BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kombinatorika mempunyai beberapa aspek, yaitu enumerasi, teori graf, dan konfigurasi atau penyusunan. Enumerasi membahas penghitungan susunan berbagai tipe. Sebagai contoh: (i) menghitung banyaknya cara memilih 2 kartu jantung (heart) dalam satu set kartu bridge dalam satu pengambilan, (ii) menghitung banyaknya cara menyusun 16 siswa kelas II salah satu SMA di Yogyakarta ke dalam 4 grup atas 4 anggota, (iii) menyusun 12 buku berbeda dengan urutan tertentu. Cara paling mudah melakukan enumerasi adalah mendaftar semua kemungkinan yang terjadi. Untuk permasalahan dengan cacah bilangan yang kecil tidak menjadi masalah, tetapi untuk permasalahan yang melibatkan cacah bilangan yang cukup besar menjadi tidak efektif dan efisien. Kombinatorika memberikan metode untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan tersebut.
B. Tujuan dan Sasaran Tulisan ini bertujuan memberi gambaran bagi para pembaca yang tertarik dengan masalah kombinatorika, khususnya para siswa sekolah menengah atas.
C. Ruang Lingkup Materi yang diberikan meliputi: Aturan Penjumlahan, Aturan Perkalian, Prinsip Inklusi-Eksklusi, Permutasi dan Kombinasi, Koefisien Binomial dan
1
Multinomial, Pemilihan dengan dan tanpa pengembalian, Prinsip Sarang Merpati, dan Relasi Rekurensi.
D. Pedoman Penggunaan Paket Paket ini dimulai dengan pemaparan pengertian dasar dan sifat-sifatnya. Contoh diberikan pada setiap pembahasan pengertian yang disampaikan dengan pembahasan yang lengkap. Pembaca diharapkan mengembangkan pemahaman materi melalui soal-soal di dalam latihan, sehingga jawaban latihan hanya merupakan kunci saja. Di samping itu contoh dan latihan diusahakan memberikan gambaran pemakaiannya pada beberapa masalah sehari-hari. Dari contoh dan latihan yang dipaparkan diharapkan pembaca dapat mengerjakan masalah-masalah sejenis atau yang dapat diselesaikan dengan materi tersebut.
2
BAB II PENGERTIAN DASAR Masalah di dalam kombinatorika dapat beraneka-ragam. Untuk dapat mengikuti tulisan ini, diperlukan pengertian-pengertian dasar, seperti: himpunan, barisan aritmetika dan barisan geometri, pembagi persekutuan terbesar (great common divisor / GCD), induksi matematika, dan fungsi. Pada bagian ini hanya disampaikan pengertian fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif. Pengertian bilangan modulo diberikan di dalam pembahasan Prinsip Sarang Merpati.
A. Aturan Penjumlahan dan Perkalian 1 Aturan Penjumlahan Prinsip ini mengambil dasar bahwa jika A1 , A2 ,, Ak adalah himpunan yang saling k
asing dengan kardinal hingga dan A Ai , maka i 1
k
A Ai . i 1
2. Aturan Perkalian Jika suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah dengan sifat untuk setiap langkah ke-i, i 1,2,3,, k , dapat dikerjakan dalam ni cara maka keseluruhan pekerjaan dapat dilaksanakan dalam n1 n2 nk cara.
Contoh 2.1: 1. Sekelompok siswa terdiri dari 4 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Berapa banyaknya cara memilih satu siswa wakil pria dan satu siswa wakil perempuan?
3
Jawab: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil siswa laki-laki, dan 3 kemungkinan memilih satu wakil siswa permpuan. Jika dua siswa dipilih, masingmasing 1 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan, maka banyaknya cara pemilihan adalah 4 3 12.
2. Perpustakaan "Rajin Membaca" mempunyai 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Perancis, dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Diketahui masingmasing buku mempunyai judul yang berbeda. Berapa banyaknya cara memilih a. 3 buah buku yang meliputi tiap bahasa yang berbeda? Jawab: banyaknya cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari bahasa berbeda, adalah 6 8 10 480 cara. b. 1 buah buku? Jawab: banyaknya cara memilih 1 buah buku adalah 6 + 8 + 10 = 24 cara.
3. Sekelompok siswa terdiri dari 4 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Berapa banyaknya cara memilih satu siswa dari kelompok tersebut? Jawab: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil siswa laki-laki, dan 3 kemungkinan memilih satu wakil siswa permpuan. Jika satu siswa dipilih, maka banyaknya cara pemilihan adalah 4 + 3 = 7.
Latihan 2.1 1. Jika tiga dadu seimbang yang berbeda dilemparkan, berapa banyaknya kemungkinan angka yang muncul? 2. Dua dadu berwarna merah dan putih. Berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka 9 atau 5? 8 cara 3. Suatu pabrik makanan kaleng memberi kode pada produknya dengan kode yang terdiri 3 huruf diikuti 4 angka (misalkan ABD2531). a. Jika huruf maupun angka boleh berulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat pabrik tersebut?
4
b. Jika hanya huruf yang dapat diulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat pabrik tersebut? c. Jika hanya angka yang dapat diulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat pabrik tersebut? d. Jika angka dan huruf tidak boleh diulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat pabrik tersebut?
Jawaban Latihan 2.1: 1. 63
3. a. (26)3×104
2. 8 cara
b. (26)3×10 ×9×8×7 c. 26 × 25 ×24 ×104 d. 26 × 25 ×24×10 ×9×8×7
B. Prinsip Inklusi-Eksklusi Dasar prinsip inklusi-eksklusi adalah
A B A B A B .
(1)
Selanjutnya, prinsip (1) diperluas menjadi n
Ai
i 1
n
Ai Ai A j i 1
i j
i j k
Ai A j Ak (1)
n1
n
Ai .
(2)
i 1
Dengan induksi matematika, tunjukkan pernyataan di dalam (2)! Contoh 2.2: 1. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 3 atau 7! Jawab: Katakan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 7. Diperoleh A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ..., 99}, B = { 7, 14, 21, 28, ..., 98}, dan
5
A B = {21, 42, 63, 84}. Berarti, |A| = 33, |B| =14, dan | A B| = 4, sehingga | A B| = |A| + |B| – | A B| = 33 + 14 – 3 = 44. Jadi banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 3 atau 7 adalah 44 bilangan. 2. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 3 atau 4 atau 7! Jawab: Gunakan prinsip | A B C| = |A| + |B| + |C| – | A B – | A C| – | B C| + | A B C|.
C. Relasi dan Fungsi Pembahasan bagian ini hanya sebatas yang diperlukan untuk memahami tulisan di dalam pembahasan berikutnya. Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi R dari A ke B adalah aturan yang mengawankan anggota-anggota A ke anggota B. Contoh 2.3: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} dan B = {a, i, u, e, o}. Aturan yang mengawankan anggota A ke anggota B diberikan dengan ”setiap nama anggota A dikawankan dengan huruf hidup yang termuat di dalam nama yang bersesuaian”. Dengan menggunakan diagram panah, relasi tersebut dapat digambarkan dalam Gambar 2.1.
Tini Tono Tata Teteh A
a i u e o B
Gambar 2.1
6
Relasi f dari A ke B dengan sifat bahwa setiap anggota A mempunyai kawan tunggal di B disebut fungsi. Selanjutnya, A disebut domain fungsi f (dituliskan Df) dan B disebut kodomain f. Daerah hasil (range) fungsi f, dituliskan Rf, didefinisikan dengan R f { y / y f ( x), x A, y B }.
Penulisan Rf dinyatakan juga seperti berikut R f { y B : y f ( x), x A}.
Perhatikan bahwa Rf B. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil sama dengan kodomain (Rf = B), fungsi f dikatakan surjektif atau onto. Lebih lanjut, jika fungsi f mempunyai sifat bahwa setiap anggota Rf menjadi kawan tunggal anggota A, fungsi f dikatakan injektif. Fungsi yang sekaligus surjektif dan injektif disebut fungsi bijektif. Pada Contoh 2.3, relasi yang diberikan pada Gambar 2.1 merupakan fungsi, sebab setiap anggota A mempunyai kawan tunggal di B. Katakan fungsi tersebut dinyatakan dengan f. Perhatikan bahwa Rf = {a, i, e, o}. Fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sebab setiap anggota Rf menjadi kawan tunggal anggota A. Karena Rf ≠ B, maka fungsi tersebut bukan fungsi surjektif. Akibatnya, fungsi tersebut bukan fungsi bijektif. Contoh 2.4: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} ke C = {Laki-laki, Perempuan}. Fungsi g dari A ke C diberikan di dalam diagram panah pada Gambar 2.2!
Tini Tono Tata Teteh
A
Laki-laki
Perempuan
o C
Gambar 2.2 Pada Contoh 2.4 ini, fungsi g mempunyai Rg = {Laki-laki, Perempuan} = C. Berarti g merupakan fungsi surjektif. Namun, perhatikan bahwa anggota dari C, yaitu Laki-laki, tidak menjadi kawan tunggal dari anggota A. Dengan demikian, g bukan fungsi injektif. Akibatnya, g bukan fungsi bijektif.
7
Contoh 2.5: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} ke D = {Ta, Te, Ti, To}. Fungsi h dari A ke D diberikan di dalam diagram panah pada Gambar 2.3!
Tini Tono Tata Teteh
A
Ta Te Ti To
o D
Gambar 2.3 Fungsi h mempunyai Rh = { Ta, Te, Ti, To } = D. Berarti g merupakan fungsi surjektif. Perhatikan bahwa setiap anggota anggota Rh = D menjadi kawan tunggal dari anggota A. Dengan demikian, h fungsi injektif. Akibatnya, h fungsi bijektif.
Latihan 2.2: Diketahui S = {x : x bilangan bulat di antara -3 dan 7}, T = { x : x huruf hidup}, dan U = { x : x bilangan bulat positif yang kuadratnya kurang dari 36}. 1. Buatlah fungsi a. dari S ke T! b. dari T ke S! c. dari S ke U! d. dari T ke U! 2. Dapatkah Anda membuat fungsi surjektif a. dari S ke T? b. dari T ke S? c. dari S ke U? d. dari T ke U?
8
3. Dapatkah Anda membuat fungsi injektif a. dari S ke T? b. dari T ke S? c. dari S ke U? d. dari T ke U? 4. Dapatkah Anda membuat fungsi bijektif a. dari S ke T? b. dari T ke S? c. dari S ke U? d. dari T ke U?
Jawaban Latihan 2.2: 2 a. Bisa
3
a. Tidak bisa
4 a. Tidak bisa
b. Tidak bisa
b. Bisa
b. Tidak bisa
c. Bisa
c. Tidak bisa
c. Tidak bisa
d. Bisa
d. Bisa
d. Bisa
9
BAB III PERMUTASI DAN KOMBINASI SERTA PEMAKAIANNYA
A. Permutasi dan Kombinasi Pembahasan permutasi dan kombinasi mendasarkan pada pengertian faktorial. Untuk bilangan asli n, didefinisikan
n! 1 2 3 n. Selanjutnya, didefinisikan
0! 1 . Permasalahan permutasi adalah menentukan banyaknya penyusunan yang berbeda dalam pengaturan obyek-obyek. Permutasi merupakan bentuk khusus dari penggunaan aturan perkalian. Jika banyaknya obyek yang disusun adalah n, maka urutan pertama dipilih dari n obyek, urutan ke-2 dipilih dari (n-1) obyek, urutan ke-3 dipilih dari (n-2) obyek, dan seterusnya hingga urutan ke-n dipilih dari 1 obyek. Dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya permutasi n obyek adalah n(n-1)(n-2) (2)(1) = n!.
Permutasi r dari n elemen, P(n, r), adalah banyaknya kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam pemilihan ini urutan diperhatikan. Dalam permutasi susunan ab berbeda dengan susunan ba.
Perhatikan bahwa pada permutasi r dari n elemen,urutan pertama ditempati oleh satu elemen dari n elemen, urutan ke-2 ditempati oleh satu elemen dari (n-1) elemen, urutan ke3 ditempati oleh satu elemen dari (n-2) elemen, dan seterusnya hingga urutan ke-r ditempati oleh satu elemen dari (n-r+1) elemen. Dengan demikian, banyaknya permutasi r dari n elemen adalah
10
n(n-1)(n-2) (n-r+1) =
n! . (n r )!
Jadi P(n, r )
n! . (n r )!
n Persoalan kombinasi C(n, r) = adalah menghitung banyaknya himpunan r
bagian dengan r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dengan demikian beberapa himpunan dengan elemen-elemen sama (meskipun urutan berbeda) merupakan himpunan yang sama, sehingga dihitung sekali. Perhatikan bahwa himpunan {a,b} dapat juga dituliskan dengan {b, a}. Perhatikan bahwa ada sebanyak r! buah himpunan atas r elemen yang sama. Dengan demikian, C(n, r) r! = P(n, r), sehingga C(n, r) =
P(n, r ) n! . r! r!(n r )!
Jadi n n! . C (n, r ) r r!(n r )! n Kombinasi C(n, r) = dapat juga dipandang sebagai banyaknya cara pemilihan r r
buah elemen dari n buah elemen. Pada kombinasi urutan tidak diperhatikan, ab dipandang sama dengan ba.
Hal penting yang perlu diperhatikan adalah penyusunan dilakukan dalam suatu deret atau dalam lingkaran. Dalam penyusunan dalam lingkaran, dua pengaturan atau lebih
11
dikatakan sama jika urutan di sebelah kiri dan kanan tidak berubah. Jadi ketiga pengaturan di Gambar 3.1 adalah sama.
A
C
B
A B
C
B
C A
Gambar 3.1
Perluasan permutasi dan kombinasi diberikan sebagai berikut. Diketahui n obyek terdiri dari k item dengan cacah masing-masing item berturut-turut adalah n1 item pertama, n2 item ke-dua, , n k item ke-k. Banyaknya cara pengaturan n obyek tersebut adalah
n! . n1!n2 ! nk !
Perhatikan bahwa n! P(n; n1 , n2 ,, nk ) C (n; n1 , n2 ,, nk ). n1!n2 ! nk !
Contoh 3.1: 1. Seorang pelatih volley akan memilih pemain-pemain di dalam tim utama, tanpa memperhatikan komposisi pemain, yang akan diturunkan dalam suatu pertandingan. Ada 12 orang yang dapat dipilih. Berapa cara tim yang dapat dibentuknya? Jawab: Dalam pemilihan ini tidak diperhatikan komposisi pemain, sehingga 12 banyaknya cara adalah = 924 cara. 6
2. Dalam suatu acara pariwisata ke pulau Bali, 20 orang berminat naik bus I. Bus I hanya diijinkan untuk 40 penumpang dan ternyata sudah ada 32 orang di bus I. Berapa banyak cara memilih 8 orang yang dapat naik di bus I?
12
20 Jawab: Dari 20 orang dipilih 8 orang. Jadi banyaknya cara memilih adalah . 8
3. Dalam suatu perlombaan menggambar hadir 15 peserta. Panitia hanya ingin mengambil 3 pemenang saja. Berapa banyak cara memilih 3 pemenang dari peserta tersebut untuk diberi gelar juara I, II, dan III? Jawab: Perhatikan bahwa dalam masalah ini urutan diperhatikan, karena seseorang menjadi juara I dan juara II tidaklah sama. Jadi banyaknya cara melakukan pemilihan adalah P(15, 3) = 2730 cara. 4. Suatu kelompok terdiri dari 7 pria dan 3 wanita. Ada berapa cara berbaris yang mungkin jika ketiga wanita tersebut harus berdiri bersebelahan satu sama lain? Jawab: Cara mengatur wanita untuk selalu berbaris bersebelahan adalah 3! = 6 cara. Dengan demikian, banyaknya cara berbaris dengan syarat ketiga wanita selalu bersebelahan adalah 6(8!) = 241920 cara.
Latihan 3.1 n n . 1. Tunjukkan bahwa untuk bilangan bulat r, 0 ≤ r ≤ n, berlaku r n r
2. Tunjukkan bahwa untuk bilangan bulat positif r, r ≤ n, berlaku n 1 n n . r r r 1
3. Suatu komite dibentuk untuk mengawasi pelaksanaan pemilihan presiden. Komite tersebut beranggotakan 8 orang. Jika tersedia 12 orang wanita dan 15 orang pria, berapa banyak cara penyusunan komite jika a. komite terdiri dari 4 pria dan 4 wanita? b. paling sedikit 1 pria di dalam komite tersebut? c. komite mempunyai anggota pria lebih banyak daripada anggota wanita? 4. Sepuluh Perdana Menteri negara penghasil minyak di dunia duduk dalam rapat meja bundar di Kuwait. Sebuah kursi tertentu sudah ditandai untuk Perdana Menteri
13
Kuwait. Berapa banyak cara penyusunan tempat duduk untuk kesepuluh perdana menteri tersebut? 5. Ada n pelamar sedang antri wawancara tahap I untuk suatu pekerjaan tertentu. Pada tahap ini hanya seleksi administratif sehingga wawancara dilakukan r pelamar dapat masuk sekaligus untuk didudukkan dalam kursi berbentuk lingkaran dengan r kursi. Berapa banyaknya cara pemilihan r pelamar tersebut untuk wawancara yang dilakukan dalam sususnan lingkaran? 6. Perhatikan papan catur 5 5 dengan aturan tambahan yang menyatakan: "Suatu bidak hanya boleh bergerak ke kanan dan ke atas saja". Jika bidak tersebut ditempatkan di diagonal kiri bawah, berapa banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk membawa bidak ke diagonal atas kanan? 7. Berapa banyak cara menyusun kata berdasarkan huruf-huruf di dalam kata "COMMITTEE"? 8. Diberikan 12 kertas akan diwarnai sehingga 3 berwarna hijau, 2 berwarna merah, 5 bernwarna kuning, dan sisanya biru. Berapa banyaknya cara pewarnaan? 9. Diketahui A = {1, 2, 3, , m} dan B = {p, q}. Berapa banyaknya a. fungsi yang dapat dibuat dari A ke B? b. fungsi surjektif yang dapat dibuat dari A ke B? c. fungsi tidak surjektif yang dapat dibuat dari A ke B? d. fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B? e. fungsi bijektif yang dapat dibuat dari A ke B?
10. Berapa banyaknya bilangan bulat positif yang merupakan faktor 30030? (Jawab: 26) 11. Sepuluh siswa, termasuk Tono dan Tina, mengumpulkan tugas membuat kliping kebersihan kota. Berapa cara yang dapat dilakukan agar supaya kliping milik Tono dan Tina tertentu tidak berurutan? n k 1 k 2 n . k k 0 2 n
12. Buktikan bahwa
14
Jawaban Latihan 3.1: Hanya diberikan untuk nomor genap! 4. Banyaknya cara penyusunan tempat duduk adalah 9! = 362880. 10 6. Ada = 252 cara. 5
8. Ada
12! = 1386 cara pewarnaan. 1!1!2!1!2!2!
10. Ada 26 = 64.
B. Koefisien Binomial dan Multinomial Pada kombinatorika, koefisien Binomial dapat diturunkan menggunakan kombinasi. Perhatikan rumus Binomium Newton
a b n
n n n n 1 n 1 n o n a b a b a n b o a n 1b1 a n 2 b 2 0 1 2 n 1 n . n n n n 1 1 n n 2 2 n 1 n 1 n n a b b . a a b a b 0 1 2 n 1 n
Permasalahan yang dapat diturunkan dengan menggunakan koefisien binomial disebut masalah binomial dan proses penurunannya disebut proses binomial. Terkait dengan koefisien binomial adalah Segitiga Pascal.
Selanjutnya, koefisien binomial diperluas menjadi koefisien multinomial berdasarkan prinsip multinomial.
x1 x2 xn n
q1 q2 qk n
n! q q q x1 1 x2 2 xn k . q1!q2 !qk !
Contoh 3.2: 1. Berapa koefisien 2. x 2 y 3 dalam penjabaran x y 5 ? Jawab:
5! 20 10. 2!3! 2
15
3. Berapa koefisien x 2 y 3 dalam x 4y 5 ? Jawab: (4) 3
5! (64)10 640. 2!3!
4. Berapa koefisien x 2 y 3 z dalam x 2 y z 6 ? Jawab: (2) 3 (1)
6! (8)(60) 480. 2!3!1!
C. Pemilihan dengan atau tanpa pengembalian Pemilihan beberapa obyek dari keseluruhan obyek yang tersedia dapat dilakukan dengan memberikan syarat: 1. pengembalian (sesudah mengambil dikembalikan lagi). Pemilihan dengan cara ini memungkinkan obyek yang sudah terpilih dapat terpilih lagi. 2. tanpa pengembalian (sesudah mengambil tidak boleh dikembalikan lagi). Jadi yang sudah terambil tidak akan terpilih lagi.
Berikut diberikan contoh permasalahan yang menggunakan prinsip ini. Suatu kotak berisi 5 buah bola berwarna merah, 3 buah bola berwarna biru, dan 4 buah bola berwarna hijau. Diambil 3 buah bola dari kotak tersebut. Tentukan banyaknya cara untuk mendapatkan bola dengan ketiga warna tersebut jika pemilihan dilakukan a. satu-persatu dengan pengembalian. b. sekaligus.
Teorema 3.1: Banyaknya pemilihan tak berurutan sebanyak r dari n yang n r 1 . memperbolehkan pengulangan adalah r
16
Bukti: Pada pembuktian, yang dimaksud xi 0s adalah 000 dengan banyaknya komponen 0 adalah xi . Sebarang pemilihan akan terdiri dari x1 pemilihan obyek pertama, x 2 pemilihan obyek kedua, dan seterusnya dengan x1 x2 xn r . Dengan demikian, banyaknya pemilihan adalah banyaknya penyelesaian bilangan bulat non-negatif persamaan x1 x2 xn r .
Penyelesaian x1 , x2 ,, xn dapat dinyatakan dalam barisan biner: x1 0s, x2 0s,, xn 0s .
Angka 1 menunjukkan suatu perpindahan dari satu obyek ke obyek berikutnya. Sebagai contoh, penyelesaian x1 2, x2 0, x3 2, x4 1 dari x1 x2 x3 x4 5 berkorespondensi dengan barisan biner 00110010. Pada x1 x2 xn r , terdapat (n1)1s dan r0s, sehingga setiap barisan mempunyai panjang n+r-1 yang memuat tepat r buah digit 0. Perhatikan bahwa, r buah digit 0 dapat berada di n+r-1 tempat, sehingga banyaknya pemilihan tak berurutan dengan pengembalian diperbolehkan adalah n r 1 , yaitu banyaknya cara memilih r tempat dari n+r-1. r
Akibat 3.2: Banyaknya penyelesaian bilangan bulat tak negatif persamaan n r 1 . x1 x2 xn r adalah r
Contoh 3.3: 1. Banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x1 x2 x3 20 adalah 3 20 1 22 . 20 20
2. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x1 x2 x3 20 , dengan
x1 0 ?
17
Jawab: Karena x1 0 , berarti x1 1 0 . Dengan mengambil x1* x1 1 , maka masalah menjadi x1* x2 x3 19 . Dengan demikian, banyaknya bilangan bulat 3 19 1 21 . yang dicari adalah 19 19
3. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x1 x2 x3 20 , dengan
0 x1 9 ? Jawab: Jawaban adalah nilai di jawaban soal no 2 dikurangi nilai dari cacah penyelesaian bulat tak negatif dengan syarat x1 9 .
Latihan 3.2 1. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x1 x2 x3 x4 25 ? 2. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x1 4 x2 x3 15 dengan syarat x1 2 dan x2 0 ? 3. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari x y z 0 dengan syarat x 1 , y 2 , dan z 3 ?
4. Berapa banyaknya cara menyusun 8 tanda + dan 3 tanda – dalam suatu baris sehingga tidak ada 2 tanda – yang berdampingan?
Jawaban Latihan 3.2: 1. Ada 3.276 buah penyelesaian.
2. Ada 136 buah penyelesaian.
3. Ada 10 buah penyelesaian.
4. Ada 84 cara.
18
BAB IV PRINSIP SARANG MERPATI ( PIGEONHOLE PRINCIPLE) Prinsip ini hanya digunakan untuk menunjukkan adanya item (obyek) dengan sifat tertentu, bukan untuk menemukan obyeknya atau banyaknya obyek dengan sifat yang telah ditentukan. Prinsip ini mempunyai 3 versi, yaitu: Bentuk I: sebanyak r merpati masuk ke dalam n sangkar, dengan r > n, maka terdapat paling sedikit satu sangkar yang terisi dua ekor atau lebih merpati. Bentuk II: Jika f adalah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunan berhingga Y dan |X| > |Y|, maka terdapat x1, x2 , x1 x2 , dengan f ( x1 ) f ( x2 ) . Pada bentuk II, X menyatakan himpunan merpati dan Y menyatakan himpunan sangkar. n Pada bentuk III berikut, yang dimaksud dengan adalah bilangan bulat terbesar m
yang lebih kecil dari
n . m
Bentuk III: Jika f adalah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunan berhingga n Y dengan |X| = n, |Y| = m, dan k = , maka terdapat x1, x2 , x1 x2 ,, xk X m
dengan f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xk ) . Permasalahan menggunakan prinsip ini memerlukan penalaran yang cukup disamping pengertian fungsi. Pengertian lain terkait dengan permasalahan ini adalah pengertian modulo. Dua bilangan bulat x dan y dikatakan kongruen modulo n, dituliskan x y (mod n), jika x – y habis dibagi n.
19
Catatan: x y (mod n) dibaca “x kongruen dengan y modulo n”.
Sifat 4.1: Untuk setiap bilangan bulat x, y, dan z berlaku (i)
x x(mod n).
(ii)
jika x y (mod n) maka y x (mod n).
(iii)
jika { x y (mod n) dan y z (mod n)}, maka x z (mod n).
Contoh 4.1: Tunjukkan bahwa pernyataan berikut benar: “Dari 52 buah bilangan bulat, maka terdapat 2 buah bilangan yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 100”. Jawab: Katakan a1, a2, , a52 adalah 52 buah bilangan bulat yang dimaksud. Dicari bilangan bulat i dan j dengan 1 i j 52 dengan sifat ai + aj
ai – aj
atau
habis dibagi 100. Katakan ri ai (mod 100). Dengan kata lain, ri adalah sisa pembagian ai oleh 100. Berarti ai = qi 100 + ri untuk suatu qi Z, untuk i = 1, 2, , 52. Didefinisikan
r si i 100 ri
, ri 50 , ri 50.
Ada 50 + 1 = 51 kemungkinan nilai si, yaitu 0, 1, 2, , 50. Karena ada 52 buah bilangan bulat, maka ada i dan j dengan i j dan ri r j si s j si ri
atau dan
100 ri 100 r j s j 100 r j .
Perhatikan bahwa terdapat qi,qj Z, ai = qi 100 + ri aj = qj 100 + rj
20
Jika si = ri = rj = sj, berarti ai = qi 100 + ri aj = qj 100 + rj= qj 100 + ri sehingga ai - aj habis dibagi 100.
Jika si = sj, dengan 100 – ri = 100 – rj , maka ri – rj = 0. Akibatnya, ai - aj = (qi – qj ) 100. Jadi ai - aj habis dibagi 100.
Jika si = ri, dengan sj = 100 – rj. Karena si = sj, maka ri = 100 – rj ri + rj = 100. Akibatnya, ai + aj = qi 100 + ri + qj 100 + rj= (qi + qj + 1) 100. Jadi ai + aj habis dibagi 100.
Latihan 4.1 1. Buktikan Sifat 4.1! 2. Diketahui n buah bilangan bulat. Tunjukkan bahwa ada salah satu atau jumlah beberapa bilangan tersebut habis dibagi n! 3. Diambil (n+1) anggota dari himpunan A = {1, 2, 3, , 2n}. Tunjukkan bahwa a. terdapat x, y A dengan x, y relatif prima! b. Terdapat x, y A dengan x | y atau y | x ! 4. Dua puluh lima team bola basket memasuki turnamen yang akan berlangsung 10 hari. Tunjukkan bahwa pada akhir hari ke-4, paling sedikit satu dari dua puluh lima team memainkan sebanyak genap pertandingan! 5. Jika ada 13 orang yang menghadiri ulang tahun Pak Andi yang ke-40, maka tunjukkan bahwa paling sedikit terdapat 2 orang yang mempunyai bulan kelahiran yang sama! 6. Dalam satu kelompok yang terdiri dari 10 orang, maka tunjukkan terdapat dua umur yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 16.
21
7. Tujuh buah bilangan diambil dari bilangan 1 sampai dengan 12, maka tunjukkan terdapat dua bilangan yang jumlahnya 13. 8. Dipilih 8 buah bilangan bulat positif, tunjukkan terdapat 2 bilangan yang mempunyai sisa pembagian yang sama saat dibagi 7! 9. Diberikan sebelas buah bilangan bulat berbeda. Buktikan bahwa dua di antara bilangan-bilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10!
22
BAB V RELASI REKURENSI
Penulisan barisan bilangan {an} dapat diberikan dalam 3 (tiga) cara, yaitu: (i)
cara mendaftar Beberapa anggota didaftar dengan memperhatikan bahwa tidak boleh terjadinya keraguan untuk penentuan suku-suku berikutnya. Contoh 5.1:{ an } = {3, 5, 7, } belum memberikan gambaran yang jelas untuk penentuan suku ke-4. Hal ini disebabkan perbedaan persepsi yang mungkin terjadi mengenai barisan tersebut. Barisan tersebut dapat ditafsirkan sebagai barisan bilangan prima dimulai dengan 3 atau dapat juga ditafsirkan sebagai barisan bilangan bulat positif ganjil mulai 3. Jika yang dimaksud adalah barisan bilangan ganjil atas bilangan bulat positif mulai 3, maka barisan tersebut akan dituliskan { an } = {3, 5, 7, 9, }.
(ii)
cara eksplisit Pada cara ini, suku ke-n, an , diberikan secara eksplisit. Barisan { an } pada Contoh 1, dapat dinyatakan secara eksplisit, yaitu barisan dengan
an 2n 1 . (iii)
cara rekurensi Suku ke-n, an , tidak lagi diberikan secara eksplisit tetapi diberikan dalam perumusan yang memanfaatkan satu atau beberapa suku sebelumnya. Penulisan barisan pada Contoh 1, secara rekurensi dapat dituliskan sebagai berikut a1 3, an 2 an 1, n 2.
Pada umumnya, perumusan rekurensi lebih mudah dan lebih sederhana. Selanjutnya, dari perumusan rekurensi dengan penurunan suku-sukunya
23
diperoleh perumusan eksplisitnya. Permasalahan terkait dengan perumusan rekurensi yang seringkali muncul adalah masalah menara Hanoi dan barisan Fibonnaci. Perhatikan barisan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . Barisan tersebut dikenal sebagai barisan Fibonacci yang mempunyai perumusan rekurensi f n f n1 f n2 , f1 f 2 1.
Permasalahan yang muncul di dalam relasi rekurensi adalah menentukan perumusan eksplisit suku ke-n dari barisan yang bersesuaian. Penentuan rumus eksplisit dapat dilakukan dengan cara melakukan penurunan ke suku yang lebih rendah, sehingga dapat digunakan suku-suku yang diketahui. Cara ini dikenal dengan cara backward. Untuk keperluan cara backward ini, pada umumnya, diperlukan jumlahan n-buah suku pertama barisan/deret aritmetika atau geometri. Beberapa deret yang sering digunakan, di antaranya adalah: 1 2 3 4 n
n(n 1) . 2
12 2 2 32 4 2 n 2
n(n 1)(2n 1) . 6
a ar ar 2 ar 3 ar n
a(1 r n1 ) , untuk |r| < 1. 1 r
a ar ar 2 ar 3 ar n
a(r n1 1) , untuk |r| > 1. r 1
Contoh 5.2: Salah satu contoh terkenal persamaan rekurensi adalah Permasalahan Menara Hanoi. Menurut legenda, ada sebuah kuil Budha yang di dalamnya terdapat 3 buah tiang berdiameter kecil terbuat dari permata, katakan tiang A, B, dan C. Ada 64 buah cakram dengan ukuran diameter berbeda-beda di tiang A, tersusun dari bawah ke atas dari diameter terbesar ke terkecil. Permasalahannya adalah memindahkan cakram-cakram tersebut ke tiang C dengan bantuan tiang B dengan syarat sebagai berikut: pemindahan hanya boleh dilakukan satu-persatu (tidak boleh
24
memindahkan beberapa cakram sekaligus), dan pada setiap keadaan, cakram yang berdiameter lebih kecil harus berada di atas cakram berdiameter lebih besar. Berapa banyaknya langkah yang ditempuh untuk memindahkan cakramcakram dari tiang A ke tiang C tersebut? Jawab: Jika diketahui cara memindahkan (k-1) cakram dari satu tiang ke tiang lain (dengan tetap memenuhi syarat yang ada), maka cara paling efisien untuk memindahkan k buah cakram dari tiang A ke tiang C adalah sebagai berikut. Langkah I: pindahkan (k-1) buah cakram dari tiang A ke tiang B. Jika k > 2, perlu dilakukan sejumlah proses untuk memindahkan cakram satu-persatu. Karena menggunakan metode rekursif, proses-proses tersebut tidak perlu dirisaukan.
Langkah II: pindahkan cakram yang terletak paling bawah dari tiang A ke tiang C.
Langkah III: pindahkan (k-1) buah cakram dari tiang B ke tiang C. Lakukan seperti langkah I.
Katakan mn menyatakan banyaknya langkah minimal untuk memindahkan n buah cakram dari satu tiang ke tiang lain. Perhatikan bahwa mn tidak tergantung oleh asal dan tujuan tiang ataupun banyaknya cakram yang terletak di bawah n buah cakram yang dipindahkan tersebut.
Langkah I memerlukan mk 1 kali perpindahan. Langkah II memerlukan 1 kali perpindahan. Langkah III memerlukan mk 1 kali perpindahan. Jadi keseluruhan perpindahan minimal adalah mk mk 1 1 mk 1 2 mk 1 1.
25
Syarat (kondisi) awal terjadi jika k = 1 (jumlah langkah minimal untuk memindahkan 1 buah cakram dari tiang A ke tiang C). Jadi hanya diperlukan diperlukan 1 kali perpindahan, atau m1 =1. Dengan demikian diperoleh persamaan rekursif
mk 2 mk 1 1 m1 1. Untuk memindahkan
2 buah cakram, diperlukan sebanyak m2 2 m1 1 2 (1) 1 3 langkah.
3 buah cakram, diperlukan sebanyak m3 2 m2 1 2 (3) 1 7 langkah.
4 buah cakram, diperlukan sebanyak m4 2 m3 1 2 (7) 1 15 langkah, dan seterusnya.
Akhirnya untuk memindahkan 64 buah cakram, dihitung m64. Persamaan eksplisit permasalahan Menara Hanoi adalah sebagai berikut: mk 2 mk 1 1 dengan m1=1.
= 2 (2 mk 2 1) 1 2 2 mk 2 2 1 = 2 2 (2 mk 3 1) 2 1 23 mk 3 2 2 2 1 = 24 mk 4 23 22 2 1 = …. = 2 k 1 mk ( k 1) 2 k 2 2 k 3 2 2 2 1 = 2 k 1 m1 2 k 2 2 k 3 2 2 2 1 = 2 k 1 2 k 2 2 k 3 2 2 2 1 =
1(2 k 1) 2 k 1, 2 1
k 1.
Sekarang dengan induksi matematika ditunjukkan bahwa untuk bilangan Asli k 1, mk 2 k 1
Perhatikan bahwa untuk k = 1, m1=1.
26
Jika rumus benar untuk k, yaitu mk 2 k 1 benar, maka mk 1 2 mk 1 2 (2 k 1) 1 2 k 1 2 1 2 k 1 1.
Berarti rumus benar untuk k+1. Jadi terbukti bahwa mk 2 k 1 untuk k 1.
Dengan demikian, m64 (2 64 1) .
Latihan 5.1 1. Diberikan suatu barisan {an} dengan a n 2
1 a n1 . Tentukan a1998 ! an
2. Pada barisan Fibonacci tunjukkan bahwa f n21 f n2 f 2n1 ! 3. Pada penyimpanan uang di bank, biasanya bank memberikan bunga yang dihitung per tahun, katakan i. Jika bunga diberikan per periode tertentu dan dalam satu tahun ada m kali periode, maka besarnya bunga per periode adalah
i . Untuk k 1, Pk menyatakan jumlah tabungan pada akhir periode ke-k. m Jika Po menyatakan besar tabungan mula-mula, Nyatakan Pk a. menggunakan rumus rekurensi! b. Menggunakan rumus eksplisitnya! 4. Seorang penjahit, yang sangat gemar memotong kain, mempunyai sepuluh potong bagian. Dia memutuskan untuk memotong beberapa dari potonganpotongan ini menjadi masing-masing sepuluh potong. Lalu dia memotong beberapa dari potongan-hasil menjadi masing-masing sepuluh potongan. Lalu dia memotong beberapa dari potongan-hasil masing-masing menjadi sepuluh potongan. Dia melanjutkan cara ini sampai dia akhirnya lelah dan berhenti. Dia mulai menghitung jumlah total potongan kain yang sekarang dimilikinya; setelah bekerja beberapa menit dia menetapkan jumlah 1984. Buktikan bahwa hitungannya salah!
27
5. Dari satu buah bujursangkar dapatkah anda mendapatkan 1993 bujursangkar?
Jawaban Latihan 5.1
1. a1998
a2 1 . a1
i 3. a. Pk 1 Pk 1 m
untuk k ≥ 1.
k
i b. Pk 1 Po m
untuk k ≥ 1.
5. Tidak bisa. (Petunjuk: 1993 tidak merupakan jumlahan deret geometri dengan suku awal 1 dan rasio 4).
28
BAB IV PENUTUP Permasalahan kombinatorika di dalam olimpiade matematika di satu negara dengan negara yang lain sangatlah beragam. Pada umumnya, permasalahan berada di sekitar permutasi, kombinasi dan gabungan keduanya. Di Indonesia, masalah di sekitar permutasi dan kombinasi mendominasi permasalahan kombinatorika, baik di tingkat propinsi maupun di tingkat nasional. Di Colorado persoalan kombinatorika mendominasi permasalahan olimpiade matematika di negara tersebut. Permasalahan di negara ini lebih banyak terkait dengan Prinsip Sarang Merpati. Di Kanada prosentase masalah kombinatorika sangat kecil. Di Singapura prosentase masalah kombinatorika sedang dengan materi yang mengaitkan bilangan Bell dan Stirling disamping pengertian di sekitar permutasi dan kombinasi. Pada umumnya prinsip kombinasi dan permutasi dengan cepat dapat dikuasai. Sebaiknya disadari bahwa banyak permasalahan yang merupakan gabungan dari permasalahan kombinasi dan permutasi, tidak berdiri sendiri-sendiri. Selain itu, perlu diperhatikan permasalahan yang merupakan permasalahan multinomial. Pada permasalahan multinomial perlu diperhatikan apakah diperbolehkan adanya pengulangan atau tidak. Banyak masalah tidak dapat langsung diselesaikan dengan rumus-rumus yang tersedia, tetapi merupakan gabungan dari beberapa rumus. Dengan demikian, pemahaman soal menjadi bagian penting yang tidak boleh ditinggalkan. Selain penalaran menjadi dasar yang penting, ketelitian dan ketangguhan (daya juang) merupakan unsur yang tidak boleh dilepaskan. Banyak masalah yang diberikan dalam soal cerita yang agak panjang, demikian juga dengan penyelesaiannya. Dengan demikian, diperlukan pemahaman, ketelitian, dan ketahanan berpikir. Ketangguhan yang baik akan membuat tidak segera menyerah dengan soal yang diberikan. Unsur ketelitian sangat membantu menyelesaikan soalsoal dengan penurunan yang cukup panjang.
29
DAFTAR PUSTAKA Pustaka pendukung yang membahas materi kombinatorika banyak diberikan dalam buku matematika diskrit. Berikut diberikan tiga buah buku yang dapat digunakan sebagai acuan pemahaman materi-materi di atas. Anderson, I., 2001, A First Course in Discrete Mathematics, London: SpringerVerlag London Limited. Cohen, D.I.A, 1978, Basic Techniques of Combinatorial Theory, New York: John Wiley and Sons. Johnsonbaugh, R., 1997, Discrete Mathematics, International Edition, Fourth Edition, New Jersey: Prentice Hall International.
30
Lampiran
Contoh Soal Seleksi Bidang Kombinatorika
Penjelasan: n Notasi menyatakan banyaknya cara memilih k unsur dari suatu himpunan k
dengan n unsur.
BAGIAN PERTAMA 1. Suatu delegasi yang terdiri dari 5 orang akan dibentuk dari 10 siswa laki-laki dan 8 siswa perempuan. Banyaknya pilihan tim yang dapat dibentuk yang memuat paling sedikit 2 siswa perempuan adalah ......................
2. Sebuah kelas terdiri dari 30 siswa. Di kelas tersebut 12 siswa menyukai matematika, 14 menyukai biologi, 13 menyukai kimia, 5 siswa menyukai matematika dan biologi, 7 siswa menyukai biologi dan kimia, dan 4 siswa menyukai matematika dan kimia. Kemudian 4 siswa tidak menyukai satu pun dari ketiga matapelajaran itu. Banyaknya siswa yang menyukai matematika, biologi, dan kimia adalah ........ 3. Banyaknya penyelesaian bilangan asli bagi pertidaksamaan a b c d 11 adalah .........
1002
4.
n 0
2004 = ........ 2n
31
5. Banyak titik minimal yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari
1 2 adalah ....... 2
6. Diberikan hubungan rekursi
1 a n 2a n1 n, (n 0), ao 1. 3
Bentuk eksplisit untuk a n adalah ................
7. Seekor semut berjalan dari titik asal koordinat O(0, 0) ke titik P(4, 5). Semut tersebut hanya berjalan pada arah horisontal ke kanan dan vertikal ke atas saja. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh semut tersebut dari titik O ke titik P?
BAGIAN KE-DUA
1. Diberikan sebelas buah bilangan berbeda. Buktikan bahwa dua di antara bilanganbilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10.
2. Buktikan bahwa n
k o
n k 1 k 2 n. k 2
32
