PROBLEMAS RESUELTOS
ONDAS ESTACIONARIAS 1) Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 Kg está fija de ambos extremos. La tensión de la cuerda es de 20 N. a) ¿ Cuáles Cuáles son las frecuenci frecuencias as de los tres primero primeros s modos de vibraci vibración? ón? b) Si en un punto punto ubicado ubicado a 0,4 0,4 m hay un nodo. nodo. ¿ En qué modo modo de vibraci vibración ón y con qué frecuencia está vibrando la cuerda? Primero debemos determinar cuales son los tres primeros modos de vibración de la cuerda, entonces consideremos consideremos las posibilidades: • Nodo – Antitodo – Nodo • Nodo – Antitodo – Nodo – Antitodo – Nodo • Nodo – Antitodo – Nodo – Antitodo – Nodo – Antitodo – Nodo La frecuencias las podemos obtener por f =
v
λ
, entonces es necesario conocer la
velocidad y la longitud de la onda, determinemos primero la densidad lineal de masa
µ = será
m
=
Kg 1Kg
ν =
T µ
L
2m
= 0.5 =
Kg , luego la velocidad de propagación de la onda en la cuerda, m
20N Kg 0.5 m
= 6.32
m s , entonces para el primero modo de vibración:
NAN, tenemos que como la cuerda mide 2m, la distancia entre cada nodo es de 2m =
λ , i.e., λ = 4m , entonces la frecuencia es de: 2 m 6.32 ν s = 1.58Hz f = = λ 4m Para NANAN, la distancia entre cada nodo es de 1m, y la longitud de onda es de 2m, la frecuencia será:
f
=
ν = λ
m s 2m
6.32
= 3.16Hz
Para NANANAN, la distancia entre cada nodo es de
2m 3
= 0.67m , y la longitud de
2m = 1.33m , la frecuencia será: 1.5 m 6.32 s = 4.75Hz 1.33
onda es de
f
=
ν = λ
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1
Para la parte b) del problema debemos considerar, que si el nodo esta en 0.4m, la longi longitud tud de la onda onda es 0.8m, 0.8m, luego luego la frecue frecuenci ncia a de vibrac vibració ión n de la cuerda cuerda es:
ν f = = λ
m s 0.8m
6.32
, y el nodo de vibración es:
= 7.9Hz
7.9 1.58
=5
(el quinto nodo)
Podrá notar que los resultados no concuerdan, con los obtenidos, pero se puede deber simplemente a un error de trascripción, de considerar la masa de 1Kg por una de tan solo 100gramos.
2) Encontrar La frecuencia fundamental y los siguientes tres modos de vibración de una onda estacionaria sobre una cuerda de 3 metros de longitud y densidad lineal de masa de 9x10-3 Kg/m y que está sometida a una tensión de 20 N. La
frecuencia
f1 =
f2 f3 f4
1 T 2L µ
=
1 2 • 3m
fundamental
20N Kg 9 • 10 3 m
1
se
determina
por
= 7.86Hz , los siguientes tres modos, serán:
−
= 2f = 2 • 7.86Hz = 15.71Hz = 3f = 3 • 7.86Hz = 23.58Hz = 4f = 4 • 7.86Hz = 31.44Hz
(n=1)
1
1
Podrá notar que los resultados no concuerdan, con los obtenidos, pero se puede deber simplemente a un error de trascripción, de considerar la longitud de la cuerda de 3m por 30 metros. 3) Se forma una onda estacionaria estacionaria sobre una cuerda de 120 cm de largo fija de ambos extremos. Vibra en 4 segmentos cuando la frecuencia es de 120 Hz. a) Deter Determin mine e la longi longitud tud de de onda. onda. b) Determin Determine e la frecuenc frecuencia ia fundame fundamental ntal de de vibració vibración. n. a) Si la cuerda cuerda esta vibra vibrando ndo con con forma de de onda estacio estacionari naria, a, en cuatro cuatro segmentos es similar a decir que hay dos ondas “completas” sobre la cuerda, entonces 120cm = 2λ , por lo tanto la longitud de onda es de 60cm. b) Para obtene obtenerr la frecuencia frecuencia fundam fundamenta entall de vibración, vibración, tenemos tenemos::
f1 =
ν 2L
=
λ f 2L
=
m s 2.4m 72
= 30Hz
4) Una cuerda de guitarra de 60 cm de largo y sometida a una tensión de 50 N tiene una masa por unidad de longitud de 0.1 gr/cm. ¿ Cuál es la mayor frecuencia de resonancia de la cuerda que puede ser oída por una persona capaz de escuchar frecuencias hasta 20 Khz?
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Antes de resolver el problema debe tener presente que al mezclar Newton, con gramos o centímetros, se debe expresar en unidades solo MKS o CGS, trabajemos con MKS, entonces tenemos:
L = 0.6m
T
= 50N
µ = 0.01
f n
=
nν 2L
Kg m
=
la frecuencia de resonancia de la cuerda la obtenemos por: f n
n 2L
•
T
µ
=
n 2 • 0.6m
50N
•
0.01
Kg m
=
n 1.2m
• 70.71
=
nν 2L
m s
70.71 = n ÷Hz = 20000Hz 1.2 , el n, es un número entero, ahora multiplicando por los ⇒ n = 339.41, ∴ n = 339 fn
valores anteriores, la frecuencia que puede ser oída es:
fn
70.71 = 339 • Hz ÷Hz = 19975.6Hz 1.2
En la ayudantía se mostró que era un valor cercano, pues bien, aquí esta calculado…
5) En el arreglo arreglo de la figura figura.. Una masa masa m está suspendida de una cuerda de densidad lineal de masa de 0.002 Kg/m y L = 2 m. Cuando Cuando la la masa es de 16 Kg o 25 25 Kg, se observan observan ondas estacion estacionaria arias, s, sin embargo no se observan cuando la masa está dentro de ese rango ( entre 16 y 25 Kg). a) ¿Cuál ¿Cuál es la frecuencia frecuencia del vibrad vibrador? or? ( A mayor tensión tensión en la cuerda, cuerda, menor menor es el número de nodos) b) ¿Cu ¿Cuál es la may mayor masa masa para el cual ual pue pueden ser ser observ serva adas ondas das estacionarias?
a) para para los 25Kg, 25Kg, consid considere eremos mos que se genera generan n n número números s de nodos nodos por las ondas estacionarias, y a la vez n+1, el número de nodos para la masa de 16Kg, entonces para las frecuencias frecuencias de vibracion vibracion respectivas, tendremos: tendremos:
f =
n T n n + 1 T n 1 y también f = , como la frecuencia del vibrador no cambia con µ 2L µ 2L +
las masas, estas se pueden igualar, con lo cual resulta:
n Tn 2L µ n n +1
=
=
n + 1 T n 1 µ 2L +
T n
+1
Tn
=
(16Kg ) • g ( 25Kg ) • g
= 0.8
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Con lo cual obtenemos, n
= 0.8n + 0.8
⇒n=
0.8 0.2
=4
Ahora reemplazando, reemplazando, tenemos: tenemos:
∴f =
(25Kg ) • g Kg 2 • 2m 0.002 m 4
= 353.55Hz
b) y para para enco encont ntra rarr la masa masa,, cons consid ider eran ando do la frecu frecuen enci cia a del del vibr vibrad ador or,, y n=1 n=1 tenemos:
m 1 s2 Kg 2 • 2m 0.002 m m • 10
= 353.55Hz , reordenando encontramos que la masa tiene un
valor de 399.99Kg ≈ 400Kg.
6) Dos alambres del mismo material están soldados. El diámetro de uno de ellos es el doble del otro. El conjunto está sometido a una tensión de 4.6 N. El más delgado tiene un largo de de 40 cm y una una densidad densidad lineal de de masa de 2 gr/m. La combinación combinación está fija de ambos extremos y la vibración es tal que aparecen dos antinodos, antinodos, con el nodo justo en la soldadura que une ambos alambres. a) ¿ Cuál Cuál es la frecu frecuenc encia ia de vibr vibraci ación ón? ? b) ¿ Cuál Cuál es el el largo largo del alambre alambre grueso? grueso?
a) Para obtene obtenerr la frecuencia frecuencia de vibració vibración n de la cuerda, cuerda, en considera consideración ción,, que la tensió tensión n a la que que están están someti sometidos dos los los alamb alambres res,, como como la frecue frecuenci ncia a que experimentan son los mismos, tenemos:
f
1 =
2L
T
µ
4.6N
1 =
2 • 0.4m
2 • 10
−3
Kg m
=
59.94Hz
b) El diámetro diámetro de uno uno de los los alambres alambres es el doble doble del del otro, con con ello la densid densidad ad lineal de masa, será 4 veces superior que en el alambre más delgado. Para determinar el largo, utilicemos la misma expresión del apartado a) de este ejercicio:
L=
1 2f
T µ *
=
1 2 • 59 59.94Hz
4.6N Kg 8 • 10 3 m
= 0.2m
−
⇒ L = 20cm
( FUENTE: SERWAY, resueltos para Ondas y Acústica, NSN.)
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