birinin seçilmesi istendiğinde seçim etkinlik kriterine göre yapılır. Tahmin edicilerin etkinliği varyanslarına dayanır. Hangi örnek istatistiğinin dağılımı daha küçük varyansa sahipse, tahmin olarak o istatistik tercih edilir. • Θ’ nın iki sapmasız tahmincisi ˆ1 veˆ2 olsun Var (ˆ1 ) Var (ˆ2 ) ise ˆ , ˆ den daha etkindir denir. 1
2
eemdersnotlari.com
Tahmin edicilerde aranan istatistik özellikler • Etkinliğin ölçüsü olarak aşağıdaki oran kullanılır. • Var ˆ1 Bu oran 1 den küçükse ˆ1 tahminci, Etkinlik • aksi halde ˆ2 etkin tahmincidir. Var ˆ2 • Örnek: Aynı örnek hacmi için örnek aritmetik ortalaması ve örnek medyanından hangisinin etkin olduğunu belirleyiniz. 2 2 Var ( X )
Var ( Medyan)
n 2n 2 2 /n Var ( X ) 0,64 2 Var ( Medyan) 2n
• Olduğundan aritmetik ortalama medyandan daha etkin tahmin edicidir. • Yeterlilik: Bir tahmin edici tahmin edilmek istenen parametre hakkında örnekte bulunan bütün veriyi kullanıyorsa bu tahmin edicinin yeterli olduğu söylenir. Buna göre örnek aritmetik ortalaması ve oranı yeterli tahmin ediciler oldukları halde mod ve medyan yeterli tahmin ediciler değildir. eemdersnotlari.com
Tahmin edicilerde aranan istatistik özellikler • Nokta tahminleri sapmasız, tutarlı, etkin ve yeterli olsa bile içerdiği hata miktarının belirlenememesi sebebiyle güvenle kullanımı mümkün değildir. Bu sebeple tahminin güven derecesini de beraberinde veren aralık tahminleri kullanılır. • Nokta tahmin metotları olarak önceki kısımlarda görmüş olduğumuz yöntemler kullanılır. Nokta tahmincilerini “en çok benzerlik”, “en küçük kareler” ve “momentler” gibi yöntemlerle belirlemek mümkündür. • Aralık Tahmini (Güven Aralıkları) • Kütle parametresinin tahmini tek bir değer yerine bir değerler aralığı içinde verilmesi istenebilir. Belli bir güvenle bu aralığın tahmin edilmek istenen parametreyi içerdiği söylenebilir. 1- olarak ifade edilen güven düzeyi parametrenin gerçek değerinin 1- olasılıkla belirlenen aralık içinde olduğunu ifade eder. Bununla birlikte aralığın olasılıkla parametreyi içermemesi de muhtemeldir. eemdersnotlari.com
1- Ortalamaların Güven Aralığı • Bilindiği gibi ortalamaların dağılımı kütle varyansının bilinip bilinmemesine göre farklılık göstermektedir. Güven aralıklarının oluşturulmasında da bu durum dikkate alınır. • Kütle varyansının bilindiği durumlarda kütle ortalamasının güven aralığı: • Önceki bölümde örneklerin alındığı kütle ortalaması µ ve varyansı 2 olan normal dağılıma uyduğunda örnek ortalamalarının da ortalaması µ ve varyansı 2/n olan normal dağılıma uyduğu ifade edilmişti. Öte yandan örnek hacmi (n) büyük olduğu zaman ortalamaların örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşmaktadır. • Z/2 yi öyle belirleyelim ki standart normal yoğunluk fonksiyonunun Z/2 ile sonsuz arasındaki integrali /2 olsun. Bu durumda X rassal değişkeni 1- olasılıkla Z
•
/ n
-Z/2 ile Z/2 arasında bulunacağı söylenebilir. eemdersnotlari.com
1- Ortalamaların Güven Aralığı • Şu halde Z değişkeni 1-α güvenle; Z Z
X
Z
n 2 • Aralığında olacaktır. Burada µ yalnız bırakılırsa: 2
σ σ X Zα . μ X Zα olacaktir. n n 2 2
eemdersnotlari.com
1- Ortalamaların Güven Aralığı • Buna göre kütle ortalaması µ nün yukarıda verilen aralık içinde bulunma olasılığı (1-) olacaktır. Bu aralığa µ nün (1-) güven aralığı adı verilir. • Kütle sınırlı, iadesiz seçim yapılıyorsa ve n/N örnekleme oranı %5 ten büyükse güven aralığı sınırlı kütle düzeltme faktörü kullanılarak şöyle yazılır.
σ σ N n N n X Zα . μ X Zα N 1 N 1 n n 2 2 N n • N 1
faktörüne sınırlı kütle düzeltme faktörü adı verilir.
eemdersnotlari.com
1- Ortalamaların Güven Aralığı • Kütle varyansının bilinmediği durumlarda kütle ortalamasının güven aralığı: • Gerçek kütle varyansı çoğu zaman bilinmez. Kütle varyansı 2 bilinmediği zaman kütlenin dağılımı normal olmak kaydıyla kütle ortalaması µ’nün (1-) güven aralığı t dağılımı ile belirlenir. Normal bir kütleden çekilen n büyüklüğündeki rassal bir örnek için X nin S n dağılımı n-1 serbestlik dereceli t dağılımına uyar. • Buna göre kütle varyansı bilinmeyen bir kütleden çekilen n birimlik bir örneğe dayanarak kütle ortalamasının (1-) güven aralığı şöyle yazılır. X tα 2
, n 1
.
S S μ X tα , n 1 n n 2 eemdersnotlari.com
1- Ortalamaların Güven Aralığı • Eğer kütle sınırlı ve iadesiz seçim yapılıyorsa µ’nün (1-) güven aralığı düzeltme faktörü kullanılarak şöyle yazılır.
S N n S N n X tα . μ X tα , n 1 N 1 N 1 n n 2 2 • Eğer örnek hacmi büyükse (n>30) kütlenin dağılımına bakılmaksızın ortalamanın Dağılımının normal olduğu kabul edilerek güven aralığı oluşturulur. Ancak küçük örneklerde (n<30) kütlenin dağılımı normal değilse teorik bir çözüm belirtilmez. eemdersnotlari.com
Ortalamaların Güven Aralığı – Örnek• Örnek: Bir cins elektrik ampulünün ortalama ömrü tahmin edilmek isteniyor. Geçmiş verilerden bu ampullerin ömrünün standart sapmasının 120 saat olduğu bilinmektedir. Bu ampullerden 36 tane rasgele alınıp ömür testine tabi tutulduğunda ömürlerinin ortalamasının 1500 saat olduğu görülüyor.%95 güvenle bu ampullerin ortalama ömrünü tahmin ediniz. • Çözüm: • Verilenler: 120, n 36, X 1500, (1 ) 0,95 olup 0,05 • Z/2 = Z0,05/2 = Z0,025 = 1,96 σ σ X Zα . μ X Zα n n 2 2 120 120 1500 1,96 1500 1,96 36 36
1460,8 1539,2 saat eemdersnotlari.com
Ortalamaların Güven Aralığı – Örnek• Örnek: A marka otomobillerin 10 lt benzinle şehir içinde almış olduğu yolun normal dağıldığı biliniyor. Bu otomobillerle yapılan 16 ölçümde 10 lt yakıtla alının yolun ortalaması 90 km. standart sapması 12 km olarak bulunmuştur. Bu verilere göre %95 güvenle bu A marka otomobillerin şehir içinde aldığı yolun ortalamasını tahmin ediniz. • Çözüm: Kütle standart sapması bilinmiyor ancak kütlenin dağılımı normal olduğundan örnek hacmi küçük olup ortalamaların dağılımı t dağılımına uyar. • Veriler: n 16, X 90, S 12, 1 0,95 olup t /2,sd t0,025,15 2,13
S S μ X tα X tα . , n 1 , n 1 n n 2 2 12 12 90 2,13 90 2,13 16 16
83,61 96,39 km eemdersnotlari.com
Tablo: t dağılımı tablosu Olasılık (α)
Serbestlik derecesi
0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
0,001
1
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
318,309
2
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
22,327
3
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
10,215
4
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
7,173
5
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
5,893
6
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
5,208
7
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
4,785
8
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
4,501
9
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
4,297
10
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
4,144
11
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
4,025
12
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
3,930
13
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,852
14
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
3,787
15
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
3,733
eemdersnotlari.com
t dağılım tablosu (devam) Olasılık (α)
Serbestlik derecesi
0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
0,001
16
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,686
17
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,646
18
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,610
19
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,579
20
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,552
21
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,527
22
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,505
23
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,485
24
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,467
25
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,450
26
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
3,435
27
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,421
28
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,408
29
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,396
30
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,385
eemdersnotlari.com
2- Oranların güven aralığı • n Bağımsız deneme olmak üzere bu deneylerin uygun ve uygun olmayan haller şeklinde sadece iki sonucu varsa bu tür deneyler binom dağılımına uymaktadır. n ve p binom dağılımının parametreleri olup n bilindiğinde p nin tahmini mümkündür. Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı E(X) = np ve Var(X) = npq dur. X ~ p • X uygun hal sayısı olmak üzere olup bu oranın n beklenen değeri alınırsa; X 1 ~ E ( p ) E np p olur. n n
X • n büyük olduğu zaman n yani ~ yaklaşır. p nin varyansı ise
X Var n
~ p nin dağılımı normale
npq pq 1 olur. 2 . Var (X) 2 n n n eemdersnotlari.com
2- Oranların güven aralığı • p’ nin 1- güven aralığı normal dağılım varsayımı ile şöyle yazılır. ~ ~ pq~ X pq~ yani p Zα n n n 2 ~ ~ ~ ~ p q p q ~ p Z p Z p ~ n n 2 2 X Zα n 2
eemdersnotlari.com
2- Oranların güven aralığı • Örnek: Bir bölgede 30 yaşın üzerindeki kişilerde şeker hastası oranını tahmin etmek amacıyla rasgele 200 kişi seçilmiş ve bunların 24 tanesinin şeker hastası olduğu görülmüştür. Bu verilere göre bu bölgedeki şeker hastası oranını %99 güvenle tahmin ediniz. • Çözüm: 24 ~ p ~ p 0,12 200 ~ p Z 2
q~ 0,88 n 200 1 0,99 0,01 Z / 2 Z 0,005 2,58
~ pq~ p ~ p Z n 2
~ 0,12 0,88 pq~ 0,12 0,88 0,12 2,58 p 0,12 2,58 200 n 200
0,061 p 0,179 olur. eemdersnotlari.com
Problem • Bir şehrin ortalama su tüketimini tahmin etmek amacıyla rassal olarak yapılan 36 günlük araştırmada ortalama tüketimin 120 bin ton, standart sapmasının 14 bin ton olduğu görülmüştür. • a) %95 güvenle şehrin günlük ortalama su tüketimini tahmin ediniz. • b) Şehrin iletim hattının kapasitesinin 145 bin ton olduğu bilindiğine göre herhangi bir günde arz yetersizliği sebebiyle (talebin karşılanamaması sebebiyle) şehirde su kesintisi olma olasılığını tahmin ediniz.
eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
Problem • Bir seramik fabrikasında üretilen fayanslar bir metrekarelik kutulara konarak pazarlanmaktadır. Kutulardaki fayanslar kusurlu olabilmektedir. Kusurlu fayans içeren kutu oranını tahmin etmek için 150 kutu rastgele seçiliyor. • a) Seçilen kutuların 6 tanesinde kusurlu fayansa rastlandığına göre %98 güvenle kusurlu fayans içeren kutu oranını tahmin ediniz. • b) Bu 150 kutu için kusurlu fayans içeren kutu oranı 0,025 ile 0,055 olduğu hesaplandığına göre tahminin güven düzeyini belirleyiniz.
eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com
eemdersnotlari.com