OPERACIONES CON FUNCIONES
MATEMÁTICA 1
Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas, mediante la adición, sustracción, multiplicación y división de sus valores. Las nuevas funciones se conocen como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones originales.
Igualdad de funciones: Las funciones f y y g son son
i) Df = = D Dg ii) f (x ) = g (x )
iguales si y sólo si:
x Df = = D Dg
Las funciones f (x ) = x 3 – 1, g (x ) = x 3 – 1;
Df = = D Dg =
son iguales, porque
Dadas las funciones f y g , tenemos: + g , es la función definida por: i ) La suma, denotada por f + (f + + g )( )(x ) = f (x ) + g (x ) - g , es la función definida por: i i ) La diferencia, denotada por f (f - g )( )(x ) = f (x ) - g (x ) i i i ) El producto, denotada por f . . g , es la función definida por: (f . . g )( )(x ) = f (x ) . g (x ) i v ) El cociente, denotada por f / / g , es la función definida por: (f / / g )( )(x ) = f (x ) / g (x ); ); g (x ) 0
En cada caso, el do domini mini o de la función resultante consta de aquellos valores de x comunes comunes a los dominios de f y y g , pero para
1. Dadas las funciones: f = (1; 4), (2 (2; 5), (3 (3; 6), (4 (4; -6), (5 (5; -5) y g = = (0; 8), (1 (1; 3), (2 (2; 0), (3 (3; 7), (4 (4; 0), (5 (5; 10) . Hallar: a Hallar: a)) f + + g ; b) f - g ; c) f . . g ; d) f / / g Df Dg
a). Adición de funciones: f + g
2. Dadas las funciones: f (x ) = x - 5 y g( g(x x ) = x 2 - 1. Determine el dominio de la función resultante: a) f + + g ; b) f - g ; c) f . . g ; d) f / / g
3). Dadas las funciones: f (x ) =
1 + 1 x +
g (x ) =
x - 2 x -
Determine el dominio de la función resultante: a) f + + g ;
b) f - g ; c) f . . g ;
d) f / g
4). Dadas las funciones, hallar:
b) (f - g )(x ); ); f (x ) =
g (x ) =
c) (f . g )(x );
1;; si |x | ≤ 2 x 2 – 1
; si > 2 > 2 x
x
1;; si 0 x – 1
x ≤ 3
+ 1 1;; si < 0 < 0 x
x
≤
a) (f + + g )(x ); d) (f / / g )(x ); si:
+ g )(x ); 5). Hallar: a) (f + d) (f / / g )(x ); si: f (x ) =
g (x ) =
b) (f - g )(x ); );
|x |; x [-1 -1;; 3 3 - 2 2x ; x [3; 6]
1;; x [1; 4 x – 1
|] ; x [|x |
5; 7 ]
c) (f . . g )(x );
Dadas la Dad lass do doss func funcio ione ness f y g , la fu func nció ión n co comp mpue uest sta, a, denotada por f g , está definida por
(f g )(x ) = f (g (x )) El dominio de f g , es el conjunto de todos los números x del del dominio de g tales tales que g (x ) está en el dominio de f .
g f g
f
A
f
B
Df
g
C Rg
Rf Dg
g o f Dg o o f f
Rg o o f f Rf
Dg
Ejemplo g
A
f
B
C
a.
n.
r.
b.
m.
s.
c.
p.
t.
d.
q.
v.
f g
(f g )(a) = f (g (a)) = f (m) = t
(d)) = f (p) = r (f g )(d) = f (g
f
(
t) (d )
Consideremos las funciones f , g , h y y la “I” (identidad):
i) (f g )(x )
(g f )(x ) no es conmutativa
ii) (f g )
= f (g h ) es asociativa = h
iii) (f + g )
= (f h ) + (g h ) distributiva h =
iv) (f . g )
= (f h ) . (g h ) h =
v) f I = I f = f ,
f
1). Sea f = = (2; 5), (3; 4), (6; 2), (5; 0), (1; 7) y g = = (4; 8), (5; 3), (0; 9), (2; 2), (7; 4) Hallar f g
2. Sea f , g : R Hallar:
R
tal que: f (x ) = x 2 + 2x + + 3, g ( (x ) = x - 5
( g o f o f )(1) + ( f o g ) (2). (2).( f o g ) (3) (3) - ( g o o g ) (2)
( f o g ) (2)
5
3. Sean: f (x ) = x - 2
y
(x ) = 2x + 1 g ( + 1
Obtenga (f o o g )(3) )(3) de dos maneras.
4. Si f y g están están definidas por: ( x ) = x - 2 f (
y g(x) = x 2 - 2
Determine el dominio de la función compuesta definida por: a) ( f o g )( )( x) b) ( g o f )( x)
(x ) = 5. Sea: g Hallar:
-3x 2 + 1, si x ≥ 1
- - 1, si x
og o g )( + 2 2 .g (g )(1) + (-1) 2(1) + ( g g og o g )( )(-1)
< 1 x < 1
6. Si f (x - 1) = x - 2 y ( g o f )( x + 2) = 2 x2 - x Hallar g ( x)
Taller 5 1. Dadas las funciones: Calcular ( f . . g )(x ) si: 7, si x 10 3x – 1 1;; si si 0 0 < < x < 2 f (x ) = g (x ) = x - 1 - 1,, si x > 11 > 11 > 3 x , si x > 3
Calcular: a Calcular: a)) (f + + g )(x ), ), b) ( f . . g )(x )
2. Si ( f . g )(x - 1 ) = x 2 – 2x
y
g (x ) = x + 3, + 3, determinar f (x ).
1. La nómina de pago diario de una cuadrilla es directamente proporci pr oporcional onal al n úme merr o de tr trabajadores abajadores,, y un una a cuadri l l a de 12 tiene un a nómi nómina na de $.810. $.810. a ) E n cu cue en tr e u n model modelo o mat mate emáti co qu que e ex pr pre ese la nómina de pago diario como una función del número de trabajadores. ) b ¿Cu Cuá ál es l a n ómi n a de pago di diar arii o par para a u n a cu cuadr adrii l l a de 15 trabajadores trabajadores?
2. A un campo de de f or orma ma r ectangul ar se l e colocaron 240 m de ce cerr ca ca.. ) a E n cuen cuentr tr e u n model modelo o mate mat emáti co que qu e ex ex pr pre ese el ár ea de á dell te t er r en o como como u n a f un f unció ción n de de su su longitud longitud . ) b ¿Cu Cuá ál es el domi n i o de l a f u n ci ció ón ? ? c ) c ¿Cu ¿ Cuá áles son l as di dimension mension es de dell campo r ectan ctangu gull ar de mayor ár ea qu que e pueda pued a cer cer carse con 240 m?
3. Re Reali ali ce el ejercicio ejerci cio anteri or (2) ( 2) conside considerr ando ahor a que un l ado de del terr eno está tássobr obre e la or i l l a de un r ío, por l o que qu e tiene un l ími mite te natu r al al,, y el mate materr i al para ce cerr car se empl mple ear ará áen l os otr otros os tr tre es l ados ados..