Ejercicios con conjuntos Notación algebraica Diagrama de venn
Índice Introducción ....................................................................................................................................... 3 3.1. ¿Cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos? .................................................. 4 3.3. Escriba el conjunto en la forma {x| P(x)}, donde P(x) es una o varias propiedades comunes de los elementos. ............................................................................................................ 7 3.5. ¿Cuantos elementos pertenecen al conjunto potencia P(A)? y ¿Cuáles son sus elementos? Si A= {manzana, pera, fresa, sandia} ................................................................... 10 3.7. Sean A, B, C, D, E, F conjuntos no vacíos para cada inciso, hacer un diagrama de Venn que cumpla con las condiciones que se plantean: ......................................................... 11 3.9. Considérese el siguiente diagrama de Venn. .................................................................... 13 3.10. Considérese el siguiente diagrama de Venn. .................................................................. 15 3.11. Resolver los siguientes conjuntos...................................................................................... 16 3.13. Sean los conjuntos: .............................................................................................................. 25 3.17. Resolver los problemas de los siguiente incisos usando conjuntos finitos: ................ 33 3.18. Resolver los problemas de los siguientes incisos usando conjuntos finitos: .............. 35
Introducción El concepto de conjunto es una reunión de conocimientos que lejos de la lógica y resolución de problemas matemáticas, su implementación en el área de informática es mucho más grande. Se aborda este tema gracias a Georg Cantor quién desarrollo la teoría de conjuntos y a John Venn quien elaboró los tan conocidos diagramas de Venn. El uso de bases de datos resulta esencial para poder llevar un control en la organización y automatización de procesos como lo puede ser el pago de salarios o cuotas al estado o sus empleados. La interconectividad en las empresas mediante redes es esencial para el ahorro de tiempo en las actividades, así mismo el uso del internet como medio de comunicación es estos tiempos indispensables, pues el conjunto de ambos en la empresa y su correcta implementación proporciona ganancias sustanciales sin considerar el avance que representa en su organización el hecho de contar con estas tecnologías. El presente documento nos introduce de manera eficiente y paso a paso para la resolución de diversos problemas de conjuntos finitos e infinitos, donde se plantean como simples problemas pero que en la vida real pueden significar más que solo letras. Se recomienda que si muestra complejidad al momento de desarrollar o comprender los problemas aquí tratados no dude en consultarnos y por los medios necesarios atenderemos sus inquietudes. Los autores le deseamos que encuentre este documento placentero y de utilidad para usted.
3.1. ¿Cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos? a) A= {x| x es una letra de la palabra hola} = {a, l, o, h}
b) B= {x| x es un digito del numero 103836} = {1, 0, 3, 8, 3, 6,}
c) C= {x| x ∈ Z+; x – 4 ≤ 3 = {7}
d) D= {x| es un digito valido en el sistema hexadecimal} = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
e) E= {x| x ∈ Z; x es divisible entre 3; -4 < x <17} = {-3, 3, 6, 9, 12, 15}
3.3. Escriba el conjunto en la forma {x| P(x)}, donde P(x) es una o varias propiedades comunes de los elementos. a) A= {suma, resta, multiplicación, división} = {x| x es el nombre de una operación aritmética básica}
b) B= {3, 6, 9, 12, 15, 18} = {x| x ∈ Z+; x es divisible entre 3; 3 ≤ x ≤ 18}
c) C= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} = {x| x ∈ Z+; x es un numero primo; 0 < x < 18}
d) D= {américa, áfrica, europa, asia, oceanía} {x| x es el nombre de un continente}
e) E= {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} {x| x ∈ Z+; 0 ≤ x <7}
3.5. ¿Cuantos elementos pertenecen al conjunto potencia P(A)? y ¿Cuáles son sus elementos? Si A= {manzana, pera, fresa, sandia} |P(A)|= 24= 16 P(A)= {ᴓ, {manzana}, {pera}, {fresa}, {sandia}, {manzana, pera}, {manzana, fresa}, {manzana, sandia}, {pera, fresa}, {pera, sandia}, {fresa, sandia}, {manzana, pera, fresa}, {manzana, pera, sandia}, {manzana, fresa, sandia}, {pera, fresa, sandia}, {manzana, pera, fresa, sandia}
3.7. Sean A, B, C, D, E, F conjuntos no vacíos para cada inciso, hacer un diagrama de Venn que cumpla con las condiciones que se plantean: a) A c (C ∩ D) EcD C∩D≠ᴓ BcE E ȼ (C ∩ D)
b) F c A E c (D – C)
F ȼ (A ∩ B) (C U D) ȼ (A ∩ B)
C∩D≠ᴓ A∩B≠ᴓ
3.9. Considérese el siguiente diagrama de Venn. U C F
12 c≠ ᴓ
9
D 7 E
1 c≠ ᴓ
2 3
6
11
8
5 13 10
14
16
A
B
4 15
Poner en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa.
a) F c (C – D) b) E c D c) E c (C ∩ D) d) (A ∩ B)= ᴓ e) (D – C) c (B – A) f) (C ∩ D) c U g) D= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 14 h) B c A i) U – (C ∩ D) = {4, 15, 16} j) E – (C ∩ D) = {6} k) (C D) = {1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 14} l) D – U= ᴓ m) (B – A) = {5, 8} n) 3 ∈ (A U B) ñ) 11 ȼ (C – D) o) (F U E) c C p) (C U D)´= {4, 15, 16} q) (C ∩ E)= ᴓ r) (E – F) c D
( V) (V ) (V ) (F ) (F ) (V ) (V ) (F ) (F ) (F ) (F ) (V ) (V ) (V ) (F ) (V ) (V ) (F ) (V )
s) (B – E ȼ (D – C)
(F )
3.10. Considérese el siguiente diagrama de Venn. A
B
12 C 3
c≠ ᴓ 10
G
5
6 D 1 7 9 E 16
14
15
11 F c≠ ᴓ 2 8
4 13
Poner el paréntesis de cada uno de los incisos de una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa. a) F c (B - A) b) A ∩ C ≠ ᴓ c) E – D= {9} d) E ∩ D = ᴓ e) (C U E) c B f) (D – E) c (A ∩ B) g) C – G= {3, 10} h) G – F= ᴓ i) (F – C) c B j) A – B= {3, 10, 12, 14} k) D ∩ E= {1, 7, 9} l) (D ∩ E) c (A U B) m) 16 ∉ (D U E) n) (A U B)´ = {5, 13, 15} ñ) (B – A= {2, 4, 8, 11} o) (A ∩ B) U (A – B)= A p) 2 ∉ U´ q) [(U – (A U B)]= G U |13, 15| r) D E= {1, 9} s) A – (A ∩ B)= C U {12, 14}
(V ) (V ) (V ) (F ) (F ) (V ) (V ) (F ) (V ) (V ) (F ) (V ) (V ) (V ) (V ) (V ) (F ) (V ) (V ) (V )
3.11. Resolver los siguientes conjuntos I. Sean los conjuntos: U= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} A= {f, g, i, j}; B= {a, c, d, f, h, i}; C= {c, d, e, f, g, h}; D= {a, b, c}. Calcular: a) (A U B) ∩ (C U D) (A U B)= {a, c, d, f, g, h, i}
(C U D)={a, b, c, d, e, f, g, h}
(A U B) ∩ (C U D)= {a, c, d, f, g, h}
b) [(A ∩ D) U B] – C (A ∩ D)= {Ø}
[(A ∩ D) U B]= { Ø ,a, c, d, f, h, i}
[(A ∩ D) U B] – C= { Ø , a, i}
c) (A ∩ C ∩ D)’ U B (A ∩ C ∩ D)= { Ø }
(A ∩ C ∩ D)’= {x| x ∈ Z; x ȼ { Ø }}
(A ∩ C ∩ D)’ U B= {x | x ∈ U}
d) (D (D
B) ∩ A’ B)= {b, d, f, h, i}
A’= { x | x ∈ U; x ȼ { f, g, i, j } }
(D
B) ∩ A’= {b,d,h}
e) [(A – B) ∩ (D
B)] – (C
(A-B)= {g, j}
(D
B)= {b, d, f, h, i}
[(A – B) ∩ (D
B)]= {Ø}
D’= { x | x ∈ U; x ȼ {a, b, c}}
D´)
(C
D’)= {x | x ∈ U; x ȼ {a, b, d, e, f, g, h}}
[(A – B) ∩ (D
B) ] – (C
II. Sean los conjuntos: U= {x| x ∈ R} A= {x| x ∈ R; x2 – 1= 0} B= {-1, 2, 4} Calcular: a) (A U B)’ (A U B)= {-1, 1, 2, 4}
D’)= {Ø}
(A U B)’= {x | x ∈ Z; x ȼ {-1, 1, 2, 4}}
b) (A ∩ B)’ (A ∩ B)= {-1}
(A ∩ B)’= {x| x ∈ Z; x ȼ {-1}}
c) (B – A´) A’= {x | x ∈ Z; x ȼ {-1, 1}}
(B-A’)= {-1}
d) (A – B) (A-B)= {1}
B´
B’= {x| x ∈ Z; x ȼ {-1, 2, 4}}
(A – B)
e) (B
B´= {x | x ∈ Z; x ȼ{-1, 1, 2, 4}}
(B – A)´) ∩ A
A’= {x | x ∈ Z; x ȼ {-1, 1}}
(B-A)= {2,4}
(B-A)’= {x | x ∈ Z; x ȼ{2,4}}
(B
(B – A)´) = {x | x ∈ Z; x ȼ{-1}}
(B
(B – A)´) ∩ A = {1}
3.13. Sean los conjuntos: U= {x| x ∈ Z} A= {x| x ∈ Z}: x es primo; 5 < x < 30} B= {9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 23} C= {6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25} D= {x| x ∈ Z; x es impar; 10 < x < 20} Calcular: a) [B
(C´ ∩ A)] – D´
C’= {x | x ∈ Z; x ȼ{6,7,8,9,15,17,20,21,22,23}}
(C´ ∩ A)= {11,13,19,29}
[B
(C´ ∩ A)]= {9, 12, 15, 16, 17, 19, 21, 23, 29}
[B
(C´ ∩ A)] – D´= {15, 17, 19}
b) [(B – C) – D´] U (A
B´)
B – C = {11, 12, 13, 16} B 11 16c≠ ᴓ 12 13
C 6 7 15 c≠ ᴓ 21 8 9 23 20 22 17 25
D´ = {x| |x ∈ Z; x ∉ {11, 13, 15, 17, 19}
c≠ ᴓ 13
11 17
19
15
(B – C) – D´= {11,13} D
B-C c≠ ᴓ 11
12
c≠ ᴓ
15 17
13
16
19
B´= (x| x ∈ Z; x ∉ {9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 23})
9 12 17 21
c≠ ᴓ 13
11 15 23
16
A
B´= {x| x ∈ Z; x ∉ {7, 9, 12, 15, 16, 19, 21, 29}
7 c≠ ᴓ 17 29
[(B – C) – D´] U (A
19 21
11 13
11 13 17 23
9 12 c≠ ᴓ 15
16
21
B´) = {x| x ∈ Z; x ∉ {7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 21, 29}
7 15 9 12 16
c≠ ᴓ c≠ ᴓ
29
[(B – C) – D´]
c) [(C´ U B)
A
D] – A´
C’= {x | x ∈ z; x ȼ{6,7,8,9,15,17,20,21,22,23,25}}
B´
(C´ U B) = {x | x ∈ ȼ {6, 7 , 8, 20, 22, 25}}
[(C´ U B)
D]= {x | x ∈ z; x ȼ{6, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 25}}
A’= {x | x ∈ Z; x ȼ {7,11,13,17,19, 23, 29}}
[(C´ U B)
D] – A´= {23, 29}
d) [B´
(A´ ∩ C´)] – D
A’= {x | x ∈ Z; x ȼ{7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}}
C’= {x | x ∈ Z; x ȼ{6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25}}
(A´ ∩ C´) = {x | x ∈ Z; x ȼ{6,7,8,9,11,13,15,17,19,20,21,22,23,25,29}}
B’= {x|x ∈ Z; x ȼ{9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 23}}
[B´
(A´ ∩ C´)] – D= {6, 7, 8, 12, 16, 20, 22, 25, 29}
e) [(A ∩ D´) – (C´
A´ )] – B
D’= {x | x ∈ Z; x ȼ {11, 13, 15, 17, 19}}
(A ∩ D´)= {7, 23, 29}
(C´
A´ )= {x|x ∈ Z; x ȼ {6,7,8,9,15,17,20,21,22,23,25}}
[(A ∩ D´) – (C´
A´ )]= {7, 23}
[(A ∩ D´) – (C´
A´ )] – B= {7}
3.17. Resolver los problemas de los siguiente incisos usando conjuntos finitos: I. La compañía “Desarrollo de sistemas S.A.” necesita contratar 18 personas que programen en Access y 12 personas que programen en Java. De estos programadores se considera que 10 personas saben programar tanto en Access como en Java. ¿Cuántos programadores debera contratar la compañía? 20 programadores
II. De una muestra de 42 estudiantes de la carrera de informatica se obtuvo el siguiente numero de reprobados por materia:
28 Matemáticas para computación
26 Fundamentos de programación
17 Administración
16 Matemáticas para computación y fundamentos de programación
12 Fundamentos de programación y administración
8 Matemáticas para computación y administración
4 Matemáticas para computación, fundamentos de programación y administración
a) ¿Cuántos estudiantes no reprobaron ninguna materia de las antes mencionadas? 11 b) ¿Cuántos estudiantes reprobaron solamente fundamentos de programación? 2 c) ¿Cuántos estudiantes reprobaron solamente alguna de las tres materias? 11
d) ¿Cuantos reprobaron matemáticas para computación y fundamentos para programación, pero no administración? 223
3.18. Resolver los problemas de los siguientes incisos usando conjuntos finitos: I. De un grupo de 40 alumnos del Tecnológico de Morelia, algunos están estudiando para presentar examen como se indica a continuación:
26 Teoría de la computación
18 Redes de computadoras
20 Inteligencia artificial
13 Teoría de la computación y redes de computadoras
8 Redes de computadoras e Inteligencia artificial
10 Teoría de la computación e Inteligencia artificial.
4 estudian las tres asignaturas.
a) ¿Cuántos de ellos no estudian para ninguna de las tres asignaturas? 11
b) ¿Cuántos de ellos estudian únicamente para inteligencia artificial? 6 c) ¿Cuántos están estudiando teoría de la computación y redes pero no inteligencia artificial? 17 II. Se aplicó una encuesta entre 714 jóvenes que estudian la carrera de ingeniería en sistemas computacionales de una universidad, para conocer las preferencias de especialidad de su carrera. Los resultados obtenidos son:
206 prefieren ingeniería del software
291 prefieren sistemas distribuidos
215 prefieren inteligencia artificial
59 prefieren ingeniería del software y sistemas distribuidos.
68 prefieren ingeniería en software e inteligencia artificial
80 prefieren sistemas distribuidos e inteligencia artificial
28 se inclinan por las tres especialidades al mismo tiempo.
a) ¿Cuántos prefieren únicamente sistemas distribuidos como especialidad? 180 b) ¿Cuántos se inclinan por ingeniería del software e inteligencia artificial, pero no por sistemas distribuidos? 24 c) ¿Cuántos no pusieron preferencia de especialidad? 184
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
De la definición de unión puede deducirse directamente: -Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propioA : A∪A=A -Tanto A como B son subconjuntos de su unión: A⊆A∪ByB⊆A∪B -La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado: B ⊆ A implica que A ∪ B = A
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números: -Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) -Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A : A ∪ B = B ∪ A. -Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A: A∪∅=A
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica. En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas: -Propiedad distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
A ∩ (A ∪ B) = A
APLICACIONES DE LOS CONJUNTOS Aplicaciones Tipos de aplicaciones Inyectiva (también se llama uno a uno): Si cada elemento de B que es imagen de otro elemento de A sólo lo es de uno. Por ejemplo: si una aplicación relaciona a1 con b1 y a2 con b1, no es inyectiva porque dos elementos distintos comparten la misma imagen. Sobreyectiva (también se llama suprayectiva, exhaustiva y sobre): Si todos los elementos de B son imagen de alguno de A. Biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva. Composición de aplicaciones Sea f es una aplicación de A en B y g es una aplicación de B en C. Si la imagen de f está contenida en el dominio de g, entonces se puede definir una aplicación h de A en C de la forma: h(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente al dominio de f. Aplicación recíproca Es una aplicación que se representa por f -1 tal que la composición f -1[f(x)] = x.
Los conjuntos están estrechamente relacionados con el algebra booleana y la lógica matemática, además prácticamente todos los campos de la computación respaldan a los conjuntos. Por ejemplo:
-Una relación es un conjunto y en bases de datos es posible llevar a cabo operaciones entre relaciones, de la misma manera en que se hacen en teorías de conjuntos, de forma que los conceptos de unión, intersección, complementación, así como otras reglas lógicas que resultan de mezclar estas tres operaciones básicas de conjuntos dan origen a lo que se conoce como algebra racional, misma que a su vez proporciona los elementos necesarios con los que se manejan las bases de datos relacionales y que permiten obtener la información de forma organizada y concreta. -Los lenguajes de programación se definen como un conjunto de conjuntos, y dentro de ellos se puede mencionar el conjunto de símbolos (o alfabeto) con los cuales se forman las palabras de un lenguaje, el conjunto de símbolos no terminales que permiten multiplicar y mezclar organizadamente los símbolos del alfabeto, el conjunto de composiciones o reglas que se deben usar para la estructuración de las palabras validas en el lenguaje. Por lo tanto, si un lenguaje es un conjunto de conjuntos, es claro que obedece también a las leyes y reglas de la teoría de conjuntos. -Las redes de teléfonos, eléctricas, de carreteras, de agua potable o de computadoras son relacionales y por lo tanto son conjuntos a los cuales se les pueden aplicar también las operaciones unión, intersección, complementación, composición y ley de Morgan, de la misma manera que se hace en la teoría de conjuntos, por lo tanto es una aplicación práctica de la teoría de conjuntos. Esta representación grafica de los conjuntos se conoce en computación como teoría de grafos. Por lo tanto se puede concluir que para la computación, la teoría de conjuntos es fundamental.
CONCLUSION Los conceptos de la teoría de conjuntos son el fundamento de áreas de las matemáticas como la lógica matemática y la probabilidad, pero sobre todo son básicos en computación ya que son esenciales en algebra booleana, relaciones, funciones, arboles, redes, lenguajes y autómatas. Los conjuntos también son de vital importancia debido a sus aplicaciones en la computación, sirven para la creación de bases de datos, para la organización de los lenguajes de programación y prácticamente pueden aplicarse en cualquier aspecto de la computación. Por otro lado, los diagramas de venn son la representación grafica de los conjuntos, estos nos ayudan a visualizarlos de una manera más clara y nos ayudan a comprender las operaciones entre los conjuntos. En resumen, podemos decir que ambos son vitales para la computación, ya que los conjuntos ayudan a todas las ramas que tienen que ver en esta de manera directa o indirecta, y mantienen una estrecha relación con las matemáticas.
