TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALES NUMEROS RACIONALES
3,8 =
38 3
35
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS 9 9 RACIONALES Es un conjunto Infinito. Decimal periódico mixto Es un conjunto muy denso, entre dos 126 126 12 114 114 19 números racionales siempre existe otro 1,26 = 90 90 15 número racional. Todo número racional tiene una expresión decimal equivalente. NUMEROS IRRACIONALES A cada número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero a todo Un número irracional se puede expresar por: punto no le corresponde un número racional. Un número decimal no periódico de infinitas Es un conjunto ordenado, entre dos números cifras. racionales diferentes, siempre es uno mayor Un conjunto de números racionales con que el otro. aproximación por defecto o por exceso
Las fracciones irreductibles, representan una Algunos números irracionales. clase de equivalencia y forman el conjunto de 2 = 1,414213... los números racionales Q, 3 = 1,732 050... DE FRACCION A NUMERO DECIMAL 5 = 2, 236 067 ... FRACCION
TIPO
EXPRESIÓN DECIMAL
3
3
2
2
5
5
11
11
13
13
6
6
1,5
Exacto o limitado
= 0,4545...
Periódico puro
= 2,1666...
Periódico mixto
15 =
10
=
GENERATRIZ DE UN NUMERO DECIMAL Expresión decimal 1,625 Exacto o limitado
1,625 =
1625
1000 217 217 2
100 100 4 Decimal periódico puro 36 12 4 0,36 = 99 33 11 L
= 2, 645 751 ...
11 = 3, 316 624 ... = 3, 141592 ... = 2, 718281 ... Ejercicios
1. Halla la fracción generatriz de: a) 4,5 b) 3,128 282 8... 2. Halla la fracción generatriz y resuelve 2,7 –5,3 . 0,27
Fracción generatriz
13 8 215 215
2,1717... 2,17 = Periódico 99 99 Puro 2,45151... 2451 24 2427 809 809 2,451 = Periódico 990 990 990 990 330 330 mixto Decimal limitado: 25 1 0,25 =
7
3. Resuelve 1,5 + 0,8 -
0,2 1,23
4. Indica que tipo de expresión decimal representa las fracciones a)
13 11
b)
16 15
c)
33 31
5. Halla la suma de los numeradores de las generatrices de 0,32 y 1,1316
Redondeamos centésimos:
NUMEROS REALES
los
decimales
hasta
los
4,736 = 4,74 1,318 = 1,32 0,576 = 0,58
El conjunto de los números racionales y el de los de los números irracionales conforman el conjunto de los números reales y se designa por R
Aproximación de 4,736 4,736
Existen números reales positivos, R + , y números reales negativos, R R = R - {0} R +
4,73
R
4,736
4,74
Aproximación de 0,576
Q
I
Z
0,576
N 0,57
Q R I R R = Q I
RECTA REAL
Ejercicios
-
-
5
2
9
5
1. Ubica en la recta real los números RECTA REAL
irracionales
10
2 -5
-4
-3
0,58
Para truncar un número decimal se eliminan sus cifras a partir de un cierto orden. Para redondear hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n como está, si la que sigue es menor que 5; y se aumenta en una unidad, si la que sigue es mayor o igual que 5
N Z
9
0,576
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
2
Solución Hallamos la expresión decimal de cada uno: 3,1416... 2 = 1,4142... Ubicamos sus valores aproximados
=
APROXIMACIONES
Cuando necesitamos operar con números 2 reales nos vemos obligados, en muchas ocasiones, a manejar decimales con muchas 0 1 2 3 cifras. sabemos que las expresiones decimales de un número real se reducen a los siguientes 2. ¿Cual es el valor de 2 + 3 con tipos Exacto 4,736
Periódico puro 0,576
Periódico mixto 1, 318
Ilimitado no periódico
2 = 1,41421356...
Como no podemos operar con infinitas cifras, tomamos aproximaciones de estos números para efectuar operaciones con ellos. Una aproximación o valor aproximado de un número es otro número próximo al primero al cual representa y sustituye. Por ejemplo, el decimal 0,33 es una aproximación del número 0, 3. Para aproximar un número se suelen utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo. Ejemplos: Truncamos los decimales hasta los centésimos: 4,736 = 4,73 1,318 = 1,31 0,576 = 0,57 t
Aproximación a las milésimas? Solución Hallamos los valores decimales de cada raíz: 3 = 1,7320... 2 = 1,4142... Calculamos la suma con los valores decimales aproximados a las milésimas. 3 = 1,414 + 1,732 = 3,146
2 +
Tarea Resuelve las siguientes operaciones y redondea según se indique 5 a)
(al centésimo) 2
b) + 5 - 2,49 (al centésimo) c) 0,51 x 2,13 (al milésimo) 9-
4 + 2,13 + 7 (al centésimo) 5 2 12 e) x 6 : 2 (al milésimo) 4 15 3 d)
TEMA: INTERVALOS Grado: Segundo Sección: “...” Fecha:.../.../... Prof .: Lic. José Luis Guizado Pino INTERVALOS Alguna vez hemos escuchado que se ha INTERVALOS NO ACOTADOS averiado un tramo de una carretera. Por ejemplo, nos dicen que entre los kilómetros 12 X<3 x 3 y 18 de la carretera central ha caído un “huaico”. -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 Km 12
;3= {x /x R, x < 3} 3; = {x /x
Km 18
Tramo de la Carretera Central
R, x 3}
OPERACIONES CON INTERVALOS
A un tramo de la recta numérica se llama intervalo.
Unión de intervalos: La unión de dos intervalos I1 = 2;6 y I2 = [1; 8] es el conjunto de números reales que pertenecen a l menos a uno de los dos intervalos . I2 I1 I1 I2
Un intervalo de números reales es el conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales CLASES DE INTERVALOS Intervalo Abierto
a, b
Intervalo cerrado
a
,
b
Intervalo abierto a la derecha
a
,
Intervalo abierto a la izquierda
a
,
-1
3
-1
3
-1
3
-1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
,
,
Una semirrecta de origen 3 que contiene al 3 P
1 2
I1 I2 = [-2; 6]
3
4
5
6
7
[1; 8] = [-2; 8]
8
Intersección de intervalos: La Intersección de dos intervalos es el conjunto de los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos.
El intervalo abierto a, b está formado por I2 los números reales x comprendidos entre a y I1 b excluidos a y b. Se expresa: I1 I2 a, b = {x/x R , a< x < b} -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 El intervalo cerrado a b está formado I1 I2 = [-2; 6] [1; 8] = [1; 6] por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos a y b. Se expresa: a b = {x/x R , a x b} Diferencia de Intervalos : El intervalo semiabierto a, b está La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto de los números reales que pertenecen al formado por los números reales x intervalo I y no pertenecen al intervalo I 1 2 comprendidos entre a y b incluidos a. Se expresa: a, b = {x/x R , a x < b} el I2 Intervalo semiabierto a b está formado I1 I I 1 2 por los números reales x comprendidos entre -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a y b incluidos b. Se expresa a b = {x/x R , a < x b} I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[ Otros intervalos que se consideran en la recta son los no limitados o no acotados. Ejemplo 1: ¿Cuál es la unión, la intersección y la diferencia de intervalos?. Ejemplo 1. el conjunto de números menores que 3 se expresa por x< 3 y se representa por una semirrecta de origen 3 que no contiene al 3. El conjunto de números mayores o iguales a 3 se expresa por x 3 y se representa por ,
-1 0
b
,
b
-2
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
en: |X – 4| = 6 Solución
El valor absoluto de un número real es la distancia del punto al cual corresponde, con respecto al origen. Se denota por |a| (valor absoluto) donde: | -a | = a | +a | = a
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está dentro del paréntesis tiene la posibilidad de tener dos valores: Si x – 4 = 6, entonces x = 10 Si x – 4 = -6, entonces x = -2 - Si |x| = < 2, x es cualquier número real Comprobación del intervalo abierto ] –2; 2 [ Para x = 10 Para x = -2 |x| < 2, ó –2 < x < 2 -3
-2
-1
0
1
2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
3
- Si |x| = 2, x es cualquier número real
|3x – 2| 11 Solución
del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| 11
|x| 2, ó –2 x 2 -3
-2
-1
0
1
2
- 11 3x – 2 11 -11 + 2 3x 11+ 2 -9 3x 13
3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ; -2[
-
]2; [
-
- Si |x| = 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ; -2]
[2; [
3
x
3 x
13 3 13 3
Expresamos en intervalo y representamos en 13 la recta numérica 3; 3
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO a b
[a; b] =
9
2 Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3] Solución 53 [-5, 3] = 1 2
13 3
-3
-2 -1
0 1
2
3
4
5
6 7
Tarea: 1. Representa gráficamente el punto medio
-5
-4
Ejemplo
-3 -2
-1
0
Representa
2:
1
2
en
notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo: a) ] 3; 9] Expresamos la notación conjuntista ] 3; 9] = { x/x R; 3< x 9} Representamos gráficamente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
10
del intervalo: [ -6; -5/2] 2. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos: A) ]1; 5[ [4; 6] B) [-4; 7] ]4; 8] C) ]-3; 6] – [2; 7] 3. Halla los posibles valores de x en cada caso: a) |2x – 5| = 11 b) |x - 15| = 2 4. Halla el resultado de las siguientes operaciones: a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20
