Operasi Baris Elementer

2.1.1 Operasi Baris Elementer (OBE)

Proses penyelesaian SPL pada Contoh di atas, perbedaan SPL (1), SPL (2) hingga SPL (5) terletak pada koefisiennya, sedangkan variabel dan tanda “=” tetap. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan suatu SPL dapat dilakukan dengan hanya mengoperasikan koefisen-koefisien dari setiap persamaannya. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan operasi matriks. Sistem Persamaan Linier (SPL (SPL **1) variabel

dengan m persamaan dan n

a11 x1 + a12 x2 + … a1j xj + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … a2j xj + … + a2n xn = b2 . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + … amj xj + … + amn xn = bm dapat disajikan secara matriks Amxn Xnx1 = Bmx1  dengan

Amxn =

 a11 a12 a  21 a22  . .   am1 am2

... a1n 

... a2n  ... .   ... amn 

Xnx1 =

 x1  x   2  .     xm 

Bmx1 =

 b1  b   2  .    b m 

Untuk menyelesaikan SPL (1) digunakan matriks yang unsur-unsurnya merupakan gabungan unsur-unsur dari A dan B. Matriks ini dinamakan matriks lengkap dan notasinya [A|B],  atau

[A | B] =

 a11 a12 ... a1n b 1  a   21 a22 ... a2n b2  .  . . . . .     am1 am2 ... amn bm 

Untuk proses pengerjaan pencarian HS, tidak menggunakan operasi persamaan linier (OPL). Operasi-operasi yang digunakan untuk menyelesaikan SPL melalui [A|B] adalah Operasi Baris Elementer (OBE). OBE adalah suatu operasi yang hanya melibatkan unsure (bilangan) dalam

Create PDF files PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com (http://www.novapdf.com))

suatu matriks. OBE terdiri dari 3 (tiga) jenis langkah dan dapat digunakan satu atau semuanya.

Operasi BarisElementer (OBE)

No Operasi 1 Mengalikan baris-i dengan konstanta tidak nol k 2 Menukar baris-i dengan baris-j 3 Mengganti baris-j dengan baris j + k baris-i

Notasi kRi RiRj Rj+kRi

Operasi Baris Elementer tidak merubah HS  dari sistem persamaan linier. Artinya SPL baru yang diperoleh dari SPL lama dengan menggunakan OBE, mempunyai selesaian yang sama. Untuk mempertegas hal ini, didefinisikan pengertian matriks ekivalen baris.

Definisi 2.3.2.1 Du a m a t r i k s d i s eb u t m a t r i k s e k i v a l e n  baris jika salah satu matriks dapat diperoleh dengan melakukan OBE sebanyak hingga kali pada matriks yang lain. Notasi : ~ Berdasarkan Definisi 2.3.2.1, dua sistem persamaan linier yang berkaitan dengan dua matriks yang ekivalen baris mempunyai selesain yang sama. Hal ini dipertegas dalam teorem berikut.

Teorema 2.3.2.2

 Jika mat r iks lengkap da r i dua SPL  merupakan m a t r i k s e k i v a l e n b a r i s maka   kedua SPL mempunyai selesai n y ang . sama 

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Contoh

: Diberikan SPL dengan 3 persamaan dan 3 variabel, sebagai berikut x + 2y + z = 0 3x + 8y + 7z = 8 2x + 7y + 9z = 15

Penyelesaian. SPL dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan A=

 1 2 1  3 8 7   2 7 9 

X=

 x  y    z 

B=

0 8.   15

Matriks lengkap dari SPL adalah [A|B] =

1 2 1 0  3 8 7 8    2 7 9 15

Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan dengan membuat koefisien x pada persamaan-2 dan persamaan-3 menjadi nol atau unsur a21  dan a31 adalah nol. Untuk dilakukan operasi baris berikut

[A|B] =

1 2 1 0  3 8 7 8  ~R +(-3)R 2 1   2 7 9 15

1 2 1 0  ~R3+(-2)R1  0 2 4 8   0 3 7 15

1 2 1 0  0 2 4 8     2 7 9 15

~ ½ R2

1 2 1 0  0 1 2 4     0 3 7 15

 1 2 1 0 ~R3+(-3)R2  0 1 2 4 .  0 0 1 3 

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Matriks terakhir merupakan matriks lengkap dari SPL x + 2y + z = 0 y + 2z = 4 z = 3. Substitusi z=3 ke persamaan-2 didapat y + 2 . 3 = 4 sehingga y = -2. Dengan mensubstitusikan z=3 dan y=-2 ke persamaan-1 diperoleh x + 2 . (-2) + 3 = 0 sehingga x = 1. HS = {(1,-2,3)}.

2.1.2 Eliminasi Gaussdan Eliminasi Gauss-Jordan

Telah diketahui bahwa setiap SPL dapat diselesaikan dengan mengubah matriks lengkapnya menjadi suatu matriks tertentu sehingga selesaiannya dapat segera diperoleh. Maka kecepatan dalam menyelesaikan SPL tergantung pada proses pengubahan matriks lengkap ke bentuk matriks yang spesifik. Matriks spesifik yang dimaksud adalah MEB atau MEBT.

Definisi 2.3.3.1 Proses perubahan matriks lengkap [A|B] ke bentuk MEB dengan OBE disebut Eliminasi Gauss  . Sedangkan proses  perubahan matriks lengkap [A|B] ke bentuk MEBT melalui OBE dinamakan El i mi nasi Gauss-Jor da n  .

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Algoritma Eliminasi Gauss

1. Cari kolom paling kiri yang memuat unsur tidak nol 2. Jika unsur pertama kolom yang diperoleh dari langkah 1 sama dengan nol, tukarlah baris pertama dari matriks baris yang unsur pada kolom tersebut tidak nol. 3. Buatlah unsur-unsur di bawahnya menjadi nol dengan OBE, sehingga matriks yang didapat akan berbentuk 0 0  0   0

0 *

x

x

0 0 0 0 0 0

A1

x

 ,   

dengan * pivot yang ditemukan.

4. Ulangi proses 1 sampai dengan 3 pada matriks A1.

Algoritma Eliminasi Gauss-Jordan

1. Rubah matriks [A |B] menjadi MEB 2. Buatlah pivot menjadi 1 3. Buat unsur pada kolom yang memuat pivot menjadi nol dengan OBE. Produk dari Algoritma Gauss dan Algoritma Gauss-Jordan adalah matriks lengkap [A|B]* dalam bentuk MEB. Kemudian, SPL yang berkaitan dengan [A|B]* akan menunjukkan keterkaitan pivot dengan variabel dari SPL. Variabel tersebut adalah variabel tidak bebas dan variabel bebas. Pengertian keduanya tersaji dalam definisi berikut.

Definisi 2.3.3.2 V a r i a b e l t i d a k b e b as  adalah suatu variabel yang berkaitan dengan pivot, sedangkan v a r i a b e l b eb a s adalah variabel yang tidak berkaitan dengan pivot..

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Untuk melengkapi Algoritma Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, berikut disajikan langkah-langkah untuk menyelesaikan SPL dengan proses OBE. Perbedaan keduanya hanya terletak pada matriks lengkap [A|B]* yang dicapai.

Langkah-2 selesaikan SPL dengan OBE

1. Tulis SPL dalam bentuk matriks 2. Tulis matriks lengkap [A|B] dari SPL (1) 3. Rubah [A|B] ke [A|B]* suatu MEB (untuk Eliminasi Gauss) atau MEBT (untuk Eliminasi Gauss-Jordan) dengan OBE 4. Tulis SPL yang berkaitan dengan [A|B]* 5. Tentukan variabel tidak bebas dan variabel bebas 6. Tentukan nilai variabel dengan substitusi mundur 7. Tulis HS

Untuk mengetahui perbedaan kedua proses eliminasi ini, dijelaskan dengan contoh berikut..

Contoh : Diberikan Sistem Persamaan Linier dengan 3 persamaan dan 3 variabel, yaitu x + 2y + 3 z = 11 2x + 3y + z = 10 4x + y + 2z = 10

Penyelesaian. 1. SPL dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan A=

 1 2 3  2 3 1    4 1 2

X=

 x  y    z 

B=

 11 10  .   10 

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

2. Matriks lengkap dari SPL adalah [A|B] = 3.

 1 2 3 11  2 3 1 10     4 1 2 10 

 1 2 3 11 [A|B] =  2 3 1 10  ~R2+(-2)R 1  4 1 2 10  3 11  1 2  ~R3+(-4)R1  0 1 5 12  0 7 10 34 

 1 2 3 11   0 1 5 12    4 1 2 10  3 11  1 2  ~ -1R2  0 1 5 12   0 7 10 34   1 2 3 11  1 2 3 11   ~R3+(7)R2  0 1 5 12  ~(1/25) R3  0 1 5 12 *.  0 0 25 50   0 0 1 2 

3. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap yang berbentuk MEB dari SPL x + 2y + 3z = 11 y + 5z = 12 z = 2. 4. Variabel tidak bebas x, y dan z sedangkan variabel bebasnya tidak ada 5. Substitusi z=2 ke persamaan-2 didapat y + 5 . 2 = 12 sehingga y = 2. Dengan mensubstitusikan z=2 dan y= 2 ke persamaan-1 diperoleh x + 2.2 + 3.2 = 11 sehingga x = 1. 6. HS = {(1,2,2)}.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Jika menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan maka langkah proses OBE dilanjutkan hingga terbentuk MEBT. Perhatiakan hasil proses (2),  1 2 3 11  0 1 5 12 ~R +(-2)R 1 2    0 0 1 2 

 1 0 7 13  0 1 5 12     0 0 1 2 

1 0 0 1  ~R1+(7)R3  0 1 5 12 ~R2+(-5)R3  0 0 1 2 

 1 0 0 1  0 1 0 2  **    0 0 1 2

4. SPL yang berkaitan dengan [A|B]** yang berbentuk MEBT adalah x =1 y =2 z =2 5. Variabel tidak bebas adalah x, y dan z, sedangkan variabel bebasnya tidak ada. 6. HS = {(1,2,2)}.

Catatan. Jika [A|B] dalam bentuk MEBT dengan tidak terdapat variabel bebas maka A=I dan B adalah selesaiannya. Artinya selesaian akan langsung terlihat dari proses 2. Anda bandingkan dengan Eliminasi Gauss. Contoh : Diberikan SPL dengan 3 persamaan dan 4 variabel x1 + x2 + x3 + x4 = 12 x1 + 2x2 + 5x4 = 7 3x1 + 2x2 + 4x3 - x4 = 31

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Penyelesaian. 1. SPL dapat ditulis secara matriks A3x4 X4x1 = B3x1, dengan A=

1 1 1 1   1 2 0 5   X   3 2 4 1

=

 x1  x   2  x3     x4 

B=

12 17 .    31

2. Matriks lengkap dari SPL adalah [A|B] =

3. [A|B] =

 1 1 1 1 12  1 2 0 5 17   3 2 4 1 31

 1 1 1 1 12  1 2 0 5 17 ~R +(-1)R 2 1   3 2 4 1 31

 1 1 1 1 12  ~R3+(-3)R1  0 1 1 4 5   0 1 1 4 5

 1 1 1 1 12  0 1 1 4 5     3 2 4 1 31

~R3 +1R2

 1 1 1 1 12  0 1 1 4 5  *    0 0 0 0 0 

4. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap yang berbentuk MEB dari SPL adalah x1 + x2 + x3 + x4 = 12 x2 - x3 + 4x4 = 5 0=0 5. Variabel tidak bebasnya adalah x1  dan x2, sedang variabel bebasnya adalah x3 dan x4. 6. Misalkan variabel bebas x3 = s dan x4 = t, dengan s, t sebarang bilangan riil. Substitusikan x3 = s dan x4 = t ke persamaan-2 didapat x2  – s + 4t = 5 sehingga diperoleh x2  = s – 4t + 5. Kemudian, dengan substitusi x3 = s, x4 = t dan x2  = s – 4t + 5 ke persamaan-1 diperoleh x1 + (s-4t+5) + s + t = 12 sehingga diperoleh x1 = -2s + 3t + 7. 7. HS = { (2s + 3t + 7, s – 4t + 5, s, t ) / s, t  R }

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Jika menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan, dilanjutkan proses (2) hingga terbentuk MEBT. Perhatikan kembali hasil proses (2)  1 1 1 1 12  0 1 1 4 5  ~R +(-1)R 1 2    0 0 0 0 0 

 1 0 2 3 7   0 1 1 4 5  **    0 0 0 0 0 

(3) SPL yang berkaitan dengan [A|B]** adalah x1

+ 2x3 – 3x4 = 7 x2 - x3 + 4x4 = 5 (4) Variabel tidak bebasnya adalah x1  dan x2, sedangkan variabel bebas adalah x3 dan x4. (5) Misalkan variabel bebas x3 = s dan x4 = t, dengan s, t sebarang bilangan riil. Substitusikan x3 = s dan x4 = t ke persamaan-2 didapat x2  – s + 4t = 5 sehingga diperoleh x2  = s – 4t + 5. Kemudian, dengan substitusi x3 = s dan x4 = t ke persa-maan-1 diperoleh x1 + 2s – 3t = 12 sehingga diperoleh x1 = -2s + 3t + 7. (6) HS = { ( 2s + 3t + 7, s – 4t + 5, s, t ) / s, t  R }.

Secara praktis, Eliminasi Gauss-Jordan tidak memberikan keuntungan yang berarti. Karena pada ME sudah dapat menentukan nilai variabel dengan substitusi mundur. Keuntungan dari Elimanasi Gauss-Jordan menyangkut pengembangan teori. Misalkan sebarang SPL diberikan a11 x1 + a12 x2 + … a1j xj + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … a2j xj + … + a2n xn = b2 . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + … amj xj + … + amn xn = bm

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Selesaian dapat langsung diketahui berdasarkan MEBT-nya. Misalkan xj1, xj2, …, xjr merupakan variabel bebas maka SPL yang berkaitan dengan MEBT dari matriks lengkapnya adalah x1 x2 … xjr

+  c1k xk = d1 +  c2k xk = d2 … +  cjk xk = dr  = dr+1

(3)

0 … 0 = dm , dengan  menyatakan jumlah yang memuat variabel bebas. SPL tersebut mempunyai selesaian jika dr+1 = dr+2 = … = dm = 0. Kemudian banyaknya unsur pivot adalah r = min{m,n}, yaitu r  m dan r  n. Dalam kasus r < n, terdapat variabel bebas sebanyak (n-r) buah. Dengan demikian selesaian dari SPL tersebut mempunyai (n-r) buah parameter. Dalam hal r = n,   pada SPL (3) tidak ada dan SPL mempunyai selesai tunggal, yaitu xj1=d1, xj2 = d2, …, xjn = dn.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)