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NOUVEAU NOUVEAU PROGRAMME PROGRAMME

ISBN : 978-2-01-181901- 7

Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide

PC-PSI

1

■ Conséquences d’un couplage d’oscillateurs.

la chaîne d’oscillateurs couplés.

■ Étude en régime libre et en régime forcé.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Le phénomène de propagation d’ondes est un phénomène très général. Son importance pratique est considérable, car il est à la base de nombreux cas de transmission d’informations. Nous sommes confrontés à certains d’entre eux de façon quotidienne : propagation du son, de la lumière, d’ondes radio, ... Nous décrirons dans cet ouvrage quelques cas physiques où le phénomène de propagation se manifeste. Dans ce chapitre, nous l’aborderons à l’aide d’un modèle élémentaire :

■ Première approche du phénomène de propagation.

■ Oscillateurs mécaniques à une variable d’état. ■ Régimes libre et forcé.

5

Ondes

1

O s c i l l at i o n s l i b re s d ’ o s c i l l ate u rs cou p l é s

1.1. Oscillations libres d’un système à un degré de liberté 1.1.1. Oscillateur harmonique Considérons un système à un seul degré de liberté, pour lequel nous noterons la grandeur évoluant au cours du temps. La grandeur peut désigner un déplacement, un angle, un courant électrique, une tension, une charge, etc. Si ce système possède une position d’équilibre stable = de laquelle l’équation d’évolution de est de la forme : 2 d2 --------2- = – 0 ( – 0 ) , dt nous observons des oscillations harmoniques de pulsation

(t) =

0

+

m

cos(

0t

0

0

L’étude de ce chapitre (explicitement au programme des sections PC et PSI) est conseillée pour tous les étudiants : il met en évidence l’approximation des ilieux continus à partir de la chaîne infinie d’oscillateurs harmoniques couplés, et ainsi l’équation de l’Alembert.

, au voisinage

du type :

+ ).

Cette situation n’est généralement qu’une modélisation de la réalité. L’équation d’évolution linéaire n’est souvent qu’une approximation correspondant à une linéarisation de l’équation réelle d’évolution de , au voisinage de l’équilibre stable = 0 . Dans certains cas, l’équation réelle n’est pas linéaire, même pour de petits mouvements. La solution obtenue correspond à un mouvement perpétuel. En pratique, nous rencontrerons des situations mettant en jeu des termes dissipatifs tels que des frottements fluides. Cette solution n’est alors acceptable que pour des temps 2 d’observation des oscillations ⎛de période T = ------- ⎞ faibles devant le temps ⎝ ⎠ 0 caractéristique d’amortissement. Ceci suppose un facteur de qualité élevé pour l’oscillateur étudié.

a) x a0 b) x

1.1.2. Oscillateur mécanique à rappel linéaire


Considérons un mobile, de masse M, lié par un ressort de raideur K, astreint à glisser sans frottements le long d’une tige horizontale (doc. 1). La position au repos, pour laquelle la longueur du ressort est a 0 , étant prise comme origine de l’axe ( Ox ), le déplacement du mobile par rapport à cette position d’équilibre est ( t ).

a0 +

Doc. 1. Oscillateur mécanique. a. En équilibre. b. Hors équilibre.

Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, l’équation du mouvement est : d2 M --------2- = – K dt qui conduit à des oscillations harmoniques de pulsation

0

=

K ----- . M

i

L

1.1.3. Oscillateur électrique Le document 2 représente l’équivalent électrique de l’oscillateur mécanique du document 1 : la masse M et la constante de raideur K sont remplacées respectivement par une inductance L et l’inverse d’une capacité C.

q –q

C

L’application de la loi des mailles au circuit nous donne : di q L ----- + ---- = 0 dt C

6

avec

dq i = + ------ . dt

Doc. 2. Oscillateur électrique.

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) L’évolution de la charge q est régie par l’équation différentielle : 2 0q

q˙˙ + où

0

a)

= 0,

b) couplage oscillateur 1 K

1.2.1. Couplage de deux oscillateurs

En l’absence de ressort central, les deux mobiles, liés aux parois fixes par les ressorts de raideur K et longueur à vide a 0 , constituent des oscillateurs indéK pendants, de même pulsation 0 = ----- . M Écrivons les forces subies par les mobiles de la part des ressorts, en tenant compte du ressort central, de raideur k et longueur à vide b 0 , et en choisissant l’origine O au niveau de la paroi de gauche.

K

L

Étudions maintenant les conséquences de l’introduction d’un couplage entre deux oscillateurs semblables au précédent. Considérons le système représenté sur le document 3 : deux mobiles identiques de masse M glissent sans frottements le long de l’axe ( Ox ).

oscillateur 2

K

1 = ------------ est l’analogue de la pulsation de l’oscillateur mécanique : LC K ----- . 0 = M

1.2. Oscillations libres d’un système à deux degrés de liberté

oscillateur 1

oscillateur 2 k

K

x1 = x10 + ψ1 x2 = x20 + ψ2 O

x

Doc. 3. Exemple de couplage entre deux oscillateurs identiques. a. Indépendants. b. Couplés.

Le premier mobile est ainsi soumis aux forces : F 1 = – K (x 1 – a 0 ) e x

et

f 1 = k ( (x 2 – x 1 ) – b 0 )e x ,

et le second à : f2 = –f1

et

F 2 = K ( (L – x 2 ) – a 0 )e x .

Les équations d’évolution sont donc : ⎧ M ˙x˙1 = – K (x 1 – a 0 ) + k(x 2 – x 1 – b 0 ) ⎨ ⎩ M ˙x˙2 = – k(x 2 – x 1 – b 0 ) + K (L – x 2 – a 0 )

⎧ M ˙˙1 = – K 1 – k( 1 – ⎨ ⎩ M ˙˙2 = k( 1 – 2 ) – K


Notons 1 = x 1 – x 10 et 2 = x 2 – x 20 les déplacements des deux mobiles par rapport à leur position à l’équilibre d’abscisses respectives x 10 et x 20 , Les équations d’évolution deviennent : 2) 2

Le ressort central introduit un couplage entre les deux mobiles : les mouvements des deux masses ne sont plus indépendants. 1.2.2. Solutions des équations du mouvement Pour ce système différentiel « symétrique », le changement de variables : u = 1 + 2 et v = 1 – 2 , appelées coordonnées normales, permet d’obtenir les équations découplées : ⎧ Mu˙˙ = – Ku ⎨ ⎩ Mv˙˙ = – (K + 2k)v

7

Ondes

dont les solutions u(t) et v(t) oscillantes, sont de la forme : ⎧ u(t) = u m cos ( ⎨ ⎩ v(t) = v m cos (

où les pulsations

1

et

1t

+

1)

2t

+

2)

2

⎧ ⎪ ⎪ sont ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ u(t) = A cos ⎨ ⎩ v(t) = C cos

ou

1

=

K ----M

2

=

K + 2k ---------------M

1t

+ B sin

1t

2t

+ D sin

2t

Connaissant les positions et les vitesses initiales des deux mobiles : ⎛ d 1⎞ ⎛ d--------2-⎞ ( 0 ) , nous déterminons complètement 2 ( 0 ), ⎝ ---------⎠ ( 0 ) et ⎝ dt ⎠ dt 2 ( t ) qui s’écrivent : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

u = -----m- cos ( 2 um 2 (t) = ------ cos ( 2

1 (t)

vm - cos ( 2 t + + ----2 vm 1 t + 1 ) – ------ cos ( 2 t + 2 1t

+

1)


Analogie électromécanique 1) Montrer que le schéma électrique (doc. 4) modélise un système électrique couplé analogue à celui des deux oscillateurs mécaniques précédents. 2) Résumer par un tableau les correspondances entre les grandeurs relatives aux oscillateurs électriques et mécaniques. 1) Comme au § 1.1.3, nous avons construit (doc. 4) un analogue du système [K-M-k-M-K] sous la forme [C-L- C′ -L-C]. L

L

–Q1

C

C’

Q’ –Q’

Doc. 4. Oscillateurs électriques couplés.

8

et

2) 2)

C

Les équations d’évolution du système sont : di Q′ Q L ------1- = ------ – -----1dt C′ C di Q′ Q L ------2- = ------ – -----2dt C′ C avec

dQ i 1 = ---------1- , dt

et

dQ′ i 1 + i 2 = – --------- . dt

dQ i 2 = ---------2dt

À l’équilibre i 1 = i 2 = 0 , et les charges des condensateurs, notées Q 10 , Q 0′ et Q 20 , vérifient :

i2

i1 + i2 Q1

1(t )

1

Application

i1

1 ( 0 ),

Q2 –Q2

Q 20 . Q 10 Q′ ------- = -----0- = ------C C C′ La loi des nœuds et la conservation de la charge montrent que la charge totale Q 1 + Q′ + Q 2 reste constante et égale à Q 10 + Q 0′ + Q 20 .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les écarts de charges : q 1 = Q 1 – Q 10 et q 2 = Q 2 – Q 20 ( q′ = Q′ – Q 0′ = – q 1 – q 2 ) vérifient le système différentiel d’équations couplées : 1 1 1 Lq˙˙1 = – ⎛ ---- + -----⎞ q 1 – ⎛ -----⎞ q 2 ⎝ C′⎠ ⎝ C C′⎠ 1 1 1 Lq˙˙2 = – ⎛ -----⎞ q 1 – ⎛ ---- + -----⎞ q 2 ⎝ C C′⎠ ⎝ C′⎠ oscillateurs couplés

caractéristiques

mécaniques

Ce système est formellement équivalent au système obtenu précédemment en identifiant l’écart de charge q 1 au déplacement 1 de la première masse par rapport à l’équilibre, et q 2 à – 2 (le signe moins vient du fait que l’excès de charge sur le dernier condensateur correspond en mécanique à une compression du second ressort par rapport à sa position à l’équilibre). 2) Nous pouvons, sans plus de calcul, proposer le tableau de correspondance du document 5. écarts à l’équilibre

1,

M, K, k

pulsations propres 1

2 2

=

1

1 1 L, ---- , ----C C′

électriques

=

q1 , – q2 2

=

=

K ----M K + 2k ---------------M 1 ------LC

1 1 2⎞ --- ⎛ --- + ----L ⎝ C C′⎠

Doc. 5. Analogie électromécanique.

a)

1.2.3. Pulsations et modes propres 2

ψ 2 = ψ1

sont appelées pulsations propres du système

Le système peut osciller à la seule pulsation 1 si v(t) est constamment nul, donc lorsque 1 (t) = 2 (t). Nous obtenons, dans ce cas, un mode propre d’oscillation associé à la pulsation w 1. À ce mode correspond des déplacements identiques des deux mobiles : il s’agit d’un mode d’oscillation symétrique (doc. 6a). De même, le système peut osciller à la pulsation 2 si u(t) = 0 , soit 1 (t) = – 2 (t) . Nous obtenons alors le mode propre d’oscillation de pulsation 2 . C’est un mode d’oscillation antisymétrique (doc. 6b).

b)

ψ1

ψ2 = –ψ1


Les pulsations 1 et d’oscillateurs couplés.

ψ1

Doc. 6. Oscillateurs couplés identiques. a. Mode d’oscillation symétrique. b. Mode d’oscillation antisymétrique.

La solution générale du système linéaire des équations du mouvement est une combinaison linéaire des deux modes propres d’oscillations : 1 2

u 1 = -----mcos ( 2 1

1t

+

1)

vm 1 + ----cos ( 2 –1

2t

+

2)

.

Pour observer l’un de ces modes d’oscillation seul, par exemple le mode d’oscillation symétrique, il faut avoir v (t) = 0. Ceci est assuré par des dv conditions initiales de la forme v (0) = 0 et ⎛ ------⎞ (0) = 0 : le système est ini⎝ dt ⎠ tialement excité dans le mode d’oscillation symétrique.

9

Ondes

• Les mouvements d’un système (stable) dont l’évolution est décrite par un système différentiel linéaire résultent d’une superposition de mouvements correspondant aux modes propres du système. • Ces modes propres sont des états d’oscillation, où tous les éléments du système sont animés d’un mouvement oscillant dont la pulsation est une pulsation propre du système. • Si le système est excité initialement dans l’un de ses modes propres, il y reste par la suite. Remarques • La méthode que nous venons d’utiliser est générale et peut être étendue à d’autres systèmes différentiels linéaires, décrivant les évolutions de systèmes physiques à degrés de liberté multiples, par exemple N oscillateurs couplés. • Plus généralement, la recherche de solutions proportionnelles à e rt (au lieu de e j t ) permet de déterminer un ensemble de solutions r complexes. Le système est stable lorsque toutes ses valeurs propres r possèdent une partie réelle négative.

Application

2

Recherche systématique des pulsations propres, battements Le système linéaire d’équations différentielles couplées : ⎧ M ˙˙1 = – K 1 – k ( 1 – ⎨ ⎩ M ˙˙2 = k ( 1 – 2 ) – K

2) 2


régit l’évolution des deux oscillateurs couplés. Pour ce système, l’observation d’oscillations est attendue. 1) Discuter l’existence et la forme des déplacements 1 ( t ) et 2 ( t ), solutions oscillantes de pulsation à déterminer (utiliser la notation complexe : 1(t )

=

10 e

i t

et

2(t )

=

20 e

i t ).

2) À l’instant initial, les deux mobiles sont sans vitesse dans les positions et 1(0) = 0 ( 0 ) = 0 . 2 Déterminer et et en déduire 1(t ) 2 ( t ), qualitativement les mouvements des deux mobiles dans le cas d’un couplage faible : k K.

10

1) Les solutions proposées sont compatibles avec le système différentiel précédent si :

+k ⎧⎛– 2 + K -------------⎞ ⎪⎝ M ⎠ ⎨ k⎞ ⎪ – ⎛ ---+ ⎛– ⎩ ⎝ M ⎠ 10 ⎝

k – ⎛ -----⎞ ⎝ M⎠ +k 2+K -------------⎞ M ⎠

10

20

= 0

20

= 0

Pour avoir une solution différente de la solution triviale { 10 = 0 ; 20 = 0 }, il faut que le déterminant de ce système homogène soit nul : k 2 K+k 2 + -------------⎞ – ⎛ -----⎞ = 0. ⎠ ⎝ M⎠ M Les solutions positives de cette équation bicarrée sont les pulsations 1 et 2 obtenues précédemment. ⎛– ⎝

2

= 1 dans le sysSi nous reportons la valeur tème homogène, nous obtenons 10 = 20 . Les mouvements correspondants sont, en notation réelle, de la forme : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1 2

u = -----m- cos ( 2 um = ------ cos ( 2

1t

+

1)

1t

+

1)

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

De même, si = 2 , alors 10 = – 20 et les oscillations de pulsation 2 sont de la forme : vm - cos ( 2 t + 2 ) = ----2 vm 2 = – ------ cos ( 2 t + 2 ) 2 Les solutions du système différentiel linéaire des équations du mouvement peuvent donc s’écrire : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

t

1

u vm - cos ( 2 t + 2 ) = -----m- cos ( 1 t + 1 ) + ----2 2 um vm 2 = ------ cos ( 1 t + 1 ) – ------ cos ( 2 t + 2 ) 2 2 Nous retrouvons ici les résultats précédents en utilisant le caractère symétrique, remarquable mais fortuit, du système d’équations différentielles régissant l’évolution des mobiles couplés. 2) Nous trouvons avec les conditions initiales proposées : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 ---- = -----------------2– 1

ψ1

ψ2 t

1

1(t )

= -----0- [ cos ( 2 =

2(t )

0

= ------ [ cos ( 2 0

+ cos (

2t )]

1t )

– cos (

Lorsque le couplage est faible, les pulsations : 1+ 2 2– 1 = ------------------ et = ----------------2 2 sont très différentes :

.

2t )]

1+ 2 ⎞ 2– 1 ⎞ - t sin ⎛ -----------------t sin ⎛ -----------------⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

≈

1≈

2

.

Les solutions : et

1+ 2 ⎞ 1– 2 ⎞ - t cos ⎛ -----------------t cos ⎛ -----------------⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

0

=

1t )

Doc. 7. Mise en évidence du phénomène de battements.

1(t )

=

0

cos ( t ) cos ( t )

2(t )

=

0

sin ( t ) sin ( t )

oscillent alors « rapidement » à la pulsation ( ), leurs amplitudes oscillant lentement avec 2 une période égale à ---- = ------------------ . 2– 1 Le document 7 représente ces évolutions faisant apparaître un phénomène de battements. L’énergie, constante pour ce système idéalisé, est alternativement stockée dans l’un ou l’autre des deux oscillateurs couplés.


Pour s’entraîner : ex. 1 et 5.

1.3. Mouvement de N oscillateurs couplés Ayant abordé les cas d’un ou deux oscillateurs, nous admettrons la généralisation des résultats obtenus au cas de N oscillateurs couplés (nous y reviendrons dans l’application 3). L’étude de N oscillateurs couplés identiques (doc. 8) fait ainsi apparaître N modes propres de pulsations toutes distinctes : les mouvements observables sont des superpositions de ces N modes propres de la chaîne.

0

a

2a

ψ1

3a

ψ2

Na

ψ3

ψN

x

Doc. 8. N oscillateurs couplés.

11

Ondes

Représentons les oscillations de ces systèmes en portant sur un graphe : – la position d’équilibre x on = na de la n ième masse en abscisse ;

ψ1

– son déplacement n en ordonnée (bien que les mouvements étudiés soient longitudinaux) (doc. 9). • Pour N = 1 (doc. 9), l’unique mobile effectue des oscillations harmoniques 2K ------- (la présence de deux ressorts liés au mobile expliM que la présence du facteur 2). à la pulsation

1

a

2a

Doc. 9. N = 1

=

• Pour N = 2 (doc. 10), avec trois ressorts de même raideur, les pulsations K 3K des deux modes propres sont 1 = ----- et 2 = ------- . Les modes propres M M 1 et 2 correspondent à des oscillations respectivement symétriques et antisymétriques des deux mobiles. • Le cas N = 3 sera étudié dans l’exercice 3. • La détermination des pulsations propres pour N quelconque sera l’objet de l’application 3. Nous nous contenterons d’énoncer les résultats pour l’instant. Le document 11 résume les résultats N = 1 et N = 2, puis fait apparaître l’extension des résultats aux cas N = 3, puis N quelconque. mode 1

mode 2

mode 3

a) mode 1

b) mode 2

Doc. 10. N = 2. a. Mode 1. b. Mode 2.

...

mode N

N=1 ... N=2 ... N=3


...

...

...

...

N Doc. 11. Déplacements fictifs des mobiles en fonction du nombre d’oscillateurs couplés.

2

O s c i l l at i on s f orcé e s d’ o s c i l l at e u rs cou p l é s

2.1. Réponse d’un système linéaire stable 2.1.1. Système linéaire Nous voulons étudier la réponse d’un système à N variables à une excitation imposée. L’excitation est un signal physique décomposable en une somme de

12

... ...

...

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) composantes harmoniques de pulsation : somme discrète (série de Fourier) dans le cas d’une excitation périodique, ou continue (transformation de Fourier) le cas échéant. La réponse du système linéaire (ou au moins linéarisable) à cette excitation sera la superposition des réponses obtenues pour chaque composante harmonique de l’excitation considérée séparément. Nous ne discuterons donc, dans ce qui suit, que de la réponse du système à une excitation sinusoïdale permanente. 2.1.2. Système stable Nous ne nous intéresserons de plus qu’à des systèmes stables : le système a besoin d’être excité pour se mettre à évoluer. Cette stabilité nous permettra de pouvoir rester dans un domaine d’évolution linéaire. 2.1.3. Termes dissipatifs Les systèmes que nous étudierons seront, dans un premier temps, idéalisés : nous négligerons les phénomènes dissipatifs. Dans la pratique, ces phénomènes, même faibles, existent toujours. Ils se manifestent, en particulier, lorsque le système est soumis à une excitation sinusoïdale, par un régime transitoire de durée finie. Nous nous intéresserons par la suite à la réponse du système en régime permanent sinusoïdal établi.

2.2. Système oscillant à un degré de liberté 2.2.1. Résonance de l’oscillateur idéal L’oscillateur à un degré de liberté représenté sur le document 12 est excité par un système bielle-manivelle créant un déplacement de la forme (t) de l’un de ses points d’attache. En notant a 0 la longueur à vide des ressorts, son équation d’évolution est : M ˙˙ = – K (a + soit M ˙˙ + 2K

– – a 0 ) + K (a –

– a 0 ),

= K .

a)

x a © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

a

b)

x

(t)

(t)

Doc. 12. Oscillateur entretenu. a. repos. b. Mouvement.

La quantité F(t) = K (t) est une force supplémentaire appliquée au mobile du fait du déplacement du point d’attache du ressort de gauche. L’équation du mouvement est donc : ˙˙ +

2 1

F(t) = ---------M

avec

1

=

2K . ------M

13

Ondes

En régime permanent sinusoïdal, la réponse ( t ) (réponse fréquencielle de l’oscillateur harmonique idéal) est de la forme : A

( t ) = A( ) cos [ t + ( ) ] F 1 - et = 0. avec A( ) = -----0- ----------------2 M 2 1– Les variations du module A de l’amplitude en fonction de la pulsation de la force excitatrice font apparaître une résonance pour = 1 (doc. 13). 2.2.2. Limitations de la résonance La divergence de l’amplitude d’oscillation à la résonance est en fait limitée par la prise en compte de diverses limites du modèle utilisé :

F0 M

ω1

ω

Doc. 13. Amplitude (module) des oscillations de l’oscillateur idéal.

• existence de frottements, par exemple fluides, qui ne peuvent plus être négligés lorsque l’amplitude, donc la vitesse, devient trop importante ; • limitations du modèle linéaire : fonctionnement hors des limites dans lesquelles le rappel du ressort peut être considéré comme purement élastique, existence de parois. Les limitations dues à l’existence de frottements fluides conduisent à l’équation du mouvement suivante : ˙˙ + -----1- ˙ + Q

F(t) = ---------- , M

2 1

où Q désigne le facteur de qualité, supposé assez élevé, de l’oscillateur. En régime permanent sinusoïdal, utilisons la notation complexe pour représenter la force F(t) = F 0 cos ( t) = e (F 0 e j t ), la réponse correspondante est de la forme

(t) =

e ( (t)) =

e ( A( )e j t ) .

Le module de l’amplitude complexe A du déplacement :

F0 M

F 1 A = -----0- ----------------------------------------------------M 2 1 ⎞ ( 12 – 2 ) + ⎛ --------⎝ Q ⎠


est maximale (mais non infinie) pour Q

1′

=

1

1 ------- (condition d’existence d’une résonance). 2

1 1 – ---------2- ≠ 2Q

ω ’1 ω 1

1

(doc. 14), si

Pour un oscillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon facteur de qualité, l’amplitude de ses déplacements devient importante lorsque la pulsation de l’excitation est proche de sa pulsation propre.

2.3. Oscillations forcées d’un système à degrés de liberté multiples 2.3.1. Systèmes à deux degrés de liberté Reprenons le cas de deux oscillateurs couplés identiques, liés par trois ressorts semblables de raideur K, la paroi de gauche effectuant des oscillations correspondant à (t) = 0 cos t.

14

A

ω

Doc. 14. Amplitude des oscillations de l’oscillateur réel en présence de frottements fluides, en fonction de la pulsation excitatrice .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les équations des mouvements des deux mobiles sont (cf. § 1.2.1) : 2 0

1–

2 0

2

2 0

2

–

2 0

1

F = -----0- cos M

1

=

0

et

2

=

0

avec

0

=

= 0

Utilisant les variables normales u = obtenons :

où

a)

t

1+

F = -----0- cos M F v = -----0- cos M

et v =

2

u˙˙ +

2 1u

t

v˙˙ +

2 2

t

A1

K ----- . M 1–

ξ1 2

ω1

, nous b)

,

ω2

ω

A2

ξ2 ω1

ω2

ω

3 sont les pulsations propres du système.

Cette dernière forme fait apparaître l’existence de deux résonances pour ce système à deux degrés de liberté, obtenues lorsque la fréquence d’excitation coïncide avec l’une ou l’autre des fréquences propres.

Doc. 15. Amplitudes (modules) d’oscillation des deux mobiles couplés (cas idéal).

Les amplitudes d’oscillation des variables u et v s’obtiennent par simple lecture des équations du mouvement. Les amplitudes des oscillations sinusoïdales et des mobiles s’en 1 (t) = A 1 ( ) cos t 2 (t) = A 2 ( ) cos t déduisent :

a.

1

F 1 1 = -------0- ⎛ -----2- + -----2-⎞ . ⎠ 2M ⎝ 1 2

b.

2

F 1 1 = -------0- ⎛ -----2- – -----2-⎞ . ⎠ 2M ⎝ 1 2

F0 ⎧ ⎪ A 1 ( ) = ------2M ⎪ ⎨ F0 ⎪ ⎪ A 2 ( ) = ------2M ⎩

1 1 ⎞ ⎛ ----------------- + ----------------2 ⎝ 2 2 2⎠ – – 1 2 1 1 ⎞ ⎛ ----------------- – ----------------2 ⎝ 2 2 2⎠ – – 1 2

.

Le document 15 représente les variations des modules de A 1 ( ) et A 2 ( ) en fonction de la pulsation d’excitation. Dans le cas d’oscillateurs réels, mais de bonne qualité, nous obtiendrons des limitations analogues à celles qui ont été vues pour l’oscillateur simple au § 2.2 (doc. 16). Pour s’entraîner : ex. 2.

A1

2.3.2. Chaîne d’oscillateurs Les études précédentes peuvent être étendues au cas de la chaîne de N oscillateurs couplés identiques. Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) est soumis à une excitation sinusoïdale permanente de pulsation , l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient importante lorsque la pulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsations propres du système. Comme précédemment, l’amplitude des oscillations décroît rapidement dès que la fréquence de l’excitation dépasse celle du n ième mode, de pulsation maximale. Au-delà de cette pulsation, la déformation induite par l’excitation n’est quasiment pas transmise par la chaîne. L’étude menée au § 3 confirmera l’existence d’une pulsation de coupure Pour s’entraîner : ex. 7.

ω A2

ω

Doc. 16. Amplitudes (modules) d’oscillation des deux mobiles couplés (cas réel).

15


⎧ ˙˙ ⎪ 1+2 ⎨ ⎪ ˙˙ ⎩ 2+2

Ondes

3

Pre mi è re a p p roc h e du p h é n om è n e d e p ro pa gat i o n

3.1. Le phénomène de propagation 3.1.1. Propagation dans la chaîne d’oscillateurs Dans la chaîne d’oscillateurs identiques (doc. 17), l’équation du mouvement du N ième mobile est : – 2K + K . M ˙˙n = K n–1

0

a

2a

ψ1

3a

ψ2

n

n+1

Na

ψ3

ψN

x

Doc. 17. Chaîne d’oscillateurs.

Rappelons que n représente le déplacement de l’oscillateur « n » par rapport à sa position d’équilibre repérée par l’indice n. Cette équation traduit le couplage du n ième mobile avec ses plus proches voisins. Imaginons que le mobile 1 avance un peu. Par l’intermédiaire du ressort de liaison, il va pousser le mobile 2, qui poussera ensuite le mobile 3, qui provoquera le déplacement du 4, etc. De proche en proche, une déformation de la chaîne de ressorts est véhiculée de mobile en mobile, le long de la chaîne : le déplacement des mobiles se propage le long de la chaîne d’oscillateurs couplés.


Dans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’un mobile induit une force qui agit sur ses plus proches voisins, les mettant en mouvement. Leurs déplacements induisent de nouvelles forces, donc de nouveaux déplacements. La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de proche en proche dans la chaîne. La grandeur qui se propage (ici le déplacement des mobiles de la chaîne) est une onde. L’existence de deux grandeurs (déplacements et forces), qui se créent l’une l’autre (grandeurs couplées), est à la base des phénomènes de propagation d’ondes. Remarque La chaîne d’oscillateurs peut constituer une modélisation élémentaire, à une dimension, de la propagation de vibrations des atomes (ou ions) dans une structure cristalline. 3.1.2. Propagation en physique Le phénomène de propagation d’ondes intervient dans de nombreux domaines de la physique : les déplacements de vagues à la surface d’un océan, la propagation d’ondes sonores, d’ondes électromagnétiques, etc. Le phénomène de propagation d’un signal ne se limite pas au seul domaine d’application de la physique « pure » : la holà qui se propage dans les gradins d’un stade (doc. 18), la propagation d’une information, en sont d’autres exemples. Nous nous proposons d’étudier la propagation d’une ou plusieurs grandeurs physiques, pour laquelle nous définirons une vitesse de propagation. Nous éta-

16

Doc. 18. Évolution d’une holà dans un stade : les individus restent à leur place mais l’onde se propage.

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) blirons pour cela une équation caractérisant la propagation de la grandeur étudiée : l’équation de propagation. Nous effectuerons ici une approche de ces notions en prolongeant notre étude de la chaîne d’oscillateurs couplés.

3.2. Ondes dans la chaîne d’oscillateurs 3.2.1. Équation de propagation La propagation d’une onde est décrite par son équation d’évolution, encore appelée équation de propagation. L’équation du mouvement du nième mobile : M ˙˙n = K

n–1

– 2K

n

+K

n+1

peut être appelée équation de propagation de la déformation de la chaîne d’oscillateurs par rapport à l’équilibre. 3.2.2. Solutions harmoniques L’équation de propagation de la déformation de la chaîne : ˙˙n =

2 0(

–2

n–1

n

+

n + 1)

avec

0=

K ----M

est une équation linéaire. Cette chaîne étant constituée d’oscillateurs couplés, cherchons s’il existe des solutions oscillantes sinusoïdales, de pulsation ; utilisons la notation complexe et posons : e ( n(t)) = e ( A n e j t ) avec A n = A n e j . n (t) = La variable récurrence :

n (t)

vérifiant l’équation de propagation impose la relation de 2 0

An+1 + (

2

–2

2 0) A n

+

2 0

A n – 1 = 0.

Cherchant A n sous la forme A n = r n , l’équation caractéristique qui est associée à la relation de récurrence donne l’équation du second degré suivante : 2 2 0r

de discriminant

=

2(

+(

2

–4

2

–2

2 0 )r

+

2 0

= 0,

2 0 ).

Les solutions r 1 et r 2 vérifient r 1 r 2 = 1. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

2 0 ), l’une des racines, réelles, est plus Si est positif (c’est-à-dire grande que 1. Nous obtiendrons alors des solutions A n , combinaisons linéain n res de r 1 et r 2 , divergentes. Ceci est physiquement inacceptable pour une chaîne infinie d’oscillateurs idéaux. Le discriminant étant nécessairement négatif, les pulsations des oscillations 2 0. libres seront limitées au domaine : 0 Posons = 2 0 sin ---- , 2 tique prend la forme :

étant compris entre 0 et r 2 – 2r cos

; l’équation caractéris-

+ 1 = 0,

les deux racines de l’équation caractéristique, r 1 et r 2 , complexes conjuguées et de produit égal à 1, s’écrivent : r 1,2 = e ± j

= e ± j ka , en posant k = ---- . a

17

Ondes

Les ondes sinusoïdales se propageant le long de la chaîne sont donc de la forme : n (t)

= A + e j(

t – nka )

= A + e j(

t – nka +

+ A e j( 0+ )

t + nka )

+ A e j(

t + nka +

0– )

.

Les mouvements oscillants des masses s’écrivent, en notation réelle : n (t)

= A + cos ( t – nka +

0+ )

+ A – cos ( t + nka +

0– ).

L’équation de propagation impose une relation entre w et k appelée relation ka 4K ka de dispersion : 2 = 4 02 sin 2 ⎛ ------⎞ = ------- sin 2 ⎛ ------⎞ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ M Les fréquences d’oscillations libres de la chaîne infinie décrivent une bande de 2 1 4K fréquences allant de 0 à --------0- = ------- ------- . 2 2 M 3.2.3. Ondes progressives monochromatiques Considérons l’onde n (t) = A + cos ( t – nka + 0+ ). Le déplacement de la nième masse correspond à la valeur de cette fonction d’onde (x, t) en x = na, position d’équilibre de ce mobile :

n (t)

=

(x, t) ( x = na ) .

3.2.3.1. Onde monochromatique ou harmonique En optique, les ondes électromagnétiques composant la lumière ont une couleur liée à leur fréquence. Par extension, nous dirons que l’onde harmonique (x, t) = A + cos ( t – kx + 0+ ) est une onde monochromatique, ou onde harmonique. 3.2.3.2. Onde progressive La fonction (x, t) prend la même valeur en x + x à l’instant t + t si k x = t (doc. 19). Nous pouvons dire que cette onde monochromatique, caractérisée par sa phase, se déplace à la vitesse, dite de phase : v = ---- . L’onde (x, t) se k déplace et progresse le long de l’axe ( Ox ) de la chaîne à la vitesse v . C’est une onde progressive. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Remarque Il faut bien distinguer la vitesse de déplacement des mobiles : d n(t ) --------------- = ⎛ ----⎝ t dt

(x, t)⎞ ⎠ ( x = na )

et la vitesse de propagation de l’onde, ---- . Si ces deux grandeurs sont homok gènes, elles ne représentent pas du tout la même chose. Dans le cas de la propagation d’une holà dans un stade, par exemple, il est clair que la vitesse d’oscillation d’un spectateur (qui ne quitte pas sa place), perpendiculaire aux gradins, est totalement différente de la vitesse de déplacement de cette même holà, qui est parallèle aux gradins (doc.18). Dans d’autres cas de propagation, les grandeurs qui se propagent ne seront peut-être même pas homogènes à un déplacement ou à une vitesse, mais nous définirons encore une vitesse de propagation de l’onde considérée.

18

ψ

t = t0

t = t0 + Δt vΔt

x

Doc. 19. Onde progressive se propageant à la vitesse v .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) De façon générale, un signal physique, ici une onde, pourra se décomposer en une superposition de composantes harmoniques ; nous le reverrons au chapitre 7 consacré à la dispersion (cf. H-Prépa, Électronique, 1re année, chapitre 12). Les déplacements correspondant aux oscillations libres des mobiles d’une chaîne infinie d’oscillateurs peuvent se mettre sous la forme d’une superposition d’ondes progressives monochromatiques. Les fréquences de ces ondes sont situées dans une bande permise. 3.2.4. Longueur d’onde, vecteur d’onde Les ondes

+ (x,

t) = A + e j(

t – kx)

et

– (x,

t) = A – e j(

t + kx)

ont la même

ω

fréquence. Ces deux ondes progressives se propagent de façon similaire le long de la chaîne, mais dans des directions opposées. À une onde progressive monochromatique

(x, t) = A e j(

t – kx) ,

2ω 0

nous asso-

cierons un vecteur k = ke x , appelé vecteur d’onde, qui indique sa direction de propagation (en prenant k algébrique, positif ou négatif, pour tenir compte des deux sens de propagation). La pulsation et le vecteur d’onde sont liés par la relation de dispersion (k) dont le graphe est représenté sur le

– πa

document 20. Ce graphe est limité à la zone – ---- k ---- (appelée première a a 2 zone de Brillouin), car les valeurs k et k + ------- correspondent à la même solua tion physique n (t). Une onde progressive monochromatique a deux périodicités : la période tem2 2 porelle T = ------- et la période spatiale, ou longueur d’onde, l = ------- . qui k sont liées par l = v T ; v représente la vitesse de propagation de la phase « t – kx » : c’est la vitesse de phase.

= A e j(

t – nka )

+ A e j(

Doc. 20. Courbe de dispersion.

3

Modes propres d’une chaîne d’oscillateurs On reprend l’exemple d’une chaîne finie de N oscillateurs ( n = 1, …, N ) dont les extrémités sont fixées à deux parois d’abscisses x = 0 et x = ( N + 1 )a . 1) Montrer que la compatibilité des solutions : n(t )

k

1) L’équation d’évolution :

˙˙n =

[

n–1

–2

n

+

n + 1]

impose la relation de dispersion écrite précédemment. De plus, les équations d’évolution des mobiles n = 1 et n = N sont : ˙˙1 =

t + nka )

avec ces conditions aux limites impose une quantification de leur longueur d’onde. Exprimer le déplacement réel des masses correspondant. 2) Combien de valeurs quantifiées acceptables obtient-on ? Commenter. Les placer sur le graphe de dispersion pour N = 3 .

2 0


Application

0

π a

et

˙˙N =

2 0[– 2 0[

2

N–1

1

+

–2

2] N ].

Vérifier ces deux relations revient donc à introduire deux mobiles fictifs indicés n = 0 et n = N + 1, aux extrémités de la chaîne, pour lesquels à tout instant : 0(t )

= 0

et

N + 1(t )

= 0,

19

Ondes

A e – j ( N + 1 )ka + A e j ( N + 1 )ka = 0

soit :

A +A

et

= 0.

L’obtention de solutions non nulles impose : p sin ( [ N + 1 ] ka ) = 0, soit k = ---------------------- = k p , ( N + 1 )a où p est un entier naturel (k est ici positif, l’onde « – k » étant comprise dans la solution envisagée). Les longueurs d’ondes ne peuvent ainsi prendre qu’une série de valeurs discrètes : 2 ( N + 1 )a l p = ------------------------- . p Le déplacement de la n ième masse s’écrit, pour le mode p : n ( t ) = 0 sin ( nk p a ) sin ( t + ) , avec

0

= A

= A

et

= arg ( A ).

p=1

p=3

p=2 p=N

Doc. 21. Représentation des modes propres.

Cette expression nous permet de comprendre l’allure des représentations symboliques des mouvements de

la chaîne que nous avions donnés par anticipation au § 1.3, représentés sur les documents 11 et 21 pour p = 1, p = 2, p = 3 et p = N . 2) Les pulsations des oscillations libres sont limi-

tées à la bande [ 0 ; 2

ω ω3 ω2 ω1

ω max

3 2 1

k π 4a

π 2a

3π 4a

π a

Doc. 22. Modes propres placés sur la courbe de dispersion pour N = 3 .

La chaîne d’atomes couplés élastiquement (rappel linéaire) par des ressorts constitue une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires dans un solide, c’est-à-dire la propagation du son dans un solide. Celui-ci est, en effet, constitué d’empilements réguliers d’atomes (de molécules ou d’ions) ; les forces, rappelant un atome vers sa position d’équilibre, peuvent être modélisées, à l’ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles. (Nous supposons ici le solide homogène et isotrope.)


les valeurs de k à l’inter-

valle 0 ; ---- et l’entier p est limité à la série de a valeurs : p = 1, p = 2, …, p = N ( p = 0 donne une solution nulle, et p′ = p + N + 1 redonne la solution du mode p). Nous avons donc N modes d’oscillations de la chaîne des N oscillateurs fixés à ses extrémités. Les points représentant les modes p = 1, 2 et 3 de trois oscillateurs identiques couplés sont positionnés sur la courbe du document 22.

3.2.5. Approximation des milieux continus

Dans un solide, les atomes ne sont séparés que de quelques dixièmes de nanomètres, et les longueurs d’onde l des ondes sonores qui s’y propagent sont en pratique très grandes devant la distance interatomique a : a l. 1 les valeurs n (t) et n + 1 (t) des déplacements de deux mobiPour k a les voisins diffèrent très peu. L’ensemble des valeurs n (t) décrit de façon quasi continue les valeurs prises par la fonction d’onde (x, t). Nous pourrons utiliser une approximation de milieu continu si la dimension caractéristique du milieu (la longueur a pour la chaîne d’oscillateurs) est petite devant la longueur d’onde l des ondes qui se propagent : a l.

20

0 ],

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) 3.2.6. Équation de d’Alembert Dans ces conditions, nous pouvons écrire : n + 1 (t) n – 1 (t)

= =

a2 2 + a ------- + ----- --------2- + … x 2! x

(x = (n + 1)a, t) =

a2

– a ------- + ----- --------2- + … x 2! x

(x = (n – 1)a, t) =

L’équation de propagation : ˙˙n =

2 0(

n–1

–2

n

+

( x = na, t)

2

.

( x = na, t)

n + 1)

prend la forme d’une équation aux dérivées partielles : 2

2 2 0a

--------2- = t appelée équation de d’Alembert.

2

--------2- , x

Dans l’approximation du milieu continu, l’équation de propagation des déformations de la chaîne de masses couplées est l’équation de d’alembert à une dimension : 2 1 2 ---------2- – ----2- ---------2- = 0 . c t x K ----- est une vitesse, grandeur caractéristique de la propagaM tion. Dans l’approximation du milieu continu, la relation de dispersion devient (doc. 23) :

c =

0a

= a

k =ω c ω

2ω 0

k –π a

0 approximation du milieu continu : k a << 1

2

k 2 = -----2- . c La vitesse de propagation des ondes progressives monochromatiques est alors a. v = c. Elle est indépendante de la fréquence de ces ondes, si l

π a

Doc. 23. Courbe de dispersion pour

l.

a

Les ondes décrites par l’équation de d’alembert se propagent à la vitesse c qui est caractéristique du milieu de propagation.

K a2 . ---------M Il est aussi d’usage de l’écrire sous la forme : cs =

cs =

E --- ,

où E est le module de Young, ou module d’élasticité, du matériau et masse volumique.

sa

On applique aux deux extrémités d’une tige cylindrique une force F colinéaire à l’axe du cylindre (doc. 24). Si la force F est suffisamment faible, la déformation est élastique et la longueur de la barre vérifie : = où E est le module de Young et

0

E

F section droite S

Doc. 24. Élongation d’une tige cylindrique.

F⎞ ⎛ + -----ES⎠

0⎝1

la longueur en l’absence de contrainte.

21


La vitesse de propagation du son dans un solide est ainsi, pour le modèle que nous avons développé, égale à :

Ondes

Le document 25 nous montre que le son se propage nettement moins vite dans les solides « mous » (plomb) que dans les solides « durs » (granit). Comparée à la vitesse du son dans l’air qui est de l’ordre de 340 m . s – 1 , la vitesse du son dans les solides apparaît assez élevée. Remarque L’approximation du milieu continu permet de modéliser le comportement d’un milieu discret à une description continue, comme nous venons de le faire. En revanche, elle n’implique pas nécessairement l’obtention de l’équation de propagation de d’Alembert. Nous obtiendrons, par exemple, dans l’exercice 6 une autre équation de propagation, appelée équation de Klein-Gordon.%%% Pour s’entraîner : ex. 4.

3.3. Conclusion sur la propagation De façon plus générale, une équation de propagation dans un milieu continu peut être vue comme une équation aux dérivées partielles reliant les dérivées partielles (de la grandeur qui se propage) par rapport à la position (à une dimension comme ci-dessus, ou à plusieurs si on imagine, par exemple, des ondes à la surface d’un liquide, ou des ondes émises dans l’espace par une source lumineuse ponctuelle, …) aux dérivées partielles par rapport au temps (ci-dessus n’intervient que la dérivée seconde par rapport au temps, mais il peut n’intervenir que la dérivée première, ou aussi les deux (cf. chapitre 8)). La grandeur qui se propage peut être un scalaire (suppression dans le cas des ondes sonores dans un fluide (cf. chapitre 4) ou un vecteur (ondes électromagnétiques : (cf. chapitres 5, 6, 8 et 9). Dans le cas présent la déformation est longitudinale mais elle peut être aussi transversale dans une seule direction comme sur une corde vibrante (cf. chapitre 2) ou dans deux directions (cf. exercice 6 de ce chapitre et le chapitre 5). Le plus souvent cette équation de propagation est linéaire (contre-exemple dans le chapitre 3, exercice 7). Nous pouvons alors utiliser les outils mathématiques de l’analyse de Fourier et donc nous intéresser à des solutions sinusoïdales qui sont souvent recherchées de la forme dite onde plane progressive c’est-à-dire : ( x, t ) = Re ( ( x, t ) )


avec

( x, t ) =

⎛

0 exp ⎝ i

x ⎞⎞ ⎛ t – ----⎝ v ⎠⎠

où l’onde se propage à la vitesse (dite de phase) vj . Cette vitesse peut dépendre de la pulsation w : c’est le phénomène de dispersion qui sera étudié au chapitre 7. Nous en avons eu une première approche ici (§ 3. 2. 2) lorsque nous avons posé k = ----- et que nous avons trouvé une relation (dite de disperv et k qui n’était pas ---- = constante. En passant au milieu continu k cette relation de dispersion est devenue :

sion) entre

K ---- = a ----- = cte k M et il n’y a plus dispersion : toutes les ondes, sinusoïdales ou non, se propagent alors à la même vitesse ; comme dit à la fin de paragraphe précédent, ceci n’est pas général et le lecteur pourra le vérifier en étudiant l’exercice 6 de ce chapitre.

22

solide

vitesse du son (m . s – 1)

plomb

1 230

plexiglass

1 840

cuivre

3 750

aluminium

5 100

fer

5 130

granit

6 000

Doc. 25. Vitesse du son dans quelques solides.


CQFR ●

OSCILLATEURS COUPLÉS

• Oscillations libres, modes propres Les mouvements d’un système (stable) dont l’évolution est décrite par un système différentiel linéaire résultent d’une superposition de mouvements correspondant aux modes propres du système. Les pulsations de ces modes sont les pulsations propres du système. Si le système est excité initialement dans l’un de ses modes propres, il y reste par la suite. • Oscillations forcées Pour un oscillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon facteur de qualité, l’amplitude de ses déplacements devient importante lorsque la pulsation de l’excitation est proche de sa pulsation propre. Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) est soumis à une excitation sinusoïdale permanente de pulsation , l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient importante lorsque la pulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsations propres du système. ●

PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

• Origine Dans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’un mobile induit une force qui agit sur ses plus proches voisins, les mettant en mouvement. Leurs déplacements induisent de nouvelles forces, donc de nouveaux déplacements. La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de proche en proche dans la chaîne. La grandeur qui se propage (le déplacement des mobiles de la chaîne) est une onde. L’existence de deux grandeurs (déplacements et forces), qui se créent l’une l’autre (grandeurs couplées), est à la base des phénomènes de propagation d’ondes. • Équation de propagation L’équation du mouvement du nième mobile : M ˙˙n = K

n–1

– 2K

n

+K

n+1

peut être appelée équation de propagation de la déformation de la chaîne d’oscillateurs par rapport à l’équilibre. Les déplacements correspondant aux oscillations libres des mobiles d’une chaîne infinie d’oscillateurs peuvent se mettre sous la forme d’une superposition d’ondes progressives monochromatiques. Les fréquences de ces ondes sont situées dans une bande permise. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

• Approximation des milieux continus et équation de d’Alembert Nous pourrons utiliser une approximation de milieu continu si la dimension caractéristique du milieu (la longueur a pour la chaîne d’oscillateurs) est petite devant la longueur d’onde l des ondes se propageant : a l. Dans l’approximation du milieu continu, l’équation de propagation des déformations de la chaîne de masses couplées est l’équation de d’Alembert à une dimension : 2 1 2 --------2- – ----2- --------2- = 0 . c t x

Les ondes décrites par l’équation de d’Alembert se propagent à la vitesse c qui est caractéristique du milieu de propagation.

23

Exercices Oscillations de deux flotteurs Deux flotteurs cylindriques, identiques (de section s et de masse m) peuvent osciller dans l’eau d’un récipient de section S. Soit la masse volumique de l’eau. Les positions des flotteurs sont repérées par leurs déplacements verticaux x 1 et x 2 par rapport à leurs positions d’équilibre respectives.

x

section s

x1

x2

0

x

g

Avec le déplacement sinusoïdal défini précédemment, quelles conditions doivent vérifier K 2 et m 2 pour qu’en régime permanent x1 reste constamment nul ?

Modes propres d’un système de trois mobiles identiques couplés 1) Écrire le système d’équations du mouvement d’un système de trois mobiles couplés identiques, tel que celui étudié au § 1.2. Rechercher les pulsations propres de ce système en utilisant la méthode préconisée dans l’application 2. 2) Interpréter les trois modes propres obtenus en termes de mouvements des trois mobiles couplés. 3) Montrer que la condition de quantification obtenue dans l’application 3, injectée dans la relation de dispersion obtenue § 3.2.2, permet de retrouver ces trois modes propres d’oscillation. K

© Hachette Livre – H Prépa /Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

1) Déterminer le système d’équations différentielles qui définit le mouvement des deux flotteurs (on admettra que la surface libre reste horizontale et que le théorème d’ARCHIMÈDE est applicable). 2) Résoudre ce système en supposant qu’à l’instant initial, les deux flotteurs sont dans leurs positions d’équilibre respectives, avec des vitesses initiales 2 v 0 pour le premier et v 0 pour le second.

Étouffeur « de vibrations » Soit l’oscillateur repréA K1 m1 senté ci-contre. L’extrémité A du ressort y(t) x1(t) subit un déplacement sinusoïdal de la forme y ( t ) = y 0 sin t (on supposera K 1 ≠ m 1 2 ).

x

1) Déterminer en régime permanent le déplacement x 1 ( t ) de l’oscillateur par rapport à sa position d’équilibre.

24

K

M

K

M

K

section S

section S

2) Un second oscillateur est placé à la suite de l’oscillateur précédent (schéma ci-contre).

M

A K1 y(t)

x1(t)

m1

K2 x2(t)

m2

x

ψ1

ψ2

ψ3

Échelle de perroquet Une échelle de perroquet, suspendue au plafond, est O constituée de barreaux identiques, de moment d’inertie J par rapport à leur axe (vertical) de rotation ( Ox ). Les a θn barreaux sont liés deux à deux par des fils de torsion, de longueur a, de constante de raideur C. Soit n l’angle de rotation du nième barreau x par rapport à sa position d’équilibre. 1) Quelle est l’équation de propagation d’une onde de torsion le long de l’échelle de perroquet ? 2) Que devient-elle dans l’approximation des milieux continus ? 3) Quelles sont les grandeurs analogues aux constantes 0 et c du § 3.2.6 ?


Frottements sur les mouvements libres de deux mobiles couplés

a

On s’intéresse aux modifications apportées par de « faibles » frottements fluides sur les mouvements libres de deux mobiles couplés de masse M, identiques à ceux qui ont été étudiés § 1.2. Le ressort central a une raideur K et les deux autres une raideur 4 K. On notera f i = – v i les forces dues aux frottements fluides ( constante positive et v i désigne la vitesse du mobile 1 ou du mobile 2). On posera M 0 2 K 1. 0 = ----- et Q = ------------ avec Q M 1) Établir les équations des mouvements libres. 2) Le système étant initialement excité dans l’état d 1 d 2 1 = 0 , --------- = 0 , 2 = 0 , --------- = 0 , exprimer les dt dt évolutions 1 ( t ) et 2 ( t ) des deux mobiles. 3) Tracer les chronogrammes correspondants.

* Équation de propagation de Klein-Gordon On étudie la propagation d’onde le long d’une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L, couplés par des ressorts de raideur K, représentés sur le schéma ci-après.

x

Z

On

L

θn M

ψn–1

On notera

ψn

0

K ----- et M

=

ψn+1

g --- . L

=

0

• Quelle est l’équation de propagation liant les petits déplacements n ≈ L n , n – 1 et n + 1 des extrémités des pendules ? Quelle est la relation de dispersion des ondes progressives monochromatiques caractérisant cette propagation ? • Représenter la relation de dispersion en précisant la bande permise pour les pulsations d’oscillations libres de la chaîne de pendules couplés. • Préciser la forme prise par ces résultats dans l’approximation des milieux continus.

1) Lorsque les flotteurs se déplacent verticalement, le niveau de l’eau dans le récipient est modifié. En appelant x le déplacement algébrique de ce niveau (mesuré sur un axe vertical ascendant), il vient : ( x 1 + x 2 )s = – x ( S – 2 s ) puisque le volume de l’eau reste évidemment constant (si x 1 et x 2 sont positifs, x est négatif). Le théorème de la résultante cinétique appliqué à chaque flotteur en projection sur l’axe vertical ascendant donne : ⎧ mx˙˙1 = – mg + ( V im – ( x 1 – x )s )g ⎨ ⎩ mx˙˙2 = – mg + ( V im – ( x 2 – x )s )g Dans ces équations,Vim désigne le volume de la partie immergée de chaque flotteur à l’équilibre : m = V im . ⎧ ˙x˙1 = – En éliminant x, on obtient : ⎨ ⎩ ˙x˙2 = –

2 1 x1

–

2 2 x2

2 2 x1

–

2 1 x2

où

2 1

g s(S – s) = ----- ------------------ et m S – 2s

2 2

g s2 = ----- ------------- . On remarque que m S – 2s

1

2.

2) La somme et la différence membre à membre de ces deux équations conduisent respectivement à : ⎧ ˙x˙1 + ˙x˙2 = – ⎨ ⎩ ˙x˙1 – ˙x˙2 = – 2 1

2 1

2 2

2 2

avec et = + = compte tenu des conditions initiales : 3v x 1 + x 2 = -------0 sin 1

d’où :

1t

v 3 x 1 = ----0 ⎛ ------ sin 2⎝ 1 v 3 x 2 = ----0 ⎛ ------- sin 2⎝ 1

2 1 ( x1

+ x2 )

2 2 ( x1 2 1–

– x2 ) 2 2

. Les solutions s’écrivent

v et x 1 – x 2 = -----0- sin 2

1t

1 + ------ sin

1t

1 – ------- sin

2

2

2 t,

⎞

2 t⎠

⎞.

2 t⎠

25

© Hachette Livre – H Prépa /Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Corrigés

Corrigés • Pour le mode 2 : = 2 , donc 2 = 0 et 1 = – 3 . Le mobile central est immobile, les mobiles 1 et 3 vibrent en opposition de phase avec la même amplitude. • Pour le mode 3 : = 3 , donc 2 1 = 2 = 2 3. Les trois

1) L’équation du mouvement de la masse m 1 s’écrit : m 1 ˙x˙1 = – K 1 ( x 1 – y ), K1 2 2 2 . soit ˙x˙1 + 1 x 1 = 1 y 0 sin t en posant 1 = -----m1 En régime permanent, l’oscillateur effectue des oscillations forcées : 2 1

- sin t , x 1 = y 0 -----------------2 2 1– dont l’amplitude peut être très grande si la pulsation est proche de la pulsation propre 1 . 2) D’inévitables forces de frottements (négligées pour les calculs qui suivront) ont amorti les oscillations qui peuvent se produire durant le régime transitoire de « lancement » des oscillateurs. On n’étudie que le régime permanent sinusoïdal. En supposant x 1 = 0 , les équations du mouvement de chaque oscillateur ⎧ 0 = K1 y + K2 x2 s’écrivent : ⎨ ⎩ m 2 ˙x˙2 = – K 2 x 2 En régime permanent, x2 doit donc vérifier : K K x 2 = – -----1 y = – ------1 y 0 sin t avec K2 K2

K -----2- = m2

2

1) Les équations du mouvement s’écrivent, en notant

– K(

1

–

2)

+ K(

1

–

2)

1

+ K(

On cherche des solutions

1,

et

2

1

3,

2 2

–

–

,

2

et

3) 1)


proportionnelles à en notation complexe : j t, j t et = e 1 10 2 = 20 e

3

de pulsation

, donc

3

=

30 e

j t.

Le système linéaire homogène est le suivant : ⎧(– ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

+2

2 0)

–(

2 0)

10 10

2

2 0)(–

+2

+2

2 0)

–( 20 et

2 0)

– + (–

qui admet des solutions est égal à zéro : (–

(

2 0)

2

10 ,

2

+ (2 + 2)

30

= 0

20 20

–

2 0)

(

30

= 0

2 0)

+2 20 + ( – 30 = 0 non triviales si son déterminant 2

2 0)(–

2

+ (2 – 2)

2 0)

= 0.

Il existe trois pulsations propres : 1

=

0

2– 2 ;

2

=

0

2 ;

3

=

0

2+ 2.

2) • Pourlemode 1 : = 1 ,donc 2 1 = – 2 = 2 3.Lesmobiles 1et3vibrentenphaseaveclamêmeamplitudetandisquelemobilecentral2esten oppositiondephaseavecsesvoisins(sonamplitudeétant 2 foisplusgrande).

26

2

3

mode de vibration ω 2 2

3

Au § 3.2.2, on a trouvé pour une chaîne d’oscillateurs, la relation de ka = 2 0 sin ----- (en supposant k 0). On a appris (cf. dispersion 2 Application 3) que la norme k du vecteur d’onde est nécessairement liée à la p distance à l’équilibre entre les mobiles par k = -------------------- . ( N + 1 )a Sachant que N = 3 et p = 1 , 2 ou 3, la pulsation prend donc les trois valeurs : 1

= 2

0

sin ---- = 8

0

2 – 2;

sin ---- = 0 2 ; 4 3 • pour p = 3 : 3 = 2 0 sin ------- = 0 2 + 2 ; 8 1 1 en utilisant : cos ---- = sin ---- = ------ , sin 2 ---- = -- ⎛ 1 – cos ----⎞ et 4 4 8 2⎝ 4⎠ 2 • pour p = 2 :

–K

3

mode de vibration ω 3

ej t

2

1

• pour p = 1 : – K(

2

mode de vibration ω 1

.

les déplacements des masses par rapport à leur position d’équilibre : ⎧ M ˙˙1 = – K ⎪ ⎨ M ˙˙2 = ⎪ ˙˙ ⎩M 3 =

1

1

Dans ces conditions, le second oscillateur « étouffe » les oscillations du premier oscillateur. Ce système est utilisé lors de la conception de certaines machines afin de réduire d’inévitables vibrations.

3

mobiles oscillent en phase, le mobile central ayant une amplitude 2 fois plus grande que ses voisins. On confirme ainsi les résultats qui sont illustrés sur le document 11 de ce chapitre.

1

= 2

0

3 1 sin 2 ------- = -- ⎛ 1 + cos ----⎞ . 8 2⎝ 4⎠ 1) Le théorème du moment cinétique appliqué au nième barreau en projection sur l’axe de rotation vertical donne : J ˙˙n = – C ( n – n – 1 ) – C ( n – n + 1 ) = C ( – 2 n + n – 1 + n + 1 ) On obtient ainsi l’équation de propagation du mouvement de torsion dans la chaîne de barreaux couplés deux à deux. Elle correspond exactement à celle trouvée pour les oscillations du § 3. Dans l’approximation des milieux continus, en substituant à l’ensemble discret desvaleurs n ( t ) desanglesderotationdesbarreaux(lenième barreauestàl’abscisse x n = na ) la fonction ( x, t ) , on a

n–1

+

n+1

–2

2

n

= a 2 --------2 x

2 J 2 et on retrouve ainsi l’équation de d’Alembert : -------2- – --------2 -------2- = 0 . x Ca t

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide

ici la valeur

0

0

K ---- obtenue pour la chaîne de mobiles correspond M

=

C. --J

=

De même, la vitesse c de l’onde de torsion s’écrit c =

0a

0,5

Ca 2 . -------J

=

1) Le système d’équations différentielles s’obtient immédiatement : M ˙˙1 = – 4K M ˙˙2 = – 4K

– l ˙1 = – 5K ˙ 2 – K ( 2 – 1 ) – l 2 = – 5K 1

– K(

–

1

1

+K

2

2

+K

1

2)

– l ˙1 –l ˙. 2

2) Par somme et par différence membre à membre, le système d’équations de la question 1) devient : ˙u˙ + ------0 u˙ + 4 20 u = 0 v˙˙ + ------0 v˙ + 6 Q Q en posant u = 1 + 2 et v = 1 – 2 . Compte tenu des conditions initiales, u et v s’écrivent : ⎧ ⎪u(t) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪v(t) = ⎩ avec

=

1

On en déduit : ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

0

2 0v

0 ------0 sin 1 t ⎞ – 2Q 1 t + ------ -------------- ⎠ e 2Q 1

⎛ 0 ⎝ cos

0 ------0 sin 2 t ⎞ – 2Q 2 t + ------ -------------- ⎠ e 2Q 2

1 4 – --------2 et 4Q

1

0

1 6 – --------2 ( Q 4Q

1t

– cos

2t

1) .

20

40

avec

sin 1 t sin 2 t ⎞ ⎞ + -----0- ⎛ -------------– -------------⎠⎠ 2Q ⎝ 2 1

0t – ------e 2Q

0

0

K ---- et : M

=

80

n–1

0

n

0

n–1

0

= 4

2 2⎛ 0 sin ⎝

ka ⎞ ----- + 2⎠

2 0.

Ω0

–π a

4

2 0

0

t 60

80

100

k π a

ω

2 0,

+

2

–0,5

n+1

1

2

2

asymptote ω = ck k

2

--------2- – c 2 --------2- + 0 x t appelée équation de Klein-Gordon. La relation de dispersion prend la forme : 40

n+1

n

la relation de dispersion étant représentée, dans la première zone de Ω 0 Brillouin, sur le schéma ci-contre. Dans l’approximation du milieu 0 continu, l’équation devient :

0,5

20

n

g --L

=

La bande de pulsations permises est : [ 0 ; 1 ] avec :

ψ 1(t)(mm)

0

100

( 0 est la pulsation propre d’oscillation du pendule simple libre). La relation de dispersion est ω imposée par cette équation de propagation : Ω

1=

–1,0

60

n

n

3) Les graphes ci-après représentent les fonctions 1 ( t ) et 2 ( t ) pour –1 et Q = 10 . On constate 0 = 1 mm, 0 = 1 rad · s l’amortissement des oscillations à travers une décroissance exponentielle de l’amplitude des battements (cf. Application 2) : l’énergie mécanique du système d’oscillateurs diminue. Elle est convertie en énergie thermique. 1,0

0

n

t

= -----0 ⎛ cos 2 ⎝

t

L’équation de propagation le long de la chaîne de pendules est donc : ˙˙ = – 2 + 2 ( –2 + )

0 sin 2 t ⎞ ⎞ – ------0⎛ 0 ⎛ sin 1 t 2Q 1 ( t ) = ----- ⎝ cos 1 t + cos 2 t + ------ ⎝ -------------- + -------------- ⎠ ⎠ e 2 2Q 2 1

2(t)

–0,5

Le théorème du moment cinétique appliqué au nième pendule, au point fixe O n , en projection sur l’axe ( Oz ) , dans l’approximation des petits angles donne : –2 + ). ML 2 ˙˙ = – MgL + KL (

t

=

0

–1,0

= 0

t

⎛ 0 ⎝ cos

ψ 2(t)(mm)

1,0


À la pulsation

= 0,

2

2– -0 . k 2 = -----------------c2

27

2

Corde vibrante : équation de d’Alembert PC-PSI


■ Propagation d’une onde transversale dans une corde vibrante. ■ Équation de d’Alembert, ondes progressives. ■ Modes propres, analyse harmonique.

■ Approche de la propagation d’ondes à l’aide de la chaîne d’oscillateurs.

28

Au chapitre 1, l’étude du comportement d’une chaîne d’oscillateurs couplés nous a permis d’aborder le phénomène de propagation. Dans le cadre de l’approximation du milieu continu, la propagation le long de cette chaîne était décrite par l’équation de propagation de d’Alembert. En étudiant d’emblée la propagation d’ondes dans un milieu continu, la corde vibrante, nous retrouverons cette même équation. Nous étudierons alors quelques ondes caractéristiques solutions de celle-ci. Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) est connu pour son implication avec Diderot dans l’élaboration de l’Encyclopédie. Ses travaux portèrent également sur des problèmes de dynamique, ce qui l’amena à étudier les équations différentielles, et les équations aux dérivées partielles.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

1

É qu at i o n d e d ’A l e m b e r t

1.1. Observation de la propagation le long d’une corde Une ficelle, dont une extrémité est fixée à un mur, est maintenue tendue par un observateur (doc. ). Lorsque l’expérimentateur imprime une secousse à l’extrémité de la corde, ce déplacement ne met pas brutalement en mouvement toute la corde : une onde, caractérisée par le déplacement d’un point de la corde, se propage le long de celle-ci, milieu de propagation matériel et continu. 1.1.1. Ondes transverses et longitudinales Nous retrouvons un phénomène de propagation d’onde, présentant des similitudes avec la propagation des déformations le long d’une chaîne de mobiles couplés : la déformation imposée à la corde se propage le long de la corde.

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783).

Dans les deux cas, l’onde se propage dans la direction (Ox) de la corde ou de la chaîne de mobiles. Cependant :

t0 : 0,2 L c

• le mouvement des mobiles considérés est parallèle à (Ox) ;

ct0

• le déplacement de la corde est perpendiculaire à cette direction de propagation. Dans le cas de la chaîne de mobiles, nous parlerons d’ondes longitudinales, alors que dans le cas de la corde, il s’agit d’ondes transverses. 1.1.2. Sens de propagation – Ondes progressives Observons plus attentivement la propagation le long de la corde en prenant des clichés de celle-ci aux instants successifs (doc. 1) : t 0 , t 1 = t 0 + Δt, t 2 = t 0 + 2Δt, …, t n = t 0 + n Δt .

L

x

O t1 : 0,5 L c

Nous constatons que la déformation de la corde est à chaque fois la même, mais qu’elle se déplace pendant un intervalle de temps t, d’une longueur x proportionnelle à Δt : Δx = c Δt .

cΔ t

L’onde de déformation se propage ainsi à la vitesse c constante le long de la corde, dans le sens des x croissants : c’est une onde progressive. ( x, t ) de la corde vérifie : ( x + cΔt, t + Δt ) =

ct0

( x, t ) .

x Une telle fonction reste donc constante si u = t – -- est fixée. Elle ne dépend c que de la seule variable u : x ( x, t ) = f ( u ) = f ⎛ t – --⎞ . ⎝ c⎠ Nous pouvons noter que la fonction d’onde ( x, t ) = f ( u ( x, t ) ) avec x u = t – -- est une solution de l’équation de propagation de d’Alembert, car : c 2 2 f ( u ( x, t ) ) 1 1 2 ----2- f ″ ( u ) = ----2- --------2- . --------2- = ----------------------------= c c t x x2 Remarques • Nous négligeons toute atténuation (qui existe toujours) de la déformation qui se propage le long de la corde.

x

O


Le déplacement

t2 : 0,8 L c 2cΔ t

ct0

x

O

Doc. 1. Propagation d’une déformation imprimée à la corde c Δt = 0 ,3 L ; cli-

chés à t0 , puis t 0 + Δt , puis t 0 + 2Δt ,…

29

Ondes

• Une observation plus prolongée (doc. 2) nous permet de constater que lorsque la déformation arrive au niveau du mur, au point d’ancrage de la corde, elle donne lieu à une onde réfléchie, qui revient vers l’expérimentateur. Elle correspond à une propagation à la vitesse c, dans le sens des x décroissants, d’une onde progressive de la forme :

date : 0,8 L c

x ( x, t ) = g ( v ) = g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠

f(t – xc )

Nous reviendrons sur ce phénomène au chapitre 3.

x

O

1.2. Équations du mouvement de la corde

date : 1,1 L c

La corde considérée possède une masse linéique . Cette corde étant tendue, la pesanteur influence en général fort peu sa forme à l’équilibre ; nous la négligerons donc par la suite. 1.2.1. Description des petits mouvements transverses Nous noterons (doc. 3) : •

( x, t ) le déplacement transversal de la corde à l’abscisse x à la date t ;

•

( x, t ) l’angle de la tangente à cette corde avec l’horizontale en x à la date t.

f(t – xc ) + g(t + xc ) date : 1,4 L c

Remarque Par souci de simplicité, nous ne considérons que des mouvements de la corde contenus dans le plan (xOy). Nous décrivons ainsi son mouvement à l’aide d’une seule variable scalaire : son déplacement ( x, t ) dans la direction (Oy). Les équations que nous écrirons pourraient aussi s’écrire en faisant intervenir un déplacement transverse de nature vectorielle : ( x, t ) =

y ( x,

t ) ey +

z ( x,

Une corde de piano frappée, une corde de guitare pincée vibrent, mais sans s’écarter notablement de leur position d’équilibre : leur forme reste principalement rectiligne. L’angle ( x, t ) repérant l’inclinaison de la corde est très faible. Nous le traiterons comme un infiniment petit d’ordre 1, qui peut être confondu avec sa tangente : ( x, t ) ( x, t ) = ⎛ -------------------⎞ . ⎝ x ⎠


( x, t ) ≈ tan

g(t + xc )

t ) ez .

Nous en reparlerons au chapitre 5 à propos de la polarisation.

dx 2 + d

2

Doc. 2. Réflexion de la déformation de la corde sur le mur.

y

α

2

≈ dx 1 + ⎛ -------⎞ ≈ dx . ⎝ x⎠

Cette abscisse curviligne peut être confondue avec l’abscisse horizontale x, à un terme d’ordre 2 près. Le mouvement d’un point de la corde est négligeable dans la direction (Ox) horizontale (ordre 2) : les vibrations de la corde sont des ondes transverses. 1.2.2. Tension de la corde Notons T ( x, t ) la tension de la corde (c’est un scalaire) existant en x à la date t, et étudions le système de forces s’exerçant sur un élément de corde de longueur dx.

30

x

O

L’abscisse curviligne s mesurée le long de la corde vérifie : ds =

x

O

ψ (x, t) O

x

x

Doc. 3. Notations utilisées pour l’étude du mouvement d’une corde.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) 1.2.2.1. Corde sans raideur Nous supposerons la corde sans raideur : elle n’oppose donc aucune résistance à sa torsion. Dans ces conditions, les diverses forces sont tangentes à la corde.

y corde

Appelons F ( x, t ) (de composantes F x ( x, t ) et F y ( x, t )) la force exercée à l’instant t par la partie de corde d’abscisse inférieure à x sur la partie d’abscisse supérieure à x*.

α (x + dx, t)

u1

ψ (x, t)

• la partie de corde d’abscisse inférieure à x exerce sur cet élément la force

ψ (x + dx, t) x

O

• la partie de corde d’abscisse supérieure à x + dx exerce sur ce même élément

F2

α (x, t) F1

Considérons un élément de corde de longueur dx , situé entre les abscisses x et x + dx (doc. 4) ; sur cet élément de corde : F 1 = + F ( x, t ) = T ( x, t ) u 1 ;

u2

x

x + dx

Doc. 4. Élément de corde de longueur dx.

la force F 2 = – F ( x + dx, t ) = T ( x + dx, t ) u 2 ; u 1 et u 2 sont des vecteurs unitaires tangents à la corde respectivement en x et x + dx à la date t.

* Notation :

Compte tenu des approximations (cos

≈1

et sin

≈

), F 1 et F 2 ont pour

composantes : • sur (Ox) : F 1 x ≈ – T ( x, t )

et

F ( x, t ) est la force exercée à l’instant t par la partie de corde d’abscisse inférieure à x sur la partie d’abscisse supérieure à x.

F 2 x ≈ +T ( x + dx, t ) ;

• sur (Oy) : F 1 y = +F y ( x, t ) ≈ – T ( x, t ) ( x, t ) F 2 y = – F y ( x + dx, t ) ≈ T ( x + dx, t ) ( x + dx, t ) .

et

1.2.2.2. Tension de la corde Les mouvements d’un élément de corde de longueur dx sont transverses. L’application de la relation fondamentale de la dynamique, à l’élément de corde de longueur dx, donne en projection sur (Ox) : T ( x + dx, t ) – T ( x, t ) = 0 , soit T ( x + dx, t ) = T ( x, t ) = T 0 ( t ) .


À une date t, la tension T de la corde est donc uniforme le long de celle-ci. La longueur de la corde ne variant pas (à l’ordre un), la tension T s’identifie à la valeur T 0 caractérisant la tension de la corde immobile : T ( x, t ) = T 0 . Nous en déduisons : F 1 y = +F y ( x, t ) = −T 0 ( x, t ) F 2 y = – F y ( x + dx, t ) = T 0 ( x + dx, t ) .

et

1.2.2.3. Équation du mouvement transverse Écrivons la relation fondamentale de la dynamique pour l’élément de longueur dx (masse dx ) en projection sur l’axe (Oy) : 2 F dx --------2- = F 2 y + F 1 y = – F y ( x + dx, t ) + F y ( x, t ) = – ---------y dx = +T 0 ------- dx, x x t

d’où :

2

2

--------2- = T 0 ------- = T 0 --------2- . x t x

31

Ondes

1.2.3. Équation de propagation Nous trouvons une équation de propagation de d’Alembert : 2 1 2 ---------2- – -----2 ---------2- = 0 c t x

La grandeur c =

avec

c =

T -----0- .

T -----0- , homogène à une vitesse, caractérise cette propagation.

( x, t ) De même que le déplacement ( x, t ), la vitesse v ( x, t ) = ------------------- et l’angle t ( x, t ) vérifient l’équation de propagation de d’Alembert. 1.2.4. Équations de couplage L’équation de propagation a été obtenue à partir de deux équations couplées 2 1 Fy ⎧ -------⎪ t 2- = – ---- -------x liant F ( x, t ) et ( x, t ) : ⎨ . Il est possible de rendre ⎪ ⎩ F y = – T 0 = – T 0 -----x ce système d’équations couplées « plus symétrique » en introduisant la vitesse ( x, t ) de déplacement transverse v ( x, t ) = ------------------- , ce qui donne : t

⎧ 1 F y ( x, t ) v ( x, t ) ⎪ ----------------- = – ---- --------------------⎪ x t . ⎨ v ( x, t ) ⎪ F y ( x, t ) ----------------- = – T0 ⎪ --------------------x t ⎩ Le phénomène de propagation est contenu dans ce système d’équations couplées liant les évolutions de la vitesse transverse v ( x, t ) et de la composante


transverse de la force F ( x, t ) de la tension de la corde. Une déformation de la corde entraîne l’apparition d’une force F ( x, t ), qui peut elle-même entraîner une vitesse de déplacement, etc. Nous retrouvons ici un couplage semblable à celui qui entraîne la propagation d’une déformation dans la chaîne de masses couplées par des ressorts, étudiée au chapitre 1.

2

O n des p la n e s p rog re ssi ve s

2.1. Ondes planes Nous avons déjà signalé au chapitre 1 que la propagation d’ondes est un phénomène se manifestant, sous des formes plus ou moins complexes, dans de nombreux systèmes physiques. Dans de nombreux cas, la propagation d’une onde peut se faire dans les trois directions d’espace (ondes sonores, ondes électromagnétiques, ...). L’onde est alors caractérisée au point M et à l’instant t par la valeur d’un champ de scalaires (ou de vecteurs) de la forme ( M , t ) = ( x, y, z, t ) appelé « fonction d’onde ».

32

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) Nous dirons par définition qu’une onde est plane si la fonction d’onde ( M, t ) (scalaire ou vectorielle) ne dépend que d’une coordonnée cartésienne d’espace. Les exemples que nous avons traités jusqu’à présent correspondent à des cas de propagation unidimensionnelle : la nature des milieux (corde, …) limite la propagation des ondes à une seule direction d’espace, et la fonction d’onde est de la forme ( x, t ). Ces ondes sont donc planes. La dénomination « onde plane » peut sembler, pour l’instant, redondante. Ce point de vocabulaire prendra toute sa signification lorsque nous aborderons l’étude d’ondes pouvant se propager dans plusieurs directions d’espace : les ondes planes seront alors des ondes particulières et particulièrement simples. L’équation de propagation, ici l’équation de d’Alembert, prend alors la forme plus générale suivant : 1 2 Δ – ----2- --------2- = 0 , c t où Δ est l’opérateur laplacien que l’on applique à la fonction d’onde scalaire ( M , t ) . Si l’on privilégie les coordonnées cartésiennes, alors ( x, y, z, t ) a pour laplacien : Δ

2

2

2

= --------2- + --------2- + --------2- . x y z

Équation de d’Alembert à trois dimensions. Dans le cas le plus général d’un problème à trois dimensions, l’équation de d’Alembert s’écrit : D 2

2

2

1 2 = 0 – ---- ---------c2 t2

= ---------2- + ---------2- + ---------2- , le laplacien de x y z cartésiennes. avec D

, en coordonnées

Remarque © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

On peut définir des ondes sphériques : la fonction d’onde ( M , t ) (scalaire ou vectorielle) ne dépend que de la seule coordonnée « r » des coordonnées sphériques d’espace.

2.2. Ondes planes progressives (O.P.P.) Nous avons, au chapitre 1 comme au § 1.1.2 de ce chapitre, dégagé la notion d’onde progressive, qui se propage à vitesse c dans une direction parallèle à (Ox). Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une direction et un sens bien déterminés. 2.2.1. Onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants La fonction d’onde : ( x, t ) = f ( u ) ,

33

Ondes

x où f , fonction de la variable u = t – -- , correspond à une onde plane progresc sive qui se propage à la vitesse c, dans le sens des x croissants, car ( x + Δ x, t + Δ t ) = ( x, t ) si Δ x = c Δt (doc. 5a).

ψ

cΔ t

Nous savons aussi qu’il s’agit d’une solution de l’équation de d’Alembert. 2.2.2. Onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x décroissants De façon analogue, la fonction d’onde : ( x, t ) = g ( v ) , x où g, fonction de la variable v = t + -- , correspond à une onde progressive qui c se propage à la vitesse c, dans le sens des x décroissants, car : ( x + Δ x, t + Δt ) = ( x, t ) si Δ x = – c Δt (doc. 5b). C’est aussi une solution de l’équation de d’Alembert.

2.3. Solution générale de l’équation de d’Alembert Nous avons rencontré déjà deux fois l’équation de d’Alembert dont nous avons rappelé ci-dessus des solutions. Nous voulons maintenant trouver toutes les solutions de l’équation de d’Alembert à une dimension : x x Les ondes f ⎛ t – --⎞ et g ⎛ t + --⎞ sont des solutions de l’équation de d’Alem⎝ c⎠ ⎝ c⎠ bert, dont nous pouvons observer la propagation le long de la corde vibrante. L’observation de ces solutions nous conduit à préférer les variables indépendantes (u, v) aux variables indépendantes (x, t) pour résoudre l’équation de d’Alembert. Écrivant de façon générale la différentielle de la fonction d’onde : d

= ⎛ -------⎞ dx + ⎛ -------⎞ dt = ⎛ -------⎞ du + ⎛ -------⎞ dv , ⎝ x⎠ t ⎝ t⎠x ⎝ u⎠ v ⎝ v⎠ u

nous avons : ⎛ -------⎞ = ⎛ -------⎞ ⎛ -----u-⎞ + ⎛ -------⎞ ⎛ -----v-⎞ = 1--- ⎛ – ------- + -------⎞ ⎝ x⎠ t ⎝ u ⎠ v ⎝ x⎠ t ⎝ v ⎠ u ⎝ x⎠ t c ⎝ u v⎠ © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

⎛ -------⎞ = ⎛ -------⎞ ⎛ -----u-⎞ + ⎛ -------⎞ ⎛ -----v⎞ = ⎛ ------- + -------⎞ , ⎝ t⎠x ⎝ u⎠ v ⎝ t ⎠ x ⎝ v ⎠ u ⎝ t ⎠ x ⎝ u v⎠ puis :

2 2 2 2 1 --------2- = ----2- ⎛ --------2- – 2 -------------- + --------2-⎞ u v c ⎝ u x v ⎠ 2 2 2 2 --------2- = ⎛ --------2- + 2 ------------- + --------2-⎞ . ⎝ u v t u v ⎠

En variables (u, v) l’équation de d’Alembert à une dimension : 2 1 2 --------2- – ----2- --------2- = 0 c t x

prend donc la forme très simple : 2

------------- = 0 . u v

34

(t)

(t + Δ t)

x

Doc. 5a. Onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants. ψ –cΔ t (t + Δ t)

(t) x

Doc. 5b. Onde plane progressive se propageant dans le sens des x décroissants.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) Intégrons cette équation différentielle par rapport à u, il vient : ------- = G ( v ) . v Une seconde intégration, par rapport à v, nous donne : ( u, v ) = f ( u ) + g ( v ) . Les ondes planes ( x, t ) solutions de l’équation de d’Alembert unidimensionnelle : 2 1 2 ---------2- – -----2 ---------2- = 0 c t x

peuvent s’écrire, de façon générale, sous la forme d’une superposition de deux ondes planes progressives : x • f ⎛ t – ---⎞ se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants ; ⎝ c⎠ x • g ⎛ t + ---⎞ se propageant à la vitesse c dans le sens des x décroissants : ⎝ c⎠ x x ( x, t ) = f ⎛ t – ---⎞ + g ⎛ t + ---⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ f et g sont deux fonctions quelconques deux fois dérivables. Ainsi, en cherchant seulement des ondes planes comme solutions de l’équation de d’Alembert tridimensionnelle on trouve une somme d’ondes planes progressives dans les deux directions opposées et de « forme » quelconque.

1

Ondes sphériques Lorsque l’on utilise les coordonnées sphériques r, , , le Laplacien de la fonction d’onde ( M , t ) (c’est-à-dire ( r, , , t ) ) est : 2 2 1 - ------ ⎛ sin -------⎞ Δ ( r, , ) = --------2- + --- ------- + ----------------⎝ ⎠ r r r 2 sin2 r 2 1 - --------2- . + ----------------2 2 r sin

3) Quelles ressemblances et différences y a-t-il avec des ondes planes ? 1) Par définition d’une onde sphérique,

( M , t ) ne dépend que de r (et de t) et l’équation de d’Alembert devient donc : 2 2 1 2 --------2- + --- ------- – ----2- --------2- = 0 r r c t r

(1)

2) On calcule :

On recherche des solutions en ondes sphériques de l’équation de d’Alembert à trois dimensions. 1) Donner l’équation aux dérivées partielles reliant les dérivées de par rapport à r et par rapport à t.

1 U U ------- = --- ------- – ----2 , puis : r r r r

U = ---- . Trouver alors l’équation aux r dérivées partielles vérifiée par U. En donner les solutions puis donner ( r, t ) .

et en remplaçant dans (1) il vient :

2) On pose


Application

2 2 2 U 1 2U U 1 2U --------2- = – ----2 ------- + --- ---------2- + 2 ----3 et --------2- = --- ---------2r r r t r r r r t

2U 1 2U ---------2- – ----2- ---------2- = 0 . c r r

35

Ondes

1 r 3) La partie --- f ⎛ t – --⎞ s’interprète comme la pro-

r r D’où U = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ puisque c’est la ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

r ⎝ c⎠ pagation d’une grandeur ( ), identique en tout point de la sphère de rayon r, et dont l’amplitude décroît 1 en --- quand l’onde se propage. r 1 r La partie --- g ⎛ t + --⎞ représente une propagation r ⎝ c⎠ 1 vers le centre avec une amplitude augmentant ( --r diminue). Nous reverrons ceci au chapitre 4 avec une interprétation énergétique.

même équation que celle résolue au §2.3. en changeant le nom de la variable x en r. Ainsi : 1 1 r r ( r, t ) = --- f ⎛ t – --⎞ + --- g ⎛ t – --⎞ r ⎝ c⎠ r ⎝ c⎠ est la fonction d’onde solution de l’équation de d’Alembert à trois dimensions : on a trouvé toutes les solutions de type ondes sphériques (comme on avait trouvé toutes les solutions de type ondes planes).

2.4. Ondes planes progressives monochromatiques ou harmoniques Solutions de l’équation de d’Alembert 2.4.1. Notation complexe de l’onde plane monochromatique Constatant que les ondes que nous avons étudiées jusqu’à présent correspondent à des mouvements vibratoires de systèmes stables, nous pouvons rechercher des solutions de l’équation de d’Alembert à dépendance sinusoïdale vis2

à-vis du temps ; c’est-à-dire telles que --------2- = – 2 . t Cherchons donc, en notation complexe, une solution de la forme : ( x) e j

( x, t ) =

t

.

L’équation de propagation, vérifiée pour tout t, impose : 2 d2 --------2- + -----2c dx

( x) = 0 ,

dont la solution générale est de la forme : ( x) = avec

01

=

01 e

j

01 e

– jkx

+

et

01

02 e 02

=

jkx 02 e

j

02

,


où nous avons noté k = ---- (k est parfois appelé nombre d’onde). c Les solutions sinusoïdales recherchées sont donc de la forme : ( x, t ) =

01 e

j ( t – kx )

+

02 e

j ( t + kx )

,

soit en notation réelle : ( x, t ) =

01

cos ( t – kx + f 01 ) +

02

cos ( t + kx + f 02 ) .

Nous reconnaissons ici la forme générale obtenue précédemment, avec : x f ⎛ t – --⎞ = ⎝ c⎠ et

x g ⎛ t + --⎞ = ⎝ c⎠

01

02

cos ( t – kx + f 01 ) cos ( t + kx + f 02 ) .

Chaque terme de la solution caractérise une onde plane progressive monochromatique ou harmonique.

36

La notation complexe d’une onde plane harmonique est : ( x, t ) =

( x) e j

t

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) Remarques • Le qualificatif monochromatique peut sembler arbitraire. Toutefois, nous verrons que la propagation des ondes électromagnétiques présente des similitudes avec l’étude que nous avons menée ici. De plus, pour les ondes électromagnétiques du domaine visible, la sensation de couleur associée à la perception de la lumière par l’œil est liée à la fréquence de l’onde : à une fréquence précise correspond une couleur donnée dans le spectre visible, allant du rouge au violet. Par extension, il est d’usage de dire qu’une onde sinusoïdale, de fréquence bien définie, est une onde monochromatique ou harmonique. • Le choix ( x, t ) = ( x )e +j t est arbitraire. De nombreux énoncés utilisent des solutions complexes sous la forme ′ ( x )e –j t . 2.4.2. Caractéristiques des ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) En nous basant sur les solutions que nous venons d’obtenir, nous pouvons à présent donner quelques caractéristiques remarquables des ondes planes progressives harmoniques, qu’elles soient solutions de l’équation de d’Alembert ou d’une autre équation de propagation. Une onde plane progressive monochromatique se propageant dans une direction parallèle à l’axe ( Ox ) dans le sens des x croissants possède une amplitude de la forme : ( x, t ) = ou

( x, t ) =

0e 0

j(

– kx )

en notation complexe, avec

cos ( t – kx +

0)

0

=

0e

j

0

en notation réelle.

Elle est caractérisée par sa pulsation

et son vecteur d’onde 2 k = ke x , et possède deux périodes : une période temporelle T = ------2 et une période spatiale l = ------- . k Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ou vitesse de phase : v = ---- . k 2.4.3. Onde plane progressive harmonique en notation complexe La notation e j ( t – kx ) se prête aisément aux calculs liés aux équations aux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques étudiés. Les dérivées spatiales et temporelles de e j ( t – kx ) correspondent à des facteurs – jk ou +j :

( x, t ) =

0( x)

e j(


La notation complexe d’une onde plane progressive harmonique est : t – kx ) .

----- e j ( t – kx ) = j e j ( t – kx ) et ------- e j ( t – kx ) = – j ke j ( t – kx ) . t x Une équation aux dérivées partielles vérifiée par l’onde ( x, t ) se ramène, en général, à une simple équation algébrique, où interviennent des puissances de j et jk. Remarques • Il faut bien distinguer la notation complexe de l’onde plane ( x, t ) = ( x )e j de la notation complexe de l’onde progressive suivant les x croissants : ( x, t ) = 0 e j ( t – kx ) ou plus généralement : ( x, t ) = 0 ( x )e j ( t – kx ) .

t

37

Ondes

• Nous rencontrerons, dans la suite du cours, des ondes se propageant dans toutes les directions d’espace, et nous utiliserons la notation complexe : ( M, t ) =

0e

j( t – k . r )

avec r = OM

pour désigner l’amplitude d’une onde plane progressive monochromatique en un point M se propageant dans une direction indiquée par son vecteur d’onde k (O est une origine arbitraire de l’espace). • La notation complexe e j ( kx – t ) peut aussi être employée, puisque cos ( t – k x ) = e [ e ± j ( kx – t ) ] . Il suffit, dans ce cas, de changer les signes dans les expressions précédentes. Lorsqu’un choix est fait, il faut bien entendu s’y tenir tout au long de l’étude. Cela ne change cependant rien lors du retour à la notation réelle : il s’agit bien du même phénomène physique. Dans cet ouvrage, nous nous limiterons à la notation complexe e j ( t – kx ) . • L’utilisation des complexes pour rechercher une solution d’une équation différentielle n’est justifiée que si l’équation est linéaire ce qui est le cas de l’équation de d’Alembert.

Dans cet ouvrage, nous nous limiterons à la notation complexe : e j(

t – kx )

ou e j (

t – k . r)

2.4.4. Relation de dispersion D’après ce qui précède, la compatibilité d’une onde monochromatique : ( x, t ) =

0

e j(

t – kx )

avec l’équation de propagation impose une relation entre

et k.

L’équation de propagation impose une relation, qui lie k et relation de dispersion. Ainsi, dans le cas d’une onde 0 e j ( bert, l’équation de propagation :

t – kx )

2 1 2 ⎛ ------- – ----- -------⎞ e j ( ⎝ x 2 c 2 t 2⎠

, appelée

solution de l’équation de d’Alemt – kx )

= 0

impose la relation de dispersion : 2

k 2 = ------2- . c Soit k = ---- et k = – ---- ce qui redonne les solutions trouvées au § 2.4.1. c c © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

3

O n des s t ati on n a i re s. M od e s pro pre s

3.1. Formation d’ondes stationnaires : la corde de Melde 3.1.1. Dispositif expérimental Une corde est tendue entre deux extrémités (doc. 6) : • la première est constituée par une lame vibrante, soumise à un électro-aimant excitateur, qui effectue de petites oscillations verticales à la fréquence v (attention, dans le cas étudié, la présence de l’électro-aimant impose que la fréquence v d’excitation de la corde soit égale à deux fois la fréquence v′ du courant traversant l’électro-aimant : v = 2v′ , en effet quel que soit le sens du courant la lame de l’électro-aimant est attirée) ;

38

générateur de fréquence ν ′ variable électro-aimant

~

poulie

lame vibrante

x

0 L M

Doc. 6. Excitation de la corde de Melde. Avec ce dispositif, la corde est excitée à la fréquence v = 2v′ (présence de l’électro-aimant).

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) • la seconde est constituée par une poulie sur laquelle la corde, enroulée, est tendue par le poids d’une masse M ajustable. La tension de la corde est alors égale à Mg : T 0 = Mg . 3.1.2. Observations d’ondes stationnaires Après un régime transitoire de courte durée, la corde effectue des oscillations forcées à la fréquence , imposée par le vibreur, en présentant des « fuseaux de vibration » (doc. 7a). amplitude de vibration a) du vibreur a ventre de vibration b)

nœud de vibration

c)

L 2

L 2

0

x L

Doc. 7. Corde de Melde excitée par une fréquence variable à tension et longueur constantes. a. Fréquence quelconque. b. Première résonance. c. Deuxième résonance. L’échelle verticale de a. est beaucoup plus dilatée que pour b et c.

Nous pouvons observer que ces oscillations se font sur place et ne se propagent pas : nous dirons que la corde est le siège d’ondes stationnaires. Faisons varier la fréquence v du vibreur. En général, l’amplitude des oscillations reste petite (du même ordre de grandeur que l’amplitude a du vibreur ; cf. doc. 7a), mais pour certaines fréquences vn , cette amplitude peut devenir importante (doc. 7b et 7c) : la corde entre en résonance. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Sur le document 7, nous constatons que, pour une fréquence donnée, la corde présente en certains points fixes et régulièrement espacés : • des maxima d’oscillations appelés ventres de vibration ; • des minima nuls d’oscillations appelés nœuds de vibration. À la résonance, le vibreur coïncide quasiment avec un nœud de vibration (cf. Application 2), et la distance entre deux nœuds de vibration est égale à : • la longueur L de la corde lorsqu’elle présente un seul fuseau (doc. 7b) ; L • --- lorsque la corde présente deux fuseaux (doc. 7c) ; 2 L • --- lorsque la corde présente trois fuseaux, … 3 3.1.3. Définition d’une onde stationnaire Au cours de l’expérience précédente, un point d’abscisse x de la corde effectue des oscillations ( x, t ) dont l’amplitude F ne dépend que de x (et non de t).

39

Ondes

( x, t ) se met sous la forme : ( x, t ) = F ( x ) cos ( t + ) avec

= 2

.

Dans cette expression, les variables x et t sont découplées. La dépendance x x explicite en ⎛ t – --⎞ ou ⎛ t + --⎞ n’existant plus, il n’y a pas propagation : ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ( x, t ) représente une onde stationnaire (plane ici). Les dépendances d’une onde stationnaire vis-à-vis des variables d’espace et de temps sont « découplées ». Une onde stationnaire plane est, par définition, représentée en notation réelle par une fonction de la forme ( x, t ) = F ( x )G ( t ). Les ondes stationnaires sont en général bien adaptées pour décrire les ondes dans un milieu où certaines conditions aux limites sont imposées pour tout t. Remarque Une onde désignée par : =

0

e j(

t – kx )

en notation complexe est de la forme

=

0

e

j t e – jkx

= F ( x )G ( t ).

Mais ce n’est pas une onde stationnaire, car elle représente l’onde réelle = 0 cos ( t – kx ) , onde plane progressive monochromatique (en supposant 0 réel).

3.2. Solutions stationnaires de l’équation de d’Alembert Considérons une fonction d’onde à variables séparées : ( x, t ) = F ( x )G ( t ) . Lorsque celle-ci est solution de l’équation de d’Alembert, nous obtenons :


1 F″ ( x )G ( t ) – ----2- F ( x )G″ ( t ) = 0 c F″ ( x ) G″ ( t ) c 2 -------------- = -------------- = A F( x) G(t )

donc :

avec A = cte ,

car les deux premiers membres, égaux quels que soient x et t, ne peuvent donc plus en dépendre. Si nous cherchons une solution acceptable pour toutes les valeurs de x et t, nous devons rejeter les solutions qui divergent quand t tend vers l’infini, donc ne considérer que le cas où la constante est strictement négative : A = – 2 (le cas d’une constante nulle est sans intérêt et de toute façon diverge). peut a priori pour l’instant prendre n’importe quelle valeur. Nous obtenons alors : G ( t ) = G 0 cos ( t + F ( x ) = F 0 cos ( k x +

40

F)

G)

avec

k = ---- . c

Une onde stationnaire plane est, par définition, représentée en notation réelle par une fonction de la forme : ( x, t ) = F ( x )G ( t ) .

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) Une solution stationnaire de l’équation de d’Alembert unidimensionnelle est : ( x, t ) = 0 cos ( kx + F ) cos ( t + G ). Elle est monochromatique de pulsation quelconque et k = ---- . c Cette onde oscille sinusoïdalement « sur place ». Nous admettrons qu’une onde stationnaire quelconque peut se mettre sous la forme d’une superposition de solutions du type de celles que nous venons de trouver. L’équation de d’Alembert étant linéaire, une telle onde obtenue par superposition est également solution de cette équation (cf. § 3.3.3). Remarques Passage des ondes stationnaires aux ondes progressives, et inversement : • La solution que nous venons de trouver doit bien entendu entrer dans le schéma général des solutions de l’équation de d’Alembert : x x ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ Pour nous en persuader, écrivons : ( x, t ) =

0 cos ( k

x+

F ) cos (

= -----0- [ cos ( t – k x + 2

G

t+ –

G) F)

+ cos ( t + k x +

G

+

F )]

ce qui met en évidence la décomposition recherchée. • L’inverse est aussi réalisable : 0 cos (

t – kx ) =

0 cos (

t ) cos kx +

0 sin (

t ) sin ( kx )

somme de deux solutions stationnaires : une onde plane progressive peut s’interpréter comme la superposition de deux ondes stationnaires.

2

Corde de Melde Dans l’expérience de la corde de Melde (doc. 6), le vibreur effectue des oscillations sinusoïdales d’amplitude a : ( 0, t ) = a cos t . La corde, de longueur L, est fixée à l’autre extrémité ; T la tension de la corde étant : T0 ⎛ c = -----0-⎞ . ⎝ ⎠

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

1) Déterminer les déplacements ( x, t ) de tout point de la corde à tout instant. 2) Interpréter et commenter le phénomène de résonance. Donner les valeurs des fréquences de résonance.

Ceci est réalisé si nous prenons

( x, t ) =

0 cos ( kx

+

F ) cos (

t+


Application

G) ,

avec k = ---- , convient si elle satisfait aux condic tions aux limites, c’est-à-dire : ( 0, t ) = a cos t ( L, t ) = 0

G

= 0 et

F

π = --- – kL , 2

a = -------------- , d’où : sin kL sin k ( L – x ) ( x, t ) = a ---------------------------- cos t . sin kL 0

41

Ondes

π k = k n = n --L (n entier), ( x, t ) devient (théoriquement) infini : la corde entre en résonance. En fait, d’inévitables amortissements, la raideur de la corde (dont nous n’avons pas tenu compte lors de l’établissement de l’équation de d’Alembert), ne sont plus négligeables à la résonance et limitent l’amplitude des déplacements de la corde. À la résonance, a est très faible devant l’amplitude des ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peut quasiment être considéré comme un nœud de vibration de la corde. Les fréquences v n de résonance valent : c v n = n -----2L l et la longueur L de la corde vérifie L = n ----n- en 2 2π introduisant la longueur d’onde l n = ------ de kn l’onde monochromatique (doc. 8) 2) Nous constatons que, pour

L=

λ1 2

L = λ2 2 2

L 2

L = λ3 2 3

L 3

L 3

Doc. 8. La corde de Melde en résonance. a. Première résonance : n = 1. b. Deuxième résonance : n = 2. c. Troisième résonance : n = 3.

3.3. Vibrations libres d’une corde fixée à ses extrémités Nous nous proposons de chercher des solutions de l’équation de propagation des mouvements transverses sur une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités (doc. 9). 3.3.1. Recherche des solutions La forme générale des solutions est

x x ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠


Celle-ci doit vérifier, à tout instant t, les conditions aux limites suivantes: ( 0, t ) = 0, d’où f ( t ) + g ( t ) = 0 et

L L ( L, t ), d’où f ⎛ t – ---⎞ + g ⎛ t + ---⎞ = 0 . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

2L L ou encore f ( t′ ) + g ⎛ t′ + ------⎞ = 0 avec t′ = t – --- . ⎝ c⎠ c La fonction f vérifie donc : 2L 2L f ( u ) = – g ( u ) = – g ⎛ u + ------⎞ = f ⎛ u + ------⎞ . ⎝ ⎝ ⎠ c c⎠ Les conditions aux limites imposent que la fonction f (et donc aussi g) est 2L périodique, de période temporelle T = ------ . Elle est donc décomposable en c série de Fourier (comme toute fonction périodique « physique »). La pulsation

42

x 0

L

Doc. 9. Vibrations libres d’une corde fixée à ses extrémités.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) du fondamental est

πc = ------ , et la fréquence correspondante L

0

nous pouvons écrire :

a f ( u ) = ----0- + 2

∞

∑

a n cos ( n

0 u)

+

∞

∑

b n sin ( n

0

c = ------ . Ainsi 2L

0 u) .

n=1

n=1

x x x Les valeurs de f ⎛ t – --⎞ et g ⎛ t + --⎞ = – f ⎛ t + --⎞ s’en déduisent et la forme ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

générale des ondes se propageant le long de la corde fixée à ses extrémités est : ∞ ⎧ a0 -+ a n cos ⎛ n ⎪ ---⎝ 2 ⎪ n=1 ( x, t ) = ⎨ ∞ ⎪ a0 a n cos ⎛ n ⎪ – ----- – ⎝ ⎩ 2 n=1

∑

0

∑

0

⎛ t – --x⎞ ⎞ + ⎝ c⎠ ⎠ ⎛ t + --x⎞ ⎞ – ⎝ c⎠ ⎠

∞

b n sin ⎛ n ⎝

∑

n=1 ∞

∑

n=1

⎛ t – --x⎞ ⎞ ⎝ c⎠ ⎠

0

b n sin ⎛ n ⎝

.

⎛ t + --x⎞ ⎞ ⎝ c⎠ ⎠

0

Notant A n = – 2b n et B n = 2a n , nous obtenons, on utilisant les formules de trigonométrie : ( x, t ) =

∞

∑

( A n cos ( n

0 t)

n=1

+ B n sin ( n

0 t))

sin ⎛ n ⎝

0

x --⎞ . c⎠

Les variables x et t étant découplées, chacun des termes de la somme représente une onde stationnaire, ainsi, la solution non stationnaire apparaît comme 2L 2 1 la somme des solutions stationnaires de période T n = --------- = -------- = ------ . nc n 0 n 0 3.3.2. Modes propres de la vibration L’expression ( x, t ) trouvée précédemment résulte d’une superposition d’ondes stationnaires monochromatiques de la forme : F n ( x )G n ( t ) = sin ⎛ n ⎝

0

x --⎞ ( A n cos ( n c⎠

= F 0n sin ⎛ n ⎝ avec F 0n G 0n =

2

0

x --⎞ G 0n sin ( n c⎠

0 t) 0t

+ B n sin ( n +

0t ))

n)

2

A n + B n l’un des deux étant choisi arbitrairement.

n F n ( x ) = F 0n sin ⎛ 2 x ------⎞ = F 0n sin ⎛ 2 ⎝ ⎝ 2L⎠ nc G n ( t ) = G 0n sin ⎛ 2 t ------ + ⎝ 2L

⎞ = G sin ( 2 0n

n⎠


Les fonctions F n et G n sont des fonctions oscillantes : x -----⎞ l n⎠ nt

+

n) ,

telles que : l 1 • la période spatiale de F n ( x ) est l n = --- 2L = ----0- avec l 0 = 2L ; n n c c • la fréquence temporelle de G n ( t ) est n = n ------ = n 0 avec 0 = ------ ; 2L 2L l n et n sont reliés par c = l 0 0 = l n n (n entier). Nous constatons que seul un ensemble discret de modes d’oscillations libres de la corde peut exister, indéfiniment, sans apport d’énergie extérieure (si on néglige tout effet dissipatif) : ce sont les modes propres de la corde vibrante.

43

Ondes

Le document 10 représente l’allure de la corde lorsqu’elle oscille dans l’un de ses trois premiers modes propres, de fréquences : •

1

•

2

•

3

l c c = ------ = ------0- et l 0 = ----- soit L = ----0- ; 2L 2 2 0 l l = 2 0 et l 2 = ----0- , soit L = 2 ----2- ; 2 2 l0 l = 3 0 et l 3 = ----- , soit L = 3 ----3- ; … 3 2 =

L = λ2 2 2

l l et l n = ----0- , soit L = n ----n- . n 2 Le premier mode, de plus basse fréquence, est appelé mode fondamental. Les autres modes, appelés harmoniques, ont une fréquence multiple entier de la fréquence du mode fondamental. 3

= n

n

= n

0

c = n -----2L

et

l 2L l n = ----0- = ------- . n n

Leur amplitude est de la forme : ( x, t ) =

•

∑

( A n cos2

nt

+ B n sin2

nt)

n=1

sin ⎛ 2 ⎝

x ------⎞ . ⎠ n

Remarques • Ces résultats sont similaires à ceux décrits au chapitre 1 pour une chaîne de N oscillateurs. Toutefois, dans le cas de ce milieu continu, le nombre de modes propres envisageables semble infini : les fréquences propres de la corde c c n = n ------ croissent de 1 = ------ pour l’harmonique fondamental à l’infini 2L 2L (alors que les N oscillateurs couplés possédaient une fréquence de coupure haute). Si cela semble mathématiquement possible, le modèle physique envisagé est à revoir pour de hautes fréquences, donc les faibles longueurs d’onde : la corde ayant une forme très « chahutée », la raideur de la corde ne sera plus négligeable (cf. exercice 2). • Dans l’expérience de la corde de Melde, une résonance est observée chaque fois que la fréquence d’excitation correspond à la fréquence d’un mode propre de vibration de la corde.

3.4. Analyse harmonique Nous savons désormais que la forme générale des oscillations libres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités est : ( x, t ) =

∞

∑

n=1

( A n cos ( n

0t )

L 2

0

Les ondes vérifiant l’équation de propagation le long d’une corde, de longueur L, fixée à ses extrémités x = 0 et x = L , sont des superpositions d’ondes stationnaires monochromatiques de période spatiale l n et de fréquence temporelle n quantifiées. Ce sont les modes propres d’oscillation de la corde vibrante :


λ1 2

0

• plus généralement nous aurions

44

L=

+ B n sin ( n

0t ))

sin ⎛ n ⎝

0

x --⎞ . c⎠

L = λ3 3 2

L 3

L 3

Doc. 10. Modes propres d’une corde fixée à ses extrémités a. Mode n = 1. b. Mode n = 2. c. Mode n = 3.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI) Nous nous proposons de calculer l’amplitude des composantes harmoniques qui la constituent. Il est, en effet, intéressant de les déterminer afin de pouvoir agir sur les paramètres qui les contrôlent. L’étude des timbres des instruments de musique est une illustration possible de l’analyse harmonique. • Utilisant les propriétés des modes propres, il est possible de concevoir des sources sonores émettant des signaux ne comportant que des fréquences multiples de v0. Par exemple, dans le cas d’une corde d’instrument de musique, de longueur donnée, le réglage de sa tension permet d’ajuster son mode fondamental de vibration pour obtenir la note recherchée (qui correspond au fondamental v 1 = v 0 ). • De plus, il faut aussi savoir contrôler le spectre des vibrations de cette corde qui détermine le timbre de l’instrument (répartition des harmoniques excités). Ceci s’obtient en jouant sur les conditions initiales (par exemple emplacement de l’archet du violon, du marteau du piano…). ■ Détermination des harmoniques Les coefficients A n et B n de la décomposition en série de Fourier compatibles avec les conditions aux limites peuvent, par exemple, être déterminés à partir des conditions initiales imposées à la corde vibrante. Nous supposerons connues les valeurs, pour x compris entre 0 et L, de ( x, 0 ) et ------- ( x, 0 ), soit : t ∞

⎧ πx A n sin ⎛ n ------⎞ ⎪ ( x, 0 ) = ⎝ L⎠ ⎪ n=1 ⎨ ∞ ⎪ πc πx n ------ B n sin ⎛ n ------⎞ ⎪ ------- ( x, 0 ) = ⎝ L⎠ L ⎩ t

∑

∑

n=1

À la lecture de ces relations, nous constatons que :

• les B n sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier d’une fonction périodique V ( x ), impaire et de période 2L, obtenue en prolongeant

Y(x) = ψ (x, 0) ou ∂ψ V(x) = (x, 0) ∂t

par périodicité la fonction ------- ( x, 0 ) comme le suggère également le t document 11. Nous pouvons donc déterminer les amplitudes A n et B n à l’aide des conditions initiales, en calculant les intégrales suivantes : ⎧ 1 L x ⎪ A n = --sin ⎛ nπ ---⎞ ( x, 0 ) dx ⎝ ⎠ L L –L ⎪ ⎨ 1 L x ⎪ sin ⎛ nπ ---⎞ ------- ( x, 0 ) dx ⎪ B n = --------⎝ ⎠ t n c L –L ⎩

∫

∫


• les A n sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier d’une fonction périodique Y ( x ), impaire (pas de terme en cosinus) et de période 2L, obtenue en prolongeant par périodicité la fonction ( x, 0 ) comme le suggère le document 11 ;

–L

0

x L

2L

Doc. 11. Prolongement « par périodicité » des fonctions ( x, 0 ) et ------- ( x, 0 ) . t

45

Ondes

Application

3

Spectre d’une corde pincée Appliquer la technique du § 3.4 pour étudier le spectre d’une corde d’un instrument à cordes pincées (clavecin, guitare, …). Cette corde, fixée à ses extrémités, entre tout à fait dans le cadre de l’étude précédente. À l’instant initial, où elle a été préalablement déformée, elle est lâchée sans vitesse initiale. Pour simplifier les calculs, la corde est pincée au milieu de sa longueur : l’allure de ( x, 0 ) est donnée sur le document 12. ψ (x, 0)

harmonique 1

0,8h 0,6h 0,4h 0,2h

0

harmonique 5 harmonique 3 harmonique 7 0,2

0,4 L 0,6 2

L

L 2

Pour cette corde, le coefficient B n est nul. Le coefficient A n étant, par symétrie, nul pour n pair, il nous faut déterminer :

8 = --L

⎞

∫– L sin ⎝ (2 p + 1 ) ---L- x⎠ L --2

∫0

(x, 0) dx


46

0 b)

x

L

0,5L

signal initial h

superposition des harmoniques 1 à 5

0,5h

x sin ⎛ (2 p + 1 ) ---- x⎞ h --- dx. ⎝ L ⎠ L

Une intégration par parties nous donne : 8h( – 1) p A 2 p + 1 = -----------------------------. (2 p + 1 ) 2 2 Les harmoniques présents sont tous impairs : n = 1 (fondamental), 3, 5, 7, 9, ..., et leurs ampli1 tudes décroissent très rapidement en ----2- . n Le spectre sonore perçu par l’oreille sera ainsi essentiellement limité aux premiers harmoniques. Considérons quelques valeurs numériques. A 1 = 8 ,11 . 10 – 1 h ;

A 3 = – 9 ,00 . 10 – 2 h ;

A 5 = 3 ,24 . 10 – 2 h

A 7 = – 1 ,65 . 10 – 2 h ;

etc.

harmonique 1

0,5h

Doc. 12. Corde pincée à t = 0.

⎛

harmonique 1 + 3

x 0

L

1,0

signal initial h

h

1 A 2 p + 1 = --L

0,8

Doc. 13. Harmoniques 1, 3, 5 et 7 de la corde pincée. a)

–L

x L

0

L

0,5L

L

Doc. 14. Reconstitution du signal par superposition des premiers harmoniques. a. Harmonique 1 + 3 . b. Harmonique 1 + 3 + 5 . h

position initiale de la corde

h 0

L

x

Doc. 15. « Mouvement » d’une corde pincée en son milieu : ce schéma représente une suite de « photos » instantanées de la corde à des dates très proches.


Sur le document 14 nous voyons que les cinq premiers harmoniques suffisent pour reconstruire avec une bonne approximation le signal.

Remarque Les échelles latérales sont très dilatées sur tous les documents.

Le signal complet est donné par : (x, t) =

∞

8h( – 1) p (2 p + 1 )πc (2 p + 1 )π ----------------------------- cos ⎛ --------------------------- t⎞ sin ⎛ ------------------------ x⎞ 2π 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L L (2 p + 1 ) p=0

∑

CQFR ● ÉQUATION DE D’ALEMBERT Les ondes de déplacement transverse ( x, t ) se propageant le long d’une corde sans raideur sont solutions de l’équation de propagation (unidimensionnelle) de d’Alembert : 2 1 2 --------2- – ----2- --------2- = 0 c t x

avec

c =

T0 . ------

● ONDES PLANES, ONDES SPHÉRIQUES Une onde est dite plane si, la fonction d’onde ( M , t ) qui la décrit n’est fonction que d’une seule coordonnée cartésienne d’espace (x ou y ou z ou une combinaison linéaire des trois).

Une onde est dite sphérique si la fonction d’onde ( M , t ) qui la décrit n’est fonction que de la seule coordonnée r de l’espace (coordonnées sphérique). ● ONDES PLANES PROGRESSIVES Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une direction et un sens bien déterminés.

x ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse c, sans défor⎝ c⎠ mation, dans le sens des x croissants. x • ( x, t ) = g ⎛ t + --⎞ représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse c, sans déforma⎝ c⎠ tion dans le sens des x décroissants. • Les solutions de l’équation de propagation de d’Alembert à une dimension peuvent s’écrire de façon x x générale sous la forme d’une superposition de deux ondes planes progressives f ⎛ t – --⎞ et g ⎛ t + --⎞ : ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ x x ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ●


•

ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES (OU HARMONIQUES)

• Caractéristiques Une onde plane progressive monochromatique se propageant dans une direction parallèle à l’axe (Ox) dans le sens des x croissants possède une amplitude de la forme : ( x, t ) = ou

0

e j(

t – kx )

( x, t ) =

0

en notation complexe, avec cos ( t – k x +

0)

0

=

0e

j

0

en notation réelle.

47

Ondes

CQFR Elle est caractérisée par sa pulsation et son vecteur d’onde k = ke x et possède deux périodes : une 2 2 période temporelle T = ------- et une période spatiale l = ------- . k Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ou vitesse de phase : v ●

= ---- . k

NOTATION COMPLEXE

La notation ( x, t ) = 0 e j ( t – kx ) (où 0 = 0 e j 0 ) pour une onde plane progressive se prête bien aux calculs liés aux équations aux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques étudiés quand ces équations sont linéaires. Les dérivées spatiales et temporelles de e j ( t – kx ) correspondent à des facteurs – jk ou +j : ----- e j ( t

t – kx )

= j

e j(

t – kx )

et

------ e j ( x

t – kx )

= – jke j (

t – kx ) .

Une équation aux dérivées partielles vérifiée par l’onde

( x, t ) se ramène, en général, à une simple

équation algébrique où interviennent des puissances de j relation de dispersion.

et jk d’où une relation entre k et

appelée

● ONDES STATIONNAIRES Les dépendances des ondes stationnaires vis-à-vis des variables d’espace et de temps sont découplées. Une onde stationnaire plane est représentée en notation réelle par une fonction de la forme :

( x, t ) = F ( x )G ( t ) . Les endroits d’amplitude de vibration maximale sont appelés des ventres de vibration et les endroits d’amplitude de vibration nulle sont appelés des nœuds de vibration. ●

SOLUTIONS STATIONNAIRES DE L’ÉQUATION DE D’ALEMBERT

• Définition Une onde stationnaire à une dimension solution de l’équation de d’Alembert, s’écrit : ( x, t ) = 0 cos ( k x + F ) cos ( t + G ) . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Elle est donc sinusoïdale (monochromatique ou harmonique) et oscille « sur place ». • Modes propres, analyse harmonique Les ondes vérifiant l’équation de propagation le long d’une corde, de longueur L, fixée à ses extrémités x = 0 et x = L , sont des superpositions d’ondes stationnaires monochromatiques de période spatiale n et de fréquence temporelle n quantifiées. Ce sont les modes propres d’oscillation de la corde vibrante : l c 2L l n = ----0- = ------ . n = n 0 = n -----2L n n Leur amplitude est de la forme :

( x, t ) =

∞

∑

( A n cos 2

nt

+ B n sin2

n=1

On détermine les coefficients A n et B n par des conditions initiales sur

48

nt )

sin ⎛ 2 ⎝

x -----⎞ l n⎠

et sa dérivée temporelle.


Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Qu’est-ce qu’une onde plane ? une onde plane progressive ? ✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert unidimentionnelle ? ✔ Qu’est-ce qu’une onde plane monochromatique ? ✔ Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ? ✔ Pouvez-vous définir et calculer les modes propres et les pulsations propres d’une corde fixée à ses deux extrémités ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) ❑ a. planes ❑ b. sphérique ❑ c. longitudinales ❑ d. transversales. 2. Les ondes sur une corde vibrante peuvent être : ❑ a. progressives ❑ b. régressives ❑ c. stationnaires. 3. Une onde stationnaire est la somme : ❑ a. de deux ondes progressives et régressives quelconques

❑ b. de deux ondes progressives et régressives monochromatiques.


1. Les ondes sur une corde vibrante sont :

4. Lorsqu’une corde est fixée à ses deux extrémités : l ❑ a. il n’y a résonance que lorsque L est multiple de --2 ❑ b. il y a un nœud d’élongation seulement à chaque extrémité ❑ c. les modes propres correspondent aux résonances et réciproquement ❑ d. la corde ne peut pas vibrer à deux fréquences ou plus simultanément. Solution, page 53.

49

Exercices Les symboles # (dièse) et (bémol) rehaussent et rabaissent respectivement d’un demi-ton les sons considérés.

Diffusion Rayleigh (PC) Lors d’une manipulation avec la corde de Melde (cf. doc. 6 page 38), on trouve les résultats ci-dessous. 1) Pour une même longueur L de la corde et une même masse M accrochée à celle-ci, on obtient les résultats suivants : • fréquence de résonance 19 Hz pour deux fuseaux ; • fréquence de résonance 28 Hz pour trois fuseaux. a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ? b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ? 2) La longueur de la corde est L = 117 cm. Quelle est la vitesse c de propagation d’une perturbation sur cette corde ? 3) La masse M accrochée à la corde est égale à M = 25 g. a) Quelle est la tension de la corde ? b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique de la corde.


Les résultats obtenus au § 3 du cours sont utiles à la résolution de cet exercice. La guitare classique comporte six cordes (en boyau ou en nylon) alors que les guitares électriques sont équipées de cordes d’acier. On présente quelques rappels ou notions sur la gamme et la hauteur des sons. Parmi les qualités que les musiciens attribuent aux sons (durée, timbre et intensité), la hauteur et plus précisément les écarts de hauteur peuvent être évalués à partir d’octave et de gamme. Le doublement de la fréquence d’un son s’accompagne d’un changement d’octave. La gamme dite tempérée (la plus simple et la plus utilisée) divise l’octave en douze intervalles égaux, appelés demitons. Les fréquences successives des notes espacées par ces demi-tons forment une progression géométrique, vérifiant la loi générale : p ------

avec

p ∈ [ 1 ;12 ] .

Les notes de la gamme classique (do, ré, mi, ...) ne sont pas toutes séparées d’un demi-ton. Dans une octave, la succession des notes est la suivante : do

ré

do# (ou ré ) sol

sol#

la

fa# (ou sol )

(ou mi )

(ou la )

50

mi fa

ré#

la# (ou si )

La base de fréquence de la gamme tempérée est le la 3 (la de la troisième octave) dont la fréquence vaut 440 Hz . Le savart (unité associée au pouvoir séparateur de l’oreille) permet de quantifier l’écart de hauteur entre deux sons. Ainsi deux fréquences N 1 et N 2 sont séparées de : N 1 000 log ------1 savarts . N2 Les fréquences fondamentales des cordes d’une guitare sont [mi1 ; la1 ; ré2 ; sol2 ; si2 ; mi3], l’indice étant relatif au numéro de l’octave considérée. 1) Déterminer la fréquence correspondant à chacune des six cordes. 2) À l’aide des données fournies dans le tableau ci-dessous : • déterminer les tensions nécessaires pour que la guitare soit parfaitement accordée (mode fondamental) lorsqu’elle est équipée de cordes en acier ;

Application musicale : la guitare

N p = 2 12 N

Ainsi mi# = fa et f a = mi .

si do

• comparer pour une corde donnée (par exemple n° 4) l’influence de la nature du matériau constituant la corde sur la force de tension (en supposant le diamètre constant). corde n°

1

note fondamentale mi1

2

3

4

5

6

la1

ré2

sol2

si2

mi3

diamètre D (mm) 1,12 0,89 0,70 0,55 0,35 0,25 longueur L (cm)

63

63

63

63

63

63

boyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 975 masse volumique nylon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 180 ( kg . m – 3 ) acier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 800 3) Quelle est la variation relative qui peut être tolérée sur la tension de la corde n°4 (sol2) pour que la fréquence du fondamental correspondant ne varie pas de plus de cinq savarts (limite de séparation de l’oreille moyenne) ? Faire l’application numérique pour une corde en acier. 4) Le guitariste, tout en grattant les cordes d’une main, déplace les doigts de son autre main sur une ou plusieurs cordes, afin de faire varier la distance entre les extrémités fixes A et B. De combien déplace-t-il son doigt – sur la corde n° 4 par exemple – pour passer du sol2 au la2 ? Faire l’application numérique pour une corde en acier. Commenter le résultat obtenu.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-PSI)

5) Pour une corde donnée, quelle est la plus faible valeur de n pour laquelle la fréquence de l’harmonique n s’écarte de la fréquence d’une note de la gamme de plus de cinq savarts ? Les musiciens disent que cet harmonique est dissonant. 6) Lors du pincement, on ψ (x, 0) considère que la corde de la guitare est abandonnée h sans vitesse initiale dans la position représentée sur a O L x le schéma ci-contre. a) En reprenant les expressions données au § 3.4, calculer les amplitudes des différents harmoniques présents dans la corde. b) Montrer qu’en pinçant la corde en un point d’abscisse a convenable, le premier harmonique dissonant peut être supprimé. 7) Si les cordes de la ψ (x, t = 0) guitare ne sont pas pincées (ou grattées à h l’aide d’un triangle) mais frottées à doigt nu, O L L x 2 la forme de la corde peut alors être représentée selon le schéma ci-contre et en prenant comme conditions initiales, pour 0 x L : et

2) Spectre sonore d’une corde frappée (piano) À l’instant t = 0 , la corde de longueur L est dans la position d’équilibre ( x, 0 ) = 0 . La corde est frappée avec un petit marteau de largeur b (avec b L) situé entre les abscisses x = a et x = a + b . Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l’instant t = 0 peut être définie par la fonction u ( x ) = ------- ( x, 0 ) telle que : t

------- ( x, 0 ) = 0. t

a) Calculer les nouvelles amplitudes des différents harmoniques présents dans la corde. b) Discuter la pureté des notes obtenues : le signal sonore perçu se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il d’un signal sinusoïdal pur ?

*

• pour l’octave (do – do) : 2. Pour une corde, il apparaît que si le mode fondamental (ou harmonique n = 1 ) est un do, l’harmonique n = 2 est le do de l’octave supérieure, et l’harmonique 3 n = 3 = --- × 2 est le sol de l’octave supérieure. 2 a) Trouver les notes correspondant aux harmoniques n = 4, n = 5 et n = 6. b) Montrer que l’harmonique n = 7 ne rentre pas dans le schéma tierce-quinte-octave (les musiciens disent de ce fait qu’il est dissonant ; il est proche de si bémol). c) Quelle est la note correspondant à l’harmonique n = 8 ? Est-elle consonante ou dissonante ?

Application musicale : le piano

1) Avant la mise au point de la gamme tempérée, les musiciens utilisaient la gamme dite naturelle : celle-ci repose sur trois intervalles consonants (c’est-à-dire agréables à l’oreille) qui constituent l’accord parfait majeur complété par l’octave. do

mi

sol

do

1

5 4

3 2

2

⎧ si a x a + b , u ( x ) = u 0 (constante) ⎨ ⎩ sinon u ( x ) = 0 . a) Établir (cf. § 3.4) les amplitudes des différentes harmoniques présentes dans la corde. b) Trouver une application musicale du fait que les amplitudes des harmoniques dépendent de a. Que faut-il faire pour supprimer le premier harmonique dissonant défini par n = 7 ?

** Étude des vibrations d’une corde verticale L’axe ( Ox ) est vertical ascendant, ( Oy ) horizontal. Une corde, infiniment souple, de masse linéique , de longueur L est suspendue au point A dans le champ de pesanteur d’intensité g. Lorsque la corde est au repos, son extrémité inférieure coïncide avec le point O. Son point d’accrochage A effectue des oscillations horizontales : y A = a cos t , d’amplitude a très inférieure à L. L’extrémité inférieure de la corde ne subit aucune contrainte.

51


4h ( x, 0 ) = -----2- x ( L – x ) L

Ainsi, dans la suite do – mi – sol – do, les rapports de fréquences sont : 5 • pour la tierce (do – mi) : --- ; 4 3 • pour la quinte (do – sol) : --- ; 2

Exercices Le déplacement (quasi horizontal) d’un point P ( x ) de la corde par rapport à sa position d’équilibre est noté y ( x, t ) . 2y y Dans toute la suite, on suppose que y, ------ et -------2- sont très x x petits, et que le déplacement de la corde ne se produit que dans la direction ( Oy ) .

2

L⎞ c) Que vaut B 0 ? Déterminer A 0 en fonction de A ⎛⎝ ---------g ⎠ et de a. Écrire l’expression de y ( x, t ). 3) A.N. : L = 1 m, a = 1 mm, g = 9,81 m . s – 2 , fréquence d’excitation de la corde f = 5 Hz. 2

a) Évaluer le facteur ----------L- . g

x

A

g y(x, t)

P(x)

y

X

O

1) Montrer que l’équation de propagation des ondes le long de la corde est : 2y 2y y -------2- = g ⎛ ------ + x -------2-⎞ . ⎝ x x⎠ t

2) On cherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme : y ( x, t ) = ( x ) cos t + ( x ) sin t . a) Montrer que ( x ) et ( x ) vérifient la même équation différentielle. 2

b) On note X = x ------- ; g

( x ) = B 0 A ( X ),

( x ) = A0 A ( X ) ;

avec

A(0) = 1 .

Établir l’équation vérifiée par la fonction A ( X ), puis rechercher une solution de cette équation sous la forme d’un développement en série entière : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

A ( X ) = 1 + A1 X + A2 X 2 + …

Déterminer les coefficients A k .

52

b) En utilisant le tableau de valeurs ci-dessous, ou bien un logiciel permettant de résoudre directement l’équation différentielle vérifiée par la fonction A ( X ), indiquer l’allure de la corde en traçant le graphe y ( x, t ), pour x variant de 0 à L, à un moment t donné.

0,00 1,45 3,67 7,62 12,30 18,72 25,87 34,76 44,38 55,73 67,82 81,64 96,20 112,48

A( X )

A¢ ( X )

1,00 0,00 0,40 0,00 0,30 0,00 0,25 0,00 0,22 0,00 0,20 0,00 0,18 0,00

1,00 0,43 0,00 0,12 0,00 0,06 0,00 0,04 0,00 0,03 0,00 0,02 0,00 0,02

c) Quel est le nombre de nœuds qui apparaissent sur la corde ? d) Quelle est l’amplitude du mouvement de l’extrémité libre de la corde ? 2L , A ( X ) était nulle ? e) Que se passerait-il si, pour X = ---------g

Corrigés 2) Pour le mode fondamental ( n = 1 ) , la tension T 0 et la fréquence N

(DLN) 2 , soit pour une corde en acier :

ce qui donne T 0 =

1) a) En posant avoir -----2 = -----3 = 2 3

0,

2

= 19 Hz et

3

= 28 Hz , nous devons

soit -----3 = 1 ,5 or -----3 = 1 ,47 : cela signifie 2

0

b) Les fréquences suivantes sont données par la formule = 38 Hz

5

0

= n

0

, soit :

0

= 2 ,34 m ;

= 22 m . s –1 .

3) a) La masse M étant égale à 25 g, la tension de la corde est donc T 0 = 0 ,25 N (avec g ≈ 10 m . s – 2 ). b) La vitesse de propagation c étant égale à c =

T0 ----- , où

représente

la masse linéique de la corde, on a : T = ----2-0 , c kg . m – 1 , d’où avec la précision des fréquences :

soit = 5 ,2 . 10 – 4 = 0 ,5 g . m – 1 . Cette valeur pourrait être comparée à celle obtenue en pesant, par exemple, 10 m de fil sur une balance de précision !

1

2

3

4

5

6

82,8

93,2

102,7

113,0

73,2

66,0

et pour les différentes cordes no 4 (sol2) :

= 47 Hz …

2) Sachant que la longueur de la corde est L = 1 ,17 m , la vitesse c est donc : c = l0

n

T0(N)

0

= 9 ,4 Hz .

4

numéro de corde

2

que les mesures sont compatibles entre elles. On obtient une valeur de voisine de

T 1 -----0 ------ , où la masse linéique vaut : 2L D2 ------ ; = 4

c sont reliées par N = ------ = 2L

T0(N)

boyau

nylon

acier

14,1

17,1

113,0

3) En exprimant la différentielle logarithmique de T 0 = obtient : ΔT 0 ΔN --------- = 2 ------- . N T0

r(DLN) 2 , on

L’écart entre les deux fréquences N et N + ΔN est égal à 5 savarts, soit : N + ΔN 1 000 1 000 ΔN ΔN 5 = 1 000 log ----------------- = ------------ ln ⎛ 1 + -------⎞ ≈ ------------ ------- . ⎝ N ln 10 N ⎠ ln 10 N d’où :

ΔT ln 10 ---------0 = 10 ------------ = 2 ,3 . 10 – 2 . 1 000 T0

440 ------- = 261,6 Hz ; 9

4) Pour passer du sol2 ( N = 196 Hz ) au la2 ( N′ = 220 Hz ) , le guitariste doit faire passer la corde no 4 de sa longueur initiale L à une longueur L′ = L – d donnée par LN = ( L – d )N ′, ce qui conduit au déplacement d = 6,9 cm. Ainsi, pour passer d’une note à sa voisine, le déplacement d correspond aux dimensions de la main et peut donc être facilement réalisé en utilisant deux doigts sans avoir à bouger la main.

261,6 ------------ = 130,8 Hz ; 2

5) En vibrant, la corde émet le spectre de fréquences nN (n entier). Le mode fondamental,n = 1,correspondàlafréquenced’unenotedelagammetempérée. Les fréquences des autres notes peuvent alors se mettre sous la forme

261,6 ------------ = 65,4 Hz . 4 On en déduit les fréquences des notes :

N 2 12 (p entier). Pour trouver le premier harmonique n dissonant, il faut donc vérifier que, pour n donné, il n’existe aucune valeur de p qui conduise à :

1) À partir de la fréquence du la3 , on peut calculer les fréquences du : • do3 ;

soit

-----

2 12

• do2 ; • do1 ;

notes

soit

p -----

soit

mi1

la1

ré2

4 9 2 fréquences ------------12 12 130,8 × 2 12 = 146,8 (Hz) 65,4 × 2 = 82,4 65,4 × 2 440 = -------- = 110 4

notes

sol2

si2

mi3

4 7 11 fréquences ------------12 12 (Hz) 130,8 × 2 = 196 130,8 × 2 12 = 247,9 261,6 × 2 = 329,6

⎛ nN ⎞ n 1,011 6 . 1 000 log ⎜ ----------p ⎟ 5, c’est-à-dire 0,988 6 ------p -----⎠ ⎝ ---12 12 2 N2 La relation précédente est satisfaite pour n = 2 ( p = 12 ) , n = 3 ( p = 19 ) , n = 4 ( p = 24 ), n = 5 ( p = 28 ) et n = 6 ( p = 31 ) . Elle n’est en revanche pas vérifiée pour l’harmonique 7 : 7 p = 33 conduit à -----= 1,040 6 33 -----

2 12

53


Solution du tac au tac, page 49. 1. Vrai : a, d Faux : b, c 2. Vrai : a, b, c 3. Vrai : b Faux : a 4. Vrai : a, c Faux : b, d

Corrigés 7 = 0,982 2 . p = 34 conduit à -----34

et

d’où, pour b

L: 2u 0 b ⎛ - sin nπ B n ≈ --------⎝ nπc

----2 12

6) a) En reprenant les résultats du § 3.4, on a : Bn = 0 2 A n = --L

∫

a

0

h nπx 2 -- x sin ⎛ ---------⎞ dx + --⎝ L ⎠ a L

∫

L

a

h(L – x) nπx ------------------ x sin ⎛ ---------⎞ dx . ⎝ L ⎠ L–a

Une intégration par parties conduit à : L2

2h nπa - ------------------ sin ⎛ ---------⎞ . A n = ---------⎝ L ⎠ n 2 π 2 a(L – a) b) Pour ne pas faire apparaître l’harmonique 7, il suffit de pincer la corde à l’abscisse a qui annule A7 , d’où : 7πa sin --------- = 0 L

L a = m --7

et

avec m entier.

7) a) On obtient maintenant B n = 0 et A 2p = 0, et après intégrations par parties : 32h -. A 2p + 1 = ------------------------(2p + 1) 3 p 3 1 b) Pour la corde frottée, les coefficients An décroissent en ----3 , donc n beaucoup plus rapidement que les coefficients correspondant à la corde pincée : le son émis par la guitare est alors très pur, presque sinusoïdal, à la fréquence du mode fondamental.

a ---⎞ . L⎠

b) En jouant sur a, c’est-à-dire sur la position du marteau sur la corde, il est possible de modifier l’amplitude Bn des harmoniques à souhait et donc de modifier le timbre du son émis. Il est possible de supprimer l’harmonique dissonant n = 7 en prenant a L sin ⎛ 7π ---⎞ = 0, soit a = n --- (n entier). On peut remarquer que la ⎝ L⎠ 7 corde est alors frappée en un nœud du mode de vibration de l’harmonique l 7 (pour cet harmonique, L = 7 --- ). 2

1) La relation de la dynamique appliquée à un élément de corde de longueur ds ≈ dx, compris entre les abscisses x et x + dx, donne en notant F ( x, t ) la force de tension exercée par la partie de la corde d’abscisse supérieure à x sur la partie d’abscisse inférieure à x : dxa = F ( x + dx, t ) – F ( x, t ) +

dxg .

Le poids de la corde qui est responsable de la force de tension F ne peut être négligé. x

Remarque : Il est possible de vérifier que l’écart de fréquences entre deux notes semblables de la gamme tempérée et de la gamme naturelle est inférieur à 5 savarts (cf. exercice 2) :


5 ⎛ -- ⎞ 4 mi → 1 000 log ⎜ ------4 ⎟ = 3 ,4 savarts ⎜ -----⎟ ⎝ 2 12⎠ 3 ⎛ -- ⎞ 2 ⎜ sol → 1 000 log ------7 ⎟ = 0 ,5 savart . ⎜ -----⎟ ⎝ 2 12⎠ 5 3 1) a) Les harmoniques n = 4, n = 5 = -- × 4 et n = 6 = -- × 4 4 2 correspondent respectivement aux notes do, mi et sol, deux octaves audessus du fondamental. b) Il est impossible d’écrire l’harmonique n = 7 sous la forme 2 p ou 3 5 -- × 2 p , ou -- × 2 p (p entier). 2 4 c) L’harmonique n = 8 = 2 3 est le do situé trois octaves au-dessus du fondamental : c’est une note consonante.

F(x, dx, t)

μ dxg

2 = -------nπc

54

∫

L

0

∫

x ------- ( x, 0 ) sin ⎛ nπ ---⎞ dx ⎝ L⎠ t

a+b

a

u 0 sin ⎛ nπ ⎝

x ---⎞ dx , L⎠

x F(x, t) O

y On obtient : • en projection sur (Ox ) :

0 ≈ F x ( x + dx, t ) – F x ( x, t ) – dxg , F d’où --------x = g et F x = gx ; x • en projection sur (Oy ) : 2y F dx -------2 = F y ( x + dx, t ) – F y ( x, t ) = --------y dx . x t La tension étant tangente à la corde, il est possible d’écrire :

y F y = F x ----- = x

2) a) (x, 0) étant nul à l’instant initial, il vient immédiatement A n = 0, les coefficients B n se calculent à partir de (cf. § 3.4) : 2 B n = -------nπc

x + dx

donc :

2) a) y ( x, t ) = précédente si :

y gx ----x

2y 2y y -------2 = g ⎛ ----- + x -------2⎞ . ⎝ x x⎠ t

( x ) cos t +

( x ) sin t est solution de l’équation

2. Corde vibrante : Équation de D’Alembert (PC-PSI)

2 d2 d ------ + ----- + x --------2 ⎞ sin t = 0 g dx dx ⎠

t+⎛ ⎝

2

A ⎛ x ------- ⎞ ⎝ g ⎠ y ( x, t ) = a --------------------- cos t . 2 A ⎛ L ------- ⎞ ⎝ g ⎠

qui doit être vérifiée quel que soit t, ce qui impose : 2 d2 d ------- + ----- + x --------2 = 0 g dx dx

2L 4π 2 f 2 L 3) a) ---------- = ---------------- = 100 ,61. g g

2 d2 ------ + d------ + x --------2 = 0 . g dx dx 2

b) Notant X = x ------ , on obtient l’équation différentielle vérifiée par la g fonction A ( X ) :

y x b) Pour le cas envisagé, on trace le graphe de - en fonction de --- , a L représenté à l’instant t vérifiant cos t = 1.

d2A dA A + ------ + X --------2 = 0 . dX dX Lasolutionsérieentière A ( X ) = 1 +

extrémité A

0,8

∞

∑A

x L 1

k

xk

satisfaitcette équationsi :

0,6

k=1

1 + A1 +

∞

∑

0,4

( A k + ( k + 1 )A k + 1 + ( k + 1 )kA k + 1 )X k = 0 .

0,2

k=1

Ak – 1 )k , puis A k = (-------------; On en tire A 1 = – 1 et A k + 1 = – -----------------( k + 1 )2 ( k! ) 2 c’est-à-dire que les premiers termes de la solution sont : 1 1 1 1 A ( X ) = 1 – X + -- X 2 – ----- X 3 + -------- X 4 – -------------- X 5 + 0 ( X 6 ) . 14 400 576 4 36 Remarque Il est possible de faire appel à un logiciel pour résoudre l’équation différentielle vérifiée par A : la solution correspond à une fonction de Bessel , dont le développement limité en fonction de la variable X a été donné précédemment. 2

c) Pour x = L, lafonction y ( L, t ) = ( A 0 cos t + B 0 sin t ) A ⎛ L ------- ⎞ ⎝ g ⎠ doit s’identifier avec y A = a cos t , donc : B0 = 0

et

a A 0 = --------------------- . 2 A ⎛ L ------- ⎞ ⎝ g ⎠

La forme de la corde à l’instant t est donc donnée par :

extrémité libre 6

4

2

0

–2

c) Sur le graphe obtenu, on observe que la corde présente six nœuds de vibration entre x = 0 et x = L . De plus, l’amplitude des oscillations horizontales des points de la corde augmente, et la distance entre deux nœuds diminue en s’approchant de l’extrémité libre de la corde. Celle-ci « fouette » l’air : l’influence du champ d’accélération g s’apparente à celui imposé par un manieur de fouet qui tire brusquement sur la poignée de celui-ci (les amplitudes envisagées limitent cependant ce parallèle). a d) Pour x = 0, l’amplitude des oscillations vaut --------------------- = A , soit 2 ⎛ A L ------- ⎞ ⎝ g ⎠ environ 6 à 7 mm. 2

e) Si A ⎛ L ------- ⎞ = 0 , l’amplitude des oscillations deviendrait très ⎝ g ⎠ grande (phénomène de résonance) et le calcul qui a été fait ici n’est plus applicable (on est limité à y petit).

55


2 ⎛ ------2 + d------ + x d-------⎞ cos ⎝ g dx dx 2 ⎠

3

Câble coaxial : notion d’impédance PC-PSI


Au chapitre 2, nous avons étudié la propagation d’ondes de déplacement le long d’une corde vibrante, décrite par l’équation de propagation de d’Alembert. ■ Propagation d’une onde dans une ligne électrique. ■ Impédance d’onde, propagation d’énergie. ■ Réflexion, transmission.

■ Solutions de l’équation de d’Alembert

56

Nous avons obtenu quelques solutions importantes de cette équation : ondes planes progressives, ondes planes progressives monochromatiques ou harmoniques et ondes stationnaires. En étudiant la propagation d’ondes électriques dans une ligne sans perte, nous vérifierons que ces résultats peuvent s’appliquer à d’autres situations physiques. Nous les compléterons en analysant le transport d’énergie associé à la propagation des ondes, ainsi que leur réflexion et leur transmission lorsque les caractéristiques du milieu de propagation sont modifiées.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) La ligne électrique n’est pas explicitement au programme de Seconde année. Nous l’avons cependant choisie pour introduire des notions importantes, comme la notion d’impédance caractéristique, le transport d’énergie ou les phénomènes de réflexion et de transmission (qui sont au programme), parce qu’elle permet d’utiliser des techniques de calcul particulièrement simples et que l’étude expérimentale reste aussi relativement aisée.

1

Pro pagati on d ’u n e on d e él ec t r i q u e d a n s u n e l i g n e

Doc. 1a. Câble coaxial. b –i

1.1. Expérience : propagation dans un câble coaxial

+i

a

1.1.1. Structure d’un câble coaxial

x′

La structure d’un câble coaxial est représentée sur le document 1a. L’âme du câble est constituée par un fil de cuivre cylindrique de rayon a. Celle-ci est enrobée d’une couche d’isolant. La gaine, de rayon intérieur b, est en cuivre et entoure le tout (doc. 1b). Ce type de câble relie, par exemple, un poste de télévision à l’antenne réceptrice (doc. 2a), ou des ordinateurs montés en réseau (doc. 2b).

Doc. 1b. Câble coaxial : description.

x

câble coaxiaux

Doc. 2a. Le câble reliant le poste de télévision à l’antenne réceptrice est un câble coaxial.

Doc. 2b. Des ordinateurs montés en réseau sont reliés à un câble coaxial.

1.1.2. Observation de la propagation

En fait, ceci n’est pas tout à fait exact, car le signal n’est pas instantanément transmis par le câble d’un appareil à l’autre : le signal met un certain temps pour se propager dans le câble d’un appareil à l’autre. En général, ce décalage nous est imperceptible, car la vitesse de propagation dans le câble est du même ordre de grandeur que la vitesse de la lumière. Un signal qui se propage dans un câble coaxial de 30 cm de long, à une vitesse de l’ordre de 300 000 km . s – 1 , ne met qu’une nanoseconde à parvenir du générateur à l’oscilloscope. Pour mettre en évidence le retard lié à un phénomène de propagation dans le câble, nous pouvons jouer sur la longueur de celui-ci. Étant donné l’ordre de grandeur que nous venons d’obtenir, il est nécessaire d’utiliser un très long câble, par exemple un rouleau de câble coaxial. Avec un câble de 100 m, le retard sera de l’ordre de quelques dixièmes de microseconde. C’est encore assez peu, mais parfaitement observable à l’oscilloscope (la fréquence de coupure d’un oscilloscope est généralement supérieure à 20 MHz), si nous utilisons un générateur d’impulsions.

terminaison

générateur d’impulsions

Doc. 3. Dispositif expérimental : une terminaison placée en prarallèle sur le câble (cf. exercice 2 et 3) permet d’éliminer les réflexions du signal dans le câble.

57


Nous savons que relier un générateur de signaux à un oscilloscope par un câble coaxial permet de visualiser le signal issu du générateur.

Ondes

Un générateur d’impulsions est relié aux deux voies d’un oscilloscope, en utilisant un câble de 30 cm d’une part, et le rouleau de 100 m d’autre part (doc. 3). Nous observons alors clairement sur l’écran de l’oscilloscope le retard du pic qui a dû traverser tout le rouleau par rapport à celui qui n’a parcouru que 30 cm de câble (doc. 4). En fixant, par exemple, la base de temps de l’oscilloscope à 0,1 s par carreau, nous pouvons mesurer ce retard t et estimer la vitesse de propagation du signal électrique dans le câble coaxial.

1.2. Modèle de propagation dans la ligne Lorsque nous faisons de l’électrocinétique, nous travaillons dans l’approximation des régimes quasi stationnaires. On dit en général que l’on néglige les phénomènes de propagation. Cela ne veut pas dire qu’ils n’existent pas mais que la propagation est instantanée (la vitesse de propagation est infinie) et dans ces conditions, les éléments d’un circuit sont des constantes localisées. Comme nous ne sommes plus dans cette approximation (nous cherchons à mettre en évidence un phénomène de propagation à vitesse finie), nous travaillerons avec des circuits à constantes réparties : seule une portion de circuit de longueur suffisamment petite pour y négliger les phénomènes de propagation peut être représentée avec le modèle de l’électrocinétique.

0,1 µs

1.2.1. Modèle de la ligne électrique à constantes réparties Modélisons le câble coaxial, milieu continu, par une ligne électrique à constantes réparties, pour laquelle nous noterons et les inductance et capacité par unité de longueur (exprimées respectivement en H . m – 1 et F . m – 1 ). La ligne est comparée à une succession de tronçons élémentaires, de longueur dx, considérés comme des quadripôle élémentaires auxquels sont associées une inductance dL = dx et une capacité dC = dx (doc. 5).

Doc. 4. Écran de l’oscilloscope : observation des impulsions.

Remarque Nous négligeons ici toute perte (résistance de la ligne, admittance de fuite entre l’âme et la gaine, ...).


Ce modèle permet de rendre compte, de façon simple, de la propagation d’ondes électriques dans un câble coaxial que nous venons d’observer (nous étudierons un modèle de propagation du champ électromagnétique dans la ligne dans l’exercice 3 du chapitre 5). Les caractéristiques et peuvent être calculées à partir de la géométrie de la ligne électrique, ici un câble coaxial (cf. H-Prépa, Électromagnétique, 2e année).

âme

1.2.2. Équations de couplage

v(x, t) gaine

En écrivant les équations électriques relatives au tronçon de ligne de longueur dx (doc. 5), nous obtenons : i ( x, t ) dx ----------------- = v ( x, t ) – v ( x + dx, t ) ou t

i ( x, t ) ( x, t ) – v ( x + dx, t ) ----------------- = v-----------------------------------------------t dx

1 v ( x, t ) ------------------ = ------------ ( i ( x, t ) – i ( x + dx, t ) ) ou dx t

v ( x, t ) ( x, t ) – i ( x + dx, t ) ------------------ = i---------------------------------------------dt dx

v ( x + dx, t ) dx ------------------------------- = t en « dx 2 » est négligé. car

58

2v v ( x, t ) dx ------------------ + dx 2 ----------- ( x, t ) où le second terme t x t

âme

x′

i(x, t)

x

x + dx

Λ dx

Γ dx

v(x, t)

x

i(x, t) v(x + dx, t)

i(x + dx, t) v(x + dx, t)

gaine x′

x

x + dx

x

Doc. 5. Schéma électrique d’un tronçon de ligne de longueur dx.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) La propagation dans la ligne est donc décrite par le système d’équations couplées : i ( x, t ) v ( x, t ) ------------------ = – -------------------t x

et

Nous reconnaissons l’équation de d’Alembert, satisfaite par v et i, où la vitesse c 1 caractéristique de la propagation est c = ------------- .

La position relative de la bobine et du condensateur dans la modélisation du câble coaxial ne modifie pas les équations différentielles reliant v et i (doc. 6). Ainsi, à partir du document 6b. : i ( x + dx, t ) dx ------------------------------ = v ( x, t ) – v ( x + dx, t ) , t Soit :

i ( x, t ) dx ----------------- + t

Λ dx

i(x, t) v(x, t)

i(x + dx, t)

Γ dx

v(x, t)

c)

Remarque

v(x + dx, t)

b) i(x, t)

2v -------2- = 0 . t

2v -------2- – x

i(x + dx, t)

Γ dx

v(x, t)

L’équation de propagation s’en déduit par élimination de v ou i dans le système d’équations couplées. Nous obtenons ainsi : 2i ------2- = 0 t

Λ dx

i(x, t)

v ( x, t ) i ( x, t ) -------------------- = – -----------------t x

et

1.2.3. Équation de propagation

2i -------2- – x

a)

dx -----2

Γ dx

v(x + dx, t)

dx -----2

i(x + dx, t)

v(x + dx, t)

Doc. 6. Modélisation d’un même tronçon de longueur d x de câble coaxial.

2 i ( x,

t) v ( x, t ) dx 2 -------------------- = – ------------------ d x + t x

et en ne regardant que les termes en dx :

et ensuite :

i ( x, t ) v ( x, t ) ----------------- = – -----------------t t v ( x, t ) ------------------ = i ( x, t ) – i ( x + dx, t ) , t

soit :

v ( x, t ) i ( x, t ) dx ------------------ = – ----------------- . t t

On retrouve donc les deux équations différentielles couplées précédentes, qui donnent les mêmes équations de propagation.

1

Modélisation d’une fibre nerveuse Une fibre nerveuse transporte l’influx nerveux sous forme d’impulsions électriques. Elle peut être modélisée par une âme : l’axoplaste, relativement conducteur de résistance par unité de longueur de fibre ri enveloppé d’une gaine de myéline de résistance et de capacité notables de conductance g et de capacité par unité de longueur de fibre. L’extérieur peut être modélisé par un milieu conducteur de résistance re par unité de longueur de fibre.


Application

1) Proposer une modélisation électrique d’un élément de longueur dx de fibre. 2) Écrire le système d’équations couplant les dérivées temporelles et spatiales de l’intensité i(x, t) et de la tension v(x, t) en un point de cote x de la fibre. 3) En déduire une équation différentielle vérifiée par i(x, t) ou v(x, t). 1) Un élément de longueur dx : ●

d’axoplaste est représenté par une résistance ri dx ;

59

Ondes

1 de gaine en myélite par une résistance ---------- et de g dx capacité d x reliant l’axoplaste à l’extérieur ; ● d’extérieur par une résistance r dx. e Les représentations possibles de l’élément de longueur dx de la fibre sont celles des documents 7 et 8. ●

ri dx

i(x+dx, t) A′ axpolaste

1 ---------g dx

v(x, t)

dx

v(x + dx, t)

A i(x, t)

re dx E i(x, t)

gaine

extérieur i(x+dx, t) E′

i(x+dx, t) A′ axpolaste

dx

v(x + dx, t)

ri dx 1 ---------v(x, t) g dx

re dx E i(x, t)

gaine

extérieur

i(x+dx, t) E′

Doc. 8. 2) Pour le schéma équivalent du document 7.


La différence de potentiel entre les points A et A′ est r i dx i(x, t) et entre les points E′ et E : r e dx i(x, t), d’où : v (x, t) = (ri + r e)dx i(x, t) + v(x + dx, t) soit : v ------ ( x, t ) + ( r i + r e )i ( x, t ) = 0 x

i = i ( x, t ) – i ( x + dx, t ) = gdxv ( x + dx, t ) + Or : gdxv ( x + dx, t ) +

∂v dx ----- ( x + dx, t ) ∂t

∂v ----- ( x, t )⎞ dx + terme en « dx 2 », ⎠ ∂t donc, en ne gardant que les termes en dx : = ⎛ gv ( x, t ) + ⎝

i ------ ( x, t ) + gv ( x, t ) + x

v ----- ( x, t ) = 0 t

(2)

Si nous prenons le schéma équivalent du document 8, les équations sont :

(1)

pour l’intensité traversant la myéline v (x, t) = (ri + re)dx i(x + dx, t) + v(x + dx, t), soit : v (x, t) = (ri + re) dx i(x, t) + v (x + dx, t) + terme en « dx 2 ». Elles aboutissent au même résultat final en ne prenant pas en compte les termes en dx 2. 3) En éliminant i(x, t) entre les deux équations : 2v v -------2- ( x, t ) = ( r i + r e ) ⎛ gv ( x, t ) + ----- ( x, t )⎞ . ⎝ ⎠ t x

En dérivant l’équation (2) par rapport à x et en éli2v 2v v minant ------ ⎛ car ----------- = -----------⎞ , nous aboutissons à ⎝ x x t x t⎠ une équation semblable : 2i -------2- ( x, t ) = ( r i + r e ) ⎛ gi ( x, t ) + ⎝ x

i ----- ( x, t )⎞ . ⎠ t

v(x, t) et i(x, t) vérifient la même équation différentielle qui n’est pas une équation de d’Alembert.

1.3. Analogie électromécanique Fait remarquable, l’équation de propagation obtenue est encore l’équation de d’Alembert, dont nous avons étudié les solutions au chapitre 2. Nous pouvons donc appliquer les résultats déjà obtenus, et constater des analogies entre la

60

v dx ----- ( x + dx, t ). t

i = i ( x, t ) – i ( x + dx, t ) = gdxv ( x, t ) v = g dxv ( x, t ) + dx ----- ( x, t ) t

Doc. 7. A i(x, t)

L’intensité traversant l’élément de longueur dx de myéline vaut :

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) propagation des vibrations le long d’une corde et celle des ondes électriques dans une ligne : • l’analogue mécanique d’une inductance L (inertie électrique) est une masse M (inertie mécanique), l’analogue de est donc une masse linéique ; 1 • l’analogue d’une capacité C est l’inverse d’une constante de raideur ---- , celui K 1 de est donc de la forme ------- , où a est une longueur, c’est-à-dire l’inverse Ka d’une force que nous noterons T 0 ; • cette correspondance permet de passer de la vitesse de propagation le long T 1 de la corde : c = -----0- à la vitesse de propagation dans la ligne : c = ------------- . Nous pouvons ainsi dresser le tableau comparatif (doc. 9). ligne électrique

corde vibrante

origine de la propagation : les variations spatiale et temporelle de deux grandeurs, qui sont couplées, s’entretiennent mutuellement.

y

M

les grandeurs

• tension électrique v ( x, t )

• vitesse v y ( x, t ) = -------- ( x, t ) t (déplacement transverse) • composante transverse de la force exercée par la partie gauche sur la partie droite de la corde (doc. 10). Fy ( x, t ) = – T 0 -------- ( x, t ) x

les équations de couplage 1 ⎧ -----i = – --⎪ t ⎨ ⎪ -----v = – --1⎩ t

v -----x i -----x

Fy = F y e y F x

x

Doc. 10. F est la force exercée en M par la partie gauche (corde noire) sur la partie droite (corde bleue), avec ce choix : F = – T 0 e x + Fy e y .

⎧ v 1 Fy ⎪ --------y = – --- --------⎪ t x ⎨ v ⎪ Fy - = – T 0 --------y ⎪ -------x ⎩ t

les constantes caractéristiques du milieu l’inductance linéique la capacité linéique

la masse linéique 1 ------ l’inverse de la tension de la corde T0

la propagation (unidimensionnelle) de ces grandeurs, conséquence du couplage des dérivées spatiale et temporelle, est décrite par l’équation de propagation de d’Alembert, ou équation d’onde classique : 2 1 2 ---------2- – ----2- ---------2- = 0 c t x la vitesse c caractérisant la propagation 1 c = -------------

c =

T -----0-

Doc. 9. Analogies entre la ligne électrique et la corde vibrante.

61


• courant électrique i ( x, t )

Ondes

Remarque Dans les expériences que nous avons décrites, nous avons pu observer l’évolution temporelle : – de v en x = 0 ou x = L pour le câble coaxial ; – de

déplacement latéral de la corde pour tout x.

Nous n’avons pas observé, en revanche, les grandeurs couplées : intensité pour le câble et vitesse (ou force) pour la corde.

2

I mpéd an c e ca ra c té ri sti q u e d e l a l i gne é l e c tri q u e

Le terme d’impédance nous fait naturellement penser aux grandeurs électriques. Nous utiliserons effectivement ici l’exemple de la ligne électrique pour aborder cette notion. Bien entendu, nous prolongerons les résultats établis aux ondes mécaniques, voire à d’autres.

2.1. Définition Considérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants. Nous savons que i ( x, t ) et v ( x, t ), solutions de l’équation de d’Alembert, sont alors de la forme : x i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠

et

x v ( x, t ) = h ⎛ t – --⎞ . ⎝ c⎠

Cherchons s’il existe une relation simple entre ces deux grandeurs. L’équation de propagation est une conséquence des équations couplées, donc les solutions i ( x, t ) et v ( x, t ) compatibles avec la physique du problème sont en fait liées. x Prenons la solution i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ et construisons la solution v ( x, t ) à ⎝ c⎠ partir des équations couplant le courant et la tension : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

⎧ v i x ⎪ ------ = – ----- = – f ′ ⎛⎝ t – --⎞⎠ t x c ⎪ ⎨ 1 ⎪ -----v = – --1- -----i- = ----- f ′ ⎛ t – --x⎞ ⎪ t ⎝ c⎠ c x ⎩ df x ⎛ en notant f ′ ( u ) = ----- avec u = t – -- ⎞ . ⎝ du c⎠ En intégrant la première équation par rapport à x, il vient : v ( x, t ) =

x cf ⎛ t – --⎞ + H ( t ) . ⎝ c⎠

En reportant cette expression dans la seconde équation, nous obtenons : v ( x, t ) ------------------ = t

62

1 x x c f ′ ⎛ t – --⎞ + H′ ( t ) = ------ f ′ ⎛ t – --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ c

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) 1 c = ------ = ---- , nous en déduisons H′ ( t ) = 0 et c H ( t ) = cte K . Comme nous ne nous intéressons qu’aux phénomènes qui se propagent, donc variant dans le temps, nous prenons K = 0 . Sachant que

Finalement, la solution cherchée est : x x v ( x, t ) = h ⎛ t – --⎞ = Z c f ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ en notant Z c = ohms.

---- , qui est homogène à une impédance donc exprimée en

Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants, la tension v et l’intensité i sont reliées par v(x, t) = Zc i (x, t) définissant l’impédance caractéristique Z c =

---- de la ligne électrique

(notons que Z c est réelle et indépendante de x et de t).

2

Impédance caractéristique d’un câble coaxial Les rayons de l’âme et de la gaine d’un câble de télévision valent respectivement a = 1 mm et b = 3 ,5 mm. L’espace séparant l’âme et la gaine n’est pas vide mais rempli d’un matériau isolant non magnétique (polyéthylène) de permittivité diélectrique relative r = 2 ,26. Données 1 • 0 = ---------- . 10 –9 F . m – 1, • 0 = 4 . 10 –7 H . m – 1. 36 Sachant que les lois de l’électromagnétique permettent 2 0 r de déterminer la capacité linéique par = ----------------- et b⎞ ⎛ ln --⎝ a⎠ μ 0 ⎛ b⎞ l’inductance linéique par = ------- ln --- quelles sont ⎝ a⎠ 2 les valeurs de la capacité et l’inductance linéiques du câble, la vitesse c de propagation des signaux électriques qu’il véhicule et son impédance caractéristique Z c ?

Nous obtenons avec c 0 la vitesse de la lumière dans le vide : 2 0 r = ----------------- = 100 pF . m – 1 ; b⎞ ⎛ ln --⎝ a⎠ b = ------0- ln ⎛ ---⎞ = 0 ,25 ⎝ a⎠ 2

H . m– 1 ; © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

c0 1 c = ------------- = -------≈ 2 . 10 8 m . s – 1 ; 0

1 Z c = ------2

r

b 0 --------- ln ⎛ ---⎞ ≈ 50 ⎝ a⎠ 0 r

.

Le câble coaxial étudié correspond à celui utilisé en travaux pratiques lors de l’étude de signaux hautes fréquences. Le câble coaxial venant de l’antenne vers le poste de télévision a une impédance caractéristique Z c = 75 Ω. Celui utilisé en travaux pratiques à une impédance caractéristique Z c = 50 Ω.

63

Ondes

2.2. Cas d’une onde plane Dans le cas d’une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x x décroissants, i ( x, t ) = g ⎛ t + --⎞ , un calcul analogue à celui du § 2.1 conduit ⎝ c⎠ à v ( x, t ) = – Z c i ( x, t ) . Par superposition des deux résultats précédents, nous en déduisons que lorsque la ligne est parcourue par l’onde plane la plus générale, donc de la forme : x x i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ , ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ x x la tension v ( x, t ) s’écrit v ( x, t ) = Z c f ⎛ t – --⎞ – g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ Remarquons qu’alors il n’existe plus de relation simple entre v(x, t) et i(x, t).

3

Pro pagati on d ’é n e rg i e dan s l a l i g n e é l e c tri q u e

3.1. Cas d’une onde plane progressive Considérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants le long d’une ligne d’impédance caractéristique Z c . Nous savons que dans ces conditions : x x i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ et v ( x, t ) = Z c f ⎛ t – --⎞ , soit v ( x, t ) = Z c i ( x, t ) . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ 3.1.1. Puissance transférée L’intensité i ( x, t ) étant comptée positivement dans le sens des x croissants, la puissance transmise (donc cédée) par la partie gauche (abscisse inférieure à x) de la ligne à la partie droite (abscisse supérieure à x) vaut ( x, t ) = + v ( x, t ) i ( x, t ) . 3.1.2. Densité linéique d’énergie


L’énergie ∂ stockée dans un élément de ligne de longueur dx est la somme des énergies accumulées dans l’inductance dx et dans la capacité dx, soit : 1 1 d = --- dx i 2 ( x, t ) + --- dxv 2 ( x, t ) . 2 2 La densité linéique d’énergie e(x, t), définie par ∂ = e ( x, t ) ∂x , vaut : 1 1 e ( x, t ) = --- i 2 ( x, t ) + --- v 2( x, t ) ; 2 2 e peut également s’écrire sous la forme : 1 1 e ( x, t ) = --- i 2 ( x, t ) + --- Z c2 i 2 ( x, t ) = 2 2 puisque

Z c2 =

v 2 ( n, t ) i 2 ( x, t ) = -----------------

.

3.1.3. Bilan énergétique local – Vitesse d’énergie Nous pouvons définir la vitesse de propagation de l’énergie v e en exprimant l’énergie W traversant une section de cote x, pendant un intervalle de temps t, de deux manières différentes : • connaissant la puissance transmise

64

(x, t) , nous avons W =

( x, t ) t ;

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) • la densité linéique d’énergie e(x, t) se déplaçant à la vitesse v e , l’énergie W cherchée (doc. 11) correspond à l’énergie contenue sur un élément de ligne de longueur v e t , soit W = e ( x, t ) v e t . L’identification de ces deux expressions nous donne : W =

( x, t ) t = e ( x, t ) v e t ,

soit

( x, t ) = e ( x, t )v e .

Nous en déduisons :

ve t

énergie e(x, t)v e t x′ x – ve t

i 2 ( x,

Z Zc t) ( x, t ) - = -----c = c . v e = ----------------- = ---------------------2 e ( x, t ) i ( x, t ) Remarque La variation de la densité d’énergie électrique en un point fixé (x constant) associée à l’onde est ici uniquement liée à la propagation de l’énergie. Dans d’autres cas, des termes d’absorption (ligne résistive, fuite dans les condensateurs) ou d’amplification (source d’énergie) pourraient être à prendre en compte. Pour une onde plane progressive

transfert d’énergie t

x

x

Doc. 11. L’énergie W qui traverse le plan de cote x correspond à l’énergie contenue sur un élément de ligne de longueur ve t, soit W = e ( x, t )v e t .

x ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ , la densité linéique ⎝ c⎠

d’énergie se déplace à la vitesse c ⎛ remarquons que e ( x, t ) = ⎝ x⎞ bien une fonction de t – -- . c⎠

x f 2 ⎛ t – --⎞ est ⎝ c⎠

3.2. Cas d’une onde plane (non nécessairement progressive) Considérons une onde plane, superposition de deux ondes planes progressives se déplaçant en sens opposés selon l’axe ( xx′ ), le long d’une ligne d’impédance caractéristique Z c , soit : x x i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ + g ⎛ t + --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ et

x x v ( x, t ) = Z c f ⎛ t – --⎞ – g ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

3.2.1. Puissance transférée © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Le courant i ( x, t ) étant compté positivement dans le sens des x croissants, la puissance transmise par la partie gauche (abscisse inférieure à x) de la ligne à la partie droite (abscisse supérieure à x) vaut toujours : ( x, t ) = + v ( x, t ) i ( x, t ) . Cette relation peut s’écrire : x x ( x, t ) = + Z c f 2 ⎛ t – --⎞ – g 2 ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ Les deux termes qui apparaissent dans cette expression correspondent respecx tivement à l’onde plane progressive f ⎛ t – --⎞ qui se propage dans le sens des ⎝ c⎠ x croissants et transfère donc de l’énergie dans ce sens, et à l’onde plane prox gressive g ⎛ t + --⎞ qui se propage en sens inverse (d’où le signe moins) et ⎝ c⎠ transporte aussi de l’énergie.

65

Ondes

3.2.2. Densité d’énergie L’énergie stockée dans un élément de ligne de longueur dx est toujours la somme des énergies accumulées dans l’inductance dx et dans la capacité dx, soit : 1 1 = --- dxi 2 ( x, t ) + --- dxv 2 ( x, t ) 2 2 et la densité linéique d’énergie vaut : 1 1 e ( x, t ) = --- i 2 ( x, t ) + --2 2

v 2 ( x, t ) .

Utilisant les notations « f » et « g », nous obtenons : e ( x, t ) =

⎛ f 2 ⎛ t – --x⎞ + g 2 ⎛ t + --x ⎞ ⎞ , ⎝ ⎝ c⎠ ⎝ c ⎠⎠

expression faisant à nouveau apparaître deux termes positifs, que nous pouvons attribuer aux deux ondes progressives mises en jeu dans l’onde étudiée. 3.2.3. Bilan énergétique local La variation de l’énergie, contenue dans une longueur élémentaire dx de la ligne pendant un intervalle de temps t, est liée aux transferts d’énergie qui ont lieu en x et x + dx (doc. 12). Pendant la durée t , l’énergie entrant dans le volume compris entre les plans de cote x et x + dx est à gauche ( x, t ) t et à droite ( x + dx, t ) t . Comme il n’y a ni création ni dissipation d’énergie, elle est égale à la variation e ------ ( x, t )dx t de l’énergie de ce volume : ∂t e ( x, t ) ( x, t ) t – ( x + dx, t ) t = ------------------ dx t , t ( x, t ) e ( x, t ) – -------------------- = ------------------ . x t

soit Remarques

• Cette équation se vérifie aisément en utilisant l’expression générale de la puissance (cf. § 3.2.1) : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

( x, t ) = + v ( x, t )i ( x, t ) , d’où :

( x, t ) v ( x, t ) i ( x, t ) – -------------------- = – i ( x, t ) ------------------ – v ( x, t ) ----------------- ; x x x 1 1 e ( x, t ) = --- i 2 ( x, t ) + --2 2

i ( x, t ) e ( x, t ) donc ------------------ = i ( x, t ) ----------------- + v ( x, t ) t t plées (cf. § 1.2.2) : i ( x, t ) v ( x, t ) ----------------- = – -----------------∂t x

et

v 2 ( x, t ) ,

v ( x, t ) ------------------ , et les équations cout v ( x, t ) i ( x, t ) ------------------ = – ----------------- . t x

• Pour les solutions que nous venons d’écrire comme superposition d’ondes planes progressives, nous pouvons vérifier directement ce bilan en écrivant : Z ( x, t ) e ( x, t ) – -------------------- = -----c 2 [ f f ′ + gg′ ] = ------------------ = x c t

66

----- [ f 2 + g 2 ] . t

(x,t)dt

x′

(x + dx,t)dt

x

x + dx

x

Doc. 12. La différence entre les énergies entrante et sortante fait varier la densité linéique d’énergie e(x, t).

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) 3.3. Impédance et puissance associées à une propagation unidimensionnelle Nous pouvons généraliser rapidement les résultats obtenus dans le cas de la ligne électrique en reprenant les analogies développées précédemment, et construire le tableau comparatif (doc. 13). ligne électrique

corde vibrante

la puissance transmise (dans le sens des x croissants) dans le milieu peut s’exprimer comme le produit de grandeurs (énergétiquement conjuguées). v ( x, t )

grandeurs couplées Fy ( x, t )

i ( x, t )

v y ( x, t )

(doc. 14)

y

la puissance ( x, t ) = v ( x, t )i ( x, t )

( x, t ) = Fy ( x, t ) v y ( x, t )

les équations d’évolution de ces grandeurs étant couplées, leurs expressions, sous forme d’une superposition de deux ondes planes progressives se propageant à vitesse c à x croissant ou décroissant, sont liées et font intervenir l’impédance caractéristique du milieu où elles se propagent. expressions générales des équations d’évolution ⎧ x x ⎪ i ( x, t ) = f ⎛⎝ t – --⎞⎠ + g ⎛⎝ t + --⎞⎠ c c ⎪ ⎨ ⎪ v ( x, t ) = Z f ⎛ t – --x⎞ – g ⎛ t + --x⎞ c ⎪ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎩

⎧ x x ⎪ v y ( x, t ) = f ⎛⎝ t – --⎞⎠ + g ⎛⎝ t + --⎞⎠ c c ⎪ ⎨ ⎪F ( x, t ) = Z f ⎛ t – --x⎞ – g ⎛ t + --x⎞ c ⎪ y ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎩

M Fy = F y e y F x

x

Doc. 14. F est la force exercée en M par la partie gauche (corde noire) sur la partie droite

(corde bleue),

avec ce choix : F = – T 0 e x + F y e y .

l’impédance caractéristique du milieu Zc =

-----

Zc =

T0


dans ces milieux « parfaits » c’est-à-dire sans absorption ou amplification d’énergie), la puissance transmise (x, t) et la densité linéique d’énergie e(x, t) sont liées par le bilan énergétique local : ∂ ∂e -------- = ----- . ∂x ∂t L’énergie, comme toutes les autres grandeurs associées aux ondes solutions de l’équation de d’Alembert, se propage à la vitesse c. Doc. 13. Analogies électromécaniques.

Remarque Attention, pour la corde vibrante, la puissance transmise de gauche à droite est égale à Fy v y (cf. exercice 6).

67

Ondes

4

I n fl u en c e d e s con d i ti on s a ux l i mi t e s

Nous n’avons pas encore tenu compte dans ce chapitre des limites éventuelles des milieux de propagation : extensions finies (selon (Ox)), discontinuités de milieux. Celles-ci imposent des conditions aux limites auxquelles les ondes doivent satisfaire. Lorsqu’une ligne de propagation est fermée sur une impédance terminale ou bien reliée à une ligne de caractéristiques différentes, la traduction des conditions aux limites permet de déterminer les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise qui en résultent. Les conditions aux limites doivent être établies au cas par cas, en étudiant à chaque fois précisément le problème posé.

4.1. Réflexion en bout de ligne fermée par une impédance terminale 4.1.1. Expérience élémentaire Si nous imposons une secousse au bout d’une corde accrochée à son autre extrémité à un mur, nous pouvons voir dans un premier temps la déformation créée se déplacer vers le mur : une onde de type « f » qui se propage à la vitesse c dans le sens des x croissants (doc. 15). Lorsque celle-ci arrive sur le mur, elle ne disparaît pas purement et simplement, absorbée par cette terminaison, mais nous observons au contraire une secousse (d’orientation inversée par rapport à l’onde incidente) qui revient vers nous : l’onde « f » incidente a donné naissance, au niveau de la terminaison, à une onde réfléchie de type « g ». Le phénomène observé est général, et nous le retrouverons pour toutes les ondes dont nous étudierons la propagation. Le renvoi d’un écho par une paroi rocheuse, de lumière par un miroir, sont des exemples de réflexion d’ondes sonores et lumineuses (électromagnétiques).

onde incidente avant réflexion o

x

onde réfléchie

après réflexion

x

o

Doc. 15. Onde incidente et onde réfléchie sur une corde vibrante.

Prolongeant le cas générique de la ligne électrique étudié jusqu’à présent, nous étudierons ici la réflexion d’une onde électrique à l’extrémité d’une ligne, en gardant à l’esprit la généralité des phénomènes observés. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

4.1.2. Impédance terminale, condition à la limite

i(x, t)

Considérons le cas d'une ligne électrique aboutissant à l'abscisse x0 sur une terminaison modélisée par un dipôle (doc. 16). • Si nous relions par un fil conducteur l'âme et la gaine d'un câble coaxial à son extrémité x 0, sa sortie apparaît court-circuitée. L’impédance terminale de la ligne est alors nulle v ( x 0 , t ) = 0 = Zi ( x 0 , t ) ) avec Z = 0 . • À l'opposé, une ligne électrique ouverte à son extrémité correspond à une 1 impédance terminale infinie : i ( x 0 , t ) = 0 = ---v ( x 0 , t ) avec Z = ∞ . Z En général, la relation entre la tension et l’intensité aux bornes du dipôle ne peut pas être écrite sous la forme v(x0 , t) = Zi(x0 , t). Si nous supposons que l’intensité et la différence de potentiel sont des fonctions sinusoïdales du temps de pulsation nous utilisons la notation complexe ; nous pouvons alors définir l'impédance Z du dipôle, grandeur complexe fonction de .

68

v(x, t) x′

ligne (Zc)

Z x0

x

Doc. 16. Terminaison en bout de ligne.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) Nous nous placerons dans la suite de ce paragraphe en notation complexe. La condition à la limite en x 0 s’écrit alors : v ( x 0 , t ) = Zi ( x 0 , t ) . Remarque Un signal physique quelconque peut être décomposé en superposition de fonctions sinusoïdales. La linéarité de l’équation de d’Alembert et des relations aux dérivées partielles entre v(x, t) et i(x, t) assure que la réflexion d'un signal physique quelconque peut être analysée par superposition des réponses correspondant aux différentes pulsations w contenues dans l'onde incidente. L’étude de l’onde réfléchie pour une onde incidente progressive sinusoïdale de pulsation w donnée est donc fondamentale.

3

Exemples d’impédances terminales pour une corde Un anneau de masse M est accroché en x = x 0 , au bout d’une corde tendue (tension T0 ). Il est repéré par sa cote y ( t ). L’état de vibration de la corde est décrit par la fonction positive ( x, t ). 1) Indiquer les valeurs des impédances définies par Fy ( x 0 , t ) = Z v y ( x 0 , t ), avec : ( x, t ) Fy ( x 0 , t ) = – T 0 ⎛ ---------------------⎞ ⎝ x ⎠ (x ( x, t ) v y ( x 0 , t ) = ⎛ ---------------------⎞ ⎝ t ⎠ (x

et

0

0,

t)

, t)

et la condition à la limite x = x 0 correspondant aux cas où une corde vibrante est liée : a) à un anneau fixé au point ( x = x 0 , y = 0 ) (doc. 17a) ; b) à un anneau de masse négligeable pouvant glisser sans frottements sur l’axe ( x = x 0 , y ( t ) quelconque) (doc. 17b) ; c) à un anneau de masse M pouvant glisser sur l’axe ( x = x 0 , y ( t ) quelconque) avec des frottements fluides caractérisés par le coefficient l, tout en étant lié au point ( x = x 0 , y = 0 ) par un ressort, de raideur K, de longueur à vide négligeable (doc. 17c). Les mouvements, dans ce cas, seront supposés sinusoïdaux, de pulsation (il faudra exprimer Z ( ) en notation complexe). a)

y

b)

y

x x0

c) x

x0

y M K x x0

2) Proposer des situations analogues dans le cas d’une ligne électrique. 1) Pour une corde vibrante, nous écrirons la condi-

tion à la limite x = x 0 , pour tout t :

Fy ( x 0 , t ) = Z v y ( x 0 , t ) , c’est-à-dire : ( x, t ) – T 0 ⎛ ---------------------⎞ ⎝ F y ( x0 , t ) x ⎠ ( x0 , t ) -, Z = ------------------------------------- = -------------------------------------------------( x, t )⎞ ( x, t )⎞ ⎛ -------------------⎛ --------------------⎝ ⎝ t ⎠ ( x0 , t ) t ⎠ ( x0 , t ) sachant que y ( t ) =

( x 0 , t ) et :

(x, t) F y ( x 0 , t ) = T 0 ⎛ ---------------------⎞ . ⎝ x ⎠ ( x0 , t ) a) L’anneau est fixe, donc y ( t ) =

quel que soit t, c’est-à-dire :

( x0 , t ) = 0 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

( x 0 , t )⎞ ( x 0 , t )⎞ ⎛ ----------------------et ⎛ ----------------------quelconque ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( x0 , t ) t x ( x0 , t ) (soit Fy ( x 0 , t ) quelconque). y ( t ) = 0 pour toutes les valeurs de Fy nous conduit donc à Z méca = ∞ .

Doc. 17. Terminaisons en bout de corde vibrante (l’anneau a une dimension beaucoup plus faible que la longueur d’onde). a. Extrémité de corde bloquée. b. Extrémité de corde « libre ». c. Anneau rappelé et frottant.

69

Ondes

ce qui nous donne en utilisant les notations complexes (– M 2 + j + K ) y = Fy .

b) Appliquons la relation fondamentale de la dyna-

mique en projection suivant ( Oy ), à l’anneau de

masse M, soumis à la force F de la part de la corde,

( x, t ) dy = v ( x0 , t ) , ------ = ⎛ ---------------------⎞ ⎝ t ⎠ ( x0 , t ) dt v ( x0 , t ) d2 y - , cela nous -------2- = j v ( x 0 , t ) et y = ----------------j dt K donne Z méca = jM + + ------ . j 2) a) Z élec = ∞ : la ligne est ouverte en x = x 0 . Sachant

et à d’autres forces que nous noterons R (doc. 18) : d2 y M -------2- = F y + R y dt ( x, t ) avec Fy = Fy ( x 0 , t ) = – T 0 ⎛ ---------------------⎞ ⎝ x ⎠ (x

0

, t)

car F y représente la composante verticale de la force exercée par la partie gauche de la corde sur la partie droite (doc. 18). Dans le cas b), l’anneau, de masse M nulle, est libre ( R y = 0 ) dans son mouvement vertical. Nous constatons donc que Fy doit s’annuler pour toutes les valeurs de y ( t ) , donc de v y ( x 0, t ) , soit Z méca = 0 . d2 y dt 2

force Fcorde exercée par la corde sur l’anneau Fx Fy

x = x0 .

1 + R + ---------- : la ligne est fermée en jC x = x 0 sur un circuit constitué d’une inductance L, d’une résistance R et d’une capacité C montées en série. c) Z élec = jL

y

Doc. 18. F y ( x 0 , t ) étant définie par :

anneau Rx R

corde x’

b) Z élec = 0 : la ligne est court-circuitée en

dy ------ – Ky , dt

c) De même, M -------- = F y ( x 0 , t ) –

x0

que

( x, t ) Fy ( x 0 , t ) = – T 0 ⎛ ---------------------⎞ ⎝ x ⎠ (x Ry

4.1.3. Détermination de l’onde réfléchie

i(x, t)


Soit une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants, pour laquelle v i ( x, t ) = Z c i i ( x, t ) . Si elle se propage vers une terminaison d’impédance Z placée en x 0 , elle ne peut généralement pas satisfaire la condition à la limite x = x 0 , sauf bien sûr dans le cas très particulier où la ligne est refermée sur son impédance caractéristique : Z c = Z . Nous devons donc envisager, comme dans l’expérience précédente, l’existence d’une onde réfléchie (doc. 19). L’onde incidente étant supposée sinusoïdale de pulsation , nous adoptons la notation complexe. Dans la zone x x 0 , l’onde est la superposition : • de l’onde incidente se propageant dans le sens des x croissants : t

⎧ I ( x ) = I i0 e –jkx où ⎨ i sont les amplitudes complexes de l’onde incidente ⎩ V i ( x ) = V i0 e –jkx avec V i ( x ) = Z c I i ( x ) ;

70

, t)

La projection suivant ( Oy ) de la résultante des forces exercée par la corde sur l’anneau est égale à F y ( x0 , t ) .

x

⎧ i i ( x, t ) = I i0 e j ( t – kx ) = I i ( x )e j t ⎨ ⎩ v i ( x, t ) = V i0 e j ( t – kx ) = V i ( x )e j

0

onde incidente Z

v(x, t) onde réfléchie x′

x0

Doc. 19. Réflexion en bout de ligne.

x

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) • de l’onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants : ⎧ i r ( x, t ) = I r0 e j ( t + kx ) = I r ( x )e j t ⎨ ⎩ v r ( x, t ) = V r0 e j ( t + kx ) = V r ( x )e j

t

⎧ I ( x ) = I r0 e jkx où ⎨ r sont les amplitudes complexes de l’onde réfléchie ⎩ V r ( x ) = V r0 e jkx avec V r ( x ) = – Z c I r ( x ) . Soit pour l’onde résultante : ⎧ i ( x, t ) = I ( x )e j t = i i ( x, t ) + i r ( x, t ) = ( I i ( x ) + I r ( x ) )e j t ⎨ ⎩ v ( x, t ) = V ( x )e j t = v i ( x, t ) + v r ( x, t ) = Z c ( I i ( x ) – I r ( x ) )e j

t

où I ( x ) et V ( x ) sont les amplitudes complexes de l’onde résultante. Nous en déduisons les relations entre les amplitudes complexes des trois ondes : ⎧ I r( x) = I i( x) + I r( x) ⎨ ⎩V ( x) = Z c( I i( x) – I r( x)) La condition à la limite x = x 0 , v ( x 0, t ) = Zi ( x 0, t ) ou, en utilisant les amplitudes complexes, V ( x 0 ) = ZI ( x 0 ) conduit à la relation : Z c ( I i ( x0 ) – I r ( x0 ) ) = Z ( I i ( x0 ) + I r ( x0 ) ) ( Z c – Z )I i ( x 0 ) = ( Z c + Z )I r ( x 0 ) .

ou

4.1.4. Coefficients de réflexion pour les amplitudes Le coefficient de réflexion en amplitude, noté r est le rapport entre l’amplitude complexe de l’onde réfléchie et l’amplitude complexe de l’onde incidente au point où l’onde est réfléchie. Nous déduisons des relations entre l’amplitude complexe de l’intensité et de la tension obtenues au paragraphe précédent les coefficients de réflexion pour : I r ( x0 ) Zc – Z • l’intensité I = -------------- = --------------I i ( x0 ) Zc + Z V

V r ( x0 ) – Z c I r ( x0 ) = --------------- = ------------------------ = – V i ( x0 ) Z c I i ( x0 )

I

. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

• la tension

4.1.5. Coefficient de réflexion énergétique Les ondes étudiées ici sont sinusoïdales, seules nous intéressent les puissances moyennes transférées de la gauche vers la droite pour l’onde incidente 〈 i 〉 et pour l’onde réfléchie 〈 r 〉 . Le coefficient de réflexion énergétique, noté R, est le rapport entre la puissance moyenne transférée par l’onde incidente et la puissance moyenne transférée par l’onde réfléchie en valeur absolue. Soit : 〈 Pr〉 R = --------. 〈 Pi〉 Pour calculer ces puissances moyennes nous pouvons utiliser le résultat de l’électrocinétique (cf. H-Prépa, Électronique, 1 re année) relatif aux amplitu1 des complexes de l’intensité I et de la tension V : 〈 〉 = --- e ( V I ∗ ) où I ∗ 2 est le complexe conjugué de I .

71

Ondes

Il vient 1 1 1 = --- e ( Vi I i∗ ) = --- Z c I i 2 = --- Z c I i0 2 2 2 2 1 1 1 〈 r〉 = --- e ( Vr I r∗ ) = – --- Z c I r 2 = – --- Z c I r0 2 2 2 2 〈

i〉

Nous déduisons de ces relations : R =

V

2

=

I

2.

Remarques • Les puissances sont indépendantes de x. Il est donc inutile de préciser ici que le calcul doit être effectué au point où l’onde est réfléchie. • 〈 i 〉 est positive et 〈 r 〉 négative (propagation de l’énergie vers les x croissants pour l’onde incidente et vers les x décroissants pour l’onde réfléchie). • Prolongeons les résultats du § 3.2.1, l’onde incidente vérifie (en notation réelle) vi (x, t) = Zc ii (x, t), l’onde réfléchie vr (x, t) = – Zc ir (x, t), et l’onde résultante les deux relations : i (x, t) = ii (x, t) + ir (x, t) et v(x, t) = vi (x, t) + vr (x, t) = Zc(ii (x, t) – ir (x, t)) , Soit et

i (x, t)

= vi(x, t)ii (x, t) = Zc i i2 (x, t) ,

r (x, t)

(x, t) = v(x, t)i(x, t) = Zc( i i2 (x, t) – i r2 (x, t)) =

D’où car 〈

= i + r et en valeur moyenne 〈 〉 = 〈 r 〉 est négative.

= vr(x, t)ir(x, t) = – Zc i r2 (x, t) i(x, i〉

t)+

+〈

r(x, r

t) .

〉 = (1 – R) 〈

i〉

4.1.6. Discussion des résultats Nous pouvons analyser les résultats précédents pour quelques terminaisons particulières. • Z = ∞ : l’extrémité de la ligne électrique est ouverte. I

= –

V

= –1

et

R = 1.

La réflexion est totale, au sens où toute l’énergie de l’onde incidente se retrouve dans l’onde réfléchie. • Z = 0:

I

= –

V

= 1 et R = 1 , la ligne électrique est court-circuitée.


Ici encore la réflexion est totale. • Z imaginaire pur : en bout de ligne, V et I sont en quadrature. Une telle terminaison (facilement réalisable en électricité : inductance, condensateur) ne dissipe pas d’énergie, et il y a encore réflexion totale ( R = 1 ) . Les terminaisons pour lesquelles R = 1 sont dites parfaites : elles ne dissipent pas d’énergie. • Z = Z c : c’est le seul cas pour lequel nous n’avions pas besoin d’introduire une onde réfléchie pour satisfaire la condition limite. Nous constatons en effet que I = – V = 0 et R = 0 . Lorsque la ligne est fermée sur son impédance caractéristique, il n’y a pas d’onde réfléchie, la réflexion est nulle. Toute l’énergie de l’onde incidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d’impédance.

72

4

Formation d’ondes stationnaires Une onde plane progressive monochromatique, dont le courant est : i i ( x, t ) = I 0 e j (

t – kx )

en notation complexe, se propage à x croissants le long d’une ligne électrique d’impédance caractéristique Z c (située dans la zone x 0). Elle est réfléchie en x = 0 par une terminaison parfaite, c’est-à-dire ne dissipant aucune énergie d’impédance Z . Établir l’expression de l’onde totale obtenue sur la ligne dans les différents cas envisageables pour la valeur de Z ( Z infini, Z = 0 et Z imaginaire pur). Montrer que cette onde est stationnaire et préciser les abscisses des points pour lesquels les amplitudes du courant ou de la tension prennent des valeurs extrémales. L’onde incidente est : i i ( x, t ) = I 0 e j (

t – kx )

v ( x, t ) = Z c I 0 e j (

t – kx ) .

L’onde totale est : ⎧ Z c – Z jkx⎞ e ⎪ i i = I 0 e j t ⎛⎝ e – jkx + --------------⎠ Zc + Z ⎪ ⎨ Z c – Z jkx⎞ ⎪ j t ⎛ – jkx – --------------e ⎪v i = Z c I 0 e ⎝ e ⎠ Zc + Z ⎩ Considérons les trois cas d’impédance terminale parfaite, en notant I 0 = I 0 et 0 = arg ( I 0 ) : • si Z = ∞ : i ( x, t ) = e ( i ( x, t ) ) = 2 I 0 sin ( t +

et

v ( x, t ) =

e ( v ( x, t ) )

= 2 Z c I 0 cos ( t +

0 ) cos ( kx )

;

• si Z = 0 : i ( x, t ) = 2I 0 cos ( t + et

0 )cos ( kx )

v ( x, t ) = 2 Z c I 0 sin ( t +

0 )sin ( kx )

;

• si Z est purement imaginaire, posons Z = jA Zc – Z (A réel) ; la quantité --------------est le rapport de deux Zc + Z nombres complexes conjugués ; en notant Zc – Z 2j --------------= e , nous obtenons alors : Zc + Z i ( x, t ) = 2I 0 cos ( t + + 0 )cos ( kx + ) et

v ( x, t ) = 2 Z c I 0 sin ( t +

+

0 )sin ( kx

+

).

Les ondes obtenues par superposition des ondes planes progressives monochromatiques incidente et réfléchie sont stationnaires, car elles sont de la forme F ( x )G ( t ) . Considérons le cas Z = ∞ : i ( x, t ) = 2I 0 sin ( t +

0 ) sin ( kx )

v ( x, t ) = 2 Z c I 0 cos ( t +

0 )cos ( kx )

.

L’amplitude du courant est nulle (nœud de courant) l pour x = p --- (p entier, négatif ou nul ) et maxi2 l l male, égale à 2I 0 , pour x = p --- + --- (p entier, 2 4 négatif). Les résultats sont inversés pour la tension. Pour le cas Z = 0, les résultats sont inversés par rapport au cas précédent.


Application

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

Lorsque Z = j A, les résultats sont simplement translatés d’une quantité :

0 ) sin ( kx )

Δx = – l ------- . 2

4.1.7. Mise en évidence expérimentale Branchons un générateur (d’impédance interne égale à 50 ) à une extrémité d’un rouleau de câble coaxial pour lequel le constructeur indique une impédance caractéristique Z c = 50 . L’autre extrémité est reliée à une impédance ajustable.

73

Ondes

L’oscilloscope, branché au voisinage du générateur, permet d’observer la tension en tête de ligne (doc. 20).

terminaison

Pour bien distinguer le signal émis et le signal réfléchi, nous utilisons un générateur d’impulsions. Le signal utilisé n’est pas sinusoïdal, mais nous utiliserons une impédance terminale correspondant à une résistance : Z = R. Les résultats précédents sont donc directement utilisables.

générateur d’impulsions

Commençons par ne rien mettre au bout du câble : son extrémité est alors refermée sur une impédance infinie. L’écran de l’oscilloscope, synchronisé sur les impulsions émises par le générateur, a alors l’allure représentée sur le document 21a.

Doc. 20. Observation des impulsions incidentes et réfléchies.

2L t = ------ , une c impulsion réfléchie (2L, car le signal fait un aller-retour à la vitesse c dans le câble de longueur L). Celle-ci est de même signe que l’impulsion initiale, d’amplitude un peu inférieure. Ce résultat est compatible avec la valeur théorique V = 1 , la diminution d’amplitude étant due à des pertes dans la ligne qui n’est pas absolument parfaite (cf. exercice commenté). À l’impulsion émise par le générateur succède, avec un retard

Si nous diminuons progressivement la résistance de la terminaison, l’amplitude de l’impulsion réfléchie diminue. Elle disparaît même lorsque R est égale à Z c , soit 50 (doc. 21b). Quand nous diminuons encore la résistance R, nous observons une impulsion réfléchie de signe opposé à celui de l’impulsion émise (doc. 21c). À la limite du court-circuit, cette impulsion a une amplitude légèrement inférieure à celle de l’impulsion initiale (doc. 21d).


a)

b)

a. R = ∞ ;

c)

b. R = Z c ;

d)

c. R = 25

;

d. R = 0 .

Doc. 21. Réflexion du signal par diverses impédances résistives Z = R .

4.2. Réflexion et transmission i(x, t)

4.2.1. Conditions aux limites pour un changement de milieu Dans le cas d’une discontinuité de milieux, par exemple une jonction entre deux lignes différentes, un signal incident « f1 » donnera non seulement naissance à une onde réfléchie de type « g1 », mais aussi à une onde transmise de type « f2 » (doc. 22). Remarque Nous pourrions considérer la solution la plus générale dans le milieu 2 en introduisant un signal de type g 2 . Dans le cas où il n’existe qu’une seule discontinuité dans le milieu de propagation, ceci est cependant absurde : un tel

74

onde incidente onde transmise

v(x, t)

x′

onde réfléchie ligne (Z c 1)

ligne (Z c 2) x0

x

Doc. 22. Réflexion et transmission sur une simple discontinuité en x = x 0 .

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI) signal vient de la droite, et devrait être créé par une autre source d’onde, ou par une réflexion sur une terminaison ou une autre discontinuité située un peu plus loin à droite. Nous en verrons un exemple dans l’exercice 2. Nous pouvons écrire, à la jonction en x = x 0 : • continuité du courant (pas d’accumulation locale de charges en x = x 0 , à moins que les lignes ne soient reliées via un condensateur ou une résistance de fuite, cf. exercices 2 et 3). Pour tout t : i 1 ( x 0–, t ) = i 2 ( x 0+, t )

I 1 ( x 0– ) = I 2 ( x 0+ ) ;

soit :

• continuité de la tension en x = x 0 (à moins que les lignes ne soient reliées via une inductance). Pour tout t : v 1 ( x 0–, t ) = v 2 ( x 0+, t )

soit :

V 1 ( x 0– ) = V 2 ( x 0+ ) .

Notons Z c1 et Z c2 les impédances caractéristiques, réelles et positives, des

deux lignes, c 1 et c 2 les vitesses de propagation. Les deux conditions aux limites impliquent en x = x 0 : I 1 ( x 0– ) = I i ( x 0 ) + I r ( x 0 ) ;

I 2 = I t ( x0 )

I i ( x0 ) + I r ( x0 ) = I t ( x0 ) .

d’où :

V 1 ( x 0– ) = Z c1 ( I i ( x 0 ) – I r ( x 0 ) ) ;

V 2 ( x 0+ ) = Z c2 I t ( x 0 )

Z c1 ( I i ( x 0 ) – I r ( x 0 ) ) = Z c2 I t ( x 0 ) .

d’où : Remarque

Les dimensions de la jonction sont supposées faibles devant les longueurs d’onde mises en jeu, de façon à considérer celle-ci comme « ponctuelle ». 4.2.2. Coefficients de réflexion et de transmission Le coefficient de transmission de la ligne 1 vers la ligne 2, noté 12 , est le rapport, à l’endroit où l’onde est transmise (et réfléchie), entre l’amplitude de l’onde transmise I t (x0) ou V t (x0) et l’amplitude de l’onde incidente I i (x0 ) ou Vi (x0 ). Le coefficient de réflexion, noté

12

, est le rapport entre l’amplitude

de l’onde réfléchie I r (x0 ) ou V r (x0 ) et l’amplitude de l’onde incidente I i (x0 ) ou V i (x0 ).

1+

12

=

12

et Z c1 ( 1 –

12 )

= Z c2


En introduisant les coefficients de réflexion et de transmission pour le courant, les deux équations précédentes conduisent à : 12 .

Les coefficients de réflexion et de transmission sont de la forme : Z c1 – Z c2 I r ( x0 ) ′ 12(courant) = -------------- = --------------------- = – 12(tension) , I i ( x0 ) Z c1 + Z c2 car

′ 12(tension)

12(courant)

– Z c1 I r ( 0 ) = -----------------------Z c1 I i ( 0 )

Zc 2Z c1 I t ( x0 ) - = -------------------= ------------- = -------1 I i ( x0 ) Z c2 Z c1 + Z c2

′ 12(tension) ,

Z c2 I t ( x 0 ) car 12(tension) = --------------------′ Z c1 I i ( x 0 )

75

Ondes

Application

5

Réflexion et transmission d’énergie à l’interface de deux lignes électriques Quels sont les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques associés au cas qui vient d’être étudié. Montrer que ces coefficients vérifient : R + T = 1 . Quelle interprétation peut-on donner de ce résultat ? Les impédances caractéristiques Z c1 et Z c2 sont réelles et positives. Les coefficients et que nous venons de calculer sont réels. Considérant les rapports des puissances réfléchie et incidente d’une part, des puissances transmise et incidente d’autre part, nous obtenons : – Zc 〈 r〉 e I i ( x 0 )I r∗ ( x 0 ) R = ----------= ------------1 --------------------------------------〈 i〉 Z c1 e I i ( x 0 )I i∗ ( x 0 ) ⎛ Z c1 – Z c2 ⎞ I r ( x 0 )I r∗ ( x 0 ) = ----------------------------= ⎜ ----------------------⎟ I i ( x 0 )I i∗ ( x 0 ) ⎝ Z c1 + Z c2 ⎠

+ Z c2 I t ( x 0 )I t∗ ( x 0 ) 〈 t〉 - = --------------------------------------------T = ---------〈 i〉 + Z c1 I i ( x 0 )I i∗ ( x 0 ) 4Z c1 Z c2 -. = --------------------------( Z c1 + Z c2 ) 2 La vérification de la relation R + T = 1 est immédiate. Pour ces lignes parfaites, sans pertes, cette relation traduit le fait que toute la puissance incidente (le « 1 ») se retrouve d’une part dans l’onde réfléchie (le R) et d’autre part dans l’onde transmise (le T). Nous retrouvons les mêmes résultats en optique : réflexion et transmission sous incidence normale sur un dioptre.

2


On aborde le cas d’une ligne réelle dans l’exercice commenté.

76


CQFR ●

ÉQUATIONS DE COUPLAGE, DE D’ALEMBERT – PROPAGATION D’ONDES ET D’ÉNERGIE

• Équations couplées Les deux grandeurs « courant électrique i ( x, t ) » et « tension électrique v ( x, t ) » se propagent en satis2 1 2 1 faisant à l’équation de d’Alembert, ou équation d’onde classique, --------2- – ----2- --------2- = 0 avec c = -----------c t x ( est l’inductance linéique et la capacité linéique). La propagation (unidimentionnelle) de ces grandeurs est une conséquence du couplage de leurs dérivées 1 v 1 i i v spatiales et temporelles : ----- = – ---- ------ et ----- = – --- ------ . x x t t • Impédance caractéristique Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants, la tension v ( x, t ) et l’intensité i ( x, t ) sont reliées par v ( x, t ) = Z c i ( x, t ) définissant l’impédance caractéristique Z c =

---- de

la ligne électrique (notons que Z c est réelle). Pour une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x décroissants le long d’une ligne d’impédance caractéristique Z c , nous avons v ( x, t ) = – Z c i ( x, t ) . • Propagation d’énergie La propagation des ondes s’accompagne d’une propagation d’énergie. La puissance transférée par l’onde peut se mettre sous la forme du produit : ( x, t ) = v ( x, t )i ( x, t ) . • Dans ce milieu « parfait » (ni absorption, ni amplification), la puissance transmise ( x, t ) et la dene sité linéique d’énergie e ( x, t ) sont liées par le bilan énergétique local : ------ = – -------- . x t L’énergie, comme toutes les autres grandeurs associées aux ondes solutions de l’équation de d’Alembert, se propage à la vitesse c. ●

RÉFLEXION ET TRANSMISSION

• Conditions aux limites Lorsqu’une ligne de propagation est fermée sur une impédance terminale ou bien reliée à un deuxième milieu de propagation, la traduction des conditions aux limites permet de déterminer les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise qui en résultent. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

• Réflexion sur une impédance terminale Le coefficient de réflexion en amplitude, noté , est le rapport, à l’endroit où l’onde est réfléchie, entre l’amplitude complexe de l’onde réfléchie et l’amplitude complexe de l’onde incidente. Le coefficient de réflexion énergétique, noté R, est le rapport entre la puissance moyenne réfléchie et la 〈 r〉 . puissance moyenne incidente, en valeur absolue : R = ----------〈 i〉 Les terminaisons pour lesquelles R = 1 sont dites parfaites : elles ne dissipent pas d’énergie. Lorsque la ligne est fermée sur son impédance caractéristique, il n’y a pas d’onde réfléchie, la réflexion est nulle. Toute l’énergie de l’onde incidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d’impédance. • Réflexion et transmission Le coefficient de transmission de la ligne 1 vers la ligne 2, noté 12 , est le rapport, à l’endroit où l’onde est transmise (et réfléchie), entre l’amplitude de l’onde transmise et l’amplitude de l’onde incidente. Le coefficient de réflexion, noté 12 est le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie et l’amplitude de l’onde incidente.

77

Ondes

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Que peut-on dire des phénomènes de propagation dans l’approximation des régimes quasi stationnaires ? ✔ Quelles sont les deux grandeurs couplées lors de la propagation d’une onde dans un câble coaxial ? ✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert vérifiée par le courant ? Quelle est alors la solution pour la tension ? ✔ Quelle est la définition de l’impédance caractéristique ? ✔ Comment l’énergie de l’onde se propage-t-elle dans un câble coaxial ? ✔ Quelle est la conséquence de la présence d’une impédance placée en bout de ligne ? Quels sont les trois cas « classiques » ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Négliger les phénomènes de propagation veut dire qu’il n’y a pas de propagation. ❑ Vrai

❑ Faux

2. Négliger les phénomènes de propagation veut dire que la vitesse de propagation est infinie. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

❑ Vrai

❑ Faux

3. L’équation de propagation pour un câble sans perte est l’équation de d’Alembert unidimensionnelle. ❑ Vrai

❑ Faux

4. L’équation de propagation pour un câble avec pertes est non linéaire. ❑ Vrai

❑ Faux

5. L’impédance caractéristique d’un câble est le V rapport --- . I ❑ Vrai ❑ Faux

78

6. L’impédance caractéristique d’un câble est : ❑ a.

1 ---

❑ b.

1 -------- .

7. La vitesse de propagation dans le câble est : ❑ a.

1 --------

❑ b.

---- .

8. Les coefficients de réflexion en amplitude pour la tension et pour le courant, pour le cas d’une monochromatiques sont opposés. ❑ Vrai

❑ Faux.

9. Le coefficient de réflexion énergétique en bout de ligne où on a placé une impédance Z vaut : ❑ a. 0 si Z = Z c

❑ b. 1 si Z = ∞

❑ c. –1 si Z = 0

❑ d. ---- si Z est imaginaire pur. 2 Solution, page 86.

Exercice commenté Ligne réelle ; équation des télégraphistes ÉNONCÉ

Dans un câble coaxial, les conducteurs (âme et gaine) possèdent une résistance. Nous pouvons leur associer une résistance linéique de ligne notée r somme de la résistance linéique de la gaine et de l’âme. De même, l’isolant entre l’âme et la gaine n’est pas parfait et présente une conductance linéique notée g. 1) Proposer un schéma électrique équivalent à un élément de longueur dx de ligne. On introduira les inductances et capacité linéiques de la ligne. 2) En déduire les équations différentielles reliant l’intensité i(x, t) traversant l’âme et la différence de potentiel v(x, t) entre l’âme et la gaine. 3) En déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par i(x, t) ou v(x, t) appelée « équation des télégraphistes ». 4) a) À quelle condition sur r, g, et , l’équation des télégraphistes admet-elle une solution particulière du type x

x – -i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ e δ où f est une fonction deux fois dérivable ? ⎝ c⎠ b) Quelles sont alors les expressions de c et ? c) Quelle interprétation peut-on donner à la forme de la solution proposée ? d) Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, proposer la forme de la solution générale de l’équation des télégraphistes. 5) Dans le cas général où cette condition n’est pas vérifiée, a) chercher la forme d’une solution de type onde plane monochromatique (ou harmonique) en notation complexe ; b) montrer que cette solution se décompose sous la forme d’une onde se propageant avec atténuation selon les x croissants et les x décroissants. c) Quelle vitesse peut-on associer à la propagation dans le sens des x croissants ? On donnera une relation entre cette vitesse et . d) À quelle(s) condition(s) un signal non sinusoïdal peut-il se propager sans déformation ? 6) Application : le câble étudié dans ce chapitre présente une impédance caractéristique de 50 et l’amplitude d’un signal électrique est atténuée de 4 dB après avoir parcouru 100 m de câble sans autre déformation. Calculer la résistance linéique de ligne et la conductance linéique de l’isolant.

Les dipôles équivalents à un élément de longueur d x d’isolant sont en parallèle et relient l’âme à la gaine. Il est inutile de décomposer la résistance de l’ensemble gaine-âme car ces deux éléments sont en série. La résistance et l’inductance modélisant l’âme sont en série. Attention, la résistance d’une longueur dx d’isolant est inversement proportionnelle à dx alors que celle de l’âme est proportionnelle à dx.

SOLUTION

1) La position relative des différents dipôles est indifférente. Le seul point à respecter est que la résistance d’âme et l’inductance sont en série et la résistance et la capacité de l’isolant sont en parallèle. Un schéma équivalent est donc : i(x, t) A r dx

Λ dx

i(x + dx, t) A′ âme isolant

v(x, t)

1/(gdx)

Γ dx v(x + dx, t) gaine

2) Les équations électriques et de couplages vues au § 1.2.2 deviennent : • différence de potentiel entre A et A′ : i ( x, t ) rdxi(x, t) + Ldx ----------------- = v ( x, t ) – v ( x + dx, t ) ; t

79


CONSEILS

Exercice commenté Pour trouver les équations aux dérivées partielles, il faut éliminer les termes en dx 2 et ne garder que ceux en dx dans les équations électriques.

• intensité traversant l’isolant gdx : v ( x + dx, t ) v ( x + dx, t ) + G dx ------------------------------- = i ( x, t ) – i ( x + dx, t ) ; t soit :

et

i ( x, t ) v ( x, t ) ri ( x, t ) + L ----------------- = – -----------------t x

(1)

v ( x, t ) i ( x, t ) gv ( x, t ) + Γ ------------------ = – ----------------t x

(2)

Pour obtenir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par v (ou i) il faut penser dériver une des équations obtenues à la question 2) par rapport à x avant d’éliminer i (ou v) et utili-

en ne prenant en compte que les termes en dx. 3) Nous obtenons, en dérivant (2) par rapport à x :

2i 2i ser ⎛ ----------- = -----------⎞ . ⎝ x t t ∂x⎠

2i 2i v i et éliminant ------ à l’aide de (1), -------2- – ΛΓ ------2- = rgi + ( rG + gL ) ----- . x t t x

v v i ( x, t ) g ------ + Γ ----- ⎛ ------⎞ = – ----------------x t ⎝ x⎠ x

i De même, en dérivant (1) par rapport à x et en éliminant ------ : x 2v 2v v -------2- – LG -------2- = rgv + ( rG + gL ) ----- . t t x Ces deux équations sont formellement identiques. On les appelle équations des télégraphistes car leur étude a permis de comprendre la propagation et la déformation des impulsions du langage Morse le long des fils télégraphiques et d’améliorer la réception de ces impulsions sur de grandes distances. 2i 2i i 4) a) Calculons A = -------2- – LG ------2- – ( rΓ + gΛ ) ----- – rgi t ∂t x

x avec i ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ e ⎝ c⎠

x – -δ

:

x


Les dérivées partielles de la fonction x f ⎛ t – --⎞ se calculent en utilisant le ⎝ c⎠ fait que cette fonction est la composée de la fonction à une variable f(u) et de la fonction à deux variables x u = t – --, soit : c x x f ′ ⎛ t – --⎞ ∂ f ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ----------------------- = – ---------------------c ∂x x ∂ f ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ x et ----------------------- = f ′ ⎛ t – --⎞ où f ′(u) ⎝ c⎠ ∂t est la dérivée de la fonction f (u).

80

x

2i i x – -x – ------ = f ′ ⎛ t – --⎞ e δ , ------2- = f ″ ⎛ t – --⎞ e δ , ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ t ∂t x x f ′ ⎛ t – --⎞ x f ⎛ t – --⎞ x ⎝ c⎠ – -⎝ c⎠ – -i ------ = – -----------------------e δ – --------------------e δ c δ x

x x x f ″ ⎛ t – --⎞ x f ′ ⎛ t – --⎞ x f ⎛ t – --⎞ x ⎝ c⎠ – -⎝ c⎠ – -⎝ c⎠ – --e δ + 2 -----------------------e δ + -------------------e δ . et -------2- = ----------------------cδ c2 δ2 ∂x Après réarrangement des termes 2i

x

x

x – -2 1 x – -A = ⎛ ----2- – LG⎞ f ″ ⎛ t – --⎞ e δ + ⎛ ----- – ( r Γ + gL )⎞ f ′ ⎛ t – --⎞ e δ ⎝ cδ ⎠ ⎝ c⎠ ⎝c ⎠ ⎝ c⎠ x 1 x – -+ ⎛ ----2- – rg⎞ f ⎛ t – --⎞ e δ ⎝δ ⎠ ⎝ c⎠ La condition A = 0 valable quels que soient x et t impose donc trois relations : 1 c 2 = -------- , LG

2 δ = ---------------------------c ( rG + gL )

et

1 δ 2 = ----- . rg


4LG 1 Pour qu’elles soient compatibles, il est nécessaire que --------------------------2- = ----- ou rg (rG + gL) ( r Γ – g Λ ) 2 = 0 ce qui conduit à la condition de Heaviside rG = gL soit 2 r L encore --- = Z c en introduisant l’impédance caractéristique Z c = ---- de la g G ligne sans perte. b) Dans ce cas, la vitesse de propagation est identique à celle du câble idéal 1 c = -------- et la distance caractéristique de l’atténuation est : LG

Z 1 L 1 δ = --- ---- = -----c = -------- . r G gZ r c

Est-il déformé ? retardé ?

c) Admettons que nous connaissons la forme du signal en x = 0 et i(0, t) = i0(t). D’après l’étude précédente, i ( x 0, t ) = e

x – ----0δi

x 0⎞ ⎛ – ---- . c⎠

0⎝t

L’intensité en x = x0 , est donc atténuée d’un facteur e

L’équation des télégraphistes doit aussi admettre des solutions se propageant selon les x décroissants. Elles doivent aussi s’atténuer quand x décroît, la solution : x --

x δ i ( x, t ) = g ⎛ t + --⎞ e , ⎝ c⎠

répond à ces critères. Cette solution correspond à changer x en - x. Attention à ne pas confondre une onde plane monochromatique qui en notation complexe s’écrit : j t

i ( x, t ) = I ( x )e avec une onde plane progressive de forme i ( x, t ) = I 0 e

j ( t – kx )

.

La notation complexe pour une onde plane monochromatique permet uniquement de remplacer la dérivée temporelle ----- par j alors que la t notation complexe pour une onde progressive permet aussi de remplacer la dérivée spatiale ------ par - jk. x

x – ----0δ

x présente un retard ----0c

par rapport à sa valeur en x = 0. Les câbles coaxiaux sont fabriqués en respectant cette condition. Ainsi n’importe quel signal se propage sans se déformer comme s’il était solution de l’équation de d’Alembert, mais il s’atténue de façon exponentielle. Remarque : Nous avons déjà vu dans l’application 1 du chapitre 3 une propa1 gation avec atténuation en --- , mais celle-ci était due à la nature sphérique de r l’onde et, comme nous le verrons dans le chapitre suivant dans l’application 3, à la conservation de l’énergie. Ici l’onde est plane mais l’énergie est dissipée lors de la propagation. d) Opérons le changement de variable X = − x dans l’équation des télégraphistes. X

2i 2i X – ---En remarquant que -------2- = ---------2 , nous remarquons que : i ( x, t ) = g ⎛ t – ----⎞ e δ ⎝ c⎠ x X x

x -i ( x, t ) = g ⎛ t + --⎞ e δ ⎝ c⎠ où g est une fonction deux fois dérivable et est solution de l’équation des télégraphistes. Par analogie avec l’équation de d’Alembert, la solution générale s’exprime donc uniquement en fonction de ces deux solutions particulières soit : soit :

x

x

x -x – -i ( x, t ) = g ⎛ t + --⎞ e δ + f ⎛ t – --⎞ e δ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ 5) a) La linéarité de l’équation des télégraphistes comme celle de l’équation de d’Alembert permet l’utilisation des complexes et nous cherchons i(x, t) comme partie réelle de i ( x, t ) avec i ( x, t ) = I ( x )e j t . Nous obtenons alors l’équation différentielle suivante en remplaçant dans l’équation des télégra2i i phistes ----- = j i et ------2- = – t t

d2 I --------2- + ( LG dx

2i 2

:

– j ( rG + gL ) – rg )I = 0.

81


Si on connaît la forme du signal i(0, t) en x = 0, quelle est sa forme en un point de cote x 0 ?

Exercice commenté

La notation e- x e j( t - kx) peut être « compactée » en e j ( t – kx ) où k = k – j est complexe. Nous utiliserons ceci lors de l’étude de la propagation d’une onde électromagnétique dans un métal. D’après l’étude faite sur les solutions de l’équation de d’Alembert, une x dépendance en cos ⎛ ⎛ t – --⎞ + ⎞ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ caractérise la propagation d’une onde plane monochromatique à la vitesse c selon les x croissants. Il est impossible que l’onde se propage avec une amplitude croissante car la ligne dissipe de l’énergie. Il est donc nécessaire que soit positif. x j ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠

v e représente une onde plane progressive monochromatique de se propageant à la pulsation vitesse v ( dite vitesse de phase v ).

Cette équation différentielle admet des solutions du type I ( x ) = Ae x + Be – x 2 + j (r + g ) + rg et A , B deux constantes avec vérifiant 2 = − complexes. En posant = ± ( + jk ) , nous obtenons par identification des parties réelle 2 – k 2 = – LG 2 + rg et imaginaire de la relation ci-dessus, et 0. 2 k = ( rG + gL ) . Prenons k 0, alors b) La solution générale de l’équation des télégraphistes sous forme d’onde plane monochromatique s’écrit donc en notation complexe : i ( x, t ) = Ae x e j ( ou, en notation réelle :

t + kx )

i ( x, t ) = Ae x cos ( t + kx +

1)

+ Be – x e j (

t – kx )

+ Be – x cos ( t – kx +

2)

avec A = A et 1 = argument ( A ) (idem pour B ). Le terme Be – x cos ( t – kx + 2 ) de l’expression de i(x, t) correspond à une onde plane se propageant selon les x croissants à la vitesse ---- par analogie k avec la solution de l’équation de d’Alembert. Le coefficient e− x s’interprète comme une atténuation exponentielle de l’onde au cours de sa propagation. De même le terme Ae x cos ( t + kx + 1 ) correspond à une propagation suivant les x décroissants à cette même vitesse. Le coefficient e x indique aussi une décroissance de l’onde quand elle se propage car, quand x diminue, ce terme diminue exponentiellement. Tirant de la deuxième égalité et la portant dans la première, nous obtenons une relation entre k et qui s’appelle encore relation de dispersion : rG + gL 2 k 2 – ⎛ -------------------- ⎞ = LG ⎝ 2k ⎠ c) L’expression e

x j ⎛ t – --⎞ ⎝ v⎠

2

– rg .

caractérise la propagation d’une onde à la vitesse v.


Nous pouvons donc définir une vitesse de propagation de l’onde v = ---k vérifiant : Un signal non sinusoïdal peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux. Pour qu’il n’y ait pas déformation du signal, il est nécessaire que toutes ces ondes monochromatiques se propagent à la même vitesse.

1 rG + gL 2 1 ----2 = LG + -----2- ⎛ ⎛ -------------------- v⎞ – rg⎞ . ⎝⎝ ⎠ ⎠ 2 v Dans le cas d’une équation quelconque de propagation (mais néanmoins linéaire), la vitesse v peut dépendre de la pulsation ; c’est ce qu’on appelle le phénomène de dispersion: en optique, la lumière blanche est dispersée par le prisme car l’indice n de celui-ci dépend de la longueur d’onde ou bien la c vitesse de propagation dans le verre ⎛ v = ---⎞ dépend de la pulsation ⎝ n⎠ ⎛ = 2 --c-⎞ . ⎝ ⎠ d) Pour qu’un signal ne se déforme pas en se propageant, il est nécessaire que toutes les ondes sinusoïdales se propagent à la même vitesse (de phase) soit : v indépendant de

82

ou k proportionnel à

puisque k = ---- . v


1 soit k = ---- + j --- avec c et δ c constantes.

deux

L’atténuation en décibels est définie en électrocinétique.

L’atténuation en décibels pour un signal sinusoïdal est définie par S A dB = 20log ⎛ ----e- ⎞ où S e ( S S ) est ⎝S ⎠ S l’amplitude complexe du signal à l’entrée (à la sortie) du câble. Cette atténuation permet de calculer connaissant la longueur du câble.

rG + gL 2 Pour que v soit indépendant de , il suffit que ⎛ -------------------- v⎞ – rg = 0 . Ce qui ⎝ ⎠ 2 conduit à : 1 =0 v = ------------ et (r + g ) 2 − 4rg LG ou rG = gL qui est la condition de Heaviside rencontrée à la question 4). 1 Nous remarquons que si cette condition est vérifiée = ( rG + gL )v = --- est δ indépendant de , c’est-à-dire que l’atténuation de toutes les ondes monochromatiques est identique. La valeur de est identique à celle trouvée à la question 3). 6) Pour un signal se propageant sur la ligne, l’amplitude est multipliée par un facteur e

x – ----0δ

après avoir parcouru la distance x0 , soit une atténuation :

x0 ⎛ ----⎞ x x A dB = 20log ⎝ e δ ⎠ = 20 ln ( e ) ----0- ≈ 8,7 ----0- . δ δ Soit, avec x0 = 100 m et A = 4 dB, ≈ 217 m.

D’après 4) : Z 1 δ = -----c = --------- , r ≈ 0,23 r gZ c

. m−1 et g ≈ 9,2 × 10−5

−1 . m−1 ( 1 ---

g

= 1,1 × 10 4

. m)

qui sont des valeurs parfaitement réalisables. Il n’y a donc pas de problème technique à la réalisation d’un câble coaxial vérifiant la condition de Heaviside. Les câbles utilisés en travaux pratiques, en télévision d’impédance 50 , et en télévision, d’impédance 75 , ont toujours ces caractéristiques.


La condition nécessaire et suffisante pour qu’un signal se propage sans autre déformation qu’une atténuation est en fait double : • indépendant de ; • k proportionnel à ;

83

Exercices Impédance ramenée en tête de ligne Une O.P.P.M. électrique incidente dont le courant est représenté par i i ( x, t ) = I 0 e j ( t – kx ) se propage dans une ligne électrique d’impédance caractéristique Z c et de longueur L à partir d’un générateur (d’indépendance interne Z c ) placé en x = 0. Elle est réfléchie en x = L par une impédance terminale Z L . 1) Quelle la forme de l’onde totale ( i , v ) existant dans la ligne électrique? 2) Quelle est l’expression de l’impédance effective de la ligne à l’abscisse x ? Exprimer en particulier l’impédance ramenée en tête de ligne Z ( 0 ). 3) À quelle condition cette impédance ne dépend-elle pas de la longueur de la ligne reliant le générateur et la charge Z L ? Quelle est alors sa valeur ? On a souvent Zc = 50 et l’impédance du générateur est aussi de 50 . Expliquer alors ce qu’on observe sur le document ci-dessous où en a) est représentée la tension aux bornes du générateur, le câble n’étant pas branché puis en b) cette même tension (à la même échelle) le câble étant branché et fermé sur Zc mis au bout.

0,5 Volts

La tension v ( x, t ) s’écrit alors : v ( x, t ) = Z c I 1 e j (

t – kx )

– Z c I 2e j(

t + kx ) .

1) La ligne s’étend de x = – ∞ à x = +∞. Une impédance Z c est ligne infinie Zc placée en x = 0, en parallèle sur la ligne, et on s’intéresse à l’onde x O de courant dans la partie x 0 de la ligne. a) Montrer que cette onde « voit » en x = 0 une impédance équivalente Z 0 qui s’exprime très simplement en fonction de Z c . b) Définir et calculer le module du coefficient de réflexion (en courant ou en tension) de l’onde en x = 0. 2) On place, en outre, un court-circuit en parallèle sur la ligne à l’abscisse x = a. a) Quelle est la forme de l’onde de courant entre x = 0 et x = a ?

court-circuit ligne infinie

Zc

O

x

a

b) Montrer qu’il existe une valeur minimale a 0 de a telle que le courant dans la partie positive de la ligne s’annule en x = 0 . Exprimer a 0 en fonction de la longueur d’onde de l’onde de courant dans la ligne. En déduire, dans ces conditions, le coefficient de réflexion et la forme de l’onde dans la partie négative de la ligne.

0,5 Volts


Association de deux lignes Doc a

Doc b

Suppression d’une onde réfléchie dans une ligne Une ligne électrique, sans pertes, d’impédance caractéristique Z c est alimentée par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation . De manière générale, elle est parcourue par un courant i ( x, t ) qui s’écrit en notation complexe : i ( x, t ) = I 1 e j (

t – kx )

+ I 2e j(

t + kx ) ,

où I 1 et I 2 sont des constantes (éventuellement complexes) avec k = ---- , c désignant la célérité de cette onde de c courant.

84

Une ligne électrique, sans pertes, d’impédance caractéristique Z c (rappelons que Z c est réelle) est alimentée par un générateur de tension sinusoïdal de pulsation . De manière générale, elle est parcourue par un courant i ( x, t ) qui s’écrit en notation complexe : i ( x, t ) = I 1 e j (

t – kx )

+ I 2e j(

t + kx ) ,

où I 1 et I 2 sont constantes avec k = ---- , c désignant la c célérité de cette onde de courant. La tension v ( x, t ) s’écrit alors : v ( x, t ) = Z c I 1 e j (

t – kx )

– Z c I 2e j(

t + kx ) .

La ligne est fermée sur une impédance réelle Z 0 différente de Z c . À une distance d de l’extrémité de la ligne, est placée une seconde ligne sans pertes, de longueur , de même impédance caractéristique Z c fermée sur un court-circuit.


* Réflexion et transmission : deux cordes vibrantes reliées

d

Zc

Zc

l

court-circuit

1) Écrire les conditions de continuité pour le potentiel v et le courant i à la jonction des deux lignes. En déduire la condition correspondante pour les impédances. 2) Déterminer les longueurs d et , pour que, vue du générateur, la ligne principale semble fermée sur son impédance caractéristique (il faudra exprimer tan kd et tan k en fonction de Z 0 et Z c ) . Calculer les plus petites longueurs et d qui conviennent pour Z c = 50 , Z 0 = 175 et une longueur d’onde l = 10 cm.

Réflexion d’une onde sur une corde tendue Une corde, sans raideur, de masse linéique , de longueur L, est fixée en x = L avec une tension T 0 . On pose c =

T -----0- . On néglige le poids de la corde. Le déplace-

ment d’un point M d’abscisse x de la corde est décrit par la fonction y ( x, t ) ( 0 x L ) . La corde étant immobile, dans la position d’équilibre ( y ( x, 0 ) = 0 ) , le mouvement suivant est imposé à la corde à partir de l’instant t = 0 à l’extrémité x = 0 : • pour t ∈ [ 0 ; ] : • pour t ∈ [ ; 3 ] : • pour t ∈ [ 3 , 5 ] : • pour t avec

5 :

t y ( 0, t ) = a -- ; y ( 0, t ) = a ; a y ( 0, t ) = ------ ( 5 – t ) ; 2 y ( 0, t ) = 0 ;

L = 0 ,1 --- , L = 10 cm et a = 2 mm . c

1) Représenter la corde à l’instant t = 6

L = 0 ,6 --- . c

Quel est, à cet instant, la vitesse de la corde aux points d’abscisses 0,2L ; 0,4L ; 0,55L ? 2) Dessiner de même la corde aux instants t = 13 , puis t = 18 .

Deux cordes vibrantes, sont reliées bout à bout en un point d’abscisse x 0 . Une telle contrainte impose deux conditions aux limites, en x = x 0 , liant les déplacements et les tensions transverses des deux cordes. En reprenant les raisonnements utilisés dans le cours pour le cas de deux lignes électriques mises bout à bout, établir les conditions aux limites, puis les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour le cas considéré (en supposant qu’une onde incidente et une onde réfléchie se propagent sur la corde de gauche et que seule une onde transmise se propage sur la corde de droite).

Aspect énergétique de la propagation dans une corde vibrante Une corde sans raideur, de masse linéique et de longueur L 0 (entre les points x = 0 et x = L 0 ), est tendue par une tension T 0 , imposée par une masse M placée dans le champ de pesanteur. Le poids de la corde est négligé. Les petits mouvements transversaux de la corde sont décrits par la fonction y ( x, t ) repérant le déplacement d’un point M d’abscisse x de la corde à la date t. 1) Exprimer l’énergie cinétique linéique de la corde. 2) Lorsque la corde passe de l’état de repos ( y = 0 ) à l’état y = y ( x, t ) , montrer que l’augmentation d’énergie potentielle de la masse M peut s’exprimer en fonction de l’état y ( x, t ) de la corde. En déduire que la variation d’énergie potentielle du système {corde-masse} équivaut à donner une énergie T y 2 potientielle linéique e P = -----0- ⎛ ------⎞ à la corde. 2 ⎝ x⎠ 3) Montrer qu’il existe une fonction ( x, t ) telle que : e ------ + -------- = 0 avec e = e K + e P . t x Interpréter ce résultat. 4) Le mouvement stationnaire d’une corde dans le mode de vibration n est représenté par : y n ( x, t ) = A n sin k n x sin ( n t + n ) avec

nπ k n = -----n- = -----c L

et

c =

T 0. ------

Calculer l’énergie totale n de la corde dans le mode n. 5) La solution générale de l’équation de propagation est une combinaison linéaire des divers modes de vibration. Calculer l’énergie totale de la corde en fonction des n . L L sin k n x sin k m x dx = --- si n = m Remarque : 2 0 et ce terme est égal à 0 si n ≠ m .

∫

85


Z0

Exercices Onde solitaire dans une ligne électrique Une jonction Josephson est un ensemble de deux plaques supraconductrices séparées par un isolant dans laquelle des électrons peuvent traverser l’isolant par effet tunnel. Une telle jonction, étendue dans la directon ( x′x ), peut être décrite comme une ligne électrique possédant une capacité répartie, une inductance répartie et des sources de courant réparties. Ainsi, un élément de longueur dx compris entre les abscisses x et ( x + dx ) de cette jonction peut être représenté par le schéma ci-après, dans lequel représente une capacité linéique et une inductance linéique. Le générateur de courant élémentaire délivre un courant dI = I O sin dx où est une fonction de x et du temps t reliée à la d.d.p. v ( x, t ) aux bornes du générateur par la relation ------ = v ( x, t ), I O désignant une const 4πe tante donnée et a = --------- avec e le module de la charge h de l’électron et h la constante de Planck. i(x, t)

v(x, t)

x′

i(x + dx, t)

Λ dx

dI

Γ dx

x

1) Établir les équations différentielles vérifiées par v, i et . En déduire que ( x, t ) est solution de l’équation différentielle : 2 1 2 1 -------2- – ----2- -------2- = ----2- sin . x c0 t

Déterminer les constantes c et tres de la jonction.

en fonction des paramè-

2) On cherche une solution à cette équation de propagation x qui soit progressive donc de la forme ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ . ⎝ c⎠ a) Montrer que c est nécessairement différent de c 0 . x b) Il se trouve que ( x, t ) = 4Arctan ⎛ A exp ⎛ ⎛ t – --⎞ ⎞ ⎞ ⎝ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ ⎠ convient. x Le vérifier (on écrira plutôt tan --- = A exp ⎛ ⎛ t – --⎞ ⎞ et ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ 4 on utilisera la trigonométrie) et trouver la relation devant alors lier et c.

v(x + dx, t)

3) Tracer ( x ) à différents instants puis v ( x ) à différents instants. L’onde de tension se déforme-t-elle en se propageant ?

x

4) On cherche à ce que ces ondes se propagent le plus rapidement possible. Comment choisir ? Vers quoi tend le signal v ( x, t ) ? Quel est l’intérêt ?

x + dx


Corrigés Solution du tac au tac, page 78. 1. Faux ; 6. Vrai : a Faux : b ; 2. Vrai ; 7. Vrai : a Faux : b ; 3. Vrai : 8. Vrai 4. Faux ; 9. Vrai : a, b Faux : c, d. 5. Faux ;

d’où

L’inpédance interne du générateur étant égale Z c , il n’y aura pas de réflexion en x = 0 , et l’onde totale est donc :

1) L’ondeincidentevérifiel’équationded’Alembert,donc k = ---- : c i i (x, t) = I 0 e j(

t – kx)

et

v i (x, t) = Z c I 0 e j(

t – kx) .

Réfléchie en x = L , elle donne naissance à une onde monochromatique, de même pulsation que l’O.P.P.M. incidente, qui peut s’écrire : i r (x, t) = I 0r e j(

t + kx)

et

v r (x, t) = – Z c I 0r e j(

t + kx) .

La condition à la limite x = L impose [v i + v r ] (L, t) = Z L [ i i + i r ] (L, t) ,

86

Z c – Z L – 2jkL -e . I 0r = I 0 --------------Zc + ZL

⎧ Z c – Z L jk(x – L)⎞ -e ⎪ i = I 0 e j( t – kL) ⎛⎝ e jk(L – x) + --------------⎠ Z ⎪ c + ZL ⎨ Z c – Z L jk(x – L)⎞ ⎪ j( t – kL) ⎛ e jk(L – x) – --------------. -e ⎪ v = Zc I0 e ⎝ ⎠ Z c + ZL ⎩ Z L cos k(L – x) + jZ c sin k (L – x) -, puis : 2) On en déduit Z(x) = Z c ------------------------------------------------------------------------Z c cos k(L – x) + j Z L sin k (L – x) Z L cos kL + jZ c sin kL . Z(0) = Z c ------------------------------------------------Z c cos kL + j Z L sin kL

Corrigés

1) a) La ligne étant infinie, au-delà de x = 0 (x

0 ) ne peut se

propager qu’une onde progressive du type : i′(x, t) =

I 0′e j( t – kx)

et

v′(x, t) =

Z c I′0 e j( t – kx).

v′ Pour x 0 , ---- = Z c est indépendant de x. La partie de ligne qui s’étend de i′ x = 0 à x = + ∞ estéquivalenteàuneimpédance Z c placéeen x = 0. Par suite, l’onde existant dans la partie x

0 de la ligne « voit » en x = 0 Z deuximpédances Z c enparallèle,soituneimpédance Z 0 = Z c // Z c = ----c . 2 b) Dans la partie x 0 de la ligne existe l’onde : i(x, t) = I 1 e j( t – kx) + I 2 e j( t + kx). Lepremiertermereprésentel’ondeincidenteetlesecondl’onderéfléchie,d’où : I réfléchi (x = 0) I = -----------------------------= ---2 . I1 I incident (x = 0) V réfléchi (x = 0, t) -. On note que est aussi égal à = -----------------------------------V incident (x = 0, t) I1 – I2 Z 1 V(0) -, il vient = -- . Sachant que Z 0 = ----c = ---------- = Z c ------------I1 + I2 3 2 I(0)

2) a) Entre x = 0 et x = a, existent nécessairement deux ondes se propageant en sens contraires (onde incidente et onde réfléchie) : i′(x, t) = I 1′ e j( t – kx) + I 2′ e j( t + kx) v′(x, t) = Z c (I 1′ e j(

t – kx)

– I 2′ e j(

t + kx) ).

En x = a, v′(a, t) = 0 (court-circuit) conduit à I 2′ = I 1′ e – 2jka , d’où : i′(x, t) = 2I 1′ e j( v′(x, t) =

t – ka) cos k (a

– x)

2jZ c I 1′ e j( t – ka) sin k (a

– x).

b) La condition i′(x = 0 , t) = 0 impose : π ka = --- + nπ (n entier). 2 l La plus petite valeur de a vaut a 0 = --- . 4 L’onde existant dans la partie négative de la ligne « voit » donc en x = 0 : • l’impédance Z c placée en x = 0 ; • l’impédance de la partie positive de la ligne, qui est infinie puisque v′(x = 0) --------------------- est infini. i′(x = 0) Ces deux impédances étant placées en parallèle, la partie négative de la ligne est donc fermée sur son impédance caractéristique Z c et le coefficient de réflexion estnul.Iln’yapasd’onderéfléchieetcettepartiedeligneesttraverséeparl’onde : i(x, t) = I 1 e j( t – kx) v(x, t) = Z c I 1 e j( t – kx) pour

x

0.

1) Au niveau de la jonction,

i

i1

O

d

en x = y = 0 : i = i1 + i2

x

i2

v = v1 = v2 et les deux impédances Z 1 (0) de l’extrémité de la ligne principale y (entre la jonction en x = 0 et l’impédance Z 0 en x = d) et Z 2 (0) de la ligne latérale (entre la jonction y = 0 et le court-circuit en y = ) sont en parallèle. La partie x 0 de la ligne principale « voit » donc en x = 0 l’impédance : Z 1 (0)Z 2 (0) Z(0) = ------------------------------. Z 1 (0) + Z 2 (0) Dans la ligne principale, entre la jonction et Z 0 , on a : i(x, t) = I 1 e j( t – kx) + I 2 e j( t + kx) v(x, t) = Z c (I 1 e j( t – kx) – I 2 e j( t + kx) ) I 1 e – jkx – I 2 e jkx . v(x = 0) L’impédance en x est donc Z 1 (x) = -------------------- = Z c -------------------------------i(x = 0) I 1 e – jkx + I 2 e jkx Or, pour x = d , Z 1 (d ) = Z 0 ; on en déduit (en calculant en particulier I le rapport ---2 en fonction de Z 0 et de Z c ) : I1 Z 0 + jZ c tan kd. Z 1 (0) = Z c -------------------------------Z c + jZ 0 tan kd Pour la ligne latérale, il suffit de remplacer d par et Z 0 par 0 (courtcircuit) dans le résultat précédent : Z 2 (0) = jZ c tan k . On en déduit : – Z c tan k d tan k + jZ 0 tan k . Z(0) = Z c -----------------------------------------------------------------------------------------------Z 0 (1 – tan k d tan k ) + jZ c ( tan k d + tan k )

2) Si, au niveau du générateur, l’impédance de la ligne est égale à son impédance caractéristique, elle est nécessairement égale à Z c en tout point entre le générateur et la jonction (l’intensité i est alors de la forme i = I 0 e j( t – kx ) ) . Il vient donc Z(0) = Z c, d’où, en égalant parties réelles et imaginaires : – Z c tan ( kd ) tan ( k ) = Z 0 (1 – tan ( kd ) tan ( k )) Z c ( tan ( kd ) + tan ( k )) = Z 0 tan ( k ) . On en déduit : Z Z0 Zc . tan 2 (kd ) = -----0 et tan 2 (k ) = --------------------Zc (Z 0 – Z c ) 2 A.N. : 2π • tan k d = 1 ,87 ; kd = ------ d = 1 ,08 ; d = 1 ,72 cm . l 2π k = ------ = 0 ,64 ; = 1 ,02 cm . • tan k = 0 ,75 ; l x 1) L’onde incidente y(x, t) = f (x, t) = f ⎛ t – - ⎞ se propage ⎝ c⎠ sur la corde. À l’instant t = 6 , elle n’a pas encore atteint l’extrémité L x = L de la corde, qu’elle atteindra au bout de t = 10 = --- . c

87


3) Cette impédance ramenée en tête de ligne est indépendante de L lorsque Z L = Z c . Une ligne fermée sur son impédance caractéristique Z c est équivalente à une ligne infinie d’impédance caractéristique Z c . Lorsqu’en a) le câble n’est pas branché on observe la f.e.m. e du générateur. Lorsque le câble est branché et fermé sur Zc son impédance ramenée à l’entrée est Z c et le générateur de résistance interne Z g débite dans cette impédance Z c . La tension aux bornes de Z c (qui est ce qu’on observe à Zc - (pont diviseur) soit -e- ce qu’on observe en b). l’oscillo) est e ---------------Zc + Zg 2

Corrigés x Sachant que f (x, 6 ) = f ⎛ 0, 6 – - ⎞ , la corde a l’allure suivante. ⎝ c⎠ 2 1,5 1 0,5 0 – 0,5 –1 – 1,5 –2

y (mm)

2 0

L date 6 τ = 0,6 c

N

M

P

0 –2

c x (cm)

2

4

6

8

10

0,5 L

y Les vitesses v y = ----- des points M(x = 0 ,2L ) , N(x = 0 ,4L) et t P(x = 0 ,55L) sont données dans le tableau ci-dessous à l’instant t = 6 .

points

y( x, t)

position

vitesse

M(x = 0 ,2L)

a x f (x, t) = ----- ⎛ 5 – t + - ⎞ 2 ⎝ c⎠

a y = -2

a – ----2

N(x = 0 ,4L)

a

y = a

0

P(x = 0 ,55L)

a x f (x, t) = -- ⎛ t – - ⎞ ⎝ c⎠

a y = -2

a + --

2) L’onde incidente atteint l’extrémité x = L de la corde à l’instant L t 0 = --- = 10 et, à partir de cet instant, se superpose à l’onde incidente c x x f (x, t) = f ⎛ t – - ⎞ une onde réfléchie g(x, t) = g ⎛ t + - ⎞ : ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ x x y(x, t) = f ⎛ t – - ⎞ + g ⎛ t + - ⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ L’extrémité x = L de la corde étant fixe, on doit avoir à tout instant : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

L x x – 2L d’où g(t) = – f ⎛ t – 2 ---⎞ et y(x, t) = f ⎛ t – - ⎞ – f ⎛ t + ---------------⎞ . ⎝ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ c ⎠ Le tableau ci-dessous donne les valeurs des fonctions f, g et y à l’instant t = 13 .

x 0 ,7L 0 ,8L

fonction f ( x, 13t)

fonction g( x, 13t)

fonction y( x, 13t)

0 ,7L

0

0

0

x

0 ,8L

0

7L – 10x a -------------------L

L

(10x – 8L) a -----------------------2L

–a

7L – 10x a -------------------L (x – L) 5a --------------L

x

L’allure de la courbe est présentée ci-après.

88

L date 13 τ = 1,3 c x (cm)

g (mm)

x (cm)

y (mm)

x (cm)

2

4

À l’instant t = 18 , toute l’onde s’est réfléchie, f (x, 18 ) = 0 , et ne subsiste que l’onde réfléchie : y(x, 18 ) = g(x, 18 ) x – 2L = – f ⎛ 18 + --------------⎞ ⎝ c ⎠

6

8

1 0 –1 –2

L date 18 τ = 1,8 c

10

c x (cm) 0

2

4

6

8 10

x y(x, 18 ) = – f ⎛ – 2 + - ⎞ , ⎝ c⎠ d’où l’allure de la corde, ci-contre. • Conditions aux limites Par définition de la liaison entre les cordes, les déplacements de celles-ci seront identiques, soit pour tout t : y 1 (x 0– , t) = y 2 (x 0+ , t) . Pardérivationparrapportautemps,onpeutécrirelamêmerelationpourlesvitesses dedéplacementtransverseen x = x 0,pourtoutt :v 1 (x 0– , t) = v 2 (x 0+ , t) (1) En projection sur (Oy), la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l’élément de longueur δx et de masse δm, situé entre les x x abscisses x 0 – ----- et x 0 + ----- , donne (en notant toujours F ( x, t ) la force 2 2 exercée par la partie de corde inférieure à x sur la partie supérieure à x) : 2y x x = – F y ⎛ x 0 + -----, t⎞ – F y ⎛ x 0 – -----, t⎞ . δm ⎛ -------2 ⎞ ⎝ ⎝ t ⎠ (x = x , t) ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ 0

L L y(L, t) = f ⎛ t – ---⎞ + g ⎛ t + ---⎞ = 0 , ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

domaine

0 –2

f (mm)

Lorsque δx tend vers zéro, la masse δm aussi, et on en déduit la continuité de la composante transverse de la force de tension au point de liaison, pour tout t : F y1 (x 0 , t) = F y2 (x 0 , t)

(2)

y y(x0, t) O

x0

x

Remarque L’égalité des composantes longitudinales des forces de tension est nécessairement vérifiée aussi pour assurer l’existence de la position de repos. • Coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes Les équations de couplage permettent d’écrire les vitesses et les composantes transverses de la force de tension, solutions de l’équation de d’Alembert, sous la forme :

3. Câble coaxial : Notion d’impédance (PC-PSI)

⎧ v y (x, t) = f ⎛ t – x- ⎞ + g ⎛ t + x- ⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎪ ⎨ ⎪ – F (x, t) = Z f ⎛ t – x- ⎞ – g ⎛ t + x- ⎞ c ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎩ y où Z c est l’impédance (mécanique) caractéristique de la corde considérée. Notons Z 1 et Z 2 les impédances caractéristiques, réelles et positives, des deux lignes, c 1 et c 2 les vitesses de propagation. Les deux conditions aux limites (1) et (2) se réécrivent : x x x f 1 ⎛ t – ----0⎞ + g 1 ⎛ t + ----0⎞ = f 2 ⎛ t – ----0 ⎞ ⎝ c 1⎠ ⎝ c 1⎠ ⎝ c2 ⎠ x x x Z 1 f 1 ⎛ t – ----0⎞ – g 1 ⎛ t + ----0⎞ = Z 2 f 2 ⎛ t – ----0 ⎞ . ⎝ c2 ⎠ ⎝ c 1⎠ ⎝ c 1⎠ Introduisant les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude relatifs à la vitesse, on a : 1 + 12 = 12 et Z 1 (1 – 12 ) = Z 2 12 , g 1 (x 0 , t) Z1 – Z2 - = – 12(tension) soit : 12(vitesse) = ----------------- = --------------′ Z1 + Z2 f 1 (x 0 , t) ′ 12(tension)

.

2 ⎛ ----y-⎞ . ⎝ t⎠

1 1) e K = -2

longueur L longueur L0

O 0

A x = L0

x h = L – L0

Sous l’action de l’onde, la longueur de la corde située entre les points O et L

∫ ds

L0 =

0

L0

∫

0

dx ), et ainsi l’altitude

de la masse M augmente : le point d’attache B liant la corde à la masse M s’élève d’une hauteur h = L – L 0 , d’où une augmentation d’énergie potentielle de la masse M : Exprimons la quantité

p

en fonction de l’état y ( x, t ) de la corde :

1 ∂y 2 ∂y 2 ds, avec ds 2 = dx 2 ⎛ 1 + ⎛ -----⎞ ⎞ , ou ds = dx ⎛ 1 + -- ⎛ -----⎞ ⎞ , ⎝ ⎝ ⎝ ∂x⎠ ⎠ 2 ⎝ ∂x⎠ ⎠ 0 L

∫

et ainsi : d’où :

= Mgh , quantité que l’on peut écrire :

= Mg ( L – L 0 ) = T 0 ( L – L 0 ) .

p

L =

p

L

∫

0

ds =

L0

∫

0

( F y v y ).

e = F y v y ; l’égalité ----- = – -------- est l’équation de bilan x t énergétique analogue à celle obtenue au § 3.2.3. = v y F y représente la puissance transférée de la partie gauche (abscisse inférieure à x) à la partie droite de la corde (abscisse supérieure à x). On a donc

4) Le calcul de : L y n⎞ 2 T L y 2 1 ⎛ ------(e K + e p ) dx = -dx + -----0 ⎛ -------n⎞ dx , ⎝ ⎠ 2 x 2 O⎝ x⎠ O O 2 2 n conduit à n = ----------- T 0 A n2 . 4L Cetteénergieestconstante,indépendantedutemps(lesystèmeétudiéestidéalisé). n

=

∫

L

∫

∫

2 ⎛ 1 + 1-- ⎛ ∂y -----⎞ ⎞ dx = L 0 + ⎝ 2 ⎝ ∂x⎠ ⎠

T0 ( L – L0 ) =

L0 T

∫

0

0 ⎛ ∂y⎞

L0

∫

0

y =

∞

∑y

n

=

n

1 ⎛ ∂y⎞ 2 -- ----- dx , 2 ⎝ ∂x⎠

2

----- ----- dx . 2 ⎝ ∂x⎠

On peut associer à un élément de longueur dx de corde une énergie potentielle 2 T y 2 T -----0 ⎛ -----⎞ dx etdéfiniruneénergiepotentiellelinéique e p = -----0 ⎛ ----y-⎞ . 2 ⎝ x⎠ 2 ⎝ x⎠

n

t+

n)

n=1

n=1

1 e K = -2

∞

∑ A sin k x sin (

2 ⎛ ----y-⎞ = 1-⎝ t⎠ 2

T y 1 e P = -- T 0 ⎛ -----⎞ = -----0 ⎝ x⎠ 2 2 2

M

B

A varie de L 0 à L (avec L =

y 2y ----- -----------x x t

y 2y T 0 ----- -------2 + T 0 t x y ⎛ F -----⎞ = – ----⎝ y t⎠ x

5) En tenant compte de tous les modes, on a :

2) La corde inextensible (longueur L 0 = OA ) est soumise à une tension T 0 réalisée avec une masse M telle que Mg = T 0 . y

y 2y y 2y ----- -------2 + T 0 ----- ------------ = x x t t t y y = – ----- ⎛ – T 0 ----- -----⎞ = – ----x t⎠ x x⎝

e ----- = t

∞

∑(

n A n sin k n x cos (

nt

+

n))

2

n=1 ∞

∑ (k A cos k x sin ( n n

n

nt

+

n))

2

.

n=1

On en déduit, après quelques calculs et en tenant compte de la remarque de l’énoncé : =

∞

∑

n=1

n2 2 ----------- T 0 A n2 = 4L

∞

∑

n

.

n=1

L’énergie totale de la corde est égale à la somme des énergies de chaque mode.

1) Les lois des mailles et des nœuds conduisent respectivement à : i i v v – ----- = ---- et – ----- = ----- + I 0 sin , x t t x 2v 2v -------2- = I 0 cos ------ . d’où l’équation --------2 – t t x On retrouve l’équation de propagation (non linéaire) proposée par l’énoncé en intégrant l’équation ci-dessus par rapport à t (on suppose ici que v, i et dépendent effectivement de t et de x ; la constante d’intégration par rapport à t, et donc éventuellement fonction de x seulement, qui apparaît au cours du calcul, est donc prise égale à 0), puis on la multiplie par a. On trouve : 4πe 1 1 ----2 = GL et -----2 = a I 0 = -------- I 0 . h c On peut noter que, lors de l’exercice 6 du chapitre 1, on aurait obtenu la même équation aux dérivées partielles si on n’avait pas supposé petit.

89


12(vitesse)

Z 2 f 2 (x 0 , t) Z 2Z 1 - = -----1 = ----------------------- = --------------Z2 Z1 + Z2 Z 1 f 1 (x 0 , t)

3) Les équations régissant le mouvement de la corde (cf. chapitre 2) sont (avec F y la composante suivant y de la force exercée en x par la gauche sur la droite) : ∂F ∂2y ∂2y ∂2y ∂y -------2 = – --------y , avec F y = – T 0 ----- , et ainsi : -------2 = T 0 -------2 . ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x Ainsi, en dérivant e = e K + e p par rapport à t, on obtient :

Corrigés x ( x, t ) = f ⎛ t – - ⎞ alors ( x, t ) est solution de ⎝ c⎠ l’équation de d’Alembert : 2 1 2 -------2- – ----2 -------2- = 0 . x c t 1 Si on avait c = c 0 on obtiendrait -----2 sin = 0 ce qui n’est pas le cas.

2) a) Puisque

x b) On a tan --- = A exp ⎛ ⎛ t – - ⎞ ⎞ ⎝ ⎝ v⎠ ⎠ 4

1

0,8

(1)

2T 1 – T 2 = 2 sin --- cos --- = 2 --------------2 ---------------2 en posant : 2 2 1+T 1+T

On sait que sin

T = tan --- . D’où en dérivant (1) par rapport à t : 4 1 -- ( 1 + T 2 ) ------ = A exp ⎛ ⎛ t – x- ⎞ ⎞ = ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ 4 t

0,6

0,4

T

4 T ------ = ---------------2 . t 1+T

d’où :

0,2

2

Puis -------2- et les dérivées partielles par rapport à x. t En reportant dans l’équation de propagation on obtient finalement :

θ

2π 6

–20

b)

t=0


t<0

3

t>0

u

4) On a toujours c

5

1 1 1 c car ----2 = ----2 – ---------2 2 c c0

0

20

a) x = 0

t

b1 > b2 b2 > b3 b3

3

–2

10

Doc. 1

6

1 0

–10

b) Cas de solutions

1 –5

3

θ

2π

t=0

x

3

2

1

3) Le schéma a) représente l’allure de l’onde solitaire en fonction de x à différents instants : cette onde ne passe qu’une seule fois en un point de la jonction, et, en ce point varie de 0 à 2 . Le schéma b) représente l’évolution de , à un instant donné, en fonction de x, pour différentes valeurs du paramètre : plus est grand (c’est-à-dire plus la vitesse de propagation c est grande), plus la zone de jonction concernée par l’onde est étroite ( est nul en aval, est égal à 2 en amont). a)

1

2

2 2 1 -----2 – -----2 = -----2 . c c0

0

2

x v

x

1 ----2 . c

c tend vers c0 quand tend vers l’infini (et on retrouve l’équation de d’Alembert). Pour qu’un signal se propage rapidement, il est nécessaire que le signal soit injecté en x = 0 : v ( 0, t ) avec une grande valeur de . En traçant v ( 0, t ) pour différentes valeurs de (doc. 1), on peut remarquer que ce signal tend vers une impulsion quand tend vers l’infini ! C’est pour cette raison qu’il est appelé soliton. Ce signal particulier se propage sans déformation (cf. chapitre 7). Ceci permet une succession rapide d’impulsions très étroites qui se propagent sans déformation (doc. 2).

90

v

x grand

t

b) Cas d’une ligne dispersive signal déformé

x grand

Doc. 2

t

Propagation d’ondes sonores dans les fluides PC-PSI

4

Le son est, avec la lumière, l’élément de propagation d’information que nous utilisons le plus couramment : son étude revêt un intérêt pratique évident. De plus, constatons que jusqu’à présent nous avons seulement étudié des phénomènes de propagation décrits par l’équation de d’Alembert pour lesquels les caractéristiques du milieu limitaient la propagation à une seule direction d’espace. L’étude des ondes sonores nous permet d’aborder un phénomène de propagation tridimensionnel.


■ Élaboration d’un modèle pour l’étude de la propagation des ondes sonores.

■ Cours de Seconde. ■ Principes d’étude de l’écoulement d’un fluide. ■ Équations de propagation, équation de d’Alembert. ■ Ondes, impédance d’onde, impédance caractéristique, réflexion et transmission.

91

Ondes

1

É qu at i o n d e p rop a g ati on d e s o n de s son ore s

1.1. Le son 1.1.1. Expérience Reprenons une expérience vue en classe de Seconde. Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquence, émet un son que nous pouvons entendre. Pour analyser le phénomène sonore, introduisons un microphone et visualisons les signaux issus du générateur et du microphone reliés aux voies d’un oscilloscope. Nous obtenons à l’écran de l’oscilloscope deux sinusoïdes (doc. 1). 1.1.2. Phénomène de propagation Le microphone capte un signal sinusoïdal, émis par le haut-parleur, qui s’est propagé de l’un à l’autre : une onde sonore se propage dans l’air entre l’émetteur et le récepteur. En synchronisant le balayage de l’oscilloscope sur le signal envoyé au hautparleur, ces signaux ont la même fréquence et apparaissent simultanément stables sur l’écran, mais déphasés. Si nous éloignons le microphone du hautparleur, nous constatons que le retard de phase du signal du microphone par rapport au signal de référence croît : le temps de propagation du signal de l’émetteur au récepteur augmente avec la distance qui les sépare. Nous pouvons aussi remarquer que lorsque nous modifions la position du microphone, le signal sinusoïdal qu’il délivre (pour une position donnée) reprend périodiquement la même place sur l’écran de l’oscilloscope : l’onde sonore détectée possède non seulement une période temporelle T, inverse de la fréquence du générateur, mais aussi une période spatiale l. À chaque fois que nous éloignons (respectivement rapprochons) le microphone d’une longueur l du haut-parleur, le retard de phase augmente (respectivement diminue) de 2 . L’onde sonore sinusoïdale présente ainsi des caractéristiques semblables à celles que nous avons dégagées pour les solutions sinusoïdales de l’équation de d’Alembert au chapitre 2. 1.1.3. Vitesse du son © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous savons que les périodes temporelle T et spatiale l d’une onde plane progressive monochromatique solution de l’équation de d’Alembert sont liées, à toute fréquence , par la relation l = c T , où c est la vitesse de propagation des ondes, solutions de l’équation de d’Alembert. Nous pouvons modifier la fréquence du signal électrique envoyé au hautparleur, et répéter les manipulations que nous venons d’effectuer en mesurant l à chaque fois le rapport --- de l’onde sonore. L’expérience montre que ce rapT port, homogène à une vitesse, reste constant : l⎞ ⎛ --= cs , ⎝ T ⎠ onde sonore où la vitesse caractéristique cs est d’environ 340 m . s – 1 ; c s représente la vitesse du son dans l’air. Cette vitesse est assez élevée par rapport aux vitesses que nous pouvons rencontrer quotidiennement : une voiture roulant à 150 km . h – 1, soit environ

92

haut-parleur

microphone

G.B.F.

Y1

Y2

Doc. 1. Le son se propage du hautparleur vers le microphone.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 40 m . s – 1 reste largement subsonique. Les effets de retard à la propagation restent cependant facilement décelables si nous pouvons associer une observation visuelle à la perception d’un son. La durée de transmission d’une information lumineuse (qui se propage à environ 300 000 km . s – 1 ) est, en effet, parfaitement négligeable par rapport à celle du son qui peut lui être associé.

ciel très orageux

Par exemple, lorsque nous voyons l’éclair d’un orage, nous pouvons déterminer le temps nécessaire pour percevoir le bruit de tonnerre qui lui est associé (doc. 2). Si nous comptons trois secondes entre ces deux instants, c’est que la foudre est tombée à environ 1 km. 1.1.4. Milieu de propagation Comment le signal sonore se propage-t-il d’un émetteur à un récepteur ? En utilisant une fréquence assez faible (période inférieure à la durée de 1 persistance rétinienne, de l’ordre de ------ de seconde), nous pouvons observer 20 des oscillations de la membrane du haut-parleur, qui transforme un signal électrique en un signal mécanique (transduction électromécanique ; cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année). À des fréquences audibles plus élevées (20 Hz à 20 kHz), le phénomène est le même (observable alors avec un stroboscope), et le mouvement de la membrane du haut-parleur provoque de petites vibrations de l’air. Le phénomène de propagation peut donc être compris ainsi : l’air, milieu gazeux, possède des propriétés macroscopiques d’élasticité. Le mouvement du haut-parleur comprime légèrement l’air à son voisinage immédiat ; la pression de celui-ci augmente légèrement et cet air pousse à son tour la tranche d’air voisine, etc. Pour prouver l’intervention du milieu de propagation (le gaz) dans la propagation du son, plaçons un réveil en train de sonner sous une cloche en verre (doc. 3). Faisons peu à peu le vide sous la cloche : le son du réveil semble s’évanouir. La sonnette du réveil vibre, mais ne peut plus transmettre ses vibrations au gaz… L’air, milieu matériel, est un support indispensable à la propagation du son. Nous retrouvons ici un couplage entre le déplacement et la « surpression » au sein du fluide, à l’origine du phénomène de propagation.

L

Doc. 2. La propagation de la lumière est quasiment instantanée. La propagation du son se fait à environ 340 m . s–1. L’écart entre la réception du signal luL mineux et du son est donc de --------- , soit 340 environ 0,3 s . km–1.

vide R

pompe

Doc. 3. Réveil sonnant sous la cloche à vide : il suffit d’ouvrir le robinet R pour remettre la cloche en pression et entendre à nouveau la sonnerie du réveil ! © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu matériel dans lequel elles se propagent à la vitesse cs .

1.2. Équations de couplage 1.2.1. Description du problème Nous savons que les mouvements d’un fluide sont décrits par le système complet d’équations suivant au niveau local : 1) l’équation de conservation de la masse (une équation cinématique) ; 2) l’équation du mouvement (trois équations scalaires) ; 3) le bilan énergétique (une équation traduisant l’application du premier principe de la thermodynamique au fluide en particulier les échanges thermiques) ; 4) l’équation d’état, de la forme f ( P, , T ) = 0 , pour un fluide où P, et T désignent respectivement la pression, la masse volumique et la température du fluide.

93

Ondes

Ce système de six équations scalaires est en général complexe à résoudre. Quelques hypothèses raisonnables nous permettront de le simplifier. 1.2.2. Hypothèse thermodynamique 1.2.2.1. Mouvements isentropiques L’expérience montre que la propagation des ondes sonores est généralement caractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elle se propage. Nous négligerons donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique, viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de l’écoulement. Cette hypothèse thermodynamique « raisonnable » peut remplacer la troisième équation. Éliminant la température à l’aide de cette hypothèse, nous pourrons exprimer la masse volumique du fluide en fonction de sa pression. Soit 0 , P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos. La présence d’ondes, correspondant à de faibles variations relatives de ces grandeurs, nous permet de noter : •

=

–

0

la variation de masse volumique du fluide (

0)

;

• p = P – P 0 la variation de sa pression, encore appelée surpression acoustique ( p

P0 ) .

Utilisant le coefficient de compressibilité isentropique : S

1 V 1 1 – = – ---- ⎛ --------⎞ = --- ⎛ -------⎞ ≈ ----- --------------0- , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V P S P S 0 P – P0

nous écrirons à l’ordre 1 : =

0 S

p.

1.2.2.2. Discussion de l’hypothèse d’adiabaticité dans le cas des gaz Newton a, le premier, proposé une expression de la vitesse du son dans l’air. Il a toutefois exprimé les variations de pression en considérant que le produit PV d’une particule de fluide reste constant au cours de son mouvement. Cette hypothèse correspond à des mouvements isothermes du gaz. Avec cette 1 – hypothèse : T ≈ ----- --------------0- . Utiliser la compressibilité isotherme T au lieu 0 P – P0 de la compressibilité isentropique S ne conduit malheureusement pas à une valeur de la vitesse du son en accord avec l’expérience. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Laplace a rectifié cet écart numérique en postulant que les petits mouvements du fluide sont adiabatiques « car » rapides (les échanges thermiques n’ayant alors « pas le temps » de se produire) : l’utilisation de S permet d’obtenir la valeur correcte de la vitesse du son. Cette hypothèse d’adiabaticité des mouvements est acceptable si l’influence de la diffusion thermique dans le gaz est négligeable. Dans le cadre du modèle du fluide parfait (de viscosité nulle), les seuls échanges énergétiques ont lieu par diffusion thermique. La grandeur caractérisant ce phénomène est le coefficient de Fourier K (cf. H. Prépa, Thermodynamique, 2de année). L’équation de la chaleur s’écrit : 2T K 2T T ------- = ------ --------2- = a --------2c x t x avec masse volumique et c capacité calorifique massique, le coefficient de K diffusion a = ------ s’exprime en m2 . s –1. c

94

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Par un raisonnement dimensionnel sur ce coefficient il est possible de quantifier l’hypothèse d’adiabaticité d’une onde sonore. L’ordre de grandeur du temps caractérisant les transferts thermiques sur une l2 distance égale à la longueur d’onde l est ----- . a Pour que l’évolution soit adiabatique, il suffit que ce temps soit très supérieur l2 T. à la période T de l’onde soit ----a 2 c l a ----- ou v ----S- ; pour l’air dans Introduisons la vitesse du son c S = --- , l T cS a les conditions usuelles, a ª 2 · 10 –5 m2 · s –1 et cS ª 340 m · s–1, d’où les 6 . 10 –8 m , ou v 6 . 10 9 Hz . conditions l Cette hypothèse est encore largement valable pour les ondes ultrasonores créées par les émetteurs piézoélectriques (v 10 MHz) utilisés en échographie. a La théorie cinétique des gaz permet de montrer que le rapport ----- est voisin du cS libre parcours moyen d’une molécule , c’est-à-dire la distance moyenne entre c ----S- . deux chocs. La condition d’adiabaticité devient alors l ou v Dans le cadre de la modélisation d’un gaz par un milieu continu, les longueurs caractéristiques des phénomènes étudiés doivent être grandes devant le libre parcours moyen. L’hypothèse l est donc incluse dans la modélisation par un fluide continu. Pour des longueurs d’onde plus faible l , la propagation d’une onde sonore dans ce milieu sera modélisée autrement. L’hypothèse d’adiabaticité formulée par Laplace est donc correcte pour un milieu continu. Cependant ce n’est pas parce que le phénomène est « rapide » mais parce que la longueur d’onde est grande devant le libre parcours moyen des particules. La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mouvements isentropiques. 1.2.3. Linéarisation des équations © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les modifications de l’état du fluide causées par l’onde sonore sont de petites perturbations. Nous traiterons les équations du problème dans le cadre d’une approximation linéaire, appelée approximation acoustique. C’est ce que nous avons fait pour relier et p dans le cadre de l’hypothèse d’adiabaticité. 1.2.3.1. Équation de conservation de la masse L’équation de conservation de la masse s’écrit : 0 = ------ + div ( v ) = ------- + t t

0 div ( v

)+

div ( v ) + v . grad ,

soit, en se limitant aux termes d’ordre 1 : ------- + t Nous pouvons négliger à .

0

div ( v ) = 0 .

div ( v ) devant

0 div ( v

) , car

est petit par rapport

95

Ondes

devant ------- est moins évident car ici ce sont les t dérivées partielles de qui interviennent. Cependant, lors de la linéarisation d’équations faisant intervenir des dérivées, il est classique de ne garder que les termes d’ordre 1 de la fonction ainsi que de ses dérivées, l’approximation étant justifiée a posteriori. Le fait de négliger v . grad

Dans le cas présent, une analyse plus précise de l’approximation peut être réalisée sur une onde sonore monochromatique de période T et de longueur d’onde l = cS T. Dans ces conditions le terme : c • ------- est de l’ordre de ---- = ---------S- ; t T l v 0 - ; • 0 div ( v ) de l’ordre de ------l v • div ( v ) de l’ordre de ------ ; l v • v . grad de l’ordre de ------ . l L’approximation « du premier ordre » ou linéarisation nécessite donc, a c S . Ces deux hypothèses sont en priori, deux hypothèses 0 et v fait équivalentes comme nous le verrons au § 1.4.3. L’élongation d’une tranche de fluide est de l’ordre de grandeur de v T. La condition v l : l’amplitude des oscillations du fluide c S s’écrit aussi est petite devant la longueur d’onde. L’approximation acoustique est une approximation de grande longueur d’onde. 1.2.3.2. Équation du mouvement L’influence de la viscosité du fluide étant négligeable dans le cadre de notre étude, l’équation du mouvement se réduit à l’équation d’Euler : ⎛ -----v- + ( v . grad )v ⎞ = – grad P + f . V ⎝ t ⎠ © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

La force volumique statique (par exemple, f V = g ) est compensée par le gradient de la pression statique P0. L’influence de ses variations (par exemple g ) est en pratique négligeable par rapport au gradient de la surpression p. L’équation du mouvement s’écrit donc, après linéarisation : 0

v ------ = – grad p . t

Les équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores (l’évolution est donc isentropique) sont : -------- + t 0

96

0 div ( v

) = 0

v ------- = – grad p t = 0 Sp

(conservation de la masse) (équation du mouvement) (isentropie)

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 1.2.4. Équations couplées Éliminant la variable dessous.

, nous obtenons le système d’équations couplées ci-

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le système d’équations couplées : 1 p ------- = – ------ div(v ) t S

.

1 v ------- = – ----- grad p t 0 Dans le cas d’une propagation d’ondes sonores planes dans la direction de l’axe (Ox), par exemple, le gradient de pression et la vitesse sont parallèles à e x : p grad p = ------ e x et v = v ( x, t )e x . x Le système d’équations couplées prend alors la forme simplifiée : 1 v p ------ = – ----- -----t S x. 1 p v ----- = – ----- -----t 0 x Remarque Il est préférable d’éliminer m pour trouver des équations en p et v car n’intervient jamais dans les conditions aux limites utilisées par la suite. Des équations couplés en et p comme en et v sont possibles mais sans intérêt pratique.

1

Propagation d’une onde sonore plane Approche lagrangienne Nous nous proposons de retrouver les équations précédentes à l’aide d’une description lagrangienne de la propagation d’ondes sonores planes dans une conduite de section S constante. Le déplacement, à l’instant t, d’une particule de fluide d’abscisse x lorsque le fluide est au repos est noté ( x, t ) (doc. 4). La surpression et la masse volumique de cette tranche sont p ( x, t ) et ( x, t ). Notons bien que la coordonnée x joue ici le rôle d’indice servant à étiqueter la particule de fluide étudiée. x est la position de la particule lorsque le fluide est au repos, alors que sa position à l’instant t correspond à x + ( x, t ). En particulier, la masse volumique ( x, t ) désigne, à l’instant t, la masse volumique de la particule suivie dans son

mouvement, dont l’abscisse à la date t est x + ( x, t ) , et non pas x. La même remarque s’applique à p ( x, t ) . Les notations utilisées ici correspondent à un formalisme lagrangien.


Application

position de la tranche de fluide au repos

S x’

ξ (x, t) x

ξ (x + dx, t) x + dx

x

position de la tranche de fluide en mouvement

Doc. 4. Tranche de fluide en mouvement dans la conduite.

97

Ondes

Nous ferons comme précédemment l’approximation de grandes longueurs d’onde, en supposant ⎛ soit ------ ≈ --1⎞ , ⎝ ⎠ x ce qui nous permettra quel-ques simplifications par approximation linéaire. 1) Évaluer la variation de masse volumique d’une tranche élémentaire de fluide, de section S et d’épaisseur dx au repos. 2) Établir l’équation du mouvement de cette même tranche de fluide. 3) En déduire les deux équations couplées liant p et la vitesse v = ------ . t 1) La masse de fluide considérée est :

dm = 0 S dx . Le volume de cet élément est, à l’instant t : d

= S [ dx + ( x + dx, t ) – ( x, t ) ] ≈S

dx ⎛ 1 + -------⎞ . ⎝ x⎠

Sa masse volumique est donc : dm 0 = ------- = --------------≈ d 1 + -----x

0

⎛ 1 – -------⎞ , ⎝ x⎠

d’où :

3) Utilisant la relation


L’équation du mouvement s’écrit alors : ( ) p grad ⎛ ------------⎞ = – grad ----- , ⎝ t ⎠ 0 donc

98

p = –

0

-------- + f ( t ) . t

-----x

(1)

=

0 S

(2)

p et la vitesse

v = ------ , les équations (1) et (2) nous redonnent le t système d’équations couplées déjà établi, réduit ici à la propagation unidimensionnelle : v p 0 ----- = – -----t x et p v S ------ = – ------ . t x

rot ( v ) = 〈 rot ( v )〉 t = 0 .

.

0

2

Le rotationnel de la vitesse est ainsi indépendant du temps, donc égal à sa moyenne temporelle. Pour des mouvements vibratoires, celle-ci est nulle :

v = grad

= –

dm -------2- = S [ p ( x, t ) – p ( x + dx, t ) ] t ⎛ p⎞ ≈ – S ------ dx , ⎝ x⎠ soit, finalement : 2 p - = – -----0 ------x t2

----- ( rot v ) = 0 . t

Nous en déduisons l’existence d’un potentiel des vitesses

0

dm = 0 S dx suivi dans son mouvement, est soumise à la pression P 0 + p ( x, t ) en amont, et à la pression P 0 + p ( x + dx, t ) en aval. L’équation de son mouvement est donc :

Le rotationnel d’un gradient étant nul, la deuxième équation couplée, v 0 ------ = – grad p , nous assure que : t soit

–

2) Cette tranche de fluide, système fermé de masse

1.2.5. Écoulement potentiel

v rot ------ = 0 , t

=

:

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Le potentiel des vitesses est défini à une fonction ne dépendant que du temps près (choix de jauge). Nous pouvons le choisir, sans modifier l’expression de la vitesse, de façon à avoir : p = –

0

-------- . t

1.3. Équation de propagation 1.3.1. Équation de d’Alembert Reportant les expressions de la surpression et de la vitesse du fluide dans l’équation de conservation de la masse, nous obtenons : 0 = div ( v ) + où

S

p ------- = div ( grad ) – t

2

0 S

--------- = t2

–

2

0 S

---------, t2

est l’opérateur laplacien (cf. Annexe).

Par dérivation spatiale ou temporelle de l’équation de propagation du potentiel, nous pouvons vérifier que les champs de vitesse et de surpression satisfont à la même équation de propagation. La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équation de propagation (tridimensionnelle) de d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression : ∗ 1 2v v – ----2- ---------2 = 0 ; cs t

1 2 - = 0 ; – ----2- ---------t2 cs avec v = grad

1 2p p – ----2- ---------= 0 cs t 2

* Δv est le laplacien vectoriel de la vitesse (cf. Annexe). Δ et Δp sont les laplaciens scalaires de et p.

.

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonction des caractéristiques du fluide par : P⎞ . ⎛ ------⎝ ⎠S

1 c s = ---------------- = 0

S

1.3.2. Vitesse du son 1.3.2.1. Dans les gaz

P ----- = cte , donc

S


Nous pouvons évaluer la vitesse de propagation du son dans un gaz en l’assimilant en première approximation à un gaz parfait de coefficient caractéristique . Pour une évolution isentropique, nous aurons : 1 = --------- . P0

La vitesse du son dans un gaz est alors : 1 c s = ---------------- = 0

S

P ---------0- = 0

RT --------------0 . M

Pour l’air ( M = 29 g . mol – 1 ) assimilé à un gaz parfait diatomique ⎛ =7 ---⎞ , nous obtenons c s = 331 m . s – 1 à T 0 = 273 K (0 °C). Cette ⎝ 5⎠ valeur est en accord avec l’expérience. La vitesse du son croît comme la racine carrée de la température du gaz. Ainsi, le son se propage plus rapidement dans l’air à T 0 = 298 K (25 °C) : c s = 346 m . s – 1 .

99

Ondes

La vitesse du son décroît comme la racine carrée de la masse molaire du gaz où il se propage. Pour le dihydrogène ( M = 2 g . mol – 1) , la vitesse du son à 273 K est bien supérieure à sa valeur dans l’air : c s = 1 260 m . s – 1 . Fait remarquable, l’expression que nous avons obtenue pour la vitesse du son ne fait pas apparaître la pression du gaz. En fait, ceci n’est vérifié que pour des pressions comparables à la pression atmosphérique. • Lorsque la pression augmente, l’approximation du gaz parfait est à remettre en cause. Le comportement du gaz se rapproche de celui d’un liquide (doc. 5), et la vitesse du son croît. • Aux faibles pressions, le son ne se propage plus : ce n’est pas l’approximation du gaz parfait qui est alors à remettre en cause, mais celle du milieu continu utilisé par les équations de la mécanique des fluides (cf. § 1.2.2.2.). 1.3.2.2. Dans les liquides Nous pouvons comparer la vitesse du son dans un liquide et la vitesse du son dans un gaz en écrivant : c s (liq) ------------- = c s (gaz)

0 (gaz) -------------0 (liq)

S (gaz) . --------------S (liq)

La densité d’un liquide est environ mille fois supérieure à celle d’un gaz, dans des conditions usuelles de température et de pression. Sa compressibilité est en revanche beaucoup plus faible que celle d’un gaz : gaz ≈

1 ------ ≈ 10 – 5 Pa –1 P0

liquide ≈ 10

– 10

Pa – 1 .

La vitesse du son est donc généralement plus importante dans les liquides que dans les gaz (doc. 5). 1.3.2.3. Dans les solides Le cas des solides n’entre pas dans le cadre de l’étude que nous avons menée ici. Le modèle de la chaîne d’atomes couplés par des ressorts rend assez bien compte de la propagation du son dans un solide isotrope. Les longueurs d’onde étant très supérieures aux distances interatomiques, l’approximation des grandes longueurs d’onde (cf. chapitre 1, § 3.2.5) est applicable, et nous pouvons écrire la vitesse du son dans un solide : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

cs =

E --- où E est le module de Young. P

Le document 5 nous montre que la vitesse du son dans un solide est souvent encore plus élevée que dans les liquides.

1.4. Propagation d’ondes sonores planes 1.4.1. Forme des solutions ondes planes Par définition d’une onde plane, la grandeur obéissant à l’équation de propagation n’est fonction que d’une coordonnée cartésienne et du temps. Nous choisissons x pour cette coordonnée cartésienne et l’équation de propagation se réduit alors à l’équation de d’Alembert unidimensionnelle déjà vue dans les trois chapitres précédents, soit pour la grandeur : 2 1 2 --------2- – ----2- --------2- = 0 . cs t x

100

milieu

vitesse du son (m . s– 1)

gaz dioxygène

317

air

331

diazote

339

dihydrogène

1 270

liquides eau

1 500

mercure

1 450

solides plomb

1 230

cuivre

3 750

fer

5 130

granit

6 000

Doc. 5. Vitesse du son dans quelques milieux matériels.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Nous connaissons la forme générale des solutions : x x ( x, t ) = F ⎛ t – -----⎞ + G ⎛ t + -----⎞ . ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ F G x x Notant f ⎛ t – -----⎞ = – ------- et g ⎛ t + -----⎞ = ------- , nous obtenons les champs ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ x x de vitesse et de pression d’une onde plane : x x v ( x, t ) = ------- e x = ⎛ f ⎛ t – -----⎞ + g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x ⎝ ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ ⎠ x p ( x, t ) = –

0

------- = t

0 cs

x⎞ x ⎛ f ⎛ t – ---- – g ⎛ t + -----⎞ ⎞ ⎝ ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ ⎠

Notons que le vecteur vitesse et le déplacement du fluide sont parallèles à la direction de propagation de l’onde plane. L’onde sonore est longitudinale. 1.4.2. Ondes planes progressives monochromatiques Les ondes planes progressives monochromatiques (ou harmonique) constituent des cas particuliers d’ondes planes progressives. Considérons une onde et de vecteur d’onde plane progressive monochromatique, de pulsation k = ke x , dont le potentiel est, en notation complexe : =

0e

j ( t – kx )

.

Les champs de vitesse et de surpression sont alors : v = grad

= – jk

0e

j ( t – kx ) e

x

------- = – j 0 0 e j ( t – kx ) t Plus généralement, la direction particulière de propagation de l’onde est indiquée par son vecteur d’onde, d’orientation quelconque, et son potentiel des vitesses s’écrit : p = –

0

soit :

v = grad p = –

L’équation de propagation : 0 =

0

0e

j( t – k . r )

= –jk

0e

------- = – j t

,

j( t – k . r )

0

0

e j(


=

t–k . r)

2 1 2 - = ⎛ – k 2 + -------⎞ – ----2- --------2 2 ⎝ cs t cs ⎠ 2

impose la relation de dispersion k 2 = -----2- . cs 1.4.3. Impédance acoustique En électrocinétique, une impédance est égale au rapport de l’amplitude comv plexe d’une tension v sur celle d’une intensité i : Z = - . i Par analogie, nous pouvons définir une impédance pour une onde sonore plane monochromatique se propageant dans un tuyau de section S comme le rapport

101

Ondes

de l’amplitude d’une force p S sur l’amplitude du débit volumique corresponp pS dant v S : Z = ------ = --- . v vS Dans le cas d’une onde plane progressive harmonique se propageant selon les x croissants, la pression p et la vitesse v sont proportionnelles : v = – j ----cs

0e

j ( t – kx ) e

x

= ve x et p = – j

p Z = --- = Z C = v

soit :

0 cs

1 = ----------- = χS cS

0

0

e j(

t – kx )

-----0 . χS

Cette impédance Z C est réelle et indépendante de x et de w. Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique se propageant selon les x décroissants, = 0 e j ( t + kx ) d’où : v = j ----cs

0e

j ( t + kx ) e

x

et p = – j

0

0

e j(

t + kx )

soit donc p = – Z C v .

Ainsi, pour une onde plane progressive se propageant : p • selon les x croissants : --- = Z C = 0 c s ; v p • selon les x décroissants : --- = – Z C = – 0 c s . v ZC est l’impédance acoustique, grandeur réelle indépendante de x et P 1 Z C = 0 c s = ----------- = -----0- . : χS cS χS Une onde de type « f » non monochromatique peut être considérée grâce à l’analyse de Fourier comme la superposition d’ondes planes progressives monochromatiques selon les x croissants. Il est donc possible de définir une impédance acoustique relative à cette onde égale à ZC. Ce résultat peut être retrouvé directement à l’aide des expressions de p et de v obtenues au § 1.4.1. Remarques • Pour une onde de type « f », p = Z C v = 0 cS v. En utilisant la relation entre la variation de masse volumique et la surpression = 0 S p, nous en dédui© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

v sons que ----- = ----- . Nous vérifions ainsi que les inégalités c S 0

0

et

v c S sont bien équivalentes et relèvent de la même approximation comme nous l’avons admis au § 1.2.3. • Nous pouvons faire une analogie entre les ondes sonores à une dimension et les ondes le long d’un câble coaxial (cf. chapitre 3) : – vitesse ¤ intensité, – surpression ¤ tension. Les équations reliant ces grandeurs conduisent à 0 ¤ , S ¤ . 1 L’expression de la vitesse de propagation de l’onde sonore c S = ---------------- se 0 χS 1 retrouve par analogie avec c = ------------ et celle de l’impédance acoustique ΛΓ

102

L’impédance caractéristique d’une onde sonore plane progressive est souvent notée : Z C = r0 cS

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

ZC =

-----0 se retrouve par analogie avec celle de l’impédance d’une ligne χS

Λ ---- . Γ • Dans le cas de tuyaux de section variable, l’introduction d’une autre définition p de l’impédance acoustique Z = ------ faisant intervenir la section du tuyau est Sv ZC =

souvent préférable : les relations de continuité seront plus faciles à écrire.

2

A s p e c t én e rg é ti q u e

2.1. Énergie volumique d’une onde sonore Dans le cas de la propagation d’une onde sur une corde (cf. chapitre 3, exercice 6), nous avions mis en évidence deux termes énergétiques : une énergie cinétique et une énergie potentielle linéiques. Faisons de même pour une onde sonore. 2.1.1. Densité volumique d’énergie cinétique L’énergie cinétique volumique associée au mouvement (macroscopique) du 1 fluide est e K = --- v 2 . L’onde sonore étant une perturbation faible du milieu, 2 1 nous écrirons cette expression à l’ordre 2 : e K = --- 0 v 2 . 2 2.1.2. Densité volumique d’énergie potentielle Le déplacement du fluide s’accompagne d’une petite variation de sa masse volumique sous l’effet de la surpression. Le travail reçu, analogue à l’énergie potentielle élastique accumulée par un ressort dont la longueur a varié par rapport à sa valeur au repos, pourra être restitué sous forme d’énergie cinétique.


Nous avons défini une densité linéique d’énergie dans un câble coaxial 1 1 e = --- Λi 2 + --- Γ v 2 . En poursuivant l’analogie du § 1.4.3 vitesse ¤ intensité , 2 2 surpression ¤ tension, 0 ¤ , S ¤ , nous pouvons définir la grandeur 1 1 e S = --- 0 v 2 + --- χ S p 2 homogène à une densité volumique d’énergie. 2 2 L’interprétation du premier terme est simple, c’est l’énergie cinétique volumi1 que du fluide e K = --- 0 v 2 . 2 Le deuxième terme est plus délicat à interpréter (cf. § 2.4.). Nous admettrons qu’il correspond au surcroît d’énergie interne dû à la compressibilité du fluide. 1 Nous dirons que le terme e P = --- χ S p 2 correspond à l’énergie potentielle 2 volumique associée à l’onde sonore. La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est eS = eK + eP où 1 1 e K = --- 0 v 2 et e P = --- χ S p 2 sont respectivement les énergies cinéti2 2 que et potentielle volumiques associées à l’onde. Elles s’expriment en J . m–3.

103

Ondes

2.2. Vecteur densité de courant d’énergie Lors de l’étude du câble coaxial, nous avons aussi défini une puissance transférée : (x, t) = v(x, t) i(x, t).

dF = P dS

En utilisant de nouveau l’analogie vitesse ⇔ intensité, surpression ⇔ tension, nous pouvons définir le vecteur P = pv homogène à une puissance surfacique. Interprétons ce terme : Considérons un volume V de fluide délimité par une surface fixe (doc. 6) et calculons la puissance des forces de pression qu’exerce le fluide intérieur sur les particules sortant au niveau de . La force exercée par le volume V sur les particules sortant par un élément de surface dS est : dF = P dS = ( P 0 + p ) dS , la vitesse du fluide en ce point est v , d’où : =

Σ

Pv . dS =

Σ

( P 0 + p )v . dS .

La valeur moyenne temporelle de la première intégrale : Σ

P 0 v . dS = P 0

Σ

v . dS

est nulle, car lors de la propagation d’une onde sonore, il n’y a pas de propagation de matière : ce n’est donc pas ce terme qui est responsable de la puissance cédée aux particules. En conclusion : =

Σ

pv . dS .

La puissance cédée par le volume V aux particules qui en sortent est égale au flux sortant du vecteur Π = pv .

P = pv est le vecteur densité de puissance ou densité de courant d’énergie de l’onde sonore . Il s’exprime en W . m–2.

2.3. Bilan énergétique © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

En dérivant eS par rapport au temps, nous obtenons : e -------S- = t

0v

v . ------ + t

p = – v . grad p – p divv = – div ( pv ) t

S p ------

à l’aide des équations couplées du § 1.2.4.

e Donnons une interprétation énergétique du résultat -------S- + div Π = 0 . t Considérons l’énergie surface

fixe (doc. 6) :

d s’écrit ---------S- = dt

eS

∫ V∫ ∫ -------t- d

d ---------S- = – divΠ d dt V Ostrogradski.

∫∫∫

104

S

contenue dans un volume V de fluide délimité par la S

=

∫ V∫ ∫ eS d

car la surface = –

Σ

Π . dS

. Sa variation par unité de temps est fixe. d’après le théorème de Green-

volume V de surface

v

Doc. 6. Force exercée sur les particules sortant du volume V.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Théorème de Green-Ostrogradski

Le flux sortant du vecteur Π = pv à travers la surface est égal à la puissance sonore traversant la surface (c’est-à-dire la puissance fournie aux particules sortant de ce volume). Cette puissance apparaît donc comme la diminution algébrique de l’énergie sonore S contenue dans le volume V par unité de temps.

Le flux sortant d’un champ G (ne présentant pas de discontinuité sur une surface fermée ou non située à l’intérieur du volume V) à travers une surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité par cette surface , de sa divergence :

e L’équation -------S- + div Π = 0 traduit donc localement le bilan énergétique : t variation de l’énergie sonore = énergie fournie au niveau dans le volume V de la surface .

G ( Q ) . N ( Q ) dS surface ∑ fermée

Ceci est analogue avec l’équation de conservation de la charge --------e + div j = 0 où e est la densité volumique de charge et j le vecteur t densité volumique de courant (de charges).

=

∫∫∫ divM ( G ( M ) ) d

M.

volume V

Remarque Ce bilan n’est valable que parce que nous avons implicitement supposé qu’il n’y avait ni source sonore ni absorption d’énergie en sein du fluide dans le volume V.

N (Q) Q

volume V

surface

Le bilan énergétique local associé à une onde sonore s’écrit : e --------S- + div P = 0 t 1 1 2 2 où e S = --- 0 v + --- S p est la densité volumique d’énergie sonore et 2 2

Π = pv est le vecteur densité de puissance ou densité de courant d’énergie de l’onde sonore.

2

Bilan local d’énergie pour une onde plane Exprimer, pour une onde plane se propageant parallèlement à l’axe (Ox), les densités d’énergie cinétique, potentielle et sonore, et le vecteur densité d’énergie. Vérifier le bilan énergétique local. Que deviennent ces expressions dans le cas d’une onde plane progressive suivant les x croissants ou décroissants ? Conclure.

Nous pouvons exprimer : • la densité volumique d’énergie cinétique :

Pour une onde plane se propageant parallèlement à l’axe (Ox), nous savons que la vitesse et la surpression sont de la forme : x x v ( x, t ) = ⎛ f ⎛ t – -----⎞ + g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x ⎝ ⎝ c S⎠ ⎝ c S⎠ ⎠

• la densité volumique d’énergie sonore :

et

p ( x, t ) =

x⎞ x ⎛ f ⎛ t – ---- – g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x . ⎝ c S⎠ ⎝ c S⎠ ⎠

0 cS ⎝

1 e K = --2

0v

2

1 = --2

0(


Application

f 2 + 2 fg + g 2 ) ;

• la densité volumique d’énergie potentielle : 1 e p = --2

S

1 p 2 = --2

0(

f 2 – 2 fg + g 2 ) car

eS = eK + eP =

0(

2 0 S cS =

1;

f 2 + g2 ) ;

• le vecteur densité surfacique de puissance :

Π = pv = e -------S- = 2 t

0 cS ( 0(

f 2 – g 2 )e x .

ff ′ + gg′ )

105

Ondes

div Π = 2

et

• Dans le cas d’une onde plane de type « g », 1 e K = e P = --- 0 g 2 , e S = – 0 g 2 2

⎛ f -----f- – g -----g-⎞ . x x⎠

0 cS ⎝

1 1 f g Or ------ = – ----- f ′ et ------ = ----- g′ d’où : cS cS x x

et Π = –

f 2 e x = eS cS e x .

2.4. Compléments : aspect thermodynamique L’étude de l’énergie interne du fluide permet d’interpréter l’énergie potentielle et le vecteur densité de courant. Soit um l’énergie interne massique du fluide. La surpression étant faible et l’évolution isentropique, il est possible d’exprimer l’énergie interne volumique u v = u m sous la forme du développement au deuxième ordre en : 2( u ) ( u m )⎞ 1 m ⎞ u v = u v0 + ⎛ ----------------. + --- 2 ⎛ ------------------2 ⎠ ⎝ ⎠ S, ( = 0 ) 2 ⎝ S, ( = 0 ) P Comme dU = T dS – P dV (identité thermodynamique), du m = T ds + -----2- d . u m⎞ P Par identification ⎛ --------= ----2- soit : ⎝ ⎠S 2( u ) ( u m )⎞ 1 P 1 m ⎞ ⎛ ----------------- = u m + --P- et ⎛ ------------------- = --- ⎛ -------⎞ = -----------. 2 ⎠ 2χ ⎝ ⎠S ⎝ ⎠S ⎝ S S


2 P Nous en déduisons u v = u v0 + ⎛ u m0 + -----0-⎞ + --------------2 . ⎝ ⎠ 0 2χ S 0 P Le terme ⎛ u m + -----0-⎞ = h m0 représente la variation d’enthalpie de l’unité de ⎝ ⎠ 0 volume due à la variation de masse volumique. Comme la masse totale de fluide est constante, l’intégrale sur tout le volume du fluide d est nulle et

∫

∫

h m0 d aussi.

La variation totale d’énergie interne du fluide liée à l’existence d’une onde sonore s’écrit donc : 1 2 1 --------- -----2- d = --- χ S p 2 d car = 0 χS p . p = 2 2χ S

∫

0

∫

Il est donc possible d’associer à l’onde acoustique une énergie potentielle 1 volumique e p = --- χ S p 2 . 2

106

x

= – eS cS e x .

Π = ± e S c S e x s’interprète de la façon suivante : l’énergie se propage à la vitesse cS selon la direction de propagation de l’onde. Nous remarquons de plus que l’énergie eS ou le vecteur densité de puissance d’une onde non progressive est la somme des énergies ou des vecteurs densité de puissance de ses composantes « f » et « g ».

Le bilan énergétique local est donc bien vérifié. • Dans le cas d’une onde plane de type « f », 1 e K = e P = --- 0 f 2 , e S = 0 f 2 2 0 cS

2e

• Pour une onde plane progressive, l’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle. La relation

e div Π = – 2 0 ( ff ′ + gg′ ) = – -------S- . t

et Π =

0 cS g

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) L’utilisation de l’équation d’Euler pour l’évolution isentropique d’un fluide conduit, après quelques calculs que nous ne développerons pas, à l’équation : v2 v2 ----- ⎛ ------- + u v⎞ + div ⎛ ⎛ ---- + u v + P⎞ v ⎞ = 0 . ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ t⎝ 2 En ne se contentant que des termes du premier et du second ordre dans v2 R = ⎛ ---- + u v + P⎞ v : R = ( u v0 + P 0 ) v + p v = 0 h m0 v + p v . ⎝ 2 ⎠ Le premier terme correspond au courant d’enthalpie dont nous n’avons pas tenu compte dans l’énergie sonore (valeur moyenne temporelle nulle). Le second terme correspond au vecteur Π = pv . Nous retrouvons ainsi, après élimination des termes négligés, le résultat e -------S- + div Π = 0 . t

3

Énergie d’une onde sonore sphérique divergente 1) Le laplacien en coordonnées sphériques d’une 1 2(r f ) -. fonction f (r, , ) = f (r) est Δ f = --- ---------------r r2 En déduire la forme du potentiel des vitesses d’une onde sonore sphérique divergente puis le champ des vitesses et des pressions correspondants. 2) Calculer le flux du vecteur densité de puissance à travers une sphère de rayon r à l’instant t. 3) L’onde est maintenant supposée sinusoïdale du temps de pulsation . Quelle est la puissance moyenne dans le temps qui traverse la sphère de rayon r ? 1 Conclure sur le sens physique du terme --- de la r solution en ondes sphériques de l’équation tridimensionnelle de d’Alembert. vérifie l’équation de d’Alembert tridimension1 2 nelle Δ – ----2- --------2- = 0 , soit pour une onde sphéricS t que (r) : 2(r ) 1 2(r ) - = 0 ---------------- – ----2- ---------------2 t2 r c

Le premier terme correspond à une onde divergente (propagation selon les r croissants), le second à une onde convergente (propagation selon les r décroissants).

D’où

et

f f′ r 2 ⎝ r cS ⎠ une sphère de rayon r est :

2) P = pv = -----0- f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ e r et son flux à travers

=

1)

S

(cf. chapitre 2, Application 1). Les solutions sont du type : r r f ⎛ t – -----⎞ g ⎛⎝ t + -----⎞⎠ ⎝ c S⎠ cS ( r, t ) = ---------------------- + ---------------------- . r r

r f ⎛ t – -----⎞ ⎝ c S⎠ ( r, t ) = ---------------------- , r f f′ v = grad = ⎛ – ----2 – --------⎞ e r ⎝ r rc S⎠ f′ p = – 0 ------- = – 0 ---- . t r

Σ

= 4π

soit


Application

f f′ pv . dS = -----20- f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ 4πr 2 ⎝ r cS ⎠ r 0

f f′ f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ . ⎝ r cS ⎠

r r 3) f ⎛ t – -----⎞ = A cos ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ d’où : ⎝

c S⎠

= 4π

0A

⎝ ⎝

c S⎠ ⎠

r ⎞⎞ r ⎛ t – ---- cos ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠ ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠

2 ⎛ – ---- sin ⎛

⎝ r

2 r + ------ sin2 ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ ⎞ . ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠ ⎠ cS

107

Ondes

2 0 2 2 -A . 〈 〉 = ------------------cS

1 radialement en se conservant. C’est le terme en ----2 r dans le vecteur densité de courant et donc le terme 1 en --- dans qui assure cette conservation. r

Ce résultat est bien sûr indépendant du temps mais surtout de r. Il montre ainsi que l’énergie se propage

Ce résultat s’étend à des fonctions non sinusoïdales par l’analyse de Fourier.

1 Comme 〈 sin x cos x〉 = 0 et 〈 sin2 x〉 = --- : 2

2.5. Intensité sonore 2.5.1. Intensité sonore Considérons une onde plane progressive de type « f », c’est-à-dire se propageant parallèlement à l’axe (Ox) dans le sens des x croissants. L’intensité sonore de cette onde, notée I, est par définition la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore à travers une surface unité perpendiculaire à sa direction de propagation. C’est aussi le flux moyen du vecteur P à travers cette surface, soit : I = 〈 pv〉 =

0 cs 〈 v

2〉

=

0 cs 〈

f

2

x⎞ ⎛ t – ---- 〉. ⎝ cs ⎠

2.5.2. Niveau sonore Le domaine de fréquences accessibles à une oreille humaine s’étend environ de 20 Hz à 20 kHz (cf. encadré). La gamme des intensités sonores accessibles est très large. Le seuil d’audition correspond à une intensité sonore (pour une oreille moyenne à environ 1 500 Hz) I 0 = 10 –12 W . m – 2 ; le seuil de douleur se situe à 1 W . m – 2 . Il est donc intéressant d’utiliser une échelle logarithmique pour repérer les intensités sonores. Le niveau sonore est défini I en décibels par L = 10 log ---avec I 0 = 10 –12 W . m – 2 . I0 Le seuil auditif de l’oreille dépend aussi de la fréquence (doc. 7a), le niveau sonore maximum étant de 130 dB à 1 500 Hz environ. 2.5.2.1. Quelques ordres de grandeur © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Étudions quelques ordres de grandeur : soit un niveau sonore très élevé, L = 120 dB dû à une onde plane sinusoïdale de fréquence = 1 000 Hz. Nous écrivons donc au point M : v = v0 cos t et p = p0 cos t = Son intensité sonore I est égale à 1 W . m – 2 . Sachant que : 1 1 I = 〈 pv〉 = --- p 0 v 0 = --2 2

0 cS v 0 cos

Quelques niveaux sonores Pièce silencieuse : 30 dB Lave-vaisselle silencieux : 50 dB Rue animée : 75 dB Bébé qui pleure : 80 dB Scooter (en accélération) : 90 dB Cantine scolaire : 100 dB Balladeur à fond : 105 dB Scooter sans pot en accélération : 115 dB Avion : 120 dB Chantier de marteaux piqueurs : 130 dB Boîte de nuit : 130 dB Fusée : 180 dB

t.

2 1 p0 2 ----------, c v = 0 s 0 2 0 cs

dB 130 seuil d’audition maximum

nous obtenons (avec c s = 337 m . s – 1 et 0 = 1,28 kg . m – 3 ) : v 0 = 6 ,9 . 10 – 2 m . s –1 cs . p 0 = 29 Pa P0 . En introduisant le déplacement d’une tranche de fluide (cf. Application 1) v = ------ conduit à v 0 = 2 dt de fluide), ce qui donne

108

0 0

(

= 11

0

amplitude du déplacement d’une tranche m

c l = ----s = 33 ,1 cm .

seuil d’audition minimum 0

125

1 000

2 000

Hz 16 000

Doc. 7a. Seuils d’audition en fonc-

tion de la fréquence.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) De même, nous avons

0 0

=

0

s

p p 0 = ----20- , soit : cs

= 2 ,7 . 10 – 4 kg . m – 3

0

amplitude de la surpression – 2 I (W . m ) (Pa) intensité sonore

.

L’oreille est un détecteur résonant.

seuil d’audition

10 – 12

3 . 10 – 5

intensité forte

10 – 4

0,3

Étudions ce qui se passe pour diverses valeurs de N.

seuil de douleur

1

30

Que se passe-t-il si nous sommes en présence d’un nombre N de scooters en accélération ?

Doc. 7b. L’oreille est sensible à de

Le document 7b indique les domaines d’intensité sonore, d’amplitude de surpression variant, dans le domaine audible, entre les seuils d’audition et de douleur pour une oreille moyenne percevant des sons se propageant dans l’air. 2.5.2.2. Niveau sonore en présence de plusieurs sources

Les « sources » étant non cohérentes (les bruits émis par les divers scooters ne sont pas en phase ; cf. H-Prépa, Optique ondulatoire, 2de année), l’intensité sonore émise par N scooters est égale à N fois l’intensité sonore d’un scooter : IN = N I1 .

très faibles variations de pression.

I I Soit L N = 10 log ----N- = 10 log ---1- + 10 log N = 90 dB + 10 log N . I0 I0 Ainsi, nous avons : L 2 = 90 + 10 log 2 = 93 dB ; L 4 = 90 + 10 log 4 = 96 dB ; L 8 = 90 + 10 log 8 = 99 dB ; ... L 30 = 90 + 15 = 105 dB : le niveau sonore d’un balladeur « à fond » est comparable à celui de 30 scooters normaux ! L 300 = 90 + 25 = 115 dB : le niveau sonore d’un scooter sans pot est égal à celui de 300 scooters normaux ! L 10 4 = 90 + 40 = 130 dB : le niveau sonore existant dans une boîte de nuit correspond à celui de 10 000 scooters en accélération !

Intéressons-nous à des ondes planes se propageant dans des conduites de section constante.

3.1. Conditions aux limites Considérons la réflexion d’une onde plane à l’interface de séparation de deux fluides. Nous nous limiterons au cas de l’incidence normale, l’onde incidente se propageant perpendiculairement à la surface plane séparant le milieu 1 (masse volumique 1 et vitesse de propagation c1) et le milieu 2 (masse volumique 2 et vitesse de propagation c2 ) (doc. 8). L’onde incidente

x f 1 ⎛ t – ----⎞ ⎝ c 1⎠

1 ( ρ1, c1) onde réfléchie

onde transmise onde incidente

donne naissance à une onde réfléchie

x x g 1 ⎛ t + ----⎞ et à une onde transmise f 2 ⎛ t – -----⎞ , qui peuvent être déterminées ⎝ c 1⎠ ⎝ c2 ⎠

en précisant les conditions aux limites vérifiées par les vitesses et les surpressions de ces ondes à l’interface.

2 ( ρ2, c2)

x′

x0

x

Doc. 8. Réflexion et transmission, sous incidence normale, d’une onde sonore à l’interface séparant deux milieux.

109


3

R é fl exi o n e t tra n sm i ssi on des o n d e s son ore s

Ondes

Posons donc (en notant Z c1 = 1 c 1 et Z c2 = 2 c 2 ) les impédances caractéristiques des deux milieux : ⎧ x x ⎪ v 1 ( x, t ) = f 1 ( x, t ) + g 1 ( x, t ) = f 1 ⎛⎝ t – ----⎞⎠ + g 1 ⎛⎝ t + ----⎞⎠ c c ⎪ 1 1 ⎨ x⎞ x⎞ ⎪ p ( x, t ) = Z [ f ( x, t ) – g ( x, t ) ] = Z ⎛ ⎛ c1 1 1 c 1 f 1 ⎝ t – ----⎠ – g 1 ⎝ t + ----⎠ ; ⎪ 1 c1 c1 ⎩ ⎧ x ⎪ v 2 ( x, t ) = f 2 ( x, t ) = f 2 ⎛⎝ t – -----⎞⎠ c ⎪ 2 ⎨ x⎞ ⎪ p ( x, t ) = Z f ( x, t ) = Z f ⎛ t – ---- . c2 2 c2 2 ⎝ ⎪ 2 c2 ⎠ ⎩ 3.1.1. Continuité de la vitesse

1 ( ρ1, c1)

Par définition de l’interface, les déplacements, donc les vitesses, des fluides perpendiculaires à celui-ci sont identiques (doc. 9) : v 1 x ( x 0 , t ) = v 2 x ( x 0 , t ), soit f 1 ( x 0 , t ) + g 1 ( x 0 , t ) = f 2 ( x 0 , t ) . Remarques • Cette égalité ne devrait pas être écrite a priori en x = x 0 puisque l’interface se déplace. Nous savons cependant que ces déplacements sont extrêmement faibles devant la longueur d’onde, qui caractérise les variations des fonctions f et g. L’égalité précédente reste par conséquent convenable. • Dans le cas d’ondes planes sonores se propageant dans des conduites de sections variables, nous verrons dans l’application 5 que les phénomènes de réflexion et de transmission se traitent alors en utilisant la continuité du débit volumique, ce qui fait intervenir à la fois la vitesse du fluide et la section de la conduite.

vitesse d’une particule de fluide du milieu 1 x′ x0

piston de masse M 1 ( ρ1, c1)

2 ( ρ2, c2)

force p1(x0, t) S

force p2(x0, t) S

Considérons un piston de masse M, de section S et d’épaisseur négligeable, au niveau de l’interface (doc. 10). Soumis aux forces de surpression p1 et p2 , son mouvement est décrit par l’équation a ( t ) étant son accélération :


L’accélération du piston est celle du fluide au niveau de l’interface, elle reste finie. Lorsque la masse M du piston tend vers zéro, le produit M a(t) tend vers zéro et conduit à la continuité des surpressions : p 1 ( x 0 , t ) = p 2 ( x 0 , t ) , soit Z c1 [ f 1 ( x 0 , t ) – g 1 ( x 0 , t ) ] = Z c2 f 2 ( x 0 , t ) .

3.2. Coefficients de réflexion et de transmission des ondes sonores 3.2.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude Le coefficient de réflexion (transmission) est le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie (transmise) et l’amplitude de l’onde incidente au niveau de l’interface. Les conditions aux limites étant traduites par : f 1 ( x0 , t ) + g1 ( x0 , t ) = f 2 ( x0 , t ) et

110

Z c1 [ f 1 ( x 0 , t ) – g 1 ( x 0 , t ) ] = Z c2 f 2 ( x 0 , t ) ,

x

Doc. 9. Dans le cas de conduite de section constante, les vitesses de particules de fluide des milieux 1 et 2 sont identiques au voisinage immédiat du plan x = x 0 , donc en x0 .

3.1.2. Continuité de la pression

Ma ( t ) = S [ p 1 ( x 0 , t ) – p 2 ( x 0 , t ) ] .

2 ( ρ2, c2) vitesse d’une particule de fluide du milieu 2

x′

x0

x

Doc. 10. Le piston de masse M est soumis aux forces de pression dont la résultante est : [ p1 ( x 0 , t ) – p 2 ( x 0 , t ) ] Se x .

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) nous en déduisons les coefficients de réflexion en vitesse r 12 ( v ) et en surpression r 12 ( p ) : r 12 ( v )

x g 1 ⎛ t + ----0-⎞ ⎝ c 1⎠ Z c1 – Z c2 1 c1 – 2 c2 = ------------------------ = -------------------- = – r 12 ( p ) - = ---------------------------x Z c1 + Z c2 1 c1 + 2 c2 f 1 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 1⎠

et ceux de transmission

12 ( v )

et

12 ( v )

et

12 ( p )

:

Dans le chapitre 3 les coefficients de réflexion et transmission en amplitude ont été définis pour des ondes planes progressives harmoniques et pouvaient être complexes. Ici, on est dans le cas simple où r et t sont réels et indépendants de la fréquence de l’onde monochromatique.

x f 2 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 2⎠ 2Z c1 2 1 c1 = ------------------------ = -------------------- = ---------------------------c x Z + Z 1 1 + 2 c2 c1 c2 f 1 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 2⎠ 12 ( p )

2Z c2 2 2 c2 . - = ---------------------------= -------------------Z c1 + Z c2 1 c1 + 2 c2

3.2.2. Coefficients de réflexion et de transmission énergétiques Le coefficient de réflexion énergétique R est le rapport (en valeur absolue) entre la puissance réfléchie et la puissance incidente à l’interface. Le coefficient de transmission énergétique T est le rapport (en valeur absolue) entre la puissance transmise et la puissance incidente à l’interface : r . ex Sr R = --------------------i . ex Si

t . ex St T = --------------------i . ex Si

et 2

avec :

P i = Z c1 f 1 ( x 0 , t )e x , 2

P r = – Z c1 g 1 ( x 0 , t )e x

et

t

2

= Z c2 f 2 ( x 0 , t )e x .

Nous obtenons ainsi (dans le cas choisi, S i = S r = S t ) : 2

T =

12 ( v ) 12 ( p )

.

4Z c1 Z c2 4 1 c1 2 c2 = --------------------------- = ------------------------------------ = 1–R 2 ( Z c1 + Z c2 ) ( 1 c1 + 2 c2 ) 2

Considérons, par exemple, une interface liquide-gaz. Le liquide est nettement plus dense que le gaz et la vitesse du son y est supérieure (cf. § 1. 3.). Nous obtiendrons alors R ≈ 1 et T 1 . La transmission des ondes sonores entre un liquide et un gaz est fort peu efficace. Par exemple, un plongeur entendra distinctement le bruit d’une hélice de hors-bord tournant dans l’eau, mais beaucoup plus difficilement une personne placée sur la berge (doc. 11). Nous pouvons étendre ce résultat à la réflexion quasi totale dans le cas d’une interface solide-gaz. Lorsque la géométrie du réflecteur solide s’y prête, nous obtenons alors un phénomène d’écho. La réflexion pourra être en revanche fortement atténuée par l’utilisation d’un « solide » très mou et très léger : liège, mousse. Plus généralement, l’obtention d’une bonne isolation phonique est obtenue par juxtaposition d’un matériau lourd et dur : béton…, avec un matériau léger et mou : liège, polymères expansés (l’air est piégé au sein de ces matériaux).


2 ⎛ Z c1 – Z c2⎞ 1 c1 – 2 c2 ⎞ -⎟ = ⎛ ----------------------------R = r 12 ( v ) r 12 ( p ) = ⎜ -------------------⎝ 1 c1 + 2 c2 ⎠ ⎝ Z c1 + Z c2⎠

Attention !

Doc. 11. Le plongeur entend mieux les turbulences dues à l’hélice du horsbord que le touriste sur la plage.

111

Ondes

4

a.

;

Nous pouvons réaliser quelques manipulations simples représentées sur le document 12 à l’aide d’un diapason métallique pour illustrer les conclusions que nous avons énoncées : – Le diapason, excité par un choc initial, est tout d’abord maintenu en l’air (doc. 12a). Il est délicat de percevoir le son qu’il émet même à proximité de la tête. La transmission des ondes sonores entre un solide et un gaz est peu efficace. – Si le diapason est placé contre la tempe (ce que fait un musicien), le son devient parfaitement audible (doc. 12b). La transmission est efficace dans le cas du contact solide, solide. La transmission des ondes sonore entre deux solides est efficace. – Si une plaque de polystyrène est placée entre le diapason et la tempe, le son redevient très faible (doc. 12c). Un certain nombre de matériaux (feutre, polystyrène…) absorbent les sons. – Si le diapason est placé dans un verre d’eau sur la tête, le son est aussi perceptible (doc. 12d). La transmission des ondes acoustiques entre un solide et un liquide est efficace.

c.

b.

d.

Doc. 12. Comment placer au diapason.

O n des s o n ore s stati on n a i re s

Nous avons déjà observé plusieurs facettes du phénomène d’ondes stationnaires au chapitre 2. Nous rappellerons ici quelques résultats en signalant, si nécessaire, quelques particularités correspondant au cas des ondes sonores.

4.1. Formation d’ondes stationnaires par réflexion d’une onde plane progressive monochromatique Nous savons que la réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sur une terminaison parfaite conduit à la formation d’ondes stationnaires dont l les nœuds et les ventres, alternés, sont distants de --- (deux nœuds, ou deux 4 l⎞ ventres, successifs étant distants de --- . 2⎠ En pratique, pour obtenir une propagation rectiligne d’ondes sonores (quasi) planes, nous serons généralement amenés à les confiner à l’intérieur d’une conduite, que nous choisirons de section constante pour simplifier notre étude. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les impédances acoustiques terminales Z parfaites que nous pourrons aisément réaliser correspondent à (cf. Application 4) : • Z = 0 : tuyau dont l’extrémité est ouverte à l’air libre (nœud de surpression) ; • Z = + ∞ : tuyau dont l’extrémité est fermée (nœud de débit). Les ondes stationnaires formées dans ces conduites sont schématisées sur le document 13 où l’on a tracé v(x, t) à un instant fixé.

4.2. Modes propres d’une cavité Nous savons aussi que les ondes stationnaires peuvent intervenir lors de l’étude des vibrations d’un système possédant deux conditions aux limites. Nous avons vu au chapitre 2 que les oscillations libres d’une corde vibrante, de longueur L, fixée à ses deux extrémités, peuvent se décomposer en une série d’harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence c = ------ du mode fondamental d’oscillation. 2L

112

a)

b)

Doc. 13. Réflexion d’une O.P.P.M au bout d’une conduite, nœuds et ventres de débit. a. Extrémité ouverte (Z = 0). b. Extrémité fermée (Z = +∞).

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Dans le cas de tuyau de section constante, nous pouvons envisager plusieurs cas. 4.2.1. Deux extrémités de même type 4.2.1.1. Extrémités du tuyau bouchées (parois fixes) Ce cas est l’analogue de la corde vibrante maintenue fixe à chacun de ses l bouts. Les nœuds de débit sont distants deux à deux de --- , et il y en a un à cha2 l c que extrémité de la conduite de longueur L, donc L = n --- = n ------ est la con2 2 dition de quantification imposée par les conditions aux limites. Les oscillations libres du gaz dans la conduite se décomposent en une série d’harmoniques de fréquences : 1

c = ------ , 2L

2

= 2

1 , ...,

n

= n

1

L = 3λ 2

, ...

4.2.1.2. Extrémités du tuyau libres Il suffit d’intervertir les nœuds (et les ventres) de pression et de débit par rapport au cas précédent, ce qui ne modifie pas la condition de quantification de la fréquence.

L =λ

Nous constatons que les modes propres d’oscillations d’un tuyau possédant deux extrémités semblables correspondent aux fréquences multiples entières c du fondamental dont la fréquence est égale à ------ (doc. 14). 2L 4.2.2. Deux extrémités de natures complémentaires

L=λ 2

Autrement dit, une extrémité du tuyau est libre, l’autre fermée. Les nœuds et ventres de débit (ou de surpression) sont distants deux à deux de l --- . Il y a un ventre à une extrémité, un nœud à l’autre. La condition de quan4 tification devient donc : l l 1 c L = n --- – --- = ⎛ n – ---⎞ ------ . ⎝ 2 4 2⎠ 2

L

Doc. 14. Nœuds et ventres de débit des harmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyau ouvert.

Les harmoniques présents dans la série de Fourier des oscillations libres du gaz auront pour fréquences : c = ------ , 4L

2′

= 3 1′ , 3′ = 5 1′ , ..., n′ = ( 2n – 1 ) 1′ , ...

Nous observons donc que les modes propres d’oscillations du tuyau possédant deux extrémités de natures complémentaires correspondent aux fréquences c multiples impaires du fondamental dont la fréquence est égale à ------ (doc. 15). 4L


1′

L = 5λ 4

L = 3λ 4

4.3. Cavités résonantes Nous savons qu’un système entre en résonance lorsqu’il est excité à une fréquence proche de l’une de ses fréquences propres. Nous l’avons constaté au chapitre 1 en observant la réponse d’un ensemble de masses couplées par des ressorts, et au chapitre 2 en interprétant les résonances de la corde de Melde. Soumis à une excitation quelconque (spectre continu et large par exemple), un système résonant joue le rôle d’un filtre sélectionnant les fréquences proches de ses fréquences propres. Un tuyau peut ainsi servir de filtre résonant : nous entendons le tuyau émettre un son dont l’analyse spectrale fait apparaître les fréquences propres de ce résonateur.

L=λ 4

L

caisse de résonance du diapason

Doc. 15. Nœuds et ventres de débit des harmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semifermé.

113

Ondes

4.3.1. Expérience : le tube de Kundt Il est possible de « visualiser » les ondes stationnaires sonores dans un tuyau (souvent réalisé en verre, donc transparent) de section constante appelé « tube de Kundt ». L’air contenu dans ce tuyau de section constante est excité à la fréquence grâce à un haut-parleur placé à une de ses extrémités et nous cherchons à détecter la mise en résonance de l’air (doc. 16).

a) haut-parleur tube de KUNDT eau

paroi fixe

4.3.1.1. Étude qualitative Il est possible de placer une mince couche d’eau (5 mm environ) au fond du tube (section circulaire de diamètre 8 cm environ) placé horizontalement. Partant de = 0, augmentons la fréquence. • À l’oreille, nous percevons des maxima d’intensité émis par le tuyau ; ces maxima correspondent aux mises en résonance successives de l’air contenu dans ce tuyau. • Localement, le niveau de l’eau varie lorsque nous approchons de la résonance. Lors des deux premières résonances, le niveau de l’eau est très perturbé jusqu’à éclabousser localement l’ensemble de la paroi (doc. 16b). Les endroits où le niveau de l’eau est très perturbé correspondent aux ventres de vibration de la vitesse. 4.3.1.2. Étude quantitative • Matériel Un microphone (doc. 17) permet l’étude quantitative de l’état vibratoire de la cavité. Ce microphone peut être sensible soit à la vitesse, soit à la surpression. Ses dimensions sont petites afin de ne pas perturber l’état vibratoire de la cavité. • Mode opératoire Pour une position donnée du microphone, il faut obtenir un maximum de signal en faisant varier la fréquence. Si ce maximum ne peut être obtenu, il se peut que le micro soit placé sur un nœud.

b) émission à la fréquence v à la résonance, la surface de l’eau est très perturbée : l’agitation est telle que cette eau est projetée sur les parois du tube

λ 4

λ 2

Doc. 16. Tube de Kundt. a. Au repos. b. En résonance.

fréquence v du G.B.F. G.B.F. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Y1

Y2

tube de Kundt

microphone qu’il est possible de déplacer

Doc. 17a. Tube de Kundt. Ici l’excitation de l’air dans le tube est provo-

quée par le frottement d’un chiffon sur une tige reliée au bouchon à droite de la photographie. La poudre de lycopode reste en tas aux nœuds d’élongation distants de 3,5 cm. la longueur d’onde sonore est de 7 cm environ soit une fréquence d’environ 5 kHz mesurable à l’aide d’un microphone et d’un oscilloscope à mémoire. On peut remarquer des stries correspondant à d’autres fréquences plus élevées de résonance du tube.

114

haut-parleur

Doc. 17b. Tube de Kundt : mesure de la vitesse du son dans l’air.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Lorsque le maximum du signal est atteint, nous sommes en présence du phénomène de résonance : il existe donc des ondes stationnaires dans le tube de Kundt. En déplaçant le microphone, nous visualisons des ventres et des nœuds de vibration quasiment nuls, si la résonance est parfaite. l La distance séparant deux ventres (ou deux nœuds) consécutifs est égale à --- . 2 • Mesure La distance d séparant ( n + 1 ) nœuds consécutifs (il est plus facile de repérer des minima presque nuls, plutôt que des maxima) nous permet d d’obtenir la longueur d’onde l = 2 --- . n Connaissant la fréquence , la vitesse de propagation du son dans l’air est l telle que c = --- . Cette mesure peut être faite avec des ultrasons ; la vitesse du son garde toujours la même valeur (cf. § 1.2.2.).

Application 4

« La »

Doc. 18.

La caisse de résonance est un parallélépipède creux, dont la plus grande dimension est 19,5 cm ; l’un des bouts étant fermé, l’autre ouvert.

Comment expliquer le choix de cette dimension ? Une extrémité de la caisse est bouchée, l’autre libre. Le mode fondamental d’oscillation d’ondes sonores planes se propageant dans la direction des arêtes de plus grande dimension a une fréquence égale à : 1′

c = -----s- . 4L

Pour c s = 340 m . s – 1 (vitesse du son dans l’air atmosphérique à 20 °C) et L = 19 ,5 cm, nous obtenons 1′ = 436 Hz, très proche de la fréquence du son émis, dont la fréquence est imposée par les vibrations du diapason. La caisse du diapason est bien une caisse de résonance.


Longueur de la caisse de résonance d’un diapason L’analyse harmonique du son émis par un diapason posé sur sa caisse de résonance (doc. 15 et 18) contient essentiellement un harmonique de fréquence = 440 Hz (la note est un la).

L’état de vibration de l’air dans la caisse a l’allure donnée sur le document 18, pour le premier harmonique : l L = --- . 4

4.3.2. Application aux instruments à vent Nous pouvons utiliser les résultats précédents pour expliquer de manière sommaire le fonctionnement des instruments de musique dits « à vent ».

115

Ondes

Le musicien qui souffle dans son instrument provoque des vibrations à l’une des extrémités du tube de résonance de son instrument. Diverses techniques permettent d’obtenir au bout du tube un vibreur qui va entretenir les oscillations propres de la colonne gazeuse contenue dans le corps de l’instrument. • Pour des instruments à embouchure de flûte, l’écoulement turbulent de l’air de part et d’autre du biseau (doc. 19) provoque le décollement périodique de tourbillons d’air, produisant des vibrations excitatrices filtrées par la cavité résonante (tube de l’instrument). L’ouverture au niveau du biseau étant assez importante, cette extrémité du tube de l’instrument se comporte approximativement comme une extrémité libre. • D’autres instruments possèdent une anche (hautbois, clarinette, ...) que le souffle de l’instrumentiste fait vibrer. Dans d’autres encore (clairon, cor, ...), ce sont les lèvres du musicien qui sont mises en vibration. L’extrémité excitatrice est alors assimilée à une extrémité fermée. L’autre extrémité des instruments à vent est généralement ouverte, nous l’assimilerons donc à une extrémité libre. Dans ces conditions, le son émis par les instruments à embouchure de flûte comporte les fréquences : c 1 = ------ , 2 = 2 1 , 3 = 1 , …, n = n 1 , …, 2L alors qu’un instrument à anche ne produira que des harmoniques impairs : c 1′ = ------ , 2′ = 3 1′ , 3′ = 5 1′ , …, n′ = ( 2n – 1 ) 1′ … 4L Les timbres (répartitions des harmoniques) de ces deux types d’instruments seront donc très différents. Remarque : Ils dépendent aussi de nombreux autres paramètres, que notre étude élémentaire (ondes planes, section constante, modélisation des extrémités, ...) est loin d’englober.


Constatons que la note fondamentale est d’autant plus grave (fréquence faible) que la longueur L est importante.

116

partie vibrante (biseau)

Doc. 19. Instrument à embouchure de flûte.


CQFR ● PROPAGATION DES ONDES SONORES Les ondes sonores sont de petites vibrations du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse cs . La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mouvements isentropiques. ●

ÉQUATIONS COUPLÉES. ÉQUATION DE PROPAGATION

Les équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores (l’évolution est donc isentropique) sont : ------- + t 0

0

div ( v ) = 0

(conservation de la masse)

v ------ = – grad p t

(équation du mouvement)

=

(isentropie)

0 S

p

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le système d’équations couplées liant la vitesse et la surpression du fluide : 1 p ------ = – ----- div ( v ) t S 1 v ------ = – ----- grad p t 0 La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équation de propagation tridimensionnelle) de d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression : 1 2 – ----2- --------2- = 0 ; cs t

1 2v v – ----2- --------2- = 0 ; cs t

1 2p p – ----2- --------2- = 0 . cs t

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonction des caractéristiques du fluide par : 1 c s = --------------- = 0 S

STRUCTURE DE L’ONDE SONORE PLANE


●

P⎞ ⎛ ------- . ⎝ ⎠S

• L’onde sonore est longitudinale, c’est-à-dire que la vitesse et le déplacement sont parallèles à la direction de propagation. p • L’impédance acoustique d’une onde plane monochromatique (ou harmonique) est définie par Z = --v où p et v sont les amplitudes complexes de la surpression et de la vitesse. Une onde sonore plane monochromatique progressive selon les x croissants s’écrit sous la forme : p v = – jk 0 e j ( t – kx ) e x et p = – j 0 0 e j ( t – kx ) avec k = ----- , et --- = Z C . cS v Pour une même onde selon les x décroissants : p --- = – Z C . v

117

Ondes

CQFR L’impédance acoustique de cette onde vaut : ZC =

0 cS

1 = ----------- = S cS

-----0 . S

L’impédance caractéristique Z C étant réelle et indépendante de plane porgressive selon des x croissants : = Z C v . ●

, on aura de même pour une onde

TRANSFERT ÉNERGÉTIQUE ASSOCIÉ À UNE ONDE SONORE

1 1 La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est e s = e K + e P , où e K = --- 0 v 2 et e P = --2 2 sont respectivement les énergies cinétique et potentielle volumiques associées à l’onde.

Sp

2

Le bilan énergétique local, associé à une onde sonore, s’écrit : e div ( Π ) + --------s = 0 , t où le vecteur densité de courant énergétique est Π = pv . ●

RÉFLEXION ET TRANSMISSION D’ONDES SONORES

Lors d’un changement de milieu de propagation, une onde sonore incidente donne naissance à une onde transmise et à une onde réfléchie. Celles-ci peuvent être déterminées en traduisant les conditions aux limites à l’interface des deux milieux : continuité de la surpression acoustique, continuité de la vitesse normale à l’interface (ou du débit volumique dans le cas de conduites de sections différentes). ●

ONDES SONORES STATIONNAIRES


La réflexion d’une onde sonore se propageant dans une conduite limitée par une terminaison parfaite provoque la formation d’une onde stationnaire. Si la conduite possède deux extrémités parfaites, elle se comporte comme une cavité résonante à l’intérieur de laquelle les modes propres de vibration du fluide sont les seules ondes sonores compatibles avec les deux conditions aux limites correspondantes. Cette particularité est à la base de la conception des instruments de musique à vent.

118


Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Quelles sont les différentes fonctions de la position et du temps qui interviennent dans la propagation des ondes sonores ? ✔ Quelle est l’hypothèse thermodynamique faite pour établir l’équation de propagation du son ? ✔ Quelle équation de propagation trouve-t-on pour la surpression ? ✔ Qu’est-ce que l’impédance acoustique ? ∂e ✔ Pour quelle raison physique le bilan d’énergie local est-il div Π + s = 0 ? ∂t ✔ Quelles sont les deux conditions aux limites à l’interface de séparation de deux fluides ? ✔ Quelles sont les relations possibles entre longueur d’un tuyau (L) et longueur d’onde (l) d’une onde stationnaire plane à l’intérieur, suivant que les extrémités sont toutes deux ouvertes, toutes deux fermées, l’une ouverte, l’autre fermée ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) ❑ a. de petits mouvements ❑ b. des mouvements isentropiques ❑ b. des mouvements isothermes. 2. Les ondes sonores peuvent être : ❑ a. planes ❑ b. sphériques ❑ c. autres

1 ❑ b. --2

0v

1 ❑ c. --2

0(v

2

1 + --2

Sp

2

+ p )2 .

5. Le vecteur densité de courant énergétique P et la densité volumique d’énergie es sont liés ∂e par div + -------s car : ∂t ❑ a. les ondes sont planes

❑ d. longitudinales

❑ b. les ondes sont stationnaires

❑ e. transversales.

❑ c. l’énergie se conserve.

3. Le vecteur densité de courant énergétique est : ❑ a. Π = pv ❑ b. Π =

v

❑ c. Π =

v .

Sv

2

1 + --2

6. Les coefficients de réflexion en vitesse et en surpression sont : ❑ a. égaux ❑ b. opposés. 7. Les coefficients de transmission en vitesse et en surpression sont :

4. La densité volumique d’énergie sonore es est : 1 ❑ a. --2


1. Dans les ondes sonores, le fluide effectue :

0

p2

❑ a. égaux ❑ b. opposés. Solution, page 124.

119

Exercice commenté Mesure des débits sanguins par effet Doppler ÉNONCÉ

L’échographie est une méthode pouvant donner des images des organes internes du corps humain. Une céramique joue un rôle de transducteur, transformant une excitation électrique en une onde acoustique ultrasonore (les ultrasons sont émis par trains d’ondes successifs de courte durée). Le transducteur sert aussi de détecteur et détecte les échos (ondes réfléchies sur les différents organes). Cette méthode permet également la mesure des débits sanguins par effet Doppler.

source d

α objet réfléchissant

v

Le transducteur fixe émet une onde acoustique ultrasonore, monochromatique de fréquence v 0 , qui se réfléchit sur un objet mobile dont la vitesse est v . Pendant une période de l’onde, la distance parcourue par l’objet est très inférieure à la distance d entre la source et c , vitesse du son dans le milieu. l’objet, et v 1) Quel est, dans le référentiel lié à l’objet, l’intervalle de temps séparant la réception de deux maxima successifs de l’onde en fonction de v 0 , v, c et l’angle a entre le faisceau émis par la source et la vitesse v ? 2) Les globules rouges dans l’aorte ont une vitesse d’environ 30 cm . s–1. On utilise une onde de fréquence v 0 = 3 MHz. Les approximations sont-elles légitimes ? 3) L’onde est réémise sans changement de fréquence dans le référentiel de l’objet mobile. Quel est l’intervalle de temps séparant la réception par le transducteur de deux maxima successifs de l’onde ? Quelle est la relation entre v 0 et v r fréquence de l’onde réfléchie détectée par le transducteur ? 4) Pour détecter certaines anomalies, on souhaite pouvoir mesurer le débit sanguin à travers une artère. L’observation par échographie avec un faisceau focalisé faisant un angle avec l’artère, émis sous forme d’impulsions, donne, en fonction du temps, le signal représenté sur le schéma ci-dessous. α


parois du vaisseau

amplitude au niveau du transducteur

t

v

faisceau d’ultrasons

réception

émission

a) Comment interpréter, d’une part les deux signaux de grande amplitude, et d’autre part le signal intermédiaire ? b) Les renseignements sont-ils suffisants pour déterminer le débit sanguin ? 5) Dans le cas de l’aorte, v = 30 cm . s–1 et on choisit

= 10° .

La vitesse moyenne de propagation du son dans les tissus biologiques est de 1 500 m . s–1. Quelle variation relative de fréquence peut-on attendre ?

120


CONSEILS

SOLUTION

Préciser soigneusement les dates d’émission et de réception de l’onde.

1) L’onde émise à l’instant t 01 par la source S est d reçue par le mobile à l’instant t 1 = t 01 + --- (le c mobile se trouvant en A tel que SA = d ). L’onde émise

à

l’instant

t 02 = t 01 + T 0

⎛avec ⎝

S d d’

H

α 1⎞ v B T 0 = ---- est reçue par le mobile à l’instant A v0 ⎠ d′ t 2 = t 02 + ----- (le mobile se trouvant en B tel que SB = d ′ ). c Si l’on suppose AB = v ( t 02 – t 01 ) = v T 0 très inférieur à d ( v 0 ) , on a d – d ′ ≈ AH = v T 0 cos et on déduit la période T de l’onde dans le référentiel lié à l’objet :

v d′–d T = t 2 – t 1 = ( t 02 – t 01 ) + --------------- ≈ T 0 ⎛ 1 – -- cos ⎞ . ⎝ ⎠ c c

3) Dans le référentiel lié à l’objet, celui-ci réfléchit une onde de période T vers le transducteur qui se déplace à la vitesse – v . Un calcul analogue au précédent conduit à la période Tr mesurée par le v v transducteur : T r = T ⎛ 1 – -- cos ⎞ , d’où on déduit T r = T 0 ⎛ 1 – 2 -- cos ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c v et v r = v 0 ⎛ 1 + 2 -- cos ⎞ . ⎝ ⎠ c 4) a) À la réception, le signal de faible amplitude a été réfléchi par les globules rouges alors que les signaux de forte amplitude ont été réfléchis par les parois de l’artère. b) La mesure de la différence relative de fréquences vr – v0 v -------------- = 2 -- cos entre le signal émis et le signal c v0 reçu de faible amplitude permet de calculer la vitesse des globules rouges. La mesure de la différence de temps entre les deux origines des deux signaux de grande amplitude reçus par le transducteur nous permet de déterminer le diamètre de l’artère :

S

α

–v d’

d


L’effet Doppler apparaît sous la forme d’une différence entre la fréquence d’une onde (sonore, électromagnétique) émise par un émetteur et celle reçue par un récepteur en mouvement par rapport à l’émetteur. Cet effet se manifeste ainsi lors du passage d’une automobile devant un piéton : le son perçu par le piéton est plus aïgu lorsque le véhicule se rapproche du piéton (fréquence plus élevée) ; il est plus grave lorsqu’il s’en éloigne (fréquence plus faible). De la même façon, un radar de gendarmerie utilise l’effet Doppler pour contrôler la vitesse des automobiles qui se trouvent dans son rayon d’action.

v 2) On peut vérifier que v T 0 = ---- = 10 – 7 m, soit 0,1 m est très inférieur à v0 d (de l’ordre de quelques mm au moins).

B

α D

D Δt = ------------------ . 2 c sin πD 2 On peut ainsi en déduire le débit sanguin (débit volumique) : v ---------- . 4 vr – v0 – 5 5) A.N. : --------------- = 6,9 . 10 . v0

121

Exercices Dans cette approximation, quelle est la vitesse de phase

Le vent porte le son On considère un écoulement d’air à vitesse constante u 0 (dans la direction et le sens de l’axe (Ox) ; u 0 0 ), la même en tout point. Dans cet écoulement se propage une onde sonore plane progressive dans la direction de l’axe (Ox). 1) En reprenant les notations du cours (§ 1.2), trouver l’équation de propagation de la surpression acoustique p ( x, t ) , dans le cadre de l’approximation acoustique. 2) Une O.P.P.M. se propage dans l’écoulement. En notation complexe, p s’écrit p = p 0 e j ( t – kx ) . Trouver la relation de dispersion entre k et et interpréter le résultat obtenu. Que doit-on entendre par l’expression « le vent porte le son » ?

Influence du milieu sur la propagation d’une onde sonore La définition d’un coefficient de compressibilité isentropique s sous forme d’une constante suppose que les variations de la masse volumique sont en phase avec les variations p de la pression. En réalité, la réponse du milieu à une variation de pression n’est pas instantanée et elle peut être modélisée par l’équation d’évolution liant les variations de à celles de p : 1 p = ----------- ⎛ + ------- ⎞ , χs 0 ⎝ t⎠


3) En cherchant une solution sous la forme d’une et de vecteur d’onde k = k e x , t – kx ) ,

déterminer

la relation liant et k. Montrer que cette relation conduit à une propagation de l’onde qui est atténuée exponentiellement et calculer le coefficient d’atténuation. On fera l’hypothèse que = 1 et on se limitera dans les calculs aux termes d’ordre 1 en .

122

Un tuyau cylindrique très long d’axe ( x′Ox ) et de section constante S contient de l’air dans des conditions de température et de pression ordinaires. Dans ces conditions, la célérité c des ondes acoustiques dans l’air et la masse volumique 0 de l’air valent respectivement c = 340 m . s–1 et 0 = 1,29 kg . m–3. En x = 0 est placé un plateau très mince (une membrane, une vitre en verre, une paroi en béton, ...), de masse surfacique uniforme , susceptible de vibrer sous l’effet des ondes acoustiques qui peuvent s’établir dans le tuyau. Une onde plane progressive sinusoïdale, de pulsation , se propage dans la région (1) dans le sens positif vers le plateau. Arrivée sur le plateau, elle donne naissance à une onde réfléchie dans la région (1) et une onde transmise dans la région (2). Sous l’effet de ces différentes ondes, le plateau acquiert un mouvement sinusoïdal forcé de translation selon ( x′x ) , soit ( 0, t ) = a 0 cos t .

(1) onde incidente

(2) x

O onde réfléchie

3p 2p 2p 1 --------2- – ------------ ⎛ --------2- + --------------2 ⎞ = 0 . cs 0 ⎝ x t x ⎠ t

soit en notation complexe p = p 0 e j (

Transmission par une paroi

x’

où est un temps de relaxation. 1) En considérant que l’on impose brutalement à un milieu initialement au repos une surpression constante p 0 , montrer que l’équation précédente traduit effectivement une réponse retardée du milieu à cette excitation. 2) Montrer qu’en tenant compte du retard de la réponse du milieu, l’équation de propagation de la surpression p obtenue dans le cours prend ici la forme :

O.P.P.M. de pulsation

---- ou ---------------- des ondes acoustiques dans le milieu ? k e(k )

onde transmise

1) En écrivant les conditions de passage pour l’onde acoustique globale en x = 0 , déterminer les amplitudes complexes a t de l’onde transmise et a r de l’onde réfléchie en x = 0 en fonction de l’amplitude complexe a i de l’onde incidente en x = 0 , de et des différentes constantes introduites précédemment. 2) La membrane joue le rôle de filtre de fréquences. Quelle est la nature de ce filtre et quelle est sa pulsation de coupure 0 à – 3 dB ? Étudier les particularités des différentes ondes présentes lorsque est à l’intérieur de la bande passante, et au contraire lorsque est très éloignée de la bande passante. 3) Exprimer la longueur d’onde de coupure λ 0 en fonction de 0 , de l’épaisseur d et de la masse volumique du plateau d . Le plateau est en béton ( d = 2 300 kg · m–3). Calculer l’épaisseur d pour obtenir un affaiblissement de 50 dB à


Réflexion et transmission des ondes sonores au niveau du raccordement de deux conduites

300 Hz. En déduire les valeurs de la fréquence de coupure f 0 et de λ 0 . Quels sont en décibels les affaiblissements à 100 Hz et à 500 Hz ? Conclure sur l’atténuation du son entre deux logements voisins, pour un son grave ou un son aigu. Préciser dans quelle mesure on peut utiliser ici le modèle de masse surfacique pour le plateau.

Le résonateur de Helmholtz

Un résonateur est une cavité qui, excitée par le son d’un instrument de musique, permet de renforcer un des harmoniques composant le son. Le résonateur de Helmholtz est constitué par une cavité sphérique de volume V 0 , ouverte sur l’extérieur par un tube très court de longueur d, de section s, contenant de l’air (assimilable à un gaz parfait) de masse volumique 0 ,à la pression atmosphérique P 0 . Le volume V 0 est supposé très grand devant le volume du tube.

2) Montrer que l’on a continuité du débit volumique au niveau du raccordement : D V1 ( x 0, t ) = S 1 v 1 ( x 1, t ) = D V2 ( x 0, t ) = S 2 v 2 ( x 0, t ) . Donnée : L’impédance acoustique d’une conduite de sec0 cs . tion S est définie par le rapport Z = ---------S 3) Établir les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude (pour le débit volumique et la surpression) en fonction des impédances acoustiques des conduites raccordées. 4) En déduire les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques.

d V0

1) Montrer que l’on a continuité de la pression en x = x0 : p 1 ( x 0, t ) = p 2 ( x 0, t ) .

section s

Une onde sonore se propageant au voisinage de l’ouverture met en vibration l’air de la cavité en imposant une pression extérieure P e = P 0 + p 0 cos t . On suppose que la longueur d’onde de l’onde sonore est assez grande devant les dimensions du résonateur pour qu’à chaque instant, la pression soit considérée comme uniforme dans la cavité ; cette pression vaut alors P = P 0 + y ( t ) . Les vibrations de l’air dans la cavité sont supposées adiac batiques et réversibles ; on donne = ----p . cv 1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par la surpression y ( t ) . 2) Chercher pour y ( t ) une solution harmonique à la pulsation et montrer que son amplitude y 0 devient très grande pour une valeur 0 de la pulsation . 3) Calculer la fréquence propre f 0 = ------0- d’un résonateur 2 de Helmholtz constitué d’une sphère de rayon 7 cm, et d’un tube cylindrique de longueur d = 1 cm et de rayon r = 1 cm. La vitesse du son dans l’air, dans les conditions de l’expérience, est égale à c s = 346 m . s–1.

5) Simplifier les expressions obtenues lorsque les conduites contiennent le même fluide, et ne différent que par leurs sections. Commenter les cas limites S 2 = ∞ et S 2 = 0 en précisant leurs analogues électriques. a)

L << λ

S1

S2

x’

b)


*

On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonores planes au niveau du raccordement de deux conduites de sections S1 et S2 (doc. 1a et b).

x

x0 L << λ

S1

S2

x’

x0

x

Doc. 1 a. Raccordement de deux conduites. Cas réel. b. Raccordement des deux conduites : modélisation.

123

Exercices Influence de la viscosité sur la propagation d’un son Dans le cas d’un fluide visqueux, l’équation vérifiée par le champ des vitesses est l’équation de Navier-Stokes : v ⎛ -----+ ( v . grad )v ⎞ = – grad P + ⎝ t ⎠ où

Δv

est la viscosité dynamique du fluide.

On suppose que les fluctuations de masse volumique et de pression sont petites et que l’évolution est isentropique. 1) Établir l’équation de propagation : Δp 1 2 p Δ p + ---------2- ---------- – ----2 --------2- = 0 avec t c t 0 cs s

2 0 cs cs

= 1.

On pourra utiliser div ( Δv ) = Δ ( divv ) (expression qu’il est facile de trouver en coordonnées cartésiennes). 2) On cherche une solution sous la forme d’une onde plane progressive monochromatique du type p = p 0 e j ( t – kx ) . a) Déterminer la relation entre k et . b) On pose k = k′ – ik′′ . Pour un fluide faiblement visqueux k′′ k′ . Donner l’expression de k′′ au premier ordre en . Quelle est sa signification physique. c) A.N. : Pour l’air dans les conditions usuelles –3 –1 = 1,7 . 10 – 5 Pl. 0 = 1,3 kg . m , c s = 340 m . s et d) À quelle distance un son est-il atténué de 20 dB pour un son de fréquence 1 000 Hz, 100 kHz ?

Corrigés 2) La solution p = p 0 e j (


Solution du tac au tac, page 119. 1. Vrai : a, b ; Faux : c 2. Vraie : a, b, c, d ; Faux : e 3. Vrai : a ; Faux : b, c 4. Vrai : b ; Faux : a, c 5. Vrai : c ; Faux : a, b 6. Vrai : b ; Faux : a 7. Faux : a, b

2

------- + u 0 ------- + x t

=

u0 .

v ----- = 0 . x

⎛ ----v- + u ----v- ⎞ = – ----p- . 0 x⎠ x t 1 1 ⎛ 0 c s p = ----2 p ⎝ en posant ----2 = c c

L’équation d’Euler donne La relation

0

l’équation différentielle : 1 p 0 = ----------- ⎛ + ------- ⎞ χs 0 ⎝ t⎠

⎞ 0 χ s ⎠ reste

inchangée. Éliminant et v dans les trois équations ci-dessus, on obtient :

124

2

– 2 u0 k – k 2 ( c 2 – u0 ) = 0

1) La surpression p est constante p = p 0 . La solution de

0⎝

2p 2p 2p 2 ( c 2 – u 0 ) -------2 = -------2 + 2u 0 ---------- . t x x t

convient si :

= k ( u0 ± c ) . d’où on tire On retrouve donc une relation du type = kc′ avec c′ = u 0 ± c . Si l’onde se propage dans le sens de l’écoulement, c′ = u 0 + c est supérieure à c et l’onde sonore se propage plus rapidement que dans l’air au repos : « le vent porte le son ». Remarque : On aurait pu également étudier l’onde sonore dans un référentiel lié à l’écoulement et se propageant à la vitesse u 0 par rapport au référentiel terrestre. Dans ce référentiel, l’onde sonore se propage à la vitesse c et la loi de composition des vitesses donne, dans le référentiel terrestre : c′ = u 0 ± c (suivant le sens de propagation de l’onde sonore).

1) La vitesse d’une particule fluide est notée : u 0 + v ( x, t ) avec v ( x, t ) La relation de conservation de la masse conduit à :

t – kx )

s’écrit

= cs

t

⎛ – e – --- ⎞ . ⎠

0 p0 ⎝ 1

ne retrouve donc la valeur χ s

0 p0

(utilisée dans le cours, cf. § 1.2)

qu’après un certain temps (de l’ordre de quelques ).

Corrigés 2) En reprenant les équations linéarisées du cours (cf. § 1.2) dans le cas d’ondes planes se propageant dans la direction (Ox), soit : v p • l’équation du mouvement : 0 ----- = – ----- ; t x v • l’équation de conservation de la masse : ------- = – 0 ----- ; x t : p = c 2 ⎛ + -------⎞ , on ⎝ t⎠ 1 obtient les équations de propagation ⎛ avec c 2 = ----------- ⎞ : ⎝ ⎠ s 0 et, en les combinant à l’équation liant p et

3 2 2 --------2- – c 2 ⎛ --------2- + --------------2 ⎞ = 0 ⎝ t x ⎠ t x

t – kx )

satisfait à l’équation de

1 propagation si : k 2 = -----2- ---------------- , soit k ≈ ---- ⎛ 1 – j -------⎞ en supposant c⎝ 2⎠ c 1+j t 1 et e (k) 0 (propagation à x croissants). j ⎛ t – ---- x⎞ ⎝ c ⎠

2

= --------- ; p s’écrit alors p = p 0 e – x e 2c En notation réelle, l’expression de p devient p = p 0 e –

x

.

x cos ⎛ t – - ⎞ . ⎝ c⎠

On constate que l’amplitude de la surpression (et par suite celle des autres paramètres : vitesse v, variation de la masse volumique, ...) décroît exponentiellement avec x : l’onde s’atténue au cours de la propagation. En outre, le fait de tenir compte du retard de la réponse du milieu à l’excitation ne modifie pas la vitesse qui apparaît dans la phase de l’onde (vitesse de phase) : celle-ci est toujours égale à c (ce résultat n’est valable qu’à la condition 1 , sinon la vitesse de phase est c 1 + 2 2 dépendant de ).

1) Pour une onde progressive sinusoïdale, la surpression p et la vitesse v (en notation complexe) sont liées par la relation : • p =

0cv

pour une onde plane progressive harmonique se

propageant à x croissants ; • p = – 0 c v pour une onde plane progressive harmonique se propageant à x décroissants. On écrit les conditions aux limites au niveau de la membrane. Il y a continuité des déplacements et donc égalité des vitesses du fluide de part et d’autre de la membrane : ˙ ( 0, t ) = v ( 0, t ) + v ( 0, t ) = v ( 0, t ), i r t la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la membrane donne : S ˙˙ ( 0, t ) = S ( p i ( 0, t ) + p r ( 0, t ) – p t ( 0, t ) ) , d’où, en utilisant la notation complexe : a0 = ai + ar = at ⎧ ⎨ ⎩ j a0 = 0 c ( a i – ar – at )

1 a 0 = a t = --------------------------- a i. 1 + j ----------2 0c

2) L’amplitude transmise est de la forme : H0 - a i avec H 0 = 1 et a t = ----------------1 + j ------

0

2 0c -. = -----------

La membrane joue donc un rôle de filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de coupure 0 à – 3 dB . Pour 0 , l’onde incidente est transmise quasiment sans atténuation ni déphasage : a t ≈ a i , l’onde réfléchie étant d’amplitude très faible et en retard d’un quart de période par rapport à l’onde incidente : a r ≈ – j ------ a i .

2

On pose

et

0

Pour

0 , l’onde incidente est presque totalement réfléchie :

a r ≈ – a i , l’onde transmise, d’amplitude très faible, est en retard d’un quart de période par rapport à l’onde incidente : a t ≈ – j ------0 a i .

3) Pour la fréquence f = 300 Hz, il faut : 1 20 log ------------------------------------------- = – 50 , 2 dd ⎞ 1 + ⎛ 2 f --------⎝ 2 0c ⎠ d’où on en déduit d = 6,4 cm. La fréquence de coupure f 0 et la longueur d’onde de coupure l 0 valent respectivement : 1 2 0c - = 0,95 Hz ≈ 1 Hz f 0 = ------- --------2 dd c et l 0 = --- = f0

-----d d = 358 m. 0

Pour f = 100 Hz, on trouve alors un affaiblissement de – 40 dB et pour f = 500 Hz un affaiblissement de – 54 dB . L’atténuation entre deux logementsvoisinsestdonctrèsforte,unpeuplusimportantepourlessonsaigus. Dans le plateau d’épaisseur d existent en fait des ondes réfléchies et transmises dont on n’a pas tenu compte ici. Les résultats obtenus restent acceptables, car l’épaisseur d du plateau est extrêmement faible devant les longueurs d’onde des ondes sonores dans le béton.

1) On applique la relation fondamentale de la dynamique à la masse d’air située dans le tube (très court) du résonateur en supposant que cet air vibre en bloc à la vitesse v ( t ) : dv ds ----- = ( y – p 0 cos t )s . dt

125


3p 2p 2p -------2 – c 2 ⎛ -------2 + --------------2 ⎞ = 0 . ⎝ t x ⎠ t x Ces équations sont linéaires.

p = p0 e j (

– j ----------2 0c ai a r = --------------------------1 + j ----------2 0c

0

et

3) La surpression

et on en déduit les amplitudes des ondes réfléchies et transmises ainsi que celle du mouvement du piston :

Corrigés L’air de la cavité vibre de manière adiabatique et réversible ; il vient donc : P P0 + y ( t ) -------------------= -----0 , 0

d’où, en différentient et en posant y =

= P0 ----0

0

+

(avec

0):

.

On écrit enfin la relation de conservation de la masse d’air dans le résonateur :

P0 s 1 d2y ------------, on obtient ------2 ------2- + y = p 0 cos t . dt 0 dV 0 0

1 2) En régime sinusoïdal établi : y = --------------2- p 0 cos t . 1 – ------2 0

= Le système entre en résonance (y devient infini) pour les frottements limitent l’amplitude de la surpression y) .

3) Avec c s =

0

(en fait,

c P s ---------0 , on obtient f 0 = ------s- -------- soit f 0 = 258 Hz (ce 2 dV 0 0

qui correspond à peu près à la note do3). On remarque que les approximations sont justifiées puisque : • le volume V 0 de la cavité est nettement supérieur à celui du tube ; c • la longueur d’onde l = ---s = 1,34 m est beaucoup plus grande que les f0 dimensions du résonateur.

1) Comme on l’a vu au § 3.1.2, si on applique le principe


2

4Z 1 Z 2 -. et T = ---------------------( Z1 + Z2 ) 2

S Z 5) Dans le cas où -----1 = ----2 , on obtient : S1 Z2

d2y -------------- -------2 + y = p 0 cos t , P0 s d t =

4) Le flux d’énergie à travers la conduite, associé à l’onde sonore, est = SP = pSv = pD V . On aura donc :

On vérifie que R + T = 1 .

0 dV 0

0

Z1 – Z2 r 12 ( DV ) = --------------- = – r 12 ( p ) Z1 + Z2 Z1 2Z 1 12 ( D V ) = ---------------- = ----- 12 ( p ). Z2 Z1 + Z2

Z1 – Z2 ⎞ R = ⎛ --------------⎝ Z1 + Z2 ⎠

d dm ------ = V 0 ------- = – 0 sv dt dt avec la convention de signe choisie par la vitesse v. Les trois équations précédentes conduisent à :

soit, en posant

on obtient immédiatement en utilisant la définition de l’impédance acoustique de l’énoncé :

fondamental de la dynamique à un piston de masse nulle, on obtient l’égalité des pressions de part et d’autre de celui-ci, donc on a continuité de la pression en x = x 0 :

S2 – S1 r 12 ( DV ) = --------------- = – r 12 ( p ) S2 + S1 S2 2S 2 12 ( D V ) = ---------------- = ---- 12 ( p ) S1 S2 + S1 S2 – S1 ⎞ 2 ⎛ R = ---------------⎝ S2 + S1 ⎠ et . 4S 1 S 2 T = -----------------------2 ( S2 + S1 ) • Si S 2 = ∞ : r 12 ( DV ) = +1 = – r 12 ( p ) . L’extrémité du tuyau 1 correspond à un nœud de surpression. L’impédance Z 2 est nulle, analogue au cas d’une ligne électrique fermée sur un courtcircuit. Si S 2 = 0 : r 12 ( DV ) = – 1 = – r 12 ( p ) . L’extrémité du tuyau 1 correspond à un nœud de débit. L’impédance Z 2 est infinie, analogue au cas d’une ligne électrique ouverte à son extrémité. Ces deux cas correspondent à des impédances terminales parfaites. Remarquons que si S 2 S 1, on aura un coefficient de transmission T 1. La bouche d’un orateur, débitant dans l’air libre, ne constitue donc pas un cas d’adaptation d’impédance spécialement bon ! On peut alors utiliser un porte-voix, de section évasée, pour faire passer progressivement la section à une grande valeur (l’émission est aussi plus directive), ce qui demandera des efforts bien moins importants pour se faire entendre (doc. ci-dessous).

p1 ( x0 , t ) = p2 ( x0 , t ) .

2) La longueur L de la perturbation est petite devant la longueur d’onde l, il est donc possible de négliger les variations de volume d’une tranche de fluide en mouvement s’appuyant sur cette perturbation. On a continuité du débit volumique au niveau du raccordement : D V1 ( x 0 , t ) = S 1 v 1 ( x 0 , t ) = D V2 ( x 0 , t ) = S2 v2 ( x0 , t ) .

3) Les conditions aux limites s’écrivant : D V1 ( x 0 , t ) = D V2 ( x 0 , t ) et p 1 ( x 0 , t ) = p 2 ( x 0 , t ),

126

Sans porte-voix, l’orateur ne peut se faire entendre. Le pavillon exponentiel équipant un phonographe constitue un cas remarquable d’adaptation progressive d’impédance.


1) En reprenant les approximations du cours : div ( v ) + ------ = 0 t

donne

évolution isentropique

S

équation de Navier-Stockes :

0

En éliminant 0 div ( v

0 div v

+ ------- = 0 t

1 1 = --- ⎛ ------ ⎞ ≈ ----- ---⎝ P⎠S 0 p v ------ = – gradp + t

Δv

(1) (2) (3)

entre (1) et (2) : )+

0

p S ----- = 0 t

ou

1 p 0 div ( v ) + ----2 ----- = 0 . cS t

En prenant la divergence de la relation (3) : ( divv ) = –Δp + t

0 ------------------

puis en éliminant

0 div ( v

Δ ( divv )

1 p ) = – ----2 ----cS t

on aboutit à : Δp 1 2 p Δp + ----------2 --------- – ----2 -------2 = 0 . t c t S 0 cS

2) a) Pour l’onde plane progressive monochromatique proposée : Δp 1 2 p Δp + ----------2 --------- – ----2 -------2 = 0 conduit à : c t c t 0 S

S

2 i k 2 ⎛ 1 + ----------2 ⎞ = -----2- (équation de dispersion). ⎝ ⎠ cS 0 cS 2 i b) k 2 = -----2- ⎛ 1 + ----------2 ⎞ ; en développant au premier ordre en ----------2 , ⎝ ⎠ cS 0 cS 0 cS

i k = ---- ⎛ 1 – --------------2 ⎞ (on ne conserve que la solution à partie réelle ⎠ cS ⎝ 2 0 cS positive), d’où : k′ = ---cS p = p0 e i (

et t – kx )

2

k′′ = + -------------3 . 2 0 cS = p 0 e –k′′ x e i (

t – k′x ) .

k′′ apparaît donc comme un facteur d’atténuation de l’onde. L’onde sonore s’atténue exponentiellement avec une longueur caractéristique : 3

2 0 cS 1 -. = ------ = ------------2 k′′ Nous pouvons remarquer que diminue quand augmente : les sons aigus s’atténuent plus rapidement que les sons graves. c) Une atténuation de 20 dB correspond à une intensité sonore divisée par 100 donc à une amplitude divisée par 10 d’où une distance d = 2,3 . À 1 kHz, ≈ 15 km soit d ≈ 35 km et à 100 kHz, ≈ 1,5 km et d ≈ 3,5 km. d) La distance de propagation décroît donc rapidement quand la fréquence augmente. Un roulement de tonnerre paraît toujours plus grave quand l’éclair est éloigné que quand il est proche.


Il est toujours étonnant de constater l’importance du niveau sonore d’un tel appareil, qui ne comporte pas d’amplificateur comme les chaînes HiFi, alors que la source des vibrations n’est constituée que d’une pointe qui vibre en frottant les sillons du disque et transmet cette information à une membrane située à l’embouchure du pavillon. Les instruments à vent (trompette, trombone, …) sont aussi équipés d’un pavillon exponentiel.

127

5

Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide


■ Caractéristiques générales de la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. ■ Polarisation d’une onde électromagnétique.

■ Équations de propagation. ■ Équation de d’Alembert. ■ Ondes planes, ondes planes progressives et ondes planes monochromatiques.

128

Au chapitre 4, nous avons développé un modèle rendant compte de la propagation du son dans un milieu matériel comme l’air : les ondes sonores sont des ondes longitudinales qui se propagent dans les trois directions de l’espace. Nous ferons apparaître ici des similitudes entre la propagation de la lumière et celle des ondes sonores. De plus, nous mettrons en évidence la nature vectorielle de la lumière, qui peut même se propager dans le vide en l’absence de milieu matériel. La propagation des ondes électromagnétiques recouvre l’ensemble du spectre de fréquences, allant des ondes radio aux rayons X et , en passant par le domaine optique. Les multiples facettes évoquées font apparaître d’emblée l’importance pratique de la propagation des ondes électromagnétiques. Le cas de la propagation dans le vide sera complété dans les chapitres suivants.

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

1

P ro p agat i on d u c h a m p é l ec t ro m a g n é ti q u e d a n s l e vi de

1.1. Équations de Maxwell 1.1.1. Les quatre équations de Maxwell Les équations de Maxwell lient l’évolution du champ électromagnétique ( E , B ) à ses sources, les charges et les courants (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2 de année). Les équations « Maxwell-Flux » (notées M ), assurant la conservation du flux magnétique, et « Maxwell-Faraday » ( MF ), traduisant le phénomène d’induction électromagnétique, sont indépendantes des charges et des courants électriques, sources du champ : ⎧ divB = 0 ⎪ ⎨ B ⎪ rot E = – ∂-----⎩ ∂t

(M ) ( MF )

Elles sont souvent appelées équations de structure car divB = 0 partout équivaut à dire B est un champ à flux conservatif ou de façon équivalente un champ de rotationnel. De même, en régime indépendant du temps, rot E = 0 partout équivaut à dire que E est un champ de gradient ou de façon équivalente un champ à circulation conservative. Les équations « Maxwell-Gauss » ( MG ) et « Maxwell-Ampère » ( MA ) lient le champ électromagnétique à ses sources : ⎧ divE = ----⎪ 0 ⎨ ⎪ ⎩ rot B = 0 j +

( MG ) 0

∂E ∂t

0 -------

( MA ) avec

0

= 4

La définition de l’ampère impose la valeur exacte de

0=

. 10 – 7 H . m – 1 4

. 10 – 7 H . m – 1 .

On donne souvent

0


La définition du mètre est fondée sur la constance de la vitesse de la lumière prise exactement égale à 299 792 458 m . s–1. Il résulte du choix de ces unités la valeur exacte de 0 liée à la relation vue plus loin 0 0 c 2 = 1 au § 1.2. 1 ≈ ---------- 10 –9 F . m –1 . 36

Remarque Nous nous sommes conformés à l’habitude en donnant les équations de Maxwell avec 0 et 0 . Il serait plus judicieux de les donner avec 0 et c. 1.1.2. Équations de Maxwell dans le vide Dans le vide, donc en l’absence de charges et de courants électriques, les équations de Maxwell deviennent : ⎧ divE = 0 ⎨ ⎩ divB = 0

( MG ) (M )

B ⎧ rot E = – ∂-----⎪ ∂t ⎨ ⎪ ∂E ⎩ rot B = 0 0 -----∂t

( MF ) ( MA )

129

Ondes

Les évolutions spatiale et temporelle des champs électrique et magnétique sont liées par les équations couplées (MA et MF). Ce couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs est analogue à celui de la tension et du courant dans une ligne électrique, de la force et de la vitesse dans une corde vibrante, ou de la surpression et de la vitesse dans un fluide (cf. chapitres 2, 3 et 4). Nous savons que ce couplage est à l’origine du phénomène de propagation. Ainsi, le champ électromagnétique se propage, comme les ondes électriques dans une ligne, les vibrations dans une corde, ou les ondes acoustiques dans un fluide. Fait nouveau et remarquable, cette propagation peut se faire même dans le vide, c’est-à-dire en l’absence de support matériel siège de la propagation.

1.2. Équations de propagation Pour obtenir l’équation de propagation du champ électrique E , nous éliminerons le champ magnétique B , du système d’équations couplées selon : ∂B rot ( rot E ) = rot ⎛ – -------⎞ = – ⎝ ∂t ⎠

0

∂2E . ∂t

0 --------2

Utilisons la définition intrinsèque du laplacien vectoriel : rot ( rot A ) = grad ( div A ) – Δ A et la conservation du flux du champ électrique dans le vide (MG), nous obtenons l’équation de propagation du champ électrique : ΔE –

0

∂2E = 0. ∂t

0 --------2

En éliminant le champ électrique du système d’équations couplées, nous obtenons la même équation de propagation pour le champ magnétique.


Le couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs électrique et magnétique est à l’origine du phénomène de propagation des signaux électromagnétiques. Dans le vide, cette propagation est décrite par l’équation de d’Alembert (à trois dimensions) : 1 ∂2 E DE – ----2- ---------2- = 0 c ∂t

et

1 ∂2 B DB – ----2- ---------2- = 0 , c ∂t

1 où la vitesse c caractéristique de cette propagation est c = ---------------- . 0

0

Remarque Nous utilisons parfois l’opérateur d’alembertien défini par : 1 ∂2 = Δ – ----2- ------2- . c ∂t Dans ces conditions l’équation de propagation s’écrit sous une forme plus condensée : E = 0

130

et

B = 0.

Application


1

Équations aux potentiels 1) Rappeler les expressions des champs électrique et magnétique en fonction des potentiels scalaire V et vecteur A . 2) Quelles sont les équations liant les potentiels aux sources du champ électromagnétique ? 3) Que deviennent ces équations dans le vide, avec le choix de jauge de Lorentz : 1 ∂V div A + ----2- ------- = 0 ? c ∂t 1) Le champ magnétique est à flux conservatif :

divB = 0 , donc de la forme B = rot A . Nous en déduisons, à l’aide de l’équation

Le champ électrique peut alors s’écrire : ∂A E = – gradV – ------- . ∂t 2) Reportant ces expressions des champs électrique et magnétique dans les équations « MaxwellGauss » et « Maxwell-Ampére », nous obtenons : 1 ∂2V ∂ 1 ∂V ΔV – ----2- ---------2- + ----- ⎛ div A + ----2- -------⎞ = – ----∂ t⎝ c ∂t c ∂t ⎠ 0 1 ∂2 A 1 ∂V - – grad ⎛ div A + ----2- -------⎞ = – Δ A – ----2- --------⎝ c ∂t 2 c ∂t ⎠

j.

3) Dans le vide, et avec le choix de jauge de

Lorentz, les potentiels scalaire et vecteur satisfont à l’équation de propagation de d’Alembert :

∂A « Maxwell-Faraday » : rot ⎛ E + -------⎞ = 0 . ⎝ ∂t ⎠

2

0

V = 0

et

A = 0.

O n d e s p la n e s é l e ctrom a g n ét i que s dan s l e v i d e

2.1. Ondes planes électromagnétiques Cherchons un champ électromagnétique satisfaisant aux équations de propagation sous la forme d’une onde plane se propageant, par exemple, parallèlement à la direction de l’axe (Ox) : et

B ( x, y, z, t ) = B ( x, t ) . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

E ( x, y, z, t ) = E ( x, t )

L’équation de propagation du champ électrique s’écrit, en projection sur l’un des axes, par exemple (Oz) : ∂2Ez 1 ∂2Ez ---------- – ----- ----------- = 0 , ∂x 2 c 2 ∂t 2 dont les solutions (cf. chapitre 2) ont la forme générale : x x E z ( x, t ) = f z ⎛ t – --⎞ + g z ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ Ce résultat s’étendant aux autres composantes de E , ainsi qu’aux composantes du champ magnétique B , nous en déduisons que la forme générale des solutions des équations de propagation des champs est : x x E ( x, t ) = E + ⎛ t – --⎞ + E – ⎛ t + --⎞ ; ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

x x B ( x, t ) = B + ⎛ t – --⎞ + B – ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠

131

Ondes

La forme générale des ondes planes de direction autre que celle de l’axe (Ox) définie par le vecteur unitaire u , solutions de l’équation de propagation, est (avec OM = r ) : u .r u .r E ( r , t ) = E + ⎛ t – --------------⎞ + E – ⎛ t + --------------⎞ ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ u .r u .r B ( r , t ) = B + ⎛ t – --------------⎞ + B – ⎛ t + --------------⎞ . ⎝ ⎝ ⎠ c ⎠ c Nous savons que l’accord de ces solutions avec l’équation de propagation n’est qu’une condition nécessaire de leur existence. Elles ne sont physiquement acceptables que si elles vérifient aussi les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Flux pour E et B et les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday assurant le couplage entre E et B .

2.2. Caractère transverse d’une onde plane dans le vide Intéressons-nous toujours à une onde plane de la forme : E ( x, y, z, t ) = E ( x, t )

et

B ( x, y, z, t ) = B ( x, t ) .

Les équations de Maxwell donnent : (MG) divE = 0 :

∂E x ( x , t ) --------------------- = 0 ∂x

(1)

(MF) divB = 0 :

∂ B x ( x, t ) --------------------- = 0 ∂x

(2)

∂B (MF) rotE = – ------- : ∂t


(MA) rotB =

0

B x ( x, t ) ⎧ 0 = – ∂-------------------⎪ ∂t ⎪ ⎪ ∂E z ( x , t ) ∂ B y ( x, t ) ⎨ – --------------------- = – --------------------∂x ∂t ⎪ ⎪ ∂E ( x , t ) ∂ B ( x z , t) y ⎪ --------------------= – -------------------⎩ ∂x ∂t

∂E x ( x , t ) ∂E : ⎧⎪ 0 = 0 0 --------------------∂t ∂t ⎪ ⎪ ∂ B x ( x, t ) ∂E y ( x , t ) ⎨ – --------------------- = 0 0 --------------------∂x ∂t ⎪ ⎪ ∂ B ( x, t ) ∂E z ( x , t ) y ⎪ -------------------- = 0 0 -------------------⎩ ∂x ∂t

0 -------

(3) (4) (5) (6) (7) (8)

Les relations (1) et (6) donnent : ∂E x --------- = 0 ∂x

et

∂E x --------- = 0 . ∂t

E x est donc uniforme, indépendant du temps : lors d’un phénomène de propagation d’ondes, les grandeurs dépendent du temps, donc nous avons ici : Ex = 0 . Il en est de même pour Bx (relations (2) et (3) : B x = 0 .) Les composantes de E et B parallèlement à la direction de propagation sont nulles.

132

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide Les relations (4) et (8) (respectivement (5) et (7) sont les équations couplées relatives aux composantes E z ( x, t ) et B y ( x, t ) (respectivement E y ( x, t ) et B z ( x, t ) ). Ainsi nous pouvons écrire : L’expression générale des champs électrique et magnétique d’une onde plane électromagnétique dans le vide se propageant parallèlement à un vecteur unitaire u est : u .r u .r E ( r , t ) = E + ⎛ t – -------------⎞ + E – ⎛ t + -------------⎞ ⎝ ⎝ ⎠ c ⎠ c u .r u .r B ( r , t ) = B + ⎛ t – -------------⎞ + B – ⎛ t + -------------⎞ . ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ Des relations liant E + et B + d’une part et E – et B – d’autre part. Les vecteurs E + , E – , B + et B – sont orthogonaux à u : le champ électromagnétique est dit transverse.

3

Ondes planes progressives monochromatiques ou harmoniques

3.1. Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation L’équation de propagation est linéaire. L’analyse de Fourier nous permet donc d’affirmer que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales du temps. Pour ces solutions nous utiliserons souvent la notation complexe : E ( x, y, z, t ) =

e(E ) =

e ( E 0 ( x, y, z )e j t ) ,

B ( x, y, z, t ) =

e( B ) =

e ( B 0 ( x, y, z )e j t ). 2

E ( x, y, z, t ) = E 0 e j (


L’équation de propagation se simplifie alors en ΔE + -----2- E = 0 . c Par analogie, avec la recherche de solution particulière exponentielle des équations différentielles linéaires à une seule variable, nous allons chercher des solutions particulières de cette équation sous la forme : t – k x x – ky y – kz z)

ou plus simplement indépendamment du repère de projection : E ( r , t ) = E0ej(

t–k . r)

où k = ku ( u vecteur unitaire) et r = OM (O origine du repère et M point d’observation). ∂2E ∂2E ∂2E - conduit, pour cette solution particuL’expression ΔE = ---------2- + ---------2- + --------∂x ∂y ∂z 2 lière, à : 2 2 2 ΔE = ( k x + k y + k z )E = k 2 E . 2

D’où la relation de dispersion k 2 = -----2- . c

133

Ondes

Par un changement de repère de projection, en choisissant l’axe Z du repère selon la direction u , nous vérifions que E ( r , t ) = E ( Z , t ) . En revenant en notation réelle pour k

0 :

Z E ( X , Y , Z , t ) = E + ( t – kZ ) = E + ⎛ ⎛ t – ---⎞ ⎞ . ⎝ ⎝ c⎠⎠ La solution particulière étudiée correspond donc à une O.P.P.M. selon la direction de u = e Z . Le vecteur k = ku est appelé vecteur d’onde.

3.2. Notation complexe des ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) Soit une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, de pulsation et vecteur d’onde k . Remarquons que la valeur moyenne de ces champs est nulle : il n’y a pas de champ statique. Nous pouvons écrire son champ électrique, en notation complexe, sous la forme : E = E 0 e j (

t–k . r)

.

Nous avons vu au chapitre 2 que cette notation simplifie les calculs différentiels. Ainsi, nous écrirons simplement : ∂E ------- = j E ∂t

et

∂E ------- = – j k x E . ∂x

Nous avons ainsi : ∂E ∂E ∂E divE = ---------x + --------y + --------z = – jk x E x – jk y E y – jk z E z = – j k . E . ∂x ∂y ∂z À l’aide de calculs semblables nous arrivons aux expressions divE = – j k . E ;

rot E = – j k Ÿ E ;

D E = –k2 E .

Remarque Notons bien que les opérations de dérivation que nous venons de décrire s’appliquent ici à une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique). Dans le cas d’une onde non plane telle que E = E 0 ( y, z )e j ( t – kx ) , par exemple, il ne faudrait pas omettre la dépendance du champ vis-à-vis des variables d’espace y et z. Nous écrirons alors : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

divE = div ( E 0 ( y, z )e – j (

t – kx ) )

= [ divE 0 ( y, z ) – jk . E 0 ( y, z ) ]e j (

t – kx ) .

3.3. Relation de structure L’équation de « Maxwell-Faraday » s’écrit ici : ∂B ------- = – rot E , ∂t

d’où

j B = jk ∧ E ,

k ∧E k ∧E ce qui donne B = -------------- donc ici B = -------------- . Le champ magnétique d’une onde plane progressive harmonique (ou monochromatique) électromagnétique, de pulsation et vecteur d’onde k , est lié au champ électrique par la relation de structure : k ŸE B = --------------- .

134

Il ne faudrait cependant pas en déduire que cette relation est générale. N’oublions pas qu’elle s’applique à des ondes planes, progressives et monochromatiques.

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide Il est remarquable de constater que cette relation ne fait appel qu’à l’utilisation de l’équation de « Maxwell-Faraday », indépendante des sources. Elle est applicable dans le vide, mais aussi dans les milieux matériels.

3.4. Structure des ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) En appliquant les techniques de dérivation vectorielle aux équations de Maxwell pour une onde plane progressive monochromatique en notation complexe, nous obtenons les quatre équations : ⎧ – jk . E ⎪ ⎪ ⎪ – jk . B ⎨ ⎪ – jk ∧ E ⎪ ⎪ ⎩ – jk ∧ B

= 0

( MG )

= 0

(M )

= –j B

( MF )

0j

E ( MA )

=

0

L’équation (MG) s’écrit aussi – jku . E = 0 donc, en revenant en notation réelle u . E = 0 : E est perpendiculaire à u . De même (M ) conduit à u . B = 0 : B est perpendiculaire à u . k u ∧E L’équation (MF) s’écrit B = ---- ∧ E = --------------- et conduit en notation réelle à c u ∧E . B = --------------c u ∧B De même (MA) conduit à E = --------------- = c ( u ∧ B ) . 0 0c Ces relations sur les champs réels démontrées dans le cas particulier des ondes planes progressives monochromatiques se généralisent à l’aide de l’analyse de Fourier à toute onde plane progressive.

E

Les deux premières égalités nous montrent que les champs électrique et magnétique de l’onde plane progressive sont transverses. Les deux suivantes confir-

k B

Le champ électromagnétique d’une onde plane progressive, qui se propage dans le vide à la vitesse c dans la direction du vecteur uni-

Doc. 1. Structure d’une onde plane progressive électromagnétique dans le

taire u , est transverse :

vide : ( k = ku ) .

u .E = 0

et

u .B = 0.

Le champ magnétique de l’onde est lié à son champ électrique par la u ∧E relation de structure : B = --------------c

ou

E = – cu Ÿ B .

Les champs électrique E et magnétique B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation : le trièdre ( E , B , u ) est trirectangle et direct.

135


ment ce fait et permettent de représenter le trièdre direct ( E , B , u ) (doc. 1).

u

Ondes

Application

2

Relation de structure des ondes planes progressives Le but est de retrouver ici les relations de structure d’une onde plane progressive sans utiliser la notation complexe. 1) On considère une onde plane de direction (Ox). Montrer en utilisant les équations de Maxwell, qu’à une constante du temps et de x près, les champs électrique et magnétique sont transverses. 2) On suppose de plus que l’onde est progressive selon l’axe des x croissants. Montrer qu’à des constantes additives près (u x, E , B ) forment un trièdre trirectangle direct et E que B = --- . c 1) Dans le cas d’une onde plane selon (Ox) : E = E x ( x, t )u x + E y ( x, t )u y + E z ( x, t )u z . ∂E L’équation (MG) conduit à ---------x = 0. La projection ∂x de l’équation (MA) sur (Ox) conduit à : ∂E ∂B z ∂B y -------- – -------- = 0 = 0 0 ---------x . ∂t ∂y ∂z Donc Ex est une constante vis-à-vis du temps et de x. Un raisonnement semblable sur les équations (M ) et (MF) conduit au même résultat pour Bx .

2) Dans le cas d’une onde plane progressive selon

les x croissants :

x x x E = E x ⎛ t – --⎞ u x + E y ⎛ t – --⎞ u y + E z ⎛ t – --⎞ u z . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ D’après 1) Ex peut être pris nul. La projection de (MF) sur (Oy) et (Oz) conduit à : ∂E ∂B ∂B ∂E – --------z = – --------y et --------y = – --------z . ∂x ∂t ∂t ∂x x Comme Ez est une fonction de t – -- : c ∂ E ∂E z 1 -------- = – --- --------z . c ∂t ∂x 1 En intégrant par rapport au temps – --- E z = B y + cte . c ∂B z ∂E y 1 -------- = – -------- conduit à --- E y = B z + cte′ . ∂t c ∂x Ces deux relations se résument en : ux ∧ E B = --------------c en prenant les constantes nulles. Comme de plus u x . E = 0 , le trièdre ( u x, E , B ) E est trirectangle directe et B = --- . c


3.5. Propagation des ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) dans le vide 3.5.1. Relation de dispersion Nous savons que l’équation de propagation impose la relation de dispersion qui lie

et la norme k (k est encore appelée nombre d’onde) du vecteur d’onde k .

De l’équation de d’Alembert, nous déduisons immédiatement que la relation de dispersion des ondes planes progressives monochromati2

-. ques se propageant dans le vide est k 2 = -----c2 Comme nous l’avons observé dans les chapitres précédents la propagation décrite par l’équation de d’Alembert est caractérisée par une vitesse de propagation égale à c, quelle que soit la fréquence de l’onde plane progressive monochromatique étudiée.

136

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide Remarque Nous pouvons éliminer le champ magnétique des équations (MA) et (MF) en notation complexe pour l’onde plane progressive monochromatique. k k B = ---- ∧ E d’où k ∧ ⎛ ---- ∧ E ⎞ = – ⎝ ⎠

0

0E

= – ----2- E . c

L’utilisation des équations de Maxwell sous forme complexe pour l’onde plane progressive monochromatique permet d’obtenir l’équation de dispersion sans utiliser l’équation de d’Alembert.

k2 La formule a ∧ ( b ∧ c ) = ( a . c )b – ( a . b )c conduit à – ----- E = – ----2- E c 2 2 . soit k = -----2c 3.5.2. Longueurs d’onde La longueur d’onde (dans le vide) d’une onde plane progressive harmonique électromagnétique est liée à sa fréquence par : c c ---- = --- .

Le domaine accessible aux ondes électromagnétiques est très vaste, comme l’indique le document 2 ; il va des ondes radiofréquences aux rayonnements gamma en passant par la fenêtre très restreinte du domaine optique ou visible.

fréquence (Hz) rayon γ

3.6. Propagation de l’énergie d’une onde plane progressive harmonique dans le vide

10

10–11

3.6.1. Densité volumique d’énergie

10–10

Intéressons-nous maintenant à la propagation d’énergie accompagnant la propagation d’une onde plane progressive dans la direction du vecteur unitaire u .

10–9

La densité volumique d’énergie e associée au champ électromagnétique est :

10–8

E2

10–6 10–5 10–4

Pour l’onde plane progressive monochromatique dans le vide, les normes des champs électrique et magnétique sont simplement reliées par la relation :

faisant apparaître une équipartition de l’énergie sous les formes électrique et magnétique. Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction de l’axe (Ox), le champ électromagnétique est, en notation complexe, de la forme : ⎧ E = E 0 e j ( t – kx ) ⎪ . ⎨ ⎪ B = u----------------x ∧ E 0 j ( t – kx ) -e ⎩ c

3.1017 ultraviolet

10

Pour une onde électromagnétique plane progressive dans le vide, cette densité volumique d’énergie s’identifie à la densité volumique d’énergie de l’onde.

Nous pouvons alors écrire la densité volumique d’énergie de l’onde plane progressive monochromatique : 2 B2 B2 0E e = ----------+ --------- = 0 E 2 = -----2 2 0 0

rayon X

–7

B2 0 + --------- . e = ----------2 0 2

E B = --- . c

3.1020

–12

o n d e s h e r t z i e n n e s

10–3 10–2 10–1 1

visible

3.1014

infrarouge

E.H.F. communications par satellites S.H.F. radar télévision U.H.F.

3.1011

F.M. T.H.F. 10 ondes H.F. courtes 102 ondes ondes moyennes radio M.F. 103 grandes B.F. ondes 104

longueur d’onde (m)

Doc. 2. Fréquences et longueurs d’onde des ondes électromagnétiques dans le vide.

137


2 l = ------- = 2 k

Ondes

Nous pouvons exprimer la moyenne temporelle de la densité d’énergie associée à l’onde par : 1 〈 e〉 = 〈 --2

0E

2〉

⎛1 B2 1 + 〈 ---------〉 = --- e ⎜ --2 0 2 ⎝2

0E

2 B . B ∗⎞ 0 E0 . E ∗ + -----------------⎟ = ---------------2 2 0 ⎠

en notant E ∗ le complexe conjugué de E et B ∗ le complexe conjugué de B . Remarque : En faisant correspondre à A ( t ) = A m cos ( t + complexe A ( t ) = A m e j

t

avec A m = A m e

j

1

1),

le nombre

, et à B ( t ) = B m cos ( t +

ej t

le nombre complexe B ( t ) = B m avec B m = B m e valeur moyenne du produit A(t)B(t) est égale à :

j

2

2),

, rappelons que la

1 1 〈 A ( t )B ( t )〉 = --- e ( A ( t )B ∗ ( t ) ) = --- e ( A m B m∗ ) 2 2 1 1 j( 1 – 2) = --- e ( A m B m e ) = --- A m B m cos ( 2 2

1

–

2)

.

3.6.2. Vecteur de Poynting Nous savons (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2 de année) que la puissance électromagnétique (exprimée en watts) traversant une surface S est égale au E ∧B flux du vecteur de Poynting P = --------------- (ou vecteur flux d’énergie en

S = NS

0

Π = E^ B μ0

W . m– 2) à travers cette surface orientée (doc. 3). Pour une onde plane progressive :

N

E ∧ (u ∧ E ) E ∧B P = --------------- = ------------------------------- = c 0 0c

0E

2u

Les ondes électromagnétiques ont généralement des fréquences élevées 10 5 Hz ; cette limite correspond aux ondes hertziennes à modulations ( d’amplitude). Les détecteurs ne sont souvent sensibles qu’aux valeurs moyennes temporelles de la puissance qu’ils reçoivent ; ces valeurs moyennes sont donc les seules susceptibles de nous intéresser. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Pour une onde plane progressive monochromatique de pulsation

= 2

,

la moyenne temporelle 〈 〉 de la puissance traversant une surface S perpendiculaire à la direction u de propagation ( S = Su ) est égale à : 2

∗ c 0 E0 1 ⎛E ∧ B ⎞ -S . 〈 〉 = 〈 P 〉 . S = --- e ⎜ ------------------⎟ . S = ------------------2 ⎝ 2 0 ⎠

Remarque Nous généralisons : l’expression de la valeur moyenne temporelle du produit 〈 A ( t )B ( t )〉 de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation au produit vec∗

toriel de deux vecteurs ( B ( t ) est le complexe conjugué de B ( t )).

138

Π surface S

.

3.6.3. Vecteur de Poynting moyen

1 〈 E ( t ) ∧ B ( t )〉 = --- e ( E ( t ) ∧ B ∗ ( t ) ) = 2 1 = --- e ( Em ∧ Bm e j ( 1 – 2

vecteur de Poynting

∗ 1 --- e ( E m ∧ B m ) 2 1 2 ) ) = -- E ∧ Bm cos ( 2 m

1

–

2)

.

Doc. 3. La puissance électromagnétique f traversant la surface S dans le sens de N est égale à f = P . N S .

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide 3.6.4. Vitesse de propagation de l’énergie Nous pouvons alors définir la vitesse ve de propagation de l’énergie en identifiant l’énergie moyenne traversant une surface S perpendiculaire à sa direction de propagation pendant la durée t, 〈 〉 S t, à l’énergie moyenne associée à l’onde contenue dans l’élément de volume S ( v e t ) (doc. 4).

soit :

Sv e t 〈 e〉 = 〈

S

〉S t ,

énergie Sveδt

〈 〉 v e = ----------- . 〈 e〉

u

Pour l’onde plane progressive monochromatique électromagnétique se propageant dans le vide, les expressions obtenues aux § 3.3.1 et 3.3.3 nous permetve = c . tent d’écrire : La vitesse c est la vitesse de propagation des ondes planes progressives monochromatiques électromagnétiques dans le vide. C’est aussi la vitesse de propagation de l’énergie associée à ces ondes.

Application

S entre les instants t et t + t est située, à l’instant t, dans le cylindre de base S et de longueur ve t .

3

Étude des caractéristiques d’un laser He-Ne Un laser He-Ne (de puissance moyenne d’émission 〈 〉 = 2 mW) émet un faisceau lumineux (supposé cylindrique et de rayon r = 0 ,75 mm) monochromatique (de longueur d’onde l = 632 ,6 nm) que l’on assimilera à une onde plane progressive monochromatique. 1) Calculer les valeurs numériques des normes des champs électrique E 0 et magnétique B 0 émis par ce laser. 2) Déterminer le nombre n de photons par unité de volume dans le faisceau (h = 6,62 . 10–34 J .s). 3) Déterminer le nombre N de photons par seconde émis par ce laser. 1) La puissance moyenne 〈 〉 émise par ce laser

vaut :

Doc. 4. Si l’énergie se déplace à la vitesse ve , l’énergie traversant la surface

E B 0 = -----0- = 6 ,16 . 10 – 6 T. c Ce champ est très faible (champ magnétique terreste ≈ 3 . 10 –5 T). et

2) Chaque photon a une énergie

= h . Si le faisceau est constitué de n photons par unité de volume, l’énergie moyenne traversant une section S = r 2 , pendant le temps t, correspond aux photons situés dans un cylindre de section S et de longueur c t, soit :


Nous écrivons donc :

transfert d’énergie < Π > Sδt

veδt

〈 〉 t = n ( Sc t ) h , 〈 〉l 〈 〉 - , ce qui donne : d’où n = ------------ = ----------------Sch r 2c2h n = 1 ,2 . 10 13 photons . m – 3 . 3) Le nombre de photons traversant une surface S

2 0E0

c 〈 〉 = -------------- ( r 2 ) . 2 Avec 〈 〉 = 2 mW, nous trouvons : E 0 = 1 ,85 V .

m– 1

pendant le temps t correspond aux photons situés dans un cylindre de section S et de longueur c t, soit : N t = n ( Sc t ),

d’où

N = nSc,

soit encore N = 6 ,37 . 10 15 photons . s – 1 .

139

Ondes

4

Po l ar i s at i on d e s on d e s é l ec t ro m a gn é ti qu e s

4.1. Représentation vectorielle d’une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) Considérons une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, de pulsation , se propageant dans le vide. Choisissons l’axe (Oz) parallèle à sa direction de propagation, son vecteur d’onde étant k = ---- e z . c Son champ électromagnétique, transverse, peut être représenté à l’aide de vecteurs parallèles au plan (xOy). Son champ électrique, désigné en notation complexe par : E = E0ej(

t–k . r)

a)

,

y

direction de la propagation de l’onde électromagnétique

peut aussi s’écrire, en notation réelle ( E z = 0 ) : Ex =

e( E0 xe j(

t – kz ) )

= E 0 x cos ( t – kz +

x)

Ey =

e( E0 ye j(

t – kz ) )

= E 0 y cos ( t – kz +

y)

où E 0 x et E 0 y sont des constantes positives (moyennant un bon choix des valeurs des phases x et y ). La donnée du champ électrique suffit à décrire l’état de l’onde puisque le champ magnétique, en phase avec le champ électrique, s’en déduit par la relak ∧E tion de structure B = -------------- , soit ( B z = 0 ) : E0y - cos ( t – kz + B x = – ------c E0x - cos ( t – kz + B y = + ------c

y)

.

x)

4.2. Description de la polarisation des ondes planes progressives monochromatiques Pour définir la polarisation d’une onde électromagnétique plane progressive harmonique on se place toujours dans un plan de cote z0 donné. 4.2.1. Polarisation rectiligne © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Considérons le cas très simple, où le vecteur champ électrique de l’onde garde au cours du temps une direction constante, que nous pouvons choisir colinéaire à l’axe (Ox). L’expression de ce champ est alors de la forme : E = E xex

avec

Ex =

e( E0 xe j(

t – kz ) )

4.2.2. Polarisation elliptique Observons, à z = z 0 fixé, l’évolution temporelle du champ électrique d’une onde plane progressive monochromatique, nous pouvons écrire (à un décalage temporel près) : E x = E 0 x cos ( t ) • en notation réelle : E y = E 0 y cos ( t – )

140

B ez plan de cote z0

k

z

b) y

B E

z

x

Doc. 5. « Observation » de la polarisation d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique : « l’expérimentateur reçoit la lumière ». Le vecteur d’onde k est tel que k = ke z avec k 0. a. L’œil regarde l’onde qui arrive vers lui. b. L’onde arrive vers nous. y

= E 0 x cos ( t – kz + f x ) .

Imaginons qu’un observateur réceptionne l’onde et observe (doc. 5), dans un plan d’abscisse z0 donnée, l’évolution du vecteur champ électrique. Pour le cas considéré, cet observateur voit simplement l’extrémité du champ électrique osciller le long de l’axe (Ox). Nous dirons alors que l’onde considérée possède une polarisation rectiligne (doc. 6).

x

E

B z

α

E x

Doc. 6. Champ électromagnétique d’une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement dans le cas où E n’est pas colinéaire à ( Ox ) : = cte dans tout plan de cote z0 , quel que soit t.

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide • en notation complexe :

E x = E0xe j

t

E y = E0 ye– j e j t où = x – y est le retard de phase de la composante E y du champ par rapport à sa composante E x . Par convention, on prendra toujours : ⎧E0x ⎨ ⎩E0y

y

0

E0y

0

L’extrémité du vecteur champ électrique se déplace, dans le plan (xOy), à l’intérieur d’un rectangle de côtés 2E 0 x et 2E 0 y , sur l’ellipse d’équation cartésienne :

A

E

x

E0x

E Ex ⎞ E E ⎛ ------- – 2 ⎛ -------x-⎞ ⎛ -------y-⎞ cos + ⎛ -------y-⎞ = sin2 . ⎝ E 0 y⎠ ⎝ E 0 x⎠ ⎝ E 0 x⎠ ⎝ E 0 y⎠

B

Le sens de parcours de l’ellipse (doc. 7) peut être déterminé en écrivant qu’à t = 0, au point A, lorsque E x = E 0 x est maximal, nous avons : E 0 y sin

E0x cosϕ

–E0x

2

2

dE y⎞ ⎛ -------= ⎝ dt ⎠ t = 0

E0y cosϕ

.

–E0y

Doc. 7. Polarisation elliptique. ⎛ Cas – ------- .⎞ ⎝ 2 2⎠

Le sens de rotation est donc indiqué par le signe de sin . L’observateur, qui réceptionne l’onde (attention à sa position d’observation, sur le document 5a), voit l’extrémité du vecteur champ électrique parcourir l’ellipse dans le sens trigonométrique si sin est positif : la polarisation est dite elliptique gauche. Cette onde a une hélicité positive (une « photo à un instant t » du champ électrique de l’onde présenterait l’aspect d’une hélice à base elliptique cf. la remarque à la fin du § 4.2.3). À l’inverse, si sin est négatif, la polarisation est dite elliptique droite. Cette onde a une hélicité négative. Les différents cas de polarisation elliptique envisageables sont résumés sur les documents 8 et 9. polarisations elliptiques droites (hélicité négative) ϕ = –π 2 y

–π <ϕ <0 2 y

y

x

x

x

x

ϕ =0

polarisations elliptiques gauches (hélicité positive)

polarisations rectilignes

ϕ=π 2 y

ϕ =±π

0<ϕ <π 2 y

x

π <ϕ <π 2 y

x


–π < ϕ < – π 2 y

polarisations rectilignes

y

x

x

Doc. 8. Polarisations elliptiques et rectilignes.

141

Ondes

polarisations elliptiques droites et rectilignes

y

x y

y

ϕ=π 2

elliptiques gauches x

x

π <ϕ <π 2

y

0<ϕ <π 2

rectilignes x

ϕ

ϕ =±π

π y –π < ϕ < – 2

y

ϕ =0

–π <ϕ <0 2

x

y

elliptiques droites x

x

ϕ = –π 2 y


x

Doc. 9. Polarisations elliptiques rectilignes en fonction du déphasage .

Nous remarquons sur les documents 8 et 9 que, dans les cas particuliers où = 0 et = + (ou – ), le champ électrique vu dans un plan z = z 0 oscille en gardant une direction fixe : la polarisation de l’onde est rectiligne. 4.2.3. Polarisation circulaire = – ---- ou = + ---- , les composantes E x et E y du champ électrique 2 2 observé sont en quadrature. Les axes de l’ellipse coïncident avec les axes (Ox) et (Oy) (doc. 8 et 9). Si

Si de plus les amplitudes E 0 x et E 0 y sont identiques, l’ellipse correspond à un cercle : la polarisation de l’onde est dite circulaire (doc. 10).

142

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide polarisations circulaires = ---2

y

y E0

E0

–E0

= – ---2

circulaire droite

E0

x

–E0

E0

–E0

–E0

notation réelle

notation réelle

E x = E 0 cos ( t )

E x = E 0 cos ( t )

E y = E 0 sin ( t )

E y = – E 0 sin ( t )

notation complexe E x = E0

notation complexe

ej t

E y = – jE x = – jE 0 e j

x

E x = E0 e j t

t

E y = jE x = jE 0 e j

1

t

–1

Doc. 10. Polarisations circulaires ( E 0 x = E 0 y = E 0 ).

Remarque La polarisation d’une onde est décrite par l’observation des évolutions du champ E de cette onde, dans un champ d’onde, de cote z = z 0 donnée ; intéressons nous au cas d’une onde circulaire droite, d’expression : E = E 0 cos ( t – kz )e x – E 0 sin ( t – kz )e y se propageant dans le sens des z croissants. À une date t donnée, cela donne la représentation suivante (doc. 11 et 12) une hélice droite (penser à la règle du tire-bouchon : en ramenant x suivant y on avance suivant z). Au cours du temps cette hélice se translate sans déformation dans le sens des z croissants : si on se place dans un plan de cote z = z 0 , le champ E ( z 0, t ) tourne dans le sens des aiguilles d’une montre : l’ordre est à polarisation circulaire droite car l’hélice est droite. a)

b)

z0

z polarisation circulaire droite

z0

z polarisation circulaire gauche

y

0,5 0 –0,5 –1

2

x 4

6

8

10

12 z

Doc. 11. Champ électrique d’une onde circulaire droite se propageant selon l’axe des z croissants à un instant t0 . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

circulaire gauche

Doc. 12a. Supposons que cette hélice représente l’extrémité du champ électrique, à une date t donnée en fonction de z ; lorsque le temps évolue, cette hélice se translate (nous sommes en présence d’une fonction de t – -z- ) ; c si on se place en plan de cote z 0 donnée, l’extrémité du champ électrique décrit une polarisation circulaire droite ; et inversement dans le cas b.

143

Ondes

Application

4

Décomposition d’une onde à polarisation rectiligne comme la superposition de deux ondes circulaires Le champ électrique d’une onde se propageant dans la direction (Oz) est donné par :

E E -----0- cos ( t – kz + ) + -----0- cos ( t – kz – ) 2 2 E = E E -----0- sin ( t – kz + ) – -----0- sin ( t – kz – ) 2 2 avec une onde circulaire gauche :

E x = E 0 cos cos ( t – kz )

E = E = E cos cos ( t – kz ) . y 0 E CG

Ez = 0 1) Quelle est la polarisation de cette onde ? Faire un schéma. 2) Décomposer cette onde en deux ondes à polarisations circulaires de sens opposés. 1) Le champ électrique E faisant un angle

constant avec l’axe (Ox), l’onde possède une polarisation rectiligne.

et une onde circulaire droite :

E CD

E + -----0- sin ( t – kz – ) 2 = . E0 – ------ sin ( t – kz – ) 2

En notation complexe, nous aurions :

y

E = E α

B

E -----0- cos ( t – kz + ) = 2 E -----0- sin ( t – kz + ) 2

x

z

Doc. 13. Champ électromagnétique d’une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement :

E 0 cos e j (

t – kz )

E 0 sin e j (

t – kz )

E -----0- e j e j ( t – kz ) = 2 + E 0 j j ( t – kz ) – j ------ e e 2

E -----0- e – j e j ( t – kz ) 2 . E 0 – j j ( t – kz ) j ------ e e 2

= cte.


2) Nous pouvons écrire le champ sous la forme suivante (en ne nous intéressant qu’aux composantes suivant x et y car celles suivant z sont nulles) :

onde circulaire gauche

onde circulaire droite

4.2.4. Cas de la lumière naturelle Pour la plupart des sources lumineuses classiques, la lumière émise correspond à une superposition d’O.P.P.M. de durées très courtes (de l’ordre de 10–10 s, mais n’oublions pas que la période de ces ondes lumineuses est de l’ordre de 10 –15 s) et de polarisation bien fixée pour chaque O.P.P.M. mais changeant de façon aléatoire entre deux ondes planes progressives monochromatiques. Les détecteurs optiques sont sensibles à la valeur moyenne dans le temps du carré du champ électrique sur des durées de l’ordre de 10 –2 s (œil) à 10–6 s (bonne cellule photoélectrique). Ils ne peuvent donc pas suivre la polarisation d’une des O.P.P.M. dont la succession forme la lumière visible : on dit que la lumière naturelle n’est pas polarisée.

144

Les processus d’interaction entre lumière et matière peuvent privilégier certains états de polarisation, provoquant la polarisation partielle ou totale de la lumière observée. Nous étudierons quelques cas de ce type au chapitre 6 et dans l’ouvrage, H-Prépa, Optique ondulatoire, 2 de année, où un chapitre est consacré à la polarisation des ondes lumineuses.


CQFR ●

PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

• Le couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs électrique et magnétique est à l’origine du phénomène de propagation des signaux électromagnétiques. Dans le vide, cette propagation est décrite par l’équation de d’Alembert (à trois dimensions) : 1 ∂2E 1 ∂2 B - = 0 et ΔB – ----2- --------- = 0, ΔE – ----2- --------2 c ∂t c ∂t 2 1 où la vitesse c caractéristique de cette propagation est c = ---------------- . 0

0

• Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse c, quelle que soit leur fréquence, et dans tous les référentiels galiléens. La vitesse c est aussi la vitesse de propagation de l’énergie associée à ces ondes. ●

ONDES PLANES ÉLECTROMAGNÉTIQUES

L’expression générale des champs électrique et magnétique d’une onde plane élecromagnétique dans le vide se propageant parallèlement à un vecteur unitaire u est : u.r u.r E ( r, t ) = E + ⎛ t – ---------- ⎞ + E – ⎛ t + ---------- ⎞ ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠

et

u.r u.r B ( r, t ) = B + ⎛ t – ---------- ⎞ + B – ⎛ t – ---------- ⎞ . ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠

Des relations lient E + et B + d’une part et E – et B – d’autre part. Les vecteurs E + , E – , B + et B – sont orthogonaux à u : le champs électromagnétique est dit transverse. ●

ONDES PLANES PROGRESSIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES

Le champ électromagnétique d’une onde plane progressive, qui se propage dans le vide à la vitesse c dans la direction du vecteur unitaire u , est transverse : et

u .E = 0

u .B = 0.

Le champ magnétique de l’onde est lié à son champ électrique par la relation de structure : u ∧E B = --------------- , c

ou

E = – cu ∧ B . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les champs électrique E et magnétiques B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation : le trièdre ( E , B , u ) est trirectangle et direct. ●

ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES

• Relation de dispersion 2

sont liés par la relation de dispersion k 2 = -----2- . c • Relation de structure Le champ magnétique d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, de pulsation

k et

k ∧E et vecteur d’onde k , est lié au champ électrique par la relation de structure : B = -------------- , valable dans le vide et dans les milieux matériels.

145

Ondes

CQFR Le trièdre ( E , B , k ) d’une onde plane progressive monochromatique dans le vide est trirectangle et direct. • Polarisation L’état de polarisation le plus général d’une onde plane progressive monochromatique correspond à une polarisation elliptique. Les états de polarisation rectilignes, circulaires gauche ou droite, en sont des cas particuliers remarquables.

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Établir les équations de propagation des champs E et B dans le vide à partir des équations de Maxwell. ✔ Qu’est-ce qu’une onde plane ? ✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert pour des ondes électromagnétiques planes ? ✔ Donner la structure des ondes électromagnétiques planes progressives. ✔ Qu’appelle-t-on polarisation des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques ? ✔ Comment obtenir une polarisation circulaire droite ? ✔ Quelle est la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique dans le vide ? À quelle vitesse se propage l’énergie ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)


1. Le champ électrique, solution de l’équation de d’Alembert s’écrit toujours : u .r u .r E = E + ⎛ t – --------------⎞ + E – ⎛ t + --------------⎞ ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ ❑ Vrai

❑ Faux

2. Une onde plane progressive est telle que : u ∧E B = --------------- . c ❑ Vrai

❑ Faux

3. Toute onde régressive est telle que : u′ŸE′ B ′ = -----------------c ❑ Vrai

146

4. La superposition des deux ondes planes progressives dans deux directions différentes est une onde plane. ❑ Vrai

5. Lorsque le déphasage entre les deux composantes orthogonales du champ électrique d’une onde électromagnétique plane progresπ sive est ± − , la polarisation est circulaire. 2 ❑ Vrai

❑ Faux

6. La polarisation peut être rectiligne sans que l’onde soit monochromatique. ❑ Vrai

❑ Faux

❑ Faux

❑ Faux Solution, page 149.

Exercices Superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques

Propagation d’une onde transverse dans un câble coaxial

Une onde plane progressive monochromatique électromagnétique de pulsation se propage dans le vide. Son vecteur d’onde est :

La propagation d’ondes électriques dans une ligne a été étudiée au chapitre 3. On rappelle les expressions des capacité et inductance linéiques d’un câble coaxial dont l’âme et la gaine ont pour rayons respectifs a et b : b 2 = ---------- et = ------0- ln --- , où = 0 r est la 2 a b ln --a permittivité diélectrique du manchon isolant en polyéthylène séparant les deux conducteurs.

Elle est polarisée rectilignement, le champ E étant parallèle à ( Oy ) : E 1 = E 0 cos ( t – k 1 . r )e y . 1) Représenter graphiquement cette onde. Que vaut k 1 ? Quel est le champ magnétique associé à cette onde ? 2) Une deuxième onde, de mêmes fréquence, amplitude et polarisation, dont le vecteur d’onde est :

âme

Réception d’ondes électromagnétiques par un cadre « fermé » Un émetteur de puissance moyenne m = 3 kW émet des ondes électromagnétiques monochromatiques de fréquence = 1 MHz de manière isotrope dans tout l’espace. À une distance r = 50 km N = 100 spires de l’émetteur (à cette distance, on admettra que A l’onde a localement la B structure d’une onde plane progressive à polarisation a = 20 cm rectiligne), on place un cadre de réception plan carré de côté a = 20 cm sur lequel on a enroulé N = 100 spires de fil conducteur. Soit U la f.e.m. qui apparaît aux bornes A et B du cadre en circuit ouvert. Ces deux bornes sont supposées très proches l’une de l’autre (quelques millimètres). On cherche à obtenir une valeur efficace U eff de la f.e.m. U la plus grande possible : déterminer l’orientation du cadre ainsi que la valeur correspondante de U eff . c = 3 . 10 8 m . s – 1 Données : et . 10 – 7 H . m – 1 . 0 = 4

I (z + dz, t)

Λdz V(z, t)

k 2 = k 2 ( cos e x – sin e z ), est superposée à la première. Ces deux ondes sont en phase à l’origine du système de coordonnées cartésiennes utilisé. Représenter graphiquement cette onde. 3) Exprimer les champs électrique et magnétique de l’onde globale. La superposition des deux ondes planes progressives monochromatiques est-elle une onde plane progressive monochromatique ?

I (z, t)

Γ dz

V(z + dz, t)

gaine z′

z

1) Rappeler les équations de couplage et de propagation vérifiées par le courant I ( z, t ) et la tension V ( z, t ). Quelle est la célérité v des ondes se propageant dans la ligne électrique ?

b

–I

a +I

z

2) Quelle est, en notation complexe, la forme générale des solutions I ( z, t ) et V ( z, t ) de ces équations ? On se propose de retrouver ces résultats par une approche électromagnétique, en admettant le caractère transverse des ondes étudiées : les champs électrique et magnétique, se propageant dans la direction de l’axe ( Oz ), sont perpendiculaires à celui-ci. On utilisera les coordonnées cylindriques. 3) On admettra que le champ électrique de l’onde, pour a r b, s’écrit en notation complexe : E ( r , , z, t ) = E ( r , z ) e j t e r . Commenter ce choix. 4) Montrer que le champ magnétique associé à l’onde est, dans l’espace interarmatures du câble, de la forme : B ( r , , z, t ) = B ( r , z ) e e

j t,

en précisant la valeur de :

B ( r, z ) en fonction de E ( r, z ) ou de ses dérivées.

147


k 1 = k 1 ( cos e x + sin e z ).

Exercices 5) Relier le champ B au courant I ( z, t ) circulant dans l’âme du câble.

gravitation G = 6 ,67 .

10 – 11

10 30

kg – 1

.

constante m3

s– 2

.

7) Ces relations permettent-elles de retrouver la description de la propagation à l’aide des fonctions I ( z, t ) et V ( z, t ) ?

Cette étude permet-elle de d’expliquer pourquoi le queue comète nuage gazeux, appelé queue, qui accompagne comète une comète est derrière la comète quand celle-ci s’approche du Soleil et Soleil devant lorsqu’elle s’en éloigne ? Chacun d’entre nous aura pu le vérifier en observant la comète Hale-Bopp en avril 1997.

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normale sur un métal « parfaitement » conducteur induit une pression de radiation P dont la valeur moyenne 〈 P 〉 est reliée à la densité moyenne d’énergie de l’onde incidente 〈 e i〉 par 〈 P 〉 = 2 〈 e i〉 . On se propose de retrouver ce résultat, puis de le généraliser, en utilisant une théorie corpusculaire. 1) À l’onde incidente, onde plane progressive monochromatique de fréquence , se propageant dans la direction et le sens de l’axe ( Ox ), on associe un faisceau de photons se propageant évidemment à la vitesse c, parallèlement à l’axe ( Ox ). On rappelle qu’un photon de fréquence possède une énergie h et une quantité de h mouvement de norme p = ------ (h désignant la constante de c Planck). a) Quelle densité particulaire n de photons peut-on attribuer à l’onde incidente ? Exprimer n en fonction de 〈 e i 〉 , h et . b) Retrouver la relation 〈 P〉 = 2 〈 e i 〉 en considérant des collisions parfaitement élastiques des photons sur la paroi métallique. 2) Proposer une généralisation de l’expression de la valeur moyenne de la pression de radiation dans le cas d’une incidence oblique sous un angle sur la surface réfléchissante. 3) Évaluer la force subie par une petite particule réfléchissante, assimilée à une sphère de rayon a, placée dans un tel faisceau lumineux. 4) Cette particule, de masse volumique , est située à une distance r du centre du Soleil. Calculer le rayon limite a 0 pour lequel la force de radiation, due au rayonnement solaire, équilibre l’attraction gravitationnelle due au Soleil.

rayonnée par le Soleil 〈

*

de

; masse

du Soleil M = 2 .

Onde électromagnétique et photons Orientation de la queue des comètes


= 3 . 10 3 kg . m – 3 ;

6) Établir l’équation différentielle vérifiée par la fonction E ( r, z ), ainsi que la forme générale de ses solutions.

8) Calculer la puissance instantanée transportée par l’onde électromagnétique à travers une section d’abscisse z du manchon diélectrique. Interpréter le résultat obtenu.

148

Données :

kg ; puissance moyenne totale S〉

= 4 . 10 26 W .

Étude d’un faisceau laser

Un fin faisceau laser est mal représenté par une onde plane, nécessairement d’extension transverse infinie dans l’espace libre. On se propose de chercher une approximation de l’équation de propagation convenant mieux à l’étude particulière d’ondes lumineuses conservant une direction proche de l’axe ( Oz ), et d’extension transverse finie. Comme l’onde est essentiellement dirigée selon l’axe ( Oz ), on écrit le champ électrique sous la forme : E ( x, y, z, t ) = u ( x, y, z ) e j (

t – kz ) e

y

,

où k est égal à ---- . c 1) En supposant que la variation de u selon z est très petite devant les variations selon x et y et aussi qu’elle varie peu sur une longueur d’onde, montrer que u satisfait à l’équation : 2u 2u u (1) -------2- + -------2- – 2 jk ------ = 0 z x y 2) Soit une onde sphérique émise du point de l’axe d’abscisse z = 0. a) Donner l’expression exacte de l’amplitude complexe u s de l’onde en fonction de x, y et z.

b) Que devient cette expression dans l’approximation z x , y ? On notera u s′ cette amplitude approchée. c) Montrer que u s′ est solution de l’équation (1). 3) On cherche une solution plus générale de l’équation (1) sous une forme inspirée de celle de l’onde sphérique : u ( x, y, z ) = A ( z ) e

x2 + y2 – jk ---------------2q ( z )

,

où A et q sont deux fonctions (a priori complexes) de z.


a) Montrer que l’équation (1) implique que q et A sont de la forme : q0 -. q ( z ) = q 0 + z et A ( z ) = A 0 --------q(z) b) On suppose qu’en z = 0, u est de la forme : u ( x, y, 0 ) = A 0 e

x2 + y2 – ---------------2 a0

avec a 0 constante réelle donnée.

Mettre l’amplitude sous la forme : 2 ⎞ – 1 - e u ( x, y, z ) = u 0 ⎛ ----------- – j --------------2 ⎝ R(z) ka ( z )⎠

x2 + y2 jk ---------------2R ( z )

x2 + y2 – ---------------e a2 ( z )

et exprimer les fonctions réelles R ( z ) et a ( z ). Une telle solution est appelée un faisceau gaussien. c) Que représente a ( z ) ? Représenter a ( z ) pour z 0. Montrer que, à une distance suffisante de l’origine, le faisceau lumineux peut être considéré comme conique. Calculer le demi-angle au sommet de ce cône pour = 632 ,8 mm et a 0 = 0 ,3 mm. d) Que représente R ( z ) ? Pour quelle valeur z 0 de z, R est-il minimum ? Calculer les valeurs numériques de z 0 et de R min en reprenant les valeurs de et de a 0 de la question 3) c).

Corrigés z sin x cos E = 2E 0 cos ⎛ ------------------⎞ cos ⎛ ⎛ t – ---------------⎞ ⎞ e y ⎝ c ⎠ ⎝ ⎝ c ⎠⎠ 2E 0 z sin x cos B = -------- – sin ⎛ ⎛ t – ---------------⎞ ⎞ sin ⎛ ------------------⎞ sin ⎝ ⎝ ⎝ c ⎠ c c ⎠⎠

Solution du tac au tac, page 146 1. Faux ; 2. Vrai ; 3. Vrai ; 4. Faux ; 5. Faux ; 6. Vrai.

+ cos ⎛ ⎝

ex

z sin x cos ⎞ ⎞ ⎛ t – -------------- cos ⎛ ------------------⎞ cos e z . ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠⎠

L’onde globale se propage donc dans la direction x, E est transverse dans

vide, et la relation de dispersion est k 1 = ---- . c Lechampmagnétiquedecetteondeplanes’obtientparlarelationdestructure:

un plan x = cte, E′ (et B′ ) dépend de z, donc l’onde n’est pas plane. B possède une composante dans la direction de propagation. La vitesse de c propagation de cette onde sinusoïdale est ----------- . cos Remarque : c’est l’onde TE qui existe dans un guide d’onde plan-plan (cf. chapitre 8).

(cos e x + sin e z ) ∧ E 1 -, B 1 = ----------------------------------------------------c E soit B 1 = -----0 ( – sin e x + cos e z ) cos ⎛ ⎝ c ce qu’on vérifie sur le schéma ci-dessus.

x cos + z sin ⎞ ⎞ ⎛ t – ----------------------------------- , ⎝ ⎠⎠ c

z

2) On a de même k 2 = ---- ; le champ électromagnétique de la deuxième c onde plane progressive monochromatique est : E 2 = E 0 cos ⎛ ⎝

B1

x cos – z sin ⎞ ⎞ ⎛ t – ----------------------------------, ⎝ ⎠⎠ c

ce que l’on vérifie à nouveau sur le schéma ci-dessous. 3) Pour les deux ondes superposées, on a un champ total :

E1 = E0 ey

B2 α

x cos – z sin ⎞ ⎞ ⎛ t – ----------------------------------e ⎝ ⎠⎠ y c

E B 2 = -----0 ( sin e x + cos e z ) cos ⎛ ⎝ c


1) L’onde plane progressive monochromatique se propage dans le

M

y

0

k1

α

k2 E2 = E0 ey x

149

Corrigés m

représente le flux de la valeur moyenne 〈

〉 = 〈 P 〉 e r du

vecteur de Poynting à travers toute sphère de rayon r centrée sur l’émetteur O (on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie entre l’émetteur et l’endroit où se trouve le cadre). Sachant que 〈 〉 ne dépend que de r (rayonnement isotrope par hypothèse), il vient : m

= 〈 P 〉 4 r2 .

O

P

r

A

E

M

M

B

B

r→x

P

cadre

On examine les ordres de grandeur : la longueur d’onde l de l’onde électromagnétique est égale à l = ---c- = 300 m . Les dimensions du cadre étant de a = 20 cm, on a bien a

l.

La réception par le cadre est la meilleure possible si celui-ci est orienté perpendiculairement au champ B de l’onde, puisqu’alors le flux de B dans le cadre est maximal. On applique la loi de Faraday. Sachant que le champ B , de la forme : B = B 0 cos ( t – kx ) , peut être supposé uniforme sur toute la surface --- a ≈ 4 . 10 – 3 est très petit), il vient : c d dB u ( t ) = – ------- ≈ – s ------ = Na 2 B 0 sin ( t – kx) dt dt 1 U eff = ------ Na 2 B 0 = 2 Na 2 B 0 . et 2 Il reste à écrire la relation entre 〈 〉 et B 0 , soit : du cadre (en effet ka = 2


〈

Na 2

1) Les équations de couplage sont : I V V I ----- = – ------ et ------ = – ----- . t z t z Les équations de propagation s’en déduisent : 2I 2V 2I 2V ------2- = 0 et ---------------2 = 0 . -------2 – – t t z z2 La propagation est caractérisée par la vitesse : 1 1 c 1 v = ------------ = ------------- = -------------------- = -------0

0 0 r

150

t – kz)

t + kz)

– I 0′ e j(

1 ---- = ------2

= I(z)e j

t + kz)

)

).

t

b ------0 ln - . a

B 4) L’équation de Maxwell-Faraday rot E = – ------- , intégrée à un champ t 1 statiqueprèsquin’estpasliéàl’ondequisepropage,donne B = – ----- rot E . j rot (E(r, z )e j t e r ) = grad (E(r, z )e j t ) ∧ e r + E (r, z )e j t rot ( e r ) , E avec rot ( e r ) = rot (grad (r)) = 0 , d’où : rot (E ) = ------ e j t e . z 1 E Par identification, on en déduit B(r, z ) = – ----- ------ . z j

5) Pour relier le courant circulant dans l’âme au champ magnétique, on applique le théorème d’Ampère généralisé : E ------ . dS , t en choisissant comme contour un cercle d’axe (Oz), de rayon r compris entre 0 I(z) -. a et b. Il vient 2 rB(r, z )e j t = 0 I(z, t ), soit B(r, z ) = -------------2 r 6) Dans un diélectrique linéaire de permittivité , l’équation de Maxwell-

°∫ B . dr

=

∫∫

S(C)

0

0

j . dS +

∫∫

0

S(C)

E ------- . t

⎛e ⎞ En coordonnées cylindriques, il vient (car rot ⎜ ----⎟ = 0 ) : ⎝ r⎠ ⎛ ⎞ e B 1 rot B = rot ⎜ rB ( r, z ) ----⎟ = ⎛ – ------ e r + -- ----- ( rB ) e z⎞ e j t , ⎝ z ⎠ ⎝ r⎠ 2 r B j t 1 2E j t soit, d’après la question 5) : rot B = – ------ e e r = ----- --------2 e e r . j z z 2 E(r, z) 2 On en déduit ------------------- = – -----2- E(r, z) , cette équation étant aussi v z2 j B I j vérifiée par B(r, z) et I(z) avec E = ------------- ------ = -------------- ----- . 2 z z 0 Les solutions, compatibles avec les équations couplant ces trois fonctions,

I(z, t ) = I 0 e j( 0

, on

t

= V(z)e j

sont de la forme avec ⎛ avec k = ----⎞ : ⎝ v⎠

r

(qui n’est pas la vitesse de la lumière dans le vide, car diffère de

+ I 0′e j(

t

3) La solution proposée est en accord avec la modélisation du transport de signal électrique par le câble par une distribution de charges et de courants à symétrie de révolution. Le champ électrique proposé est bien transverse et appartient aux plans de symétrie, contenant l’axe (Oz), lié à cette description.

Ampère s’écrit rot B =

2 m ---------0 ---------- , d’où : U eff = 0 ,5 mV . c 4 r2 Un calcul direct de e à partir de la circulation du champ électrique de l’onde est également possible. 2

t – kz)

V(r, z, t) = Z c ( I 0 e j (

C

c 2 c 2 〉 = -------0 E 0 = --------- B 0 pour en déduire : 2 2 0

U eff =

I(r, z, t) = I 0 e j(

avec k = ---- et Z c = v

agrandissement

r

2) Cherchant des solutions complexes proportionnelles à e j 2I 2 obtient par exemple -------2 = – -----2- I . v z Les solutions des équations couplées prennent alors la forme :

t – kz )

0 - ( I e j( B (r, z, t ) = -------2 r 0

+ I 0′ e j(

t – kz )

t + kz )

+ I 0′ e j(

t + kz )

)e


7) Le champ électrique est de la forme : 1 E (r, z, t ) = – grad ⎛ ------⎝2

b ------0 ln ⎛ - ⎞ ⎞ ( I0 e j( ⎝ r⎠ ⎠

t – kz )

– I 0′ e j(

t + kz )

) er .

De sorte qu’en notant V(z, t) la circulation du champ électrique de r = b (masse) à r = a (âme), dans un plan z = cte , on retrouve : V(z, t) = Z c ( I0 e j( t – kz ) – I 0′ e j( t + kz ) ) et la description de la ligne proposée au chapitre 3 ( Z c désignant l’impédance caractéristique de la ligne).

S

photon réfléchi

ex

photon incident

8) Pour calculer la valeur instantanée du vecteur de Poynting, on revient aux notations réelles, de la forme : V(z, t) = Z c ( I1 cos ( t – kz + 0 I(z, t) -e B (r, z, t) = -----------------2 r

Le vecteur de Poynting est donc :

et

1)

+ I 2 cos ( t + kz +

1)

– I 2 cos ( t + kz +

2) 2)

)

V(z, t) E (r, z, t) = -------------- e r . b r ln a

V(z, t) I(z, t) E ∧B (r, z, t) = -------------- = --------------------------- e z . b 0 2 r 2 ln a Son flux à travers une section droite (entre les cercles de rayons a et b) d’abscisse z du câble coaxial vaut : b

V(z, t) I(z, t) --------------------------- 2 r dr = V(z, t) I(z, t) . b 2 r 2 ln section a Pour cette écriture, l’interprétation du résultat en termes de puissance électrique transportée par le câble est naturelle. =

∫∫

(r, z, t) . dS =

∫

r=a

〈 ei 〉 -. 1) a) On a directement n = -------h b) On considère l’onde incidente, faisceau de photons de vitesse c qui viennent se réfléchir sur une surface S du matériau réfléchissant. Chaque photon incident arrive sur la paroi avec une quantité de mouvement hv p i = ----- e x = pe x ; il s’y réfléchit sans perte d’énergie (choc parfaitement c élastique), donc sans changement de fréquence et repart avec une quantité de mouvement p r = – pe x . Par suite, le photon transfère au miroir une quantité de mouvement égale à – (p r – p i ) = 2pe x (selon la loi de l’action et de la réaction). Le nombre de photons rebondissant sur la paroi pendant l’intervalle de temps dt est dN = nSc dt (à l’instant t, ces photons se trouvent en effet dans le cylindre de section S et de longueur c dt). Les collisions de ces photons induisent donc sur la paroi une force F , donnée par F dt = dN 2pe x , soit F = 2nSh e x , de la forme F = 〈 P 〉 Se x avec 〈 P 〉 = 2nh . On retrouve bien 〈 P〉 = 2 〈 e i 〉 .

2) Dans le cas d’une incidence oblique, on doit modifier dN = n(S cos ) c dt et – (p r – p i ) = 2p cos e x , et la pression de 〈 P′ 〉 = 〈 P〉 cos 2 . radiation devient :

3) On travaille en coordonnées sphériques d’axe (Ox). La force élémentaire exercée sur un élément de sphère vu depuis O sous l’angle = sin d d est dF = – ( 〈 P〉 cos 2 )(a 2 d

solide d

) er .

La force subie par la bille de rayon a est donc sans oublier de projeter sur e x : F =

∫

---2 =0

∫

2 =0

⎛ dF = 2 a2 〈 P 〉 ⎜ ⎝

∫

---2 =0

⎞ sin cos 3 d ⎟ e x ⎠

a2 = -------- 〈 P 〉 e x . 2

faisceau incident ex

O er

θ photon incident

θ

photon réfléchi

a2 4) Il faut comparer la force pressante 〈 P〉 -------- (qui donne un ordre de 2 grandeur de la poussée exercée par le rayonnement, même si les poussières ne sont pas des réflecteurs métalliques) et la norme de la force de gravitation due au Soleil : GM ⎛ 4 3 ⎞ -------- -- a . ⎠ r2 ⎝ 3 Or la puissance 〈 S〉 rayonnée par le Soleil correspond au flux du vecteur de Poynting moyen à travers une sphère de rayon r, soit : 〈

S〉

= 4 r2 〈

〉 = 4 r 2 c 〈 e i 〉 = 2 r 2 c 〈 P〉 .

〈 S〉 a 02 GM ⎛ 4 - -- a 03 ⎞ = ------------ --------- , d’où : Les deux forces sont égales si -------2 ⎝ ⎠ 3 r 2 r2c 2 3 〈 S〉 a 0 = ------------------------ ≈ 0 ,2 m . 16 GM c

151


I(z, t) = I 1 cos ( t – kz +

Corrigés 〈 S〉 a 02 GM ⎛ 4 - -- a 03 ⎞ = ------------ --------- , d’où : Les deux forces sont égales si -------2 ⎝ ⎠ 3 r 2 r2c 2 3 〈 S〉 a 0 = ------------------------ ≈ 0 ,2 m . 16 GM c

dq ----- = 1 , dz

L’influence de la pression de radiation l’emporte sur l’attraction gravitationnelle pour des particules de rayon inférieur à la valeur a 0 . La « queue » d’une comète est constituée de particules de très petite taille et le rayonnement solaire est capable de refouler celle-ci, ce qui explique son orientation.

( A 0 constante).

1) Le champ satisfait à l’équation de propagation de d’Alembert, d’où :

Avec

k = ---c

2u

2u

2u -------2z

et en supposant

négligeable devant

u u 2 u k ------ = ------- ------ , il vient : -------2- + -------2- – 2jk ------ = 0 z z z x y 2u

2u

(1)

2) a) On a vu chapitre 4 (Application 2) qu’une onde sphérique, divergente à partir

dupointO,possèdeuneamplitudedelaforme (avec r = OM = x 2 + y 2 + z 2 ) : 1 r E(x, y, z, t) = -- f ⎛ t – -⎞ , r ⎝ c⎠

t – kr)

= u s e j(

t – kz)

avec

( q 0 constante)

A0 q0 A0 q0 1 dA 1 1 --- ------ = – -- = – ------------ , d’où, en intégrant, A = -----------= --------A dz q q0 + z q(z) q0 + z

1 k b) En z = 0, on doit avoir – j ------- (x 2 + y 2 ) = – ----2 (x 2 + y 2 ) , d’où : 2q 0 a0 k q 0 = j -- a 02 = jq 1 en posant 2 Par suite, on peut écrire u sous la forme :

k q 1 = -- a 02 2

(réel).

et on obtient bien l’expression proposée en posant : q2 2(q 21 + z 2 ) 4z 2 ⎞ - . - = a 20 ⎛ 1 + --------u 0 = j A 0 q 1 , R(z) = z + ----1 , a 2 (z) = --------------------⎝ z kq 1 k 2 a 04⎠ x2 + y2 - ; a(z) c) L’amplitude de l’onde varie « latéralement » en exp – -------------a 2 (z) caractérise en quelque sorte le rayon du faisceau lumineux à l’abscisse z. Le schéma ci-dessous représente l’allure de ce « rayon » en fonction de z.

soit, pour une onde monochromatique, et en notation complexe : A E = --- e j( r

q = q0 + z

⎛ k x 2 + y 2⎞ ⎛ 1 q1 ⎞ k x2 + y2 -⎟ exp ⎜ – j -- ---------------⎟ exp ⎛ – -- q 1 ---------------⎞ u = jA 0 q 1 ⎜ ------------2- – j -------------⎝ 2 q 2 + z 2⎠ ⎜ 2 ⎜ q2 ⎟ q 21 + z 2⎟ q 1 ⎜ ⎜ z + ----1 ⎟ z + ----1 ⎟ z ⎠ z ⎝ ⎝ ⎠

2 u -------2- + -------2- + -------2- – 2jk ------ – k 2 u = – -----2- u . z c x y z 2u

d’où, en intégrant,

a

A u s = --- e jk(z – r) . r

asymptote de pente 2 = ka0 a0

b) Si z est très grand, on peut faire les approximations :


• r ≈ z au dénominateur ; 1 x2 + y2 ⎞ - dans la phase ; on tient compte ici des termes du • r ≈ z ⎛ 1 + -- --------------⎝ 2 z2 ⎠ x2 y2 2 second ordre ---2- , ---2- , car kr = ------- r et la longueur d’onde l émise par l z z x2 + y2

A – jk -------------2z . le laser est petite (de l’ordre du m), d’où u s ≈ u s′ = --- e z

c) On peut vérifier que x2 + y2

A – jk -------------2z estsolution u s′ = --- e z de l’équation (1).

3) a) Enintroduisantlafonction proposée dans l’équation (1), on trouve :

surface d’onde

M z

O

dq k2 ----2 ⎛ 1 – -----⎞ (x 2 + y 2 ) + 2jk dz⎠ q ⎝

dA 1⎞ ⎛ --1- ----- + -- = 0 , ⎝ A dz q⎠

qui doit être vérifiée quels que soient x et y ; on en déduit :

152

a0 O

θ z

Pour z assez grand, le faisceau lumineux est à peu près conique de demil angle au sommet ≈ tan = -------- , soit = 6 ,7 . 10 – 4 rad. Ce faisceau a0 reste très fin.

d) S’il n’y avait pas de terme en a 2 (z), l’onde étudiée serait une onde q2 sphérique (u ressemble à l’amplitude u s′ de 2)b)) et R(z) = z + ----1 serait z en quelque sorte le rayon de courbure de cette onde. On note que R(z) est infini en z = 0. Pour z 0 = q 1 , R passe par une valeur minimale : 2 a2 R min = 2q 1 = ka 02 = -----------0- , soit z 0 = 0 ,45 m et R min = 0 ,89 m. l

Rayonnement dipolaire électrique PC-MP

6

Le modèle proposé, celui d’un dipôle rayonnant, correspond souvent à l’essentiel du rayonnement émis par des atomes. Le rayonnement des antennes radio émettrices peut aussi être décrit comme celui de dipôles rayonnants répartis le long de l’antenne.


Ayant étudié au chapitre 5 la propagation des ondes électromagnétiques, nous nous intéressons maintenant à une source de rayonnement électromagnétique. ■ Rayonnement électromagnétique d’un dipôle oscillant. ■ Illustrations des résultats obtenus.

Ces aspects nous montrent l’intérêt de l’étude du rayonnement dipolaire. La démonstration proposée ici, quoique élémentaire, nous montrera que l’étude des solutions des équations de Maxwell peut rapidement devenir ardue. Nous nous attacherons à dégager l’essentiel des résultats établis et à en préciser certains aspects pratiques.

■ Équations de Maxwell. ■ Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide.

153

Ondes

1

C h amp é l e ctrom a g n é ti q u e d’ u n dipô l e é l e ctriqu e va ri abl e

a)

1.1. Bases du calcul 1.1.1. Modélisation de la source de rayonnement

A–

L’image classique élémentaire d’un atome d’hydrogène consiste en un électron quasi ponctuel, de charge – q ( q = e ), gravitant autour d’un proton quasiment fixe. Le moment dipolaire instantané de cet atome est p ( t ) = qd ( t ), où d ( t ) désigne la position relative du noyau par rapport à l’électron (doc. 1a). Plus généralement, un atome ou une molécule peuvent présenter une séparation de charges : les barycentres A des charges positives et A des charges négatives, de charges respectives + q et – q, sont séparés. Il existe alors un moment dipolaire instantané p ( t ) = qd ( t ), avec d ( t ) = A – A + ( t ) (doc. 1b). Dans le cas d’une répartition discrète de charges qi aux points Mi

∑i qi = 0⎞⎠ , p

=

+q

b)

1.1.1.1. Dipôle élémentaire

neutre ⎛ ⎝

d –q

∑i qi OMi indépendant du point O arbitraire.

d

A+

c) –q(t) O

d

q(t) A

Doc. 1. Dipôle.

a. Représentation élémentaire. b. Entité polarisée. c. Extension.

1.1.1.2. Extension de la notation : p ( t ) Un moment dipolaire instantané peut aussi être représenté par un doublet de charges fixes mais variables (doc. 1c) pour lesquelles nous noterons : p ( t ) = q ( t )d . dq Il existe alors un courant électrique i = ------ entre les deux charges. Mettant un dt grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, nous pourrons alors modéliser un conducteur fin parcouru par un courant variable, c’est-àdire une antenne. Par la suite, nous désignerons la source de rayonnement par son moment dipolaire p ( t ) , sans plus de référence à sa nature précise. 1.1.2. Position du problème © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous voulons déterminer le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle, donc résoudre les équations de Maxwell.

Application

1

Ondes électromagnétiques sphériques Nous cherchons à résoudre en ondes sphériques l’équation de d’Alembert vectorielle et bien sûr tridimensionnelle concernant le champ électrique E . 1) Rappeler ce qu’est par définition une onde sphérique. 2) Déterminer les trois équations aux dérivées

154

partielles vérifiées par les trois composantes du champ électrique. 3) Résoudre ces équations en utilisant les résultats établis dans le chapitre 2. En utilisant la relation de Maxwell-Gauss et 1 l’Annexe, montrer que Er décroît en ----2- . r

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) 4) On ne s’intéresse qu’aux ondes progressives. Montrer qu’à grande distance cette onde est transverse électrique. Déterminer le champ magnétique associé. Que peut-on dire finalement de la structure de cette onde sphérique à grande distance ? Est-ce étonnant ? Données : Dans un champ : E ( r, t ) = E r ( r, t )e r + E ( r, t )e + E ( r, t )e e r , e , e étant les vecteurs unitaires d’un système de coordonnées sphériques, on a :

1 ∂2 0 – ----2- -------2 ( E r ) = 0 c ∂t d’où en intégrant partiellement par rapport au temps E r = f 3 ( r )t + g 3 ( r ). Le champ ne se propage pas. Er ne pouvant être infini, f 3 ( r ) = 0. divE = 0 donne : 1 ∂ A ----2 ------ ( r 2 E r ) = 0, soit E r = ----2- . r ∂r r Le champ décroît beaucoup plus vite que E et E ,

1∂ divE = --- ----- ( r 2 E r ) r ∂r 1∂ 1∂ rot E = – --- ----- ( rE )e + --- ----- ( rE )e ; r ∂r r ∂r 2 1∂ 1 ∂2 ΔE = --- -------2- ( rE )e + --- -------2- ( rE )e . r ∂r r ∂r

avec r ; rappelons que ce champ ne se propage pas. 4) Ainsi, à assez grande distance, pour une onde pro-

gressive se propageant dans le sens des r croissants :

pour B . 2) et 3) Nous avons :

donne

1 ∂2 1 1 ∂2 --- -------2- ( rE ) – ----2- --- -------2 ( rE ) = 0 r ∂r c r ∂t ou encore : ∂2 1 ∂2 -------2- ( rE ) – ----2- -------2 ( rE ) = 0 ∂r c ∂t d’où la solution : 1 r r E = --- f 1 ⎛ t – --⎞ + g 1 ⎛ t + --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ r comme nous l’avons déjà vu (chapitres 2 et 4). Nous obtenons de même : 1 r r E = --- f 2 ⎛ t – --⎞ + g 2 ⎛ t + --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ r

⎧ ≈0 ⎪ ⎪ 1 ⎛ r⎞ ⎪ --- f 1 ⎝ t – --⎠ c E est donc transverse. ⎨r ⎪ ⎪ 1--- f ⎛ t – -r-⎞ ⎪ r 2 ⎝ c⎠ ⎩ Le champ magnétique se détermine par l’équation ∂B de Maxwell-Faraday rot E = – ------- qui donne, ∂t avec E ( E r , E , E ) et B ( B r , B , B ) ne dépendant que de r et de t : Br ⎧ 0 ≈ – ∂------⎪ ∂t ⎪ ⎪ 1∂ ∂B ⎨ – --- ----- ( rE ) = – --------∂t ⎪ r ∂r ⎪ ∂ B ∂ ⎪ – 1--- ---- ( rE ) = – --------⎩ r ∂r ∂t


1) Le champ électrique comme le champ magnétique ou plus généralement la grandeur concernée par l’équation de propagation n’est fonction que de r et de t par définition d’une onde sphérique. Le vecteur champ électrique est alors écrit dans la base sphérique avec trois composantes Er , E et E qui ne dépendent que de r et de t. Il en est évidemment de même

1 ∂2 1 ∂2 ΔE = --- -------2- ( rE )e + --- -------2- ( rE )e . r ∂r r ∂r L’équation de d’Alembert projetée sur e ainsi : 1 ∂2 1 ∂2 --- -------2- ( rE ) – ----2- -------2 ( E ) = 0 r ∂r c ∂t que l’on peut écrire :

Sur e r l’équation de d’Alembert donne :

en remplaçant Er et E et compte tenu du fait que pour ∂ 1∂ une onde seulement progressive ----- = – --- ----, il vient : ∂r c ∂t 1 1 r r B r = 0 ; B = – ----- f 2 ⎛ t – --⎞ ; B = ----- f 1 ⎛ t – --⎞ . rc ⎝ c⎠ rc ⎝ c⎠ Soit finalement, pour r assez grand (pour que Er ≈ 0 ) : 1 B = --- u r ∧ E . c Nous retrouvons la structure d’une onde plane pro-

155

Ondes

Les équations de Maxwell indépendantes des sources : ⎧ divB = 0 ⎪ ⎨ B ⎪ rot E = – ∂-----⎩ ∂t

(Maxwell-Flux) (Maxwell-Faraday)

assurent l’existence de potentiels scalaire V et vecteur A : ⎧ B = rot A ⎪ . ⎨ A . ⎪ E = – gradV – ∂------⎩ ∂t Avec le choix de jauge de Lorentz : 1 ∂V ( M , t ) div A ( M , t ) + ----2- ---------------------- = 0, ∂t c les deux équations de Maxwell liant le champ aux sources (Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère) conduisent aux deux équations aux potentiels : ⎧ 1 ∂2V = – ----⎪ ΔV – ----2- --------c ∂t 2 0 ⎪ . ⎨ ⎪ 1 ∂2 A - = – 0j ⎪ Δ A – ----2- --------c ∂t 2 ⎩ La détermination des solutions physiques de ces équations nous permettra d’en déduire le champ électromagnétique engendré par un dipôle variable. Nous ferons pour cela trois approximations que nous allons introduire en considérant les trois dimensions caractéristiques du problème. 1.1.3. Approximations dipolaire et non relativiste La distribution des charges (fixes et mobiles) est dans un volume fini de taille maximale d (doc. 2). Soit O un point quelconque choisi dans ce volume et servant d’origine. Les charges qi sont en Ai . En appelant Ai la position de la charge qi de la distribution, la première hypothèse consiste à poser ∀i OA i

OM ou

M

bien : nous sommes « loin » de la distribution. C’est l’hypothèse « dipolaire ». © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Si une charge placée en Ai , fixe, pour simplifier les choses, varie avec le temps, l’effet de ses variations sur le champ électromagnétique en M ne peut pas être instantané car la propagation se fait à une vitesse finie. Ce qui se passe en M à r l’instant t provient notamment de ce qui s’est passé en Ai à l’instant t – ---i , avec c r i = Ai M . r La deuxième hypothèse consiste à remplacer les retards vrais ---i par le seul c r retard moyen -- ( r i = A i M , r = OM ) . c Si T est le temps d’évolution typique de la distribution de charges (par exemple, la période d’une évolution sinusoïdale du temps), la condition s’écrit ri r --- – -T soit comme r i – r est de l’ordre de l’extension de la distribution c c d --T ou d cT = l . c

156

r = OM

Ai

qi

O d

Doc. 2. Approximations : • dipolaire : OA i

OM ;

• non relativiste : v

c , soit

d ≈ vT

cT ≈ l.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) d En supposant les charges mobiles de vitesse v i , l’ordre de grandeur de v i est --- . T La deuxième hypothèse s’écrit donc de façon équivalente v c , c’est-à-dire que les particules sont non relativistes. Ainsi : • Première hypothèse (dipolaire) : r

d

• Deuxième hypothèse (non relativiste) : l d (ou ( v Mais nous ne savons rien de r par rapport à l.

2

Discussion des approximations envisagées dans le cadre du modèle de Bohr Dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène, un électron (charge – e, masse m) suit une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un proton fixe m , charge e). (masse M 1) Exprimer l’énergie cinétique de l’électron, l’énergie potentielle d’interaction entre l’électron et le noyau, et l’énergie mécanique en fonction de R et des constantes du problème. Le moment cinétique L peut prendre une série de h valeurs multiples entiers de = ------- (h est la 2 constante de Planck : h = 6 ,62 . 10 – 34 J . s), soit L n = n (n entier positif). Montrer que l’hypothèse de quantification impose la quanti-fication du rayon R = R n , de l’énergie =

n

et de la vitesse v = v n de l’électron.

Données : e = 1 ,6 . 10 – 19 C ;

m = 9 ,1 .

10 – 31

kg ;

1 ------------- = 9 . 10 9 F – 1 . m. 4 0 2) Les ordres de grandeur obtenus pour R et v vous semblent-ils susceptibles de justifier les deux approximations proposées précédemment. 1) Notons e∗2 la constante d’interaction électrosta-

e2 tique ------------- . La force exercée par le noyau sur 4 0 l’électron est : e∗2 f = – ------er . r2

En projection sur le vecteur radial, la relation fondamentale de la mécanique appliquée à l’électron en trajectoire circulaire (uniforme) s’écrit : e∗2 mv 2 ---------- = -------2 . R R L’énergie mécanique de l’électron vaut donc : M

=

K

+

P

1 e∗2 e∗2 = --- mv 2 – ------- = – ------2 2R R

et son moment cinétique : 1 ---

L = mRv = ( e∗2 mR ) 2 . La condition de quantification du moment cinétique L n = n entraîne celle : • du rayon : 2

-; R = R n = n 2 R 1 , où R 1 = ---------me∗2 • de l’énergie : n

= -----21- , où n

1

me∗4 = – ----------2- ; 2


Application

c) .

• de la vitesse : v e∗2 v n = ----1 , où v 1 = ------- . n Pour n = 1, le rayon de la trajectoire est égal au rayon de Bohr : 2

R 1 = ---------- = 0 ,53 . 10 – 10 m me∗2 (unité naturelle de longueur pour la physique atomique), et la vitesse vérifie : v 1 ----1 ≈ --------- . c 137

157

Ondes

2) La valeur numérique de R 1 montre que la pre-

mière approximation r

R est aisément vérifiée.

1 montre que l’approximation de Celle de -v- ≈ -------c 137 charge non relativiste est satisfaisante.

Le modèle que nous développons ici permet de décrire assez convenablement le rayonnement dipolaire électrique d’un atome.

Les § 1.2 et 1.3 qui suivent vont établir les conséquences de ces deux hypothèses sur les calculs des potentiels vecteur et scalaire puis sur les champs électrique et magnétique. Les étudiants de PC peuvent passer directement au § 2 où seront utilisés les résultats établis et où nous introduirons la troisième hypothèse.

1.2. Potentiels scalaire et vecteur

z

1.2.1. Potentiels retardés 1.2.1.1. Introduction qualitative Intéressons-nous à la contribution, en M, V ( M , t ) à la solution de l’équation au potentiel scalaire, due à une charge élémentaire Q ( t ) = ( O, t ) t contenue dans un volume élémentaire placé à l’origine O du système de coordonnées (doc. 3). Le terme V ( M , t ) créé par cet élément infinitésimal, quasi ponctuel à l’origine, doit être inchangé lors d’une rotation autour d’un axe passant par le point O, d’où V ( M , t ) = V ( r, t ). Pour r non nul, V vérifie l’équation d’onde de d’Alembert : 1 ∂2 0 = Δ [ V ( r, t ) ] – ----2- ------2- [ V ( r, t ) ] c ∂t 1 ∂2 avec Δ [ V ( r, t ) ] = --- -------2- [ r V ( r, t ) ] , dont nous savons (cf. chapitres 2, 4, r ∂r Application 1) que les solutions ne dépendant que de r et de t sont des ondes sphériques : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

1 1 r r V ( r, t ) = --- f ⎛ t – --⎞ + --- g ⎛ t + --⎞ . r ⎝ c⎠ r ⎝ c⎠ f Le terme « --- » représente une onde sphérique divergente, se propageant depuis r le point source à l’origine. Si nous considérons les solutions V liées à l’existence de la source Q qui s’est mise à fonctionner à un instant origine donné, il est naturel de ne garder que ce type de solution de l’équation d’onde, soit : 1 r V ( r, t ) = --- f ⎛ t – --⎞ . r ⎝ c⎠ De plus, lorsque r tend vers 0, cette solution doit avoir un comportement Q(t ) asymptotique de type : V ( r → 0, t ) ≈ --------------- , est attendue. 4 0r

Nous en déduisons la solution cherchée :

158

r Q ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ V ( r, t ) ≈ ------------------------- . 4 0r

M r

δQ(t) = ρ (O, t)δτ

y O x

Doc. 3. Charge élémentaire Q (t ) en O.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) r Remarquons que la quantité -- représente le temps mis par une interaction c pour se propager de O à M à la vitesse c.

nous cherchons les grandeurs électromagnétiques en M à la date t M

ρ (P, t)dτ

1.2.1.2. Potentiels retardés Nous admettrons qu’il est possible d’appliquer le résultat précédent au cas d’une distribution de charges et de courants d’extension finie, considérée comme une superposition d’entités élémentaires, de positions repérées par un point P courant sur la distribution. Ainsi, au point M, le potentiel scalaire prend la forme (doc. 4) : 1 V ( M , t ) = ------------4 0

∫∫∫

P

Doc. 4. Source de rayonnement ( P, t ) permettant de calculer les grandeurs en M à la date t.

⎛ P, t – PM --------⎞ ⎝ c ⎠ ---------------------------------- d . PM

Le raisonnement peut être repris pour le potentiel vecteur, ce qui conduit à : PM j ⎛ P, t – ---------⎞ ⎝ c ⎠ --------------------------------- d . A ( M , t ) = ------4 PM Nous obtenons donc des potentiels voisins de ceux que nous avions obtenus dans le cours d’électromagnétisme pour les régimes (quasi) permanents. PM Ces expressions font intervenir le décalage temporel t = --------- : l’état de la c distribution en l’un de ses points P est ressenti au point M avec un retard égal à Δt, que nous pouvons interpréter comme un retard à la transmission de l’information, véhiculée à la vitesse de la lumière. 0

∫∫∫

Pour cette raison, ces solutions portent le nom de potentiels retardés. 1.2.2. Potentiel vecteur du dipôle Plaçons-nous dans le cadre des deux approximations ( d L’expression du potentiel vecteur A ( M , t ) = ------4 simplifie en : 0

A ( M , t ) ≈ ------4

PM j ⎛ P, t – ---------⎞ ⎝ c ⎠ 0 --------------------------------- d = --------OM 4 r

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

l ).

PM j ⎛ P, t – ---------⎞ ⎝ c ⎠ --------------------------------- d . se PM

r j ⎛ P, t – --⎞ d avec r = OM. ⎝ c⎠


0

r et d

Le dipôle peut être représenté par une répartition de charges qi aux points Mi r r q id – v id ⎛ t – --⎞ où les globalement neutre ⎛ q i = 0⎞ . j ⎛ P, t – --⎞ d = ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ c⎠ c⎠

∑i

∑ id

charges q id sont celles du volume d . L’intégrale

∫∫∫

∫∫∫

r j ⎛ P, t – --⎞ d ⎝ c⎠

r j ⎛ P, t – --⎞ d ⎝ c⎠

=

∑i

s’exprime donc simplement sous la forme :

r ∂ ⎛ q i OM i ⎛ t – --⎞ ⎞ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ ˙ r r i q i v i ⎛ t – --⎞ = ------------------------------------------------ = p ⎛ t – --⎞ . ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ∂t

∑

˙ r p ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ c et ainsi : A ( M , t ) = ------0- --------------------- . r 4

159

Ondes

1.2.3. Potentiel scalaire La détermination directe du potentiel scalaire à partir de l’expression du potentiel retardé nécessite un développement limité au premier ordre de PM au voisinage de O utilisant les deux approximations d r et d l: un calcul semblable à celui effectué pour le potentiel vecteur conduit à V ( M , t ) = 0 ! En utilisant les notations du document 5 : ⎛ ⎛ r ⎞ ⎛ P, t – -r-⎞ ⎛ P, t – r----P-⎞ P, t – --⎞ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c c ----------------------------- ≈ --------------------------- + grad ⎜ ---------------------------⎟ . ( r P – r ) ⎝ ⎠ ri r r formule généralisant le développement limité d’une fonction à une variable f ( x + ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ). ⎛ ⎛ r⎞ ⎞ r ⎛ P, t – -r-⎞ ∂ ⎛ P, t – --⎞ ⎜ ⎝ P, t – --⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c c 1 - e r – ----- ------------------------------ e r et r P – r = – OP grad ⎜⎝ --------------------------⎟⎠ = – -------------------------2 r rc ∂t r d’où : 1 ⎧1 V ( r, t ) ≈ ------------- ⎨ --4 0⎩ r

∫∫∫

⎛ P, t – -r-⎞ d ⎝ c⎠

e + ----r2- . r

∫∫∫

e + ----r- . rc

⎛ P, t – -r-⎞ OPd ⎝ c⎠

∫∫∫

⎫ ˙ ⎛ P, t – -r-⎞ OPd ⎬ ⎝ c⎠ ⎭

La première intégrale est nulle (charge totale nulle), la deuxième est égale au r moment dipolaire p ⎛ t – --⎞ de la répartition de charges et la troisième inté⎝ c⎠ grale sa dérivée. Nous obtenons alors le potentiel scalaire : ˙ r r p ⎛ t – --⎞ p ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ ⎝ c⎠ c 1 V ( M , t ) = ------------- -------------------+ -------------------- . e r . 4 0 rc r2 Le premier terme est semblable au potentiel du dipôle électrostatique :


1 p . er . V ( M ) = ------------- -----------4 0 r2 Les potentiels en M à la date t, associés à un dipôle variable p ( t ) , d’extension spatiale de l’ordre de d au voisinage d’un point O évoluant avec une échelle de temps caractéristique T peuvent s’écrire : ˙ r ⎛ p ⎛ t – -r-⎞ ˙p ⎛ t – -r-⎞ ⎞ p ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎟ 1 ⎜⎜ ⎝ c⎠ 0 + --------------------⎟ . e r A ( M, t ) ≈ ------- --------------------- et V ( M, t ) ≈ ------------- -------------------4 0 ⎝ r2 4 r rc ⎠ si les deux conditions suivantes sont vérifiées : r , approximation dipolaire ; •d •d

l , approximation non relativiste.

Remarque Il est possible de vérifier que le couple de potentiels approchés que nous 1 ∂V venons de calculer satisfait à la jauge Lorentz div A + ----2- ------- = 0 . c ∂t

160

vers M

P O d

Doc. 5. Observation d’une source de rayonnement. r P = PM et r P – r = – OP .

= OM

Application

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP )

3

d’après la formule donnée et : ⎛ ⎞ ⎜ sin ⎛ ⎛ t – -r-⎞ ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ ⎟ grad ⎜ ----------------------------------⎟ r ⎝ ⎠

Calcul du potentiel scalaire dans le cas d’un dipôle harmonique On considère un dipôle p = p 0 cos tu z placé en O dans le cadre des deux approximations : • distance d’observation grande devant les dimensions de répartition de charges d r; • approximation non relativiste d l. En utilisant l’expression du potentiel vecteur crée par ce dipôle et la jauge du Lorentz, déterminer l’expression du potentiel scalaire.

⎛ – cos ⎛ ⎛ t – -r-⎞ ⎞ sin ⎛ ⎛ t – -r-⎞ ⎞ ⎞ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ ⎟ ⎜ = ⎜ ------------------------------------------- – ---------------------------------⎟ ur rc r2 ⎝ ⎠ d’où :

scalaire et A un champ vectoriel. ˙ r p ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ c La formule A ( M , t ) ≈ ------0- --------------------- s’écrit : 4 r 0 - p sin ⎛ ⎛ t – -r-⎞ ⎞ u . A ( M , t ) ≈ – --------4 r 0 ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ z

⎛ – 2 cos ⎛ ⎛ t – -r-⎞ ⎞ 2 ⎜ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ c ∂V ---------------- = 0 - p 0 ⎜ ---------------------------------------------rc 4 ∂t ⎝ r sin ⎛ ⎛ t – --⎞ ⎞ ⎞⎟ ⎝ ⎝ c⎠ ⎠ - ⎟ ur . uz – -------------------------------------⎠ r2 ⎛ ⎞ ⎛ ˙ ⎛ r⎞ ⎞ ⎛ r⎞ ⎜ ⎜ p ⎝ t – -c-⎠ . e r⎟ p ⎝ t – -c-⎠ . e r⎟ ⎟ ∂⎜ 1 = ----- ⎜ ------------- ⎜ ------------------------------⎟ + -----------------------------⎟ ⎠ ∂t ⎝ 4 0 ⎝ rc r2 ⎠

⎛ ⎛ ⎛ r⎞ ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎝ ⎝ t – -c-⎠ ⎠ ⎟ div A = – ------0- p 0 grad ⎜ ---------------------------------⎟ . u z ⎝ ⎠ 4 r

d’où l’expression de V à une fonction indépendante du temps près : on retrouve l’expression démontrée de façon générale.

div ( f A ) = grad f A . f div A où f est un champ

1.3. Champs électrique et magnétique

En utilisant la notation complexe, nous écrivons : p = p 0 e z e j

t


Pour simplifier la détermination du champ électromagnétique, nous supposerons désormais que le dipôle est oscillant à la pulsation et de direction l’axe (Oz). Ceci ne restreint pas la généralité de l’étude. Un dipôle quelconque est la superposition de trois dipôles sur les axes (Ox), (Oy) et (Oz) eux-mêmes somme de dipôles sinusoïdaux d’après l’analyse de Fourier. Les équations de Maxwell étant linéaires, l’effet du dipôle est identique à celui de ses composantes (doc. 6). où p0 est une

r constante et p ⎛ t – --⎞ = p 0 e z e j ( t – kr ) avec k = ---- . ⎝ c⎠ c ˙ ⎛ r⎞ Alors p t – -- = j p 0 e z e j ( t – kr ) et nous utiliserons, dans ces conditions, ⎝ c⎠ les expressions suivantes des potentiels : ⎧ 1 ⎛1 j ⎞ ⎪ V ( M , t ) = ------------ ---- + ------ cos p 0 e j ( ⎝ 2 rc ⎠ 4 ⎪ 0 r ⎨ ⎪ 0j - ------ p 0 e j ( t – kr ) e z ⎪ A ( M , t ) = -----4 r ⎩

t – kr )

.

161

Ondes

1.3.1. Champ électrique

z

∂A Le champ E est égal à E = – grad V – -------- ; calculons ces deux termes : ∂t • d’une part : 1 ∂V ( M , t ) 1 ∂V ( M , t ) – grad V ( M , t ) = – ------------- ⎛ ----------------------e r + --- ----------------------e ⎞ ⎠ ∂r r ∂ 4 0⎝ t – kr )

O ϕ

;

2 ∂A – -------- = ------0- ------ p 0 e j ( 4 r ∂t

t – kr ) e

z

0 0 - ------------------------- ( cos e r – sin e ) . = -----------4 r

Nous en déduisons le champ électrique : 1 2 2j ⎞ cos e r E ( M , t ) = ------------- ⎛ ----3 + --------4 0 ⎝r r2c ⎠ p0 e j (

t – kr )

.

Tout plan contenant l’axe ( Oz ), donc le dipôle, est plan de symétrie de la source de ce champ électrique. Nous vérifions que le vecteur champ électrique est situé dans ces plans. 1.3.2. Champ magnétique Utilisons l’expression du rotationnel en coordonnées sphériques pour calculer B = rot A , il vient : j – 2 B ( M , t ) = ------0- ⎛ -----2- + ----------⎞ sin p 0 e j ( t – kr ) e . 4 ⎝r rc ⎠ Nous vérifions que le pseudo-vecteur champ magnétique est perpendiculaire aux plans de symétrie contenant l’axe ( Oz ).


2

R ayo n n em e n t d i p ol a i re é l ec t r ique

2.1. Champ de rayonnement 2.1.1. Zone de rayonnement : d

l

r

Les résultats ci-dessus obtenus pour E et B vont se simplifier avec la troisième hypothèse dite de la zone de rayonnement où l’on compare r et l : La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par r Nous avons donc d l r.

l.

2 c Notant l = ---------- nous constatons que le champ électromagnétique du dipôle contient des termes proportionnels à : 1 ----, r3

162

1 ------= 2 ------r2l r2c

et

2

-------2 = 4 rc

2

1 -------2- . rl

eθ r

y eϕ

Doc. 6. Système d’axes et de coordonnées sphériques.

e j ( t – kr )

1 j – 2⎞ + ⎛ ----3 + ------+ ---------- sin e ⎝r r 2 c rc 2 ⎠

θ

x

• d’autre part : 2p

eϕ

M

p ez

1 – 2⎞ 2 2j 1 j ⎞ = ------------- ⎛ ⎛ ----3 + --------+ ---------- cos e r + ⎛ ----3 + ------sin e ⎞ p 0 e j ( 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 4 0 ⎝⎝r r c rc r 2 c⎠ r

er

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) Suivant la valeur de la distance d’observation, nous pouvons dégager un terme prépondérant et écrire une forme approchée du champ électromagnétique du dipôle. l est justifiée par les ordres de granDans la pratique, l’approximation r deur usuels : la longueur d’onde (de l’ordre du micromètre dans le domaine visible par exemple) sera fréquemment très faible devant la distance à laquelle le rayonnement est détecté. Dans la zone de rayonnement, nous avons : 1 -------r2l

1 1 -------2- , soit ----3 rl r

------r2c

2 p -------2 , donc -----3rc r

p˙ ------r2c

p˙˙ -------2 . rc

Une forme approchée du champ électromagnétique rayonné par un dipôle est donc : 2 j ( t – kr ) ⎧ 1 ⎛ – p0 e ⎪ E = ------------ -------------------------------------⎞ sin e 2 ⎠ 4 0⎝ rc ⎪ ⎨ 2 p e j ( t – kr ) ⎪ 0 ⎛– 0 ⎞ ⎪ B = ------- ⎝ -------------------------------------⎠ sin e rc 4 ⎩

Remarque Les expressions trouvées correspondent au champ de rayonnement d’un dipôle oscillant, de pulsation , dirigé parallèlement à ( Oz ). Elles sont exprimées dans la base des coordonnées sphériques d’axe ( Oz ) (cf. doc. 6). Elles peuvent être généralisées, par linéarité, à un dipôle quelconque : p ( t ) = p x ( t ) e x + p y ( t ) e y + pz ( t ) ez en identifiant le facteur j notation réelle :

à une dérivation par rapport au temps, soit en

⎧ ⎛ p˙˙ ⎛ t – -r-⎞ ∧ e ⎞ ∧ e r⎠ r ⎪ 1 ⎝ ⎝ c⎠ ⎪ E ( M , t ) = ------------ -----------------------------------------------4 0 ⎪ rc 2 ⎨ ˙˙ ⎪ r p ⎛ t – --⎞ ∧ e r ⎪ ⎝ c⎠ 0 ⎪ B ( M , t ) = ------- -------------------------------⎩ 4 rc où e r est le vecteur unitaire dirigé du dipôle vers le point d’observation M.

En notation réelle Dans les approximations : – dipolaire : r

d,

– non relativiste : l

d,

et dans la zone de rayonnement : r d soit donc lorsque : r

l

d,

un dipôle de moment dipolaire p = p ( t )e z crée le champ électromagnétique : ⎛ ˙˙ ⎛ r ⎞ ⎞ ⎧ ⎜ p ⎝ t – -c-⎠ ⎟ ⎪ 1 ⎟ sin e ⎪ E = ------------- ⎜ -------------------4 0 ⎝ rc 2 ⎠ ⎪ ⎨ ⎛ ˙˙ ⎛ r ⎞ ⎞ ⎪ ⎜ p ⎝ t – -c-⎠ ⎟ ⎪ 0 ⎜ -------------------------⎟ sin e ⎪B = 4 ⎝ rc ⎠ ⎩

2.1.2. Structure du champ rayonné Le champ obtenu présente des analogies avec les ondes scalaires sphériques divergentes : r f ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ ( r, t ) = -------------------- , r qui se propagent à vitesse c ; la direction locale de propagation étant indiquée

z

ϕ

par le vecteur radial e r . Sa structure locale est aussi remarquable : les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires au vecteur e r

et E ( r, t ) = cB ( r, t ) ∧ e r , ou

e r ∧ E ( r, t ) - , comme pour une onde plane progressive électromaB ( r, t ) = --------------------------c gnétique se propageant dans le vide parallèlement au vecteur e r (doc. 7).

p

er

B r

E

θ

Doc. 7. Structure du champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant.

163


1 ----3 r

Ondes

Dans la zone de rayonnement ( d

r ) , le champ électromagné-

tique engendré par le dipôle p ( t ) : 1 • décroît comme --- ; r ˙˙ r • est proportionnel à p ⎛ t – --⎞ ; ⎝ c⎠ • présente localement une structure d’onde électromagnétique plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle. Le trièdre (E , B , e r ) est trirectangle et direct, avec : er Ÿ E ( r , t ) -. E (r , t) = cB (r , t) Ÿ e r ou B ( r , t ) = ---------------------------c

2.2. Énergie électromagnétique rayonnée 2.2.1. Diagramme de rayonnement z

2.2.1.1. Puissance rayonnée par unité d’angle solide Le vecteur de Poynting, vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique, correspondant au champ rayonné est (en notation réelle) :

dΩ

E2 E ∧B = --------------- = --------- e r . 0c 0

p

Pour écrire l’expression de cette grandeur non linéaire, reprenons donc la notation réelle « p ( t ) ». Utilisons les coordonnées sphériques d’axe (Oz), dirigé suivant le moment du dipôle rayonnant et centré sur celui-ci (doc. 8) ; le vecteur de Poynting devient :


La puissance rayonnée à travers un élément de surface dS = r 2 d de la sphère de centre O et de rayon r, vu sous l’angle solide élémentaire d = sin d d (doc. 8), vaut : = P . dS = P . dS e r = r 2 ( P . e r )d

.

La puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est : p˙˙ 2 sin 2 d -------- = ----------------------. d 16 2 0 c 3 Remarque Ce résultat est remarquable, car il ne fait pas intervenir la distance d’obser1 1 vation. La dépendance en --- du champ de rayonnement (au lieu du facteur ----2r r des champs statiques d’une source d’extension finie) nous permet de détecter des signaux émis à des distances pouvant être extrêmement importantes. 2.2.1.2. Diagramme Nous pouvons symboliser la répartition spatiale du rayonnement émis en traçant, pour une direction ( , ) donnée, un segment OH dirigé dans cette direc-

164

eϕ

M eθ

O

y

ϕ x

eϕ

Doc. 8. Coordonnées sphériques, angle solide élémentaire.

r p˙˙ 2 ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ 1 ----------------------- sin 2 e r . ( r , t ) = ----------------------16 2 0 c 3 r2

d

θ r

er

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) tion et de longueur proportionnelle à la puissance rayonnée par unité d’angle solide. L’ensemble des extrémités de ces segments constitue une surface de révolution autour de l’axe (Oz), représentée en coupe sur le document 9. Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope : • la puissance est préférentiellement rayonnée dans les directions perd2 p pendiculaires au vecteur --------; dt 2 • il n’y a pas d’énergie rayonnée dans la direction de ce vecteur.

p

2.2.2. Puissance totale rayonnée La puissance totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directions de la puissance rayonnée par unité d’angle solide. 4 sin 3 d = --- , et que d = sin d d , la puissance Sachant que 3 =0 totale rayonnée est : 2 d p˙˙ 2 -------- d = = -----------------3- . 6 0c =0 = 0d

∫

∫

∫

H

θ

O

Doc. 9. Diagramme de rayonnement :

d -------- représenté par le segment OH est d proportionnel à sin 2 .

Application 4


Rayonnement d’une particule chargée On admet que le potentiel vecteur d’une particule chargée se déplaçant au voisinage d’un point O vérifie r qv ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ c A ( M , t ) = ------0- ----------------------- dans le cadre des trois r 4 approximations du rayonnement du dipôle avec

Calculer le rapport de l’énergie cinétique K à la puissance rayonnée en fonction de T0 . Application Calculer ce rapport dans le cas de l’électron de l’état fondamental dans le modèle de Bohr (Application 1) T 0 = 1,5 . 10 –16 s, e = 1,6 . 10 –19 C,

r = OM et v ( t ) vitesse de la particule à un instant t. On suppose que la particule se déplace suivant

1) Avec :

r qv ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ c A ( M , t ) = ------0- ----------------------- ( cos u r – sin u ) r 4

B = rot A


l’axe (Oz). On note a ( t ) son accélération et on repère la position du point M par ses coordonnées sphériques de centre O et d’axe (Oz). 1) Montrer que dans le cadre de l’approximation 0 - qa ⎛ t – -r-⎞ sin u . dipolaire B ( M , t ) = -----------4 rc ⎝ c⎠ 2) Déduire de l’équation de Maxwell-Ampère le champ électrique rayonné. 3) a) Calculer le vecteur de Poynting correspondant à l’onde rayonnée à grande distance. q 2 2a 2 = ------------- -------3b) En déduire la formule de Larmor 4 0 3c donnant la puissance rayonnée par une particule chargée non relativiste. c) La particule chargée décrit une trajectoire circulaire de rayon R0 à la vitesse uniforme v 0 et de période T0 .

m = 9 . 10 –31 kg. Conclusion.

⎛ ⎞ r ∂v ⎛ t – --⎞ ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ sin ⎜ ⎟ 0 - q ⎜ – sin ----------------------- + ----------v ⎛ t – -r-⎞ ⎟ u . = --------4 r ⎝ ∂r r ⎝ c⎠ ⎠

r r r ∂v ⎛ t – --⎞ a ⎛ t – --⎞ ∂v ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ c⎠ c c 1 Comme ----------------------- = – --- ----------------------- = – -------------------- , c ∂t c ∂r ⎛ a ⎛ t – -r-⎞ v ⎛ t – -r-⎞ ⎞ ⎜ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎟ 0q ⎜ - ------------------- + -------------------⎟ sin u . B = -------4 ⎝ rc r2 ⎠ Si le mouvement de la particule est sinusoïdal de a pulsation , le rapport --- est de l’ordre . v

165

Ondes

L’approximation r

2 c l = ---------- consiste à négli-

v a v ger - devant --- ⎛ r c ⎝r

a⎞ --- . D’où l’expression : c⎠ 0 - qa ⎛ t – -r-⎞ sin u . B ( M , t ) ≈ -----------4 rc ⎝ c⎠

une sphère de rayon R : P =

∫∫Σ P . dS ∫

∫

2

R q 2 a 2 ⎛ t – ---⎞ ⎝ c⎠ ----------------------------- sin2 R 2 sin d d 2 c3 R2 = 0 16 0

2) L’équation de Maxwell-Ampère conduit à :

=

∂E ------- = c 2 rot B ∂t ⎛ ⎞ r ⎛ r⎞ ∂a ⎛ t – --⎞ ⎜ 2 cos a ⎝ t – --⎠ ⎟ ⎝ ⎠ c c 0 cq ⎜ - ⎝ ----------------------------------- u r – ---------------------- sin u ⎟⎠ . = ----------4 r r ∂r r r ∂a ⎛ t – --⎞ ∂a ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ 1 ⎝ c⎠ Comme ---------------------- = – --- ---------------------- , l’approximation c ∂t ∂r r ∂a ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ q c ∂E 0 - ----------------------- sin u . r l conduit à : ------- = --------∂t 4 r ∂t Soit, à une fonction indépendante du temps près,

q 2 2a 2 = ------------- -------3- car 4 0 3c

0 - qa ⎛ t – -r-⎞ sin u . E = --------4 r ⎝ c⎠

E ∧B

E2

0q

2 a 2 ⎛ t – -r-⎞

⎝

c⎠

3) a) P = --------------- = --------- u r = -------------------------------- sin2 u r 0

0c

16

r q 2 a 2 ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ = ----------------------------sin2 u r . 16 2 0 c 3 r 2

2 cr 2

=0

4 = --- . 3

d

2

v l’accélération est a = -----0- , R0 2

q 2 2v 0 . = ------------- -------------4 0 3c 3 R 2

d’où

0

La grandeur calculée est homogène à un temps : = ------K- = 3

2

mR 0 3 cm 2 3 . 0 c ---------2- = -------------------T 2 0 2 4 q v0 0q

≈ 4,3 . 10 –11 s .

Ce rayonnement, appelé « rayonnement de freinage », diminue l’énergie cinétique de l’électron. Le temps caractéristique obtenu n’est pas compatible avec un modèle où le rayon de la trajectoire de l’électron est constant aux échelles de temps accessibles expérimentalement : les électrons auraient dû s’écraser sur les noyaux depuis longtemps. Le modèle de Bohr n’est pas satisfaisant et seule la mécanique quantique a permis de modéliser la structure électronique de l’atome d’hydrogène.

2.2.3. Sources de rayonnement Pour des particules relativistes, la formule de Larmor doit être modifiée, mais le principe reste : des charges accélérées produisent un rayonnement. Ceci limite les possibilités des accélérateurs de particules. L’accélération des charges contenues dans des faisceaux circulant dans des anneaux de stockage circulaires induit un rayonnement, donc une perte d’énergie. Pour obtenir des jets de haute énergie, il faut minimiser cette accélération, centripète et inversement proportionnelle au rayon de l’anneau, donc augmenter le rayon de l’anneau. Le S.P.S. (super proton synchrotron) au C.E.R.N. a ainsi un rayon de 2 km, soit environ 6 km de galerie souterraine passant sous la frontière franco-suisse. À l’inverse, des appareils sont construits dans le but d’une production de rayonnement synchrotron. Aux sources de rayonnement construites en « parasitant » des anneaux de collisions ont succédé des appareils construits spécifiquement pour la production de rayonnement synchrotron. Dans un

166

∫0 sin3

c) Dans un mouvement circulaire à vitesse uniforme

A.N.

Nous remarquons que la structure des champs est ˙ identique à celle du dipôle oscillant avec p = qv .


b) En calculant le flux du vecteur de Poynting sur

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) ondulateur (doc. 10), des électrons relativistes traversent un champ magnétique à structure périodique. L’accélération périodique des électrons dans ces machines permet la production de faisceaux intenses de rayons X bien utiles dans de nombreuses applications : en physique et chimie (analyse structurale de solides cristallins, étude de l’organisation à courte distance des solides amorphes et des liquides, accès à la structure interne du cortège électronique des atomes, …), en biologie et médecine (analyse de la structure de protéines, radiographies de haute précision, …), industrielle (radiographie, lithographie à haute résolution de circuits intégrés, techniques de microfabrication, …).

3

Di f f u s i o n d u rayon n e m e n t él ec t ro m a g n é ti q u e

aimant multipôle créant un champ magnétique à structure périodique électrons

rayonnement d’accélération

Doc. 10. Accélération d’électrons par un champ magnétique à structure périodique et production de rayonnement dans un ondulateur.

3.1. La diffusion

Le champ d’une onde électromagnétique (de la lumière par exemple) peut interagir avec un atome ou une molécule, qui absorbe une partie de l’énergie du rayonnement incident. Les dipôles électriques atomiques induits réémettent des ondes électromagnétiques dans des directions pouvant différer de celle de l’éclairage incident : la lumière est diffusée (doc. 11). Le modèle du rayonnement dipolaire permet de rendre compte de la plus grande partie du rayonnement électromagnétique atomique.

3.2. Interaction atome-rayonnement : modèle de l’électron élastiquement lié Nous nous proposons ici de construire un modèle phénoménologique décrivant, dans le cadre de la mécanique classique, l’interaction entre un atome et le champ d’une onde électromagnétique incidente.

lumière diffusée

atome lumière incidente

Doc. 11. Diffusion de rayonnement par un atome.

3.2.1. Action du champ de l’onde


Lorsqu’une onde électromagnétique arrive sur un atome, son champ interagit avec les charges de l’atome. Celles-ci sont non relativistes et le champ B de E l’onde est de l’ordre de --- . L’influence du champ électrique de l’onde sur les c charges est, dans ces conditions, largement prépondérante. Les électrons et le noyau ont des charges comparables, mais ces derniers sont beaucoup plus massifs : m p ≈ 2 000 m e . L’onde induit donc un mouvement nettement plus important pour les électrons, dont les mouvements peuvent expliquer le rayonnement de l’atome. La longueur d’onde du rayonnement incident (de l’ordre du dixième de m dans l’U.V., de 0,5 m dans le visible) est très supérieure à la taille caractéristique d’un atome (de l’ordre de 100 pm = 10 – 4 m), de sorte que le champ de l’onde incidente apparaît quasiment uniforme à l’échelle d’un atome. Nous le désignerons, sans référence à la position particulière de l’atome considéré, par : E = E 0 cos t . 3.2.2. Électron élastiquement lié Le champ électrique de l’onde est en principe très inférieur au champ interne d’un atome (le champ électrique créé par un proton à une distance égale à 100 pm est de l’ordre de 10 11 V . m – 1 ). Nous pourrons donc tenter de rendre compte de quelques résultats à l’aide d’un modèle linéaire (perturbation développée au premier ordre).

167

Ondes

En absence de champ perturbateur (celui de l’onde électromagnétique), l’électron décrit une trajectoire contenue dans un volume V. Le nuage de points représentant les positions successives de l’électron a son barycentre P au centre de ce nuage, en coïncidence avec la position du noyau, supposé fixe car beaucoup plus lourd. Nous affecterons à ce point P la charge – q ( q = e ) et la masse m, masse de l’électron (doc. 12).

nuage électronique

noyau

Nous dirons que la position d’équilibre de l’électron est O. • Si l’électron est écarté de sa « position d’équilibre », le point P (barycentre des positions successives de l’électron) n’est plus en coïncidence avec le point O. Notons OP = r (doc. 13). L’électron n’est alors soumis qu’à la force électrique qu’exerce le reste de l’atome sur lui ; cette force peut être modélisée par une force de rappel élastique F rappel , vers la « position d’équilibre » qu’occupe l’électron à l’équilibre. Posons : F rappel = – m

2 0 OP

= –m

2 0r

sur son énergie mécanique) par une force de type frottement visqueux F v : d ( OP ) ˙ dr F v = – m -----0- ---------------- = – m -----0- ------ = – m -----0- r , Q dt Q dt Q où Q désigne le facteur de qualité de cet oscillateur amorti. Le principe fondamental de la dynamique donne alors en n’oubliant pas l’action du champ électrique E de l’onde : ˙ ˙˙ 2 mr = – m 0 r – m -----0- r – qE ( t ) . Q La réponse est, en régime sinusoïdal établi, en utilisant la notation complexe : q – ----------2m 0 - E0 e j t . r = ----------------------------------2 1 1 + j ---- ------ – -----2Q 0 0


Doc. 12. À l’équilibre, le barycentre des positions successives de l’électron est confondu avec le centre du noyau. nuage électronique

L’expérience montre que l’absorption d’une onde électromagnétique par un atome est particulièrement efficace lorsque la fréquence de l’onde incidente est proche de l’une des fréquences du spectre électromagnétique de l’atome. Le modèle que nous proposons ici, où chaque électron est traité dans le cadre de la mécanique classique et indépendamment des autres électrons du cortège atomique, permet de rendre compte de cette observation si nous donnons à la pulsation 0 celle d’une pulsation du spectre atomique et au facteur de qualité Q une valeur très élevée. Remarque Ce modèle phénoménologique reste très insuffisant. Il ne rend pas compte, par exemple, de l’existence de plusieurs pulsations de résonance, ni de leurs importances relatives. Une étude convenable de l’interaction matière-rayonnement nécessite l’utilisation de la mécanique quantique.

noyau

–q

.

• Le mouvement oscillant de P, de part et d’autre de O, finit toujours par s’amortir : nous traduirons l’amortissement du déplacement de l’électron (en particulier, lors de son déplacement, l’électron rayonne une énergie électromagnétique prélevée

168

O=P

r P

+q O

Doc. 13. Hors équilibre, le barycentre P des positions successives de l’électron n’est plus confondu avec le centre O du noyau.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) 3.3. Influence de la fréquence de l’onde excitatrice 3.3.1. Interaction résonante

a)

La diffusion est particulièrement importante si l’amplitude du mouvement des électrons est grande, donc lorsque la fréquence du rayonnement incident est proche de l’une des fréquences propres de l’atome (pour une pulsation voisine de 0 ). Le processus porte alors le nom de diffusion résonante.

Hg

Ce fait peut être mis en évidence à l’aide de l’expérience de résonance illustrée par le document 14. En chauffant les parois d’une ampoule à vide contenant un peu de sodium avec un bec Bunsen, nous provoquons la vaporisation du sodium à l’état atomique.

b)

Éclairons cette ampoule à l’aide de la lumière issue d’une lampe à vapeur de mercure, dont le spectre contient entre autres, un doublet jaune (l = 577 nm et 579 nm). Nous observons une très légère émission jaune de la vapeur contenue dans l’ampoule. Éclairons maintenant cette vapeur atomique par le faisceau issu d’une lampe à vapeur de sodium. Nous observons cette fois une très forte émission jaune de la part du sodium contenu dans l’ampoule. Le spectre de l’éclairage incident contient alors des radiations (l = 589 ,0 nm et 589,6 nm) parfaitement adaptées (et pour cause !) à l’excitation des atomes contenus dans l’ampoule, et nous observons les conséquences de la diffusion résonante du rayonnement incident, dont l’intensité est sans commune mesure avec la diffusion obtenue dans la première partie de l’expérience. 3.3.2. Diffusion Rayleigh atmosphérique De nombreux atomes ou molécules de l’atmosphère ont un spectre électromagnétique essentiellement situé dans l’ultraviolet. La lumière du spectre visible correspond donc à des pulsations très inférieures à la pulsation caractéristique 0 (située dans l’ultraviolet). Dans ces conditions, l’accélération d’un électron excité par l’onde incidente prend donc la forme simplifiée

avec

0

q – ----------2m 0 - E0 e j r = ---------------------------------2 1 + j ----------- – -----2Q 0

t≈–

vapeur de sodium

Na

Doc. 14. Éclairage avec une source spectrale. a. Cas du mercure : diffusion très peu

intense. b. Cas du sodium : diffusion résonante. Cette expérience peut être aussi réalisée à l’aide de deux lampes au sodium L 1 et L 2 par exemple. Nous faisons chauffer les deux lampes ; une fois qu’elles sont bien chaudes, nous éteignons L 2 que nous éclairons avec L 1 : nous visualisons le phénomène de diffusion résonante (le gaz de la lampe L2 devient opalescent) , qui n’existe pas avec d’autres lampes spectrales.

q ----------2- E 0 e j t ; et ainsi : m 0

˙˙ a = r = –

2r ≈

q 2 ---- -----2- E 0 e j m

t


0

.

0

Comme le moment dipolaire est p = qr ( t ) (cf. Application 3), que la puissance est proportionnelle à p˙˙ , la puissance rayonnée par le dipôle est propor1 tionnelle au carré de l’accélération et elle varie donc en 4 , soit comme ----4- . l Cette diffusion est appelée « diffusion Rayleigh » : son intensité varie comme 1 ----4- , où l est la longueur d’onde du rayonnement incident. Dans le spectre de l la lumière visible, l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleues que les radiations rouges. Cette diffusion peut s’appliquer à la diffusion de la lumière provenant du Soleil par les molécules constituant l’atmosphère. Observons le Soleil (doc. 15a) dont le rayonnement présente un maximum dans le jaune-vert. Nous percevons une lumière qui est appauvrie dans la partie

169

Ondes

bleu-violet du spectre visible du fait de la diffusion par les molécules atmosphériques. Plus l’épaisseur d’atmosphère traversée est importante, plus ce phénomène devient important : le Soleil a un aspect nettement plus rouge au couchant qu’au zénith (doc. 15a).

a) Soleil au zénith

Regardons le ciel dans une direction différente de celle du Soleil (doc. 15b). Nous percevons cette fois le rayonnement de diffusion atmosphérique de la lumière solaire : le ciel est bleu.

diffusion atmosphérique Soleil couchant


3.4. Polarisation du rayonnement par diffusion 3.4.1. Diffusion d’une onde polarisée rectilignement Considérons un rayonnement incident, dirigé selon ( Oy ), dont le champ E est polarisé rectilignement dans la direction ( Oz ) (doc. 16). Le moment dipolaire oscillant induit est parallèle à la direction de polarisation. Le rayonnement de diffusion est polarisé rectilignement.

b) Soleil diffusion atmosphérique

Son intensité est importante dans les directions voisines du plan ( xOy ) (cf. § 2.2.1). Dans ce plan, le dipôle émet de manière isotrope des ondes polarisées rectilignement selon la direction ( Oz ) (doc. 16a). Son intensité est négligeable dans les directions voisines de ( Oz ) (doc. 16b). a)

E diffusé

b) z

dipôle rayonnant

onde incidente

y x

dipôle rayonnant E incident onde incidente

z O

α

y

a. Rougissement du Soleil couchant.

E diffusé

Doc. 16. Diffusion d’une O.P.P.M. polarisée rectilignement : E // ( Oz ) . a. Dans le plan ( xOy ) :

= 0.

b. Dans un plan parallèle à ( yOz ) : a quelconque.

3.4.2. Diffusion d’une onde non polarisée


La lumière naturelle n’est pas polarisée. Par suite, une onde lumineuse se propageant suivant ( Oz ) induit des dipôles qui, comme le champ incident, oscillent de façon aléatoire dans toutes les directions du plan ( xOy ), et la distribution du rayonnement diffusé est alors de révolution autour de l’axe ( Oz ). Le rayonnement diffusé parallèlement à ( Oz ) n’est pas polarisé, alors que le rayonnement diffusé perpendiculairement à ( Oz ) est polarisé rectilignement. différent de 0, ---- et 2 rayonnement diffusé est partiellement polarisé. Dans des directions intermédiaires (

; cf. doc. 16), le

Ainsi la lumière diffusée par l’atmosphère est partiellement polarisée : l’observation de cette polarisation partielle est possible à travers des lunettes solaires à verres polarisants *. La lumière solaire n’étant pas polarisée, le degré de polarisation de la lumière diffusée est important lorsque les directions de la lumière incidente et de la lumière diffusée sont quasiment perpendiculaires. Sur le document 17, la zone B du ciel renvoie donc à l’observateur une lumière dont le degré de polarisation est plus important que celui des zones A et C.

170

Doc. 15. Observation du Soleil et du ciel. b. Le ciel est bleu. * Les verres polarisants de ces lunettes sont des polariseurs rectilignes qui, lorsqu’ils sont traversés par un faisceau lumineux, isolent un état de polarisation rectiligne en éliminant l’état orthogonal. Ils utilisent le dichroïsme de certains matériaux, c’est-à-dire leur absorption sélective d’un état de polarisation. Ces polariseurs sont actuellement réalisés artificiellement en étirant des films de polymères sur lesquels sont attachées des molécules de pigments. Le substrat obtenu possède une conductivité électrique parallèlement à la direction dans laquelle les polymères ont été étirés, et absorbe efficacement l’état de polarisation rectiligne de champ électrique parallèle à cette direction ; il laisse passer l’état de polarisation orthogonal (cf. H-prépa, Optique ondulatoire, 2de année). De nombreuses lunettes de plage sont constituées de verres polarisants. Les photographes utilisent parfois les propriétés de filtres polarisants.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) zone C zone B a)

zone A

lunettes solaires à verres polarisants

Doc. 17. Observation du ciel à travers des lunettes solaires à verres polarisants : en tournant ses lunettes d’un quart de tour, le skieur « voit le ciel s’assombrir ». a. Le skieur voit nettement mieux l’influence de la polarisation de la lumière


diffusée par l’atmosphère dans la « zone B » (c’est-à-dire dans une direction perpendiculaire à celle du Soleil) que dans les zones A et C. Dans la « zone B », le polariseur étant vertical : le ciel est clair. Dans la « zone B », le polariseur étant horizontal : le ciel est assombri.

Doc. 17b. Deux photographies panoramiques du massif de la Meije (Alpes françaises) sur un angle d’environ 90° avec

le Soleil à droite, avec un filtre polarisant orienté dans les deux directions à effets extrêmes.

Remarquons toutefois qu’à cette lumière diffusée, obéissant aux lois de la diffusion Rayleigh, se superpose une diffusion ne modifiant pas la fréquence et non polarisée due aux particules ou poussières existant dans l’atmosphère. L’observation de la polarisation de la lumière diffusée sera donc beaucoup plus nette en haute montagne (cas du document 17b) qu’en ville où la pollution est malheureusement importante.

171

Ondes

Application 5 Degré de polarisation du rayonnement diffusé par un atome éclairé par une onde non polarisée L’onde incidente se propageant suivant l’axe (Oz) est non polarisée : elle peut être décrite par deux ondes polarisées rectilignement suivant (Ox) et (Oy) respectivement, de même amplitude E0 et indépendantes l’une de l’autre (c’est-à-dire incohérentes). Exprimer, en un point M du plan (xOz), éloigné de l’atome situé au point O, repéré par r = OM et l’angle (doc. 18), les composantes E // et E ⊥ , respectivement parallèle et perpendiculaire à (xOz), du champ électrique rayonné par l’électron élastiquement lié (charge – q ), en fonction des composantes de son accélération.

avec : 0 q ˙˙ ⎛ - x t – -r-⎞ cos ( – cos e x + sin e z ) E // ( M , t ) = --------4 r ⎝ c⎠ 0 q ˙˙ ⎛ - x t – -r-⎞ cos e = – --------4 r ⎝ c⎠

et

0 q ˙˙ ⎛ - y t – -r-⎞ e . E ⊥ ( M , t ) = – --------4 r ⎝ c⎠ y

onde incidente Ex

x

E⊥ M

eα

er

2

〈 E //〉 - et préciser les valeurs de Évaluer le rapport ----------2 〈 E ⊥〉 l’angle correspondant à un champ de diffusion polarisé rectilignement. Notons x ( t ) et y ( t ) les coordonnées de l’électron dont le mouvement est induit par l’onde incidente (le champ électrique est dans le plan ( xOy )) . Utilisant l’expression du champ rayonné obtenue au § 2.1.1, nous avons (doc. 18) : ⎛ p˙˙ ⎛ t – -r-⎞ ∧ OM⎞ ∧ OM ⎠ 1 ⎝ ⎝ c⎠ E ( M , t ) = ------------- --------------------------------------------------------4 0 r 3c2


= E // ( M , t ) + E ⊥ ( M , t )

Ey

z

O

2

〈 E //〉 ----------- = cos2 . 2 〈 E ⊥〉 Le champ diffusé est polarisé rectilignement pour = ± ---- , donc pour des directions d’observation 2 perpendiculaires à ( Oz. )

Première mise en évidence expérimentale

Seconde mise en évidence expérimentale : expérience du coucher de Soleil

Plaçons un récipient rempli d’une solution de thiosulfate sur le trajet d’un faisceau lumineux, parallèle, de lumière blanche. En ajoutant un peu d’acide chlorhydrique à cette solution, il y a formation de soufre colloïdal (avec une cinétique de réaction relativement lente) qui diffuse la lumière en suivant les lois de la diffusion Rayleigh. Il est alors possible de mettre en évidence la polarisation par diffusion, ainsi qu’une couleur bleutée, alors que la lumière transmise devient rouge (doc. 20).

172

α

Les évolutions de x ( t ) et y ( t ), induites par celles des composantes du champ incident, étant aléatoires et de même amplitude, nous aurons :

En plaçant un récipient rempli d’eau à laquelle nous avons mélangé un peu de lait, il est possible de mettre en évidence la polarisation par diffusion (doc. 19). ■

E//

Doc. 18. Champ rayonné.

3.4.3. Quelques expériences simples ■

onde diffusée

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP ) source de lumière blanche

faisceau parallèle polariseur

quelques gouttes de lait dans de lʼeau

la solution devient bleue

source lumineuse (rétroprojecteur)

Doc. 19. Expérience mettant en évidence la polarisation de la lumière diffusée.

lumière transmise vire au rouge polariseur cette lumière diffusée est polarisée

Doc. 20. Expérience du coucher de Soleil. Quelques gouttes d’acide chlorhydrique sont versées dans une cuve contenant une solution de thiosulfate. Pour s’entraîner : ex. 2.

CQFR ●

MODÈLE ET APPROXIMATIONS

●

CHAMP RAYONNÉ


Le potentiel vecteur en M à la date t, associé à un dipôle variable p ( t ) , d’extension spatiale de l’ordre de d, au voisinage d’un point O, évoluant à une échelle de temps caractéristique T, peut être écrit : ⎛ ⎞ ˙ r ⎜ p ⎛ t – -r-⎞ p˙ ⎛ t – -r-⎞ ⎟ p ⎛ t – --⎞ ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ ⎟ 1 ⎜ ⎝ c⎠ + ----------------------⎟ . e r A ( M , t ) ≈ ------0- ---------------------- et V ( M , t ) = ------------- ⎜ -------------------2 4 r 4 0⎝ r rc ⎠ si les deux conditions suivantes sont vérifiées : •d •d r : approximation dipolaire ; l : approximation non relativiste. z

er • La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par r l. B ϕ • Le champ électromagnétique engendré par le dipôle (doc. ci-contre) dans les conditions : r l d: E r 1 p – décroît comme --- ; θ r ˙˙ ⎛ r ⎞ – est proportionnel à p t – -- , donc à l’accélération de la particule ⎝ c⎠ Structure du champ électromarayonnante ; gnétique rayonné par un dipôle • présente localement une structure d’onde électromagnétique plane oscillant. progressive dans le vide se propageant radicalement à partir du dipôle.

173

Ondes

CQFR Le trièdre ( E , B , e r ) est trirectangle et direct, avec : er ∧ E ( r , t ) E ( r , t ) = cB ( r , t ) ∧ e r ou B ( r , t ) = ----------------------------. c ●

PUISSANCE RAYONNÉE

• Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope : d2 p -; • la puissance est préférentiellement rayonnée dans les directions perpendiculaires au vecteur --------dt 2 • il n’y a pas d’énergie rayonnée dans la direction de ce vecteur.

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ?


✔ Quelle est la source du rayonnement étudié dans ce chapitre ? ✔ Quelles sont les approximations utilisées pour trouver le champ électromagnétique ✔ Quelle est la structure locale de l’onde électromagnétique rayonnée ? ✔ Comment est réparti spatialement le rayonnement émis par le dipôle électrique ? ✔ Comment peut-on calculer la puissance rayonnée par un dipôle oscillant ?

rayonné ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Ce chapitre étudie le rayonnement dipolaire magnétique. ❑ Vrai

❑ Faux

2. L’onde électromagnétique rayonnée est plane. ❑ Vrai

❑ Faux

4. La puissance rayonnée est isotrope. ❑ Vrai ❑ Faux 5. Le bleu est environ seize fois plus diffusé que le rouge. ❑ Vrai ❑ Faux

3. La relation en un point entre E et B est : ❑ a. E = cB ∧ e r .

174

er ∧ E ❑ b. B = --------------. c

Solution, page 177.


Exercices

Un atome est soumis au champ d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique dont le champ

Une onde électromagnétique monochromatique, de pulsation , de champ électrique d’amplitude réelle E 0 , est diffusée par les électrons élastiquement liés des atomes ou molécules d’un gaz, dans le domaine où la pulsation de l’onde est très inférieure à la pulsation propre de ces électrons élastiquement liés (cf. § 3.3.3 : 0 ). 0e

1) En utilisant la formule de Larmor

2a2

= ----------------- , 6 c déterminer la puissance moyenne totale rayonnée par un atome. 2) L’onde incidente interagit avec les atomes contenus dans un cylindre de section S, perpendiculaire à la direction de propagation ( Ox ) de l’onde incidente. La densité particulaire des atomes est notée n. Le flux énergétique surfacique moyen de l’onde incidente est = ( x ). noté . Établir la loi d’évolution 3) Dans les conditions usuelles de température et de = ------0- est de 2 l’ordre de 2 . 10 15 Hz. Évaluer la longueur L caractérisant l’atténuation du faisceau dans ce gaz pour une pulsation correspondant à un rayonnement visible. Cet ordre de grandeur et le comportement de L vis-à-vis de la pulsation permettent-ils d’avancer une explication simple d’un phénomène naturel observé chaque soir par ciel clair ? pression, la fréquence propre d’un gaz

0

électrique est, en notation complexe, E = E 0 e

j ( t – kz ) .

Pour rendre compte de la réponse de l’atome, on adopte le modèle de l’électron élastiquement lié, assimilé à un oscillateur spatial de pulsation propre 0 et de facteur de qualité Q . Pour exprimer les résultats, il sera judicieux de faire apparaître la grandeur r e précédemment introduite, appelée rayon classique de l’électron. 2) Section efficace de diffusion a) Établir l’expression de la puissance moyenne rayonnée par l’atome excité par l’onde plane progressive monochromatique incidente en utilisant la formule de Larmor (cf. exercice 1). b) En déduire l’expression de la section efficace de diffusion de rayonnement, définie comme le rapport entre le nombre moyen de photons diffusés par l’atome « cible » et le flux de photons « projectiles » incidents par unité de surface, ou encore le rapport entre la puissance moyenne diffusée et le flux surfacique moyen d’énergie incident. c) Tracer l’allure du graphe de cette section de diffusion = f ( ) , sachant que le facteur de qualité est très élevé. 3) Quel phénomène évoqué dans le cours retrouve-t-on au voisinage de la pulsation 0 ? 4) Diffusion Rayleigh

Données : constante d’Avogadro N A = 6,02 . 10 23 mol – 1 ;

Quel est le comportement asymptotique de la section efficace de diffusion à basse fréquence ? À quel autre phénomène évoqué dans le cours peut s’appliquer ce résultat ?

charge de l’électron – e = – 1,6 . 10 – 19 C ;

5) Diffusion Thomson

masse de l’électron m = 9,1 . m0 = 4

.

10 – 7

H.

m– 1

10 – 31

; c=3.

kg ;

10 8

m.

Quel est le comportement asymptotique de la section efficace de diffusion en haute fréquence ? Cette diffusion est appelée diffusion Thomson.

s– 1 .

onde incidente S x’

x

Donnée : la puissance rayonnée par une charge non relativiste d’accélération a est donnée par la formule de q 2 2a 2 Larmor : = ------------- -------3- . 4 0 3c

Durée de vie d’un état excité d’un atome

1) Préliminaire : quelle est la dimension de la grandeur :

On adopte ici un modèle planétaire de l’atome pour lequel l’électron d’un atome d’hydrogène est assimilé à une particule de masse m et de charge – e qui gravite sur une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un proton, considéré comme infiniment massif, fixe à l’origine O.

e2 r e = ----------------------2- ? 4 0 mc

1) Exprimer en fonction de R, m et e, la vitesse v, l’accération a de l’électron, la période T et l’énergie

Section efficace de diffusion de rayonnement électromagnétique (PC)

175


Diffusion Rayleigh (PC)

Exercices mécanique du système. Les évaluer pour R = 53 pm, et discuter le caractère relativiste ou non de l’électron. Données : m = 9,1 . 10 – 31 kg, e = 1,6 . 10 – 19 C et 1 ------------- = 9 . 10 9 F – 1 . m. 4 0 À une distance r très grande devant l’extension spatiale R de son mouvement, une particule non relativiste, de charge q et d’accélération a , émet un champ électromagnétique de rayonnement, dont le champ magnétique est (cf. Application 4) : r qa ⎛ t – --⎞ ∧ e r ⎝ ⎠ c B ( r , t ) = ------0- ------------------------------------ . 4 rc


2) Discuter la polarisation de l’onde émise dans le plan de l’orbite de l’électron ou sur son axe de révolution. 3) Établir la formule de Larmor donnant la puissance rayonnée par l’électron décrivant sa trajectoire circulaire. 4) Quelle est la conséquence de cette émission de rayonnement sur le mouvement de l’électron ? Discuter la rapidité de cette évolution en évaluant le rapport entre l’énergie rayonnée pendant une révolution et l’énergie mécanique obtenue à la question 1). 5) En utilisant les conclusions précédentes, proposer une loi d’évolution du rayon R de la trajectoire électronique en fonction du temps. En déduire une évaluation de la durée de vie du niveau excité 2 p de l’atome d’hydrogène, sachant que l’atome retombe, par émission de rayonnement, dans l’état 1s. On rappelle que les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés – 13,6 - eV, où n par la loi de quantification n = ------------n2 désigne le nombre quantique principal. Comparer la valeur obtenue à la valeur expérimentale de ce temps de vie qui est = 1,6 ns.

*

Rayonnement d’une antenne demi-onde

l ) d’un L’expression du champ de rayonnement ( r dipôle placé à l’origine du système de coordonnées obtenue dans le cours (cf. § 2.1.1) est :

avec

E ( r , t ) = cB ( r , t ) ∧ e r . ˙˙ r p ⎛ t – --⎞ ∧ e r ⎝ ⎠ c B ( r , t ) = ------0- --------------------------------- . 4 rc

Une antenne est constituée d’un fil d’épaisseur négligeable, de centre O et de longueur L, coïncidant avec l’axe

176

( Oz ), auquel un système électronique impose un courant oscillant : z i ( z, t ) = I 0 cos ⎛ ------⎞ cos ( t ) , ⎝ L⎠ soit en notation complexe : z z⎞ j t ⎛ i ( z, t ) = I 0 cos ------ e . ⎝ L⎠ M +L θP 2 On observe le rayonnement P de cette antenne en un point r θ M, repéré par ses coordonO nées sphériques ( r, ). 1) Expliquer l’expression du courant i ( z, t ) dans i(z, t) – L 2 l’antenne. Indiquer la relation liant la longueur L de l’antenne et la longueur d’onde l associée au courant i ( z, t ). 2) Dans la zone de rayonnement ( r l ) , peut-on supposer aussi que la longueur d’onde est très grande devant les dimensions de la source, comme dans le cas du rayonnement dipolaire ? Déterminer le champ dE créé en M par un élément de longueur dz situé en un point P d’abscisse z de l’antenne, puis son amplitude complexe dE . 3) Calculer le champ électrique E rayonné au point M. 4) Montrer que le vecteur de Poynting moyen peut se r mettre sous la forme Kf ( ) ----3 , où f ( ) (fonction dont r la valeur maximale est 1) est appelée indicatrice de rayonnement de l’émetteur. 5) Donner l’allure du diagramme de rayonnement de l’antenne. 6) Calculer la puissance moyenne totale rayonnée 〈 〉 , ainsi que la résistance de rayonnement R de l’antenne, 2 RI définie par 〈 〉 = -------0- . Calculer I 0 pour une antenne 2 qui rayonne une puissance moyenne de 1 kW.

Rayonnement d’un dipôle magnétique oscillant (MP) Dans la jauge de Lorentz, les potentiels scalaire V et vecteur A créés à grande distance par un dipôle magnétique de moment dipolaire M ( t ) variable (placé à l’origine du système de coordonnées) sont : ˙ r r M ⎛ t – --⎞ M ⎛ t – --⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c - + ---------------------- ∧ e r et V = 0 . A ( r , t ) = ------0- --------------------2 4 rc r


On considère un dipôle magnétique oscillant dont le moment dipolaire est, en notation complexe : M = M 0e

j te

z

(on supposera M 0 réel).

1) Exprimer le champ électromagnétique créé par ce dipôle dans la zone de rayonnement ( r l ). Commenter la structure obtenue et la comparer à celle du champ rayonné par un dipôle électrique oscillant de la forme p = p 0 e

j te

z

question 1)), évaluer les ordres de grandeurs de moments dipolaires électrique ou magnétique d’un atome. Comparer alors les importances respectives des rayonnements de ces deux types de dipôles, à fréquence d’oscillation identique. Donnée : en coordonnées sphériques (r, q, j) , le rotationnel d’un champ de vecteurs A est : ∂( sin A ) ∂ A 1 ------------- ⎛ ------------------------- – ---------⎞ ⎝ r sin ∂ ∂ ⎠

.

2) Quelle est la puissance moyenne rayonnée par le dipôle magnétique oscillant ?

rot A =

3) Utilisant le modèle planétaire d’un atome d’hydrogène où l’électron décrit une trajectoire circulaire de rayon c a = 53 pm à la vitesse v = --------- (état 1s, cf. exercice 3, 137

∂( rA ) ∂A 1 ------------- ⎛ --------r – sin ----------------⎞ . ⎝ r sin ∂ ∂r ⎠ 1 ⎛ ∂( rA ) ∂ A r⎞ --- ---------------- – -------r ⎝ ∂r ∂ ⎠

Corrigés Solution du tac au tac, page 174. 1. Faux ; 2. Faux ; 3. Vrai : a, b ;

(Ox). Dans une tranche d’épaisseur dx, les nSdx atomes diffusent en effet 4. Faux ;

5. Vrai.

la puissance moyenne : 〈 d

diffusée

1) En régime sinusoïdal établi et en notation complexe,

4 4 0e ------ 〈 E 2〉 nS dx . 〉 = --------------6 cm 2 04

diffusée>

l’accélération de l’électron élastiquement lié est : <

2

e 2 j t t ≈ -------- e E0 pour m 02

0

diffusée

<

incidente (x

+ dx)>

.

La formule de Larmor donne alors la puissance moyenne diffusée par un atome (à un électron), soit en notation réelle : 〈

incidente (x)>

2 4 4 0e 0e - 〈 a 2〉 = --------------------4 〈 E 2〉 〉 = --------2 6 c 6 cm 0

1 2 avec 〈 E 2〉 = --E 0 . 2

2) À l’abscisse x, la puissance incidente moyenne est : 〈 E 2〉 〈 incidente 〉 = ----------- S = Sf 0c en supposant que l’onde incidente a localement la structure d’une onde plane progressive monochromatique. En fait, l’amplitude E 0 de l’onde incidente va décroître, car cette puissance est partiellement absorbée par les atomes qui rayonnent à leur tour de l’énergie, dans des directions autres que celle de l’axe

xʼ

x

x + dx

x

L’égalité 〈 incidente (x)〉 = 〈 incidente (x + dx)〉 + 〈 d diffusée 〉 traduit le bilan énergétique pour la tranche élémentaire d’épaisseur dx. 6 m 2 04 f - ------ , puis : On en déduit df = – --- dx avec L = ------------L n 02 e 4 4 f(x) = f 0 e

x – --L

.

3) Pour un gaz, dans les conditions usuelles de température et de pression, il y a une mole de particules dans environ 22,4 L, donc : 6,02 . 10 23 - ≈ 2,7 . 10 25 m –3 . n ≈ -----------------------22,4 . 10 – 3

177


------2 E0 e 0 - ej a = --- ---------------------------------2 m 1 + j ---------- – ------2 Q 0 0

Corrigés Pour une longueur d’onde l = 0,5 m, soit = 3,8 . 10 15 s – 1 , la longueur caractéristique L est de l’ordre de L = 66 km (on obtiendrait moins en attribuant à chaque atome ou molécule un nombre plus élevé d’électrons diffusant le rayonnement électromagnétique). La longueur 4

caractéristique L est proportionnelle à -----04- . Sur une grande distance, telle que l’épaisseur de l’atmosphère traversée par les rayons issus du Soleil couchant (de l’ordre de quelques dizaines de kilomètres), l’atténuation des hautes fréquences est sensible, ce qui explique la couleur rouge orangée du « Soleil couchant ».

1) La quantité mc 2 est homogène à une énergie. Si d désigne une e2 longueur, la quantité --------------- est l’énergie d’interaction électrostatique de 4 0d deux électrons séparés par la distance d. La grandeur r e est donc une longueur.

2) a) L’accélération de l’électron élastiquement lié est, en notation complexe (cf. § 3.2.2) : 2

------2 E0 e 0 - ej a = --- ---------------------------------2 m 1 + j ---------- – ------2 Q 0 0

t

.

diffusion résonante

© Hachette Livre – H Prépa / Mécanique du solide et des systèmes, 2 e année, MP-PC-P– La photocopie non autorisée est un délit.

ω ω0

La puissance moyenne du rayonnement de diffusion est, en utilisant la formule de Larmor : 2

〈

4

e2

e2

= -------------------3 ------2 E0 12 0 c m 2

2

------4 0 ---------------------------------------------⎛ 1 – -----2-⎞ 2 + ⎛ ----------⎞ 2⎠ ⎝ ⎝ Q 0⎠ 0

2 a . a∗ a puisque 〈 a 〉 = ---------- = ------------ . 2 2

178

4) À basse fréquence (

0 ),

5) À haute fréquence (

0 ),

la section efficace est celle de la 8 2 4 diffusion Rayleigh : Rayleigh ( ) ≈ -- r e ------4 , qui permit d’avancer une 3 0 explication de la couleur bleue du ciel .

– e2 v2 1) Sur la trajectoire circulaire : – m ----- = ------------------2 , et on en R 4 0R v =

diffusion Rayleigh

a ---------2 e2 〉 = ------------ × 2 --------4 0 3c 3

3) Les facteurs de qualité caractérisant les modes d’oscillations des électrons atomiques sont très élevés, de sorte que la section efficace possède une résonance aiguë au voisinage de la pulsation propre 0 . Le graphe fait apparaître ce comportement particulier correspondant à la diffusion résonante évoquée dans le cours (cf. § 3.3.).

déduit :

diffusion Thomson

1

2 1 〈 P i〉 = --c 0 E0 . 2 La section efficace de diffusion est alors : 4 8 〈 〉 ( ) = ----------- = -- r e2 . -------------------------------------------------2 . 3 〈 P i〉 0 ⎞ ( 2 – 02 ) 2 + ⎛ --------⎝ Q ⎠ c) La fonction obtenue est de type « filtre passe-haut à forte résonance ». Son graphe a l’allure représentée sur le schéma (pour limiter la résonance, le schéma a été tracé pour Q = 2, ce qui n’est pas du tout réaliste, cette valeur devant être beaucoup plus élevée).

la section efficace est celle de la 8 2 diffusion Thomson : Thomson ( ) ≈ -- r e = cte . 3 Ce résultat, obtenu pour des rayonnements de haute énergie (domaine des rayons X durs), ne fait pas intervenir le couplage de l’électron à l’atome (en effet, pour 0 force de rappel et force de frottement visqueux sont négligeables dans le modèle de l’électron élastiquement lié) : il correspond ainsi à une approximation d’électron libre.

σ (ω)

8πr e2 3

b) Le flux surfacique moyen d’énergie de l’onde incidente est :

e2 -------------------- ; 4 0 mR

e2 v2 a = ---- = ----------------------2 ; R 4 0 mR

4 0 mR 3 2 R T = ---------- = 2 ---------------------; v e2 e2 1 e2 = -- mv 2 – ---------------- = – ---------------- . 8 0R 2 4 0R c A.N. : v = -------- la particule n’est pas relativiste ; 137 a = 9 . 10 22 m . s –2 ; T = 1,52 . 10 –16 s ; = – 13,6 eV.

2) On sait que le champ électromagnétique de rayonnement possède une structure locale d’onde plane, et on a : r e r ∧ a ⎛ t – -⎞ ⎝ ⎠ e c 0 - ----------------------------- ; B (r , t) = ------rc 4p ⎛ e ∧ a ⎛ t – -r⎞ ⎞ ∧ e r r ⎝ c⎠ ⎠ ⎝ e 0 - -------------------------------------------- . E (r , t) = cB ∧ e r = ------r 4 Le mouvement circulaire uniforme de l’électron dans le plan (xOy) de la trajectoire est la superposition de deux mouvements rectilignes oscillants,


déphasés de ---- , soit OP = R ( cos t e x + sin t e y ) ; on peut donc 2 affirmer (en utilisant les résultats du § 3.4.) que : • dans le plan de l’orbite (xOy), la polarisation du rayonnement émis est rectiligne (on a représenté le champ B sur le schéma a) ; • sur l’axe de révolution du cercle trajectoire, elle est circulaire (schéma b). O

y

z 1) Le courant i(z, t) = I 0 cos ⎛ ------⎞ cos( t) représente une ⎝ L⎠ onde de courant stationnaire sinusoïdale vérifiant les conditions aux limites (i = 0 aux extrémités) : ce courant peut donc parfaitement s’établir dans l’antenne (cf. chapitre 3). La longueur L et la longueur l d’onde l sont reliées par L = --- . 2

polarisation du champ B du rayonnement émis

x b)

polarisation du rayonnement émis O

Malgré la naïveté du modèle classique utilisé ici, on obtient un bon ordre de grandeur de . Une étude correcte devrait faire appel à la mécanique quantique. Toutefois, si on trouve ici un ordre de grandeur convenable, c’est aussi parce qu’on a utilisé les constantes physiques (e, m, c, et la constante de Planck h implicitement contenue dans l’expression de n ) .

y

x

L etondoit 2) Danscesconditions,onnepeutpasévidemmentsupposer l PM traiterleretard -------- avecsoindanslecalculduchamprayonnéparl’antenne. c L’élément dz situé au voisinage de P est équivalent à un dipôle dp tel que di dp˙˙ = ---- dz . On peut donc écrire : dt sin z PM 0 I0 - -----------P cos ⎛ ------⎞ sin ⎛ t – --------⎞ dze P . dE = – ------------⎝ L⎠ ⎝ 4 PM c ⎠ On peut simplifier cette expression, car r

3) Le vecteur de Poynting de l’onde rayonnée est : e2a2 E2 E ∧B - sin 2 e r , P = -------------- = -------- e r = ------------------------c 16 2 0 c 3 r 2 0 0 où désigne l’angle entre le vecteur accélération et la direction d’observation. Le flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de rayon r et centre O donne la puissance rayonnée par la particule :

∫

∫

2

e2

4) L’électron perd donc de l’énergie par rayonnement, son énergie mécanique diminue, et le rayon R de la trajectoire électronique doit décroître. Pendant une période de révolution T, l’énergie rayonnée est T . Le rapport entre cette perte d’énergie et l’énergie mécanique du système vaut : 3 -⎞2

e2 8 T . -------- = ------- ⎛ -----------------------3 ⎝ 4 0 mc 2 R⎠ Avec les valeurs numériques précédentes, on constate que ce rapport est de l’ordre de 10 – 6 , très faible : l’approximation d’une trajectoire quasi circulaire dont le rayon R décroît lentement est acceptable. d 5) ------- = – dt

4 dR , donc ------ = – -----------dt 3m 2 c 3

e2 ⎞ 2 1 ⎛ ----------- ----- , et en intégrant : ⎝ 4 0⎠ R 2

P

≈ et e

P

≈e

.

(Les différents champs dE cohérents vont interférer à l’infini ; cf.H-Prépa, Optique ondulatoire,2 de année.) r z PM ≈ r – z cos , donc = - – ------ cos c c sin sin et -----------P ≈ -----------P . PM r On a donc dE ≈ dE e , avec : z sin P cos ⎛ ------⎞ j ⎝ L⎠ dE = j -------------- -------------------------------- e 4 r

2a 2

P r 2 dΩ e r = ------------ ------3- , 4 0 3c =0 =0 ce qui correspond à la formule de Larmor (dans notre modèle, la norme a de l’accélération de l’électron est constante). =

L, donc

⎛ t – -r⎞ ⎝ c⎠

0 I0

e

z j ------ cos c

3) L’amplitude complexe du champ électrique est E =

∫

dz .

L --2

L z = – --2

dE .

La détermination de l’intégrale ⎛ ---- = ----⎞ : ⎝L c⎠ L --z 2 cos ⎛ ------⎞ ⎝ L⎠ L – --2

∫

1 = -2 conduit à :

e

L --2 L – --2

∫

z j ------ cos c

dz =

z j ------ (cos + 1) e c

L --z 2 cos -----L c – --2

∫

+

e

z j ------ cos c

z j ------ (cos – 1) e c

cos ⎛ ---- cos ⎞ j ⎝2 ⎠ 0 cI 0 - ---------------------------- e E = j ----------sin 2 r

dz

cos ⎛ ---- cos ⎞ ⎝2 ⎠ 2L , dz = ------ ----------------------------2 sin ⎛ t – -r⎞ ⎝ c⎠

e .

179


a)

4t ⎛ e 2 ⎞ 2 - ------------ . R(t) 3 – R(0) 3 = – --------m 2 c 3 ⎝ 4 0⎠ 32t ⎛ 4 0⎞ - ------------ . Le temps de On peut aussi écrire (t) –3 – (0) –3 = --------m2c3 ⎝ e2 ⎠ –3 –3 m2c3 e2 vie du niveau 2p est = ---------- ------------ ( 1 – 2 ). A.N. : 10 – 9 s. 32 4 0

Corrigés 4) Sachant que chaque point P de l’antenne rayonne un champ dB donné

1 Calculant les champs à l’ordre le plus bas de puissance de -- , on obtient : r

e r ∧ dE - (structure locale d’onde plane progressive monochropar dB ≈ ---------------c

2 M sin j ∂A 0 0 - ----------------------e E = – ------- = -------4 c r ∂t

er ∧ E - , puis le matique), on en déduit le champ magnétique total B = ------------c vecteur de Poynting moyen : ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ cos ⎝ ---- cos ⎠ ⎟ 2 ⎜ ----------------------------⎟ 〈P〉 = ⎝ ⎠ sin Il est bien de la forme demandée avec : 2 ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ cos ⎝ ---- cos ⎠ ⎟ 2 f ( ) = ⎜ --------------------------⎟ ⎝ ⎠ sin

e ---2r . r

Les orientations des champs électrique et magnétique sont interverties par rapport au cas du dipôle électrique rayonnant. 2

z

)

b)

5) La puissance moyenne rayonnée par unité d’angle solide dans la direction ( , ) est :


〈 〉 =

∫

2 =0

∫

θ

r

z

er

B

ϕ

⎞ 2⎛ 2 cos ---- cos ⎝2 ⎠ 〈 P 〉 . dS 〈d 〉 0 cI 0 2 -. ------------- = ---------------------- = 〈 P 〉 r = -----------2- -----------------------------dΩ dΩ sin 2 8 Le diagramme de rayonnement de z l’antenne a l’allure suivante. La puissance rayonnée est maximale pour θ = ---- , perpendiculairementàl’antenne. 2 6) On calcule la puissance moyenne totale rayonnée dans tout l’espace. Sachant que z′ dΩ = sin d d , il vient : 2 0 cI 0 ----------2 8

e .

électromagnétique E = cB ∧ e r , qui se propage radialement.

0 cI 0 -. K = ----------8 2

et

⎛ t – -r⎞ ⎝ c⎠

2 M sin j 0 0 -2 ---------------------e et B = rot A = – ---------r 4 c

e

Ce champ possède localement une structure d’onde plane

2

2 0 cI 0 ----------8 2

⎛ t – -r⎞ ⎝ c⎠

er

B

ϕ

E

E

r

θ

p

M

2) La valeur moyenne du vecteur de Poynting est : 2

4 M sin 2 ∗ 1 0 0 -3 ------------------------- er , 〈 P 〉 = --------- e (E ∧ B ) = --------------2 2 0 r2 32 c et la puissance moyenne rayonnée dans toutes les directions vaut :

cos 2 ⎛ ---- cos ⎞ ⎝2 ⎠ ----------------------------- sin d d . 2 sin =0

2

〈 2

M〉

4M 0 = ------------------0 12 c 3 4 p2 ⎞ 0 = ------------------⎟. 12 0 c 3 ⎠

0 cI 0 -. L’intégrale peut être calculée numériquement : 〈 〉 = 1,22 ----------4

⎛ celle correspondant au dipôle électrique oscillant est 〈 ⎝

0c . La résistance de rayonnement est donc R = 1,22 ------2 A.N. : R = 73 Ω et I 0 = 5,2 A (indépendante de la pulsation ).

3) L’ordre de grandeur du moment dipolaire électrique est p 0 = ea. Celui

P〉

e eva du moment dipolaire magnétique est M 0 = --- a 2 = ------- puisque T 2 vT = 2 a .

1) Utilisant le système de coordonnées sphériques, on a, dans la zone de rayonnement ⎛ l ⎝ 0 - j M0 e A (r , t) ≈ -------4 c

180

1 r, soit -r r j ⎛ t – -⎞ ⎝ c⎠

---- ⎞ ; c⎠

sin --------- e r

On peut alors comparer les ordres de grandeur relatifs aux rayonnements dipolaires électrique et magnétique : 2

et

V = 0.

M0 〈 M〉 v2 - ≈ -------2 ------------ = -------2 〈 p〉 p 0 c 2 4c

1.

Le rayonnement dipolaire électrique est nettement plus important.

Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

■ Vitesse de phase, dispersion. ■ Paquets d’ondes, vitesse de groupe. ■ Propagation du champ électromagnétique dans un plasma.


Nous avons essentiellement étudié dans les chapitres précédents la propagation d’ondes solutions de l’équation d’onde classique ou équation de d’Alembert. De nombreux phénomènes de propagation sont décrits par des équations différentes, mettant en jeu les phénomènes de dispersion d’atténuation et d’absorption.

7

■ Absorption.

Dans le cas des ondes électromagnétiques, nous nous sommes limités à l’étude de la propagation dans le vide. Comment caractériser la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu matériel ? Nous discuterons cet aspect dans le cas d’un milieu conducteur (métal, plasma) où existent des charges libres, ou de conduction et nous compléterons cette approche, au chapitre 9, par l’étude de la propagation d’ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques.

■ Équations de Maxwell. ■ Étude des solutions de l’équation de d’Alembert. ■ Ondes planes progressives monochromatiques ou harmoniques.

181

Ondes

1

Di s p e r s i o n , atté n u ati on e t abs o r pt i o n

1.1. Diverses équations de propagation 1.1.1. Équation de d’Alembert Dans les chapitres précédents, nous avons montré que l’équation de propagation des ondes planes : déformation le long d’une corde, surpression acoustique, champs électrique et magnétique dans le vide, est l’équation de d’Alembert : 2 1 ∂2 ----2- --------2- – ∂--------- = 0 c ∂t ∂x 2

où c est la vitesse caractéristique de la propagation. 1.1.2. Autres équations de propagation 1.1.2.1. Sans dissipation d’énergie • Nous étudierons au § 2 la propagation d’une O.E.M. dans un plasma (un gaz ionisé) sans dissipation d’énergie ; l’équation différentielle vérifiée par le champ E de l’onde électromagnétique sera (§ 2.2.1.) : ΔE =

0

⎛ e2

0 ⎜ ---------- E ⎝m 0

∂2E ⎞ + ---------⎟ , ∂t 2 ⎠

équation différente de l’équation de d’Alembert. • Lors de l’étude de la propagation d’une onde transversale sur une corde avec raideur (cf. exercice 1), l’équation différentielle obtenue est (g étant une constante du matériau et m sa masse linéique) : ∂2 ∂2 ∂2 c 2 --------2- = --------2- + ---- --------4- , ∂x ∂x ∂t équation encore différente de l’équation de d’Alembert. 1.1.2.2. Avec dissipation d’énergie Le frottement de la corde avec l’air introduit une dissipation d’énergie. La viscosité de l’air provoque une atténuation des sons lors de leur propagation. De façon analogue, la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu conducteur est accompagnée d’une dissipation d’énergie par effet Joule. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Ces termes dissipatifs peuvent être simplement modélisés par un terme correctif dans l’équation de d’Alembert sous la forme : 1∂ 1 ∂2 ∂2 ----2- --------2- + --- ------ – -------- = 0 où est un temps caractéristique. ∂t ∂x 2 c ∂t Cette équation n’est pas invariante par retournement du temps ( t → – t ), ceci traduit l’irréversibilité des phénomènes dissipatifs.

1.2. Conséquences Les diverses équations précédentes présenteront toutes les mêmes résultats généraux : • une disperssion (cf. § 1.3.3.), celle-ci existant que la propagation s’accompagne ou non de dissipation d’énergie ; • une atténuation (cf. § 1.3.4.), existant même si la propagation se fait sans dissipation d’énergie (cf. exercice commenté et exercice 6) ; • une absorption (cf. § 1.3.4.) liée à une dissipation d’énergie.

182

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe Nous baserons, par la suite, notre étude sur l’équation de propagation : 1∂ ∂2 ∂2 --------2- + --- ------ – c 2 --------2- = 0, ∂t ∂x ∂t qui diffère évidemment de l’équation de d’Alembert.

1.3. Solutions de l’équation de propagation 1.3.1. Utilité d’une analyse harmonique du problème Les équations de propagation que nous venons d’obtenir sont linéaires. Nous admettrons qu’une onde physique peut être décomposée en une superposition d’ondes planes progressives monochromatiques discrète ou continue (le § 3 nous en donnera une idée un peu plus précise). Une telle onde est solution de l’équation de propagation, équation différentielle linéaire à coefficients constants, si chacune de ses composantes monochromatiques est, elle aussi, solution de l’équation de propagation. L’analyse harmonique du problème, c’est-à-dire la recherche de solutions harmoniques, est donc d’un grand intérêt pour l’étude de ce problème linéaire. Nous chercherons des solutions « ondes monochromatiques » ou « ondes harmoniques », en utilisant la notation complexe afin de simplifier l’étude des équations différentielles mises en jeu.

1.3.2. Nombre d’onde complexe Cherchons une solution sinusoïdale, d’amplitude complexe proportionnelle à e j t , de l’équation de propagation : ∂2 ∂2 1 --------2- + --- ------- – c 2 --------2- = 0 . ∂t ∂x ∂t d2 ( x ) ⎛ j ⎞ - + – 2 + ----- ( x) = 0 , Notant ( x, t ) = ( x )e j t , il vient : – c 2 ---------------⎝ ⎠ dx 2 dont les solutions sont de la forme : ( x ) = 1 e jkx + 2 e – jkx , où nous avons introduit un coefficient k , nombre d’onde complexe, lié à la j pulsation par la relation de dispersion : c 2 k 2 = 2 – ------ . L’utilisation de la notation complexe facilite la recherche des solutions d’une équation (différentielle, linéaire, à coefficients constants) de propagation : elle permet d’obtenir une relation liant k à , relation de dispersion.

Des équations de propagation non linéaires peuvent admettre des solutions qui se propagent sans se déforx mer, du type ( x, t ) = f ⎛ t – --⎞ par ⎝ c⎠ exemple. La vitesse de propagation de ces ondes dépend alors de leur amplitude (nous avons étudié une solution de ce type dans l’exercice 7 du chapitre 3). De telles ondes sont appelées ondes solitaires : une combinaison linéaire de ces solutions n’est pas a priori solution de l’équation de propagation. Plus généralement, la connaissance de solutions d’une équation de propagation non linéaire nous apporte assez peu d’informations. Par la suite, nous nous limiterons aux cas fréquents où une description dans l’approximation linéaire est acceptable.


Nous pouvons étudier un phénomène régi par des équations linéaires en utilisant l’analyse harmonique.

Pour une pulsation donnée, l’équation de dispersion admet des solutions k complexes que nous noterons : 2

-. k ( ) = k 1 ( ) – jk 2 ( ) avec k 12 – k 22 = -----2- et 2k 1 k 2 = ------c2 c Une onde d’amplitude complexe

( x, t) =

0e

j( t – kx)

est solution de

l’équation de propagation si le nombre d’onde k (en général complexe) k = k 1 – jk 2 , est lié à la pulsation de l’onde sinusoïdale par la relation de dispersion obtenue à partir de l’équation de propagation.

183

Ondes

1.3.3. Vitesse de phase – Dispersion Étudions la solution particulière

(x, t) =

0e

j( t – k 1 x)

où k 1 =

e ( k ) est

positive. Nous avons (x, t) = 0

=

0

réel) :

0e

–k 2 x

e j(

(x, t) =

t – k 1 x) 0e

– k2 x

, soit en notation réelle (en supposant cos ( t – k 1 x) .

Le terme cos ( t – k 1 x ) montre qu’il y a propagation de l’onde selon les x croissants. En posant

=

t – k x , la phase de l’onde, nous remarquons que le point de

phase nulle vérifie la relation x = ----- t . Ce point se déplace à une vitesse appek1 lée vitesse de propagation de la phase, ou vitesse de phase v = ----- . Elle k1 dépend de la pulsation de l’onde. Le milieu de propagation sépare progressivement des ondes de pulsations différentes : c’est le phénomène de dispersion. La partie réelle du nombre d’onde définit la vitesse de phase = ----- = ---------------k1 e(k) qui dépend généralement de . Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pas à la même vitesse : la propagation est dispersive. v

1.3.4. Atténuation – Absorption Du fait du facteur e – k 2 x , l’amplitude de l’onde varie au sein du milieu. Contrairement aux ondes progressives solutions de l’équation de d’Alembert, l’onde se déforme en se propageant (doc. 1). Remarque

Pour l’équation de propagation étudiée, la relation de dispersion impose la relation : 2 1 - 0. k 1 k 2 = – --- m ( k 2 ) = ---------2 2 2c


0,5 0 – 0,5

Nous garderons la notation « onde plane progressive monochromatique » pour désigner ces ondes planes sinusoïdales qui ne sont plus véritablement « sinusoïdales », puisque leur forme évolue au cours de la propagation.

Si la propagation a lieu dans le sens des x croissants ( k 1 0 ), alors k 2 est positif : l’atténuation a lieu dans le sens de propagation de l’onde. L’onde perd de l’énergie au profit du milieu de propagation : il y a absorption. Sa décroissance exponentielle est caractérisée par la longueur de pénétration : 1 1 = ----- = – ----------------- . m(k ) k2 La partie imaginaire du nombre d’onde implique une évolution exponentielle de l’amplitude de l’onde. Pour une propagation avec atténuation (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration 1 1 = ----- = – ------------------ caractérise la décroissance exponentielle de l’onde. m( k) k2

184

ψ 1

–1

x 1

2

3

4

5

Doc. 1. Instantané de l’amplitude d’une onde se propageant en s’atténuant (t fixé).

• Dans le cas d’un milieu amplificateur (intervenant dans la conception de sources d’ondes : les lasers par exemple), nous pourrons obtenir, au contraire, k 1 k 2 0. • Le facteur e – k 2 x n’est pas toujours lié à une perte d’énergie lors de la propagation : ainsi dans un pavillon acoustique exponentiel, les amplitudes de la vitesse et de la surpression diminuent, mais la surface du pavillon augmente et la puissance moyenne transmise est uniforme (cf. exercice 6).

1

Équation des télégraphistes L’équation des télégraphistes : ∂2 --------2- – ∂x

∂2 ∂ --------2- = rg + ( r + g ) -----∂t ∂t

est vérifiée pour la tension ou l’intensité dans un câble coaxial d’inductance linéique , de capacité linéique et présentant une résistance de ligne linéique r et une conductance de l’isolant linéique g (cf. chapitre 3). 1) Déterminer la relation de dispersion pour une onde de courant de la forme i = I 0 exp ( j ( t – kx ) ). 2) À quelle condition y a-t-il propagation : a) sans atténuation, b) sans dispersion. 3) Dans le cas où il n’y a pas dispersion, calculer la vitesse de phase et la partie imaginaire de k . Que peut-on en déduire si l’onde de courant n’est pas monochromatique ? 1) En remplaçant i par son expression dans l’équation des télégraphistes, on obtient : 2 = rg + j ( r + g ) qui est la rela– k2 + tion de dispersion.

Nous remarquons que k est complexe et n’est pas en général proportionnel à : le milieu est dispersif et absorbant. 2) En posant k = k 1 – jk 2 , nous obtenons par 2

2

2 – rg ⎧k – k = identification : ⎨ 1 2 ⎩ 2k 1 k 2 = ( r + g )

(1) (2)

• Pour qu’il n’y ait pas atténuation, il faut que : k 2 = 0, donc que : r = 0 et g = 0. La ligne doit être sans pertes. • Pour qu’il n’y ait pas dispersion, il faut que k 1 soit proportionnel à .

En posant k 1 = ----- où v est la vitesse de phase v nous obtenons : v k 2 = ----- ( r + g ) d’après (2), 2 et en reportant dans (1) : 2⎛

⎝

v2 1 – ----2- ⎞ = rg – ----- ( r + g ) 2 . 4 v ⎠

Pour que v soit indépendant de que :

, il est nécessaire

v2 1 – ----2- = 0 et rg – ----- ( r + g ) 2 = 0 . 4 v 1 Soit v = ------------ et r

= g

après simplifications.

L’absence de dispersion est obtenue si r

= g . 1

3) La vitesse de phase est alors : ------------

et

r +g k 2 = -------------------- est une constante. 2 En notation réelle une onde de courant sinusoïdale s’écrit alors : x i ( x, t ) = i 0 e –k 2 x cos ⎛ t – ----- ⎞ + 0 . ⎝ v ⎠ Une onde courant quelconque peut être décomposée en fonctions sinusoïdales. En remarquant que pour une onde sinusoïdale : x i ( x, t ) = i ⎛ 0, t – ----- ⎞ e – k 2 x ⎝ v ⎠


Application

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

avec k2 constante pour toute onde de courant : x i ( x, t ) = i ⎛ 0, t – ----- ⎞ e – k 2 x ⎝ v ⎠ ce qui correspond à une propagation atténuée à la vitesse v . Le facteur e – k 2 x est ici lié à une déperdition d’énergie lors de la propagation de l’onde.

185

Ondes

2

Pro pagati on d ’u n e on d e él ec t ro m a gn é ti qu e d a n s u n pl as ma

2.1. Modèle du plasma Un plasma est un gaz ionisé constitué • d’ions positifs : atomes dont un ou plusieurs électrons sont manquants ; • des électrons qui ont été arrachés des atomes. L’ensemble est globalement neutre : la densité volumique de charge est nulle. Les plasmas peuvent être créés par une décharge électrique, dans les lampes à fluorescence par exemple, soit par des phénomènes photoélectriques, dans l’ionosphère (couche de l’atmosphère à environ 60 km d’altitude). Nous prendrons un modèle de plasma constitué de n ions (de masse M et de charge + e) et de n électrons de masse m et de charge – e) par unité de volume. Nous négligerons toutes les interactions entre ions : ni attraction ou répulsion électrostatique, ni chocs. Cette hypothèse est assez satisfaisante pour un gaz sous faible pression ou plasma peu dense. Nous appellerons vitesse des ions leur vitesse mésoscopique de façon à ne pas tenir compte de la vitesse d’agitation thermique. Supposons qu’un champ électrique extérieur est appliqué au plasma. La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un ion positif s’écrit dV dv M dV dv M -------- = eE et pour un électron m ------ = – e E soit ------ = – ----- -------- . En ne dt dt m dt dt M tenant compte que des termes dépendant du temps, v = – ----- V . Le rapport m M des masses ----- est au moins égal au rapport de la masse du proton à celle de m M 1,7 × 10 –26 - ≈ 1 800. La vitesse des ions positifs est petite l’électron soit ----- ------------------------m 9,1 × 10 –31 devant celle des électrons. Les densités volumiques j dues aux électrons, et J due aux ions sont telles que


m m m j = – nev et J = neV , soit J = – nev ----- = ----- j : comme ----1 , la M M M densité volumique de courant dans le plasma est donc égale à celle des électrons. La masse des ions positifs étant très supérieure à celle des électrons : dans un plasma, seul le mouvement des électrons est à prendre en compte ; la densité volumique de courant est égale à celle des électrons car la vitesse des ions positifs est négligeable.

2.2. Propagation d’une onde plane progressive monochromatique dans un plasma Supposons qu’une onde plane progressive monochromatique se propage dans le plasma étudié. À cette onde sont associés des champs électrique E et magnétique B vérifiant les équations de Maxwell. L’équation du mouvement des électrons permet de déterminer la densité volumique de charge et de courant. Les équations de Maxwell donnent alors un

186

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe système non linéaire car j = – nev n’est pas une fonction linéaire de E car n et v dépendent a priori de E . Il est nécessaire d’effectuer des approximations pour le résoudre. 2.2.1. Approximations 2.2.1.1. Comparaison des effets des champs électrique et magnétique Ces champs agissent sur les électrons du plasma et les mettent en mouvement. Si nous supposons qu’il n’existe aucun autre champ que ceux de l’onde, l’équation du mouvement d’un électron s’écrit : dv m ------ = – e ( E + v ∧ B ). dt E Raisonnablement, le rapport ------- est du même ordre de grandeur que celui pour B E une onde plane progressive monochromatique dans le vide, c’est-à-dire ------- ≈ c , B nous vérifierons ce résultat a posteriori. Les électrons sont non relativistes donc : v ∧B

cB ≈ E .

La force sur les électrons due au champ magnétique d’une onde plane progressive monochromatique est négligeable devant celle due au E champ électrique car les électrons sont non relativistes et que ------- ≈ c . B 2.2.1.2. Mouvement des électrons Soit un électron repéré par sa position OM e = r e en mouvement au voisinage d’un point M tel que OM = r . Si l’amplitude du mouvement de l’électron est l, petite devant la longueur d’onde de l’onde électromagnétique r e – r le champ électrique auquel est soumis l’électron peut être confondu avec celui en M. Ce champ est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation , donc © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

dv en notation complexe, m ------ = – eE devient j mv = – eE ( r , t ). L’élecdt tron étant proche de M, sa vitesse peut être confondue avec celle d’un électron en M, d’où la relation jm v ( r , t ) = – eE ( r , t ). Ceci revient à associer un ∂v champ de vitesse pour les électrons vérifiant m ------ = – eE . ∂t Si l’amplitude du mouvement des électrons est petite devant

,

∂v l’équation de la dynamique s’écrit m ------ = – eE . ∂t Remarque (PC/PSI) L’équation d’Euler relative au mouvement d’un électron s’écrit : ∂v m ⎛ ------ + ( v . grad )v ⎞ = – eE . Avec une vitesse de la forme v = v 0 e i ( ⎝ ∂t ⎠

t – kx ) ,

187

Ondes

∂v est de l’ordre de v alors que ( v . grad )v est de l’ordre de kv 2. Ainsi -----∂t ∂v est donc équivalent à kv . ( v . grad )v -----∂t v l 1 La quantité ---- représente l’élongation du mouvement des électrons, --- = ------- . 2 k La condition r e – r

l appliquée à l’équation d’Euler conduit directement à

∂v m ------ = – eE . ∂t • Densité volumique de courant La densité volumique de courant est j = – nev car la vitesse des ions positifs est négligeable. Nous admettrons que la densité volumique d’électrons et d’ions reste constante égale à n. Dans ce cas la relation entre la densité volumique de courant et le champ électrique est linéaire et la densité volumique totale de charge est nulle. Les équations de Maxwell conduisent alors à des équations linéaires. En supposant la densité volumique d’électrons et d’ions constante et égale à n, la charge volumique globale une équation linéaire.

ne 2 j est nulle et ------- = -------- E est m t

Avec les approximations proposées les équations de Maxwell s’écrivent : divE = 0 car

=0 En calculant rot ( rotE ) on obtient alors l’équation différentielle de pro-

divB = 0 ∂B rotE = – -------∂t rotB =

0

j+

0

⎫ ⎪ ⎪ ne 2 ∂j ⎬ avec ------- = -------- E m ∂t ∂B ⎪⎪ ------0 ∂t ⎭

pagation de E : ΔE =

2.2.2. Équations de Maxwell en notation complexe pour une onde plane progressive monochromatique © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Cherchons une solution particulière en notation complexe sous la forme d’une ⎧ ⎪ E = E0ej( t – k . r ) onde plane progressive monochromatique : ⎨ . ⎪ B = B ej( t – k . r ) 0 ⎩ 2.2.3. Structure de l’onde plane progressive monochromatique ∂B La relation rotE = – ------- conduit à : k ∧ E = ∂t ture de l’onde.

B ; c’est la relation de struc-

De même divE = 0, conduit à k . E = 0, soit k . E = 0 ; et divB = 0, à k . B = 0, soit k . B = 0. Les champs électrique et magnétique d’une onde plane progressive monochromatique dans un plasma peu dense sont transverses.

188

0

⎛ ne 2

0 ⎜ ---------- E ⎝m 0

∂2E ⎞ . + ---------⎟ ∂t 2 ⎠

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe L’équation différentielle de propagation de E donne k 2 c 2 =

2 p

–

en

ne 2

2 p

= ---------- . m 0

pente 1

Dans un plasma peu dense, l’équation de dispersion relative à une onde plane progressive monochromatique est l’équation de Klein2 2 2 2– 2 ne 2 0 c ne . p -------------------Gordon : k 2 = ------------------avec = = --------p m c2 0m p s’appelle la pulsation plasma.

p

kc

2.2.4. Pulsation de coupure Nous remarquons que k est réel si

p.

5

Il y a alors propagation.

k2 est négatif, k est imaginaire pur soit k = ± jk 2 . En notation

4

réelle, le champ électrique s’écrit E ( x, t ) = E 0 e ± k 2 x cos ( t + 0 ) pour une onde plane suivant l’axe des x. Il n’y a pas propagation car les dépendances spatiale et temporelle sont séparées. L’onde est dite évanescente.

3

Si

p,

Seules les ondes planes monochromatiques de pulsation

p

se

propagent dans un plasma. Dans le cas contraire, les ondes sont stationnaires et dites évanescentes (évolution exponentielle de l’amplitude selon la direction de l’onde). 2.2.5. Structure de l’onde plane progressive monochromatique dans le domaine de propagation Si nous plaçons dans le cas 2

p

kc -----p

k = ---c

2 1

-----p

0

1

2

3

4

5

v ----c

5 4 3

nous remarquons que (doc. 2) :

2

2

– • k = ----------------------p relation non linéaire entre k et w. c c La vitesse de phase est v = ---- = ------------------- n’est pas constante. k 2 1 – -----p2-

1

-----p

0

Le milieu est dispersif. Cette vitesse est supérieure à c. Ceci n’est pas paradoxal car, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, cette vitesse ne correspond pas à la vitesse de l’information ou de l’énergie. k ∧E • En notation réelle B = -------------- car k est réel. Le trièdre ( E , B , k ) est k E E orthogonal direct et B = ---- E = ----- ≠ --- . La structure de l’onde est donc semv c

1

2

3

4

5

Doc. 2. Nombre d’onde et vitesse de phase en fonction de la pulsation pour un plasma de pulsation caractéristique k ≈ ---- et c v ≈ c , le comportement du plasma est p

. À haute fréquence

proche de celui du vide à cause de l’inertie des électrons.

blable à celle de l’onde plane progressive monochromatique dans le vide. Nous remarquons que l’approximation v ∧ B a posteriori.

cB ≈ E

est vérifiée

Dans un plasma peu dense, la structure d’une onde plane progressive monochromatique de pulsation supérieur à p est semblable à celle k dans le vide. Le trièdre ( E , B , k ) est orthogonal direct et B = ---- E mais la vitesse de phase est différente de c et dépend de

:

➣

189


posant

2

Ondes

➣ v

c = ---- = -------------------- . k 2 1 – ------p2-

Le milieu est dispersif. Il n’y a aucune dissipation d’énergie dans ce milieu. La densité particulaire des électrons dans l’ionosphère est de l’ordre de 1010 m–3 à 1012 m–3. Ce qui donne des fréquences plasma : • pour v ≈ 10 5 Hz v p l’ionosphère joue le rôle de réflecteur : ceci explique la première liaison radio transatlantique réalisée par Marconi en 1901 ; • pour v = 10 8 Hz v p l’ionosphère est « transparente ». Ces fréquences sont utilisées pour communiquer avec les satellites. Pour s’entraîner : ex. 2, 3 et 4.

3

Paqu et s d ’on d e s (hors programme en PT )

Sauf mention particulière, nous négligerons dans ce paragraphe, une atténuation éventuelle de l’onde (liée ou non à un phénomène dissipatif) : le nombre d’onde k sera donc supposé réel. Nous avons vu que ceci peut correspondre à des systèmes idéalisés ou à des domaines de fréquences définissant des zones de transparence pour les systèmes réels.

t = t0

3.1. Ondes physiques et outil « onde plane progressive monochromatique »


Imaginons qu’un expérimentateur impose une secousse à une corde vibrante x (idéale comme au chapitre 2). L’onde, ici de type f ⎛ t – --⎞ , se propage le ⎝ c⎠ long de la corde à partir de l’endroit où l’excitation est imposée (doc. 3). Un observateur placé près de la corde, en aval de l’expérimentateur, voit ce signal, d’extension spatiale x finie, passer devant lui pendant un intervalle de temps t lui aussi fini.

x Δx

t = t1

Un signal physique émis par une source, et qui se propage, possède des extensions temporelle et spatiale finies. Les ondes planes progressives monochromatiques sont des outils pratiques, utilisables pour analyser des phénomènes de propagation linéaires. Il est cependant impossible de définir un instant, ou un endroit, où une onde de la forme ( x, t ) = 0 cos ( t – kx ) serait amorcée ou finirait. L’énergie associée à cette onde serait de plus infinie ! Une onde plane progressive monochromatique ne peut donc pas représenter un signal physique. L’onde plane progressive monochromatique ou harmonique est un outil d’analyse des phénomènes de propagation. Elle ne saurait décrire à elle seule un phénomène physique observable.

190

x t = t1 + Δt

x

Doc. 3. Secousse imprimée à une corde : un exemple d’émission et de propagation d’un signal physique.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe 3.2. Transport de l’information Le transport d’information nécessite un support : surpression pour les sons, champ électrique ou magnétique… qui se propage sous forme d’onde sonore, électromagnétique… De nombreuses méthodes permettent de transporter un grand nombre de données « simultanément ». Une méthode efficace consiste à moduler l’amplitude ou la phase ou la fréquence d’un signal initialement sinusoïdal de fréquence f 0 par le signal à transmettre.

Une onde monochromatique ne transporte pas d’information car elle est d’extension temporelle infinie. L’étude des ondes non monochromatiques est donc nécessaire pour comprendre le transport de données.

Nous étudierons par la suite uniquement la modulation d’amplitude qui est historiquement la première méthode de transport de l’information.

enveloppe porteuse

Dans ce cas, le signal est composé d’une « porteuse » de fréquence f0 dont 1 l’enveloppe (amplitude) varie avec un temps caractéristique grand devant ----- . f0 La formule du signal émis par la source est alors du type : s ( t ) = A ( t ) cos ( 2 f 0 t +

0) .

Ce signal n’est pas sinusoïdal. Plus la quantité d’informations à transmettre est importante, plus le temps est petit et plus l’extension temporelle de l’enveloppe A ( t ) est petite (doc. 5).

3.3. Obtention d’une onde localisée

t

Rappelons que nous avons supposé ici que le nombre d’onde k ( ) est réel. 3.3.1. Superposition de deux ondes monochromatiques Considérons une superposition de deux ondes monochromatiques de même amplitude, en phase en x = 0 à t = 0, de pulsations 1 et 2 (avec 1 2 ). En notation réelle, nous l’écrirons : 0 cos (

1t

– k1 x ) +

où la relation de dispersion impose k 1 = k (

0 cos ( 1)

2t

– k2 x ) ,

et k 2 = k (

2) .

Supposons les pulsations

1 et 2 voisines, et notons : + 1– 2 1 2 = ----------------et m; m = ------------------2 2 k1 – k2 k1 + k2 -. k m = --------------k = --------------et - ≈ k( m) 2 2

L’amplitude de l’onde s’écrit alors : ( x, t ) = ( 2 =

0 cos (

m ( x,

a) 1 0 –1

t – k x ) ) cos (

t ) cos (

mt

mt

– km x )

ψ

–6

b)

–4

–2

0

2

4

x

vg

– km x ) .

Un instantané de l’onde (doc. 5) fait apparaître un phénomène de battement : l’amplitude des oscillations rapides de l’onde, de pulsation spatiale k m , est lentement modulée à la pulsation spatiale k : • le signal « rapide » cos (

Doc. 4. Enveloppe temporelle d’extension importante, puis faible.

mt

– k m x ) se propage à la vitesse de phase v = ---- ; k • l’enveloppe du signal (fuseaux de modulation) se propage à la vitesse d v g = ------- ≈ ------- , appelée vitesse de groupe (cf. § 3.4). k dk 3.3.2. Observation de superpositions d’ondes sinusoïdales Une onde plane progressive monochromatique seule n’est absolument pas localisée.

vϕ

Doc. 5. Instantané d’un paquet de deux ondes : tracé de : f ( x ) = ( x, t = t 0 ). a. Phénomène de battement. b. Agrandissement de la courbe faisant apparaître vitesse de phase v et vitesse de groupe v g.

191


( x, t ) =

faible

Ondes

La somme de deux ondes sinusoïdales de fréquences voisines est un signal oscillant à la fréquence moyenne dont l’amplitude évolue lentement : nous pouvons dire que l’onde globale est essentiellement localisée au voisinage des ventres des fuseaux de modulation de son amplitude. En superposant un nombre plus important d’ondes planes progressives monochromatiques, nous pouvons essayer de réduire encore l’extension de l’enveloppe du signal. Envisageons donc un paquet de 2N + 1 ondes planes sinusoïdales, de pulsations n voisines autour de la valeur moyenne m . Notons trale Δ

= m+n ( – N n N ), en supposant que la largeur spec= 2N de ce paquet vérifie Δ m . Son amplitude est :

n

( x, t ) =

N

∑

A 0 cos (

nt

– kn x ) ;

kn = k (

n)

.

n=–N

Adoptons le point de vue d’un observateur placé en x = 0 qui regarde défiler devant lui ce paquet d’ondes (doc. 6). Dans tous les cas, l’observateur voit passer devant lui des « bouffées d’onde » : il détecte un signal oscillant rapidement, dont l’amplitude est lentement modulée. Remarquons que la durée de ces bouffées est d’autant plus réduite que le nombre d’ondes planes progressives monochromatiques superposées, et donc la largeur spectrale Δ , sont importants. paquets d’ondes 1

N = 1

0 –1

–6

–4

–2

0

2

4

6

–6

–4

–2

0

2

4

6

–6

–4

–2

0

2

4

6

1

N = 2

0 –1

1

N = 10

0


–1

3.3.3. Paquets d’ondes localisés La superposition d’un ensemble discret d’ondes planes progressives monoest une onde périodique, qui a la chromatiques de pulsations séparées de 2 4 même allure aux instants t, t + -------- , t + -------- , etc. La modulation de son ampliΔ Δ tude a une période temporelle : 2 T = -------- . Δ Une onde physique, localisée dans le temps et l’espace (la déformation imprimée par un expérimentateur à la corde vibrante par exemple), est non périodique. Pour l’obtenir, nous pouvons envisager la limite T tend vers + ∞, soit tend vers 0. Pour maintenir l’extension temporelle t du pic de modulation à une valeur finie, nous devons simultanément maintenir : Δ = 2N

192

Doc. 6. Observation du passage d’un paquet de 2N + 1 ondes en x = 0 : tracé de : ( x = 0, t ) f ( t ) = -------------------------2N + 1 m ⎛ ici : = ------- ⎞ . ⎝ 50 ⎠

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe non nulle, donc faire tendre le nombre d’ondes superposées vers l’infini. Nous devons donc superposer une infinité d’ondes planes progressives monochromatiques de fréquences infiniment proches. Un paquet d’ondes localisé dans le temps et l’espace est une superposition d’ondes planes progressives monochromatiques à répartition continue de fréquences. Il est d’usage de noter l’amplitude du paquet d’ondes sous la forme complexe : ∞ 1 ( x, t ) = ----------A ( )e j ( t – kx ) d avec k = k ( ) . 2 0 Nous pourrons aussi noter l’amplitude réelle sous la forme (en supposant A = a 2 réel) :

∫

( x, t ) =

∞

∫0

a ( ) cos ( t – kx ) d

.

Sur le document 7 sont représentées les amplitudes détectées par un observateur regardant le paquet passer en x = 0 dans deux cas particuliers. paquets d’ondes à spectre continu

spectre rectangulaire a( ) a0

Δ ⁄

4 -------Δ

a0 Δ

m

0 ------m

0,8 0,9

1 1,1 1,2 mt

A = a0 Δ

spectre gaussien : a ( w ) = a0 a( ) a0

2 ( w – wm )2 – ---------------------------Dw 2 e

Δ ⁄

–100

---2

0 100 a b c d

200

4 m ---------Δ


–200

Ae – 0,5

m

0

a0e–0,5 ------m

0,8 0,9 1

mt

1,1 1,2 –200

–100

0

100

200

Doc. 7. Paquets d’ondes à spectre rectangulaire ou gaussien.

193

Ondes

3.4. Extension spatiale et temporelle d’un paquet d’ondes

a

Prenons par exemple un paquet d’ondes (doc. 7) à spectre rectangulaire et adoptons le point de vue de l’observateur placé au point x = 0 qui regarde passer l’onde. Observons l’évolution des phases des différentes composantes sinusoïdaΔ Δ . les du signal au cours du temps ( t ) = t avec 0 – -------0 + -------2 2 • À t = 0 toutes ses phases sont identiques, les différentes composantes se superposent de façon constructive. • À un instant t1 les phases prennent des valeurs comprises entre Δ ⎞ Δ ⎞ ⎛ ⎛ min = ⎝ 0 – --------⎠ t 1 et max = ⎝ 0 + --------⎠ t 1 ce qui correspond à une valeur 2 2 moyenne m = 0 t 1 et un écart Δ = Δ t 1 . Quand cet écart est grand, les composantes sinusoïdales ne se superposent plus de façon constructive mais « désordonnée », l’amplitude du signal devient alors faible (doc. 8). Ce raisonnement qualitatif nous indique que dès que la différence de phase Δ devient de l’ordre de grandeur de 2 , l’amplitude de l’onde est négligeable. La « bouffée » d’onde observée en x = 0 au voisinage de t = 0 a une existence limitée dans le temps. La durée caractéristique Δt correspondante est telle que l’écart des phases entre les ondes de plus haute et plus basse fréquence prend une valeur de l’ordre de grandeur de 2 , doit ΔtΔ ≈ 2 ou Δt Δv ≈ 1 où Δv est l’écart de fréquences. La durée Δt d’un paquet d’onde est d’autant plus petite que la largeur Dv de son spectre en fréquence est grande : Δ t Δv ≈ 1 . Un raisonnement semblable peut être repris pour discuter de l’extension Δx du paquet d’ondes. Une « photographie » à un instant t0 donné du paquet d’ondes présente une extension spatiale telle que Δx Δk ≈ 2 .


Nous pouvons remarquer sur notre exemple que l’enveloppe du signal est maximale au point où toutes les phases des ondes sinusoïdales qui le composent sont identiques. Ce résultat se généralise à n’importe quel paquet d’onde de pulsation moyenne m à extension temporelle limitée. L’enveloppe est maximale au point où la phase du signal dépend peu pour la pulsation ⎛d ⎞ = 0 ou la phase est extrémale m ; ceci se traduit par la relation ⎝ -------⎠ d = m en m pour le point correspondant au maximum de l’enveloppe.

3.5. Propagation avec ou sans dispersion Pour une propagation régie par l’équation de d’Alembert, la relation de dispersion k = ---- donne une vitesse de phase v = c indépendante de . Toutes c les ondes planes progressives monochromatiques d’un paquet se propagent à la même vitesse : la propagation n’est pas dispersive. Un paquet d’ondes se propage, comme toutes les ondes planes progressives monochromatiques qui le constituent, à la vitesse c. Deux instantanés du paquet d’ondes à deux instants différents t 1 et t 2 sont donc identiques, à une translation de v ( t 2 – t 1 ) près (doc. 10a). Si les ondes planes progressives monochromatiques du paquet se propagent à des vitesses de phase qui diffèrent les unes des autres, la propagation est dispersive, et le paquet d’ondes se déforme en se propageant. Ce fait est illustré

194

b min m

c

max

d 2 ⁄Δ t

Doc. 8. Corrélation entre les phases des ondes du paquet : (a) parfaite, (b) partielle, (c) faible, (d) nulle.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 –2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

6

8

10

12

14

–2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

6

8

10

12

14

–2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1

2

4

6

8

10

12

14

Doc. 9. Propagation non dispersive d’un paquet d’ondes.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe sur le document 10, dans le cas de la relation de dispersion de Klein-Gordon obtenue au § 2.2.3. Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pulsation de l’onde et un paquet d’ondes se déforme au cours de sa propagation. La dispersion peut être nuisible. Pour une transmission d’informations sous forme binaire, ensemble de pics de durée t , le taux maximal de transfert 1 d’information est a priori d’environ ----- bits par seconde. En se propageant t dans un milieu dispersif, ces impulsions se déforment (doc. 11). L’élargissement réduit le taux de transfert d’information, car il faut espacer nettement les pics successifs pour que leur élargissement ne cause pas de recouvrement. La dispersion peut être utile : dans le verre d’un prisme, nous verrons au chapitre 9 que les ondes électromagnétiques du domaine visible ne se propagent pas à la même vitesse. La dispersion de la lumière permet son analyse spectrale. Pour s’entraîner : ex. 5.

3.5. Vitesse de groupe 3.5.1. Propagation de l’enveloppe d’un paquet d’onde Considérons un paquet d’ondes de pulsation moyenne trale temporelle (ou spatiale) étroite Δ << m .

m

d’extension spec-

Modélisons son spectre par un profil rectangulaire (cf. doc. 7) soit :

Comme Δ

m,

k( ) ≈ k( avec k m = k (

m) ,

Δ + -------2 a 0 e ( t – kx ) d Δ – ------m 2 m

∫

.

dk + ⎛ -------⎞ ⎝d ⎠

=

=

m

–

( –

m)

m

=

m

soit après calcul de l’intégrale :

t – km x )

⎛ ⎜ ⎝

∫

e

j

6

8

10

12

14

–2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

6

8

10

12

14

–2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1

2

4

6

8

10

12

14

. m

L’amplitude de l’onde est alors approximativement ( x, t ) = a 0 e (

4

ou k ( ) ≈ k m + ------vg

d et v g = ⎛ -------⎞ ⎝ dk ⎠ Δ -------2 Δ – -------2

2

Doc. 10. Propagation dispersive d’un paquet d’ondes.

nous pouvons écrire : m)

–2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 1 0.8 0.6 0.4 0.2

⎛ t – --v-⎞ ⎝ g⎠

tension

d(

⎞ )⎟ ⎠

Δ x a 0 sin ⎛ -------- ⎛ t – ----⎞ ⎞ ⎝ 2 ⎝ v g⎠ ⎠ ( x, t ) = ----------------------------------------------- e j ( x⎞ ⎛ t – ---⎝ vg ⎠

mt

L’onde résultante correspond à une onde moyenne de pulsation Δ x sin ⎛ -------- ⎛ t – ----⎞ ⎞ ⎝ 2 ⎝ v g⎠ ⎠ l’amplitude est modulée par un facteur F ( x, t ) = ----------------------------------------- . x⎞ ⎛ t – ---⎝ vg ⎠

– km x )

.

0

t

tension m

dont

x Comme F ( x, t ) est une fonction de t – ----- , cette enveloppe se propage selon vg l’axe des x à la vitesse v g et présente un maximum pour x = v g t (doc. 12).

0

t

Doc. 11. Propagation d’une impulsion électrique dans un câble coaxial : le pic est élargi du fait de la dispersion (il est aussi atténué du fait de l’absorption).

195


( x, t ) =

1 0.8 0.6 0.4 0.2

Ondes

Remarques • Cette description peut être généralisée à un spectre de profil quelconque si la largeur spectrale du paquet et la dispersion du milieu soient suffisamment faibles pour négliger les termes d’ordre supérieur à un dans l’expression de k ( ) . Dans le cas contraire, l’enveloppe du paquet d’onde se déforme au cours de sa propagation. • Nous avons remarqué dans le paragraphe précédent que le maximum d’amplitude d’un paquet d’onde de pulsation moyenne m correspond à une phase extrémale pour = m . Ceci se traduit ici par : ( t – kx )⎞ ⎛ d------------------------⎝ ⎠ d

=

m

dk = 0 soit t – ⎛ -------⎞ ⎝d ⎠

=

m

Nous retrouvons ainsi la loi d’évolution du maximum de l’enveloppe x = v g t . m

se

déplace, dans un milieu où la dispersion n’est pas trop importante, à d la vitesse de groupe v g = ⎛ -------⎞ . ⎝ dk ⎠ m 3.5.2. Transmission de l’information Pour transmettre une information, nous pouvons disposer un émetteur (observateur secouant une corde, source sonore ou lumineuse, …) et un récepteur détectant les ondes émises, séparés par une distance L (doc. 13). Si l’émetteur envoie un signal à l’instant t 0 que le récepteur détecte à l’instant t 0 + Δt , nous dirons que la vitesse de propagation de l’information dans le milieu (supposé L homogène), siège du phénomène de propagation, est ----- . Δt La mesure, pour être significative, nécessite l’utilisation de signaux de durée limitée (impulsions), donc des paquets d’ondes. Le détecteur repère le passage de l’onde en détectant l’enveloppe du paquet d’ondes qui se propage. Nous L aurons donc Δt ≈ ---- . vg

= 0

0,5

x = 0

0 –0,5 –1 t 1

x = 0.

Un paquet d’ondes de faible largeur spectrale autour de

t

–5

0

5

x0 ⁄ vg

= 0

x0 ⁄ v

x = x0

0,5 0 – 0,5 –1

–5

0

5

Doc. 12. Vitesse de phase et vitesse de groupe : le maximum de l’enveloppe ne se déplace pas à la même vitesse que le point de phase nulle. Dans le cas d’un milieu peu dispersif, l’enveloppe du paquet d’ondes se déforme peu.

d La vitesse de groupe v g = ------- est la vitesse de propagation de l’infordk mation. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous savons que l’énergie associée à l’onde est liée par une dépendance quadratique à son amplitude. Or l’énergie associée à l’onde est localisée dans le paquet d’ondes : le paquet d’énergie se propage à la vitesse de groupe. Remarque

émetteur

Les mêmes précautions s’appliquent plus à ces affirmations qu’à celles définissant la vitesse de propagation d’un paquet d’ondes. Nous reviendrons sur cette difficulté au chapitre 8. La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d’une O.P.P.M. Une O.P.P.M. ne peut pas servir à véhiculer une information de type « émission d’un signal » ou « réception d’un signal » : cette onde étant totalement délocalisée, on ne sait quand elle commence ni quand elle s’achève. Comme on vient de le voir, la vitesse de propagation de l’information n’est pas la vitesse de phase. Obtenir une vitesse de phase supérieure à c n’est donc pas en contradiction avec la mécanique relativiste. Pour s’entraîner : ex. 6 et 7.

196

vg

agrandissement

récepteur L

vg

vϕ

Doc. 13. Mesure de la vitesse de propagation de l’information.


CQFR ●

DISPERSION, ATTÉNUATION ET ABSORPTION

• Nous pouvons étudier un problème de propagation régi par des équations linéaires en utilisant l’analyse harmonique. • L’utilisation de la notation complexe facilite la recherche des solutions d’une équation (différentielle, linéaire, à coefficients constants) de propagation. • Une onde d’amplitude complexe ( x, t ) = 0 e j ( le nombre d’onde k = k 1 – j k 2 , est lié à la pulsation

t – k x)

est solution de l’équation de propagation si de l’onde sinusoïdale par la relation de dispersion.

• La partie réelle du nombre d’onde définit la vitesse de phase v = ----- = ---------------- qui dépend générak1 e( k ) lement de c’est le phénomène de dispersion. Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pas à la même vitesse : la propagation est dispersive. • La partie imaginaire du nombre d’onde implique une évolution exponentielle de l’amplitude de l’onde. Pour une propagation avec atténuation (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration 1 1 = ----- = – ------------------ caractérise la décroissance exponentielle de l’onde (pour k 2 0 ) câble coaxial, m ( k) k2 plasma, métal…) Cette atténuation n’est pas nécessairement liée à une déperdition d’énergie au profit du milieu. ●

PAQUETS D’ONDES, VITESSE DE GROUPE

●


• Un signal physique émis par une source, et qui se propage, possède des extensions temporelle et spatiale finies. • L’onde plane progressive monochromatique est un outil d’analyse des phénomènes de propagation. Elle ne saurait décrire à elle seule un phénomène physique observable. • Un paquet d’ondes localisé dans le temps et l’espace est une superposition d’onde planes progressives monochromatiques à répartition continue de fréquences (c’est aussi une porteuse modulée en amplitude). • Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pulsation de l’onde et un paquet d’ondes se déforme souvent au cours de sa propagation ; ce paquet d’ondes ne se propage pas avec la vitesse de phase. • Un paquet d’ondes de faible largeur spectrale autour de m se déplace, dans un milieu où la disd persion n’est pas trop importante, à la vitesse de groupe v g = ⎛ -------⎞ . ⎝ dk ⎠ m La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l’information, et souvent de l’énergie.

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN PLASMA

La force sur les électrons due au champ magnétique d’une onde plane progressive monochromatique est E négligeable devant celle due au champ électrique car les électrons sont non relativistes et que ------- ≈ c. B Si l’amplitude du mouvement des électrons est petite devant l, l’équation de la dynamique s’écrit ∂v m ------ = – e E . ∂t En supposant la densité volumique d’électrons et d’ions constante, la charge volumique globale est nulle n e2 ∂j et ------- = --------- E est une équation linéaire. m ∂t

197

Ondes

CQFR ●

PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS UN MÉTAL

Dans le cadre du modèle du fluide de charges libres et à l’approximation linéaire, la propagation d’une onde plane transverse dans un milieu conducteur est régie par : e ∂v v • l’équation du mouvement du fluide de charges libres (électrons) : ------- + --- = – ---- E ; m ∂t B E • les équations de Maxwell div E = 0 ; div B = 0 ; rot E = – ------- ; rot B = 0 j + 0 0 -------- , t t où le vecteur densité de courant électrique créé par le mouvement des électrons de densité volumique n est j = – n e v . Cette propagation est dispersive et accompagnée d’atténuation et/ou d’absorption. À l’effet de peau obtenu à basse fréquence succède un comportement de plasma sans collision à haute fréquence. On pourra travailler avec profit l’exercice commenté traitant de la propagation d’une onde électromagnétique plane dans un conducteur métallique.

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ?


✔ Qu’est ce que la vitesse de phase ? ✔ Qu’est ce que la dispersion ? ✔ Qu’est ce qu’un paquet d’ondes ? ✔ Qu’est ce que la vitesse de groupe ? ✔ Quelle est l’équation de dispersion dans un plasma ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Si la vitesse de phase dépend de la fréquence, il y a dispersion. ❑ Vrai

❑ Faux

2. Il peut y avoir propagation ❑ a. sans dispersion, mais avec atténuation. ❑ b. avec dispersion, mais sans atténuation. ❑ c. sans dispersion, et sans atténuation. ❑ d. avec dispersion et avec atténuation.

198

3. Soit une onde plane progressive monochromatique de la forme : s ( x, t ) = s 0 e – k2 x e j ( v t – k1 x ) existant dans un milieu passif. ❑ a. k 1 k 2

0.

❑ b. la vitesse de phase est définie par v = ----- . k1 ❑ c. elle met en évidence une absorption d’énergie. Solution, page 207.

Exercice commenté Ondes planes progressives harmoniques dans un conducteur métallique ÉNONCÉ

Dans un conducteur métallique, les électrons assurent la conduction et nous admettrons que leur mouvement est régi e ∂v v par l’équation : ------ + --- = – ---- E où est un temps caractéristique reflétant l’interaction des électrons avec le réseau m ∂t cristallin. La densité volumique d’électrons est notée n. 1) Montrer qu’il est possible de définir une conductivité complexe Donner le lien entre

0

du métal si n est une constante.

conductivité en régime indépendant du temps et .

Par la suite, la densité volumique d’électrons notée n est supposée uniforme et constante et on étudie la propagation d’une onde plane progressive monochromatique en notation complexe. 2) a) Montrer que n = cte est équivalent à n’étudier que les ondes transverses. 2 1 ∂ E - = b) Montrer que l’équation de propagation s’écrit ΔE – ----2- --------c ∂t 2 c) En déduire la relation de dispersion en fonction de .

d) On pose

2 p

n e2 = ---------- . Exprimer k 2 en fonction de 0m

Dans le cas du cuivre n ≈ 10 29 m –3 ,

et

,

0

∂j ------- . ∂t

p.

≈ 10 –14 s ( e = 1,6 . 10 –19 C , m = 9,1 . 10 –31 kg ).

1 e) Calculer les pulsations caractéristiques --- et

p.

À quel domaine d’ondes correspondent-elles ?

3) Étude des différents régimes limites. On pose k = k 1 – j k 2 . a) Tracer l’allure de k1 et k2 dans un diagramme « log – log » en fonction de . b) En déduire l’existence de trois régimes asymptotiques dont on précisera les caractéristiques. 1. ---

a) Donner une expression simplifiée de k . Exprimer les champs électrique et magnétique pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon les z croissants et polarisées selon ( Ox ) . b) Montrer que l’onde s’atténue rapidement avec une profondeur caractéristique δ dont on donnera l’expression en fonction de et 0 . Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. Que remarque-t-on à la limite du très bon conducteur ? 5) On se place à haute fréquence

1 --- .

a) Montrer que suivant les valeurs de

, l’onde peut ou ne peut pas se propager.

À quel domaine d’ondes correspond la transparence ? b) Dans le cas où il n’y a pas propagation, caractériser l’onde en exprimant ses champs pour une onde plane monochromatique s’atténuant selon les z croissants et polarisée selon ( Ox ) . Calculer son vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. Comparer au résultat de 4) b).

199


4) On se place à basse fréquence

Exercice commenté ******

CONSEILS

SOLUTION

La notation complexe ne peut être employée que pour des relations linéaires. Il faut donc s’assurer que c’est le cas ici. Si n dépend du champ électrique, il serait impossible de l’utiliser. La seule solution serait de poser n = n 0 + δn avec δn n 0 et

1) La densité volumique de courant j = – nev . La relation entre la vitesse et

d’écrire j ≈ – n 0 ev . Attention à ne pas oublier la charge du réseau cristallin : le métal est globalement neutre donc la densité de charges positives est ne et = 0 .

le champ électrique est linéaire si n est constante, la relation j et E est aussi linéaire et en notation complexe j =

E.

e e 1 ∂v v En notation complexe ------ + --- = – ---- E devient v ⎛ j + ---⎞ = – ---- E soit : ⎝ ⎠ m m ∂t ne 2 1 j = E avec = ----------- ------------------ . m 1+j ne 2 = 0, d’où 0 = ----------- . En régime indépendant du temps, m 2) a) La densité volumique de charge est nulle donc l’équation de MaxwellGauss s’écrit divE = 0 . En notation complexe avec E = E 0 e j (

t – (k . r ))

, elle s’écrit – jk . E = 0 .

E est donc orthogonal à la direction de propagation. Il est possible d’utiliser les formes : rot E = – j k ∧ E et rot B = – j k ∧ B pour éliminer B et obtenir directement la relation de dispersion mais ce n’est pas le point de vue de l’énoncé.

∂B b) En éliminant ------- à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday dans la dérivée ∂t temporelle de celle de Maxwell-Ampère, – rot ( rot E ) =

0

∂ j 1 ∂2E ------- + ----2- --------∂ t c ∂t 2

soit comme div E = 0 : 1 ∂2E - = ΔE – ----2- --------c ∂t 2

0

∂j ------- , avec j = ∂t

E.

1 ∂2E - = c) L’équation de dispersion s’écrit aussi ΔE – ----2- --------c ∂t 2

∂j ------- soit comme ∂t

0


ΔE = – k 2 E : ∂2E ∂E ------- = j E et --------- = – ∂t ∂t 2 n e2 1 = ----------- ------------------ = m 1+j

d) Il est nécessaire de connaître l’ordre de grandeur des domaines des ondes hertziennes, infrarouge, visible, ultraviolet, X et gamma. Exprimer les parties réelle et imaginaire de k en fonction de conduit à des calculs inextricables. Il faut savoir utiliser les outils numériques à votre disposition.

200

e)

p

2E

,

2

k 2 = -----2- – j c

2 ⎛ 1⎜ p 2 = -------------------k d’où 0 1+j c2 ⎜ ⎝

2

0

.

2 ⎞ p -⎟ . – ----------------1 ⎟ 1 + --------- ⎠ j

≈ 2 . 10 16 rad . s –1 ce qui correspond à une longueur d’onde dans le

2 c vide l p = ---------- ≈ 90 nm : domaine ultraviolet. p

1 --- = 10 14 rad . s –1 ce qui correspond à une longueur d’onde dans le vide l T ≈ 19 µm : domaine infrarouge. 3) a) En utilisant une calculette ou Maple, on obtient le tracé des parties réelle et imaginaire de k .


Sur ces graphes, nous identifions des domaines de pulsations correspondant à des comportements asymptotiques simples : 1 --- ≈ 10 14 rad . s –1, k 1 et k 2 sont quasiment confondus ; pour

k2

10 7

1 pour ---

k1

10 5

≈ 10 16 rad . s –1, k 2 est très supérieur à k 1 (n’oublions

pas que l’échelle est logarithmique). Le nombre d’onde est imaginaire pur ; pour p , k 1 est très supérieur à k 2 , et le nombre d’onde est réel. Nous pouvons donc dresser le tableau suivant (doc. 2).

10 3 10 102

p

10 6

1010

1014

ω

Doc. 1. Évolution des parties réelle et imaginaire du nombre d’onde complexe k pour le cuivre (échelle log-log).

ondes radio, …, ondes micrométriques

domaine spectral

1 ---

relation de dispersion

k 2 ≈ –j

nombre d’onde ( k1 0 ) 1 N’oubliez pas que ---

1 ---

p

U.V. lointain, rayons X 1 ---

p

k2

0 0

0 0 --------------- (1 – j) 2

k =

infrarouge, …, U.V.

p

2

2

– p ≈ -----------------c2

2

k = – j

2

2 p– ----------------- k = c2

2– p ----------------c2

Doc. 2. p

lors des

simplifications. Les relations ( 1 + j ) 2 = 2 j ou ( 1 – j ) 2 = – 2 j sont souvent utilisées. Le choix e ( k ) 0 correspond à une onde se propageant selon les z croissants. m ( k ) 0 signifie que l’onde est atténuée exponentiellement ; Sauf cas particulier (cavité laser par exemple) une onde ne peut pas être amplifiée ( m ( k ) 0 ) . Ici k est complexe. Par conséquent, les champs électrique et magnétique ne sont pas en phase. Ils sont orthogonaux pour une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement, ce ne serait pas le cas pour une polarisation circulaire. Le calcul du vecteur de Poynting nécessite l’écriture des champs en notation réelle.

1 ---

4) Dans le domaine ⎛ 1 k 2 = ----2- ⎜ c ⎜ ⎝

2

on a aussi

. L’expression

2 2 ⎞ j p p ⎟ se simplifie donc en k 2 = – ---------------- = –j – -------------------2 1 ⎟ c 1 + ---------- ⎠ j 2

p -------------(1 – j) = 2 c2

k =

soit :

p

en posant δ =

–j 0 0 ---------------- ( 1 – j ) = 1---------2 δ

2 ----------------- et en prenant la racine à partie réelle positive. 0

0

En notation complexe E = E 0 e j (

t – kz ) u

x

= E0e

z – -δ

e

z j ⎛ t – --⎞ ⎝ δ⎠

ux :

z j ⎛ t – -- – ----⎞ ⎝ δ 4⎠

z – -k ∧E 2 B = -------------- = ------- E 0 e δ e u y car 1 – j = δ En revenant en notation réelle et en supposant E 0 = E 0 réel,

E = E0 e

z – -δ

0 0

2e

– ---4

.

z

– -2 z z cos ⎛ t – --⎞ u x et B = ------- E 0 e δ cos ⎛ t – -- – ----⎞ u y (doc. 3). ⎝ ⎠ ⎝ δ δ δ 4⎠

b) On remarque une atténuation exponentielle des champs avec une épaisseur 2 caractéristique δ = ------------------ . 0

2 E ∧B P = --------------- = -------------δ 0 0

0 z -– 2 2 E0 e δ

z z cos ⎛ t – --⎞ cos ⎛ t – -- – ----⎞ u z ⎝ ⎝ δ⎠ δ 4⎠

201


10 9

k 1 = e(k) k 2 = – Jm(k)

Exercice commenté Si seule la valeur moyenne est demandée, on peut utiliser : ⎛ E ∧ B ∗⎞ 〈 P 〉 = e ⎜ ------------------⎟ . ⎝ 2 0 ⎠ La zone de transparence correspond à une propagation avec une atténuation très faible. Ici il n’y a pas propagation, le choix du signe de la partie imaginaire de k dépend des conditions aux limites. C’est pour cette raison que l’énoncé précise : « une onde de plane monochromatique s’atténuant selon les z croissants », donc la partie imaginaire de k est négative. fréquence ν

épaisseur de peau δ

10 Hz 30 000 km

6,5 cm

50 Hz 6 000 km

2,9 cm

ondes hertziennes

1 kHz

ondes métriques à centimétriques

1 MHz

1 GHz

1 THz

300 km

6,5 mm

300 m 0,21 mm

30 cm

6,5 μm

300 μm 0,21 μm

limite de validité de γ = γ 0 1014 Hz

3 μm


longueur d’onde λ dans le vide

Doc. 3. Évolution de l’épaisseur de peau (pour le cuivre). air

métal

onde réfléchie onde évanescente onde incidente

Doc. 4. Réflexion d’une sonde sur un métal.

202

pénètre que dans une épaisseur très faible de conducteur. De plus 〈 P 〉 tend aussi vers 0 ( lim x e – x = 0 ) . Une onde est totalement réfléchie sans perte x → +∞

d’énergie. Cette propriété est utilisée dans les guides d’onde (cf. chapitre 8). 2

2– 1 p. --- , l’expression de k 2 se simplifie en k 2 = -----------------c2 2 Cette forme est semblable à celle d’une onde dans un plasma. p , k est

5) a) Dans le domaine

réel. Il y a propagation sans atténuation (zone de transparence). Sinon k est imaginaire pur, l’onde est stationnaire évanescente. Remarque : Le modèle proposé possède des limites : il ne s’applique pas dans le domaine des trop hautes fréquences, en particulier aux rayons X. c b) Si p , posons δ = ---------------------- Il y a atténuation selon les z croissants 2 2 p– ⎧ z ⎪ E = E e j ( t – kz ) u = E e – --δ e j t u , 0 z 0 x ⎪ j donc k = – -- et : ⎨ ⎛ ⎞ z δ – -- j ⎝ t – ----⎠ k ∧E ⎪ 1 2 - E0e δ e uy . ⎪ B = ---------------s = -----δ ⎩ En revenant en notation réelle et en supposant : E 0 = E 0 réel,

δ est très faible

b)

z

2 – 2 -1 Comme 〈 cos t cos ( t + )〉 = cos --- , 〈 P 〉 = ----------------- E 0 e δ u z . 2 0δ 2 Dans le cas du très bon conducteur, tend vers 0. Le champ électrique ne

⎧ z ⎪ E = E e – --δ cos ( t ) u et 0 x ⎪ ⎨ E 0 – -zt E 0 – -zt ⎪ B = -----⎛ t – ----⎞ u = ------ e sin ( t )u y . e cos y ⎪ ⎝ δ δ 2⎠ ⎩ Nous sommes en présence d’une onde évanescente. Le vecteur de Poynting correspondant est : 2

E 0 –2 --δz E ∧B e cos ( t ) sin ( t ) u z P = --------------- = -------------0δ 0 de valeur moyenne nulle : il n’y a pas propagation de l’énergie. La décroissance exponentielle observée diffère de celle obtenue pour l’effet de peau, car il n’y a pas ici de dissipation de l’énergie de l’onde par le milieu. Ce résultat semble paradoxal : l’onde ne perd pas d’énergie au profit du milieu… mais « disparaît » ! Alors, où passe son énergie ? Pour créer le champ électromagnétique oscillant, il faut envoyer une onde électromagnétique vers le métal (doc. 4). Nous pouvons prévoir que son énergie se retrouve intégralement dans une onde réfléchie par la surface métallique (qui joue le rôle d’une terminaison parfaite placée au bout d’une ligne). Pourlecuivre,cecomportementcorrespondà10 14 rad . s – 1 10 16 rad . s – 1, donc à des longueurs d’onde appartenant au domaine : 0,03 µm l 3 µm, qui englobe le domaine visible : 0 ,4 m l 0,8 µm. La réflexion que nous avons évoquée explique l’éclat d’une surface métallique (polie). La fabrication de miroirs optiques par dépôt d’une couche d’argent ou d’aluminium utilise cette propriété.

Exercices Une corde, de masse linéique m, de longueur L, fixée à ses extrémités, soumise à une tension T 0 vibre dans le mode propre d’ordre n suivant la loi : ( x, t ) = A cos

x avec n entier. L

n t sin n -------

Aux hautes fréquences, il faut tenir compte de la raideur de la corde. Dans le bilan des forces qui s’exercent sur un élément de cordre de longueur dx, cela revient à rajouter une force supplémentaire dR qui tend à s’opposer à la courbure de la corde, et dont la projection sur l’axe ( Oy ) s’écrit : ∂3 dR y = – --------3- dx, ∂x où est une constante dépendant du matériau constituant la corde. 1) Calculer le rapport e du y module de dR y au module de la composante a dx sur ( Oy ) de la résultante de la force de tension qui s’exerce sur l’élément de corde de longueur dx. 2) Appliquer la relation O x x fondamentale de la dynamique à un élément de corde de longueur dx. En déduire la pulsation fonction de c =

n

de la vibration de la corde en

T0 , ------ L, e et n.

3) Calculer la correction relative de la pulsation associée au mode n, introduite par la prise en compte des effets de 1 ). Faire l’application la raideur (on supposera numérique pour n = 1, 2 et 10. Données L = 0,5 m ; T 0 = 387 N ; = 10 –2 N . m 2 . 4) Établir la relation de dispersion f ( k, ) d’une onde sur cette corde. Conclusions.

Oscillations de la densité de charge dans un métal ou un plasma Pour décrire les propriétés électriques d’un métal, on adopte le modèle du gaz d’électrons libres (électrons de conduction) dans une matrice d’ions positifs et fixes placés dans le vide. Seule l’interaction du champ électromagnétique avec les électrons est pour l’instant considérée,

le reste de la matière étant assimilé au vide. Les électrons sont supposés non relativistes, leurs interactions mutuelles sont négligées, les pertes d’énergie par collision avec le réseau sont modélisées par une force d’amortissement v – m --- . La densité électronique est n0 à l’équilibre ; sa valeur n hors équilibre reste très proche de cette valeur n0 . 1) Établir l’équation différentielle liant le vecteur densité volumique de courant électrique

j v et le champ

électrique E . 2) En déduire l’équation régissant l’évolution de la densité volumique de charge électrique v au sein du milieu. 3) Un milieu métallique est initialement perturbé : sa répartition de charges initiale fausse localement sa neutralité électrique globale. Quel ordre de grandeur peuton prévoir pour le temps de retour à la neutralité électrique du milieu métallique ? 4) Montrer que si on néglige les forces d’amortissement, il peut exister dans le gaz d’électrons un mode propre d’oscillations de charges, de pulsation p à préciser ( p est la pulsation de plasma). 5) Calculer p pour le sodium et l’aluminium (en considérant que tous les électrons de valence d’un atome deviennent électrons de conduction) dont les concentrations atomiques sont C Na = 2,65 . 10 28 m –3 et C Al = 6,02 . 10 28 m –3 . Z Na = 11 et Z Al = 13 . Situer ces valeurs dans le spectre électromagnétique. Données : pour l’électron : e = 1,6 . 10 –19 C (module) et m = 9,1 . 10 –31 kg . 6) Pour un plasma, où les collisions sont négligées, discuter l’influence du possible mouvement des ions, de masse M et de charge e , sur la valeur de p . Évaluer et commenter l’ordre de grandeur de la modification apportée à la valeur de la pulsation de plasma par la prise en compte des mouvements des ions.

Ondes longitudinales et transverses dans un plasma Dans un plasma de densité électronique n0 à l’équilibre, on s’intéresse à la propagation d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique dont le champ électrique est noté E ( r , t ) = E 0 e j ( t – k . r ) 1) Écrire l’équation du mouvement des charges, non relativistes, les collisions au sein du plasma étant négligées. Pourquoi peut-on négliger le mouvement des ions ? 2) Établir, en régime sinusoïdal établi, l’expression du vecteur densité de courant électrique en fonction du champ de l’onde. Quelle est la conductivité du plasma ?

203


Influence de la raideur d’une corde sur la fréquence de ses vibrations

Exercices 3) Quelle est la relation liant k , et E imposée par l’équation de propagation de l’onde ? Expliciter celle-ci en séparant les composantes longitudinale E // et transverse E ⊥ du champ électrique, dont l’amplitude est :

5) Quelle est la relation de dispersion caractérisant la propagation des ondes transverses ? 6) Quelle serait l’influence des phénomènes de collision, modélisés par l’ajout d’une force de dissipation d’énergie v – m --- dans l’équation du mouvement des charges, sur les ondes longitudinales d’une part, les ondes transverses d’autre part ? 7) Dans le cas des ondes transverses, les graphes des parties réelle et imaginaire du nombre d’onde complexe sont tracés ci-dessous en adoptant les valeurs numériques n 0 = 10 12 m –3 et = 10 –3 s . Le premier diagramme fait apparaître le résultat d’étude en diagramme log-log sur une large gamme de pulsations. Le second est tracé en échelle linéaire dans une zone plus restreinte.


1,6

– m(k)(m–1)

1,4 – m(k)

1

4) Que peut-on dire des ondes longitudinales susceptibles d’exister au sein du plasma ? Commenter ce résultat en liaison avec les résultats de l’exercice 2.

10 9 10 6 10 3 1

1,8

1,2

E 0 = E 0// + E 0⊥ .

e(k) (m–1) – m(k) (m –1)

e(k) (m–1)

0,8

e(k)

0,6 0,4 0,2 0

w (rad . s–1) 108

2.108

3.108

4.108

5.108

Propagation d’une onde dans le plasma interstellaire Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse m, de charge électrique – e , de densité particulaire n, et d’ions de charge électrique q et densité particulaire N. La densité de charge totale est nulle. Le mouvement des ions est négligé et celui des électrons, non relativistes, est décrit par le vecteur vitesse v . Avec ces hypothèses, on cherche des solutions des équations de Maxwell (à l’exclusion de champs statiques) sous la forme d’ondes planes monochromatiques de vecteur d’onde k , dont le champ électrique est noté : E ( r, t ) = E 0 e j (

e(k)

t–k . r)

.

1) Montrer que le champ magnétique de l’onde est aussi décrit par une onde plane de mêmes pulsation et vecteur d’onde. Quelle est la structure du trièdre ( E , B , k ) de l’onde ? 2) Déterminer l’amplitude j v0 du vecteur densité volumique

– m(k)

de courant j v de l’onde j v ( r , t ) = j v0 e j (

t–k . r)

en

fonction de celle du champ électrique de l’onde. 3) En étudiant le mouvement des électrons, exprimer la 10 6

10 9

1012

1015

w (rad . s–1)

Que dire de l’influence des collisions pour ces ondes ? Définir une zone de transparence pour cette propagation. Que peut-on penser de la dispersion pour des ondes transmises entre un satellite et la Terre à travers le plasma ionosphérique modélisé ici, si les fréquences utilisées sont de l’ordre du GHz ?

204

constante a telle que j v = – j ---- E . 4) En déduire la relation de dispersion = ( k ) liant la pulsation de l’onde et la norme de son vecteur d’onde. 5) En posant = 0 c 2 K 2 , calculer les vitesses de phase et de groupe de l’onde en fonction de k et K. Quelle est la relation liant ces vitesses ? 6) Deux trains d’ondes de longueurs d’onde l 1 et l 2 sont émis au même instant par un objet stellaire situé à


2

1 , montrer

que ces signaux sont reçus avec un décalage δt = t 2 – t 1 à déterminer en fonction de L, K, c et des longueurs d’onde l 1 et l 2 .

• S ( x ) , la section du pavillon en x ; • P ( x, t ) = P 0 + p ( x, t ) , la pression en x à la date t, avec p ( x, t ) P0 ; • ( x, t ) = date t, avec

• u ( x, t ) = u ( x, t )e x , la vitesse du fluide en x à la date t, c , vitesse du son dans un milieu infini. avec u ( x, t )

Paquets d’ondes à spectre rectangulaire ou gaussien Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d’une superposition continue d’ondes planes progressives monochromatiques (un paquet d’ondes), son amplitude pouvant s’écrire : ⎧ ⎫ e ⎨ A ( )e j ( t – k ( ) x ) d ⎬ . ⎩ ⎭ La répartition A ( ) des amplitudes des composantes spectrales de l’onde définit son spectre. On supposera que la largeur spectrale Δ de ce paquet d’ondes est faible devant la pulsation « moyenne » m du paquet. Ce domaine de pulsations est supposé correspondre à une zone spectrale contenue dans le domaine de transparence du milieu siège de la propagation de cette onde. On notera v g la vitesse de groupe correspondante. Établir l’expression de l’amplitude du paquet d’ondes. Commenter la forme et l’extension de ce paquet en envisageant les deux cas particuliers suivants, où A 0 est un facteur réel : a) paquet d’ondes à spectre rectangulaire :

∫

( x, t ) =

A A ( ) = -------0- si Δ

m

Δ – -------2

m

Δ + -------- , 2

et A ( ) = 0 ; b) paquet d’ondes à spectre gaussien : ( –

)2

0 – ---------------------A0 A ( ) = -------------------e 2 ( Δ )2 . 2 Δ

Donnée : réel

+∞

∫– ∞ e ( –

+ j x ) dx

et tout complexe

= --------

tel que – ---4

– --------e 4 2

u ( x, t ) section S(x)

p ( x, t ) x

ex

cote x

1) Rappeler l’expression de la vitesse de propagation c d’une onde plane dans un milieu infini, de masse volumique 0 , sous la pression P 0 . 2) Étudier l’équation de propagation de u ( x, t ) (vitesse du fluide) et de p ( x, t ) (surpression), en fonction de S ( x ) , section du pavillon. Faire apparaître c dans cette équation. 3) On suppose le pavillon de nature exponentielle, c’està-dire que S ( x ) = S 0 e m x . Montrer qu’il existe une pulsation de coupure c que l’on exprimera en fonction de m, et c. Que se passe-t-il si : • c ? • c ? 4) Faire un bilan énergétique dans les deux cas.

2

2 x2

+ ( x, t ) , la masse volumique en x à la ( x, t ) 0 ;

0

pour tout

arg ( )

---- . 4

Pavillon exponentiel, bilan énergétique Soit la propagation d’une onde plane progressive monochromatique dans un pavillon de section lentement variable. On désigne par 0 la masse volumique du fluide au repos lorsque la pression est égale à P 0 , pression atmosphérique. On désigne les grandeurs suivantes à la cote x :

Propagation de l’énergie dans un plasma peu dense On considère un plasma peu dense contenant n électrons par unité de volume et on étudie la propagation d’une onde plane progressive monochromatique selon les z croissants de pulsation p et polarisée suivant l’axe ( Ox ) . 1) Donner l’expression des champs électrique et magnétique et du vecteur de Poynting. 2) Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique et d’énergie cinétique des électrons.

205


2

distance L. En supposant K 2 l 1 et K 2 l 2

Exercices 3) En déduire la vitesse de propagation de l’énergie. La comparer à la vitesse de groupe.

b) L’onde est supposée monochromatique de vecteur

Propagation d’onde dans un plasma

En utilisant les équations de Maxwell en notation com-

soumis à un champ B uniforme Dans tout l’exercice, on considère un plasma d’ions supposés immobiles et d’électrons de charge – e de masse m et de densité volumique n0 . On admettra que l’approxidv ∂v mation ------- ≈ ----- est toujours justifiée. dt ∂t 1) Pulsation Plasma On suppose que la densité volumique des électrons n’est pas uniforme et s’écrit n ( r ) = n 0 + δn avec δn n0 . Un champ électrique E ( r , t ) règne dans le plasma. a) En utilisant l’équation de Maxwell-Gauss, l’équation de conservation de la charge et l’équation du mouvement d’un électron placé dans un champ électrique E , déterminer l’équation différentielle vérifiée δn . b) En déduire que si E est sinusoïdal de pulsation n0 e 2 ----------- , la densité volumique d’électrons reste 0m égale à n0 en régime forcé. ≠

p

=

2) Pulsation cyclotron Montrer que le mouvement d’un électron dans un champ


magnétique B 0 uniforme dans le plan orthogonal à B 0 eB est circulaire de pulsation c = --------0- . m Par la suite, une onde électromagnétique plane se propage dans un plasma. Il règne de plus un champ magnétique statique B 0 dans ce plasma de direction identique à la direction de propagation de l’onde notée u z . Dans l’équation du mouvement d’un électron, on tiendra uniquement compte du champ électrique E de l’onde et du champ magnétique B 0 uniforme. 3) Densité de courant dans un plasma a) En utilisant l’équation du mouvement d’un électron, donner l’équation différentielle vérifiée par la densité de courant j dans le plasma en fonction de E et des pulsations plasma et cyclotron.

206

d’onde k = k u z et de pulsation

.

plexe, donner une deuxième équation reliant j à E . On posera E = E 0 e i (

t–k . r)

.

c) En déduire que E vérifie une équation du type M E = iN u z ∧ E où M et N sont des expressions réelles faisant intervenir k, , p , et c. 4) Ondes circulaires droites et gauches Montrer qu’en notation complexe, une onde circulaire droite ou gauche se propageant suivant (Oz) vérifie E = i u z ∧ E où sation).

vaut ± 1 (préciser suivant la polari-

5) Équation de dispersion Déduire de ce qui précéde que l’équation de dispersion pour des ondes circulaires s’écrit : 2

2

p k 2 = -----2- – -----------------------------c c ⎛ ⎞ c 2 1 + -----⎝ ⎠

6) Domaines de propagation Tracer l’allure de k en fonction de et préciser les domaines de fréquences pour lesquels une onde peut se propager. Application numérique : e = 1,6 . 10 –19 C , m = 9,1 . 10 – 31 kg , n 0 = 5 . 10 10 e – ⁄ m 3 , 1 B 0 = 4 . 10 – 5 T . 0 = -----------------------9- SI 36 . 10 7) Propagation d’une onde polarisée rectilignement On se place dans le domaine de propagation des deux types d’ondes circulaires. a) Laquelle a-t-elle la vitesse de phase la plus grande ? b) En déduire l’évolution au cours de sa propagation d’une onde de polarisation rectiligne. 8) Réflexion sur un plasma Une onde électromagnétique est émise dans la basse atmosphère (assimilable au vide) vers l’ionosphère (assimilable au plasma précédent). Discuter qualitativement des ondes réfléchies et transmises au niveau de l’interface entre les deux milieux.

Corrigés Solution du tac au tac, page 198. 1. Vrai. 2. Vrai : a (câble dans les conditions de Heaviside), b (plasma), c, d. 3. Vrai : a, b Faux : c

1) Pour une corde sans raideur, la composante sur y de la résulatnte de la force de tension qui s’exerce sur un élément dx de la corde s’écrit : ∂ ∂2 T 0 ( ( x + dx, t ) – ( x, t ) ) = T 0 ------ dx = T 0 --------2- dx . ∂x ∂x ∂4 --------42 ∂ ∂x - = ----- -----2- n 2 . Sachant que = ------ , on en déduit = ----- -------2 ∂x T0 ∂ T0 L --------2∂x

Comme ≠ kc , il existe bien un phénomène de dispersion : cette dispersion existe, sans dissipation d’énergie de l’onde vers la corde.

1) L’équation du mouvement des électrons est : v v m ------ = – e E – m --- . t Le vecteur densité de courant électrique est j v = – nev ≈ – n 0 ev . L’équation différentielle liant j v et E s’écrit donc

2) L’équation traduisant la conservation de la charge électrique est : --------v + div j v = 0. En prenant la divergence de l’équation différentielle t obtenue à la question 1) et l’équation de Maxwell-Gauss, on obtient : 2 n0 e 2 1 ---------v + -- --------v + -------2 m 0 t t t

Ainsi pour les vibrations de hautes fréquences (n grand), l’influence de la raideur de la corde est de plus en plus importante.

2) La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un élément de ∂2 ∂2 ∂4 corde de longueur dx conduit à : --------2- = T 0 --------2- – --------4- , soit : ∂t ∂x ∂x 2 4 2 ∂ ∂ ∂ --------2- = c 2 --------2- – ---- --------4- . ∂x ∂x ∂t n x ce qui impose, pour la solution ( x, t ) = A cos n t sin --------- , la L condition : =

2 c 2 -----2- n 2 ( 1 L

3) Pour une corde sans raideur

0n

+ ). 2

0n

10

5,1 . 10 –4

2,0 . 10 –3

5,1 . 10 –2

L’écart relatif est plus important lorsque la fréquence du mode propre augmente, ce qui est naturel. Pour un mode de fréquence élevée, n x l’amplitude sin --------- varie rapidement, la forme de la corde est plus L « tourmentée », et les effets de la raideur de la corde sont sensiblement plus importants.

4) L’équation différentielle (cf. § 2) permet d’écrire directement en posant = 0 e j ( t – kx ) : = – k 2 c 2 – ---- k 4

et d’obtenir la relation de dispersion : ---- k 4 + k 2 c 2 – ainsi et

2

= 0

2⎞ = k 2 c 2 ⎛ 1 + ----- k 2⎞ , = k 2 c 2 ⎛ 1 + --------k ⎝ ⎝ T0 ⎠ c2 ⎠ 1 ≈ kc ⎛ 1 + -- ----- k 2⎞ . ⎝ 2 T0 ⎠ 2

1 sont assimilables à r 12 = – ----- ± j p . Le régime transitoire de retour à la 2 neutralité électrique du métal est donc de type pseudo-périodique.

2

2

2

2 2 1 3) Cette équation peut aussi s’écrire ---------v + -- --------v + p v = 0, où t2 t t n0 e 2 v p = --------- est la pulsation de plasma du milieu métallique. On reconnaît m 0 une équation d’oscillateur linéaire amorti. Dans la mesure où p est très 1 supérieure à -- (cf.cours), les racines r 1 et r 2 de son polynôme caractéristique

4) Si les collisions sont négligées ( → ∞), cette équation devient

1

–

= 0.

Le temps caractérisant la décroissance exponentielle des oscillations est , de l’ordre de 10 – 14 s pour un métal.

= c 2 -----2- n 2 , d’où : L

2 n– 0 -------------------n ≈ --- = -------- -----2- n 2 . 2 2T L 0n 0

n n– 0 -------------------n

V

---------v + t2 milieu.

2 p v

= 0, où la pulsation propre est la pulsation de plasma du

5) • Sodium 1C Na e 2 2 c ---------------- = 9 ,2 . 10 15 rad . s – 1 ; l p = --------- = 0 ,205 m 0 p appartient au domaine ultraviolet. p

=

m

• Aluminium p

=

3C Al e 2 2 c ---------------- = 2 ,4 . 10 16 rad . s – 1 ; l p = --------- = 0 ,078 m 0 p

m

est plus éloignée dans l’ultraviolet. e v 6) L’équation du mouvement des électrons est ------ = – --- E . Celle des m t e V ions est ------- = ------ E . La densité ionique est, d’après la neutralité globale M t du plasma, N 0 = n 0 . Le vecteur densité de courant électrique vaut : j v = – n 0 ev + N 0

eV ,

donc

j n 0 e 2 N 0 2 e 2⎞ ------v = ⎛ ---------+ ------------------ E . ⎝ m t M ⎠

207


2 n

n0 e 2 j j -E. ------v + ---v = --------m t t

Corrigés L’équation régissant les oscillations de la densité de charge au sein du milieu est (cf. question 2)) :

Pour les ondes transverses , la relation de dispersion est modifiée et devient : 2

p – ----------------1 1 + -------j k 2 = -----------------------------. c2 2

2

2 m ---------v + p v = 0 avec p = p 1 + ---- . M t2 Cette nouvelle pulsation de plasma diffère fort peu de la valeur précédente puisque est de l’ordre de l’unité et que le rapport entre la masse M et la masse m est supérieur à 2 000 (rapport entre la masse du proton et celle de l’électron). Cette correction apparaît d’un intérêt très limité, car les approximations ayant amené à ce résultat seront fréquemment du même ordre de grandeur que la correction apportée.

1) Les approximations usuelles développées dans le cours (cf. §. 2.2) permettent d’écrire l’équation du mouvement des électrons sous la forme simplifiée : v m ------ = – eE . t 2) Le plasma est supposé peu perturbé, et la densité électronique est assimilable à n 0 . Le vecteur densité de courant électrique s’écrit : n0 e 2 -E j = – n 0 e v = --------jm en régime sinusoïdal établi, et en notation complexe. La conductivité correspondante est : n0 e 2 = – j ---------, m qui est imaginaire pur. Dans le plasma sans collision, les champs oscillants

7) La pulsation de plasma vaut

balayés sur les simulations. Dans tous les cas numériques représentés, les collisions ont donc fort peu d’influence. p apparaît clairement sur les graphes, limite de transition assez brutale e(k) – m(k) et entre une zone p avec p avec e(k) – m(k). Dans la zone p le plasma n’est pas transparent : une onde, arrivant sur celui-ci sera (quasiment) totalement réfléchie (cf. chapitre 9). Dans la zone p , le plasma est transparent. Pour des fréquences de l’ordre du GHz, soit p la dispersion est peu importante, car k ≈ ---- . c

1) Intégrant par rapport au temps l’équation de Maxwell-Faraday : B rot E = – ------- , t on obtient la relation de structure de l’onde plane qui permet d’exprimer son champ : k ∧E B = -------------- = B 0 e j( v

E ------- , t on déduit l’équation de propagation du champ électrique : j+

0

0

0

0

2E j rot (rot E ) = – ---- rot B = – 0 ------ – 0 0 --------2- , t t t soit, pour l’onde plane progressive monochromatique étudiée :

n0 e 2 ---------. p 0 m 0 En projection sur la direction du vecteur d’onde et dans le plan perpendiculaire au vecteur d’onde, on obtient :


– jk ∧ ( – jk ∧ E ) =

0 =

0

0(

2

–

2 p)E

0(

2

–

2 p)E Œ

2

( k ) E⊥ =

0

0(

2

–

,

avec

2 p)E ⊥

=

.

4) L’existence d’ondes longitudinales est soumise à la condition = p . On retrouve ici les oscillations de plasma obtenues dans l’exercice 2. Ce modèle de propagation exclut l’existence d’ondes longitudinales lorsque la pulsation de l’onde étudiée diffère de la pulsation propre du plasma. 2– 2 p -, 5) Pour les ondes transverses, la relation de dispersion est k 2 = ----------------c2 relation de dispersion de type « Klein-Gordon », obtenue dans le cours .

6) Pour les ondes longitudinales, oscillations de pulsation p , l’effet des collisionsinduitunedécroissancedel’amplitudedecesoscillations(cf.exercice2).

208

t–k . r)

,

k ∧E avec B 0 = ---------------0 .

B div B = 0 ; rot E = – ------- ; t div E = ----- ; rot B =

1 . 10 7 rad . s – 1 très supérieure à -- ;

1 la valeur -- est très inférieure aux valeurs apparaissant dans les domaines

j et E sont en quadrature.

3) Des équations de Maxwell :

p ≈ 5,6

Le champ magnétique obtenu est transverse. Si la densité de charge du milieu reste nulle, la divergence du champ électrique est nulle, et ce champ est lui aussi transverse (on peut aussi se rapporter à l’exercice 3 pour se faire une idée plus précise du caractère transverse du champ électrique). Les éléments nécessaires sont dès lors réunis pour affirmer que le trièdre ( E , B , k ) de l’onde est trirectangle et direct.

2) Utilisant l’équation de Maxwell-Faraday rot B = on obtient : j v ( r , t ) = j v0 e j( t – k . r ) , – jk ∧ B avec : j v0 = ----------------------0 – j 0

0

E0 = – j

0

0 jv

1 E + ----2 ------- , c t

c 2 k 2⎞ ⎛ 1 – -------- E . 2⎠ 0 ⎝

3) Moyennant les approximations usuelles (cf. cours § 2.2), l’équation du v mouvementdesélectronsprendlaformesimplifiée m ------ = – eE , etonobtient: t n0 e 2 n0 e 2 . j v = – n 0 ev = – j ---------- E , donc = ---------m m 4) La relation de dispersion des ondes transverses dans le plasma s’obtient en comparant les deux expressions précédentes de j v , d’où : 2

2– p k 2 = ----------------c2

avec

p

=

n( e )2 ------------- la pulsation propre du plasma. m 0


2

5) On utilise la notation p = c 2 K 2 . La propagation au sein du plasma est possiblepour p . Danscettezonedetransparence,lavitessedephaseest: K2 1 + ----2k

v = c et la vitesse de groupe vaut :

c v g = ------------------- . K2 1 + ----2k Ces vitesses sont liées par la relation v v g = c 2 .

6) Les trains d’ondes se déplacent à la vitesse de groupe, et le décalage cherché vaut : 2 2 l 1 K 2⎞ l2 K 2 L⎛ L L – 1 + -----------⎟ , t = t 2 – t 1 = ------ – ------ = --- ⎜ 1 + ----------c ⎝ v g2 v g1 4 2 4 2⎠ 2 2

–

2 1)

si

1

p

et

2

p

– k m x)

∫

∫

ej(

t – kx) e

⎞ A0 d ⎟ ≈ -----------------⎠ 2 Δ

– 0)2 ⎛ – ---x-⎞ – (--------------------- d ⎞ ⎠ v g⎠ 2(Δ ) 2

j( –

exp

( – 0 )2 – --------------------2( )2

m)⎝t

mt

– k m x)

est l’amplitude, dont le schéma ci-dessous représente un instantané (simulé dans le cours, § 3.3.3).

∫

x t – ---- , vg et mettre l’onde sous une forme approchée faisant intervenir la vitesse de groupe v g : ⎛ t – ---x-⎞ = + -------- j ⎛ ⎝ v g⎠ d ( )⎞ 2 ---------------⎟ e (x, t) = A 0 e ⎜ e j ( m t – km x) Δ ⎠ = – -------⎝ 2 ⎛ sin Δ -------- ⎛ t – ---x-⎞ ⎞ 2 ⎝ v g⎠ ⎟ ⎜ = A 0 cos ( m t – k m x) ⎜ ------------------------------------------⎟ ⎜ Δ -------- ⎛ t – ---x-⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎝ v g⎠ ⎠ Δ ⎛ x = A 0 sinc -------- t – ----⎞ cos ( m t – k m x) 2 ⎝ v g⎠

1 0,5 0 –0,5 –1

–6

–4

–2

0

2

4

6

m t – k m x] +

∫

sin ( ) en notant sinc ( ) = --------------- la fonction « sinus cardinal ». On peut

définir la largeur caractéristique de cette fonction comme la distance entre les premiers zéros ( = ± ) de cette fonction et son maximum ( = 0), soit Δ = . On obtient ici une expression de l’amplitude du paquet permettant de mieux cernerl’allured’uninstantanédupaquetd’ondestracédanslecours(cf. § 3.3.3).

(Δ ) 2 x 2 Le facteur de modulation exp – -------------- ⎛ t – ----⎞ correspond à une 2 ⎝ v g⎠ enveloppe gaussienne du paquet d’ondes, centré en x = v g t , de largeurs temporelle t et spatiale Δt Δv ≈ 1.

x satisfaisant encore à Δx Δk ≈ 2

et

1) Les équations différentielles pour une onde plane dans un tuyau de section constante sont (cf. chapitre 3) : ⎧ ( x, t ) = 0 S p ( x, t ) (transformation isentropique subie ⎪ par la tranche de fluide) ; ⎪ ⎪ u ( x, t ) ( x, t ) ----------------= 0 (équation de conservation de la masse) ⎨ ------------------- + 0 ∂x ⎪ ∂t ⎪ u ( x, t ) p ( x, t ) (principe de la dynamique appliqué ⎪ 0 ----------------- = – ----------------⎩ ∂t ∂x à une tranche de fluide) ; ce qui donne les équations différentielles suivantes par élimination de ( x, t ) : u ( x, t ) p ( x, t ) ⎧ 0 ----------------- = – ----------------⎪ ∂t ∂t ⎨ p ( x , t ) u ( x, t ) ⎪ ----------------- = – ----------------⎩ S ∂t ∂t et l’équation de l’Alembert vérifiée, par exemple par : p ( x, t )

2 1 0 –1 –2

mt

⎛ e⎜ ⎝

Δ 2 x 2 = A 0 exp – ---------- ⎛ t – ----⎞ cos ( ⎝ 2 v g⎠

⎛ = m + ------d ⎞ 2 e⎜ e j ( t – k( )x) --------⎟ . Δ ⎝ = m – ------⎠ 2 L’extension spectrale du paquet d’ondes étant restreinte, on peut écrire, en = – m : posant dk t – kx ≈ [ m t – k m x] + t – ------x d

=[

e ⎛e j ( ⎝

.

a) Pour le paquet d’ondes à spectre rectangulaire : (x, t) = A 0

A0 (x, t) = -------------------2 Δ

–6

–4

–2

0

2

4

6

2 p ( x, t ) 1 2 p ( x, t ) 1 - avec c 2 = ---------- . ------------------- = ----2 ------------------2 c δ t2 δx 0 S

209


K2 L -( soit : t ≈ ---------8 2c

Δ x Le facteur de modulation du paquet d’ondes est sinc -------- ⎛ t – ----⎞ . 2 ⎝ v g⎠ 2 La largeur temporelle du paquet d’ondes est Δt = -------- , temps caractéristique Δ d’existence d’un paquet qu’un observateur, placé à une abscisse x donnée, regarderait défiler devant lui. La largeur spatiale du paquet, extension 2 v 2 caractéristique d’un instantané (t fixé) de l’onde, est Δx = ------------g = ------- . On Δk Δ retrouveles relationsd’ordredegrandeurducours : Δx Δk ≈ 2 et Δt Δ ≈ 1. b) Pour le paquet d’ondes à spectre gaussien,

Corrigés 2) Étudions les équations différentielles pour une onde plane dans un tuyau de section variable. 1 • La relation ( x, t ) = 0 S p ( x, t ) = ----2 p ( x, t ) c ( x, t ) – 0 1 1 ∂p obtenueàpartirdeladéfinitionde S = --- ⎛ ------⎞ = ----- ------------------------------------⎝ ∂P⎠ S 0 P 0 + p ( x, t ) – P 0 n’estpasmodifiée. • L’équation de conservation de la masse s’écrit : ∂ ( x, t ) ------------------- + divu ( x, t ) = 0. ∂t 1 δ (Δ ) Rappelons que div u ( x, t ) = ------ --------------- est égale à la vitesse de Δ δt variation relative de volume. Ainsi, en utilisant le document ci-dessous : Δ = S ( x ) dx . tranche de fluide à la date t

dF amont

dF aval

surface dS perpendiculaire à ( Ox ) intervenant dans l’expression de la résultante des efforts latéraux :

x + dx

dF latérale ( x, t )

La somme de ces trois termes correspond à : dF aval + dF amont + dF latérale ≈ S ( x + dx ) ( p ( x, t ) – p ( x + dx ) )e x ∂p ( x, t ) ≈ – S ( x ) ----------------- dxe x . ∂x Ce qui permit d’écrire : ∂u ( x, t ) ∂p ( x, t ) = – ----------------- , ∂t ∂x relation identique à celle obtenue pour un tuyau de section constante. Les équations différentielles couplées sont donc les suivantes : 0 ------------------

tranche de fluide au repos

x

x + dx


δ ( Δ ) = S ( x + dx )u ( x + dx, t )δt – S ( x )u ( x, t )δt = ----- [ S ( x )u ( x, t ) ]δ t dx x 1 et ainsi : div u ( x, t ) = ----------------- ----- [ S ( x )u ( x, t ) ] dx S ( x ) dx x 1 soit : div u ( x, t ) = ----------- ----- [ S ( x )u ( x, t ) ] . S (x) x L’élimination de ( x, t ) entre les deux équations : 1 ( x, t ) = ----2 p ( x, t ) c 1 ------- = – 0 ----------- ------ [ S ( x )u ( x, t ) ] S (x) ∂ x ∂t 1 p ( x, t ) conduit à : ------------------ = – 0 c 2 ----------- ------ [ S ( x )u ( x, t ) ] . S (x) ∂ x ∂t • La relation fondamentale de la dynamique s’écrit, pour l’élément de fluide considéré,systèmefermésuividanssonmouvement,demasse dm = 0 S ( x ) dx : ∂2 dm -------2- = dF aval + dF amont + dF latérale ∂t (cf. schéma ci-dessous) : • en aval : dF aval = ( P 0 + p ( x, t ) )S ( x )e x ; • en amont : dF amont = – ( P 0 + p ( x + dx, t ) ) S ( x + dx )e x ; • les parois latérales, de révolution autour de l’axe ( Ox ), sont à l’origine de : dF latérale = ( P 0 + p ( x, t ) ) ( S ( x + dx ) – S ( x ) )e x .

210

⎧ 0 ------- = – ----p⎪ t ∂x . ⎨ ( δu ) ⎪ ----p- = – c 2 1-- ∂-------------0 ⎩ ∂t S x Les équations différentielles vérifiées par u ( x, t ) et p ( x, t ) sont : 2u 1 -------2- = c 2 ----- -- ----- ( S u ) x S x t 2p 1 p -------2 = c 2 -- ----- ⎛ S ------⎞ . S x⎝ x⎠ t 3) On suppose que S ( x ) = S 0 e mx .

et

Posons u ( x, t ) = u 0 e j ( t – kx ) et cherchons la relation f ( , k ) = 0. d d – 2 u = c 2 u 0 e j t ----- e –mx ----- ( e mx e – jkx ) dx dx d = c 2 u 0 e j t ----- [ e –mx ( m – jk )e mx e – jkx ] dx = – c 2 j k ( m – j k )u . Ce qui donne la relation de dispersion : 2

= k 2 c 2 + jmc 2 k.

On cherche k , solution du trinôme : 2

k 2 + k jm – -----2- = 0 c Δ –jm 4 2 soit : k = ---------- ± ------- avec Δ = -------- – m2 . 2 2 c2 Il existe bien une pulsation caractéristique 4 Δ = ----2 ( c

2

–

c 2 c ).

mc = ------ telle que : 2


Examinons les solutions suivant les valeurs m • c : k = k 1 – j --2

.

2 1 1 B2 k 2 c 2⎞ 2 2) u em = -- 0 E 2 + --------- = -- 0 E 0 ⎛ 1 + -------- cos ( t – kz ) 2⎠ ⎝ 2 2 2 0 2

– mx ---------e 2 e j ( t – k1 x )

•

⎧ u ( x, t ) = u 0 ⎪ ⎪ mx – -----0 ⎨ p ( x, t ) = --------- u e 2 e j ( t – k1 x ) ⎪ k 0 ⎪ ⎩ Il y a propagation avec atténuation des amplitudes . c : k = –j k2

2 1 ne 2 2 1 1 u ec = --nmv 2 = -- -----------2 E 0 sin2 ( t – kz ) = -- 0 E 0 ------p2 sin2 ( t – kz ). 2m 2 2 3) z = 0

section S

⎧ u ( x, t ) = u 0 e – k 2 x e j t ⎪ j 0 ⎪ –k x ⎨ p ( x, t ) = ------------ u 0 e 2 e j t . k2 ⎪ ⎪ Il n′y pas de propagation . ⎩

z v e Δt

4) Le vecteur densité de flux de puissance est égal à p ( x, t )u ( x, t )e x . La puissance moyenne traversant la surface S ( x ) est donc égale à : ( x ) = 〈 p ( x, t )u* ( x, t )〉 S ( x ) 1 = -2

•

e ( p ( x,

t )u ( x, t ) )S ( x ) .

1 ⎧ ( x ) = -2 ⎪ c ⎨ 1 = -⎪ 2 ⎩

e

u 0 – m -2x- – m -2xu0 e 0 ---------- e k

Calculons l’énergie traversant une surface S orthogonale à ( Oz ) pendant une durée Δt grande devant la période. Cette énergie est celle du cylindre de hauteur v e Δt s’appuyant sur cette surface. T v e Δt est suffisamment grande pour que : Comme Δt

S 0 e mx

. k1 2 - = cte u 0 S 0 ---------------2 m2 k 1 + -----4 ( x ) est une constante indépendante de x . Il y a transfert de puissance sans absorption. 1 0 - u e – k2 x u 0 e – k2 x S 0 e +mx = 0 . ( x ) = -- e j -------• c 2 k2 0 L’onde ne se propage pas. Il n’y a pas aucun transfert de puissance. 0

∫

0

z = –v e Δt

v e Δt cos2 ( t – kz ) dz ≈ --------2

d’où : 2

v e Δt 1 2 k2c2 - -- 0 E 0 1 + -------( u em + u ec ) dz ≈ --------- + ------p2 2 2 2 –v e Δt

∫

0

v e Δt 2 - E = --------2 0 0 1 = --v e SΔt 2

d’où une énergie

2 0 E0 .

D’après la définition du vecteur de Poynting : =

En notation complexe pour l’onde plane progressive monochromatique et une polarisation selon l’axe ( Ox ). E = E 0 e j ( vt – kz ) u x 2

kE B = --------0 e j (

t – kz ) u

y

2– avec k 2 = -----------------p . c2

eE . et v = – --------jm On suppose E 0 = E 0 réel, ce qui donne en notations réelles : E = E 0 cos ( t – kz ) u x . kE B = --------0 cos ( t – kz )u y .

Δt

∫ ∫∫ P 0

S

k 2 SΔt = ---------- E 0 -------- . 2 0

. dS dt ; soit

D’où la vitesse de l’énergie : k kc 2 c2 v e = --------------- = ------- = ----- . v 0 0 d Dans le plasma v g = ------- . dk 2

2 k c2 En différentiant -----2- – -----2-p = k 2 , v g = -------- . c c

La vitesse de l’énergie (électromagnétique et cinétique) est donc égale à la vitesse de groupe. –δne 1) a) Maxwell-Gauss divE = ----------- (il y a une densité

eE v = – -------0- sin ( t – kz )u x . m

volumique n0 d’ions positifs) (1).

k 2 E ∧B et P = -------------- = ---------- E 0 cos2 ( t – kz ) u z .

∂δn Conservation de la charge divj – --------e = 0 ∂t

0

0


1) Avec les approximations du § 2.

0

(2)

211

Corrigés d’où :

dv Équation du mouvement d’un électron m ------ = –eE . dt

2

2 2 M = -----2- – -----2-p – k 2 et N = -----c ⎛ k 2 – -----2- ⎞ . ⎝ c ⎠ c c 4) En notation réelle une onde circulaire gauche s’écrit :

dv ∂v De plus j = ( n 0 + δn )ev ≈ –n 0 ev et ------ ≈ ------ . dt ∂t n0 e 2 ∂j -E . D’où : ----- = --------m ∂t

E = E 0 [ cos ( t – kz +

2 ( δn ) n0 e ------- divE – ∂---------------= 0 m ∂t 2

E = E0 e i ( uz ∧ E = E0 e i (

2 ( δn ) n0 e 2 --------- δn + ∂---------------= 0 ∂ t2 0m

δn oscille sinusoïdalement avec une pulsation

(3) p

Si

≠

p

2 δn

–

≠

p

tangent T et normal N et le rayon de courbure de la trajectoire : v2 dv m ⎛ ----N + ------ T ⎞ = evB 0 N car v ⊥ B 0 . ⎝R dt ⎠ mv d’où v = cte et R = ------- = cte . eB 0 eB v Le mouvement est circulaire à la pulsation c = --- = -------0 . m R


–

2 pE

0

+

c uz

∧j

0i

⎛ k 2 – ------2⎞ ⎛ 1 + -----c⎞ = – ------p . ⎝ ⎠ c2 c2 ⎠ ⎝

.

2

2

2

p k 2 = -----2- – ---------------------------. c c⎞ ⎛ 2 c 1 + ----⎝ ⎠

k (m–1) 0,5

(4)

0,3

k = ---c

+

0

0i c uz

(rad · s–1)

–

0

E =

0

j.

∧j.

2 . 107

6 . 107

8 . 107

annulant k 2 2

2 2

4 . 107

Doc. 1. Nombre d’onde en fonction de la pulsation. En couleur en noir = 1. Valeurs de

E ⎛ -----2- – -----2-p – k 2⎞ = – i -----c ⎛ -----2- – k 2⎞ u z ∧ E ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ c

212

= 1

D’où la relation demandée :

E

En éliminant j et après réarrangement : 2

2

2 -----c ⎛ k 2 – ------⎞ ⎝ c2 ⎠

ou :

comme a ∧ ( b ∧ c ) = ( a . c )b – ( a . b )c et k . E = 0

(4) s’écrit i j =

N car

0,2

0

k2 i ---- E –

2

2

-----2- – -----2-p – k 2 = c c

0,1 +

= 1 pour une droite (calcul identique).

c

(M.F.) –ik ∧ E = –i B 0j

= –1 pour

0,4

b) (M.G.) –i k . E = 0

(M.A.) –ik ∧ B =

– i ux ) = i E .

6)

∂v dv 3) a) m ------ = –e ( E + v ∧ B 0 ) ≈ m ------ . ∂t dt 2 pE

y

– i uy )

soit :

dv 2) L’équation m ------ = – ev ∧ B 0 s’écrit en introduisant les vecteurs dt

0

.

0 ) uy ]

2

La densité volumique d’électrons reste constante et égale à n 0 si

∂j ----- = ∂t

t – kz ) ( u

x

5) M E = i N u z ∧ E donne par identification M =

= 0.

, δn = 0 .

Comme j = –nev ,

t – kz ) ( u

Donc une onde circulaire vérifie E = i u z ∧ E , avec une circulaire gauche et

.

b) En fait, les chocs avec les ions introduisent un amortissement et ce régime est transitoire. Sous l’action d’un champ E sinusoïdal de pulsation , δn a un régime forcé à la pulsation . En notation complexe, (3) donne : 2 p δn

+ sin ( t – kz +

soit en complexe :

En dérivant (2) par rapport au temps et en éliminant j :

et d’après (1) :

0 ) ux

p = ----------------- soit 1 + -----c

2

2

– c+ c +4 p = ------------------------------------------2

108

= –1,


• pour

= +1 :

+

= 9,6 . 10 6 rad . s –1

+

= 1,5 MHz

• pour

= +1 :

–

= 1,7 . 10 7 rad . s –1

–

= 2,6 MHz

c

= 7,0 . rad . s –1 = 1 : circulaire droite 0

c

= 1,1 MHz .

+

–

k2

+

pas de propagation

propagation

C.D.

Doc. 2. •

z = z1

= –1 : circulaire gauche 0 k2

c

+

z = z2

z1

La circulation gauche a pris de l’avance par rapport à la circulation droite : le plan de polarisation a tourné.

+

8) Pour une onde arrivant sur le plasma :

propagation pas de propagation propagation

•

Doc. 3. 7) a) D’après le document 2, k + donc v + v – .

C.D.

Doc. 4.

–

–

C.G.

C.G.

k – pour

–

• • •

c: c + –

:

C.D. réfléchie totalement C.G. en partie transmise en partie réfléchie ; + : onde totalement réfléchie ; – : C.D. partiellement transmise, C.D. totalement réfléchie ; C.D. et C.G. partiellement transmise.


•

10 6

b) Une onde polarisée rectilignement est la somme d’une circulaire droite et d’une circulaire gauche de même amplitude. La circulation gauche va plus vite que la circulaire droite, donc la direction de polarisation tourne dans le sens direct.

213


8

Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

■ Réflexion métallique d’une onde électromagnétique. ■ Application au guidage des ondes.

■ Équations de Maxwell. ■ Propagation d’une onde électromagnétique dans un conducteur.

214

Dans le domaine des fréquences basses à hertziennes v 10 13 Hz environ), les ondes électromagnétiques ne pénètrent quasiment pas dans un métal : il y a apparition d’un « courant de surface ». Dans ces conditions, une surface métallique réfléchit presque totalement une onde électromagnétique. Ce phénomène permet de modéliser facilement les dispositifs de guidage d’ondes, dont nous discuterons un exemple simple.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

1

R éfl exi o n su r u n c on d u c te ur mé t al l i que

Le § 3 est destiné aux élèves de MP. Les § 1 et 2 (non explicitement au programme de PC) peuvent être abordés par l’ensemble des étudiants.

1.1. Description du problème 1.1.1. Réflexion et transmission Lorsqu’une onde électromagnétique arrive à l’interface séparant deux milieux de propagation différents (c’est-à-dire un dioptre), l’expérience montre que celle-ci donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise (doc. 1). Nous retrouvons ici un phénomène analogue à ceux décrits aux chapitres 3 et 4 ou vus lors d’expériences optiques. Nous assimilerons localement l’interface air/métal à son plan tangent. Nous noterons e z son vecteur unitaire normal, dirigé du métal vers l’air.

z onde incidente

onde réfléchie ez

air métal onde transmise

1.1.2. Analyse harmonique La réponse des milieux étudiés est linéaire. Nous pourrons effectuer l’étude par le biais d’une analyse harmonique, et ainsi nous intéresser à des ondes planes progressives et monochromatiques, toutes de même pulsation imposée par l’onde incidente (qui joue le rôle d’excitation harmonique du système, dont nous étudions la réponse en régime sinusoïdal forcé).

Doc. 1. Réflexion et transmission à l’interface air/métal.

1.1.3. Milieux de propagation Nous assimilerons l’air au vide, dans lequel nous avons déjà étudié la propagation des ondes électromagnétiques (cf. chapitre 5). Dans le conducteur métallique, les charges de conduction, mises en mouvement par le champ de l’onde électromagnétique, interviennent dans le processus de propagation. Nous pourrons rendre compte de leur influence en utilisant le modèle macroscopique de Drüde. En pratique, nous nous limiterons à des fréquences telles que la période de l’onde est très grande devant le temps de relaxation du métal (ou v 10 13 Hz ). Dans ces conditions, la loi d’Ohm statique est alors convenablement vérifiée, et nous pouvons assimiler la conductivité complexe du métal à sa valeur en régime statique : = 0 de l’ordre de 6 . 107 s . m–1 pour le cuivre.

1.2. Propagation dans les milieux © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

1.2.1. Ondes incidente et réfléchie Elles se propagent dans l’air assimilé au vide, où les équations de Maxwell s’écrivent : div E = 0 ,

div B = 0 ,

∂B rot E = – ------∂t

et

rot B =

0

0

∂E . ------∂t

La propagation du champ électromagnétique se traduit dans ce milieu par l’équation de d’Alembert : 1 ∂2E - = 0, ΔE – ----2- --------c ∂t 2 qui impose la relation de dispersion des ondes planes progressives monochromatiques dans le vide : 2

k 2 = -----2- . c

215

Ondes

1.2.2. Onde transmise Bien que notre étude se limite par la suite au conducteur parfait, nous établissons ici les propriétés d’un conducteur de conductivité 0 grande. Nous vérifierons ainsi que les propriétés du conducteur parfait s’obtiennent à la limite 0 → ∞. • Dans le métal, la densité volumique de charge est nulle : en effet, le temps de retour à la neutralité électrique est très court : l’équation de Maxwell-Gauss ∂ divE = ----- et l’équation de conservation de la charge div j + ----- = 0 don∂t 0 ∂ 0 - + ----- car j = 0 E . nent -------∂t 0 Le temps caractéristique de retour à la neutralité = ----0- est de l’ordre de 10–17 s. 0

• Aux fréquences envisagées, le courant de conduction (ici j =

0E

largement supérieur au courant de déplacement de Maxwell

0 -------

10 14 0 --------- ≈ 10 –5 . E : -------- = --------------------------36 10 9 10 8 10 19 0 Les équations de Maxwell prennent donc la forme approchée : module est égal à

), est très

∂E , dont le ∂t

0

∂B rot E = – ------- et rot B = 0 E . ∂t L’équation de propagation s’identifie, dans ces conditions, à une équation de diffusion : ∂E ΔE – 0 0 ------- = 0. ∂t Utilisant la notation complexe, nous voyons que cette équation impose aux ondes planes progressives monochromatiques la relation de dispersion : divE = 0 ,

divB = 0 ,

k2 = – j soit k = ±

0 0

– j ---4

e

0 0

=

0 0

– j ---2

e

1–j = ± ---------- , avec δ = δ

,

2 ---------------- . 0 0

La grandeur δ est une longueur, appelée épaisseur de peau.


Ainsi, pour une propagation dans le sens des z décroissants dans le métal, le 1–j nombre d’onde à partie réelle négative k = – ---------- impose à l’onde transmise δ dans le métal une amplitude proportionnelle à : ej(

t – kz )

z j ⎛ t – --⎞ + --z δ⎠ e δ

= e⎝

.

Dans le métal, la propagation de l’onde transmise, contenue dans le premier facteur exponentiel de module unité, s’accompagne d’une atténuation, contenue dans le facteur exponentiel réel, qui décroît lorsque z diminue. La propagation d’une onde électromagnétique de période grande devant le temps de relaxation du matériau (soit aussi v 10 13 Hz ) est caractérisée par l’effet de peau : l’onde ne pénètre dans le milieu que sur une épaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau d , d’autant plus faible que la conductivité du matériau et la fréquence de l’onde sont élevées. L’onde est ici absorbée, du fait de l’effet Joule au sein du conducteur, sur une épaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau δ .

216

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur 1.2.3. Modèle du conducteur parfait La puissance dissipée par effet Joule et par unité de volume dans un conducteur est : J, vol

= j .E =

0E

2

.

Dans le cas limite d’un conducteur parfait 0 → ∞ , il est nécessaire que E 2 tende vers 0 pour que cette puissance reste finie. Le champ électrique est nul dans un conducteur parfait. D’après l’équation de Maxwell-Gauss : divE = ----- :

= 0.

0

∂B ∂B D’après l’équation de Maxwell-Faraday : rot E = – ------- : ------- = 0 . ∂t ∂t Seul un champ magnétique statique peut exister dans un conducteur parfait. D’après l’équation de Maxwell-Ampère rot B =

0j

+

0

∂E = 0 , soit ∂t

0 -------

j ------ = 0 : seule une densité volumique de courant volumique statique peut t exister dans un conducteur parfait. En régime variable, un conducteur parfait est caractérisé par des champs E et B nuls, et les densités volumiques de charge

et de

courant j nulles. Les charges et les courants ne peuvent être que surfaciques. 1.2.4. Du conducteur réel au conducteur parfait Envisageons le cas d’une onde électromagnétique de fréquence assez élevée se propageant dans un conducteur, sa longueur d’onde dans le vide l 0 est de l’ordre de quelques centimètres et sa fréquence de l’ordre du GHz (ondes UHF). L’utilisation de la conductivité statique 0 est ici justifiée. De plus, pour un bon conducteur comme le cuivre (pour lequel 0 ≈ 6 . 107 S . m–1), l’épaisseur de peau est extrêmement faible pour cette fréquence : 2 ---------------- est de l’ordre du µm.


δ =

0 0

L’onde pénètre extraordinairement peu au sein du métal : le champ électromagnétique de l’onde transmise dans le métal est donc quasiment nul au-delà de quelques micromètres, distance généralement très faible à l’échelle macroscopique de l’expérience. Ainsi, aux fréquences de l’ordre du GHz, une onde électromagnétique ne pénètre quasiment pas au sein d’un matériau métallique, très bon conducteur. Nous simplifierons l’étude de la réflexion d’une onde sur le métal, en utilisant un modèle limite, bonne approximation de la réalité: le modèle du conducteur parfait. La limite du conducteur parfait correspond à une épaisseur de peau nulle : d = 0 .

217

Ondes

1.3. Conditions aux limites

N1 → 2

1.3.1. Interface air/métal La traduction des conditions aux limites que doivent satisfaire les ondes permet la détermination des ondes réfléchie et transmise à l’interface de séparation de deux milieux. Dans le cas des ondes électromagnétiques, nous utiliserons les conditions de passage du champ électromagnétique à l’interface séparant les deux milieux notés 1 et 2 (doc. 2) : E 2 – E 1 = ----- N 1 → 2 0

et

B2 – B1 =

0 js

Doc. 2. Vecteur unitaire normal N 1 → 2 à l’interface entre les milieux 1 et 2.

∧ N1 → 2 .

Ces relations imposent, à la traversée de l’interface, la continuité : • des composantes tangentielles du champ électrique : E T 2 = E T 1 ; • de la composante normale du champ magnétique : B N 2 = B N 1 . 1.3.2. Conducteur réel et modèle volumique Nous savons qu’une nappe surfacique de courant modélise une répartition volumique de courant, d’intensité j, confinée dans une « écorce» de très faible épaisseur d, au voisinage de la surface du métal. Nous avons alors schématiquement js = jd, où d tend vers zéro et j (grandeur volumique) vers l’infini pour un produit js constant (doc. 3). Pour un milieu de conductivité 0 , la puissance volumique dissipée par effet j2 Joule est ----- (en notation réelle). La puissance dissipée dans un cylindre de 0

section S et d’épaisseur d à la surface du conducteur, est : j s2 S j2 -----Sd = --------, 0 0d et devient donc infinie si nous envisageons la limite d Æ 0 à js donné. Ce résultat est absurde et exclut l’utilisation d’un modèle surfacique de distribution de courant pour un matériau de conductivité finie. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Dans le cas d’un matériau de conductivité finie, l’épaisseur de peau est non nulle, une distribution surfacique de courant n’a pas de sens : j s = 0 , et il existe une onde transmise au sein du métal. Remarque Le champ magnétique normal est toujours continu à l’interface de deux milieux. Dans le cas du conducteur réel, ses composantes tangentielles le sont également. 1.3.3. Conducteur parfait et modèle surfacique Nous savons que pour un bon conducteur comme le cuivre, et dans le domaine hyperfréquence, le modèle du conducteur parfait est numériquement bien justifié. Nous nous limiterons par la suite à ce cas limite, pour lequel le modèle surfacique est acceptable et largement suffisant. L’épaisseur de peau est ici nulle et il n’y a pas d’onde transmise au sein du métal. Nous n’aurons ici à rechercher que l’onde réfléchie.

218

d S

air

conducteur

Doc. 3. Représentation de l’« écorce » de courant à la surface du métal.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur Le champ électromagnétique étant nul au sein du conducteur parfait, les conditions aux limites à l’interface entre l’air (assimilé au vide) et un métal parfaitement conducteur s’écrivent :

js

N

[ ( E air ) – ( 0 ) ] interface = ----- N , 0

[ ( B air ) – ( 0 ) ] interface =

0 js

air

∧N,

où N est le vecteur unitaire normal au conducteur, dirigé vers l’extérieur du conducteur (doc. 4).

E = 0 B = 0

conducteur parfait

Doc. 4. Interface air/conducteur parfait : orientation de la normale N .

Sans chercher nécessairement à exprimer les charges et courants surfaciques mis en jeu, nous pouvons simplement écrire le résultat suivant. En un point P situé au voisinage immédiat de la surface d’un conducteur parfait, les composantes tangentielles du champ électrique et la composante normale du champ magnétique, continues à la traversée de l’interface air/métal, sont nulles : EP, // = 0 ,

B P, ^ = 0 .

On dit couramment : « E est normale à la surface du conducteur et B est tangent à la surface du conducteur ».

2

R é fl exi o n d ’u n e on d e p l a n e progre s s i ve mo n o c h rom ati q u e s u r u n c o n d u cte u r p a rf a i t

2.1. Pulsations et vecteurs d’onde 2.1.1. Ondes incidente et réfléchie Nous avons prévu que la réponse du système au régime sinusoïdal imposé par l’onde incidente est, elle aussi, sinusoïdale et de même pulsation, car les équations sont linéaires : = i = r.

E i = E oi e j (

t – ki . r )

et

k i ∧ E oi j ( B i = ------------------e

t – ki . r )

,

E r = E or e j (

t – kr . r )

et

k r ∧ E or j ( -e B r = ------------------

t – kr . r )

,


Dans le cadre de notre analyse harmonique du phénomène de réflexion, nous noterons :

les champs électromagnétiques (complexes) des ondes planes progressives monochromatiques incidente et réfléchie, qui satisfont toutes deux la relation 2

de dispersion k i2 = k r2 = -----2- des ondes planes progressives monochromatic ques dans le vide. Remarque Il est inutile de chercher l’onde réfléchie sous la forme d’une superposition d’O.P.P.M. de pulsation r et de vecteurs d’onde variés. L’unicité de la solution du problème nous permet de bâtir une onde réfléchie simple et de vérifier qu’elle est compatible avec les conditions aux limites.

219

Ondes

2.1.2. Lois de Descartes pour l’onde réfléchie

plan d’incidence

Le vecteur d’onde k r et l’amplitude complexe E or restent à déterminer en fonction des caractéristiques de l’onde incidente. En projetant convenablement les équations traduisant les conditions aux limites (de façon à ne pas faire intervenir d’éventuelles charges et courants surfaciques), nous obtiendrons les équations (doc. 5) : E oi // e j ( B oi ⊥ e

t – ki . r0)

j ( t – ki . r0)

+ E or // e j ( + B or ⊥ e

t – kr . r0)

= 0;

j ( t – kr . r0)

= 0,

où r p = OP représente les coordonnées d’un point quelconque P de l’interface. Ces équations doivent non seulement être vérifiées à tout instant, mais aussi en tout point de l’interface ; les exponentielles doivent varier de la même façon,

ki

N

kr

ir = i

air

P

P′

métal O

Doc. 5. Les vecteurs d’onde appartiennent au plan d’incidence.

lorsque l’extrémité du vecteur position r p = OP se déplace de P vers P′ dans le plan de l’interface. Soit pour tout vecteur PP′ orthogonal à N : k i . PP′ = k r . PP′ ou ( k i – k r ) . PP′ = 0. Donc k i – k r est colinéaire à N . Nous voyons ainsi que les vecteurs d’onde des ondes incidente et réfléchie ont même projection sur l’interface séparant les deux milieux k i // = k r // . Le vecteur d’onde k i et la normale N au « dioptre » air/métal définissent le plan d’incidence et l’angle d’incidence i. La relation précédente nous indique que le vecteur d’onde k r appartient à ce plan (doc. 5). Nous savons que ce vecteur d’onde k r : • a même norme ---- que le vecteur d’onde incident ; c • est contenu dans le plan d’incidence ; • correspond à une onde qui s’éloigne de l’interface. Il fait donc l’angle i r = i avec le vecteur normal N , comme indiqué sur le document 5. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous retrouvons ici les lois de Descartes de l’optique géométrique pour la réflexion d’un rayon lumineux: le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence, et l’angle ir est égal à l’angle i.

2.2. Réflexion sous incidence normale sur un plan conducteur parfait 2.2.1. Champ de l’onde réfléchie Déterminons maintenant les amplitudes des ondes réfléchie et transmise en traduisant précisément les conditions aux limites dans le cas particulier de l’incidence normale : k i = – k r = – ---- e z , c pour un plan conducteur parfait d’équation z = 0 (doc. 6).

onde incidente

air

z

onde réfléchie

ez interface z = 0 métal conducteur parfait

La condition aux limites concernant le champ électrique s’écrit : ( E i + E r ) z = 0 = ----- e z , 0

220

Doc. 6. Réflexion sous incidence normale.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur Le champ électrique des ondes planes progressives monochromatiques incidente et réfléchie est transverse. En incidence normale, nous avons : ( E i + E r ) z = 0 = 0 et donc

= 0.

Le coefficient de réflexion r relatif à l’amplitude du champ électrique est défini par le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie et celle de l’onde incidente à l’interface, donc en z = 0. Pour le cas envisagé ici, nous avons r = –l. Pour le champ magnétique, nous obtenons : ⎛k ∧ E ⎞ ⎛ ( – k i ) ∧ ( – E i )⎞ r ⎟ -r⎟ ( B r ) z = 0 = ⎜ --------------= ⎜ --------------------------------= ( Bi )z = 0 . ⎝ ⎠z = 0 ⎝ ⎠z = 0 Le coefficient de réflexion relatif à l’amplitude du champ magnétique vaut donc 1. La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normale sur un conducteur parfait, est une réflexion totale avec un coefficient de réflexion de –1 (déphasage de π) pour le champ électrique et un coefficient de réflexion +1 (déphasage nul) pour le champ magnétique.

1

Aspect énergétique de la réflexion Le coefficient de réflexion énergétique R est défini à l’aide des flux moyens d’énergie à travers l’interface air/métal, relatifs aux deux ondes, notés 〈 F i 〉 et 〈 F r 〉 . 〈Fr 〉 On notera ainsi : R = ----------. 〈Fi 〉 Dans le cas de l’incidence normale et dans le cadre du modèle du conducteur parfait, quelle est la valeur de R ? E r ∧ Br -. Nous avons P r = ---------------0

2

Er ez ∧ E r - ez - : P r = ----------Soit avec B r = --------------c 0c

2

Fr =

d’où :

∫∫

Er S P r . dS = --------------0c 2

〈 E r S〉 -. 〈 F r〉 = -------------------0c

et

2

〈 E i S〉 Nous avons de même 〈 F i〉 = – -------------------0c et donc R = 1. Toute énergie véhiculée par l’onde incidente se retrouve dans l’onde réfléchie. Le métal « parfait » ne dissipe pas d’énergie et la réfléchit totalement : c’est un miroir idéal. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

2.2.2. Courant surfacique Nous n’avons pas encore utilisé la condition aux limites concernant le champ magnétique : [ ( Bi + Br )z = 0 – 0 ] =

0 js

∧ ez .

Celle-ci n’apporte pas de contrainte supplémentaire, mais nous permet de déterminer le courant surfacique induit sur le plan conducteur parfait : ez ∧ ( Bi + Br )z = 0 ez ∧ ( k i + E i + k r + E r )z = 0 2E oi j j s = ----------------------------------------= -------------------------------------------------------------e - = ---------0c 0 0

t

.

221

Ondes

La réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sous incidence normale sur un plan conducteur parfait induit ainsi un courant 2 surfacique j s = --------- e ( Eoi e j t ) non nul de même direction que le 0c champ incident ainsi qu’une charge surfacique nulle. 2.2.3. Superposition des ondes incidente et réfléchie Dans l’air, le champ électromagnétique résulte de la superposition des ondes incidente et réfléchie. Notant k = ---- , nous obtenons (doc. 7) : c E = E i + E r = E oi e

j ( t + kz )

+ E or e

j ( t – kz )

= 2jE oi sin ( kz )e

– 2 ( e z ∧ E oi ) – ez ∧ E i ez ∧ E r j - cos ( kz ) e B = B i + B r = ------------------- + ---------------- = ----------------------------c c c

j t

t

.

Pour fixer les idées, supposons que l’onde incidente est polarisée selon (Oy) : E oi = E 0 u y . Nous obtenons alors : • E = 2 jE 0 sin ( kz )e

j t

2E j • B = --------0- cos ( kz ) e c

e y , soit E = – 2 E 0 sin ( kz ) sin ( t )e y .

t

2E e x , soit B = --------0- cos ( kz ) cos ( t )e x . c

Les dépendances spatiale et temporelle sont séparées. L’onde résultante est donc une onde stationnaire.

Ei

direction de propagation

Bi

z

De plus, E et B restent orthogonaux mais sont en quadrature (déphasage de Br

± ---- ) spatiale et temporelle. 2 L’onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie est

z

une onde stationnaire. E et B sont orthogonaux et en quadrature.


Revenons au cas général. Nous remarquons que : • le champ électrique est nul à tout instant dans les plans : l z = p ---- = p --k 2

(p ∈

),

alors que le champ magnétique y est extrémal ; l • le champ magnétique est nul à tout instant dans les plans z = ( 2 p + 1 ) --2 ( p ∈ ) alors que le champ électrique y est extrémal. Nous obtenons :

l • des nœuds de champ électrique et ventres de champ magnétique pour z = p ----0- ; 2 • des nœuds de champ magnétique et ventres de champ électrique pour l z = ( 2 p + 1 ) --- ; 4 où p est un entier positif. Le document 8 schématise ces résultats dans le cas d’une onde incidente de polarisation rectiligne.

222

Er

direction de propagation

Doc. 7. Onde incidente et onde réfléchie en z = 0 à un instant t.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur E ∧B Remarquons que le vecteur de Poynting Π = --------------- s’annule dans les plans 0

des nœuds de E ou B . Il n’y a globalement pas de propagation de l’énergie, celle-ci reste confinée entre deux nœuds de E ou B consécutifs. ventre de vibration de B

y

l0 ----4

x

z

B ventre de vibration de E

Champs créés par le courant surfacique 1) Rappeler l’expression du champ magnétique créé par une nappe (Oxy) surfacique infinie de courant de densité surfacique constante j s = j 0 u x . 2) En tenant compte des phénomènes de propagation, justifier l’expression des champs créés par la nappe (Oxy) infinie parcourue par j = j 0 e jk E = E0 e

j( t – k z )

ex ;

B = ± B0 e

t

ey .

3) Une onde plane progressive monochromatique est réfléchie sous incidence normale par un plan conducteur parfait. Son champ électrique est : Ei = E0 e

j ( t + kz )

ex .

Que peut-on dire de la superposition des champs de l’onde incidente et de l’onde créée par le courant surfacique : – dans le vide ( z 0 ) , – dans le conducteur ( z 0 ) ? j

0 0 - ey ; 1) • B 0 = – -----------

2 0 j0 • B 0 = ------------ e y ; 2

2) • Pour z

z

0.

z

0.

• Pour z

0 , la propagation a lieu selon les z 0 j 0 j ( t + kz ) -e décroissants, donc B = ----------ey . 2 Ces ondes étant planes progressives dans les demiespaces z 0 ou z 0 . z

0 , E = cB ∧ e z ;

z

0 , E = cB ∧ ( – e z ) .

Soit :

.

j( t – k z )

aux ventres de B . E et B sont de plus en plus en quadrature (propriété qui n’apparaît pas ici).

2

Application

Doc. 8. Les nœuds de E correspondent

0 , la propagation a lieu selon les z

croissants, B est donc raisonnablement de la forme 0 j 0 j ( t – kz ) -e B = – ----------ey . 2

0 c j 0 j ( t – kz ) ⎧ E = – --------------e ex ⎪ 2 •z 0 ⎨ 0 j 0 j ( t – kz ) ⎪ B = – -----------e ey . ⎩ 2 0 c j 0 j ( t + kz ) ⎧ E = – -------------e ex ⎪ 2 •z 0 ⎨ ⎪ 0 j 0 j ( t + kz ) -e ey . ⎩ B = ----------2 2E j 3) Le courant surfacique est j s = --------0- e 0c crée les champs.

t


E

e x qui

⎧ E = – E e j ( t – kz ) e x 0 ⎪ •z 0 ⎨ E ⎪ B = – -----0- e j ( t – kz ) e y ⎩ c identiques à ceux de l’onde réfléchie. ⎧ E = – E e j ( t + kz ) e x 0 ⎪ •z 0 ⎨ E 0 j ( t + kz ) ⎪ B = ------ e ey ⎩ c opposés à ceux de l’onde incidente.

223

Ondes

Les champs résultants sont donc : ⎧ E vide = E ( – e j ( 0 ⎪ •z 0 ⎨ E vide ⎪ B vide = – -----0- ( e j ( ⎩ c

t – kz ) t – kz )

+e +e

j ( t + kz )

j ( t + kz )

Dans le vide, on retrouve la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie, dans le métal les champs sont nuls. Le courant surfacique du conducteur crée l’onde réfléchie et « supprime » l’onde incidente dans le métal.

)e x

)e y .

⎧ E métal = 0 0 ⎨ métal ⎩ B métal = 0 .

•z

2.3. Ondes stationnaires entre deux plans métalliques Cherchons les pulsations des ondes planes monochromatiques pouvant exister entre deux plans parallèles z = 0 et z = a parfaitement conducteur. Le champ électrique de cette onde doit vérifier trois conditions : a) divE = 0, 1 ∂2E b) ΔE – ----2- --------2- = 0 , c) E ( z = 0 ) = E ( z = a ) = 0 (condition de contic ∂t nuité à la surface d’un conducteur parfait). La première condition (a) impose que l’onde soit transverse : E ( z, t ) = E x ( z, t )e x + E y ( z, t )e y . La deuxième impose (b) en notation complexe (attention l’onde n’est pas progressive) pour : E x = E 0 x ( z ) e j

t

2 d 2 E 02x , ------------- + -----2- E 02x = 0. 2 c dz

k = ---- . c La troisième condition (c) impose A = 0 et B sin ka = 0. Il en serait de même pour E 0 y . Soit : E 0 x ( z ) = A cos kz + B sin kz

avec


La condition B z = 0 sur les plans z = 0 et z = a est vérifiée car B est transverse. Pour que les champs entre les plans conducteurs soient non nuls, il faut que c cp sin ka = 0, soit : ka = p ou = ---------- = p 0 , p ∈ ∗ ; avec 0 = ------- . a a Les conditions aux limites imposent une quantification des fréquences propres d’une cavité. Le champ électrique existant dans la cavité peut s’écrire : E ( z, t ) =

z

∑p E 0 sin ⎛⎝ p -----a-⎞⎠ e j p

0t

(avec

0

superpositions des modes propres de pulsation propre p

c = ------- ), a 0

c = p ------- : ce sont a

des ondes stationnaires. Pour s’entraîner : ex. 6.

224


3

O n des gu i d é e s ( MP )

Une ligne électrique composée de deux fils conducteurs est une façon courante de transmettre un signal électromagnétique dans une direction donnée. C’est la solution retenue par exemple pour transmettre un signal audiofréquence (quelques kHz). À plus haute fréquence, la ligne électrique est souvent remplacée par un câble coaxial. Cependant le principe est identique : une onde de courant se propage le long de l’âme du câble et revient par la gaine.

guidage imposé par les parois

Doc. 9. Confinement d’une onde électromagnétique par des plans conducteurs parfaits.

Nous pouvons toutefois imaginer le guidage d’une onde électromagnétique à l’intérieur d’une cavité dans un conducteur unique : l’onde se réfléchit à la surface de la cavité (doc. 9). Elle est ainsi guidée à l’intérieur de la cavité. Ce conducteur est appelé « guide d’onde ». Nous modéliserons par la suite ce guide d’onde par deux plans parallèles parfaitement conducteurs. L’onde se propage entre les deux plans et reste confinée à cause des réflexions sur les plans, miroirs (presque) parfaits. L’étude de l’onde guidée pourrait être faite en s’intéressant à la superposition des différentes ondes réfléchies par les deux plans. Il est cependant plus simple de chercher une onde se propageant entre les deux plans et vérifiant les conditions aux limites sur ceux-ci.

3.1. Propagation guidée entre deux plans métalliques parallèles

x a

3.1.1. Position du problème. Hypothèses Étudions la propagation selon l’axe (Oz) entre deux plans parfaitement conducteurs x = 0 et x = a (parallèles à (Oyz)) (doc. 10). L’espace entre ces deux plans est assimilé au vide sans charges (

= 0 , j = 0 ).

Les seules charges et courants sont surfaciques au niveau des plans conducteurs.

y

z

croissants et dont le champ électrique est selon (Oy). E est alors transverse (orthogonal à la direction de propagation (Oz)). Ces ondes sont dites TE (transverses électriques).

Doc. 10. Propagation guidée entre deux plans métalliques parallèles.

D’autres ondes peuvent être étudiées en particulier celles où le champ magnétique est transverse (ondes TM cf. exercice résolu). L’analyse de Fourier nous permet de n’étudier que les ondes monochromatiques ou harmoniques. Nous chercherons donc une onde du type E = E 0 ( x )e

j ( t – kz )

u y car le problème est invariant par translation suivant

(Oy) et que l’onde se propage suivant z. 3.1.2. Recherche du champ électrique Le champ électrique doit vérifier : a) l’équation de Maxwell-Gauss : divE = 0 ; 1 ∂2E - = 0; b) l’équation de d’Alembert : ΔE – ----2- --------c ∂t 2

Ce champ complexe E ne correspond pas à une onde plane donc, a priori, k ≠ ---- . c Une erreur très grave consiste à croire qu’en notation complexe : divE = jk . E et rotE = j k ∧ E en oubliant les deux points les plus importants : l’onde doit être plane et progressive.

225


Nous restreindrons notre étude aux ondes non planes progressives selon les z

Ondes

c) les conditions aux limites : E orthogonal aux plans conducteurs soit pour x = 0 ou x = a, E est selon u x . ∂E a) est vérifiée car --------y = 0. ∂y 2E d2E0 0 – k 2 E 0 ( x ) + ----------+ -----------= 0. dx 2 c2 d2E0 ⎛ 2 ----------+ ------ – k 2⎞ E 0 = 0 . ⎠ dx 2 ⎝ c 2

b) donne : Soit :

E 0 ( 0 ) = E 0 ( a ) = 0.

c) donne :

Vérifions que la fonction f ( x ) telle que f ″ ( x ) + 0. deux fois si, et seulement si,

f ( x ) = 0 peut s’annuler

j ( t – kz )

E = E0 ex e E j ( t – kz ) avec k = ---- . B = -----0- e y e c c Cette onde est plane ; or nous avons restreint l’étude aux ondes non planes.

f ( x ) = Ae rx + Be –rx avec r 2 = . B f ( x ) = 0 donne e 2rx = – --- qui a une ou zéro racine. A

• Si

• Si • Si

0

= 0 f ( x ) = Ax + B qui a une racine. 0 f ( x ) = A cos ( hx + ) avec h 2 = –

qui a une infinité de racines.

En conclusion : E 0 ( x ) = A 0 sin ( hx ) + B 0 cos ( hx )

avec

Une onde TEM existe aussi entre deux plans métalliques parallèles :

2

h 2 = -----2- – k 2 c

0


E 0 ( 0 ) = 0 donne B 0 = 0. m E 0 ( a ) = 0 donne h = -------- m ∈ ∗ pour avoir une solution non nulle. a La propagation guidée d’une onde par deux plans x = 0 et x = a impose une quantification des solutions. À un entier m non nul correspond un mode tel que : 2 m2 2 . k 2 = -----2- – ------------a2 c À chaque mode correspond une pulsation de coupure cm : m c 2 si 0 , il n’y a pas propagation. cm = ------------ , k a

x a

3.1.3. Champs du mode TEm

0

Pour le mode correspondant à l’entier m (mode TE1 sur le document 11) m x E = E 0 sin ⎛ ------------⎞ e j ( ⎝ a ⎠

t – kz ) e

y

.

E Ey

Doc. 11. Champ électrique du mode TE1 .

La méthode la plus simple pur obtenir B consiste à utiliser l’équation de Maxwell-Faraday rot E = – j B , soit après calcul : m x m m x k B = E 0 – ---- sin ----------- e x + j -------- cos ----------- e z e j ( a a a Le champ magnétique d’un mode TE m n’est pas transverse. Au niveau du plan : m • x = 0 B = j --------- E 0 e j ( a

226

t – kz ) e

z

.

t – kz ) .

Attention au calcul de rotE car l’onde n’est pas plane.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur m • x = a B = j -------- ( – 1 ) m E 0 e j ( a

t – kz ) e

z.

Ce champ est tangent aux plans conducteurs. La condition aux limites B normal nul est vérifiée à la surface des conducteurs. L’existence d’un champ magnétique tangent à la surface des conducteurs nécessite la présence de courants surfaciques (cf. Application 2). 3.1.4. Vitesse de groupe des différents modes Considérons la propagation d’un paquet d’ondes de pulsation moyenne 0 entre les deux plans étudiés. m c Tous les modes de coefficient m tel que -----------0 peuvent se propager dans a le guide. C’est la façon dont le champ électrique est émis à l’entrée du guide qui fixe l’amplitude du champ électrique des différents modes. Sur les documents 12 et 13, nous remarquons que pour une valeur

0

fixée, la

2

2 d 0a - dépend du numéro du mode. vitesse de groupe v g = ------- = c 1 – ------------------dk m2 2 c2

Pour un signal émis en z = 0 et comprenant plusieurs modes, les paquets d’ondes correspondant à chaque mode ont des vitesses de groupe différentes. Sur le document 14, un paquet d’ondes contenant les modes 1 et 2 se dédouble au cours de sa propagation. Dans ces conditions, la transmission de signaux successifs est difficile. Ce problème, rencontré aussi avec les fibres optiques, conduit à n’utiliser que des guides monomodes. 2 c c ----------- en ne conservant que le Un choix possible consiste à choisir ------a a mode 1. kc --------

-------

c1

c1

5

5

4

4

3

k2

qg

P

k3


6

3 pente = 1

2

2

k1

1 n=1 0

n=2 1

n=4 n=5

n=3 2

3

4 5 Tracé de k( )

-------

c1

6

= kc

1 0

kc --------

qj 1

c1

2

3

4 5 Tracé de (k)

6

Doc. 12. Relation de dispersion pour différents modes : v g = c tan g v = c tan

227

Ondes

vitesse de phase

v -c

3 2,5

v

2 1,5

n=1

n=2

3

n=3

n=4

n=5

v 2 v 1 vg1 vg2

1 0,5

vg3

vitesse de groupe

0 1 Tracé de v et vg( )

2

⁄

3

4

5

c1

6

Doc. 13. Pour une valeur de donnée, il existe plusieurs modes de propagation possibles (ici 3) correspondant à des valeurs de k différentes et donc à des vitesses de phase et de groupe différentes. 1 0.5 f c1 t 5

0

10

15

20

z0 = 0

–0.5 –1 1 0.5

f c1 t 5


0

10

15

5c z 0 = ------f c1 20

–0.5 –1

1 0.5 f c1 t 0 –0.5 –1

228

5

10

15

20

10 c z 0 = --------f c1

Doc. 14. Dédoublement d’un paquet d’ondes dans un guide pour les modes TE1 et TE2 avec 0 = 2,5 c1 = 1,25 c2 .

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur 3.2. Propagation dans un guide d’onde à section rectangulaire 3.2.1. Modes de propagation possibles

y

Pour limiter complètement l’extension spatiale de l’onde dans le plan (xOy), ajoutons encore deux miroirs métalliques plans, distants de b, perpendiculaires aux précédents. Nous obtenons ainsi un guide d’onde à section rectangulaire, dont les parois sont les plans d’équations x = 0 , y = 0 , x = a et y = b (doc. 15). Les conditions aux limites imposées par les quatre parois ( E // et B ⊥ nuls sur les parois) sont bien vérifiées par l’onde que nous venons de construire, limitée à la zone [ 0

x

a;0

y

b a O

x

z

Doc. 15. Guide d’onde à section rectangulaire.

b ] . En effet, E est selon ( Oy ) donc normal

aux plans y = 0 et y = b . B n’a pas de composante suivant ( Oy ) , donc est tangent à ces plans. Ces modes ne sont pas les seuls possibles. En effectuant la substitution : ⎧x→y ⎪ ⎨ ex → ey ⎪ ⎩a→b

y→–x

Dans un guide d’onde rectangulaire, le mode TEM n’existe pas.

ey → – ex m→n

(les signes – sont introduits pour conserver un trièdre direct) ; les champs : ⎧ E = – E 0 sin n----------y- e j ( t – kz ) e x ⎪ b ⎨ k n y jn n y ⎪ B = E – --- sin ---------- e y + --------- cos ---------- e z e j ( 0 ⎩ b b a

t – kz )

2 n2 2 -. peuvent aussi se propager dans le guide avec k 2 = -----2- – ----------b2 c Ce sont les modes TE 0, n .

D’autres modes transverses électriques existent (cf. exercice 4) définis par deux indices, les modes TE m, n . Les modes où le champ magnétique est transverse (cf. exercice commenté et exercice 4) sont notés TM m, n . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Pour ces modes, l’équation de dispersion est : 2 m2 2 n2 2 k 2 = -----2- – ------------ – -----------b c a2

avec ( m, n ) ≠ ( 0, 0 ) , m ∈

et n ∈

.

C’est une solution des équations de Maxwell qui se propage dans la direction ( Oz ) imposée par le dispositif. L’utilisation de surfaces métalliques permet de canaliser la propagation d’une onde électromagnétique, donc de constituer un guide d’onde. Nous avons remarqué que le champ électrique de cette onde non plane est transverse. La solution est appelée mode de propagation transverse électrique, notée TEm, 0 où m est l’entier entrant dans la relation de quantification que nous avons obtenue et où l’indice 0 indique que le champ ne dépend pas de la coordonnée y.

229

Ondes

3

Application

Autre aspect de l’onde TEm, 0 Soit deux ondes planes progressives monochromatiques de vecteurs d’ondes K 1 et K 2 dans le plan (xO z) et faisant un angle avec (Oz). Le champ électrique de ces ondes est tel qu’au point O : E1 = E2 = E0 e j t ey . 2

-. On posera K 2 = -----c2 1) Déterminer les champs électrique et magnétique de l’onde résultante. 2) À quelle condition sur , l’onde résultante estelle compatible avec la présence de deux plans a conducteurs x = ± --- . 2 Quelle interprétation peut-on donner au mode TEi, 0 ? 3) Montrer que les vitesses de phase et de groupe de c l’onde TEi, 0 s’écrivent v = ------------ et v g = c cos . cos En donner une interprétation géométrique. 1) Pour l’onde 1 : ( K 1 = K ( cos e z + sin e x ) )

E1 = E0 e j(

t – K cos z – K sin x ) e

y

E K 1 ∧ E1 B 0 = ------------------ = -----0- ( – cos e x + sin e z ) c c e j ( t – K cos z – K sin

x) .

Pour l’onde 2 : ( K 2 = K ( cos e z + sin e x ) ) E2 = E0 e j(

t – K cos z + K sin x ) e


E = E 1 + E 2 = 2E 0 cos ( K sin x ) e j (

n∈

.

2n = ------- + ---------- (à condition que sin 1). Ka Ka En posant k = K cos , nous retrouvons les champs du mode TEi, 0 pour n = 0 . La pulsation de coupure correspond à sin = 1 soit : Ou sin

K = ---- = ---- . a c Dans ce cas, les ondes 1 et 2 sont perpendiculaires aux plans conducteurs. Le mode TEi, 0 peut donc être considéré comme la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques d’amplitudes égales et se propageant avec un angle par rapport à l’axe ( Oz ) tel c que sin = -------- . a Remarquons que tous les modes impairs ( m = 2n + 1 ) peuvent être générés de cette façon. Pour les modes pairs, il faut que les amplitudes des deux ondes au point O soient opposées. 3) Pour le mode TEi 0 : 2 2 2a2 ------ cos 2 . k 2 = -----= – -----------c2 c2 c2 c • v = ---- = ------------ . cos k

(Attention cos x) .

t – K cos z ) e

y

2E B = B 1 + B 2 = ---------0- ( – cos cos ( K sin x ) e x c + j sin sin ( K sin x )e z ) e j ( t – K cos z ) . 2) Les conditions aux limites sur un plan conducteur sont E // = 0 et B ⊥ = 0 . a a Soit ici en x = ± --- : cos ⎛ K sin ---⎞ = 0 condition ⎝ 2 2⎠ sur E et B .

230

a K sin --- = ---- + n 2 2

c2 d • v g = ------- = ----- = c cos . dk v

y

E K 2 ∧ E2 B 2 = ------------------ = -----0- ( – cos e x – sin e z ) c c e j ( t – K cos z + K sin Donc pour l’onde résultante :

Par conséquent,

dépend de

, il ne faut pas croire

que k = ---- cos correspond à un milieu non disc persif avec v = v g .) Interprétons la vitesse de phase (doc. 16). Considérons les deux planes (P1) et (P2) équiphase de phase nulle pour les ondes planes progressives monochromatiques (1) et (2). Le point M sur intersection de OM OM ces deux plans vérifie OM = -----------1- = -----------2- . cos cos La vitesse de phase de l’onde résultante est la c vitesse de ce point soit v = ------------ . cos

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur Considérons deux photons correspondant aux ondes (1) et (2) partant à l’instant initial de O. L’énergie qui leur est associée se déplace avec le plan M1M2. La vitesse de l’énergie (ou la vitesse de groupe si on admet qu’elles sont égales) est celle du point H soit comme OH = OM , cos , v g = c cos .

(P 1 )

x

y

O

K1

M1 H M

K2

M2

Doc. 16.

z

(P 2 )

Remarque Le cours sur les interférences de l’interpéromètre de Michelson montre que la différence de marche dans une lame d’air est donnée par δ = 2 d cos i (doc. 17).

i

i

d

Les interférences sont constructives si δ = n l 0 . Nous remarquons que la relation traduisant le guidage K sin a = m 2 s’écrit aussi : l 0 = 2 a cos i avec i = ---- – , l 0 = -------- . K 2 3.2.2. Aspect énergétique, vitesse de propagation de l’énergie E ∧B Le vecteur de Poynting est P = --------------- soit en déployant :

Doc. 17. La différence de chemin optique à l’infini entre les rayons et est égale à δ 12 = 2 d cos i .

0

2 k m x P = ------------ E 0 sin 2 ------------ cos 2 ( t – k z ) e z a 0 2 m m x m x – --------------- E 0 sin ----------- cos ----------- sin ( t – kz ) cos ( t – kz )e x , a a a 0

en supposant E 0 = E 0 réel. Calculons le flux à travers une section droite du guide situé en z 0 .

∫∫s

2

kE 0 P . dS e z = ----------

b

a

m x

dy ∫ sin 2 ----------- dx cos 2 ( ∫ a 0 0 0

2

kE a = ----------0- b --- cos 2 ( t – kz ) avec k = 0 2 nous étudions.

2 m2 2 -----2- – ------------ pour le mode TE m, 0 que c a2

La densité d’énergie électromagnétique est : 1 B2 1 e em = --- 0 E 2 + --- ------2 0 2 1 e em = --2

t – kz ) © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

f =

2

2 1 k2 E0 2m x 2 2m x 2 0 E 0 sin ------------ cos ( t – kz ) + --- ------------2- sin ------------cos ( t – kz ) a 2 0 a

1 m2 2 2 m x - E cos 2 ------------ sin 2 ( t – kz ) . + ---------- -------------2 0 a2 2 0 a Soit ve la vitesse de propagation de l’énergie. L’énergie W traversant la section droite du guide pendant une durée (grande devant la période) est contenue

231

Ondes

ve

dans le cylindre de section rectangulaire et de longueur v e situé en amont de cette section droite (doc. 18). D’après la définition du vecteur de Poynting : W =

est grande devant la période T, et v e

Comme

• 〈 W 〉 ≈ 〈 f〉 . •

a

z

∫0 f dt . 1 --- : k

ve

b

∫∫∫ eem dx dy dz ≈ ve ∫x = 0 ∫y = 0 〈 eem 〉 dx dy .

〈f〉 Soit donc l’expression de la vitesse de l’énergie : v e = ---------------------------------- . 〈 e em〉 dx dy

Doc. 18. L’énergie W traversant la section droite du guide est située dans le cylindre hachuré de hauteur v e .

∫∫section droite du guide

〈 cos 2 (

En utilisant la relation

t + )〉 =

〈 sin 2 (

1 t + )〉 = --2

2

kE 0 ab - -----〈 f 〉 = ---------0 4 et de plus d’où :

1 〈 e em 〉 = --4 a

2 0E0

m x

2 2 c2 m x m x k 2 c 2⎞ m ------------------ cos 2 ----------sin 2 ------------ ⎛ 1 + ---------+ 2 ⎠ ⎝ a a2 2

m x

a

- dx = - dx ∫0 sin 2 ---------∫0 cos 2 ---------a a

∫section ∫ 〈 eem〉 dx dy

ab = -----8

2 0E0

a = --2

c2 2 2 -----2- ⎛ m ------------- + k 2⎞ + 1 ⎝ a2 ⎠ La vitesse de l’énergie est donc égale à la vitesse de groupe pour le mode TEm, 0 . Ce résultat et généralisable à tous les modes d’un guide d’onde (cf. exercice commenté).

droite

2 0 E 0 ab

= ------------------- d’après la relation de dispersion. 4 k c2 Nous en déduisons v e = --------- = v g .

Application

4


Charges et courants surfaciques sur les faces d’un guide d’onde Le guide d’onde est à section rectangulaire et dans le mode TEm, 0 . 1) Rappeler l’expression du champ électrique. 2) En déduire la densité surfacique de charges des quatre faces : x = 0 , x = a , y = 0 et y = b . 3) Calculer le champ magnétique correspondant. 4) En déduire la densité de courant surfacique sur chaque face. 5) Le document 19 présente le tracé des lignes de courant sur les faces du guide à l’instant t = 0 et 2 pour z variant de 0 à l = ------- pour le mode TE10 . k

232

A

y

B

b

z

z=0 l⁄2

l⁄2 z

a

x

Doc. 19. Courants surfaciques dans le mode TE10.


2) La condition aux limites E 2 – E 1 = ----- n 12 avec 0

2 l’indice du vide et 1 celui du métal. Dans le métal parfait E 1 = 0 . • Sur la face x = 0 , n 12 = e x , or E x ( x = 0 ) = 0 d’où = 0 . • Il en est de même sur la face x = a . • Sur la face y = 0 , n 12 = e y et donc :

1 m m x j s = – ------- --------E 0 cos ⎛ -----------⎞ sin ( t – kz )e y ⎝ a a ⎠ 0 1 m = ( – 1 ) m + 1 ------ --------E 0 sin ( t – kz )e y . 0 a • Sur la face y = 0 , n 12 = e y , d’où : m m x j s = – -------- E 0 cos ----------- sin ( t – kz )e x a a k m x – ---- E 0 sin ----------- cos ( t – kz ) e y . a • La valeur opposée sur la face y = b ( n 12 = – e y ) . 5) a) Nous avons bien sur les faces x = 0 et x = a

un courant sur e y , ces courants sont égaux ( m = 1 et ( – 1 ) m + 1 = 1). Les courants sur les faces y = 0 et y = b sont bien opposés. b) Tous les courants arrivent en B d’où accumulation de charge, ce qui n’existe ni en régime permanent ni dans l’A.R.Q.S. Mais nous ne sommes dans aucun de ces cas puisqu’il y a … propagation ! Il en est de même en A. c) À partir de t = 0 , la charge surfacique en A commence par diminuer car les courants en partent donc : d ⎞ ⎛ ------ (t = 0) 0 . ⎝ dt ⎠ A a --2 2 l ------- cos ⎛ t – ------- ---⎞ = – sin ( t ) E A 0 0 ⎝ a l 4⎠ = – 0 E 0 sin t

m x ----------- cos ( t – kz ) a qui dépend donc de x , z et t . =

0 E 0 sin

• Sur la face y = b , n 12 = – e y et donc : ( y = b)

= –

( y = 0) .

∂B ∂t k m x B = – ---- E 0 sin ----------- cos ( t – kz )e x a m m x – --------E 0 cos ----------- sin ( t – kz )e z . a a

3) De rot E = – ------- (cf. § 3.1.3.) :

4) La condition aux limites est B 2 – B 1 =

0 js

n 12 ∧ B 2 - car B 1 = 0 . ou j s = -------------------0

• Sur la face x = 0 , n 12 = e x , d’où : 1 m j s = ------- --------E 0 sin ( t – kz )e y . 0 a • Sur la face x = a , n 12 = – e x , d’où :

∧ n 12

et

d A⎞ ⎛ --------- (t = 0) = – ⎝ dt ⎠

0 E0

0

en B ,

augmente puisque les courants y arrivent à d t = 0 et donc ---------B- 0 ce que le calcul montre dt aussi.


a) Est-ce conforme aux calculs précédents ? b) Ce qui se passe aux points A et B se rencontre-til en régime permanent et dans l’A.R.Q.S. ? c) Que fait en A à partir de t = 0 ? et en B ? Est-ce conforme aux calculs de 2) ? 6) Comment évoluent ces lignes de courants en fonction du temps ? 7) Un détecteur est introduit dans le guide en perçant une fente rectiligne. Sur quelle face fait-on cette fente et selon quelle direction de façon à perturber le moins possible les champs ? 1) Pour les modes TEm,0 : m x E = E 0 sin ----------- cos ( t – kz )e z a en prenant E 0 réel.

6) Puisqu’il y a propagation à la vitesse v

= ---k le système de charges et de courants se déplace en bloc selon les z croissants, à la vitesse v . 7) Les champs et les courants sont liés, donc il ne faut pas perturber les courants : il faut faire une fente parallèlement aux courants. Ceux-ci ne gardant la même direction en un point au cours du temps que sur les faces x = 0 et x = a (doc. 19). Il faut faire une fente parallèlement à ( Oy ) sur les faces x = 0 ou x = a .

233

Ondes

3.3. Guides d’ondes 3.3.1. Propagation dans un guide Le mode particulier que nous venons de construire, pour un guide d’onde à section rectangulaire illustre quelques caractéristiques des ondes guidées. Une étude générale de la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide d’onde consiste à rechercher des solutions des équations de Maxwell dans le guide compatible avec les conditions aux limites imposées par ses parois. Par exemple, pour une cavité cylindrique (assimilée au vide) délimitée par des parois métalliques de génératrices parallèles à ( Oz ) (doc. 20) les équations à résoudre sont : div E = 0 ;

∂B rot E = – ------∂t

div B = 0 ;

et

1 ∂B rot B = ----2- ------c ∂t

avec E // et B ⊥ nuls sur les parois. La linéarité du problème permet une analyse harmonique. Nous pouvons chercher des solutions sous la forme d’ondes monochromatiques guidées se propageant dans la direction de l’axe ( Oz ) du guide, de la forme : E ( x, y, z, t ) = E 1 ( x, y ) e j ( et

t – kz )

B ( x, y, z, t ) = B 1 ( x, y ) e j (

t – kz )

pour lesquelles les équations de Maxwell imposent : rot B = j ----2- E . c Remarque : Il ne faut pas utiliser les identifications de l’O.P.P.M. div E = 0 ;

div B = 0 ;

rot E = – j B

et

« grad ⇔ – j ke z . » et « rot ⇔ – j ke z ∧ », dans la mesure où l’onde guidée n’est pas plane a priori. 3.3.2. Équation de propagation et modes propres Nous savons que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle. Les équations aux divergences précédentes sont donc nécessairement satisfaites par les champs :


j B = ---- rot E

et

c2 E = – j ----- rot B .

Le champ magnétique étant calculable à partir du champ électrique de l’onde, nous pouvons traduire les conditions aux limites en termes de champ électrique et rechercher celui-ci, qui satisfait ici l’équation de propagation de d’Alembert : 1 ∂2E ΔE – ----2- ---------2- = 0 . c ∂t ∂2 ∂2 Notant Δ t = --------2- + --------2- l’opérateur « laplacien transverse », nous voyons que ∂x ∂y le problème posé revient à chercher des solutions de l’équation : 2 Δ t E 1 ( x, y ) = ⎛ k 2 – -----2-⎞ E 1 ( x, y ) . ⎝ c ⎠

Il s’agit d’une équation aux valeurs propres relative à l’opérateur Δ t . Sa résolution, compte tenu des conditions aux limites, conduit à un ensemble de modes propres.

234

y

z

x

Doc. 20. Guide d’onde de génératrices parallèles à (Oz).

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur L’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide conduit à la détermination de modes de propagation dans celui-ci.

z

a.

b. z

La nature de ces solutions dépend de la géométrie du guide d’onde, dont quelques exemples sont représentés sur le document 21. Dans le cas du guide à section rectangulaire, nous avons construit l’une de ces solutions : le mode TEm, 0. Un étude complète permet de trouver d’autres modes de propagation : modes transverses électriques de type TE 0, n (polarisés parallèlement à ( Ox ) avec quantification selon ( Oy ) ou modes TE mn plus complexes (quantification selon ( Ox ) et ( Oy ) ), ou bien encore TM m, n où c’est cette fois le champ magnétique qui est transverse. Les solutions des équations de Maxwell dans le guide d’onde sont des superpositions de ces modes fondamentaux.

c.

e.

z

z

d.

f.

z

z

Remarques • La propagation d’un mode TEM (transverse électromagnétique) n’est possible que dans un guide d’onde composé de deux conducteurs (cas a, e, f et g).

z

2

Un mode de ce type vérifie k 2 = ------ et ne présente pas de pulsation de couc2 pure (cf. Application 5). En revanche, s’il n’y a qu’un seul conducteur (casa, b et c), les modes TEM sont impossibles et il existe une pulsation de coupure de l’ordre de grandeur c de ------- (a dimension caractéristique de la section du guide). a • Pour une fréquence de coupure de 50 Hz, a ≈ 3 000 km ! Pour cette raison, il est préférable d’utiliser une propagation guidée par des fils doubles (cas f), dans une installation électrique domestique. • Pour une fréquence de coupure de 5 GHz, a ≈ 3 cm . Les guides d’onde de type (a, b et c) sont donc adaptés à la transmission d’hyperfréquences ( = 10 GHz ) .

5

Mode TEM et propagation dans un câble coaxial Nous pouvons nous demander s’il peut exister un mode de propagation à la fois transverse électrique et magnétique, noté TEM, dans un guide d’onde. Pour un tel mode, le champ électromagnétique :

et

E ( x, y, z, t ) = E 1 ( x, y )e

j ( t – kz )

B ( x, y, z, t ) = B 1 ( x, y )e

j ( t – kz )

n’a pas de composante cartésienne sur l’axe (Oz). 1) Montrer que le champ E 1 ( x, y ) est de nature électrostatique : E 1 ( x, y ) = – ∇ t V 1 ( x, y ) .

Doc. 21. Quelques guides d’ondes : a. guide d’axe (Oz) ; b. à section rectangulaire ; c. à section circulaire d. ligne coaxiale ; e. ligne ruban ; f. ligne bifilaire ; g. ligne bifilaire blindée.

2) Quelle est l’équation vérifiée par le potentiel V 1 ( x, y ) dans la cavité du guide ?


Application

g.

3) Quelle est la relation de dispersion d’un mode TEM ? 4) Comparer soigneusement les structures des champs d’un mode TEM et d’une onde plane progressive monochromatique dans le vide. 5) Existe-t-il un mode TEM se propageant dans le guide d’onde à section rectangulaire envisagé dans le cours ? 6) Dans le cas d’un câble coaxial (cf. chapitre 3) dont l’âme et la gaine ont des rayons égaux respectivement à a et b, rechercher une solution V 1 ( x, y ) à symétrie cylindrique.

235

Ondes

v ( z, t ) désignant la tension électrique entre l’âme et la gaine à l’abscisse z et l’instant t, exprimer le champ électromagnétique du mode TEM correspondant. Déterminer le courant i ( z, t ) transporté par le câble et monter que ce mode de propagation est compatible avec la description du câble. Pour cela, utiliser le modèle de la ligne à constante répartie, étudiée au chapitre 3, pour laquelle v ( z, t ) = Z c i ( z, t ) pour une onde se propageant à z croissants, l’impédance caractéristique du câble étant : 1 b Z c = ------- -----0- ln --- . 2 a 0 En cylindriques 1 d dV ΔV ( r ) = --- ------ ⎛ r -------⎞ . r dr ⎝ dr ⎠

j( j = ---- ( rot E 1 – jke z ) ∧ E 1 e

t – kz )

k ∧E = -------------- . La relation de dispersion et la structure de l’onde TEM sont donc analogues à celle d’une onde plane progressive monochromatique. Attention toutefois, le mode TEM ne correspond pas à une onde plane. vérifie l’équation de Laplace. Les conditions aux

1) Pour le mode TEM : rot E = – j B

limites (champ E 1 ( x, y ) perpendiculaire aux parois,

n’a pas de composante longitudinale. Or nous avons :

sur celles-ci) imposent au potentiel V 1 ( x, y ) de rester constant sur ces parois. La solution unique, de ce problème, est évidente : le potentiel V 1 ( x, y ) est uniforme sur toute la section

∂E 1 ∂E 1 = ⎛ ----------y – ----------x⎞ e j ( ⎝ ∂x ∂y ⎠

t – kz )

= ( rot E 1 ( x, y ) )e j (

t – kz )

.

Nous en déduisons : rot E 1 ( x, y ) = 0 , et l’existence d’un potentiel scalaire V 1 ( x, y ) tel que : E 1 ( x, y ) = – gradV 1 ( x, y ) . 2) Le champ étant transverse, nous avons :

∂E 1 ∂E 1 0 = divE = ⎛ ----------x – ----------x + 0⎞ e j ( ⎝ ∂x ⎠ ∂y


j B = ---- rot E

5) Sur la section du guide, le potentiel V 1 ( x, y )

∂E ∂E ( rot E ) z = ⎛ --------y – ---------x⎞ ⎝ ∂x ∂y ⎠

t – kz ) ,

donc divE 1 ( x, y ) = 0 , soit Δ t V 1 ( x, y ) = 0 . Le potentiel V 1 ( x, y ) est solution de l’équation de Laplace. 3) Le champ E 1 ( x, y ) a les propriétés d’un champ

électrostatique dans le vide, en particulier : Δ t E 1 ( x, y ) = ΔE 1 ( x, y ) = 0 .

D’après l’équation de propagation du mode guidé (§ 3.3.2.), la relation de dispersion d’un mode TEM, s’il existe, est donc simplement : 2

k 2 = -----2- . c

236

Nous en déduisons que la propagation d’un mode TEM n’est pas dispersive. 4) Le champ magnétique du mode TEM est :

du guide. Dans ces conditions, le champ du mode TEM est tout simplement nul : il faudrait au moins deux conducteurs différents (existence d’une différence de potentiel possible) pour qu’un guide d’onde puisse être le siège de la propagation d’un mode TEM. C’est le cas pour le câble coaxial de la question suivante… 6) Cherchant une solution de l’équation de Laplace à symétrie cylindrique : V 1 ( x, y ) = V 1 ( r ) , où r est la distance à l’axe (Oz) du câble, d’où : 1 d dV ΔV 1 = --- ------ ⎛ r -------⎞ . r dr ⎝ dr ⎠ ∂V ΔV 1 = 0 conduit à r ------- = B (B constante). Nous ∂r obtenons une solution de la forme : V 1 ( r ) = A + B ln r , soit, compte tenu des conditions aux limites : r ln ⎛ ---⎞ ⎝ a⎠ V 1 ( r ) = V 1a + ( V 1b – V 1a ) -------------- . b ln ⎛ ---⎞ ⎝ a⎠


E = ( – gradV 1 )e j ( ( V 1a – V 1b ) e r - ----e j ( E = -------------------------r b⎞ ⎛ ln --⎝ a⎠ soit :

t – kz )

t – kz ) ,

v ( z, t ) e E = -------------- ----r . b r ln ⎛ ---⎞ ⎝ a⎠

Le champ magnétique s’en déduit : v ( z, t ) e k ∧E B = -------------- = ----------------- ---- . b r c ln ⎛ ---⎞ ⎝ a⎠

La densité surfacique de courant portée par l’âme est donc : e r ∧ B ( r = a, z, t ) j s ( z, t ) = ------------------------------------------0

v ( z, t ) e = ------------------------ ----z ⎛ b⎞ a 0 c ln ⎝ ---⎠ a (pour la gaine, il faut changer a en b et le signe). Le courant parcourant l’âme s’en déduit : 2 v ( z, t ) i ( z, t ) = 2 j s . e z = ------------------------ , ⎛ b⎞ 0 c ln ⎝ ---⎠ a et correspond bien à la relation : v ( z, t ) = Z c i ( z, t ) attendue.


Le champ électrique est dans le câble :

237

Ondes

CQFR ●

MODÈLE DU CONDUCTEUR PARFAIT

• La propagation d’une onde électromagnétique dans un métal est caractérisée par l’effet de peau : l’onde ne pénètre dans le milieu que sur une épaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau , d’autant plus faible que la conductivité du matériau et la fréquence de l’onde sont élevées. • Ainsi, aux fréquences de l’ordre du GHz, une onde électromagnétique ne pénètre quasiment pas au sein d’un matériau métallique, très bon conducteur. • La limite du conducteur parfait correspond à une épaisseur de peau nulle : = 0, ou une conductivité infinie. • Un champ électromagnétique variable ne peut pénétrer au sein d’un conducteur parfait : E = 0 et B = 0 dans un conducteur parfait. Au sein du conducteur parfait nous avons = 0 et j = 0 , par contre il peut exister des charges et des courants surfaciques. • En un point P situé au voisinage immédiat de la surface d’un conducteur parfait, les composantes tangentielles du champ électrique et la composante normale du champ magnétique, continues à la traversée de l’interface air/métal, sont nulles : E P, // = 0

et

B P, ⊥ = 0 .

On dit couramment « E est normal à la surface et B est tangent à cette surface ». ●

RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SOUS INCIDENCE NORMALE SUR UN PLAN CONDUCTEUR PARFAIT

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normale sur un conducteur parfait est une réflexion totale. Le coefficient de réflexion vaut –1 (déphasage de ) pour le champ électrique et +1 (déphasage nul) pour le champ magnétique. Le coefficient de réflexion énergétique vaut 1. L’onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie est une onde stationnaire. Elle présente un nœud de E et un ventre de B sur le métal. Les nœuds de E et les ventres de B se l correspondent et inversement. La distance entre deux nœuds consécutifs est --- . 2 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

●

GUIDAGE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES

L’utilisation de surfaces métalliques permet de canaliser la propagation d’une onde électromagnétique, donc de constituer un guide d’onde. Une étude générale de la propagation d’onde électromagnétique dans un guide d’onde consiste à rechercher des solutions des équations de Maxwell dans le guide compatibles avec les conditions aux limites imposées par ses parois. L’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide conduit à la détermination de modes de propagation dans celui-ci. La propagation dans un guide est fonction du mode considéré. Elle est en général dispersive. Ce sont les conditions aux limites qui impliquent la dispersion et l’existence de modes.

238


Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Que peut-on dire des champs, des charges et des courants dans un conducteur parfait ? ✔ Comment sont liés les charges surfaciques, les courants surfaciques aux champs au voisinage de la surface d’un métal parfait ? ✔ Que donne une onde électromagnétique plane progressive qui arrive sous incidence normale sur un conducteur parfait ? ✔ Qu’est-ce qu’un guide d’onde ? Qu’impliquent les conditions aux limites en général dans un guide d’onde ? ✔ Connaissant le champ électrique dans un guide d’onde, comment calculer B , P (vecteur de Poynting), comment obtenir la relation de dispersion, la vitesse de phase, de groupe, de l’énergie ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

❑ a. les champs E et B sont nuls ❑ b. j est nul mais pas ❑ c. il y a de l’effet joule. 2. À la surface d’un conducteur parfait : ❑ a. les champs E ⊥ et B // sont discontinus ❑ b. les champs E // et B ⊥ sont discontinus ❑ c.

et j s peuvent être nuls

❑ d.

et j s sont, a priori, non nuls

❑ e. il y a dissipation d’énergie sur la surface. 3. Réflexion d’une OEMPP sur un plan conducteur parfait sous incidence normale : ❑ a. Toute l’énergie incidente est réfléchie.

❑ b. La densité surfacique de charge est nulle. ❑ c. Le champ électrique réfléchi est opposé au champ incident au voisinage de la surface. ❑ d. Il en est de même du champ magnétique. ❑ e. L’onde stationnaire présente des nœuds de E et de B aux mêmes endroits.


1. Dans un conducteur parfait pour les composantes dépendant du temps :

❑ f. L’onde stationnaire propage de l’énergie. 4. Dans un guide d’onde : ❑ a. il y a toujours dispersion ❑ b. la dispersion, c’est-à-dire les vitesses de phase et de groupe, dépend du mode ❑ c. l’onde est toujours TEM ❑ d. l’onde est plane dans un guide d’onde à section rectangulaire ❑ e. il peut y avoir dédoublement du paquet d’ondes dans un guide d’onde. Solution, page 246.

239

Exercice commenté Propagation de modes TM entre deux plans conducteurs ÉNONCÉ

On s’intéresse à la propagation d’ondes électromagnétiques entre deux plans d conducteurs parfaits parallèles d’équation x = ± --- . On cherche une solution 2 des équations de propagation dont le champ magnétique est de la forme : B = f ( x ) ei(

t – kz ) e

y

y

.

1) Montrer que la compatibilité de cette solution et du champ électrique associé avec les équations de Maxwell et les conditions aux limites imposent une quantification et une relation de dispersion à déterminer. 2) Tracer les graphes donnant la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la pulsation de l’onde guidée pour un mode donné.

d – --2

z

d --2

x

3) En considérant le flux moyen d’énergie transporté par l’onde dans sa direction de propagation, définir et calculer la vitesse d’énergie associée au mode n. À quelle vitesse s’identifie-t-elle ? 4) Les modes étudiés ici sont transverses magnétiques (mode TM) : le champ magnétique est perpendiculaire à la direction de propagation. Parmi ceux-ci, est-il possible de trouver une solution correspondant à un mode transverse électrique et magnétique (mode TEM) ? Caractériser la propagation d’une telle onde dans le guide constitué par les deux plans conducteurs. CONSEILS

SOLUTION

1) Le champ magnétique est orienté suivant l’axe ( Oy ) et ne dépend pas de y.

1) Le champ magnétique proposé a bien une divergence nulle. Nous pouvons calculer le champ électrique (variable) de l’onde à l’aide de l’équation de Maxwell-Ampère :


rot B =

0

c2 d f ( x) ∂E , d’où E = ----- ⎛ k f ( x ) e x – i --------------- e z⎞ e i ( ⎝ ⎠ ∂t dx

0 -------

La divergence d’un champ de rotation est nulle.

Ce champ a une divergence nulle. Au lieu d’écrire l’équation de Maxwell-Faraday pour calculer un nouveau rotationnel, nous pouvons plus simplement écrire l’équation de propagation, qui n’est autre ici que l’équation de d’Alembert :

Calculer le deuxième rotationnel revient à effectuer le calcul usuel

1 ⎛ ∂ 2B ⎞ ΔB – ----2- ⎜ ---------⎟ = 0 . c ⎝ ∂t 2 ⎠

« rot ( rot B ) = ( … ) » donc à écrire l’équation de propagation. C’est évidement plus lourd au niveau calculs.

d2 f ( x ) ⎛ 2 Nous en déduisons ---------------- + -----2- – k 2⎞ f ( x ) = 0 . ⎝c ⎠ dx 2 ck , affine si = ck ou La solution de cette équation est oscillante si ck . Sur les parois combinaison linéaire de deux exponentielles réelles si métalliques « parfaites », les composantes tangentielles du champ électrique, Ey et Ez , et la composante normale du champ magnétique, Bx , sont continues, donc nulles. La seule contrainte non trivialement vérifiée ici est : d d f ( x) E z = 0 , donc --------------- = 0 , en x = ± --- . 2 dx

240

t – kz ) .


f ( x ) = A e rx + B e – rx ou sa dérivée ne s’annule qu’une fois au plus.

Le seul type de solution f ( x ) non triviale, dont la dérivée s’annule en d x = ± --- , est une solution oscillante, que nous pouvons écrire sous la forme 2 2 f ( x ) = A cos ( x ) + B sin ( x ) , en posant 2 = -----2- – k 2 . c Les conditions aux limites imposent : d d d • pour – --- , l’équation : A sin ⎛ ----⎞ + B cos ⎛ ----⎞ = 0 ; ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 d d d • pour + --- , l’équation : – A sin ⎛ --- ⎞ + B cos ⎛ ----⎞ = 0 . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 Pour obtenir une solution différente de la solution triviale A = 0 et B = 0 (c’està-dire : pas d’onde !) le déterminant du système d’équations doit être nul, soit :

Nous retrouvons une condition de quantification analogue à celle obtenue dans le cours pour le mode TE.

= n ---- . Il existe donc une quantification, la relation d de dispersion est donnée par : sin ( d ) = 0 , donc

n

2

2

-----2- – k 2 = n 2 -----2- . d c n n Remarquons que B n cos ⎛ -------⎞ = A n sin ⎛ -------⎞ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Ainsi B n = 0 pour n pair, et A n = 0 pour n impair : cela nous permet de définir : f ( x) =

∞

∑ f 0 cos

n=1

n ⎛ ------- x + d---⎞ . d ⎝ 2⎠

2) La propagation est possible pour n c mode n : cn = ----------- . d

cn ,

pulsation de coupure du

c La vitesse de phase est v f = ---- = --------------------- . k 2 cn 1 – ------2 d - , donc la vitesse de groupe La relation de dispersion nous donne k dk = -----------2 c est : 2

k d c2 cn . v g = ------- = c 2 ---- = ----- = c × 1 – ------2 dk vf


Il faut éviter de compliquer le calcul en cherchant directement la valeur d (k) de --------------- . dk Différencier au préalable la relation de dispersion rend les calculs plus aisés.

n

v

Leurs graphes sont donnés ci-contre.

vf c vg c

241

Exercice commenté La manipulation de grandeurs non linéaires nécessite quelques précautions. Pour obtenir leur valeur instantanée, il faut a priori revenir en notation réelle. Mais pour calculer la moyenne d’une grandeur A quadratique comme le vecteur de Poynting, l’utilisation de 1 〈 A 〉 = --- e (complexe, complexe 2 conjugué) permet d’obtenir aisément le résultat recherché. L’onde électromagnétique est guidée par les parois métalliques, donc renvoyée successivement par deux bords et canalisée dans la direction de l’axe ( Oz ) . Nous nous intéressons ainsi à l’énergie propagée dans l’intervalle Δ x = d entre les deux plans métalliques.

3) La moyenne temporelle du vecteur de Poynting est : ∗ 1 k c2 2 n d e ( E ∧ B )〉 = --- ---------- f 0 cos 2 ⎛ ------- ⎛ x + ---⎞ ⎞ e z . ⎝ d ⎝ 2 0 2⎠ ⎠

1 〈 P 〉 = --------- 〈 2 0

Le flux moyen d’énergie transportée à travers une section ΔxΔy = dΔy perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde est : 〈F 〉 =

d --2

∫x = – d--2

2

k c2 f 〈 P 〉 . e z dxΔy = --------------0- dΔy . 4 0

La densité moyenne d’énergie est : ∗ ∗ 1 1 〈 e〉 = --- e ⎛ ----0- E . E + ---------B . B ⎞ ⎠ 2 ⎝2 2 0 2

2c2 f0 ⎛ - 1 + k---------⎞ sin2 = -------2 ⎠ ⎝ 4 0

k 2c2 2 ⎛ x + d---⎞ + --------- cos 2 ⎝ ⎠ 2

⎛ x + d---⎞ . ⎝ 2⎠

Nous pouvons donc définir pour une section ΔxΔy = dΔy du guide, une énergie : 〈 〉 =

d --2

∫x = – --d2

2

2c2 f0 d ⎛ k 2c2 - --- Δy 1 + --------- + -----------⎞ 〈e 〉 dx Δy = -------⎠ 4 02 ⎝

2 f0

= --------- dΔy. 4 0 La vitesse de l’énergie n’est pas nécessairement la vitesse de groupe pour une onde non plane ou pour une onde plane dans un milieu absorbant.

La vitesse de propagation de l’énergie peut alors être définie par : flux moyen d’énergie à travers une section 〈F 〉 kc 2 v e = ------------------------------------------------------------------------------------------------------- = ---------- = -------- = v g . énergie par unité de longueur dans le guide 〈 〉 La vitesse de propagation de l’énergie s’identifie donc à la vitesse de groupe. 4) Le champ électromagnétique de l’onde est de la forme : c2 E = f 0 ----- ⎛ k cos ⎝


B = f 0 cos Lorsque la relation de dispersion est k = ---- , la vitesse de phase v est c égale à c; indépendamment de la fréquence de l’onde : la propagation n’est pas dispersive.

⎛ x + d---⎞ e + i sin ⎝ 2⎠ x

⎛ x + d---⎞ e i ( ⎝ 2⎠

t – kz ) e

⎛ x + d---⎞ e e i ( ⎝ 2⎠ z

t – kz )⎞

,

y.

Nous voyons que le champ électrique de cette onde transverse magnétique est lui aussi perpendiculaire à la direction de propagation, c’est-à-dire l’axe ( Oz ) , si = 0 . Ce mode particulier est transverse électrique et magnétique (mode TEM), et sa relation de dispersion se réduit à : k = ---- . c La propagation de ce type d’onde guidée n’est pas dispersive.

242

⎠

Exercices Onde électromagnétique le long d’un conducteur parfait Une onde progressive électromagnétique se propage parallèlement à un plan conducteur parfait. La surface plane du conducteur est le plan ( xOy ) . Le métal est semi-infini, et occupe la zone ( y 0 ). z E

y

Le champ électrique est de la forme : E = f ( y ) cos ( t – kx ) e z . 1) Caractériser la forme générale acceptable du champ électromagnétique correspondant à des solutions de ce type. 2) Quelles sont les charges et courants portés par le conducteur parfait ? 3) Définir et calculer la vitesse de propagation de l’énergie.

Réflexion d’une onde sur un métal « parfait ». Pression de radiation


Une onde plane progressive monochromatique à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction ( Ox ) , dans le sens des x croissants : t – kx ) e

y

(on supposera E0 réel positif).

En x = 0 , elle arrive sur la surface plane d’un miroir métallique parfaitement conducteur et donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants : E r = E 0r e j (

t + kx ) e

vérifier les champs E et B en x = 0 , déterminer : a) l’amplitude E 0r du champ réfléchie en fonction de E0 ; b) la charge surfacique et le courant surfacique j s qui peuvent se trouver sur la surface métallique x = 0 . 2) Déterminer le champ électromagnétique résultant de l’onde réfléchie dans le demi-espace x 0 . Caractériser brièvement l’onde résultante. Calculer la valeur moyenne de son vecteur de Poynting. 3) Le champ électromagnétique exerce sur une surface dS

x

Ei = E0 e j(

1) En écrivant les conditions aux limites que doivent

y

.

du miroir une force dF dont l’expression est, en notation réelle : 1 dF = --- ( E + j s ∧ B ) dS . 2 1 a) Proposer une explication de la présence du facteur --- . 2 b) En déduire que l’onde exerce une pression P sur le miroir dont on calculera la valeur moyenne 〈 P 〉 en fonction de la densité volumique moyenne d’énergie 〈 e i 〉 de l’onde incidente, puis en fonction de la densité volumique d’énergie totale 〈 e totale 〉 au voisinage immédiat du plan ; P est appelée pression de radiation. c) Calculer 〈P 〉 pour une onde incidente fournie par un laser de puissance moyenne 〈 i〉 = 3 mW , dont la section droite est s = 0,4 mm 2 . 4) Aspect corpusculaire a) Quelle est la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde ? Quelle densité équivalente de photons peut lui être associée ? (Un photon de fréquence a une énergie h h et possède une impulsion p = ------ .) c b) Cette onde de réfléchit totalement sur un plan conducteur parfait. En considérant le rebond équivalent des photons sur la paroi métallique, évaluer la pression de radiation 〈P 〉 subie par le plan métallique.

Poussée exercée par le rayonnement y

Un photon d’énergie h

onde incidente O z onde réfléchie

243

x

possède une impulsion (ou h quantité de mouvement) p = ------ . c 1) Quelle densité volumique n de photons peut-on associer à une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, se propageant dans le vide, dont le champ électrique est noté E = E 0 cos ( t – kz ) ?

Exercices 2) Vérifier que ce résultat est analogue à celui obtenu an associant au champ électromagnétique une impulsion volumique : g =

0E

∧B .

3) L’onde progressive est réfléchie par une sphère parfaitement conductrice, de centre O et de rayon R.

c) Quelle est l’équation satisfaite par les grandeurs E 1z ( x, z ) et B 1z ( x, z ) ?

Exprimer le force F exercée par les photons qui rebondissent sur la sphère. 4) Comparer le résultat obtenu avec celui que donnerait l’interaction de l’onde incidente avec une sphère parfaitement absorbante. 5) A.N. : Calculer F pour une bille métallique de rayon R = 1 mm , subissant l’influence d’un faisceau laser de section cylindrique de rayon R et de puissance m égale à 1 mW. Ce faisceau vous semble-t-il capable de maintenir en lévitation la bille ? Sinon, quel rayon faudrait-il donner à la bille pour que cela devienne envisageable ?

d) Montrer que les conditions aux limites imposent, sur les parois du guide :

* Modes de propagation dans un guide d’onde à section rectangulaire On souhaite déterminer la forme des ondes électromagnétiques se propageant dans un guide d’onde rectiligne, de génératrices parallèles à l’axe ( Oz ) . Le métal constituant les parois du guide est assimilé à un conducteur parfait. Le champ électromagnétique d’une onde guidée de pulsation est noté : E ( x, y, z, t ) = E 1 ( x, y )e j (

t – kz ) ,

B ( x, y, z, t ) = B 1 ( x, y )e j (

t – kz ) .


∂2 ∂2 L’écriture Δ t = -------2- + -------2- désigne l’opérateur « laplacien ∂x ∂y transverse ». Le vecteur N = N x e x + N y e y désigne un vecteur normal aux parois du guide. 2

On note K 2 = -----2- – k 2 . Le cas K = 0 correspond à un c mode TEM qui ne peut exister dans le guide d’onde envisagé par la suite. Il sera donc exclu. 1) Caractéristiques générales des ondes guidées a) Rappeler les équations satisfaites par le champ électromagnétique dans le guide. Préciser les conditions aux limites imposées sur les parois du guide en faisant

244

champs E 1 ( x, y ) et B 1 ( x, y ) peuvent être calculées à partir de leurs composantes longitudinales E 1z et B 1z (plus précisément, à partir de leurs dérivées par rapport aux coordonnées x et y ).

∂B 1z ∂B 1z - + N y ---------- = 0. E 1z = 0 et N x ---------∂x ∂x e) Pourquoi peut-t-on affirmer qu’une onde est généralement la superposition de modes de propagation dits transverses électriques (modes TE) et transverses magnétiques (modes TM) respectivement ? • On étudiera dorénavant les modes de propagation z dans un guide à une section rectangulaire, constib tué de quatre parois a métalliques d’équations y O x = 0 , y = 0 , x = a et x y = b respectivement. 2) Modes TM ( B 1 z = 0 ) On peut, sans restreindre la généralité des solutions obtenues, chercher la composante longitudinale du champ magnétique sous la forme d’une solution à variables séparées, soit : E 1z ( x, z ) = F ( x )G ( x ) . a) Montrer que les fonctions F et G sont nécessairement des solutions oscillantes, dont les pulsations spatiales sont quantifiées (on notera m et n les nombres entiers intervenant dans cette quantification). b) En déduire la forme du champ électromagnétique du mode TM m, n . Quelle est la relation de dispersion de ce mode ? 3) Modes TE ( E 1 z = 0 ) Reprendre rapidement les questions précédentes dans ce cas complémentaire, en posant : B 1z ( x, z ) = f ( x ) g ( y ) .

intervenir le vecteur normal N .

4) Le guide d’onde est placé devant une petite antenne émettrice. Comment peut-on s’arranger pour n’exciter que le seul mode TE 0, 1 (on suppose a b ) ?

b) À l’aide des équations de Maxwell, montrer que les composantes transverses E 1 x , E 1 y , B 1 x et B 1 y des

5) Propagation d’énergie On s’intéresse au mode TM m, n obtenu à la question 2).


b) Déterminer la valeur moyenne du flux d’énergie à travers une section d’abscisse z du guide. c) Définir la vitesse de propagation de l’énergie associée à ce mode. L’exprimer en fonction de et c ( m, n ) . À quelle grandeur s’identifie-t-elle ici ?

* Atténuation d’une onde dans un guide métallique On s’intéresse à la propagation d’une onde progressive monochromatique dans un guide métallique d’axe ( Ox ) , à section carrée de côté a (parois d’équations y = 0 , y = a , z = 0 et z = a ), dans le mode TE10. Le champ électrique est polarisé dans la direction de e y . 1) Le métal est supposé parfait. Rappeler brièvement les caractéristiques des champs E et B . Déterminer, en particulier : • la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du vecteur de Poynting ; • la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du carré du courant surfacique j s sur les parois du guide. 2) Le métal est de conductivité grande, mais finie, et nous admettons que les grandeurs calculées précédemment sont presque exactes. Pour simplifier, nous considérons que le courant volumique j est uniformément distribué sur une épaisseur égale à l’épaisseur de peau δ . Calculer, avec ces hypothèses : • la puissance dissipée sur une longueur ;

• l’atténuation de l’onde, exprimée en décibel par mètre, si l = 3 cm , a = 2 cm et = 5 . 10 7 S . m –1 . Données : L’épaisseur de peau est : d =

2 -------------- ; 0

sortie ⎞ - . gain de puissance : G db = 10 log ⎛ -------------⎝ entrée⎠

Cavité résonante Une cavité a la forme d’un parallélépipède rectangle dont les côtés OA = a OB = b et OC = d sont portés par ( Ox ) ( Oy ) et ( Oz ) , O étant un sommet. Les parois de cette cavité vide sont faites d’un métal parfait. 1) Trouver la relation reliant k 1 k 2 k 3 pour que le champ électrique E de coordonnées : • E x = E 1 cos ( k 1 x + f 1 ) sin ( k 2 y + f 2 ) sin ( k 3 z + f 3 ) cos t , • E y = E 2 sin ( k 1 x + f 1 ) cos ( k 2 y + f 2 ) sin ( k 3 z + f 3 ) cos t , • E z = E 3 sin ( k 1 x + f 1 ) sin ( k 2 y + f 2 ) cos ( k 3 z + f 3 ) cos t , satisfasse à l’équation de propagation dans le vide. 2) Établir une relation entre k 1 k 2 k 3 et E 1, E 2, E 3 . 3) Déterminer les valeurs possibles de pour que E satisfasse aux conditions aux limites. On exprimera en fonction de trois entiers n 1, n 2, n 3 . On obtient ainsi les pulsations propres de la cavité. Calculer la plus petite pulsation propre ( a b d ) . 4) Déterminer le champ magnétique dans la cavité. Satisfait-il aux conditions aux limites ?

245


a) Déterminer la densité volumique moyenne d’énergie 〈 e m, n〉 associée à ce mode (N. B. : la moyenne envisagée est ici une moyenne temporelle et spatiale, effectuée sur une section d’abscisse z donnée du guide).

Corrigés (la propagation est disperdive). L’onde obtenue n’est pas plane, elle se propage dans la direction ( Ox ) et elle est stationnaire selon ( Oy ) . Son champ électrique est transverse, mais pas son champ magnétique.

Solution du tac au tac, page 239. 1. Vrai : a ; Faux : b, c 2. Vrai : a, c, d ; Faux : b, e 3. Vrai : a, b, c ; Faux : d, e, f 4. Vrai : b, e ; Faux : a, c, d.

2) On utilise les conditions aux limites pour calculer les charges et courants surfaciques portés par le plan conducteur parfait ( xOz ) : =

1) Le champ électromagnétique de l’onde envisagé doit satisfaire les équations de Maxwell dans le vide, ainsi que les conditions aux limites imposées par le conducteur parfait, soit : • Équations de Maxwell dans le vide r = 0 et j = 0 • div E = 0 (M-G),

• div B = 0 (M- ),

3) Le vecteur de Poynling de l’onde est :

0

2

∂B ------- = – rot ( f ( y ) cos ( t – k x ) e z ) ∂t d f (y) = – ------------- cos ( t – k x ) e x + k f ( y ) sin ( t – k x )e y , dy k 1 d f (y) donc B = – ---- ------------- sin ( t – k x )e x – ---- f ( y ) cos ( t – k x ) e y . dy Construit à l’aide d’un rotationnel, ce champ magnétique vérifie naturellement l’équation (M- ). L’équation de propagation peut être substituée à (M-A) et conduit, dans le vide, à l’équation différentielle, définie dans la zone ( y 0 ) :

2

---- , alors f ( y ) = f 0 s h ( Ky ) , où K = k 2 – ------ . c c2 Cette solution diverge pour y → ∞ , ce qui est inacceptable, sauf si f0 = 0 . Cette solution est donc à rejeter. • Si k

• Si k = ---- , alors f ( y ) = F 0 y , qui est inacceptable, sauf si F 0 = 0 : c cette solution est aussi à rejeter. ---- , alors f ( y ) = f 0 sin ( Ky ) , où K = c Cette solution non divergente est acceptable. On obtient alors :

f0 K 2 - ---- sin ( Ky )e x est dirigée dans la Sa moyenne temporelle 〈 P 〉 = -------2 0 direction de propagation de l’onde. La moyenne temporelle de la densité volumique d’énergie de l’onde est : 2 B2 0 E 〈 e〉 = 〈 ----------- + ---------〉 2 0 2 2

2

f 0 ⎛ 1 K2 2 1 k2 0 f 0⎛1 - -- ------2 cos ( Ky ) + -- ------2 sin2 ( Ky )⎞ . - -- sin2 ( Ky )⎞ + -------= ---------⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 0 2 2 2 2 2

2 0 f0 - ,car k 2 + K 2 = -----2- . Samoyennedansunplan x = cte,vaut 〈 e〉 t, y = ---------4 c On peut définir la vitesse d’énergie comme le rapport entre le flux moyen d’énergie à travers une surface unité d’un plan x = cte et la moyenne de la densité volumique d’énergie associée à l’onde :

k k 〈 P 〉 t, y c2 K2 v e = ---------------- = -----------------e x = c 2 ---- e x = c 1 – ---------- e = vg ex . 2 x 〈 e〉 t, y 0 0

2

f ″( y ) + ⎛ -----2- – k 2⎞ f ( y ) = 0 . ⎝c ⎠ Les conditions aux limites imposent de plus f ( 0 ) = 0 . On doit donc envisager trois cas. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

0

2 K – f 0 ---------- cos ( Ky ) sin ( Ky ) cos ( t – k x ) sin ( t – k x )e y ⎞ . ⎠ 0

Le champ électrique proposé est de divergence nulle ; l’équation (M-G) est satisfaite. Le champ magnétique de l’onde s’en déduit, par intégration de l’équation (M-F) par rapport au temps, à un champ statique ne se propagant pas près :

2

-----2- – k 2 . c

1) a) Les champs B i de l’onde incidente et B r de l’onde réfléchie sont donnés respectivement par : E ex ∧ Ei B i = -------------- , soit B i = -----0 e j ( c c

t – k x)e

z

;

– ex ∧ Er E0 r j ( t – k x ) B r = ------------------ , soit B r = – -------e ez . c c À la surface du métal, en x = 0, il y a continuité de la composante tangentielle du champ E (total), donc ici de E , ce qui conduit à :

2

E = f 0 sin ( Ky ) cos ( t – k x ) e z , avec k 2 + K 2 = -----2c K B = – f 0 ---- cos ( Ky ) sin ( t – kx ) e x K – f 0 ---- sin ( Ky ) cos ( t – kx ) e y

246

ey ∧ B ( y = 0 + ) K - = f 0 ---- sin ( t – k x )e x . et j s = ----------------------------------

0

• B y ( x, y = 0, z, t ) = 0 .

et

= 0+ ) = 0

2 K 2 2 E ∧B P = -------------- = f 0 ---------- sin ( Ky ) cos ( t – k x )e x

∂B ∂E • rot E = – ------- (M-F), • rot B = 0 0 ------- (M-A). ∂t ∂t • Conditions aux limites • E x ( x, y = 0, z, t ) = E z ( x, y = 0, z, t ) = 0 ,

• Si k

0 Ey ( y

E i ( x = 0, t ) + E r ( x = 0, t ) = 0 , puisque le champ est nul dans le métal (cf. chapitre 7). On en déduit E 0 r = – E 0 ( E 0 r est réel). b) On considère les autres conditions aux limites : • le champ électrique étant tangent à la surface du métal, on en déduit = 0;


B tangent =

0 js

∧ N (N désigne le vecteur unitaire normal sortant du

métal) permet le calcul du courant surfacique j s ; il vient : E0 j -e j s = 2 -------0c

te

y

= 2

0 c E0

ej t e

y,

soit en notation réelle : j s = 2 0 c E 0 cos ( t )e y ; • le champ magnétique étant tangent à la surface du métal, la condition sur la composante normale de B , à savoir B normal = 0 , est automatiquement vérifiée.

2) Dans le demi-espace x E = Ei + Er = E0 e j (

0 , le champ électromagnétique s’écrit : t – kx ) e

y

– E0 e j (

t + kx ) e

y

= – 2 j E 0 sin k x e j t , soit en notation réelle E = 2E 0 sin k x sin t e y ; E E B = B i + B r = -----0 e j ( t – kx ) e z + -----0 e j ( t + kx ) e z c c E0 j t = 2 ----- cos ( k x ) e e z , c E soit en notation réelle B = 2 -----0 cos ( kx ) cos ( t ) e z . c L’onde résultante est une onde plane, stationnaire, monochromatique, à polarisation rectiligne. Pour exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynling, on peut utiliser indifféremment la notation complexe ; on trouve évidemment pour une onde stationnaire 〈 P 〉 = 0 .

3) a) Dans ce modèle de métal parfaitement conducteur, il faut bien prendre garde à ne pas utiliser directement, en x = 0, la force de Lorentz : dF = ( E + j s ∧ B ) dS (soit ici dF = j s ∧ B dS , car

est nul).

En effet, une densité surfacique de courant j s ne peut exercer de force sur elle-même (de même une densité surfacique de charge ne peut exercer de force sur elle-même). Ici, la contribution de j s dans l’expression du vecteur B n’est pas nulle ; il est donc impossible d’écrire dF = j s ∧ B dS . En fait, il faut utiliser : ⎛ ⎞ 1 dF = ⎜ j s ∧ B créé par tous⎟ dS avec Bcréé par tous = -- B total . 2 les courants les courants ⎟ ⎜ ⎝ sauf j s sauf j s ⎠ En effet, il ne faut pas prendre la valeur du champ magnétique en x = 0 – , ni sa valeur en x = 0 + (qui est nul dans le métal) ; un « compromis » non rigoureux consiste à prendre la valeur moyenne : 1 1 Bcréé par tous = -- ( B ( x = 0 –, t ) + B ( x = 0 +, t ) ) = -- B ( x = 0 –, t ), 2 2 les courants sauf j s

ce qui donne bien la relation demandée. Prendre la demi-somme revient en quelque sorte à considérer la valeur moyenne du champ sur « l’épaisseur » (qui est forcément non nulle, car un courant ou une charge surfacique ne sont

que des modèles obtenus et négligeant l’épaisseur d’un courant ou d’une charge volumique) du courant qui existe au voisinage de la surface du métal. En toute rigueur, l’explication finale permet simplement de dire qu’il faut multiplier l’expression ( E + j s ∧ B ) dS par un certain facteur inférieur à l’unité pour obtenir la force qui s’exerce sur le métal ; en aucun 1 cas, elle ne permet de dire que ce facteur doit être pris égal à -- . On admet 2 donc ce résultat qu’il est possible de justifier rigoureusement.

b) Par unité de surface de métal, s’exerce donc la force réelle 1 f = -- j s ∧ B ( x = 0 –, t ) = P e x , ce qui permet de définir la pression 2 de radiation P . Pour calculer sa valeur moyenne 〈 P〉, on peut encore utiliser indifféremment la notation réelle ou la notation complexe.Avec la notation complexe : 2 2 ⎛ 1 ⎛ 1 j ∧ B ∗⎞ ⎞ = 0 E 0 e x , d’où 〈 P 〉 = 0 E 0 . ⎠⎠ 2 2 s Une pression de radiation se mesure en Pa, c’est-à-dire en J · m–3, comme une densité d’énergie volumique. On peut donc relier 〈 P 〉 et la densité volumique moyenne d’énergie 〈 e i〉 de l’onde incidente ; il vient :

〈f〉 =

〈 e i〉 = 〈

e ⎝ -- ⎝ --

2 2 * Ei Bi B i . B i⎞ 1 ⎛ ---+ --------〉 = -- e ⎜ 0 E i . E i + -------------⎟ 0 2 2 0 2 ⎝ 0 ⎠

2 1 1 〈 e i〉 = -- 0 E 0 = -- 〈 P〉 , 2 2 ce qui permet aussi d’écrire 〈 e totale〉 = 〈 P〉 . c) Pourl’ondeplaneprogressivemonochromatiqueincidente,lapuissancevaut 2 〈 i〉 = c 〈 e i〉 s , d’où 〈 P 〉 ----- 〈 i〉 et on trouve 〈 P 〉 = 5 . 10 –5 Pa , soit cs unevaleurextrêmementfaible!

4) a) La densité moyenne électromagnétique est : 2

2

2

Ei Bi 0 E0 . ------ + --------〉 = -----------2 2 2 0 L’énergie d’un photon est h , où h est la constante de Planck. On peut 〈 e i〉 = 〈

0

2

0 E0 donc associer une densité particulaire n = ----------- (nombre de photons 2h par unité de volume) à l’onde incidente. b) L’impulsion (ou quantité de mouvement) d’un photon incident est :

h p i = ------ e x = k i , où c Une fois réfléchi, ce photon a l’impulsion :

h = ------- . 2

h k r = ------ ( – e x ). c La variation d’impulsion du photon est donc : pr =

h Δp = 2 ------ e y . c Le nombre de photons, de vitesse c, réfléchis pendant l’intervalle de temps dt par une surface dS du plan conducteur, vaut : dN = n dS ( c dt ) . La pression exercée sur la paroi est donc donnée par : dN – 〈 P〉 dS e x = – ------Δp = + 2 n h dS e x , dt soit 〈 P〉 = 2 〈 e i〉 = 〈 e totale〉 .

247


• la condition sur la composante tangentielle du champ magnétique

Corrigés est :

1) La densité volumique moyenne d’énergie associée à cette onde 2

0 E0 . 〈 e i〉 = ----------2

On en déduit :

2

0 E0 . n = ----------2h 2) La densité volumique d’impulsion moyenne associée à l’onde plane progressive monochromatique est : 0E

2

2 0 E0

∧ B 〉 = 〈 ------------〉 e z = ------------ e z , c 2c h et l’on vérifie que l’égalité 〈 g 〉 = n ------ e z redonne bien la même c expression pour la densité volumique de photon n . 〈g〉 = 〈

0E

h h 3) Les photons, d’impulsion initiale p = ------ e z = ------ ( – cos e r + sin e ), c c sont réfléchis par la sphère dans une direction symétrique de (Oz) par rapport à la normale à la sphère ( i = i r = ). Leur impulsion après réflexion est : h p ′ = ------ ( cos e r + sin e ) . c h Leur variation d’impulsion est p ′ – p = ------ ( 2 cos e r ) . c Le nombre de photons subissant la réflexion sur un élément de surface dS = R 2 d = R d R sin d de la sphère entre t et t + dt est : dN = n ( c dt ) ( dS ) cos . La force exercée sur la sphère est l’opposée de la variation d’impulsion des photons par unité de temps : F =

---2

2

h ⎛ – 2 -----cos e r⎞ ( n c R 2 sin d d cos ) . ⎝ ⎠ c f=0

∫ ∫ =0

Sa seule composante non nulle est : Fz =

---2

∫ ∫

2

=0 f=0

2 n h cR 2 cos3 sin d d

=

R2n h

2


soit finalement F =

0 E0 -e . R 2 ---------2c z

p′ p

e

5) A.N. : Par unité de surface, le laser transporte une puissance moyenne : 2

0 E0 , m = c 〈 e i 〉 = c -----------------2 R2 – 11 – 2 et l’on en déduit F ≈ 0,33 . 10 kg . m . s . Pour une bille métallique, on peut estimer que la masse volumique est de l’ordre de quelque 1 000 kg · m–3, ce qui donne un poids : 4 mg = -- R 3 g = 4 . 10 –5 kg . m . s –2 , 3 bien supérieur à une éventuelle poussée donnée par le faisceau. La lévitation est donc exclue. Elle devient possible pour 4 R 2 〈 e i 〉 = -- R 3 g , soit R ≈ 4,3 . 10 – 6 m . 3 La bille n’est alors qu’une poussière. Remarque Des expériences ont permis de piéger des atomes à l’aide de faisceaux laser ; les effets de l’interaction entre la matière et le rayonnement compensent alors largement le poids, mais la description de ces phénomènes nécessite l’emploi de la mécanique quantique.

1) a) Dans le guide, en l’absence de charges et courants, le champ électromagnétique satisfait aux équations de Maxwell dans le vide : ∂B divE = 0 , divB = 0 , rot E = – ------- et rot B = 0 ∂t Pour l’onde étudiée, les équations aux rotationnels s’écrivent :

∂E . ∂t

0 -------

rot B = j ----2 E . c Les équations aux divergences sont dès lors évidemment vérifiées, puisque la divergence d’un champ de rotationnel est nulle. Sur les parois du guide, assimilées à un conducteur parfait, le champ électrique tangent et le champ magnétique normal, sont continus, et rot E = – j B ;

doivent donc s’annuler : E ∧ n = 0 et B ∧ n = 0 sur les parois du guide. b) Les équations aux rotationnels s’écrivent : j • -----E 1 = rot B 1 – jk e z ∧ B 1 équivaut au système : c2

er cdt z

4) S’il y a absorption des photons, la variation d’impulsion associée est h simplement – p = – ------ e z , et on a : c

248

h F = ⎛ ------ e z⎞ × nombre de photons heurtant la sphère par unité de temps ⎝ c ⎠ 2 h 0 E0 - ez . F = ------n c R 2 e z = R 2 ----------c 2c Le résultat est donc le même, ce qui signifie que l’impulsion moyenne emportée par les photons réfléchis sur la sphère dans la question précédente est nulle (une étude plus précise montrerait que la diffusion élastique des photons par la sphère réfléchissante est une diffusion isotrope).

⎧ ∂B 1 z j ⎪ -----E - + jkB 1y ⎪ c 2 1x = -------∂y ⎪ ∂B 1 z ⎪j ⎨ -----E 1 y = – --------- – jkB 1 x ; 2 ∂x ⎪c ⎪ ∂B ∂B ⎪ j-----E 1 = --------1-y – --------1-x ⎪ c2 z ∂y ∂x ⎩


Il vient donc :

E 1z ⎧ – j B = ∂-------- + jkE 1y 1x ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂E 1 ⎨ – j B 1y = – ---------z – jkE 1x . ∂x ⎪ ⎪ ∂ E E 1z ⎪ – j B = --------1-y – ∂-------1z ⎩ ∂y ∂x

⎧ ∂E ⎪ K 2 E 1 = – jk --------1-z – j x ⎪ ∂x ⎨ ∂E 1 z ⎪ 2 ⎪ K E 1y = – jk --------- – j ∂y ⎩

∂B 1 z --------∂y ∂B 1 z --------∂x

et

⎧ ∂B ∂E ⎪ K 2 B 1 = j ---- --------1-z – jk --------1-z x ∂x ⎪ c 2 ∂y ⎨ ∂B 1 z ∂E 1 z ⎪ 2 ⎪ K B 1y = – j ----2 --------- – jk --------∂y ∂ y c ⎩

. Ces écritures montrent que les composantes transverses du champ sont déterminées par la donnée de ses composantes longitudinales. c) Le champ de l’onde satisfait l’équation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide, c’est-à-dire l’équation de d’Alembert. On en déduit en particulier : Δ t E 1z + K 2 E 1z = 0

et

Δ t B 1z + K 2 B 1z = 0.

d) Les conditions aux limites sur les parois sont E ∧ N = 0 , donc : N x E y – N y E x = 0 et E z = 0 et B . N = 0 d’où N x B x + N y B y = 0. On obtient donc bien E 1z = 0 . Des autres équations, et en utilisant les expressions E 1x et E 1y ci-dessus, on déduit l’autre condition demandée : ∂B 1 ∂B 1 N x ---------z + N y ---------z = 0. ∂y ∂x e) À partir d’une fonction E 1z ( x, y ) satisfaisant l’équation et les conditions aux limites en 1) c) et d), on peut construire (cf. 1) b)) un mode de propagation du type ( E 1z ( x, y ), B 1z = 0 ) . C’est un mode transverse magnétique (TM). De même, à partir d’une fonction B 1z ( x, y ), on peut construire un mode de propagation du type ( E 1z = 0, B 1z ( x, y ) ). C’est un mode tranverse électrique (TE). Plus généralement, les composantes transverses du champ se déduisent de ses composantes longitudinales ( E 1z ( x, y ), B 1z ( x, y ) ) solutions (superposables) des équations avec conditions aux limites établies en 1) c) et d). L’onde est alors une superposition de modes TE et TM. On notera que les raisonnements précédents ne sont utilisables bien entendu que pour K non nul.

2) Modes TM a) De Δ t E 1z + K 2 E 1z = 0 , on en déduit : F″ ( x ) G″ ( y ) ------------- = – ------------- – K 2 . F(x) G(y) Les deux membres de cette égalité, fonctions des variables indépendantes x et y, sont nécessairement constants, donc : F″ ( x ) ------------- = C 1 F(x)

et

G″ ( y ) ------------- = C 2 , avec C 1 + C 2 = – K 2 . G(y)

D’autre part, la condition aux limites E 1z = 0 , imposée par les parois, implique F ( 0 ) = F ( a ) = 0 et G ( 0 ) = G ( b ) = 0 .

Les fonctions F et G sont donc nécessairement oscillantes (C1 et C2 sont des constantes négatives) et de la forme : F ( x ) = F 0 sin ( x ) et G ( y ) = G 0 sin ( y ) m n avec = -------- et = ------- , où m et n sont des entiers non nuls (si m ou a b n étaient nuls, alors E z aussi, et le champ de l’onde aussi : les modesTM0n et TMm0 n’ont pas d’intérêt). m x n y E 1z ( x, y ) = E 10 sin ⎛ ----------⎞ sin ⎛ ---------⎞ . ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠

b) On obtient Les relations établies en 1) b) permettent d’en déduire le champ électromagnétique complet de ce mode TMmn : m m x n y k ⎧ E 1 = – ----E 1 -------- cos ⎛ ----------⎞ sin ⎛ ---------⎞ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎪ x K2 0 a ⎪ ⎪ n k ⎛ m x⎞ ⎛ n y⎞ ⎨ E 1y = – j -----E 1 ------- sin ⎝ ----------⎠ cos ⎝ ---------⎠ , a b K2 0 b ⎪ ⎪ m x⎞ ⎛ n y⎞ ⎪ E = E sin ⎛ ---------sin --------10 ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎩ 1z ⎧ n m x n y j - E 1 ------- sin ⎛ ----------⎞ cos ⎛ ---------⎞ ⎪ B 1x = --------⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ K2c2 0 b ⎪ ⎪ j m m x n y ⎨ B = – --------- E -------- cos ⎛ ----------⎞ sin ⎛ ---------⎞ , ⎪ 1y 2 c 2 10 a ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ K ⎪ ⎪B = 0 ⎩ 1z m 2 n 2 avec K 2 = ⎛ --------⎞ + ⎛ -------⎞ . La relation de dispersion s’écrit : ⎝ a ⎠ ⎝ b⎠ 2 m 2 n 2 k 2 = ⎛ ----⎞ – ⎛ --------⎞ – ⎛ -------⎞ ⎝ c⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ et fait apparaître une pulsation de coupure basse : c ( m, n )

=

n 2 m 2 c ⎛ ---⎞ + ⎛ --⎞ . ⎝ b⎠ ⎝ a⎠

3) Modes TE De Δ t B 1z + K 2 B 1z = 0 , on déduit : f ″(x) g″ ( x ) ------------ = – ------------ – K 2 , f (x) g(x) g″ ( x ) f ″(x) puis ------------ = C 1 et ------------ = C 2 , avec C 1 + C 2 = – K 2 . f (x) g(x) ∂B 1 ∂B 1 La condition aux limites N z ---------z + N y ---------z = 0, imposée par les parois, ∂x ∂y implique : df df dg dg ----- ( 0 ) = ----- ( a ) = 0 et ------ ( 0 ) = ------ ( b ) = 0 . dx dx dy dy Les fonctions f et g sont donc oscillantes (ou éventuellement constantes), de la forme : m x m y f ( x ) = f 0 cos ⎛ ----------⎞ et g ( x ) = g 0 cos ⎛ ----------⎞ , ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ où m et n sont des entiers pouvant être nuls (mais pas simultanément).

249


• – j B 1 = rot E – jke z ∧ E 1 équivaut au système :

Corrigés Le champ du mode TEm, n est de la forme : ⎧ j n m x n y ------- cos ⎛ ----------⎞ sin ⎛ ---------⎞ ⎪ E 1x = -----B 2 10 b ⎝ ⎠ ⎝ a b ⎠ K ⎪ ⎪ m x n y ⎨ E = – j-----B m -------- sin ⎛ ----------⎞ cos ⎛ ---------⎞ ⎪ 1y 2 10 a ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ K ⎪ ⎪E = 0 ⎩ 1z

2

kc 2 c2 c c ( m, n ) - = ---- = ------- . donc v = ----------------------------- et v g = c 1 – --------------2 v 2 c ( m, n ) 1 – --------------2 La vitesse de propagation de l’énergie s’identifie donc à la vitesse de groupe. ,

jk m m x n y ⎧ B 1 = – ----B 1 -------- cos ⎛ ----------⎞ sin ⎛ ---------⎞ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎪ x K2 0 a ⎪ ⎪ jk n m x n y ------- sin ⎛ ----------⎞ cos ⎛ ---------⎞ . et ⎨ B 1y = – j -----B 2 10 b ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ K ⎪ ⎪ x n y ⎪ B = B cos ⎛ m ----------⎞ cos ⎛ ---------⎞ 10 ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎩ 1z La relation de dispersion est la même que pour le mode TMm, n : 2 m 2 n 2 La relation de dispersion s’écrit : k 2 = ⎛ ----⎞ – ⎛ --------⎞ – ⎛ -------⎞ ⎝ c⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ et fait apparaître une pulsation de coupure basse : c ( m, n )

=

2

2

n m c ⎛ ---⎞ + ⎛ --⎞ . ⎝ b⎠ ⎝ a⎠

1) Le champ électrique est : 2 2 2 z E = E 0 sin ------ cos ( t – k x x )e y avec k x = -----2- – -----2- . a a c Les composantes du champ magnétique sont :

⎧ B = + ------ cos -----z- sin ( t – k x ) x ⎪ x a a ⎪ . ⎨ By = 0 ⎪ ⎪ B = k----x E sin -----z- cos ( t – k x ) 0 x ⎩ z a La moyenne du vecteur de Poynting est : 2

kx E0 -e . 〈 〈 R 〉 temps 〉 spatiale = -----------4 0 x

Remarque Un mode qui correspondrait à la fois à un mode TE et à un mode TM serait, d’après les résultats des questions précédentes, décrit par un champ électromagnétique identiquement nul : il n’y a pas de mode TEM dans le guide d’onde envisagé.

4) Si a

b , le mode TM0, 1 possède la pulsation de coupure la plus petite c c ( 01 ) = ------ . Si l’antenne est alimentée à une pulsation supérieure à b celle-ci, mais inféreieure aux fréquences de coupure des autres modes, alors

Sur les faces normales à e y , en y = 0 et y = a : 2

2

E0 -. donc 〈 〈 j s2 〉 〉 = ------------4 02 c 2 Sur les faces normales à e z , en y = 0 et z = a


〈 e〉 t, section

2 B 1 2⎞ 1 0 E1 = -- 〈 ⎛ --------------+ --------- 〉 , 2 ⎝ 2 2 0 ⎠ section

2

2

2

2E 2E 2 0 . 0 , 2 〉 〉 = -------------------donc 〈 〈 j 〈 〈 B x 〉 〉 = ------------s 4 02 a 2 2 4a 2 2

on pourra sélectionner ce mode d’excitation du guide d’onde.

5) a) La densité moyenne d’énergie est :

j s2 j2 . = ---- = -------δ2 La puissance, pour chaque plaque, est dissipée dans un volume aδ , soit :

2) La puissance dissipée par unité de volume est

2

2 2 0 E1 0 E1 k2 -2⎞ ⎞ = ------------0 ---------. soit 〈 e〉 t, section = ------------0 ⎛ ⎛ -----2 + 1⎞ + ⎛ ---------2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 16 8 K c2 K c K b) La moyenne temporelle du vecteur de Poynling est :

1 〈 P 〉 t, section = --------- 〈 e ⎛ E ∧ B ∗⎞ 〉 ⎝ ⎠ section 2 0 1 〈 P 〉 t, section = --------- 〈 e ( E 1x B 1∗y – E 1y B 1∗x )e z 〉 section 2 0 2 k et 〈P 〉 = -------------------E 1 ez . 8 0K2c2 0 c) La vitesse de propagation de l’énergie peut alors être définie comme : kc 2 flux moyen d’énergie à travers une section 〈P 〉 v e = ----------------------------------------------------------------------------------------- = ----------- = ------énergie par unité de longueur dans le guide 〈 e〉 La relation de dispersion du mode est :

250

vol

2

2 al E 1 - + -------⎞ . = ------ -----0-2 ⎛ ------------δ 0 ⎝ 2a 2 2 2c 2⎠ La puissance moyenne rayonnée à travers la section d’abscisse x du guide est : dissipée

2

kx E0 2 rayonnée ( x ) = ------------- a . 4 0 Celle-ci décroît du fait des pertes : 2

d

rayonnée ( x ) = –

Il vient donc : d

dx a E0 ⎛ 2 1 - + -------⎞ dx . dissipée ----- = – ------ ------2 ⎝ ------------δ 0 2a 2 2 2c 2⎠

rayonnée ( x )

= –

2

2– c ( m, n ) , k 2 = --------------------------c2

2

2 E0 ⎛ 2 E 2 2 - k x + ------⎞ = ------0-2 , 〈 〈 B x 〉 〉 + 〈 〈 B z 〉 〉 = -------4 2⎝ 4c a2 ⎠

soit

rayonnée ( x )

=

rayonnée ( 0 )e

dx , L

rayonnée ( x ) -----

x – --L.


kx a δ 0 kx a 0 - ------------- = -----------------L = -----------------------------------------. 2 2 2 2 1 ⎞ -----2- + -----2+ -----4 ⎛ ------------⎝ 2a 2 2 2c 2⎠ a c A.N. : L = 80 m , d’où une atténuation de 0,05 dB par mètre.

. 1) Chaque composante cartésienne du champ E vérifie l’équation de d’Alembert soit : ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex 1 ∂ 2 Ex ---------- + ---------- + ---------- – ---- ----------- = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2 d’où :

2 k1

2 k2

2 k3

2

– -----2- = 0 . c On obtient la même relation (de dispersion) en considérant E y puis E z . +

+

2) On a divE = 0 . Le calcul conduit à : k1 E1 + k2 E2 + k3 E3 = 0 .

3) On doit avoir E tangentiel = 0 sur chacune des six faces soit :

En reportant dans la relation de dispersion, les seules pulsations pouvant exister compatibles avec les conditions aux limites dans la cavité sont : 2 2 2 2 2 2 = c 2 ⎛ n 1 -----2- + n 2 -----2- + n 3 -----2-⎞ , ⎝ a b d ⎠ pulsations propres dépendant de trois entiers n1, n2, n3. Il semblerait que la plus petite pulsation propre s’obtient en prenant n 1 = 0 n 2 = 0 n 3 = 1 puisque d b a . D’où k 1 = 0 et k 2 = 0 et E x = E y = E z = 0 . Lapluspetitepulsationpropreestalorsobtenuepourletriplet ( 0, 1, 1 ),alors : 2 n 1, n 2, n 3

E = E 1 sin ⎛ ---- y⎞ sin ⎛ ---- z⎞ cos t e x ⎝b ⎠ ⎝d ⎠ qui satisfait bien aux conditions aux limites en y = 0 et b en z = 0 et d et à divE = 0 ; remarquons que les parois x = 0 et x = a ne servent à rien. Ces modes propres sont aussi ceux que l’on trouve dans un guide d’onde à section rectangulaire quand il n’y a pas propagation (k = 0 ).

4) B s’obtient par intégration de l’équation de Maxwell Faraday ∂B rotE = – -------. ∂t On obtient :

• pour les faces y = 0 et y = b f 2 = 0 et k 2 b = n 2 ;

k3 E2 – k2 E3 ⎧ B = -------------------------- sin k 1 x cos k 2 y cos k 3 z sin t ⎪ x ⎪ ⎪ k1 E3 – k3 E1 ⎨ B y = --------------------------- cos k 1 x sin k 2 y cos k 3 z sin t ⎪ ⎪ 2 E1 – k1 E2 ⎪ B = k-------------------------- cos k 1 x cos k 2 y sin k 3 z sin t ⎩ x On doit avoir B Normal = 0 sur chaque face donc : sur la face x = 0 B x = 0 ce qui est vérifié. n1 - et sin k 1 a = 0 sur la face x = a B x = 0 ce qui est vérifié car k 1 = -------a et de même sur les autres faces.

• pour les faces z = 0 et z = d , f 3 = 0 et k 3 d = n 3 .

Ainsi les conditions aux limites pour B n’apportent rien de plus.

E y ( x = 0, y, z, t ) = 0 ⎫ ⎬ pour tout y, z, t E z ( x = 0, y, z, t ) = 0 ⎭ d’où sin f 1 = 0 et donc f 1 = 0 (choisir f 1 = revient à changer les signes de E2 et E3) ; • face x = 0

E y ( x = a, y, z, t ) = 0 ⎫ ⎬ pour tout y, z, t E z ( x = a, y, z, t ) = 0 ⎭ d’où sin k 1 a = 0 et donc k 1 a = n 1 . avec n 1 ∈ ; • face x = a


La longueur L caractérisant l’atténuation dans le guide est :

251

9

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique PC

■ Modèle de polarisation, indice.


■ Dispersion et absorption dans un milieu diélectrique. ■ Lois de Descartes ■ Coefficients de réflexion et de transmission.

■ Oscillateur harmonique amorti. ■ Propagation. ■ Dispersion et absorption.

252

Nous avons abordé au chapitre 7 les phénomènes de dispersion et d’absorption d’une onde, en particulier en étudiant un modèle élémentaire de propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur. Un milieu isolant ne contient pas de charges de conduction (appelées également charges libres, car elles peuvent se déplacer au sein de l’ensemble du matériau) mais des charges dites liées, car leurs mouvements sont d’extension limitée. Sous l’action du champ électromagnétique d’une onde, ces charges (électrons, atomes, …) oscillent « sur place » à la fréquence de l’onde. Les fréquences caractéristiques associées aux oscillations de ces charges liées se manifestent, au niveau macroscopique, par l’existence de zones multiples d’absorption et de transparence. Dans ce chapitre, nous tenterons de rendre compte de ces phénomènes, en général complexes, en utilisant le modèle élémentaire de la « charge élastiquement liée ». Nous étudierons ensuite la propagation d’une onde électromagnétique dans un tel milieu diélectrique et le comportement à la surface de séparation de deux milieux (lois de Descartes).

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) Explicitement au programme des élèves de la filière PC, le travail de ce chapitre est recommandé à tous les étudiants.

1

Po l ar i s at i on d ’u n m i l i e u mat é r i e l

1.1. Phénomène de polarisation dans les milieux isolants Un milieu conducteur contient des charges électriques (électrons ou ions) susceptibles de se déplacer dans l’ensemble du matériau conducteur. Pour cette raison, ces charges sont appelées charges libres ou charges de conduction. À l’échelle macroscopique, elles sont responsables des densités volumiques de charge et de courant j qui apparaissent dans les équations de Maxwell. Dans un milieu isolant, encore appelé milieu diélectrique, de telles charges libres n’existent pas : les électrons sont liés aux atomes ou aux molécules, les ions sont liés les uns aux autres et pour cette raison ces charges sont appelées charges liées. Cependant, ces charges ne sont pas complètement immobiles, elles peuvent se déplacer légèrement (sur des distances microscopiques de l’ordre des dimensions atomiques) autour de leur position moyenne sous l’action d’un champ électrique par exemple. Ces déplacements de charges peuvent provoquer l’apparition de moments dipolaires induits : on dit que le milieu se polarise. Il existe divers types de polarisation : électronique, dipolaire et ionique. 1.1.1. Polarisation électronique ou atomique Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué d’atomes ou de molécules présentant une symétrie telle qu’ils ne possèdent pas de moment dipolaire électrique permanent (molécule de dihydrogène H2, de dioxygène O2 ou de diazote N2 par exemple). En revanche, lorsqu’il est plongé dans un champ électrique E , ce dernier déforme les atomes ou les molécules (les nuages électroniques sont déformés et les noyaux beaucoup plus lourds sont légèrement déplacés)) et provoque ainsi l’apparition de moments dipolaires p micro « induits » par E (doc. 1). b)


a)

pmicro b+ = b–

E = 0

b–

b+ En l’absence de champ, les barycentres b+ et b– des charges positives et négatives

E

sont confondus. En présence du champ E , ils sont distincts.

Doc. 1. Moment dipolaire p micro induit par le champ E .

Par suite, à l’échelle mésoscopique, un volume d de l’ordre du centième de m3 par exemple et contenant un très grand nombre de particules, présente, sous l’action du champ E , un moment dipolaire d p somme de tous les moments élémentaires p micro contenus dans d : d p =

∑ pmicro .

Un tel milieu présente une polarisation électronique ou atomique.

253

Ondes

Application

1

Modèle de polarisation électronique d’un atome On modélise un atome d’hydrogène par un nuage électronique sphérique de centre O et de rayon R, dont la charge – e est uniformément répartie, et un noyau ponctuel situé en O de charge +e. Placé dans un champ électrique uniforme E , on admet que le nuage électronique se déplace, sans se déformer, d’une distance d par rapport au noyau (d R) . Déterminer le moment dipolaire p micro de cet atome induit par le champ E en fonction de

0,

R

et E .

ed E n ( N ) = – ------------------3- u , 4 0R

d’où

où u désigne un vecteur unitaire colinéaire à E et de même sens. Nous déduisons ainsi le moment dipolaire induit : p micro = edu = 4

0R

p micro =

sphère de Gauss

noyau

E extérieur et E n créé par le nuage électronique.

O

À l’équilibre, le noyau se trouve en N à une distance d de O, centre du nuage électronique (doc. 2) et nous pouvons écrire :

N

u E

O

En

eE + eE n ( N ) = 0 .

q int ed 3 - = – -----------3 , 4 d 2 E n = -----0 0R

0E

b)

a)

le champ E n ( N ) :

de la forme :

est appelé polarisabilié de l’atome, son ordre de grandeur est celui du volume de l’atome, ce que confirme l’expérience.

Le noyau est soumis à l’action des champs électriques

En appliquant le théorème de Gauss sur une sphère de centre O et de rayon d, nous pouvons déterminer

3E

E = 0

p = 0

d

E ≠0

p ≠0

Doc. 2 a. Atome d’hydrogène en l’absence de champ. b. Déplacement du nuage électronique de l’atome sous l’action d’un champ électrique E .


1.1.2. Polarisation dipolaire ou polarisation d’orientation Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué d’atomes ou de molécules asymétriques présentant un moment dipolaire électrique permanent p 0 micro , comme les molécules d’eau H2O, de chlorure d’hydrogène HCl ou d’ammoniac NH3 , … (doc. 3). À l’échelle mésoscopique, dans le volume d , celles-ci sont en mouvement désordonné et se heurtent les unes contre les autres, en raison de l’agitation thermique. De ce fait, les moments dipolaires sont orientés de manière aléatoire et il n’apparaît pas dans le volume d de moment dipolaire. En revanche, en présence d’un champ électrique, celui-ci exerce un couple G = p 0 micro ∧ E qui a tendance à orienter chaque dipôle dans la direction de E . Dans le volume d , il apparaît alors un moment dipolaire d p induit par E et

254

a)

H

b)

H H

≈ 110° O

p H

N

p H

Doc. 3. Moment dipolaire de la molécule d’eau et de l’ammoniac.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) qui résulte des effets antagonistes du champ E et de l’agitation thermique (doc. 4). Cet effet se superpose à la déformation des particules décrites au § 1.1.1. Un tel milieu présente une polarisation dipolaire (ou polarisation d’orientation).

a) d

1.1.3. Polarisation ionique Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué de cations et d’anions (s’il s’agit d’un cristal ionique) répartis en général suivant un ordonnancement régulier, et, un volume d de ce cristal, ne présente pas de moment dipolaire permanent. Plongé dans un champ électrique E , les ions se déplacent légèrement autour de leurs positions moyennes, la régularité est rompue et un volume d de cristal présente alors un moment dipolaire induit par le champ (doc. 5) : un cristal présente une polarisation ionique. Signalons que E déforme également les ions et que les deux effets se superposent.

Doc. 4a. En l’absence de champ, l’orientation des dipôles élémentaires est aléatoire. b) d dp

déplacement en sens contraire d

+

–

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

+ –

+ – + –

– + –

+ – + –

+ –

– + – –

+ – + – + –

+ – + –

+ +

d dp

+ – + –

+

E

Doc. 4b. Moment dipolaire d p induit (mésoscopique) en présence du champ E : les dipôles ont tendance à s’orienter davantage dans la direction de E .

E

Doc. 5b. Moment dipolaire d p induit (mésoscopique) par le champ E dans le cristal.

1.2. Vecteur polarisation P L’apparition de moments dipolaires au sein du milieu isolant sous l’action d’un champ électrique caractérise le phénomène de polarisation induite (le milieu se polarise sous l’action du champ). On caractérise l’état du milieu en tout point M par son moment dipolaire

En l’absence de champ imposé, les ions du cristal sont régulièrement répartis et le barycentre des charges positives se confond avec celui des charges négatives. Mais, en présence du champ E , les anions et les cations sont déplacés en sens contraires et le barycentre des charges positives n’est plus confondu avec celui des charges négatives.


Doc. 5a. Volume d de cristal en l’absence de champ.

volumique P ( M ) , défini par : d p = P (M) d . Le vecteur P , appelé vecteur polarisation dépend a priori du point M où on le considère et de l’intensité du champ électrique en ce point (doc. 6). Notons que, si le champ dépend du temps, P dépendra également du temps. m–2

La polarisation P se mesure en C . : elle est donc homogène à une densité surfacique de charges. Remarque : Tous les vecteurs ( E , P , … ) de ce chapitre sont des vecteurs « macroscopiques » définis comme des valeurs moyennes spatiales dans des volumes mésoscopiques d de vecteurs microscopiques correspondants. Nous ne nous

M d

dp = P d

milieu isolant E

Doc. 6. Le vecteur polarisation P .

255

Ondes

poserons, dans cet ouvrage, aucune question sur la manière dont peuvent être faites ces valeurs moyennes. Plongé dans un champ électrique, un milieu diélectrique se polarise : chaque volume mésoscopique d de matière acquiert un moment dipolaire électrique d p induit par le champ, caractérisé par un moment dipolaire volumique P appelé vecteur polarisation et défini par d p = P d . La polarisation d’un milieu métallique est quasiment toujours négligeable. Remarques • En général, la polarisation du milieu disparaît lorsque le champ électrique est supprimé. Cependant, certains cristaux présentent alors une polarisation lorsque le champ a disparu : ces cristaux présentent alors une polarisation permanente et sont appelés ferroélectriques. Nous pouvons définir comme précédemment pour ces milieux cristallins un vecteur polarisation P qui, à la différence des milieux isolants usuels, n’est pas nul lorsque le cristal n’est soumis à aucun champ. • D’autres cristaux (parfois les mêmes) peuvent présenter une polarisation sous l’effet d’une contrainte mécanique et peuvent se déformer sous l’action d’une polarisation induite par un champ électrique. Ces cristaux appelés piézoélectriques, ont de nombreuses applications : mesure de forces ou de pressions, production et réception d’ultrasons,… le quartz, piézo-électrique, est également utilisé dans les montres.

a)

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

Nous nous proposons de vérifier sur deux modèles très simples (voire simplistes) qu’il est possible d’étudier l’état électrique d’un milieu matériel polarisé en définissant une densité volumique de charges liées, dans le vide.

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

b) distance

1.3.1.1. Cas d’une polarisation non uniforme

+ –

Un couple d’ions prend donc un moment dipolaire induit (doc. 7a et b) : p micro = ( q

1

+ ( – q ) ( – 2 ) )e x = q (

1

+

et apparaît par unité de volume une polarisation : P = n p micro = nq (

1

+

2 )e x .

2 )e x

,

+ –

+ – – x′

+ + –

+ – + –

+ –

2

+ – + –

+ –

–

taire e x et de mesure algébrique dépendant de x, soit E = E ( x )e x (on peut, pour simplifier l’exposé, supposer E 0), le milieu cristallin se polarise. En effet, les cations se déplacent dans le sens du champ d’une distance microscopique 1 et les anions dans le sens opposé d’une quantité – 2 (les distances 1 et 2 étant définies positives) à partir de leurs positions moyennes.

+ – + –

–

champ électrique E , de direction fixe colinéaire à un axe (Ox) de vecteur uni-

distance

1

+ –

Considérons un diélectrique cristallin, électriquement neutre et sans polarisation permanente. Ce cristal contient n cations de charge +q et n anions de charge –q répartis « symétriquement » par unité de volume. Plongé dans un


–

1.3. Charges et courants de polarisation équivalents dans le vide

1.3.1. Modèle unidimensionnel

256

+

+ –

+ E = E ( x )e x + – + x

Doc. 7. Déplacement des ions sous l’action du champ E . a. Répartition des ions en l’absence de champ. b. Répartition des ions en présence du champ E .

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) Notons que, comme le champ E , les déplacements

1 et 2 et par suite la pola-

risation P dépendent de x : P = P ( x )e x . À l’échelle macroscopique, nous pouvons considérer qu’un cristal, initialement neutre, comporte des charges positives de densité volumique + et des charges négatives de densité volumique –. Lorsque le cristal n’est pas soumis à l’action d’un champ électrique, ces deux distributions de charges sont uniformes et opposées, c’est-à-dire : =

0

et

= –

–

0.

Lorsque le cristal est plongé dans un champ E = E ( x )e x , les charges positives subissent des déplacements moyens + ( x ) dans le sens du champ et les charges négatives des déplacements – ( x ) dans le sens opposé au champ ( + et – étant positifs). Par conséquent, le cristal présente une polarisation P ( x) =

0( +

+

– )e x

par unité de volume.

Considérons alors un volume mésoscopique d = S dx de cristal (contenant un très grand nombre d’ions) d’épaisseur dx et de section S ; initialement neutre, cet élément comporte une charge positive 0 S dx et une charge négative – 0 S dx . Lors de l’établissement du champ E , cet élément de volume acquiert une charge électrique dQ (doc. 8). En effet, du fait des déplacements de charges : • en x, il entre une charge positive – 0S –( x) ;

0S +( x)

• en x + dx, il sort une charge positive négative – 0 S – ( x + dx ) .

et il sort une charge négative

0S +( x

+ dx ) et il entre une charge

Nous en déduisons : dQ =

0S(

+( x) +

–( x)) +

0S(–

+ ( x + dx ) –

– ( x + dx ) )

= S ( P ( x ) – P ( x + dx ) ) dP = – ------- S dx , dx ce qui nous permet de définir une densité volumique de charges due à la polarisation du milieu : dP pol = – ------- . dx Soit pol = divP car P ne dépend que de x.

E = E ( x )e x volume mésoscopique + + + + +

+ + + + +

+( x)

+( x

+ dx ) x

x + dx

x – – – – – –( x)

– – – – – –( x

+ dx )

Doc. 8. Charge équivalente dQ contenue dans un élément mésoscopique de diélectrique.


+

pol est appelée densité volumique de charges de polarisation ou densité volumique de charges liées.

1.3.2. Modèle tridimensionnel Nous supposerons que le résultat du § 1.3.1. est général et nous admettons que, à l’échelle macroscopique, la polarisation P (induite ou permanente) d’un milieu matériel quelconque est équivalente à la densité volumique de charges de polarisation

pol

= – divP (à laquelle on ajoute éventuellement la densité

surfacique de charges de polarisation

pol

= P . N ). Ainsi, dans un milieu

257

Ondes

matériel, nous pourrons utiliser les équations de Maxwell « dans le vide » à condition de tenir compte des densités volumiques de charges de polarisation pol et surfacique pol . 1.3.3. Cas du régime variable Reprenons le modèle du § 1.3.1. Supposons maintenant que le champ électrique est aussi fonction du temps E ( x, t ) . Sous l’action de ce champ variable, les cations de cote x acquièrent ( ∂ + ) ( x, t ) ∂ – ( x, t ) une vitesse v + = -------------------------e x et les anions une vitesse v – = – -------------------- e x . ∂t ∂t Ce mouvement crée une densité volumique de courant : ∂ ∂ ∂P ( x , t ) nqv + + n ( – q )v – = nq ⎛ -------+- + -------–⎞ e x = -------------------- . ⎝ ∂t ∂t ⎠ ∂t Nous faisons ainsi apparaître une densité volumique de courant : ∂P ( M , t ) j pol ( M , t ) = ---------------------∂t appelée densité volumique de courant lié ou densité volumique de courant de polarisation. Nous supposerons ici encore que ce résultat est général et nous admettrons que, à l’échelle macroscopique, dans un milieu matériel quelconque, on peut faire correspondre à une polarisation P ( M , t ) dépendante du temps, une den∂P ( M , t ) sité volumique de courant de polarisation : j pol ( M , t ) = ---------------------- . ∂t Remarque Nous pouvons facilement vérifier que la densité volumique de charges de polarisation pol et la densité volumique de courant de polarisation j pol vérifient l’équation locale de conservation de la charge : ∂ pol - = 0. div j pol + ---------∂t Lors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnéti© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

que dans un milieu matériel, on peut substituer à la polarisation P du milieu les charges et courants suivants « dans le vide » : • une densité volumique de charges de polarisation : pol

= – divP ;

• une densité surfacique de charges de polarisation : pol

= P .N

( N étant orienté vers l’extérieur du milieu matériel) ; • une densité volumique de courant de polarisation : P j pol = -------t

en régime variable. Ainsi, dans un milieu matériel, nous pouvons utiliser les équations de Maxwell « dans le vide », à condition de tenir compte de ces différentes densités volumiques de charges et de courants.

258

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC )

2

Le s mi l i e u x d i é l e ctri q u e s, ho mogè ne s e t i s o t ro p e s ( l .h .i .)

2.1. Permittivité diélectrique d’un milieu matériel 2.1.1. Milieu linéaire La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces milieux, lorsque l’intensité du champ électrique E (variable éventuellement dans le temps) n’est pas trop importante, le lien entre la polarisation P du milieu et E reste linéaire. Lorsque les variations du champ électrique sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours instantanément les variations du champ ; les composantes de E et P sont liées par des équations différentielles linéaires. Lorsque le champ E varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation complexe (c’est toujours possible pour un système linéaire, grâce à l’analyse de Fourier). Les composantes de E et P sont alors liées par des relations linéaires du type : ⎛P ⎞ ⎜ x⎟ ⎜ Py⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ Pz ⎠

⎛ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

exx

exy

eyx

eyy

ezx

ezy

⎞⎛E ⎞ ⎜ x⎟ ⎟ ⎜E ⎟, eyz ⎟ ⎜ y⎟ ezz ⎠ ⎝ E z ⎠ exz ⎟

soit, sous forme condensée : P = 0 [ e ]E . [ e ] est l’opérateur susceptibilité diélectrique complexe du milieu linéaire. 2.1.2. Milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.) Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les coefficients de la matrice [ e ] ne sont pas fonctions de la position. Il est isotrope si la matrice [ e ] est scalaire (pas de direction privilégiée). Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, la relation entre P et E est : du © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

P = 0 e E où e est la susceptibilité (sans dimension) fonction de la pulsation champ électrique.

2.2. Étude d’un modèle de polarisation Pour exprimer la permittivité diélectrique d’un milieu, grandeur macroscopique, nous devons étudier, à l’échelle microscopique, l’interaction du champ électromagnétique avec les charges liées du milieu : électrons ou noyaux constituant les atomes ou les molécules du milieu, ions d’un cristal ionique, … À cette échelle (microscopique), une telle étude nécessite l’emploi de la mécanique quantique, qui sort du cadre de cet ouvrage. Nous nous proposons d’utiliser un modèle classique élémentaire qui permet de rendre compte assez convenablement des observations expérimentales. 2.2.1. Modèle de la charge élastiquement liée Nous avons déjà utilisé ce modèle, dû au physicien hollandais Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), pour rendre compte de la diffusion du rayonnement solaire par les molécules atmosphériques (cf. chapitre 6).

259

Ondes

Le champ d’une onde électromagnétique met en mouvement les charges liées du milieu matériel, où elle se propage. Si la réponse est linéaire, une onde monochromatique force les oscillations de ces charges à sa pulsation . Dans le cadre de ce modèle, une charge liée (masse m et charge q) est soumise à : • une force de rappel élastique, proportionnelle à son déplacement r par rapport à sa position d’équilibre : f = – kr ; • une force destinée à rendre compte des phénomènes dissipatifs d’énergie (collisions, rayonnement, …) soit, en introduisant un temps de relaxation : m f = – ---- v ; • la force de Lorentz créée par le champ électromagnétique de l’onde, où nous négligeons classiquement, pour une charge non relativiste, l’influence du terme magnétique : f = qE . Remarques • Le champ de l’onde est uniforme à l’échelle de la molécule si la longueur d’onde est nettement supérieure aux dimensions des particules du milieu (les dimensions d’un atome sont de l’ordre de 0,1 nm). • Pour un milieu peu dense (cas d’un gaz), nous négligeons a priori l’influence des champs créés (car ils peuvent être statiques) par les atomes ou les molécules voisines. Le cas échéant (liquide, solide) nous admettrons que le fait de les négliger ne change pas fondamentalement les résultats que nous nous proposons de trouver. L’équation du mouvement de la charge est donc : ˙˙ ˙ v ma = – kr – m --- + qE , soit r + -----0- r + Q

2 0r

qE = -------- , m

k ---- est la pulsation propre de cet oscillateur amorti et Q = 0 son m facteur de qualité. En régime sinusoïdal établi, le déplacement de la charge est, en notation complexe : q ----------2m 0 -E . r = ---------------------------------2 1 + j ----------- – -----2Q 0


où

0

=

0

2.2.2. Polarisation en régime sinusoïdal Le milieu étudié est globalement neutre. Au déplacement r de la charge q est associé un moment dipolaire élémentaire p = qr , soit en notation complexe p =

E , où

est appelée la polarisabilité.

Le vecteur polarisation du milieu l.h.i., contenant N charges liées (supposées identiques) par unité de volume, est P = N p . Nous obtenons donc : P =

0 eE

avec

e

0 = ----------------------------------, 2 1 + j ----------- – -----2Q 0 0

260

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) où e

0

N q2 = ---------------2- est la susceptibilité diélectrique statique ( ≈ 0 ) . m 0 0

est complexe ; posons

e

=

1

–j

2

avec : 2

1 – -----2-

1

=

1(

) =

0 0 -----------------------------------------------2 2 2

⎛ 1 – ------⎞ + ⎛ -----------⎞ 2⎠ ⎝ ⎝ Q 0⎠ 0

et

2

=

2(

) =

----------Q 0 -. 0 -----------------------------------------------2 2 ⎛ 1 – ------⎞ + ⎛ -----------⎞ 2 2⎠ ⎝ ⎝ Q 0⎠ 0

Remarque

Nous ne faisons pas de distinction entre le champ électrique nous permettant d’exprimer le moment dipolaire élémentaire p = auquel la polarisation est liée par P =

0 eE

E , et le champ électrique

:

• le premier est un champ à signification microscopique, champ local « vu » par l’entité qu’il polarise ; • le second est le champ électrique macroscopique, champ intervenant dans l’écriture des équations de Maxwell dans le milieu. Cette confusion peut sembler convenable dans le cas de milieux dilués, de faible susceptibilité, pour lequel le champ créé par les autres particules du milieu perturbera peu le champ appliqué à la matière. Dans le cas de milieux denses, cette confusion, douteuse, perturbe cependant peu les conclusions simples de notre étude. Le modèle de la charge élastiquement liée permet de rendre compte de la dépendance de la susceptibilité diélectrique e , complexe, d’un milieu du régime sinusoïdal envisagé.

Application

2

Puissance moyenne dissipée dans le modèle de la charge élastiquement liée En repartant de l’équation du mouvement de la charge montrer que la puissance fournie par le champ électrique fait varier l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de cette charge mais est aussi dissipée. Quelle est alors la puissance moyenne dans le temps dissipée par unité de volume ? L’exprimer en fonction du champ électrique, de sa pulsation et de 2 . On sait (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année) que la puissance volume est j . E . Vérifier que l’on a bien ici

= 〈 j pol . E 〉 .


diélectrique vis-à-vis de la pulsation

Nous multiplions scalairement par v l’équation du mouvement d’où : d 1 2 1 2 v qE . v = ----- ⎛ --- mv + --- kr ⎞ + m --- . v . ⎠ dt ⎝ 2 2 La puissance moyenne dissipée par unité de volume m est = N 〈 ---- v . v 〉 . P Nous avons P = N p = Nqr d’où r = ------- et donc : Nq P 0 ( 1 – j 2 )E . 0 eE r = ------- = ---------------- = ---------------------------------Nq Nq Nq

261

Ondes

On pose E = E 0 e j 0E0 ( r = ----------Nq

1 cos

0E0 v = ----------(– Nq 2

2

2 sin

t+

2( 2 1

+

N q2 = ---------------2- et de Q = m 0 0 1 = --2

0

Ainsi la puissance dissipée est bien liée à infini ou Q non infini ou c 2 non nul.

d’où :

t+

1 sin

m 0E0 = N ---- ----------N 2q2 0

t

2 1 2 ) ---

2

0

2 2 e 2 ----------------E Q 0 0 0

∂P Nous savons que j pol = ------- = Nqv d’où : ∂t

t ) et donc : 2 cos

j pol . E =

t ) et :

soit compte tenu de

0E0 Nq ----------(– Nq d’où :

2 0 2E0

.

M–

0 . m ≈ -----Q

L’application 2 nous a montré que la puissance dissipée au sein du milieu diélectrique est directement liée à la partie 2 = – m ( e ) de la susceptibilité complexe du milieu. Dans cette zone spectrale, 2 est importante et l’absorption d’énergie électromagnétique par le milieu l’est également. En dehors de cette zone, 2 est très faible et la dissipation d’énergie électromagnétique aussi. Le plus souvent, un milieu contient plusieurs types de charges liées susceptibles de se déplacer sous l’action du champ électrique d’une onde électromagnétique :


2 cos

10

0i

1M

0⎝1

Q 2

0 ----

≈

1 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

b)

m

≈

1m

1⎞ ⎛ + -----2Q⎠

0⎝1

≈–

----20

2max

10

0

Toutes ces charges liées, différentes, de charge qi , de masse mi se répartissent alors en plusieurs types d’oscillateurs, de pulsations propres 0i et de facteur

1⎞ ⎛ – -----2Q⎠

≈

M

–5

• les noyaux (de masse sensiblement égale à celle de l’atome correspondant) ; • les ions si le milieu est un solide ionique.

0

0

5

qi ------------2 m i 0i -E . r i = -------------------------------------2 1 + j ------------- – ------2 Q i 0i

2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

----1-

5

• les électrons des atomes ou des molécules du milieu (et dans un atome, les électrons profonds n’ont pas les mêmes caractéristiques que les électrons périphériques) ;

de qualité Qi , dont les déplacements r i s’écrivent :

t ) . E 0 cos t

2 0E0

a)

2.2.3. Polarisation totale du milieu

262

t+

ce qui est le même résultat.

Traçons les graphes représentatifs des variations de 1 et 2 en fonction de la pulsation (doc. 9) lorsque le facteur de qualité Q est élevé (ce qui est généralement le cas ; Q ≈ 10 3 à 104). Nous constatons que 1 s’annule pour = 0 alors que 2 est maximale pour une valeur de très proche de 0 (d’autant plus proche que Q est grand). Nous pouvons vérifier que la valeur = 0 , dans laquelle ces caractéristique de la zone spectrale, centrée sur grandeurs varient notablement est, pour un facteur de qualité élevé : Δ ≈

1 sin

1 = 〈 j pol . E 〉 = --2

: 1 = --2

non

Q 2

0 ----

≈

0Q

Δ ≈ -----0Q

=

0

Doc. 9. Modèle de la charge élastiquement liée et susceptibilité diélectrique (simulation pour Q = 10). a) Partie réelle 1 = e ( e ) . Les extremums sont obtenus pour : M, m

≈

1⎞ ⎛ ± ------ . 2Q⎠

0⎝1

b) Partie imaginaire

2

= – m(

e)

.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) En supposant qu’une particule élémentaire (atome, molécule ou ion) possède ai charges liés de même masse mi , de même charge qi , de même pulsation propre 0i et de même facteur de qualité Qi (ainsi, par exemple, tous les électrons périphériques d’un atome peuvent avoir le même comportement), et que le milieu contient N particules élémentaires par unité de volume, alors le vecteur polarisation du milieu s’écrit : ⎛ ⎜ P = N⎜ ⎜ ⎝

∑i

χ1

À chaque type d’oscillateur correspond une zone d’absorption. Entre ces zones, la dissipation d’énergie au sein du milieu est faible. 2.2.4. Ordres de grandeur Intéressons-nous aux pulsations caractéristiques : • les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique 0e sont situées dans le domaine visible et l’ultraviolet (fréquences de l’ordre de 1014 Hz à 1015 Hz) ;

ω 0i

0

⎞ 2 ⎟ ai qi 1 --------------------------------------------------2-⎟ E . 2 m i 0i 1 + j ------------- – -------⎟ ⎠ Q i 0i 0i

polarisation dʼorientation

polarisation ionique polarisation électronique

ω

ω 0e

χ2

0

ω 0i domaine hertzien I.R.

ω 0e visible

ω

U.V.

Doc. 10. Intervention des divers types de polarisation (représentation schématique, l’axe des pulsations étant gradué en échelle logarithmique).

• les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d’une molécule ou des ions d’un cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sont nettement plus faibles ; les pulsations caractéristiques de la polarisation atomique ou ionique 0i , suivant les cas, apparaissent dans le domaine infrarouge (fréquences de l’ordre de 1012 Hz à 1014 Hz). Les facteurs de qualité associés sont élevés (1014 en moyenne), de sorte que nous observons des zones d’absorption distinctes correspondant aux polarisations électroniques et ioniques.

La courbe en pointillés suggère l’influence d’une polarisation d’orientation ou polarisation dipolaire. Dans l’infrarouge lointain et dans le domaine hertzien, pour un milieu constitué de molécules polaires, c’est toute la molécule qui peut osciller dans le champ de l’onde (l’application 3 en propose une modélisation). Ainsi, l’eau présente : • une zone de transparence dans le domaine visible ; • des zones d’absorption dans l’ultraviolet (transitions entre niveaux électroniques de la molécule) et dans l’infrarouge (modes de vibration de la molécule) ; • une absorption dans le domaine des ondes centimétriques à la base du fonctionnement des fours à micro-ondes qui « échauffent » l’eau contenue dans les aliments (doc. 11). Notons enfin que dans le domaine des rayons X (à de très hautes fréquences, de l’ordre de 1017 Hz à 1020 Hz), e est réelle et tend toujours vers zéro par valeurs négatives. La plupart des milieux sont ainsi relativement transparents aux rayons X.

Doc. 11. Dans un four à micro-ondes, les ondes électromagnétiques centimétriques créées par le magnétron « échauffent » les molécules d’eau contenues dans les aliments

263


Le document 10 suggère l’allure des graphes de 1 = 1 ( ) et de 2 = 2 ( ) , en ne considérant qu’une seule pulsation de chaque type, notées et 0e 0i respectivement. L’absorption est importante dans les zones où 2 est non négligeable (et dans laquelle 1 varie notablement). En dehors de ces zones, dans des domaines assez larges, 2 est quasiment nulle (et 1 varie peu en fonction de la pulsation). L’absorption est insignifiante : le milieu est transparent à l’onde électromagnétique.

Ondes

Un milieu présente des domaines de fréquences dans lesquels la susceptibilité est réelle ( 2 ª 0 ) et varie lentement en fonction de la fréquence. Ces domaines sont séparés par des zones d’absorption dans lesquelles la susceptibilité, complexe, varie rapidement en fonction de la fréquence.

3

Application

Modèle de Debye de la polarisation 1) Plongé dans un champ électrique permanent et uniforme, un milieu l.h.i. de susceptibilité statique possède une polarisation P 0 uniforme. Lorsque l’on supprime le champ électrique, l’expérience montre que la polarisation du milieu ne disparaît pas instantanément mais décroît suivant une loi exponentielle de constante de temps :

2) a) En régime sinusoïdal établi, et en adoptant la

notation complexe P = P 0 e j t , l’équation différentielle impose :

0,

P = P0 e

t – --

0 0 ⎛ j + 1---⎞ P = ----------E , ⎝ ⎠

uniforme, la polarisation P tend exponentiellement vers P 0 avec la même constante de temps. a) Préciser la valeur P 0 . b) Quelle est l’équation différentielle qui régit l’évolution du vecteur polarisation P ? 2) Le milieu est maintenant traversé par une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation . a) En admettant que l’équation différentielle précédente reste valable (on néglige l’influence du


0 eE

.

Nous en déduisons :

.

Inversement, lorsqu’il est plongé dans un champ E 0

1

1 1+( )

0 ----------------------2-

=

et

2

0 ----------------------2-

=

1+(

)

.

Leurs variations sont représentées sur le document 12 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

χ1 χ0

ωτ 2

4

6

8 10

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

χ2 χ0

ωτ 2 4 6 8 10

champ B ), et en adoptant la notation complexe, quelle est la susceptibilité diélectrique complexe e = 1 – j 2 de ce milieu ?

Doc. 12. Susceptibilité diélectrique du modèle de Debye (qui explique les parties en pointillés des courbes 1( ) et 2( ) du document 10).

Tracer les courbes 1 ( ) et 2 ( ) . b) Montrer que les valeurs 1 et 2 obtenues en utilisant le modèle de la charge élastiquement liée sont identiques à celles que l’on obtient ici moyennant des approximations à expliciter. 1) a) Par définition de la susceptibilité diélectrique

duit aux mêmes résultats que le modèle de Debye à condition de négliger le terme d’accélération dans l’équation du mouvement. Ceci revient à négliger les termes en 2 devant les autres termes dans l’expression de la susceptibilité électrique, soit :

statique

0,

P0 =

0 0E0 .

b) Le modèle de la charge élastiquement liée con-

2

dP dt

P

b) L’équation différentielle est -------- + ---- = 0 lors

dP P 0 0 - E 0 lors de la dépolarisation, ou -------- + -----0- = ---------dt de la polarisation du milieu.

264

0 0 -E = P = ----------------1+j

soit :

≈

2 0 0 ------------------------2 0 0 + j ------

0 = ---------------------------, ⎛ 1 + j -----------⎞ ⎝ Q 0⎠

Q identique à l’expression précédente en posant : 1 = ----------- . Q 0


3

Propagation d’ondes électromagnétiques dans un milieu l.h.i.

3.1. Équation de propagation Les équations de Maxwell dans un milieu matériel isolant sont obtenues en remplaçant par

pol

et j par j pol , soit :

⎫ ⎪ ⎬ équations de structure qui ne changent pas ∂B ⎪ rot E = – ------∂t ⎭

divB = 0

pol divE = -------

et

0

rot B = avec

pol

0 j pol

+

0

∂E ∂t

0 -------

∂P = – divP et j pol = ------- . ∂t

Ce milieu est supposé linéaire homogène et isotrope d’où la relation en complexe P =

0 eE

.

Les équations de Maxwell, linéaires, réécrites en complexe (avec pour ce milieu l.h.i. : P =

0 eE

), donnent :

divB = 0 ∂B rot E = – ------- = – j B ∂t div ( 1 + rot B =

e )E

= 0

0 0(1

+

∂E = ∂t

e ) -------

0 0j

(1 +

e )E

.

Ce sont les mêmes équations (complexes) que pour le champ électromagnétique dans le vide en remplaçant 0 par 0 ( 1 + e ) .

=

0 r


1 + e est noté r et s’appelle la permittivité relative complexe du milieu l.h.i. C’est une fonction de la pulsation de l’onde. est la permittivité complexe du milieu l.h.i.

Les équations de propagation du champ électromagnétique s’en déduisent immédiatement : ∂2E - = 0 ΔE – ----2-r --------c ∂t 2

et

∂2 B - = 0. ΔB – ----2-r --------c ∂t 2

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.), le champ d’une onde électromagnétique monochromatique satisfait, en notation complexe, à l’équation de d’Alembert : 2E - = 0 DE – ----2-r ---------c t2

et

2B - = 0. DB – ----2-r ---------c t2

265

Ondes

3.2. Relation de dispersion. Indice d’un milieu Pour une onde de pulsation et de vecteur d’onde complexe k , l’équation de propagation impose la relation de dispersion : k2 =

2

r ----2 c

.

Envisageons une onde plane progressive monochromatique de pulsation se propageant par exemple selon l’axe des x croissants, de vecteur d’onde k = ke x . Son nombre d’onde k est lié à sa pulsation par une relation que nous écrivons sous la forme : k = n ---- , c en définissant n comme la racine à partie réelle positive ou nulle de l’équation n 2 = r . La grandeur n est appelée indice du milieu. Cet indice est en général complexe et fonction de la pulsation de l’onde. Cette relation de dispersion implique donc des phénomènes de dispersion et d’absorption tels que nous les avons décrits au chapitre 7. Nous noterons : ⎧ r = 1–j 2 ⎨ ⎩ n = n 1 – jn 2 , 2

2

d’où n 1 – n 2 =

1

=

0(1

+

1)

et 2n 1 n 2 =

2

=

0 2.

Le champ électrique d’une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le sens et la direction de l’axe (Ox) s’écrit : E = E 0 e– k2 x ej (

t – k1 x )

(avec k 1 = n 1 ---- et k 2 = n 2 ---- positifs), c c

soit en revenant à une notation réelle (et en supposant E 0 réel : E 0 = E 0 ) : E = E 0 e – k 2 x cos ( t – k 1 x ) . © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

• L’indice n1 est l’indice de réfraction, que nous utilisons en optique. Il permet d’exprimer la vitesse de phase d’une onde plane : c v = ----- = ----- , n1 k1 où n1 caractérise la dispersion du milieu (si n1 dépend bien de ). • Le coefficient n2 caractérise l’absorption de l’onde par le milieu. C’est l’indice d’extinction. Les courbes tracées sur le document 13 indiquent les variations des indices de réfraction n1 et d’extinction n2 du milieu dans le cadre du modèle de la charge élastiquement liée, en fonction de la longueur d’onde dans le vide. Ces courbes ressemblent fortement à celles du document 9 (où sont représentés 1 et 2 en fonction de ) : des zones de transparence assez larges avec faible dispersion sont séparées par des fenêtres relativement étroites où la dispersion et l’absorption sont importantes.

266

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) n1

a)

n2

b)

1,04

0,10

1,02

0,08

1

0,06 0,04

0,98

0,02

0,96

(1014 rad . s–1) 2

4

6

10 12 14 ω

8

n1

c)

(1014 rad . s–1) 2

0

4

6

ω

8 10 12 14

n2

d) 0,10

1,04

0,08

1,02

0,06

1

0,04

0,98

0,02

0,96

λ (μm)

λ (μm) 2

3

4

5

0

6

2

3

4

5

6

Doc. 13. Simulation des courbes n1 et n2 pour 0 = 10–2 (milieu dilué) avec une seule pulsation propre 0 correspondant à 0 = 3 m (I.R., polarisation atomique) et Q = 10 (pour la lisibilité des courbes). a) n1 = f( ). b) n2 = f( ). c) n1 = f(l). d) n2 = f(l).

Le modèle élémentaire que nous avons proposé est discutable, mais confirmé par les observations expérimentales : le document 14 donne les courbes expérimentales relatives à l’eau dans l’infrarouge.

3.3. Dispersion et absorption Une zone de transparence correspond à un domaine de pulsation où l’absorption est très faible. Les tracés du document 13 montrent que : –

≈

2.

1

L’indice du milieu s’identifie à son λ (μm)

En considérant un milieu ne comportant qu’un seul type de charges liées, nous pouvons utiliser la forme approchée : 2

r

r

= 1+

n2

n2 .

n ≈ n1

=

1,4 1,2

– n1 varie peu avec la fréquence, donc la dispersion est faible. r

visible

1,5 1,3

n’est pas proche d’une pulsation propre ;

Nous pouvons alors écrire indice de réfraction :

n1

0 0 ----------------2 2 – 0

avec

r

0,

où le terme d’amortissement a été négligé (ce qui revient à prendre Q = ∞).

2

4

6

8 10 12 14

Doc. 14. Courbes expérimentales n1( ) et n2( ) pour l’eau, de l’ultraviolet proche ( = 0,6 m) à l’infrarouge proche ( = 8 m). Nous retrouvons les absorptions dans l’I.R. et l’U.V. signalées auparavant.

267


3.3.1. Zone de transparence

Ondes

Dans un domaine de fréquences où l’indice optique du milieu est réel, une onde électromagnétique se propage sans atténuation : le milieu est transparent à cette onde. La dispersion est alors relativement faible.

4

Ainsi, le verre, l’eau et l’atmosphère sont transparents à la lumière visible.

Application

Formule de Cauchy pour l’indice d’un verre Dans le domaine visible, la permittivité relative d’un verre est correctement définie par la relation précédente, la pulsation propre 0 se situant dans l’ultraviolet lointain. Montrer que, dans ce domaine de fréquences, l’indice du verre obéit à la loi de Chauchy : B C n 2 = A + ----2- + ----4- . l l En supposant n2 =

0: r

≈1+

⎛ + -----2- + -----4-⎞ . 2 4⎠

0⎝1

0

0

2 c La longueur d’onde dans le vide est l = ---------- , donc : n2 = ( 1 +

2 c 21 2 c 41 + ⎛ ----------⎞ ----2- + ⎛ ----------⎞ ----4- . ⎝ 0⎠ l ⎝ 0⎠ l

La formule de Cauchy décrit très bien la dispersion de nombreux verres utilisés en optique. Notre modèle élémentaire ne pouvant suffire à rendre compte des phénomènes complexes intervenant dans l’interaction entre l’onde et le milieu, les coefficients A, B et C sont en fait déterminés expérimentalement. B La formule approchée n 2 = A + ----2- s’avère soul vent suffisante.

La variation de l’indice de réfraction explique la dispersion de la lumière par un prisme de verre (doc. 15). La déviation croît avec l’indice du prisme, donc du rouge au violet (cf. formule de Cauchy, Application 4). C’est aussi la dispersion de la lumière blanche issue du soleil par les fines gouttelettes d’eau contenues dans l’atmosphère humide qui provoquent les arcs-en-ciel après une forte pluie (doc. 16). L’indice variant relativement peu en fonction de la fréquence, un paquet d’ondes se propageant dans un tel milieu sera peu déformé. Utilisant la relation de dispersion, nous avons :


0)

d dn k = n ---- , donc dk = ------- ⎛ n + -------⎞ . ⎝ c c d ⎠ La vitesse de groupe d’un paquet d’ondes est donc :

lumière blanche

rouge jaune vert bleu violet

Doc. 15. Dispersion de la lumière par un prisme. Soleil fine pluie fin

Soleil

v c d v g = ------- = --------------------- = ---------------------dk dn dn n + ------1 + ---- ------d n d c en introduisant la vitesse de phase v = --- . n L’indice restant supérieur à 1, hormis à de très hautes fréquences (et éventuellement dans les zones d’absorption), la vitesse de phase v est en général inférieure à c.

268

Doc. 16. L’arc-en-ciel est dû à la dispersion de la lumière solaire par les fines gouttelettes d’eau.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) Dans ce domaine de transparence, n est une fonction croissante de la pulsation (cf. loi de Cauchy par exemple), de sorte que vg est aussi inférieure à c. Dans ces zones où vitesses de phase et de groupe sont inférieures à c, la dispersion est dite « normale ». Dans une zone de transparence, la vitesse de groupe d’un paquet d’ondes correspond à la vitesse de propagation de l’énergie associée à ce paquet d’ondes, inférieure à c.

5

Relation de Rayleigh entre vitesse de phase et vitesse de groupe Quelle est la relation liant les vitesses de groupe vg et de phase v , la longueur d’onde l milieu , dans le dv l milieu, définie par l milieu = --- et la dérivée ------------------ ? dl milieu n désigne bien sûr la longueur d’onde dans le vide. En utilisant le tableau de données numériques relatif au sulfure de carbone, milieu transparent et très dispersif dans le domaine des ondes lumineuses, calculer la vitesse de groupe vg pour la longueur d’onde l = 550 nm. Comparer la valeur obtenue à celle que donne l’expérience, soit : c v g = ---------- . 1,77 l (nm)

589

550

486

indice n

1,628

1,640

1,652

La vitesse de groupe est : dv d(v k ) d v g = ------- = ------------------ = v + k --------- . dk dk dk 2 Utilisant k = n ---- = -------------- , nous obtenons la forc l milieu mule de Rayleigh : dv f . v g = v = – l milieu ----------------dl milieu En affectant les indices 1, 2 et 3 aux différentes valeurs du tableau (de la gauche vers la droite), nous pouvons calculer : dv v g = v – l milieu -----------------dl milieu c c ----- – ----l n c c 3 n1 - = ------------- . ≈ ----- – ----2- ---------------1,768 n2 n2 l3 l1 ----- – ----n3 n1 Nous retrouverons, à 0,1 % près, la valeur expérimentale. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

3.3.2. Zone d’absorption Nous nous plaçons dorénavant dans une zone de fréquences située au voisinage d’une pulsation propre 0 du milieu. Les parties imaginaires de la permittivité diélectrique et de l’indice du milieu ne sont plus négligeables. L’amplitude d’une onde électromagnétique de pulsation qui se propage dans le milieu dans la direction et le sens de l’axe (Ox) décroît exponentiellement avec la distance parcourue dans le milieu, car elle est proportionnelle à : e– k2 x = e

x – n 2 ------c

.

Dans un domaine de fréquences où la permittivité relative d’un milieu 2 r est complexe (l’indice défini par n = r l’est aussi), le milieu absorbe les ondes électromagnétiques qui le traversent.

269

Ondes

L’ozone et le dioxygène possèdent également une zone d’absorption dans l’ultraviolet, ce qui explique le rôle protecteur de l’ozone et de l’atmosphère. ■ L’eau absorbe le rayonnement infrarouge dont la longueur d’onde est supérieure à 1 400 nm.

Le dioxyde de carbone possède également une zone d’absorption dans l’infrarouge. Cette propriété permet d’expliquer l’effet de serre atmosphérique : les rayons solaires traversant l’atmosphère sont absorbés par le sol ; celui-ci s’échauffe et émet un rayonnement infrarouge. c’est ce rayonnement infrarouge qui, absorbé par la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone contenus dans l’atmosphère, échauffe celle-ci. À une échelle réduite, une serre de jardin utilise le même principe, car le verre absorbe le rayonnement infrarouge de longueur d’onde supérieure à 2 500 nm. Dans une zone d’absorption, n1 peut être inférieur à 1, et la vitesse de phase dn c v = ----- = ----- peut être supérieure à c. D’autre part, la dérivée --------1- peut d k1 n1 prendre des valeurs négatives. En extrapolant l’expression de la vitesse de groupe obtenue dans le cas de la dispersion normale (cf. § 3.3.1.), nous constatons que la vitesse de groupe correspondante peut aussi devenir supérieure à c. Ces résultats surprenants conduisent à parler ici de dispersion anormale. En fait, dans une zone d’absorption, la dispersion est très importante. Un paquet d’ondes est donc fortement déformé au cours de sa propagation si bien que son amplitude (« sommet » de l’enveloppe) peut ne plus être définie. d Même si nous la définissons par v g = -------- , la vitesse de groupe n’a plus de dk 1 signification physique simple (et sa valeur numérique peut être supérieure à c !) et ne correspond surtout pas à la vitesse de propagation de l’énergie du paquet d’ondes. Dans une zone d’absorption, une onde est atténuée et la dispersion très importante. La vitesse de groupe n’a plus de signification physique réelle. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

4

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques

4.1. Lois de la réflexion et de la réfraction 4.1.1. Description du problème, condition aux limites Considérons deux milieux diélectriques et , linéaires, homogènes, isotropes d’indices n1 et n2, séparés par une surface plane (à la limite, localement plane à l’échelle de la longueur d’onde) immobile. Cette surface est souvent appelée dioptre en optique géométrique. Nous nous placerons ici dans des zones de transparence ; les indices n1 et n2 sont réels. Une onde plane progressive monochromatique incidente, de pulsation , se propage dans le milieu . En arrivant sur la surface de séparation (plane) entre les deux milieux, l’expérience montre que cette onde donne naissance, en

270

U.V.A U.V.B U.V.C

Soleil

Le verre absorbe le rayonnement ultraviolet dont la longueur d’onde est inférieure à 320 nm (les lunettes solaires protègent ainsi les yeux du rayonnement U.V. contenu dans la lumière solaire) (doc. 17). ■

320 300 ozone cristallin 290 rétine cornée

Doc. 17a. Pénétration du rayonnement. catégorie

% de lumière transmise

0

80 % à 100 %

1

43 % à 80 %

2

18 % à 43 %

3

8 % à 18 %

4

3%à8%

utilisation

Doc. 17b. Classes de protection des lunettes solaires selon les normes C.E.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) général, à une onde réfléchie et à une onde transmise (doc. 18) que nous pouvons supposer planes, progressives monochromatique de même pulsation que l’onde incidente. Cette dernière hypothèse ne doit pas nous surprendre : les ondes réfléchies et transmises résultent de l’onde incidente de pulsation et des ondes rayonnées par tous les dipôles oscillants, que constituent les atomes ou molécules des milieux linéaires et excités à la pulsation de l’onde incidente (cf. chapitre 6). Dans chacun des deux milieux diélectriques les phénomènes de polarisation dus au champ électrique des ondes qui se propagent font apparaître des charges et des courants de polarisation. Mais les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell flux appelées « équations de structure » ne font pas intervenir les charges et les courants, elles restent les mêmes.

onde incidente

onde réfléchie

n1

n2 onde transmise

Doc. 18. Réflexion et réfraction d’une onde sur un dioptre.

Nous avons vu que ces deux équations impliquent la continuité de la composante tangentielle de E et de la composante normale B (cf. H-Prépa, Électronique, 2nde année). Nous utiliserons l’une ou l’autre de ces conditions pour établir les lois de Descartes. Des charges surfaciques de polarisation peuvent apparaître et ceci conduit à une discontinuité de la composante normale de E . En revanche, il n’y a pas de courants surfaciques de polarisation ; ainsi le champ magnétique tangentiel sera alors aussi continu. Nous utiliserons ce dernier résultat au § 4.2. pour établir les coefficients de réflexion et de transmission des ondes. 4.1.2. Ondes incidente, réfléchie et réfractée (ou transmise) L’onde plane progressive monochromatique incidente se propage dans la direction du vecteur unitaire u 1 dans le milieu . Le champ électromagnétique de cette onde plane progressive harmonique s’écrit : t – k1 . r )

u1 ∧ E 1 - avec k 1 = n 1 ---- u 1 . et B 1 = n 1 ----------------c c

L’onde plane progressive monochromatique réfléchie dans le milieu page dans la direction du vecteur unitaire u 1′ :

se pro-

u 1′ ∧ E′1 - avec k′1 = n 1 ---- u 1′ . et B′1 = n 1 -------------------c c L’onde plane progressive monochromatique transmise dans le milieu se propage dans la direction du vecteur unitaire u 2 : E 1′ = E′ 01 e j (

t – k′1 . r )

u2 ∧ E 2 - avec k 2 = n 2 ---- u 2 . et B 2 = n 2 ----------------c c Ces trois ondes satisfont, par « construction », aux équations de Maxwell, dans leurs milieux respectifs. Il reste à vérifier que les conditions aux limites sur l’interface séparant les deux milieux sont effectivement satisfaites. E 2 = E 02 e j (

t – k2 . r )

Si tel est le cas, ces ondes vérifient alors toutes les conditions du problème posé et forment nécessairement la solution de celui-ci. 4.1.3. Les lois de Descartes

plan d’incidence

k1 n1

i1 N T

interface

n2

Les lois de Descartes sont énoncées dans le cours d’optique géométrique (cf. H-Prépa, Optique, 1re année). Le vecteur d’onde k 1 de l’onde incidente et le vecteur unitaire N normal à la surface plane de séparation entre les deux milieux définissent le plan d’incidence (doc. 19).

Doc. 19. Mise en évidence du plan d’incidence ( k 1, N ).

271


E 1 = E 01 e j (

Ondes

Traduisons l’une des conditions aux limites, la continuité de la composante tangentielle E T de E en tout point M 0 ( r 0 = OM 0 ) de la surface de séparation et à tout instant ; il vient : E 01T e j (

t – k1 . r0)

+ E′01T e j (

t – k 1′ . r 0 )

= E 02T e j (

t – k2 . r0)

.

Remarque : La continuité doit être vérifiée à tout instant, donc les trois ondes ont la même pulsation. Mettons la relation précédente sous la forme suivante : E 01T + E′01T e j ( k 1 – k 1′ )r 0 = E 02T e j ( k 1 – k 2 . r 0 ) . En prenant l’origine O sur le plan de séparation (le vecteur r 0 est alors un vecteur quelconque de ce plan), nous pouvons affirmer que cette relation est vérifiée si les différences de phases ( k 1 – k 1′ ) . r 0 et ( k 1 – k 2 ) . r 0 sont indépendantes de r 0 , ce qui est réalisé si : ( k 1 – k 1′ ) . r 0 = ( k 1 – k 2 ) . r 0 = 0 . Ainsi, les vecteurs ( k 1 – k 1′ ) et ( k 1 – k 2 ) doivent être colinéaires à N , d’où : k 1′ = k 1 + N

et

k 2 = k 1 + N avec

et

constantes réelles.

Les vecteurs d’onde k 1′ et k 2 des ondes réfléchies et réfractées sont, dans le plan d’incidence, définis par les vecteurs k 1 (vecteur d’onde

N i1 i’1

de l’onde incidente) et N (normale locale au dioptre). En optique géométrique, les rayons lumineux s’identifient aux directions des vecteurs d’ondes correspondantes. Nous pouvons énoncer (doc. 20) la première loi de Descartes.


Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence.

n1

T

interface

i2

n2

k2

En décomposant chaque vecteur d’onde en un vecteur k T tangent à la surface

Doc. 20. Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence

de séparation et un vecteur k N normal à cette même surface, les relations pré-

( k 1, N ).

cédentes imposent (doc. 20 et 21) k 1T = k′1T = k 2T . Les composantes tangentielles k 1T , k′1T et k 2T des vecteurs d’onde des ondes incidente, réfléchie et réfractée sont égales :

n1

k 1T = k′1T = k 2T .

n2

Introduisant le vecteur unitaire T tangent à la surface de séparation et situé dans le plan d’incidence, nous pouvons aussi écrire les conditions imposées aux vecteurs d’onde réfléchi k 1′ et transmis k 2 sous la forme : k 1T = k 1 sin i 1 T = k′1T = k 1′ sin i 1′ T = k′2T = k 2 sin i 2 T .

272

plan d’incidence k’1

k1

n2 > n1

i1

N

k’1 i’1 T

i2

k1T = k’1T = k2T k1 k2

Doc. 21. il y a continuité des composantes tangentielles k T des trois vecteurs d’onde k 1 , k 1′ et k 2 .

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC ) Dès lors, en utilisant les relations de dispersion dans les milieux

et

, soit :

k 1 = k 1′ = n 1 ---- et k 2 = n 2 ---- , c c nous pouvons énoncer la seconde loi de Descartes. Les angles de réflexion et d’incidence sont égaux : i 1¢ = i 1 . Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : n 1 sin i 2 = n 2 sin i 1 . Notons que le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale au dioptre. Remarques • La condition aux limites pour B n’a pas servi. Si on l’explicite, elle n’apporte rien de plus. • On pourrait utiliser seulement la condition aux limites pour B . On obtiendrait les mêmes résultats, et la condition aux limites sur E n’apporterait alors rien de plus.

4.2. Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale Déterminons les amplitudes des champs réfléchi et transmis en fonction de celle du champ incident dans le cas particulier de l’incidence normale : i 1 = 0 et donc selon les lois de Descartes i 1′ = i 2 = 0 . B1

E1

n1

Bʼ1

k1 z

y

B2

n2 x

kʼ1 Eʼ1

E2 k2

Doc. 22. Cas de l’incidence normale i 1 = i 1′ = i 2 = 0 (nous avons supposé les ondes polarisées rectilignement). © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

4.2.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude Reprenant le cas des deux diélectriques d’indices n 1 et n 2 séparés par le plan d’équation x = 0 (doc. 22), les champs électromagnétiques s’écrivent : • pour l’onde incidente dans le milieu : n E 1 = E 01 e j ( t – k 1 x ) et B 1 = ----1- e x ∧ E 01 e j ( t – k 1 x ) ( k 1 = n 1 ---- ) ; c c • pour l’onde réfléchie dans le milieu : n ′ e j ( t + k1 x ) ; E 1′ = E 01 ′ e j ( t + k 1 x ) et B 1′ = – ----1- e x ∧ E 01 c • pour l’onde transmise dans le milieu : n E 2 = E02 e j ( t – k 2 x ) e y et B 2 = ----2- e x ∧ E 02 e j ( t – k 2 x ) ( k 2 = n 2 ---- ). c c Par rapport à la surface de séparation x = 0 , les champs sont tangentiels ; la continuité de E et B en x = 0 conduit à : • E 01 + E′01 = E 02 ; • n 1 e x ∧ E 01 – n 1 e x ∧ E′01 = n 2 e x ∧ E 02 ; multiplions vectoriellement chaque membre par e x , et simplifions : n 1 E 01 – n 1 E′01 = n 2 E 02 . Nous en déduisons les coefficients de réflexion r 12 ( E ) et de transmission 12 ( E ) en amplitude, définis respectivement par : ′ = r 12 ( E ) E 01, • E 01

d’où

• E 02 =

d’où

12 ( E ) E 01,

n1 – n2 r 12 ( E ) = ---------------- ; n1 + n2 2n 1 . 12 ( E ) = ----------------n1 + n2

273

Ondes

Dans le cas de milieux transparents, les indices n 1 et n 2 sont réels et les coefficients r 12 ( E ) et 12 ( E ) le sont également ; nous constatons que : • 12 ( E ) est toujours positif : il n’y a pas changement de phase lors de la transmission ; • r 12 ( E ) peut être positif ou négatif : – si n 1

n 2 , la réflexion n’introduit pas de déphasage ;

– si n 1 n 2 , la réflexion introduit un changement de signe, c’est-à-dire un déphasage de (puisque e j = –1 ). Remarque Les résultats que nous avons trouvés sont formellement identiques aux coefficients de réflexion et de transmission en amplitude d’une onde sonore à la traversée d’une interface entre deux fluides : 1 c 1 – 2c 2 r 12 ( v ) = -------------------------1 c 1 + 2c 2

et

12 ( v )

2 1 c1 = -------------------------- pour la vitesse v . c 1 1 + 2c 2

En incidence normale, les coefficients de réflexion et transmission en amplitude valent : 2n 1 . n1 – n2 r 12 ( E ) = ----------------et 12 ( E ) = ----------------n1 + n2 n1 + n2 4.2.2. Coefficient de réflexion et de transmission en puissance E 1 ∧ B1 Le vecteur de Poynting de l’onde incidente est P 1 = -----------------en revenant à 0 des notations réelles. n1 2 - E 01 cos2 ( t – kx ) e x P 1 = -------0c n1 2 -E e = 〈 P 1〉 e x . moyenne dans le temps 〈 P 1〉 = ----------2 0 c 01 x Comme

n B 1 = ----1- e x ∧ E 1 , c

de

valeur

La puissance moyenne transportée par cette onde à travers une section S de l’interface est 〈 F 1〉 = 〈 P 1〉 S . Nous obtenons de même : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

n1 2 - E′ 〈 F 1′ 〉 = – 〈 P 1′ 〉 S avec 〈 P 1′ 〉 = ----------2 0 c 01 et 〈 F 2 〉 = 〈P 2 〉 S

n2 2 -E . avec 〈P 2 〉 = ----------2 0 c 02

En incidence normale, les coefficients de réflexion et de transmission en puissance valent : E′01 2 n1 – n2 2 〈 F 1′ 〉 2 R = ------------- = ⎛⎝ ---------⎞⎠ = r 12 ( E ) = ⎛⎝ -----------------⎞⎠ et E 01 n1 + n2 〈 F1〉 n2 〈 F2〉 T = ----------- = ----n1 〈 F1〉

2 12 ( E )

4n 1 n 2 = -----------------------. ( n1 + n2 ) 2

R et T vérifient R + T = 1 qui traduit la conservation du flux d’énergie lors de la traversée de l’interface.

274

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe (PC )

CQFR ●

POLARISATION D’UN MILIEU

Plongé dans un champ électrique, un milieu matériel se polarise : chaque volume mésoscopique d de matière acquiert un moment dipolaire électrique d p induit par le champ, caractérisé par un moment dipolaire volumique P appelé vecteur polarisation et défini par d p = P d . Lors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnétique dans un milieu matériel, on peut substituer à la polarisation P du milieu les répartitions suivantes « dans le vide » : • une densité volumique de charges de polarisation : pol

= P.N

( N étant orienté vers l’extérieur du milieu matériel) ; • une densité volumique de charge de polarisation

pol

= – div P ;

∂P • une densité volumique de courant de polarisation j pol = ------- en régime variable. ∂t ●

LES MILIEUX L.H.I.

Pour des champs électriques pas trop intenses, le lien entre P et E peut être modélisé par la relation linéaire entre grandeurs complexes : P =

0[ e] E

où [

e]

est la matrice susceptibilité diélectrique complexe du milieu linéaire. Lorsque ce milieu est de plus isotrope, cette relation s’écrit P =

0 eE

où

e

est un scalaire qui ne dépend pas de l’endroit si le milieu

est de plus homogène. • Le modèle de la charge élastiquement liée permet de rendre compte de la dépendance de la susceptibilité diélectrique c e , complexe, d’un milieu diélectrique vis-à-vis de la pulsation du régime sinusoïdal envisagé : ) =

1(

)–j

2(

).

• Un milieu présente des domaines de fréquences dans lesquels la susceptibilité est réelle (

2

≈ 0 ) et © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

e(

varie lentement en fonction de la fréquence. Ces domaines sont séparés par des zones d’absorption dans lesquelles la susceptibilité, complexe, varie rapidement en fonction de la fréquence. ●

PROPAGATION DANS UN MILIEU DIÉLECTRIQUE

• Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.) le champ d’une onde électromagnétique monochromatique satisfait, en notation complexe, à l’équation de d’Alembert : ∂ 2E = 0 Δ E – ----2-r ---------c ∂t 2

et

∂ 2B - = 0. Δ B – ----2-r ---------c ∂t 2

L’indice optique n du milieu (l.h.i.) est la racine à partie réelle positive de n 2 = complexe, et dépend de la pulsation de l’onde monochromatique.

r

; n est a priori

275

Ondes

CQFR ●

DISPERSION ET ABSORPTION

• Zone de transparence Dans un domaine de fréquence où l’indice optique du milieu est réel, une onde électromagnétique se propage sans atténuation : le milieu est transparent à cette onde. La dispersion est alors relativement faible. Dans une zone de transparence, la vitesse de groupe d’un paquet d’onde correspond à la vitesse de propagation de l’énergie associée à ce paquet d’onde, inférieure à c. • Zone d’absorption Dans un domaine de fréquence où la permittivité relative d’un milieu r est complexe (l’indice n l’est aussi), le milieu absorbe les ondes électromagnétiques qui le traversent. Dans une zone d’absorption, une onde est atténuée et la dispersion très importante. La vitesse de groupe n’a plus de signification physique réelle. ●

LES LOIS DE DESCARTES

Le vecteur d’onde réfléchi et le vecteur d’onde réfracté sont dans le plan incident défini par le vecteur d’onde incident et la normale au dioptre (doc. ci-contre). • Les angles de réflexion et d’incidence sont égaux : i 1′ = i 1 . • Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : n 2 sin i 2 = n 1 sin i 1 . ●

n1

k1 i 1

N

k’1 i’1 dioptre

n2

i2 k2

n1 < n2

LES COEFFICIENTS DE RÉFLEXION ET DE TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE

• En amplitude : n1 – n2 r 12 ( E ) = ---------------- et n1 + n2

12 ( E )

2n 1 = ---------------- ; n1 + n2

• en puissance : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

n 1 – n 2⎞ 2 n 2 - et T = ----2R = r 12 ( E ) = ⎛ ---------------⎝ n 1 + n 2⎠ n1

2 12 ( E )

4n 1 n 2 = --------------------. ( n1 + n2 )

R et T vérifient R + T = 1 qui traduit la conservation du flux d’énergie lors de la traversée de l’interface.

276

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe (PC )

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Citer quelques phénomènes de la polarisation de la matière. ✔ Définir le vecteur polarisation P . ✔ Exprimer les densités volumiques de charges et de courant équivalentes dans le vide (en fonction de P ) pour calculer E et B . ✔ Qu’est-ce qu’un milieu l.h.i. ? ✔ Qu’est-ce que la susceptibilité diélectrique c e ? ✔ Quelle est la relation entre r et c e ? Entre n et r ? ✔ Qu’est-ce qu’une zone de transparence ? ✔ Donner les deux lois de Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction. ✔ Donner les expressions des coefficients de réflexion et de transmission, en amplitude puis en puissance, pour une onde arrivant à incidence normale sur un dioptre.

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. La densité volumique de charge de polarisation équivalente dans le vide est : = P .n

❑ b.

pol

= divP

❑ c.

pol

= – divP .

b. Il n’y a pas d’absorption dans une zone de transparence. ❑ Vrai. ❑ Faux.

2. Il n’y a jamais de charges de polarisation surfaciques ❑ a. Vrai.

❑ b. Faux.

3. La densité volumique de courant de polarisation est : ∂P ❑ a. j pol = ------- . ∂x ∂P ❑ b. j pol = ------- . ∂t ∂ 2P . ❑ c. j pol = --------∂t 2

c. Il y a peu de dispersion dans une zone de transparence. ❑ Vrai. ❑ Faux.


pol

❑ a.

4. a. Il n’y a pas de dispersion dans une zone de transparence. ❑ Vrai. ❑ Faux.

d. Il y a peu d’absorption dans une zone de la transparence. ❑ Vrai. ❑ Faux. e. Dans une zone de transparence v g ❑ Vrai.

c.

❑ Faux.

f. Il y a dispersion dans une zone d’absorption. ❑ Vrai. ❑ Faux. g. Il n’y a pas de transparence dans une zone d’absorption. ❑ Vrai. ❑ Faux. Solution, page 280.

277

Exercices Propagation d’un paquet d’ondes dans le verre

2) Le milieu homogène et isotrope renferme N atomes du type précédent par unité de volume ; le vecteur polarisation

Un verre d’utilisation courante a pour indices :

électrique P est égal à la densité volumique de moment

• n 1 = 1,522 pour la longueur d’onde bleue l 1 = 486 nm ;

dipolaire, soit ici P = – N q r .

• n 2 = 1,514 pour la longueur d’onde rouge l 2 = 656 nm.

Montrer que le vecteur déplacement électrique D (en nota-

Dans ce domaine, le verre est totalement transparent aux ondes lumineuses. dn 1) Évaluer l’ordre de grandeur de la dérivée ------- . dl 2) À partir de la relation de dispersion entre le nombre , k = n ---- , trouver une relation c entre la vitesse de groupe v g , la vitesse de phase v , n et , puis entre v g , v , n et l . d’onde k et la pulsation

3) Calculer l’ordre de grandeur de la distance d que doit parcourir un paquet d’ondes de longueur d’onde moyenne l 0 (comprise entre l 1 et l 2 ) pour que la phase de l’onde varie de au maximum du paquet (on pourra désigner par n 0 l’indice du verre pour la longueur d’onde l 0 ).

* Propagation dans un milieu isotrope soumis à un champ magnétique statique : effet Faraday On considère un modèle simplifié d’atome dans lequel le nuage électronique est représenté globalement par son centre d’inertie G – , de masse m de charge – q . Le centre d’inertie du noyau G + est fixe dans le référentiel ( O ; e x , e y , e z ) supposé galiléen. On pose r = G + G – .


0E

+ P peut se mettre

sous la forme : D =

⎛ ⎜ 0 r E avec ( ) = ⎜ – j b 0 ⎜ ⎝ 0

j

0b 0 r

0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, ⎟ 0 r⎠

où 0 est la permittivité du vide. Pour résoudre cette question, on admettra que : ( q B0 ) 2

s–m

2

+ jh

2.

Exprimer r et b . On admettra dans la suite du problème que la force d’amortissement est faible devant les autres (on néglige donc tout phénomène d’absorption) et on montrera que, dans ces conditions, r et b peuvent être assimilés à des nombres réels dont on précisera les expressions. 3) Dans le milieu précédent, de perméabilité magnétique 0 , se propage une onde électromagnétique dont le champ électrique s’écrit : E = ( E x e x + E y e y )e j

t

= ( E 0 x e x + E 0 y e y )e j (

t – kz )

,

où E 0 x et E 0 y sont des constantes éventuellement complexes et k désigne une constante réelle positive.

Le mouvement de G – sera étudié en admettant d’une part

a) À quelle condition peut-on utiliser la relation

l’existence d’une force de rappel d’origine électrique

matricielle liant D et E de la question 2). b) Montrer que, nécessairement, E 0 x et E 0 y vérifient :

entre G + et G – , du type F 1 = – s r et d’autre part d’une dr force de type frottement visqueux F 2 = – h -------- , où s et dt h sont des constantes positives (modèle de la charge élastiquement liée). On soumet par ailleurs le système à l’action d’un champ électrique sinusoïdal de représentation complexe : E = ( E x e x + E y e y + E z e z )e j

t

et à celle d’un champ magnétique statique B 0 = B 0 e z avec B 0 0 .

278

tion complexe) défini par D =

• soit E 0 x = j E 0 y avec k = k g ; • soit E 0 x = – j E 0 y avec k = k d . Calculer k d et k g . Quelle figure est décrite dans un plan d’onde par l’extrémité du vecteur réel E dans chacun des deux cas ? c) Que se passe-t-il si un tel milieu est soumis à un champ magnétique de même valeur mais de signe opposé ? 4) On applique à l’entrée d’un tel milieu (en z = 0 ) un champ électrique présentant une polarisation rectiligne

1) Établir la relation matricielle liant r et E du type

E = E 0 cos t e x (en notation réelle). Déterminer le champ

r = ( M )E en régime sinusoïdal forcé (et en notation complexe).

obtenu après un parcours de longueur d dans le milieu. Comment évolue l’état de polarisation sur la distance d ?


Incidence de Brewster

Réflexion totale

Une onde électromagnétique, plane, monochromatique se propage dans un milieu diélectrique transparent d’indice n 1 et arrive avec une incidence i 1 sur un milieu diélectrique transparent d’indice n 2 . L’onde est polarisée rectilignement, le champ électrique étant : • soit dans le plan incident (cas a) ; • soit perpendiculairement au plan incident (cas b). Montrer qu’il existe pour l’une des polarisations (a) ou (b) une valeur particulière i 1B de l’angle i 1 pour laquelle l’onde incidente est totalement transmise.

Un milieu transparent d’indice n (n réel 1) occupe le demi-espace x 0 tandis que l’air (d’indice 1) occupe le demi-espace x 0 , comme l’indique le schéma ci-après.

Er

ki

Ei

θ

n

z

1

Calculer i 1B en fonction de n 1 et n 2 .

4

1

3 yO

Une onde incidente plane, monochromatique, de pulsation , de vecteur d’onde k i , se propage dans le milieu d’indice n. Sa polarisation est rectiligne, perpendiculaire au plan d’incidence : E i = E i ez = E 0 ej ( (on pourra supposer E 0 réel). L’angle d’incidence

5 z

a

Une O.P.P.M. (1) de pulsation

, à polarisation rectiligne

( E 0 réel), de champ noté E 1 = E 0 e j (

t – kz ) e

x

(avec,

dans l’air d’indice 1, k = ---- ) arrive sur la couche transc parente sous incidence normale. Cette onde donne naissance, par réflexion et transmission, aux O.P.P.M. notées (2), (3), (4) et (5) de même pulsation . 1) Donner l’expression générale des champs électromagnétiques de ces ondes (en notation complexe). 2) Écrire, pour ces champs, les conditions aux limites en z = 0 et z = a . En déduire l’amplitude E 0 2 du champ électrique réfléchi par la couche en fonction de n, N , a, k et E 0 . 3) À quelles conditions doivent satisfaire N et n d’une part, a d’autre part, pour qu’il n’y ait pas d’onde réfléchie dans l’air ( E 02 = 0 ) ? On exprimera a en fonction de la longueur d’onde l (dans le vide) et N .

t – ki . r )

ez

1 --- . n = sin

est tel que sin

Données : k = n ---- , = cos , c 1 1. 2 – ---et = sin2 – ----2- = n n2 Cette onde incidente donne naissance à une onde réfléchie plane et à une onde transmise, monochromatique, de pulsation , et de polarisation analogue à celle de l’onde incidente : E r = E r e z = E 0r e j ( et

E t = E t e z = E 0t e j (

t – kr . r ) t – kt . r )

ez

ez .

1) Déterminer les vecteurs d’onde k i, k r et k t des ondes incidente, réfléchie et transmise en fonction des données. 2) Déterminer complètement les ondes réfléchie et transmise. 3) Comparer le module de E 0r et E 0 . Conclure quand au transfert d’énergie. 4) Caractériser au mieux l’onde transmise pour : n = 1,5 ; = 60 ° ; l = 589 nm. Cette onde transporte-t-elle de l’énergie ?

279


couche antireflet d’indice N verre d’indice n

2

kt

x

Un verre d’indice n (réel) est recouvert d’une mince couche transparente d’épaisseur a et d’indice N (réel) comme l’indique le schéma ci-dessous.

air d’indice 1

y Et

Couche antireflet

x

kr

Corrigés On en déduit : q (s – m 2 + j h) x = – --------------------------------------------------------------------2 Ex ( s – m 2 + j h ) 2 – q 2 2 B0

Solution du tac au tac, page 277. 1. Vrai : c Faux : a, b 2. Faux 3. Vrai : b Faux : a, c 5. Vrai : b, c, d, e, f Faux : a, g

j q 2 B0 -2 E y + ------------------------------------------------------------------( s – m 2 + j h ) 2 – q 2 2 B0

dn n 2 – n 1 dn - = – 4,7 . 10 4 m –1 . 1) ------ est de l’ordre ------ ≈ -------------d l l2 – l1 dl v 2) Larelationdemandéeestétabliedanslecours(§ 3.3.1) : v g = --------------------- . dn 1 + ---- ------nd dl 2 c d Sachant que = --------- entraîne ------- = – ------ , la relation précédente l l v s’écrit également v g = ------------------ . l dn 1 – -- -----n dl 3) Le paquet d’ondes met un temps t d pour parcourir la distance d telle que :

l0 d = v g t d = v t d – -------, 2n 0

j q 2 B0 -2 E x y = – ------------------------------------------------------------------( s – m 2 + j h ) 2 – q 2 2 B0 q (s – m 2 + j h) – --------------------------------------------------------------------2 E y ( s – m 2 + j h ) 2 – q 2 2 B0 q - Ez . z = – -----------------------------------s–m 2+j h On vérifie ainsi que r et E sont effectivement liés par une relation matricielle du type : r = ( M ) E .

2) En supposant ( q B 0 ) 2 s – m 2 + j h 2 , on peut simplifier les expressions précédentes : j q 2 B0 q - E x + ------------------------------------------- Ey x = – -----------------------------------2 +j h s–m ( s – m 2 + j h )2 j q 2 B0 q - E x – ------------------------------------ Ey y = – ------------------------------------------s–m 2+j h ( s – m 2 + j h )2

car un déphasage de

correspond à une demi-période spatiale de la phase l (la phase possède une période spatiale égale à ----0- dans un milieu d’indice n0 n 0 ; la présence du signe « – » se justifie par le fait v g

v ).

l0 ------2n 0 En éliminant t d , on déduit d = – -------------- et en utilisant les résultats de v 1 – ----vg la question 2) : 1 . d = – -------------dn 2 ⎛ ------⎞ ⎝ d l⎠ On trouve une distance très petite de l’ordre de d = 10 µm .


dr d2 r dr m -------2- = – q ⎛ E + ------ ∧ B 0⎞ – s r – h ------ . ⎝ ⎠ dt dt dt En régime sinusoïdal forcé et en notation complexe, on cherche une solution de la forme r = r 0 e j t , d’où : 2r

= – q ( E + j r ∧ B0 ) – s r – j h r ,

et en introduisant les composantes complexes ( x , y , z ) de r : (s – m – j

2

+jh )x+j

q B0 x + ( s – m

+ j h ) y = – qEy

(s – m

2

+ j h )z = – qEz .

280

D =

0E

+P =

0 (E

–Nq r)

peut effectivement se mettre sous la forme : ⎛ j 0b ⎜ 0 r D = ( )E = ⎜–j 0b 0 r ⎜ ⎝ 0 0 r

0 0 0

r

⎞ ⎟ ⎟E ⎟ ⎠

N q 3 B0 --------------------------------------------------. = 1 + -----------------------------------------------= et b 2+j 2+j h) h )2 0 (s – m 0 (s – m N q2

Lorsque le terme d’amortissement est négligeable ( h ≈ 0 ) , on constate que r et b sont réels : N q2 r = r = 1 + ------------------------------2) 0 (s – m et N q 3 B0 -. b = b = --------------------------------2 )2 0 (s – m

3) a) Pour pouvoir utiliser la relation liant D et E obtenue précédemment, il faut négliger l’influence de la force magnétique due au champ B de l’onde sur le nuage électronique des atomes, c’est-à-dire supposer : dr ------- ∧ B . dt Cette approximation est tout à fait justifiée : E

q B 0 y = – qEx

2

Le vecteur déplacement électrique (en notation complexe) :

avec

1) On applique le théorème du centre d’inertie au nuage électronique :

–m

q - Ez . z = – -----------------------------------s–m 2+j h

E d r du nuage B étant de l’ordre de grandeur de --- et la vitesse -----c dt électronique très faible devant c .

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

b) Des équations de Maxwell, on déduit l’équation de propagation en calculant ∂B rot ( rot E ) = grad ( div E ) – ΔE = – rot ⎛ – -------⎞ = – ⎝ ∂t ⎠ j pol +

⎛∂ P 0 ⎝ ------- + ∂t

∂2D = ∂t

0 --------2

ΔE =

0(

∂E⎞ 0 -------⎠ = ∂t

E ( d, t ) = E g ( d, t ) + E d ( d, t ) E E0 - cos ( t – k g d ) + -----0 cos ( t – k d d ) E ( d, t ) ---2 2 E E0 – -----0 sin ( t – k d d ) ----- sin ( t – k g d ) 2 2

∂D . 0 -------∂t soit :

∂2E ) --------2∂t

(puisque div D = 0 conduit ici, avec le champ proposé transverse, à

g + kd ⎞ ⎛ k g – k-d⎞ d cos ⎛ t – k---------------d E ( d, t ) E x = E 0 cos ⎝ -------------⎝ ⎠ 2 2 ⎠

k g – k d⎞ kg + kd ⎞ - d cos ⎛ t – ---------------d. E y = E 0 sin ⎛ -------------⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 2

div E = 0 ). j( En introduisant le champ E = ( E 0x e x + E 0y e y ) e l’équation de propagation, on obtient :

⎛ k2 – ⎝

t – kz )

dans

2

⎞ E – j b ------2 E = 0 0x 0y c2

Ez = 0 On constate que le champ électrique présente une polarisation rectiligne dont la direction dans le plan d’onde fait avec l’axe ( Ox ) un angle défini par :

r ----2⎠ c

2

j b -----2- E 0x + ⎛ k 2 – ⎝ c

tan

2

⎞E = 0 0y

r ----2⎠ c

y

Le système admet deux solutions E 0x et E 0y non nulle si, et seulement si, son déterminant est nul, d’où : 2

k g – k d⎞ E - d. = -----y = – tan ⎛ -------------⎝ 2 ⎠ Ex

E

2

= ± -----2- . c c Le choix du signe « + » impose E 0x = jE 0y , soit : k2 –

r ----2

b . k = k g = ---- r + b avec r c Le choix du signe « − » impose E 0x = – j E 0y , soit : k = k d = ---- r – b . c En revenant à une notation réelle (et en supposant E 0x = E 0x réel), le champ électrique s’écrit : • dans le cas du signe « + » : E E x = E 0x cos ( t – k g z ) E y = E 0x sin ( t – k g z )

.

Le document ci-dessous représente les directions des champs E et

a)

n1

Le champ présente une polarisation circulaire droite.

4) On peut décomposer le champ électrique en la somme de deux champs électriques à polarisations circulaires de sens opposées ( E z = 0 ) :

b)

E1 B1

c) Si le sens de B 0 est inversé, le signe de b change.

n2

k1

n1 E1

i1

B1

i2

B2

E2

k1

n2

k2

E ( 0, t ) = E g ( 0, t ) + E d ( 0, t ). E0 E ( 0, t ) = E 0 cos t e x = ----- cos t + 2 E0 ----- sin t 2

En se propageant, le champ électrique conserve une polarisation rectiligne, sa direction tournant autour de l’axe ( Oz ) , l’angle de rotation étant proportionnel à la distance d parcourue par l’onde.

où E 1 est perpendiculaire au plan incident (doc. 1b).

Le champ présente une polarisation circulaire gauche ; • dans le cas du signe « − » :

E y = – E 0x sin ( t – k d z )

x

B des ondes incidente et transmise dans le cas où le champ électrique E 1 de l’onde incidente se trouve dans le plan incident (doc. 1a) et dans le cas

.

E E x = E 0x cos ( t – k d z )

z

E0 ----- cos t 2 E – -----0 sin t 2


∂E 0 0 0 ------- = ∂t D’où, en notation complexe : rot B =

∂2D ∂t

car 0 ---------, 2

Après une distance d, le champ devient :

i1

B2

i2

E2 k2

Doc. 1. Incidence de Brewster. a. E 1 est dans le plan incident : possible. b. E 1 est perpendiculaire au plan incident : impossible.

281

Corrigés La condition aux limites sur le plan de séparation pour le champ B , soit B1 = B2 (

1

=

2

=

3 ) , nous indique clairement que cette relation

n’est possible que si le champ B 1 de l’onde incidente est perpendiculaire au plan incident (cas a)). Dans ce cas a), la condition aux limites pour les composantes tangentielles et normales du champ E donne : • pour la composante tangentielle : • pour la composante normale : 2

2

n 1 E 1 sin i 1 = n 2 E 2 sin i 2 . 2

Nous en déduisons n 1 tan i 1 = n 2 tan i 2 , d’où compte tenu de la loi de Descartes ( n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 ) : n 1 cos i 2 = n 2 cos i 1 . En multipliant les deux dernières équations membre à membre, nous obtenons : sin 2 i 1 = sin 2 i 2 , d’où i 2 = ---- – i 1 2 ( i 1 et i 2 sont compris entre 0 et ---- et i 1 est évidemment différent de i 2 ). 2 Nous en déduisons finalement : n tan i 1 = tan i 1B = ----2 ; n1 i 1B est l’angle de Brewster. Par suite, une onde lumineuse (non polarisée), arrivant sous l’incidence de Brewster, donne naissance à une onde réfléchie polarisée rectilignement, le champ électrique réfléchi étant perpendiculaire au plan incident. Sous une incidence différente, l’onde réfléchie est partiellement polarisée (puisque r 12 // et r 12 ⊥ sont différents). Cette propriété est bien connue des photographes qui utilisent des filtres polarisants (cf. H-Prépa, Optique ondulatoire, 2nde année) pour réduire la lumière réfléchie (donc parasite) (doc. 2). Certaines lunettes solaires utilisent également des verres polarisants pour la même raison.


E1 = E0 e j (

t – kz ) e

et

x

E B 1 = -----0 e j ( c

t – kz ) e

(la polarisation étant rectiligne, on suppose E 0 réel) ; onde réfléchie (2) : E0 2 j ( e E 2 = E 0 2 e j ( t – kz ) e x et B 2 = – ------c

y

y

.

t – Nkz ) e

y

;

t + Nkz ) e

y

t + kz ) e

• Dans la couche : onde à « z croissants » (3) :

E 1 cos i 1 = E 2 cos i 2 ; 2

1) • Dans l’air : onde incidente (1) :

E 3 = E 03 e j (

t – Nkz ) e

x

et

E 03 j ( -e B 3 = N -----c

et

E 04 j ( -e B 4 = – N -----c

onde à « z croissants » (4) : E 4 = E 04 e j (

t + Nkz ) e

x

• Dans le verre : onde transmise (5) : E 5 = E 05 e j (

t – nkz ) e

x

et

E 05 j ( -e B 5 = n -----c

t – nkz ) e

y

.

.

Remarques : • Il n’y a pas d’onde réfléchie dans le verre qui est supposé d’extension infinie vers les z croissants. •Tous ces champs,de divergence nulle dans les milieux traversés,sont transverses. • On a vu (§ 2.1) que la réflexion et la réfraction conservent a priori l’état de polarisation des ondes : on a donc supposé que toutes les ondes avaient la même polarisation rectiligne.

2) Il y a continuité des composantes tangentielles des champs E et B aux diverses interfaces (milieux isolants non chargés). Sous incidence nulle, les champs sont tous tangents. On en déduit : • en z = 0 : E 0 + E 02 = E 03 + E 04 ; E 0 – E 02 = NE 03 – NE 04 ; • en z = a : E 03 e – jNka + E 04 e jNka = E 05 e – jnka ; NE 03 e – jNka – NE 04 e jNka = nE 05 e – jnka . On en déduit (après quelques calculs) : ( N – n ) ( 1 + N )e – 2jNka + ( N + n ) ( 1 – N ) - E0 . E 02 = ------------------------------------------------------------------------------------------( N – n ) ( 1 – N )e – 2jNka + ( N + n ) ( 1 + N )

3) E 02 = 0 si le numérateur de l’expression ci-dessus est nul (sans que le dénominateur le soit). La partie imaginaire est nulle si sin ( 2Nka ) = 0 ; il vient alors : • soit cos ( 2Nka ) = 1 et la partie réelle ne peut s’annuler (si l’on suppose bien sûr N différent de 1 et n) ; filtre polarisant

reflet parasite

Doc. 2. Photographie d’un poisson dans un aquarium : à l’incidence de Brewster, l’utilisation d’un filtre polarisant permet d’éliminer le reflet parasite.

282

• soit sin ( 2Nka ) = – 1 et la partie réelle s’annule si N =

n.

La couche antireflet remplit donc son office si 2Nka = ( 2p + 1 )

(avec

l p entier), soit a = ( 2p + 1 ) ------ . Son fonctionnement n’est a priori 4N assuré que pour une longueur d’onde donnée. Pour éviter sa remise en cause trop rapide lorsque l varie, il faut choisir une épaisseur faible : l’épaisseur l optique du milieu est souvent prise égale à Na = -- . 4 Les traitements antireflet font appel à l’utilisation de couches minces. En pratique, on utilise des dépôts multiples de diélectriques pour rendre le traitement presque achromatique.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

1) Les conditions aux limites sont vérifiées, à t donné, en tout point du plan de séparation des deux milieux, de sorte que les vecteurs d’onde ont la même projection sur ce plan : k iT = k rT = k tT = k sin e y + 0e z avec k = n ---- . c Leur troisième composante cartésienne (composante normale à l’interface k N = k x ici) est déterminée par la relation de dispersion relative à chaque milieu : 2 2 n2 2 k rN + ⎛ n ---- sin ⎞ = ---------⎝ c ⎠ c2

2

2 2 k tN + ⎛ n ---- sin ⎞ = -----2- . ⎝ c ⎠ c

et

Pour l’onde réfléchie, k rN 0 . Pour l’onde transmise dans l’air s’étendant dans toute la zone x 0 , on gardera la solution donnant une amplitude de l’onde non divergente. Finalement, les vecteurs d’onde sont : k i = n ---- ( cos e x + sin e y ) = k ( e x + e y ) c k r = n ---- ( – cos e x + sin e y ) = k ( – e x + e y ) c k t = ---- ( – j n 2 sin2 – 1 e x + n sin e y ) = k ( – je x + e y ) c

2) Utilisant la relation de structure des O.P.P.M., on peut calculer les champs magnétiques des trois ondes. Les champs électromagnétiques sont de la forme : Ei = E0 e j t e – j k et

x – jk y e

nE B i = --------0 e j t e – j k c

x–jk y(

E r = E 0r e j t e +jkax – jk et

et

z

y

ez

nE 0r j t +jkax – jk -e e B r = --------c

y(

E t = E 0t e j t e – k

ez

nE 0t j t – k -e e B t = --------c

x – jk y

ex – ey )

x – jk y (

ex + ey )

ex + j ey ) .

Les conditions aux limites en x = 0 conduisent à : • la continuité de la composante tangentielle de E (ou de la composante normale de B ) : E 0 + E 0r = E 0t ; • la

continuité

de

la

( – E 0 + E 0r ) = j E 0t . On en déduit : +j E 0r = --------------- E 0 –j

composante

et

tangentielle

de

B:

2 E 0t = -------------- E 0 , –j

ce qui achève la détermination des ondes réfléchie et transmise.

3) On constate que E 0r peut s’écrire e jφ E 0 , et donc E 0r = E 0 . Ces égalités montrent qu’il y a réflexion totale (toute l’énergie de l’onde incidente se retrouve dans l’onde réfléchie), la réflexion introduisant un déphasage de l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente. Le déphasage vaut en incidence rasante. 1. -n Le champ électromagnétique de l’onde transmise est :

4) Le cas proposé correspond bien à sin

2 E t = --------------E 0 e – k x e j ( t – k y ) e z ; –j 2 nE B t = -------------- --------0 e – k x e j ( t – k y ) ( e x + j e y ). –j c Cette onde se propage le long de la surface de séparation avec la vitesse de c phase v = ------ = ------------ , inférieure à c. n sin k Dans la direction ( Ox ) , perpendiculaire à sa direction de propagation, son amplitude évolue exponentiellement : cette onde, qui n’est pas plane, est appelée onde évanescente. Elle pénètre très peu dans l’air puisque le facteur e – k x permet de définir une profondeur caractéristique de pénétration :

l 1 1 c ------ = ---------------------------------- = ------- ----------------------------- ≈ 113 nm . 2 k 2 2 2 n sin2 – 1 n sin – 1 Cette épaisseur est donc généralement très faible. À la limite de la réflexion 1 totale, lorsque sin tend vers -- , cette épaisseur diverge. n La moyenne temporelle du vecteur de Poynting de cette onde est : 2 ⎛ E t ∧ B t∗ ⎞ 2 1 n -⎟ = 2 --------- ----------------E e –2k x e y . 〈 P t 〉 = -- e ⎜ ---------------2+ 2 0 c c 2 ⎝ 0 ⎠ 0

L’onde transporte de l’énergie guidée le long de l’interface.

283


Un objectif photographique ou des lunettes traitées antireflet sont reconnaissables au fait qu’ils présentent un reflet pourpre (bleu violacé) en lumière blanche. En effet, le traitement antireflet est calculé pour une longueur d’onde jaune (pour laquelle l’œil est plus sensible) ; il est donc moins efficace pour les longueurs d’onde situées aux extrémités du spectre visible (bleu et rouge).

Annexe Formulaire On désigne par U et V des champs scalaires : U = U ( M, t )

et

• Divergence

V = V ( M, t ) .

A A A div A = ---------x + ---------y + ---------z . x y z

On désigne par A et B des champs de vecteurs : A = A ( M, t )

et

• Rotationnel

B = B ( M , t ).

A A A A rot A = ⎛ ---------z – ---------y⎞ e x + ⎛ ---------x – ---------z⎞ e y ⎝ y ⎝ z z⎠ x⎠ A A + ⎛ ---------y – ---------x⎞ e z . ⎝ x y⎠

Quelques relations utiles grad ( UV ) = U grad V + V grad U .

• Laplacien d’un champ scalaire

rot ( U A ) = U rot A + grad U ∧ A .

2U 2U 2U ΔU = ---------2- + ---------2- + ---------2- . z x y

div ( U A ) = U div A + grad U . A .

• Laplacien d’un champ de vecteurs

div ( A ∧ B ) = B . rot A – A . rot B .

2A 2A 2A x x x Δ A x = ----------+ ----------+ ----------x2 y2 z2

rot ( grad U ) = 0 . div ( rot A ) = 0 .

ΔA =

ΔU = div ( gradU )

2A 2A 2A Δ A z = ----------2-z + ----------z + ----------z 2 x y z2

Δ A = grad ( div A ) – rot ( rot A ) ou

rot ( rot A ) = –Δ A + grad ( div A ) .

Utilisation des coordonnées cylindriques

Utilisation des coordonnées cartésiennes OM = xe x + ye y + ze z .

OM = re r + ze z .

© Hachette Livre – H Prépa / Physique – La photocopie non autorisée est un délit

A ( M , t ) = A x ( x, y, z, t ) e x ex

+ A z ( x, y, z, t ) e z .

O

ez

A ( M , t ) = A r ( r , , z, t ) e r

M

+ A ( r , , z, t ) e

M

ez

+ A y ( x, y, z, t ) e y

z

U ( M , t ) = U ( r , , z, t ) .

z

U ( M , t ) = U ( x, y, z, t ) .

ey

• Gradient U U U gradU = ------- e x + ------- e y + ------- e z . y z x

y

eθ er

O

+ A z ( r , , z, t ) e z .

x

284

2A 2A 2A y y y. Δ A y = ----------+ ----------+ ----------x2 y2 z2

θ

r

x

• Gradient U 1 U U grad U = ------- e r + --- ------- e q + ------- e z . r r q z

eθ er

y

Annexe • Divergence

• Gradient U 1 U 1 U grad U = ------- e r + --- ------- e + --------------- ------- e . r r r sin

A 1 ( r Ar ) 1 Aq div A = --- ---------------+ --- --------- + ---------z . r r r q z • Rotationnel

• Divergence

A A A 1 A rot A = --- ---------z – --------q- e r + ---------r – ---------z e q r q z z r ( rA 1 q ) 1 Ar + --- ---------------- – --- --------- e z . r q r r

( sin A ) 1 ( r 2 Ar ) 1 - + -------------- --------------------------div A = ----2 -----------------r r sin r


• Quelques résultats utiles en coordonnées cylindriques dU grad ( U ( r ) ) = ------- e r . dr e e div ⎛ ----r⎞ = 0 ; rot ⎛ ----r⎞ = 0 . ⎝ r⎠ ⎝ e⎠

• Quelques résultats utiles en coordonnées sphériques dU grad ( U ( r ) ) = ------- e r . dr

Utilisation des coordonnées sphériques

e e div ⎛ ----2r⎞ = 0 ; rot ⎛ ----2r⎞ = 0 . ⎝r ⎠ ⎝r ⎠

z er

θ M

ϕ

+ A ( r, , , t ) e . x

r

eθ

e rot ⎛ ---------------⎞ = 0 . ⎝ r sin ⎠

eϕ y eϕ

1 d 2 ( rU ) 1 d dU Δ ( U ( r ) ) = --- ----------------= ----2 ----- ⎛ r 2 -------⎞ ⎝ r dr 2 dr dr ⎠ r 2 dU d 2 U = --- ------- + ---------2- . r dr dr © Hachette Livre – H Prépa / Physique – La photocopie non autorisée est un délit

U ( M , t ) = U ( r, , , t ) .

+ A ( r, , , t ) e


2U 1 --------- . + ------------------2 r 2 sin 2

1 d dU Δ ( U ( r ) ) = --- ----- ⎛ r -------⎞ . r dr ⎝ dr ⎠

O

A ( rA ) A 1 1 1 ( rA ) + --- ---------- ---------r – ----------------- e + --- ---------------- – ---------r e . r sin r r r

U 1 2 1 - ------ ⎛ sin . -------⎞ ΔU = --- -------2- ( rU ) + ---------------⎝ ⎠ r r r 2 sin

e e rot ⎛ ----⎞ = 0 ; div ⎛ ----q-⎞ = 0 . ⎝ r⎠ ⎝ r⎠

A ( M , t ) = A r ( r, , , t ) e r

• Rotationnel A ( sin A ) 1 rot A = -------------- --------------------------- – --------- e r r sin

2U 1 U 1 2U ΔU = --- ----- ⎛ r -------⎞ + ----2 ---------2- + ---------2- . ⎝ ⎠ r r r r z

OM = re r .

A 1 + --------------- ---------- . r sin

285

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