OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN DE CONJUNTOS Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto unión elementos que pertenecen a A o a B.
al conjunto formado por todos los
Ejemplo:
Representándolo gráficamente por diagramas de Venn, se tendría:
El conjunto A
B estaría formado por todos los elementos del área oscura.
A la unión de conjuntos también se le denomina reunión. Escrita en forma lógica se tiene:
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto intersección al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, que son comunes a los dos conjuntos. Ejemplo:
Representándolo gráficamente mediante diagramas de Venn, se tendría: Escrita en forma lógica se tiene:
DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia A–B entre A y B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenezcan a B, es decir: Ejemplo:
Escrita en forma lógica se tiene:
Ejercicio: Responda si la diferencia de conjuntos es conmutativa.
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE DOS CONJUNTOS A B Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia simétrica de los mismos, A al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y que no pertenecen a la intersección de A y B.
B,
Una representación gráfica de la suma booleana o diferencia simétrica de dos conjuntos A y B mediante diagramas de Venn está representada en la gráfica siguiente: Ejemplo:
Ejercicio: Escriba en forma lógica A B
COMPLEMENTO Ac El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen al Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A. Ejemplo:
Escrita en forma lógica se tiene:
EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES DE CONJUNTOS A) Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 } A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 } a) d) g) j) m)
A B E´ A (A
B C D C D )´
b)
e) h) k) n)
(A B)´ A´ B E ( B C)´ ( E C )´
(D E) – A f) B´ i) B E l) ( C D )´ c)
B) Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación de conjuntos pedida.
S ∩ (R ∪ T)
L ∪ K´
(A–B)
∪
C
(H–G)∩I
H ∪ I´ C) De las tres operaciones proporcionadas para cada ejercicio subraye aquella que corresponda a la zona gris (zona sombreada)
1) U – (T
∪
R∪S)
1) I´ – (H – G )
2) (S – R )´
2) H´
3) ( S ∩ R ) ∪ T
3) ( H
1) ( U – L )
1) H ∪ I
∪
K
∩
(G–I)
∩
G)–I
2) H ∩ I
2) K – L 3) ( U´
∪
L)∪K
3) U – ( H
∪
I)
1) U – ( A
∪
C∪B)
2) ( B ∪ C ) ∩ A 3) C ∩ ( B ∪ A )
D) Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando diagramas): 1) ( A − B ) ∪ ( B − A) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B) 2) A B B c 3) A B A c −
⊂
−
⊂
E) Si de un conjunto se pueden obtener 16 subconjuntos, entonces por cuántos elementos está formado el conjunto F) Dados los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # A ∩ B = 3 , determine el número de subconjuntos de A ∪ B
G) Dado el conjunto A = { t, a, d }, represente al conjunto potencia de A ? H) Determine cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsas : I. Φ ' = U II. A ∩ A' = U III. A U A' = U I) Las proposiciones siguientes son verdaderas x ∈ A, x ∉ B, y A, z ∉ B, z ∈ C .Determinar el valor de verdad de: a) y ∉ B v z ∈ A b) x ∉ C v y ∈ B c) x ∈ A ⇔ y ∈ C d) (x ∈ A ⇒ z ∈ C) ⇒ (y ∉ A e) (z ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒ y ∈ B
⇒
z ∈ B)
J) Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos:
∈
A, y
∈
B, y ∉ C, z ∉
a) (A U B)' ∩ (C U B')' b) A ∩ [B' U (C ∩ A')']' K) Demostrar que: a) (A - C) U (B - C) = (A U B) - C b) (A - B) ∩ (A - C) = A - (B U C) c) (A - C) - (B - C) = (A - B) - C d) (A - B) ∩ B = Φ , ... ilustrar las igualdades anteriores con diagramas de Venn.